군바리 도 이해 할 수 있 는 군론 ( group theory ) 입문 ( 2 ) : 결합법칙 « 피타고라스 의 창 
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 군바리 도 이해 할 수 있 는 군론 ( group theory ) 입문 ( 3 ) : 대칭 의 언어 » 
 ( 너무 당연 한 것 을 말 하 고 있 으니 , 오히려 더 혼란 스러울 것 같 기 도 하 다 . 그러나 지금 까지 의 이야기 들 은 매우 중요 한 것 들 이 다 . 여기 까지 의 내용 을 잘 따라온 사람 들 은 군론 에 대한 소개 를 받 았 고 더 나아가 ' 군 표현론 '( group representation theory ) 의 철학 까지 소개 받 고 있 다 . ) 
 지금 여기 네 가지 로 명령 들 로 구성 된 집합 이 있 고 그 에 따라 뺑뺑이 를 도 는 훈련병 이 있 다 . 수학 적 으로 말 하 자면 , group of transformation 이 있 고 , 그 각각 의 transformation ( 즉 하나 하나 의 명령 들 ) 에 따라서 변화 하 고 있 는 대상 ( 훈련병 ) 이 있 다 . 개개 의 transformation 사이 의 연산 이 , 그저 대상 에 주어진 명령 들 을 순서 대로 행하 는 것 과 같 다면 , 이러 한 연산 은 당연히 결합법칙 을 만족 시킨다 . 
 지금 까지 의 당연 하 게 만 들리 는 이야기 속 에 담긴 힘 을 보여 주 기 위해 , 행렬 의 곱셈 에 대해서 언급 하 고자 한다 . 고등학교 수학 과정 에서 행렬 이 등장 하 고 , 행렬 의 곱셈 도 정의 한다 . 그리고 행렬 의 곱셈 은 결합법칙 을 만족 시킨다는 것 도 교과서 도 나온다 . 그러나 왜 행렬 의 곱셈 이 결합법칙 을 만족 시키 는지 는 제대로 설명 해 주 지 않 는다 . 행렬 의 곱셈 은 정의 부터 이상 하 지 않 았 는가 ? 
 라고 한다면 , 행렬 의 곱셈 은 
 계산 을 해 보 면 이렇 다 . 
 [ math ] f : ( x , y ) \ mapsto ( ex + fy , gx + hy ) [ / math ] 
 [ math ] g : ( ex + fy , gx + hy ) \ mapsto ( ( ae + bg ) x +( af + bh ) y , ( ce + dg ) x +( cf + dh ) y ) [ / math ] 
 이 결과 를 가만히 잘 들여다 보 면 , 함수 f 의 역할 을 행렬 B 가 할 수 있 고 , 함수 g 의 역할 을 행렬 A 가 한다고 하 면 , 함수 의 합성 g o f 의 역할 은 행렬 AB 가 할 수 있 다는 것 을 알 수 있 다 . 
 각각 의 2 x 2 행렬 들 을 하나 하나 의 명령 들 로 이해 한다면 , 뺑뺑이 도 는 훈련병 역할 을 2 차원 평면 이 맡 는다 . 각각 의 행렬 들 은 2 차원 평면 에 내려지 는 명령 들 로 이해 할 수 있 다 . 행렬 A , B 이 있 고 , B , A 의 순서 로 2 차원 평면 상 에 명령 을 내릴 경우 , 그 결과 는 AB 라는 행렬 이 하 는 명령 과 동일 하 다 . 
 다음 이야기 는 ' 군론 입문 ' 시리즈 의 마지막 편 으로 , 군론 은 왜 ' 대칭 ' 을 이해 하 는 언어 가 되 는지 를 말 한다 . 
 Tags : 군론 
 This entry was posted on Monday , August 18 th , 2008 at 1 : 30 am 	 and is filed under 수학 . You can follow any responses to this entry through the RSS 2 . 0 feed . Both comments and pings are currently closed . 
 16 Responses to “ 군바리 도 이해 할 수 있 는 군론 ( group theory ) 입문 ( 2 ) : 결합법칙 ” 
 mathemedicine says : 
 2008 / 08 / 22 at 5 : 48 pm 
 즉 , 좌변 은 이항연산 에 의한 표현 이 고 우변 은 그것 의 해석 에 의한 표현 ( 해석 이 라는 표현 이 맞 는지 모르 겠 군요 ) 
 이런 이해 방법 이 맞 나요 ? 
