उन दो गुणों को निकालें जो यह दिखाने के लिए पर्याप्त हैं कि यूक्लिडियन अंतरिक्ष का एक उपसमुच्चय सघन है। इन गुणों को बुलेट सूची में प्रस्तुत करें।सामान्यता के स्तर के आधार पर कॉम्पैक्टनेस की विभिन्न परिभाषाएँ लागू हो सकती हैं। विशेष रूप से यूक्लिडियन अंतरिक्ष के एक उपसमुच्चय को कॉम्पैक्ट कहा जाता है यदि यह बंद और घिरा हुआ है। बोलजानो-वीयरस्ट्रास प्रमेय के अनुसार इसका तात्पर्य है कि सेट से किसी भी अनंत अनुक्रम का एक अनुक्रम होता है जो सेट में एक बिंदु पर अभिसरण करता है। कॉम्पैक्टनेस के विभिन्न समकक्ष विचार, जैसे अनुक्रमिक कॉम्पैक्टनेस और सीमा बिंदु कॉम्पैक्टनेस, सामान्य मीट्रिक रिक्त स्थान में विकसित किए जा सकते हैं।

इसके विपरीत, कॉम्पैक्टनेस की विभिन्न धारणाएं सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेस में समतुल्य नहीं हैं, और कॉम्पैक्टनेस की सबसे उपयोगी धारणा - जिसे मूल रूप से बायोकॉम्पैक्टनेस कहा जाता है - को ओपन सेट से युक्त कवर का उपयोग करके परिभाषित किया गया है (नीचे ओपन कवर परिभाषा देखें)। सघनता का यह रूप यूक्लिडियन अंतरिक्ष के बंद और परिबद्ध उपसमुच्चय के लिए धारण करता है जिसे हेइन-बोरेल प्रमेय के रूप में जाना जाता है। कॉम्पैक्टनेस, जब इस तरीके से परिभाषित किया जाता है, तो अक्सर किसी को ऐसी जानकारी लेने की अनुमति मिलती है जो अंतरिक्ष के प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में स्थानीय रूप से जानी जाती है - और इसे उस जानकारी तक विस्तारित करने के लिए जो पूरे स्थान पर विश्व स्तर पर हो। इस घटना का एक उदाहरण डिरिचलेट का प्रमेय है, जिस पर मूल रूप से हेइन द्वारा लागू किया गया था, कि एक कॉम्पैक्ट अंतराल पर एक निरंतर कार्य समान रूप से निरंतर होता है; यहाँ, निरंतरता फ़ंक्शन की एक स्थानीय संपत्ति है, और समान निरंतरता इसी वैश्विक संपत्ति है।
उत्तर:
1. गुण 1: उपसमुच्चय सघन होना।
2. गुण 2: किसी भी अनंत अनुक्रम का एक अनुक्रम होना जो सेट में एक बिंदु पर अभिसरण करता है।

कॉम्पैक्टनेस की विभिन्न परिभाषाएँ हो सकती हैं जैसे अनुक्रमिक कॉम्पैक्टनेस और सीमा बिंदु कॉम्पैक्टनेस आदि। हालांकि, यूक्लिडियन अंतरिक्ष के उपसमुच्चय को कॉम्पैक्ट कहा जाता है जब यह सघन होता है और किसी भी अनंत अनुक्रम का एक अनुक्रम होता है जो सेट में एक बिंदु पर अभिसरण करता है।