< link rel =" stylesheet " href =" http : / / editor . daum . net / services / blog / css / contents 4 view . css ? ver = 1 . 1 . 114 " type =" text / css "/>< link rel =" stylesheet " href =" http : / / editor . daum . net / services / blog / css / theme 4 view . css ? ver = 1 . 1 . 114 " type =" text / css "/> 혼돈 속 의 질서 카오스 세계 교과서 에서 배운 ‘ 45 도 각도 로 던지 는 것 이 가장 멀리 간다 ’ 는 이론 적 해석 은 실제 상황 에서 무기력 하 다 . 갈릴레이 가 실제로 피사 의 사탑 에 올라가 쇳덩이 와 깃털 을 동시 에 떨어뜨렸 다면 당연히 쇳덩이 가 훨씬 먼저 떨어져 갈릴레이 는 망신 을 당했 을 것 이 다 . 중력 가속도 보다 는 공기 저항 에 의한 마찰 이 훨씬 더 운동 을 지배 하 기 때문 이 다 . 우리 는 뉴턴 역학 의 세계 에 길들여져 있 지만 실제 의 자연 현상 은 우리 의 생각 대로 움직여 주 지 않 는 것 이 너무 도 많 다 . 대기 의 움직임 이 그렇 고 강물 의 흐름 도 그렇 다 . 여기 에 속도 , 압력 , 밀도 , 점성 등 을 고려 한 유체 역학 의 표준 방정식 인 나비어 - 스토크스 방정식 을 적용 하 고자 할 때 는 발걸음 을 뗄 때 마다 장벽 이 재 배열 되 는 미 로 속 을 걷 는 것 과 마찬가지 이 다 . 그 대안 은 중요 성 이 상대 적 으로 떨어지 는 요소 들 을 과감 하 게 생략 하 는 것 이 다 . 그러나 실제 는 무시 된 요소 들 이 , 예 를 들 면 마찰 이나 점성 , 공기 저항 이 전체 운동 을 지배 하 는 ‘ 야전 사령관 ’ 노릇 을 톡톡히 한다 . 혼돈 과학 은 이 처럼 무 질서 하 고 불 규칙 한 것 처럼 보이 는 운동 에서 새로운 규칙 성 을 찾아내 려는 움직임 이 다 . 태초 의 혼돈 그리스 신화 에서 혼돈 은 ‘ 망망 한 허공 ’ 이 란 뜻 으로 사용 되 고 있 는데 이 는 곧 우주 탄생 의 상황 을 의미 한다 . 최초 의 신 카오스 ( Chaos ) 에서 어둠 ( 에레보스 ) 이 생겨났 고 어둠 에서 광명 ( 아이 텔 ) 이 탄생 한 것 으로 되 어 있 다 . 장자 ( 莊子 ) 의 내편 에서 도 분석 적 지식 에 대비 되 는 무위자연 ( 無爲 自然 ) 의 의미 로 혼돈 을 이야기 하 고 있 다 . 그리스 신화 나 장자 가 표현 한 혼돈 이 , 상대 성 이론 이나 양자 역학 에 버금가 는 제 3 의 과학 혁명 의 주체 로 등장 한 혼돈 과학 과 어떤 유서 성 을 가지 고 있 는지 는 해석 이 구구 하 다 . 다만 기계 론 적 인 자연철 학관 이 자연 을 정복 하 려는 대상 으로 만 파악 하 고 억지로 자연 을 일정 한 틀 ( 모든 고전 역학 의 법칙 ) 에 가두 려는 반면 에 , 혼돈 과학 은 자연 이 가진 자생 적 생명력 을 가능 한 한 실제 와 가깝 게 파악 하 려 한다는 점 에서 의견 이 일치 한다 . 혼돈 과학 은 어떻게 시작 됐 는가 . 혼돈 과학 의 태두 는 누구 인가 . 이 질문 에 딱 부러진 답 은 불 가능 하 다 . 