इस परिच्छेद के आधार पर कॉम्बिनेटरिक्स में बर्नसाइड लेम्मा के कुछ व्यावहारिक अनुप्रयोग क्या हैं?बर्नसाइड की लेम्मा, जिसे कभी-कभी बर्नसाइड की काउंटिंग प्रमेय भी कहा जाता है, कॉची-फ्रोबेनियस लेम्मा, ऑर्बिट-काउंटिंग प्रमेय, या लेम्मा जो बर्नसाइड की नहीं है, समूह सिद्धांत में एक परिणाम है जो अक्सर गणितीय वस्तुओं की गिनती करते समय समरूपता को ध्यान में रखते हुए उपयोगी होता है। इसके विभिन्न उपनाम विलियम बर्नसाइड, जॉर्ज पोल्या, ऑगस्टिन लुइस कॉची और फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस पर आधारित हैं। परिणाम स्वयं बर्नसाइड के कारण नहीं है, जो इसे केवल अपनी पुस्तक 'ऑन द थ्योरी ऑफ ग्रुप्स ऑफ फाइनाइट ऑर्डर' में उद्धृत करते हैं, इसके बजाय इसका श्रेय फ्रोबेनियस (1887) को देते हैं। [1] बर्नसाइड की लेम्मा "ऑर्बिट्स" को गिनती है, जो समरूपता को ध्यान में रखते हुए अलग-अलग वस्तुओं को गिनने के समान है। इसे कहने के अन्य तरीके एक तुल्यता संबंध R तक अलग-अलग वस्तुओं की गिनती कर रहे हैं, या उन वस्तुओं की गिनती कर रहे हैं जो विहित रूप में हैं।

निम्नलिखित में, G को एक परिमित समूह होने दें जो एक सेट X पर कार्य करता है। G में प्रत्येक g के लिए, Xg को X में तत्वों के सेट को निरूपित करें जो कि g द्वारा तय किए गए हैं (जिन्हें g द्वारा छोड़ दिया गया कहा जाता है), अर्थात , एक्सजी = { एक्स ∈ एक्स | जीएक्स = एक्स}। बर्नसाइड की लेम्मा कक्षाओं की संख्या के लिए निम्नलिखित सूत्र का दावा करती है, जिसे दर्शाया गया है |X/G|:[2]

|
 � 
/
 � 
|
=
1
|
 � 
|
∑
 � 
∈
 � 
|
 � 
 � 
|
.
{\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|.}
इस प्रकार कक्षाओं की संख्या (एक प्राकृतिक संख्या या +∞) जी के एक तत्व (जो एक प्राकृतिक संख्या या अनंत भी है) द्वारा तय किए गए अंकों की औसत संख्या के बराबर है। यदि G अपरिमित है, तो |G| से विभाजन अच्छी तरह से परिभाषित नहीं हो सकता है; इस मामले में कार्डिनल अंकगणित में निम्नलिखित कथन है:

|
 � 
|
|
 � 
/
 � 
|
=
∑
 � 
∈
 � 
|
 � 
 � 
|
.
{\displaystyle |G||X/G|=\sum _{g\in G}|X^{g}|.}
गणना के लिए आवेदन के उदाहरण
हार
लंबाई 3 के 8 संभावित बिट वैक्टर हैं, लेकिन लंबाई 3: 000, 001, 011, और 111 के केवल चार अलग-अलग 2-रंग के हार हैं, क्योंकि 100 और 010 रोटेशन द्वारा 001 के बराबर हैं; इसी तरह 110 और 101 011 के बराबर हैं। सूत्र रोटेशन की संख्या पर आधारित है, जो इस मामले में 3 है (शून्य रोटेशन सहित), और बिट वैक्टर की संख्या प्रत्येक रोटेशन द्वारा अपरिवर्तित छोड़ दी गई है। सभी 8 बिट वैक्टर शून्य घुमाव से अपरिवर्तित हैं, और दो (000 और 111) अन्य दो घुमावों में से प्रत्येक के द्वारा अपरिवर्तित हैं, दे रहे हैं:
4
=
1
3
(
8
+
2
+
2
)
{\displaystyle 4={\frac {1}{3}}(8+2+2)}.

