b'\n_START_ARTICLE_\nEulerin suora\n_START_PARAGRAPH_\nEulerin suora on geometriassa er\xc3\xa4iden kolmion merkillisten pisteiden kautta kulkeva suora. Ensimm\xc3\xa4iset Eulerin suoralla tunnetut pisteet olivat kolmion painopiste, kolmion ymp\xc3\xa4ri piirretyn ympyr\xc3\xa4n keskipiste ja kolmion ortokeskus. Nyky\xc3\xa4\xc3\xa4n tunnetaan muitakin merkillisi\xc3\xa4 pisteit\xc3\xa4, jotka sijaitsevat Eulerin suoralla. Suora on nimetty Leonhard Eulerin mukaan.\n_START_SECTION_\nViitekehys\n_START_PARAGRAPH_\nKolmion merkilliset pisteet tunneettiin jo antiikin kreikassa. Silloin oli huomattu, ett\xc3\xa4 kolmion korkeusjanat leikkasivat toisensa aina samassa pisteess\xc3\xa4, oli kolmion muoto mik\xc3\xa4 tahansa. T\xc3\xa4t\xc3\xa4 ominaisuutta pidettiin "merkillisen\xc3\xa4". My\xc3\xb6s kolmion kulmanpuolittajien ja keskinormaalien tiedettiin tekev\xc3\xa4n n\xc3\xa4in._NEWLINE_Vasta klassisella ajalla l\xc3\xb6ydettiin uusia "merkillisi\xc3\xa4 pisteit\xc3\xa4", joista jotkin olivat kesken\xc3\xa4\xc3\xa4n samalla suoralla. Eulerin suoran lis\xc3\xa4ksi tunnetaan esimerkiksi Nagelin suora, Gergonnen suora ja Soddyn suora, joiden nimet ovat l\xc3\xa4hteist\xc3\xa4\xc3\xa4n vapaasti suomennettuja. N\xc3\xa4m\xc3\xa4 suorat kuuluvat suurempaan suorien joukkoon, josta useimmat ovat nime\xc3\xa4m\xc3\xa4tt\xc3\xb6mi\xc3\xa4 suoria._NEWLINE_Nyky\xc3\xa4\xc3\xa4n merkillisi\xc3\xa4 pisteit\xc3\xa4 tunnetaan yli 5\xc2\xa0000 ja Eulerin suoralle niist\xc3\xa4 osuu yli 100. Merkilliset pisteet on luetteloitu muun muassa Kimberlingin merkillisten pisteiden ensyklopediassa tunnuksill\xc3\xa4 , miss\xc3\xa4 i on pisteen indeksi eli j\xc3\xa4rjestysnumero. Eulerin suoran merkitys on ainakin historiallinen, koska se on ensimm\xc3\xa4inen t\xc3\xa4llainen havaittu suora.\n_START_SECTION_\nOminaisuuksia ja erityispiirteit\xc3\xa4\n_START_PARAGRAPH_\nEulerin suoralta tunnettiin ensin keskinormaalien leikkauspiste (O = ), korkeusjanojen leikkauspiste eli ortokeskus (H = ) ja mediaanien leikkauspiste eli kolmion painopiste (G = ). N\xc3\xa4ist\xc3\xa4  on samalla kolmion ymp\xc3\xa4ri piirretyn ympyr\xc3\xa4n keskipiste. Nelj\xc3\xa4s tunnettu piste Eulerin suoralla on yhdeks\xc3\xa4n pisteen ympyr\xc3\xa4n (N = ) keskipiste._NEWLINE_Tasasivuisessa kolmiossa pisteet , ,  ja  yhtyv\xc3\xa4t yhdeksi pisteeksi. Muissa kolmioissa ne ovat aina erill\xc3\xa4\xc3\xa4n toisistaan. Pisteiden v\xc3\xa4limatkojen suhteet s\xc3\xa4ilyv\xc3\xa4t samoina, vaikka referenssikolmion muoto muuttuisikin. Mik\xc3\xa4li mukaan otetaan viel\xc3\xa4 yksi merkillinen piste, de Longchampsin piste (L = ), suhtautuvat j\xc3\xa4rjestettyjen pisteiden \xe2\x88\x92\xe2\x88\x92\xe2\x88\x92\xe2\x88\x92 eli L\xe2\x88\x92O\xe2\x88\x92G\xe2\x88\x92N\xe2\x88\x92H v\xc3\xa4limatkat suhdeluvuilla 6\xe2\x88\x922\xe2\x88\x921\xe2\x88\x923._NEWLINE_Eulerin suora leikkaa Soddyn suoran de Longchampsin pisteess\xc3\xa4 () , Gergonnen suoran Evansin pisteess\xc3\xa4   ja Nagelin suoran painopisteess\xc3\xa4 G eli .\n_START_SECTION_\nTodistus\n_START_PARAGRAPH_\nOlkoon R, S, T kolmion ABC sivujen keskipisteet, H ABC:n ortokeskus, O ABC:n ymp\xc3\xa4ri piirretyn ympyr\xc3\xa4n keskipiste ja M ABC:n keskijanojen leikkauspiste. Silloin jana RO on kohtisuorassa janan ST kanssa, jana SO kohtisuorassa janan RT kanssa, joten O on RST ortokeskus ja ABC on yhdenmuotoinen ABC:n kanssa. Lis\xc3\xa4ksi AR ja ST ovat suunnikkaan ATRS l\xc3\xa4vist\xc3\xa4j\xc3\xa4t, joten ne puolittavat toisensa. T\xc3\xa4st\xc3\xa4 seuraa, ett\xc3\xa4 M on my\xc3\xb6s kolmion RST keskijanojen leikkauspiste. Yhdenmuotoisuudesta seuraa, ett\xc3\xa4 molemmissa kolmioissa OMR ja HMA k\xc3\xa4rjen, ortokeskuksen ja painopisteen muodostamat kolmiot ovat yhdenmuotoiset. Siis kulma OMR = kulma HMA. T\xc3\xa4m\xc3\xa4 tarkoittaa, ett\xc3\xa4 O, M ja H ovat samalla suoralla.\n_START_SECTION_\nHistoria\n_START_PARAGRAPH_\nVuonna 1765 Leonhard Euler osoitti, ett\xc3\xa4 kaikissa kolmioissa ortokeskus, ymp\xc3\xa4r\xc3\xb6iv\xc3\xa4n ympyr\xc3\xa4n keskipiste ja painopiste ovat kollineaarisia.'