b'\n_START_ARTICLE_\nN\xc3\xbamero pentagonal\n_START_PARAGRAPH_\nUm n\xc3\xbamero pentagonal \xc3\xa9 um  n\xc3\xbamero poligonal que \xc3\xa9 uma extens\xc3\xa3o do conceito de  n\xc3\xbameros triangulares e n\xc3\xbameros quadrados para o pent\xc3\xa1gono, mas, diferentemente desses outros dois, o processso que envolve a constru\xc3\xa7\xc3\xa3o dos n\xc3\xbameros pentagonais n\xc3\xa3o \xc3\xa9 uma simetria rotacional. O n-\xc3\xa9simo n\xc3\xbamero pentagonl p\xe2\x82\x99 \xc3\xa9 a quantidade de pontos distintos num padr\xc3\xa3o de pontos que consistem dos  contornos  de pent\xc3\xa1gonos regulares com os lados at\xc3\xa9 n pontos, onde os pent\xc3\xa1gonos s\xc3\xa3o sobrepostos de modo que eles compartilhem um v\xc3\xa9rtice._NEWLINE_p\xe2\x82\x99 \xc3\xa9 dado pela seguinte f\xc3\xb3rmula:_NEWLINE_ n \xe2\x89\xa5 1. Os primeiros n\xc3\xbameros pentagonais s\xc3\xa3o:_NEWLINE_1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001 (sequ\xc3\xaancia A000326 na OEIS)._NEWLINE_O n-\xc3\xa9simo n\xc3\xbamero pentagonal \xc3\xa9 um ter\xc3\xa7o do 3n-1-\xc3\xa9simo n\xc3\xbamero triangular._NEWLINE_N\xc3\xbameros pentagonais generalizados s\xc3\xa3o obtidos a partir da f\xc3\xb3rmula citada acima, mas com n tomando valores da sequ\xc3\xaancia 0, 1, \xe2\x88\x921, 2, \xe2\x88\x922, 3, \xe2\x88\x923, 4..., produzindo:_NEWLINE_0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (sequ\xc3\xaancia A001318 na OEIS)._NEWLINE_N\xc3\xbameros pentagonais generalizados s\xc3\xa3o importantes para a Teoria de parti\xc3\xa7\xc3\xb5es de Euler, como pode ser exemplificado no Teorema do N\xc3\xbamero Pentagonal.\n_START_SECTION_\nTestes para n\xc3\xbameros pentagonais\n_START_PARAGRAPH_\nUm dos modos mais simples de verificar se um determinado n\xc3\xbamero natural positivo x \xc3\xa9 um n\xc3\xbamero pentagonal \xc3\xa9 a partir do c\xc3\xa1lculo de_NEWLINE_O n\xc3\xbamero x \xc3\xa9 pentagonal se, e somente se , ou seja, \xc3\xa9 um n\xc3\xbamero natural. Neste caso, dizemos que x \xc3\xa9 o n-\xc3\xa9simo n\xc3\xbamero pentagonal.\n_START_SECTION_\nN\xc3\xbameros pentagonais quadrados\n_START_PARAGRAPH_\nUm n\xc3\xbamero pentagonal quadrado \xc3\xa9 um n\xc3\xbamero pentagonal que tamb\xc3\xa9m \xc3\xa9 quadrado perfeito._NEWLINE_Os primeiros s\xc3\xa3o:_NEWLINE_0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, 7681419682192581869134354401, 73756990988431941623299373152801... (sequ\xc3\xaancia A036353 na OEIS)_NEWLINE_Existem infinitos n\xc3\xbameros que satisfazem essa propriedade.'