1 . subitization / subitizing “ 심리학 의 세계 에서 ‘ subitization ’ 이 라 불리 는 이 능력 의 배경 에 있 는 메커니즘 은 아직 완전히 해명 되 지 않 고 있 지만 최근 의 인지 신경 과학 연구 에 따르 면 세 개 이하 의 물건 개수 를 파악 할 때 는 그 이상 의 개수 를 파악 할 때 와 는 다른 고유 한 메커니즘 이 작동 하 고 있 는 듯 하 다 . ” ( 23 - 24 쪽 ) - ‘ 인간 이 눈 으로 사물 의 개수 를 인식 할 수 있 는 능력 ’ 을 의미 하 는 ‘ subitizing ’ 에 해당 하 는 한국어 는 아직 확정 되 지 않 은 것 으로 보인다 . ‘ 직산 ’ 이라고 번역 하 기 도 하 고 , ‘ 즉지 하 기 ’ 라고 번역 하 기 도 한다 . ‘ 직산 ’ 에서 ‘ 산 ’ 이 계산 을 의미 하 므로 , subitizing 의 의미 를 잘 살린 번 역어 로 보 기 어렵 다 . ‘ 즉지 하 기 ’ 는 즉각 적 으로 지각 하 기 를 의미 하 는 ‘ 조어 ’ 이 다 . ( 박교식 , 2008 ) - 메 닝 거 는 인도 - 유럽 어 족 의 많 은 수사 열 에서 < 하나 >, < 둘 >, < 셋 >, < 넷 > 까지 만 형용사 처럼 사용 한다는 것 에 주목 했 다 . 그 는 < 하나 > 에서 < 넷 > 까지 는 형용사 이 었 지만 , < 다섯 > 이후 의 수사 는 그렇 지 않 았 다는 것 은 수사 열 이 한 번 에 만들 어 지 지 않 았 다는 것 을 , 특히 이 처음 네 개 의 수사 가 먼저 만들 어 졌 다는 것 을 의미 한다고 보 았 다 . 그 는 < 하나 >, < 둘 >, < 셋 >, < 넷 > 을 형용사 로 사용 한 것 에 대해 두 가지 이유 를 들 고 있 다 . 그 가 제시 한 두 가지 이유 중 에서 인간 이 네 개 보다 많 은 사물 의 개수 , 심지어 는 세 개 보다 많 은 사물 의 개수 를 눈 으로 는 즉각 적 으로 인식 하 지 못한다는 것 에 주목 해 보 자 . 인간 이 눈 으로 사물 의 개수 를 인식 할 수 있 는 능력 , 즉 subitizing 의 한계 는 사실 상 네 개 다 . ( 박교식 , 앞 의 글 ) 2 . 수 를 읽 는 것 숫자 / 한국어 / 영어 1 / 하나 / one 2 / 둘 / two 3 / 셋 / three 4 / 넷 / four 5 / 다섯 / five 6 / 여섯 / six 7 / 일곱 / seven 8 / 여덟 / eight 9 / 아홉 / nine 10 / 열 / ten 11 / 열 하나 / eleven 12 / 열 둘 / twelve 13 / 열 셋 / thirteen 14 / 열 넷 / fourteen 15 / 열 다섯 / fifteen 16 / 열 여섯 / sixteen 17 / 열 일곱 / seventeen 18 / 열 여덟 / eighteen 19 / 열 아홉 / nineteen 20 / 스물 / twenty - Shaffer ( 2014 , 박영 스토리 ) 에 따르 면 , 모든 언어 에서 1 ~ 10 까지 의 숫자 는 단순 한 암기 에 의해 학습 되 어야 한다 . 그렇지만 그 이후 의 숫자 들 의 경우 는 언어 에 따라 차이 가 있 다 . 