b'\n_START_ARTICLE_\nTopologin sinik\xc3\xa4yr\xc3\xa4\n_START_PARAGRAPH_\nTopologin sinik\xc3\xa4yr\xc3\xa4 on tason pistejoukko, jonka muodostavat suorien x = 0 ja x = 1 v\xc3\xa4liin j\xc3\xa4\xc3\xa4v\xc3\xa4 osa funktion y = sin (1/x) kuvaajasta sek\xc3\xa4 origo. Topologisena avaruutena sill\xc3\xa4 on joukko erikoisia ominaisuuksia, joiden vuoksi sit\xc3\xa4 k\xc3\xa4ytet\xc3\xa4\xc3\xa4n usein esimerkkin\xc3\xa4 oppikirjoissa.\n_START_SECTION_\nMatemaattinen m\xc3\xa4\xc3\xa4ritelm\xc3\xa4\n_START_PARAGRAPH_\nTopologin sinik\xc3\xa4yr\xc3\xa4 voidaan m\xc3\xa4\xc3\xa4ritell\xc3\xa4 sellaisen funktion f kuvaajana, joka saa puoliavoimen v\xc3\xa4lin (0, 1] jokaisessa pisteess\xc3\xa4 x arvon  ja arvolla 0 arvon 0:_NEWLINE_Toisinaan topologin sinik\xc3\xa4yr\xc3\xa4ksi m\xc3\xa4\xc3\xa4ritell\xc3\xa4\xc3\xa4n laajempi avaruus, johon kuuluvat origon lis\xc3\xa4ksi sanotun funktion kuvaajan koko origon oikealla puolella oleva osa:_NEWLINE_Sen topologia saadaan tason topologiasta relatiivitopologiana.\n_START_SECTION_\nMuunnelmia\n_START_PARAGRAPH_\nTopologin sinik\xc3\xa4yr\xc3\xa4st\xc3\xa4 on olemassa muunnelmia, joilla on muita mielenkiintoisia ominaisuuksia._NEWLINE_Suljettu topologin sinik\xc3\xa4yr\xc3\xa4 voidaan m\xc3\xa4\xc3\xa4ritell\xc3\xa4 lis\xc3\xa4\xc3\xa4m\xc3\xa4ll\xc3\xa4 topologin sinik\xc3\xa4yr\xc3\xa4\xc3\xa4n sen kosketuspisteiden joukko eli pisteiden (0,-1) ja (0,1) v\xc3\xa4linen jana . Se on samalla topologin sinik\xc3\xa4yr\xc3\xa4n sulkeuma.  T\xc3\xa4m\xc3\xa4 joukko on suljettu ja rajoitettu ja n\xc3\xa4in ollen Heinen\xe2\x80\x93Borelin lauseen mukaan kompakti avaruus, mutta sill\xc3\xa4 on muutoin samankaltaisia ominaisuuksia kuin topologin sinik\xc3\xa4yr\xc3\xa4ll\xc3\xa4: se on yhten\xc3\xa4inen, mutta ei lokaalisti yhten\xc3\xa4inen eik\xc3\xa4 polkuyhten\xc3\xa4inen._NEWLINE_Laajennettu topologinen sinik\xc3\xa4yr\xc3\xa4 m\xc3\xa4\xc3\xa4ritell\xc3\xa4\xc3\xa4n lis\xc3\xa4\xc3\xa4m\xc3\xa4ll\xc3\xa4 suljettuun topologin sinik\xc3\xa4yr\xc3\xa4\xc3\xa4n viel\xc3\xa4 pisteiden (0,1) ja (1,1) v\xc3\xa4linen jana .  Topologisena avaruutena se on polkuyhten\xc3\xa4inen, mutta ei lokaalisti yhten\xc3\xa4inen._NEWLINE_Varsovan ympyr\xc3\xa4 saadaan lis\xc3\xa4\xc3\xa4m\xc3\xa4ll\xc3\xa4 suljettuun topologin sinik\xc3\xa4yr\xc3\xa4\xc3\xa4n kaari, joka yhdist\xc3\xa4\xc3\xa4 pisteen (0, -1) pisteeseen (1, sin 1).  T\xc3\xa4m\xc3\xa4 avaruus ei ole kutistuva, vaikka sen kaikki homotopiaryhm\xc3\xa4t ovat triviaaleja.'