b'\n_START_ARTICLE_\nS\xc3\xa9rie de pot\xc3\xaancias\n_START_PARAGRAPH_\nUma s\xc3\xa9rie de pot\xc3\xaancias \xc3\xa9 uma s\xc3\xa9rie que depende de um par\xc3\xa2metro , da_NEWLINE_seguinte forma:_NEWLINE_o n\xc3\xbamero , a sequ\xc3\xaancia  e o par\xc3\xa2metro  podem ser em geral n\xc3\xbameros complexos. _NEWLINE_A converg\xc3\xaancia da s\xc3\xa9rie de pot\xc3\xaancias depende da dist\xc3\xa2ncia_NEWLINE_entre  e  no plano complexo:_NEWLINE_Essas s\xc3\xa9ries de pot\xc3\xaancias aparecem primariamente em an\xc3\xa1lise, mas tamb\xc3\xa9m ocorre em combinat\xc3\xb3ria (sob o nome de fun\xc3\xa7\xc3\xb5es geradoras) e em engenharia el\xc3\xa9trica (sob o nome de  Transformada Z).\n_START_SECTION_\nS\xc3\xa9rie de Taylor\n_START_PARAGRAPH_\nUma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o anal\xc3\xadtica num ponto  \xc3\xa9 uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o cujas derivadas de_NEWLINE_qualquer ordem existem nesse ponto. Nesse caso a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o pode ser representada_NEWLINE_por uma s\xc3\xa9rie de pot\xc3\xaancias convergente em :_NEWLINE_as derivadas de  calculam-se derivando o termo dentro da s\xc3\xa9rie, por_NEWLINE_exemplo, as duas primeiras derivadas s\xc3\xa3o:_NEWLINE_Se substituirmos  nas s\xc3\xa9ries para ,  e  vemos que:_NEWLINE_em geral,_NEWLINE_e a s\xc3\xa9rie de Taylor de  escreve-se:_NEWLINE_No caso particular  obt\xc3\xa9m-se a chamada s\xc3\xa9rie de Maclaurin._NEWLINE_Onde o raio de converg\xc3\xaancia da s\xc3\xa9rie \xc3\xa9 igual \xc3\xa0 dist\xc3\xa2ncia entre  e_NEWLINE_o ponto singular de  mais pr\xc3\xb3ximo.\n_START_SECTION_\nM\xc3\xa9todo das s\xc3\xa9ries\n_START_PARAGRAPH_\nConsideremos a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial linear, homog\xc3\xaanea de segunda ordem_NEWLINE_em que ,  e  s\xc3\xa3o polin\xc3\xb4mios. Muitos problemas de engenharia conduzem a equa\xc3\xa7\xc3\xb5es dessa forma. _NEWLINE_A partir do teorema de exist\xc3\xaancia e unicidade para_NEWLINE_equa\xc3\xa7\xc3\xb5es lineares, vemos que os pontos singulares s\xc3\xa3o as ra\xc3\xadzes do polin\xc3\xb4mio_NEWLINE_. Se o ponto  n\xc3\xa3o for raiz de , a solu\xc3\xa7\xc3\xa3o da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial ser\xc3\xa1 uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o anal\xc3\xadtica em  e, portanto, existir\xc3\xa1 a s\xc3\xa9rie de McClaurin para a solu\xc3\xa7\xc3\xa3o :_NEWLINE_A obten\xc3\xa7\xc3\xa3o da solu\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa9 equivalente \xc3\xa0 obten\xc3\xa7\xc3\xa3o da sequ\xc3\xaancia . A equa\xc3\xa7\xc3\xa3o_NEWLINE_de diferen\xc3\xa7as que define a sequ\xc3\xaancia  \xc3\xa9 obtida por substitui\xc3\xa7\xc3\xa3o da_NEWLINE_s\xc3\xa9rie de McClaurin (e das suas derivadas) na equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial.\n_START_SECTION_\nEqua\xc3\xa7\xc3\xa3o de Airy\n_START_PARAGRAPH_\nUm exemplo de uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o linear muito simples que n\xc3\xa3o pode ser resolvida_NEWLINE_pelos m\xc3\xa9todos convencionais das equa\xc3\xa7\xc3\xb5es diferenciais e que pode ser resolvida pelo m\xc3\xa9todo_NEWLINE_das s\xc3\xa9ries, \xc3\xa9 a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o de Airy:_NEWLINE_O polin\xc3\xb4mio  \xc3\xa9 neste caso igual a 1, de maneira que a solu\xc3\xa7\xc3\xa3o ser\xc3\xa1_NEWLINE_anal\xc3\xadtica em  e poder\xc3\xa1 ser escrita como uma s\xc3\xa9rie de McClaurin:_NEWLINE_A segunda derivada \xc3\xa9:_NEWLINE_e substituindo na equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial_NEWLINE_para agrupar as duas s\xc3\xa9ries numa \xc3\xbanica s\xc3\xa9rie de pot\xc3\xaancias,_NEWLINE_escrevemos a primeira