b'\n_START_ARTICLE_\nSupremum\n_START_SECTION_\nReaalilukujoukon supremum\n_START_PARAGRAPH_\nYl\xc3\xa4rajan m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelm\xc3\xa4. Olkoon ._NEWLINE_Reaaliluku E on joukon S yl\xc3\xa4raja , jos ja vain jos kaikille  p\xc3\xa4tee x \xe2\x89\xa4 E._NEWLINE_Joukko S on ylh\xc3\xa4\xc3\xa4lt\xc3\xa4 rajoitettu jos ja vain jos jokin reaaliluku on sen yl\xc3\xa4raja._NEWLINE_Supremumin m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelm\xc3\xa4. Olkoon edelleen ._NEWLINE_Luku E   on joukon S supremum eli pienin yl\xc3\xa4raja,_NEWLINE_jos ja vain jos se on pienin joukon S yl\xc3\xa4rajoista eik\xc3\xa4 mik\xc3\xa4\xc3\xa4n pienempi reaaliluku ole joukon S yl\xc3\xa4raja._NEWLINE_T\xc3\xa4ll\xc3\xb6in merkit\xc3\xa4\xc3\xa4n E = sup(S). Siis joukolla S on supremum ja kyseinen supremum on E._NEWLINE_E = sup(S) _NEWLINE_1) E  \xe2\x89\xa5  x kaikilla x   S eli E on joukon S yl\xc3\xa4raja._NEWLINE_2) E \xe2\x89\xa4 M kaikilla joukon S yl\xc3\xa4rajoilla M._NEWLINE_Siis viel\xc3\xa4 sanallisesti: Reaaliluku E on joukon S supremum jos ja vain jos E on suurempi tai yht\xc3\xa4suuri kaikkia joukon S alkioita ja E on pienempi tai yht\xc3\xa4suuri kaikkia muita joukon S yl\xc3\xa4rajoja._NEWLINE_Jos ep\xc3\xa4tyhj\xc3\xa4ll\xc3\xa4 joukolla S on olemassa supremum, se on yksik\xc3\xa4sitteinen. Joukolla voi siis olla enint\xc3\xa4\xc3\xa4n yksi supremum._NEWLINE_Todistus. Olkoon sup(S) = E ja sup(S) = E2. Siis E2 on joukon S er\xc3\xa4s yl\xc3\xa4raja. T\xc3\xa4ll\xc3\xb6in supremumin m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelm\xc3\xa4n nojalla E \xe2\x89\xa4 E2. Samoin saadaan E2 \xe2\x89\xa4 E. Siis E = E2.\n_START_SECTION_\nT\xc3\xa4ydellisyysaksiooma\n_START_PARAGRAPH_\nReaalilukujen joukossa on voimassa t\xc3\xa4ydellisyysaksiooma: _NEWLINE_Jos joukko  on ep\xc3\xa4tyhj\xc3\xa4 ja se on ylh\xc3\xa4\xc3\xa4lt\xc3\xa4 rajoitettu, on joukolla S supremum eli pienin yl\xc3\xa4raja joukossa . Ep\xc3\xa4tyhj\xc3\xa4 tarkoittaa, ett\xc3\xa4 joukon S t\xc3\xa4ytyy sis\xc3\xa4lt\xc3\xa4\xc3\xa4 ainakin yksi reaaliluku.  Siis jos joukko S on ylh\xc3\xa4\xc3\xa4lt\xc3\xa4 rajoitettu, niin sup(S) on olemassa._NEWLINE_Jos joukko S sis\xc3\xa4lt\xc3\xa4\xc3\xa4 suurimman alkion eli maksimin, on se joukon S supremum._NEWLINE_Rationaalilukujen joukossa t\xc3\xa4ydellisyysaksiooma ei ole voimassa. Esimerkiksi joukko_NEWLINE_ _NEWLINE__NEWLINE_on ylh\xc3\xa4\xc3\xa4lt\xc3\xa4 rajoitettu, mutta sill\xc3\xa4 ei ole rationaalilukujen joukossa pienint\xc3\xa4 yl\xc3\xa4rajaa. Sen sijaan reaalilukujen joukossa sen pienin yl\xc3\xa4raja eli supremum on .