천원지방 ( 天 圓 地方 ) 저자 : 李 仲 浩 천원지방 ( 天 圓 地方 ) 이 란 직역 하 면 “ 하늘 은 둥글 고 ( 圓 ) 땅 은 네모나 다 ( 方 ) . ” 는 뜻 으로 고대인 들 의 음양 ( 陰陽 ) 관 이 도형 과 숫자 로 반영 되 어 나타난 것 이 다 . 둥그런 원 ( 員 ) 은 하늘 과 양 ( 陽 ) 을 상징 하 고 , 네모난 방 ( 方 ) 은 땅 과 음 ( 陰 ) 을 상징 한다 . 이러 한 모양 이 왜 그런 상징 의 미 를 나타내 는지 를 이제 부터 알아보 도록 하 자 . 1 . 복희 ( 伏羲 ) 와 여와 ( 女 媧 ) 복희 ( 伏羲 ) 는 전설 상 의 중국 고대 황제 이 며 , 팔괘 ( 八卦 ) 를 처음 만든 인물 이 라고 전해 지 기 도 한다 . 《 주역 ㆍ계 사전 ( 周易 ㆍ 卦辭 傳 ) 》 에서 는 “ 고대 에 복희씨 가 천하 를 다스릴 때 , 위 로 하늘 의 상 ( 象 ) 을 관찰 하 고 , 아래 로 땅 의 법 ( 法 ) 을 관찰 하 였 다 . 새 와 짐승 들 의 모양 및 땅 의 마땅 함 을 관찰 하 여 가까이 는 몸 에서 , 멀리 로 는 사물 에서 취하 여 처음 팔괘 ( 八卦 ) 를 만들 었 다 . ” 고 전한다 . 또한 《 사 기 ㆍ일자열전 ( 史記 ㆍ 日者 列傳 ) 》 에 이르 길 “ 복희 ( 伏羲 ) 가 팔괘 를 만든 이래 로 주문 왕 ( 周 文王 ) 이 이 를 확장 하 여 384 효 를 만들 어 천하 를 다스렸 다 . ” ( 원문 : 古 者 伏羲 氏 之 王 天下 也 ， 仰 則 觀象 於 天 ， 俯 則 觀法 於 地 ， 觀 鳥獸 之 文 ， 與 地 之 宜 ， 近 取 諸 身 ， 遠 取 諸 物 ， 於 是 始作 八卦 . ..) 고 전한다 . 여와 ( 女 媧 ) 또한 중국 신화 에 나오 는 전설 상 의 여신 이 다 . 《 회남자 ㆍ남명훈 ( 淮南 子 ㆍ 覽 冥 訓 ) 》 에서 는 “ 태고 에 사극 ( 四極 ; 고대 신화 에서 하늘 을 떠받드 는 4 개 의 기둥 ) 이 무너지 고 , 구주 ( 九州 , 고대 중국 의 땅 ) 가 갈라지 며 , 하늘 이 만물 을 덮 어 주 지 않 고 , 땅 이 만물 을 싣 지 않 았 다 . 불 이 치솟 아 꺼지 지 않 고 , 물 이 넘치 는 것 이 쉬 지 않 으며 , 맹수 가 선량 한 사람 들 을 잡아먹 고 , 사나운 새 들 이 노약자 를 빼앗 아 갔 다 . 이때 에 여와 ( 女 媧 ) 가 오색 의 돌 을 녹여 하늘 을 메우 고 , 거북 의 다리 를 잘라 사극 ( 四極 ) 을 세웠 다 . 흑룡 ( 黑龍 ) 을 죽여서 기주 ( 冀州 ) 를 구제 하 고 , 로회 ( 蘆 灰 , 갈대 를 태운 재 ) 를 쌓 아 홍수 를 막 았 다 . ” ( 원문 : 往古 之 時 ， 四極廢 ， 九州裂 ， 天 不 兼覆 ， 地 不 周 載 ， 火 爁 炎 而 不 滅 , 水 浩 洋 而 不 息 , 猛獸 食 顓民 ， 鷙鳥 攫 老弱 ， 於 是 女 媧 煉 五色石以補蒼天 ， 斷 鼇 足 以 立 四極 . 殺 黑龍 以 濟 冀州 , 積 蘆 灰 以 止 淫 水 . ) 고 전한다 . 왕 소순 ( 王 小 盾 ) 에 의하 면 복희 와 여와 는 본래 는 서로 다른 신화 의 인물 들 이 고 , 이 둘 이 함께 나타나 는 것 은 한 대 ( 漢 代 ) 의 그림 들 과 《 회남자 ( 淮南 子 ) 》 와 같 은 서적 에서부터 라고 한다 . 즉 , 복희 와 여와 는 본래 고대 에 는 독립 적 으로 나타나 는 신화 의 주인공 이 었 고 , 이 둘 이 함께 나오 는 것 은 한 대 ( 漢 代 ) 에 와서 서로 한 쌍 이 되 어 만들 어 진 신화 인 것 이 다 . 1 그렇 다고 아래 소개 할 모든 내용 이 한 대 ( 漢 代 ) 에 만들 어 진 이론 이 라는 뜻 은 아니 다 . 다만 기존 에 전해 오 던 내용 에 상징 적 의미 를 더한 것 뿐 이 다 . 복희 와 여와 는 서로 남매 로 표현 되 곤 한다 . 그리고 한 대 ( 漢 代 ) 이후 의 많 은 그림 들 에서 복희 와 여와 는 모두 사람 의 머리 에 뱀 의 꼬리 를 가진 모양 으로 서로 꼬리 가 엮여 있 는 모양 으로 나타난다 . < 복희 여와 도 ( 伏羲 女 媧 圖 ) > 즉 복희 와 여와 는 남성 과 여성 을 상징 하 고 이 는 곧 해 와 달 , 그리고 양 ( 陽 ) 과 음 ( 陰 ) 을 상징 한다 . 복희 와 여와 가 꼬리 가 엮여 있 는 것 은 하나 의 태극 ( 太極 ) 에서 음 ( 陰 ) 과 양 ( 陽 ) 이 분리 되 어 나오 는 것 과 이 둘 이 다시 합치 는 것 을 나타내 며 , 이 는 음양 ( 陰陽 ) 의 결합 과 분리 를 동시 에 상징 한다 . 이 들 은 또 손 에 각각 규 ( 規 ) 와 구 ( 矩 ) 라는 측량 도구 를 들 고 있 는데 , 여 와 는 규 ( 規 ) 를 들 고 있 고 , 복희 는 구 ( 矩 ) 를 들 고 있 다 . 규 ( 規 ) 란 고대 에 원 을 그리 는데 사용 하 던 공구 로 오늘날 의 컴퍼스 와 같 은 도구 이 다 . 구 ( 矩 ) 란 직각 이나 네모 를 그리 는데 사용 하 던 ㄱ 자 모양 의 공구 로 곡척 ( 曲尺 ) 이 라고 도 한다 . 원 과 네모 는 고대 철학 에서 음양 ( 陰陽 ) 을 대표 하 는 도형 이 기 도 하 고 고대인 들 이 바라본 수 ( 數 ) 의 근본 출발 이 기 도 하 다 . 원 ( 圓 ) 은 하늘 의 무한 함 과 동적 ( 動 的 ) 인 속성 을 상징 하 고 , 네모 는 땅 의 유한 함 과 정적 ( 靜 的 ) 인 속성 을 상징 한다 . 원 과 네모 가 왜 이러 한 속성 을 상징 하 는 지 , 그리고 여기 서 어떻게 수 ( 數 ) 의 개념 이 파생 되 어 나오 고 , 그것 이 어떻게 음양 ( 陰陽 ) 과 세상 을 다스리 는 법칙 으로 자리 잡 게 되 는지 는 고대 중국 에 전해 지 는 가장 오래 된 수학 , 천문학 서적 인 《 주비 산경 ( 周髀 算經 ) 》 이 라는 책 을 통해서 봐야 알 수 있 다 . 2 . 