b'\n_START_ARTICLE_\nHilberts hotell\n_START_PARAGRAPH_\nHilberts hotell \xc3\xa4r ett paradoxalt resultat som g\xc3\xa4ller ett fiktivt hotell, p\xc3\xa5hittat av matematikern David Hilbert i syfte att illustrera o\xc3\xa4ndlighetsbegreppet.\n_START_SECTION_\nInledande f\xc3\xb6rklaring\n_START_PARAGRAPH_\nF\xc3\xb6r att introducera det som vi idag kallar den minsta o\xc3\xa4ndligheten (som kallas \xe2\x84\xb5\xe2\x82\x80, "alef-noll", antalet existerande naturliga tal), s\xc3\xa5 brukar man anv\xc3\xa4nda sig av en metod som skapades av David Hilbert,  med stor inspiration av matematikern Georg Cantor, n\xc3\xa5got som vi idag k\xc3\xa4nner till som "Hilberts hotell". \xe2\x84\xb5\xe2\x82\x80 \xc3\xa4r med andra ord s\xc3\xa5 m\xc3\xa5nga naturliga tal som finns. Med naturliga tal menas alla de tal som anger \xc3\xa4ndliga antal, allts\xc3\xa5 0, 1, 2, 3, 4, 5, \xe2\x80\xa6 Detta \xc3\xa4r en o\xc3\xa4ndlig f\xc3\xb6ljd, s\xc3\xa5 \xe2\x84\xb5\xe2\x82\x80 \xc3\xa4r ett o\xc3\xa4ndligt tal. Det speciella med \xe2\x84\xb5\xe2\x82\x80 \xc3\xa4r att den har v\xc3\xa4ldigt annorlunda egenskaper \xc3\xa4n vad exempelvis de naturliga talen har._NEWLINE_F\xc3\xb6r att Hilbert skulle kunna bevisa att s\xc3\xa5 h\xc3\xa4r \xc3\xa4r fallet s\xc3\xa5 kom han att hitta p\xc3\xa5 ett hotell, vilket senare kom att kallas Hilberts hotell. Hotellet t\xc3\xa4nktes vara uppbyggt av o\xc3\xa4ndligt m\xc3\xa5nga rum, d\xc3\xa4r absolut varje enskilt rum var upptaget. Det speciella med just detta hotell som Hilbert sj\xc3\xa4lv l\xc3\xa4t introducera, var att trots att alla o\xc3\xa4ndligt m\xc3\xa5nga rum var fullbokade s\xc3\xa5 skulle man som receptionist \xc3\xa4nd\xc3\xa5 kunna l\xc3\xa5ta fler rum bli lediga genom att anv\xc3\xa4nda olika listiga metoder (introduceras l\xc3\xa4ngre ned), vilket gjorde det m\xc3\xb6jligt f\xc3\xb6r fler g\xc3\xa4ster att kunna ta in, till och med o\xc3\xa4ndligt m\xc3\xa5nga fler g\xc3\xa4ster._NEWLINE_Fr\xc3\xa5gan blir d\xc3\xa5 givetvis, hur g\xc3\xb6r hotellets receptionister f\xc3\xb6r att m\xc3\xa5nga m\xc3\xa5nga fler bes\xc3\xb6kare ska kunna f\xc3\xa5 den m\xc3\xb6jlighet att sova p\xc3\xa5 hotellet en natt? Denna fr\xc3\xa5ga var d\xc3\xa5 n\xc3\xa5got som David Hilbert ville f\xc3\xb6rklara \xc3\xa4ven f\xc3\xb6r de m\xc3\xa4nniskor som inte alls tycker matematik \xc3\xa4r s\xc3\xa4rskilt intressant. Han l\xc3\xa4t introducera detta mystiska problem med hj\xc3\xa4lp av en liten saga, som i en variant f\xc3\xb6ljer h\xc3\xa4r:\n_START_SECTION_\nFall 1\n_START_PARAGRAPH_\nEnligt sagan kom en ung vacker prinsessa sent en regnig kv\xc3\xa4ll in p\xc3\xa5 Hilberts hotell f\xc3\xb6r att vila sig under ett dygn. Tyv\xc3\xa4rr var nu Hilberts hotell fullbokat, det vill s\xc3\xa4ga att alla rum var upptagna._NEWLINE_Den vackra prinsessan kom i alla fall in p\xc3\xa5 hotellet och fr\xc3\xa5gade receptionisten om det fanns n\xc3\xa5got ledigt rum. Receptionisten blev nu fundersam men kom p\xc3\xa5 en l\xc3\xb6sning. Dennes l\xc3\xb6sning blev att l\xc3\xa5ta respektive inneboende f\xc3\xa5 flytta ett rumsnummer h\xc3\xb6gre \xc3\xa4n det rum respektive person befinner sig i, vilket innebar att rum nummer 1 blev ledigt p\xc3\xa5 grund av att den som bodde d\xc3\xa4r nu flyttat till rum nummer 2, den som bodde i rum nummer 2 har nu flyttat till rum nummer 3 och s\xc3\xa5 vidare. Receptionisten hade d\xc3\xa4rigenom l\xc3\xb6st problemet!