보 펠 , 야신 , 맨 톤 , 스탈 라드 ( James Vaupel , Anatoli Yashin , Kenneth Manton and Eric Stallard ) 등 은 1975 년 부터 1985 년 까지 10 년 동안 에 걸쳐 이질 적 허약 성 ( heterogenous frailty ) 의 개념 을 바탕 으로 위험 곡선 ( hazard curve ) 의 모형 을 구축 하 였 다 . 위험 곡선 은 연령 별 사망 률 을 수학 적 으로 표현 하 는 편리 한 도구 로서 , 특정 연령 까지 생존 하 는 코호트 의 비율 에 로그 값 ( 대 수치 ) 을 취하 게 되 면 그 기울기 는 마이너스 값 을 취하 게 된다 . 허약 성 모형 에서 , 연령 의 함수 로서 위험 곡선 의 모양 은 모든 사람 에게 동일 하 지만 , 그 수준 은 해당자 의 허약 성 의 정도 라는 개인 별 로 는 차이 가 있 으며 , 특정 개인 의 생애 중 에 는 고정불변 인 한 요인 에 지배 된다 . 허약 성 은 흔히 들 감마 확률분포 를 그린다고 가정 하 고 , 위험 곡선 의 일반 형 은 1825 년 에 곰 페르 츠 가 도입 한 모형 과 함께 지수 함수 의 형태 를 취하 게 된다 . 코호트 가 노화 하 면서 , 허약 성 의 정도 가 큰 사람 들 은 빨리 죽 기 때문 에 생존자 집단 에 는 허약 성 의 정도 가 낮 은 사람 들 만 남 게 된다 . 야신 , 이아 친 , 그리고 비 건 ( Yashin , Ivan Iachine and A . Begun , 2000 ) 이 쓴 Mortality Modelling : A Review 는 사망 력 의 확률 인구 모형 에 대한 좋 은 입문서 가 되 고 있 다 .