※ Editor 3 . 0 이 수식 을 지원 안 해 줘서 다시 쓰 는 중 이 다 . .. 최근 에 위키 를 돌아다니 다가 또 재미있 는 문제 를 발견 했 다 . 가장 체적 이 큰 Unit Sphere ( Unit Ball ) 는 몇 차원 일까 ?   하 는 문제 인데 ,   사실 애초 에 Unit Sphere 위키 문서 가 그 문제 에 관한 내용 이 대부분 이 고 , 자세 한 해법 은 안 나와 있 어 풀 어 볼 수 밖 에 없 는 의지 가 생겨 풀 게   되 었 다 . Unit Sphere 의 정의 를 위키 에서 긁 어다 보 면 Unit sphere   is the set of points of   distance   1 from a fixed central point . ( 거리 1 만큼 떨어진 점 들 의 집합 ) 그래서 n 차원 Unit Ball 의 체적 을 구할 것 인데 , 1 차원 , 2 차원 , 3 차원 으로 확장 해 나가 면서 직접 구해 보 고 ( 알 고 있 겠 지만 ) 차원 이 증가 하 면서 어떤 관계 를 가지 는가 를 조금 생각 해 본다면 스스로 도 풀 수 있 을 것 이 다 . 목   차 Generalized : VolumeUnit Sphere : Maximum VolumeGeneralized : Area ( Surface ) 마무리 1 .   Generalized : Volume 이런 문제 는 우선 주어진 정보 를 가지 고 차근차근 생각 해 보 는 것 이 좋 다 . 1 D 에서 Volume : 22 D 에서 Volume :   π r ^ 23 D 에서 Volume : ( 4 / 3 ) π r ^ 3 Volume 을 구할 때 어떻게 구 하나 잘 생각 해 보 자 . 3 차원 Sphere 의 Volume 을 구할 때 , - r ~ + r 구간 을 적분 하 는 기초 적 인 방법 을 사용 한다고 하 자 . 위 와 같 은 방식 으로 구했었 는데 , 이 는 다르 게 표현 하 면 와 같이 표현 할 수 있 다 .   한 차원 내려서 생각 해 보 았 을 때 에 도 마찬가지 로 성립 함 을 알 수 있 다 . 위 와 같 은 원리 를 찾 았 다면 이 를 일반 화 하 여 다음 과 같이 표현 할 수 있 다 . 여기 까지 생각 한 다음 조금 난감 했 는데 , V _ n ( r ) 은 a _ n * r ^ n 으로 표현 되 는 규칙 성 을 보 고 가정 하 여 진행 하 였 다 . 이 의 증명 은 아직 모르 겠 다 . 를 풀 어 주 면 a _ n 의 일반항 이 구해 져 문제 가 해결 된다 . ( 혹시나 어떻게 진행 할지 모르 겠 다면 , x = r * sin Θ 로 치환 해 보 기 를 추천 한다 )   여기 서 cos 의 정규 부분 ( 0 ~ pi / 2 ) 에서 사용 할 수 있 는 일반해 를 적용 하 면 감마함수 나 더블 팩토리 얼 을   사용 하 는 해 가 나오 게 된다 . 다만 적 기 귀찮 고 딱히 직관 적 인 이해 를 돕 는 해답 도 아니 므로 여기 서 마치 는 편 이 더 좋 을 것 같 다 . 2 .   Unit Sphere : Maximum Volume 위 에서 구한 정보 를 토대 로 Maximum Volume , 즉 이 포스트 의 주제 를 해결 해 보 자 . 사실 굳이 다 구하 고 비교 할 필요 없이 , a _ n 이 1 보다 작아지 는 시점 을 찾 으면 되 지만 그냥 구해 보 고 싶 었 다 . a _ 6 < 1 이 므로 5 차원 Unit Sphere 가 가장 체적 이 크다 . 3 .   Generalized : Area ( Surface ) 처음 부터 Area 를 구하 려 하 면 당황 스럽 겠 지만 Volume 을 구한 뒤 , Area 를 구하 기 는 쉽 다 . 위 식이 성립 하 기 때문 이 다 . 그럼 단순히 계산 만 해 주 자 . 마찬가지 로 1 번 에서 구한 관계 를 통해 아래 의 식 을 이끌 어 낼 수 있 다 . ﻿ 다시 한 번 열심히 계산 을 해 주 자 .   7 차원 에서 Unit Sphere 의 표면적 이 가장 크 다 . 3 . 마무리 도저히 진전 을 찾 거나 수학 의 발전 을 찾 을 수 없 는 흥미 위주 의 문제 였 지만 재미있 는 문제 인 것 같 다 . 4 . 참고 해 볼 만 한 곳 https : / / en . wikipedia . org / wiki / Unit _ sphere