이탈리아 수학자 · 도박사 인 카르다노 , 주사위 놀이 의 경우 의 수 통해 확률 개념 도입 ⊙ 카지노 의 세계 에서 각각 의 사건 은 독립 적 , 이전 경험 의 실패 가 다음 게임 의 승리 를 보장 해 주 지 않 아 폴 세잔 , The card players ( 1890 ~ 1895 ) . 당신 에게 천 원 이 있 다 . 주사위 를 던져 승패 를 결정 하 여 이긴 사람 은 천 원 을 벌 고 , 진 사람 은 천 원 을 잃 게 된다면 당신 은 이 내기 에 참가 할 것 인가 ? 만약 금액 이 만 원 으로 올라간다면 어떨까 ? 망설이 는 사람 도 있 겠 지만 심리 적 저항 이 크 지 않 은 금액 이 라면 제법 많 은 사람 이 유희 를 위해 참여 할 것 이 다 . 좀 더 많 은 사람 의 참여 를 위해 멋진 숙소 , 화려 한 볼거리 , 짜릿 한 놀이 기구 등 을 갖춘 장소 로 옮겨 보 자 . 주사위 는 던져졌 다 고대 의 주사위 놀이 . 루비콘 강 을 건너 며 남긴 카이사르 의 이 한마디 를 통해 고대 로마 시절 부터 주사위 를 이용 한 도박 은 낯설 지 않 음 을 추론 할 수 있 다 . 실제로 유럽 사회 에서 주사위 놀이 는 몹시 흔하 게 이루 어 졌으며 , 중세 에 이를 즈음 에 는 남녀노소 , 신분 고하 를 막론 하 고 가장 즐겨 했 던 유희 중 하나 였 던 것 으로 추측 된다 . 이 를 뒷받침 할 증거 는 셀 수 없이 많 은데 유럽 곳곳 의 관청 에서 제시 한 갖가지 제도 들 이나 당시 의 주사위 놀이 를 표현 한 그림 들 , 그리고 오늘날 까지 남 아 있 는 몇 단어 들 이 그 중 하나 라고 볼 수 있 겠 다 . 일례 로 오늘날 컴퓨터 공학 에서 사용 하 는 몬테 카를로 알고리즘 은 카지노 시티 로 유명 한 모나코 의 ‘ 몬테 카를로 ’ 에서 유래 한 것 으로 무작위 값 을 활용 하 여 확률 적 으로 계산 하 는 알고리즘 을 의미 한다 . 독일 의 역사 학자 보르 스 트 ( O . Borst ) 는 “ 모든 탁자 위 에 주사위 가 굴러 다닌다 ” 라고 표현 하 였 는데 작 은 유희 로 말미암 은 서민 들 의 파산 을 막 기 위해 독일 및 오스트리아 등지 에서 는 돈 을 걸 지 않 고 하 는 주사위 놀이 또는 아주 적 은 돈 을 건 내 기 정도 만 을 허용 하 곤 했 다 . 그렇 다면 좀 더 위험 한 스릴 을 즐기 고 싶 은 사람 들 은 어디 로 향했 을까 . 공인 도박장 , 다름 아닌 카지노 이 다 . 이탈리아어 로 별궁 , 저택 을 뜻 하 는 카 자 ( Casa ) 에 어미 ino 를 붙인 단어 ‘ 카지노 ’ 를 통해 당시 도박 에 심취 했 던 귀족 들 의 모습 이 상상 되 지 않 는가 . 실제 르네상스 를 맞 아 더 큰 돈 을 건 도박 이 유럽 곳곳 에서 횡행 했 고 , 이 를 수학 적 으로 분석 하 려는 사람 들 이 나타나 기 시작 했 다 . 이탈리아 의 수학자 이 자 도박사 인 카르다노 ( G . Cardano ) 의 경우 주사위 놀이 를 할 때 불리 한 결과 가 나오 는 수 와 유리 한 결과 가 나오 는 경우 의 수 를 통하 여 확률 의 개념 을 도입 하 기 도 하 였 다 . 주사위 를 던지 는 두 사람 , 알폰소 10 세 ( 1283 ) . 이후 수십 년 동안 다른 학자 들 도 주사위 와 베 팅 이론 에 대해 연구 하 였 는데 , 프랑스 의 작가 공보 ( A . Gombaud ) 의 질문 으로 인해 이 는 더욱 활발 해졌 다 . 공보 의 질문 은 아래 와 같 다 . “ 주사위 하나 를 네 번 던졌 을 때 6 이 한 번 이상 나오 는 것 과 주사위 두 개 를 스물네 번 던졌 을 때 둘 이 동시 에 6 이 한 번 이상 나오 는 것 중 어느 쪽 이 더 유리 할까 ? ” 오늘날 의 우리 는 여사건 을 이용 한 간단 한 공식 을 통해 공보 의 질문 에 대해 답변 할 수 있 다 . 