b'\n_START_ARTICLE_\nPeanos kurva\n_START_PARAGRAPH_\nPeanos kurva uppt\xc3\xa4cktes 1890 av den italienske matematikern Giuseppe Peano och det var den f\xc3\xb6rsta kontinuerliga kurvan som kunde t\xc3\xa4cka en hel kvadrat. Peanos uppt\xc3\xa4ckt har sedan gett upphov till flera andra rumsfyllande kurvor b\xc3\xa5de i planet och i h\xc3\xb6gre dimensioner. Rumsfyllande kurvor av dimension 2 kallas dock ofta f\xc3\xb6r Peanos kurvor till uppt\xc3\xa4ckarens \xc3\xa4ra.\n_START_SECTION_\nBakgrund\n_START_PARAGRAPH_\n1878 gjorde den rysk-tyske matematikern Georg Cantor en intressant uppt\xc3\xa4ckt. Han fann att tv\xc3\xa5 \xc3\xa4ndliga, sl\xc3\xa4ta m\xc3\xa5ngfalder oberoende av dess dimensioner har samma kardinalitet. Vilket med enklare spr\xc3\xa5k betyder att tv\xc3\xa5 ytor av \xc3\xa4ndlig dimension till exempel en linje och ett plan inneh\xc3\xa5ller lika m\xc3\xa5nga punkter. Detta inneb\xc3\xa4r att man skulle kunna avbilda enhetslinjen [0,1] p\xc3\xa5 enhetskvadraten [0,1]^2 bijektivt. Det vill s\xc3\xa4ga att varje element i [0,1] motsvarar ett och endast ett element i [0,1]^2 och tv\xc3\xa4rtom._NEWLINE_Cantors uppt\xc3\xa4ckt skapade en m\xc3\xa4ngd fr\xc3\xa5gor, till exempel kan en s\xc3\xa5dan avbildning vara kontinuerlig? Eugen Netto visade 1879 inga s\xc3\xa5dana kontinuerliga kurvor existerade om bijektiviteten skulle uppfyllas. D\xc3\xa5 undrade man om det fanns kontinuerliga avbildningar d\xc3\xa5 bijektiviteten s\xc3\xa4nktes till surjektivitet. Allts\xc3\xa5 om det fanns kontinuerliga avbildningar fr\xc3\xa5n enhetslinjen till enhetskvadraten som passerar varje punkt i kvadraten. Peano fann 1890 att s\xc3\xa5dana kurvor existerade.\n_START_SECTION_\nGrafisk tolkning av Peanos kurva\n_START_PARAGRAPH_\nPeano gjorde sin uppt\xc3\xa4ckt analytiskt, det \xc3\xa4r dock l\xc3\xa4ttare att f\xc3\xb6rst\xc3\xa5 kurvans inneb\xc3\xb6rd grafiskt. Den tyske matematikern David Hilbert var den f\xc3\xb6rsta som ins\xc3\xa5g hur man kunde skapa kurvorna geometriskt. Han f\xc3\xb6rstod att om enhetslinjen kan avbildas kontinuerligt p\xc3\xa5 enhetskvadraten, kan man dela upp enhetslinjen i fyra lika stora intervall och avbildningen fr\xc3\xa5n dessa skulle hamna i fyra lika stora underkvadrater. Dessa kan sen i sin tur delas upp i fyra nya delar. N\xc3\xa4r man delat intervallen och kvadraterna s\xc3\xa5 de blivit godtyckligt sm\xc3\xa5 har man f\xc3\xa5tt en peanokurva. Bilden visar hur man genererar en s\xc3\xa5dan kurva enligt Hilberts id\xc3\xa9. Fast till skillnad fr\xc3\xa5n Hilbert anv\xc3\xa4nder bilden nio underkvadrater men principen \xc3\xa4r densamma.