b'\n_START_ARTICLE_\nHausdorffdimension\n_START_PARAGRAPH_\nHausdorffdimension \xc3\xa4r en matematisk definition p\xc3\xa5 dimension. Vissa fraktala m\xc3\xa4ngder kommer med denna definition inte att ha en dimension som \xc3\xa4r ett heltal, utan alla reella tal st\xc3\xb6rre \xc3\xa4n eller lika med 0 \xc3\xa4r t\xc3\xa4nkbara v\xc3\xa4rden p\xc3\xa5 dimensionen hos en m\xc3\xa4ngd.\n_START_SECTION_\nHausdorffm\xc3\xa5tt\n_START_PARAGRAPH_\nL\xc3\xa5t F vara en m\xc3\xa4ngd i \\mathbb{R}^n. F\xc3\xb6r att ber\xc3\xa4kna l\xc3\xa4ngden av F kan vi t\xc3\xa4cka \xc3\xb6ver den med sm\xc3\xa5 m\xc3\xa4ngder med diameter mindre \xc3\xa4n \\delta. Summerar vi diametrarna f\xc3\xb6r den minsta m\xc3\xb6jliga \xc3\xb6vert\xc3\xa4ckningen d\xc3\xa5 \\delta \\to 0 f\xc3\xa5r vi ett m\xc3\xa5tt p\xc3\xa5 l\xc3\xa4ngden hos F:_NEWLINE_L(F)=\\lim_{\\delta \\to 0}{\\inf{\\sum_{i}\\delta_i}}_NEWLINE_P\xc3\xa5 liknande s\xc3\xa4tt kan vi definiera arean av F:_NEWLINE_L(F)=\\lim_{\\delta \\to 0}{\\inf{\\sum_{i}{\\gamma\\delta_i}^2}},_NEWLINE_d\xc3\xa4r \\gamma= \\frac{\\pi}{4}._NEWLINE_Generaliserar vi ytterligare f\xc3\xa5r vi det d-dimensionella Hausdorffm\xc3\xa5ttet f\xc3\xb6r F:_NEWLINE_\\mathcal{H}^d(F)=\\lim_{\\delta \\to 0}{\\inf{\\sum_{i}{\\gamma\\delta_i}^d}}._NEWLINE_\\gamma beror p\xc3\xa5 d, men \xc3\xa4r endast en konstant som vi skall se inte spelar n\xc3\xa5gon roll f\xc3\xb6r sj\xc3\xa4lva Hausdorffdimensionen.\n_START_SECTION_\nHausdorffdimension\n_START_PARAGRAPH_\nMan kan visa att f\xc3\xb6r alla m\xc3\xa4ngder F \\in \\mathbb{R}^n finns ett tal D s\xc3\xa5dant att:_NEWLINE_\\mathcal{H}^d(F)=\\lim_{\\delta \\to 0}{\\inf{\\sum_{i}{\\gamma\\delta_i}^d}} = _NEWLINE_\\begin{cases}_NEWLINE_\\infty, & d < D\\\\_NEWLINE_0, & d > D_NEWLINE_\\end{cases}._NEWLINE_Detta D kallas f\xc3\xb6r Hausdorffdimensionen f\xc3\xb6r m\xc3\xa4ngden F._NEWLINE_Ovanst\xc3\xa5ende resultat st\xc3\xa4mmer v\xc3\xa4l \xc3\xb6verens med m\xc3\xa5ngas intuitiva k\xc3\xa4nsla f\xc3\xb6r dimension. En yta har ju enligt ovan o\xc3\xa4ndlig l\xc3\xa4ngd men ingen volym. Den "kritiska punkt" d\xc3\xa4r m\xc3\xa5ttet v\xc3\xa4xlar fr\xc3\xa5n o\xc3\xa4ndligt till 0 \xc3\xa4r f\xc3\xb6r alla ytor 2.\n_START_SECTION_\n\xc3\x96vriga egenskaper\n_START_PARAGRAPH_\nF\xc3\xb6ljande g\xc3\xa4ller f\xc3\xb6r Hausdorffdimensionen av en m\xc3\xa4ngd F:_NEWLINE_\\mathcal{H}^d(\\lambda F) = \\lambda^d \\mathcal{H}^d(F)_NEWLINE_\\lambda F \xc3\xa4r m\xc3\xa4ngden F skalad med en faktor \\lambda._NEWLINE_Denna egenskap anv\xc3\xa4nder man sig av n\xc3\xa4r man vill best\xc3\xa4mma dimensionen hos sj\xc3\xa4lvliknande fraktaler.\n_START_SECTION_\nR\xc3\xa4kneexempel\n_START_PARAGRAPH_\nF\xc3\xb6r att best\xc3\xa4mma Hausdorffdimensionen hos Sierpinskitriangeln b\xc3\xb6rjar man med att observera att den best\xc3\xa5r av tre delar, d\xc3\xa4r varje del \xc3\xa4r likadan som hela triangeln, fast h\xc3\xa4lften s\xc3\xa5 stor. Kalla hela triangeln f\xc3\xb6r F, och delarna f\xc3\xb6r F_1 \\ldots F_3._NEWLINE_\\mathcal{H}^d(F) = \\mathcal{H}^d(F_1) + \\mathcal{H}^d(F_2) + \\mathcal{H}^d(F_3) = 3\\left(\\frac{1}{2}\\right)^d \\mathcal{H}^d(F)._NEWLINE_Vi kan anta att 0 < \\mathcal{H}^d(F) < \\infty, varvid vi kan dividera och f\xc3\xa5:_NEWLINE_1 = 3\\left(\\frac{1}{2}\\right)^d,_NEWLINE_ur vilket vi kan l\xc3\xb6sa ut d = \\frac{\\log 3}{\\log 2} \\approx 1,58._NEWLINE_Detta d \xc3\xa4r allts\xc3\xa5 Hausdorffdimensionen f\xc3\xb6r Sierpinskitriangeln. Notera att det ofta \xc3\xa4r mycket sv\xc3\xa5rare att ber\xc3\xa4kna Hausdorffdimensionen f\xc3\xb6r m\xc3\xa4ngder, vilket har gett utrymme f\xc3\xb6r andra definitioner av dimension, till exempel l\xc3\xa5dr\xc3\xa4kningsdimension.'