“ 초등 5 학년 수학 이 흔들린다 ” 를 읽 고 . 저자 조안 호 저자 는 초등 수학 전문 클리닉 < 더 블리치 수학 캠프 > 의 대표 이 며 10 년 이상 초등학생 들 을 가르치 며 수학 공부 방법 연구 에 몰두 하 여 아이 들 에게 수학 의 어려움 을 해결 해 주 려고 노력 하 는 저자 이 다 . 책 의 큰 줄거리 는 초등 수학 에서 의 가장 어려운 시기 인 분수 를 잘 해결 할 수 있 도록 도와 주 어야지 이후 에 수학 에 대한 자신감 을 잃 지 않 고 꾸준히 수학 을 할 수 있 다는 것 에 주안점 을 두 고 있 다 . 초등 학교 에서 수학 을 가르칠 때 느끼 는 가장 큰 문제 는 출발점 이 모두 다른 학생 들 에게 하나 의 교육 을 시키 는 것 이 과연 합당 한가 라는 문제점 인데 , 수학 실력 이 부족 한 것 이 단순히 노력 이 부족 해서 라기 보다 는 계열 성 이 강한 학문 으로서 의 수학 으로 인해서 아이 들 이 부족 한 부분 을 찾 아서 해결 한다면 이후 에 좋 은 성과 를 올릴 수 있 다고 주장 하 는 글 이 다 . 이 글 을 통해서 아이 들 에게 왜 이 문제 도 풀 지 못하 니라고 이야기 하 기 보다 는 아이 들 의 수준 에서 어떤 부분 에 부족 한 점 이 있 는지 를 빨리 찾 음 으로써 해결 자 로서 의 역할 을 할 수 있 기 를 기대 해 본다 . 초등 5 학년 의 수학 이 어려워 지 는 이유 는 모든 과목 의 난이도 가 높 아 지 고 , 수학 의 문제 유형 도 어려워 지 기 시작 하 며 , 이때 부족 한 부분 을 채우 지 않 고 넘어가 면 수학 과 점점 멀 어 지 게 되 고 결국 포기 하 게 되 기 때문 이 라고 한다 . 5 학년 시기 에 수학 을 포기 하 는 아이 가 가장 많이 생기 는 원인 이 되 기 도 한다 . 5 학년 이 되 어 수학 을 싫어하 게 되 는 아이 들 의 공통 적 인 특징 은 1 . 3 학년 때 사칙 연산 의 빠르기 를 소홀히 하 고 넘어갔 다 . 2 . 4 학년 때 연산 기호 의 의미 나 어림수 등 수 감각 을 키워 주 지 못했 다 . 본인 의 생각 도 초등 수학 에서 가장 중요 한 점 은 사칙 연산 을 자유자재 로 할 수 있 는 능력 을 기르 는 것 이 다 . 연산 에 대한 자신 감 이 생긴다면 이후 에 고등 수학 을 접하 더라도 공식 의 적용 부분 을 좀 더 세밀 하 게 한다면 수학 을 절대 어려워하 지 않 는다 . 하지만 , 연산 능력 이 부족 하 다면 수학 의 어떤 분야 를 하 더라도 어려움 을 겪 을 수 밖에 없 는 것 이 다 . 따라서 , 연산 능력 을 키워 줌 으로써 수학 에 대한 할 수 있 다는 자신감 을 길러 주 는 것 이 가장 필요 하 다 . 아이 가 수학 을 포기 하 는 것 은 대부분 분수 부터 인데 , 분수 가 되 지 않 으면 중학교 와 고등학교 수학 까지 어려워진다는 것 을 명심 해야 한다 . 따라서 계통 성 이 강한 수학 과목 을 충분히 이해 하 고 진도 를 나가 기 위해서 는 어떤 부분 이 라도 모르 는 부분 이 생겨서 는 안 되 는 것 이 다 . 이 를 위해서 교사 는 1 . 수학 의 특성 에 맞 도록 지도 해야 한다 . 