조선 시대 경선징 의 < 묵사 집 산법 > 지권 인 잉구 총 문 은 다음 과 같 은 칠언 절구 의 한 시 로 시작 한다 . 3 인 이 70 세 까지 함께 가 기 는 드문데 三人同行七十稀 5 마리 의 봉새 가 21 일 전 에 깃들인 다 . 五鳳棲前二十一 7 월 의 가을 바람 이 십 오 [ 15 ] 야 에 일 고 七月秋風三五夜 동지 에서 한식 까지 는 105 일 이 러라 . 冬至 寒食 百五除 특이 한 점 은 시 에 숫자 가 많이 등장 한다는 사실 이 다 . 무엇 을 위한 시 일까 ? 구결 : 수학 지식 을 시 로 나타낸 것 동아시아 의 산학 책 을 보 면 위 와 같 은 한 시 형태 의 문장 이 종종 나타난다 . 이 는 수학 지식 을 시 의 형식 으로 나타낸 것 으로 흔히 구결 ( 口訣 ) 이 라 말 하 는 것 이 다 . 대표 적 인 것 으로 누구 나 알 고 있 는 곱셈 구구단 이 있 다 . 나눗셈 구구단 인 구귀제법 ( 九歸除法 ) 이 란 구결 도 있 다 . 실생활 에서 빈번히 나타나 는 단위 환산 을 위한 구결 도 있 다 . 이를테면 무게 의 단위 로 1 근 은 16 냥 인데 , 1 냥 , 2 냥 , ⋯, 15 냥 을 근 으로 환산 하 기 위한 구결 로 근하 유양 법 ( 斤 下 留 兩 法 ) 이 있 다 . 이렇게 수학 내용 을 구결 로 만든 이유 는 , 수학 지식 을 손쉽 게 배우 고 암기 해서 널리 보급 하 기 위한 것 으로 보인다 . 한 시 의 의미 위 의 시 바로 밑 에 다음 과 같 은 문제 가 있 다 . 지금 물건 이 있 는데 , 그 개수 는 알 지 못한다 . 다만 , 3 개 씩 세 면 1 개 남 고 5 개 씩 세 면 2 개 가 남 으며 7 개 씩 세 면 3 개 가 남 는다고 한다 . 원래 의 개수 는 얼마 인가 ? 위 의 시 에서 처음 세 구 는 차례 로 3 , 5 , 7 로 시작 하 는데 , 이 문제 에서 3 개 씩 , 5 개 씩 , 7 개 씩 묶 어서 세 는 것 과 관계 가 있 다 . 그리고 시 에서 3 , 4 , 7 과 함께 나타나 는 수 70 , 21 , 15 및 넷째 줄 에 나타나 는 105 에 는 다음 과 같 은 의미 가 있 다 . 70 : 5 와 7 의 공배수 중 에서 3 으로 나누 면 나머지 가 1 인 가장 작 은 수 21 : 3 과 7 의 공배수 중 에서 5 로 나누 면 나머지 가 1 인 가장 작 은 수 15 : 3 과 5 의 공배수 중 에서 7 로 나누 면 나머지 가 1 인 가장 작 은 수 105 : 3 , 5 , 7 의 최소 공배수 시 에 있 는 이런 정보 를 이용 하 면 , 다음 과 같이 위 문제 를 만족 시키 는 값 을 얻 을 수 있 다 . 이것 이 문제 의 답 이 될 수 있 다 . 그런데 언급 하 지 않 아도 통상 조건 을 만족 시키 는 가장 작 은 값 을 찾 는 것 이 관례 였 다 . 그래서 157 에서 세 수 3 , 5 , 7 의 최소 공배수 105 를 필요 한 만큼 몇 번 빼 서 답 을 얻 는다 . 다음 이 이 문제 의 답 이 다 . 손자 의 문제 위 의 문제 의 원형 은 중국 의 수학 고전 으로 ‘ 산경십서 ’( 算經 十書 ) 의 하나 인 < 손자 산경 ( 孫子 算經 , 3 ~ 4 세기 ) > 하권 에 있 는 다음 문제 이 다 . 물건 이 몇 개 있 는지 총수 는 알 수 없 다 . 다만 , 3 개 씩 세 면 2 개 가 남 고 5 개 씩 세 면 3 개 가 남 고 7 개 씩 세 면 2 개 가 남 는다고 한다 . 총수 는 얼마 인가 ? 이 를 ‘ 손자 의 문제 ’ 라 부르 는데 , < 묵사 집 산법 > 의 해법 에 따라 이 의 답 을 구하 면 다음 과 같 다 . 손자 의 문제 는 일반 인 사이 에서 도 널리 회자 됐 는데 , 진나라 왕 의 비밀 병사 점 호법 ( 秦 王 暗點 兵 ) , 한 신 장군 의 병사 점 호법 ( 韓 信 點 兵 ) , 반복 사격술 ( 覆 射 之 術 ) , 귀 곡산 ( 鬼谷 算 ) 등 여러 가지 이름 으로 불렸 다 . 