b'\n_START_ARTICLE_\nAutomorfizmus (csoportelm\xc3\xa9let)\n_START_PARAGRAPH_\nAz absztrakt algebra csoportelm\xc3\xa9let nev\xc5\xb1 \xc3\xa1g\xc3\xa1ban automorfizmus a neve az olyan bijekt\xc3\xadv lek\xc3\xa9pez\xc3\xa9snek, amely m\xc5\xb1velettart\xc3\xb3 \xc3\xa9s egy csoportot \xc3\xb6nmag\xc3\xa1ra k\xc3\xa9pez le.\n_START_SECTION_\nDefin\xc3\xadci\xc3\xb3\n_START_PARAGRAPH_\nLegyen G egy csoport, \xc3\xa9s legyen \\varphi:G \\rightarrow G bijekt\xc3\xadv lek\xc3\xa9pez\xc3\xa9s (azaz G k\xc3\xbcl\xc3\xb6nb\xc3\xb6z\xc5\x91 elemeihez \\varphi k\xc3\xbcl\xc3\xb6nb\xc3\xb6z\xc5\x91 elemeket rendel, \xc3\xa9s G minden eleme el\xc5\x91\xc3\xa1ll G valamely elem\xc3\xa9nek k\xc3\xa9pek\xc3\xa9nt). Ezt a lek\xc3\xa9pez\xc3\xa9st automorfizmusnak nevezz\xc3\xbck, ha b\xc3\xa1rmely a,b \\in G-re \\ \\varphi(ab)=\\varphi(a)\\varphi(b). Az automorfizmusok teh\xc3\xa1t olyan izomorfizmusok, amelyek egy csoportot \xc3\xb6nmag\xc3\xa1ra k\xc3\xa9peznek le.\n_START_SECTION_\nAutomorfizmus-csoport\n_START_PARAGRAPH_\nEgy csoport automorfizmusai (a lek\xc3\xa9pez\xc3\xa9sek \xc3\xb6sszet\xc3\xa9tel\xc3\xa9vel, mint m\xc5\xb1velettel) maguk is csoportot alkotnak. A G csoport automorfizmusainak csoportj\xc3\xa1t Aut(G)-vel jel\xc3\xb6lj\xc3\xbck. Aut(G) egys\xc3\xa9geleme az identikus lek\xc3\xa9pez\xc3\xa9s.\n_START_SECTION_\nBels\xc5\x91 automorfizmusok\n_START_PARAGRAPH_\nLegyen g \\in G, \xc3\xa9s jel\xc3\xb6lje \\tau_g azt a lek\xc3\xa9pez\xc3\xa9st, amely tetsz\xc5\x91leges x \\in G-hez annak a g-vel vett g^{-1}xg konjug\xc3\xa1ltj\xc3\xa1t rendeli. Akkor \\tau_g automorfizmusa G-nek. Az ilyen automorfizmusokat bels\xc5\x91 automorfizmusnak nevezz\xc3\xbck._NEWLINE_Egy csoport bels\xc5\x91 automorfizmusai (a lek\xc3\xa9pez\xc3\xa9sek \xc3\xb6sszet\xc3\xa9tel\xc3\xa9vel, mint m\xc5\xb1velettel) maguk is csoportot alkotnak. A G csoport bels\xc5\x91 automorfizmusainak csoportj\xc3\xa1t Inn G-vel jel\xc3\xb6lj\xc3\xbck. Inn G norm\xc3\xa1loszt\xc3\xb3ja Aut G-nek. Az Inn G / Aut G faktorcsoportot G k\xc3\xbcls\xc5\x91 automorfizmus-csoportj\xc3\xa1nak nevezz\xc3\xbck \xc3\xa9s Out G-vel jel\xc3\xb6lj\xc3\xbck._NEWLINE_G k\xc3\xbcl\xc3\xb6nb\xc3\xb6z\xc5\x91 elemeib\xc5\x91l sz\xc3\xa1rmazhat ugyanaz a bels\xc5\x91 automorfizmus. Speci\xc3\xa1lisan \\ \\tau_g=\\tau_1=1_{Aut G}, ha g centrumelem. Inn G izomorf a G/Z(G) faktorcsoporttal, \xc3\xa9s \xc3\xadgy Inn(G)=1 akkor \xc3\xa9s csak akkor, ha G kommutat\xc3\xadv.