수 나 기호 에 대해 충분히 연습 할 수 있 도록 지도 해 주 어야 한다 . 2 . 잘못 가르치 지 말 아야 한다 . 작 은 수 의 연산 은 할 수 있 다고 빨리 지나가 고 큰 수 의 연산 에 치우치 는 우 를 범해서 는 안 된다 . 작 은 수 의 연산 을 자유자재 로 할 수 있 도록 반복 연습 을 시켜야 한다 . 3 . 가르쳐야 한다 . 연산 기호 의 의미 , 부등호 의 성질 등 을 아이 에게 친절히 가르쳐 주 어야 한다 . 이 처럼 연산 기호 의 의미 를 모르 면 문제 를 읽 고 연산 기호 를 머릿속 에서 꺼내 어 식 을 세워야 풀 수 있 는 문장 제 에 대해 어려움 을 겪 을 수 밖에 없 다 . 이 를 위해 학부모 는 1 . 아이 가 잘 한 것 만 을 기억 하 고 있 지 않 는지 반성 해 보 라 . 2 . 100 점 이 면 무조건 안도 하 고 있 지 않 는지 생각 해 보 라 . 어느 범위 의 시험 에서 100 점 을 받 았 는지 에 따라 수학 실력 을 확신 할 수 도 있 고 그렇 지 않 을 수 도 있 기 때문 이 다 . 3 . 95 점 과 100 점 이 같 은 수준 이 라고 생각 하 지 는 않 는가 ? 95 점 이 라고 잘 했 다고 생각 할 것 이 아니 라 , 틀린 한 문제 를 끈질기 게 파고들 도록 습관 을 들여야 한다 . 4 . 개념 은 무시 하 고 문제 만 풀 게 만들 지 는 않 았 는가 ? 100 점 을 받 는 아이 들 중 에 는 예전 에 비슷 한 문제 를 풀 어 본 경우 에 는 잘 풀 지만 응용 문제 로 가 면 막히 는 아이 들 이 있 다 . 개념 을 소홀히 하 는 현 교육 의 취약 성 이 드러나 는 부분 이 다 . 이런 아이 들 은 기본 개념 을 완벽히 이해 하 는 데 많 은 시간 을 할애 해야 한다 . 개념 이 확립 되 었 는가 는 아이 에게 물 어 보 았 을 때 논리 적 으로 풀 이 과정 을 설명 할 수 있 느냐 없 느냐 를 보 고 판단 할 수 있 다 . 수학 은 교과서 를 배우 기 전 에 70 % 는 알 고 있 는 것 에서 시작 하 고 , 새로운 것 은 30 % 밖 에 되 지 않 는다 . 이 때 학부모 가 자주 빠지 게 되 는 함정 은 다음 과 같 다 . 1 . 학습지 와 문제집 만 꾸준히 하 면 된다 . 어느 때 , 무엇 을 푸 느냐는 수학 에서 가장 중요 한 문제 다 . 이런 부분 을 학습지 와 문제집 은 해결 해 주 지 못하 고 있 다 . 이 는 단순히 처음 부터 끝 까지 몇 권 을 풀 어 보 았 다고 수학 을 잘 할 수 없 다는 것 이 다 . 자신 이 부족 한 부분 을 찾 아서 충분히 이해 가 될 수 있 도록 핵심 적 인 내용 을 풀 고 연습 해야 한다는 것 이 다 . 2 . 학원 에 보내 기 만 하 면 성적 이 오른다 . 학원 에 보내 서 효과 를 얻 으려면 아이 에게 필요 한 것 을 정확히 알 고 있 어야 한다 . 대개 의 부모 들 은 초등 4 학년 이상 의 문제 는 어려워하 면 잘 풀 지 못하 기 때문 에 아이 들 을 학원 에 맡기 고자 한다 . 하지만 , 학원 에 맡긴다고 학원 이 모든 것 을 해결 해 주 지 못한다 . 