b'\n_START_ARTICLE_\nEqua\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial\n_START_SECTION_\nIntrodu\xc3\xa7\xc3\xa3o\n_START_PARAGRAPH_\nO t\xc3\xb3pico das equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais \xc3\xa9 muito vasto, podendo ser abordado de diferentes maneiras, dependendo do objetivo do estudo. Do ponto de vista da matem\xc3\xa1tica aplicada, tais equa\xc3\xa7\xc3\xb5es s\xc3\xa3o utilizadas para descrever situa\xc3\xa7\xc3\xb5es do mundo real, tendo um papel relevante na liga\xc3\xa7\xc3\xa3o e intera\xc3\xa7\xc3\xa3o da matem\xc3\xa1tica com outras ci\xc3\xaancias: na F\xc3\xadsica, para descrever as for\xc3\xa7as sofridas por corpos; na Qu\xc3\xadmica, para compreender a velocidade das rea\xc3\xa7\xc3\xb5es; na Biologia, para modelar o crescimento de popula\xc3\xa7\xc3\xb5es; na Economia, para formular modelos acerca do mercado; al\xc3\xa9m dos v\xc3\xa1rios ramos da Engenharia.\n_START_SECTION_\nExemplos\n_START_PARAGRAPH_\nExemplo 1_NEWLINE_Equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais s\xc3\xa3o extremamente importantes para as ci\xc3\xaancias, pois nos informam como a varia\xc3\xa7\xc3\xa3o de uma grandeza afeta outras grandezas relacionadas. A lei mais importante de F\xc3\xadsica Cl\xc3\xa1ssica, a segunda lei de Newton:_NEWLINE__NEWLINE_\xc3\xa9 na verdade uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial de segunda ordem:_NEWLINE_Equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais fazem parte de nosso dia a dia, mesmo que n\xc3\xa3o nos demos conta disto._NEWLINE_No entanto, as equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais s\xc3\xa3o mais dif\xc3\xadceis de resolver do que as equa\xc3\xa7\xc3\xb5es alg\xc3\xa9bricas comuns. \xc3\x80 exce\xc3\xa7\xc3\xa3o das equa\xc3\xa7\xc3\xb5es separ\xc3\xa1veis, a resolu\xc3\xa7\xc3\xa3o de cada tipo diferente de equa\xc3\xa7\xc3\xa3o sem que se conhe\xc3\xa7a a t\xc3\xa9cnica \xc3\xa9 uma obra hom\xc3\xa9rica. Por isso, cada avan\xc3\xa7o no campo das equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais em geral \xc3\xa9 creditado a um matem\xc3\xa1tico diferente (exceto por Leonhard Euler)._NEWLINE_Exemplo 2_NEWLINE_Mostrando que as fun\xc3\xa7\xc3\xb5es_NEWLINE_s\xc3\xa3o solu\xc3\xa7\xc3\xb5es da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial e dos m\xc3\xa9todos num\xc3\xa9ricos ap\xc3\xb3s as \xc3\xbanicas bidimensionais da resolu\xc3\xa7\xc3\xa3o._NEWLINE_Resolu\xc3\xa7\xc3\xa3o_NEWLINE_por simples substitui\xc3\xa7\xc3\xa3o da fun\xc3\xa7\xc3\xa3o e as suas derivadas_NEWLINE_v\xc3\xaa-se facilmente que cada uma das fun\xc3\xa7\xc3\xb5es dada \xc3\xa9 solu\xc3\xa7\xc3\xa3o:_NEWLINE_Exemplo 3_NEWLINE_Demonstre que a rela\xc3\xa7\xc3\xa3o_NEWLINE_\xc3\xa9 solu\xc3\xa7\xc3\xa3o impl\xc3\xadcita de_NEWLINE_Resolu\xc3\xa7\xc3\xa3o\n_START_SECTION_\nEqua\xc3\xa7\xc3\xb5es de primeira ordem\n_START_PARAGRAPH_\nAs equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais ordin\xc3\xa1rias de primeira ordem s\xc3\xa3o da forma  mas geralmente por meio de simples manipula\xc3\xa7\xc3\xa3o alg\xc3\xa9brica conseguem-se re-escrever na forma de uma ou mais equa\xc3\xa7\xc3\xb5es:_NEWLINE_A chamada forma inversa da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o anterior \xc3\xa9_NEWLINE_Qualquer solu\xc3\xa7\xc3\xa3o impl\xc3\xadcita de uma das duas equa\xc3\xa7\xc3\xb5es \xc3\xa9 solu\xc3\xa7\xc3\xa3o da outra, e se a inversa de uma solu\xc3\xa7\xc3\xa3o expl\xc3\xadcita  da primeira equa\xc3\xa7\xc3\xa3o existir, ser\xc3\xa1 solu\xc3\xa7\xc3\xa3o () da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o inversa. A equa\xc3\xa7\xc3\xa3o pode ser tamb\xc3\xa9m escrita na chamada forma diferencial._NEWLINE_Existem em geral muitas solu\xc3\xa7\xc3\xb5es de uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial de primeira ordem._NEWLINE_Dado um valor inicial  \xc3\xa9 poss\xc3\xadvel calcular a derivada  no ponto  (igual a  segundo a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial), e geralmente \xc3\xa9 poss\xc3\xadvel encontrar uma curva (curva integral) que passe pelo ponto  e com derivada igual a  em cada ponto. O problema de valores iniciais:_NEWLINE_consiste em encontrar a curva integral (ou curvas integrais) que passa pelo ponto\n_START_SECTION_\nExist\xc3\xaancia e unicidade da solu\xc3\xa7\xc3\xa3o\n_START_PARAGRAPH_\nAs condi\xc3\xa7\xc3\xb5es suficientes para a exist\xc3\xaancia de uma solu\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xbanica de uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial de primeira ordem s\xc3\xa3o definidas pelo teorema de Picard:\n_START_SECTION_\nTeorema de Picard\n_START_PARAGRAPH_\nConsidere o problema de valor inicial_NEWLINE_se a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o  e a derivada parcial de  em fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de  s\xc3\xa3o cont\xc3\xadnuas_NEWLINE_numa vizinhan\xc3\xa7a do ponto  existe uma solu\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xbanica  em_NEWLINE_certa vizinhan\xc3\xa7a do ponto  que verifica a condi\xc3\xa7\xc3\xa3o inicial _NEWLINE_O intervalo onde existe a solu\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xbanica pode ser maior ou menor que o intervalo onde a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o  e a sua derivada parcial  s\xc3\xa3o cont\xc3\xadnuas (o teorema n\xc3\xa3o permite determinar o tamanho do intervalo)._NEWLINE_As condi\xc3\xa7\xc3\xb5es do teorema de Picard s\xc3\xa3o condi\xc3\xa7\xc3\xb5es suficientes, mas n\xc3\xa3o necess\xc3\xa1rias para a exist\xc3\xaancia de solu\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xbanica. Quando  ou a sua derivada parcial  n\xc3\xa3o sejam cont\xc3\xadnuas, o teorema n\xc3\xa3o nos permite concluir nada: provavelmente existe solu\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xbanica apesar das duas condi\xc3\xa7\xc3\xb5es n\xc3\xa3o se verificarem._NEWLINE_Exemplo_NEWLINE_Demonstre que a rela\xc3\xa7\xc3\xa3o_NEWLINE_onde  \xc3\xa9 uma constante positiva, \xc3\xa9 solu\xc3\xa7\xc3\xa3o impl\xc3\xadcita da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o_NEWLINE_o que pode se concluir a partir do teorema de Picard?_NEWLINE_Resolu\xc3\xa7\xc3\xa3o_NEWLINE_a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o  e a sua deriavada parcial _NEWLINE_s\xc3\xa3o cont\xc3\xadnuas em quaisquer pontos fora do eixo dos  A solu\xc3\xa7\xc3\xa3o impl\xc3\xadcita dada conduz \xc3\xa0s solu\xc3\xa7\xc3\xb5es \xc3\xbanicas:_NEWLINE_no intervalo  O teorema de Picard nada permite concluir nos pontos  mas segundo o resultado obtido acima vemos que em cada ponto  existem duas solu\xc3\xa7\xc3\xb5es,  e\n_START_SECTION_\nM\xc3\xa9todos para resolu\xc3\xa7\xc3\xa3o de equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais\n_START_PARAGRAPH_\nExistem diferentes m\xc3\xa9todos para resolu\xc3\xa7\xc3\xa3o de equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais e aqui ser\xc3\xa3o apresentados alguns deles.