우선 주사위 하나 를 네 번 던졌 을 때 적어도 6 이 한 번 이상 나오 려면 전체 확률 인 1 에서 6 이 한 번 도 안 나오 는 경우 인 ( 5 / 6 ) 4 을 빼 서 구할 수 있 는데 , 54 = 25 × 25 = 625 이 고 64 = 36 × 36 = 1296 이 므로 여사건 의 확률 이 1 / 2 보다 적 어 ‘ 4 번 던지 면 1 번 이상 6 이 나올 수 있 다 ’ 에 돈 을 걸 경우 이길 가능 성 이 절반 을 약간 넘 는다는 사실 을 알 수 있 다 . 같 은 방식 으로 주사위 두 개 를 던져 동시 에 6 이 나오 는 확률 을 구하 는 방식 은 다음 과 같 다 . ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) … ( 6 , 6 ) 에 해당 하 는 총 36 가지 경우 중 오직 ( 6 , 6 ) 의 경우 만 이 이길 수 있 으므로 전체 확률 인 1 에서 여사건 인 ( 35 / 36 ) 24 을 소거 하 는데 , 이 경우 이길 가능 성 이 절반 에 미치 지 못하 므로 전자 가 유리 하 다는 사실 을 알 수 있 다 . 만약 , ( 35 / 36 ) 24 을 그대로 계산 하 기 어려울 경우 ( 5 / 6 ) 4 와 비교 하 기 위해 ( 35 / 36 ) 24 을 {( 35 / 36 ) 6 } 4 의 형태 로 변환 하 면 ( 35 / 36 ) 6 은 5 / 6 에 55 × 76 / 611 배 한 것 이 므로 약 1 . 013 이 되 고 네제곱 하 면 후자 의 여사건 확률 이 약 1 . 055 배 높 아 같 은 결론 을 얻 을 수 있 다 . 세계 에서 가장 비싼 그림 카지노 의 발달 과 더불 어 도박 은 다양 한 형태 로 이루 어 졌 다 . 무려 2 억 5000 만 달러 에 거래 되 어 몇 년 전 까지 세계 에서 가장 비싼 그림 이 라는 타이틀 을 가지 고 있 었 던 세잔 ( P . Ce ' zanne ) 의 그림 , 〈 카드 놀이 를 하 는 사람 들 〉 에 나타난 두 남자 의 모습 에서 흐르 는 긴장감 은 오늘날 의 우리 에게 까지 전해 지 고 있 다 . 그 들 이 무슨 게임 을 하 는지 정확히 알 수 는 없 으나 2 인 맞대결 의 확률 게임 이 라면 처음 질문 했 던 것 과 같이 승리 의 가능 성 이 1 / 2 에 준하 는 것 만 은 틀림없 다 . 그렇 다면 또 다시 하나 의 궁금증 을 가질 수 있 다 . 만약 이 게임 에서 왼쪽 플레이어 가 이겼 다면 다음 번 게임 에서 승리 할 가능 성 이 높 은 사람 은 ? 질문 을 받 은 사람 은 확률 과 실력 의 가운데 에 서 서 고민 에 빠지 게 된다 . 많 은 사람 이 ‘ 오른쪽 ’ 이라고 대답 할 가능 성 이 높 다 . 평균값 에 수렴 하 기 위해서 라는 이유 에서 이 다 . 마치 동전 을 한 번 던졌 을 때 앞면 이 나왔 다면 다음 번 에 는 뒷면 이 나올 가능 성 이 높 다고 기대 하 는 것 과 비슷 한 오류 라고 볼 수 있 겠 다 . 흔히 ‘ 도박 꾼 의 오류 ( Gamblers ’ fallacy ) ’ 라고 표현 하 는 이러 한 착각 은 ‘ 평균 의 법칙 ’ 에 대해 잘못 된 이해 에서 비롯 된다 . 간단히 생각 해 보 자 . 동전 을 무한 에 가깝 도록 던진다면 혹은 두 플레이어 가 셀 수 없 을 만큼 많 은 경기 를 했 다면 승패 의 확률 은 반반 에 수렴 할 것 이 분명 하 다 . 하지만 각 사건 은 분명 독립 적 으로 시행 되 고 있 기 때문 에 이전 의 결과 와 무관 하 게 새로운 1 / 2 의 확률 을 맞이 하 게 된 것 뿐 이 다 . 즉 , 이전 사건 의 결과 에 대한 보상 이 가까운 미래 에 곧바로 시행 되 는 것 이 아니 므로 과거 결과 에 기초 하 여 앞 으로 의 결과 를 예측 한다면 이 는 손실 을 유발 하 는 지름길 이 라고 할 수 있 겠 다 . 