머리말 = 세상 의 고양이 는 모두 몇 마리 일까 ? 5 몇 년 전 , 학생 들 에게 강연 을 하 면서 이 자리 에서 바로 답 을 구 할 테 니 궁금 한 추정 값 이 있 는지 물 었 다 . 한 학생 이 " 이 세상 에 있 는 고양이 는 모두 몇 마리 일까요 ? ( 추측 ) ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ 먼저 고양이 기르 는 광경 떠올리 고 , 내 가 사 는 영국 은 다섯 가구 당 한 마리 로 추측 > 한 가구 당 평구 2 명 거주 하 므로 10 명 당 한 마리 고양이 > 영국 인구 가 약 7 , 000 명 이 므로 영국 고양이 는 약 700 마리 > 다른 나라 에서 는 고양이 가 인기 가 없 을 수 있 으므로 20 명 당 1 마리 고양이 로 추측 > 전 세계 인구 가 80 억 명 이 라 할 때 고양이 는 4 억 마리 ᆞ 인구 80 억 나누 기 20 = 고양이 4 억 마리 ㅡㅡㅡ 라고 이야기 했 더니 질문 학생 이 실제로 6 억 마리 라고 인터넷 에서 찾 았 다고 한다 . 사람 들 은 추정 하 는 법 을 잊 고 쉽 게 답 을 구할 수 있 다 . 전 세계 를 돌아다니 면서 고양이 를 찾 지 는 않 았 을 것 이 다 . 하지만 이 숫자 도 자료 등 으로 추정 한 자료 일 것 이 다 . 1 장 세상 의 숫자 에 는 함정 이 있 다 . ( 정확 한 값 이 얼마나 오해 의 소지 가 있 는지 , 계산기 에 무조건 의존 하 면 안 되 는지 등 에 대해 설명 ) ㅡ 어림셈 과 계산기 13 좀 더 일상 적 인 수준 에서 본다면 , 어림 계산 은 여러분 이 소위 ' 거래 ' 의 희생양 이 되 지 않 도록 매일 사용 할 수 있 는 수학 이 다 . 계산기 의존 하 지 않 아도 되 는 수학 이 자 산술 이 다 . 일상 생활 에서 대부분 은 정확 한 답 을 알 필요 가 없 다 . 중요 한 것 은 대략 적 인 수 치 다 . 어림 계산법 은 숫자 뒤 에 숨 어 있 는 더 큰 그림 을 보 는 것 이 주목적 이 다 . 정부 가 1 조 5 , 000 억 원 의 의료비 증액 을 발표 했 다면 인구 5 , 000 만 명 에게 모두 적용 해야 할까 ? 물론 정확히 1 조 5 , 000 원 이 될 리 없 고 5 , 000 만 명 에게 골고루 적용 되 지 않 을 것 이 다 . 하지만 어림 계산법 을 이용 하 면 1 인 당 30 만 원 이 아닌 평균 3 만 원 에 가까운 값 이 라는 것 을 알 수 있 다 . 물론 이런 단순 계산 은 계산기 에 맡기 면 되 기 에 굳이 알 필요 가 없 다고 생각 할 수 있 다 하 지만 현실 은 그렇 지 않 다 . 계산기 로 얻 은 두 가지 장점 첫 쨰 , 예전 에 는 결코 할 수 없 었 던 계산 을 거뜬히 할 수 있 다 . 둘째 , 소수 몇 번 째 자리 까지 답 을 구할 수 있 다 . ㅡ 정밀 한 숫자 의 함정 18 자연사 박물관 을 찾 은 어떤 관광객 이 티 라 노사 우르스 렉스 뼈 를 보 고 깊 은 감명 을 받 았 다 . 관광객 이 박물관 안내원 에게 공룡 의 나이 를 묻 자 6 , 900 만 22 일 살 이 라 대답 하 자 어떻게 정확 하 게 알 고 있 는지 다시 잘 문 하 자 안내원 은 " 제 가 첫 출근 했 을 떄 공룡 나이 가 6 , 900 만 살 이 였 고 그때 가 22 일 전 이 니까요 ? 이 고리타분 한 농담 에 나오 는 안내원 의 몰지각 한 정밀 함 은 대충 어림짐작 한 값 을 여러 숫자 로 나타내 는 게 왜 아무 의미 없 는지 잘 보여준다 . - 정밀도 와 정확도 차이 정밀도 와 정확도 는 치수 나 숫자 가 얼마나 ' 올 은지 ' 나타내 기 위해 서로 바꿔 사용 되 고 한다 . 예 를 들 어 74 × 23 . 2 = 1 , 7168 과 같 은 수 는 정확 하 면서 정밀 하 다고 할 수 있 다 . 하지만 수학 적 으로 사용 되 는 정밀도 와 정확도 의 개념 은 서로 다르 다 . ' 정확도 ' 정답 에 얼마나 가까운지 보여 주 는 지표 다 . 예 : a 장바 구네 든 물건 값 이 65 , 000 원 이 라고 예상 b 7 만 원 이 라 예상 했 다 계산서 에 적힌 금액 이 69 , 340 이 라면 a 보다 b 가 더 정확히 추정 했 다고 볼 수 있 다 . ' 정밀도 ' 특정 한 세부 수치 를 얼마나 확산 하 는지 봉주 는 지표 다 . 만약 장바구니 물건 의 총 가격 이 69 , 000 원 으로 예상 했 다면 천 의 자리 까지 맞췄 다고 확신 할 수 있 다 . 