미분 방정식 - 위키백과 , 우리 모두 의 백과사전 
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 미분 방정식 ( 微分 方 程式 , differential equation ) 은 미지 의 함수 와 그 도함수 , 그리고 이 함수 들 의 함수 값 에 관계 된 여러 개 의 변수 들 에 대한 수학 적 방정식 이 다 . 미분 방정식 의 계수 ( order ) 는 미분 횟수 가 가장 많 은 독립 변수 의 계수 가 결정짓 고 , 차수 ( degree ) 는 계수 를 결정 지 은 독립 변수 의 미분 꼴 이 거듭제곱 된 횟수 에 따라 결정 된다 . [ 1 ] 
 미분 방정식 은 엔지니어링 , 물리학 , 경제학 등 수학 외 의 학문 에서 도 중요 한 역할 을 차지 하 고 , 유체 역학 , 천체 역학 등 의 물리 적 현상 의 수학 적 모델 을 만들 때 에 도 사용 된다 . 따라서 미분 방정식 은 순수 수학 과 응용 수학 의 여러 분야 에 걸쳐 있 는 넓 은 학문 이 다 . 물체 의 운동 이 물체 의 위치 와 시간 값 의 변화 에 따른 속도 로 표현 되 는 고전 역학 이 그 대표 적 인 예 다 . 뉴턴 의 운동 법칙 은 물체 의 미지 의 위치 를 시간 에 대한 함수 로 표현 하 고 , 물체 의 위치 · 속도 · 가속 도 · 그리고 물체 에 작용 하 는 힘 등 을 그 함수 에 대한 미분 방정식 으로 나타냄 으로써 이 변량 들 을 역학 적 으로 표현 할 수 있 었 다 . 흔히 운동 방정식 이 라고 부르 는 이 미분 방정식 은 아주 쉽 게 풀리 는 경우 도 있 다 . 
 미분 방정식 을 사용 하 여 실세계 를 표현 한 예 로 는 , 중력 과 공기 저항 만 고려 하 여 공중 에서 떨어지 는 공 의 속도 를 결정 하 는 것 이 있 다 . 땅 을 향한 공 의 가속도 는 중력 에 의한 가속 도 마이너스 공기 저항 에 의한 가속도 이 다 . 중력 은 일정 하 다고 치 고 , 공기 저항 은 공 의 속도 에 비례 한다고 하 자 . 이것 은 공 의 가속 도 , 즉 공 의 속도 의 도함수 가 공 의 속도 에 따라 결정 된다는 것 을 의미 한다 . 속도 를 시간 에 대한 함수 로 나타내 면 이 미분 방정식 을 풀 수 있 다 . 
 수학 에서 미분 방정식 은 여러 가지 다른 관점 에서 연구 되 고 있 는데 , 대개 그 해 ― 방정식 을 만족 시키 는 함수 의 집합 ― 에 대한 연구 가 흔하 다 . 명쾌 한 함수 의 형태 로 해 가 구해 지 는 것 은 가장 간단 한 미분 방정식 들 뿐 으로 , 어떤 미분 방정식 은 명확 한 해 를 구하 지 않 고 , 그 특징 만 밝혀 지 는 경우 도 있 다 . 만약 해 를 독립 적 으로 구하 는 것 이 불 가능 하 다면 , 컴퓨터 를 이용 해 수 적 근사 값 을 구할 수 도 있 다 . 동역학 계 이론 에서 는 미분 방정식 으로 표현 되 는 계 의 질 적 분석 을 중요 하 게 여기 는데 , 주어진 정확 도 안 에서 해 를 구하 기 위한 많 은 수치 해석 방법 이 개발 되 고 있 다 . 
 미분 방정식 의 목표 는 다음 세 가지 이 다 . 
 특정 한 상황 을 표현 하 는 미분 방정식 을 발견 하 는 것 . 
 그 미분 방정식 의 정확 한 해 를 찾 는 것 . 
 그 찾 은 해 를 해석 하 여 미래 를 예측 하 는 것 . 
 미분 방정식 에 대해 해가 있 어야 만 하 는지 , 아니면 해 가 유일 한 지 등 의 문제 도 중요 한 관심사 이 다 . 그러나 응용 수학자 , 물리학자 , 엔지니어 들 은 대개 주어진 미분 방정식 을 푸 는 데 에 관심 을 두 기 마련 이 고 , 여기 서 얻 어 진 해 는 전기 회로 , 다리 , 자동차 , 비행기 , 하수도 등 을 만드 는 데 에 이용 되 고 있 다 . 
 1 미분 방정식 의 종류 
 1 . 1 상미분 방정식 과 편미분 방정식 
 1 . 2 선형 과 비 선형 
 2 미분 방정식 의 예 
 2 . 1 제 1 차 상미분 방정식 
 2 . 2 1 차 비제 차 상미분 방정식 
 미분 방정식 의 종류 편집 
 미분 방정식 이론 은 잘 발전 되 어 왔으며 , 학습 을 위해 방정식 의 형태 에 따라 그것 을 의미 있 게 분류 시키 기 도 한다 . 
 상미분 방정식 과 편미분 방정식 편집 
 상미분 방정식 은 미지 함수 와 종속 변수 가 하나 의 독립 변수 를 가지 는 함수 인 미분 방정식 을 말 한다 . 간단 한 형태 로 미지 함 수 가 실수 또는 복소수 함수 형태 를 가진다 . 
 미지 함수 의 독립 변수 가 둘 이상 인 미분 방정식 이 다 . 
 선형 과 비 선형 편집 
 비 선형 미분 방정식 
 미분 방정식 의 예 편집 
 제 1 차 상미분 방정식 편집 
 1 차 제차 상미분 방정식 의 일반 형 은 다음 과 같 다 . 
 는 우리 가 알 고 있 는 함수 이 며 , 이 방정식 은 간단히 변수 를 다음 과 같이 양변 으로 분리 하 여 놓 아서 풀 수 있 다 . 
 위 식 을 적분 하 여 다음 의 결과 를 얻 는다 . 
 는 임의 의 상수 이 다 . ( 이 결과 가 맞 는지 확인 하 려면 , 이 식 을 원래 의 방정식 에 대입 해 보 면 된다 . ) 
 가 상수 가 아닌 함수 이 고 , 어떤 함수 의 경우 에 는 ( 우리 가 잘 알 고 있 더라 하 더라도 ) 그 적분 이 불 가능 할 수 도 있 기 때문 에 , 실제 적 인 풀이 는 매우 어려울 수 있 다 . 
 1 차 비제 차 상미분 방정식 편집 
 1 차 선형 상미분 방정식 중 일부 는 위 의 예 처럼 분리 가 불 가능 하 다 . 이 와 같 은 1 차 비제 차 상미분 방정식 을 풀 기 위해선 적분 인자 를 알 아야 한다 . 이 방법 을 아래 에 설명 하 고 있 다 . 
 1 차 상미분 방정식 의 일반 적 인 형태 를 생각 해 보 자 . 
 에 달려 있 다 . 
 를 곱하 자 . 
 의 성질 에 의해 위 식 은 다음 과 같이 간단 한 모양 으로 변형 된다 . 
 미분 에 대한 곱 의 법칙 에 의해 위 식 은 다시 다음 과 같이 변형 된다 . 
 양변 을 적분 하 면 , 
 로 양변 을 나누 면 , 
 의 함수 이 므로 더 이상 간단히 할 수 없 다 . 
 그린 함수 
 차분 방정식 
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