\n_START_SECTION_\nVari\xc3\xa1veis separ\xc3\xa1veis\n_START_PARAGRAPH_\nEqua\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais com vari\xc3\xa1veis separ\xc3\xa1veis s\xc3\xa3o as mais simples de se resolver, utilizamos o seguinte m\xc3\xa9todo:\n_START_SECTION_\nSolu\xc3\xa7\xc3\xa3o por integra\xc3\xa7\xc3\xa3o\n_START_PARAGRAPH_\nConsidere a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial de primeira ordem  Quando f n\xc3\xa3o depende de y, isto \xc3\xa9  a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial  pode ser resolvida por integra\xc3\xa7\xc3\xa3o. Se g(x) \xc3\xa9 uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o cont\xc3\xadnua, ent\xc3\xa3o integrando ambos os lados teremos  em que G(x) \xc3\xa9 a antiderivada (integral indefinida) de g(x).\n_START_SECTION_\nDefini\xc3\xa7\xc3\xa3o\n_START_PARAGRAPH_\nO caso apresentado acima \xc3\xa9 um caso especial de quando f em  \xc3\xa9 um produto de uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de x por uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de y. A defini\xc3\xa7\xc3\xa3o de uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial de primeira ordem que \xc3\xa9 separ\xc3\xa1vel ou de vari\xc3\xa1veis separ\xc3\xa1veis \xc3\xa9  pois nesse caso podemos manipular a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o com o intuito de deixar as fun\xc3\xa7\xc3\xb5es que dependem da mesma vari\xc3\xa1vel do mesmo lado da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o e a partir da\xc3\xad usar o m\xc3\xa9todo da integra\xc3\xa7\xc3\xa3o de ambos os lados.\n_START_SECTION_\nExemplo 1: Resolvendo uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial separ\xc3\xa1vel\n_START_PARAGRAPH_\nResolva ._NEWLINE_Solu\xc3\xa7\xc3\xa3o: Dividindo por (1+x)y, podemos escrever , da qual segue_NEWLINE_Podemos escrever  como uma constante D e obtemos ._NEWLINE_Solu\xc3\xa7\xc3\xa3o alternativa: Uma vez que cada integral resulta em logaritmo, uma escolha judiciosa da constante de integra\xc3\xa7\xc3\xa3o  em vez de . Reescrevendo a segunda linha da solu\xc3\xa7\xc3\xa3o como , podemos combinar os termos no lado direito usando as propriedades de logaritmo. De  obtemos imediatamente . Mesmo que as integrais indefinidas n\xc3\xa3o sejam todas logaritmos, pode ainda ser vantajoso usar . Por\xc3\xa9m, nenhuma regra geral pode ser dada._NEWLINE_Nota: N\xc3\xa3o h\xc3\xa1 necessidade de usar duas constantes na integra\xc3\xa7\xc3\xa3o de uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o separ\xc3\xa1vel, pois se escrevermos , a diferen\xc3\xa7a entre  poder\xc3\xa1 ser substitu\xc3\xadda por uma \xc3\xbanica constante . Em v\xc3\xa1rias ocasi\xc3\xb5es renomearemos constantes, m\xc3\xbaltiplos de constantes ou combina\xc3\xa7\xc3\xb5es de constantes por uma \xc3\xbanica constante.\n_START_SECTION_\nExemplo 2: Resolvendo um problema de valor inicial\n_START_PARAGRAPH_\nResolva:  , sendo ._NEWLINE_Solu\xc3\xa7\xc3\xa3o: Dividindo a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o por  temos:_NEWLINE_Antes de integrar, usamos a divis\xc3\xa3o termo a termo, no lado esquerdo, e a identidade trigonom\xc3\xa9trica  no lado direito. Ent\xc3\xa3o da integra\xc3\xa7\xc3\xa3o por partes segue:_NEWLINE_A condi\xc3\xa7\xc3\xa3o inicial  quando  implica . Assim, a solu\xc3\xa7\xc3\xa3o do problema de valor inicial \xc3\xa9:_NEWLINE_.