하지만 혼돈 의 심연 에 빛 을 비추 기 시작 한 사람 으로 푸앵카레 를 꼽 는데 주저 하 는 사람 은 아무 도 없 다 . 푸앵카레 는 18 세기 말 부터 19 세기 초 에 걸쳐 맹활약 한 ( 그 는 논문 을 4 백 여 개 나 발표 했 다 ) 프랑스 의 수학자 이 다 . 현실 로부터 유리 되 어 추상 의 세계 에 머물 기 쉬운 학문 이 바로 수학 이 다 . 그 는 수학 이 완전 한 수식 으로 만 장식 되 고 매우 세분 화 된 영역 으로 분리 되 기 직전 의 수학자 이 다 . 그 는 수학 의 전 분야 에 걸쳐 간섭 하 고 섭렵 했 다 . 5 살 때 디프테리아 를 앓 아 몸 이 약간 불편 했 던 그 는 겉 으로 보 기 는 먼 산 을 멍하 게 바라보 는 공상가 타입 이 었 지만 학문 적 연구 활동 은 여느 정열 적 인 정치 가 못지 않 았 다 . 1887 년 스웨덴 의 국왕 오스카 2 세 는 “ 태양계 는 과연 안정 된 상태 인가 ” 라는 천문학 의 오랜 궁금증 을 해결 하 는 사람 에게 2 만 5 천 크라운 의 상금 을 준다고 발표 했 다 . 태양 과 9 개 의 행성 , 그리고 소행성 과 수많 은 위성 들 이 안정 된 궤도 를 계속 가질 것 인가 , 아니면 언젠가 는 어느 행성 이 궤도 를 이탈 해 태양 과 정면 충돌 하 고 , 그 결과 우리 가 철들 면서 외우 기 시작 한 ‘ 수 금지 화목 . ..’ 의 천문 구구단 을 수정 해야 할 것 인가 를 묻 는 문제 였 다 . 푸앵카레 는 이 문제 에 도전 했 다 . 태양계 에서 지구 의 공전 주기 는 태양 과 지구 만 을 고려 한 결과 이 다 . 달 이나 다른 행성 이 끼 어 들 여지 가 없 다 . 달 이 얼마 만 에 한 번 씩 지구 주위 를 도 는가 를 계산 할 때 는 지구 와 달 이외 에 는 고려 하 지 않 는다 . 이것 이 뉴턴 역학 의 정수 다 . 그리고 그 결과 는 인간 이 태양중심설 을 확신 한 시기 부터 , 아니 그 이전 바빌로니아 시대 부터 지금 까지 큰 오차 없이 맞 아 떨어졌 다 . 푸앵카레 는 두 물체 만 을 고려 해서 는 안 된다고 생각 했 다 . 그러나 지구 와 달 의 관계 에서 태양 을 고려 할 때 ( 삼체문제 ) 뉴턴 방정식 으로 는 풀리 지 않 는다 . 굳이 해답 을 얻 자면 일련 의 근사치 를 구할 수 밖에 없 다 . 예 를 들 어 화성 과 목성 상 이 소행성 들 의 궤도 를 계산 하 기 위해서 는 섭동 이론 을 사용 해야 한다 . 결국 무한개 의 항이 등장 하 는데 이 들 을 무시 할 수 만 은 없 다는 것 이 푸앵카레 의 생각 이 었 다 . 푸앵카레 는 태양계 는 본질 적 으로 다체문제 이 기 때문 에 비 선형 방정식 으로 풀 수 밖에 없 다고 결론짓 고 새로운 방정식 을 구성 하 고 근사치 를 구해 나간다 . 대부분 의 경우 작 은 섭동 은 큰 영향 을 끼치 지 못하 고 궤도 는 안정 을 유지 했으나 , 어떤 경우 는 매우 작 은 섭동 을 가해 줘도 행성 이 큰 폭 으로 요동 하 고 충분 한 시간 이 지나 면 궤도 를 이탈 할지 도 모른다는 계산 결과 가 나왔 다 . 푸앵카레 는 뉴턴 의 홈그라운드 라고 할 수 있 는 태양계 에서 혼돈 의 심연 의 일단 을 발견 한 것 이 다 . 뉴톤 의 세계관 은 그 와 그 의 추종 자 들 이 가장 안 전하 다고 믿 었 던 곳 에서 무너지 기 시작 했 던 것 이 다 . 