b"\n_START_ARTICLE_\nGabrielin torvi\n_START_PARAGRAPH_\nGabrielin torvi eli Torricellin trumpetti on Evangelista Torricellin keksim\xc3\xa4 geometrinen kappale tai sen rajapinta, jolla on \xc3\xa4\xc3\xa4rellinen tilavuus mutta \xc3\xa4\xc3\xa4ret\xc3\xb6n pinta-ala.\n_START_SECTION_\nNimen alkuper\xc3\xa4\n_START_PARAGRAPH_\nNimi Gabrielin torvi viittaa arkkienkeli Gabrieliin, joka Raamatun mukaan k\xc3\xa4ytt\xc3\xa4\xc3\xa4 torvea ilmoittaakseen ihmisille toisinaan ilahduttavia, toisinaan kohtalokkaitakin uutisia, esimerkiksi Harmagedonin taistelun yhteydess\xc3\xa4, yhdist\xc3\xa4en t\xc3\xa4ten jumalallisen \xc3\xa4\xc3\xa4rett\xc3\xb6myyden ja inhimillisen \xc3\xa4\xc3\xa4rellisyyden.\n_START_SECTION_\nN\xc3\xa4enn\xc3\xa4inen paradoksi\n_START_PARAGRAPH_\nKun Gabrielin torven ominaisuudet oli keksitty, sit\xc3\xa4 seikkaa, ett\xc3\xa4 xy-tason \xc3\xa4\xc3\xa4rett\xc3\xb6m\xc3\xa4n pitk\xc3\xa4lle ulottuvan alueen py\xc3\xb6r\xc3\xa4ht\xc3\xa4ess\xc3\xa4 x-akselin ymp\xc3\xa4ri syntyv\xc3\xa4ll\xc3\xa4 kappaleella on \xc3\xa4\xc3\xa4rellinen tilavuus, pidettiin paradoksina._NEWLINE_Vaikka torven ja xy-tason leikkauksen pinta-ala on \xc3\xa4\xc3\xa4ret\xc3\xb6n, sen ja mink\xc3\xa4 tahansa muun samansuuntaisen tason pinta-ala on \xc3\xa4\xc3\xa4rellinen. N\xc3\xa4in ollen tilavuus, joka voidaan laskea my\xc3\xb6s leikkausten 'painotettuna keskiarvona, on \xc3\xa4\xc3\xa4rellinen._NEWLINE_Mahdollisesti viel\xc3\xa4 vakuuttavampi l\xc3\xa4hestymistapa on pit\xc3\xa4\xc3\xa4 torvea levyjen pinona, joiden s\xc3\xa4de jatkuvasti pienenee. Koska ne ovat kaikki samanmuotoisia, voisi ensin kuvitella, ett\xc3\xa4 torven tilavuutta laskettaessa olisi ensin laskettava levyjen s\xc3\xa4teet yhteen, mutta ne muodostavat harmonisen sarjan, jonka raja-arvo on \xc3\xa4\xc3\xa4ret\xc3\xb6n. Tarkemmin ajateltuna on kuitenkin selv\xc3\xa4\xc3\xa4, ett\xc3\xa4 onkin laskettava niiden s\xc3\xa4teiden neli\xc3\xb6iden summa. Niist\xc3\xa4 kunkin s\xc3\xa4de on  ja pinta-ala .  Sarja  hajaantuu, mutta sarja  suppenee. Yleens\xc3\xa4kin jokaiselle reaaliluvulle  pitee, ett\xc3\xa4  suppenee._NEWLINE_N\xc3\xa4enn\xc3\xa4inen paradoksi muodosti osan \xc3\xa4\xc3\xa4rett\xc3\xb6myyden luonteesta k\xc3\xa4ydyss\xc3\xa4 keskustelussa, johon osallistuivat monet aikakauden huomattavimmat ajattelijat kuten Thomas Hobbes, John Wallis ja Galileo Galilei.\n_START_SECTION_\nMaalarin paradoksi\n_START_PARAGRAPH_\nKoska torvella on \xc3\xa4\xc3\xa4rellinen tilavuus, mutta \xc3\xa4\xc3\xa4ret\xc3\xb6n pinta-ala, n\xc3\xa4ytt\xc3\xa4isi silt\xc3\xa4, ett\xc3\xa4 se voitaisiin t\xc3\xa4ytt\xc3\xa4\xc3\xa4 \xc3\xa4\xc3\xa4rellisell\xc3\xa4 m\xc3\xa4\xc3\xa4r\xc3\xa4ll\xc3\xa4 maalia, mutta sama m\xc3\xa4\xc3\xa4r\xc3\xa4 maalia ei riitt\xc3\xa4isi peitt\xc3\xa4m\xc3\xa4\xc3\xa4n sen sis\xc3\xa4pintaa, mik\xc3\xa4 vaikuttaa paradoksilta._NEWLINE_Jos maalikerros olisi \xc3\xa4\xc3\xa4rett\xc3\xb6m\xc3\xa4n ohut, riitt\xc3\xa4isi pisarakin maalia maalaamaan koko torven. Todellisuudessa n\xc3\xa4in ei tietenk\xc3\xa4\xc3\xa4n ole, vaan maalikerroksella on aina jokin positiivinen, nollaa suurempi paksuus. Gabrielin torven sis\xc3\xa4pinnalle levitetty kerros ei kuitenkaan voisi olla tasapaksu, vaan kohdassa x = a sen paksuus voisi olla enint\xc3\xa4\xc3\xa4n , ja a:n kasvaessa t\xc3\xa4m\xc3\xa4 paksuus pienenee rajatta. T\xc3\xa4t\xc3\xa4 paksumpi maalikerros ei torven sis\xc3\xa4\xc3\xa4n kyseiseen kohtaan mahtuisikaan. Puhtaan matemaattisessa mieless\xc3\xa4 \xc3\xa4\xc3\xa4rellinen m\xc3\xa4\xc3\xa4r\xc3\xa4 maalia tosiaan voi peitt\xc3\xa4\xc3\xa4 \xc3\xa4\xc3\xa4rett\xc3\xb6m\xc3\xa4n pinta-alan, kunhan vain maalikerroksen paksuus yh\xc3\xa4 kauemmas ment\xc3\xa4ess\xc3\xa4 pienee tarpeeksi nopeasti, jotta sen pieneneminen kompensoi pinta-alan kasvun. Gabrielin torven tapauksessa sen paksuuden pienenemisen tekeekin v\xc3\xa4ltt\xc3\xa4m\xc3\xa4tt\xc3\xb6m\xc3\xa4ksi my\xc3\xb6s torven kapeneminen. Sen sijaan sen ulkopinnan peitt\xc3\xa4minen tasapaksulla maalikerroksella, olipa se kuinka ohut tahansa, edellytt\xc3\xa4isi \xc3\xa4\xc3\xa4rett\xc3\xb6m\xc3\xa4n paljon maalia._NEWLINE_N\xc3\xa4in ollen paradoksi on ratkaistavissa siin\xc3\xa4kin tapauksessa, ett\xc3\xa4 maali ja torven materiaali oletetaan jatkuvaksi aineeksi. Todellisuudessa aine ei kuitenkaan ole loppumattomiin jaettavissa, ja jossakin kohdassa torvi tulee liian kapeaksi, jotta sis\xc3\xa4\xc3\xa4n mahtuisi edes yksi molekyyli maalia. Sit\xc3\xa4 paitsi torvi itsekin koostuu atomeista tai molekyyleist\xc3\xa4, eik\xc3\xa4 sen pinta tarkkaan katsottuna ole jatkuva sile\xc3\xa4 k\xc3\xa4yr\xc3\xa4. T\xc3\xa4ten paradoksin edellytt\xc3\xa4m\xc3\xa4 tilanne ei edes ole fysikaalisesti toteutettavissa, ja siihen johtava p\xc3\xa4\xc3\xa4ttely menett\xc3\xa4\xc3\xa4 merkityksens\xc3\xa4, sill\xc3\xa4 jatkuvan aineen sijasta on lopulta k\xc3\xa4sitelt\xc3\xa4v\xc3\xa4 erillisi\xc3\xa4 hiukkasia ja niiden v\xc3\xa4lisi\xc3\xa4 et\xc3\xa4isyyksi\xc3\xa4 ja t\xc3\xa4ll\xc3\xb6in turvauduttava kvanttifysiikkaan.\n_START_SECTION_\nK\xc3\xa4\xc3\xa4nteinen tilanne\n_START_PARAGRAPH_\nGabrielin torvelle k\xc3\xa4\xc3\xa4nteist\xc3\xa4 tilannetta, jossa py\xc3\xb6r\xc3\xa4hdyspinnan ala olisi \xc3\xa4\xc3\xa4rellinen mutta se rajoittaisi \xc3\xa4\xc3\xa4rett\xc3\xb6m\xc3\xa4n tilavuuden, ei voi esiinty\xc3\xa4. T\xc3\xa4m\xc3\xa4 voidaan todistaa seuraavasti:\n_START_SECTION_\nLause\n_START_PARAGRAPH_\nOlkoon f: [1,\xe2\x88\x9e) \xe2\x86\x92 [0,\xe2\x88\x9e) jatkuvasti differentioituva funktio. Olkoon S py\xc3\xb6r\xc3\xa4hdyskappale, joka syntyy k\xc3\xa4yr\xc3\xa4n  py\xc3\xb6r\xc3\xa4ht\xc3\xa4ess\xc3\xa4 x-akselin ymp\xc3\xa4ri. Jos t\xc3\xa4m\xc3\xa4n kappaleen pinnan ala on \xc3\xa4\xc3\xa4rellinen, my\xc3\xb6s kappaleen tilavuus on \xc3\xa4\xc3\xa4rellinen."