b'\n_START_ARTICLE_\nRhindin papyrus\n_START_PARAGRAPH_\nRhindin papyrus (Rhindin matemaattinen papyrus, RMP, usein my\xc3\xb6s Ahmesin papyrus tai Ahmosen papyrus), jolla on my\xc3\xb6s tunnisteet British Museum 10057 ja pBM 10058, on matemaattisia probleemoja sis\xc3\xa4lt\xc3\xa4v\xc3\xa4 papyrusk\xc3\xa4\xc3\xa4r\xc3\xb6, jota pidet\xc3\xa4\xc3\xa4n parhaana osoituksena muinaisten egyptil\xc3\xa4isten matemaattisesta tiet\xc3\xa4myksest\xc3\xa4. Se on nimetty skotlantilaisen antikvaari Henry Rhindin mukaan, joka vuonna 1858 hankki t\xc3\xa4m\xc3\xa4n papyruksen Egyptin Luxorista. Papyrusta pidet\xc3\xa4\xc3\xa4n yhten\xc3\xa4 vanhimmista matemaattisista dokumenteista maailmassa._NEWLINE_Papyrus on ilmeisesti l\xc3\xb6ydetty laittomissa kaivauksissa Ramesseumissa tai sen l\xc3\xa4heisyydess\xc3\xa4, ja se on per\xc3\xa4isin noin vuodelta 1650 eaa. tai noin vuodelta 1550 eaa. Sit\xc3\xa4 s\xc3\xa4ilytet\xc3\xa4\xc3\xa4n British Museumissa, joka sai sen haltuunsa vuonna 1865 yhdess\xc3\xa4 Egyptil\xc3\xa4isen matemaattisen nahkak\xc3\xa4\xc3\xa4r\xc3\xb6n kanssa, jonka Henry Rind my\xc3\xb6s oli omistanut. Muutamat katkelmat papyruksesta l\xc3\xb6ydettiin kuitenkin vuonna 1922 New Yorkiin p\xc3\xa4\xc3\xa4tyneiden l\xc3\xa4\xc3\xa4ketieteellisten tekstien kokoelmasta, ja niit\xc3\xa4 s\xc3\xa4ilytet\xc3\xa4\xc3\xa4n nykyisin New Yorkin Brooklyn Museumissa, ja keskelt\xc3\xa4 18\xc2\xa0cm:n pituinen osa on kadonnut. Moskovan matemaattisen papyruksen ohella se on toinen tunnetuista egyptil\xc3\xa4isist\xc3\xa4 matemaattisista papyruksista. Rhindin papyrus on laajempi, mutta Moskovan matemaattinen papyrus on sit\xc3\xa4 vanhempi.\n_START_SECTION_\nAlkuper\xc3\xa4\n_START_PARAGRAPH_\nRhindin matemaattinen papyrus on per\xc3\xa4isin muinaisen Egyptin toiselta v\xc3\xa4likaudelta. Sen on kirjuri Ahmes (Ahmose) kopioinut vanhemmasta, 12. dynastian faarao Amenemhat III:n aikaisesta, nyttemmin kadonneesta tekstist\xc3\xa4. Se on kirjoitettu hieraattisilla kirjoitusmerkeill\xc3\xa4, se on 33\xc2\xa0cm korkuinen ja koostuu useista osista, joiden yhteenlaskettu pituus on viisi metri\xc3\xa4. Papyrusta alettiin tulkitta ja selvitt\xc3\xa4\xc3\xa4 matemaattisesti 1800-luvun lopulla. Viel\xc3\xa4 vuonna 2008 sen matemaattinen tulkinta ei ollut kaikilta osin valmis. Dokumentti on p\xc3\xa4iv\xc3\xa4tty