병원 에 갈 때 정확 한 진단 을 하 기 위해서 는 어디 가 아프 고 어디 가 불편 한지 를 정확 하 게 전달 해야 제대로 된 처방 을 받 듯이 아이 가 어떤 부분 이 부족 한지 알 고 거기 에 맞 는 학원 을 알아보 거나 학원 에 그런 부분 을 강조 하 여 가르쳐 줄 것 을 요구 하 여야 한다 . 3 . 80 점 만 넘 으면 안심 이 다 . 80 점 이 라는 점수 가 중요 한 것 이 아니 라 , 80 점 이 라도 틀린 문제 들 에서 모르 는 부분 이 없 는지 를 꼼꼼히 살펴야 지 이후 에 문제 들 을 풀 때 이 로 인해 어려움 을 겪 지 않 게 된다 . 4 . 선행 학습 은 반드시 시켜야 한다 . 결론 부터 말 하 자면 기본 이 튼튼 한 아이 라면 선행 학습 을 해도 좋 다 . 그러나 기본 개념 도 확실히 알 지 못하 고 제 학년 의 과정 을 완전히 익히 지 도 않 은 아이 에게 선행 학습 을 시키 는 것 은 바람직 하 지 않 다 . 기껏 공식 이나 외워서 풀 게 하 거나 이런 문제 는 이런 식 으로 푼다는 기술 을 가르치 는 선행 학습 은 득 이 아니 라 해약 이 된다 . 아이 의 수학 실력 을 향상 시키 고 싶 다면 항상 무엇 을 해야 하 는가 ? 와 무엇 이 아이 에게 도움 이 되 는가 ? 란 두 개 의 질문 을 염두 에 두 어야 한다 . 가장 먼저 해야 할 일 은 사칙 연산 이 다 . 수 의 연산 은 수학 의 기본 이 되 며 , 서투르 면 자연수 와 분수 의 연산 을 제대로 할 수 없 어 수학 이 싫 어 지 고 어려워질 수 밖에 없 다 . 따라서 수 의 운행 능력 ( 수 를 자유자재 로 다룰 수 있 는 능력 으로 수 를 분해 하 여 덧셈 이나 뺄셈 , 곱셈 , 나눗셈 으로 나눌 수 있 는 능력 ) 을 길러 주 어야 하 며 , 연산 을 하 기 에 앞서 1 . 어림수 에 대한 이해 가 반드시 필요 하 다 . 2 . 기호 에 대한 이해 와 숙련 이 필요 하 다 . 3 . 응용문제 나 문장 제 등 의 문제 해결 력 을 기른다 . 응용문제 나 문장 제 는 문제 해결 을 위한 것 으로 초등 수학 의 최종 도착 지점 에 해당 된다 . 응용문제 나 문장 제 를 풀 기 전 에 수연 산 과 기호 를 얼마나 숙달 했 느냐 의 여부 가 문장 제 를 해결 하 는 바로미터 가 된다 . 수학 용어 를 이해 하 느냐 못 하 느냐 하 는 것 은 아이 의 국어 실력 에 의해 좌우 되 는 것 이 아니 다 . 때문 에 진단 테스트 를 이용 하 여 아이 의 약점 을 찾 아야 한다 . 진단 테스트 를 하 였 다면 , 부족 한 부분 이 생길 것 이 고 , 이 를 처방 하 기 위해서 는 1 . 일 주일 에 5 - 6 회 를 공부 하 게 하 라 . 연속 해서 3 일 이상 안 하 면 감각 이 떨어지 고 더욱 하 기 싫 어 지 니 주의 하 여야 한다 . 2 . 안다고 대충 넘어가 지 마 라 . 수학 은 창의 성 을 기르 기 에 앞서 쉬울 때 가 더욱 중요 하 고 이 때 더욱 기본 을 튼튼 하 게 다져 주 어야 한다 . 3 . 소신 을 버리 지 마 라 . 어떤 언어 보다 시간 이 오래 걸리 는 것 이 수학 이 며 , 숙달 될 때 까지 반복 이 필요 하 다 . 