b'\n_START_ARTICLE_\nKonstruoituva luku\n_START_PARAGRAPH_\nTason piste on konstruoituva, jos se voidaan konstruoida geometrisesti k\xc3\xa4ytt\xc3\xa4en harppia ja viivainta. Luvun sanotaan olevan konstruoituva luku, jos sit\xc3\xa4 vastaava piste tavanomaisessa euklidisessa koordinaatistossa on konstruoituva._NEWLINE_Geometristen konstruktioteht\xc3\xa4vien suorittaminen koordinaatistossa mahdollistaa my\xc3\xb6s analyyttisen geometrian hy\xc3\xb6dynt\xc3\xa4misen konstruktioteht\xc3\xa4vien tutkimiseen. Lis\xc3\xa4ksi 1800-luvulla keksittiin soveltaa konstruktioteht\xc3\xa4viin kuntien teoriaa, jolloin k\xc3\xa4ytt\xc3\xb6\xc3\xb6n saatiin algebran ty\xc3\xb6v\xc3\xa4lineit\xc3\xa4. N\xc3\xa4in voitiin todistaa mahdottomiksi ongelmia, joita oli menestyksett\xc3\xb6m\xc3\xa4sti yritetty ratkaista yli kahden vuosituhannen ajan.\n_START_SECTION_\nAritmeettiset operaatiot\n_START_PARAGRAPH_\nHarppia ja viivainta k\xc3\xa4ytt\xc3\xa4m\xc3\xa4ll\xc3\xa4 aritmeettiset operaatiot muuttuvat visuaalisiksi. Jo pelk\xc3\xa4n viivaimen avulla voidaan suorittaa nelj\xc3\xa4 peruslaskutoimitusta: summa, erotus, tulo ja osam\xc3\xa4\xc3\xa4r\xc3\xa4. Voidaan osoittaa, ett\xc3\xa4 n\xc3\xa4iden operaatioiden avulla voidaan konstruoida koko rationaalilukujen joukko \\Q, kun annettuna on jana, jonka pituus on 1._NEWLINE_Konstruoituvien lukujen m\xc3\xa4\xc3\xa4r\xc3\xa4 kasvaa entisest\xc3\xa4\xc3\xa4n, kun viivaimen avuksi otetaan harppi: t\xc3\xa4ll\xc3\xb6in voidaan laskea my\xc3\xb6s annetun luvun neli\xc3\xb6juuri. Huomattavaa on, ett\xc3\xa4 n\xc3\xa4in p\xc3\xa4\xc3\xa4st\xc3\xa4\xc3\xa4n my\xc3\xb6s rationaalilukujen ulkopuolelle: esimerkiksi luvun 2 neli\xc3\xb6juuri ei ole rationaalinen, vaikka se on konstruoituva (ks. kuva). Jokainen rationaaliluku on siis konstruoituva, mutta kaikki konstruoituvat luvut eiv\xc3\xa4t ole rationaalilukuja._NEWLINE_Harpin ja viivaimen avulla suoritetuissa operaatioissa kukin luku esitet\xc3\xa4\xc3\xa4n sit\xc3\xa4 vastaavan mittaisen janan avulla.\n_START_SECTION_\nSumma\n_START_PARAGRAPH_\nKahden luvun x ja y summa x + y lasketaan asettamalla lukujen x ja y mittaiset janat per\xc3\xa4kk\xc3\xa4in. Summa x + y on n\xc3\xa4in syntyv\xc3\xa4n yhteisjanan pituus.\n_START_SECTION_\nErotus\n_START_PARAGRAPH_\nLukujen x ja y erotus x - y lasketaan asettamalla lukujen x ja y mittaiset janat sis\xc3\xa4kk\xc3\xa4in niin, ett\xc3\xa4 janojen p\xc3\xa4\xc3\xa4tepisteet ovat samat. Erotus x - y on janoista pidemm\xc3\xa4n se j\xc3\xa4ljelle j\xc3\xa4\xc3\xa4v\xc3\xa4 osa, jota lyhyempi jana ei yll\xc3\xa4 peitt\xc3\xa4m\xc3\xa4\xc3\xa4n (kuvassa merkitty sinisell\xc3\xa4).