b'\n_START_ARTICLE_\nFen\xc3\xb4meno de Gibbs\n_START_PARAGRAPH_\nEm matem\xc3\xa1tica, o fen\xc3\xb4meno de Gibbs, descoberto por Henry Wilbraham e redescoberto por J. Willard Gibbs, \xc3\xa9 a forma peculiar que as s\xc3\xa9ries de Fourier de fun\xc3\xa7\xc3\xb5es peri\xc3\xb3dicas de partes continuamente diferenci\xc3\xa1veis tomam em pontos de descontinuidade de salto. A n-\xc3\xa9sima soma parcial da s\xc3\xa9rie de Fourier oscila bastante perto do salto, o que pode fazer aumentar o valor m\xc3\xa1ximo da soma parcial acima do valor da pr\xc3\xb3pria fun\xc3\xa7\xc3\xa3o original.  Esse tipo de comportamento j\xc3\xa1 tinha sido observado por f\xc3\xadsicos experimentais, mas acreditava-se que devia-se a imperfei\xc3\xa7\xc3\xb5es nos aparelhos de medi\xc3\xa7\xc3\xa3o._NEWLINE_Ao fazer uma converg\xc3\xaancia das somas parciais finitas da S\xc3\xa9rie de Fourier de uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o encontra-se oscila\xc3\xa7\xc3\xb5es cujas amplitudes n\xc3\xa3o convergem para zero. Isso se d\xc3\xa1 em raz\xc3\xa3o da dificuldade de aproximar fun\xc3\xa7\xc3\xb5es descont\xc3\xadnuas a finitas s\xc3\xa9ries de ondas senos e cossenos.\n_START_SECTION_\nDescri\xc3\xa7\xc3\xa3o\n_START_PARAGRAPH_\nO fen\xc3\xb4meno de Gibbs ocorre quando representa-se uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o por S\xc3\xa9rie de Fourier, a qual possui um n\xc3\xbamero finito de descontinuidades em seu per\xc3\xadodo. Tal fen\xc3\xb4meno envolve o fato de que ocorre uma ultrapassagem nos saltos dessas descontinuidades n\xc3\xa3o desaparecem a medida que ocorre a adi\xc3\xa7\xc3\xa3o de mais termos na soma parcial.Como pode ser visto nas representa\xc3\xa7\xc3\xb5es a direita, conforme o n\xc3\xbamero de termos aumenta, o erro da aproxima\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa9 reduzido em largura e energia, contudo converge para uma altura fixa._NEWLINE_As tr\xc3\xaas fotos na direita demonstram o fen\xc3\xb4meno de Gibbs para o tipo de onda quadrada (no caso de altura ), as quais possuem expans\xc3\xa3o:_NEWLINE_Mais precisamente, esta onda quadrada tem salto de descontinuidade de tamanho  para cada n\xc3\xbamero inteiro m\xc3\xbaltiplo de ._NEWLINE_Pode ser calculado uma formula explicita para o erro da altura limite da onda quadrada. Obt\xc3\xa9m-se assim que a S\xc3\xa9rie de Fourier excede a altura de \xc2\xa0da onda por:_NEWLINE_Ou aproximadamente 9% do salto. Mais especificamente, em qualquer salto de uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o por partes continuamente diferenci\xc3\xa1vel com um salto de altura \xce\xb1, a n-\xc3\xa9sima\xc2\xa0 s\xc3\xa9rie de Fourier parcial vai ultrapassar esta altura por aproximadamente:_NEWLINE_No local de descontinuidade, a S\xc3\xa9rie de Fourier parcial vai convergir para o ponto mediano do salto (independentemente do valor original da fun\xc3\xa7\xc3\xa3o neste ponto). Ou seja, atrav\xc3\xa9s da defini\xc3\xa7\xc3\xa3o que a oscila\xc3\xa7\xc3\xa3o da soma parcial de ordem n no ponto  como:_NEWLINE_Gibbs foi capaz de observar que o valor desta oscila\xc3\xa7\xc3\xa3o n\xc3\xa3o se aproxima do salto de  no ponto , independente do grau de proximidade de  com ._NEWLINE_Na verdade, a soma parcial da s\xc3\xa9rie de Fourier ultrapassa o valor limite da fun\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa0 direita e tem valor menor do que a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o. Esta \xc3\xa9 uma forma natural de compensar o salto que a soma parcial realizar\xc3\xa1.