b'\n_START_ARTICLE_\nTangentti (geometria)\n_START_PARAGRAPH_\nTangentti, eli vanhalta nimelt\xc3\xa4\xc3\xa4n sivuaja, on geometriassa suora, jana tai taso, joka sivuaa (yksi yhteinen piste) "samansuuntaisena" k\xc3\xa4yr\xc3\xa4\xc3\xa4 tai pintaa. Tasogeometriassa tangenttina on tangenttisuora, joka sivuaa k\xc3\xa4yr\xc3\xa4\xc3\xa4. Avaruusgeometriassa tangenttina voi olla suora tai tangenttipinta, joka sivuaa (kappaleen) pintaa.\n_START_SECTION_\nHistoria\n_START_PARAGRAPH_\nAntiikin kreikassa tangenttien ongelmaa k\xc3\xa4siteltiin kartioleikkauksissa laajalti. Ensimm\xc3\xa4inen moderni tangentin m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelm\xc3\xa4 esitettiin vasta keskiajan lopulla: tangentti on suora, joka koskettaa k\xc3\xa4yr\xc3\xa4\xc3\xa4 mutta ei leikkaa sit\xc3\xa4. Pierre de Fermat keksi differentiaalilaskennassa jyrkkyyden k\xc3\xa4sitteen ja ilmaisi sen k\xc3\xa4yr\xc3\xa4n tangentilla. Ajatusta kehittiv\xc3\xa4t eteenp\xc3\xa4in muun muassa John Wallis, Isaac Barrow, Isaac Newton ja Gottfried Leibniz. Leibniz ajatteli tangentin olevan sekantti, jonka kaksi leikkauspistett\xc3\xa4 sijaitsivat \xc3\xa4\xc3\xa4rett\xc3\xb6m\xc3\xa4n l\xc3\xa4hell\xc3\xa4 toisiaan._NEWLINE_Tangentin nimi tulee latinan sanasta "tangere", joka tarkoittaa verbi\xc3\xa4 koskettaa.\n_START_SECTION_\nTangentti geometriassa\n_START_PARAGRAPH_\nKun suora kohtaa geometrisen kuvion, syntyy usein yksi tai useampi leikkauspiste. Suoran kohdatessa ympyr\xc3\xa4n voi leikkauspisteit\xc3\xa4 olla kaksi, kun suora leikkaa ympyr\xc3\xa4n sekanttina, yksi kun suora sivuaa ympyr\xc3\xa4\xc3\xa4 tangenttina, tai ei yht\xc3\xa4\xc3\xa4n, jos suora ohittaa ympyr\xc3\xa4n kauempaa. N\xc3\xa4it\xc3\xa4 tapahtumia pidet\xc3\xa4\xc3\xa4n erilaisina kohtaamisina, vaikka 1800-luvulla alettiin tangenttia pit\xc3\xa4\xc3\xa4 sekantin erikoistapauksena. Tangentissa sekantin kaksi leikkauspistett\xc3\xa4 olivat "yhtyneet \xc3\xa4\xc3\xa4rett\xc3\xb6m\xc3\xa4n l\xc3\xa4helle toisiaan".\n_START_SECTION_\nYmpyr\xc3\xa4n tangentti\n_START_PARAGRAPH_\nYmpyr\xc3\xa4n tangentti m\xc3\xa4\xc3\xa4ritell\xc3\xa4\xc3\xa4n siten, ett\xc3\xa4 suoralla ja ympyr\xc3\xa4ll\xc3\xa4 on vain yksi yhteinen piste, jota kutsutaan sivuamispisteeksi. Tangentti piirret\xc3\xa4\xc3\xa4n harpilla ja viivoittimella asemoimalla se kohtisuoraan ympyr\xc3\xa4n s\xc3\xa4dett\xc3\xa4 vastaan. Tangentti on siten s\xc3\xa4teen normaali, joka kulkee s\xc3\xa4teen pituuden et\xc3\xa4isyydell\xc3\xa4 ympyr\xc3\xa4n keskipisteest\xc3\xa4. Lis\xc3\xa4ksi voidaan osoittaa, ett\xc3\xa4 ympyr\xc3\xa4n keh\xc3\xa4n