b'\n_START_ARTICLE_\nDe stora talens lag\n_START_PARAGRAPH_\nDe stora talens lag \xc3\xa4r en sats inom sannolikhetsteorin, som inneb\xc3\xa4r att det aritmetiska medelv\xc3\xa4rdet av ett stort antal oberoende observationer av en slumpvariabel med stor sannolikhet ligger n\xc3\xa4ra variabelns v\xc3\xa4ntev\xc3\xa4rde. De stora talens lag kan s\xc3\xa4gas motsvara uttrycket "Det j\xc3\xa4mnar ut sig i det l\xc3\xa5nga loppet", under vissa omst\xc3\xa4ndigheter.\n_START_SECTION_\nBernoullis sats\n_START_PARAGRAPH_\nDen f\xc3\xb6rsta versionen av stora talens lag formulerades och bevisades av Jacob Bernoulli i b\xc3\xb6rjan p\xc3\xa5 1700-talet av, Bernoullis sats, men publicerades inte f\xc3\xb6rr\xc3\xa4n \xc3\xa5tta \xc3\xa5r efter hans d\xc3\xb6d. Det Bernoulli visade motsvarar svaga stora talens lag, med fallet d\xc3\xa5 de ing\xc3\xa5ende stokastiska variablerna endast antar tv\xc3\xa5 v\xc3\xa4rden. Egentligen behandlade han det omv\xc3\xa4nda j\xc3\xa4mf\xc3\xb6rt med hur stora talens lag idag brukar formuleras; givet ett utfall fr\xc3\xa5n N antal f\xc3\xb6rs\xc3\xb6k, hur kan vi d\xc3\xa5 best\xc3\xa4mma v\xc3\xa4ntev\xc3\xa4rdet (Om vi tar upp N kulor ur en p\xc3\xa5se med enbart bl\xc3\xa5a och gula kulor, vad kan vi d\xc3\xa5 s\xc3\xa4ga om den totala f\xc3\xb6rdelningen?)?_NEWLINE_I sitt arbete ber\xc3\xa4knade Bernoulli \xc3\xa4ven att det, exempelvis, kr\xc3\xa4vs 25 500 observationer f\xc3\xb6r att med s\xc3\xa4kerheten 1000/1001 landa p\xc3\xa5 r\xc3\xa4tt svar +/- 1/50, om v\xc3\xa4ntev\xc3\xa4rdet \xc3\xa4r 30/50.\n_START_SECTION_\nGeneralisering\n_START_PARAGRAPH_\nSim\xc3\xa9on Denis Poisson f\xc3\xb6rs\xc3\xb6kte p\xc3\xa5 1830-talet att generalisera Bernoullis sats, vilken dock blev omdiskuterad. Sin nuvarande formulering fick de stora talens lag 1933 av Andrej Kolmogorov, \xc3\xa4ven om det \xc3\xa4n idag presenteras nya varianter f\xc3\xb6r olika specialfall.\n_START_SECTION_\nEn felaktig tolkning\n_START_PARAGRAPH_\nEn vanlig misstolkning av de stora talens lag \xc3\xa4r f\xc3\xb6ljande:_NEWLINE_Missf\xc3\xb6rst\xc3\xa5nd: "Om man kastar t\xc3\xa4rning ett antal g\xc3\xa5nger, och f\xc3\xa5r fler, s\xc3\xa4g, femmor \xc3\xa4n f\xc3\xb6rv\xc3\xa4ntat (dvs ), kommer t\xc3\xa4rningen fram\xc3\xb6ver att tendera att visa f\xc3\xa4rre femmor \xc3\xa4n f\xc3\xb6rv\xc3\xa4ntat (dvs ), f\xc3\xb6r att den totala andelen ska kunna n\xc3\xa4rma sig 1/6, i enlighet med De stora talens lag."_NEWLINE_Detta \xc3\xa4r en helt felaktig tolkning. Detta strider mot f\xc3\xb6ruts\xc3\xa4ttningen att observationerna ska vara oberoende, det vill s\xc3\xa4ga att de inte ska p\xc3\xa5verkas av tidigare utfall, vilket de ju g\xc3\xb6r i detta missf\xc3\xb6rst\xc3\xa5nd.