수학 과 음악 - 수학 노트 
 1 음계 의 구성 과 수학 
 2 12 음계 와 수학 
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 음계 의 구성 과 수학 
 아래 는 소리 의 진동수 의 비율 . 현 을 튕겨 서 소리 를 낸다면 , 현 의 길이 의 비 라고 생각 해도 됩니다 . 
 으뜸음 tonic 
 8 음계 에서 일렬 로 배열 했 을 때 의 순서 
 옥타브 의 비율 은 2 : 1 즉 12 : 6 
 산술 평균 을 취하 여 새 음 을 만들 면 9 
 9 : 6 은 fifth 
 12 : 9 는 fourth 
 조화 평균 을 취하 여 새 음 을 만들 면 8 
 8 : 6 은 fourth 
 12 : 8 는 fifth 
 12 음계 와 수학 
 뉴턴 과 함께 미적분학 을 발명 해 낸 사람 이 라고 평가 되 는 라이프니츠 는 음악 에 대하 여 이렇게 말 했 다 . “ Music is the pleasure the human mind experiences from counting without being aware that it is counting . ” - 음악 은 수 를 센다는 것 을 의식 하 지 못한 채 수 를 세 는 것 으로부터 즐거움 을 준다 . 평균 율 과 순정 율 에 대해서 간단히 설명 한 뒤 에 , 왜 음 이 12 개 인지 에 대한 부분 적 인 답 을 찾아보 자 . 
 음 을 수 로 다룰 수 있 게 하 는 가장 중요 한 사실 은 음 과 그 진동수 의 대응 관계 로부터 온다 . 우리 에게 고정 된 줄 하나 가 있 고 , 줄 의 어떤 부분 인가 를 누르 고 줄 을 뜅기면 소리 가 난다 . 이 누르 는 위치 를 변화 시키 면 소리 도 변한다 . 음 이란 이 무한히 많 은 줄 의 각점 과 연속 적 으로 대응 된다 . 음 은 무한 한 영역 에 걸쳐져 있 다 . 즉 음 이 란 애초 에 12 개 가 아니 다 . 12 개 란 어떤 기준 에 의해 선택 된 것 이 다 . 
 고정 된 줄 을 그냥 쳤 을 때 나 는 음 을 일단 C 라고 부르 자 . 간단히 이 때 의 진동수 를 1 이 라 하 자 . 이제 다시 줄 의 절반 지점 을 누르 고 뜅겼을 때 나 는 음 은 C 와 는 다를 것 이 다 . 이 때 의 진동수 는 줄 의 길이 에 반비례 해서 2 이 다 . 음 은 비록 다르 지만 우리 에게 주 는 느낌 은 비슷 하 다 . 즉 ‘ 도레미 ’ 를 한 옥타브 높여서 ‘ 도레미 ’ 라 부르 면 달라지 긴 했 지만 , 다른 것 이 아닌 같 은 것 이 라고 인지 하 게 되 는 현상 이 일어난다 . 이 성질 이 음 의 무한 한 영역 에 질서 를 부여 한다 . 진동수 1 인 음 과 진동수 2 인음 의 관계 는 진동수 2 인음 과 진동수 4 인 음 의 관계 와 같 다 . 따라서 1 과 2 사이 에 놓여진 수많 은 수 중 에서 특정 한 몇 개 를 선택 해 낸다면 , 같 은 비율 로서 2 와 4 사이 의 몇 개 를 선택 할 수 있 고 , 이 선택 된 음 들 은 한 옥타브 높 은 동일 한 소리 들 을 내 주 게 된다 . 이 과정 을 반복 하 면 , 끊임없이 옥타브 를 높여갈 수 있 다 . 
 즉 문제 는 1 과 2 사이 를 어떻게 나눌 것 인가 하 는 것 이 다 . 이 나누 는 방법 의 차이 가 서로 다른 문명 의 음악 의 차이 를 가져왔 다 . 
