< 수학 공부 잘 하 는 법 > 나 는 수학 은 죽 어도 못하 겠 는데 방법 이 없 을까 ? ' 수학 은 죽 어도 못하 겠 어 ! ', ' 나 는 수학 때문 에 정말 골치 야 ', ' 수학 은 아무리 해도 안 돼 ', ' 도대체 수학 은 어떻게 해야 할지 모르 겠 어 . '...... 많 은 학생 들 은 그 놈 의 수학 때문 에 정말 너무 도 고생 을 하 고 있 다 . 노력 을 안 하 는 것 도 아닌데 , 들이 는 노력 에 비해서 너무 도 성과 가 없 다 . 그러 다 보 면 얼마 못가 ' 나 는 수학 은 안 돼 ' 하 면서 자포자기 하 게 된다 . 도대체 왜 수학 은 그렇게 어려운 것 일까 ? 왜 노력 을 해도 점수 는 여전히 나쁜 것 일까 ? 이제 부터 수학 은 어떤 과목 인지 그 특성 에 대해 살펴보 면서 그 원인 을 찾아보 자 . 그리고 나 서 어떻게 하 면 그런 원인 을 제거 하 여 수학 을 잘 하 는 사람 이 될 수 있 는지 , 수학 공부 의 비결 에 대해서 알아보 자 . 사실 수학 은 잘 하 는 사람 보다 는 못 하 는 사람 이 더 많 다 . 뿐 만 아니 라 학년 이 올라갈수록 못하 는 사람 의 비율 은 급격히 높 아 져 , 고등학교 3 학년 쯤 되 면 사실 다른 과목 은 몰라도 수학 과목 만 은 이미 공부 를 포기 한 사람 들 이 더 많 다고 해도 틀린 말 은 아닐 것 이 다 . 고등학교 수학 선생 님 에게 물 어 보 아도 , 고등학교 3 학년 학생 중 수업 내용 을 제대로 이해 하 는 학생 은 50 명 중 10 명 이 채 안 될 것 이 라고 대답 한다 . 그러 니 수학 은 결코 쉬운 과목 이 라고 말 할 수 는 없 을 것 이 다 . 그런데 한 가지 이상 한 것 은 다른 과목 들 의 시험 점수 를 보 면 100 점 도 없 는 대신 에 0 점 도 없이 , 대부분 학생 들 의 점수 가 그리 큰 차이 가 없 는 데 반해 , 수학 시험 점수 만 은 잘 하 는 사람 과 못 하 는 사람 의 점수 차이 가 매우 크 다는 것 이 다 . 즉 , 수학 에서 만큼 은 다른 과목 과 는 달리 잘 하 는 사람 과 못 하 는 사람 이 뚜렷히 구분 이 되 어 , 적 지 않 은 학생 들 이 거의 매번 0 점 에 가까운 점수 를 받 는가 하 면 , 또 어떤 몇몇 학생 은 거의 매번 100 점 이나 혹은 거의 100 점 에 가까운 점수 를 받 는 경향 이 있 다 . - 특히 주관식 수학 시험 의 경우 에 는 더욱 그렇 다 . 그래서 수학 과목 은 다른 과목 보다 도 성적 에 더 큰 영향 을 주 며 , 입학 시험 의 당락 을 결정 하 는 결정 적 인 과목 이 된다 수학 이 그렇게 어려운 과목 이 라고 한다면 , 못 하 는 것 이 자연 스러운 일 이 요 , 오히려 매번 거의 만점 을 맞 는 ' 수학 도사 ' 들 이 특이 한 사람 이 라고 해야 할 것 이 다 . 그런데 우리 는 수학 을 좀 더 잘 할 수 있 었 으면 하 는 바람 이 있 으니 , 이제 부터 는 그 특이 한 사람 들 로부터 비결 을 배워 우리 도 한번 그 들 과 같이 특이 한 사람 이 되 어 보 아야 하 지 않 겠 는가 ? 나 는 이 글 을 쓰 기 위해 일부러 수학 도사 들 을 몇 명 찾아가 만나 보 았 다 , 혹시 무슨 비법 을 배울 수 있 지 않 을까 해서 . 그런데 그 들 은 대부분 이렇게 애매 하 게 말 하 고 마 는 것 이 다 . " 나 는 사실 수학 과목 이 편합니다 . 왜냐하면 기본 원리 만 별 어려움 없이 많 은 문제 를 풀 수 있 으니까요 . 그러 니 얼마나 간단 합니까 ? 다른 과목 들 은 그렇 지 않 잖아요 ? 국사 만 하 더라도 고려 시대 에 대해 아무리 확실히 공부 했 다 해도 , 조선 시대 문제 를 응용 해서 풀 수 있 는 것 이 아니 지 않 습니까 ? 국어 도 그렇 고 , 영어 도 그렇 고 , 지리 도 그렇 고 , 사회 도 그렇 고 , 다른 과목 들 은 처음 부터 끝 까지 다 외워야 하 지만 , 수학 은 ' 정리 ' 나 ' 공식 ' 같 은 것 몇 개 하 고 , 몇 가지 기본 유형 문제 몇 개 만 공부 해 두 면 다른 모든 문제 를 응용 해서 풀 수 있 으니 얼마나 편 합니까 ? 