공 물리 
 구르 는 공 처럼 
 RAUL ROJAS , MARK SIMON 
 1 . 구르 는 공 의 동역학 
 공 은 표면 을 미끄러질 수 도 , 구를 수 도 , 둘 다 할 수 도 있 다 . 표면 을 미끄러지 는 공 은 선 변위 에 상대 되 는 마찰력 에 의해 감속 된다 . 마찰력 은 공 에 각운동량 도 발생 시켜서 , 표면 을 미끄러짐 없이 구를 때 까지 굴리 기 시작 한다 . 공 이 미끄러지 고 있 으면 , 공과 표면 사이 에 는 운동 마찰력 이 걸리 며 , 공 이 구르 고 있 으면 , 공과 표면 사이 에 는 구름 ( rolling ) 마찰력 이 걸린다 . 운동 과 구름 마찰력 계수 \(\ mu _ k \) 와 \(\ mu _ r \) 은 각각 다르 다 . 운동 마찰력 은 ( 중력 으로 ) 눌리 는 물체 의 무게 에 기반 을 둔다 . 구름 마찰력 은 공과 바닥 의 변형 에 기반 을 둔다 . 이것 을 이론 적 으로 다루 는 ( 계산 하 는 ) 것 은 매우 어렵 고 , 실험 에 의해서 만 잴 수 있 다 . 
 질량 이 \( m \) 인 공 이 미끄러질 때 , 운동 마찰력 \( F _ k \) 는 공 의 무게 와 비례 하 며 , 다음 공식 으로 나타낼 수 있 다 . 
 운동 마찰력 계수 ( 그리고 힘 ) 는 특정 한도 ( 일정 cm / s 에서 최대 일정 m / s 까지 ) 안 에서 는 공 의 속도 와 관계 가 없 다 . 
 물체 에 적용 된 힘 은 선 , 각운동량 을 바꾼다 . 공 에 작용 하 는 운동 마찰력 \( F _ k \) 는 뉴턴 의 제 2 법칙 에 따르 면 다음 과 같 다 . 
 \(\ omega \) 의 정 변위 와 일치 하 는 \(\ upsilon \) 의 역 변위 를 주목 하 라 . 위 의 공식 을 풀 면 다음 을 얻 을 수 있 다 . 
 이 를 풀 면 다음 과 같 다 . 
 당구 의 수학 과 물리 
 움직이 는 공 
 공 이 초기 선 속도 와 각속도 를 갖 게 되 면 , 테이블 위 를 움직이 기 시작 한다 . 공 이 큐 의 끝 을 떠난 후 , 큐 공 에 작용 하 는 힘 은 펠트 천 으로 인한 마찰 밖에 없 다 . 시뮬레이션 이번 단계 의 목적 은 이 마찰력 에 따른 각각 의 속도 벡터 들 을 계속 해서 갱신 하 는 것 이 다 . 
 시뮬레이션 이번 단계 에서 반드시 알 아야 할 중요 한 개념 두 가지 가 있 다 . 첫 번 째 로 공 은 항상 구르 지 않 는다 . 타격 바로 직후 공 은 짧 은 시간 동안 펠트 천 을 따라 미끄러진다 . 얼마나 멀리 미끄러질 지 는 초기 속도 와 회전 에 기반 을 둔다 . 두 번 째 로 마찰력 은 공 의 질량 중심 에 걸리 지 않 는다 . 마찰 은 실제로 공 의 표면 을 따라 적용 되 며 , 이 로 인해 표면 속도 를 계산 해야 할 필요 가 생긴다 . 
 미끄러지 는 공 이 구르 는 공 이 되 는 정확 한 시작 지점 은 다음 방정식 으로 나타낸다 . 
 이 방정식 에서 \(\ upsilon _ p \) 는 펠트 와 접촉 해 있 는 공 의 한 지점 의 표면 속도 이 며 , \( R \) 은 공 의 반지름 이 고 , \(\ omega \) 는 공 의 각속도 이 다 . 펠트 와 접촉 해 있 는 공 의 한 지점 의 표면 속도 는 다음 방정식 을 써서 계산 한다 . 
 여기 서 \( R \) 은 공 중심 에서 테이블 에 접촉 해 있 는 지점 으로 나오 는 벡터 를 나타낸다 . 
 마찰 을 적용 하 기 위해 다시 한 번 뉴턴 의 제 2 법칙 을 사용 한다 . 하지만 이번 에 는 큐 에 의해 적용 되 는 힘 대신 마찰력 과 함께 사용 한다 . 마찰력 은 다음 방정식 으로 계산 한다 . 
 이 방정식 에서 \(\ mu _ s \) 는 뮤즈 미끄럼 ( 운동 ) 마찰 계수 이 고 ( 거의 0 . 2 ) , \( m \) 은 공 의 질량 , 그리고 \( g \) 는 중력 이 다 . 마찰력 의 방향 은 표면 속도 와 반대 이 기 때문 에 , 마찰력 벡터 를 표현 하 기 위해 이 방정식 을 고치 면 다음 과 같 다 . 
 이 를 뉴턴 의 제 2 법칙 과 합치 면 , 공 의 선 속도 와 각속도 변화 방정식 을 얻 을 수 있 다 . 선 속도 변화 는 아래 와 같이 유도 한다 . 
 비슷 하 게 각 속도 변화 도 다음 과 같이 유도 할 수 있 다 . 
 합친 방정식 으로 초기 선 속도 와 각속도 벡터 를 사용 한 이후 특정 시간 의 속도 를 계산 할 수 있 다 . 하지만 이 방정식 은 미끄러지 는 공일 때 만 적용 된다 . 구르 는 공 도 비슷 하 지만 , 미끄럼 마찰 계수 대신 구름 마찰 계수 \(\ mu _ r \) 를 사용 한다 . 구름 마찰 계수 는 거의 0 . 01 정도 로 미끄럼 마찰 계수 보다 현저히 작 다 . 
 위 에서 정해진 조건 을 이용 해 공 이 미끄러지 는지 구르 는지 알 수 있 다 . 이 정보 를 이용 하 면 주 어 진 시간 간격 동안 의 속도 를 계산 할 수 있 다 . 이것 으로 시뮬레이션 의 두 번 째 단계 가 완료 되 었 다 .