b"\n_START_ARTICLE_\nRiemannin integraali\n_START_PARAGRAPH_\nRiemannin integraali on sovellettu integraali, joka on mittaintegraaleihin verrattuna helpommin m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelt\xc3\xa4viss\xc3\xa4. Sen avulla voi m\xc3\xa4\xc3\xa4ritt\xc3\xa4\xc3\xa4 pituuksia, pinta-aloja, tilavuuksia sek\xc3\xa4 py\xc3\xb6r\xc3\xa4hdyskappaleiden tilavuuksia ja pinta-aloja._NEWLINE_Riemannin integraali perustuu integroitavan funktion alle j\xc3\xa4\xc3\xa4v\xc3\xa4n pinta-alan jakamiseen \xc3\xa4\xc3\xa4rett\xc3\xb6m\xc3\xa4n pieniin paloihin. Sill\xc3\xa4 on teoreettisia rajoituksia, jotka voidaan ohittaa k\xc3\xa4ytt\xc3\xa4m\xc3\xa4ll\xc3\xa4 esimerkiksi Lebesguen integraalia, joka saa Riemann-integroituvilla funktioilla samat arvot. On olemassa funktioita, jotka ovat Lebesgue-integroituvia mutta eiv\xc3\xa4t ole Riemann-integroituvia._NEWLINE_Riemannin integraali oli ensimm\xc3\xa4inen funktiolle reaaliakselin v\xc3\xa4lin yli muodollisesti m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelty integraali. Se on nimetty kehitt\xc3\xa4j\xc3\xa4ns\xc3\xa4 Bernhard Riemannin mukaan._NEWLINE_Integrointi on derivoinnin k\xc3\xa4\xc3\xa4nteisoperaatio.\n_START_SECTION_\nRiemannin integraalin m\xc3\xa4\xc3\xa4rittely\n_START_PARAGRAPH_\nRiemannin integraalin m\xc3\xa4\xc3\xa4rittelyn tavoitteena on l\xc3\xb6yt\xc3\xa4\xc3\xa4 yksiselitteinen pinta-ala reaalilukujen tason kuviolle, jonka rajaavat koordinaatistossa suorat ,  ja , sek\xc3\xa4 k\xc3\xa4yr\xc3\xa4 , miss\xc3\xa4  on funktio . Tutkittavat pinta-alat ovat etumerkillisi\xc3\xa4. Toisin sanoen, jos  saa negatiivisia arvoja, ovat pinta-alat negatiivisia. Tason kuvaamiseen k\xc3\xa4ytet\xc3\xa4\xc3\xa4n merkint\xc3\xa4\xc3\xa4:_NEWLINE_Funktion  halutaan sallia olevan mahdollisimman yleinen, toisin sanoen t\xc3\xa4ss\xc3\xa4 ei rajoituta integroitaviin funktioihin, jotka ovat jossakin mieless\xc3\xa4 sopivan sileit\xc3\xa4. T\xc3\xa4m\xc3\xa4n vuoksi t\xc3\xa4ss\xc3\xa4 esitelt\xc3\xa4v\xc3\xa4 m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelm\xc3\xa4 saattaa olla monimutkaisempi kuin joissakin oppikirjoissa._NEWLINE_T\xc3\xa4m\xc3\xa4 m\xc3\xa4\xc3\xa4rittely tehd\xc3\xa4\xc3\xa4n jakamalla v\xc3\xa4li  osav\xc3\xa4leihin, joita sitten tihennet\xc3\xa4\xc3\xa4n \xc3\xa4\xc3\xa4rett\xc3\xb6m\xc3\xa4sti. Jokaisella osav\xc3\xa4lill\xc3\xa4 suoran  ja k\xc3\xa4yr\xc3\xa4n  v\xc3\xa4liin j\xc3\xa4\xc3\xa4v\xc3\xa4\xc3\xa4 pinta-alaa approksimoidaan suorakulmioilla. Jaon tihentyess\xc3\xa4 suorakaiteiden pinta-alojen summan pit\xc3\xa4isi supeta kohti kysytty\xc3\xa4 pinta-alaa. Riemannin integraalissa suorakaiteen korkeudeksi