b'\n_START_ARTICLE_\nHopningspunkt\n_START_PARAGRAPH_\nHopningspunkt \xc3\xa4r en term inom matematisk analys och topologi, som anv\xc3\xa4nds f\xc3\xb6r flera snarlika begrepp. Enkelt uttryckt s\xc3\xa4gs en punkt a vara en hopningspunkt till en f\xc3\xb6ljd A om f\xc3\xb6ljdens element kommer hur n\xc3\xa4ra a som helst, hur m\xc3\xa5nga g\xc3\xa5nger som helst. Med en hopningspunkt f\xc3\xb6r en m\xc3\xa4ngd menas d\xc3\xa4remot ofta detsamma som en gr\xc3\xa4nspunkt f\xc3\xb6r m\xc3\xa4ngden.\n_START_SECTION_\nHopningspunkt f\xc3\xb6r en f\xc3\xb6ljd\n_START_PARAGRAPH_\nBetrakta en f\xc3\xb6ljd , d\xc3\xa4r alla x\xe2\x82\x99 ligger i n\xc3\xa5gon m\xc3\xa4ngd S. En hopningspunkt till  skall vara ett element x i S, s\xc3\xa5dant att det finns x\xe2\x82\x99 "hur n\xc3\xa4ra x som helst", f\xc3\xb6r hur stora n som helst. F\xc3\xb6r att detta skall vara meningsfullt, m\xc3\xa5ste det finnas n\xc3\xa5got s\xc3\xa4tt att specificera "n\xc3\xa4rhet" p\xc3\xa5 i S. Det enklaste fallet \xc3\xa4r n\xc3\xa4r S \xc3\xa4r ett talomr\xc3\xa5de (exempelvis R eller C) och allts\xc3\xa5  \xc3\xa4r en talf\xc3\xb6ljd; d\xc3\xa5 ligger x\xe2\x82\x99 n\xc3\xa4ra x, om absolutbeloppet |x\xe2\x82\x99\xc2\xa0-\xc2\xa0x| \xc3\xa4r ett litet tal. Litet allm\xc3\xa4nnare kan S vara exempelvis det reella k-dimensionella rummet R\xe1\xb5\x8f (f\xc3\xb6r n\xc3\xa5got positivt heltal k), eller n\xc3\xa5got annat rum d\xc3\xa4r man har en v\xc3\xa4ldefinierad avst\xc3\xa5ndsfunktion d(*,*) , ett metriskt rum; d\xc3\xa5 ligger x\xe2\x82\x99 n\xc3\xa4ra x, om d(x\xe2\x82\x99\xc2\xa0,\xc2\xa0x) \xc3\xa4r ett litet tal. \xc3\x84nnu mer generellt kan "n\xc3\xa4rhet" definieras av att man bara har best\xc3\xa4mt vilka de \xc3\xb6ppna omgivningarna till exempelvis punkten x \xc3\xa4r, s\xc3\xa5 att  \xc3\xa4r en punktf\xc3\xb6ljd i ett topologiskt rum S._NEWLINE_P\xc3\xa5 engelska kallas ibland m\xc3\xa4ngden av alla hopningspunkter f\xc3\xb6r en viss f\xc3\xb6ljd f\xc3\xb6r dess "limit set".\n_START_SECTION_\nExempel\n_START_PARAGRAPH_\nHopningspunkterna till intervallet  \xc3\xa4r ._NEWLINE_Hopningspunkterna till m\xc3\xa4ngden  \xc3\xa4r .\n_START_SECTION_\nN\xc3\xa4t\n_START_PARAGRAPH_\nBegreppet n\xc3\xa4t generaliserar f\xc3\xb6ljdbegreppet, och (1) kan generaliseras till en definition av hopningspunkt f\xc3\xb6r n\xc3\xa4t i topologiska rum._NEWLINE_Om  \xc3\xa4r ett n\xc3\xa4t p\xc3\xa5 det topologiska rummet S, baserat p\xc3\xa5 den riktade m\xc3\xa4ngden D, och A \xc3\xa4r en delm\xc3\xa4ngd av S, s\xc3\xa5 s\xc3\xa4gs  f\xc3\xb6rekomma ofta i A om det f\xc3\xb6r varje \xce\xb1 i D finns n\xc3\xa5got \xce\xb2 i D, s\xc3\xa5dant att \xce\xb2\xc2\xa0\xe2\x89\xa5\xc2\xa0\xce\xb1 och x\xce\xb2\xc2\xa0\xe2\x88\x88\xc2\xa0A. En punkt x i S s\xc3\xa4ges vara en hopningspunkt f\xc3\xb6r ett n\xc3\xa4t om (och endast om) n\xc3\xa4tet f\xc3\xb6rekommer ofta i varje omgivning till x.\n_START_SECTION_\nFilter\n_START_PARAGRAPH_\nMan kan ocks\xc3\xa5 definiera hopningspunkter och gr\xc3\xa4nspunkter f\xc3\xb6r den besl\xc3\xa4ktade f\xc3\xb6reteelsen filter.'