b'\n_START_ARTICLE_\nDelta de Dirac\n_START_PARAGRAPH_\nEm matem\xc3\xa1tica, a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o delta de Dirac, tamb\xc3\xa9m conhecida como fun\xc3\xa7\xc3\xa3o \xce\xb4, \xc3\xa9 uma distribui\xc3\xa7\xc3\xa3o na reta real, a qual vale infinito no ponto zero e \xc3\xa9 nula no restante da reta. A integral da fun\xc3\xa7\xc3\xa3o Delta de Dirac em toda reta \xc3\xa9 definida como tendo valor 1. Foi introduzida pelo f\xc3\xadsico te\xc3\xb3rico Paul Dirac em 1930 em seu livro \xe2\x80\x98\xe2\x80\x99The Principles of Quantum Mechanics\xe2\x80\x99\xe2\x80\x99. Seu_NEWLINE_an\xc3\xa1logo no dom\xc3\xadnio discreto \xc3\xa9 o delta de Kronecker,o qual vale 0 e 1._NEWLINE_Pode-se pensar no Delta de Dirac como um ret\xc3\xa2ngulo infinitamente estreito e infinitamente alto, com \xc3\xa1rea igual \xc3\xa0 unidade. Em muitos casos, pode ser encarado como o limite de fun\xc3\xa7\xc3\xb5es que tendem a estas condi\xc3\xa7\xc3\xb5es.Al\xc3\xa9m disso, se enfocarmos no contexto de processamento de sinais, ela \xc3\xa9 frequentemente interpretada como um impulso unit\xc3\xa1rio._NEWLINE_Matematicamente, o Delta de Dirac n\xc3\xa3o pode ser caracterizado propriamente como uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o, mas sim como um objeto matem\xc3\xa1tico. Isso porque qualquer fun\xc3\xa7\xc3\xa3o que valha zero em todos os pontos exceto um, deve ter integral nula em toda a reta. Entretanto, quando em uma integral, ganha sentido matem\xc3\xa1tico e, para a maioria dos prop\xc3\xb3sitos, pode ser encarado e manipulado como uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o.\n_START_SECTION_\nVis\xc3\xa3o Geral\n_START_PARAGRAPH_\nApesar do nome, a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o Delta de Dirac n\xc3\xa3o \xc3\xa9 verdadeiramente uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o. \xce\xb4(x)\xc2\xa0difere de uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o g(x)=0 apenas em zero, e portanto as duas s\xc3\xa3o fun\xc3\xa7\xc3\xb5es iguais quase sempre. Segundo a teoria de integra\xc3\xa7\xc3\xa3o de Lebesgue, duas fun\xc3\xa7\xc3\xb5es integr\xc3\xa1veis e iguais quase sempre, t\xc3\xaam,necessariamente, integrais id\xc3\xaanticas. Entretanto, a integral da fun\xc3\xa7\xc3\xa3o g(x) \xc3\xa9 zero, e a da fun\xc3\xa7\xc3\xa3o Delta de Dirac vale 1 por defini\xc3\xa7\xc3\xa3o._NEWLINE_Desconsiderando o formalismo matem\xc3\xa1tico, em termos pr\xc3\xa1ticos o Delta pode ser encarado como uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o na maioria dos casos. Geralmente \xc3\xa9 usado para modelar uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o impulso, isto \xc3\xa9, modelar situa\xc3\xa7\xc3\xb5es pontuais (como massas e cargas pontuais) ou instant\xc3\xa2neas (adi\xc3\xa7\xc3\xa3o instant\xc3\xa2nea de uma subst\xc3\xa2ncia em uma rea\xc3\xa7\xc3\xa3o qu\xc3\xadmica ou a din\xc3\xa2mica de um martelo batendo  fortemente em um sistema massa mola, por exemplo).\xc2\xa0\n_START_SECTION_\nTransformada de Laplace da Delta de Dirac\n_START_PARAGRAPH_\nPartindo-se da defini\xc3\xa7\xc3\xa3o da Transformada de Laplace e utilizando a Propriedade da Filtragem,_NEWLINE_.