그리고 이러 한 차이 는 왜 영어 를 모국어 로 사용 하 는 아동 들 보다 한국 ( 또는 중국 ) 의 아이 들 이 20 을 먼저 셀 수 있 는지 를 설명 한다 . 3 . 도구 의 생태 계 “ 36 × 73 을 계산 하 는 장면 을 떠올려 보 기 바란다 . 두 자릿수 끼리 의 곱셈 인데 필산 순서 만 알 고 있 으면 이 과정 에서 필요 한 것 은 한 자릿수 끼리 의 곱셈 과 덧셈 뿐 이 다 . ( … ) 필산 절차 처럼 구체 적 인 문제 를 푸 는 데 필요 한 계통 적 절차 를 가리켜 ‘ 알고리즘 ’ 이 라 부른다 . 필산 의 알고리즘 과 인간 뇌 의 훌륭 한 연계 결과 로서 , 지금 은 누구 나 쉽 게 두 자릿수 가 넘 는 계산 을 할 수 있 다 . 이 알고리즘 자체 도 인도 - 아라비아 숫자 가 있 기 에 제대로 기능 하 는 것 이 다 . ( … ) 숫자 라는 도구 주위 에 새로운 도구 와 기술 이 나오 고 , 그것 이 다듬 어 지 는 과정 을 거쳐서 또 다른 도구 와 기술 이 만들 어 진다 . 이윽고 수학 적 도구 와 기술 이 서로 협력 하 는 풍부 한 생태 계 가 만들 어 지 는 것 이 다 . ” ( 31 쪽 ) 비고츠키 는 어린 아동 이 새로운 원리 를 학습 하 고 발견 하 는 데 있 어서 능동 적 으로 참여 하 는 호기심 에 가득찬 탐색 자 라는 피아제 의 입장 에 는 동의 하 였으나 피아제 와 는 달리 아동 에게 있 어서 정말로 중요 한 발견 의 상당수 는 스스로 의 탐색 에 의해 이루어지 는 것 이 아니 라 , 언어 적 가르침 을 전수 하 는 능숙 한 교사 와 , 교사 의 가르침 을 내면 화 하 여 자신 의 수행 을 조절 하 기 위해 사용 하 는 풋내기 제자 간 의 협동 적 대화 의 맥락 에서 발생 하 는 것 이 라 주장 하 였 다 . 비고츠키 에 따르 면 인지 발달 은 각 문화 마다 다양 하 게 나타나 며 어른 은 아동 이 내재 화 하 는 지적 적응 의 문화 적 도구 를 전수 함 으로써 아동 을 변화 시키 는 아주 중요 한 존재 이 다 . ( 구구단 을 외우 는 것 은 하나 의 문화 다 ) - 36 × 73 의 계산 에 는 계산 용 숫자 의 개발 과 필산 의 알고리즘 , 그리고 구구단 이 라는 도구 들 로 이루어진다 . 4 . 그리스 의 수학 “ 기원전 5 세기 무렵 그리스 를 무대 로 , 그때 까지 와 는 이질 적 인 수학 문화 가 꽃 을 피운다 . 계산 으로 문제 를 해결 하 기 보다 ‘ 증명 ’ 으로 결과 의 정당 성 을 보증 하 는 절차 에 중점 을 둔 수학 이 나타난 것 이 다 . 그리스 수학자 들 은 ‘ 어떻 게 ’ 대답 을 이끌 어 낼 것 인가 하 는 기술 技術 이상 으로 ‘ 왜 ’ 그 대답 이 옳 은 지와 같 은 이론 에 매달렸 다 . ” ( 33 쪽 ) - 논 증기 하 는 특정 한 시기 ( 기원전 600 년 ~ 200 년 경 ) 에 특정 한 지역 ( 그리스 ) 에서 특정 한 사람 들 ( 탈레스 에서 시작 하 여 아르키메데스 에 이르 는 ) 에 의해 태어나 고 자라났 다 . 절대 적 진리 라 여겨 지 는 수학 도 사실 은 어떤 지역 의 언어 와 문화 와 역사 의 산물 이 다 . 고대 그리스인 들 은 그 들 의 필요 에 따라 논증 기하 를 만들 어 냈 다 . 