행렬 - 위키백과 , 우리 모두 의 백과사전 
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 행렬 의 특정 성분 은 보통 문자 에 두 개 의 첨자 를 붙여서 표시 한다 . 예 를 들 어 , a 2 , 1 는 행렬 A 의 2 행 1 열 에 위치 한 원소 를 가리킨다 . 
 수학 에서 , 행렬 ( 行列 , matrix ) 은 수 나 기호 , 수식 등 을 네모꼴 로 배열 한 것 으로 , 괄호 로 묶 어 표시 한다 . 다음 여섯 개 의 원소 를 가진 2 × 3 행렬 의 예 이 다 . 
 행렬 은 과학 의 곳곳 에서 그 응용 분야 가 발견 된다 . 물리학 에서 는 전기 회로 , 광학 , 양자 역학 등 에서 쓰이 고 , 컴퓨터 그래픽스 에서 는 3 차원 이미지 를 2 차원 평면 에 투영 하 거나 사실 적 인 움직임 을 그려 내 기 위해서 사용 한다 . 행렬 미적분학 의 발견 으로 미분 이나 지수 함수 같 은 고전 해석학 적 개념 을 더 높 은 차원 으로 일반 화 시키 기 도 했 다 . 
 수치 해석학 의 한 분과 에서 는 몇 세기 전 부터 수학자 들 이 관심 가져 왔 던 더 효율 적 인 행렬 계산법 알고리즘 을 개발 하 는 데 헌신 하 고 있 다 . 행렬 분해 법 ( Matrix decomposition methods ) 은 행렬 의 계산 을 이론 과 실 응용 부문 모두 에서 단순 화 시켰 고 , 특정 한 구조 의 행렬 에 맞춤 화 된 알고리즘 ( 예 : 희소행렬 , 대각행렬 등 ) 은 유한 요소 법 및 다른 계산 분야 에 진척 을 가져왔 다 . 행성 이론 이나 원자론 에서 는 무한 행렬 도 등장 하 는데 , 함수 의 테일러 전개 에 작용 하 는 미분 연산자 의 행렬 이 그 예 다 . 
 1848 년 수학 에 처음 으로 실베스터 가 사용 한 행렬 ( matrix ) 이 라는 단어 의 어원 은 해부학 에서 자궁 ( 子宮 , 모체 母體 ) 을 뜻 한다 . 행렬식 에 대해서 행렬 의 의미 를 표현 한 것 으로 전해진다 . [ 2 ] 
 행렬 안 에 배열 된 구성원 들 을 성분 ( entry ) 또는 항 , 원소 ( element ) 라고 한다 . 행렬 의 가로줄 을 행 ( 行 , row ) , 세로줄 을 열 ( 列 , column ) 이 라고 한다 . m 개 의 행 , n 개 의 열 로 이루어진 행렬 을 m × n 행렬 이 라고 한다 . [ 3 ] 한 행 또는 한 열 뿐 인 행렬 을 벡터 에 빗대 어 행벡터 ( row vector ) , 열벡터 ( column vector ) 라고 한다 . [ 3 ] 행과 열 의 개수 가 같 은 행렬 을 ( n 차 ) 정 사각 행렬 또는 정방 행렬 이 라고 한다 . 위 에서 아래 로 i 번 째 인 행 을 i 행 , 왼쪽 에서 오른쪽 으로 j 번 째 인 열 을 j 열 이 라고 한다 . i 행 j 열 에 위치 한 성분 을 ( i , j ) 성분 이 라고 한다 . 행과 열 의 지표수 가 같 은 성분 을 대각 성분 ( 대 각항 , diagonal entry ) 또는 대각 요소 ( main diagonal ) 라고 한다 . [ 4 ] 예 를 들 어 행렬 
 은 3 × 4 행렬 이 고 , 5 를 ( 2 , 3 ) 성분 으로 한다 . 행렬 
 은 각각 1 × 5 행벡터 , 3 × 1 열벡터 이 다 . 