\n_START_SECTION_\nJoukon maksimi\n_START_PARAGRAPH_\nJoukon suurimman alkion eli maksimin on kuuluttava joukkoon kun taas supremumin ei tarvitse kuulua joukkoon. Siis jos supremum on olemassa, se ei v\xc3\xa4ltt\xc3\xa4m\xc3\xa4tt\xc3\xa4 kuulu joukkoon S. Jos joukko S sis\xc3\xa4lt\xc3\xa4\xc3\xa4 suurimman alkion eli maksimin, on se joukon S supremum._NEWLINE_Jos  ja maxS on olemassa niin maxS = sup(S)._NEWLINE_Todistus. Olkoon olemassa maxS = E._NEWLINE_1)E on joukon S yl\xc3\xa4raja eli kaikilla x  S p\xc3\xa4tee x \xe2\x89\xa4 E._NEWLINE_2)Koska E  S niin E \xe2\x89\xa4 sup(S). Toisaalta 1):n nojalla E on joukon S yl\xc3\xa4raja. Siis E \xe2\x89\xa5 sup(S). Siis E = sup(S)._NEWLINE_Ajatellaan negatiivisten reaalilukujen joukkoa, johon nolla ei kuulu. Kyseisell\xc3\xa4 joukolla ei ole suurinta alkiota sill\xc3\xa4 jokaiselle osajoukon alkiolle on aina olemassa toinen, suurempi alkio. Siis jokaiselle x   on olemassa x/2 , jolle  x < x/2. Jokainen reaaliluku joka on suurempi tai yht\xc3\xa4suuri kuin nolla on yl\xc3\xa4raja negatiivisten reaalilukujen joukolle. Siis nolla on negatiivisten reaalilukujen joukon pienin yl\xc3\xa4raja eli supremum. Siis negatiivisten reaalilukujen joukolla on supremum mutta ei suurinta alkiota eli maksimia.\n_START_SECTION_\nSupremumin osoittaminen\n_START_PARAGRAPH_\nYksinkertaisessakin tapauksessa supremumin m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelm\xc3\xa4n soveltaminen on melko ty\xc3\xb6l\xc3\xa4st\xc3\xa4. Seuraavien lauseiden avulla supremumia voidaan tutkia yksinkertaisemmalla tavalla._NEWLINE_Lause 1. Olkoon E = sup(S) ja   > 0. T\xc3\xa4ll\xc3\xb6in on olemassa x  S, jolle x >  E - _NEWLINE_Lause 2. Olkoon S  ja E . T\xc3\xa4ll\xc3\xb6in E = sup(S) jos ja vain jos_NEWLINE_1) E on joukon S yl\xc3\xa4raja. Siis x \xe2\x89\xa4 E kaikilla x  S._NEWLINE_2) Kaikille  > 0  x    S, jolle x > E - _NEWLINE__NEWLINE_Supremum osoitetaan jollakin seuraavista tavoista tilanteesta riippuen:_NEWLINE_a) Jos joukossa S n\xc3\xa4ytt\xc3\xa4isi olevan suurin alkio E, osoitetaan kohdat:_NEWLINE_1) E   S._NEWLINE_2) x \xe2\x89\xa4 E  kaikille x  S._NEWLINE_T\xc3\xa4ll\xc3\xb6in  maxS = sup(S)._NEWLINE_b) Jos joukko S on ylh\xc3\xa4\xc3\xa4lt\xc3\xa4 rajoitettu, mutta joukossa ei ole suurinta alkiota, osoitetaan kohdat:_NEWLINE_1) x \xe2\x89\xa4 E kaikille x  S, jolloin E on S:n er\xc3\xa4s yl\xc3\xa4raja._NEWLINE_2) E -  ei ole S:n yl\xc3\xa4raja. Siis E on yl\xc3\xa4rajoista pienin._NEWLINE_T\xc3\xa4ll\xc3\xb6in E = sup(S)._NEWLINE_c) Osoitetaan, ett\xc3\xa4 joukko ei ole ylh\xc3\xa4\xc3\xa4lt\xc3\xa4 rajoitettu n\xc3\xa4ytt\xc3\xa4m\xc3\xa4ll\xc3\xa4, ett\xc3\xa4 joukossa on mielivaltaisen suuria lukuja. Siis joukosta l\xc3\xb6ytyy mielivaltaisesti valittua rajaa suurempia lukuja.'