b'\n_START_ARTICLE_\nAikasarja-analyysi\n_START_PARAGRAPH_\nAikasarja-analyysi on tilastotieteen osa-alue._NEWLINE_Aikasarja on tilastollista dataa, jossa havainnot ovat tyypillisesti mitattuna per\xc3\xa4tt\xc3\xa4isin\xc3\xa4 ajankohtina. Aikasarjoista voidaan tehd\xc3\xa4 p\xc3\xa4\xc3\xa4telmi\xc3\xa4 aineiston taustalla vaikuttavista ilmi\xc3\xb6ist\xc3\xa4, tai laatia ennusteita tulevista tapahtumista. Tyypillisesti aikasarja-analyysi\xc3\xa4 sovelletaan esimerkiksi taloustieteiss\xc3\xa4._NEWLINE_Aikasarja voidaan hajottaa kahteen p\xc3\xa4\xc3\xa4komponenttiin: deterministiseen osaan ja satunnaisvaihteluun. Deterministinen osa voi koostua edelleen erilaisista komponenteista, kuten trendist\xc3\xa4 (usein lineaarinen tai eksponentiaalinen perusmuutos), kausivaihtelusta (vuoden sis\xc3\xa4inen s\xc3\xa4\xc3\xa4nn\xc3\xb6llinen vaihtelu) ja suhdannevaihtelusta (vuosien v\xc3\xa4linen vaihtelusykli). Edell\xc3\xa4 mainittu p\xc3\xa4tee erityisesti taloudelliseen analysiin, mutta my\xc3\xb6s luonnonilmi\xc3\xb6ille on usein tyypillist\xc3\xa4 ainakin vuoden sis\xc3\xa4inen s\xc3\xa4\xc3\xa4nn\xc3\xb6llinen vaihtelu.\n_START_SECTION_\nSelitt\xc3\xa4minen\n_START_PARAGRAPH_\nJos aineisto koostuu kahden tai useamman muuttujan havainnoista, voidaan yhden sarjan vaihtelua yritt\xc3\xa4\xc3\xa4 selitt\xc3\xa4\xc3\xa4 muiden sarjojen vaihteluilla. T\xc3\xa4m\xc3\xa4 voi auttaa ymm\xc3\xa4rt\xc3\xa4m\xc3\xa4\xc3\xa4n paremmin kyseess\xc3\xa4 olevan aikasarjan mekanismia ja vaihtelun syit\xc3\xa4.\n_START_SECTION_\nEnnustaminen\n_START_PARAGRAPH_\nUsein havaitulla aikasarjalla pyrit\xc3\xa4\xc3\xa4n ennustamaan tulevia havaintoja. Aikasarja-analyysill\xc3\xa4 voidaan pyrki\xc3\xa4 ennustamaan esimerkiksi yrityksen tulevan tilikauden myynti\xc3\xa4, raaka-aineiden hinnan kehityst\xc3\xa4 tai vaikka korkotason muutoksia.\n_START_SECTION_\nKontrollointi\n_START_PARAGRAPH_\nEsimerkiksi teollisuudessa voidaan tuotantoprosessia kontrolloida aikasarjojen avulla. Aikaisempien havaintojen avulla voidaan esimerkiksi pyrki\xc3\xa4 arvioimaan milloin tuotantoprosessi siirtyy tiettyjen tavoitealueiden ulkopuolelle ja laitteisto voidaan s\xc3\xa4\xc3\xa4t\xc3\xa4\xc3\xa4 ennalta ehk\xc3\xa4isev\xc3\xa4sti.\n_START_SECTION_\nMuunnokset\n_START_PARAGRAPH_\nUseimmat aikasarja-analyysin menetelm\xc3\xa4t vaativat normaalijakautuneen ja stationaarisen aikasarjan. Yksinkertaistettuna aikasarjaa voidaan kutsua stationaariseksi, jos sen tilastolliset ominaisuudet eiv\xc3\xa4t riipu ajasta eli aikasarjan keskiarvo tai varianssi ei muutu systemaattisesti ajan kuluessa. N\xc3\xa4iden vaatimusten vuoksi aikasarjaa joudutaan usein tekem\xc3\xa4\xc3\xa4n jonkinlaisia muunnoksia ennen varsinaista analysointia. Yleisimpi\xc3\xa4 muunnoksia ovat logaritmimuunnos, neli\xc3\xb6juurimuunnos sek\xc3\xa4 yleisemmin Box-Cox-muunnokset, josta edell\xc3\xa4 olevat ovat erityistapauksia.