그래서 나 같이 게으른 사람 들 한테 는 수학 이 제일 편한 과목 이 죠 . 제 말 이 맞 지 않 습니까 ? " 수학 이 제일 편한 과목 이 라니 ? 물론 그러니까 수학 도사 가 됐 겠 지 . 어쨌거나 만약 우리 가 수학 을 좀 더 잘 하 고 싶 은 마음 이 있 다면 , 수학 도사 들 의 이 같 은 말 을 그저 이상 한 소리 로 만 생각 하 여 흘려 보내 서 는 안 되 겠 다 . 어떻게 해서 든지 그 들 로부터 수학 을 잘 하 는 비결 을 배워야 하 지 않 겠 는가 ? 그렇 다면 그 들 의 이야기 를 정확히 분석 하 여 , 그 핵심 을 파악 해야 한다 . 수학 도사 들 의 말 을 우리 는 다음 과 같이 요약 할 수 있 을 것 이 다 . 수학 은 편한 과목 이 다 . 왜냐하면 다른 과목 처럼 모두 다 외울 필요 가 없 으니까 . 수학 은 몇 가지 기본 만 공부 하 면 많 은 문제 들 은 그저 응용 하 여 다 풀 수 가 있 다 . 수학 공부 의 몇 가지 기본 이란 ' 정리 ', ' 공식 ' 그리고 ' 기본 유형 문제 ' 이 다 . 이렇게 요약 하 고 보 니 수학 공부 잘 하 는 비결 도 별 것 이 아닌 것 같 다 . 그렇 다면 우리 도 그까짓 것 못 할 것 도 없 지 않 겠 는가 ? 우리 는 각자 나 는 과연 수학 도사 가 말 한 수학 공부 잘 하 는 비결 중 어떤 것 을 소홀히 했 는지 한 번 점검 해 보 고 그 점 만 고쳐 나가 면 될 것 이 다 . 그러나 , 앞 의 이야기 는 너무 간략 해 우리 가 자기 점검 을 하 는 기준 으로 삼 기 에 는 충분 하 지 못한 것 같 다 . 그렇 다면 이제 부터 는 내 가 수학 도사 들 로부터 얻어들 은 수학 잘 하 는 비결 을 나름 대로 정리 하 여 좀 더 자세히 설명 하 도록 할 테 니 여러분 은 자기 공부 방식 과 비교 해 보 고 , 나 의 수학 공부 방법 중 잘못 된 부분 은 지금 부터 고쳐 나가 기 를 바란다 . 수학 도사 들 의 수학 공부 비결 을 정리 해 보 니 그 들 은 대부분 다음 과 같 은 4 단계 로 수학 공부 를 해 나가 는 것 으로 밝혀졌 다 . 제 1 단계 : 개념 과 원리 의 이해 제 2 단계 : 공식 암기 제 3 단계 : 기본 문제 유형 별 훈련 제 4 단계 : 실전 연습 이제 부터 각각 의 단계 가 무엇 이 며 어떻게 하 는 것 인지 좀 더 자세히 설명 하 겠 다 . 제 1 단계 : 개념 과 원리 의 이해 개념 과 원리 이해 란 무엇 인가 ? 예 를 들 어 설명 해 보 자 . 중학교 3 학년 이상 이 라면 여러분 은 이 차 방정식 ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 의 근 의 공식 이 임 을 알 것 이 다 . 그리고 그 근 의 공식 을 이용 하 여 대부분 의 이 차 방정식 문제 를 풀 것 이 다 . 그렇 다면 이제 여러분 에게 물 어 보 자 . 여러분 은 이 차 방정식 ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 의 근 이 왜 인지 아 는가 ? 스스로 주어진 이 차 방정식 에서 근 의 공식 을 유도 해낼 수 있 는가 ? 그리고 또 그 근 의 의미 가 무엇 인지 이 차 함수 의 그래프 를 그려 설명 할 수 있 는가 ? 지금 당장 혼자 힘 으로 해 보 라 . 아마 쉽 게 잘 되 지 는 않 을 것 이 다 . 근 의 공식 유도 과정 은 사실 꽤 복잡 한 편 이 다 . 그렇 다면 비록 오래 전 의 일 이 긴 하 겠 지만 , 여러분 이 이 근 의 공식 을 처음 배웠 을 때 의 기억 을 다시 한 번 되살려 보 라 . 그 때 과연 여러분 은 교과서 나 참고서 에 나온 근 의 공식 유도 과정 을 유심히 들여다 보 았었 는가 ? 