직접 민주주의 가 꽃 을 피운 그리스 에서 ‘ 논증 ’ 은 매우 중요 했 다 . 소크라테스 의 문답법 / 산파술 은 유클리드 의 < 원론 > 이 탄생 할 수 있 었 던 밑바탕 이 되 었 다 . 소크라테스 가 산파술 을 통해 논쟁 의 상대방 에게 접근 하 는 자세 는 자신 이 상대 보다 더 모른다는 것 을 전제 하 고 , 기본 적 인 것 부터 검토 해 나아가 는 것 이 다 . 소크라테스 는 산파술 을 통해 어떤 새로운 개념 을 제시 하 고자 한 것 이 아니 라 기존 에 있 는 개념 을 명료 하 게 만드 는 것 에 주목 했 다 . - 증명 이 란 가정 으로부터 결론 이 참 임 을 이끌 어 내 는 것 을 말 한다 . 그런데 가정 이 참 인지 는 어떻게 알 수 있 을까 ? 다시 가정 이 참 임 을 보이 기 위해서 는 거꾸로 거슬러 올라가 야 하 는데 , 결국 에 는 더 이상 증명 할 수 없 는 명백 해 보이 는 가정 에 도달 하 게 된다 . 이 와 같이 의심 할 여지 없이 모두 가 합의 할 수 있 는 절대 적 인 가정 을 수학 에서 는 공리 公理 , axiom 라고 한다 . 유클리드 의 〈 원론 〉 에 는 다음 과 같이 다섯 가지 의 공리 가 나온다 . 공리 1 . 모든 점 에서 다른 점 으로 직선 을 그을 수 있 다 . 공리 2 . 유한 한 직선 이 있 으면 , 그것 을 얼마 든지 길 게 늘일 수 있 다 . 공리 3 . 임의 의 점 에서 반지름 을 갖 는 원 을 그릴 수 있 다 . 공리 4 . 직각 은 모두 서로 같 다 . 공리 5 . 평행선 은 영원히 만나 지 않 는다 . 어찌 보 면 너무나 도 당연 한 이야기 인데 , 이 처럼 누구 나 당연 하 다고 받아들일 수 있 는 사실 로부터 논증 을 시작 하 고 있 다는 데 에서 바로 그리스인 들 의 , 그리고 유클리드 의 위대 함 이 드러난다 . 유클리드 의 〈 원론 〉 이 수학 의 역사 에서 아직 까지 도 중요 한 위치 를 차지 하 고 있 는 까닭 은 그것 이 당시 그리스 의 수학 적 지식 을 집대성 했 을 뿐 만 아니 라 , 그 방식 이 후대 의 수학 , 더 나아가 서 는 문명 의 발전 과정 속 에 도 깊 은 영향 을 끼쳤 기 때문 이 다 . “ 수학 을 사용 해서 뭔가 에 도움 이 되 려고 하 는 의지 는 배경 으로 후퇴 하 고 , 눈 을 크 게 뜨 고 ‘ 수 ’ 와 ‘ 도형 ’ 이 만들 어 내 는 세계 를 ‘ 잘 보 자 ’ 는 조용 한 정열 이 그리스 수학 을 관통 한다 . 그러 고 보 면 ‘ 정리 theorem ’ 라는 말 도 원래 는 ’ 잘 보 다 ‘ 라는 의미 의 그리스어 ’ theorein ’ 에서 유래 했 다 . ” ( 37 쪽 ) ‘ 도구 ’ 로서 의 수학 이 아닌 ‘ 삶 ’ 으로서 의 수학 이란 ‘ 수학 ’ 이 라는 렌즈 를 통해 세상 을 들여다보 는 것 일지 도 모른다 . 5 . ‘ 수학 하 는 신체 ’ 의 의미 “ 물리 세계 를 진화 해 온 생명 현상 으로서 사람 또한 예외 는 아니 다 . 자칫 하 면 인간 사고 의 리소스 는 두개골 안 의 뇌 이 고 , 신체 의 바깥 은 노이즈 요 환경 이 라고 생각 하 기 쉽 지만 간단 한 전자 칩 조차 그 문제 해결 의 리소스 는 아주 쉽 게 환경 으로 새 어 나가 고 만 다 . 