하지만 총 가격 이 69 , 300 원 으로 예상 했 다면 더 정밀 하 게 예측 했 다고 볼 수 있 으며 , 백 의 자리 까지 정확 했 다고 확신 할 것 이 다 . 69 , 340 원 이 라고 한다면 훨 신 더 정밀 한 수치 가 될 것 이 다 . 따라서 수학 적 용어 로 정밀도 는 당신 이 말 할 수 있 는 유효숫자 의 개수 를 의미 한다 . ㅡ 나비효과 32 우리 는 모든 통계 자료 에 는 반드시 오 차 범위 를 알려 주 는 지표 가 있 어야 한다는 사실 을 확인 했 다 . 특히 예측 이나 예상 의 경우 오 차 범위 를 이해 하 는 게 훨씬 더 중요 하 다 . 뉴스 에서 인용 되 는 많 은 숫자 는 예측 이 다 . 내년 집값 , 내일 강수량 , 대통령 의 경제 성장률 , 기차 탑승객 수 등 모두 누군가 각 스프레드시트 ( 아니 면 더욱 획기 적 인 프로그램 ) 에 숫자 를 넣 어서 나온 값 이 다 . 수학 적 으로 표현 하 는 것 인데 , 이 를 보통 ' 수학 적 모델 ' 이 라고 한다 . 이러 한 수학 적 모델 에 는 ' 입력 값 ( 가격 이나 관객 수 ) 과 예측 하 고 싶 은 ' 출력 값 ( 이익 등 ) 이 있 기 마련 이 다 . 때로 는 하나 의 입력 변수 에 작 은 변화 가 생기 면 맨 끝 에 나오 는 숫자 에 놀랄 만큼 큰 영향 을 미칠 수 있 다 . 이것 의 좋 은 예 가 물건 가격 과 가격 이 창출 하 는 이익 간 의 관계 다 . 예 1 ) 어떤 박람회 에 페이스 페인팅 가판대 운영 : 가판대 대여료 3 시간 5 만 원 , 재료비 거의 안 들 음 , 소요 시간 1 인 당 15 분 ( 3 시간 에 12 명 페이스 페이 팀 함 ) ᆞ매출액 6 만 원 - 대여료 5 만 원 = 이익 1 만 원 예 2 ) 작년 에 대기 하 는 사람 이 많 아서 세 시간 동안 모든 수요 충족 시키 기 위해서 올해 는 가격 을 6 , 000 원 을 20 % 인상 했 다 . 올해 매출액 은 6 , 000 × 12 = 72 , 000 원 이 고 이익 은 ᆞ매출액 72 , 000 원 - 대여료 5 만 원 = 이익 22 , 000 원 가격 을 20 프로 인상 하 면 이익 이 두 배 로 늘어난다 하 지만 한 가지 요소 가 10 % 늘린다고 해서 다른 모든 요소 가 10 % 씩 늘어나 는 것 은 아니 다 . - 기하급수 적 접 염 ' 입력 값 ' 의 작 은 변화 가 시간 이 지나 면 값 을 기하급수 적 으로 증가 시키 는 상황 도 있 다 . 수두 를 예 를 들 어 보 자 . 수두 에 걸린 아이 들 의 전염 단계 에서 보통 . 1 명 이 10 명 에게 / 10 명 각각 의 아이 들 은 다시 10 명 에게 전염 시켜 100 명 에게 전염 시킴 = 수학 적 식 으로 나타내 면 N = 10 ( 진희 야 10 숫자 오른쪽 위 작 은 T 있 음 - 표시 할 방법 을 몰라 글 로 적음 ) = N 은 감염 된 아이 수 / T 는 지금 까지 감염 기간 . 처음 수 두 걸린 아이 가 몇 주 만 에 1000 명 의 다른 아이 들 에게 병 을 옮긴 셈 이 됨 = 1 주 후 N = 10 ( 숫자 오른쪽 위 에 1 ) = 10 2 주 후 N = 10 ( 숫자 오른쪽 위 에 2 ) = 100 3 주 후 N = 10 ( 수사 오른쪽 위 에 3 ) = 1 , 000 만일 감염 율 을 20 % 올려 N = 12 가 되 므로 일 주일 후 감 염수 는 10 명 이 아니 라 12 명 으로 늘어나 고 3 주 후면 1 , 728 명 이 된다 . 1952 년 공상 과학 소설 작가 레이먼드 브래드버리 는 라는 단편 소설 을 발표 했 다 . 이 소설 에 등장 하 는 시간 여행자 들 은 공룡 시대 를 여행 하 다 우연히 작 은 나비 를 죽인다 . 아무런 악의 도 없 었 던 이 사건 은 그 들 이 돌아가 는 현대 세계 를 충격 적 으로 변화 시킨다 . 그 로부터 몇 십 년 뒤 , 수학자 에드워드 로렌츠 는 초기 상황 의 작 은 변화 가 추후 예상 할 수 없 고 잠재 적 으로 엄청난 변화 를 유발 하 는 현상 을 가리켜 ' 나비효과 ' 라고 했 다 아마도 브래드버리 의 소설 을 참 고 했 던 것 같 다 . ㅡ 이 숫자 가 말 이 될까 ? 39 어림 계산법 이 알려 주 는 가장 주요 한 기술 은 ' 이 숫자 가 말 이 될까 ? 라는 질문 에 대답 할 수 있 는 능력 이 다 . 이때 어림 계산 과 계산기 는 서로 조합 롭 게 작동 할 수 있 다 . 