< 내용 을 갖 다 붙이 기 하 니까 표 가 모두 깨 어 지 는군요 . 표 와 그림 이 제대로 되 어 있 는 내용 을 보 려면 http : / / pakebi . com / writing / critic / a 04 - firstlogic . html ? PHPSESSID = 9 bf 30 c 3 c 4308 c 61 ef 9 be 05378 b 78 d 998 을 참조 하 세요 . > 지금 우리 는 무엇 을 하 고 있 는가 ? 지금 우리 가 배우 고 있 는 것 은 ‘ 절대로 올바른 생각 의 길 ’ 정도 로 설명 할 수 있 다 . 처음 부터 우리 는 논증 에 대해서 생각 해 왔 다 . 그 논증 이 문제 의 어떤 논점 에 , 어떤 방식 으로 초점 을 맞출 것 인가 에 대해서 알려 주 는 것 이 생각 의 구구단 이 었 다 . 일단 논증 의 초점 이 결정 되 었 으면 구체 적 으로 논증 이 이루어지 는데 , 거기 에서 의심 의 여지 없이 옳 은 논증 의 방식 이 있 다 . 그것 이 곧 연역 논증 이 다 . 지금 우리 는 그 도구 와 기술 들 을 배우 고 있 는 중 이 다 . 왜 이렇게 복잡 하 고 어렵 냐구 ? 그 근원 은 바르 게 생각 하 는 것 자체 가 원래 어렵 기 때문 이 다 . 그 때문 에 여러분 들 은 지금 이 책 을 읽 으며 바르 게 생각 하 는 것 을 공부 하 고 있 는 것 아닌가 . 그럼 ( 명제 논리 에서 보 듯이 ) 왜 이렇게 쉽 게 생각 할 수 있 는 것 까지 복잡 하 게 생각 하 느냐구 ? 일상 적 인 사고 로 쉽 게 생각 할 수 있 는 것 도 있 지만 일상 적 인 사고 로 는 도저히 풀어내 고 답 을 찾 을 수 없 는 복잡 한 문제 를 해결 할 생각 의 도구 와 기술 을 얻 기 위해서 이 다 . 이것 역시 어차피 최종 적 인 목적 이 아니 겠 는가 ? 단지 그런 강력 한 도구 와 기술 이 , 쉬운 문제 에 대해서 도 틀림 이 없 다는 것 을 확인 할 뿐 이 다 . 그리고 그런 도구 와 기술 들 이 항상 옳 을 수 있 다는 것 을 확인 하 고 있 을 뿐 이 다 . 천리 길 을 여행 해야 하 는데 , 당장 걸어서 출발 하 지 않 고 자동차 에 기름 을 넣 고 있 는 사람 은 바보 가 아니 다 . 걸어서 몇 발자국 먼저 출발 하 는 사람 이 빠를 것 같 아 보여도 결국 에 ‘ 천리 길 을 가 려면 ’ 목표 와 는 무관 해 보이 는 행동 , 차 에 기름 을 넣 고 정비 를 하 는 행동 이 더 현명 한 선택 일 것 이 다 . 지금 어려운 논리학 을 배우 는 것 도 이 와 같 다 . 자 , 지금 까지 설명 한 명제 논리 의 내용 이 광활 한 생각 의 세계 를 여행 하 는 데 도움 이 되 는 적토마 에 해당 된다면 이제 설명 할 것 은 페라리 같 은 명차 에 해당 한다 . 하지만 불행히 도 이 명차 의 이름 은 ‘ 페라리 ’ 가 아니 다 . 오히려 “ 1 차 술어 논리 ” 라는 , 칙칙 한 이름 이 다 . ‘ 1 차 술어 논리 ’ 도 있 다면 ‘ 2 차 술어 논리 ’ 도 있 다는 말 인가 ? 그렇 다 . 