이슬비 : : 측도 와 적분 - 역사 적 배경 
 측도 와 적분 - 역사 적 배경 
 Mathematics 2016 . 02 . 20 00 : 12 
 이 글 에서 는 르베그 적분 이 나타난 역사 적 배경 과 르베그 적분 의 개념 을 직관 적 으로 살펴봅니다 . 이 글 의 내용 은 학습 자 가 리만 적분 의 성질 을 잘 알 고 있 다는 가정 하 게 전개 됩니다 . 
 리만 ( Riemann ) 은 1854 년 독일 대학 의 강사 자격 시험 논문 에서 그때 까지 의 적분 개념 을 논리 적 으로 정제 한 리 만 적분 을 소개 하 였 고 리만 적분 은 수학 계 에서 대단히 중요 한 위치 에 놓이 게 되 었 다 . 
 그 후 많 은 수학자 들 이 함수 가 리만 적분 가능 하 기 위한 필요충분조건 을 찾 기 위하 여 노력 하 였 다 . 명백히 유한 개 의 불연속점 을 가진 함수 는 리만 적분 가능 하 다 . 그러나 불연속점 이 무한히 많 은 함수 는 경우 에 따라서 리만 적분 가능 할 수 도 있 고 그렇 지 않 을 수 도 있 다 . 
 수학자 들 은 다음 문제 의 빈칸 을 채우 기 를 갈망 하 였 다 . 
 이것 을 위하 여 핸 켈 ( Hankel ) 은 조밀성 을 이용 하 여 집합 을 분류 하 기 도 하 였 고 , 배어 ( Baire ) 는 집합 의 범주 ( category ) 를 도입 하 기 도 하 였으나 리만 적분 가능 성 에 대한 완전 한 답 을 얻 지 는 못하 였 다 . 
 그러 던 와중 1902 년 소보 론 대학 의 대학원 생 이 었 던 르베그 ( Lebesgue ) 는 그 의 박사 학위 논문 에서 리만 적분 과 는 다른 방법 으로 적분 하 는 방법 인 르베그 적분 을 소개 하 였 다 . 리만 적분 이 피 적분 함수 의 정의역 을 분할 하 는 것 과 는 달리 르베그 적분 은 피 적분 함수 의 치역 을 분할 한다 . 
 7 × ( [ 0 , 1 ) 의 길이 ) + 11 × ( [ 1 , 3 ) 의 길이 ) + 13 × ( [ 3 , 6 ] 의 길이 ) + 11 × ( ( 6 , 8 ] 의 길이 ) 
 이 와 같이 르베그 적분 에서 는 집합 의 체적 을 구하 는 것 이 대단히 중요 한 부분 을 차지 한다 . 때문 에 르베그 적분 을 정의 하 기 위해서 는 집합 의 체적 을 정확 하 게 정의 해야 한다 . 집합 의 체적 을 재 는 함수 를 측도 ( measure ) 라고 부르 며 , 측도 를 이용 하 여 체적 을 잴 수 있 는 집합 을 가 측 집합 ( measurable set ) 이 라고 부른다 . 르베그 적분 에서 는 피 적분 함수 의 역상 ( inverse image ) 의 체적 을 이용 하 여 적분 을 정의 하 기 때문 에 함수 의 역상 이 가 측 집합 인지 여부 가 중요 하 다 . 이러 한 이유 로 가 측 집합 의 역상 이 가 측 집합 이 되 는 함수 를 가측함수 ( measurable function ) 라고 부른다 . 
 리만 적분 가능 한 함수 는 모두 르베그 적분 가능 하 고 두 적분 값 은 일치 한다 . 즉 르베그 적분 은 리만 적분 을 일반 화 한 것 이 다 . 뿐 만 아니 라 르베그 는 함수 가 리만 적분 가능 할 필요충분조건 에 대한 다음 과 같 은 답 을 내놓 았 다 . 
 르베그 적분 이 가지 는 또 다른 이점 을 살펴보 자 . 
 이 와 같이 르베그 적분 은 리만 적분 이 가진 단점 을 훌륭 하 게 보완 한 적분 이 다 . 
 삼각형 의 오심 ( 0 ) 
 jjycjn 2016 . 03 . 18 04 : 54 신고 Link Mod / Del Reply 
 좋 은 글 잘 읽 었 습니다 . 감사 합니다 ! 한 가지 제 생각 을 말씀 드리 자면 , 엄밀 하 게 얘기 해서 르 벡 적분 이 리만 적분 의 일반 화 라고 보 기 는 어려울 것 같 습니다 . 일단 두 가지 적분 방법 이 너무 다르 니까요 . 리만 적분 을 자연 스럽 게 확장 한 적분 방법 중 하나 로 gauge 적분 또는 Henstock – Kurzweil 적분 이 라 불리 는 적분 방법 이 있 습니다 . 
 I Seul Bee 2016 . 03 . 19 17 : 21 신고 Link Mod / Del 
 예전 에 ' Generalized Riemann Integral ' 이 라는 이름 으로 Gauge 적분 을 처음 접했었 는데 , 정의 를 조금 바꾼 것 뿐 임 에 도 Lebesgue 적분 이나 Riemann 적분 모두 를 포함 할 수 있 는 정의 가 된다는 것 에 무척 놀랐었 습니다 . ( 다만 , 그 증명 이 그리 쉽 지 는 않 네요 ^^) 지금 은 Bartle 교수 님 이 Gauge 적분 을 대중 화 시키 고자 노력 을 하 고 계신 것 같 습니다 . 
 이 글 은 Measure 와 Lebesgue 적분 을 처음 공부 하 는 사람 들 에게 입문 수준 으로 소개 하 는 글 로서 최대한 개념 충격 을 완화 하 려고 Riemann 적분 의 일반 화 된 적분 으로서 Lebesgue 적분 을 소개 하 였 습니다 . 
 안 융 호 2017 . 06 . 13 11 : 59 신고 Link Mod / Del Reply 
 제일 첫 부분 에 나온 E 가 1 / n 인 집합 의 특성함수 f 가 왜 명백히 유한 한 블 연속 점 을 갖 는지 가 이해 가 안 됩니다 . 무한 이나 극한 이나 해석학 적 인 개념 이 필요 한가요 ? 집합 E 에서 n 은 항상 선택 되 어야 해서 인가요 ? 나중 에 설명 하 신 [ a , b ] 의 모든 유리수 값 을 갖 는 fn 이 유한 한 불연속점 을 갖 는 다 는 것 은 이해 가 되 는데요 위 의 E 의 집합 은 모든 n 에 대하 여 생각 하 면 모든 n 의 합집합 인 집합 이 아닌지요 ? 이 집합 E 는 유한집합 인가요 ? 
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