만약 여러분 이 그 때 그것 을 열심히 보 지 않 았 다면 , 여러분 은 이 차 방정식 에 있 어서 의 수학 의 묘미 를 놓친 사람 이 며 , 더구나 근 의 의미 를 그래프 로 설명 하 지 못하 는 사람 이 라면 현재 아무리 이 차 방정식 문제 를 잘 푸 는 학생 이 라 하 더라도 이 차 방정식 의 기본 개념 이나 원리 에 대해서 는 정확히 모르 는 사람 이 라 해야 할 것 이 다 . 왜냐하면 바로 그것 들 이 이 차 방정식 의 기본 개념 이 며 원리 이 니까 . 만약 그 때 그 근 의 유도 과정 을 유심히 살펴보 았 던 학생 이 라면 , 여러분 은 그때 어떤 생각 으로 그것 을 보 았 으며 , 또 그것 을 볼 때 의 기분 은 어떠 하 였 는가 ? 만약 그 때 그 과정 을 보 면서 아무런 신기 한 느낌 도 없 었 다면 , 혹은 대충 훑어보 면서 ' 그래 , 그런 것 같 기 도 하 군 ' 하 는 정도 로 보 아 넘긴 사람 이 라면 , 그런 사람 들 역시 도 수학 의 참 맛 을 제대로 모르 는 사람 이 다 . 　 그렇 다면 수학 의 개념 과 원리 를 알 고 , 수학 의 참 맛 을 아 는 사람 은 어떤 사람 인가 ? 그런 사람 이란 이 이 차 방정식 의 근 의 공식 유도 과정 을 보 며 ' 놀라움 과 신기 함 ' 을 느꼈 던 사람 이 다 . 그런 사람 은 유도 과정 중 ( 지금 당장 수학 책 의 그 부분 을 찾아보 라 ) , 　 첫 번 째 로 양변 을 a 로 나누 는 과정 과 두 번 째 로 좌변 에 을 더 했 다가 빼 는 과정 을 보 면서 , 그리하여 좌변 의 만 우변 으로 넘기 면 좌변 은 곧 의 형태 로 만들 수 있 는 준비 를 하 는 것 을 보 면서 , ' 아하 , 바로 이렇게 하 는구나 . 기 가 막히 네 . 누가 이런 생각 을 해냈 을까 ! ' 하고 감탄 했 을 것 이 다 . 바로 그 감탄 , 탄복 이 바로 수학 의 즐거움 이 며 , 참 맛 이 다 . 보 기 에 는 쉬운 것 같 았 는데 막상 혼자 해 보 니 잘 안 되 어 막혔 던 부분 을 해결 하 는 방법 ! 바로 그런 생각 ! 보 고 나 면 간단 한데 혼자 서 는 생각 해 내 기 어려운 발상 , 바로 그것 이 이 증명 문제 에서 의 핵심 이 며 , 또 묘미 인 것 이 다 . 　 근 의 공식 의 증명 과정 은 사실 혼자 힘 으로 생각 해 내 거나 , 혹은 한 번 보 았 다 하 더라도 다시 기억 해 내 기 는 쉽 지 않 다 . 그러나 , 그렇 다 해도 그 증명 과정 에 대해서 는 아무런 관심 을 갖 지 않 았 거나 , 혹은 눈 으로 보 면서 도 대충 그럴 것 같 다는 생각 만 하 고 말 았 다면 , 그런 사람 들 은 수학 의 즐거움 을 결코 알 수 없 을 것 이 며 , 또 그런 결과 로 수학 을 잘 하 기 도 어려울 것 이 다 . 수학 공부 의 즐거움 은 크 게 2 가지 인데 , 그 하나 는 바로 수학 의 원리 나 논리 의 전개 과정 을 ' 이해 ' 하 는 것 이 고 , 나머지 하나 는 문제 를 제대로 풀 어서 정답 을 맞추 는 것 이 다 . 이 중 더 본질 적 인 것 은 첫 번 째 것 이 며 , 두 번 째 것 은 수학 적 으로 보 면 부수 적 인 것 에 불과 하 다 . 왜냐하면 첫 번 째 것 만 제대로 했 다면 , 두 번 째 것 은 그것 을 그대로 적용 하 거나 혹은 조금 만 응용 하 면 되 는 것 이 니까 ( 물론 그것 도 쉬운 일 은 아니 지만 . ) 다시 말 하 면 수학 의 개념 과 원리 야 말 로 참신 한 수학 적 아이디어 인 것 이 지 , 문제 를 풀 어 답 을 내 는 것 은 단지 기계 적 인 계산 의 결과 일 뿐 이 라는 것 이 다 . 그렇 다면 앞 으로 수학 을 더 잘 해 보 고자 하 는 마음 이 있 는 사람 이 라면 누구 나 수학 의 개념 이나 원리 를 이해 하 는데 좀 더 많 은 노력 을 기울여야 할 것 이 다 . 