b'\n_START_ARTICLE_\nGrupo abeliano\n_START_SECTION_\nTabela multiplicativa\n_START_PARAGRAPH_\nPara verificar que um grupo finito \xc3\xa9 abeliano, uma tabela (matriz) \xe2\x80\x93 conhecida como uma tabela de Cayley - pode ser constru\xc3\xadda em uma forma similar a uma tabela de multiplica\xc3\xa7\xc3\xa3o. Se o grupo for denotado por , sua opera\xc3\xa7\xc3\xa3o por , a entrada  desta tabela \xc3\xa9 o produto . O grupo \xc3\xa9 abeliano se e somente se esta tabela \xc3\xa9 sim\xc3\xa9trica em rela\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa0 diagonal principal (isto \xc3\xa9, se a matriz for uma matriz sim\xc3\xa9trica).\n_START_SECTION_\nPropriedades\n_START_PARAGRAPH_\nSe n for um n\xc3\xbamero natural e x for um elemento de um grupo abeliano G escrito aditivamente, ent\xc3\xa3o nx pode ser definido (indutivamente) como  e . Deste modo, G transforma-se em um m\xc3\xb3dulo sobre o anel Z dos inteiros. De fato, os demais Z-m\xc3\xb3dulos podem ser identificados com os grupos abelianos._NEWLINE_Os teoremas sobre os grupos abelianos (isto \xc3\xa9 m\xc3\xb3dulos sobre o dom\xc3\xadnio de ideais principais Z) podem frequentemente ser generalizados aos teoremas a respeito de m\xc3\xb3dulos sobre um dom\xc3\xadnio de ideais principais arbitr\xc3\xa1rio. Um exemplo t\xc3\xadpico \xc3\xa9 a classifica\xc3\xa7\xc3\xa3o dos grupos abelianos finitamente gerados._NEWLINE_Se f, g: O \xe2\x86\x92 H de G s\xc3\xa3o dois homomorfismos de grupo entre grupos abelianos, ent\xc3\xa3o sua soma f + g, definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x), \xc3\xa9 tamb\xc3\xa9m um homomorfismo (isto n\xc3\xa3o \xc3\xa9 verdadeiro se H for um grupo n\xc3\xa3o-abeliano). O conjunto Hom(G, H) de todos os homomorfismos do grupo G para o grupo H torna-se assim um grupo abeliano.\n_START_SECTION_\nRela\xc3\xa7\xc3\xa3o com outros t\xc3\xb3picos matem\xc3\xa1ticos\n_START_PARAGRAPH_\nA cole\xc3\xa7\xc3\xa3o de todos os grupos abelianos, junto com os homomorfismos entre eles, d\xc3\xa1 forma a uma categoria, o prot\xc3\xb3tipo de uma categoria abeliana. Esta categoria \xc3\xa9 denominada Ab._NEWLINE_Muitos grupos abelianos grandes carregam uma topologia natural, tornado-se grupos topol\xc3\xb3gicos.'