계산기 는 단조 롭 게 반복 되 는 과정 을 거쳐 답 을 구하 는데 유용 하 고 , 어림 계산 은 숫자 가 논리 적 으로 말 이 도 는지 확인 하 는 데 유용 하 다 . 예 ) BBC 뉴스 진행자 가 교육부 장관 을 질타 하 고 사실 확인 팀 이 두 사람 의 진술 을 실시간 검증 한다고 상상 해 보 라 " 이번 정부 는 15 년 ~ 16 년 이후 학교 지출 을 20 프로 늘릴 계획 이 라 말 한다 > 화면 하단 에 는 학교 에 대한 지출 이 10 프로 증가 했 지만 , 학생 한 명 에게 지출 했 지만 학생 한 명 에게 지출 하 는 금액 은 변하 지 않 을 것 이 다 . 인 플 이 션 을 고려 하 면 학생 1 인 당 지출액 은 약 10 프로 정도 감소 할 것 으로 보인다 . 이 통계 에 는 진짜 처럼 보이 는 숫자 들 이 존재 한다 . 정밀히 조사 하 면 앞뒤 가 맞 지 않 지만 . .. ㅡ 어림 계산 이 통하 지 않 는 분야 들 43 1 장 에서 는 한두 개 이상 의 유효숫자 로 숫자 를 인용 하 면 어떤 오해 의 소지 가 있 는지 , 어떤 거 싯 확신 이 우리 를 안심 시키 는지 살펴봄 . 왜 일까 ? 그러 한 정밀도 로 숫자 를 어림 하 면 그 값 이 정확 하 기 때문 이 다 . 바꿔 말 하 면 정답 은 정답 에 가장 가까운 답 이 라는 뜻 이 다 . 계산기 와 스프레드시트 는 계산 의 고통 을 덜 어 주 었 지만 . 어떤 수치 적 문제 도 얼마 든지 십진수 로 나타낼 수 있 는 해답 이 있 다는 환상 을 낳 았 다 . 2 장 어림 계산 에 유용 한 기초 능력 ( 어림 계산 에 필요 한 기본 적 인 연산 법 과 알 아 두 면 쓸 모이 는 주요 사실 등 ) ㅡ 추산 할 때 필요 한 능력 47 어림 계산 할 때 는 아주 기본 적 인 능력 이 필요 하 다 . 이때 가장 필요 한 능력 은 주어진 숫자 를 하나 이상 의 유효숫자 로 반올림 하 는 것 이 다 . 또한 알맞 은 답 을 구하 려면 다음 세 가지 연산 능력 이 있 어야 한다 . . 기본 적 인 사칙 연산 . 백 분 율 및 분수 계산 능력 . 10 , 100 , 1 , 00 등 10 의 거듭제곱 으로 ' 수 의 크기 ' 를 판단 하 는 능력 2 장 에서 는 제로 등식 사용법 을 포함 해 어림 계산 에 도움 이 되 는 팀 설명 할 것 이 다 . ㅡ 여전히 산술 능력 은 필요 하 다 48 수학 과 산술 의 차이점 은 무엇 인가 ? 수학자 들 에게 물으면 다양 한 답 을 들 을 수 있 다 . ' 논리 적 으로 참 과 거짓 을 판별 할 수 있 는 것 ' 이라든지 ' 패턴 과 연속 성 을 판단 할 수 있 는 것 ' 등 이 다 . ' 구구단 알 기 ', ' 고지서 합산 하 기 ' 같 은 대답 은 절대 들 을 수 없 다 . 산술 이 란 전적 으로 계산 과 관련 된 용어 다 . 예 ) 789 에 2 를 곱하 고 1 을 더 하 면 얼마 인가 ? 수학자 는 답 을 알 지 못하 더라도 논리 적 인 증명 을 통해 홀수 가 된다는 것 을 확신 하 다 . 그러나 산술 가 는 계산기 가 없 어도 ( 789 × 2 ) + 1 = 1 , 579 라고 말 한다 . 실력 있 는 산술 가 라면 아주 복잡 한 계산 도 쉽 게 알 수 있 다 예 를 들 면 4 / 7 의 백분율 이나 43 × 29 의 값 을 정확 하 게 빠르 게 암산 할 수 있 다 . 수학 과 산술 사이 에 는 겹치 는 부분 이 매우 많 다 . 산술 ( 사칙 연산 ) 과 수학 모두 논리 적 사고 에 바탕 을 두 고 있 으며 , 패턴 과 연관 성 을 보 는 능력 을 이용 한다 . 예 ) 엔지니어 회사 에서 학생 들 에게 " 우리 회사 단면적 4 . 2 제곱미터 파이프 를 생산 하 고 있 어요 , 물 이 초당 2 m 흐르 고 있 다면 파이프 로 이동하 는 물 의 양 은 얼마 일까요 ? 4 . 2 × 2 가 얼마 인지 물어본 것 인데 학생 들 은 문제 를 듣 자마자 계산기 를 꺼냈 다 . 이제 는 힘들 게 계산 할 일 이 없 다 . 다 계산기 덕분 이 다 알맞 는 측정 을 위해 굳이 유능 한 산술 가 가 될 필요 도 없 다 . 하지만 산술 능력 이 있 다면 삶 에 도움 이 될 것 이 다 . ㅡ 기본 적 인 사칙 연산 . 덧셈 과 뺄셈 : a 일반 적 산술 은 오른쪽 ( 일 의 자리 ) 에서 왼쪽 ( 높 은 자리 수 ) 으로 진행 . 하 지만 b 어림 계산 의 경우 계산 속도 를 위해 보통 왼쪽 에서 시작 하 는 게 좋 다 . 