b'\n_START_ARTICLE_\nTessellation\n_START_PARAGRAPH_\nTessellation (av latin: tessella, "(kvadratisk) mosaikbit") \xc3\xa4r en utfyllnad av ett plan med geometriska figurer i ett m\xc3\xb6nster utan \xc3\xb6verlappningar eller mellanrum. Tessellation kan generaliseras till flera dimensioner.\n_START_SECTION_\nHistorisk och naturlig betraktelse\n_START_PARAGRAPH_\nTessellationen \xc3\xa4r en gammal konstform och m\xc3\xa4nniskan b\xc3\xb6rjade tidigt i historien att l\xc3\xa4gga ut plattor i sinnrika m\xc3\xb6nster f\xc3\xb6r att kl\xc3\xa4 golv, v\xc3\xa4ggar, tak och hela byggnader med olika material. Det utm\xc3\xa4rkande med denna typ av plattl\xc3\xa4ggning \xc3\xa4r att m\xc3\xb6nstren oftast upprepar sig, \xc3\xa4r periodiska. M\xc3\xb6nstren som uppst\xc3\xa5r n\xc3\xa4r m\xc3\xa4nniskor i alla kulturer och under alla tider experimenterat med att l\xc3\xa4gga ut plattor kan oftast beskrivas med matematiska formler. Den arabiska kulturen \xc3\xa4r mycket rik p\xc3\xa5 denna konstart. Det finns massvis med grundl\xc3\xa4ggande enheter som kan anv\xc3\xa4ndas f\xc3\xb6r att bygga upp en st\xc3\xb6rre enhet; kvadrater, romber, rektanglar, parallellogram, trianglar, r\xc3\xa4nder, cirklar och stj\xc3\xa4rnor. M\xc3\xa4nniskan har anv\xc3\xa4nt och anv\xc3\xa4nder massvis med olika material f\xc3\xb6r plattl\xc3\xa4ggningen; ett f\xc3\xa5tal exempel \xc3\xa4r sten, glas, tr\xc3\xa4, plast, lera, keramik och metall. F\xc3\xb6r att f\xc3\xa5 ut s\xc3\xa5 mycket som m\xc3\xb6jligt av ett material s\xc3\xa5 \xc3\xa4r det mest ekonomiska att ha former som fyller ut materialet utan mellanrum. Inuti bikupor \xc3\xa4r de olika vaxkakorna uppdelade i sexkantiga former, detta beror p\xc3\xa5 att det \xc3\xa4r en av formerna som ger st\xc3\xb6rsta m\xc3\xb6jliga yta med minsta m\xc3\xb6jliga byggnadsmaterial. De sexkantiga vaxkakorna fyller ut boet utan mellanrum. \xc3\x84ven spindeln\xc3\xa4t och sk\xc3\xb6ldpaddans skal best\xc3\xa5r av mer eller mindre geometriska m\xc3\xb6nster._NEWLINE_Konstn\xc3\xa4ren M.C. Escher har anv\xc3\xa4nt sig bland annat av tessellering i sin konst.\n_START_SECTION_\nMatematiken bakom tessellation\n_START_PARAGRAPH_\nSymmetrin i m\xc3\xb6nstren som uppst\xc3\xa5r av bland annat plattl\xc3\xa4ggning beskrivs av att plattorna har vridits, f\xc3\xb6rflyttats och/eller speglats. Inom gruppteorin \xc3\xa4r dessa matematiska operationer vanliga. Endast den liksidiga triangeln, kvadraten och sexh\xc3\xb6rningen av de regelbundna m\xc3\xa5ngh\xc3\xb6rningarna kan l\xc3\xa4ggas ut i ett helt och h\xc3\xa5llet regelbundet m\xc3\xb6nster som t\xc3\xa4cker en yta utan att l\xc3\xa4mna mellanrum. L\xc3\xa4ggs ist\xc3\xa4llet regelbundna \xc3\xa5ttah\xc3\xb6rningar ut bredvid varandra kommer ett kvadratiskt mellanrum att l\xc3\xa4mnas, m\xc3\xb6nstret blir halvregelbundet. Regelbundna femh\xc3\xb6rningar ger glapp om de l\xc3\xa4ggs ut bredvid varandra och regelbundna polygoner med fler \xc3\xa4n sex h\xc3\xb6rn kommer att t\xc3\xa4cka varandra n\xc3\xa4r de l\xc3\xa4ggs ut bredvid varandra. Genom att kombinera olika typer av polygoner ges t\xc3\xa4ckande m\xc3\xb6nster som kallas f\xc3\xb6r halvregelbundna, dessa finns det gott om. F\xc3\xb6r att skapa olika tessellationer av en yta kan till en b\xc3\xb6rjan ett m\xc3\xb6nster av till exempel parallellogram l\xc3\xa4ggas ut. L\xc3\xa5t h\xc3\xb6rnen i parallellogrammen utg\xc3\xb6ras av punkter, dessa punkter skapar ett punktgitter. Genom att nu skapa nya figurer mellan punkterna ges nya grundfigurer med samma area som den ursprungliga parallellogrammen. Det beh\xc3\xb6ver inte vara raka linjer mellan punkterna utan det viktiga \xc3\xa4r att linjerna som dras mellan punkterna \xc3\xa4r parvis kongruenta. P\xc3\xa5 detta vis kan kurvb\xc3\xa5gar dras mellan punkterna s\xc3\xa5 att man f\xc3\xa5r en grundfigur likt en tegelsten som exempel. Dessa grundfigurer som nu skapats har egenskapen att om de vrids ett halvt varv s\xc3\xa5 ser de likadana ut, detta g\xc3\xa4ller f\xc3\xb6r hela planet ocks\xc3\xa5. Med hj\xc3\xa4lp av egenskapen att m\xc3\xb6nstret efter en vridning p\xc3\xa5 180 grader ser likadant ut kan man utg\xc3\xa5ende fr\xc3\xa5n en godtycklig fyrh\xc3\xb6rning skapa mer komplexa figurer. V\xc3\xa4lj ut mittpunkten p\xc3\xa5 varje sida i fyrh\xc3\xb6rningen och skapa valfria insk\xc3\xa4rningar i figuren. Vrid dessa insk\xc3\xa4rningar ett halvt varv med vridpunkten p\xc3\xa5 mitten av varje sida i fyrh\xc3\xb6rning. Arean bibeh\xc3\xa5lls p\xc3\xa5 detta vis och en grundfigur har skapats som kan tesselleras.'