\n_START_SECTION_\nTransformada de Fourier da Delta de Dirac\n_START_PARAGRAPH_\nAssim como a Transformada de Laplace da fun\xc3\xa7\xc3\xa3o Delta de Dirac sua Transformada de Fourier tamb\xc3\xa9m \xc3\xa9 obtida atrav\xc3\xa9s da propriedade da filtragem,_NEWLINE_.\n_START_SECTION_\nAplica\xc3\xa7\xc3\xa3o em F\xc3\xadsica\n_START_PARAGRAPH_\nEm f\xc3\xadsica, entre outras aplica\xc3\xa7\xc3\xb5es, ela \xc3\xa9 usada para representar densidades de objetos pontuais (e.g., carga pontual)  e na normaliza\xc3\xa7\xc3\xa3o de operadores cont\xc3\xadnuos (e.g.,operador posi\xc3\xa7\xc3\xa3o) da mec\xc3\xa2nica qu\xc3\xa2ntica. Al\xc3\xa9m disso, podemos utiliz\xc3\xa1-la na mec\xc3\xa2nica cl\xc3\xa1ssica para representar um impulso sendo aplicado em um corpo.\n_START_SECTION_\nMec\xc3\xa2nica Estrutural\n_START_PARAGRAPH_\nA equa\xc3\xa7\xc3\xa3o governante que descreve um sistema massa-mola sob uma a\xc3\xa7\xc3\xa3o de uma for\xc3\xa7a (impulso) em t=0 \xc3\xa9_NEWLINE_sendo m a massa, k a constante da mola e a deflex\xc3\xa3o dela._NEWLINE_Al\xc3\xa9m dessa equa\xc3\xa7\xc3\xa3o, temos outras na \xc3\xa1rea de mec\xc3\xa2nica estrutural, como a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o de Euler\xe2\x80\x93Bernoulli, a qual descreve a deflex\xc3\xa3o de uma viga e \xc3\xa9 constitu\xc3\xadda por uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial de quarta ordem._NEWLINE_onde EI \xc3\xa9 a rigidez a flex\xc3\xa3o, pois E \xc3\xa9 o m\xc3\xb3dulo da elasticidade e I \xc3\xa9 o momento de in\xc3\xa9rcia da se\xc3\xa7\xc3\xa3o transversal de uma viga entorno de um eixo. W \xc3\xa9 a deflex\xc3\xa3o e q(x) \xc3\xa9 a distribui\xc3\xa7\xc3\xa3o da carga. _NEWLINE_Se a viga apresenta uma for\xc3\xa7a F em , a distribui\xc3\xa7\xc3\xa3o da carga \xc3\xa9 dada pela seguinte equa\xc3\xa7\xc3\xa3o:_NEWLINE_Por\xc3\xa9m ao considerarmos uma viga sob a\xc3\xa7\xc3\xa3o de duas for\xc3\xa7as opostas que distam d metros, elas geram um momento M=Fd na viga e ao aplicarmos o limite com d tendendo a zero temos a seguinte equa\xc3\xa7\xc3\xa3o_NEWLINE_Observa\xc3\xa7\xc3\xa3o: Consideramos na equa\xc3\xa7\xc3\xa3o acima x=0_NEWLINE_Essa equa\xc3\xa7\xc3\xa3o al\xc3\xa9m de ser aplicada no ramo da f\xc3\xadsica, \xc3\xa9 tamb\xc3\xa9m frequentemente utilizada na Engenharia Civil.\n_START_SECTION_\nEngenharia El\xc3\xa9trica\n_START_PARAGRAPH_\nEm circuitos el\xc3\xa9tricos RLC, RL e RC, por exemplo, quando aplicamos uma fonte no circuito vemos uma sa\xc3\xadda diferente da entrada, essa sa\xc3\xadda at\xc3\xadpica \xc3\xa9 composta pela resposta do circuito a excita\xc3\xa7\xc3\xa3o da fonte externa que depende das caracter\xc3\xadsticas da fun\xc3\xa7\xc3\xa3o de entrada e das caracter\xc3\xadsticas dos componentes do circuito como a capacit\xc3\xa2ncia, indut\xc3\xa2ncia e resist\xc3\xaancia. Como capacitores e indutores envolvem derivadas na rela\xc3\xa7\xc3\xa3o corrente e tens\xc3\xa3o, teremos uma equa\xc3\xa7\xc3\xa3o diferencial para o circuito. Esta equa\xc3\xa7\xc3\xa3o pode ser resolvida usando a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o caracter\xc3\xadstica do circuito._NEWLINE_A fonte excitante desse circuito pode ser modelada por uma Delta