지금 까지 ' 피타고라스 의 정리 ' 나 이 차 방정식 의 ' 근 의 공식 ' 등 과 같 은 많 은 정리 와 공식 을 공부 할 때 그 결과 만 을 그저 외우 기 만 했 던 학생 이 라면 , 이제 부터 는 그 증명 과정 을 좀 더 열심히 보 고 이해 하 려 노력 해야 할 것 이 며 , 만약 그것 을 보 아도 이해 가 안 되 는 사람 이 라면 그 수준 에 맞 지 않 는 사람 이 니 그 아래 학년 의 수학 적 개념 이나 원리 부터 다시 공부 하 고 올라와야 할 것 이 다 . ( 예 를 들 면 이 차 방정식 근 의 공식 유도 과정 을 보 고 도 이해 가 안 되 는 사람 은 인수 분해 부터 다시 확실히 공부 해야 한다 . ) 수학 에 는 결코 ' 대충 ' 이 란 것 이 없 다 . ' 확실히 ' 이해 가 되 어야 만 아 는 것 이 고 , ' 조금 ' 이 라도 모르 면 모르 는 것 이 지 , ' 대충 ' 알 것 같 다는 것 은 있 을 수 없 다 . 다른 과목 에서 는 그렇 지 않 을 수 있 지만 , 수학 에서 만큼 은 ' 대충 ' 알 것 같 다는 것 은 ' 전혀 ' 모르 는 것 과 같 다 . 아니 , 어쩌면 전혀 모르 는 것 보다 ' 대충 ' 안다고 생각 하 는 것 이 더 나쁠지 도 모른다 . 왜냐하면 그렇게 생각 하 는 사람 은 자기 가 아 는지 , 모르 는지 도 몰라 무엇 을 다시 공부 해야 하 는지 도 모를 테 니까 . 이제 부터 는 수학 의 공식 이나 정리 의 증명 과정 에 관해서 만큼 은 ' 아하 , 바로 이렇게 하 는 것 이 구나 . ' 하 고 분명히 이해 해서 감탄 이 나올 수 있 을 정도 로 확실히 알 고 넘어가 도록 해야 겠 다 . 물론 그 증명 을 보 고 난 후 혼자 서 도 그대로 할 수 있 으면 가장 좋 겠 지만 ( 언젠가 서울 대학교 본고사 에서 도 이 차 방정식 근 의 공식 을 유도 해 내 라는 시험 문제 도 났었 으니까 . ) , 만약 그렇게 하 기 가 어렵 다면 최소한 눈 으로 보 면서 이해 만 은 확실히 하 고 넘어가 버릇 해야 한다 . 그렇게 하 는 사람 만 이 수학 하 는 재미 를 제대로 알 수 있 게 될 것 이 며 , 그러 다 보 면 수학 점수 도 점 점 더 좋 아 지 게 될 것 이 다 . 제 2 단계 : 공식 암기 공식 이 란 정리 의 일종 으로서 선배 수학자 들 이 천재 적 인 머리 를 사용 하 여 그것 이 참 임 을 증명 해 낸 수학 의 명제 들 이 다 . ' 직각삼각형 에서 직각 을 끼 지 않 는 빗변 의 제곱 은 다른 두변 의 각각 의 제곱 을 합한 값 과 같 다 ' 는 ' 피타고라스 의 정리 ' 만 해도 그것 이 증명 된 것 은 벌써 2 , 500 년 쯤 전 의 까마득 한 옛날 의 일 인데 , 우리 는 오늘날 에 도 그것 을 혼자 힘 으로 다시 증명 해 보이 기 가 쉽 지 않 다 . 공식 이나 정리 의 증명 과정 을 이해 하 는 것 이 앞 의 제 1 단계 에서 해야 하 는 일 이 라면 , 제 2 단계 에서 는 그 증명 의 결과 인 수학 적 공식 들 을 확실히 암기 하 는 일 을 해야 한다 . 공식 이란 곧 수학 에서 있 어서 의 기본 도구 라 할 것 이 니 , 그것 들 을 얼마나 정확 하 게 암기 하 여 필요 한 때 에 제대로 사용 할 수 있 느냐 에 따라 수학 점수 가 결정 되 는 것 이 다 . 기본 개념 과 원리 는 분명히 이해 한 사람 이 라도 공식 을 안 외우 고 있 으면 문제 를 풀 때 마다 매번 스스로 기본 공식 을 유도 해 낸 후 에 그것 을 사용 해야 할 것 이 니 , 시간 은 얼마나 많이 들 것 이 며 , 번거 롭 기 는 또 얼마나 번거롭 겠 는가 ? 그래서 는 수학 에서 좋 은 점수 를 받 기 는 아예 틀린 일 이 다 . 톱 과 대패 같 은 기본 적 인 연장 도 갖추 지 못한 목수 가 어떻게 집 을 제대로 지 을 수 있 겠 는가 ? 이 차 방정식 을 배운 학생 이 라면 근 의 공식 이 입 에 딱 붙 어 있 어야 한다 . 그 정도 는 입 에서 술술 나와 나 지 떠듬떠듬 , 맞 을 동 , 틀릴 동 해서 는 수학 문제 를 풀 생각 을 아예 하 지 말 아야 한다 . 구구단 을 못 외우 고서 는 산수 문제 를 풀 생각 을 하 지 말 아야 하 는 것 처럼 . 중 고등학교 수학 에서 는 학생 들 이 외워야 할 여러 가지 공식 , 정리 , 그리고 법칙 이 있 다 . 