주비 산경 ( 周髀 算經 ) 《 주비 산경 ( 周髀 算經 ) 》 의 지 어 진 연대 와 저자 는 확실 치 않 다 . 이것 이 책 으로 나타난 것 은 동한 ( 凍 漢 ) 말기 로 알려져 있 지만 , 이 는 그 이전 까지 의 수학 , 천문학 지식 을 정리 한 것 이 지 이때 처음 나온 이론 들 은 아니 다 . 이 책 의 시작 부분 은 고대인 들 이 바라본 수 ( 數 ) 의 의미 와 서양 의 피타고라스 의 정리 에 해당 되 는 내용 이 나오 는데 이 는 서주 ( 西周 ) 시기 의 주공 ( 周公 ) 과 상고 ( 商高 ) 라는 인물 의 문답 형식 으로 되 어 있 다 . 또 그 뒤 에 는 영방 ( 榮 方 ) 과 진자 ( 陳 子 ) 라는 인물 의 문답 형식 의 글 이 나오 는데 이 들 은 주공 ( 周公 ) 보다 더 후대 의 인물 들 로 보인다 . 주비 ( 周髀 ) 란 주 ( 周 ) 나라 의 비 ( 髀 ) 이 다 . 비 ( 髀 ) 는 삼각형 의 높이 에 해당 하 는 고대 의 명칭 인 고 ( 股 ) 와 비슷 한 개념 으로 , 비 ( 髀 ) 와 고 ( 股 ) 는 둘 다 본래 는 허벅지 , 다리 의 뜻 이 다 . < 고대 의 규표 ( 圭表 ) > 고대 에 해 의 그림자 를 이용 해서 측량 하 는 도구 를 규 ( 圭 ) 혹은 표 ( 表 ) 혹은 규표 ( 圭表 ) 라고 불렀 는데 , 이것 이 곧 비 ( 髀 ) 이 다 . 다리 처럼 서 있 기 때문 에 그렇게 이름 을 붙인 것 같 다 . 좌측 에 규표 ( 圭表 ) 의 그림 에서 위 로 세운 막대 가 표 ( 表 ) 이 고 , 바닥 에 그림자 가 생기 는 면 이 규 ( 圭 ) 이 다 . 그림 에서 보 듯이 표 ( 表 ) 가 삼각형 의 높이 에 해당 되 므로 《 주비 산경 ( 周髀 算經 ) 》 에서 는 “ 비 ( 髀 ) 는 표 ( 表 ) 이 다 . ” 라고 하 였 다 . 《 주비 산경 ( 周髀 算經 ) 》 에 는 피타고라스 의 정리 와 똑같 은 직각 삼각형 의 세 변의 관계 를 증명 하 는 방법 이 나온다 . 피타고라스 의 정리 란 직각삼각형 의 밑변 을 a , 높이 를 b , 빗변 을 c 라고 할 때 아래 의 공식 이 성립 한다는 것 을 증명 하 는 것 을 말 한다 . 그리고 이러 한 a , b , c 의 조건 을 충족 시키 는 대표 적 인 비율 은 3 : 4 : 5 로 알려져 있 다 . 즉 32 + 42 = 52 인 것 이 다 . 그런데 이러 한 3 : 4 : 5 의 직각삼각형 비율 은 동서양 에서 모두 이미 오래 전 부터 경험 적 으로 발견 되 어 측량 및 공사 등 에 이용 되 어 왔 던 비율 이 다 . 기원전 2000 년 경 의 고대 이집트 에서 도 이러 한 공식 을 반영 한 기록 이 보이 고 , 함무라비 가 다스리 던 시기 의 바빌로니아 점토 판 에 도 3 : 4 : 5 이외 에 위 에 공식 을 만족 시키 는 다른 비율 의 숫자 들 이 나타나 고 있 다고 한다 . 피타고라스 의 정리 란 이 비율 들 을 피타고라스 가 발견 했 다는 것 이 아니 라 이 비율 이 나타내 는 공식 을 증명 하 는 방법 을 말 한다 . 그리고 그 방법 은 단지 한 가지 만 있 는 게 아니 라 수백 가지 의 증명 방법 이 있 다 . 그 중 에 가장 유명 한 방법 은 아래 그림 과 같이 직각삼각형 의 밑변 과 높이 의 길이 를 한 변 으로 하 는 정사각형 의 면적 의 합 과 빗변 의 길이 를 한 변 으로 하 는 정사각형 의 면적 이 서로 같 다는 것 을 증명 함 으로써 a 2 + b 2 = c 2 임 을 증명 하 는 것 이 다 . 그런데 《 주비 산경 ( 周髀 算經 ) 》 에서 도 이 와 비슷 한 방식 으로 위 에 공식 을 증명 하 는 내용 이 나온다 . 이것 을 구 고 정리 ( 句股 定理 ) 혹은 구고현 정리 ( 句股 弦 定理 ) 라고 부른다 . 구 ( 句 ) 는 직각삼각형 의 밑변 을 말 하 고 , 고 ( 股 ) 는 높이 , 현 ( 弦 ) 은 빗변 을 뜻 한다 . 피타고라스 는 기원전 500 년 경 의 인물 이 므로 , 만일 《 주비 산경 ( 周髀 算經 ) 》 의 내용 이 실제 주공 ( 周公 ) 의 시기 에 전해진 내용 이 라면 이 증명 방법 은 서양 보다 앞선 것 이 지만 , 한 대 ( 漢 代 ) 의 작품 이 라면 서양 보다 는 늦 은 것 이 다 . 그런데 《 주비 산경 ( 周髀 算經 ) 》 에서 는 구고 정리 ( 句股 定理 ) 를 시작 하 기 전 에 먼저 숫자 의 철학 적 인 개념 들 을 먼저 설명 하 면서 시작 한다 . 《 주비 산경 ( 周髀 算經 ) 》 의 내용 은 최종 적 으로 명확 하 게 그림 을 통해 정리 해서 보여 주 므로 그 의미 가 분명 하 지만 , 그 문장 은 다소 난해 한 표현 들 이 섞여 있 어 해석 하 는 사람 들 마다 차이 를 보이 기 도 한다 . 그리고 이 내용 들 이 천원지방 ( 天 圓 地方 ) 의 개념 이해 에 매우 중요 하 다 . 3 . 원 ( 圓 ) 은 삼 ( 三 ) , 방 ( 方 ) 은 이 ( 二 ) , 혹은 사 ( 四 ) 《 주비 산경 ( 周髀 算經 ) 》 의 시작 부분 은 주공 ( 周公 ) 이 “ 수 ( 數 ) 가 어디 에서 나왔 는가 ? ” 하 고 묻 자 , 이 에 대해 상고 ( 商高 ) 가 아래 와 같이 대답 하 면서 시작 된다 . 『 수 ( 數 ) 의 법 ( 法 ) 은 원 ( 圓 ) 과 방 ( 方 , 네모 ) 에서 나옵니다 . 원 ( 圓 ) 은 방 ( 方 ) 에서 나오 고 , 방 ( 方 ) 은 구 ( 矩 , 수직 을 재 는 곱자 ) 에서 나오 며 , 구 ( 矩 ) 는 구구단 에서 나옵니다 . ( 원문 : 數 之 法 ． 出 于 圓 方 ． 圓 出 于 方 ． 方 出 于 矩 ． 矩 出 于 九九八十一 . )』 이 내용 을 이해 하 기 위해서 는 《 주비 산경 ( 周髀 算經 ) 》 이외 에 고대 의 다른 서적 들 에서 원 과 사각형 의 관계 에 대해 언급 한 내용 을 참고 해 봐야 한다 . 