de Dirac, e o circuito responder\xc3\xa1 a esta excita\xc3\xa7\xc3\xa3o de uma forma muito particular como exemplificado adiante. Essa varia\xc3\xa7\xc3\xa3o instant\xc3\xa2nea de tens\xc3\xa3o ou corrente pode ser pensada como uma chave abrindo ou fechando rapidamente, por exemplo, gerando um impulso de modela\xc3\xa7\xc3\xa3o instant\xc3\xa2nea. Este tempo de atua\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa9 muito pequeno o que nos possibilita modelar o circuito usando as defini\xc3\xa7\xc3\xb5es e propriedades da Delta de Dirac._NEWLINE_Exemplo: Circuito RLC em s\xc3\xa9rie sofrendo um chaveamento instant\xc3\xa2neo. Seja  a indut\xc3\xa2ncia,  a capacit\xc3\xa2ncia,  a resist\xc3\xaancia e   delta de Dirac aplicada em t=0._NEWLINE_ (Equa\xc3\xa7\xc3\xa3o modeladora do circuito)_NEWLINE_Deixando a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o em fun\xc3\xa7\xc3\xa3o da carga:_NEWLINE_Aplicando a Transformada de Laplace e considerando a carga e a corrente zero em t=0:_NEWLINE_ (Equa\xc3\xa7\xc3\xa3o no espa\xc3\xa7o das transformadas)_NEWLINE_Observa\xc3\xa7\xc3\xa3o: Interessante notar que caso a delta estivesse acompanhada de outra fonte, poder\xc3\xadamos usar a propriedade da filtragem listada acima quando calculada a transformada._NEWLINE_Para =20\xce\xa9, =1H e =0.0001F, temos a tens\xc3\xa3o no capacitor modelada pela seguinte equa\xc3\xa7\xc3\xa3o:_NEWLINE_An\xc3\xa1lise qualitativa da resposta:_NEWLINE_Devido ao n\xc3\xbamero de Euler estar elevado a um expoente negativo, quando o tempo tende ao infinito, a amplitude da tens\xc3\xa3o tende a 0. Esta resposta \xc3\xa9 uma caracter\xc3\xadstica de fen\xc3\xb4menos em circuitos modelados pela delta de Dirac, pois o circuito recebe uma carga de energia no instante de aplica\xc3\xa7\xc3\xa3o que a longo prazo \xc3\xa9 drenada pela resist\xc3\xaancia do circuito que consome corrente, de acordo com o efeito Joule.\n_START_SECTION_\nEngenharia Civil\n_START_PARAGRAPH_\nEm Engenharia Civil,  a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o delta de Dirac \xc3\xa9 utilizada para modelagem de estruturas como, por exemplo, vigas. Nestes casos, a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o delta de Dirac representa for\xc3\xa7as/momentos pontuais sendo aplicados na estrutura, como pode-se ver um exemplo abaixo:_NEWLINE_Modelagem da deflex\xc3\xa3o em vigas sujeitas a cargas concentradas:_NEWLINE_Considerando uma viga el\xc3\xa1stica horizontal de comprimento L sob a a\xc3\xa7\xc3\xa3o de for\xc3\xa7as verticais, coloca-se o eixo horizontal x com origem no extremo a esquerda da viga, logo, x=L \xc3\xa9 o outro extremo. Sup\xc3\xb5e-se que a viga est\xc3\xa1 sujeita \xc3\xa0 uma carga W(x) que provoca deflex\xc3\xa3o em cada ponto x [0, L]. Para pequenas deflex\xc3\xb5es pode-se aproximar a curvatura k(x) pela varia\xc3\xa7\xc3\xa3o instant\xc3\xa2nea de (x), onde (x) \xc3\xa9 o \xc3\xa2ngulo entre o eixo x e a tangente, ou seja,_NEWLINE_._NEWLINE_Como_NEWLINE_e para (x) pequeno, tan((x)) pode ser considerada como (x), portanto temos:_NEWLINE_Derivando a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o anterior e substituindo, obtemos_NEWLINE_._NEWLINE_Pela Lei de