b'\n_START_ARTICLE_\nHermites rotansats\n_START_PARAGRAPH_\nHermites rotansats \xc3\xa4r en metod i matematik uppkallad efter Charles Hermite. Metoden kan anv\xc3\xa4ndas f\xc3\xb6r att enkelt best\xc3\xa4mma en primitiv funktion till speciella uttryck med r\xc3\xb6tter, specifikt uttryck som uppfyller att integranden \xc3\xa4r en kvot mellan ett polynom och roten ur ett andragradspolynom.\n_START_SECTION_\nSats\n_START_PARAGRAPH_\nOm P \xc3\xa4r ett polynom av grad n \\ge 1, s\xc3\xa5 finns ett polynom Q av grad n - 1 och en konstant K s\xc3\xa5 att_NEWLINE_\\int\\frac{P(x)}{\\sqrt{ax^2+bx+c}}dx=Q(x)\\sqrt{ax^2+bx+c}+\\int\\frac{K}{\\sqrt{ax^2+bx+c}}dx\n_START_SECTION_\nAllm\xc3\xa4nt exempel\n_START_PARAGRAPH_\nF\xc3\xb6r att anv\xc3\xa4nda satsen b\xc3\xb6rjar man naturligtvis med att f\xc3\xb6rs\xc3\xa4kra sig om att uttrycket uppfyller kraven, och s\xc3\xa5 noterar man gradtalet p\xc3\xa5 P(x). Sedan ans\xc3\xa4tter man helt enkelt ett polynom Q av l\xc3\xa4gre grad, dvs._NEWLINE_Q(x)=B_0+B_1x+...+B_{n-1}x^{n-1}._NEWLINE_Detta ger d\xc3\xa5 att_NEWLINE_\\int\\frac{A_0+A_1x+...+A_{n-1}x^{n-1}+A_nx^n}{\\sqrt{ax^2+bx+c}}dx_NEWLINE_=(B_0+B_1x+...+B_{n-1}x^{n-1})\\sqrt{ax^2+bx+c}+\\int \\frac{K}{\\sqrt{ax^2+bx+c}}dx_NEWLINE_N\xc3\xa4sta steg blir sedan att derivera b\xc3\xa5da sidor i likheten. De obest\xc3\xa4mda integralerna blir s\xc3\xa4rskilt enkla att derivera, d\xc3\xa5 det bara \xc3\xa4r integranden som blir kvar. I \xc3\xb6vrigt anv\xc3\xa4nds vanliga deriveringsregler. Slutligen s\xc3\xa4tter man hela h\xc3\xb6gerledet p\xc3\xa5 gemensam n\xc3\xa4mnare, s\xc3\xa5 att n\xc3\xa4mnaren st\xc3\xa4mmer \xc3\xb6verens med den i v\xc3\xa4nsterledet._NEWLINE_\\frac{A_0+A_1x+...+A_{n-1}x^{n-1}+A_nx^n}{\\sqrt{ax^2+bx+c}}_NEWLINE_=(B_1+2B_2x+...+(n-1)B_{n-1}x^{n-2})\\sqrt{ax^2+bx+c} +_NEWLINE_+ (B_0+B_1x+...+B_{n-1}x^{n-1})\\frac{ax+\\frac{b}{2}}{\\sqrt{ax^2+bx+c}}_NEWLINE_+\\frac{K}{\\sqrt{ax^2+bx+c}}=_NEWLINE_=\\frac{(B_1+2B_2x+...+(n-1)B_{n-1}x^{n-2})(ax^2+bx+c)+(B_0+B_1x+...+B_{n-1}x^{n-1})(ax+\\frac{b}{2})+K}{\\sqrt{ax^2+bx+c}}_NEWLINE_H\xc3\xa4rifr\xc3\xa5n \xc3\xa4r det bara att identifiera och l\xc3\xb6sa ut koefficienterna i t\xc3\xa4ljaren, f\xc3\xb6r att slutligen stoppa in i ansatsen._NEWLINE_Det enda som sedan \xc3\xa5terst\xc3\xa5r \xc3\xa4r att ber\xc3\xa4kna den h\xc3\xb6gra integralen, men eftersom K \xc3\xa4r en konstant g\xc3\xb6rs detta enkelt enligt f\xc3\xb6ljande_NEWLINE_\\int\\frac{K}{\\sqrt{ax^2+bx+c}}dx=K\\int\\frac{dx}{\\sqrt{ax^2+bx+c}}=\\frac{K}{\\sqrt{a}}\\int\\frac{dx}{\\sqrt{x^2+\\frac{b}{a}x+\\frac{c}{a}}}=_NEWLINE_=\\frac{K}{\\sqrt{a}}\\int\\frac{dx}{\\sqrt{(x+\\frac{b}{2a})^2+\\frac{c}{a}-\\frac{b^2}{4a^2}}}_NEWLINE_=\\frac{K}{\\sqrt{a}}\\int\\frac{dx}{\\sqrt{(x+\\frac{b}{2a})^2+\\frac{4ac-b^2}{4a^2}}}_NEWLINE_=\\frac{K}{\\sqrt{a}}\\ln\\left|x+\\frac{b}{2a}+\\sqrt{(x+\\frac{b}{2a})^2+\\frac{4ac-b^2}{4a^2}}\\right|+C_NEWLINE_D\xc3\xa4r vi i slutsteget har anv\xc3\xa4nt f\xc3\xb6ljande standardintegral_NEWLINE_\\int\\frac{dx}{\\sqrt{x^2+a}}=\\ln\\left|x+\\sqrt{x^2+a}\\right|+C d\xc3\xa5 a \\neq 0'