hyksokuningas Apepi I:n 33. vuotena, mutta sen k\xc3\xa4\xc3\xa4nt\xc3\xb6puolella on erillinen osa, joka on p\xc3\xa4iv\xc3\xa4tty 11. vuotena, todenn\xc3\xa4k\xc3\xb6isesti Apepin seuraajan Khamudin hallitsijakautta._NEWLINE_Rhindin papyrus osoittaa, ett\xc3\xa4 jo sen kirjoittamisen aikaan oli puhtaan aritmetiikan ohella alettu tutkia my\xc3\xb6s algebraa. Jo silloin pyrkimyksen\xc3\xa4 oli ratkaista matemaattisia ongelmia, jossa esiintyy tuntematon suure.\n_START_SECTION_\nSis\xc3\xa4lt\xc3\xb6 ja sit\xc3\xa4 k\xc3\xa4sittelev\xc3\xa4t julkaisut\n_START_PARAGRAPH_\nRhindin papyrus on jaettu kolmeen lukuun. Siin\xc3\xa4 on kaikkiaan 84 matemaattista probleemaa. Kaikille niille esitet\xc3\xa4\xc3\xa4n my\xc3\xb6s ratkaisut, mutta l\xc3\xa4hesk\xc3\xa4\xc3\xa4n kaikkien kohdalla ei selitet\xc3\xa4, miten ratkaisuun on p\xc3\xa4\xc3\xa4dytty._NEWLINE_Papyruksen alussa Ahmes ilmoittaa sen sis\xc3\xa4lt\xc3\xa4v\xc3\xa4n "tarkkoja laskuja asioiden tutkimiseksi ja tietoa kaikista asioista, mysteereist\xc3\xa4 ja salaisuuksista:" H\xc3\xa4n jatkaa:_NEWLINE_T\xc3\xa4m\xc3\xa4 kirja kopioitiin vuonna 33 akhetin 4. kuukautena Yl\xc3\xa4- ja Ala-Egyptin kuninkaan majesteetin Awserren hallitsijakaudella vanhasta kopiosta, joka oli tehty Yl\xc3\xa4- ja Ala-Egyptin kuningas Nimaatren aikana. Kirjuri Ahmose kirjoittaa t\xc3\xa4m\xc3\xa4n kopion._NEWLINE_Rhindin papyruksesta on julkaistu useita kirjoja ja artikkeleita, joista muutamat ovat varsin merkitt\xc3\xa4vi\xc3\xa4. Rhindin papyruksen julkaisi englanniksi k\xc3\xa4\xc3\xa4nnettyn\xc3\xa4 ja kommenteilla varustettuna Thomas Eric Peet vuonna 1923. Chace julkaisi vuosina 1927\xe2\x80\x931929 k\xc3\xa4\xc3\xa4nn\xc3\xb6ksen ja suppean yhteenvedon, joka sis\xc3\xa4lsi my\xc3\xb6s valokuvia papyruksesta. My\xc3\xb6hemmin yleiskatsauksen Rhindin papyruksesta ovat julkaisseet muun muassa Robins ja Shute vuonna 1987.\n_START_SECTION_\nEnsimm\xc3\xa4inen luku\n_START_PARAGRAPH_\nRhindin papyruksen ensimm\xc3\xa4inen luku k\xc3\xa4sitt\xc3\xa4\xc3\xa4 taulukoita, joihin my\xc3\xb6hemmin viitataan, sek\xc3\xa4 20 aritmeettista ja 20 algebrallista probleemaa. Probleemat alkavat yksinkertaisista murtolukulausekkeista, joiden j\xc3\xa4lkeen seuraa t\xc3\xa4ydennysprobleemja (sekhem) ja lopulta lineaarisilla yht\xc3\xa4l\xc3\xb6ill\xc3\xa4 ratkaistavia teht\xc3\xa4vi\xc3\xa4, joita egyptil\xc3\xa4isten k\xc3\xa4sittelem\xc3\xa4ss\xc3\xa4 muodossa sanotaan aha-probleemoiksi.