b'\n_START_ARTICLE_\nEspa\xc3\xa7o vetorial\n_START_SECTION_\nIntrodu\xc3\xa7\xc3\xa3o e defini\xc3\xa7\xc3\xa3o\n_START_PARAGRAPH_\nO conceito de espa\xc3\xa7o vetorial ser\xc3\xa1 primeiramente explicado pela descri\xc3\xa7\xc3\xa3o de dois exemplos espec\xc3\xadficos:\n_START_SECTION_\nFormula\xc3\xa7\xc3\xb5es alternativas e consequ\xc3\xaancias elementares\n_START_PARAGRAPH_\nA adi\xc3\xa7\xc3\xa3o de vetores e a multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o por escalar s\xc3\xa3o opera\xc3\xa7\xc3\xb5es que satisfazem a propriedade de fechamento:  u + v e av pertencem a V para todo a em K, e u, v em V. Algumas refer\xc3\xaancias mais antigas mencionam essas propriedades como axiomas separados._NEWLINE_No linguajar da \xc3\xa1lgebra abstrata, os primeiros quatro axiomas s\xc3\xa3o equivalentes a requerer que o conjunto de vetores seja um grupo abeliano sob adi\xc3\xa7\xc3\xa3o. Os axiomas restantes d\xc3\xa3o a esse m\xc3\xb3dulo sobre K estrutura. Em outras palavras, existe um homomorfismo de an\xc3\xa9is f do corpo K para o anel de endomorfismo do grupo de vetores. A multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o por escalar av \xc3\xa9 ent\xc3\xa3o definida como (f(a))(v). _NEWLINE_H\xc3\xa1 v\xc3\xa1rias outras consequ\xc3\xaancias diretas dos axiomas de espa\xc3\xa7o vetorial. Algumas delas s\xc3\xa3o derivadas teoria dos grupos elementar, aplicada ao grupo aditivo de vetores: por exemplo, o vetor nulo 0 de V e o inverso aditivo \xe2\x88\x92v de um vetor v s\xc3\xa3o \xc3\xbanicos. Outras propriedades seguem ao empregar tamb\xc3\xa9m a lei de distributividade da multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o por escalar; por exemplo, av \xc3\xa9 igual a 0 se e somente se a \xc3\xa9 igual a 0 ou v \xc3\xa9 igual a 0.\n_START_SECTION_\nEspa\xc3\xa7o do vetor nulo\n_START_PARAGRAPH_\nSeja  formado por um \xc3\xbanico elemento  Ent\xc3\xa3o, definindo-se  e  para todo elemento  de um corpo  temos que  \xc3\xa9 um espa\xc3\xa7o vetorial com  como corpo de escalares. Obviamente, como  \xc3\xa9 o elemento neutro de  isto \xc3\xa9,  este espa\xc3\xa7o vetorial \xc3\xa9 representado por\n_START_SECTION_\nN\xc3\xbameros complexos e outras extens\xc3\xb5es de corpos\n_START_PARAGRAPH_\nO conjunto de n\xc3\xbameros complexos C (isto \xc3\xa9, n\xc3\xbameros que podem ser escritos na forma x + iy, para n\xc3\xbameros reais x e y, em que i \xc3\xa9 a unidade imagin\xc3\xa1ria) formam um espa\xc3\xa7o vetorial sobre os reais com a adi\xc3\xa7\xc3\xa3o e a multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o definidas usualmente: (x + iy) + (a + ib) = (x + a) + i(y + b) e c \xe2\x8b\x85 (x + iy) = (c \xe2\x8b\x85 x) + i(c \xe2\x8b\x85 y) para n\xc3\xbameros reais x, y, a, b e c. Os v\xc3\xa1rios axiomas de um espa\xc3\xa7o vetorial seguem do fato de que as mesmas regras se mant\xc3\xaam para a aritm\xc3\xa9tica dos n\xc3\xbameros complexos._NEWLINE_De fato, o exemplo dos n\xc3\xbameros complexos \xc3\xa9 essencialmente o mesmo (isto \xc3\xa9, \xc3\xa9 isom\xc3\xb3rfico) ao espa\xc3\xa7o vetorial de pares ordenados de n\xc3\xbameros reais mencionado acima: se pensarmos no n\xc3\xbamero complexo x + i y como uma representa\xc3\xa7\xc3\xa3o do par ordenado (x, y) no plano complexo, ent\xc3\xa3o percebe-se que as regras de soma e multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o de escalares correspondem exatamente ao exemplo anterior._NEWLINE_De modo mais geral, extens\xc3\xb5es de corpo fornecem uma outra classe de exemplos de espa\xc3\xa7os vetoriais, particularmente em \xc3\xa1lgebras e em teoria alg\xc3\xa9brica dos n\xc3\xbameros: um corpo K que cont\xc3\xa9m um corpo menor E \xc3\xa9 um espa\xc3\xa7o vetorial em E, pelas mesmas opera\xc3\xa7\xc3\xb5es de adi\xc3\xa7\xc3\xa3o e multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o definidas para K. Por exemplo, os n\xc3\xbameros complexos s\xc3\xa3o um espa\xc3\xa7o vetorial sobre R, e a extens\xc3\xa3o de corpo  \xc3\xa9 um espa\xc3\xa7o vetorial sobre Q.'