valitaan funktion  arvo osav\xc3\xa4lin mielivaltaisessa pisteess\xc3\xa4, jolloin jokaista jakoa vastaavan kuvion pinta-ala on niin kutsuttu Riemannin summa. T\xc3\xa4ss\xc3\xa4 annetaan kuitenkin my\xc3\xb6s Darboux'n integraalin m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelm\xc3\xa4, miss\xc3\xa4 valitaan kaksi suorakaiteen korkeutta, jotka ovat funktion  maksimi ja minimi kullakin osav\xc3\xa4lill\xc3\xa4, ja sen j\xc3\xa4lkeen tutkitaan, suppenevatko kyseiset pinta-alat, niin kutsutut Darboux'n yl\xc3\xa4- ja alasumma, toisiinsa._NEWLINE_Annetaan nyt muutama m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelm\xc3\xa4, joilla saadaan muotoiltua vaadittava osav\xc3\xa4lien tihent\xc3\xa4minen teknisesti. Olkoon  ja . V\xc3\xa4lin  -v\xc3\xa4linen jako on lukujono _NEWLINE_ _NEWLINE_jolle p\xc3\xa4tee  kaikilla ,  ja . T\xc3\xa4ll\xc3\xb6in v\xc3\xa4lit , miss\xc3\xa4 , muodostavat yhteisi\xc3\xa4 p\xc3\xa4\xc3\xa4tepisteit\xc3\xa4 lukuun ottamatta v\xc3\xa4lin  osituksen. _NEWLINE_Jatkossa jaon merkitsemiseen k\xc3\xa4ytet\xc3\xa4\xc3\xa4n symbolia , ja lis\xc3\xa4ksi oletetaan, ett\xc3\xa4  on -jakoinen, miss\xc3\xa4 siis  on luonnollisten lukujen jono. Jaon  jakopisteit\xc3\xa4 merkit\xc3\xa4\xc3\xa4n symbolilla , miss\xc3\xa4 , eli toisin sanoen_NEWLINE_ _NEWLINE_Jaon  pisin jakov\xc3\xa4li on luku_NEWLINE_Jako  on jaon  tihennys, jos , eli jaossa  on v\xc3\xa4hint\xc3\xa4\xc3\xa4n samat jakopisteet kuin jaossa . Jakojen jono  on tihenev\xc3\xa4, jos jokainen jako  on sit\xc3\xa4 edelt\xc3\xa4v\xc3\xa4n jaon  tihennys.\n_START_SECTION_\nRiemannin summa ja integraali\n_START_PARAGRAPH_\nOlkoon  v\xc3\xa4lin  jako, ja jono _NEWLINE_sellainen, ett\xc3\xa4  kaikilla ._NEWLINE_Olkoon  funktio . Funktion  jakoa  pisteiss\xc3\xa4  vastaava Riemannin summa on_NEWLINE_Riemannin summan jokainen termi vastaa siis sellaisen suorakaiteen etumerkillist\xc3\xa4 pinta-alaa, jonka kanta on  ja korkeus . Se voidaan t\xc3\xa4ten mielt\xc3\xa4\xc3\xa4 etsityn pinta-alan likiarvoksi. Likiarvon voisi olettaa tarkentuvan, kun jakoa tihennet\xc3\xa4\xc3\xa4n, mutta n\xc3\xa4in ei v\xc3\xa4ltt\xc3\xa4m\xc3\xa4tt\xc3\xa4 ole. Esimerkiksi rationaalilukujen joukon indikaattorifunktiolle  voidaan kaikille tiheneville jakojonoille  valita pisteet  siten, ett\xc3\xa4 vastaava Riemannin summien jono  ei suppene._NEWLINE_Riemannin integraali m\xc3\xa4\xc3\xa4ritell\xc3\xa4\xc3\xa4n seuraavaksi tihenev\xc3\xa4n jaon Riemannin summien raja-arvona. Koska raja-arvo ei v\xc3\xa4ltt\xc3\xa4m\xc3\xa4tt\xc3\xa4 ole olemassa, sanotaan Riemann-integroituviksi niit\xc3\xa4 funktioita, joilla raja-arvo on olemassa riippumatta