b'\n_START_ARTICLE_\nPermutationsoperator\n_START_PARAGRAPH_\nEn permutationsoperator, eller utbytesoperator, \xc3\xa4r en operator av central betydelse inom kvantmekaniken. Permutationsoperatorer verkar p\xc3\xa5 flerpartikeltillst\xc3\xa5nd genom att byta tv\xc3\xa5 partiklars identiteter. Eftersom identiska partiklar \xc3\xa4r ourskiljbara enligt kvantmekaniken saknar en s\xc3\xa5dan operation fysikalisk mening; det permuterade tillst\xc3\xa5ndet m\xc3\xa5ste beskriva samma fysikaliska system som det ursprungliga tillst\xc3\xa5ndet. De tv\xc3\xa5 tillst\xc3\xa5ndens v\xc3\xa5gfunktioner kan d\xc3\xa4rf\xc3\xb6r skilja sig som mest genom en \xc3\xb6vergripande fasfaktor. S\xc3\xa5dana system \xc3\xa4r permutationssymmetriska._NEWLINE_Alla flerpartikeltillst\xc3\xa5nd av identiska partiklar \xc3\xa4r permutationssymmetriska och \xc3\xa4r s\xc3\xa5ledes egentillst\xc3\xa5nd till permutationsoperatorer. Permutationsoperatorer \xc3\xa4r involutiva och har d\xc3\xa4rf\xc3\xb6r endast egenv\xc3\xa4rdena  (bosoner) och  (fermioner). Permutationssymmetrin hos flerpartikeltillst\xc3\xa5nd har l\xc3\xa5ngtg\xc3\xa5ende effekt, bland annat leder den till Pauliprincipen, Fermi\xe2\x80\x93Dirac-statistik och Bose\xe2\x80\x93Einstein-statistik.\n_START_SECTION_\nDefinition\n_START_PARAGRAPH_\nF\xc3\xb6r ett flerpartikelsystem med  identiska partiklar definieras en permutationsoperator  som en operator som byter identitet p\xc3\xa5 partiklarna  och  med koordinaterna  respektive . Om  betecknar v\xc3\xa5gfunktionen f\xc3\xb6r flerpartikelsystemet s\xc3\xa5 ges den permuterade v\xc3\xa5gfunktionen av . Eftersom partiklarna \xc3\xa4r identiska m\xc3\xa5ste denna v\xc3\xa5gfunktion representera samma fysikaliska tillst\xc3\xa5nd som den ursprungliga v\xc3\xa5gfunktionen, det vill s\xc3\xa4ga de kan h\xc3\xb6gst skilja sig ifr\xc3\xa5n varandra med en \xc3\xb6vergripande fasfaktor :_NEWLINE_Med andra ord m\xc3\xa5ste en v\xc3\xa5gfunktion som representerar ett system av flera identiska partiklar vara ett egentillst\xc3\xa5nd till permutationsoperatorn med egenv\xc3\xa4rde . Eftersom permutationsoperatorn \xc3\xa4r involutiv, , g\xc3\xa4ller dessutom att_NEWLINE_Detta medf\xc3\xb6r att . F\xc3\xb6r bosoner g\xc3\xa4ller att , medan f\xc3\xb6r fermioner g\xc3\xa4ller att .\n_START_SECTION_\nTv\xc3\xa5partikelsystem\n_START_PARAGRAPH_\nF\xc3\xb6r ett tv\xc3\xa5partikelsystem med tv\xc3\xa5 olika spinn-orbitaler  och  \xc3\xa4r det enklast t\xc3\xa4nkbara flerpartikeltillst\xc3\xa5ndet en Hartreeprodukt:_NEWLINE_Om permutationsoperatorn  verkar p\xc3\xa5 denna v\xc3\xa5gfunktion s\xc3\xa5 \xc3\xa5terf\xc3\xa5s . Hartreeprodukten \xc3\xa4r s\xc3\xa5ledes inget egentillst\xc3\xa5nd till permutationsoperatorn vilket inneb\xc3\xa4r att det inte \xc3\xa4r ett till\xc3\xa5tet flerpartikeltillst\xc3\xa5nd (inom Hartree-metoden anv\xc3\xa4nds det dock som ett approximativt tillst\xc3\xa5nd)._NEWLINE_Hartreeprodukten kan dock g\xc3\xb6ras till ett egentillst\xc3\xa5nd till permutationsoperatorn genom att symmetrisera eller antisymmetrisera det. I det f\xc3\xb6rsta fallet erh\xc3\xa5lls det bosoniska tillst\xc3\xa5ndet_NEWLINE_och i det andra fallet erh\xc3\xa5lls det fermioniska tillst\xc3\xa5ndet_NEWLINE_Notera att i det sistn\xc3\xa4mnda fallet s\xc3\xa5 g\xc3\xa4ller  om , vilket leder till den s\xc3\xa5 kallade Pauliprincipen f\xc3\xb6r fermioner. Mer generellt kan bosoniska och fermioniska flerpartikeltillst\xc3\xa5nd konstrueras utifr\xc3\xa5n enpartikeltillst\xc3\xa5nd med hj\xc3\xa4lp av Slaterpermanent och Slaterdeterminanter.\n_START_SECTION_\nTidsutveckling\n_START_PARAGRAPH_\nEtt tillst\xc3\xa5nd som \xc3\xa4r symmetriskt eller antisymmetriskt under en permutationsoperator f\xc3\xb6rblir ocks\xc3\xa5 det \xc3\xb6ver tiden. Om  betecknar tidsutvecklingsoperatorn s\xc3\xa5 medf\xc3\xb6r detta att_NEWLINE_eftersom  m\xc3\xa5ste vara ett egentillst\xc3\xa5nd till  med samma egenv\xc3\xa4rde . Det f\xc3\xb6ljer att  och  kommuterar f\xc3\xb6r alla tider:_NEWLINE_Om , d\xc3\xa4r  \xc3\xa4r en infinitesimal tid, g\xc3\xa4ller att , vilket implicerar att \xc3\xa4ven Hamiltonoperatorn m\xc3\xa5ste kommutera med permutationsoperatorn:_NEWLINE_Detta inneb\xc3\xa4r att Hamiltonoperatorn m\xc3\xa5ste vara symmetrisk under permutationer av identiska partiklars identiteter, det vill s\xc3\xa4ga den f\xc3\xa5r inte g\xc3\xb6ra skillnad p\xc3\xa5 partiklar som \xc3\xa4r identiska.'