b'\n_START_ARTICLE_\nTrigonometri\n_START_PARAGRAPH_\nTrigonometri \xc3\xa4r l\xc3\xa4ran om samband mellan vinklar och sidor i en triangel. Trigonometrin har sina st\xc3\xb6rsta praktiska, direkta till\xc3\xa4mpningar inom lantm\xc3\xa4teri och navigation d\xc3\xa4r den anv\xc3\xa4nds f\xc3\xb6r triangulering, men anv\xc3\xa4nds ocks\xc3\xa5 inom ett flertal omr\xc3\xa5den inom matematiken, bland annat geometri och komplex analys och d\xc3\xa4rmed \xc3\xa4ven inom fysiken.\n_START_SECTION_\nHistoria\n_START_PARAGRAPH_\nEn f\xc3\xb6reg\xc3\xa5ngare till trigonometrin anv\xc3\xa4ndes i forntida Egypten och Babylonien, d\xc3\xa4r satser om kvoter mellan sidorna i likformiga trianglar hade varit k\xc3\xa4nda i flera hundra \xc3\xa5r. Dock fanns inget koncept om vinklar._NEWLINE_Grekiska matematiker anv\xc3\xa4nde sig av korda och Euklides formulerade i Elementa satser som i princip \xc3\xa4r samma som cosinussatsen, \xc3\xa4ven om han anv\xc3\xa4nde ett geometriskt spr\xc3\xa5k f\xc3\xb6r att beskriva dem._NEWLINE_Den indiska matematikern Aryabhata gjorde \xc3\xa5r 499 tabeller med b\xc3\xa5de sinus (som han kallade zya) och cosinus (kotizya). Han hade ocks\xc3\xa5 med sekanten (otkram zya)._NEWLINE_Detaljerade metoder f\xc3\xb6r att konstruera en tabell med sinus f\xc3\xb6r vilken vinkel som helst gavs av den indiska matematikern Bhaskara under 600-talet, tillsammans med formler f\xc3\xb6r sinus och cosinus. _NEWLINE_En annan indisk matematiker, Brahmagupta, anv\xc3\xa4nde \xc3\xa5r 628 interpolationsformeln f\xc3\xb6r att r\xc3\xa4kna ut olika sinusv\xc3\xa4rden, upp till andra ordningen i Newton-Stirlings interpolationsformel._NEWLINE_Den persiska matematikern Omar Khayy\xc3\xa1m anv\xc3\xa4nde approximativa trigonometriska v\xc3\xa4rden f\xc3\xb6r att l\xc3\xb6sa algebraiska ekvationer. Khayyam l\xc3\xb6ste tredjegradsekvationen x\xc2\xb3 + 200x = 20x\xc2\xb2 + 2000 och fann en positiv rot av denna tredjegradsekvation genom att hitta korsningen mellan en hyperbel och en cirkel._NEWLINE_Den persiska matematikern Nasir al-Sin Tusi (1300-talet) var tillsammans med Bhaskara troligen den f\xc3\xb6rsta att behandla trigonometri som best\xc3\xa4md matematik. Nasir al-Sin Tusi var den f\xc3\xb6rste som listade de sex best\xc3\xa4mda fallen av en r\xc3\xa4tvinklig triangel i sf\xc3\xa4risk trigonometri._NEWLINE_P\xc3\xa5 1400-talet, producerade den persiska matematikern al-Kashi och den timuridiska matematikern Ulugh Beg (Timur Lenks barnbarn) tabeller av trigonometriska funktioner som en del av deras astronomistudier._NEWLINE_Den schlesiska matematikern Bartholomaeus Pitiscus offentliggjorde ett inflytelserikt arbete om trigonometri \xc3\xa5r 1595 och introducerade ordet i engelska och franska.\n_START_SECTION_\nUt\xc3\xb6kat definitionsomr\xc3\xa5de\n_START_PARAGRAPH_\nMed definitionen ovan \xc3\xa4r de trigonometriska funktionerna endast definierade f\xc3\xb6r vinklar mellan 0 och 90 grader (0 och \xcf\x80/2 radianer). Med hj\xc3\xa4lp av enhetscirkeln kan cosinus och sinus definieras som periodiska funktioner med perioden 360 grader (2\xcf\x80 radianer).\n_START_SECTION_\nBer\xc3\xa4kning av trigonometriska funktioner\n_START_PARAGRAPH_\nTrigonometriska funktioner skrevs f\xc3\xb6rr upp i matematiska tabeller och elever l\xc3\xa4rdes att interpolera mellan tabellv\xc3\xa4rden f\xc3\xb6r h\xc3\xb6gre precision. \xc3\x84ven r\xc3\xa4knestickor har vanligtvis trigonometriska funktioner. _NEWLINE_Idag \xc3\xa4r m\xc3\xa5nga minir\xc3\xa4knare utrustade med knappar f\xc3\xb6r sinus, cosinus och tangens. Ofta kan man \xc3\xa4ven v\xc3\xa4lja hur man vill mata in vinklarna, i grader, radianer eller gon.\n_START_SECTION_\nDagens trigonometri\n_START_PARAGRAPH_\nDet finns ett stort antal s\xc3\xa4tt att anv\xc3\xa4nda trigonometri. Inom astronomin, f\xc3\xb6r att m\xc3\xa4ta avst\xc3\xa5ndet mellan oss och en del n\xc3\xa4rliggande stj\xc3\xa4rnor, f\xc3\xb6r att m\xc3\xa4ta avst\xc3\xa5nd mellan byggnader och f\xc3\xb6r satellitnavigationssystem. Andra omr\xc3\xa5den d\xc3\xa4r trigonometri anv\xc3\xa4nds \xc3\xa4r bland annat: musikteori, akustik, optik, analys av finansiella marknader, elektronik, sannolikhetsteori, statistik, biologi, medicinsk bildbehandling (datortomografi och ultraljud), kemi, talteori (kryptologi), seismologi, metrologi, oceanografi, m\xc3\xa5nga naturvetenskaper, lantm\xc3\xa4teri, geodesi, arkitektur, fonetik, ekonomi, elektroteknik, maskinteknik, v\xc3\xa4g- och vattenbyggnadsteknik, datorgrafik, kartografi, kristallografi och spelutveckling._NEWLINE_Ett alternativt syns\xc3\xa4tt p\xc3\xa5 trigonometri har nyligen blivit framlagt av doktor Norman Wildberger fr\xc3\xa5n University of New South Wales. Han kallar denna f\xc3\xb6r rationell trigonometri och den skiljer sig fr\xc3\xa5n klassisk trigonometri p\xc3\xa5 tv\xc3\xa5 fundamentala punkter: ist\xc3\xa4llet f\xc3\xb6r l\xc3\xa4ngd anv\xc3\xa4nds kvadraten av l\xc3\xa4ngden och ist\xc3\xa4llet f\xc3\xb6r vinkeln, anv\xc3\xa4nds ett icke-linj\xc3\xa4rt m\xc3\xa5tt av separation som g\xc3\xa5r fr\xc3\xa5n 0 (f\xc3\xb6r parallella linjer) till 1 (vinkelr\xc3\xa4ta linjer). Rationell trigonometri anv\xc3\xa4nder inte n\xc3\xa5gra transcendenta tal och kan l\xc3\xb6sas genom att endast anv\xc3\xa4nda algebra och kvadratiska ekvationer.'