암 산력 은 수학 의 빠르기 를 결정 하 며 , 암 산력 을 키우 기 위해서 는 무엇 보다 반복 과 기본 에 충실 해야 한다 . 따라서 아이 들 이 모든 것 을 종이 에 풀 려고 노력 하 기 보 다는 암산 을 통해서 식 의 풀 이 과정 을 줄이 는 노력 이 필요 하 며 , 이러 한 노력 이 수학 이 라는 과목 을 쉽 게 해결 할 수 있 게 하 는 열쇠 가 된다 . 그러므로 초등 학교 때 부터 반드시 덧셈 뺄셈 을 빠르 고 정확 하 게 해야 한다 . 암 산력 을 기르 기 위해서 는 아이 들 이 가장 어려워하 는 7 에 대해서 많 은 연습 을 할 수 있 도록 하 고 , 가장 쉬운 두 자릿수 의 연산 에 대한 암기력 을 길러 줄 수 있 도록 한다 . 그리고 구구단 을 거꾸로 외우 게 하 며 , 10 의 보수 개념 을 반드시 익힐 수 있 게 하 여야 한다 . 이 를 통해 연산 을 빠르 게 처리 할 수 있 도록 도와 주 어야 하 는데 , 빠르기 의 효과 가 본격 적 으로 나타나 는 것 은 식 이 길 어 지 는 중학교 2 학년 때 부터 이 다 . 그러나 빠르기 는 초등 학교 저학년 때 끝내 는 것 이 좋 다 . 빠르기 를 해 주 지 않 으면 문제 풀 이 속도 가 늦 어 질 수 밖에 없 고 , 그 결과 수학 에 어려움 을 느끼 게 된다 . 이 를 위해서 는 나누 기 는 먼저 가로 셈 을 연습 하 고 이때 식 을 적 지 않 고 몫 과 나머지 만 적 으면서 연습 한다 . 곱셈 의 빠르기 는 두 자리 곱하 기 한 자리 에서 , 나눗셈 의 빠르기 는 두 자리 나누 기 한 자리 와 세 자리 나누 기 한 자리 수 에서 다 끝난다 . 이 를 튼튼히 하 고 나 면 큰 수 의 연산 은 자연히 해결 된다 . 곱셈 은 잘 되 는데 나눗셈 이 잘 안 되 는 경우 는 없 다 . 자연수 를 익히 기 위해서 는 완전히 익힐 때 까지 반복 하 게 하 여야 한다 . 다양 한 문제 를 풀 게 하 지 마 라 . 완전히 익힐 때 까지 는 핵심 이 되 는 문제 만 뽑 아서 최대한 양 을 줄이 고 반복 하 게 하 는 것 이 효과 적 이 다 . 또한 , 기준 을 세우 게 한다 . ( 예 를 들 어 이상 과 이하 , 초과 와 미만 은 실생활 에서 - 에서 - 까지 , 사이 의 수 와 비교 해 보 아야 한다 . 예 를 들 어 , 16 이상 21 이하 의 수 는 16 에서 21 까지 의 수 나 16 보다 크 거나 같 고 21 보다 작 거나 같 은 수 와 비교 할 수 있 으며 , 16 초과 21 미만 의 수 는 16 과 21 사이 나 , 16 보다 크 고 21 보다 작 은 수 와 비교 할 수 있 다 . 덧셈 과 뺄셈 에서 는 기준 이 아주 중요 하 다 . 더 하 거나 뺄 때 무엇 보다 커 지 는지 , 무엇 보다 작아지 는지 알 아야 한다 . 연산 기호 의 의미 를 제대로 파악 하 게 하 라 . ( 아이 에게 곱하 기 가 무엇 일까 , 나누 기 는 무엇 일까 라는 질문 에 대답 할 수 있 다면 수학 공부 는 걱정 하 지 않 아도 된다 . 