b"\n_START_ARTICLE_\nDecomposi\xc3\xa7\xc3\xa3o em valores singulares\n_START_SECTION_\nEnunciado do teorema\n_START_PARAGRAPH_\nSuponha-se que M \xc3\xa9 uma matriz m\xc3\x97n cujas entradas v\xc3\xaam de um corpo de escalares K, que pode ser tanto o corpo de n\xc3\xbameros reais ou o corpo de n\xc3\xbameros complexos. Ent\xc3\xa3o existe uma fatoriza\xc3\xa7\xc3\xa3o da forma:  onde U \xc3\xa9 uma matriz unit\xc3\xa1ria m\xc3\x97m sobre K, a matriz \xce\xa3 \xc3\xa9 uma matriz diagonal m\xc3\x97n com n\xc3\xbameros reais n\xc3\xa3o-negativos na diagonal, e V*, uma matriz unit\xc3\xa1ria n\xc3\x97n sobre K, denota a transposta conjugada de V. Tal fatoriza\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa9 chamada de decomposi\xc3\xa7\xc3\xa3o em valores singulares de M._NEWLINE_Os elementos diagonais  de \xce\xa3 s\xc3\xa3o chamados de valores singulares de M. Uma conven\xc3\xa7\xc3\xa3o bastante comum \xc3\xa9 listar os valores singulares em ordem decrescente. Neste caso, a matriz diagonal \xce\xa3 \xc3\xa9 determinada de forma \xc3\xbanica por M (mas as matrizes U e V n\xc3\xa3o s\xc3\xa3o).\n_START_SECTION_\nRota\xc3\xa7\xc3\xa3o, escala, rota\xc3\xa7\xc3\xa3o\n_START_PARAGRAPH_\nNo caso especial por\xc3\xa9m comum no qual M \xc3\xa9 apenas uma matriz quadrada m\xc3\x97m com determinante positivo cujas entradas s\xc3\xa3o meros n\xc3\xbameros reais, ent\xc3\xa3o U, V*, e \xce\xa3 s\xc3\xa3o matrizes m\xc3\x97m tamb\xc3\xa9m de n\xc3\xbameros reais, \xce\xa3 pode ser vista como uma matriz de escala, e U e V* podem ser vistas como matrizes de rota\xc3\xa7\xc3\xa3o._NEWLINE_Se as condi\xc3\xa7\xc3\xb5es supracitadas s\xc3\xa3o satisfeitas, a express\xc3\xa3o  pode ser interpretada intuitivamente como uma composi\xc3\xa7\xc3\xa3o (ou sequ\xc3\xaancia) de tr\xc3\xaas transforma\xc3\xa7\xc3\xb5es geom\xc3\xa9tricas: uma rota\xc3\xa7\xc3\xa3o, uma escala, e outra rota\xc3\xa7\xc3\xa3o. A figura acima exemplifica como uma matriz de cisalhamento (shear matrix) pode ser descrita como tal sequ\xc3\xaancia.\n_START_SECTION_\nValores singulares como semi-eixos de uma elipse ou elipsoide\n_START_PARAGRAPH_\nComo ilustrado na figura, os valores singulares podem ser interpretados como os semi-eixos de uma elipse em 2D. Este conceito pode ser generalizado para o Espa\xc3\xa7o euclidiano n-dimensional, com valores singulares de qualquer matriz quadrada nxn sendo vistos como os semi-eixos de um elipsoide n-dimensional. Veja abaixo para maiores detalhes.\n_START_SECTION_\nU e V s\xc3\xa3o bases ortonormais\n_START_PARAGRAPH_\nComo U e V* s\xc3\xa3o unit\xc3\xa1rias, as colunas de cada uma formam um conjunto de vetores ortonormais, que podem ser tomados uma base. Pela defini\xc3\xa7\xc3\xa3o de matriz unit\xc3\xa1ria, o mesmo vale para suas conjugadas transpostas U* e V. Em suma, U, U*, V, e V* s\xc3\xa3o bases ortonormais.\n_START_SECTION_\nSolu\xc3\xa7\xc3\xa3o de sistemas lineares homog\xc3\xaaneos\n_START_PARAGRAPH_\nUm conjunto de equa\xc3\xa7\xc3\xb5es lineares homog\xc3\xaaneas pode ser escrito como  para uma matriz e vetor . Uma situa\xc3\xa7\xc3\xa3o t\xc3\xadpica \xc3\xa9 quando  \xc3\xa9 dada e quer-se determinar  n\xc3\xa3o-nulo que satisfa\xc3\xa7a a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o. Tal  pertence ao n\xc3\xbacleo de  e \xc3\xa9 por vezes chamado de vetor nulo (\xc3\xa0 direita) de .  