어떤 집합 들 은 스스로 를 포함 하 고 있 는 듯이 보인다 . 예 를 들 어 사과 가 아닌 모든 것 을 포함 하 는 집합 이 있 다고 하 자 . 그러면 그 집합 자체 도 또한 사과 가 아닌 어떤 것 이 므로 스스 를 포함 해야 한다 . 이번 에 는 스스로 를 포함 하 지 않 는 모든 집합 의 집합 을 생각 해 보 자 . 이 집합 은 스스로 를 포함 하 는가 ? 어떤 대답 을 하 든 간 에 모순 에 빠지 게 된다 . 이 패러독스 는 논리학 의 역사 에서 가장 극 적 인 한 전환점 을 이루 었 다 . 독일 의 유명 한 논리 학자 고 틀 로브 프리 게 ( Gottlob Frege ) 는 그 의 생애 에 있 어서 의 두 번 째 역작 인 『 산술 의 기초 』 를 펴내 면서 모든 수학 의 기초 에 포함 되 지 않 는 모든 집합 의 집합 을 만드 는 것 을 허용 했 다 . 1902 년 이 책 을 인쇄 하 는 중 에 프레게 는 러셀 로부터 『 세비야 의 이발사 』 라는 패러독스 를 설명 하 는 편지 를 받 았 다 . 그래서 프레게 는 겉 으로 는 아무 결함 이 없 어 보이 는 그 집합 이 자기 모순 에 빠진다는 것 을 깨닫 게 되 었 다 . 그 는 권말 에 다음 과 같이 시작 되 는 보충 설명 을 달 았 다 .