심심 할 때 펜 과 종이 만 있 다면 할 수 있 는 몇 가지 매우 간단 한 게임 을 소개 한다 . 모두 수학 적 인 게임 이 고 두 명 이 할 수 있 는 게임 이 다 .   ( 사실 모두 John Conway 와 Elwyn Berlekamp 의 책   Winning Ways for your Mathematical Plays 에 나오 는   게임 들 이 다 . ) 1 . Dots and Boxes 게임 규칙 :   처음 에 ( n + 1 ) x ( n + 1 ) 격자 로 점 을 그리고 시작 한다 . ( n 은 2 이상 ) 각 플레이어 는 자기 차례 에 다음 과 같 은 행동 을 한다 .   ① 가로 혹은 세로 로 단위 길이 의 선 을 그어서 두 점 을 잇 는다 . ( 물론 이미 그어 져 있 지 않 은 선 이 어야 한다 . )② ⒜ 만약 방금 그린 선 이 단위 정사각형 을 완성 하 지 못했 다면 , 다음 사람 의 턴 으로 넘어간다 .   ⒝ 만약 방금 그린 선 이 단위 정사각형 을 완성 했 다면 , 그 정사각형 은 자신 의 영역 이 된다 . ( 자기 만 의 색 을 칠하 던지 아니 면 이니셜 을 적 어서 표시 를 하 자 . )③ 방금 단위 정사각형 을 완성 한   사람 은 ① 으로 돌아가 서 반복 한다 .   결국 n ^ 2 개 의 모든 단위 정사각형 이 누군가 의 영역 이 되 어 모두 채워 진다면 게임 은 끝 이 나 고 , 더 많 은 영역 을 차지 한 사람 이 이긴다 .   ( 만약 두 사람 이 차지 한 영역 이 같 다면 , 나중 에 플레이 한 사람 의 승리 로 본다 . )   아래 그림 은 3 x 3 격자 점 에서 ( 그러니까 , 2 x 2 상자 로 ) 플레이 한 예시 다 . ( 위키피디아 에서 가져온 그림 이 다 . ) 이 게임 을 하 다 보 면 알 수 있 는 것 이 , 이 게임 은 홀짝성 이 중요 하 다는 것 이 다 . 이 점 에서 상자 를 완성 하 면 선 을 한 번 더 그려야 한다는 점 이 중요 하 게 작용 한다 . 예 를 들 면 , 일부러 상대방 에게 상자 하나 를 주 면서 홀짝성 을 바꿔서 자신 에게 이득 이 되 도록 해야 하 는 경우 도 있 다 .   참고 로 , 위 그림 과 같 은 3 x 3 격자 에서 는 첫 번 째 사람 이 필승 전략 을 가지 고 있 다 .   2 . Sprouts 게임 규칙 :   평면 에 점 을 아무렇 게 나 n 개 찍 고 시작 한다 . ( n 은 2 이상 ) 각 플레이어 는 자기 차례 에 다음 과 같 은 행동 을 한다 .   ① 선 을 하나 그린다 . 이 때 , 선 의 양 끝점 은 이미 그려진 점 이 어야 하 고 , 선 은 다른 선 혹은 자기 자신 과 교차 하 지 않 게 그려야 한다 .   ② 방금 그린 선 위 에 점 을 하나 찍 는다 . 그리고 다음 사람 턴 으로 넘어간다 .   여기 에서 중요 한 제한 조건 이 하 나 있 다 . 각 점 에 는 최대 3 갈래 의 선 만   그려질 수 있 다 .   즉 , 어떤 점 주위 를 보 았 을 때 그 점 이 이미 세 갈래 길 이 라면 더 이상 선 을 연결 할 수 없 다는 말 이 다 .   결국 더 이상 선 을 그릴 수 없 는 사람 이 진다 .   아래 그림 은 처음 에 점 2 개 를 그리고 플레이 한 예시 다 . ( 역시 위키피디아 에서 가져온 그림 이 다 . ) ( 참고 로 , 점 2 ~ 3 개 는 너무 적 어서 필승 전략 을 매우 쉽 게 알아낼 수 있 으므로 최소한 5 개 는 그리고 시작 하 는 것 을 추천 한다 . )   이 게임 이 유한 한 턴 안 에 끝난다는 것 은 쉽 게 알 수 있 다 . 