하지만 , 모를 경우 는 사칙 연산 의 의미 를 정확 하 게 전달 할 수 있 어야 한다 . ( 예 를 들 면 , 나눗셈 은 등분제 와 포함제 가 있 는데 , 등분제 는 어떤 개체 를 똑같이 나누 었 을 때 몇 개 로 나눌 수 있 는지 를 묻 는 것 이 고 , 포함제 는 전체 를 몇 등분 씩 나눈 것 이 얼마나 포함 되 어 있 는지 를 묻 는 것 이 다 . ) 이때 등식 의 성질 을 먼저 가르치 는 것 이 필요 하 다 . 등식 의 성질 을 모르 고서 는 아이 들 이 방정식 을 풀 거나 어떤 수 를 구하 는 것 이 매우 어렵 다 . 따라서 이러 한 등식 의 성질 이 중학교 과정 에서 다루 어 지 기 는 하 더라도 4 학년 이 되 었 을 때 는 지도 되 어야 이후 의 여러 가지 문제 나 혼합문 제 를 풀이 하 는데 매우 유용 하 게 사용 될 수 있 다 . 이 등식 의 성질 은 ( ① 등식 의 양변 에 같 은 수 를 더 하 여도 등식 은 성립 한다 . ② 등식 의 양변 에 같 은 수 를 빼 도 등식 은 성립 한다 . ③ 등식 의 양변 에 0 을 제외 한 같 은 수 를 곱하 여도 등식 은 성립 한다 . ④ 등식 의 양변 에 0 을 제외 한 같 은 수 를 나누 어도 등식 은 성립 한다 ) 로 구성 되 어 진다 . 이렇게 연산 의 의미 나 등식 의 성질 을 지도 하 였 다면 , 아이 스스로 수학 문제 를 말 로 표현 할 수 있 도록 연습 시켜야 한다 . 그리고 , 다양 한 문제 를 많이 풀이 하 는 것 보다 한 문제 를 열 번 푸 는 것 이 훨씬 낫 다 . 이렇게 자신 의 부족 한 부분 을 찾 아 해결 하 는 것 은 쉬운 일 이 아니 다 . 따라서 , 수학 실력 을 올리 려는 단기간 의 시도 는 대부분 실패 한다 . 아무리 바빠도 근본 개념 을 도외 시 한 채 문제 풀이 만 해서 는 성적 을 올리 기 어렵 다 . 문제 유형 을 달달 외워 일시 적 으로 성적 을 올릴 수 는 있 을지 몰라도 오래가 지 못할 것 이 다 . 아이 에게 더 필요 한 것 이 기술 인지 , 개념 ․ 원리 인지 생각 해 보 아라 . 둘 간 의 활용 능력 차이 를 따져 본다면 쉽 게 답 을 얻 을 수 있 을 것 이 다 . 수학 을 싫어하 는 비율 이 가장 가파르 게 나타나 는 때 는 분수 를 배우 는 5 학년 이 다 . 학원 에 다 이 는 아이 중 에 학원 에서 하 는 강의 를 이해 할 수 없 다고 하 는 아이 들 이 있 다 . 이런 아이 들 은 분수 의 연산 조차 안 되 는 아이 들 로 학원 수업 이 아무런 도움 이 되 지 않 는다 . 이해 는 되 지만 막상 풀 려면 안 된다고 하 는 아이 도 있 는데 , 그 이유 는 분수 개념 을 명확 하 게 알 고 있 지 못하 기 때문 이 다 . ★ 분수 의 기호 를 이용 한 다양 한 적용 ÷ 의 기호 는 다양 한 곳 에 적용 이 되 는데 , 이 기호 를 때 어서 보 더라도 나눗셈 과 연관 되 는 곳 이 매우 많 다 . 예 를 들 지만 , ÷ 기호 의 : 을 떼 어 낸다면 , 비례식 이 적용 되 고 , 비례식 의 비율 은 나눗셈 과 같 다 . 또한 , - 기호 는 분수 를 나타내 는 기호 를 의미 하 므로 , 나눗셈 의 값 과 같 은 값 을 가진다 . 