\n_START_SECTION_\nFall 2\n_START_PARAGRAPH_\nFaktiskt s\xc3\xa5 slutar inte Hilberts resonemang h\xc3\xa4r, det vill s\xc3\xa4ga fallet med prinsessan, utan l\xc3\xa5t nu ist\xc3\xa4llet t\xc3\xa4nka oss ett motell, kallat Hilberts motell, med precis samma princip som Hilberts hotell (det vill s\xc3\xa4ga o\xc3\xa4ndligt m\xc3\xa5nga rum, alla rum \xc3\xa4r fullbokade). Pl\xc3\xb6tsligt en tragiskt natt intr\xc3\xa4ffade en hemsk olycka d\xc3\xa5 motellet brann ner. Som tur \xc3\xa4r kom ingen av g\xc3\xa4sterna till skada men var ist\xc3\xa4llet i den situationen att de inte hade rum f\xc3\xb6r \xc3\xb6vernattning. Receptionisten p\xc3\xa5 Hilberts hotell fick samtalet fr\xc3\xa5n receptionisten p\xc3\xa5 Hilberts motell om detta och b\xc3\xb6rjade genast t\xc3\xa4nka p\xc3\xa5 saken. Denna kom p\xc3\xa5 den utm\xc3\xa4rkta id\xc3\xa9n att alla personer p\xc3\xa5 Hilberts hotell f\xc3\xa5r flytta till tv\xc3\xa5 g\xc3\xa5nger det rumsnummer de bott i, det vill s\xc3\xa4ga att personen i rum nummer ett fick flytta till rum nummer tv\xc3\xa5, person i rum nummer tv\xc3\xa5 fick flytta till rum nummer fyra, person i rum nummer tre till rum nummer sex och s\xc3\xa5 vidare. P\xc3\xa5 detta s\xc3\xa4tt blev alla de udda tal lediga f\xc3\xb6r g\xc3\xa4sterna som kom fr\xc3\xa5n det nedbrunna Hilberts motell, s\xc3\xa5 \xc3\xa4nnu en g\xc3\xa5ng hade den smarta receptionisten l\xc3\xb6st problemet att f\xc3\xa5 in o\xc3\xa4ndligt m\xc3\xa5nga personer i ett hotell med (i detta fall) o\xc3\xa4ndligt m\xc3\xa5nga udda tal.\n_START_SECTION_\nFall 3\n_START_PARAGRAPH_\nOm det kommer o\xc3\xa4ndligt m\xc3\xa5nga bussar med o\xc3\xa4ndligt m\xc3\xa5nga g\xc3\xa4ster i varje, s\xc3\xa5 f\xc3\xa5r de \xc3\xa4nd\xc3\xa5 plats i hotellet. Detta kan till exempel visas genom att hotellrummen tilldelas dubbelnummer i ett diagonalm\xc3\xb6nster enligt principen 0:0; 1:0, 0:1; 2:0, 1:1, 0:2; 3:0, 2:1, 1:2, 0:3 och s\xc3\xa5 vidare. Genom att l\xc3\xa5ta det f\xc3\xb6rsta numret svara mot en buss och det andra mot en g\xc3\xa4st i bussen, s\xc3\xa5 kan man g\xc3\xb6ra ett parande (en bijektion) mellan g\xc3\xa4sterna och hotellrummen.\n_START_SECTION_\nSlutsats\n_START_PARAGRAPH_\nDessa tre exempel anv\xc3\xa4nde Hilbert f\xc3\xb6r att kunna introducera till egenskaperna f\xc3\xb6r r\xc3\xa4kning med (\xe2\x84\xb5\xe2\x82\x80), det vill s\xc3\xa4ga antalet naturliga tal som f\xc3\xb6rekommer i den naturliga talserien. Han visade att eftersom antalet naturliga tal som finns \xc3\xa4r o\xc3\xa4ndligt, s\xc3\xa5 g\xc3\xa5r det att l\xc3\xb6sa problemen med att exempelvis hyra in o\xc3\xa4ndligt m\xc3\xa5nga nya m\xc3\xa4nniskor p\xc3\xa5 ett hotell med o\xc3\xa4ndligt m\xc3\xa5nga rum._NEWLINE_Meningen med Hilberts hotell \xc3\xa4r allts\xc3\xa5 att man vill framh\xc3\xa5lla egenskaperna hos o\xc3\xa4ndliga antal. Till exempel s\xc3\xa5 \xc3\xa4r \xe2\x84\xb5\xe2\x82\x80 = \xe2\x84\xb5\xe2\x82\x80 + 1, \xe2\x84\xb5\xe2\x82\x80 = 2 \xe2\x8b\x85 \xe2\x84\xb5\xe2\x82\x80 och till och med \xe2\x84\xb5\xe2\x82\x80 = \xe2\x84\xb5\xe2\x82\x80 \xe2\x8b\x85 \xe2\x84\xb5\xe2\x82\x80.'