아인슈타인 표기법 - 위키백과 , 우리 모두 의 백과사전 
 아인슈타인 표기법 
 아인슈타인 표기법 ( Einstein notation ) 또는 아인슈타인 의 합 규약 ( Einstein summation convention ) 은 수학 의 선형 대수학 을 물리학 에 응용 하 면서 좌표계 에 관한 공식 을 다룰 때 유용 한 표기 규칙 이 다 . 알베르트 아인슈타인 이 이 표기법 을 1916 년 에 처음 소개 하 였 다 . [ 1 ] 
 이 표기법 에서 , 한 항 에 동일 한 첨자 가 윗 첨자 와 아랫 첨자 로 한 번 씩 짝 을 지 어 나타날 경우 , ( 마치 합의 기호 가 항 의 앞 에 있 을 때 처럼 ) 해당 첨자 가 가질 수 있 는 모든 값 에 대해 항 의 값 을 전부 더 하 는 것 으로 이해 한다 . 여기 에서 첨자 는 보통 물리 적 유클리드 공간 의 세 차원 을 나타내 는 1 , 2 , 3 이나 시공간 혹은 민코프스키 공간 의 네 차원 을 나타내 는 0 , 1 , 2 , 3 혹은 1 , 2 , 3 , 4 의 값 을 취하 나 , 특정 한 무한 집합 의 임의 의 원소 를 취할 수 있 도록 놓 는 경우 도 있 다 . 
 2 이 표기법 으로 나타낸 연산자 들 
 2 . 1 내적 
 2 . 2 외적 
 2 . 3 행렬 과 벡터 의 곱 
 2 . 4 대각합 
 2 . 5 벡터 의 좌표 와 기저 를 통한 표기 
 2 . 6 스칼라곱 
 2 . 7 벡터 곱 
 아래 와 같 은 식 을 생각 해 보 자 . 
 매우 복잡 해 보이 는 식 이 지만 합의 기호 를 사용 하 면 비교 적 간단 한 형태 로 식 을 바꿀 수 있 다 . 
 여기 에 아인슈타인 표기법 을 사용 해 식 을 더 간단 하 게 표현 할 수 있 다 . 
 단 , 여기 서 위 첨자 가 지수 승 을 의미 하 지 않 는다 . ( 좀 더 정확히 말 하 면 , 위 첨자 가 붙 은 변수 는 벡터 , 아래 첨자 가 붙 은 변수 는 코 벡터 를 의미 한다 . ) 이렇게 , 아인슈타인 표기법 에선 중복 된 첨자 를 이용 해 마치 분수 에서 약분 을 하 듯이 첨자 에 대한 합 을 해 첨자 를 없애 합의 기호 를 대체 한다 . 
 이 표기법 으로 나타낸 연산자 들 [ 편집 ] 
 임의 의 n × 1 열벡터 vi 와 1 × n 행벡터 ui 에 대해 두 벡터 vi , ui 의 내적 을 다음 과 같이 표현 할 수 있 다 . 
 임의 의 m × 1 열벡터 ui 와 1 × n 행벡터 vj 에 대해 두 벡터 uj , vi 의 외적 을 다음 과 같이 표현 할 수 있 다 . 
 결과 적 으로 , m × n 행렬 A 를 얻 게 된다 . 
 행렬 과 벡터 의 곱 [ 편집 ] 
 임의 의 m × n 행렬 Ai j 와 n × 1 열벡터 vj 가 주어졌 을 때 , 두 행렬 의 곱 의 결과 를 ui 라 하 면 이 곱 을 다음 과 같이 표현 할 수 있 다 . 
 임의 의 n × n 행렬 A 의 대각합 tr ( A ) 는 다음 과 같이 표현 할 수 있 다 . 
 벡터 의 좌표 와 기저 를 통한 표기 [ 편집 ] 
 e 1 , e 2 와 e 3 를 3 차원 공간 의 기저 라 하 자 . 일반 적 인 표기법 을 통해 벡터 u 를 표시 하 면 , 
 이 된다 . 이 를 아인슈타인 표기법 을 사용 해 나타내 면 , 
 스칼라곱 [ 편집 ] 
 여기 서 기저 의 성질 에 의해 
 임 을 알 수 있 다 . 이 텐서 를 크로네커 델타 δ ij 라 정의 한다 . 마지막 으로 이 텐서 를 이용해 스칼라곱 을 표현 하 면 아래 와 같 은 식 을 얻 는다 . 
 벡터 곱 [ 편집 ] 
 임 을 알 수 있 다 . 여기 서 텐서 ε ijk 를 레비 - 시비타 기호 라 한다 . 마지막 으로 이 텐서 를 이용 해 벡터 곱 을 표현 하 면 아래 와 같 은 식 을 얻 는다 . 
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