b'\n_START_ARTICLE_\nProcesso Ornstein\xe2\x80\x93Uhlenbeck\n_START_PARAGRAPH_\nEm matem\xc3\xa1tica, mais precisamente em c\xc3\xa1lculo estoc\xc3\xa1stico,\xc2\xa0o processo Ornstein\xe2\x80\x93Uhlenbeck, que recebe este nome em homenagem aos f\xc3\xadsicos holandeses Leonard Ornstein e George Eugene Uhlenbeck, \xc3\xa9 um processo estoc\xc3\xa1stico que, grosso modo, descreve a velocidade de uma part\xc3\xadcula browniana sob a influ\xc3\xaancia do atrito, ou seja, uma part\xc3\xadcula com massa. O processo \xc3\xa9 um processo de Gauss\xe2\x80\x93Markov estacion\xc3\xa1rio, o que quer dizer que \xc3\xa9 tanto um processo de Gauss, quanto de Markov, sendo o \xc3\xbanico processo n\xc3\xa3o trivial que satisfaz estas tr\xc3\xaas condi\xc3\xa7\xc3\xb5es, permitindo transforma\xc3\xa7\xc3\xb5es lineares das vari\xc3\xa1veis do espa\xc3\xa7o e do tempo. Ao longo do tempo, o processo tende a derivar em dire\xc3\xa7\xc3\xa3o a sua m\xc3\xa9dia a longo prazo. Tal processo \xc3\xa9 chamado de revers\xc3\xa3o \xc3\xa0 m\xc3\xa9dia, comportamento comumente encontrando no movimentos de pre\xc3\xa7os de instrumentos do mercado financeiro._NEWLINE_O processo pode ser considerado uma modifica\xc3\xa7\xc3\xa3o do passeio aleat\xc3\xb3rio em tempo cont\xc3\xadnuo ou do processo de Wiener, em que as propriedades do processo foram mudadas de forma que h\xc3\xa1 uma tend\xc3\xaancia do passeio mover para tr\xc3\xa1s, rumo a uma loca\xc3\xa7\xc3\xa3o central, com maior atra\xc3\xa7\xc3\xa3o quando o processo est\xc3\xa1 mais distante do centro. O processo Ornstein\xe2\x80\x93Uhlenbeck pode ser considerado o an\xc3\xa1logo de tempo cont\xc3\xadnuo do processo auto-regressivo de tempo discreto.\n_START_SECTION_\nRepresenta\xc3\xa7\xc3\xa3o por equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial estoc\xc3\xa1stica\n_START_PARAGRAPH_\nUm processo Ornstein\xe2\x80\x93Uhlenbeck  satisfaz a seguinte equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial estoc\xc3\xa1stica:_NEWLINE_em que ,  e  s\xc3\xa3o par\xc3\xa2metros e  denota o processo de Wiener._NEWLINE_A representa\xc3\xa7\xc3\xa3o acima pode ser tomada como a defini\xc3\xa7\xc3\xa3o prim\xc3\xa1ria de um processo Ornstein\xe2\x80\x93Uhlenbeck ou tamb\xc3\xa9m mencionada como o modelo Vasicek.\n_START_SECTION_\nRepresenta\xc3\xa7\xc3\xa3o por equa\xc3\xa7\xc3\xa3o de Fokker\xe2\x80\x93Planck\n_START_PARAGRAPH_\nA fun\xc3\xa7\xc3\xa3o densidade de probabilidade  do processo de Ornstein\xe2\x80\x93Uhlenbeck satisfaz a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o de Fokker\xe2\x80\x93Planck:_NEWLINE_A fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de Green desta equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial parcial parab\xc3\xb3lica linear, em que  e a condi\xc3\xa7\xc3\xa3o inicial consiste em uma massa de ponto unit\xc3\xa1rio na loca\xc3\xa7\xc3\xa3o , \xc3\xa9:_NEWLINE_,_NEWLINE_que \xc3\xa9 uma distribui\xc3\xa7\xc3\xa3o gaussiana com m\xc3\xa9dia  e vari\xc3\xa2ncia ._NEWLINE_A solu\xc3\xa7\xc3\xa3o estacion\xc3\xa1ria desta equa\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa9 