수학 문제 를 왜 푸 는가 ? ( 글 : 최원 인천대 영재교육 센타 교장 / 인천 대수학 과 교수 ) 이 글 은 인천대 영재교육 센타 교장 / 인천 대수학 과 교수 이 신 최원 교수 님 의 글 을 옮긴 것 입니다 . 이유 로 는 우리 가 공부 하 고 있 는 정보 올림피아드 와 도 일맥상통 하 는 내용 일 것 같 아서 입니다 . 꼭 ! 읽 어 보 시 기 바랍니다 . 왜 문제 를 푸 는가 ? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ------------------------- 수학 교과서 나 참고서 를 펼쳐 보 자 . 많 은 부분 이 " 예제 ", " 문제 ( 유제 ) ", " 연습 문제 " 등 으로 이루어져 있 다 . 실제로 학교 에서 수학 을 공부 할 때 도 대부분 의 시간 을 이런 " 문제 " 들 과 씨름 하 게 된다 . 그래서 학생 들 은 흔히 수학 공부 는 곧 문제 풀 이 라는 인식 을 갖 고 있 다 . 정말 그런 것 인가 ? 어떤 사람 은 문제 풀이 만 반복 하 는 것 이 아주 나쁜 공부 방법 이 라고 말 하 는데 그것 도 정말 그런 것 인가 ? 진짜 문제 와 연습 문제 어떤 문제 가 주어졌 다고 하 자 . 지금 까지 같 은 형태 의 문제 를 본 적 이 없 다면 , 가지 고 있 는 지식 을 창의 적 으로 적용 하 여 풀 어야 한다 . 이것 을 ' 진짜 문제 ' 라고 부르 자 . 수학자 들 은 말 하 자면 지금 까지 그 누구 도 풀 지 못했 던 문제 들 을 풀 려고 노력 하 는 것 이 므로 그 들 의 문제 는 모두 진짜 문제 이 다 . 반면 , 이미 풀 이 법 을 알 고 있 는 상태 에서 그야말로 ' 숫자 만 ' 바꾸 거나 , 약간 의 변형 만 이 가해진 문제 라면 우리 는 이미 알 고 있 는 풀 이 법 을 그대로 적용 하 기 만 하 면 되 며 이런 문제 는 그 풀 이 법 을 반복 숙달 하 기 위해 사용 된다 . 이것 을 ' 연습 문제 ' 라고 부르 자 . 영어 로 는 ' 문제 ' 를 problem 이 라고 하 지만 연습 문제 는 특히 drill 이 라고 불러 구별 하 는 경우 가 있 다 . ' 진짜 문제 ' 의 중요 성 수학 을 배우 는 목적 은 바로 문제 를 해결 할 수 있 는 능력 을 기르 기 위해서 라고 할 수 있 다 . 그런데 여기 서 의 문제 는 물론 ' 진짜 문제 ' 이 다 . 즉 , 지금 까지 본 적 이 없 는 문제 가 주어졌 을 때 , 가지 고 있 는 지식 을 짜맞추 고 자기 나름 대로 의 풀 이 방법 을 창조 해 낼 수 있 는 능력 - 그것 을 얻 고자 하 는 것 이 다 . 그래서 수학 을 공부 할 때 풀 이 방법 을 모르 는 도전 적 인 문제 를 해결 하 면서 그 풀 이 방법 을 창조 ( 또는 발견 ) 해 내 는 경험 은 무엇 보다 중요 하 다 . 그런 경험 을 통해 수학 적 능력 ( 사고력 ) 을 키울 수 있 고 수학 , 더 나아가 서 공부 한다는 것 에 대한 긍정 적 인 태도 를 가질 수 도 있 는 것 이 다 . 교과서 나 참고서 에서 ' 진짜 문제 ' 가 될 수 있 는 것 들 은 대개 ' 예제 ' 라는 이름 이 붙 어 있 고 그 아래 에 풀이 가 나와 있 다 . 안타깝 게 도 많 은 학생 들 은 예제 를 읽 고 나 서 곧 그 풀이 를 읽 으며 그럼 으로써 몇 안 되 는 ' 진짜 문제 ' 를 풀 수 있 는 기회 를 스스로 놓쳐 버리 고 있 다 . 수학 공부 를 잘 하 고 싶 은가 ? 그렇 다면 ' 예제 ' 의 풀이 를 보 지 말 라 . 몇 시간 , 며칠 이 걸리 더라도 스스로 해결 하 라 . 그 전 에 나와 있 는 해설 같 은 것 은 물론 보 아도 된다 . 그러나 풀이 를 읽 는 순간 진짜 문제 를 해결 할 수 있 는 소중 한 기회 를 잃 는 것 이 다 . ( 그것 은 남 이 가르쳐 주 는 대로 퍼즐 을 맞추 는 것 에 비교 할 수 있 다 . 