한편 관 이나 파이프 에 속박 된 공기 의 진동 에 대한 이론 적 탐구 는 오일러 ( 1727 ) 와 라그랑주 ( 1759 ) 의 노력 으로 결실 을 보 았 다 . 이 들 의 노력 으로 개관 ( 開管 ) 과 폐관 ( 閉管 ) 의 근사 적 인 배음 의 진동수 를 예측 하 는 것 이 가능 해졌 고 배음 의 특성 을 이해 할 수 있 게 되 었 다 . 그러나 말단 수정 의 문제 , 즉 실제 파이프 의 길이 와 유효 한 길이 의 차이 의 문제 는 제대로 풀리 지 않 았 다 .