\n_START_SECTION_\nDefinition av Peanos kurva\n_START_PARAGRAPH_\nPeanos kurva avbildar f:[0,1]\\rightarrow [0,1]^2 och funktionen \xc3\xa4r definierad enligt ett trin\xc3\xa4rt system,_NEWLINE_Peano skapade sin avbildning med hj\xc3\xa4lp av operatorn,_NEWLINE_Peanos kurva avbildar ett trin\xc3\xa4rt br\xc3\xa5k p\xc3\xa5 en punkt i enhetskvadraten enligt_NEWLINE_D\xc3\xa4r  k^v betecknar den  vte iterationen av k._NEWLINE_F\xc3\xb6r att avbildningen ska vara en rumsfyllande kurva m\xc3\xa5ste den vara surjektiv och kontinuerlig. S\xc3\xa5 f\xc3\xb6r att bevisa att Peanos kurva \xc3\xa4r en rumsfyllande kurva bevisas f\xc3\xb6rst att den \xc3\xa4r surjektiv och sedan att den \xc3\xa4r kontinuerlig.\n_START_SECTION_\nSurjektivitet\n_START_PARAGRAPH_\nTag en godtycklig punkt i enhetskvadraten,_NEWLINE_Det ska d\xc3\xa5 finnas \xc3\xa5tminstone en punkt p\xc3\xa5 enhetslinjen_NEWLINE_s\xc3\xa5dan att_NEWLINE_Genom att j\xc3\xa4mf\xc3\xb6ra  f(t) med Peanos definition erh\xc3\xa5ller man f\xc3\xb6ljande rekursiva samband:_NEWLINE_Sambanden kan sen inverteras eftersom_NEWLINE_Det vill s\xc3\xa4ga k \xc3\xa4r sin egen invers vilket ger_NEWLINE_Nu g\xc3\xa5r det att l\xc3\xb6sa f\xc3\xb6r t_1,t_2,t_3,\\cdots och d\xc3\xa4rav \xc3\xa4r f surjektiv.\n_START_SECTION_\nKontinuitet\n_START_PARAGRAPH_\nVi skriver Peanos kurva som_NEWLINE_F\xc3\xb6r att kurvan ska vara kontinuerlig m\xc3\xa5ste b\xc3\xa5de \\varphi(t) och  \\psi (t) vara det p\xc3\xa5 hela [0,1]. Funktionen \\varphi(t) bevisas vara kontinuerlig genom att l\xc3\xa5ta_NEWLINE_Detta ger_NEWLINE_Om vi nu har  t \\in [t_0, t_0+\\delta] kommer t st\xc3\xa4mma \xc3\xb6verens med t_0 de f\xc3\xb6rsta 2n siffrorna och d\xc3\xa4rf\xc3\xb6r kan man uttrycka t som,_NEWLINE_F\xc3\xb6r att se om \\varphi(t) \xc3\xa4r kontinuerlig s\xc3\xa4tter vi_NEWLINE_och tittar sedan p\xc3\xa5 |\\varphi(t)-\\varphi(t_0)| som ska g\xc3\xa5 mot noll om \\varphi(t) \xc3\xa4r kontinuerlig._NEWLINE_Vilket ger gr\xc3\xa4nsv\xc3\xa4rdet,_NEWLINE_._NEWLINE_Allts\xc3\xa5 \xc3\xa4r \\varphi(t) kontinuerlig fr\xc3\xa5n h\xc3\xb6ger, f\xc3\xb6r att ta reda p\xc3\xa5 om den \xc3\xa4r kontinuerlig fr\xc3\xa5n v\xc3\xa4nster g\xc3\xb6r man p\xc3\xa5 samma s\xc3\xa4tt, men tar t-\\delta ist\xc3\xa4llet. G\xc3\xb6r man det finner man att \\varphi(t) \xc3\xa4r kontinuerlig p\xc3\xa5 hela [0,1]. Att \\varphi(t) \xc3\xa4r kontinuerlig medf\xc3\xb6r att \\psi(t) \xc3\xa4r det ocks\xc3\xa5 eftersom \\psi(t)=3\\varphi(t/3) . D\xc3\xa4rmed \xc3\xa4r hela beviset klart.\n_START_SECTION_\nFraktaler\n_START_PARAGRAPH_\nPeanos kurva var en av de f\xc3\xb6rsta fraktalerna och lade grunden f\xc3\xb6r fraktalteorin som l\xc3\xa5ngt efter Peanos uppt\xc3\xa4ckt f\xc3\xa5tt otaliga till\xc3\xa4mpningar. Fraktaler anv\xc3\xa4nds idag inom m\xc3\xa5nga vetenskapliga omr\xc3\xa5den till exempel datorvetenskap och medicin.'