\n_START_SECTION_\nAikasarjamalleja\n_START_PARAGRAPH_\nAikasarja-analyysin tavoitteena on yleens\xc3\xa4 l\xc3\xb6yt\xc3\xa4\xc3\xa4 havaitun aikasarjan avulla satunnaisprosessin todenn\xc3\xa4k\xc3\xb6isyysjakauma tosin usein varsinaisen todenn\xc3\xa4k\xc3\xb6isyysjakauman sijaan tarkastellaan prosessin momentteja, kuten odotusarvoa ja autokovarianssifunktiota. N\xc3\xa4iden selvitt\xc3\xa4miseksi havaittua aikasarjaa pyrit\xc3\xa4\xc3\xa4n mallintamaan erilaisilla aikasarjamalleilla._NEWLINE_Yksinkertaisin aikasarjamalli on puhdas satunnaisprosessi (white noise), joka koostuu sarjasta riippumattomia ja samoinjakautuneita satunnaismuuttujia . Usein oletetaan lis\xc3\xa4ksi, ett\xc3\xa4 satunnaismuuttujat ovat normaalistijakautuneita parametrein . Puhdas satunnaisprosessi on usein pohjana monimutkaisempia malleja rakennettaessa._NEWLINE_Aikasarjamallia kutsutaan satunnaiskuluksi (tai satunnaisk\xc3\xa4velyksi), jos , miss\xc3\xa4  on diskreetti satunnaisprosessi eli aikasarjan havainto  m\xc3\xa4\xc3\xa4r\xc3\xa4ytyy edellisen havainnon ja satunnaisprosessin tuottaman luvun summana. Satunnaiskulkua voidaan k\xc3\xa4ytt\xc3\xa4\xc3\xa4 esimerkiksi osakehintojen mallinnuksessa._NEWLINE_Liukuvan keskiarvon mallissa (moving average, MA) prosessin havainto  on painotettu summa edellisist\xc3\xa4 havainnoista, . MA-malleja voidaan k\xc3\xa4ytt\xc3\xa4\xc3\xa4 esimerkiksi ekonometrian sovelluksissa. Usein erilaisiin talouden indikaattorilukuihin vaikuttaa jokin satunnainen tapahtuma, kuten lakko tai tietyn raaka-aineen saatavuuden romahdus. N\xc3\xa4ill\xc3\xa4 tapahtumilla voi v\xc3\xa4litt\xc3\xb6m\xc3\xa4n vaikutuksen lis\xc3\xa4ksi olla pidempiaikainen vaikutus ja t\xc3\xa4ll\xc3\xb6in MA-malli voi olla sopiva aikasarjan mallintamiseen._NEWLINE_Autoregressiivinen malli (autoregressive, AR) voidaan ajatella er\xc3\xa4\xc3\xa4nlaisena lineaarisena regressiomallina, jossa aikasarjan edelliset havainnot ovat mallin selitt\xc3\xa4jin\xc3\xa4. AR-malli voidaan m\xc3\xa4\xc3\xa4ritell\xc3\xa4 lausekkeella: , miss\xc3\xa4  on regressiokerroin ja  satunnaisprosessista saatu virhetermi. AR-malli voidaan soveltaa hyvin monenlaisiin tilanteisiin, joissa vain on aiheellista olettaa tietyn havainnon riippuvan lineaarisesti edellisist\xc3\xa4 havainnoista._NEWLINE_MA- ja