\n_START_SECTION_\nHist\xc3\xb3ria\n_START_PARAGRAPH_\nO Fen\xc3\xb4meno de Gibbs foi notado e analisado pela primeira vez por Henry Wilbraham em um artigo de 1848. O artigo n\xc3\xa3o chamou muita aten\xc3\xa7\xc3\xa3o at\xc3\xa9 1914 quando foi mencionado em um estudo de Heinrich Burkhardt sobre an\xc3\xa1lise matem\xc3\xa1tica na enciclop\xc3\xa9dia de Klein. Em 1898, Albert A. Michelson desenvolveu um dispositivo que computava e ressintetizava a s\xc3\xa9rie de Fourier. H\xc3\xa1 um mito que diz que quando eram colocados os coeficientes da Fourier para uma onda quadrada na m\xc3\xa1quina, o gr\xc3\xa1fico oscilava nas descontinuidades e isso ocorria pois ele era um dispositivo f\xc3\xadsico sujeito a erros de confec\xc3\xa7\xc3\xa3o. De fato os gr\xc3\xa1ficos produzidos pela m\xc3\xa1quina n\xc3\xa3o eram bons o suficiente para exibir o Fen\xc3\xb4meno de Gibbs claramente, e Michelson pode n\xc3\xa3o ter percebido isto, uma vez que ele n\xc3\xa3o mencionou sobre esse efeito em seu artigo (Michelson & Stratton 1898) sobre sua m\xc3\xa1quina ou em suas cartas \xc3\xa0 revista Nature. Inspirado em uma correspond\xc3\xaancia da Nature entre Michelson e Love sobre a converg\xc3\xaancia da s\xc3\xa9rie de Fourier da func\xc3\xa3o da onda quadrada, em 1898 J. Willard Gibbs publicou uma pequena nota na qual ele considerou o que hoje se chama onda dente de serra e apontou a importante distin\xc3\xa7\xc3\xa3o entre o limite do gr\xc3\xa1ficos das somas parciais da s\xc3\xa9rie de Fourier e o gr\xc3\xa1fico da fun\xc3\xa7\xc3\xa3o que \xc3\xa9 o limite dessas somas parciais. Na sua primeira carta, Gibbs n\xc3\xa3o percebeu o Fen\xc3\xb4meno de Gibbs, e o limite que ele descreveu para os gr\xc3\xa1ficos das somas parciais era impreciso. Em 1899, ele publicou uma corre\xc3\xa7\xc3\xa3o na qual ele descreveu a ultrapassagem do ponto de descontinuidade (Nature: Abril 27, 1899, p. 606). Em 1906, Maxime B\xc3\xb4cher forneceu uma an\xc3\xa1lise matem\xc3\xa1tica detalhada sobre essa ultrapassagem, criando o termo "Fen\xc3\xb4meno de Gibbs" e tornando ele popular._NEWLINE_Depois que a exist\xc3\xaancia do artigo de Henry Wilbraham se tornou conhecida, em 1925 Horatio Scott Carslaw comentou "N\xc3\xb3s podemos ainda chamar essa propriedade da s\xc3\xa9rie de Fourier (e de certas outras s\xc3\xa9ries) de Fen\xc3\xb4meno de Gibbs, por\xc3\xa9m n\xc3\xb3s n\xc3\xa3o podemos mais declarar que essa propriedade foi primeiramente descoberta por Gibbs".\n_START_SECTION_\nExplica\xc3\xa7\xc3\xa3o\n_START_PARAGRAPH_\nInformalmente, o fen\xc3\xb4meno de Gibbs reflete a dificuldade inerente a aproxima\xc3\xa7\xc3\xa3o uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o descont\xc3\xadnua por uma s\xc3\xa9rie finita de senos e cossenos cont\xc3\xadnuos. \xc3\x89 importante botar um \xc3\xaanfase na palavra finito porque apesar de toda soma parcial da s\xc3\xa9rie de Fourier ultrapassa a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o que est\xc3\xa1 aproximando, o limite da soma parcial n\xc3\xa3o ultrapassa. O valor de x para a qual a maior ultrapassagem \xc3\xa9 alcan\xc3\xa7ada move-se cada vez mais perto da descontinuidade conforme aumentam o n\xc3\xbamero de termos somados, portanto mais uma vez informalmente, uma vez que a ultrapassagem foi passada por um valor de x particular, a converg\xc3\xaancia para tal valor se torna poss\xc3\xadvel._NEWLINE_Para uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o por partes a s\xc3\xa9rie de Fourier converge para a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o em todos os pontos exceto em um salto de descontinuidade. Nos pr\xc3\xb3prios saltos de descontinuidades, para a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o por partes, ira convergir para a m\xc3\xa9dia aritm\xc3\xa9tica dos limites laterais da fun\xc3\xa7\xc3\xa3o original. Isto \xc3\xa9 