 기준 이 되 는 음 도와 한 옥타브 올라간 도 그 사이 에 놓인 가장 중요 한 음 은 ‘ 솔 ’ 이 다 . 이 는 솔 이 갖 는 진동수 가 1 . 5 즉 3 / 2 이 기 때문 이 다 . 도와 솔 의 진동수 의 비 가 간단 한 정수 비 라는 사실 은 이 두 소리 가 함께 울릴 때 사람 의 귀 에 조화 롭 게 들린다는 것 을 의미 한다 . 음 의 조화 가 수 의 비례 에 기초 하 고 있 다는 사실 을 피타고라스 가 처음 발견 했 다고 알려 지 고 있 다 . 
 1 과 3 / 2 가 갖 는 관계 를 3 / 2 과 9 / 4 도 갖 게 된다 . 그러나 9 / 4 는 2 를 넘어선 즉 한 옥타브 위 의 음 이 므로 한 옥타브 낮추 어 9 / 8 을 얻 으면 이것 이 찾 고 있 던 새로운 음 이 된다 . 이것 이 ‘ 레 ’ 다 . 같 은 방법 으로 ‘ 라 ’ 가 구성 되 고 , 이런 과정 을 반복 하 여 얻 을 음계 를 피타고라스 음계 라고 한다 . 즉 도 는 1 , 레 는 9 : 8 , 미 81 : 64 , 파 4 : 3 솔 3 : 2 라 27 : 16 시 243 : 128 도 2 의 진동수 의 음계 이 다 . 
 평균 율 음계 를 구성 한다고 가정 하 고 , r ^( n / m ) 이 라는 표현 을 r 의 n / m 제곱 이 라고 이해 하 자 . 
 무리수 를 유리수 로서 근사 시키 는 기술 , 이것 이 수학 에 있 다 . 연분수 , continued fraction 이 라고 하 는 것 이 이것 이 다 . 유리수 의 분모 가 커질수록 무리수 에 가깝 게 갈 수 는 있 지만 , 연분수 의 개념 은 이러 한 유리수 들 중 에 도 특별히 좋 을 성질 을 갖 는 근사 가 있 음 을 알려준다 . 이 를 적용 해 log ( 3 / 2 ) / log 2 에 가까운 유리수 를 찾 는 과정 에 등장 하 는 수 는 1 , 1 / 2 , 3 / 5 , 7 / 12 , 24 / 41 … 이 다 . 
 이 방법 에 어떤 흥미 로운 점 을 제공 하 는 것 이 3 / 5 이 등장 한다는 것 , 즉 5 음계 를 구성 해도 도와 솔 의 관계 가 좋 다는 것 을 보여 준다는 점 이 다 . 5 음계 는 초등 학교 때 부터 우리 에게 친숙 한 것 이 아니 던가 . 
 음정 의 계산 
 http : / / en . wikipedia . org / wiki / File : Pythagoras _ with _ bells . png 
 Measured Tones , Ian Johnston 
 Papadopoulos , Athanase . “ Mathematics and Group Theory in Music . ” arXiv : 1407 . 5757 [ math ] , July 22 , 2014 . http : / / arxiv . org / abs / 1407 . 5757 . 
 Edward Dunne and Mark McConnell , 
 Mathematics Magazine , vol . 72 , no . 2 ( 1999 ) , 104 - 115 . 
 Continued fractions , best measurements , and musical scales and intervals 
 Journal of Mathematics and Music , Volume 1 , Issue 1 March 2007 , pages 47 - 70 
 The Golden Section and the Piano Sonatas of Mozart 
 Mathematics Magazine , Vol . 68 , No . 4 ( Oct . , 1995 ) , pp . 275 - 282 
 Modern Mathematics and Music 
 F . J . Budden 
 The Mathematical Gazette , Vol . 51 , No . 377 ( Oct . , 1967 ) , pp . 204 - 215 
 피타고라스 의 창 , 2003 - 9 
 왜 음 은 12 개 인가 ? ( 1 ) 
 http : / / bomber 0 . byus . net / index . php / category / 수학 / 수학 과 - 음악 - 수학 
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