\n_START_SECTION_\nDefini\xc3\xa7\xc3\xa3o\n_START_PARAGRAPH_\nUma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial de primeira ordem \xc3\xa9 chamada equa\xc3\xa7\xc3\xa3o linear na vari\xc3\xa1vel dependente  se for da forma:_NEWLINE_Quando , a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o linear \xc3\xa9 chamada homog\xc3\xaanea; do contr\xc3\xa1rio, \xc3\xa9 n\xc3\xa3o homog\xc3\xaanea._NEWLINE_Dividimos ambos os lados da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o acima pelo coeficiente dominante , obtemos uma forma mais conveniente, a forma padr\xc3\xa3o de uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o linear, que segue_NEWLINE_Procuramos uma solu\xc3\xa7\xc3\xa3o dessa equa\xc3\xa7\xc3\xa3o em um intervalo  no qual as fun\xc3\xa7\xc3\xb5es  e  s\xc3\xa3o cont\xc3\xadnuas.\n_START_SECTION_\nPropriedade\n_START_PARAGRAPH_\nUma propriedade da ED \xc3\xa9 que a soma de duas solu\xc3\xa7\xc3\xb5es: , onde  \xc3\xa9 uma solu\xc3\xa7\xc3\xa3o da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o homog\xc3\xaanea correspondente_NEWLINE_e  \xc3\xa9 uma solu\xc3\xa7\xc3\xa3o particular para a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o n\xc3\xa3o homog\xc3\xaanea.\n_START_SECTION_\nExemplo 1: Resolvendo uma ED linear homog\xc3\xaanea.\n_START_PARAGRAPH_\nResolva _NEWLINE_Solu\xc3\xa7\xc3\xa3o: Essa equa\xc3\xa7\xc3\xa3o pode ser resolvida pelo m\xc3\xa9todo das separ\xc3\xa1veis. Alternativamente, uma vez que a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o j\xc3\xa1 est\xc3\xa1 na forma padr\xc3\xa3o, vemos que , e portanto, o fator integrante \xc3\xa9 . Multiplicamos a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o por esse fator e observamos que:_NEWLINE_ \xc3\xa9 o mesmo que _NEWLINE_Integrado ambos os lados da \xc3\xbaltima equa\xc3\xa7\xc3\xa3o, obtemos . Resolvendo para , obtemos a solu\xc3\xa7\xc3\xa3o expl\xc3\xadcita , .\n_START_SECTION_\nDefini\xc3\xa7\xc3\xa3o\n_START_PARAGRAPH_\nUma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial real ordin\xc3\xa1ria homog\xc3\xaanea linear a coeficientes constantes de ordem N \xc3\xa9 qualquer equa\xc3\xa7\xc3\xa3o da forma._NEWLINE_Sendo an coeficientes constantes reais e y uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o real dependente da vari\xc3\xa1vel real x. Agora, o novo m\xc3\xa9todo de solu\xc3\xa7\xc3\xa3o: se supormos y = b exp(p x), obtemos:_NEWLINE_O que nada mais \xc3\xa9 que um polin\xc3\xb4mio de grau N em fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de p. As ra\xc3\xadzes desse polin\xc3\xb4mio s\xc3\xa3o os valores de p que fazem a afirma\xc3\xa7\xc3\xa3o acima ser verdadeira, tal que a solu\xc3\xa7\xc3\xa3o geral da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial ser\xc3\xa1 uma combina\xc3\xa7\xc3\xa3o linear da solu\xc3\xa7\xc3\xa3o b exp(p x) utilizando todos os valores de b e p adequados, ou seja:_NEWLINE_Frequentemente, algumas dessas ra\xc3\xadzes s\xc3\xa3o complexas, tal que p = u + vi, com u e v reais. Pois bem,_NEWLINE_\xc3\x89 garantido por teorema que sempre que a solu\xc3\xa7\xc3\xa3o de uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial real resultar em uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o complexa, ambos o m\xc3\xb3dulo da parte real e o m\xc3\xb3dulo da parte complexa ser\xc3\xa3o solu\xc3\xa7\xc3\xb5es reais para a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o. Assim sendo, a solu\xc3\xa7\xc3\xa3o pode ser escrita de uma forma mais geral por:\n_START_SECTION_\nEqua\xc3\xa7\xc3\xb5es n\xc3\xa3o lineares\n_START_PARAGRAPH_\nExistem muitas equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais, especialmente n\xc3\xa3o lineares, que n\xc3\xa3o s\xc3\xa3o suscet\xc3\xadveis \xc3\xa0 solu\xc3\xa7\xc3\xa3o anal\xc3\xadtica de algum modo razoavelmente conveniente. M\xc3\xa9todos num\xc3\xa9ricos