b'\n_START_ARTICLE_\nInfinitesimal\n_START_SECTION_\nHistorik\n_START_PARAGRAPH_\nId\xc3\xa9n med ett o\xc3\xa4ndligt litet tal \xc3\xa4r gammal; redan under antiken fanns n\xc3\xa5got liknande. Arkimedes hade en tanke om att det fanns ett tal som |x|>1, |x|>1+1, |x|>1+1+1, ... Han sade d\xc3\xa5 att detta skapar ett o\xc3\xa4ndligt stort tal x. Om man sedan tar 1/x bildar det d\xc3\xa5 ett o\xc3\xa4ndligt litet tal men aldrig noll. Dock var begreppet o\xc3\xa4ndlighet diffust och sv\xc3\xa5rt att greppa och det dr\xc3\xb6jde l\xc3\xa5ng tid innan det blev helt vedertaget i matematiska sammanhang. Det dr\xc3\xb6jde \xc3\xa4nd\xc3\xa5 fram tills det att Newton och Leibniz oberoende av varandra lade fram sin infinitesimalkalkyl p\xc3\xa5 1660-talet. Trots att dessa stora matematiker hade lagt fram sina teorier hade man fortfarande samma problem som under antiken: att o\xc3\xa4ndligt stora och sm\xc3\xa5 tal medf\xc3\xb6r flera paradoxer. Paradoxerna ledde till att matematiker under 1800-talet, d\xc3\xa4ribland Karl Weierstrass och Richard Dedekind formulerade om analysen med epsilon-delta. Det dr\xc3\xb6jde ytterligare n\xc3\xa5gra hundra \xc3\xa5r innan Abraham Robinson s\xc3\xa5 sent som 1961 lade fram en teori som \xc3\xa5ter f\xc3\xb6rde infinitesimal p\xc3\xa5 tal. Han lade d\xc3\xa5 grunderna f\xc3\xb6r icke-standardanalys.\n_START_SECTION_\nAnv\xc3\xa4ndningsomr\xc3\xa5den\n_START_PARAGRAPH_\nDe mest k\xc3\xa4nda omr\xc3\xa5den d\xc3\xa4r infinitesimaler kan anv\xc3\xa4ndas \xc3\xa4r derivata och integral.\n_START_SECTION_\nDerivata\n_START_PARAGRAPH_\nDerivatan f\'(x) av en funktion f(x) beskriver f\xc3\xb6r\xc3\xa4ndringshastigheten f\xc3\xb6r f(x), det vill s\xc3\xa4ga hur funktionen \xc3\xa4ndras beroende p\xc3\xa5 olika indata.\n_START_SECTION_\nStandardderivata\n_START_PARAGRAPH_\nVanligtvis definieras derivatan av ett gr\xc3\xa4nsv\xc3\xa4rde:_NEWLINE_. _NEWLINE_ betyder att "h g\xc3\xa5r mot noll" det vill s\xc3\xa4ga att derivatan \xc3\xa4r ett gr\xc3\xa4nsv\xc3\xa4rde. V\xc3\xa4rdet f(x)-f(x+h) d\xc3\xa4r h g\xc3\xa5r mot noll ger h\xc3\xb6jdskillnaden i y-led mellan tv\xc3\xa5 punkter som \xc3\xa4r o\xc3\xa4ndligt n\xc3\xa4ra varandra.\n_START_SECTION_\nISA-derivata\n_START_PARAGRAPH_\nISA-derivata eller derivata med hj\xc3\xa4lp av icke-standardanalys lades fram av Abraham Robinson i b\xc3\xb6rjan p\xc3\xa5 1960-talet. Skillnaden mellan den klassiska derivatan och Robinsons id\xc3\xa9 var att man helt enkelt l\xc3\xa5ter skillnaden mellan de olika punkterna ha avst\xc3\xa5ndet av en infinitesimal ist\xc3\xa4llet f\xc3\xb6r att l\xc3\xa5ta avst\xc3\xa5ndet g\xc3\xa5 mot noll. _NEWLINE_ _NEWLINE_d\xc3\xa4r  \xc3\xa4r en infinitesimal. Detta g\xc3\xb6r att man kan r\xc3\xa4kna fram derivatan utan att anv\xc3\xa4nda gr\xc3\xa4nsv\xc3\xa4rden. Dessa infinitesimala tal \xc3\xa4r inte till\xc3\xa5tna i det vanliga reella talsystemet, . F\xc3\xb6r att kunna r\xc3\xa4kna p\xc3\xa5 dessa o\xc3\xa4ndligt sm\xc3\xa5 tal anv\xc3\xa4nder vi  , hyperreella talplanet som till\xc3\xa5ter o\xc3\xa4ndligt sm\xc3\xa5 tal. N\xc3\xa4r ISA-derivatan kom trodde m\xc3\xa5nga att det snabbt skulle ers\xc3\xa4tta den klassiska derivatan inom undervisningen p\xc3\xa5 grund av att den med hj\xc3\xa4lp av ett infinitesimalt  \xc3\xa4r l\xc3\xa4ttare att f\xc3\xb6rst\xc3\xa5. Det skulle dessutom underl\xc3\xa4tta utr\xc3\xa4kningar och m\xc3\xb6jligg\xc3\xb6ra att man kan uttrycka ekvationer explicit ist\xc3\xa4llet f\xc3\xb6r implicit i den klassiska analysen. De som var emot att man skulle anv\xc3\xa4nda icke-standardanalys i undervisning h\xc3\xa4vdade att man ist\xc3\xa4llet lurade elever och missade att visa p\xc3\xa5 den noggrannhet som kr\xc3\xa4vs inom matematiken.\n_START_SECTION_\nIntegral\n_START_PARAGRAPH_\n\xc3\x84ven integralen \xc3\xa4r beroende av ett gr\xc3\xa4nsv\xc3\xa4rde. Integralen av f(x) ger den area som \xc3\xa4r mellan funktionen och x-axeln p\xc3\xa5 ett givet intervall. Detta g\xc3\xa5r ut p\xc3\xa5 att man delar upp arean i o\xc3\xa4ndligt m\xc3\xa5nga rektanglar med en h\xc3\xb6jd fr\xc3\xa5n x-axeln till kurvan. Om man summerar dessa o\xc3\xa4ndligt smala rektanglars area f\xc3\xa5r man den totala arean. \xc3\x84ven denna analytiska operation skulle man kunna beskriva med hj\xc3\xa4lp av infinitesimal ist\xc3\xa4llet f\xc3\xb6r att anv\xc3\xa4nda sig av gr\xc3\xa4nsv\xc3\xa4rden.'