b'\n_START_ARTICLE_\nInvariant av en bin\xc3\xa4r form\n_START_PARAGRAPH_\nInom matematisk invariantteori \xc3\xa4r en invariant av en bin\xc3\xa4r form ett polynom i koefficienterna f\xc3\xb6r en bin\xc3\xa4r form i tv\xc3\xa5 variabler x och y som inte \xc3\xa4ndras n\xc3\xa4r den speciella linj\xc3\xa4ra gruppen verkar p\xc3\xa5 variablerna x och y.\n_START_SECTION_\nTerminologi\n_START_PARAGRAPH_\nEn bin\xc3\xa4r form (av grad n) \xc3\xa4r ett homogent polynom \xce\xa3ni=0 (ni)a\xe2\x82\x99\xe2\x88\x92\xe1\xb5\xa2x\xe2\x81\xbf\xe2\x81\xbb\xe2\x81\xb1y\xe2\x81\xb1 = a\xe2\x82\x99x\xe2\x81\xbf + (n1)a\xe2\x82\x99\xe2\x88\x921x\xe2\x81\xbf\xe2\x81\xbb\xc2\xb9y + ... + a\xe2\x82\x80y\xe2\x81\xbf. Gruppen SL\xe2\x82\x82(C) verkar p\xc3\xa5 dessa genom att ta x till ax\xc2\xa0+\xc2\xa0by och y till cx\xc2\xa0+\xc2\xa0dy. Detta inducerar en verkan p\xc3\xa5 rummet genererat av a\xe2\x82\x80, ..., a\xe2\x82\x99 och p\xc3\xa5 polynomen i dessa variabler. En invariant \xc3\xa4r ett polynom i dessa n\xc2\xa0+\xc2\xa01 variabler a\xe2\x82\x80, ..., a\xe2\x82\x99 som \xc3\xa4r invariant under denna verkan. Mer allm\xc3\xa4nt \xc3\xa4r en kovariant ett polynom i a\xe2\x82\x80, ..., a\xe2\x82\x99, x, y som \xc3\xa4r invariant, s\xc3\xa5 en invariant \xc3\xa4r ett specialfall av en kovariant d\xc3\xa4r variablerna x och y inte f\xc3\xb6rekommer. \xc3\x84nnu mer allm\xc3\xa4nt \xc3\xa4r en simultan invariant ett polynom i koefficienterna av flera olika former i x och\xc2\xa0y._NEWLINE_Man kan ocks\xc3\xa5 formulera detta representationsteoretiskt. Givet en representation V av gruppen SL\xe2\x82\x82(C), kan man fr\xc3\xa5ga efter ringen av invarianta polynom p\xc3\xa5 V. Invarianter av en bin\xc3\xa4r form av grad n motsvarar d\xc3\xa5 att ta V som den (n\xc2\xa0+\xc2\xa01)-dimensionella irreducibla representationen, och kovarianter motsvarar att ta V som summan av de irreducibla representationerna av dimensionerna 2 och\xc2\xa0n\xc2\xa0+\xc2\xa01._NEWLINE_Invarianterna av en bin\xc3\xa4r form bildar en graderad algebra, och Gordan (1868) bevisade att denna algebra \xc3\xa4r \xc3\xa4ndligtgenererad, om baskroppen \xc3\xa4r C.\n_START_SECTION_\nRingen av invarianter\n_START_PARAGRAPH_\nStrukturen av ringen av invarianter \xc3\xa4r k\xc3\xa4nd f\xc3\xb6r sm\xc3\xa5 grader. Sylvester & Franklin (1879) gav tabeller av antalet generatorer av invarianter och kovarianter f\xc3\xb6r former av grad upp till 10, dock med vissa mindre fel, d\xc3\xa4r oftast n\xc3\xa5gon invariant eller kovariant har utel\xc3\xa4mnats.\n_START_SECTION_\nKovarianter av en bin\xc3\xa4r linj\xc3\xa4r form\n_START_PARAGRAPH_\nF\xc3\xb6r linj\xc3\xa4ra former ax + by \xc3\xa4r de enda invarianterna konstanter. Algebran av kovarianter \xc3\xa4r genererad av formen sj\xc3\xa4lv av grad 1 och ordning 1.\n_START_SECTION_\nKovarianter av en bin\xc3\xa4r kvadratisk form\n_START_PARAGRAPH_\nAlgebran av invarianter av en kvadratisk form ax\xc2\xb2 + 2bxy + cy\xc2\xb2 \xc3\xa4r en polynomalgebra i 1 variabel genererad av diskriminanten b\xc2\xb2 \xe2\x88\x92 ac av grad 2. Algebran av kovarianter \xc3\xa4r en polynomalgebra i 2 variabler genererad av diskriminanten tillsammans med formen f sj\xc3\xa4lv (av grad 1 och ordning 2). (Schur 1968, II.8) (Hilbert 1993, XVI, XX)\n_START_SECTION_\nKovarianter av en bin\xc3\xa4r form av grad \xc3\xa5tta\n_START_PARAGRAPH_\nSylvester & Franklin (1879) bevisade att ringen av invarianter av en form av grad 8 \xc3\xa4r genererad av 9 invarianter av grader 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, och att ringen av kovarianter \xc3\xa4r genererad av 69 covarianter. August von Gall (von Gall (1880)) och Shioda (1967) bekr\xc3\xa4ftade generatorerna f\xc3\xb6r ringen av invarianter och bevisade att idealet av relationer mellan dem \xc3\xa4r genererat av e\xc3\xb6ement av grader 16, 17, 18, 19, 20.\n_START_SECTION_\nKovarianter av en form av grad nio\n_START_PARAGRAPH_\nBrouwer & Popoviciu (2010a) bevisade att algebran av invarianter av en form av grad 9 \xc3\xa4r genererad av 92 invarianter.\n_START_SECTION_\nKovarianter av en form av grad elva\n_START_PARAGRAPH_\nRingen av invarianter av bin\xc3\xa4ra former av grad 11 \xc3\xa4r komplicerad och har inte \xc3\xa4nnu beskrivits explicit.'