\n_START_SECTION_\nNemtrivi\xc3\xa1lis automorfizmus-csoportok\n_START_PARAGRAPH_\nAz egy- \xc3\xa9s a k\xc3\xa9telem\xc5\xb1 csoport automorfizmus-csoportja trivi\xc3\xa1lis (csak az identikus lek\xc3\xa9pez\xc3\xa9st tartalmazza). Minden m\xc3\xa1s G csoport automorfizmus-csoportja nemtrivi\xc3\xa1lis. Ezt a k\xc3\xb6vetkez\xc5\x91 gondolatmenet igazolja:_NEWLINE_Ha G nem kommutat\xc3\xadv, \xc3\xa9s p\xc3\xa9ld\xc3\xa1ul az a, x\\in G elemek nem kommut\xc3\xa1lnak, akkor x-nek a \\tau_a bels\xc5\x91 automorfizmusn\xc3\xa1l vett k\xc3\xa9pe x-t\xc5\x91l k\xc3\xbcl\xc3\xb6nb\xc3\xb6z\xc5\x91, \xc3\xadgy \\tau_a nem az identikus lek\xc3\xa9pez\xc3\xa9s \xc3\xa9s ez\xc3\xa9rt Aut G nem trivi\xc3\xa1lis._NEWLINE_Ha G kommutat\xc3\xadv, akkor Aut G-nek eleme az a lek\xc3\xa9pez\xc3\xa9s, ami tetsz\xc5\x91leges g \\in G-hez annak g^{-1} inverz\xc3\xa9t rendeli. Ez \xc3\xa9ppen akkor nem az identikus lek\xc3\xa9pez\xc3\xa9s, ha van olyan x \\in G elem, hogy x^{-1}\\neq x vagyis x^2\\neq 1. Ha ilyen elem nincsen, azaz minden nemegys\xc3\xa9g elem m\xc3\xa1sodrend\xc5\xb1, akkor G felfoghat\xc3\xb3 egy a k\xc3\xa9telem\xc5\xb1 F_2 test feletti vektort\xc3\xa9r addit\xc3\xadv csoportjak\xc3\xa9nt, \xc3\xa9s e vektort\xc3\xa9r b\xc3\xa1rmely nemnulla determin\xc3\xa1ns\xc3\xba, nem-identikus line\xc3\xa1ris transzform\xc3\xa1ci\xc3\xb3ja G-nek nemtrivi\xc3\xa1lis automorfizmusa.\n_START_SECTION_\nAnti-automorfizmusok\n_START_PARAGRAPH_\nAnti-automorfizmusnak nevezz\xc3\xbck a G csoport olyan \xc3\xb6nmag\xc3\xa1ra val\xc3\xb3 \\varphi:G \\rightarrow G bijekt\xc3\xadv lek\xc3\xa9pez\xc3\xa9s\xc3\xa9t, amely a szorz\xc3\xa1s sorrendj\xc3\xa9t megv\xc3\xa1ltoztatja, azaz amelyre \\varphi(ab)=\\varphi(b)\\varphi(a). G anti-automorfizmusainak halmaz\xc3\xa1t Antaut G jel\xc3\xb6li. Ha G Abel-csoport, akkor persze Antaut G egybeesik Aut G-vel. Egyszer\xc5\xb1 p\xc3\xa9lda anti-automorfizmusra az a lek\xc3\xa9pez\xc3\xa9s, ami tetsz\xc5\x91leges g \\in G-hez annak g^{-1} inverz\xc3\xa9t rendeli, hiszen (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}. Antaut G \\bigcup Aut G csoportot alkot a lek\xc3\xa9pez\xc3\xa9sszorz\xc3\xa1sra, mint m\xc5\xb1veletre n\xc3\xa9zve. Ebben a csoportban Aut G direkt t\xc3\xa9nyez\xc5\x91.\n_START_SECTION_\nT\xc3\xb6rt\xc3\xa9nete\n_START_PARAGRAPH_\nCsoportautomorfizmusokat el\xc5\x91sz\xc3\xb6r William Rowan Hamilton \xc3\xadr matematikus eml\xc3\xadtett 1856-ban az Icosian Calculus c\xc3\xadm\xc5\xb1 m\xc5\xb1v\xc3\xa9ben.'