천원지방 ( 天 圓 地方 ) 이 란 하늘 은 둥글 고 땅 은 네모나 다는 뜻 인데 그러 한 관념 이 언제 부터 시작 된 것 인지 는 확실히 알 수 는 없 다 . 《 주비 산경 ( 周髀 算經 ) 》 에서 도 “ 네모 는 땅 에 속하 고 , 원 은 하늘 에 속한다 . 하늘 은 둥글 고 땅 은 네모나 다 . ( 方 屬地 圓 屬 天 天 圓 地方 ) ” 고 나오 고 , 《 후한서 ( 後 漢書 ) 》 에 도 그러 한 내용 이 나온다 . 1985 년 중부 안휘성 ( 安 徽 省 ) 에서 발굴 된 능가 탄 ( 凌 家 灘 ) 유적 은 지금 으로부터 약 5300 ~ 5600 년 전 의 신석기 시대 의 유적 인데 이곳 에서 발견 된 유물 중 옥 ( 玉 ) 으로 만든 거북 의 배갑 ( 背甲 , 등 껍질 ) 과 복갑 ( 腹甲 , 배 껍질 ) 모형 이 있 고 , 그 안 에 아래 그림 과 같 은 무늬 가 새겨진 옥판 ( 玉板 ) 이 출토 되 었 다 . < 능가 탄 유적 에서 발견 된 옥판 ( 玉板 ) > 이 옥판 ( 玉板 ) 도 원형 과 사각형 의 조화 를 위주 로 만들 어 졌 는데 , 이러 한 구조 도 천원지방 ( 天 圓 地方 ) 의 관념 과 연관 된 것 으로 보이 기 도 한다 . 이 옥판 에 대한 해설 은 뒤 에 자세히 다루 도록 할 것 이 다 . 하늘 이 둥글 다는 것 은 해 가 뜨 고 지 고 , 별 들 이 돌 고 돌 아 제자리 로 돌아오 는 모양 에서 영감 을 얻 은 것 으로 생각 된다 . 반면 땅 이 네모 라는 개념 은 일차 적 으로 는 천체 들 이 돌 면서 움직이 는 하늘 과 대비 되 어 움직이 지 않 고 제 자리 에 머물러 있 다는 개념 으로 봐야 한다 . 그래서 《 후한서 ㆍ율력지 ( 後 漢書 ㆍ 律 曆 志 ) 》 에서 “ 양 ( 陽 ) 은 원 ( 圓 ) 으로 형 ( 形 ) 을 이루 며 그 성질 이 동적 이 고 , 음 ( 陰 ) 은 네모 로 마디 를 이루 며 그 성질 이 정적 이 다 . ( 陽 以 圓 為 形 , 其 性 動 ； 陰 以 方 為 節 , 其 性 靜 ) ” 라고 하 였 다 . 율 력 ( 律 曆 ) 이 란 음악 에서 음 ( 音 ) 의 높낮이 를 나누 는 악률 ( 樂律 ) 과 천체 의 운행 주기 에 따라 시간 단위 를 나누 는 역법 ( 曆法 ) 을 말 한다 . 그런데 이러 한 천원지방 ( 天 圓 地方 ) 과 율 력 ( 律 曆 ) 이 무슨 상관 이 있 기에 《 후한서 ㆍ율력지 ( 後 漢書 ㆍ 律 曆 志 ) 》 에서 이러 한 천원지방 의 개념 부터 시작 한 것 일까 ? 그리고 정적 ( 靜 的 ) 인 땅 은 왜 하필 방 ( 方 ) 이 라고 한 것 일까 ? 이 에 대한 해답 을 얻 기 위해서 는 원 과 사각형 의 각도 개념 을 봐야 한다 . 원 ( 圓 ) 이란 하나 의 이상 적 인 형태 이 다 . 그 원 의 둘레 를 매우 작 은 선 들 로 등분 하 여 원 에 내접 하 는 다각형 을 만들 면 8 각 형 도 될 수 있 고 , 16 각 형 도 될 수 있 으며 점점 더 세분 하 면 128 각 형 , 1024 각 형 등 이론 상 으로 무한대 의 등분 이 가능 하 다 . 그런데 이렇게 원 에 내접 하 는 무수 한 다각형 들 중 에서 오직 사각형 만 이 그 내각 의 합 이 360 도 가 되 는데 , 이 360 도 가 바로 원 의 각도 이 기 도 하 다 . 고로 수많 은 가능 한 원 에 내접 하 는 다각형 중 에서 오직 사각형 만 이 하늘 과 무한대 의 수 를 상징 하 는 이상 적 인 원형 의 특징 을 그대로 받아들인다고 본 것 이 다 . 고대인 들 이 직접 각도 를 재 지 않 았 더라도 그 내각 이 원 의 각인 360 도 와 같 다는 것 은 직관 적 으로 알 수 있 었 을 것 이 다 . 무한 의 원 을 유한 의 상태 로 축소 한 가장 작 은 단위 의 도형 은 삼각형 이 되 지만 , 삼각형 의 내각 은 180 도 이 므로 360 도 인 원 의 뜻 을 모두 담 은 의미 를 지니 지 못한다 . 마치 태극 ( 太極 ) 이 라는 하나 의 속성 이 음 ( 陰 ) 과 양 ( 陽 ) 으로 나뉘 어 각각 전체 의 절반 의 속성 만 을 반영 하 듯 , 삼각형 은 원 의 절반 의 의미 만 을 담 는 것 에 해당 되 는 것 이 다 . 즉 하늘 이 원 ( 圓 ) 이 라는 것 은 그것 이 무한히 넓 고 크 다는 개념 이 고 , 땅 이 네모 라는 것 은 그것 이 유한 하 여 경계 가 있 다는 뜻 이 면서 동시 에 하늘 의 뜻 을 잘 받아들여 유순 하 게 받드 는 성질 이 있 다는 것 을 뜻 한다 . 정리 하 자면 원 ( 圓 ) 과 방 ( 方 ) 의 상징 의 미 는 아래 와 같이 나타낼 수 있 다 . 땅 이 정적 ( 靜 的 ) 이 라는 것 은 땅 의 사물 들 이 움직임 과 변화 가 없이 멈춰 있 다는 의미 는 아니 다 . 땅 에서 도 계절 의 변화 와 같이 규칙 적 으로 순환 하 는 변화 가 나타나 지만 , 이 는 어디 까지 나 하늘 의 영향 을 받 아서 반영 되 는 것 이 지 자체 적 인 움직임 이 아니 다 . 그리고 그러 한 변화 에 는 사각형 의 각 ( 角 ) 이 상징 하 는 정적 ( 靜 的 ) 인 점 이 있 어 각각 의 지점 마다 여름 , 겨울 과 같 은 극 적 인 대비 를 이루 는 음양 ( 陰陽 ) 의 변화 가 나 타 면서 동시 에 급격 한 변화 를 방지 하 고 변화 가 서서히 이루어지 도록 한다 . 이러 한 마디 는 주역 ( 周易 ) 및 고대 갑골문 에서 도 절 ( 節 ) 이 라는 개념 으로 반영 되 어 나타난다 . 절 ( 節 ) 은 본래 대나무 의 마디 를 뜻 하 는데 , 대나무 가 자라 다가 마디 에서 쉬 고 또 자라 는 형태 를 가짐 으로써 더 높 게 자랄 수 있 는 것 에서 취한 의미 이 다 . 그래서 위 에 후한서 에서 " 음 ( 陰 ) 은 정적 으로 마디 를 이룬다 " 고 한 것 이 다 . 