예 를 들 면 , 인수 정리 , 나머지 정리 , 인수 분해 공식 , 근 의 공식 , 드 모르간 의 법치 , 지수 법칙 , 사 인 법칙 , 제일 코사인 법칙 , 제이 코사인 법칙 등 이 그런 것 이 다 . 인수 분해 공식 에서 a 2 - b 2 을 인 수분 해 하 면 무엇 이 되 는가 ? ( a + b ) ( a - b ) 라는 것 은 누구 나 알 것 이 다 . 이 정도 는 잠 자 는 중 에 깨워서 물 어 보 아도 자동 적 으로 나올 수 있 도록 철저히 암기 해 두 어야 한다 . 이 두 번 째 단계 에서 수학 공식 들 을 확실히 외웠 다면 , 이제 그 다음 단계 인 3 단계 로 넘어가 도록 하 자 . 제 3 단계 : 기본 문제 유형 별 훈련 ' 기본 문제 유형 ' 이란 무엇 인가 ? ' 수학 의 정석 ' 이 라는 수학 참고서 를 예 로 들 면 그 책 에 ' 필수 예제 ' 라는 이름 으로 나와 있 는 문제 들 이 다 . 그 문제 들 이 바로 그 분야 수학 문제 의 대표 선수 격 인 것 들 이 다 . 각각 의 기본 문제 유형 은 그것 을 푸 는데 필요 한 독특 한 방식 이 있 다 . 그 방식 을 정확히 이해 하 고 암기 하 여 , 그 밑 의 ' 유제 ' 를 풀 때 적용 해야 한다 . ' 기본 문제 유형 별 훈련 と 이 란 수학 에 있 어 문제 를 풀 기 위한 기본기 를 닦 는 과정 이 라 하 겠 다 . 모든 일 이 기본기 가 잘 되 어 있 어야 실수 도 적 고 시간 이 갈수록 실력 이 더 늘 지 않 는가 ? 태권도 에서 도 기본 자세 와 기본 동작 이 중요 하 고 , 테니스 에서 도 그렇 고 , 피아노 배우 는 데 도 역시 마찬가지 이 다 . 마음 이 급하 다고 기본기 훈련 을 소홀히 하 고 바로 시합 이나 연주 로 들어가 면 실력 이 느 는 것 이 아니 라 오히려 자신감 만 잃 게 되 기 가 쉽 다 . 수학 도 꼭 그 와 같 아서 ' 필수 예제 ' 를 이해 하 고 ' 유제 ' 를 통해 그런 유형 을 확실히 익히 지 않 은 채 로 바로 시험 문제 를 풀 려고 하 다 보 면 어디 서부터 손 을 대야 할지 도 몰라 당황 하 게 되 어 , 수학 에 점차 공포심 을 갖 게 된다 . 수학 능력 시험 이나 대학 본고사 에 나오 는 문제 도 얼 뜻 보 기 에 는 매우 복잡 한 문제 같 지만 찬찬히 분석 해 보 면 몇 가지 ' 기본 문제 유형 ' 을 섞 어 놓 은 것 에 불과 하 다 . 그러니까 수학 을 잘 하 고 싶 은 사람 들 은 차분 한 마음 으로 ' 필수 예제 ' 를 익히 는데 최선 을 다 해야 한다 . 수학 공부 하 는데 있 어서 는 바로 이 제 3 단계 에 가장 많 은 시간 과 노력 을 투자 해야 할 것 이 다 . 기본 문제 유형 별 훈련 을 충실히 하 면 할수록 모든 수학 문제 들 이 점차 뻔한 문제 로 보이 게 된다 . 문제 를 척 보 면 그 구성 이 한 눈 에 보여서 어떤 순서 로 풀 어 나가 야 할지 감 이 확 잡히 는 것 이 다 . 어떤 수학 도사 가 말 하 기 를 중 , 고등학교 수학 에 는 기본 문제 유형 이 약 1 , 000 개 정도 가 있 는데 , 그것 들 만 충실히 익혀 자유자재 로 응용 할 수 만 있 으면 , 수학 은 항상 만점 을 받 을 수 있 다고 한다 . 1 , 000 개 가 결코 적 은 숫자 는 아니 지만 , 하나 , 둘 공부 하 다 보 면 갈수록 이해 와 숙련 의 속도 가 점점 더 빨라질 것 이 니 겁먹 지 말 고 지금 부터 라도 하나 , 하나 착실히 공부 해 나가 야 하 겠 다 . 수학 시험 에서 좋 은 점수 를 받 느냐 , 못 받 느냐 는 바로 제 3 단계 인 기본 문제 유형 별 훈련 에 달려 있 음 을 명심 해야 할 것 이 다 . 제 4 단계 : 실전 연습 이제 는 수학 공부 의 마지막 단계 이 다 . 앞 의 세 단계 를 충실히 다져온 사람 이 라면 , 이제 는 그 동안 튼튼히 닦 아 온 기본기 를 바탕 으로 연습 이 아닌 진짜 시합 을 해 보 고 싶 은 마음 이 생길 것 이 다 . 지금 까지 훈련 할 때 사용 한 나무칼 을 버리 고 진짜 칼 로 승부 를 해 보 고 싶 은 유혹 을 받 는 것 이 다 . 