무리수 의 무리수 제곱 이 유리수 가 될 수 있 을까요 ? 언뜻 생각 하 기 에 는 안 될 것 같 지만 , 무리수 무리수 = 유리수 인 경우 가 있 습니다 . 그게 뭔지 를 말씀 드리 기 전 에 . .. 라마누잔 ( Ramanujan ) 의 수 로 불리 는 e π √ 163 에 대해 잘못 알려진 사실 이 있 습니다 . e π √ 163 은 어떤 수 일까 ? 무리수 일까 ? 유리수 일까 ? 정수 일까 ? 세 무리수 e , π , √ 163 이 결합 된 e π √ 163 은 무리수 가 아니 라 정수 가 된다 . 얼마나 놀라운 일 인가 ? 인도 의 수학자 Srinivasa Ramanujan ( 1888 ~ 1920 ) 이 처음 으로 e π √ 163 이 정수 가 될 것 이 라고 추측 하 였 다 . 그리고 그 는 이 수 의 값 을 262 , 537 , 412 , 640 , 768 , 743 . 999 . .. 라고 하 였 다 . 1972 년 에 컴퓨터 로 소수점 이하 200 만 자리 까지 9 가 계속 이어진다는 것 을 확인 하 였 다 . 그러나 정수 가 되 기 위해서 는 9 가 소수점 아래 에서 무한히 계속 된다는 것 을 밝혀야 만 한다 . 마침내 1974 년 미국 아리조나 대학 ( University of Arizona ) 의 John Brillo 가 이 수 가 262 , 537 , 412 , 640 , 768 , 744 와 같 다는 것 을 증명 하 였 다 . --- Theoni Pappas , More Joy of Mathematics ( 1991 ) , p . 182 사실 은 이 수 는 class number , modualr form 이론 등 에서 나오 는 것 으로 , 정수 에 매우 가까운 무리수 입니다 . 라마누잔 은 이 분야 의 대가 중 의 대가 였 고요 . ( 타원 곡선 과 관련 된 어떤 계산 에서 나오 는데 여기 서 설명 하 기 는 힘들 군요 . e π √ n 꼴 의 수 가운데 가장 정수 에 가깝 다는 정도 로 만 얘기 하 죠 . ) 그런데 , 미국 의 유명 과학 잡지 Scientific American 1975 년 4 월 호 에 , 마틴 가드너 ( Martin Gardner ) 가 자기 컬럼 Mathematical Games 에서 이 수 가 정수 라는 것 이 증명 되 었 다면서 만우절 거짓말 을 했 습니다 . 외국 에 는 이런 식 의 만우절 장난 이 흔합니다 . 4 색 으로 칠 할 수 없 는 지도 ? 그 컬럼 에 같이 실린 거짓말 기사 가 , 사색문제 의 반례 가 발견 되 었 다는 것 , 상대 성 이론 이 틀렸 다는 것 등등 이 었 죠 . 사실 한 번 만 제대로 읽 어 보 면 거짓말 인 게 뻔한데 , 유명 한 마틴 가드너 의 글 인 데 다 , 그럴싸한 학자 들 이름 , 참고 문헌 까지 갖 다 붙여 놓 는 바람 에 속 은 사람 도 꽤 있 었 나 봅니다 . 특히 , 위 에 인용 해 놓 은 것 처럼 , 유명 한 수학 저술가 인 Theoni Pappas 가 자기 책 More Joy of Mathematics 에 마틴 가드너 컬럼 의 주장 을 참 인 줄 알 고 그대로 실 어 놓 았 죠 . 아마도 이 수 가 정수 라고 잘못 알려 지 게 된 가장 큰 원인 이 바로 이 책 일 겁니다 . ( " 수학 사랑 " 창간호 에서 도 이 책 을 인용 해서 문제 의 수 가 정수 라고 싣 는 실수 를 했 죠 . ) 보통 사람 이 modular form 이론 을 알 리 도 없 고 , 마틴 가드너 의 지난 컬럼 을 찾 아서 읽 어 보 는 저 같 은 짓 을 할 리 도 없 지만 , Pappas 의 책 은 아주 쉽 고 짧 으면서 도 재미있 는 내용 들 로 가득 차 있 어 읽 기 에 딱 좋 으니까요 . 그리고 마틴 가드너 는 특별히 " 그거 만우절 거짓말 이 었 습니다 " 하고 밝힌 적 없 습니다 . 앞서 도 말 했 지만 , 4 월 호 컬럼 은 만우절 거짓말 인 게 분명 한 데 다 , 저런 식 의 장난 이 하나 의 전통 ( ? ) 같 은 것 이 므로 굳이 5 월 호 에서 " 사실 은 만우절 장난 이 었 다 " 고 밝힐 필요 성 따위 는 전혀 못 느꼈 을 겁니다 . ( 저 는 홀수 완전수 를 비롯 한 거짓말 때문 에 하이텔 동호회 에서 제명 당할 뻔 도 했 지만 . .. -_-) 몇 년 전 엔 유명 한 Ivars Peterson 이 인터넷 의 자기 컬럼 에서 , 사라진 유클리드 원론 제 14 권 이 발견 되 었 다고 만우절 거짓말 기사 를 쓴 적 이 있 습니다 . 거기 에 페르마 의 마지막 정리 를 비롯 한 온갖 수학 이론 이 다 들 어 있 다고 뻥 을 . .. ^_^ 그 중 에서 도 압권 은 , 유클리드 가 " 나 는 놀라운 증명 을 발견 하 였으나 면 이 너무 좁 다 " 는 주 를 남겨 놓 았 다는 부분 이 었 죠 . 물론 그 도 그게 거짓말 이 었 다는 " 사과 " 따위 는 전혀 하 지 않 았 습니다 . 참고 로 e π √ 163 의 값 은 약 2 . 6 2 5 3 7 4 1 2 6 4 0 7 6 8 7 4 3 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 2 5 0 0 7 2597198185688879353856337 × 1017 이 고 , John Brillo 라는 수학자 는 현재 캘리포니아 대학 버클리 분교 의 수학 교수 John Brillhart 를 흉내내 어 마틴 가드너 가 만들 어 낸 인물 입니다 . 아 , 잊 어 버릴 뻔 했 군요 . 무리수 무리수 = 유리수 인 예 를 찾 기 위해서 는 먼저 √ 2 √ 2 부터 생각 합시다 . 이 값 이 유리수 라면 더 이상 생각 할 필요 없 겠 죠 ? 그럼 , 만약 이 수 가 무리수 라면 ? 이 때 는 ( √ 2 √ 2 ) √ 2 = √ 2 √ 2 × √ 2 = 2 니까 역시 무리수 무리수 = 유리수 인 예 를 찾 을 수 있 습니다 . 실제로 는 √ 2 √ 2 은 무리수 일 뿐 만 아니 라 초월수 라는 것 까지 증명 되 어 있 습니다 . * 원본 글 이 있 는 곳 입니다 . puzzlist ( 박부성 ) 님 의 홈페이지 에 있 는 원본 글 입니다 . http : / / puzzle . jmath . net / math / essay / Ramanujan _ number . html