원 ( 圓 ) 과 방 ( 方 ) 이 각각 양수 ( 陽數 ) 와 음수 ( 陰數 ) 를 의미 하 는 것 은 원 의 숫자 가 3 이 고 네모 의 숫자 가 2 와 4 인 것 에서 온 것 이 다 . 이것 은 뒤 에 설명 할 것 이 다 . 이렇게 무한 인 원 의 둘레 를 등분 해서 유한 의 다각형 을 만드 는 원리 는 이미 신석기 시대 유물 들 에서 도 반영 되 어 나타난다 . 이적 ( 李 迪 ) 은 그 의 저서 《 중국 수학 사간 편 ( 中國 數學 史 簡 編 ) 》 에서 신석기 시대 유적지 에서 발굴 된 도기 ( 陶器 ) 들 의 원 주위 를 따라 그려진 아래 와 같 은 문양 들 이 이러 한 원주 를 등분 하 는 사상 을 명백히 반영 하 고 있 다고 한다 . 2 < 신석기 시대 도기 ( 陶器 ) 의 문양 > 3 이러 한 개념 이 《 주비 산경 ( 周髀 算經 ) 》 에 나오 는 “ 수 의 법 은 원 과 네모 에서 나오 고 , 원 은 네모 에서 나온다 . ( 數 之 法 , 出 於 圓 方 , 圓 出 於 方 . ) ” 의 개념 과 도 통하 는 것 이 다 . 즉 원 을 등분 하 여 얻 은 여러 가지 다각형 중 네모 의 속성 을 강조 한 것 이 다 . 그러면 이러 한 개념 이 어떻게 수 ( 數 ) 의 개념 과 연관 되 는지 알아보 도록 하 자 . 지름 의 길이 가 1 인 원 의 원둘레 는 π ( = 3 . 14 . ..) 가 된다 . 그러나 고대인 들 은 원주율 ( π ) 을 3 이 라고 보 았 으므로 , 원 의 면적 은 3 이 되 는 것 이 다 . 《 주비 산경 ( 周髀 算經 ) 》 에서 도 “ 지름 238 , 000 리 ( 里 ) 는 하 지 ( 夏至 ) 에 일도 ( 日 道 ) 의 지름 인데 , 그 둘레 는 714 , 000 이 다 . ” ( 원문 : 凡 徑 二十三萬八千里 . 此 夏至 日 道 之 徑 也 , 其 周 七十一萬四千里 . ) 라고 나온다 , 여기 서 지름 238 , 000 에 3 을 곱하 면 원둘레 인 714 , 000 이 되 므로 고대 에 는 원주율 을 3 이 라고 본 것 을 알 수 있 다 . 그 뒤 로 위 ( 魏 ) 나라 의 수학자 인 유휘 ( 劉 徽 , 약 225 年 ~ 약 295 年 ) , 남송 ( 南宋 ) 의 과학자 인 조충지 ( 祖 沖 之 , 429 年 ~ 500 年 ) 등 이 원주율 을 소수점 단위 까지 계산 하 였 다 . 이때 이 원 에 외접 하 는 사각형 은 한 변의 길이 가 1 이 되 므로 사각형 의 둘레길 이 는 4 가 된다 . 고로 앞서 원 ( 圓 ) 의 수 는 3 이 고 방 ( 方 ) 의 수 는 4 이 므로 , 원 ( 圓 ) 은 양수 ( 陽數 ) 을 대표 하 고 방 ( 方 ) 은 음수 ( 陰數 ) 를 대표 한다고 한 것 이 다 . 원출 어방 ( 圓 出 於 方 ) 의 개념 은 또한 《 주비 산경 ( 周髀 算經 ) 》 에 나오 는 “ 구 ( 矩 ) 를 돌려서 원 ( 圓 ) 을 만든 다 . ( 環 矩 以 為 圓 ) ” 는 내용 과 도 통한다 . 구 ( 矩 ) 란 앞서 말 했 듯이 수직 을 재 고 그리 는 ㄱ 자 모양 의 공구 인 곡척 ( 曲尺 ) 이 다 . 구 ( 矩 ) 는 비록 직각 과 네모 를 그리 는데 사용 하 지만 , 그 ㄱ 자 모양 은 사실 세 점 으로 이루어진 삼각형 이 다 . 고로 구 ( 矩 ) 를 돌린다는 것 은 아래 그림 과 같이 삼각형 을 돌려서 그 이어지 는 선 들 로 원 을 이룬다는 개념 이 다 . < 환구 이 위원 ( 環 矩 以 為 圓 ) > 비록 삼각형 과 사각형 의 차이 는 있 지만 이 또한 유한 한 각 을 돌려서 무한 의 원 을 그린다는 개념 은 같 다 . 원 에 내접 한 방 ( 方 ) 을 360 도 돌려도 똑같이 원 을 만들 수 있 으며 이 또한 환구 이 위원 ( 環 矩 以 為 圓 ) 과 같 은 개념 이 다 . 《 주비 산경 ( 周髀 算經 ) 》 에서 는 “ 구 ( 矩 ) 를 합하 여 방 ( 方 ) 을 만든 다 . ( 合 矩 以 為 方 ) ” 는 말 이 나온다 . 이 문장 에서 구 ( 矩 ) 를 삼각형 으로 해석 하 면 삼각형 둘 을 합해서 사각형 을 만든 다는 뜻 이 된다 . 그러나 《 주비 산경 ( 周髀 算經 ) 》 에서 구 ( 矩 ) 는 삼각형 보다 는 바둑판 과 같 은 격자무늬 의 한 단위 , 혹은 그 단위 들 이 모여서 만드 는 각 을 지닌 도형 의 총칭 으로 나타난다 . 이렇게 보 면 “ 구 ( 矩 ) 를 합하 여 방 ( 方 ) 을 만든 다 . ( 合 矩 以 為 方 ) ” 는 단지 삼각형 을 합해서 네모 를 만든 다는 것 이 아니 라 , 아래 그림 처럼 이러 한 ㄱ 자 모양 의 곱자 로 이루어진 격자 를 합해서 네모 를 만든 다는 뜻 도 된다 . 그리고 구 ( 矩 ) 는 단지 이러 한 격자 의 한 단위 뿐 만 아니 라 , 이러 한 격자 로 이루어진 모든 도형 들 을 의미 하 기 도 한다 . 즉 삼각형 이 던 사각형 이 던 각 ( 角 ) 을 지닌 도형 을 말 한다 . < 여러 가지 구 ( 矩 ) > 가령 위 에 ① 번 처럼 가장 작 은 최 소단위 의 격자 도 구 ( 矩 ) 이 고 , ③ 번 그림 처럼 격자 모임 이 반 으로 잘린 삼각도 형 도 구 ( 矩 ) 이 다 . 이러 한 개념 을 알 아야 뒤 에 설명 할 구고 ( 矩 股 ) 정리 의 문장 이 이해 가 가능 하 다 . 이 로써 앞서 《 주비 산경 ( 周髀 算經 ) 》 에 나온 수수께끼 같 은 문장 중 “ 원 은 네모 에서 나오 고 , 네모 는 구 ( 矩 ) 에서 나오 며 , 구 ( 矩 ) 는 구구단 에서 나온다 . ( 圓 出 于 方 ． 方 出 于 矩 ． 矩 出 于 九九八十一 ) ” 는 문장 의 의미 가 확실 해 진다 . 여기 서 구구단 은 우리 가 아 는 그 구구단 인데 , 그것 이 도형 으로 나타날 때 에 는 위 에 그림 처럼 바둑판 과 같 은 격자 모양 으로 나타난다 . 