2 차 술어 논리 는 페라리 급 이 아니 라 오히려 보잉 747 같 은 제트 기급 에 해당 한다 . 잘못 운전 하 면 땅 에 추락 한다 . 자동차 운전 면허증 은 보통 사람 들 이 어렵 지 않 게 딸 수 있 지만 비행기 조종사 자격증 은 전문 인력 들 에게 만 가능 하 다 . 2 차 술어 논리 도 그렇 다 . 그 내용 을 알 고 싶 으면 대학교 철학 과 로 가 라 . 여기 서 는 그런 것 다루 지 않 을 것 이 다 . 논리학 을 자동차 에 비유 하 는 것 은 여러 모로 적절 하 다 . 여행 을 위해서 자동차 를 준비 하 는 것 에 도 여러 수준 이 있 듯이 1 차 술어 논리학 을 배우 는 것 에 도 여러 수준 이 있 다 . 자동차 의 경우 에 단순히 2 종 보통 면허 를 딸 수 도 있 지만 , 경주 용 자동차 를 몰 수 있 는 자격증 을 딸 수 도 있 을 것 이 고 , 더 나아가 서 자동차 정비 기술 자격증 을 딸 수 도 있 을 것 이 다 . 정말 멀 고 먼 여행 을 하 고자 한다면 정비 자격증 이 필요 할 것 이 다 . 낯선 이국 땅 에서 자동차 가 고장나 면 스스로 고칠 수 있 어야 할 테 니까 말 이 다 . 잡담 이 길 었 지만 겁먹 을 필요 는 없 다 . 여기 서 는 2 급 보통 운전 면허증 정도 의 고급 논리학 을 설명 할 것 이 다 . 결국 그 말 을 하 고 싶 었 다 . 더 많 은 것 은 논리학 책 을 별도 로 읽 으라는 이야기 를 말 이 다 . 명제 논리학 이 ‘ 적토마 ’ 급 에 해당 하 는 강력 한 도구 와 기술 이 기 는 하지만 어딘가 부족 하 다 . 어디 가 부족 하 지 ? 소크라테스 의 죽음 에 대한 3 단 논법 도 사실 은 정확히 번역 할 수 없 다는 점 이 핵심 이 다 . 모든 사람 은 죽 는다 . ( 대전제 ) 소크라테스 는 사람 이 다 . ( 소전제 ) - - ------------------------- 그러므로 소크라테스 는 죽는다 ( 결론 ) 대전제 가 무엇 인가 ? “ 모든 사람 은 죽는다 ” 라는 것 이 다 . “ … 이 면 ” 이나 “ … 또는 ” 등 의 접속사 가 없 다 . 소전 제도 그렇 다 . 하나 의 명제 이 다 . 명제 논리 로 이것 을 형식 화 한다면 대전제 를 P , 소전 제 를 Q , 결론 을 R 로 번역 할 수 밖에 없 다 . 그리고 P , Q 에서 R 을 연역 하 는 것 은 논리 적 으로 타당 하 지 않 다 . 하지만 원래 의 3 단 논법 은 논리 적 으로 타당 하 지 않 은가 . 이런 문제 에 대해서 도 많 은 사람 들 이 역시 2 천 년 동안 생각 해 왔 다 . 그리고 이런 사고 의 형식 을 법칙 으로 만들 기 위해서 , 나중 에 배울 환위 와 환질 등 과 같 은 잡다 한 법칙 들 을 만들 었 다 . 그러나 만족 스럽 지 는 않 았 다 . 그러 다가 , 프레게 ( G . Frege ) 라는 학자 가 나타나 서 ‘ 양화 논리 ’ 혹은 ‘ 술어 논리 ’ 라는 것 을 만듦으로써 이 문제 가 한 방 에 해결 되 었 다 . 논리학 의 역사 의 흐름 은 그렇 다 . 내용 으로 바로 들어가 자 . 