b'\n_START_ARTICLE_\nBelltal\n_START_SECTION_\nLogaritmisk konkavitet\n_START_PARAGRAPH_\nBelltalen bildar en logaritmiskt konvex f\xc3\xb6ljd. F\xc3\xb6ljden B\xe2\x82\x99/n! \xc3\xa4r logaritmiskt konkav.\n_START_SECTION_\n"H\xc3\xa4rledning"\n_START_PARAGRAPH_\nL\xc3\xa5t  beteckna antalet partitioner av en m\xc3\xa4ngd med  element som inneh\xc3\xa5ller en delm\xc3\xa4ngd med  som l\xc3\xa4gsta element och skriv dem p\xc3\xa5 en rad f\xc3\xb6r varje  med b\xc3\xb6rjan p\xc3\xa5 . D\xc3\xa5 anger det tal som st\xc3\xa5r l\xc3\xa4ngst till v\xc3\xa4nster, i f\xc3\xb6rsta kolonnen, det antal partitioner som inneh\xc3\xa5ller en delm\xc3\xa4ngd som har 1 (det l\xc3\xa4gsta elementet i m\xc3\xa4ngden) som l\xc3\xa4gsta element. Eftersom alla partitioner inneh\xc3\xa5ller en delm\xc3\xa4ngd med det l\xc3\xa4gsta elementet som l\xc3\xa4gsta element s\xc3\xa5 \xc3\xa4r talet i den f\xc3\xb6rsta kolonnen, , lika med antalet partitioner, det vill s\xc3\xa4ga ._NEWLINE_Talet l\xc3\xa4ngst till h\xc3\xb6ger,  anger hur m\xc3\xa5nga partitioner som har  som l\xc3\xa4gsta element i en delm\xc3\xa4ngd, det vill s\xc3\xa4ga att denna delm\xc3\xa4ngd endast best\xc3\xa5r av det h\xc3\xb6gsta elementet . De \xc3\xb6vriga  elementen kan partitioneras p\xc3\xa5  s\xc3\xa4tt, ett tal som allts\xc3\xa5 \xc3\xa4r lika med : talet som st\xc3\xa5r l\xc3\xa4ngst till v\xc3\xa4nster i raden ovanf\xc3\xb6r - vi flyttar allts\xc3\xa5 ner detta tal till kolonn  i v\xc3\xa5r "nya" rad._NEWLINE_Talet n\xc3\xa4st l\xc3\xa4ngst till h\xc3\xb6ger, , anger hur m\xc3\xa5nga partitioner som har en delm\xc3\xa4ngd med  som l\xc3\xa4gsta element. Denna delm\xc3\xa4ngd kan se ut p\xc3\xa5 tv\xc3\xa5 olika s\xc3\xa4tt: antingen inneh\xc3\xa5ller den  som enda element (de \xc3\xa5terst\xc3\xa5ende  elementen kan partitioneras p\xc3\xa5  olika s\xc3\xa4tt) eller s\xc3\xa5 inneh\xc3\xa5ller det ocks\xc3\xa5 elementet  (och de \xc3\xa5terst\xc3\xa5ende  elementen kan partitioneras p\xc3\xa5  olika s\xc3\xa4tt). Men, eftersom  och  s\xc3\xa5 f\xc3\xa5r vi att , det vill s\xc3\xa4ga summan av talet rakt \xc3\xa5t h\xc3\xb6ger och talet rakt upp\xc3\xa5t._NEWLINE_ anger hur m\xc3\xa5nga delm\xc3\xa4ngder som har  som l\xc3\xa4gsta element och det finns tv\xc3\xa5 element som \xc3\xa4r st\xc3\xb6rre \xc3\xa4n detta. Inget, ett eller b\xc3\xa5da dessa kan ing\xc3\xa5 i samma delm\xc3\xa4ngd som , vilket kan g\xc3\xb6ras p\xc3\xa5 ett, tv\xc3\xa5 respektive ett s\xc3\xa4tt (binomialf\xc3\xb6rdelning!) och de \xc3\xa5terst\xc3\xa5ende elementen kan partitioneras p\xc3\xa5 ,  respektive  s\xc3\xa4tt. Vi f\xc3\xa5r s\xc3\xa5lunda: , men vi visade ju ovan att  och , vilket ger oss att , det vill s\xc3\xa4ga summan av talet rakt till h\xc3\xb6ger och talet rakt ovanf\xc3\xb6r._NEWLINE_Av resonemanget ovan framg\xc3\xa5r f\xc3\xb6rhoppningsvis att . (Notera att om vi s\xc3\xa4tter x=n-1 f\xc3\xa5r vi rekursionsformeln f\xc3\xb6r belltalen, vars h\xc3\xa4rledning ju f\xc3\xb6ljer samma resonemang.)_NEWLINE_Utg\xc3\xa5 nu fr\xc3\xa5n ett godtyckligt tal i tabellen,  och beteckna talet ovanf\xc3\xb6r detta med  och talet till h\xc3\xb6ger med . Med v\xc3\xa5r metod att ber\xc3\xa4kna talen i tabellen \xc3\xa4r .  \xc3\xa4r i sin tur summan av talet ovanf\xc3\xb6r och till h\xc3\xb6ger, det vill s\xc3\xa4ga  och p\xc3\xa5 samma s\xc3\xa4tt \xc3\xa4r , och s\xc3\xa5lunda \xc3\xa4r  tills vi hamnar i den h\xc3\xb6gra diagonalen som best\xc3\xa5r av talen  till . Vi ser att vi f\xc3\xa5r varje m\xc3\xb6jlig "str\xc3\xa4ng" best\xc3\xa5ende av x stycken tecken,  eller , en och endast en g\xc3\xa5ng och att antalet  (eller ) i str\xc3\xa4ngen avg\xc3\xb6r p\xc3\xa5 vilken rad vi hamnar. Vi f\xc3\xa5r allts\xc3\xa5 (med hj\xc3\xa4lp av binominalf\xc3\xb6rdelningen igen)  igen, och vi har d\xc3\xa4rigenom visat att en tabell som konstrueras p\xc3\xa5 detta s\xc3\xa4tt anger hur m\xc3\xa5nga delm\xc3\xa4ngder det finns av en m\xc3\xa4ngd med n element som har n-x som minsta element.'