pode ser caracterizado como um vetor singular \xc3\xa0 direita correspondendo a um valor singular de  que seja zero. Isto significa que se  \xc3\xa9 uma matriz quadrada e n\xc3\xa3o tem nenhum valor singular nulo, ent\xc3\xa3o a equa\xc3\xa7\xc3\xa3o tem  n\xc3\xa3o-nulo como solu\xc3\xa7\xc3\xa3o. Tamb\xc3\xa9m significa que se existem v\xc3\xa1rios valores singulares nulos, qualquer combina\xc3\xa7\xc3\xa3o linear dos vetores singulares \xc3\xa0 direita \xc3\xa9 uma solu\xc3\xa7\xc3\xa3o v\xc3\xa1lida. Analogamente \xc3\xa0 defini\xc3\xa7\xc3\xa3o de um vetor nulo (\xc3\xa0 direita), um  n\xc3\xa3o-nulo satisfazendo , com  sendo a transposta conjugada de , \xc3\xa9 chamada de um vetor nulo \xc3\xa0 esquerda de .\n_START_SECTION_\nMinimiza\xc3\xa7\xc3\xa3o de m\xc3\xadnimos quadrados totais\n_START_PARAGRAPH_\nUm problema de m\xc3\xadnimos quadrados totais (total least squares) objetiva determinar o vetor  que minimiza a norma  de um vetor  sob a restri\xc3\xa7\xc3\xa3o . Mostra-se que a solu\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa9 o vetor singular \xc3\xa0 direita de  correspondendo ao menor valor singular.\n_START_SECTION_\nImagem, n\xc3\xbacleo e posto\n_START_PARAGRAPH_\nOutra aplica\xc3\xa7\xc3\xa3o da SVD \xc3\xa9 que a mesma representa explicitamente a imagem e o n\xc3\xbacleo de uma matriz M. Os vetores singulares \xc3\xa0 direita que correspondem a valores singulares nulos de M geram o n\xc3\xbacleo (kernel) de M. Por exemplo, o n\xc3\xbacleo \xc3\xa9 gerado pelas \xc3\xbaltimas duas colunas de  no exemplo acima. Os valores singulares \xc3\xa0 esquerda correspondendo aos valores singulares n\xc3\xa3o-nulos de M geram a imagem de M. Assim, o posto de M \xc3\xa9 igual ao n\xc3\xbamero de valores singulares n\xc3\xa3o-nulos que \xc3\xa9 igual ao n\xc3\xbamero de elementos n\xc3\xa3o-diagonais em ._NEWLINE_Em \xc3\xa1lgebra linear num\xc3\xa9rica os valores singulares podem ser usados para determinar o posto efetivo de uma matriz, j\xc3\xa1 que erros de arredondamento podem levar a valores singulares pequenos por\xc3\xa9m n\xc3\xa3o-nulos numa matriz de posto deficiente.\n_START_SECTION_\nO Algoritmo de Kabsch\n_START_PARAGRAPH_\nO algoritmo de Kabsch (Kabsch algorithm), tamb\xc3\xa9m conhecido como Wahba's problem, utiliza a SVD para calcular a rota\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xb3tima (no sentido dos m\xc3\xadnimos quadrados) que alinha um conjunto de pontos com um conjunto de pontos correspondentes. Isso tem aplica\xc3\xa7\xc3\xb5es para a compara\xc3\xa7\xc3\xa3o de estruturas moleculares e em problemas relacionados a modelos 3D em vis\xc3\xa3o computacional e rob\xc3\xb3tica.