s\xc3\xa3o uma forma de tratar estas equa\xc3\xa7\xc3\xb5es. Uma outra abordagem poss\xc3\xadvel analisa o car\xc3\xa1ter geom\xc3\xa9trico e nos leva a uma compreens\xc3\xa3o qualitativa do comportamento das solu\xc3\xa7\xc3\xb5es,ao inv\xc3\xa9s de uma informa\xc3\xa7\xc3\xa3o quantitativa de forma detalhada. Considerando um sistema linear homog\xc3\xaaneo de segunda ordem com coeficientes constantes, ou seja, um sistema da forma , onde  \xc3\xa9 uma matriz 2x2 e  \xc3\xa9 um vetor 2x1, onde supomos que o determinante da matriz de coeficientes n\xc3\xa3o se anula. A an\xc3\xa1lise deste sistema \xc3\xa9 importante para a determina\xc3\xa7\xc3\xa3o dos autovalores da matriz de coeficientes, determinando assim o comportamento de solu\xc3\xa7\xc3\xb5es com seus respectivos autovetores, ou seja, os autovalores e autovetores fornecem uma forma de analisar o chamado plano de fase, que mostra o comportamento das solu\xc3\xa7\xc3\xb5es, de forma qualitativa (geom\xc3\xa9trica), em um plano ortogonal, sem necessariamente fornecer uma solu\xc3\xa7\xc3\xa3o anal\xc3\xadtica para o problema._NEWLINE_Existe tamb\xc3\xa9m o caso onde o sistema se comporta como n\xc3\xa3o linear, entretanto pr\xc3\xb3ximo aos pontos cr\xc3\xadticos comporta-se como aproximadamente linear. S\xc3\xa3o os chamados Sistemas Localmente Lineares. Vamos considerar, como um exemplo desta situa\xc3\xa7\xc3\xa3o, um sistema aut\xc3\xb4nomo bidimensional n\xc3\xa3o linear da forma . Nosso objetivo principal \xc3\xa9 investigar o comportamento das trajet\xc3\xb3rias deste sistema perto de um ponto cr\xc3\xadtico. Vamos considerar, primeiro, o que significa um sistema n\xc3\xa3o linear estar "pr\xc3\xb3ximo" de um sistema linear. Suponhamos ent\xc3\xa3o que , em que x=0 \xc3\xa9 um caso isolado do sistema. Isso significa que existe algum c\xc3\xadrculo em torno da origem para o qual n\xc3\xa3o existem outros pontos cr\xc3\xadticos. Suponhamos, tamb\xc3\xa9m, que o determinante da matriz de coeficientes n\xc3\xa3o se anula, de modo que x=0 tamb\xc3\xa9m \xc3\xa9 um ponto cr\xc3\xadtico isolado no sistema linear . Para que o sistema n\xc3\xa3o linear e o sistema linear anteriores estejam pr\xc3\xb3ximos, temos que supor que a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o  \xc3\xa9 pequena. Matematicamente, isso equivale a dizer que  quando , ou seja, o m\xc3\xb3dulo da fun\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa9 pequeno quando comparado com o m\xc3\xb3dulo de X em torno da origem. Este tipo de sistema \xc3\xa9 chamado de sistema localmente linear na vizinhan\xc3\xa7a do ponto cr\xc3\xadtico X=0.\n_START_SECTION_\nExemplo 3: Resolvendo equa\xc3\xa7\xc3\xb5es localmente lineares\n_START_PARAGRAPH_\nDetermine se o sistema  \xc3\xa9 localmente linear perto de uma vizinhan\xc3\xa7a em torno da origem._NEWLINE_Solu\xc3\xa7\xc3\xa3o: Neste problema, \xc3\xa9 conveniente fazermos uso de coordenadaspolares, com  e . Feito isso, temos que , quando . Analogamente, podemos mostrar que a segunda fun\xc3\xa7\xc3\xa3o tamb\xc3\xa9m tende a 0, sob a mesma an\xc3\xa1lise. Portanto, o sistema dado \xc3\xa9 localmente linear pr\xc3\xb3ximo \xc3\xa0 origem.