그러나 푸앵카레 의 뛰어난 천착 은 1960 년 대 카오스 의 후예 들 이 여기저기 서 자연 발생 적 으로 생겨나 기 까지 70 년 이상 을 먼지 를 뒤집 어 쓴 채 골방 에 처박히 고 말 았 다 . 뉴턴 의 세계관 은 너무나 도 뿌리깊 게 박혀 있 었 고 실제 의 천문 현상 은 뉴턴 의 지시 를 잘 따르 고 있 었 기 때문 이 다 . 푸앵카레 자신 조차 “ 이 결과 는 너무나 기이 해 더 생각 할 수 없 다 ” 고 말 했 을 정도 이 다 . 나비효과 와 로렌츠 끌개 혼돈 과학 을 소개 하 면서 가장 많이 등장 하 는 말 은 ‘ 나비효과 ’ 이 며 그림 으로 가장 많이 눈 에 띠 는 것 은 ‘ 로렌츠 끌개 ’ 이 다 . 이 두 가지 를 완성 시킨 장본인 은 수학자 이 면서 기상학 자 인 에드워드 로렌츠 이 다 . 나비효과 란 서울 상공 에서 나비 한 마리 가 펄럭 인 영향 이 수개월 후 에 뉴욕 에서 폭풍 을 가져올 수 있 다는 , 즉 초기 조건 의 미세 한 차이 가 증폭 돼 결과 는 엄청난 변화 를 가져올 수 있 다는 혼돈 과학 의 핵심 사상 이 다 . 수학자 였 던 로렌츠 가 기상 과 관련 을 맺 었 던 것 은 2 차 대전 중 기상 예 보관 으로 일 하 면서 부터 이 다 . 사실 그 는 어렸 을 때 부터 기 상광 이 었 다 . 고향 집 에서 매일 의 최고 기온 과 최저 기온 을 기록 할 정도 로 변화무쌍 한 기상 에 관심 이 많 았 다 . 그러나 기상학 은 1 월 의 평균 기온 이 얼마 며 1 년 에 몇 mm 의 비 가 내렸 다는 것 을 무미건조 하 게 기록 할 뿐 다이나믹 한 기상 의 변화 를 제대로 설명 하 지 못했 다 . 당시 만 해도 대부분 의 과학자 들 은 기상학 을 진정한 과학 으로 생각 하 지 않 았 다 . 구름 의 분포 등 을 적당히 계측 해 경험 과 육감 으로 내일 의 날씨 를 예보 하 는 어림짐작 으로 만 생각 했 던 것 이 다 . 로렌츠 는 달랐 다 . 기후 는 천체 의 움직임 보다 훨씬 더 복잡 한 현상 이 지만 어떤 법칙 은 존재 할 것 이 라 믿 었 다 . 그 는 우선 하루 이틀 후 의 일기 예보 조차 불 확실 하 고 1 주일 후 의 상황 은 전혀 종잡 을 수 없 는 이유 가 바로 나비효과 때문 인 것 을 발견 했 다 . 국지 적 인 돌풍 이 일련 의 증폭 현상 을 일으켜 대륙 을 뒤덮 을 만 한 커다란 소용돌이 로 변할 수 있 음 을 발견 한 것 이 다 . 그 는 여기 서 그치 지 않 았 다 . 1963 년 대류 에 관한 방정식 을 철저 하 게 분석 해서 핵심 적 인 요소 만 남겨 단순 한 형태 로 만들 었 다 . 물론 이 방정식 은 비 선형 요소 를 포함 하 고 있 었 다 . 그 는 이 방정식 을 컴퓨터 로 풀 어 가 던 중 그 속 에 내재 돼 있 는 정교 한 기하학 적 구조 를 발견 했 다 . 도저히 규칙 성 이 보일 것 같 지 않 은 기상 모델 에서 멋진 그림 하나 를 찾아냈 다 . 똑같 은 자리 로 되돌아오 지 는 않 지만 거의 비슷 하 게 반복 되 는 로렌츠 끌개 가 모습 을 드러낸 것 이 다 . 그러나 로렌츠 의 발견 도 푸앵카레 와 마찬가지 로 주변 과학자 들 의 시선 을 끌 지 는 못했 다 . 곧이어 천문학자 , 생물학자 , 그리고 물리학자 들 이 로렌츠 와 유사 한 발견 을 하 기 전 까지 는 고리타분 한 학술 지인 ( 대기 과 학지 ) 에 실려 있 는 로렌츠 의 위대 한 논문 은 빛 을 보 지 못했 다 . 