b'\n_START_ARTICLE_\nContagem (matem\xc3\xa1tica)\n_START_SECTION_\nFormas de contagem\n_START_PARAGRAPH_\nA contagem pode ocorrer de variadas formas._NEWLINE_Podemos contar verbalmente; isto \xc3\xa9, falando cada n\xc3\xbamero em voz alta (ou mentalmente) para acompanhar o progresso. Isto \xc3\xa9 frequentemente utilizado para contar objetos presentes ao inv\xc3\xa9s de contar uma variedade de coisas no decorrer de per\xc3\xadodos de tempo (horas, dias, semanas, etc)._NEWLINE_Tamb\xc3\xa9m podemos contar atrav\xc3\xa9s de marca\xc3\xa7\xc3\xb5es, registrando uma marca para cada objeto e ent\xc3\xa3o contando o total de marcas feitas. Este processo \xc3\xa9 \xc3\xbatil quando deseja-se contar objetos ao longo de per\xc3\xadodos de tempo, tais como o n\xc3\xbamero de ocorr\xc3\xaancias de algo durante um dia. Marca\xc3\xa7\xc3\xb5es t\xc3\xaam base de contagem unit\xc3\xa1ria. A contagem usual \xc3\xa9 realizada em base decimal. Computadores usam base bin\xc3\xa1ria (zeros e uns) para contagem._NEWLINE_Tamb\xc3\xa9m pode-se contar com aux\xc3\xadlio dos dedos, especialmente quando contando pequenos n\xc3\xbameros. Isto \xc3\xa9 frequentemente utilizado por crian\xc3\xa7as para facilitar o processo de contagem (e, tamb\xc3\xa9m opera\xc3\xa7\xc3\xb5es simples)._NEWLINE_V\xc3\xa1rios dispositivos podem ser utilizados para facilitar a contagem, tais como, contadores de m\xc3\xa3o ou \xc3\xa1bacos.\n_START_SECTION_\nContagem em Matem\xc3\xa1tica\n_START_PARAGRAPH_\nEm matem\xc3\xa1tica, a ess\xc3\xaancia da contagem de um conjunto (finito) de objetos \xc3\xa9 determinar um n\xc3\xbamero n, que estabelece uma correspond\xc3\xaancia 1-1 (bije\xc3\xa7\xc3\xa3o) do conjunto de elementos ao conjunto de n\xc3\xbameros {1, 2, 3, ..., n}. Um fato fundamental, que pode ser provado atrav\xc3\xa9s de indu\xc3\xa7\xc3\xa3o matem\xc3\xa1tica, \xc3\xa9 que n\xc3\xa3o pode existir bije\xc3\xa7\xc3\xa3o entre os conjuntos {1, 2, 3, ..., n} e {1, 2, 3, ..., m} a menos que n = m; este fato (junto ao fato de que duas bije\xc3\xa7\xc3\xb5es podem ser compostas, formando outra bije\xc3\xa7\xc3\xa3o) assegura que contagens dos elementos de um mesmo conjunto, ainda que realizadas de diferentes maneiras, nunca resultar\xc3\xa3o em diferentes n\xc3\xbameros._NEWLINE_Muitos conjuntos n\xc3\xa3o permitem o estabelecimento de uma bije\xc3\xa7\xc3\xa3o com {1, 2, 3, ..., n} para qualquer n\xc3\xbamero natural n;  esses conjuntos s\xc3\xa3o chamados conjuntos infinitos, enquanto aqueles conjuntos para os quais existe tal bije\xc3\xa7\xc3\xa3o (para algum n) s\xc3\xa3o chamados conjuntos finitos. Conjuntos infinitos n\xc3\xa3o podem ser contados da maneira usual. Todavia, a extens\xc3\xa3o do racioc\xc3\xadnio utilizado para a contagem do n\xc3\xbamero de elementos de um conjunto finito nos leva a uma forma de classificar conjuntos infinitos._NEWLINE_A no\xc3\xa7\xc3\xa3o de contagem pode ser estendida para o sentido de um estabelecimento (exist\xc3\xaancia) de uma bije\xc3\xa7\xc3\xa3o com algum determinado conjunto. Por exemplo, se \xc3\xa9 poss\xc3\xadvel determinar uma bije\xc3\xa7\xc3\xa3o entre um conjunto infinito e o conjunto do n\xc3\xbameros naturais, ent\xc3\xa3o este conjunto \xc3\xa9 chamado enumer\xc3\xa1vel (cont\xc3\xa1vel infinito ou, apenas, cont\xc3\xa1vel). Esta forma de contagem difere da contagem de um conjunto finito de maneira fundamental, pois a adi\xc3\xa7\xc3\xa3o de novos elementos ao conjunto n\xc3\xa3o necessariamente aumenta o seu tamanho, pois a possibilidade de bije\xc3\xa7\xc3\xa3o com o conjunto original n\xc3\xa3o \xc3\xa9 exclu\xc3\xadda. Por exemplo, o conjunto de todos os n\xc3\xbameros inteiros pode ser posto em bije\xc3\xa7\xc3\xa3o com o conjunto dos n\xc3\xbameros naturais, e mesmo conjuntos aparentemente muito maiores, como o conjunto dos n\xc3\xbameros racionais ainda \xc3\xa9 enumer\xc3\xa1vel. No entanto, existem conjuntos, tais como o conjunto dos n\xc3\xbameros reais, que n\xc3\xa3o admitem uma bije\xc3\xa7\xc3\xa3o com o conjunto dos n\xc3\xbameros naturais. Esses conjuntos s\xc3\xa3o chamados n\xc3\xa3o-enumer\xc3\xa1veis (n\xc3\xa3o-cont\xc3\xa1veis). Se existe uma bije\xc3\xa7\xc3\xa3o entre dois conjuntos, dizemos que eles tem a mesma cardinalidade e, de modo mais geral, a contagem dos elementos de um conjunto pode ser entendida como a determina\xc3\xa7\xc3\xa3o da cardinalidade deste conjunto._NEWLINE_Contagem tem v\xc3\xa1rias aplica\xc3\xa7\xc3\xb5es em matem\xc3\xa1tica. Um importante princ\xc3\xadpio \xc3\xa9 que se dois conjuntos finitos, X e Y, tem o mesmo n\xc3\xbamero de elementos ent\xc3\xa3o uma fun\xc3\xa7\xc3\xa3o f\xc2\xa0: X \xe2\x86\x92 Y que \xc3\xa9 injetiva \xc3\xa9 tamb\xc3\xa9m sobrejetiva e vice-versa. Um fato relacionado \xc3\xa9 conhecido como o princ\xc3\xadpio da casa dos pombos, que anuncia que se dois conjuntos finitos  X e  Y tem, respectivamente,  n e  m elementos, com  n > m, ent\xc3\xa3o qualquer fun\xc3\xa7\xc3\xa3o  f\xc2\xa0: X \xe2\x86\x92 Y n\xc3\xa3o \xc3\xa9 injetiva (ou seja, existem elementos distintos de X com imagens, por f, id\xc3\xaanticas em Y). Argumentos similares, utilizando princ\xc3\xadpios de contagem, s\xc3\xa3o por vezes muito \xc3\xbateis para a realiza\xc3\xa7\xc3\xa3o de demonstra\xc3\xa7\xc3\xb5es.'