마팅게일 , 룰렛 을 잡 을 수 있 을까 ? 마팅게일 은 완벽 한 전략 일까 ? 18 세기 프랑스 , 베르사유 에서 는 매일 저녁 도박판 이 열리 곤 했 다 . 파리 의 카지노 에 룰렛 바퀴 가 처음 등장 한 것 도 이 무렵 이 었 다 . 두 개 의 주사위 대신 1 에서 36 까지 의 숫자 가 적혀 있 고 각 숫자 는 흑 과 백 ( 혹은 적 ) 의 색깔 을 가지 고 있 다 . 단 , 주사위 와 는 다르 게 초록색 0 의 칸 이 포함 되 어 있 어 확률 이 1 / 2 보다 약간 낮 아 진 룰렛 이 빙글빙글 회전 한다 . 게임 의 규칙 은 아래 와 같 다 . ‘ 딜러 가 회전 기구 에 떨어뜨린 쇠 구슬 이 어느 색깔 칸 에 가 서 멈출까 ? ’ 를 놓 고 많 은 사람 이 원 하 는 색 의 칸 에 돈 을 베 팅 한다 . 단 , 초록색 0 은 선택 할 수 없 으며 흑 과 백 ( 혹은 적 ) 색 에 거 는 인원 은 동일 해야 한다 . ( 만약 쇠 구슬 이 0 에서 멈출 경우 게임 은 무효 로 처리 된다 . ) 흑색 칸 에서 쇠 구슬 이 멈추 었 다고 가정 해 보 자 . 이 경우 흑색 칸 에 베 팅 한 사람 들 은 백색 칸 에 베 팅 한 사람 들 이 걸 었 던 돈 을 분배 하 여 두 배 의 돈 을 나눠 갖 게 된다 많 은 사람 은 이 게임 의 필승 법 이 다음 과 같 다고 주장 했 다 . 게임 에서 돈 을 벌 확률 과 잃 을 확률 이 같 고 , 이겼 을 때 버 는 금액 과 질 때 잃 는 금액 이 같 으므로 , 만약 돈 을 잃 는다면 그 다음 에 두 배 의 돈 을 걸 어 게임 에 참가 하 는 것 이 다 . 이 를 마팅게일 ( martingale ) 이 라고 한다 . 과연 마팅게일 은 완벽 한 전략 이 었 을까 ? 간단히 생각 해 보 자 . 첫 게임 에서 1 원 을 잃 을 경우 다음 게임 에서 2 원 을 걸어서 이긴다면 1 원 을 벌 게 되 고 진다면 다시 4 원 을 베 팅 한다 . 이때 이긴다면 3 원 을 투자 해서 4 원 을 벌 었 으니 1 원 의 이익 을 얻 게 된다 . 만약 또 진다면 다음 차례 에 는 8 원 을 베 팅 할 경우 1 원 의 이익 을 얻 을 수 있 다 . 수학 적 으로 완벽 한 접근 이 다 . 20 + 21 + 22 +…+ 2 n - 1 이 므로 마지막 차례 에 2 n 을 베 팅 하 여 이길 때 까지 한다면 무조건 1 원 을 얻 는 전략 이 기 때문 이 다 . 하지만 이러 한 완벽 한 전략 에 도 불구 하 고 수많 은 사람 은 카지노 에서 파산 을 경험 했 다 . 이 때문 인지 프랑스 의 작가 뒤마 ( A . Dumas ) 는 “ 마팅게일 은 영혼 만큼 이나 파악 하 기 어렵 다 ” 고 이야기 했으며 그 의 소설 에서 는 도박 때문 에 고생 하 는 주인공 을 심심 치 않 게 찾아볼 수 있 다 . 그렇 다면 미처 발견 하 지 못했 던 마팅게일 의 함정 은 무엇 이 었 을까 ? 바로 재화 의 유한 성 이 다 . 앞서 언급 한 것 처럼 카지노 의 세계 에서 각각 의 사건 은 독립 적 인 만큼 이전 경험 의 실패 가 다음 게임 의 승리 를 보장 해 줄 수 는 없 다 . 그렇 다면 거듭 해서 두 배 씩 베 팅 할 수 있 을 정도 의 충분 한 재화 가 필요 하 다 . 하지만 고작 10 번 째 도전 만 에 1024 배 로 뛰 어 버린 베 팅 금액 을 감당 할 수 있 는 재력가 가 그 시대 에 과연 얼마나 많이 있 었 을까 . 설령 1 원 의 수익 을 얻 는 데 성공 하 였 더라도 어마어마 한 투자 를 통해 1 원 의 수익 을 얻 는 데 만족 하 고 잇따른 도박 의 유혹 을 이겨 내 는 데 성공 할 사람 은 또 얼마나 있 었 을까 . 행운 은 어디 에 ? 