스메일 의 편자 1960 년 대 들 어 몇몇 과학자 들 은 ‘ 카오스 성 ’ 을 쌓 는데 기초 가 될 만 한 벽돌 몇 개 를 마련 했 다 . 그 중 대표 적 인 사람 이 스티븐 스메일 이 었 다 . 그 에게 는 푸앵카레 의 후예 란 표현 이 적절 할 지도 모른다 . 동 력학 계 의 위상 수학 을 결합 시키 는 연구 를 수행 했 기 때문 이 다 . 스메일 의 편자 ( Horseshoe ) 라고 명명 된 아이디어 는 후 에 혼돈 과학 을 설명 하 면서 약방 의 감초 처럼 등장 하 고 있 다 . 이 편자 는 늘이 고 구부리 는 과정 을 반복 하 면 할수록 처음 의 차이 가 증폭 해서 늘어난다 . 이것 은 로렌츠 가 날씨 를 연구 하 면서 얻 은 결론 과 똑같 은 것 이 다 . 스메일 은 1960 년 대 에 접어들 면서 젊 은 수학자 들 을 버클리 대학 에 모아 . 그 동안 순수 성 만 을 강조 한 채 여타 의 과학 과 담 을 쌓 고 있 었 던 수학 의 흐름 ( 부르바키 라고 함 ) 을 현실 세계 로 돌려 놓 았 다 . 그 는 푸앵카레 의 후예 답 게 진동 진자 를 연구 해 부분 적 으로 는 예측 불 가능 하 지만 전체 적 으로 는 안정 된 카오스 계 의 개념 을 분명히 했 다 . 안정 된 카오스 계 란 다름아닌 우리 가 이제 까지 규칙 적 인 흐름 이 라고 생각 했 던 , 즉 뉴턴 의 지시 를 아주 잘 따르 는 동력 학계 가 미시 적 으로 는 혼돈 현상 을 보인다는 의미 이 다 . 그 후 보이저 가 찍 어 보낸 목성 의 대 적반 도 안정 된 카오스 계 의 일종 이 라는 해석 이 천문학 계 에서 도 내려졌 다 . 60 년 대 후반 들 어 물리학자 , 천문학자 , 생물학자 들 은 스메일 로 대표 되 는 우상 수학 그룹 의 주장 에 귀 를 기울이 기 시작 했 다 . 스메일 을 존경 한 수학자 중 에서 제임스 요크 라는 사람 이 있 었 다 . 그 는 로렌츠 를 재 발견 한 사람 이 기 도 하 다 . 요크 는 대기과학 학술지 에 실려 있 는 로렌츠 의 논문 을 보 고 “ 이것 이야말로 물리학자 가 가져야 할 분야 ” 라고 생각 해 그 의 논문 을 복사 해 주변 의 모든 사람 에게 돌렸 다고 한다 . 요크 는 로렌츠 와 스메일 의 업적 들 을 살피 면서 영감 을 얻 었 다 . 그 는 이 결과 를 논문 을 통해 발표 했 는데 이 논문 의 제목 이 유명 한 ‘ 주기 3 은 카오스 를 함축 한다 ’ 이 다 . 최초 로 카오스 란 단어 가 과학 의 영역 에 데뷔 하 는 순간 이 었 다 . 요크 야말로 카오스 란 용어 를 처음 으로 사용 한 사람 이 다 . 로렌츠 가 주장 한 ‘ 초기 조건 의 민감 성 ’ 은 일상 생활 도처 에 존재 한다고 요크 는 생각 했 다 . 하찮 은 일 로 약속 시간 에 조금 늦 게 나타난 정치가 가 폭탄 세례 를 피해 살아남 으로써 그 나라 의 정치 발전 에 커다란 변화 를 초래 한 예 라든가 , 한 야구팬 이 야구장 에 가 느냐 안 가 느냐 가 과연 게임 의 승패 에 어떤 영향 을 미칠 것 인가라는 문제 는 모두 하찮 은 차이 가 큰 변화 를 일으키 는 예 이 다 . 문제 는 과학 의 영역 이 다 . 그리고 무 질서 한 계 에서 의 규칙 의 발견 이 다 . 