그렇 다고 한다면 40 억 년 의 진화 과정 에서 살아남 은 우리 의 ‘ 문제 해결 을 위한 리소스 ’ 는 훨씬 더 신체 와 환경 여기저기 에 편재 해 있 을 것 이 다 . ” ( 42 쪽 ) 지난 세기 말 부터 인지 과학 분야 에서 마음 에 대한 전통 적 접근 이 갖 는 문제 를 극복 하 고 인지 , 정서 , 행동 을 새롭 게 이해 할 수 있 는 연구 프로그램 이 활발히 논의 되 고 있 다 . 그 연구 프로그램 은 현재 여러 가지 이름 으로 불리 고 있 는데 그 중 가장 널리 사용 되 는 이름 은 체화 된 마음 이론 ( embodiedmind theory ) 이 다 . 곧 알 게 되 듯이 , ‘ 체화 된 마음 이론 ’ 이 라는 명칭 아래 에 포섭 되 는 여러 이론 들 은 세부 적 으로 상충 되 는 면 이 적 지 않 지만 그것 들 은 공통 적 으로 전통 적 접근 의 핵심 주장 , 즉 인지 또는 마음 이 뇌 만 의 작용 이라든가 뇌 안 에 있 다는 점 을 거부 한다 . 그 새로운 이론 들 은 체화 된 인지 ( embodied cognition ) , 확장 된 인지 ( extended cognition ) , 착근 된 인지 ( embedded cognition ) , 행위 적 인지 ( enactive cognition ) , 분산 된 인지 ( distributed cognition ) , 상황 화 된 인지 ( situated cognition ) 에 대한 이론 으로 불리 고 있 다 . ( 이영의 , 2012 ) 인간 의 인지 적 행동 은 연필 , 종이 로부터 도표 , 책 , 계산기 에 이르 기 까지 다양 한 도구 들 과 수단 을 사용 하 는 특징 이 있 다 . 우리 는 이런 외부 요소 들 의 도움 을 받 아 그것 을 사용 하 지 않 을 경우 보다 더 효율 적 으로 주어진 인지 적 과제 를 수행 하 며 , 그 점 에서 외부 환경 은 인지 과정 의 부분 이 될 수 있 다는 것 이 다 . ( 이영의 , 앞 의 글 ) “ 다랑어 가 주위 의 물 흐름 을 잘 이용 하 면서 정밀 한 영법 을 구현 하 는 것 과 마찬가지 로 우리 인간 도 주위 환경 의 힘 을 잘 활용 하 면서 사고 하 고 있 는 셈 이 다 . 주위 환경 을 새롭 게 만듦으로써 거기 에 일종 의 지능 과 기능 을 실현 시키 고 , 이렇게 해서 만들 어 진 것 의 전형 이 바로 도구 다 . 도구 는 지능 과 기능 을 갖춘 환경 으로서 신체 의 능력 을 보완 하 고 확장 한다 . ” ( 45 쪽 ) “ 앞 에서 살펴본 것 은 ‘ 흩어져 있 는 수량 을 엄밀 하 게 파악 하 는 ( 또는 조작 하 는 ) ’ 사람 이 본래 잘 못 하 는 과제 를 수행 하 기 위해 신체 와 사물 , 나아가 외부 미디어 를 사용 한 기호 체계 를 도구 로 이용 하 면서 인지 능력 이 확장 되 어 가 는 모습 이 었 다 . 사람 은 숫자 를 비롯 해서 다양 한 도구 를 환경 속 에서 만들 어 내 고 이 를 조작 함 으로써 능수능란 하 게 수학 적 사고 의 바다 를 떠돌아다닌다 . ( 45 쪽 ) 필산 을 익히 는 ‘ 행위 ’ 가 ‘ 신체 화 ’ 되 면 ‘ 사고 ’ 로 간주 된다 .