1 차 술어 논리 도 기호 논리학 인데 , 명제 논리 에서 도 보 았 듯이 기호 논리학 의 첫 번 째 단계 는 우리 의 생각 을 기호 로 표시 하 는 것 이 다 . 명제 논리 에서 는 하나 의 문장 을 하나 의 기호 P 나 Q 로 표시 했 다 . 술어 논리 는 하나 의 문장 P 안 에 들 어 있 는 것 을 기호 로 더 표시 할 수 있 다 . 이것 을 위해서 는 세상 을 바라보 는 어떤 사고방식 이 필요 한데 그것 은 세상 은 어떤 대상 들 의 관계 로 이루어져 있 다는 사고방식 이 다 . 단순 한 사고방식 이 다 . 불만 도 많 겠 지만 , ‘ 단순 하 게 생각 하 는 것 ’ 이 여전히 중요 하 다 . 예 를 들 어서 “ 내 책상 위 에 컴퓨터 가 얹혀 있 고 우리 집 은 서울 에 있 고 … 오바마 는 미국 최초 의 흑인 대통령 으로 당선 되 었 으며 미국 은 아프가니스탄 에 파병 을 하 고 한국 은 2009 년 현재 낮 은 출산 율 로 고민 하 고 있 다 “ 등 은 모두 ‘ 책상 ’, ‘ 컴퓨터 ’, ‘ 나 ’, ‘ 집 ’, ‘ 서울 ’, ‘ 오바마 ’, ‘ 미국 ’, ‘ 아프가니스탄 ’ ‘ 한국 ’ 등 의 대상 들 이 어떤 관계 를 맺 음 으로써 구성 된다고 볼 수 있 다 . 이것 을 반영 하 여 모든 문장 들 은 대상 들 을 표시 하 는 기호 a , b , c , … 와 관계 를 표시 하 는 기호 F , G , H , … 를 결합 하 여 만들 어 진다 . 예 를 들 어서 “ 타이타닉 은 제임스 카메룬 감독 이 만든 영화 다 ” 라는 문장 은 , ‘ 타아 타 닉 ’, ‘ 제임스 카메룬 ’ 이 라는 두 대상 이 “ … 은 … 이 만든 영화 다 ” 라는 관계 를 맺 고 있 음 을 설명 한다고 이해 하 는 것 이 다 . 이제 “ … 은 … 이 만든 영화 다 ” 를 M 이 라는 기호 로 쓰 고 , 타이타닉 을 t , 제임스 카메룬 을 j 로 쓰 면 원래 문장 은 기호 로 로 표시 된다 . ‘ 모든 ’ 이 란 말 은 관계 도 아니 고 대상 도 아니 다 . 그것 은 대상 들 의 범위 를 나타낸다 . 우리 가 알 고 있 는 대상 들 전부 를 ‘ 모든 ’ 이 란 말 이 표시 한다 . 그리고 이것 은 어떤 대상 이나 어떤 관계 에 대해서 도 같 은 의미 를 유지 한다 . 그래서 이것 은 고정 된 기호 “ ∀” 를 쓴다 . 이것 은 ‘ 모든 ’ 에 해당 하 는 영어 “ all ” 의 A 를 거꾸로 쓴 것 이 다 . 그래서 “ 모든 영화 는 제임스 카메룬 감독 이 만든 영화 다 ” 를 기호 로 표시 하 면 “ ” 가 된다 . 이 기호 를 풀 어서 읽 어 보 면 “ 모든 ( ∀) 어떤 것 ( x ) 에 대하 여 그것 ( x ) 은 제임스 카메룬 ( j ) 이 만든 영화 라는 관계 를 맺 고 있 다 ” 라는 뜻 이 다 . 이 때 원래 의 t 대신 에 x 가 쓰였 는데 , x 는 변수 를 나타낸다 . 수학 에서 와 같 다 . 논리학 에서 x 와 같 은 변수 는 ‘ 뭔지 는 모르 지만 어떤 것 , 바로 그것 ’ 을 의미 한다 . 더불 어서 ‘ 모든 ’ 에 반대 되 는 말 로 ‘ 어떤 ’ 도 도입 한다 . ‘ 어떤 ’ 은 “ ∃” 라는 기호 로 표시 한다 . 