\n_START_SECTION_\nTulo\n_START_PARAGRAPH_\nLukujen x ja y tulo xy lasketaan hy\xc3\xb6dynt\xc3\xa4m\xc3\xa4ll\xc3\xa4 yhdenmuotoisia kolmioita. Piirret\xc3\xa4\xc3\xa4n kaksi suoraa, jotka leikkaavat toisiaan, ja asetetaan luvun x mittainen jana ensimm\xc3\xa4iselle suoralle ja lukua y vastaava jana toiselle. Asetetaan seuraavaksi luvun 1 mittainen jana toiselle suoralle niin, ett\xc3\xa4 sen alkupiste on suorien leikkauspisteess\xc3\xa4. Piirret\xc3\xa4\xc3\xa4n suora, joka yhdist\xc3\xa4\xc3\xa4 lukua 1 vastaavan janan p\xc3\xa4\xc3\xa4tepisteen lukua x vastaavan janan p\xc3\xa4\xc3\xa4tepisteeseen. Kun lopuksi piirret\xc3\xa4\xc3\xa4n t\xc3\xa4m\xc3\xa4n \xc3\xa4sken piirretyn suoran kanssa yhdensuuntainen suora lukua y vastaavan janan p\xc3\xa4\xc3\xa4tepisteen kautta, se leikkaa toista alussa piirretyist\xc3\xa4 suorista kohdassa, jota voidaan merkit\xc3\xa4 vaikkapa kirjaimella z. T\xc3\xa4ll\xc3\xb6in syntyy kaksi yhdenmuotoista kolmiota, joiden vastinsivujen suhteista n\xc3\xa4hd\xc3\xa4\xc3\xa4n, ett\xc3\xa4 1/x=y/z, joten z = xy (kuvassa sinisell\xc3\xa4).\n_START_SECTION_\nOsam\xc3\xa4\xc3\xa4r\xc3\xa4\n_START_PARAGRAPH_\nOsam\xc3\xa4\xc3\xa4r\xc3\xa4n x / y laskeminen muistuttaa tulon laskemista. Piirret\xc3\xa4\xc3\xa4n j\xc3\xa4lleen kaksi toisiaan leikkaavaa suoraa, joista toiselle asetetaan luvun x mittainen jana, ja toiselle luvun y mittainen jana. Asetetaan toiselle suoralle luvun 1 mittainen jana. Piirret\xc3\xa4\xc3\xa4n nyt suora lukua y vastaavan janan p\xc3\xa4\xc3\xa4tepisteest\xc3\xa4 lukua x vastaavan janan p\xc3\xa4\xc3\xa4tepisteeseen (tuloa laskettaessa suora piirrettiin lukua 1 vastaavan janan p\xc3\xa4\xc3\xa4tepisteest\xc3\xa4 lukua x vastaavan janan p\xc3\xa4\xc3\xa4tepisteeseen). Kun lopuksi piirret\xc3\xa4\xc3\xa4n \xc3\xa4sken piirretyn suoran kanssa yhdensuuntainen suora lukua 1 vastaavan janan p\xc3\xa4\xc3\xa4tepisteen kautta, se leikkaa toista alkuper\xc3\xa4isist\xc3\xa4 suorista kohdassa z. Syntyy kaksi yhdenmuotoista kolmiota, joiden vastinsivujen suhteista n\xc3\xa4hd\xc3\xa4\xc3\xa4n, ett\xc3\xa4 z/1 = x/y, eli z = x/y.\n_START_SECTION_\nNeli\xc3\xb6juuri\n_START_PARAGRAPH_\nLuvun x neli\xc3\xb6juuren konstruoimiseen vaaditaan viivaimen lis\xc3\xa4ksi my\xc3\xb6s harppia. Asetetaan lukua x vastaavan janan alkuun (tai loppuun) luvun 1 mittainen jana, ja piirret\xc3\xa4\xc3\xa4n ympyr\xc3\xa4, jonka halkaisija on \xc3\xa4sken saatu jana 1 + x. Piirret\xc3\xa4\xc3\xa4n lis\xc3\xa4ksi jana z lukuja x ja 1 vastaavien janojen kohtauspisteest\xc3\xa4 ympyr\xc3\xa4n keh\xc3\xa4lle, ja yhdistet\xc3\xa4\xc3\xa4n t\xc3\xa4m\xc3\xa4 keh\xc3\xa4n piste janan 1 + x p\xc3\xa4\xc3\xa4tepisteisiin. Muodostuu kolmio, joka on Thaleen lauseen mukaan suorakulmainen. Ennen kaikkea muodostuu kaksi yhdenmuotoista kolmiota, joiden vastinsivujen suhteista saadaan z/1 = x/z, joten z^2 = x, ja edelleen z = \\sqrt{x}.