 행렬 의 직사각 형 모양 으로 배열 하 고 대괄호 나 소괄호 등 괄호 형태 로 감싸 표기 한다 . 행렬 은 주로 대문자 로 나타내 고 , [ 3 ] 다른 대상 과 의 구별 을 위해 굵 은 글씨체 를 자주 사용 한다 ( 예 : A , 또는 A ) . 행렬 의 각 성분 은 문자 에 행과 열 의 지표 를 첨수 하 여 나타낸다 [ 3 ] ( 예 : aij , 또는 ai , j , Aij , A [ i , j ] , A ( i , j ) ) . 모든 항 을 나열 하 는 대신 , ' 일반항 ' 을 간추려 표기 하 기 도 한다 . 이때 불분명 해진 지표 의 범위 를 표기 해 줄 수 있 다 . 
 엄밀 한 정의 편집 
 행렬 은 엄밀 하 게 는 정수 의 순서쌍 ( i , j ) ( 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n ) 의 집합 에서 성분 들 이 속하 는 집합 으로 가 는 함수 로 정의 된다 . [ 5 ] 실 행렬 ( 모든 성분 이 실수 인 행렬 ) 을 예 로 들 면 , 
 기본 연산 편집 
 덧셈 , 뺄셈 , 스칼라 배편 집 
 주어진 두 m × n 행렬 A 와 B 에 대해 , 덧셈 과 뺄셈 은 각각 성분 별 덧셈 과 뺄셈 으로 정의 된다 . 즉 , 
 크기 가 다른 행렬 들 에게 는 덧셈 과 뺄셈 이 정의 되 지 않 는다 . 
 에 대해 , 스칼라 배 연산 은 성분 별 로 스칼라 배 를 취한 것 으로 정의 된다 . [ 4 ] 즉 , 
 k 와 l 을 스칼라 , A , B , C 를 크기 가 같 은 행렬 이 라 하 자 . 이때 다음 성질 들 이 성립 한다 . 
 이 들 성질 은 모두 그 행렬 성분 의 성질 로부터 유도 된다 . 이를테면 덧셈 의 교환법칙 은 다음 과 같이 유도 된다 . 
 이 부분 의 본문 은 행렬 곱셈 입니다 . 
 행렬 A 와 B 의 곱 AB 의 계산법 
 열벡터 의 점 곱 으로 정의 된다 . 
 왼쪽 의 행렬 의 열수 와 오른쪽 의 행렬 의 행수 가 같 지 않 다면 , 곱셈 은 정의 되 지 않 는다 . [ 4 ] 
 k 를 스칼라 , A , B , C 를 각 공식 에서 연산 이 정의 되 도록 크기 를 정한 행렬 이 라고 하 자 . 이때 다음 이 성립 한다 . 
 행렬 의 곱셈 은 교환법칙 이 성립 하 지 않 는다 . 우선 , AB 가 정의 되 었 어도 , BA 는 정의 되 지 않 았 을 수 있 다 . 둘 모두 정의 되 었 어도 , 크기 가 다를 수 있 다 . 크기 가 같 은 경우 ( 즉 A 와 B 가 같 은 크기 의 정사 각 행렬 인 경우 ) 에 도 , 두 곱셈 의 결과 값 은 다를 수 있 다 . 즉 일반 적 으로 
 다만 , 특수 한 조건 을 만족 하 는 경우 에 는 교환법칙 이 성립 한다 . 다음 과 같 은 조건 을 만족 할 때 행과 열 의 개수 가 같 은 정사 각 행렬 A 와 B 에 대해 곱셈 의 교환법칙 이 성립 한다 . [ 6 ] 
 위 의 조건 들 은 충분조건 이 다 . 즉 , 정 사각 행렬 A 와 B 가 위 의 조건 을 만족 할 때 곱셈 의 교환법칙 이 성립 하 지만 , 곱셈 의 교환법칙 이 성립 하 는 모든 행렬 이 위 의 조건 을 만족 하 는 것 은 아니 다 . [ 6 ] 
 일반 적 으로 곱셈 의 교환 조건 을 만족 하 는 정사 각 행렬 A 와 B 는 다음 의 교환법칙 을 만족 하 고 그 역도 만족 한다 . 즉 다음 의 식 에 대해 필요충분조건 을 이룬다 . [ 6 ] 
 이 부분 의 본문 은 역행렬 입니다 . 