퍼즐 의 묘미 는 스스로 해결 하 는 것 이 며 , 수학 문제 도 그렇 다 . ) 여러분 이 이미 학교 공부 를 끝낸 성인 이 고 , 학교 에서 수학 을 싫 어 했 던 기억 이 있 다면 , 아마도 위 에 말 한 것 과 같이 ' 진짜 문제 ' 를 스스로 해결 해 본 경험 이 없 었 기 때문 이 었 을 것 이 다 . ' 진짜 문제 ' 를 스스로 해결 해 본 사람 들 은 수학 을 싫어하 려고 해도 그럴 수 없 다 . ' 연습 문제 ' 의 필요 성 그렇 다면 , 풀 이 방법 을 이미 아 는 문제 인 ' 연습 문제 ' 를 반복 적 으로 푸 는 이유 는 무엇 인가 ? 그것 은 한마디 로 더 앞 으로 나아가 기 위해서 이 다 . ' 연습 문제 ' 의 최초 의 예 는 아마도 구구단 외우 기 일 것 이 다 . 구구단 을 못 외워도 6 × 7 같 은 것 은 계산 할 수 있 다 . ( 그림 을 그리 던지 해서 ) 즉 , 한 자리 수 곱셈 으로 끝낼 것 이 였 다면 구구단 외우 기 는 필요 없 다 . 그런데 두 자리 수 , 세자 리수 의 곱셈 , 더구나 나눗셈 , 소인 수분 해 , 식 의 계산 , 인수 분해 , 고차방정식 의 풀이 등등 을 공부 하 는 것 은 구구단 을 완전히 외우 지 않 는다면 불 가능 하 다 . 그래서 구구단 을 반복 숙달 하 는 과정 이 필요 했 던 것 이 다 . ' 연습 문제 ' 의 역할 은 그런 것 이 다 . 예 를 들 어 인수 분해 나 미분법 같 은 것 을 계속 반복 하 고 여러 형태 를 다루 어 보 고 하 여 그 ' 기능 ' 을 숙달 함 으로써 그 다음 단계 의 공부 를 할 수 있 게 되 는 것 이 다 . 따라서 연습 문제 를 반복 해 푸 는 것 은 결코 나쁜 것 이 아니 고 그것 을 하 지 않 고 수학 공부 를 해 나갈 수 도 없 다 . 하지만 그것 을 수학 공부 의 전부 로 생각 하 는 것 은 잘못 이 다 . 수학 공부 란 ? 수천 년 간 에 걸친 인류 의 수리 적 , 논리 적 사고 의 기록 인 수학 을 다시금 우리 가 공부 하 는 것 은 앞 으로 우리 에게 수리 적 , 논리 적 으로 해결 해야 할 ' 문제 ' 가 주어졌 을 때 그것 을 해결 할 힘 을 얻 기 위해서 이 다 . 수학 책 에 나와 있 는 ' 문제 ' 들 을 그런 목적 에 맞 게 사용 해야 원 하 는 것 을 얻 을 수 있 다 . 남 이 풀 어 놓 은 것 을 보 고 비슷 한 유형 의 문제 가 나올 때 적용 시키 는 방식 으로 는 결코 진정한 공부 가 될 수 없 으며 그것 은 빠른 시간 안 에 시험 점수 를 올리 기 위해 사용 하 는 가장 괴로운 공부 방법 이 다 . ( 그렇게 하 면 괴롭 다는 것 은 많 은 학생 들 이 경험 했 거나 하 고 있 을 것 이 다 . ) 남 의 풀이 를 보 지 말 라 . 스스로 풀이 를 발견 하 라 . 그러나 이틀 동안 밤낮 으로 그것 만 생각 했 는데 도 풀리 지 않 으면 그 때 는 할 수 없이 풀이 를 보 라 . ( 포기 의 기준 이 적어도 이틀 은 되 어야 하 는데 대개 의 학생 의 경우 채 2 분 이 안 된다는 것 이 안타깝 다 . ) 처음 에 는 힘들 지만 나중 에 는 즐겁 게 할 수 있 게 되 므로 결코 힘들 지 않 을 것 이 다 . 무엇 보다 도 , 그래야 만 문제 를 해결 할 수 있 는 능력 ( 수학 적 사고력 ) 을 얻 을 수 있 다 . 우리 의 삶 은 어쩌면 ' 진짜 문제 ' 들 을 해결 하 는 과정 의 연속 인지 도 모른다 . 특히 학문 적 이 거나 전문 적 인 문제 들 을 해결 하 는 데 는 수학 적 사고력 이 필수 적 인 경우 가 많 다 . 수학 책 에 나오 는 문제 들 을 더 이상 우리 를 시험 하 거나 괴롭히 는 괴물 들 로 생각 하 지 말 자 . 괴로움 을 당했 다면 , 그것 은 잘못 사용 했 기 때문 이 다 . 문제 들 이 거기 에 있 는 이유 는 우리 의 정신 을 갈 고 닦 아 우리 의 삶 에서 부딪칠 더 많 은 ' 진짜 문제 ' 들 을 해결 할 수 있 게 하 기 위해서인 것 이 다 .