괴델 의 이 주장 은 힐 버트 를 비롯 한 완전 론 자 들 에게 커다란 충격 을 주 었 다 . 힐 버트 는 수학 에서 공리계 가 의미 있 고 생산 적 인 것 이 되 기 위해서 는 무모순성 ㆍ완전성ㆍ독립성이라는 세 조건 을 충족 해야 한다고 믿 었 다 . 이 완전 성 이란 해당 공리계 에 있 는 모든 올바른 ( 참인 ) 정리 를 그 공리계 에서 증명 할 수 있 어야 한다는 조건 을 가리킨다 . 이 조건 에 따르 면 수학 에서 의 완전 성 이란 수학 전체 를 하나 의 공리계 로 삼 았 을 때 참 된 명제 라고 인정 되 는 진술 을 수학 자체 에서 증명 할 수 있 어야 한다는 얘기 가 된다 .