4 모든 구구단 은 이 격자 모양 으로 표현 할 수 있 기 때문 이 다 . 결론 적 으로 이 격자 ( 구구단 ) 가 모여서 구 ( 矩 ) 가 되 고 , 구 ( 矩 ) 가 모여서 네모 를 이루 면 방 ( 方 ) 이 되 며 , 이 방 ( 方 ) 의 절반 으로 된 삼각형 의 구 ( 矩 ) 를 돌리 면 원 ( 圓 ) 이 된다는 말 이 다 . 앞서 원 ( 圓 ) 과 방 ( 方 ) 의 숫자 를 알아보 면서 이것 을 원 ( 圓 ) 과 방 ( 方 ) 의 둘레 길이 로 알아보 았 다 . 그러나 이것 을 원 과 사각형 의 넓이 로 보 고 풀 수 도 있 다 . 아까 는 지름 이 1 인 원 을 기준 으로 보 았 지만 , 이번 엔 반지름 ( r ) 이 1 인 원 을 보 도록 하 자 . 이 경우 에 도 역시 원주율 ( π ) 을 3 이 라고 보 면 원 의 면적 은 3 ( 12 × 3 = 3 ) 이 된다 . 그리고 원 에 외접 하 는 사각형 은 한 변의 길이 가 2 이 므로 면적 은 4 ( 2 × 2 = 4 ) 가 된다 . 그리고 원 에 내접 하 는 사각형 의 면적 은 2 가 된다 . 물론 이 2 라는 면적 은 루트 값 을 알 아야 나오 지만 구지 루트 를 몰라도 아래 와 같 은 방법 으로 구할 수 있 었 을 것 이 다 . 위 에 그림 에서 원 에 외접 하 는 사각형 의 넓이 는 4 인데 , 그 사각형 은 4 등분 하 면 1 / 4 조각 의 면 적 인 1 이 되 고 , 그 절반 을 자른 삼각형 의 면적 은 1 / 2 이 된다 ( 위 에 그림 에서 까만 색칠 부분 ) . 원 에 내접 하 는 사각형 은 이 삼각형 이 4 개 가 모인 것 이 므로 그 면적 이 2 가 된다는 것 은 《 주비 산경 ( 周髀 算經 ) 》 에 나오 는 내용 정도 의 수학 능력 이 있 던 고대인 들 이 라면 충분히 계산 할 수 있 었 던 개념 이 다 . 앞서 원 과 네모 의 둘레 로 볼 때 에 는 원 은 3 이 고 네모 는 4 라는 원리 는 설명 이 가능 했 지만 , 네모 는 2 라는 개념 은 설명 이 어렵 다 . 그러나 원 과 네모 의 면적 으로 보 면 원 은 3 이 고 네모 는 2 와 4 가 된다 . 내 가 이렇게 원 과 사각형 의 둘레길 이 보다 그 면적 을 위주 로 보 는 이유 는 한 대 ( 漢 代 ) 의 다른 서적 들 에서 네모 는 4 보다 는 2 의 개념 이 우선 으로 나타나 며 , 이렇게 2 와 4 의 개념 을 같이 보 는 것 이 더 합리 적 이 기 때문 이 다 . 《 후한서 ㆍ율력지 ( 後 漢書 ㆍ 律 曆 志 ) 》 에서 는 원 ( 圓 ) 과 방 ( 方 ) 을 숫자 로 다음 과 같이 표현 하 고 있 다 . 『 동적 인 것 은 수 가 3 이 고 , 정적 인 것 은 수 가 2 이 다 . ( 動 者 數 三 ， 靜 者 數 二 ) 』 즉 , 음수 ( 陰數 ) 의 대표 로 4 가 아니 라 2 를 말 하 고 있 는 것 이 다 . 동적 인 것 은 하늘 이 고 , 하늘 은 원 ( 圓 ) 이 며 양 ( 陽 ) 에 속하 므로 양수 를 배속 해야 한다 . 또 , 정적 인 것 은 땅 이 고 땅 은 방 ( 方 ) 이 며 음 ( 陰 ) 에 속하 므로 음수 를 배속 해야 한다 . 또한 하늘 이 더 커서 땅 을 덮 을 수 있 어야 하 는데 , 이러 한 상황 을 《 율 력 지 ( 律 曆 志 ) 》 에서 는 원개 방복 ( 圓蓋 方 覆 ; 원 이 방 을 덮 는다 ) 이 라고 표현 하 고 있 다 . 고로 양수 가 음수 보다 큰 수 로 짝 을 지어야 한다 . 이러 한 방식 으로 짝 지워 질 수 있 는 가장 작 은 단위 의 기본 적 인 수 는 2 와 3 이 다 . 원개 방복 ( 圓蓋 方 覆 ) 의 의미 가 실제로 둥근 하늘 이 네모난 땅 을 덮 고 있 다는 것 으로 보 고 , 후대 학자 들 이 개천설 ( 蓋天 說 ) 이 라는 우주 모형 을 제시 하 기 도 했 지만 , 내 생각 엔 이 는 다분히 상징 적 인 의미 일 뿐 이 다 . 2 와 3 을 각각 정적 ( 靜 的 ) 인 수 와 동적 ( 動 的 ) 인 수 로 본 것 에 는 또 다른 해석 이 가능 하 다 . 2 의 상태 는 중 ( 中 ) 이 드러나 지 않 은 상태 이 고 , 3 의 상태 는 이 둘 사이 에 중 ( 中 ) 이 드러난 상태 이 다 . 중 ( 中 ) 이 드러나 지 않 은 2 의 상태 는 양쪽 이 서로 분리 되 어 섞이 지 않 은 정적 ( 靜 的 ) 인 상태 이 다 . 그러나 중 ( 中 ) 이 드러난 3 의 상태 는 중 ( 中 ) 이 필요 한 상태 인 것 이 다 . 즉 , 양쪽 이 서로 뒤섞이 면서 서로 간 의 평형 이 이루 어 지 지 못하 므로 이 둘 사이 의 평형 을 맞춰줄 중 ( 中 ) 이 드러난 것 이 고 , 이것 은 동적 ( 動 的 ) 인 평형 상태 이 다 . 이 에 대한 것 은 뒤 에 제 《 음양 ( 陰陽 ) 의 분화 과정 》 에 < 중 ( 中 ) 을 잡 는 법 > 편 에서 다시 다룰 것 이 다 . 앞서 《 율 력 지 ( 律 曆 志 ) 》 에서 말 한 원개 방복 ( 圓蓋 方 覆 ; 원 이 방 을 덮 는다 ) 은 원 이 밖 에 있 고 그 안 에 네모 가 있 는 구조 이 다 . 그런데 실제 상 으로 하늘 의 원 과 지상 의 네모 가 반영 되 는 것 은 반드시 위 와 같 은 구조 만 되 는 것 은 아니 다 . 무한 한 하늘 이 지상 에 영향 을 미치 는 것 은 마치 하늘 의 해 가 세상 의 중심 에 들어와 세상 을 밝히 는 것 과 같이 나타나 기 도 한다 . 이렇게 하늘 을 대신 해서 밝혀 주 는 해 가 지상 의 중심 으로 들어와 세상 을 밝히 는 구조 는 아래 그림 과 같이 사각형 안 에 원 이 들어간 형태 가 되 기 도 한다 . 위 에 그림 과 같 은 구조 는 네모 가 상징 하 는 지상 의 중심 에 하늘 을 상징 하 는 원 의 축소판 인 해 가 자리 잡 고 있 는 모습 을 대표 한다 . 