349 + 257 의 값 을 구해 보 자 b 방법 > 암산 으로 문제 를 풀 경우 가장 중요 한 것 은 자릿수 , 즉 왼쪽 에 있 는 숫자 부터 시작 하 는 게 도움 이 돈다 . 300 + 200 = 500 / 40 + 50 = 90 / 9 + 7 = 16 을 더 해준다 왼쪽 부터 계산 하 면 첫 번 째 단계 에서 결과 가 얼마 가 될 리 합리 적 으로 추정 할 수 있 어 유리 . 뺄셈 에서 도 비슷 한 방법 으로 적용 할 수 있 다 . 742 - 258 의 값 을 구해 보 자 일반 적 으로 왼쪽 부터 계산 할 경우 빌린다 는 말 로 사용 하 게 될 것 이 다 . 일반 적 학교 에서 배운 방법 하 지많 왼쪽 부터 계산 하 며 700 - 200 = 500 을 한 다음 40 - 50 ( 500 에서 10 을 뺀다 ) 의 값 을 구한다 . 정확 한 값 을 원한다면 2 - 8 을 계산 한다 . ( 490 - 6 을 빼 면 된다 . ) . 곱셈 과 구구단 계산기 가 계속 존재 해도 구구단 은 계속 배울 것 이 다 . 어림 게 산법 을 위해 10 단 까지 만 외워도 충분 하 다 . 곱셈 은 계산 순서 를 따지 지 않 는다 . 텝 1 ) 5 × 13 × 2 와 5 × 2 × 13 의 값 은 같 다 . 이 식 경우 2 × 5 = 10 이 므로 계산 순서 를 바꾸 면 더 쉬워진다 . 팁 2 ) 곱하 기 3 은 어떤 수 를 두 배 로 늘린 뒤 , 다시 그 어떤 수 를 더 한 값 과 같 다 . 3 × 12 의 값 은 2 소수 와 분수 60 × 12 ( = 24 ) 에 12 를 더 하 값 과 같 다 . 팁 3 ) 9 를 곱 할 필요 가 없 다 . 처음 수 에 10 을 곱한 뒤 처음 수 만큼 뻬면 된다 즉 9 × 8 의 값 을 구하 려면 먼저 10 × 8 ( = 80 ) 을 계산 한 다음 8 을 빼 면 된다 . 등 다양 한 방법 이 있 다 . . 나눗셈 나눗셈 은 여러 가지 방법 으로 설명 할 수 있 지만 . 잘려진 방법 은 곱셈 을 뒤집 는 것 이 다 . 다시 말 해 구 구간 을 거꾸로 떠올리 면 된다 . 72 를 8 로 나눌 경우 8 의 배수 중 74 에 가장 가까운 수 를 찾 으면 된다 . 596 나누 기 4 나누 어 떨어지 지 않 을 때 무조건 끝 까지 계산 할 필요 가 없 다 . 어느 단계 에서 반올림 을 이용 할 수 있 기 떄문 이 다 . ㅡ 소수 와 분수 60 - 자릿 값 과 소수점 어떤 사람 들 은 1 보다 작 은 숫자 를 더 어려워 한다 . 6715 . 438 소수점 오른쪽 에 있 는 숫자 는 왼쪽 에 있 는 숫자 와 배열 순서 가 같 다 . 소수 첫째 자릿수 는 10 분 의 1 , 그 다음 수 는 100 분 1 , 그 다음 은 1000 분 의 1 이 다 . 소수 0 / 528 을 보 면 10 분 으 5 100 분 의 2 라는 숫자 당신 이 원한다면 100 분 의 52 . 8 이 라고 읽 을 수 있 다 . 아니 면 52 . 8 ÷ 100 또는 52 . 8 % 라고 읽 을 수 있 다 . 이것 이 백분율 이 다 . 예 ) 일상 생활 속 에서 분수 를 소수 ( 백분율 ) 로 신문 에 네 명 중 한 명 은 도난 을 당했 고 8 % 는 강도 를 경험 한 비율 은 25 %+ 8 %= 33 %, 약 3 분 의 1 이 다 . 예 ) 분수 를 소수 로 7 분 의 2 는 2 ÷ 7 를 소수 로 나타내 려면 200 ÷ 7 을 계산 할 때 처럼 나누 면 되 지만 7 분 의 2 는 1 보다 작 은 수 이 므로 소수점 이 필요 ( 0 . 285 . ...) 정밀도 에 수준 에 따라 0 . 286 이나 0 . 29 로 반올림 하 면 된다 . - 분수 의 곱셈 일상 에서 분수 를 곱해야 할 일 은 별로 없 다 . 두 분수 를 곱하 는 방법 은 분자 ( 위 에 있 는 수 ) 는 분자 끼리 , 분모 ( 아래 에 있 는 수 ) 는 분모 끼리 곱하 는 것 예 ) 분자 나 분모 에 약수 ( 분자 와 분모 를 나눌 수 있 는 수 ) - 약분 해서 계산 하 면 더 간단 함 - 백분율 ' 백분율 ' 은 간단히 100 으로 나눈다는 뜻 백분율 계산 하 는 몇 가지 팀 팀 1 ) 어떤 수의 10 % 의 값 을 구하 는 건 쉽 다 결과 에 따라 값 을 결정 하 면 된다 . 320 의 5 % 는 320 의 10 % 가 32 이 므로 320 의 5 % 는 32 를 반 으로 나누 면 된다 따라서 답 은 16 팁 2 ) 만약 10 % 값 을 구할 수 없 다면 1 % 갑 을 이용 하 고 그 값 에 10 을 곱하 면 된다 . 