이것 은 ‘ 있 다 ’ 에 해당 하 는 영어 “ exist ” 의 E 를 거꾸로 쓴 것 이 다 . ‘ 최소한 하나 는 있 다 ’ 를 뜻 한다 . 그 다음 에 더 생각 해야 할 것 은 관계 들 간 에 포함 관계 가 성립 한다는 것 이 다 . 예 를 들 어서 ‘ 부자 ( 父子 ) 관계 ’ 는 ‘ 가족 관계 ’ 의 일부 이 다 . 그래서 , 철수 가 기철 이 와 부자 ( 父子 ) 지간 이 라면 철수 와 기철 이 는 서로 가족 관계 에 있 기 도 하 다 . 그런데 이런 관계 는 2 개 의 대상 들 이나 3 개 의 대상 들 사이 에 도 성립 하 지만 1 개 의 대상 에 도 성립 한다 . 학자 들 은 그렇게 간주 한다 . 1 개 의 대상 이 가진 관계 를 특별히 ‘ 속성 ’ 이라고 부른다 . 이 장미 가 붉 다면 , 그것 은 이 장미 라는 대상 이 붉 다는 속성 을 가진 것 이 기 도 하 고 , 혹은 이 장미 가 ‘ 붉 다 ’ 라는 자신 만 의 관계 에 있 는 것 이 기 도 하 다 . 그렇 다면 소크라테스 의 죽음 에 대한 3 단 논법 은 다음 과 같이 번역 된다 . 구분 보통 문장 1 차 술어 논리 문장 대전제 모든 사람 은 죽 는다 . ∀ x ( Mx → Dx ) 소전제 소크라테스 는 사람 이 다 . Ms 결론 그러므로 소크라테스 는 죽 는다 . ∴ Ds 그러면 이 3 단 논법 은 어떻게 증명 되 는가 ? 이것 은 증명 될 수 있 어야 한다 . 왜냐하면 이 3 단 논법 은 옳 기 때문 이 다 . 이것 을 알 기 위해서 는 1 차 술어 논리 의 추론 규칙 들 을 알 아야 한다 . 명제 논리 에서 의 연역 규칙 들 은 1 차 술어 논리 에서 그대로 적용 된다 . 1 차 술어 논리 에서 는 명제 논리 와 는 다른 규칙 들 이 필요 한 것 이 아니 라 , 추가 적 인 추론 규칙 들 이 더 필요 한 것 이 다 . 어떤 규칙 들 이 더 필요 하 겠 는가 ? 1 차 술어 논리 를 내용 에 대해서 지금 까지 설명 한 것 을 곰곰이 다시 생각 해 보 면 P → Q 와 같 은 명제 논리 에서 P 나 Q 를 좀 더 상세 하 게 기호 로 번역 한다는 것 을 알 수 있 다 . 그리고 그렇게 되 었 을 때 대상 과 관계 중 에서 대상 에 대해서 ‘ 모든 ’ 이 라는 의미 를 부여 할 수 있 다 . 이것 을 전문 용어 로 “ 양화 한다 ” 라고 한다 . “ 양화 한다 ” 라는 말 은 어떤 것 에 대해 많 고 적음 의 양 을 표시 할 수 있 도록 한다는 말 이 다 . ‘ 모든 ’ 은 최대한 의 양 이 라고 보 면 된다 . 그렇 다면 1 차 술어 논리 에서 어떤 규칙 들 이 더 필요 할지 대략 추측 할 수 있 다 . 명제 들 간 의 관계 는 명제 논리 와 같 다 . 명제 안 의 내용 , 그리고 양화 된 것 에 대한 추론 규칙 이 더 필요 할 것 이 다 . 그래서 1 차 술어 논리 에 더 추가 되 는 추론 규칙 은 다음 과 같 다 . 