 전치 편집 
 이 부분 의 본문 은 전치행렬 입니다 . 
 행렬 의 전치 란 행과 열 을 바꾸 는 것 으로 , 행렬 A 의 전치 는 AT 로 나타낸다 . 즉 주어진 m×n 행렬 A 의 전 치 는 다음 과 같이 정의 한다 . [ 4 ] 
 여기 서 AT 는 m×n 행렬 이 아니 라 n×m 행렬 임 에 유의 하 자 . 
 전치 의 성질 편집 
 a 를 스칼라 , A , B 를 크기 가 같 은 행렬 이 라 하 자 . 이때 다음 이 성립 한다 . 
 행벡터 와 열벡터 의 연산 편집 
 의 단일 행 으로 구성 된 행렬 이 고 , 
 열 의 단일 열 로 구성 된 행렬 로 예약 해 보 면 , 
 행 ( row ) 벡터 ( vector ) 는 
 또는 열 ( column ) 벡터 는 
 정 사각 행렬 의 연산 편집 
 대각 합편 집 
 이 부분 의 본문 은 대각합 입니다 . 
 대각합 이 란 정사 각 행렬 의 대 각항 들 의 원소 를 전부 더 하 는 것 을 말 한다 . 즉 , 어떤 n 차 정사 각 행렬 A 의 대각합 은 다음 과 같 다 . 
 대각합 의 성질 편집 
 c 를 스칼라 , A , B 를 크기 가 같 은 정사 각 행렬 이 라 하 자 . 이때 다음 이 성립 한다 . 
 행렬식 편집 
 이 부분 의 본문 은 행렬식 입니다 . 
 로 표시 하 며 선형 행렬 A 의 크기 를 나타낸다 . 행렬 2 x 2 행렬 A 가 
 와 같이 주어진다면 , det ( A ) 는 
 와 같이 정의 된다 . 
 특수 한 행렬 편집 
 영행렬 이 란 행렬 의 모든 원소 의 값 이 0 인 행렬 을 말 한다 . 영행렬 은 덧셈 에 대한 항등원 이 다 . 
 단위행렬 은 정 사각 행렬 중 에서 행 번호 와 열 번호 가 같 은 위치 의 값 은 1 이 고 , 나머지 는 0 을 가지 는 행렬 을 말 한다 . 이 행렬 은 곱셈 에 대한 항등원 이 다 . 
 역행렬 이란 어떤 행렬 의 곱셈 에 대한 역원 이 다 . 
 대각행렬 
 헤밀턴 의 사원수 
 가우스 의 행렬 소거법 
 ↑ Abdelwahab Kharab & Ronald B . Guenther 2013 , 97 쪽 . 
 일 차 변환 과 행렬 ) 수학 이야기 - 행렬 과 행렬식 30 p 
 ↑ 가 나 다 라 Abdelwahab Kharab & Ronald B . Guenther 2013 , 98 쪽 . 
 ↑ 가 나 다 라 Abdelwahab Kharab & Ronald B . Guenther 2013 , 99 쪽 . 
 ↑ Hoffman , Kenneth ( 1971 년 4 월 1 일 ) . 《 Linear Algebra 》 ( 영어 ) 2 판 . Prentice Hall . 6 쪽 . ISBN 0 - 13 - 536797 - 2 . 
 ↑ 가 나 다 행렬 의 교환법칙 은 언제 성립 하 나요 ? , 전국 수학 교사 모임