b'\n_START_ARTICLE_\nAnel comutativo\n_START_SECTION_\nIdeais e Espectro\n_START_PARAGRAPH_\nNesta se\xc3\xa7\xc3\xa3o A denota um anel comutativo._NEWLINE_Em contraste com corpos, onde cada elemento n\xc3\xa3o nulo \xc3\xa9 invert\xc3\xadvel, a teoria de an\xc3\xa9is \xc3\xa9 mais complicada. Existem v\xc3\xa1rias no\xc3\xa7\xc3\xb5es para lidar com esta situa\xc3\xa7\xc3\xa3o. Primeiro, um elemento a de  \xc3\xa9 chamado unidade se ele possui inverso multiplicativo. Um elemento  \xc3\xa9 chamado divisor de zero se existe um elemento  do anel tal que . Se  n\xc3\xa3o possui divisores de zero ele \xc3\xa9 chamado dom\xc3\xadnio integral pois ele lembra os inteiros sob alguns aspectos._NEWLINE_Muitas das no\xc3\xa7\xc3\xb5es seguintes existem para an\xc3\xa9is n\xc3\xa3o necessariamente comutativos, mas as defini\xc3\xa7\xc3\xb5es e propriedades s\xc3\xa3o geralmente mais complicadas. Por exemplo, todos os ideais \xc3\xa0 esquerda s\xc3\xa3o tamb\xc3\xa9m ideais \xc3\xa0 esquerda e vice-versa, o que simplifica as coisas consideravelmente.\n_START_SECTION_\nIdeais primos e o espectro\n_START_PARAGRAPH_\nUm tipo de ideais particularmente importante s\xc3\xa3o os ideais primos, frequentemente denotados p. Esta no\xc3\xa7\xc3\xa3o apareceu quando os algebristas (no s\xc3\xa9culo XIX) perceberam que, diferentemente de Z, em muitos an\xc3\xa9is n\xc3\xa3o_NEWLINE_existe fatora\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xbanica em n\xc3\xbameros primos. (An\xc3\xa9is nos quais este resultado vale s\xc3\xa3o chamados dom\xc3\xadnios de fatora\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xbanica. )Por defini\xc3\xa7\xc3\xa3o, um ideal \xc3\xa9 primo se ele \xc3\xa9 pr\xc3\xb3prio e \xc3\xa9 tal que sempre que um produto ab de dois elementos do anel est\xc3\xa1 em p, ao menos um deles est\xc3\xa1 em p.(A conclus\xc3\xa3o reversa vale para todo anel, por defini\xc3\xa7\xc3\xa3o) Equivalentemente, o anel quociente /p \xc3\xa9 um dom\xc3\xadnio de integridade. Ainda outra maneira de expressar isto \xc3\xa9 dizer que o conjunto A\\p \xc3\xa9 multiplicativamente fechado. A localiza\xc3\xa7\xc3\xa3o ( \\ p)\xe2\x81\xbb\xc2\xb9A \xc3\xa9 importante o bastante para ter sua pr\xc3\xb3pria nota\xc3\xa7\xc3\xa3o: . Este anel tem um \xc3\xbanico ideal maximal, a saber pA\xe2\x82\x9a. Ideais com um \xc3\xbanico ideal maximal s\xc3\xa3o chamados an\xc3\xa9is locais._NEWLINE_Todo ideal maximal \xc3\xa9 primo. Provar que um ideal \xc3\xa9 primo, ou equivalentemente que um anel n\xc3\xa3o tem divisores de zero pode ser muito dif\xc3\xadcil._NEWLINE_Ideais primos s\xc3\xa3o o passo chave para interpretar um anel geometricamente, atrav\xc3\xa9s do espectro do anel Spec A: este \xc3\xa9 o conjunto de todos os ideais primos de A. Como notado acima cada anel tem pelo menos um ideal maximal e portanto pelo menos um ideal primo, assim o espectro de um anel \xc3\xa9 n\xc3\xa3o vazio. Se A \xc3\xa9 um corpo, o \xc3\xbanico ideal primo \xc3\xa9 o ideal zero e