팁 3 ) 백분율 을 구하 는 계산 은 곱셈 처럼 숫자 의 순서 를 바꿀 수 있 다 . 25 의 16 % 는 16 의 25 % 와 같 다 16 의 15 % 는 1 / 4 , 즉 25 의 16 % 조 4 가 된다 . ㅡ 10 의 거듭제곱 으로 계산 하 기 69 - 큰 수 의 곱셈 7 × 8 은 그렇 다 치 고 , 70 × 80 이나 700 × 800 을 계산 해 보 면 어떤 반응 를 보일까 ? 우리 는 이러 한 숫자 를 쉽 게 다룰 줄 알 아야 한다 . 먼저 7 × 8 을 곱한 다음 두수 끝 에 0 을 붙인다 . 소수 의 곱셈 은 더 까다롭 다 . 두 숫자 중 하나 는 0 이 여러 개 있 고 다른 하 는 는 소수 라면 , 한 숫자 에서 다른 숫자 로 0 을 이동 시켜 더 쉽 게 게 산할 수 있 다 . - 큰 수 의 나눗셈 나눗셈 을 가장 쉽 게 푸 는 방법 은 한 자릿수 로 나눌 수 있 을 떄 까지 두 수 를 계속 10 으로 나누 면 0 을 없애 는 것 이 다 . 12 , 000 ÷ 40 = 1 . 200 ÷ 4 = 300 소수 나눗셈 의 경우 나누 는 수 가 소수 가 아닐 떄 까지 두 수 10 을 곱하 면 된다 . 0 . 006 ÷ 0 . 02 = 0 . 06 ÷ 0 . 2 = 0 . 6 ÷ 2 = 0 . 3 - 큰 수 는 ' 10 의 거듭제곱 꼴 ' 로 나타낸다 . 과학자 들 은 흔히 매우 크 거나 작 은 수 를 계산 할 때 10 의 거듭제곱 꼴 로 알려진 식 을 이용 한다 . 400 을 10 의 거듭제곱 꼴 로 나타내 면 4 × 10 의 제곱 ( 10 수 오른쪽 위 에 2 ) 10 의 거듭제곱 을 계산 하 려면 , 곱 할 때 는 지수 를 더 하 고 나눌 때 지수 르 뺀다 . ㅡ 제로 등식 78 어림 계산 을 빠르 게 처리 하 는 비결 가운데 하나 는 되 도록 간단 하 게 게 산 하 는 것 이 다 . 물론 어림 하 는 방법 은 수없이 많 지만 , 제로 등 식 은 게 산기 의 필요 성 을 가장 최소 화 한 방법 이 다 . 제 로 등식 에 숨 은 아이디어 는 계산 하 려는 모든 숫자 를 반올림 하 여 유 혀 숫자 한 개 로 나타내 는 것 이 다 . 다시 미래 모든 수 를 항상 10 이나 100 , 1000 에 가장 가까운 수 로 반올림 하 면 된다 . 제 로 등식 은 첫 자리 만 유효숫자 로 남기 고 남 은 자릿수 는 0 이 되 도록 반올림 하 는 것 이 다 . 6 . 3 이 면 6 35 이 면 40 ( 제로 등식 은 두 번 째 자리 에 있 는 수 가 5 이상 이 면 반올림 함 ) 그럼 왜 제로 등식 일까 ? Z - 0 을 나타낸다 왜냐하면 제로 등식 은 0 을 많이 상용 하 기 때문 ( 재로 등식 기호 도 살짝 톱 처럼 보이 는데 제로 등식 이 숫자 의 끝 을 인정사정 없이 잘래 내 기 때문 에 적절 한 것 같 다 ) - 제로 등식 으로 계산 하 기 Q : 1 년 은 365 일 이 고 하루 는 24 시간 을 제로 등식 으로 계산 하 면 365 × 24 ( 톱니 모양 기호 임 ) = 400 × 20 = 8 , 000 정확 한 답인 8 , 760 과 비교 해 보 면 약 10 % 를 뻰 값 이 나온다 . - 제로 등식 의 목적 은 ' 쉽 고 빠르 게 ' 다 제로 등식 은 정확 한 값 을 구하 려고 고안 한 것 이 아니 다 . 사실 정답 과 동떨어진 값 이 나올 수 도 있 다 . 이 는 둗번째 수 가 5 이상 이 면 무조건 반올림 해야 한다는 규칙 때 눈 이 다 . 예 ) 35 × 65 = 2 , 275 제로 등식 40 × 70 = 2 , 800 즉 30 % 나 크 다 . 과연 결과 가 유용 할까 ? 당신 이 원 하 는 정확도 에 따라 유용 한지 , 아닌지 결정 될 것 이 다 . 3 장 일상 의 문제 를 푸 는 수학 ㅡ 어림값 과 돈 89 - 쇼핑 으로 얼마나 쓴 걸까 ? 쇼핑 비용 을 빠르 고 간단 하 게 어림 하 는 방법 은 작 은 단위 는 무시 하 고 , 큰 단위 의 숫자 만 더 하 는 것 이 다 . 하한선 이 라는 실제 값 보다 낮 은 어림값 이 나올 것 이 다 . 작 은 단위 의 수 를 큰 단위 로 반올림 하 면 상한선 을 만들 수 있 다 . 실제 값 은 하한선 과 상하선 어딘가 있 으므로 , 두 값 의 중간 값 을 택하 면 합리 적 인 어림값 이 나온다 . 요즘 물건 에 99 원 이 붙 기 도 한다 . 