mielivaltaiseen pisteeseen voidaan piirt\xc3\xa4\xc3\xa4 tasan yksi tangentti._NEWLINE_Ympyr\xc3\xa4n keh\xc3\xa4pisteeseen piirret\xc3\xa4\xc3\xa4n tangentti harpilla ja viivoittimella seuraavasti. Piirret\xc3\xa4\xc3\xa4n viivoittimella keh\xc3\xa4pisteen ja keskipisteen v\xc3\xa4lille jana, joka on ympyr\xc3\xa4n s\xc3\xa4de. Sivuamispiste keskipisteen\xc3\xa4 py\xc3\xb6r\xc3\xa4ytet\xc3\xa4\xc3\xa4n samans\xc3\xa4teinen ympyr\xc3\xa4, johon piirret\xc3\xa4\xc3\xa4n halkaisija jatkamalla s\xc3\xa4dett\xc3\xa4. T\xc3\xa4ll\xc3\xa4 halkaisijalla mitataan harppiin uusi s\xc3\xa4de, jolla piirret\xc3\xa4\xc3\xa4n sivuamispiste keskipisteen\xc3\xa4 toisensa leikkaavat puoliympyr\xc3\xa4t. N\xc3\xa4iden leikkauspisteiden kautta piirret\xc3\xa4\xc3\xa4n viivaimella suora, joka on tangentti koska se sivuaa ympyr\xc3\xa4\xc3\xa4._NEWLINE_L\xc3\xa4htem\xc3\xa4ll\xc3\xa4 ympyr\xc3\xa4n ulkopuolisesta pisteest\xc3\xa4 liikkeelle, voidaan ympyr\xc3\xa4lle piirt\xc3\xa4\xc3\xa4 kaksi tangenttia. Tangenttien v\xc3\xa4list\xc3\xa4 kulmaa kutsutaan tangenttikulmaksi. Ympyr\xc3\xa4n ja tangenttien v\xc3\xa4liset sivuamispisteet l\xc3\xb6ydet\xc3\xa4\xc3\xa4n harpilla ja viivoittimella Thaleen lausetta hy\xc3\xb6dynt\xc3\xa4en. Vedet\xc3\xa4\xc3\xa4n ympyr\xc3\xa4n keskipisteen ja ympyr\xc3\xa4n ulkopuolisen pisteen v\xc3\xa4lille jana. Otetaan harppiin matka, joka on yli puolet janan pituudesta ja merkit\xc3\xa4\xc3\xa4n toisensa leikkaavat puoliympyr\xc3\xa4t janan keskiosaan ympyr\xc3\xa4n keskipiste ja ulkopuolinen piste keskipisteen\xc3\xa4. Vedet\xc3\xa4\xc3\xa4n jana puoliympyr\xc3\xb6iden leikkauspisteiden kautta. Janat leikkaavat toisensa pisteess\xc3\xa4, joka on ensimm\xc3\xa4isen janan keskipisteess\xc3\xa4. Kun t\xc3\xa4m\xc3\xa4n pisteen kautta piirt\xc3\xa4\xc3\xa4 ympyr\xc3\xa4n, jonka halkaisija on viimeksi mainittu jana, leikkaa se referenssiympyr\xc3\xa4n kahdessa pisteess\xc3\xa4. Leikkauspisteet ovat tangenttien sivuamispisteet. T\xc3\xa4m\xc3\xa4 n\xc3\xa4kee Thaleen lauseen avulla: ympyr\xc3\xa4n keh\xc3\xa4pisteen (sivuamispiste) kautta kulkevat referenssiympyr\xc3\xa4n s\xc3\xa4de ja ulkopuolisesta pisteest\xc3\xa4 tuleva suora (tangentti), jotka ovat suorassa kulmassa toisiinsa. Siksi suora on ympyr\xc3\xa4n tangentti.