o limite para o tempo tendendo ao infinito que \xc3\xa9 uma distribui\xc3\xa7\xc3\xa3o gaussiana com m\xc3\xa9dia  e vari\xc3\xa2ncia :\n_START_SECTION_\nAplica\xc3\xa7\xc3\xa3o em ci\xc3\xaancias f\xc3\xadsicas\n_START_PARAGRAPH_\nO processo Ornstein\xe2\x80\x93Uhlenbeck \xc3\xa9 um prot\xc3\xb3tipo de um processo de relaxa\xc3\xa7\xc3\xa3o ruidoso. Considere por exemplo uma mola de Hooke com constante de mola  cuja din\xc3\xa2mica \xc3\xa9 altamente superamortecida com coeficiente de fric\xc3\xa7\xc3\xa3o . Na presen\xc3\xa7a de flutua\xc3\xa7\xc3\xb5es t\xc3\xa9rmicas com temperatura , o comprimento  da mola flutuar\xc3\xa1 estocasticamente em torno do comprimento de repouso da mola . Sua din\xc3\xa2mica estoc\xc3\xa1stica \xc3\xa9 descrita por um processo de Ornstein\xe2\x80\x93Uhlenbeck com:_NEWLINE_em que  deriva da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o de Stokes\xe2\x80\x93Einstein  para a constante de difus\xc3\xa3o efetiva._NEWLINE_Em ci\xc3\xaancias f\xc3\xadsicas, a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial estoc\xc3\xa1stica de um processo Ornstein\xe2\x80\x93Uhlenback \xc3\xa9 reescrita como uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o de Langevin:_NEWLINE_em que  \xc3\xa9 um ru\xc3\xaddo gaussiano branco com . As flutua\xc3\xa7\xc3\xb5es s\xc3\xa3o correlacionadas como: _NEWLINE_com tempo de correla\xc3\xa7\xc3\xa3o ._NEWLINE_Em equil\xc3\xadbrio, a mola armazena uma energia m\xc3\xa9dia  de acordo com o teorema da equiparti\xc3\xa7\xc3\xa3o.\n_START_SECTION_\nAplica\xc3\xa7\xc3\xa3o em matem\xc3\xa1tica financeira\n_START_PARAGRAPH_\nO processo Ornstein\xe2\x80\x93Uhlenbeck \xc3\xa9 uma das v\xc3\xa1rias abordagens usada para modelar (com modifica\xc3\xa7\xc3\xb5es) taxas de juro, taxas de c\xc3\xa2mbio e pre\xc3\xa7os de commodities estocasticamente. O par\xc3\xa2metro  representa o equil\xc3\xadbrio ou o valor m\xc3\xa9dio apoiado pelos fundamentos, sendo  o grau de volatilidade em torno dele causado por choques e  a taxa pela qual estes choques se dissipam e a vari\xc3\xa1vel reverte \xc3\xa0 m\xc3\xa9dia. Uma aplica\xc3\xa7\xc3\xa3o do processo \xc3\xa9 a estrat\xc3\xa9gia de com\xc3\xa9rcio conhecida como long and short.\n_START_SECTION_\nPropriedades matem\xc3\xa1ticas\n_START_PARAGRAPH_\nO processo Ornstein\xe2\x80\x93Uhlenbeck \xc3\xa9 um exemplo de processo gaussiano que tem uma vari\xc3\xa2ncia limitada e admite uma distribui\xc3\xa7\xc3\xa3o de probabilidade estacion\xc3\xa1ria. Em rela\xc3\xa7\xc3\xa3o ao processo de Wiener, tem um termo de "deriva" diferente. Para o processo de Wiener, o termo de deriva \xc3\xa9 constante, enquanto, no processo Ornstein\xe2\x80\x93Uhlenbeck, o termo de deriva \xc3\xa9 dependente do valor corrente do processo. Se o valor corrente do processo for menor do que a m\xc3\xa9dia (a longo prazo), a deriva ser\xc3\xa1 positiva. Se o valor corrente do processo for maior do que a m\xc3\xa9dia (a longo prazo), a deriva ser\xc3\xa1 negativa. Em outras palavras, a m\xc3\xa9dia age como um n\xc3\xadvel de equil\xc3\xadbrio para o processo. Isto d\xc3\xa1 