이런 가격 은 소매상인 이 우리 를 속여 제품 이 실제 보다 더 싸 게 보이 게끔 하 는 눈속임 장치 다 . ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ중략ㅡ 세상 의 크기 를 가늠 하 는 법 98 - 직접 제 보 지 않 아도 할 수 있 는 거리 측정 높이 와 거리 를 추정 하 는 세 가지 방법 1 > 돌 을 떨어뜨려 깊이 재 기 물체 는 중력 때문 에 자유 낙하 한다 . ' 뉴턴 의 운동 법칙 ' 을 살짝 이용 하 면 우물 의 깊이 를 추정 할 수 있 다 . 물체 는 중력 떄문에 자유 낙하 한다는 ' 뉴턴 의 운동 법칙 ' 을 살짝 이용 하 면 우물 의 깊이 를 추정 할 수 있 따 . 거리 = 1 / 2 at 제곱 즉 중력 가속도 ) 초 당 약 10 m ) a 와 t 의 제곱 을 곱하 면 된다 . 돌 이 3 초 만 에 바닥 에 떨어진다면 우물 의 깊이 는 1 / 2 × 10 × 3 제곱 = 45 m ( 이식 에서 는 1 돌 의 공기 젛항을 ㄹ 받 으면 결국 가속 을 멈추 게 되 고 , 진공 상태 에서 떨어지 는 것 보다 시간 이 더 걸릴 것 이 다 . 2 > 손가락 으로 거리 재기 수평선 요트 의 거리 는 얼마나 멀리 있 을까 ? 이때 거리 를 구하 는 방법 은 한쪽 눈 을 감 은 뒤 한쪽 팔 을 쭊 내밀 고 손가락 으로 요트 를 가린다 . 그런 다음 감 았 던 눈 을 뜨 고 다른 쪽 눈 을 감 는다 . 그러면 요트 가 한 손가락 에서 다른 손가락 으로 뛰어내린 것 처럼 보일 것 이 다 . 이 현상 을 ' 시차 ' 라 한다 . 10 × 요트 가 뛰어내린 거리 요트 가 옆 으로 뛰어내린 길이 를 추정 하 려면 당신 의 판단력 이 필요 . 만일 요트 가 자기 길이 의 15 배 만큼 뛰 어 냈 다면 요트 까지 의 거린 는 10 × 요트 15 개 의 길 이 = 요트 140 개 길 이 물 런 요트 의 길 이 기본 지식 이 있 어야 한다 . 만일 길이 가 10 m 라면 , 해변 에서 요트 까지 의 거리 는 약 10 × 150 = 1 , 500 라고 추정 할 수 있 다 . 3 > 과자 상자 로 높이 재기 갑자기 미루나무 의 키 가 궁금 해졌 다면 빈 과자 상자 를 이용 하 면 추정 갑 을 계산 할 수 있 다 . 먼저 직사각 형 모양 의 상자 겉면 을 어려 낸 다음 짧 은 변의 길이 와 긴 변 과 겹치 도록 접 어 대각선 을 만든 다 . 이때 대각선 의 각도 는 45 도 된다 . ( p 102 그림 참조 ) 종이 의 아랫변 은 바닥 과 평행 해야 한다 . 이제 대각선 이 나무 꼭대기 와 일직선 이 될 떄 까지 나무쪽 으로 걸어간다 . 대략 1 m 보폭 으로 걸어가 면서 나무 까지 몇 걸음 을 걸 었 는지 센다 . 나무 높이 = 대략 보폭 수 + 당신 의 키 접힌 종이 를 나무 꼭대기 와 일직선 으로 정렬 하 면 이등변 삼각형 을 만들 수 있 다 . 다시 말 해 당신 과 나무 까지 의 거리 는 당신 의 눈높이 에서 나무 꼭대기 까지 의 거리 와 같 다 . - 원주율 구한 다리 기 의 전술 모든 아이 들 이 배워 하 는 원 의 공식 2 가지 원 의 넓이 와 둘레 를 알아볼 때 공식 이 다 . 원 의 반지름 길이 를 R 이 라고 하 면 원 의 둘레 ( 원주 ) = 2 파이알 ( 기호 ) 원 의 넓이 = 파이알 제곱 이때 파 의 값 은 얼마 인가 ? 수학자 들 은 파이 원 의 둘레 와 지금 의 비율 ( 원 의 둘레 를 지름 으로 나누 는 값 ) 이 며 . 3 . 14 ` 59 . .. 로 시작 하 는 초월수 라고 말 한다 . 영원히 끝나 지 않 는 소수 다 . 하지만 기술자 에게 물 어 보 면 파이 는 약 3 이 죠 더욱 신중 을 기하 려면 파이 의 소수 열 번 째 자리 까지 구해도 된다 . 2004 년 아테네 올림픽 당시 영국 육상 선수 는 8 위 로 달리 고 있 어 바깥쪽 트랙 으로 달려야 함 로 더 많 은 거리 를 달려야 한다 . 그렇 다면 얼마나 더 달려야 할까 ? 직선 구간 의 길이 는 L / 가장 안쪽 에 있 는 반원 반지름 을 R 이 라 하 자 . ( 원둘레 2 파이 R ) 2 L + 2 파이알 그러나 홈즈 는 반지름 이 레인 한 개 의 너비 만큼 더 긴 곡선 구간 을 달려야 한다 . 홈즈 가 달린 총 거리 를 구할 수 있 다 . 2 파이 ( R = 1 ) + 2 L = 2 파이 R + 2 파이 + 2 파이 + 2 L 이 값 에서 가장 안쪽 트랙 의 길이 를 빼 면 , ( 2 파이 R + 2 파이 + 2 L ) - ( 2 파이 R + 2 L ) 이 값 을 계산 하 면 결국 파이 만 남 는다 . 