pisteiden  valinnasta._NEWLINE_Olkoon jakojen jono  tihenev\xc3\xa4 ja , kun . T\xc3\xa4m\xc3\xa4n voi tulkita niin, ett\xc3\xa4 jaot hienonevat \xc3\xa4\xc3\xa4rett\xc3\xb6m\xc3\xa4n tiheiksi koko v\xc3\xa4lill\xc3\xa4 . Sanotaan, ett\xc3\xa4 funktion  Riemannin summilla on raja-arvo , jos jokaiselle luvulle  on olemassa luvut  ja  siten, ett\xc3\xa4_NEWLINE_ja  on yksik\xc3\xa4sitteinen kaikilla jonolla . Jos Riemannin summilla on raja-arvo , niin funktio  on Riemann-integroituva v\xc3\xa4lill\xc3\xa4  ja sen Riemannin integraali on luku . T\xc3\xa4ll\xc3\xb6in merkit\xc3\xa4\xc3\xa4n_NEWLINE_T\xc3\xa4ss\xc3\xa4 merkint\xc3\xa4tavassa funktiota  kutsutaan integrandiksi._NEWLINE_T\xc3\xa4m\xc3\xa4 m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelm\xc3\xa4 saattaa olla vaikeaselkoinen ja sen k\xc3\xa4ytt\xc3\xa4minen monimutkaista. Seuraavaksi m\xc3\xa4\xc3\xa4ritell\xc3\xa4\xc3\xa4n Darboux'n integraali, jonka m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelm\xc3\xa4 lienee intuitiivisempi ja joka on ominaisuuksiltaan olennaisin osin sama kuin Riemannin integraali.\n_START_SECTION_\nDarboux'n integraali\n_START_PARAGRAPH_\nOlkoon  reaalifunktio . Funktion  Darboux'n yl\xc3\xa4summa jaolla  on_NEWLINE_Vastaava Darboux'n alasumma on_NEWLINE_Olkoon jakojen jono  tihenev\xc3\xa4 ja , kun . Jaon ollessa tihenev\xc3\xa4, ovat sek\xc3\xa4 Darboux'n yl\xc3\xa4- ett\xc3\xa4 alasummien arvot, eli jonot  ja , monotonisia. Darboux'n yl\xc3\xa4integraali on yl\xc3\xa4summien v\xc3\xa4henev\xc3\xa4n jonon infimum, eli luku_NEWLINE_Darboux'n alaintegraali on puolestaan alasummien kasvavan jonon supremum, eli luku_NEWLINE_Funktio  on Darboux-integroituva, jos edell\xc3\xa4 mainitut raja-arvot ovat yht\xc3\xa4l\xc3\xa4iset eli_NEWLINE_T\xc3\xa4ll\xc3\xb6in kyseist\xc3\xa4 raja-arvoa kutsutaan funktion  Darboux'n integraaliksi yli v\xc3\xa4lin ._NEWLINE_Funktio on Darboux-integroituva jos ja vain jos se on Riemann-integroituva. Yleinen tapa tarkastaa, onko funktio Riemann-integroituva, onkin verrata sen Darboux'n yl\xc3\xa4- ja alaintegraalin arvoja. Lis\xc3\xa4ksi Darboux'n integraalin arvo on sama kuin Riemannin integraalin, toisin sanoen jos  on Darboux- eli Riemann-integroituva, niin_NEWLINE_N\xc3\xa4ist\xc3\xa4 syist\xc3\xa4 johtuen Riemannin integraali voidaan periaatteessa m\xc3\xa4\xc3\xa4ritell\xc3\xa4 kuten Darboux'n integraali. Joissakin oppikirjoissa esitell\xc3\xa4\xc3\xa4nkin Darboux'n integraali Riemannin integraalina._NEWLINE_Darboux'n yl\xc3\xa4- ja alasummat voidaan merkit\xc3\xa4 my\xc3\xb6s  ja , joissa P on v\xc3\xa4lin jako.