\n_START_SECTION_\nProbleemoja\n_START_PARAGRAPH_\nN\xc3\xa4iden taulukoiden j\xc3\xa4lkeen papyruksessa esitet\xc3\xa4\xc3\xa4n kaikkiaan 84 probleemaa, joista ensimm\xc3\xa4iset 40 kuuluvat ensimm\xc3\xa4iseen kirjaan ja ovat luonteeltaan algebrallisia._NEWLINE_Probleemat 1\xe2\x80\x936 k\xc3\xa4sittelev\xc3\xa4t leiv\xc3\xa4npalasten jakamista 10 miehen kesken, ja tulokset ilmoitetaan yksikk\xc3\xb6murtolukujen summina. Probleemoissa 7\xe2\x80\x9320 osoitetaan, miten lausekkeet 1 + 1/2 + 1/4 ja 1 + 2/3 + 1/3 kerrotaan eri murtoluvuilla._NEWLINE_Probleemat 21\xe2\x80\x9323 ovat t\xc3\xa4ydennysprobleemoja, jota nykyisin ratkaistaisiin yksinkertaisesti murtolukujen v\xc3\xa4hennyslaskulla. Kirjuri ratkaisi probleeman kertomalla sen kokonaisuudessaan nimitt\xc3\xa4jien pienimm\xc3\xa4ll\xc3\xa4 yhteisell\xc3\xa4 jaettavalla, mink\xc3\xa4 j\xc3\xa4lkeen probleema oli helposti ratkaistavissa ja tulos muunnettiin takaisin murtolukumuotoon._NEWLINE_Probleemat 24\xe2\x80\x9334 ovat niin sanottuja \xe2\x80\x98\xe2\x80\x99aha\xe2\x80\x99\xe2\x80\x99 -probleemoja. Nykyisin k\xc3\xa4sittein ilmaistuina ne ovat itse asiassa ensimm\xc3\xa4isen asteen yht\xc3\xa4l\xc3\xb6it\xc3\xa4, joissa yht\xc3\xa4l\xc3\xb6st\xc3\xa4 ratkaistava tuntematon suure ilmaistiin egyptin kielen sanalla \xe2\x80\x98\xe2\x80\x99aha\xe2\x80\x99\xe2\x80\x99, joka merkitsee kasaa tai kokonaisuutta. Esimerkiksi lause_NEWLINE_Aha, se kokonaan, sen seitsem\xc3\xa4s osa, tekee kaikkiaan 19._NEWLINE_merkitsi samaa, mik\xc3\xa4 nykyisin ilmaistaisiin yht\xc3\xa4l\xc3\xb6ll\xc3\xa4:_NEWLINE_Probleemat 35\xe2\x80\x9338 k\xc3\xa4sittelev\xc3\xa4t egyptil\xc3\xa4isen tilavuusyksik\xc3\xb6n, hekatin jakamista murto-osiinsa. Probleemat 39 ja 40 k\xc3\xa4sittelev\xc3\xa4t viljasadon jakamista ja niiss\xc3\xa4 k\xc3\xa4ytet\xc3\xa4\xc3\xa4n aritmeettisia lukujonoja.\n_START_SECTION_\nToinen luku\n_START_PARAGRAPH_\nRhindin papyruksen toinen luku sis\xc3\xa4lt\xc3\xa4\xc3\xa4 geometrisia probleemoja. Peet viittasi n\xc3\xa4ihin probleemoihin nimitt\xc3\xa4m\xc3\xa4ll\xc3\xa4 niit\xc3\xa4 "mittausprobleemoiksi".