b'\n_START_ARTICLE_\nDesargues sats\n_START_SECTION_\nHistoria\n_START_PARAGRAPH_\nDesargues publicerade aldrig satsen sj\xc3\xa4lv, utan den f\xc3\xb6rekom i ett till\xc3\xa4gg med titeln Mani\xc3\xa8re universelle de M. Desargues pour practiquer la perspective ("En universell metod av M. Desargues f\xc3\xb6r anv\xc3\xa4ndandet av perspektiv") i en praktisk bok om perspektiv som gavs ut 1648  av hans v\xc3\xa4n och elev Abraham Bosse (1602-1676).\n_START_SECTION_\nProjektiva och affina rum\n_START_PARAGRAPH_\nI ett affint rum som det Euklidiska planet g\xc3\xa4ller ett liknande uttalande, men bara om man tar upp en l\xc3\xa5ng rad undantag som innefattar parallella linjer. Desargues sats \xc3\xa4r d\xc3\xa4rf\xc3\xb6r en av de mest grundl\xc3\xa4ggande av enkla och intuitiva satser som naturligt h\xc3\xb6r hemma i det projektiva snarare \xc3\xa4n i det affina rummet.\n_START_SECTION_\nSj\xc3\xa4lvdualitet\n_START_PARAGRAPH_\nAv definition \xc3\xa4r tv\xc3\xa5 trianglar perspektiva om och endast om de \xc3\xa4r "centrala i perspektiv" fr\xc3\xa5n en punkt (h\xc3\xb6rnens f\xc3\xb6rbindelselinjer l\xc3\xb6per samman i ett perspektivcentrum) eller, likv\xc3\xa4rdigt enligt denna sats, "axiala i perspektiv" fr\xc3\xa5n en linje (sidornas f\xc3\xb6rl\xc3\xa4ngningar sk\xc3\xa4r varandra i punkter vilka ligger p\xc3\xa5 en r\xc3\xa4t linje, perspektivaxeln). Observera att perspektiva trianglar inte beh\xc3\xb6ver vara liknande._NEWLINE_Under den vanliga dualiteten f\xc3\xb6r planprojektiv geometri (i vilken punkter motsvaras av linjer och punkters kollinearitet motsvarar linjers konkurrens) \xc3\xa4r Desargues sats sj\xc3\xa4lvdual: axial perspektivitet avbildas som central perspektivitet och vice versa. Desargues konfiguration (nedan) \xc3\xa4r en sj\xc3\xa4lvdual konfiguration.\n_START_SECTION_\nBevis av Desargues sats\n_START_PARAGRAPH_\nDesargues sats g\xc3\xa4ller f\xc3\xb6r projektiva rum av varje dimension \xc3\xb6ver varje kropp eller divisionsring, och g\xc3\xa4ller ocks\xc3\xa5 f\xc3\xb6r abstrakta projektiva rum av dimension st\xc3\xb6rre \xc3\xa4n tv\xc3\xa5. I tv\xc3\xa5 dimensioner kallas planen f\xc3\xb6r vilken den g\xc3\xa4ller Desargueska plan och \xc3\xa4r desamma som de plan som kan ges koordinater \xc3\xb6ver en divisionsring. Det finns ocks\xc3\xa5 m\xc3\xa5nga icke-Desargueska plan f\xc3\xb6r vilka satsen inte g\xc3\xa4ller.\n_START_SECTION_\nTv\xc3\xa5dimensionellt bevis\n_START_PARAGRAPH_\nEftersom det finns icke-Desargueska plan f\xc3\xb6r vilka satsen inte g\xc3\xa4ller m\xc3\xa5ste n\xc3\xa5gra villkor uppfyllas f\xc3\xb6r ett m\xc3\xb6jligt bevis. Dessa villkor tar vanligen formen att f\xc3\xb6rmoda existensen av tillr\xc3\xa4ckligt m\xc3\xa5nga kollineationer av en speciell typ, vilket i sin tur leder till att visa att det underliggande algebraiska koordinatsystemet m\xc3\xa5ste vara en divisionsring (skevkropp).\n_START_SECTION_\nRelation till Pappos\' sats\n_START_PARAGRAPH_\nPappos\' sats s\xc3\xa4ger att om en sexh\xc3\xb6rning AB\'CA\'BC\' ritas p\xc3\xa5 ett s\xc3\xa5dant s\xc3\xa4tt att h\xc3\xb6rnen A, B och C ligger p\xc3\xa5 en linje och h\xc3\xb6rnen A\', B\' och C\' ligger p\xc3\xa5 en annan linje, s\xc3\xa5 korsar motst\xc3\xa5ende sidor varandra i tre punkter som \xc3\xa4r kolline\xc3\xa4ra. (Hessenberg 1905) visade att Desargues sats kunde h\xc3\xa4rledas fr\xc3\xa5n tre till\xc3\xa4mpningar av Pappos\' sats. _NEWLINE_Motsatsen till resultatet g\xc3\xa4ller ej, det vill s\xc3\xa4ga att Pappos\' sats g\xc3\xa4ller inte i alla Desargueska plan. Att uppfylla Pappos\' sats universellt \xc3\xa4r detsamma som att det underliggande koordinatsystemet \xc3\xa4r kommutativt. Ett plan som definieras \xc3\xb6ver en icke-kommutativ divisionsring (en divisionsring som inte \xc3\xa4r en kropp) inneb\xc3\xa4r att det \xc3\xa4r Desargueskt men att Pappos\' sats inte g\xc3\xa4ller. Men, genom Wedderburns sats, som s\xc3\xa4ger att all \xc3\xa4ndliga divisionsringar \xc3\xa4r kroppar, s\xc3\xa5 g\xc3\xa4ller Pappos\' sats f\xc3\xb6r alla \xc3\xa4ndliga Desargueska plan. Det finns inget k\xc3\xa4nt tillfredsst\xc3\xa4llande geometriskt bevis f\xc3\xb6r detta.\n_START_SECTION_\nDesargues konfiguration\n_START_PARAGRAPH_\nDe tio linjerna som \xc3\xa4r inblandade i Desargues sats (de sex triangelsidorna, de tre linjerna AA\', BB\' och CC\' samt perspektivaxeln) och de tio inblandade punkterna (sex h\xc3\xb6rn, tre sk\xc3\xa4rningspunkter p\xc3\xa5 perspektivaxeln och perspektivcentrum) \xc3\xa4r arrangerade p\xc3\xa5 ett s\xc3\xa5dant s\xc3\xa4tt att varje av de tio linjerna passerar genom tre av de tio punkterna och varje av de tio punkterna ligger p\xc3\xa5 tre av de tio linjerna. Dessa tio punkter och tio linjer bildar Desargueskonfigurationen, ett exempel p\xc3\xa5 en projektiv konfiguration. Fast\xc3\xa4n Desargues sats v\xc3\xa4ljer olika "roller" f\xc3\xb6r dessa linjer och punkter, s\xc3\xa5 \xc3\xa4r konfigurationen mycket mer symmetrisk: vilken som helst av de tio punkterna kan v\xc3\xa4ljas som perspektivcentrum och det valet best\xc3\xa4mmer vilka sex punkter som kommer att vara triangelh\xc3\xb6rn och vilka tre som kommer att ligga p\xc3\xa5 perspektivaxeln och n\xc3\xa4r punkterna best\xc3\xa4mts s\xc3\xa5 best\xc3\xa4ms ju ocks\xc3\xa5 perspektivaxeln och de andra linjerna.'