ao processo seu nome informativo de "revers\xc3\xa3o \xc3\xa0 m\xc3\xa9dia". A vari\xc3\xa2ncia estacion\xc3\xa1ria (a longo prazo) \xc3\xa9 dada por:_NEWLINE_O processo Ornstein\xe2\x80\x93Uhlenbeck \xc3\xa9 o an\xc3\xa1logo de tempo cont\xc3\xadnuo do processo auto-regressivo de tempo discreto._NEWLINE_A distribui\xc3\xa7\xc3\xa3o assint\xc3\xb3tica da m\xc3\xa1xima verossimilhan\xc3\xa7a do processo Ornstein\xe2\x80\x93Uhlenbeck \xc3\xa9:\n_START_SECTION_\nSolu\xc3\xa7\xc3\xa3o\n_START_PARAGRAPH_\nEsta equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial estoc\xc3\xa1stica \xc3\xa9 resolvida pela varia\xc3\xa7\xc3\xa3o de par\xc3\xa2metros. Mudando a vari\xc3\xa1vel_NEWLINE_temos_NEWLINE_Integrando de 0 a , temos_NEWLINE_em que vemos\n_START_SECTION_\nF\xc3\xb3rmulas para momentos de processos estacion\xc3\xa1rios\n_START_PARAGRAPH_\nA partir desta representa\xc3\xa7\xc3\xa3o, o primeiro momento \xc3\xa9 dado por (assumindo que  \xc3\xa9 uma constante)_NEWLINE_A isometria de It\xc5\x8d pode ser usada para calcular a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o covari\xc3\xa2ncia por\n_START_SECTION_\nRepresenta\xc3\xa7\xc3\xa3o alternativa para processos n\xc3\xa3o estacion\xc3\xa1rios\n_START_PARAGRAPH_\nTamb\xc3\xa9m \xc3\xa9 poss\xc3\xadvel (e frequentemente conveniente) representar  (incondicionalmente, isto \xc3\xa9, conforme ) como um processo de Wiener escalonado de tempo transformado:_NEWLINE_ou condicionamente (dado ) como_NEWLINE_A integral do tempo deste processo pode ser usada para gerar ru\xc3\xaddo como um espectro de pot\xc3\xaancia .\n_START_SECTION_\nInterpreta\xc3\xa7\xc3\xa3o do limite de escalonamento\n_START_PARAGRAPH_\nO processo Ornstein\xe2\x80\x93Uhlenbeck pode ser interpretado como um limite de escalonamento de um processo discreto, da mesma forma que o movimento browniano \xc3\xa9 um limite de escalonamento de passeios aleat\xc3\xb3rios. Considere uma urna que cont\xc3\xa9m  bolas azuis e amarelas. A cada passo, uma bola \xc3\xa9 escolhida aleatoriamente e reposta por uma bola da cor oposta. Considere  o n\xc3\xbamero de bolas azuis na urna depois de  passos. Ent\xc3\xa3o,  converge em lei a um processo Ornstein\xe2\x80\x93Uhlenbeck conforme  tende ao infinito.\n_START_SECTION_\nGeneraliza\xc3\xa7\xc3\xb5es\n_START_PARAGRAPH_\n\xc3\x89 poss\xc3\xadvel estender os processos Ornstein\xe2\x80\x93Uhlenbeck a processos em que o plano de fundo conduzindo o processo \xc3\xa9 um processo L\xc3\xa9vy (em vez de um movimento browniano simples). Estes processos foram estudados pelo estat\xc3\xadstico dinamarqu\xc3\xaas Ole Barndorff-Nielsen e pelo econometrista brit\xc3\xa2nico Neil Shephard._NEWLINE_Adicionalmente, em finan\xc3\xa7as, os processos estoc\xc3\xa1sticos s\xc3\xa3o usados quando a volatilidade aumenta para valores maiores de . Em particular, o processo de Chan\xe2\x80\x93Karolyi\xe2\x80\x93Longstaff\xe2\x80\x93Sanders com o termo de volatilidade substitu\xc3\xaddo por  pode ser resolvido em forma fechada para  ou1, assim como para , que corresponde ao processo Ornstein\xe2\x80\x93Uhlenbeck convencional.'