\n_START_SECTION_\nPinta-alat\n_START_PARAGRAPH_\nProbleemat 48\xe2\x80\x9355 k\xc3\xa4sittelev\xc3\xa4t erilaisten alueiden pinta-alojen laskemista. Niist\xc3\xa4 tunnetuimmaksi on tullut probleema 48, joka k\xc3\xa4sittelee ympyr\xc3\xa4n pinta-alaa ja jonka on usein sanottu sis\xc3\xa4lt\xc3\xa4v\xc3\xa4n yhden varhaisimmista tunnetuista \xcf\x80:n likiarvoista. Siin\xc3\xa4 ympyr\xc3\xa4n pinta-alaa, jonka likiarvona k\xc3\xa4ytet\xc3\xa4\xc3\xa4n kahdeksankulmion pinta-alaa, verrataan sen ymp\xc3\xa4ri piirretyn neli\xc3\xb6n pinta-alaan. Neli\xc3\xb6n jokainen sivu jaetaan kolmeen yht\xc3\xa4 suureen osaan, mink\xc3\xa4 j\xc3\xa4lkeen tarkastellaan kahdeksankulmiota, joka saadaan, kun neli\xc3\xb6n jokaisesta nurkasta poistetaan tasakylkisen kolmion muotoinen alue. J\xc3\xa4ljelle j\xc3\xa4\xc3\xa4v\xc3\xa4 kahdeksankulmio on pinta-alaltaan likipit\xc3\xa4en yht\xc3\xa4 suuri kuin ympyr\xc3\xa4. Tarkemmin sanottuna, jos alkuper\xc3\xa4isen neli\xc3\xb6n sivu oli 9 pituusyksikk\xc3\xb6\xc3\xa4, t\xc3\xa4m\xc3\xa4n kahdeksankulmion pinta-ala on: . Todetaan, ett\xc3\xa4 luku 63 on l\xc3\xa4hell\xc3\xa4 lukua 64 ja ett\xc3\xa4 . Alkuper\xc3\xa4isen neli\xc3\xb6n pinta-ala sen sijaan oli  pituusyksikk\xc3\xb6\xc3\xa4. P\xc3\xa4\xc3\xa4ttely\xc3\xa4 jatketaan probleemassa 50, jossa p\xc3\xa4\xc3\xa4dyt\xc3\xa4\xc3\xa4n siihen, ett\xc3\xa4 ympyr\xc3\xa4n pinta-ala on likipit\xc3\xa4en yht\xc3\xa4 suuri kuin sellaisen neli\xc3\xb6n pinta-ala, jonka sivu on kahdeksan yhdeks\xc3\xa4sosaa ympyr\xc3\xa4n halkaisijasta. Jos ympyr\xc3\xa4n pinta-alalle olisi jo silloin tunnettu lauseke , t\xc3\xa4st\xc3\xa4 olisi saatu \xcf\x80:lle likiarvo , sen sijaan ett\xc3\xa4 nykyisin tunnettu likiarvo alkaa 3,14159._NEWLINE_On pitk\xc3\xa4lti onnellinen sattuma, ett\xc3\xa4 t\xc3\xa4ll\xc3\xa4 kahdeksankulmaisella kuviolla, jonka pinta-ala on helppo laskea, saadaan ympyr\xc3\xa4n pinta-alalle n\xc3\xa4inkin hyv\xc3\xa4 likiarvo. Itse asiassa jos neli\xc3\xb6n sivu on a, on kyseisen kahdeksankulmion pinta-ala 7(a/3)\xc2\xb2, mist\xc3\xa4 \xcf\x80:lle saadaan likiarvo 28/9 = 3 1/9, mik\xc3\xa4 on kauempana oikeasta kuin Rhindin ilmoittama. Kun toisaalta luku 63 korvattiin luvulla 64, t\xc3\xa4st\xc3\xa4 saatu virhe vaikutti p\xc3\xa4invastaiseen suuntaan ja paransi osaltaan saatua likiarvoa._NEWLINE_Muut probleemat k\xc3\xa4sittelev\xc3\xa4t suorakulmioiden, kolmioiden ja puolisuunnikkaiden pinta-alojen m\xc3\xa4\xc3\xa4ritt\xc3\xa4mist\xc3\xa4.'