\n_START_SECTION_\nOutros exemplos\n_START_PARAGRAPH_\nA SVD \xc3\xa9 tamb\xc3\xa9m aplicada extensivamente ao estudo de problemas inversos lineares e \xc3\xa9 \xc3\xbatil na an\xc3\xa1lise de m\xc3\xa9todos de regulariza\xc3\xa7\xc3\xa3o tais como os de regulariza\xc3\xa7\xc3\xa3o de Tikhonov (Tikhonov regularization). Tamb\xc3\xa9m \xc3\xa9 amplamente utilizada em estat\xc3\xadstica, onde se relaciona com a an\xc3\xa1lise de componentes principais e \xc3\xa0 en:Correspondence analysis, de aplica\xc3\xa7\xc3\xa3o direta em processamento de sinais e reconhecimento de padr\xc3\xb5es. Tamb\xc3\xa9m \xc3\xa9 usada em an\xc3\xa1lise modal, onde os mode shapes n\xc3\xa3o escalados podem ser determinados pelos vetores singulares. Ainda outro uso \xc3\xa9 no indexamento sem\xc3\xa2ntico latente no processamento de linguagem natural textual._NEWLINE_A SVD tamb\xc3\xa9m tem papel crucial no campo da informa\xc3\xa7\xc3\xa3o qu\xc3\xa2ntica (quantum information), numa forma comumente chamada de decomposi\xc3\xa7\xc3\xa3o de Schmidt. Atrav\xc3\xa9s dela, estados de dois sistemas qu\xc3\xa2nticos s\xc3\xa3o decompostos naturalmente, provendo condi\xc3\xa7\xc3\xa3o necess\xc3\xa1ria e suficiente para eles serem entangled\xc2\xa0: se o posto de  \xc3\xa9 maior que um._NEWLINE_Uma aplica\xc3\xa7\xc3\xa3o da SVD para matrizes grandes \xc3\xa9 na previs\xc3\xa3o num\xc3\xa9rica do tempo, onde os vetores singulares gerados podem representar sistemas meteorol\xc3\xb3gicos inteiros. Outra aplica\xc3\xa7\xc3\xa3o \xc3\xa9 a obten\xc3\xa7\xc3\xa3o da equa\xc3\xa7\xc3\xa3o do raio de luz que gerou um ponto em uma proje\xc3\xa7\xc3\xa3o perspectiva de uma cena (como uma foto) atrav\xc3\xa9s da pseudoinversa (Moore\xe2\x80\x93Penrose pseudoinverse)\n_START_SECTION_\nHist\xc3\xb3ria\n_START_PARAGRAPH_\nA decomposi\xc3\xa7\xc3\xa3o em valores singulares foi originalmente desenvolvida por ge\xc3\xb4metras estudando geometria diferencial. Eles desejavam determinar se uma forma bilinear real pode ser tornada igual a uma outra por transforma\xc3\xa7\xc3\xb5es ortogonais independentes dos dois espa\xc3\xa7os no qual ela age. Eugenio Beltrami e Camille Jordan descobriram independentemente, em 1873 e 1874, respectivamente, que os valores singulares das formas bilineares, representados por uma matriz, formam um conjunto completo de invariantes para formas bilineares sob substitui\xc3\xa7\xc3\xb5es ortogonais. James Joseph Sylvester tamb\xc3\xa9m chegou \xc3\xa0 decomposi\xc3\xa7\xc3\xa3o em valores singulares para matrizes quadradas reais em 1889, aparentemente independentemente de Beltrami e Jordan. Sylvester chamou os valores singulares de multiplicadores can\xc3\xb4nicos da matriz A. O quarto matem\xc3\xa1tico a descobrir a decomposi\xc3\xa7\xc3\xa3o em valores singulares de forma independente foi Autonne em 1915, que chegou a ela via a decomposi\xc3\xa7\xc3\xa3o polar (Polar decomposition). A primeira prova da decomposi\xc3\xa7\xc3\xa3o singular para matrizes retangulares e complexas parece ter sido realizada por Carl Eckart e Gale Young em 1936; eles viam a SVD como uma generaliza\xc3\xa7\xc3\xa3o da transforma\xc3\xa7\xc3\xa3o de eixo principal para matrizes hermitianas._NEWLINE_Em 1907, Erhard Schmidt definiu um conceito an\xc3\xa1logo ao de valores singulares para operadores integrais (que s\xc3\xa3o compactos, sob certas premissas t\xc3\xa9cnicas); parece que ele n\xc3\xa3o estava ciente do trabalho paralelo de valores singulares para matrizes finitas. Essa teoria foi levada adiante por \xc3\x89mile Picard em 1910, que \xc3\xa9 o primeiro a chamar os n\xc3\xbameros  de valores singulares (ou valeurs singuli\xc3\xa8res)."