\n_START_SECTION_\nRiemannin integraalin m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelm\xc3\xa4n yleist\xc3\xa4minen\n_START_PARAGRAPH_\nRiemannin integraali yleistet\xc3\xa4\xc3\xa4n mielivaltaiselle integrandin l\xc3\xa4ht\xc3\xb6joukolle seuraavasti. Olkoon joukko  sellainen, ett\xc3\xa4 ,  reaalifunktio  ja  sen rajoittuma v\xc3\xa4lille . Jos  on Riemann-integroituva, niin sanotaan, ett\xc3\xa4  on Riemann-integroituva v\xc3\xa4lill\xc3\xa4 , ja funktion  Riemannin integraaliksi yli v\xc3\xa4lin  m\xc3\xa4\xc3\xa4ritell\xc3\xa4\xc3\xa4n_NEWLINE_Lis\xc3\xa4ksi m\xc3\xa4\xc3\xa4ritell\xc3\xa4\xc3\xa4n_NEWLINE_ja\n_START_SECTION_\nEp\xc3\xa4oleellinen integraali\n_START_PARAGRAPH_\nEp\xc3\xa4oleellinen integraali on Riemannin integraalien raja-arvo, jossa v\xc3\xa4li, jonka yli integroidaan, l\xc3\xa4hestyy joukkoa jossa Riemannin integraali ei ole edell\xc3\xa4 olevan m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelm\xc3\xa4n mukaan m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelty. Ep\xc3\xa4oleellinen integraali voidaan tulkita Riemannin integraalin laajennukseksi, eik\xc3\xa4 merkinn\xc3\xb6iss\xc3\xa4 n\xc3\xa4ille tehd\xc3\xa4 yleens\xc3\xa4 eroa._NEWLINE_Ensiksi m\xc3\xa4\xc3\xa4ritell\xc3\xa4\xc3\xa4n ep\xc3\xa4oleellinen integraali rajoitetulle suljetulle v\xc3\xa4lille tapauksessa, jossa integrandi ei ole m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelty toisessa v\xc3\xa4lin p\xc3\xa4\xc3\xa4tepisteess\xc3\xa4. Toiseksi m\xc3\xa4\xc3\xa4ritell\xc3\xa4\xc3\xa4n ep\xc3\xa4oleellinen integraali rajoittamattomalle v\xc3\xa4lille._NEWLINE_Olkoon funktio  Riemann-integroituva kaikilla v\xc3\xa4leill\xc3\xa4 . Jos vasemmanpuoleinen raja-arvo_NEWLINE_on olemassa eli reaaliluku, \xc3\xa4\xc3\xa4ret\xc3\xb6n tai miinus \xc3\xa4\xc3\xa4ret\xc3\xb6n, niin funktion  ep\xc3\xa4oleellinen integraali yli v\xc3\xa4lin  on_NEWLINE_Funktiolle  ep\xc3\xa4oleellinen integraali m\xc3\xa4\xc3\xa4ritell\xc3\xa4\xc3\xa4n samoin oikeanpuoleisen raja-arvon kautta._NEWLINE_Olkoon funktio  Riemann-integroituva kaikilla v\xc3\xa4leill\xc3\xa4 . Jos raja-arvo_NEWLINE_on olemassa, niin funktion  ep\xc3\xa4oleellinen integraali yli v\xc3\xa4lin  on_NEWLINE_Samoin m\xc3\xa4\xc3\xa4ritell\xc3\xa4\xc3\xa4n funktiolle\n_START_SECTION_\nRiemannin integraalin ominaisuuksia\n_START_PARAGRAPH_\nKoska Riemannin integraali on m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelty mittateoriasta riippumattomasti, ei se peri kaikkia yleisi\xc3\xa4 mittaintegraalin ominaisuuksia, vaan ne on johdettava sen m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelm\xc3\xa4st\xc3\xa4 analyysin menetelmin. Useimmat niist\xc3\xa4 ovat johdettavissa, mutta erityisesti