예 를 들 지만 , 1 ÷ 2 = 1 / 2 = 1 : 2 의 비율 이 다 . 또한 , 퍼센트 의 의미 는 15 세기 부터 전해온 기호 가 변화 되 어 사용 되 고 있 지만 , 재미있 게 해석 한다면 , % 기호 의 0 이 두 개 라는 것 은 100 을 의미 하 고 , 분수기 호인 / 은 ‘ 부분 / 전체 ’ 의 의미 로 해석 한다면 기호 를 통해서 식 을 도출 해낼 수 도 있 을 것 이 다 . 아래 는 퍼센트 의 기원 이 다 . 15 세기 의 "%", per cento 의 축약 형 17 세기 의 "%", cento 에서 o 만 남음 18 세기 이후 의 "%", 대각선 에 주목 등식 의 성질 을 이용 한 통 분 의 과정 2 / 3 + 4 / 5 = 2 ÷ 3 + 4 ÷ 5 이 다 . 이 분수 의 덧셈 은 등식 의 성질 을 이용 하 여 나타낼 수 있 을 것 이 다 . ( 2 × 5 ) / ( 3 × 5 ) + ( 4 × 3 ) / ( 5 × 3 ) = 2 ÷ 3 × 5 ÷ 5 + 4 ÷ 5 × 3 ÷ 3 = 10 / 15 + 12 / 15 = 10 ÷ 15 + 12 ÷ 15 = ( 10 + 12 ) / 15 = ( 10 + 12 ) ÷ 15 = 22 / 15 = 22 ÷ 15 = 1 7 / 15 = 1 … 7 이 다 . 이런 분수 를 정복 하 기 위해서 는 1 . 언제 어느 때 문제 를 던져 도 빠르 고 정확 하 게 정답 이 나오 도록 해야 한다 . 분수 의 연산 은 단순히 연산 자체 만 이 아니 라 최대공약수 와 최소공배수 가 직관 적 으로 나오 도록 하 는 데 그 목적 이 있 다 . 지나칠 정도 로 많이 하 는 것 이 절대 해 가 되 지 않 으니 시간 이 허락 하 는 한 여러 번 풀 게 한다 . 분수 는 같 은 문제지 를 최소 3 번 이상 연속 해서 풀 게 한다 . 분수 의 연산 은 최대공약수 와 최소공배수 가 직관 적 으로 나오 도록 하 는 데 에 목적 이 있 기 때문 에 무조건 여러 번 풀 게 하 는 것 이 좋 다 . 2 . 푸 는 순서 에 연연 하 게 하 지 마 라 . 알고리즘 대로 한 문제 를 푸 는 시간 에 중간식 을 생략 하 고 암산 하 게 하 면 같 은 시간 에 두세 문제 를 풀 수 도 있 게 되 어 아이 는 자신감 을 가질 것 이 다 . 분수 의 완성 은 초등 수학 의 완성 과 직결 된다 . 따라서 분수 를 익히 고 난 다음 에 는 분수 의 확장 을 통해 다른 부분 과 연계 시킨다 . 이 를 위해 단원 별 로 공부 시키 되 등식 의 성질 도 가르치 고 , 자유 롭 게 사용 할 수 있 을 때 까지 연습 시켜야 하 는 것 은 물론 비 와 비율 , 비례식 , 비례 배분 , 확률 등 을 모두 분수 로 설명 할 수 있 도록 하 여야 한다 . 도형 의 문제 와 같 은 것 은 많 은 아이 들 이 도형 자체 를 그리 거나 그려진 도형 으로 조작 활동 을 해 보 지 않 고 있 기 때문 에 , 시간 이 난다면 직접 그림 을 그리 면서 생각 하 는 시간 이 필요 하 다 . 넓이 는 직사각 형 과 삼각형 의 넓이 를 충분히 연습 할 수 있 도록 하 고 , 둘레 의 길이 와 넓이 를 혼동 하 지 않 게 한다 . 