s\xc3\xa9rie numa forma equivalente: podemos incrementar_NEWLINE_em 3 unidades o \xc3\xadndice , dentro da s\xc3\xa9rie, se subtrairmos 3 aos_NEWLINE_limites do somat\xc3\xb3rio; a s\xc3\xa9rie resultante ser\xc3\xa1 id\xc3\xaantica \xc3\xa0_NEWLINE_s\xc3\xa9rie inicial_NEWLINE_Na primeira s\xc3\xa9rie os dois primeiros termos ( e ) s\xc3\xa3o nulos e o_NEWLINE_terceiro termo () pode ser escrito explicitamente; a s\xc3\xa9rie resultante_NEWLINE_come\xc3\xa7a desde , podendo ser agrupada \xc3\xa0 segunda s\xc3\xa9rie:_NEWLINE_no lado esquerdo da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o temos uma s\xc3\xa9rie de pot\xc3\xaancias em que o coeficiente_NEWLINE_de ordem zero \xc3\xa9  e os coeficientes de ordem superior a zero s\xc3\xa3o o_NEWLINE_termo dentro dos par\xc3\xaantesis quadrados, com  Para que a s\xc3\xa9rie_NEWLINE_de pot\xc3\xaancias seja nula em qualquer ponto , \xc3\xa9 necess\xc3\xa1rio que todos os_NEWLINE_coeficientes sejam nulos:_NEWLINE_Temos transformado o problema num problema de equa\xc3\xa7\xc3\xb5es de diferen\xc3\xa7as._NEWLINE_A equa\xc3\xa7\xc3\xa3o de diferen\xc3\xa7as obtida \xc3\xa9 uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o incompleta, de_NEWLINE_terceira ordem e a sua solu\xc3\xa7\xc3\xa3o consiste em tr\xc3\xaas sucess\xc3\xb5es_NEWLINE_independentes para os coeficientes de ordem m\xc3\xbaltiplo de 3, m\xc3\xbaltiplo de_NEWLINE_3 mais 1, e m\xc3\xbaltiplo de 3 mais 2. _NEWLINE_Como , os coeficientes de_NEWLINE_ordem m\xc3\xbaltiplo de 3 mais 2 s\xc3\xa3o todos nulos. Para obter as outras duas_NEWLINE_sequ\xc3\xaancias podemos usar o m\xc3\xa9todo estudado no cap\xc3\xadtulo anterior: para_NEWLINE_, definindo  obtemos:_NEWLINE_em termos de fatoriais e fun\xc3\xa7\xc3\xb5es gama temos:_NEWLINE_Usando a substitui\xc3\xa7\xc3\xa3o:_NEWLINE_a Equa\xc3\xa7\xc3\xa3o transforma-se numa equa\xc3\xa7\xc3\xa3o de coeficientes constantes:_NEWLINE_A solu\xc3\xa7\xc3\xa3o pode agora ser obtida facilmente:_NEWLINE_Para calcular a sequ\xc3\xaancia correspondente a , procedemos em forma_NEWLINE_semelhante. Em fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de , a f\xc3\xb3rmula de recorr\xc3\xaancia_NEWLINE_(Equa\xc3\xa7\xc3\xa3o) \xc3\xa9 uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o de primeira ordem:_NEWLINE_e com a substitui\xc3\xa7\xc3\xa3o_NEWLINE_a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o transforma-se numa equa\xc3\xa7\xc3\xa3o de coeficientes constantes:_NEWLINE_com solu\xc3\xa7\xc3\xa3o:_NEWLINE_Finalmente, substituimos  na s\xc3\xa9rie de McClaurin para_NEWLINE_obter a solu\xc3\xa7\xc3\xa3o da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial:_NEWLINE_onde  e  s\xc3\xa3o duas constantes arbitr\xc3\xa1rias (condi\xc3\xa7\xc3\xb5es iniciais_NEWLINE_para  e  em ). Em alguns casos as s\xc3\xa9ries obtidas podem ser identificadas como a s\xc3\xa9rie de McClaurin de alguma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o conhecida. _NEWLINE_Neste_NEWLINE_exemplo as s\xc3\xa9ries n\xc3\xa3o correspondem a nenhuma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o conhecida, e constituem_NEWLINE_duas fun\xc3\xa7\xc3\xb5es especiais designadas fun\xc3\xa7\xc3\xb5es de Airy.\n_START_SECTION_\nRaio de converg\xc3\xaancia\n_START_PARAGRAPH_\nSe a dist\xc3\xa2ncia for suficientemente aproximada a zero, a s\xc3\xa9rie converge_NEWLINE_( \xc3\xa9 o valor da s\xc3\xa9rie quando ); quanto maior for a dist\xc3\xa2ncia mais lenta ser\xc3\xa1 a converg\xc3\xaancia, at\xc3\xa9 que a partir de uma certa dist\xc3\xa2ncia a_NEWLINE_s\xc3\xa9rie diverge. O valor m\xc3\xa1ximo da dist\xc3\xa2ncia para o qual a s\xc3\xa9rie converge, \xc3\xa9 o_NEWLINE_chamado raio de converg\xc3\xaancia () e calcula-se a partir de:'