Hooke, k(x) = M(x)/EI, onde E \xc3\xa9 o m\xc3\xb3dulo de Young, I \xc3\xa9 o momento de in\xc3\xa9rcia da viga e M(x) o momento fletor. Assim, substituindo na equa\xc3\xa7\xc3\xa3o anterior:_NEWLINE_A varia\xc3\xa7\xc3\xa3o do momento de in\xc3\xa9rcia M(x) \xc3\xa9 a for\xc3\xa7a de cisalamento V(x):_NEWLINE_e a varia\xc3\xa7\xc3\xa3o da for\xc3\xa7a de cisalamento \xc3\xa9 a carga:_NEWLINE_._NEWLINE_Logo,_NEWLINE_._NEWLINE_Considerando uma viga engastada, ou seja:_NEWLINE_Neste exemplo, a carga estando concentrada na posi\xc3\xa7\xc3\xa3o x=L/3 e tendo intensidade , a express\xc3\xa3o pode ser modelada por:_NEWLINE_.\n_START_SECTION_\nEngenharia H\xc3\xaddrica\n_START_PARAGRAPH_\nEm Engenharia H\xc3\xaddrica, a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o delta de Dirac \xc3\xa9 utilizada na resolu\xc3\xa7\xc3\xa3o da Equa\xc3\xa7\xc3\xa3o do Helmholtz para um sistema barragem-albufeira , por\xc3\xa9m sua maior utiliza\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa9 na modelagem de \xc3\xa1guas subterr\xc3\xa2neas, sendo na modelagem aqu\xc3\xadferos confinados, onde a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o delta Dirac representa a vaz\xc3\xa3o bombeada por um po\xc3\xa7o em um ponto espec\xc3\xadfico e tamb\xc3\xa9m para calcular a fonte ou sorvedouro tridimensional de um aqu\xc3\xadfero (equa\xc3\xa7\xc3\xa3o abaixo), que foi deduzida a partir da lei de Darcy e do princ\xc3\xadpio da conserva\xc3\xa7\xc3\xa3o de massa em um volume elementar representativo (REV) de um aqu\xc3\xadfero:_NEWLINE_Sendo a taxa de bombeamento ou inje\xc3\xa7\xc3\xa3o do po\xc3\xa7o   em e  representa o armazenamento espec\xc3\xadfico com unidade .\n_START_SECTION_\nAplica\xc3\xa7\xc3\xa3o no Metabolismo de uma Medica\xc3\xa7\xc3\xa3o\n_START_PARAGRAPH_\nCom o delta de Direc nos permite descrever o metabolismo de uma medica\xc3\xa7\xc3\xa3o de acordo com uma taxa (taxa que o organismo metaboliza o medicamento), o que \xc3\xa9 de extrema import\xc3\xa2ncia para determinar a dosagem ideal e tamb\xc3\xa9m o intervalo de tempo entre as doses. A equa\xc3\xa7\xc3\xa3o que descreve esse acontecimento \xc3\xa9:_NEWLINE_ , para t>0_NEWLINE_sendo x(t) a dosagem ao longo do tempo e m(t) a concentra\xc3\xa7\xc3\xa3o do medicamento, lembrando que as doses entram no sangue de modo instant\xc3\xa2neo e que a taxa de metaboliza\xc3\xa7\xc3\xa3o da droga \xc3\xa9 diretamente proporcional \xc3\xa0 concentra\xc3\xa7\xc3\xa3o._NEWLINE_Considerando a concentra\xc3\xa7\xc3\xa3o administrada instantaneamente com intervalos T, podemos escrever a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o que se refere a entrada x(t):_NEWLINE_Como n\xc3\xa3o h\xc3\xa1 subst\xc3\xa2ncia no organismo no primeiro momento da ingest\xc3\xa3o do medicamento, consideramos m(0)=0 e aplicamos a transformada de Laplace para calcular m(t):_NEWLINE_Observa\xc3\xa7\xc3\xa3o: , por\xc3\xa9m como m(0)=0, esse termo n\xc3\xa3o aparece na equa\xc3\xa7\xc3\xa3o._NEWLINE_Manipulando a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o acima obtemos: _NEWLINE_Para encontrar a fun\xc3\xa7\xc3\xa3o m(t) basta aplicamos a inversa da transformada de Laplace usando a propriedade do deslocamento em s'