b"\n_START_ARTICLE_\nProcesso de Gram-Schmidt\n_START_PARAGRAPH_\nEm matem\xc3\xa1tica e an\xc3\xa1lise num\xc3\xa9rica, o processo de Gram-Schmidt \xc3\xa9 um m\xc3\xa9todo para ortonormaliz\xc3\xa7\xc3\xa3o de um conjunto de vetores em um espa\xc3\xa7o com produto interno, normalmente o espa\xc3\xa7o euclidiano R\xe2\x81\xbf. O processo de Gram\xe2\x80\x93Schmidt recebe um conjunto finito, linearmente independente de vetores S = {v\xe2\x82\x81, \xe2\x80\xa6, v\xe2\x82\x99} e retorna um conjunto ortonormal S' = {u\xe2\x82\x81, \xe2\x80\xa6, u\xe2\x82\x99} que gera o mesmo subespa\xc3\xa7o S inicial._NEWLINE_O m\xc3\xa9todo leva o nome de J\xc3\xb8rgen Pedersen Gram e Erhard Schmidt, mas pode ser encontrado antes nos trabalhos de Laplace e Cauchy. Em teoria de decomposi\xc3\xa7\xc3\xa3o do grupo de Lie \xc3\xa9 generalizado pela decomposi\xc3\xa7\xc3\xa3o de Iwasawa._NEWLINE_A aplica\xc3\xa7\xc3\xa3o do processo de Gram-Schmidt aos vetores de uma coluna matricial completa de classifica\xc3\xa7\xc3\xa3o produz a fatora\xc3\xa7\xc3\xa3o QR (decomposta numa matriz ortogonal e uma matriz triangular).\n_START_SECTION_\nAlternativas\n_START_PARAGRAPH_\nOutros algoritmos de ortogonaliza\xc3\xa7\xc3\xa3o utilizam a transforma\xc3\xa7\xc3\xa3o de Householder ou a rota\xc3\xa7\xc3\xa3o de Givens. Os algoritmos que utilizam a transforma\xc3\xa7\xc3\xa3o de Householder s\xc3\xa3o mais est\xc3\xa1veis que o processo de Gram\xe2\x80\x93Schmidt estabilizado. Por outro lado, o referido processo produz o th vetor ortogonalizado baseado na intera\xc3\xa7\xc3\xa3o th, enquanto a ortogonaliza\xc3\xa7\xc3\xa3o utilizando a reflex\xc3\xa3o Householder produz todos os vetores apenas no final. Isso torno o processo de Gram\xe2\x80\x93Schmidt aplic\xc3\xa1vel ao m\xc3\xa9todo iterativo assim como a itera\xc3\xa7\xc3\xa3o Arnoldi._NEWLINE_Outra alternativa \xc3\xa9 motivada ainda pelo uso da decomposi\xc3\xa7\xc3\xa3o de Cholesky para invertendo a matriz das equa\xc3\xa7\xc3\xb5es normais de m\xc3\xadnimos quadrados lineares. Tome-se  a estar num posto coluna cheia de uma matriz, cujas colunas precisam ser ortogonalizadas. A matriz  \xc3\xa9 uma matriz transposta conjugada e definida positiva, de tal modo que possa ser escrita  utlizando a decomposi\xc3\xa7\xc3\xa3o de Cholesky. A matriz triangular inferior  com entradas diagonais estritamente positivas \xc3\xa9 inversa. As colunas da matriz  s\xc3\xa3o ortonormais e abrangem o mesmo subespa\xc3\xa7o como as colunas da matriz original . O uso expl\xc3\xadcito do conte\xc3\xbado  torna o algoritmo inst\xc3\xa1vel, espacialmente se o produto do n\xc3\xbamero de condicionamento for elevado. No entanto, esse algoritmo \xc3\xa9 utilizado na pr\xc3\xa1tica e implementado em alguns pacotes de software por conta de sua alta efici\xc3\xaancia e simplicidade._NEWLINE_Em mec\xc3\xa2nica qu\xc3\xa2ntica existem v\xc3\xa1rios esquemas de ortogonaliza\xc3\xa7\xc3\xa3o com caracter\xc3\xadsticas mais adequadas para certas aplica\xc3\xa7\xc3\xb5es do que os de Gram-Schmidt. No entanto, o Gram-Schmidt continua a ser um algoritmo popular e eficaz, mesmo para os maiores c\xc3\xa1lculos de estrutura eletr\xc3\xb4nica."