초등 학교 시절 , 구구단 을 못 외워 곱셈 이 너무 어려웠 던 경험 이 꽤 있 을 것 이 다 . 곱셈 을 할 때 구구단 이 꼭 필요 한 것 은 아니 다 . 25 × 13 을 계산 하 는 과정 을 통해 여러 가지 곱셈 하 는 방법 을 알아보 자 . 참고 로 , 구구단 은 1 부터 9 까지 의 두 수 를 곱한 9 × 9 의 곱셈표 로 , 지금 으로부터 약 1200 여 년 전 중국 에서 시작 됐 다고 전해진다 . 9 단 부터 외웠 기 때문 에 ‘ 구구단 ’ 이라고 부른다 . 고대 이집트 사람 들 의 곱셈법 고대 이집트 사람 들 의 곱셈법 으로 25 × 13 계산 하 기 고대 이집트 사람 들 의 곱셈법 은 크 게 두 가지 과정 으로 나눌 수 있 다 . 첫 번 째 는 곱 셈식 에서 왼쪽 에 위치 한 수 를 이진법 으로 분해 하 는 것 이 고 , 두 번 째 는 곱 셈식 에서 오른쪽 에 위치 한 수 를 ‘ 2 배 ’ 하 는 것 이 다 . 그렇 다면 고대 이집트 사람 들 은 왜 수 를 이진법 으로 분해했 을까 ? 또 고대 이집트 사람 들 은 오래 전 부터 이진법 을 알 고 있 었 던 걸까 ? 사실 고대 이집트 사람 들 은 기본 적 으로 십진법 을 썼 다 . 그러나 경험 적 으로 모든 수 를 1 과 2 의 거듭제곱 의 합 으로 나타낼 수 있 다는 사실 을 알 고 있 었 다 . 따라서 곱 셈식 에서 수 를 이진법 으로 분해 해 ‘ 2 배 하 기 ’ 와 ‘ 더하기 ’ 만 으로 도 곱셈 을 할 수 있 었 던 것 이 다 . 러시아 농부 들 의 곱셈법 러시아 농부 들 의 곱셈법 으로 25 × 13 계산 하 기 고대 이집트 사람 들 의 곱셈법 과 비슷 하 면서 도 조금 다른 러시아 농부 들 의 곱셈법 도 있 다 . 러시아 농부 들 의 곱셈법 에서 는 곱 셈식 에서 왼쪽 에 위치 한 수 를 2 로 나눠 그 몫 을 쓰 고 , 나머지 와 상관없이 몫 을 연속 해서 2 로 나눈다 . 고대 이집트 사람 들 의 곱셈법 과 조금 다르 지만 , 본질 적 으로 수 를 2 로 분해 한다는 점 은 똑같 다 . 결국 러시아 농부 들 의 곱셈법 도 이진법 과 분배법칙 을 이용 한 것 이 다 . 선 만 잘 그으면 곱셈 이 된다 ? ! 선 긋 기 곱셈법 으로 25 × 13 계산 하 기 선 긋 기 곱셈법 은 자연수 의 곱셈 원리 를 잘 활용 한 방법 이 다 . 자연수 의 곱셈 은 덧셈 으로 바꿔 나타낼 수 있 다 . 예 를 들 어 3 곱 하 기 5 는 3 을 5 번 더 하 면 된다 . 선 긋 기 에서 교차점 의 개수 는 자연수 를 연속 으로 더 한 값 이 된다 . 예 를 들 어 아래 그림 과 같이 그은 선 에서 교차점 은 3 + 3 ( 또는 2 + 2 + 2 ) 으로 , 3 × 2 를 나타낸다 . 따라서 교차점 이 의미 하 는 자릿수 만 알 면 , 교차점 의 개수 를 묶 은 다음 더 하 는 것 으로 곱셈 값 을 쉽 게 구할 수 있 다 . 겔 로 시아 곱셈법 과 존 네이피어 의 계산 막대표 를 사용 해 곱셈 을 하 는 방법 에 는 겔 로 시아 곱셈법 과 , 존 네이피어 ( John Napier , 1550 ~ 1674 ) 의 계산 막대 를 사용 한 곱셈법 이 있 다 . 먼저 겔 로 시아 곱셈법 의 ‘ 겔 로 시아 ’ 는 ‘ 격자 ’ 를 뜻 하 는 말 로 , 이 곱셈법 은 인도 에서 처음 시작 된 것 으로 추정 되 고 있 다 . 인도 의 수학자 바스카라 ( Bháskara ) 가 지 은 수학 책 인 [ 릴 라바티 ] 에 등장 했 고 , 또 다른 인도 의 수학 책 에서 도 겔 로 시아 곱셈법 이 나타나 있 기 때문 이 다 . 