निम्नलिखित पाठ को देखते हुए, अभाज्य संख्याओं के बारे में क्या खास है?एक अभाज्य संख्या (या अभाज्य) 1 से अधिक एक प्राकृतिक संख्या है जो दो छोटी प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल नहीं है। 1 से बड़ी प्राकृत संख्या जो अभाज्य नहीं है, भाज्य संख्या कहलाती है। उदाहरण के लिए, 5 अभाज्य है क्योंकि इसे उत्पाद के रूप में लिखने का एकमात्र तरीका, 1 × 5 या 5 × 1, स्वयं 5 शामिल है। हालाँकि, 4 सम्मिश्र है क्योंकि यह एक उत्पाद (2 × 2) है जिसमें दोनों संख्याएँ 4 से छोटी हैं। अंकगणित के मूलभूत प्रमेय के कारण संख्या सिद्धांत में प्रधान हैं: 1 से बड़ी प्रत्येक प्राकृतिक संख्या या तो स्वयं एक अभाज्य है या अभाज्य संख्याओं के उत्पाद के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है जो उनके आदेश तक अद्वितीय है।

प्रधान होने के गुण को आदिम कहा जाता है। किसी दी गई संख्या की मौलिकता की जाँच करने की एक सरल लेकिन धीमी विधि
 � 
n, जिसे ट्रायल डिवीजन कहा जाता है, परीक्षण करता है कि क्या
 � 
n, 2 और के बीच किसी भी पूर्णांक का गुणज है
 � 
{\ sqrt {एन}}। तेज़ एल्गोरिदम में मिलर-राबिन प्राइमलिटी टेस्ट शामिल है, जो तेज़ है लेकिन त्रुटि की एक छोटी सी संभावना है, और एकेएस प्राइमलिटी टेस्ट, जो बहुपद समय में हमेशा सही उत्तर देता है लेकिन व्यावहारिक होने में बहुत धीमा है। विशेष रूपों की संख्याओं के लिए विशेष रूप से तेज़ विधियाँ उपलब्ध हैं, जैसे मेर्सेन संख्याएँ। दिसंबर 2018 तक सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्या 24,862,048 दशमलव अंकों के साथ मेर्सेन प्राइम है। [1]

असीम रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं, जैसा कि यूक्लिड ने 300 ईसा पूर्व के आसपास प्रदर्शित किया था। कोई ज्ञात सरल सूत्र अभाज्य संख्याओं को भाज्य संख्याओं से अलग नहीं करता है। हालांकि, बड़ी संख्या में प्राकृतिक संख्याओं के भीतर अभाज्य संख्याओं का वितरण सांख्यिकीय रूप से प्रतिरूपित किया जा सकता है। उस दिशा में पहला परिणाम अभाज्य संख्या प्रमेय है, जो 19वीं शताब्दी के अंत में सिद्ध हुआ, जो कहता है कि एक यादृच्छिक रूप से चुनी गई बड़ी संख्या के अभाज्य होने की संभावना इसके अंकों की संख्या के व्युत्क्रमानुपाती होती है, अर्थात इसके लघुगणक के।

अभाज्य संख्याओं से संबंधित कई ऐतिहासिक प्रश्न अभी भी अनसुलझे हैं। इनमें गोल्डबैक का अनुमान शामिल है, कि 2 से अधिक प्रत्येक पूर्णांक को दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और जुड़वा प्रधान अनुमान, कि अभाज्य संख्याओं के अपरिमित रूप से कई जोड़े हैं जिनके बीच केवल एक सम संख्या है। ऐसे प्रश्नों ने संख्या सिद्धांत की विभिन्न शाखाओं के विकास को प्रेरित किया, संख्याओं के विश्लेषणात्मक या बीजगणितीय पहलुओं पर ध्यान केंद्रित किया। सूचना प्रौद्योगिकी में कई रूटीन में प्राइम्स का उपयोग किया जाता है, जैसे कि सार्वजनिक-कुंजी क्रिप्टोग्राफी, जो बड़ी संख्या में उनके प्रमुख कारकों में फैक्टरिंग की कठिनाई पर निर्भर करती है। अमूर्त बीजगणित में, प्रधान संख्याओं की तरह सामान्यीकृत तरीके से व्यवहार करने वाली वस्तुओं में प्रमुख तत्व और प्रमुख आदर्श शामिल हैं।
इस पाठ में अभाज्य संख्याओं के विषय में बताया गया है। यह संख्याएं दो छोटी प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल नहीं होती हैं और 1 से बड़ी प्राकृतिक संख्या होती हैं। अभाज्य संख्याओं को अभाज्य या प्रधान संख्याएं कहा जाता है। पाठ में इन संख्याओं को जाँच करने के विभिन्न तरीकों के बारे में भी बताया गया है। इसके साथ ही, इस पाठ में अभाज्य संख्याओं से सम्बंधित कुछ ऐतिहासिक प्रश्नों के बारे में भी बताया गया है।