konvergenssilauseita ei pysty Riemannin integraalille todistamaan ilman mittateoriaa. Ne ja kaikki muutkin mittaintegraalin ominaisuudet kuitenkin ovat voimassa, sill\xc3\xa4 Riemannin integraali yhtenee Riemann-integroituville funktioille joidenkin mittaintegraalien kanssa, esimerkiksi Lebesguen integraalin ja Riemann\xe2\x80\x93Stieltjes-integraalin, jonka integraattori on identtinen kuvaus.\n_START_SECTION_\nRiemann-integroituvia funktioita\n_START_PARAGRAPH_\nSuljetulla v\xc3\xa4lill\xc3\xa4 jatkuvat funktiot ovat Riemann-integroituvia. Riemann-integroituvien funktioiden summa ja tulo on Riemann-integroituva.\n_START_SECTION_\nIntegraalilaskennan v\xc3\xa4liarvolauseita\n_START_PARAGRAPH_\nJos funktio  on Riemann-integroituva v\xc3\xa4lill\xc3\xa4 , niin_NEWLINE_Jos  on jatkuva v\xc3\xa4lill\xc3\xa4 , niin on olemassa sellainen , ett\xc3\xa4_NEWLINE_Edell\xc3\xa4 olleita tuloksia kutsutaan integraalilaskennan v\xc3\xa4liarvolauseiksi. Seuraavia kutsutaan (integraalilaskennan) yleistetyiksi v\xc3\xa4liarvolauseiksi._NEWLINE_Jos funktiot  ja  ovat Riemann-integroituvia v\xc3\xa4lill\xc3\xa4 ,  ja_NEWLINE_niin_NEWLINE_Jos  on jatkuva v\xc3\xa4lill\xc3\xa4 , niin on olemassa sellainen , ett\xc3\xa4\n_START_SECTION_\nRiemann-integroituvien funktioiden jonojen ominaisuuksia\n_START_PARAGRAPH_\nNimenomaan funktiojonoja tutkittaessa Riemannin integraalin tekniset puutteet tulevat esiin. Mittateoriassa on k\xc3\xa4yt\xc3\xa4nn\xc3\xb6llisi\xc3\xa4 ja vahvoja konvergenssilauseita, joiden todistaminen on Riemannin integraalille mahdotonta pelk\xc3\xa4st\xc3\xa4\xc3\xa4n analyysin keinoin. Ne p\xc3\xa4tev\xc3\xa4t my\xc3\xb6s Riemannin integraalille, mutta t\xc3\xa4ss\xc3\xa4 annetaan kaksi ilman mittateoriaa johdettavissa olevaa kaavaa integroimisen ja funktiojonon raja-arvon oton j\xc3\xa4rjestyksen vaihtamiselle. Ne vaativat tasaisen suppenemisen ehdon, mik\xc3\xa4 on vaativampi ja monimutkaisempi kuin konvergenssilauseiden ehdot, jotka ovat funktiojonon monotonisuus tai funktiojonon rajoittuneisuus. Pelkk\xc3\xa4 pisteitt\xc3\xa4inen suppeneminen ei takaa integroimisen ja raja-arvon oton j\xc3\xa4rjestyksen vaihdettavuutta._NEWLINE_Olkoon  jono Riemann-integroituvia funktioita ._NEWLINE_Jos  suppenee tasaisesti kohti Riemann-integroituvaa funktiota, niin raja-arvon ja integroimisen j\xc3\xa4rjestys voidaan vaihtaa, eli p\xc3\xa4tee kaava_NEWLINE_Jos sarja_NEWLINE_ suppenee tasaisesti kohti Riemann-integroituvaa funktiota, niin summan raja-arvon ja integroimisen j\xc3\xa4rjestys voidaan vaihtaa, eli p\xc3\xa4tee kaava\n_START_SECTION_\nRiemannin integraalin arvon m\xc3\xa4\xc3\xa4r\xc3\xa4\xc3\xa4minen\n_START_PARAGRAPH_\nRiemannin integraalin arvo voidaan laskea integraalifunktion avulla. Muita yleisi\xc3\xa4 apukeinoja ovat sijoittaminen eli muuttujanvaihto ja osittaisintegrointi.