\n_START_SECTION_\nKuntateoreettinen l\xc3\xa4hestymistapa\n_START_PARAGRAPH_\nGeometriset konstruktiot voidaan ilmaista kuntateorian kielell\xc3\xa4 varsin luontevasti. Tarkasteluun nostetaan konstruoitujen pisteiden koordinaatit, ja eritysesti ne kunnat, joihin koordinaatit kuuluvat. Tyypillisesti geometrisissa konstruktioissa l\xc3\xa4ht\xc3\xb6pisteiksi ja rakennusalustaksi otetaan rationaalilukujen kunta \\Q._NEWLINE_Suoritettaessa konstruktioita harpin ja viivaimen avulla syntyy uusia pisteit\xc3\xa4, ja kuten edell\xc3\xa4 n\xc3\xa4htiin, niiden koordinaatit eiv\xc3\xa4t v\xc3\xa4ltt\xc3\xa4m\xc3\xa4tt\xc3\xa4 ole en\xc3\xa4\xc3\xa4 rationaalisia. Liitet\xc3\xa4\xc3\xa4n siis jokaiseen uuteen konstruoituun pisteeseen P = (a,b) algebrallinen kuntalaajennus \\Q\\left(a,b\\right), joka on pienin mahdollinen kunta, joka sis\xc3\xa4lt\xc3\xa4\xc3\xa4 sek\xc3\xa4 rationaaliluvut ett\xc3\xa4 juuri konstruoidut luvut a ja b._NEWLINE_Kuntalaajennuksen asteella tarkoitetaan laajennuksen dimensiota vektoriavaruutena. Voidaan osoittaa, ett\xc3\xa4 t\xc3\xa4m\xc3\xa4 aste on aina yht\xc3\xa4 suuri kuin laajennuksen minimipolynomin aste._NEWLINE_Esimerkkin\xc3\xa4 voidaan tarkastella laajennuksen \\Q(\\sqrt{2}) astetta. Jos luvun \\sqrt{2} minipolynomi joukossa \\Q olisi astetta 1, minimipolynomin olisi oltava x - \\sqrt{2}. T\xc3\xa4m\xc3\xa4 polynomi ei kuitenkaan ole rationaalikertoiminen, joten laajennuksen asteen on oltava suurempi kuin 1. Toisaalta \\sqrt{2} on toisen asteen polynomin x^2 - 2 juuri, joten se on luvun 2 neli\xc3\xb6juuren minimipolynomi joukossa \\Q. Laajennuksen \\Q(\\sqrt{2}) aste on siis 2, ja merkit\xc3\xa4\xc3\xa4n [\\Q(\\sqrt{2})\\colon \\Q] = 2._NEWLINE_Erityisesti voidaan osoittaa, ett\xc3\xa4 mik\xc3\xa4li piste on konstruoituva, niin sit\xc3\xa4 vastaavan kuntalaajennoksen asteen on aina oltava jokin luvun 2 potenssi, eli jos piste (a,b) on konstruoituva, niin \\left[\\Q\\left(a,b\\right)\\colon \\Q\\right] = 2^n jollain n\\in\\N. T\xc3\xa4t\xc3\xa4 eritt\xc3\xa4in t\xc3\xa4rke\xc3\xa4\xc3\xa4 tietoa voidaan hy\xc3\xb6dynt\xc3\xa4\xc3\xa4 menestyksekk\xc3\xa4\xc3\xa4sti tutkittaessa onko jokin konstruktio mahdollista suorittaa harpin ja viivaimen avulla.'