그럴 때 도전 하 게 되 는 문제 가 정석 책 에서 는 ' 연습 문제 ' 요 , 또 지금 까지 의 ' 대입 수능 검사 ' 및 각 대학 의 ' 본고사 ' 기출 문제 이 다 . 앞 에서 도 이야기 했 던 대로 , 그런 문제 들 은 어떤 한 가지 기본 유형 에 속하 는 것 이 아니 라 , 여러 가지 기본 유형 이 복합 된 것 들 이 다 . 그러므로 앞 단계 들 을 충실히 했 다고 해도 쉽 게 풀리 지만은 않 는다 . 물론 앞 단계 들 을 충실히 하 지 않 은 사람 이 라면 전혀 손 도 대 지 못하 는 것 이 당연 한 일 이 고 . 실전 문제 에 도전 할 때 는 먼저 이 문제 는 어떤 기본 유형 의 변형 인지 , 혹은 어떤 기본 유형 과 또 다른 어떤 기본 유형 이 섞여 있 는 문제 인지 분석 해 보 아야 한다 . 그것 이 바로 ' 문제 의 이해 ' 이 다 . 문제 를 풀 수 있 으려면 주 어 진 문제 가 무엇 을 요구 하 는 것 인지 우선 알 아야 하 지 않 겠 는가 ? 그런데 그것 도 그리 쉬운 일 이 아니 다 . 문제 를 제대로 이해 하 는 것 도 상당 한 실력 을 요구 한다 . 앞 에서 이야기 한 1 , 2 , 3 단계 의 공부 가 바로 ' 문제 이해 ' 의 능력 을 키워 주 는 준비 단계 라 할 것 이 다 . 문제 가 이해 된다는 것 은 , 문제 에서 주어진 조건 들 을 각각 어떻게 이용 해야 할지 알 수 있 게 된다는 것 이 다 . 수학 문제 란 곧 ' 주어진 모든 조건 ' 을 이용 하 여 ' 요구 되 는 결과 ' 를 논리 적 으로 도출 해 내 는 과정 이 니까 . 만약 주어진 조건 중 에 이것 은 어떻게 하 라는 것 인지 잘 모르 겠 다면 그 문제 는 애초 부터 풀 기 는 틀린 문제 이 다 . 왜냐하면 수학 문제 에서 는 한 가지 라도 쓸데없 는 조건 을 제시 하 는 경우 는 없 으니까 . 그렇 다면 즉시 앞 으로 돌 아 가 서 그 조건 을 이해 하 는 데 필요 한 기본 개념 이나 원리 를 다시 공부 하 거나 , 혹은 기본 문제 유형 중 에 그런 조건 을 사용 한 문제 를 확실히 복습 하 고 돌아와야 한다 . 문제 가 확실히 이해 되 었 다 하 더라도 실전 문제 들 은 결코 쉽 게 술술 풀리 지 는 않 는다 . 풀 다 보 면 중간 어디 에선가 막히 는 일 이 많 다 . 어떻게 해야 할지 좀처럼 생각 이 안 나 거나 , 이렇게 해봐도 안 되 고 , 저렇게 해봐도 해결 이 되 지 않 는 것 이 다 . 이럴 때 어떻게 하 느냐 , 하 는 것 이 수학 실력 을 쌓 는데 중요 한 영향 을 미친다 . 물론 조금 만 안 풀리 면 즉시 해답 을 들쳐 보 아서 는 실력 이 늘 수 가 없 다 . 잘 안 되 더라고 이 생각 , 저 궁리 해 보 는 과정 이 바로 수학 실력 을 증진 시키 는 일 이 된다 . 그러다가 문득 해결 방법 이 생각 이 나 서 문제 를 정확 하 게 풀 수 있 으면 그야말로 기분 만점 이 된다 . 그러나 , 그런 일 은 그리 많 지 않 다 . 아무리 생각 해봐도 해결책 이 안 보이 는 경우 가 더 많 은데 , 그때 는 어쩔 수 없이 해답 을 봐야 한다 . 혼자 풀 어 보 려고 고생 해 본 사람 이 라면 , 해답 을 보 면서 ' 아 , 이렇게 하 는 거 구나 ' 하 는 감탄 과 함께 ' 나 는 왜 이런 생각 을 못 했 을까 , 이 멍청이 ' 하 는 안타까움 을 느끼 게 된다 . 수학 공부 에서 는 바로 그런 감탄 과 안타까움 이 중요 하 다 . 그런 감탄 과 안타까움 은 그 해결 과정 을 제대로 이해 한 사람 만 이 느낄 수 있 는 것 이 며 , 또 그런 이해 를 통하 여 그 문제 를 푸 는 새로운 방법 을 확실히 익힐 수 있 게 되 는 것 이 다 . 그러므로 그런 느낌 을 느껴 보 지 못한 사람 이 라면 수학 을 전혀 모르 는 사람 이 라 해야 할 것 이 다 . 　 도대체 왜 그런 느낌 을 못 가질까 ? 해답 을 보 아도 그 풀 이 과정 을 이해 하 지 못하 기 때문 이 다 . 그런 사람 이 라면 , 역시 앞 의 기본 개념 과 원리 나 혹은 기본 문제 유형 을 다시 공부 해야 한다 . 