요크 는 “ 교과서 에서 는 선형 방정식 으로 만 풀 수 있 는 문제 만 등장 한다 . 비선형계 는 배우 지 않 는다 . 그러나 소수 의 과학자 는 비 선형 적 성질 이 자연 현상 의 대부분 이 라는 사실 을 알 고 있 다 . 우리 의 임무 는 비 선형 성 을 보이 는 자연 과학 의 영역 에서 질서 를 찾아내 는 일 이 다 “ 라고 제임스 글 리크 가 쓴 [ 카오스 ] 란 책 에서 밝혔 다 . 요크 는 의외 로 생물학자 인 친구 로버트 메이와 의 공동 연구 에서 카오스 계 에서 나타난 질서 를 찾 았 다 . 생태학 에서 는 고전 적 으로 아주 간단 한 선형 방정식 을 애용 해 왔 다 . 단 적 인 예 가 먹이 가 많 아 지 면 개체 수 가 는다는 방정식 이 다 . X ' = nX , X 는 현재 의 개체 수 이 며 X ' 는 다음 세대 의 개체 수 , n 은 늘어나 는 비율 이 므로 어떤 숫자 라도 상관없 다 . 멜 더 스 의 인구론 도 이 선형 방정식 을 크 게 벗어나 지 못한다 . 그러나 실제 는 이 와 는 사뭇 다르 다 . 질병 이 존재 하 고 개체 수 가 늘어남 에 따라 생존 경쟁 도 치열 해져 단순 한 선형 방정식 으로 는 표현 이 불 가능 하 다 . 요크 와 메이 는 만족 스럽 지 는 않 지만 새로운 방정식 하나 를 고안 해냈 다 . X ' = n ( 1 - X ) , 단 X 값 은 편의 상 1 과 0 사이 의 숫자 로 제한 한다 . 이 는 제임스 트레필 이 난생 동물 인 곤충 의 개체 수 변화 를 살피 기 위해 등장 시킨 방정식 과 도 유사 하 다 . 이 를 논리 차이 방정식 이 라고 부른다 . 이 방정식 중 n 을 변화 시켜 가 면 재미있 는 현상 이 발견 된다 . n 이 3 이 하 일 때 는 X ' 는 일정 한 숫자 에 수렴 하 지만 3 을 지나 면 2 년 주기 로 두 개 의 값 사이 를 진동 한다 . n 의 숫자 가 더 커 지 면 4 년 주기 의 진동 을 가지 며 더 커 지 면 8 년 주기 . ...., 이 를 다이아 그램 으로 그린 것 이 유명 한 주기 배 가 카오스 ( peridic doubling ckoas ) 그림 이 다 . 요크 는 주 기 배가 를 통해 카오스 에서 의 질서 의 일면 을 발견 한 후 “ 혼돈 은 도처 에 존재 하 고 안정 된 상태 이 며 구조 적 이 다 ” 라고 외쳤 다 . 이 결과 는 혼돈 과학 의 영역 이 뉴턴 역학 의 카테고리 를 넘 어서 사회 경제 적 인 현상 까지 넓혀 질 수 있 다는 의미 도 포함 하 고 있 다 . 이방인 멘델 브로트 어느 학문 이 든 이방인 은 존재 한다 . 혼돈 과학 도 마찬가지 이 다 . 프랙탈 기하학 의 아버지 라고 불려 지 는 베노이트 멘델 브로트 가 바로 그 주인공 이 다 . 그 는 푸앵카레 , 로렌츠 , 스메일 , 요크 로 이어지 는 카오스 의 로얄 패밀리 와 는 조금 다른 길 을 걸 었 다 . 그러나 그 는 영원 한 이방인 은 아니 었 다 . 현재 혼돈 과학 은 프랙탈 이 라는 훌륭 한 도구 가 없 었 다면 한 걸음 도 나아가 지 못하 는 불구 의 신세 로 전락 했을지도 모른다 . 멘델 브로트 는 학교 교육 을 제대로 받 지 못했 다고 한다 . 알파벳 에 관심 이 없 었 고 , 구구단 도 5 단 이상 은 외우 지 못했 지만 기 학학 적 직관력 만 은 천부 적 이 었 다 . 대수학 시험 에서 도 마음 속 에 그림 을 그림 으로써 해답 에 접근 하 곤 했 다 . 