연역 규칙 . ( 1 ) 보편 예화 ∀ x ( … x … ) 그러므로 … a … ( 2 ) 존재 일반 화 … a … 그러므로 ∃ x ( … x … ) ( 3 ) 개별 양화 ∀ x ( Fx → Gx ) 그러므로 ∀ xFx →∀ xGx 동치 규칙 보편 양화 부정 법칙 ～∀ x ( … x … ) ↔ ∃ x ～(… x … ) 존재 양화 부정 법칙 ～∃ x ( … x … ) ↔ ∀ x ～(… x … ) 보편 예화 규칙 의 의미 를 설명 하 겠 다 . “ ∀ x ( … x … ) ” 에서 “ … x … ” 는 x 를 포함 하 는 전체 를 가리킨다 . 예 를 들 어서 ‘∀ xFx ’ 에서 는 ‘ Fx ’ 가 ‘… x … ’ 에 해당 하 고 , ‘∀ x ( Fx → Gx ) ’ 에서 는 ‘ Fx → Gx ’ 가 ‘… x … ’ 에 해당 한다 . 이 연역 규칙 의 의미 는 이렇 다 . “ 모든 남자 ( x ) 가 늑대 라고 하 자 , 그러면 그 중 한 남자 인 파깨비 ( a ) 도 늑대 이 다 . ” 당연 하 지 않 겠 는가 ? 논리학 의 규칙 은 원래 이렇게 당연 한 것 을 말 한다 . 존재 일반 화 규칙 도 당연 하 게 이해 할 수 있 다 . "… a … " 가 “ a 가 13 살 에 장원 급제 했 다 ” 이 고 a 가 ‘ 율곡 ’ 이 라 하 자 . 그러 면 “ 율곡 이 13 살 에 장원 급제 하 였 다 . 그러므로 13 살 에 장원 급제 한 사람 이 있 다 ” 가 당연 하 게 성립 할 것 이 다 . 이 때 “ 13 살 에 장원 급제 한 사람 이 있 다 ” 를 기호 로 표시 하 면 “ ∃ x ( … x … ) ” 가 된다 . 개별 양화 규칙 의 의미 는 이렇 다 . “ 모든 것 이 [ 바퀴 가 있 다면 ( →) 달릴 수 있 다 ] 고 하 자 . 그렇 다면 모든 것 이 바퀴 가 있 다면 모든 것 은 달릴 수 도 있 다 . ” 이것 은 좀 헷갈릴 것 이 다 . 앞 의 것 과 뒤 의 것 의 차이점 을 다른 예 로 설명 하 겠 다 . 간단히 말 하 자면 , 그 차이점 은 주어 가 항상 같이 가 느냐 따로따로 갈 수 있 느냐 하 는 점 이 다 . ∀ x ( Fx → Gx ) 는 모든 것 에 대해서 그 각각 의 것 이 바퀴 가 있 다 ( F ) 면 달릴 수 있 다 ( G ) 는 말 이 다 . 한편 ∀ xFx →∀ xGx 는 모든 것 이 바퀴 가 있 다 ( F ) 면 모든 것 이 달릴 수 있 다 ( G ) 라는 말 이 다 . ( 보다 직관 적 인 예 를 찾 아서 다시 설명 해야 함 . ) 보편 양화 부정 법칙 은 훨씬 이해 하 기 쉽 다 . ‘… x … ’ 가 ‘ x 는 붉 다 ’ 를 의미 한다고 해 보 자 . 그렇 다면 ‘∀ x ( … x … ) ’ 는 ‘ 모든 것 이 붉 다 ’ 를 의미 한다 . ‘～∀ x ( … x … ) ’ 는 ? ‘ 모든 것 이 붉 은 것 은 아니 다 ’ 를 의미 할 것 이 다 . 이 의미 를 바꿔 말 해 보 면 이렇 다 . ‘ 붉 지 않 은 것 도 있 다 ’. 이것 을 기호 로 표현 한 것 이 ‘∃ x ～(… x … ) ’ 이 다 . 곰곰이 생각 해 보 면 알 것 이 다 . 