3 . 이 차 미분 방정식 - Sally 읶키 
 3 . 이 차 미분 방정식 
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 3 . 1 상수 계수 동차 방정식 
 정리 3 . 2 . 1 - 존재 와 유일 정리 
 정리 3 . 2 . 2 - 중첩 원리 
 정리 3 . 2 . 3 
 정리 3 . 2 . 4 
 정리 3 . 2 . 5 
 정리 3 . 2 . 6 
 정리 3 . 2 . 7 - 아벨 의 정리 
 3 . 3 특성 방정식 의 복 소근 
 정리 3 . 5 . 1 
 정리 3 . 5 . 2 
 3 . 6 변수 의 변형 
 선형 이 차 방정식 의 경우 
 이 절 에서 는 방정식 의 계수 를 함수 가 아닌 상수 로 한정 해서 생각 한다 . 
 예 제 1 을 일반 화 하 면 
 식 ( 11 ) 을 미분 방정식 ( 3 ) 의 특성 방정식 ( characteristic equation ) 이 라 한다 . 
 상기 이 차 선형 동차 미분 방정식 의 두 해 $ y _ 1 , y _ 2 $ 가 주어졌 을 때 , $ y _ 1 , y _ 2 $ 의 선형결합 $ c _ 1 y _ 1 + c _ 2 y _ 2 $ 는 $ c _ 1 , c _ 2 $ 값 과 관계없이 미방 의 해 이 다 . 
 위 행렬식 $ W $ 를 해 $ y _ 1 , y _ 2 $ 에 대한 론스키 행렬식 ( Wronskian ) 이 라고 한다 . 
 $ c _ 1 y _ 1 + c _ 2 y _ 2 $ 가 상기 초기 값 문제 의 해 로 존재 하 는지 검사 
 $\ phi $ 도 초기 값 문제 의 해 이 고 $ c _ 1 y _ 1 + c _ 2 y _ 2 $ 도 초기 값 문제 의 해 
 이제 역 을 증명 
 위 의 두 식이 좌표 평면 상 에서 평행 이 면 해 가 존재 하 지 않 음 — 모순 이 될 것 이 다 
 $ y _ 1 , y _ 2 $: 기본 해 집합 ( fundamental set of solution ) 
 $ c _ 1 y _ 1 + c _ 2 y _ 2 $: 일반 해 ( general solution ) 
 $\ implies y _ 1 , y _ 2 $ 는 상기 미방 의 기본 해 집합 
 가 선형 동차 미분 방정식 의 복소 해일 때 , 그 실수부 $ u $ 와 허수부 $ v $ 도 각각 같 은 미방 의 해 이 다 . 
 의 해 가 되 어야 함 은 3 . 1 절 에서 이미 확인 했 다 . 
 두 해 $ r _ 1 , r _ 2 $ 가 실근 이 고 서로 다른 근일 때 , 
 $\ mu \ ne 0 $ 이면 $ W \ ne 0 , \ implies u , v $ 는 기본 해 집합 을 형성 . 
 일반해 는 
 식 ( 40 ) 에 대입 
 결과 : 이 차 미분 방정식 이 일 차 미분 방정식 으로 차수 가 깎였 다 . 
 ( ∵ $ L $ 이 선형 ) 
 비 동차 미방 의 일반해 는 다음 과 같이 쓸 수 있 다 . 
 이때 $ y _ 1 , y _ 2 $ 는 대응 하 는 동차 방정식 의 기본 해 집합 이 고 $ Y $ 는 비 동차 방정식 의 어떤 특수 해 
 $\ implies \ phi - Y $ 가 동차 방정식 의 해 가 된다 . 
 미정 계수법 ( method of undertermined coefficients ) 
 비동 차미 방 에서 초등함수 ( 다항식 , 삼각함수 , 지수 함수 ) 인 우항 의 형태 를 유지 하 고 거기 곱해 지 는 계수 를 구하 는 것 . 좌항 의 계수 들 이 상수 일 때 유용 하 고 함수 일 때 는 효율 이 좋 지 않 다 . 
 미정 계수법 의 증명 
 페이지 내역 : 17 , 마지막 수정 : 31 Jul 2015 02 : 55