겔 로 시아 곱셈법 은 현재 많 은 사람 들 이 사용 하 는 세로 곱셈법 과 원리 가 같 으며 , 사선 으로 배열 해 수 를 더 하 는 방식 이 다 . 겔 로 시아 곱셈법 으로 25 × 13 계산 하 기 반면 네이피어 의 곱셈법 은 구구단 을 막대 로 만들 어 곱셈 을 쉽 게 하 도록 만든 것 이 다 . 구구단 계산 막대 가 있 기 때문 에 당연히 구구단 을 외울 필요 가 없 지만 , 항상 계산 막대 가 있 어야 한다 . 네이피어 는 계산 의 혁명 이 라고 부르 는 ‘ 로그 ( log ) ’ 를 발명 한 수학자 로 도 잘 알려져 있 다 . 존 네이피어 의 계산 막대 곱셈법 으로 25 × 13 계산 하 기 존 네이피어 의 계산 막대 곱셈 알고리즘 등장 , 큰 수 의 곱셈 도 문제없 어 ! 고대 와 중세 의 곱셈법 을 알 아 봤으니 컴퓨터 시대 의 곱셈법 도 알아보 자 ( 컴퓨터 는 수 를 이진법 으로 다루 고 있 으니 , 애당초 구구단 을 외울 필요 가 없 다 ) . 카라 추 바 알고리즘 은 러시아 의 수학자 아나톨리 알렉세예비치 카라 추 바 가 1960 년 에 발견 한 것 으로 , 컴퓨터 에서 계산 을 빠르 게 하 기 위해 고안 된 알고리즘 이 다 . 일반 적 으로 n 자리 수 두 개 를 곱하 려면 한 자리 수 의 곱셈 을 n 2 번 해야 한다 . 예 를 들 어 25 × 13 을 하 려면 5 × 3 , 2 × 3 , 5 × 1 , 2 × 1 과 같이 한 자리 수 의 곱셈 이 4 번 필요 하 다 . 그런데 카라 추 바 곱셈 알고리즘 을 이용 하 면 한 자리 곱셈 횟수 가 최대 n 의 log 23 제 곱개 로 줄어든다 . 만약 n = 210 이 라면 일반 적 인 곱셈 에서 는 ( 210 ) 2 = 1 , 048 , 576 회 한 자리 수 의 곱셈 을 해야 한다 . 그러나 카라 추 바 알고리즘 을 이용 하 면 한 자리 수 곱셈 을 310 = 59 , 049 회 만 해도 되 어 , 무려 약 17 배 이상 곱셈 횟수 를 줄일 수 있 다 . 25 × 13 을 카 라 추 바 알고리즘 으로 계산 하 면 위 와 같 은 과정 을 거친다 . 즉 , 카라 추 바 알고리즘 의 기본 원리 는 식 을 변형 한 데 에 있 다 . 25 × 13 을 하 려면 4 번 의 곱셈 이 필요 한데 , 식 을 변형 해 인수 가 3 개 로 줄어들 도록 한 것 이 다 . 이 방법 은 간단 한 숫자 의 곱셈 에서 는 오히려 더 복잡 하 고 번거로워 보이 지만 , 컴퓨터 로 큰 수 의 곱셈 을 할 때 에 는 시간 을 줄여 효율 적 이 다 . 카라 추 바 알고리즘 의 원리 를 문자 로 사용 해 나타내 면 다음 과 같 다 . ( a× 10 + b ) ( c× 10 + d ) = 100 ac + 10 { ac + bd - ( a - b ) ( c - d ) } + bd 즉 , ac + bd - ( a - b ) ( c - d ) = bc + ad 인 성질 을 이용 한 것 이 다 . 카라 추 바 알고리즘 이후 에 , 톰 - 쿡 ( 1966 년 ) , 쉔 하 게 - 슈트 라센 ( 1971 년 ) , 퓌러 알고리즘 ( 2007 년 ) 등 새롭 고 더 빠른 곱셈 알고리즘 이 등장 하 였 다 . 앞 으로 도 언제 더 새로운 알고리즘 이 등장 할지 는 알 수 없 다 . 또 그 발명 의 주인공 이 이 글 을 보 고 있 는 누군가 가 될 지도 모를 일 이 다 . 구구단 을 외우 는 것 은 힘들 긴 하 겠 으나 , 그래도 그냥 외우 는 것 이 좋 다 . 컴퓨터 는 컴퓨터 고 , 사람 이 계산 할 때 편리 함 으로 따지 자면 아직 은 구구단 곱셈법 이 최고 니까 . 수학동아