b"\n_START_ARTICLE_\nYst\xc3\xa4v\xc3\xa4llinen lukupari\n_START_PARAGRAPH_\nYst\xc3\xa4v\xc3\xa4llinen lukupari on kahden eri luvun (n ja m) lukupari, jossa n on m:n tekij\xc3\xb6iden summa ja m n:n tekij\xc3\xb6iden summa. Pari m = 284, n = 220 on esimerkki t\xc3\xa4llaisista luvuista, koska 284 = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 ja 220 = 1+2+4+71+142. Se on samalla pienin mahdollinen yst\xc3\xa4v\xc3\xa4llinen lukupari.\n_START_SECTION_\nYst\xc3\xa4v\xc3\xa4lukujen ominaisuuksia\n_START_PARAGRAPH_\nOn olemassa erilaisia konstruktioita l\xc3\xb6yt\xc3\xa4\xc3\xa4 yst\xc3\xa4v\xc3\xa4lukupareja. Yhden yksinkertaisen tavan kehitti Thabit ibn Qurrah (n. 836\xe2\x80\x93901).\n_START_SECTION_\nThabitin menetelm\xc3\xa4\n_START_PARAGRAPH_\nKun n \xe2\x89\xa5 1 ja jos p, q, r ovat alkulukuja ja ne ovat muotoa_NEWLINE_p = 3 \xc2\xb7 2\xe2\x81\xbf \xe2\x88\x92 1,   q = 3 \xc2\xb7 2\xe2\x81\xbf\xe2\x81\xbb\xc2\xb9 \xe2\x88\x92 1,  r = 3\xc2\xb2 \xc2\xb7 2\xe2\x81\xbf\xe2\x81\xbb\xc2\xb9 \xe2\x88\x92 1, niin luvut 2\xe2\x81\xbf pq ja 2\xe2\x81\xbf r ovat yst\xc3\xa4v\xc3\xa4llisi\xc3\xa4._NEWLINE_Esimerkki: _NEWLINE_kun n = 2, saadaan ett\xc3\xa4 p = 3 \xc2\xb7 2\xc2\xb2 \xe2\x88\x92 1 = 11, q = 3 \xc2\xb7 2\xc2\xb2\xe2\x81\xbb\xc2\xb9 \xe2\x88\x92 1 = 5 ja  r = 3\xc2\xb2 \xc2\xb7 2\xc2\xb2\xe2\x81\xbf\xe2\x81\xbb\xc2\xb9 \xe2\x88\x92 1 = 71, mitk\xc3\xa4 kaikki ovat alkulukuja. _NEWLINE_Ja 2\xe2\x81\xbf pq = 2\xc2\xb2 \xc2\xb7 11  \xc2\xb7 5 = 220  ja 2\xe2\x81\xbf r = 2\xc2\xb2 \xc2\xb7 71 = 284, mitk\xc3\xa4 ovat yst\xc3\xa4v\xc3\xa4lukupareja. Samalla tavalla saamme kun n = 4 parin (17296, 18416). _NEWLINE_Ongelma Thabit ibn Qurrah'n kaavassa on se, ett\xc3\xa4 se toimii vain kun n = 2, 4, 7. Ei voida sanoa, toimiiko se mill\xc3\xa4\xc3\xa4n muilla n:n arvoilla, mutta ei ainakaan muilla n < 20\xc2\xa0000.\n_START_SECTION_\nYst\xc3\xa4v\xc3\xa4lukujen historia\n_START_PARAGRAPH_\nEnsimm\xc3\xa4inen yst\xc3\xa4v\xc3\xa4lukupari (220, 284) on tunnettu jo antiikin ajoista saakka. Yleisen kaavan, jolla voi osan numeropareista selvitt\xc3\xa4\xc3\xa4, keksi Thabit ibn Qurrah vuoden 850 tienoilla. Samoja lukupareja tutki my\xc3\xb6s muita arabialaisia matemaatikoita, mm. Al-Baghdadi (980\xe2\x80\x931037), Kamal Al-Din Farisi (1260\xe2\x80\x931320) ja Ibn al-Banna al-Marrakushi al-Azdi (1256\xe2\x80\x931321)._NEWLINE_Al Banna l\xc3\xb6ysi seuraavan parin (17\xc2\xa0296, 18\xc2\xa0416) k\xc3\xa4ytt\xc3\xa4m\xc3\xa4ll\xc3\xa4 Thabitin teoreemaa (n = 4), joskin lukuparin l\xc3\xb6yt\xc3\xa4jiksi on merkitty Pierre de Fermat ja Marin Mersenne vuonna 1636. Al-F\xc4\x81ris\xc4\xab l\xc3\xb6ysi seuraavan parin (9363584, 