uma consequ\xc3\xaancia do teorema de Dirichlet._NEWLINE_O fen\xc3\xb4meno de Gibbs tamb\xc3\xa9m pode ser relacionado ao princ\xc3\xadpio o qual os decaimentos dos coeficientes de Fourier de uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o no infinito s\xc3\xa3o controlados pela suavidade da fun\xc3\xa7\xc3\xa3o em quest\xc3\xa3o; fun\xc3\xa7\xc3\xb5es muito suaves v\xc3\xa3o ter ou decaimento mais abrupto dos coeficientes de Fourier (resultando em uma r\xc3\xa1pida converg\xc3\xaancia da s\xc3\xa9rie de Fourier), enquanto que uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o descontinua vai ter um decaimento muito mais retardado dos coeficientes de Fourier (causando uma lenta converg\xc3\xaancia \xc3\xa0 s\xc3\xa9rie de Fourier). Note por exemplo que os coeficientes de Fourier 1, -1/3, 1/5 ... da onda quadrada descontinua, ilustrada acima, decai t\xc3\xa3o r\xc3\xa1pido quanto as s\xc3\xa9ries harm\xc3\xb4nicas, as quais n\xc3\xa3o s\xc3\xa3o absolutamente convergentes; de fato, a s\xc3\xa9rie de Fourier acima se mostra ser somente condicionalmente convergente para quase todo valor de x. Isso fornece uma explica\xc3\xa7\xc3\xa3o parcial para o fen\xc3\xb4meno de Gibbs, j\xc3\xa1 que a s\xc3\xa9rie de Fourier com coeficientes de Fourier absolutamente convergentes seria uniformemente convergente pelo teste M de Weierstrass e seria portanto, incapaz de apresentar o comportamento oscilat\xc3\xb3rio exibido acima. Pela mesma raz\xc3\xa3o, \xc3\xa9 imposs\xc3\xadvel para fun\xc3\xa7\xc3\xb5es descontinuas terem uma converg\xc3\xaancia absoluta de seus coeficientes de Fourier, uma vez que a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o seria o limite uniforme de fun\xc3\xa7\xc3\xb5es continuas e portanto seria continua, o que \xc3\xa9 uma contradi\xc3\xa7\xc3\xa3o.\n_START_SECTION_\nTratamento\n_START_PARAGRAPH_\nEm pr\xc3\xa1tica, as dificuldades associadas com o fen\xc3\xb4meno de Gibbs podem ser melhoradas pelo uso do m\xc3\xa9todo de suaviza\xc3\xa7\xc3\xa3o da s\xc3\xa9rie de Fourier, assim como soma de Fej\xc3\xa9r ou a soma de Riesz, ou pelo uso de aproxima\xc3\xa7\xc3\xb5es sigma. Usando a transformada continua de wavelet, o fen\xc3\xb4meno wavelet Gibbs nunca excede o fen\xc3\xb4meno de Gibbs. Tamb\xc3\xa9m, usando a transformada discreta de wavelet com fun\xc3\xa7\xc3\xb5es bases de Haar, realmente, o fen\xc3\xb4meno de Gibbs n\xc3\xa3o ocorre no caso de dados cont\xc3\xadnuos em um salto de descontinuidade, e \xc3\xa9 m\xc3\xadnimo no caso discreto com grandes mudan\xc3\xa7as de pontos. Na an\xc3\xa1lise de wavelet, isto \xc3\xa9 comumente referido como o fen\xc3\xb4meno de Longo.\n_START_SECTION_\nConsequ\xc3\xaancias\n_START_PARAGRAPH_\nEm processamento de sinais, o fen\xc3\xb4meno de Gibbs \xc3\xa9 indesej\xc3\xa1vel por causar erro na leitura do sinal pelo equipamento, seja por clipping para o caso do erro atribu\xc3\xaddo aos picos do fen\xc3\xb4meno, ou por ringing artifacts para as oscila\xc3\xa7\xc3\xb5es. Para circuitos que operam em baixas frequ\xc3\xaancias, os efeitos do fen\xc3\xb4meno podem ser reduzidos ou mesmo eliminados por meio de filtros passa-baixa._NEWLINE_Em imagens de resson\xc3\xa2ncia magn\xc3\xa9tica (IRM), o fen\xc3\xb4meno de Gibbs causa artefato, erro de medi\xc3\xa7\xc3\xa3o gerado pela inefici\xc3\xaancia dos aparelhos empregados ou pela inefic\xc3\xa1cia do m\xc3\xa9todo utilizado, na presen\xc3\xa7a de regi\xc3\xb5es adjacentes com acentuada diferen\xc3\xa7a de sinal. Esse fen\xc3\xb4meno \xc3\xa9 comumente encontrado em resson\xc3\xa2ncias magn\xc3\xa9ticas que cobrem a regi\xc3\xa3o espinhal, em que o fen\xc3\xb4meno de Gibbs pode simular a apar\xc3\xaancia de siringomielia.'