[ 경향신문 ] 아주 많 은 걸 표현 할 때 ‘ 셀 수 없이 많 다 ’ 라고 한다 . 하지만 수학 의 세계 에서 는 , 유한 한 건 다 셀 수 있 고 , 무한 도 ‘ 셀 수 있 는 ’ 경우 가 있 다 . 무한 의 개념 은 신기루 같 은 것 이 어서 , 인류 역사 에서 많 은 사람 을 혼란 에 빠 트 렸다 . 영원 이 라거나 무한 한 윤회 같 은 , 종교 에서 나 나옴 직한 무한 의 개념 이 수학 과 무슨 관련 이 있 을까 . 박형주 아주 대 총장 무한 의 개념 에 처음 다 다른 것 은 인도 문명 이 었 다 . 기원전 10 세기 의 인도인 들 은 , 우주 의 원자 수 보다 더 큰 수 를 표현 하 는 숫자 를 발명 했 고 , 끝없이 계속 되 는 수 를 이해 하 고 있 었 다 . 하나 , 둘 을 세 면서 나오 는 수 가 아니 라 우주 의 광활 함 을 수 로 표현 하 려는 사색 의 결과물 이 었 다 . 기원전 3 세기 의 인도 는 셀 수 있 는 무한 과 셀 수 없 는 무한 을 구별 하 는 수준 에 다다랐 다 . 살 면서 경험 할 수 없 는 수 들 이 튀어나온 것 인데 , 무한 의 개념 은 힌두교 와 불교 우주관 의 핵심 이 었 다 . 유럽 에서 셀 수 있 는 무한 과 셀 수 없 는 무한 의 차이 를 분명히 이해 하 게 된 것 은 19 세기 수학자 게오르그 칸토르 에 이르 러서 였 다 . 동양 보다 2000 년 이상 늦 었 다 . 현대 의 수학 은 , 무한 에 도 종류 가 있 어서 어떤 무한 은 다른 무한 보다 더 크 다고 말 한다 . 어느 정도 커야 무한 하 다고 할 수 있 는 걸까 ? 셈 의 기본 인 자연수 의 집합 처럼 , ‘ 어떤 수 를 잡 아도 그것 보다 더 큰 수 가 있 다면 ’ 무한히 크 다 . 자연수 집합 의 크기 는 무한 중 에서 가장 작 아서 , 흔히 ‘ 셀 수 있 는 무한 ’ 이라고 부른다 . 자연수 집합과 일 대 일 대 응 이 되 는 모든 집합 은 같 은 크기 다 . 정수 나 유리수 가 더 많 아 보이 긴 하 지만 사실 은 자연수 와 일 대 일 대 응 이 되 므로 역시 셀 수 있 는 무한 만큼 많 다 . 그럼 ‘ 셀 수 없 는 무한 ’ 은 무얼까 ? 대표 적 인 예 가 , 유리수 에다 무리수 까지 추가 한 실수 의 집합 이 다 . 자연수 집합 에서 실수 집합 으로 가 는 일 대 일 대 응 은 없 으니 실수 는 자연수 보다 본질 적 으로 더 많 다 . 즉 ‘ 셀 수 없 는 무한 ’ 의 크기 를 가졌 다 . 천체 에 대한 관심 이 컸 다고 하 는 고대 아테네 의 철학자 들 은 우주 의 무한 함 보다 는 우주 의 기본 단위 에 관심 이 많 았 다 . 물질 의 기본 단위 로 4 원소 ( 元素 ) 를 제안 했 고 수 의 기본 단위 로 소수 ( 素數 ) 의 개념 을 발전 시켰 다 . 하지만 무한 의 개념 은 그리스 수학 에서 찾아보 기 힘들 다 . ‘ 소수 ( 素數 ) ’ 는 1 과 자기 자신 으로 만 나누 어 지 는 자연 수다 . 영어 로 는 prime number , 즉 ‘ 주요 수 ’ 다 . 자연수 는 모두 이 소수 들 의 곱 으로 표현 될 수 있 다 . 자연수 를 소수 로 쪼개 는 소인수 분해 는 , 물질 을 원소 로 쪼개 는 것 과 흡사 하 다 . 그래서 소수 는 수 의 요소 역할 을 하 는 ‘ 주요 수 ’ 라 불린다 . 놀랍 게 도 소수 의 세계 는 아직 도 인류 가 정복 하 지 못한 미지 의 영역 으로 남 아 있 다 . 2 , 3 , 5 , 7 , 11 … 로 이어지 는 소수 의 분포 는 어떤 때 는 밀집 해 있 다가 어떤 때 는 뚝 떨어지 는 등 규칙 없이 제멋대로 인 것 같 다 . 이 와 관련 된 리 만 가설 은 아직 도 현대 수학 의 미해결 난제 다 . ( 3 , 5 ) , ( 5 , 7 ) 같 은 쌍둥이 소수 가 유한 한지 무한 한지 도 2000 년 넘 게 풀리 지 않 고 있 다 . 큰 수 의 소인수 분해 는 어려운데 , 이 난해 함 을 이용 해서 만들 어 진 RSA 암호 는 인터넷 보안 에 쓰이 며 당신 의 금융 거래 를 보호 중 이 다 . 그리스인 들 은 기본 단위 에 대한 관심 에 비해서 , 무한대 에 대해서 는 큰 진전 을 이루 지 못했 다 . 문명사 의 명저 인 < 유클리드 원론 > 도 유한 한 선분 만 을 다룬다 . 그래서 ‘ 평면 의 평행 한 두 선분 은 만나 지 않 는다 ’ 고 말 한다 . 물론 유한 하 다면 … . 하지만 끝없이 긴 평행 한 두 철 로 는 지평선 언저리 에서 만나 는 것 처럼 보이 지 않 나 ? 유한 한 세상 에 천착 한 그리스 철학자 들 은 이런 모순 을 제대로 보 지 못하 고 지나쳤 다 . 15 세기 화가 들 이 원근법 을 만들 고 파스칼 이 무한 을 집어넣 은 사영 기하학 을 만들 때 까지 이 문제 는 미해결 의 난제 였 다 . 박형주 아주 대 총장 ▶ 장도리 | 그림 마당 보 기 ▶ 경향신문 바로 가 기 ▶ 경향신문 구독 신청 하 기 © 경향신문 ( www . khan . co . kr ) , 무단 전재 및 재 배포 금지