또 어떤 사람 은 그것 까지 다시 공부 했 는데 도 여전히 풀 이 과정 을 이해 하 지 못하 는 수 가 있 다 . 그런 사람 중 에 는 중고 등 학교 수학 의 가장 기본 이 되 는 방정식 , 부등식 , 함수 에 대한 이해 가 부족 한 경우 가 많 다 . 그렇 다면 역시 방정식 , 부등식 , 함수 에 대한 공부 를 다시 철저히 함 으로써 풀 이 과정 을 이해 할 수 있 도록 노력 해야 할 것 이 다 . ( 방정식 , 부등식 , 함수 도 이해 가 안 되 는 사람 은 그것 보다 더 기본 이 되 는 집합 과 인수 분해 부터 시작 해야 한다 . ) 한편 , 해답 을 보 면 이해 를 할 수 있 는 사람 중 에서 도 그 풀 이 과정 을 그저 눈 으로 만 보 면서 감탄 과 안타까움 을 느끼 는 것 으로 끝내 버리 는 사람 이 적 지 않 다 . 그래서 는 수학 실력 이 늘 지 않 는다 . 눈 을 볼 때 는 다 아 는 것 같 은데 , 나중 에 같 은 문제 를 또 보 게 되 면 여전히 풀 지 못하 는 것 이 다 . 그렇 다면 어떡 게 해야 하나 ? 해답 을 볼 때 도 끝 까지 볼 것 이 아니 라 막혔 던 부분 을 푸 는 방법 만 보 고 나 서 , 다시 연습장 으로 돌아와 내 손 으로 써 가 며 다시 풀 기 시작 해야 한다 . 그러다가 또 막히 면 다시 해답 에서 그 부분 만 보 고 다시 와서 풀 고 , 그런 식 으로 해야 한다 . 그럼 으로써 어쨌든 그 풀이 의 전 과정 을 내 머리 와 내 손 을 사용 하 여 완성 해야 만 하 는 것 이 다 . 그런 후 에 는 다시 그 와 유사 한 문제 를 접해 이번 에 는 해답 을 보 지 않 고 순전히 내 힘 만 으로 풀 수 있 으면 , 이제 는 분명히 그 문제 를 풀 수 있 는 실력 을 갖 게 된 것 이 라고 확신 해도 좋 다 . 아 , 수학 공부 는 아무래도 만만 하 지 가 않 다 ! 지금 까지 수학 도사 들 이 권하 는 수학 공부 의 비결 을 4 단계 로 나누 어 살펴보 았 다 . 이제 는 마지막 으로 수학 공부 할 때 조심 해야 하 는 몇 가지 주 의 사항 을 전달 하 고 이 장 을 마치 고자 한다 . 앞 의 수학 공부 4 단계 에서 는 수학 에서 의 ' 이해 ' 와 ' 암기 ' 의 중요 성 에 대해서 는 충분히 강조 되 었 는데 , 수학 실력 의 3 요소 중 한 가지 가 상대 적 으로 소홀히 되 었 던 것 같 다 . 그것 이 바로 ' 계산력 ' 인데 , 수학 은 이해 및 암키와 함께 계산 능력 이 모두 중요 한 과목 인 것 이 다 . 사실 계산 은 수학 은 본질 적 인 부분 은 아니 다 . 그러나 , 아직 까지 우리 나라 에서 는 중 , 고등학교 수업 시간 에 는 물론 대학 입학 고사 인 ' 수학 능력 시험 ' 과 ' 대학 본고사 ' 에서 도 전자계산기 를 사용 할 수 없 게 되 어 있 다 . 그렇 기 때문 에 계산 실력 이 떨어지 는 사람 은 수학 의 원리 를 잘 이해 하 고 기본 공식 을 잘 외우 고 있 다 하 더라도 문제 를 푸 는 도중 에 계산 실수 를 하 거나 , 혹은 제대로 풀 더라도 시간 이 부족 하 여 좋 은 점수 를 받 지 못하 게 된다 . 그렇 다면 어쩔 수 없이 계산 능력 도 키워 놓 아야 한다 . 그러 려면 역시 자기 손 으로 문제 를 많이 풀 어 보 는 수 밖 에 없 다 . 그리고 , 수학 문제 를 풀 때 글씨 를 작 고 깨끗 하 게 쓰 면서 , 한 줄 한 줄 차분 하 게 써 내려가 는 것 이 중요 하 다 . 수학 은 논리 이 며 , 사고 의 순서 이 다 . 그러므로 다른 어떤 과목 보다 도 순서 를 어기 지 않 는 것 이 필요 하 다 . 그러 기 위해서 는 문제 푸 는 과정 에 있 어서 도 순서 에 따라 정성 스럽 게 써 내려가 는 버릇 을 길러야 한다 . 그러 고 보 면 , 결국 은 문제 도 많이 풀 고 , 한 문제 를 풀 더라도 정성 을 들이 는 것 이 수학 공부 를 잘 하 는 비결 이 라고 말 할 수 밖 에 없 다 . 　 