위 에 구조 를 바탕 으로 만들 어 진 것 이 앞서 소개 한 신석기 시대 유물 인 능가 탄 ( 凌 家 灘 ) 유적지 의 옥판 ( 玉板 ) 이 다 . 《 주비 산경 ( 周髀 算經 ) 》 에서 도 원 에 내접 하 는 네모 가 있 는 그림 과 원 에 외접 하 는 네모 가 있 는 그림 을 그려 놓 고 각각 원방 도 ( 圓 方 圖 ) 와 방원 도 ( 方圓 圖 ) 라고 이름 붙이 고 있 다 . < 원방 도 ( 圓 方 圖 , 좌 ) 와 방원 도 ( 方圓 圖 , 우 ) > 그리고 이렇게 양수 ( 陽數 ) 인 3 을 기준 으로 짝수 인 2 와 4 를 배치 하 는 것 은 고대 중국 에서 음악 의 음률 ( 音律 ) 을 만드 는 기본 원칙 인 삼 분 손익법 ( 三分損益法 ) 에서 매우 중요 한 기초 가 된다 . 이 는 다른 장 에서 자세히 설명 하 도록 할 것 이 다 . 4 . 구고 ( 句股 ) 정리 구고 ( 句股 ) 정리 는 앞서 말 했 듯이 서양 의 피타고라스 의 정리 와 같 은 개념 이 다 . 구 ( 句 ) 는 삼각형 의 밑변 이 고 , 고 ( 股 ) 는 삼각형 의 높이 이 다 . 삼각형 의 빗변 은 현 ( 弦 ) 이 라고 한다 . 앞서 소개 한 《 주비 산경 ( 周髀 算經 ) 》 의 시작 부분 에 이어지 는 내용 이 바로 구고 ( 句股 ) 정리 이 다 . 『 고 로 구 ( 矩 ) 를 잘라서 밑변 ( 句 ) 의 길이 를 3 으로 하 고 , 높이 를 4 로 하 며 , 빗변 을 5 로 만듭니다 . 네모 를 반 으로 잘라 생긴 하나 의 구 ( 矩 ) 를 밖 으로 돌리 고 , 모아서 쟁반 과 같 은 도형 을 만드 는데 , 3 , 4 , 5 의 길이 를 한 변 으로 하 는 사각형 을 만들 면 , 두 구 ( 矩 ) 의 총 길이 가 25 가 됩니다 . 이것 을 적구 ( 積 矩 ) 라고 합니다 . 우왕 ( 禹 王 ) 이 천하 를 다스린 것 은 이 수 ( 數 ) 로부터 나온 것 입니다 . ( 원문 ; 故 折 矩 以 為 句 廣 三 股 修 四 徑 隅 五 . 既 方 其外 半 之 一矩 環 而 共 盤 得 成 三四五 . 兩 矩 共 長 二十有五 . 是 謂 積 矩 . 故 禹 之 所以 治天 下 者 此 數 之 所生 也 . )』 위 에 문장 은 뒤 에 다시 아래 와 같 은 그림 들 로 표현 을 하 고 있 기 때문 에 결과 적 으로 말 하 고자 하 는 바 에 는 큰 의문 의 여지 가 없 지만 , 그 그림 을 글 로 표현 한 위 에 문장 은 해석 이 다소 애매 하 여 학자 들 마다 해석 이 다르 게 나오 기 도 한다 . 현도 ( 弦 圖 ) 란 빗변 의 길이 인 5 를 한 변 으로 하 는 사각형 의 그림 이 다 . 우도 ( 右 圖 ) 와 좌도 ( 左 圖 ) 는 각각 3 과 4 를 한 변 으로 하 는 사각형 을 빗변 5 를 한 변 으로 하 는 사각형 의 안 에 넣 어서 비교 가 되 도록 한 그림 이 다 . 이 그림 은 앞서 소개 한 피타고라스 의 정리 증명 에 사용 된 그림 과 는 조금 다르 지만 그 기본 은 같 다 . 서양 에서 도 두 사각형 면적 의 합 이 다른 한 사각형 의 면적 과 같 다는 것 을 여러 가지 방법 을 통해 증명 하 는데 , 《 주비 산경 ( 周髀 算經 ) 》 에서 는 각 도형 에 포함 된 격자 의 개수 가 같 다는 것 으로 그 면적 이 같 다는 것 을 증명 하 고 있 다 . 위 의 문장 에서 첫 문장 은 ㄱ 자 모양 의 곱자 인 구 ( 矩 ) 를 밑변 이 3 , 높이 가 4 가 되 도록 잘라서 ( 折 ) 만들 라는 뜻 이 다 ( 故 折 矩 以 為 句 廣 三 股 修 四 徑 隅 五 ) . 사실 곱자 를 바닥 과 높이 가 3 과 4 가 되 도록 자르 면 빗변 은 당연히 5 가 된다 . 지금 이 정리 는 3 : 4 : 5 의 비율 을 밝히 는 것 이 아니 라 , 밑변 의 제곱 과 높이 의 제곱 의 합 이 빗변 의 제곱 과 같 다는 피타고라스 의 정리 ( a 2 + b 2 = c 2 ) 를 증명 하 는 것 이 므로 빗변 의 길이 가 5 라는 것 도 미리 밝힌 것 이 다 . 그 뒤 에 문장 이 해석 이 애매 하 다 . 기방 지외 ( 既 方 其外 ) 에서 기방 ( 既 方 ) 은 이미 만들 어 진 네모 , 즉 처음 에 준비 해 둔 네모 를 뜻 한다 . 기 ( 既 ) 는 ‘ 이미 ’ 의 뜻 이 고 방 ( 方 ) 은 네모 를 말 하 기 때문 이 다 . 여기 서 주의 할 것 은 이것 이 3 : 4 : 5 의 직각삼각형 의 비율 관계 를 바탕 으로 한 것 이 므로 처음 의 사각형 은 정사각형 이 아니 라 직사각 형 이 어야 한다는 것 이 다 . 이 네모 인 방 ( 方 ) 은 처음 에 만든 구 ( 句 ) 의 사이즈 에 맞춰야 하 므로 긴 변의 길이 는 4 , 짧 은 변의 길이 는 3 이 되 어야 한다 . 반지 일구 ( 半 之 一矩 ) 란 그 네모 를 반 으로 자르 면 삼각형 이 둘 이 생기 는 데 그 중 하나 의 삼각형 을 말 하 는 것 이 다 . 여기 서 구 ( 矩 ) 의 의미 는 앞서 설명 했 듯이 삼각형 의 의미 도 되 고 , 격자 를 모아서 만든 도형 을 뜻 하 기 도 한다 . 두 가지 해석 이 모두 여기 선 의미 가 통한다 . 환 이 공반 ( 環 而 共 盤 ) 에서 환 ( 環 , 고리 ) 은 삼각형 격자 하나 를 고리 처럼 360 도 돌리 라는 뜻 이 다 . 즉 앞서 환구 이 위원 ( 環 矩 以 為 圓 ) 의 개념 에서 설명 한 것 처럼 돌리 라는 뜻 이 다 . 이렇게 반쪽 의 삼각형 격자 를 돌리 는 것 을 4 단계 로 나누 면 아래 의 현도 ( 弦 圖 ) 와 같 은 4 개 의 삼각형 과 이 들 이 합쳐서 생긴 큰 사각형 이 생기 게 된다 . < 환구 이 위원 ( 環 矩 以 為 圓 ) 과 현도 ( 弦 圖 ) > 처음 사각형 의 절반 을 잘라서 돌리 는 것 은 이렇게 절반 의 삼각형 을 돌려서 만들 어 진 큰 사각형 의 면적 이 본래 7 × 7 사이즈 격자 의 절반 정도 가 되 는 것 을 반영 하 기 위함 이 다 . 