홈즈 가 달리 거리 는 ( 2 파이 R + 2 파이 + 2 L ) -( 2 파이 R + 2 L ) 홈즈 가 더 달린 거 니 는 6 m 다 . 우리 같 은 평범 한 사람 에게 는 꽤 긴 걸이 이 지만 달리 기 전술 에 거리 값 을 고려 해 자신 의 페이스 를 유지 해 경쟁자 들 을 2 m 정도 로 여유 롭 게 따돌려 우승 을 차지 했 다 . - 넓이 와 제곱근 , 빠르 게 구하 는 법 가끔 우리 는 제곱 을 붙여 단위 를 표시 한다 . 예 를 들 면 산불 이 숲 을 뒤덮 은 면적 은 ' 100 Km 제곱 ' 라고 말 한다 . 100 KMm 제곱 은 한 변의 길이 가 10 Km 안 종 서걱 형 의 넓이 와 같 다 . 그래서 정사각형 의 한 변의 길이 를 구하 려면 넓이 의 제곱근 을 구해야 한다 . 예 ) 홍수 가 난 지역 을 정사각형 이 라면 그 지역 의 면적 은 얼마 인가 ? 면적 이 69 km 제곱 이 라면 ( 루트 60 ) 이 값 은 8 과 9 사이 에 있 다 ( 거의 8 에 가깝 다 . ) 따라서 홍수 간 난 지역 의 면적 은 8 Km× 8 Km 인 정사 각 넓이 와 같 다 . ㅡ 미터법 과 야드파운드법 112 - 단위 의 딜레마 좋 든 싫 든 우리 는 미터법 을 야드파운드법 으로 또는 야드 와 운 드 법 을 미터법 으로 계속 변환 해야 한다 . - 마일 과 킬로미터 인류 는 야드 파운더 법 대신 미터법 을 사용 하 면서 눈부신 발전 을 이룩 하 였 다 . 모든 것 을 십진수 로 계산 할 수 있 게 되 자 피트 나 파운드 , 갤런 계산 이 하룻밤 사이 에 간단 해졌 다 . 영국 이 미터법 을 실제로 도입 한 때 는 유럽 경제 공동체 에 가입 했 던 1970 년 대 초 였 다 . 당시 유럽 경제 공동체 는 미터법 을 이미 표준 단위 로 사용 하 고 있 었 다 . ㅡ 통계 를 바로 보 는 법 120 - 통계 의 모양 ' 평균 ' 은 ' 대표 적 ' 이 거나 ' 중간 에 있 는 사람 ' 을 뜻 하 는 말 로 흔히 쓰인다 다양 한 상황 에서 일반 적 인 단어 로 쓰 는 건 괜찮 지만 , 평균 이 라고 하 면 보통 세 가지 값 이 있 다는 걸 기억 해야 한다 . . 평균값 : 가장 많이 쓰 는 평균 ( 자료 에 있 는 모든 값 이나 측정값 을 합산 하 여 나눔 ) . 중간값 : 모든 자료 를 크기 순 으로 배열 했 을 때 가운데 있 는 값 을 말 한다 . . 최빈값 : 자료 에서 가장 비번 하 게 등장 하 는 값 을 말 한다 . ( 영국 성인 여성 평균 신발 치수 를 최빈값 으로 구하 면 6 ) 앞 에서 살펴본 것 처럼 , 통계 는 대부분 불 확실 한 요소 를 가지 고 있 으므로 실제 수치 가 과장 되 었 거나 . 과소평가 된 값 일 수 있 다 이런 ' 오류 ' 가 발생 하 는 이유 는 1 통계 값 을 측정 하 는 방법 에 신뢰도 가 없 거나 ( 매번 다른 조사 숫자 ) 2 측정 하 는 자료 가 다양 하 기 때문 이 다 . 어느 쪽 이 든 실제 값 을 가능 한 값 들 이 퍼져 있 는 범위 안 에 숫자 를 그림 을 나타낼 때 ' 종형 곡선 ', ' 대수 정규 분포 ', ' 지수분포 ' 나타날 수 있 다 . 따라서 이런 한 분포 가운데 특정 통계 가 속하 는 분포 를 알 면 추정 값 을 계산 하 는 데 도움 이 된다 . - 확률 이란 무엇 인가 ? ' 확률 ' 은 어떤 일 이 일어나 는 가능 성 을 수 로 나타내 는 것 이 다 . 확률 의 범위 는 절대 일어나 지 않 는 불 가능 한 경우 에서 반드시 일어나 는 확실 한 경우 까지 이 며 , 그 사이 에 어떤 가능 성 이 든 있 을 수 있 다 . 예 ) 동전 앞면 이 나올 가능 성 : 5 -% 트럼프 한 벌 에서 하트 무늬 가 나올 가능 성 : 25 % ㅡ 추세 를 파악 하 는 법 133 통계 는 현대 생활 의 많 은 부분 을 뒷받침 한다 . 통계 가 뉴스 를 지배 하 면 , 우리 는 통계 로 의견 을 형성 하 고 판단 을 내린다 . 무엇 보다 중요 한 것 은 빅 데이터 로 의사 결정 을 할 수 있 다는 점 이 다 . 4 장 페르미 의 문제 해결 하 기 ㅡ 페르미 추정 법 141 어림 계산 의 권위자 는 엔리코 페르미 이 다 . 세계 최초 로 원자로 를 만든 물리학자 인 페르미 는 1945 영 7 월 , 미국 의 뉴멕시코 에서 열린 인류 최초 의 핵실험 인 ' 트리니티 ' 에 참가 한 과학자 로 더욱 유명 하 다 . 