수학 공부 를 잘 하 고자 하 는 사람 이 명심 해야 할 또 한 가지 는 수학 공부 는 한 문제 를 푸 는 중 의 순서 뿐 만 아니 라 진도 의 순서 도 철저히 따라야 한다는 점 이 다 . 수학 공부 의 순서 ( 즉 , 교과서 와 참고서 의 차례 ) 에 따라 자기 자신 이 하나 하나 철저히 익히 고 넘어가 야지 그 순서 를 어기 거나 , 혹은 대충 보 고 넘어가 서 는 절대로 안 된다 . 옆 의 친구 들 이 진도 를 빨리 나가 니까 나 도 조급 한 마음 에 대충 대충 하 고 넘어간다 거나 , 혹은 친구 들 이 수준 높 은 어려운 문제지 를 푸 니까 나 도 하 던 책 을 덮 고 그 책 을 사 서 쫓 아 푼다 던가 해서 는 , 실력 이 늘 기 는 커녕 오히려 떨어지 게 되 어 있 다 . 다른 어떤 과목 보다 도 수학 은 기초 실력 이 더욱 더 중요 하 다 . 국사 는 설사 고려 시대 를 제대로 공부 하 지 못했 다 하 더라도 조선 시대 를 공부 하 는 데 는 아무런 지장 이 없 는데 , 수학 에서 는 아래 학년 의 공부 를 제대로 못 했 으면 그 다음 학년 의 공부 를 해 낼 수 가 없 다 . 그만큼 수학 에서 는 공부 의 순서 와 기초 실력 이 중요 한 것 이 다 . 만약 여러분 이 수학 실력 을 높이 고 싶 다면 자신 의 수학 수준 을 정확히 파악 하 여 , 자신 이 진도 를 놓쳤 던 바로 그 부분 부터 공부 를 다시 시작 하 려고 하 는 사람 은 참고서 나 문제집 선정 에 도 주의 해야 한다 . 어떤 책 들 은 지나치 게 어렵 거나 배배 꼬인 문제 만 많이 선택 하 여 수록 하 였 는데 , 그런 책 들 은 좋 은 책 들 이 아니 라 오히려 나쁜 책 이 라고 보 아야 한다 . 왜냐하면 여러분 이 중고 등 학교 에서 수학 을 배우 는 것 은 수학 의 기본 적 개념 과 논리 적 구조 의 이해 를 통하 여 기초 적 인 수학 능력 과 논리 적 사고력 을 키우 기 위함 이 지 , 퀴즈 풀이 에서 나 필요 한 순간 적 인 재치 나 , 수학 올림피아드 에 나 적합 할 법 한 극도 의 창의 성 을 개발 하 기 위한 것 이 아니 기 때문 이 다 . 너무 어렵 거나 함정 이 숨 어 있 는 문제 들 만 자꾸 접하 다 보 면 웬만 한 학생 들 은 기 가 죽 어서 아예 수학 에 정 이 떨어져 버리 기 가 쉬우며 , 아무리 수학 의 기본 이 잘 되 어 있 는 학생 이 라 하 더라도 풀 다 보 면 매번 걸리 게 되 기 때문 에 자신감 만 잃 게 될 뿐 이 다 . 그런 문제 를 잘 푼다고 해서 대학 입시 에서 더 좋 은 점수 를 받 는 것 도 아니 다 . 그러 니 여러분 은 그런 책 은 필히 피하 도록 할 것 이 며 , 그 대신 수학 의 기본 을 반복 해서 묻 고 있 는 가정 정석 적 인 참고서 나 문제지 를 택하 여 계속 기본기 를 충실히 닦 는 것 이 좋 겠 다 . 설사 진도 가 좀 늦 었 다고 해도 너무 걱정 하 지 말 라 . 앞 에서 소개 한 수학 도사 의 말 처럼 수학 에서 는 기본 적 개념 과 원리 만 제대로 알 면 모든 문제 를 응용 하 여 풀 수 있 을 뿐 만 아니 라 , 실력 이 느 는 속도 도 시간 이 갈수록 빨라져서 생각 했 던 것 보다 는 짧 은 시간 안 에 자기 학년 의 수준 에 도달 하 게 될 것 이 다 . 그러 니 너무 불안 해 하 고 , 초조 해 하 지 말 라 . 다만 하루 라도 쉬 지 말 고 조금 씩 이라도 매일 하 라 ( 단 , 토요일 만 은 제외 ) . 수학 에 관해서 는 다음 과 같 은 속담 이 진리 이 다 . ' 늦 었 다고 생각 할 때 가 가장 빠른 때 다 . ' ' 아무리 바빠도 바늘 허리 매어 못쓴다 . ' ' 천리 길 도 한 걸음 부터 ' 마지막 으로 수학 공부 는 많 은 문제 를 대충 푸 는 것 보다 는 , 적 은 수 의 문제 라도 직접 자신 의 손 으로 정성 을 다 하 여 철저히 이해 하 면서 푸 는 것 이 더 중요 하 다는 것 - 물론 많 은 문제 를 철저히 이해 하 며 풀 수 만 있 다면 더 좋 겠 지 - 을 다시 한 번 강조 하 며 이 장 을 마친다 .