\n_START_SECTION_\nAnalyysin ensimm\xc3\xa4inen peruslause\n_START_PARAGRAPH_\nAnalyysin ensimm\xc3\xa4inen peruslause antaa yhteyden integraalifunktion ja Riemannin integraalin v\xc3\xa4lille sek\xc3\xa4 hyvin k\xc3\xa4yt\xc3\xa4nn\xc3\xb6llisen tavan Riemannin integraalien laskemiseen. Sen mukaan, jos  on v\xc3\xa4lill\xc3\xa4  jatkuva funktio ja  jokin sen integraalifunktio, niin p\xc3\xa4tee yht\xc3\xa4l\xc3\xb6\n_START_SECTION_\nIntegrointi sijoittamalla\n_START_PARAGRAPH_\nOlkoon  jatkuva funktio reaaliv\xc3\xa4lill\xc3\xa4 . Jos  funktio , jonka derivaatta on jatkuva ja jolle  ja , niin_NEWLINE_T\xc3\xa4ss\xc3\xa4 siis muuttujan  tilalle sijoitetaan muuttujan  kuvaus , eli identtisen kuvauksen  tilalle sijoitetaan kuvaus . T\xc3\xa4t\xc3\xa4 kutsutaan Riemannin integraalin muuttujanvaihtokaavaksi. Laskua, jossa etsit\xc3\xa4\xc3\xa4n kuvaus  ja sijoitetaan se muuttujanvaihtokaavaan, kutsutaan sijoittamalla integroimiseksi.\n_START_SECTION_\nOsittaisintegrointi\n_START_PARAGRAPH_\nOsittaisintegrointi on operaatio, jonka merkitys riippuu asiayhteydest\xc3\xa4, mutta osittaisintegrointikaava Riemannin integraalille p\xc3\xa4tee seuraavassa muodossa. Olkoon  ja  derivoituvia sek\xc3\xa4 derivaatat  ja  Riemann-integroituvia v\xc3\xa4lill\xc3\xa4 . T\xc3\xa4ll\xc3\xb6in\n_START_SECTION_\nRiemannin integraalin sovelluksia\n_START_PARAGRAPH_\nRiemannin integraali soveltuu m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelm\xc3\xa4ns\xc3\xa4 kautta luonnollisesti tasokuvioiden pinta-alojen laskemiseen.\n_START_SECTION_\nTasokuvion pinta-ala\n_START_PARAGRAPH_\nTasokuvion, joka j\xc3\xa4\xc3\xa4 suorien  ja  sek\xc3\xa4 x-akselin ja jatkuvan funktion  kuvaajan  sis\xc3\xa4puolelle, pinta-ala on_NEWLINE_Yleisemmin, jos  ja  ovat jatkuvia funktioita  ja , niin niiden kuvaajien sek\xc3\xa4 suorien  ja  v\xc3\xa4liin j\xc3\xa4\xc3\xa4v\xc3\xa4n tasokuvion pinta-ala on\n_START_SECTION_\nK\xc3\xa4yr\xc3\xa4n py\xc3\xb6r\xc3\xa4hdyskappaleen tilavuus\n_START_PARAGRAPH_\nJos  on jatkuva funktio, niin suorien  ja  ja k\xc3\xa4yr\xc3\xa4n  x-akselin py\xc3\xb6r\xc3\xa4hdyskappaleen tilavuus on\n_START_SECTION_\nK\xc3\xa4yr\xc3\xa4n py\xc3\xb6r\xc3\xa4hdyskappaleen pinnan ala\n_START_PARAGRAPH_\nJos  on funktio , joka on positiivinen v\xc3\xa4lill\xc3\xa4  ja jonka derivaatta on jatkuva v\xc3\xa4lill\xc3\xa4 , niin k\xc3\xa4yr\xc3\xa4n  py\xc3\xb6r\xc3\xa4ht\xc3\xa4ess\xc3\xa4 x-akselin ymp\xc3\xa4ri syntyv\xc3\xa4n kappaleen pinnan ala on"