페르미 와 동료 과학자 들 은 핵폭발 에 대비 해 핵폭탄 이 터지 는 지점 에서 약 6 마일 떨어진 벙커 에 머물렀 다 . 페르미 의 계산 에서 매우 인상 적 인 것 은 대충 만든 자료 로 결과 를 알아냈 다는 점 이 다 . 또한 그 의 결과 는 대략 적 인 값 이 ㄸㅐ로는 정확 한 답 과 꽤 동 덜 어질 수 있 으며 , 부 정확 한 답 이 유용 하 게 쓰일 수 도 있 음 을 보여 주 었 다 . 페르미 문제 를 해결 하 는 기술 을 연습 하 면서 실제 생활 에 도움 이 되 기 도 한다 . 이러 한 유형 의 문제 가 면접 시험 에 자주 등장 하 는 것 으로 유명 하 기 때문 이 다 . 나 역시 대학 입학 면접 시험 때 이런 유형 의 질문 을 받 았 다 . Q : " 이집트 피라미드 의 무게 는 얼마 냐 ? 이 문제 를 해결 하 는 방법 은 다음 과 같 을 것 이 다 . 1 . 피라미드 의 크기 와 뷔 를 추정 2 . 돌 의 밀도 를 추정 3 . 부피 와 밀도 를 곱해 피라미드 의 무게 를 구함 면접 관 들 이 나 의 대답 에 정말 관심 이 있 었 는지 궁금 하 다 . 실제로 피라미드 무게 를 재본 사람 은 아무 도 없 을 테 니까 말 이 다 . 면 접관 들 이 알 고 싶 었 던 건 문제 를 해결 하 는 사고 과정 있 었 을 것 이 다 . ( 수많 은 고용주 들 도 신입 사원 채용 할 때 지원자 들 의 독특 하 고 창의 적 인 발상 을 평가 하 기 위해 ' 페르미 ' 문제 를 내 곤 한다 . ㅡ 숫자 세기 144 페르미 식 추정 을 시작 할 때 가장 좋 은 출발점 은 숫자 를 세 는 것 이 다 . ' 얼마나 많 을까 ? 라는 질문 에 답 하 는 것 은 가장 원시 적 인 수학 적 도전 이 다 . 하지만 놀라운 수준 의 기술 이 필요 한 경우 가 많 고 , 때로 는 매우 논쟁 적 인 경우 도 이 다 . 예 ) 도널드 트럼프 가 자신 의 취임식 에 " 역사 상 가장 많 은 대중 이 참석 " 했 다 라고 말 했 지만 전 대통령 보다 훨씬 적 은 안 파로 자화자찬 한 것 이 다 . 이 처럼 이미 정확 한 숫자 를 세려 는 세심 한 시도 조차 종종 빛 나가 는 사례 를 봤 으나 . 다행히 적절 한 추정 값 만 필요 한 상황 도 많 다 . ㅡ 우연 을 계산 하 는 법 159 사람 들 은 우연 을 좋아한다 . 본능 적 으로 우연 에 이끌린다 . 인간 의 뇌 가 패턴 을 관찰 하 려고 만반 의 준비 를 하 고 있 기 때문 이 다 . 우리 는 놀라운 사실 을 발견 했 을 때 , 왜 그렇게 된 것 인지 궁금 해 한다 . 그리고 무언 인가 했으리라 짐작 한다 . 만일 확실 한 물리 적 원 이 이 없 다면 상상 의 날개 를 펼치 며 초 자연 적 인 원인 을 설명 하 려 든다 . 원인 을 찾 는 탐색 에 는 반드시 ' 확률 이 얼마 일까 ? 라는 질문 도 포함 된다 . 이러 한 확률 은 어떻게 해결 할 수 있 을까 ? 발 이때 어림 ㅁ 계산 의 수학 이 필요 하 다 . 몇 가지 우연 의 일치 를 좀 더 자세히 들여다 보 자 . - 로또 에 두 번 당첨 될 확률 영국 에서 로또 공 은 총 59 개 중 6 개 선택 ( 계산 방법 p 165 참조 ) 한눈 에 봐도 매우 큰 숫자 가 나올 것 같 다 실제로 풀 어 보 면 45 , 0574 , 474 라는 숫자 가 나온다 . 다시 말 해 여섯 개 숫자 를 무작위 로 선택 할 경우 다음 회차 에 같 은 숫자 가 뽑힐 확률 은 대략 4 , 500 만 분 의 1 이 다 . ㅡ 에너지 와 기후 , 환경 에 관한 예측 179 지구 의 미래 와 그 미래 를 다루 는 방법 은 현대 생활 에서 가장 절박 한 관심사 이 다 . 전 무가 들 이 정교 한 컴퓨터 로 모델 을 계속 개발 하 면서 다양 한 기후 현상 을 예측 하 듯이 , 기후 변화 가 어떤 영향 을 미칠지 아무 도 확신 할 수 없 다 . 하지만 제안 되 는 해결책 은 한결 같 다 . ( 이산화 탄소 와 메탄 배출 량 을 줄이 고 / 폐기물 의 양 줄이 기 / 불가피 한 폐기물 은 되 도록 재 활용 하 려는 노력 등 ) - 집 에서 가장 많 은 에너지 를 소비 하 는 건 무엇 일까 ? . 냉장고 . 늘 대기 중 인 대형 텔레비전 . 샤워기 . 주전자 등 ㅡ 재미 삼 아 풀 어 보 는 페르미 문제 들 194 맺음말 ㅡ 로봇 이 세상 을 지배 한다면 21