손자 의 문제 는 그 자체 로 매우 흥미 롭 다 . 그런데 고대 중국 에서 역법 ( 曆法 ) 계산 과 깊 은 관련 도 있 었 다 . 당시 의 천문학자 들 은 장기간 에 걸친 천문관 측 기록 에 의거 해서 해 와 달 및 ( 당시 에 알려진 ) 다섯 행성 의 운동 주기 를 추산 하 고 , 이 들 천체 의 주기 운동 의 기점 , 즉 상원 ( 上元 ) 을 정할 필요 가 있 었 다 . 위 와 같 은 문제 의 일반 적 인 해법 이 바로 그 유명 한 ‘ 중국인 의 나머지 정리 ’ 인데 , 이런 천문 계산 에 필수 적 인 지식 이 었 다 . 중국인 의 나머지 정리 손자 의 문제 와 해법 은 서양 수학자 들 의 관심 도 끌 게 되 었 고 , 해법 의 원리 는 ‘ 중국인 의 나머지 정리 ’ 라는 이름 을 얻 게 되 었 다 . 위대 한 수학자 오일러 ( Leonhard Euler , 1707 ∼ 1783 ) 는 1734 년 에 러시아 의 한 잡지 에 중국인 의 나머지 정리 를 다음 과 같이 서술 했 다 . 이 는 앞 에서 설명 한 손자 의 해법 과 정확 하 게 일치 하 는데 , 구체 적 인 수 대신 에 문자 를 사용 해서 일반 화 했 고 , 서로 소인 수 의 개수 를 3 에서 5 로 증가 시켰 을 뿐 이 다 . 여기 서 서로 소인 수 의 개수 는 5 뿐 만 아니 라 임의 의 수 로 확장 시킬 수 있 다 . 중국인 의 나머지 정리 에서 가장 어려운 부분 은 서로 소인 수 중 에서 한 개 를 제외 한 나머지 수 들 의 곱 ( 즉 최소 공배수 ) 으로 나누 어 떨어지 지만 제외 한 수 로 나누 면 나머지 가 1 인 수 를 찾 는 과정 이 다 . 예 를 들 면 , 오일러 의 서술 에서 bcde 로 나누 어 떨어지 지만 a 로 나누 면 나머지 가 1 인 수 A 를 찾 는 과정 이 다 . 손자 의 문제 에서 와 같이 서로 소 인 수 가 세 개 인 경우 는 단순히 시행착오 를 통해서 도 이런 수 를 찾 을 수 있 지만 , 그렇 지 않 은 경우 에 는 결코 쉽 게 얻 을 수 없 다 . 바로 이런 문제 를 해결 하 는 알고리즘 인 대연 구 일 술 ( 大 衍 求 一術 ) 이 진 구소 ( 秦 九韶 ) 의 < 수서 구장 ( 數 書 九章 ) > ( 1257 ) 에 나타난다 . 이 는 현대 수학 에 기여 한 산학 의 또 다른 공헌 이 다 . 중국인 의 나머지 정리 의 현대 적 표기 중국인 의 나머지 정리 를 현대 적 으로 표기 하 면 아래 와 같 다 . 아래 식 에서 ‘ a ≡ b ( mod m ) ’ 은 두 정수 a , b 를 자연수 로 나누 었 을 때 나머지 가 서로 같 다는 뜻 이 고 , ' a 는 법 m 에 관해 b 와 합동 이 다 ' 라고 한다 . 글 허민 / 광운 대학교 수학 과 교수 서울 대학교 수학 교육 과 를 졸업 하 고 미국 코네티컷 대학교 에서 박사 학위 를 받 았 다 . 현재 광운 대학교 수학 과 교수 이 다 . 저 서로 < 수학자 의 뒷모습 > 이 있 고 , 역서 로 < 영 부터 무한대 까지 >, < 수학 의 위대 한 순간 들 >, < 수학 적 경험 > 등 이 있 다 . 산학 의 원주율 2009 . 09 . 15 다양 한 모양 의 밭 의 넓이 를 구하 기 위해 원 의 넓이 를 구하 는 방법 , 나아가 원주율 을 구하 는 방법 이 발전 하 였 다 . 틀린 것 은 또 틀린 다 2009 . 08 . 11 동서양 의 수학 책 들 이 이렇게 똑 같 은 문제 를 다룬 것 도 놀랍 지만 , 똑 같이 틀렸 다는 것 은 더욱 놀랍 다 . 영원 한 수학 , 수학 의 보편 성 2009 . 07 . 14 동서양 에 이렇게 똑같 은 유형 의 수학 문제 가 공존 한다는 사실 에 놀라 지 않 을 수 없 다 . 저작 자 표시