b'\n_START_ARTICLE_\nP-adiska tal\n_START_PARAGRAPH_\nInom matematiken \xc3\xa4r de p-adiska talen, d\xc3\xa4r p \xc3\xa4r ett primtal, en utvidgning av de rationella talen som har andra egenskaper \xc3\xa4n den utvidgning som inf\xc3\xb6r de reella talen. Detta genomf\xc3\xb6rs med hj\xc3\xa4lp av en alternativ definition av absolutbelopp._NEWLINE_De introducerades av den tyska matematikern Kurt Hensel, prim\xc3\xa4rt med avsikten att inf\xc3\xb6ra koncept fr\xc3\xa5n matematiska serier till talteorin. Sedermera har det utvecklats en gren av matematisk analys f\xc3\xb6r de p-adiska talen._NEWLINE_Formellt \xc3\xa4r f\xc3\xb6r varje primtal p kroppen  ett fullst\xc3\xa4ndigt metriskt rum med en topologi. Detta inneb\xc3\xa4r att varje Cauchyf\xc3\xb6ljd konvergerar mot en punkt i . Denna egenskap \xc3\xa4r anledningen till att de p-adiska talen \xc3\xa4r anv\xc3\xa4ndbara. _NEWLINE_p:et i p-adisk \xc3\xa4r en variabel som kan ers\xc3\xa4ttas med en konstant (till exempel de "2-adiska talen") eller en annan variabel (f\xc3\xb6r till exempel de "i-adiska talen").\n_START_SECTION_\nAlgebraiskt\n_START_PARAGRAPH_\nF\xc3\xb6r att konstruera de p-adiska talen algebraiskt definierar man f\xc3\xb6rst ringen av p-adiska heltal, och sedan konstruera kroppen av br\xc3\xa5k f\xc3\xb6r att erh\xc3\xa5lla kroppen av p-adiska tal. _NEWLINE_Vi b\xc3\xb6rjar med den inversa gr\xc3\xa4nsen av ringarna Z/p\xe2\x81\xbfZ. Ett p-adiskt heltal \xc3\xa4r d\xc3\xa5 en f\xc3\xb6ljd (a\xe2\x82\x99)\xe2\x82\x99\xe2\x89\xa51 s\xc3\xa5dan att a\xe2\x82\x99 \xc3\xa4r i Z/p\xe2\x81\xbfZ och om n < m s\xc3\xa5 \xc3\xa4r a\xe2\x82\x99 \xe2\x89\xa1 a\xe2\x82\x98 (mod p\xe2\x81\xbf)._NEWLINE_Varje naturligt tal m definierar en s\xc3\xa5dan f\xc3\xb6ljd (a\xe2\x82\x99) genom a\xe2\x82\x99 = m mod p\xe2\x81\xbf och kan d\xc3\xa4rmed ses som ett p-adiskt heltal. Till exempel skulle talet 35 som ett 2-adiskt heltal kunna skrivas som f\xc3\xb6ljden (1, 3, 3, 3, 3, 35, 35, 35, \xe2\x80\xa6)._NEWLINE_Operatorerna p\xc3\xa5 ringen inneb\xc3\xa4r elementvis addition och multiplikation av s\xc3\xa5dana f\xc3\xb6ljder. Detta \xc3\xa4r v\xc3\xa4ldefinierat eftersom addition och multiplikation kommuterar med modulooperatorn. _NEWLINE_Vidare har varje f\xc3\xb6ljd (a\xe2\x82\x99) d\xc3\xa4r det f\xc3\xb6rsta elementet \xc3\xa4r skilt fr\xc3\xa5n 0 en invers. I s\xc3\xa5 fall \xc3\xa4r f\xc3\xb6r varje n a\xe2\x82\x99 och p koprima, och d\xc3\xa4rmed a\xe2\x82\x99 och p\xe2\x81\xbf relativt prima. D\xc3\xa5 har varje a\xe2\x82\x99 en invers modulo p\xe2\x81\xbf och f\xc3\xb6ljden av dessa inverser, (b\xe2\x82\x99), \xc3\xa4r den s\xc3\xb6kta inversen av a\xe2\x82\x99. Till exempel, betrakta det p-adiska heltal som motsvarar heltalet 7; som ett 2-adiskt tal skulle det skrivas (1, 3, 7, 7, 7, ...). Talets invers skulle skrivas som en o\xc3\xa4ndlig, \xc3\xb6kande f\xc3\xb6ljd (1, 3, 7, 7, 23, 55, 55, 189, ...). Detta 2-adiska tal har inget motsvarande naturligt tal.\n_START_SECTION_\nRationell aritmetik\n_START_PARAGRAPH_\nHehner och Horspool f\xc3\xb6reslog 1979 anv\xc3\xa4ndningen av p-adiska tal f\xc3\xb6r att representera rationella tal i datorer. Den fr\xc3\xa4msta f\xc3\xb6rdelen med en s\xc3\xa5dan lagringsmetod vore att addition, subtraktion och multiplikation skulle kunna ber\xc3\xa4knas snabbt och effektivt, och division \xc3\xa4n enklare. Tyv\xc3\xa4rr uppst\xc3\xa5r det problem om stora tal finns i t\xc3\xa4ljaren eller n\xc3\xa4mnaren; till exempel, om 2\xe2\x81\xbf - 1 \xc3\xa4r ett Mersenneprimtal kr\xc3\xa4vs det 2\xe2\x81\xbf - 1 bitar f\xc3\xb6r att representera dess reciprok.'