\n_START_SECTION_\nSistemas de Equa\xc3\xa7\xc3\xb5es Diferenciais Ordin\xc3\xa1rias Lineares\n_START_PARAGRAPH_\nUm sistema de equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais ordin\xc3\xa1rias lineares \xc3\xa9 um sistema, por exemplo, da forma_NEWLINE_Sendo A, B, C e D constantes reais dadas, e x e y duas fun\xc3\xa7\xc3\xb5es inc\xc3\xb3gnitas dependentes de uma vari\xc3\xa1vel t. Este \xc3\xa9 o caso mais simples que pode ser chamado de sistema: o 2x2, com duas equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais dadas e duas fun\xc3\xa7\xc3\xb5es a serem determinadas. O sistema pode ser resolvido atrav\xc3\xa9s da seguinte sequ\xc3\xaancia de passos:_NEWLINE_1) Isole a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o x na segunda equa\xc3\xa7\xc3\xa3o, e derive os dois lados com respeito a t._NEWLINE_2) Substitua na primeira equa\xc3\xa7\xc3\xa3o._NEWLINE_3) Agora, temos uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial ordin\xc3\xa1ria linear de segunda ordem, que trata apenas da fun\xc3\xa7\xc3\xa3o y. Resolva-a._NEWLINE_Digamos que y = exp(rt) para algum r real:_NEWLINE_Substituindo na equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial:_NEWLINE_Um polin\xc3\xb4mio de segundo grau em fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de r, que ter\xc3\xa1 duas solu\xc3\xa7\xc3\xb5es dadas por_NEWLINE_A solu\xc3\xa7\xc3\xa3o geral para y ser\xc3\xa1, portanto, a combina\xc3\xa7\xc3\xa3o linear das duas solu\xc3\xa7\xc3\xb5es:_NEWLINE_Sendo U e V duas constantes reais arbitr\xc3\xa1rias. Isso tamb\xc3\xa9m pode ser escrito como:_NEWLINE_4) Agora, precisamos determinar a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o x. \xc2\xa0Substituindo y na primeira equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial do sistema:_NEWLINE_Multiplicando os dois lados por uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o arbitr\xc3\xa1ria de t:_NEWLINE_Isso pode ser imaginado como uma senten\xc3\xa7a da forma_NEWLINE_De forma que_NEWLINE_Integrando-se os dois lados:_NEWLINE_Sendo I e J constantes reais arbitr\xc3\xa1rias. Se I - J = K, temos_NEWLINE_Se H = exp(K). Substituindo no lado direito da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial em x, temos_NEWLINE_Assim, as duas fun\xc3\xa7\xc3\xb5es est\xc3\xa3o determinadas, e o sistema est\xc3\xa1 resolvido.\n_START_SECTION_\nDefini\xc3\xa7\xc3\xa3o\n_START_PARAGRAPH_\nUma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial parcial linear homog\xc3\xaanea de ordem M que depende de N vari\xc3\xa1veis independentes \xc3\xa9 uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o da forma:_NEWLINE_Sendo a(m,n) coeficientes constantes. O caso particular M = N = 1 e a(0,n) = 0 se reduz a uma express\xc3\xa3o do tipo:_NEWLINE_Se k = - a1/a0. Neste ponto, \xc3\xa9 aplicado o principal e mais simples m\xc3\xa9todo para resolu\xc3\xa7\xc3\xa3o deste tipo de equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial: o M\xc3\xa9todo da Separa\xc3\xa7\xc3\xa3o de Vari\xc3\xa1veis, que sup\xc3\xb5e que:_NEWLINE_Logo,_NEWLINE_Substituindo na equa\xc3\xa7\xc3\xa3o, temos:_NEWLINE_Sendo x0 e x1 vari\xc3\xa1veis independentes, ent\xc3\xa3o os problemas sobre f e g s\xc3\xa3o independentes, tal que:_NEWLINE_Ou, alternativamente,_NEWLINE_O teorema de exist\xc3\xaancia e unicidade nos garante que essas duas formas chegar\xc3\xa3o na mesma solu\xc3\xa7\xc3\xa3o, que \xc3\xa9 a \xc3\xbanica solu\xc3\xa7\xc3\xa3o verdadeira a menos de uma constante por equa\xc3\xa7\xc3\xa3o (o que prova que a hip\xc3\xb3tese inicial de que y = fg estava correta). Assim, o m\xc3\xa9todo transformou uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial parcial em duas equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais ordin\xc3\xa1rias de f\xc3\xa1cil resolu\xc3\xa7\xc3\xa3o, e a solu\xc3\xa7\xc3\xa3o do problema ser\xc3\xa1 o produto das solu\xc3\xa7\xc3\xb5es dessas duas equa\xc3\xa7\xc3\xb5es.'