AR-prosesseja yhdist\xc3\xa4m\xc3\xa4ll\xc3\xa4 saadaan usein aikasarja-analyysiss\xc3\xa4 k\xc3\xa4ytetty ARMA-malli, joka voidaan m\xc3\xa4\xc3\xa4ritell\xc3\xa4 lausekkeella: . ARMA-mallin hyvi\xc3\xa4 puolia on se, ett\xc3\xa4 aikasarja saatetaan saada sen avulla kuvattua v\xc3\xa4hemmill\xc3\xa4 parametreill\xc3\xa4 kuin puhtaita MA- tai AR-malleja k\xc3\xa4ytett\xc3\xa4ess\xc3\xa4.\n_START_SECTION_\nAikasarja-analyysi taloustieteiss\xc3\xa4\n_START_PARAGRAPH_\nAikasarja-analyysi\xc3\xa4 sovelletaan laajalti taloustieteiss\xc3\xa4. Aikasarja-analyysi on tullut taloustieteisiin alun perin t\xc3\xa4htitieteen kautta. Ensimm\xc3\xa4isi\xc3\xa4 sovelluskohteita aikasarja-analyysille talousteiteiss\xc3\xa4 olivat suhdannevaihteluiden ja markkinamekanismien tutkimus, joita tehtiin jo ennen toista maailmansotaa._NEWLINE_Taloustieteess\xc3\xa4 aikasarjamallit jaetaan karkeasti kahteen perustyyppiin. N\xc3\xa4m\xc3\xa4 ovat muuttuvan deterministisen komponentin malli ja satunnaissys\xc3\xa4ysmalli. Deterministisen komponentin malli on seuraava  miss\xc3\xa4  on analysoitava stokastinen prosessi,  ajassa muuttuva deterministinen osa ja  addittiivinen satunnaismuuttuja, k\xc3\xa4yt\xc3\xa4nn\xc3\xb6ss\xc3\xa4 useimmiten [valkoinen kohina|valkoinen kohinaprosessi]. Mallissa ep\xc3\xa4tarkkuus on luonteeltaan mittausvirheen kaltaista, tarkasteltavaan ilmi\xc3\xb6\xc3\xb6n vaikuttamatonta ep\xc3\xa4tarkkuutta. T\xc3\xa4m\xc3\xa4 l\xc3\xa4hetymistapa heijastelee menetelm\xc3\xa4n historiaa t\xc3\xa4htitieteess\xc3\xa4._NEWLINE_Satunnaissys\xc3\xa4ysmalli on taasen  miss\xc3\xa4  on valkoista kohinaa eli satunnaissys\xc3\xa4ysten jono. T\xc3\xa4ss\xc3\xa4 mallissa aikasarjan kuvaavan ilmi\xc3\xb6n generointiin on satunnaisuudella ratkaiseva merkitys._NEWLINE_Er\xc3\xa4s muu varhainen l\xc3\xa4hestymistapa on soveltaa Fourier\'n lausetta aikasarjojen analyysiin. T\xc3\xa4llaista l\xc3\xa4hestymistapaa kutsutaan harmoniseksi analyysiksi. Ensimm\xc3\xa4ist\xc3\xa4 kertaa t\xc3\xa4t\xc3\xa4 menetelm\xc3\xa4\xc3\xa4 sovelsi Schuster vuonna 1898. T\xc3\xa4ll\xc3\xb6in h\xc3\xa4n sovelsi sit\xc3\xa4 etsiess\xc3\xa4\xc3\xa4n auringonpilkkujen esiintymissarjoista jaksollisuuksia._NEWLINE_Huomattava edistysaskel tapahtuu vuonna 1930, jolloin Wiener m\xc3\xa4\xc3\xa4rittelee "integroidun periodogramman"  jossa  on stokastisen prosessin autokorrelaatiofunktio. T\xc3\xa4m\xc3\xa4 muistuttaa kerrointa lukuun ottamatta spektritiheysfunktion integraalia, jolloin t\xc3\xa4st\xc3\xa4 on l\xc3\xa4htenyt liikkeelle my\xc3\xb6s modernin spektrianalyysin teoria.'