\n_START_SECTION_\nEllipsin tangentti\n_START_PARAGRAPH_\nEllipsin sivuamispisteeseen piirretyn tangentin ja polttopisteist\xc3\xa4 sivuamispisteeseen piirrettyjen janojen v\xc3\xa4liset kulmat ovat molemmat samat. Koska tangentin normaali on kohtisuorassa tangenttiin n\xc3\xa4hden, on my\xc3\xb6s edell\xc3\xa4 mainittujen janojen ja normaalin v\xc3\xa4liset kulmat samat. Voidaan sanoa, ett\xc3\xa4 normaali puolittaa janojen v\xc3\xa4lisen kulman. Tangentti voidaan piirt\xc3\xa4\xc3\xa4 seuraavasti. Yhdistet\xc3\xa4\xc3\xa4n polttopisteet sivuamispisteeseen janoilla, joiden v\xc3\xa4linen kulma puolitetaan janalla (normaali). T\xc3\xa4lle janalle piirret\xc3\xa4\xc3\xa4n kohtisuora janan ja ellipsin leikkauspisteeseen, joka on haluttu tangentti._NEWLINE_Ellipsin ison akselin jatkeelta voidaan piirt\xc3\xa4\xc3\xa4 tangentti ellipsille. Merkit\xc3\xa4\xc3\xa4n ison akselin jatkeelta jokin piste ja piirret\xc3\xa4\xc3\xa4n ellipsin ymp\xc3\xa4ri ympyr\xc3\xa4 s\xc3\xa4teen\xc3\xa4\xc3\xa4n iso akseli. Ympyr\xc3\xa4n keh\xc3\xa4lt\xc3\xa4 m\xc3\xa4\xc3\xa4ritet\xc3\xa4\xc3\xa4n tangentin sivuamispiste, josta piirret\xc3\xa4\xc3\xa4n kohtisuora isolle akselille. Kohtisuora leikkaa ellipsin pisteess\xc3\xa4, joka yhdist\xc3\xa4\xc3\xa4 ison akselin pisteen ellipsin tangentilla.\n_START_SECTION_\nParaabelin tangentti\n_START_PARAGRAPH_\nParaabelille voidaan piirt\xc3\xa4\xc3\xa4 kaksi tangenttia pisteest\xc3\xa4, joka sijaitsee k\xc3\xa4yr\xc3\xa4n kuperan puolen ulkopuolella. Piste yhdistet\xc3\xa4\xc3\xa4n aluksi paraabelin polttopisteeseen janalla, joka on samalla ympyr\xc3\xa4n halkaisija. Paraabelille piirret\xc3\xa4\xc3\xa4n sen huippupisteeseen symmetria-akselin normaali, jonka leikkauspisteet ympyr\xc3\xa4n kanssa merkit\xc3\xa4\xc3\xa4n. Ensimm\xc3\xa4isen pisteen ja leikkauspisteiden kautta piirret\xc3\xa4\xc3\xa4n kaksi suoraa. Molemmat suorat ovat paraabelin tangentteja.\n_START_SECTION_\nHyperbelin tangentti\n_START_PARAGRAPH_\nHyperbelille voidaan piirt\xc3\xa4\xc3\xa4 tangentti seuraavasti. Valitaan k\xc3\xa4yr\xc3\xa4lt\xc3\xa4 piste, johon tangentti halutaan. Kummastakin hyperbelin polttopisteest\xc3\xa4 piirret\xc3\xa4\xc3\xa4n pisteen kautta kulkevat puolisuorat. Puolisuorat vastaavat valons\xc3\xa4dett\xc3\xa4, joka alkaa l\xc3\xa4himm\xc3\xa4st\xc3\xa4 polttopisteest\xc3\xa4 ja heijastuu hyperbelin k\xc3\xa4yr\xc3\xa4lt\xc3\xa4. Heijastuminen edellytt\xc3\xa4\xc3\xa4 k\xc3\xa4yr\xc3\xa4n normaalia, jonka suhteen tulo- ja heijastuskulmat ovat yht\xc3\xa4 suuret. T\xc3\xa4m\xc3\xa4 normaali on kohtisuorassa k\xc3\xa4yr\xc3\xa4n tangentia vastaan. Tangentti saadaankin normaalista, joka on tulevan- ja heijastuvan s\xc3\xa4teiden kulmanpuolittaja.\n_START_SECTION_\nTangenttipinnat\n_START_PARAGRAPH_\nJos tila-avaruudessa on pinta, joka voidaan esitt\xc3\xa4\xc3\xa4 esimerkiksi muodossa , voidaan sille asettaa pisteeseen  tangenttitaso, jonka yht\xc3\xa4l\xc3\xb6 on yleisess\xc3\xa4 muodossa'