 2008 / 08 / 23 at 12 : 40 am 
 mathemedicine / 제 가 말 하 고자 하 는 바 를 정확히 이해 하 셨 습니다 . 한마디 첨가 하 자면 , 이항연산 자체 가 저러한 합성 을 통해서 만들 어 졌 다고 보 는 것 이 사실 은 맞 는 것 이 겠 죠 ~ 
 2008 / 08 / 23 at 7 : 33 am 
 이항연산 중 에서 결합법칙 이 성립 하 지 않 는 것 도 있 으니 이항연산 자체 가 모두 합성 을 통해서 만들 어 진건 아닌 같 은데요 . .. 물론 유용 한 ( ? ) 이항연산 은 제외 하 고요 . 
 혹시 , , 결합법칙 이 성립 하 지 않 으면서 유용 한 ( ? 의미 있 는 ? ) 이항연산 이 있 나요 ? 
 2008 / 08 / 23 at 7 : 52 am 
 아 . . 훈련 이항연산 이나 행렬 의 곱셈 자체 가 합성 을 통해 만들 어 졌 다는 말 이 였 군요 ㅎ 
 2008 / 08 / 24 at 4 : 58 am 
 역 으로 결합법칙 이 성립 하 지 않 으면 항등원 이 존재 하 지 않 으므로 의미 있 는 이항연산 이 아닐 것 같 다는 결론 이 . .. . .. . .. 
 2008 / 08 / 24 at 9 : 35 pm 
 루빅스 큐브 에 한참 관심 을 가지 고 있 을 때 
 풀 이 법 을 군 이론 을 가지 고 만들 었 다는 말 을 들 었 는데 
 왜 그랬 는지 알 것 같 네요 . ^^ 
 뺑뺑이 에 는 군 이론 이 짱 이 겠 군요 . 
 2008 / 08 / 24 at 9 : 37 pm 
 그럼 군 이론 을 쓰 면 선 을 구부려서 끝 과 끝 을 이어서 원 을 만드 는 것 도 설명 할 수 있 게 되 는 건가요 ? 
 그 보다 그런 걸 할 수 있 는 어떤 방법 을 군 이론 을 통해서 도 찾 을 수 있 을 것 같 고 이미 그런 분 들 이 계실 것 같 아요 . 
 2008 / 08 / 25 at 11 : 26 pm 
 결합법칙 이 성립 하 지 않 지만 , 수학 적 으로 중요 한 녀석 들 로 는 , 
 octonion ( http : / / en . wikipedia . org / wiki / Octonion ) 
 Lie algebra ( http : / / en . wikipedia . org / wiki / Lie _ algebra ) 
 를 예 로 들 수 있 겠 네요 . 
 octonion 은 항등원 이 존재 하 지만 , 결합법칙 이 성립 하 지 않 는 경우 라고 할 수 있 겠 네요 . 
 2008 / 08 / 25 at 11 : 34 pm 
 2008 / 08 / 26 at 7 : 18 am 
 2008 / 08 / 26 at 10 : 07 am 
 그런데 , 댓글 수정 및 삭제 기능 을 만들 순 없 나요 ? 
 2008 / 08 / 27 at 12 : 33 am 
 mathemedicine / 댓글 수정 및 삭제 를 묻 는 분 들 이 꽤 있 었 습니다 . 그런데 제 가 게을러서 . ... ㅎ ㄷ ㄷ 훗날 을 기약 해 봅니다 
 2008 / 08 / 27 at 11 : 11 pm 
 큐브 관련 부분 찾 아 봤 더니 꽤 길 더군요 . @@ 
 2008 / 08 / 31 at 7 : 17 pm 
 아이 수 / 뭐 하나 배우 려면 만만 한 게 없 습니다 ㅋ 
 으미 . .. says : 
 2009 / 03 / 04 at 7 : 14 pm 
 무슨 말씀 인지 . .., 뭔가 대단 한 말씀 을 하 신 거 는 같 은데 , 이해 는 ? ... ㅎㅎ . ..^^* 함수 가 기본 적 으로 결합법칙 이 만족 해서 ( ' 맞 나 ? ') 함수 를 고대로 가져온 행렬 도 당연히 결합법칙 이 성립 하 는 건 당연 한 게 아니 냐는 말씀 인가요 ? ? 
 뭐 질문 드리 려 댓글 남긴 다기 보 다는 ( 기본 지식 이 없 으니 답변 을 주 셔도 이해 를 못 할 거 같 음 ) , 님 께 감사 인사 드리 려고 글 남 깁니다 . 한글 로 운영 되 는 , 이런 알찬 싸이트 가 있 다는 것 이 넘 너무 고맙 습니다 . 돈 이 되 는 일 도 아닐 텐데 , 이렇게 봉사 를 해 주 시 는 것 에 대해서 는 가히 존경 스럽 기 까지 합니다 . 특히 그 열정 에 경의 를 표 하 고 싶 습니다 . 
 2009 / 10 / 25 at 12 : 24 am 
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