정확히 는 삼각형 하나 의 면적 은 6 이 고 , 삼각형 넷 의 면적 은 6 × 4 = 24 가 되 어 , 이것 을 둘 로 곱하 고도 ( 24 × 2 = 48 ) 하나 를 더 해야 7 × 7 = 49 와 같 게 된다 . 여기 서 나중 에 하나 를 더 하 는 것 이 위 에 현도 ( 弦 圖 ) 의 중앙 에 남 은 작 은 네모 하나 이 다 . 이 는 음 ( 陰 ) 을 음수 인 24 , 양 ( 陽 ) 을 양수인 25 로 본 것 과 통한다 . 이 둘 을 합치 면 49 가 되 고 , 여기 에 태극 ( 太極 ) 을 상징 하 는 수 1 을 더 하 면 50 이 되 는데 , 이러 한 개념 은 뒤 에 설명 할 설시 법 ( 揲 蓍 法 ) 에서 대연 ( 大 衍 ) 의 수 ( 數 ) 는 50 이 라는 개념 과 통한다 . 본래 직각삼각형 의 중심 을 제자리 에 두 고 원 으로 돌리 면 아래 와 같 은 바람개비 모양 이 되 지만 , 이것 을 꼭짓점 을 맞춰서 정사각형 으로 만들 어 주 기 위해 이동 하 면 중앙 에 한 개 의 네모 만큼 자리 가 비 는 것 이 다 . 이렇게 꼭짓점 을 맞춰 주 는 개념 이 반 ( 盤 ) 의 본래 의미 이 다 . 반 ( 盤 ) 은 쟁반 의 뜻 인데 , 본래 는 한 점 에서 시작 해서 한 바퀴 빙 돌 고 다시 제자리 로 돌아온다는 의미 이 다 . 반 ( 盤 ) 자 의 갑골문 의 의미 는 뒤 에 《 경 ( 庚 ) 과 관련 된 한자 들 》 에서 자세히 설명 하 도록 할 것 이 다 . 가령 3 의 길이 인 밑변 을 90 도 씩 회전 시켜서 얻 어 지 는 선 들 은 아래 좌측 그림 과 같 다 . 이 선 들 을 쟁반 처럼 모아서 우측 처럼 3 × 3 의 도형 으로 만든 다 . 공 ( 共 ) 은 함께 모은다는 것 이 다 . 이렇게 떨어진 선 들 을 모아서 하나 의 네모 를 만들 어야 하 기 때문 에 공반 ( 共 盤 ) 이 라고 한 것 이 다 . 결국 같 은 길이 의 선 들 이 서로 떨어진 것 을 모아서 시작 과 끝 을 이어서 네모난 쟁반 처럼 만들 라는 말 이 다 . 3 의 길이 를 가진 밑변 을 이렇게 모아서 앞서 만든 < 현도 ( 弦 圖 ) > 의 안 에 배치 한 그림 이 바로 < 우도 ( 右 圖 ) > 이 고 , 4 의 길이 를 가진 높이 를 이렇게 모아서 < 현도 ( 弦 圖 ) > 의 안 에 배치 한 그림 이 바로 좌도 ( 左 圖 ) 이 다 . 그 다음 에 각각 의 도형 안 에 들어간 1 × 1 사이즈 의 기본 단위 인 구 ( 矩 ) 들 의 개수 를 구한다 . 만 일 구 ( 矩 ) 가 삼각형 모양 으로 잘리 면 그 와 대응 되 게 잘린 짝 을 이루 는 5 각 형 이나 다른 도형 이 반드시 나오 게 되 므로 , 이 둘 을 합쳐서 하나 의 기본 1 × 1 사이즈 의 구 ( 矩 ) 를 만들 수 있 다 . 가령 아래 그림 처럼 삼각형 안 에 까맣 게 칠 한 두 다각형 을 모으 면 하나 의 1 × 1 사이즈 의 구 ( 矩 ) 가 하나 만들 어 진다 . 위 에 현도 ( 弦 圖 ) , 우도 ( 右 圖 ) , 좌도 ( 左 圖 ) 에서 좌우 에 기록 한 내용 들 이 바로 이것 을 말 하 고 있 는 것 이 다 . 현도 ( 弦 圖 ) 의 격자 에 중심 에 놓인 한 개 의 작 은 사각형 은 황색 으로 칠 해서 이것 을 황 ( 黃 ) 이 라고 부르 고 , 나머지 격자 는 붉 은 색 으로 칠 해서 주 ( 朱 ) 라고 부른다 . 현도 ( 弦 圖 ) 의 좌측 에 적힌 “ 주실 육 , 황실 일 ( 朱 實 六 . 黃 實 一 ; 주황색 이 여섯 칸 을 채우 고 , 황색 이 한 칸 을 채운다 . ) ” 은 4 개 의 삼각형 중 하나 의 삼각형 안 에 놓인 조각 들 을 모아서 기본 단위 의 작 은 사각형 으로 모아 보 면 총 6 개 의 사각형 이 들어가 고 , 중앙 에 황색 은 하나 이 므로 황색 이 하나 를 채 운다고 한 것 이 다 . 그리고 이렇게 모인 네모 의 개수 는 총 25 개 ( 6 × 4 + 1 = 25 ) 이 고 이것 은 주황색 과 황색 이 함께 합친 숫자 이 므로 현도 ( 弦 圖 ) 의 우측 에 는 “ 현실 이 십 오 주급 황 ( 弦 實 二十五朱及黃 ; 빗변 으로 만든 네모 인 현 ( 弦 ) 은 주황색 과 황색 을 합친 25 개 의 격자 를 채운다 . ) ” 라고 적 은 것 이 다 . 우도 ( 右 圖 ) 도 마찬가지 이 다 . 이번 엔 중앙 에 3 × 3 의 격자 를 청색 으로 칠 하 고 주변 의 나머지 공간 을 황색 으로 칠 한다 . 고로 우측 에 “ 구실 구청 ( 句 實 九靑 ; 밑변 의 길이 로 만든 사각형 ( 句 ) 을 9 개 의 청색 구 ( 矩 ) 가 채운다 . ) ” 이 라고 한 것 이 다 . 그리고 5 × 5 의 격자 에서 이 3 × 3 의 격자 의 개수 를 빼 면 16 개 가 남 으므로 , 그림 의 좌측 에 “ 고실 지구 십 육 황 ( 股 實 之 矩 十六黃 ; 높이 의 길이 로 만든 사각형 을 채운 구 ( 矩 ) 는 16 개 의 황색 이 다 . ) ” 좌도 ( 左 圖 ) 도 마찬가지 이 다 . 이번 엔 중앙 에 4 × 4 의 격자 를 황색 으로 칠 하 고 주변 의 나머지 공간 을 청색 으로 칠 한다 . 고로 우측 에 “ 고실 십 육 황 ( 股 實 十六黃 ; 높이 의 길이 로 만든 사각형 은 16 개 의 황색 구 ( 矩 ) 가 채운다 . )” 고 한 것 이 다 . 그리고 5 × 5 의 격자 에서 이 4 × 4 의 격자 의 개수 를 빼 면 9 개 가 남 으므로 , 그림 의 좌측 에 “ 구실 지구 구청 ( 句 實 之 矩 九靑 ; 밑변 의 길이 로 만든 사각형 ( 句 ) 을 채운 것 은 9 개 의 청색 구 ( 矩 ) 이 다 . ) ” 라고 한 것 이 다 . 