b'\n_START_ARTICLE_\nD\xc3\xa9cimo problema de Hilbert\n_START_SECTION_\nOutros resultados\n_START_PARAGRAPH_\nPodemos falar do grau no conjunto diofantino como sendo o menor grau de um polin\xc3\xb4mio numa equa\xc3\xa7\xc3\xa3o que define o conjunto. Da mesma forma, podemos chamar a dimens\xc3\xa3o de tal conjunto o menor n\xc3\xbamero de inc\xc3\xb3gnitas em uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o. Devido \xc3\xa0 exist\xc3\xaancia de uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o universal diofantina, \xc3\xa9 evidente que existem limites superiores absolutos para ambas estas quantidades, e tem havido muito interesse em determinar esses limites._NEWLINE_J\xc3\xa1 na d\xc3\xa9cada de 1920 Thoralf Skolem mostrou que qualquer equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diofantina \xc3\xa9 equivalente a uma de grau 4 ou menos. O truque consistia em introduzir novas inc\xc3\xb3gnitas por equa\xc3\xa7\xc3\xb5es fixando-lhes valores igual ao quadrado de uma inc\xc3\xb3gnita ou o produto de duas inc\xc3\xb3gnitas. A repeti\xc3\xa7\xc3\xa3o deste processo resulta em um sistema de equa\xc3\xa7\xc3\xb5es de segundo grau e, depois, uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o de grau 4 \xc3\xa9 obtida pela soma dos quadrados. Assim, cada conjunto diofantino \xc3\xa9 trivialmente de grau 4 ou menos. N\xc3\xa3o se sabe se este resultado \xc3\xa9 o melhor poss\xc3\xadvel._NEWLINE_Julia Robinson e Yuri Matiyasevich mostraram que todo conjunto diofantino tem dimens\xc3\xa3o n\xc3\xa3o superior a 13. Mais tarde, Matiyasevich aperfei\xc3\xa7oou seus m\xc3\xa9todos para mostrar que 9 inc\xc3\xb3gnitas s\xc3\xa3o suficientes. Embora este resultado possa n\xc3\xa3o ser o melhor poss\xc3\xadvel, n\xc3\xa3o houve progresso. Assim, n\xc3\xa3o h\xc3\xa1 nenhum algoritmo para testar equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diofantinas com 9 ou menos inc\xc3\xb3gnitas de solubilidade em n\xc3\xbameros naturais. Para o caso de ra\xc3\xadzes inteiras (conforme Hilbert tinha originalmente colocado), o truque dos 4 quadrados mostra que n\xc3\xa3o h\xc3\xa1 algoritmo para equa\xc3\xa7\xc3\xb5es com n\xc3\xa3o mais do que 36 inc\xc3\xb3gnitas. Mas Zhi Wei Sun mostrou que o problema \xc3\xa9 insol\xc3\xbavel para inteiros mesmo para equa\xc3\xa7\xc3\xb5es com n\xc3\xa3o mais de 11 inc\xc3\xb3gnitas._NEWLINE_Martin Davis estudou quest\xc3\xb5es algor\xc3\xadtmicas envolvendo o n\xc3\xbamero de solu\xc3\xa7\xc3\xb5es de uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diofantina. O d\xc3\xa9cimo problema de Hilbert pergunta se sim ou n\xc3\xa3o o n\xc3\xbamero \xc3\xa9 0. Supomos um subconjunto n\xc3\xa3o vazio adequado. Davis provou que n\xc3\xa3o existe algoritmo para testar uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diofantina para determinar se o n\xc3\xbamero de suas solu\xc3\xa7\xc3\xb5es \xc3\xa9 um membro do conjunto. Assim, n\xc3\xa3o h\xc3\xa1 algoritmo para determinar se o n\xc3\xbamero de solu\xc3\xa7\xc3\xb5es de uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diofantina \xc3\xa9 finito, \xc3\xadmpar, um quadrado perfeito, um n\xc3\xbamero primo, etc.'