이 쯤 되 면 몇 가지 의문 이 떠오를 수 있 다 . 1 / 2 이 라는 제법 높 은 가능 성 에 도 이런 부정 적 인 예측 이 있 다면 오늘날 의 갖가지 복권 은 무슨 의미 가 있 을까 . 혹은 수많 은 학자 가 남긴 연구 를 이용 하 여 손실 이 아닌 일확천금 의 꿈 을 이룰 수 있 을까 등 과 관련 된 것 들 이 바로 그것 이 다 . 미국 의 물리학자 파인만 ( R . Feynman ) 의 자전 적 소설 《 Surely You ’ re Joking , Mr . Feynman ! 》 에서 소개 된 일화 를 통해 약간 의 해답 을 찾 을 수 있 겠 다 . 당시 라스베이거스 를 방문 하 며 베 팅 게임 의 수익 률 에 대한 여러 가지 기댓값 을 연구 했 던 파인 만 은 예상 과 달리 자꾸 만 돈 을 잃 게 되 자 여러 사람 과 만나 대화 를 하 였 다고 한다 . 프로 겜블러 닉 역시 그 중 하나 였 다 . 파인만 은 그 에게 ‘ 어떻 게 도박 으로 꾸준히 수익 을 얻 을 수 있 는지 ’ 를 물 었 고 닉 은 아래 와 같이 답했 다 . “ 저 는 게임 의 확률 이 아닌 게임 에 참여 하 는 사람 들 을 관찰 한 후 게임 에 참가 합니다 . 행운 의 숫자 를 믿 거나 결과 를 섣불리 예측 하 는 사람 들 말 입니다 . ” 즉 , 독립 시행 으로 인해 예측 이 불 가능 한 확률 이 아닌 , 확률 을 오해 한 사람 들 을 관찰 하 여 승리 의 가능 성 을 높이 는 일종 의 새로운 전략 을 제시 한 것 이 다 . 이 처럼 베 팅 은 또 다른 아이디어 와 결합 할 때 우연 한 당첨 보다 더 거대 한 행운 을 가져다주 곤 한다 . 몬테카를로 의 룰렛 에서 영감 을 얻 어 각종 천문학 적 업적 을 남긴 푸 엥 카레 의 예시 나 스크래치 카드 의 분배 알고리즘 을 연구 하 다 나치 의 로렌츠 암호 를 해독 한 터트 ( W . T . Tutte ) 등 은 그 대표 적 인 예 라고 할 수 있 겠 다 . 그 들 이 예외 적 인 천재 였 기 때문 이 라고 반박 하 는 사람 들 에게 는 영국 의 극작가 조지 버나드 쇼 ( G . B . Shaw ) 의 에세이 한 대목 을 소개 하 려 한다 . 다음 은 그 의 책 《 The Vice of Gambling and the Virtue of Insurance 》( 1944 ) 에 실린 하나 의 에피소드 이 다 . 선장 A 와 승객 B 는 아래 와 같 은 대화 를 나눈다 . 선장 A : 바다 를 건너 려거든 내 배 에 타 시 오 . 당신 이 내 배 를 타 게 된다면 나 는 당신 과 당신 의 짐 이 모두 안 전하 게 바다 를 건널 수 있 다는 데 큰 돈 을 걸 겠 소 . 승객 B : 내 가 그 제의 를 받아들인다면 나 는 바다 를 무사히 건너 더라도 거지 가 되 거나 혹은 바다 를 건너 지 못해 죽 게 되 는 것 아니 오 ? 대체 이 내기 가 나 에게 무엇 이 유리 하 단 말 이 오 ? 선장 A : 하지만 이 내기 는 나 에게 도 결코 유리 한 것 이 아니 라오 . 만약 당신 이 무사히 바다 를 건너 지 못한다면 나 역시 마찬가지 일 것 이 기 때문 이 오 . 그렇 다면 베 팅 의 규모 를 바꾸 어 하 는 건 어떻 소 ? 만약 당신 이 무사히 도착 하 지 못할 경우 나 는 당신 이 베 팅 한 금액 의 10 배 에 달하 는 금액 을 당신 의 가족 에게 돌려주 도록 하 겠 소 . 얼핏 평범 해 보이 는 선장 은 내기 를 좋아하 는 승객 을 파악 하 여 오늘날 의 ‘ 보험 ’ 이 라는 새로운 수학 적 발견 을 한 것 임 에 분명 하 다 . 선장 과 같 은 시선 으로 다시 한 번 주변 을 바라보 자 . 또 다른 행운 의 여신 이 복권 의 1 등 당첨 가능 성 보다 더 높 은 확률 로 당신 에게 손짓 을 하 고 있 을지 모르 니 . ⊙ 월간조선 공유 하 기 글 요소