당연히 기하학 과 는 거리 가 먼 화학 점수 가 낮 았 고 수학 은 남 들 이 풀 지 않 는 자기 만 의 해법 , 즉 기하학 의 직감 에 의존 하 여 겨우 낙제 점수 를 면했 다 . IBM 연구소 에 근무 하 던 그 는 통신 상 의 전송 오차 를 해결 하 는 문제 를 풀 다가 19 세기 의 유물 이 라고 할 수 있 는 칸토어 집합 을 생각 해 냈 다 . 이 를 이용 해 통신 오차 의 분포 를 기술 하 는 방법 을 제시 해 냈 다 . 그 가 제시 한 방법 으로 예측 한 오 차 는 실제 의 그것 과 정확히 들어맞 았 다 . 그 는 1 천 년 에 걸친 나일강 의 수위 기록 에 도 관심 을 가졌 고 10 년 동안 의 면화 가격 이 그려 내 는 도표 에 편집광 적 인 애정 을 쏟 았 다 . 자연 의 경향 성 을 밝히 려 했 고 사회 의 복잡 한 매카 니즘 속 에서 일정 한 질서 가 있 음 을 알아내 려 했 다 . 물론 그 질서 는 뉴턴 역학 에서 보여 지 는 단순 명쾌 한 질서 는 아니 었 다 . 그 가 주장 한 대로 자연 의 경향성 이 존재 하 는 것 은 사실 이 지만 그것 은 항상 관철 되 는 만능 자 는 아닌 것 이 다 . 요크 의 주기 배 가 카오스 그림 처럼 갑자기 나타났 다가 갑자기 사라지 기 도 한다는 것 이 멘 델 브로크 의 생각 이 다 . 영국 해안선 의 길이 를 잴 때 자 의 종류 ( 잴 수 있 는 최소 단위 가 얼마 냐 ) 에 따라 해안선 의 길이 는 다르 게 나온다는 결론 도 멘 델 브로트 의 통찰력 에서 나왔 다 . 자 의 최소 단위 가 적 으면 적 을수록 해안선 의 길이 는 길 어 진다 . 그 는 이러 한 기하학 적 통찰력 을 이용 해 통상 적 인 차원 과 는 다른 프랙탈 차원 이 란 개념 을 창시 하 기 도 했 다 . 프랙탈 차원 은 상식 적 인 1 , 2 , 3 차원 등 소수 차원 을 이야기 한다 . 멘델 브로트 의 업적 은 자연 이 가지 고 있 는 자기 유사 성 에 대한 연구 에서 절정 을 이루 며 , 카오스 의 본류 와 대등 한 자격 으로 합류 한다 . 칸토어 집합 과 코흐 곡선 에서 도 보여 주 는 자기 유사 성 은 우리 주변 에 널려 있 는 자연물 에 도 존재 한다는 위대 한 발견 과 함께 자기 유사 성 이란 많 은 자연물 ( 예 를 들 면 나뭇잎 , 해안선 의 형태 , 우리 몸 속 의 기관지 , 구름 모양 , 은하 구조 등 ) 의 부분 을 확대 해 보 면 전체 모습 과 본질 적 으로 닮 았 다는 의미 다 . 그러나 그것 은 단순 한 확대 나 축소 가 아니 다 . 일종 의 전체 를 바라보 는 철학 이 다 . 어떤 물리학자 는 태양 주위 로 지구 를 비롯 한 행성 들 이 돌 고 있 듯이 어떤 원자 세계 도 이 와 같 은 모양 을 하 고 있 으며 ( 자기 유사성 ) 그 안 에 는 인간 이 살 고 있 는 세계 와 유사 한 또 다른 세계 가 존재 할지 도 모른다고 이야기 한다 . 프랙탈 은 카오스 의 대주주 로 자리 잡 았 다 . 혼돈 과학 은 이제 시작 단계 이 다 . 첫 걸음 을 뗀 아이 의 탄생 순간 을 되뇌이 는 것 은 별 의미 가 없 다 . 앞 으로 이 아이 가 어떻게 말 을 배우 며 생각 하 고 자기 의 인격 을 형성 시킬 것 인가 , 또 거친 세상 을 어떻게 헤쳐나갈 것 인가 가 더욱 중요 하 다 .