결론 적 으로 , 이렇게 3 개 의 사각형 을 따로 따로 모아서 그려야 하 므로 앞 에 《 주비 산경 》 의 문장 에서 “ 삼각형 격자 를 돌려서 선 을 모아 사각형 쟁반 모양 으로 만든 뒤 에 3 , 4 , 5 를 얻 는다 . ( 環 而 共 盤 得 成 三四五 ) ” 라고 한 것 이 다 . 여기 서 3 , 4 , 5 란 각각 3 , 4 , 5 의 길이 로 만든 정사각형 을 뜻 하 는 것 이 다 . 이어서 “ 두 구 ( 矩 ) 의 길이 를 합한 것 이 25 이 다 . ( 兩 矩 共 長 二十有五 ) ” 라고 한 것 은 위 에 우도 ( 右 圖 ) 와 좌도 ( 左 圖 ) 에서 각각 청색 과 황색 의 공간 에 들어간 작 은 네모 격자 의 수 의 합 이 25 라는 말 이 고 , 그것 이 곧 빗변 인 5 를 한 변 으로 한 사각형 인 현도 ( 弦 圖 ) 내부 에 작 은 네모 격자 의 수 와 같 다는 말 이 다 . 장 ( 長 ) 은 길이 이 다 . 면적 을 구하 는데 길 이 라는 표현 을 쓴 것 은 기본 단위 격자 를 늘어놓 은 개수 는 길이 와 면적 에 상관없이 똑같 기 때문 이 다 . 즉 , 아래 두 그림 에서 좌측 은 길이 ( 長 ) 이 고 우측 은 면적 이 지만 둘 다 격자 의 개수 는 9 이 다 . 이렇게 격자 의 기본 단위 인 1 × 1 사이즈 의 네모 를 구 ( 矩 ) 라고 부르 고 , 이것 을 모아서 그 개수 를 가지 고 면적 을 산출 하 기 때문 에 이러 한 방법 을 적구 ( 積 矩 , 구 를 쌓 는다 . ) 라고 한 것 이 다 . 이 문장 의 마지막 은 하 ( 夏 ) 나라 의 시조 인 우왕 ( 禹 王 ) 의 업적 에 대해 말 하 고 있 다 . 우왕 ( 禹 王 ) 은 홍수 ( 洪水 ) 를 다스리 는 치수 ( 治水 ) 사업 을 성공 시킨 공로 로 유명 한 인물 이 다 . 주비 산경 에 구고 ( 句股 ) 정리 의 마지막 문장 은 “ 고로 우왕 이 천하 를 다스린 것 은 이 수 ( 數 ) 에서 나온 것 입니다 . ( 故 禹 之 所以 治天 下 者 此 數 之 所生 也 . ) ” 이 다 . 이 는 우왕 ( 禹 王 ) 이 치수 사업 을 하 며 홍수 를 다스릴 때 이 와 같 은 측량 도구 와 당시 의 과학 적 , 수학 적 지식 을 활용 하 여 큰 성공 을 거두 었 다는 것 을 뜻 한다 . 우왕 ( 禹 王 ) 에 대한 자세 한 내용 은 뒤 에 제 < 오행 의 기본 개념 > 편 에서 자세히 다룰 것 이 다 . 이 는 또한 이러 한 수학 적 지식 을 인문학 적 통치 철학 에 적용 시킨 고대 의 사유 형태 를 반영 하 기 도 한다 . 즉 가로 , 세로 를 이 은 빗변 이 만난 선 의 길이 인 5 는 동양 철학 에서 강조 하 는 중앙 토 ( 土 ) 의 개념 을 상징 하 는 숫자 이 다 . 이러 한 삼각형 두 개 가 합쳐 지 면 하나 의 네모 가 되 는 것 은 앞서 《 주비 산경 ( 周髀 算經 ) 》 에 나온 “ 구 ( 矩 ) 를 합하 여 방 ( 方 ) 을 만든 다 . ( 合 矩 以 為 方 ) ” 라는 표현 에서 언급 한 바 있 다 . 즉 하나 의 삼각형 은 음양 ( 陰陽 ) 으로 분화 된 하나 의 개체 를 상징 하 고 , 그러 한 삼각형 둘 이 합친 사각형 은 하늘 의 뜻 을 받아들인 땅 의 상징 이 되 는 것 이 며 , 그 중앙 의 선인 대각선 이 바로 중 ( 中 ) 의 자리 에 해당 된다 . 이때 그 선분 의 길이 가 5 이 고 , 두 삼각형 의 선분 을 합치 면 10 이 되 는데 , 이 는 고대 동양 의 10 진수 체계 와 그 것 을 반 으로 나누 어 선천 ( 先天 ) 의 수 ( 數 ) 와 후천 ( 後天 ) 의 수 ( 數 ) 로 구분 하 는 것 을 반영 하 는 것 이 다 . 이 에 대한 개념 은 뒤 에 < 중 ( 中 ) 을 잡 는 법 > 편 에서 다시 자세히 다룰 것 이 다 . 각주 1 ( 中 国 早期 思想 与 符 号 研 究 —; 关 于 四神的起源及其体系形成 （ 下 ） 583 ~ 584 p . 王 小 盾 著 . 上海 人民 出版 社 2007 年 ) 각주 2 중국 수학 사간 편 ( 中國 數學 史 簡 編 ) ; 이적 ( 李 迪 ) . 15 ~ 16 p . 遼 寧 人民 出版 社 . 1984 年 . 각주 3 중국 의 하북 ( 河北 ) 자현 ( 磁 縣 ) 에 하반 왕 ( 下 潘 汪 ) 출토 된 도기 ( 陶器 ) 들 의 문양 . / 그림 참조 : 중국 수학 사간 편 ( 中國 數學 史 簡 編 ) ; 이적 ( 李 迪 ) . 15 ~ 16 p . 遼 寧 人民 出版 社 . 1984 年 . 각주 4 고대 중국 에 도 이미 구구단 이 있 었 다 . 구구단 을 누가 처음 만든 것 인지 는 알 수 없 으나 , 구장산술 ( 九章算術 ) 이 란 중국 고대 수학 서적 에 서문 에서 유휘 ( 劉 徽 ) 는 “ 복희 ( 伏羲 ) 씨 가 구구단 을 만들 었 다 . ( 伏羲 作 九九之術 ) ” 고 전한다 . ( 中 国 早期 思想 与 符 号 研 究 —; 关 于 四神的起源及其体系形成 （ 下 ） 583 ~ 584 p . 王 小 盾 著 . 上海 人民 出版 社 2007 年 ) [ 본문 으로 ] 중국 수학 사간 편 ( 中國 數學 史 簡 編 ) ; 이적 ( 李 迪 ) . 15 ~ 16 p . 遼 寧 人民 出版 社 . 1984 年 . [ 본문 으로 ] 중국 의 하북 ( 河北 ) 자현 ( 磁 縣 ) 에 하반 왕 ( 下 潘 汪 ) 출토 된 도기 ( 陶器 ) 들 의 문양 . / 그림 참조 : 중국 수학 사간 편 ( 中國 數學 史 簡 編 ) ; 이적 ( 李 迪 ) . 15 ~ 16 p . 遼 寧 人民 出版 社 . 1984 年 . [ 본문 으로 ] 고대 중국 에 도 이미 구구단 이 있 었 다 . 구구단 을 누가 처음 만든 것 인지 는 알 수 없 으나 , 구장산술 ( 九章算術 ) 이 란 중국 고대 수학 서적 에 서문 에서 유휘 ( 劉 徽 ) 는 “ 복희 ( 伏羲 ) 씨 가 구구단 을 만들 었 다 . ( 伏羲 作 九九之術 ) ” 고 전한다 . [ 본문 으로 ]