9437056) Thabit:n teoreeman mukaisen (n = 7). Iranilainen matemaatikko Muhammad Baqir Yazdi 1500-luvulla l\xc3\xb6ysi saman parin, kuten my\xc3\xb6s Descartes 1638, jonka nimiin l\xc3\xb6yt\xc3\xb6 yleisesti on merkitty. Kuten huomataan, monet it\xc3\xa4eurooppalaisten matemaatikkojen ty\xc3\xb6t t\xc3\xa4st\xc3\xa4 aiheesta on unohdettu._NEWLINE_Seuraavat 27 paria l\xc3\xb6ysi Leonhard Euler 1747. H\xc3\xa4n julkaisi pienen paperin, jossa oli 3 jo ennest\xc3\xa4\xc3\xa4n l\xc3\xb6ytynytt\xc3\xa4 ja 27 uutta paria. Tosin yksi pari ei ollut yst\xc3\xa4v\xc3\xa4llinen. My\xc3\xb6hemmin Euler t\xc3\xa4ydensi listaansa h\xc3\xa4mm\xc3\xa4stytt\xc3\xa4v\xc3\xa4ll\xc3\xa4 61 parilla, joista my\xc3\xb6hemmin hyl\xc3\xa4ttiin 2 paria. Euler ei j\xc3\xa4tt\xc3\xa4nyt j\xc3\xa4lkipolville paljoakaan tietoa siit\xc3\xa4, kuinka h\xc3\xa4n l\xc3\xb6ysi parit. H\xc3\xa4n k\xc3\xa4ytti samaa metodia kuin Descartes ja Fermat, jossa luvut ovat muotoa 2\xe2\x81\xbf xy ja 2\xe2\x81\xbf z, miss\xc3\xa4 x, y ja z ovat kaikki alkulukuja. Jotta luvut muodostaisivat yst\xc3\xa4v\xc3\xa4llisen parin, pit\xc3\xa4isi olla z = xy + x + y. Fermat ja Descartes olivat tutkineet alkulukuja x, y ja z n\xc3\xa4hd\xc3\xa4kseen, mitk\xc3\xa4 niist\xc3\xa4 muodostavat yst\xc3\xa4v\xc3\xa4llisen lukuparin._NEWLINE_T\xc3\xa4ll\xc3\xa4 tavoin Euler ei voinut l\xc3\xb6yt\xc3\xa4\xc3\xa4 kaikkia pareja, koska vain kolmella ensimm\xc3\xa4isell\xc3\xa4 lukuparilla on t\xc3\xa4m\xc3\xa4 muoto. Yksitoista seuraavaa lukua ovat muotoa 2\xe2\x81\xbf xy ja 2\xe2\x81\xbf zw, miss\xc3\xa4 x, y, z ja w ovat kaikki alkulukuja, mutta muut sis\xc3\xa4lt\xc3\xa4v\xc3\xa4t niinkin monta kuin seitsem\xc3\xa4n erilaista alkutekij\xc3\xa4\xc3\xa4, ja kymmenen pareista on parittomien lukujen pareja. B. Nicol\xc3\xb2 I. Paganini j\xc3\xa4risytti matematiikan maailmaa 16-vuotiaana l\xc3\xb6yt\xc3\xa4m\xc3\xa4ll\xc3\xa4 v. 1866 parin (1\xc2\xa0184, 1\xc2\xa0210), joka on toiseksi pienin yst\xc3\xa4v\xc3\xa4lukupari._NEWLINE_E. Escott julkaisi 1946 listan, jossa oli 390 paria. P. Poulet l\xc3\xb6ysi 43 lukuparia jo vuonna 1941, mutta ne julkaistiin vasta 1948 postuumisti. Carcia ja h\xc3\xa4nen oppilaansa julkaisivat 160 uutta paria. Tietokoneiden kehittyess\xc3\xa4 l\xc3\xb6ydettyjen parien lukum\xc3\xa4\xc3\xa4r\xc3\xa4 on kasvanut huimasti._NEWLINE_Vuoteen 2010 menness\xc3\xa4 on l\xc3\xb6ydetty n. 11\xc2\xa0994\xc2\xa0387 yst\xc3\xa4v\xc3\xa4lukuparia. Ensimm\xc3\xa4iset 13 lukuparia ovat:_NEWLINE_(220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10774, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084), (66928, 66992), (67095, 71145), (69615, 87633), (79750, 88730)"