assim o espectro tem um ponto s\xc3\xb3. O espectro de Z, no entanto, cont\xc3\xa9m um ponto para o ideal zero e um ponto para cada n\xc3\xbamero primo p (que gera o ideal primo pZ). O espectro \xc3\xa9 munido com uma topologia (matem\xc3\xa1tica) chamada Topologia de Zariski, que \xc3\xa9 determinada especificando os subconjuntos D(f)={p \xe2\x88\x88 Spec A, f \xe2\x88\x89 p}, onde f \xc3\xa9 qualquer elemento do anel, como abertos. Esta topologia tende a ser diferente da encontrada em an\xc3\xa1lise ou geometria diferencial; por exemplo, existiram pontos que n\xc3\xa3o s\xc3\xa3o fechados. O fecho de um ponto correspondendo ao ideal zero 0  \xe2\x8a\x82 Z, por exemplo, \xc3\xa9 o espectro inteiro de Z._NEWLINE_A no\xc3\xa7\xc3\xa3o de espectro \xc3\xa9 a base comum da \xc3\xa1lgebra comutativa e geometria alg\xc3\xa9brica. Geometria alg\xc3\xa9brica procede munindo Spec A com um feixe   (uma entidade cujos elementos s\xc3\xa3o fun\xc3\xa7\xc3\xb5es definidas localmente). Um espa\xc3\xa7o junto com seu feixe \xc3\xa9 chamado um esquema afim. Dado um esquema afim, o anel subjacente A pode ser recuperado como a se\xc3\xa7\xc3\xa3o global de do feixe _NEWLINE_Al\xc3\xa9m disso, a correspond\xc3\xaancia um a um entre an\xc3\xa9is e esquemas afins tamb\xc3\xa9m \xc3\xa9 compat\xc3\xadvel com os homomorfismos de an\xc3\xa9is: qualquer f\xe2\x80\x89: A \xe2\x86\x92 B induz uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o cont\xc3\xadnua na dire\xc3\xa7\xc3\xa3o oposta Spec B \xe2\x86\x92 Spec A, q \xe2\x86\xa6 f\xe2\x81\xbb\xc2\xb9(q)_NEWLINE_, isto \xc3\xa9, qualquer ideal primo de B \xc3\xa9 levado na sua pr\xc3\xa9-imagem por f, que \xc3\xa9 um ideal primo de A._NEWLINE_O espectro tamb\xc3\xa9m faz precisa a intui\xc3\xa7\xc3\xa3o que localiza\xc3\xa7\xc3\xa3o e quociente s\xc3\xa3o conceitos complementares: as aplica\xc3\xa7\xc3\xb5es naturais A \xe2\x86\x92 Af e R \xe2\x86\x92 R / fR correspondem, depois de munir o espectro dos an\xc3\xa9is em quest\xc3\xa3o com suas topologias de Zariski, a abertos e fechados complementares._NEWLINE_As  equival\xc3\xaancias das duas categorias acima serve para refletir as propriedades alg\xc3\xa9bricas dos an\xc3\xa9is de uma forma geom\xc3\xa9trica. Esquemas afins s\xc3\xa3o modelos locais para os esquemas da mesma forma que as variedades s\xc3\xa3o dadas localmente por abertos de R\xe2\x81\xbf. Esquemas s\xc3\xa3o o objeto principal de estudo em geometria alg\xc3\xa9brica. Assim, muitas no\xc3\xa7\xc3\xb5es que se aplicam a an\xc3\xa9is e homomorfismos nascem da intui\xc3\xa7\xc3\xa3o geom\xc3\xa9trica.