लंबाई 4 के लिए, 16 संभावित बिट वैक्टर हैं; 4 घुमाव; अशक्त रोटेशन सभी 16 बिट वैक्टर को अपरिवर्तित छोड़ देता है; 1-रोटेशन और 3-रोटेशन प्रत्येक में दो बिट वैक्टर अपरिवर्तित रहते हैं (0000 और 1111); 2-रोटेशन 4 बिट वैक्टर अपरिवर्तित छोड़ देता है (0000, 0101, 1010, और 1111); देना:
6
=
1
4
(
16
+
2
+
4
+
2
)
{\displaystyle 6={\frac {1}{4}}(16+2+4+2)}। ये हैं: 0000, 0001, 0011, 0101, 0111 और 1111।

एक घन का रंग
तीन रंगों का उपयोग करते हुए एक घन के फलकों के घूर्णी रूप से अलग-अलग रंगों की संख्या इस सूत्र से निम्नानुसार निर्धारित की जा सकती है।

बता दें कि X 36 संभावित चेहरे के रंग संयोजनों का सेट है जो एक विशेष अभिविन्यास में क्यूब पर लागू किया जा सकता है, और क्यूब के रोटेशन समूह G को प्राकृतिक तरीके से X पर कार्य करने दें। तब X के दो तत्व ठीक उसी कक्षा से संबंधित होते हैं जब एक बस दूसरे का घूर्णन होता है। घूर्णी रूप से भिन्न रंगों की संख्या इस प्रकार कक्षाओं की संख्या के समान है और जी के 24 तत्वों के लिए निश्चित सेटों के आकार की गणना करके पाया जा सकता है।


रंगीन चेहरों वाला क्यूब
एक पहचान तत्व जो एक्स के सभी 36 तत्वों को अपरिवर्तित छोड़ देता है
छह 90-डिग्री फेस रोटेशन, जिनमें से प्रत्येक एक्स के 33 तत्वों को अपरिवर्तित छोड़ देता है
तीन 180-डिग्री फेस रोटेशन, जिनमें से प्रत्येक एक्स के 34 तत्वों को अपरिवर्तित छोड़ देता है
आठ 120-डिग्री वर्टेक्स रोटेशन, जिनमें से प्रत्येक एक्स के 32 तत्वों को अपरिवर्तित छोड़ देता है
छह 180-डिग्री एज रोटेशन, जिनमें से प्रत्येक एक्स के 33 तत्वों को अपरिवर्तित छोड़ देता है
इन automorphisms की विस्तृत जांच यहां पाई जा सकती है।

इस प्रकार औसत फिक्स आकार है

1
24
(
3
6
+
6
⋅
3
3
+
3
⋅
3
4
+
8
⋅
3
2
+
6
⋅
3
3
)
=
57.
{\frac {1}{24}}\बाएं(3^{6}+6\cdot 3^{3}+3\cdot 3^{4}+8\cdot 3^{2}+6\cdot 3 ^{3}\दाएं)=57.
इस प्रकार तीन रंगों में एक घन के फलकों के घूर्णी रूप से अलग-अलग रंग के 57 होते हैं। सामान्य तौर पर, n रंगों में एक घन के फलकों के घूर्णी रूप से अलग-अलग रंगों की संख्या द्वारा दी जाती है

1
24
(
 � 
6
+
3
 � 
4
+
12
 � 
3
+
8
 � 
2
)
.
{\frac {1}{24}}\बाएं(n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}\दाएं)।
8 क्वींस पहेली
आठ रानियों की पहेली में 92 समाधान हैं, जिनमें से 12 मौलिक समाधान बोर्ड के घूर्णन और प्रतिबिंब तक भिन्न हैं। अशक्त क्रिया सहित घूर्णन और परावर्तन के 8 संयोजन हैं। अशक्त क्रिया सभी 92 समाधानों को अपरिवर्तित छोड़ देती है। 92 में से चार समाधान सममित हैं, 180 डिग्री रोटेशन से अपरिवर्तित हैं। देता है कि:
12
=
1
8
(
92
+
4
)
{\displaystyle 12={\frac {1}{8}}(92+4)}.[3]
रण के साथ संबंधित होते हैं और बाकी सभी उ