\n_START_SECTION_\nDe stora talens lag i svag form\n_START_PARAGRAPH_\nL\xc3\xa5t  vara medelv\xc3\xa4rdet av n inb\xc3\xb6rdes oberoende stokastiska variabler med gemensam sannolikhetsf\xc3\xb6rdelning, och  vara summan av de n f\xc3\xb6rsta -variablerna:_NEWLINE_ och ._NEWLINE_Om v\xc3\xa4ntev\xc3\xa4rdet  \xc3\xa4r \xc3\xa4ndligt g\xc3\xa4ller f\xc3\xb6r alla  att\n_START_SECTION_\nDe stora talens lag i stark form\n_START_PARAGRAPH_\nL\xc3\xa5t  vara samma stokastiska variabel som ovan och antag \xc3\xa5terigen att v\xc3\xa4ntev\xc3\xa4rdet  \xc3\xa4r \xc3\xa4ndligt. D\xc3\xa5 g\xc3\xa4ller att\n_START_SECTION_\nSkillnaden mellan starka och svaga formen\n_START_PARAGRAPH_\nDen svaga formen s\xc3\xa4ger att sannolikheten f\xc3\xb6r att  ska konvergera mot  g\xc3\xa5r mot 1, d\xc3\xa5 n g\xc3\xa5r mot o\xc3\xa4ndligheten. Den starka formen s\xc3\xa4ger \xc3\xa5 sin sida att sannolikheten att  ska konvergera mot  \xc3\xa4r 1._NEWLINE_V\xc3\xa4rt att notera \xc3\xa4r \xc3\xa4ven att den starkare formen implicerar den svaga, medan den svaga inte implicerar den starka.\n_START_SECTION_\nBevis f\xc3\xb6r ett specialfall\n_START_PARAGRAPH_\nDet h\xc3\xa4r \xc3\xa4r ett bevis f\xc3\xb6r svaga stora talens lag med specialfallet stokastiska variabler som enbart antar v\xc3\xa4rdena 0 och 1 med sannolikheten 1/2 vardera, exempelvis en slantsingling. D\xc3\xa5 g\xc3\xa4ller allts\xc3\xa5 att v\xc3\xa4ntev\xc3\xa4rdet  = 1/2. Notationen med  och  anv\xc3\xa4nds som ovan. D\xc3\xa5 v\xc3\xa4ntev\xc3\xa4rdesoperatorn \xc3\xa4r linj\xc3\xa4r, g\xc3\xa4ller att_NEWLINE_ samt ._NEWLINE__NEWLINE_L\xc3\xa5t , s\xc3\xa5 att variansen hos  \xc3\xa4r . Definiera sedan funktionen_NEWLINE_._NEWLINE__NEWLINE_H\xc3\xa4r g\xc3\xa4ller  och d\xc3\xa4rmed ._NEWLINE__NEWLINE_V\xc3\xa4ntev\xc3\xa4rdet f\xc3\xb6r denna funktion kan d\xc3\xa5 skrivas ._NEWLINE__NEWLINE_Vi kan l\xc3\xb6sa ut att ._NEWLINE__NEWLINE_Om vi sedan konstaterar att  om och endast om  f\xc3\xa5r vi _NEWLINE__NEWLINE_Kan vi nu visa att h\xc3\xb6gerledet i ovanst\xc3\xa5ende olikhet g\xc3\xa5r mot noll d\xc3\xa5  g\xc3\xa5r mot o\xc3\xa4ndligheten (allts\xc3\xa5 ett gr\xc3\xa4nsv\xc3\xa4rde), har vi bevisat specialfallet. Definitionen av varians respektive  ger    _NEWLINE_ och  kan enbart anta v\xc3\xa4rdena 0 resp 1. D\xc3\xa5  (n olika fall) g\xc3\xa4ller allts\xc3\xa5 att . D\xc3\xa5  g\xc3\xa4ller   med sannolikheten 1/2 vardera, dvs produkten blir 1/4 resp -1/4 med sannolikhet 1/2 vardera. F\xc3\xb6r v\xc3\xa4ntev\xc3\xa4rdet g\xc3\xa4ller d\xc3\xa5  Sammanfattningsvis ser vi allts\xc3\xa5 att _NEWLINE_och d\xc3\xa4rmed att  vilket g\xc3\xa5r mot 0 d\xc3\xa5 . D\xc3\xa4rmed f\xc3\xa5r vi, f\xc3\xb6r alla , att_NEWLINE_D\xc3\xa4rmed \xc3\xa4r specialfallet av svaga stora talens lag bevisad. Det \xc3\xa4r fullt m\xc3\xb6jligt att g\xc3\xa5 vidare och \xc3\xa4ven bevisa starka stora talens lag f\xc3\xb6r detta fall, och \xc3\xa4ven f\xc3\xb6r mer generella fall.'