\n_START_SECTION_\nM\xc3\xb3dulos\n_START_PARAGRAPH_\nA estrutura externa de um anel comutativo \xc3\xa9 determinada considerando \xc3\xa1lgebra linear sobre este anel, ou seja, investigando a teoria de m\xc3\xb3dulos, que s\xc3\xa3o similares a espa\xc3\xa7os vetoriais, exceto pelo fato que a base n\xc3\xa3o precisa ser necessariamente um corpo, mas podendo ser um anel A. A teoria dos A-m\xc3\xb3dulos \xc3\xa9 significativamente mais complicada que a \xc3\xa1lgebra linear dos espa\xc3\xa7os vetoriais. Teoria de m\xc3\xb3dulos tem dificuldades tais como m\xc3\xb3dulos que n\xc3\xa3o tem bases, m\xc3\xb3dulos com posto (an\xc3\xa1logo \xc3\xa0 dimens\xc3\xa3o dos espa\xc3\xa7os vetoriais) que pode n\xc3\xa3o ser bem definido e com subm\xc3\xb3dulos de um m\xc3\xb3dulo finitamente gerado que n\xc3\xa3o s\xc3\xa3o finitamente gerados (a menos que A seja noetheriano)._NEWLINE_Ideais em um anel A podem ser caracterizados como os A-m\xc3\xb3dulos que s\xc3\xa3o subm\xc3\xb3dulos de A. Por outro lado, um bom entendimento dos A-m\xc3\xb3dulos precisa de informa\xc3\xa7\xc3\xa3o suficiente a respeito de A. Reciprocamente, no entanto, v\xc3\xa1rias t\xc3\xa9cnicas de \xc3\xa1lgebra comutativa que estudam a estrutura de A examinando seus ideais, procedem estudando seus m\xc3\xb3dulos em geral.\n_START_SECTION_\nConstruindo an\xc3\xa9is comutativos\n_START_PARAGRAPH_\nExistem diversas maneiras de construir novos an\xc3\xa9is a partir de outros j\xc3\xa1 conhecidos. O objetivo de tais constru\xc3\xa7\xc3\xb5es \xc3\xa9 geralmente melhorar certas propriedades do anel e assim tornar ele mais compreens\xc3\xadvel. Por exemplo, um dom\xc3\xadnio de integridade que \xc3\xa9 integralmente fechado no seu corpo de fra\xc3\xa7\xc3\xb5es \xc3\xa9 chamado normal. Esta \xc3\xa9 uma propriedade desej\xc3\xa1vel, por exemplo qualquer anel normal de dimens\xc3\xa3o 1 \xc3\xa9 necessariamente regular. O processo de tornar um anel normal \xc3\xa9 conhecido como normaliza\xc3\xa7\xc3\xa3o.\n_START_SECTION_\nCompletamentos\n_START_PARAGRAPH_\nSe I \xc3\xa9 um ideal num anel comutativo A, as pot\xc3\xaancias de I formam uma vizinhan\xc3\xa7a topol\xc3\xb3gica de 0 que permite que A seja visto como um anel topol\xc3\xb3gico. A pode ser ent\xc3\xa3o completado com respeito a esta topologia. Formalmente, o completamento I-\xc3\xa1dico \xc3\xa9 o limite inverso dos an\xc3\xa9is A/I \xe2\x81\xbf. Por exemplo, se k \xc3\xa9 um corpo, k o anel das  s\xc3\xa9ries de pot\xc3\xaancias formais em uma vari\xc3\xa1vel sobre k, \xc3\xa9 o completamento I-\xc3\xa1dico de k[X] onde I \xc3\xa9 o ideal principal gerado por X. Analogamente, o anel dos inteiros p-\xc3\xa1dicos \xc3\xa9 o completamento I-\xc3\xa1dico de Z onde I \xc3\xa9 o ideal principal gerado por p. Qualquer anel que \xc3\xa9 isomorfo ao seu completamento \xc3\xa9 chamado completo.\n_START_SECTION_\nPropriedades\n_START_PARAGRAPH_\nPelo Teorema de Wedderburn, cada anel de divis\xc3\xa3o finito \xc3\xa9 comutativo, e portanto \xc3\xa9 um corpo finito. Outra condi\xc3\xa7\xc3\xa3o que garante a comutatividade de um anel, devido a Jacobson, \xc3\xa9 a seguinte: para cada elemento r de A existe um inteiro n > 1 tal que r\xe2\x81\xbf = r. Se, r\xc2\xb2 = r para cada r, o anel \xc3\xa9 chamado de anel booliano. Condi\xc3\xa7\xc3\xb5es mais gerais que garantem que um anel \xc3\xa9 comutativo tamb\xc3\xa9m s\xc3\xa3o conhecidas.'