평행사변형 이나 사다리꼴 은 전부 사각형 이나 삼각형 으로 만들 어 풀 게 하 고 , 전개도 와 겨냥도 를 그리 게 하 여 입체 에 대한 감각 을 세워 주 고 부피 를 도입 한다 . 도형 에서 나오 는 용어 는 잘 외워 지 지 않 아 두세 번 정도 는 해야 하 며 , 도형 은 문제 를 푸 는 것 보다 직접 잘라 보 고 그려 보 면서 보존 개념 이나 각각 의 구성 요소 들 에 대한 이해도 를 높이 는 것 이 우선 되 어야 한다 . 그럼에도 불구 하 고 도형 을 어려워하 는 아이 는 이러 한 활동 이 거의 없 기 때문 이 다 . 따라서 공식 외우 는 것 에 집착 하 게 하 지 말 며 , 도형 만큼 은 매일 풀 기 보다 는 한꺼번에 많이 하 는 것 이 좋 을 수 도 있 다 . 5 학년 이 되 면 쉬워 보였 던 사각형 의 둘레 와 넓이 를 혼동 하 기 시작 하 고 , 6 학년 에 가 서 는 직육면체 의 겉넓이 를 구하 는 것 을 어려워한다 . 이러할 때 는 공식 을 외우 는 것 보다 관계 적 이해 를 통해 가르치 는 것 이 훨씬 효과 적 이 다 . 도형 에서 도구 적 으로 가르칠 부분 은 1 m 를 100 cm 로 고치 는 등 의 단위 교환 이나 구성 요소 들 의 이름 , 그리고 직사각 형 과 삼각형 의 넓이 정도 다 . 이 또한 관계 적 인 것 을 이해 시키 고 난 후 에 해야 한다 . 또한 , 모든 양 의 단위 중 에서 길이 와 넓이 를 가장 확실 하 게 가르쳐야 하 는데 , 예 를 들 면 , ‘ 곧 게 ’ 라는 말 은 애매 할 뿐 만 아니 라 거리 의 개념 이 담겨져 있 지 않 다 . 두 점 사이 의 가장 가까운 거리 를 그은 선 을 선분 이 라 가르치 고 , 이 를 연장 한 것 은 직선 이 라 가르쳐야 한다 . 그래야 두 평행선 사이 의 거리 를 최단 거리 로 인식 하 게 된다 . 또 선분 을 이용 하 여 다양 한 도형 을 만들 어 보 게 하 는 것 도 좋 은 방법 이 다 . 이 처럼 도형 을 잘 하 기 위해서 는 보이 지 않 는 것 을 생각 하 는 힘 인 유비 추리 를 길러 주 어야 한다 . 이 를 위해서 는 먼저 겨냥도 를 그려본다 . 겨냥도 란 입체 도 형 의 보이 지 않 는 부분 을 점선 처리 하 여 그리 는 것 을 말 하 는데 , 그림 자체 를 잘 알아볼 수 있 는 형태 로 그려야 한다 . 비록 안 보이 는 것 을 그릴지 라도 처음 에 는 보이 는 것 부터 출발 해야 한다 . 각 의 크기 나 모서리 의 길이 는 다르 지만 평행 한 모서리 는 반드시 평행 하 게 그려야 하 고 , 직각 인 면 도 똑바로 그려야 한다 . 겨냥도 를 통해 ‘ 두 직선 이 어떤 위치 관계 를 갖 는가 ? 두 직선 은 만나 거나 만나 지 않 을 수 있 으며 만난다면 어떻게 만나 나 ? 평행 할 때 의 거리 는 어떠 한가 ? ’ 등 을 알 수 있 게 해야 한다 . 직육면체 를 배우 기 위해서 는 직접 상자 를 자르 고 펼쳐 보 아야 한다 . 물론 이 작업 을 하 지 않 고 도 문제 를 잘 푸 는 아이 가 있 지만 , 대부분 의 아이 들 에게 는 구체 적 조작 대상 을 직접 자르 고 만들 게 하 는 것 이 큰 도움 이 된다 .