전체 그림 에서   선 을 그릴 수 있 는 가지 ( branch ) 의 개수 가 처음 에   3 n 개 ( 점 이 n 개 , 각 점 마다 3 개 의 가지 가 뻗 어 나갈 수 있 으므로 ) 가 있 는데 , 매 턴 마다 선 을 하나 그리고 그 위 에 점 을 하나 찍 으니까 2 개 의 가지 를 사용 하 고 , 또 새로 가지 하나 그릴 수 있 는 점 을 만드 는 것 이 다 . 즉 , 매 턴 마다 potential branch 의 개수 가 1 씩 줄어든다 .   마지막 에 potential branch 가 하나 남 으면 , 더 이상 선 을 그릴 수 없 으므로 , 아무리 오래 가 도 이 게임 은 3 n - 1 턴 안 에 끝난다 .   이 게임 에서 중요 한 요소 는 역시 홀짝성 이 다 . 몇 턴 남 았 는지 그 홀짝성 을 계속 생각 하 면서 플레이 해야 한다 .   Dots and boxes 에서 는 홀짝성 을 바꾸 는 요소 가 상자 를 완성 하 는 것 이 었 다면 , sprouts 에서 홀짝성 을 바꾸 는 요소 는 그림 의 위상 ( topology ) 이 다 .   위 그림 만 보 아도 이 게임 이 꽤 나 위상 수학 적 인 게임 이 라는 것 을 알 수 있 는데 , 선 을 잘 그려서 둘러싸 는 방법 을 이용 하 면 , 선 으로 둘러싸여서 더 이상 사용 할 수 없 는 점 이 생기 곤 한다 . 이 방법 으로 홀짝성 을 잘 조절 하 는 것 이 이 게임 에서 승리 하 는 방법 이 다 .   이 게임 이 꽤 나 단순 한 게임 이 어서 , 처음 에 그려진 점 이 스물 몇 개 인 경우 까지 는 컴퓨터 로 필승 전략 이 모두 계산 되 어 져 있 다고 어떤 책 에서 읽 었 던 것 같 다 .   3 . Sylver coinage 이 게임 은 위 두 게임 과 다르 게 펜 과 종이 가 필요 없 다 ! 숫자 로 하 는 게임 이 기 때문 이 다 .   규칙 은 다음 과 같 다 .   각 플레이어 는 자기 차례 에 다음 과 같 은 행동 을 한다 .   ① 2 이상 의 자연수 하나 를 부른다 . 그리고 차례 를 넘긴다 .   그런데 중요 한 제한 조건 이 있 다 . 앞 에서 불렸 던 자연수 들 을 여러 개 더 해서 만들 어 지 는 자연수 들 은 부를 수 없 다 .   ( 더 할 때 같 은 숫자 를 여러 번 더 할 수 있 다 . )   결국 숫자 를 부를 수 없 는 사람 이 진다 .   위키피디아 에 보 면 다음 과 같 은 예시 게임 이 있 다 . ( 여기 서 는 1 이상 의 자연수 를 말 할 수 있 는 것 으로 하 고 , 1 을 말 하 면 지 는 것 으로 하 고 있 다 . 물론 사실 상 똑같 은 규칙 이 다 . )   Sylver coinage 게임 이 항상 유한 한 턴 안 에 끝난다는 사실 은 수학자 Sylvester 의 다음 과 같 은 정리 로 바로 알 수 있 다 .   " a 와 b 가 서로 소인 자연수 라면 , ( a - 1 ) ( b - 1 ) - 1 보다 큰 모든 자연수 는 a 와 b 를 여러 번 더 해서 표현 가능 하 다 . "( 물론 이 정리 때문 에 이 게임 의 이름 이 Sylver coinage 라는 이름 이 붙 은 것 이 다 . ) 이 게임 의 재미 있 는 점 은 , 이 게임 이 아직 완전히 수학 적 으로 분석 되 지 않 았 다는 점 이 다 . 즉 , 이 게임 과 관련 한 미해결 문제 가 남 아 있 다 .   예 를 들 어서 https : / / oeis . org / A 248380 / a 248380 . pdf 에 보 면 John H . Conway 는 Sylver coinage 에서 첫 플레이어 가 16 을 부른다면 , 그 다음 부터 두 플레이어 가 가장 최선 의 방법 으로 플레이 했 을 때 누가 이길 것 인지 를 알아내 는 문제 에 $ 1000 의 상금 을 걸 어 놓 았 다 .  