존재 양화 부정 법칙 도 동일 하 다 . ‘… x … ’ 가 ‘ x 는 파랗 다 ’ 를 의미 한다고 하 면 , ‘～∃ x ( … x … ) ’ 는 “ 어떤 것 도 파랗 지 않 다 ” 라는 말 이 된다 . 이것 을 ‘ 모든 ’ 이 라는 말 을 써서 바꿔 보 면 “ 모든 것 이 안 파랗 다 ” 가 되 고 다시 기호 로 표시 해 보 면 ‘∀ x ～(… x … ) ’ 가 된다 . 혹시나 해서 부연 설명 하 자면 , “ 모든 것 이 붉 다 ” 의 부정 은 “ 모든 것 이 붉 지 는 않 다 ” 이 지 , “ 모든 것 이 파랗 다 ( 안 붉 다 ) ” 는 아니 다 . “ 모든 것 이 파랗 다 ( 안 붉 다 ) ” 는 부정 이 아니 라 ‘ 반대 ’ 라고 부른다 . 비유 하 자면 이렇 다 . ‘ 하얗 다 ’ 의 부정 은 ‘ 하얗 지 않 다 ’ 이 다 . ‘ 검 다 ’ 는 ‘ 하얗 다 ’ 의 부정 이 아니 라 반대 이 다 . ‘ 전부 어떠 하 다 ’ 의 부정 은 , 말 그대로 그것 을 부정 해야 한다 . ‘ 전부 어떠 어떠 한 것 은 아니 다 ’ 가 정확히 그 부정 에 해당 한다 . 부정 에 대해서 는 진부 할 정도 로 잘 알려진 마크 트웨인 의 일화 를 들 수 있 다 . 미국 을 대표 하 는 작가 로 칭송 받 는 마크 트웨인 은 무표정 한 얼굴 에다 남부 의 사투리 를 섞 어 가 면서 유머 를 구사 했 다 . 어느 날 그 는 어떤 국회의원 들 의 이름 을 거론 하 며 “ 어떤 국회의원 들 은 개자식 들 이 다 ! ” 라고 말 했 고 이것 이 신문 에 보도 가 된 적 이 있 다 . ‘ 명예훼손 ’ 으로 강력 한 항의 를 받 게 된 마크 트웨인 은 자신 의 말 을 정정 하 겠 다고 약속 했 다 . 그 다음 에 신문 에 난 내용 은 이랬 다 . “ 어떤 국회의원 들 은 개자식 들 이 아니 다 ! ” 이런 마크 트웨인 의 유머 뒤 에 있 는 논리 는 , 자신 의 말 에 대한 부정 을 요구 한 국회의원 들 에 대해서 ‘ 반대 ’ 를 가지 고 응수 한 것 이 다 . 어떻게 그렇게 되 는지 각자 생각 해 보 자 . 나 는 잠시 후 에 설명 하 겠 다 . 그렇 다면 , 소크라테스 의 죽음 에 대한 3 단 논법 은 증명 될 수 있 다 . 직접 번역 된 기호 문장 을 보 자 . 대전제 는 “ ∀ x ( Mx → Dx ) ” 이 다 . 보편 예화 법칙 에 의해서 Ms → Ds 가 도출 될 수 있 다 . 그런데 소전 제 에서 Ms 가 있 다 . 그렇 다면 명제 논리 의 전건 긍정 법 에 의해서 Ds 가 따라 나온다 . 전건 긍정 법 이 뭔지 잊 어 먹 었 는가 ? 누구 나 그렇 다 . 익숙 해 지 기 전 까지 는 . 반복 하 고 반복 해야 한다 . 전건 긍정 법 을 뒤적여 찾아보 면 다음 과 같 다는 것 을 알 수 있 을 것 이 다 . ( 1 ) 전건 긍정 법 P → Q , P , 그러므로 Q 1 차 술어 논리 에 대해서 는 이 정도 로 마치 겠 다 . 이 정도 가 소나타 든 폴크스 바겐 이 든 , 혹은 벤츠 라도 몰 수 있 는 기본 자격증 인 2 종 보통 면허 에 해당 한다 . 혹시나 , 혹시나 더 큰 관심 이 생긴다면 논리학 을 별도 로 공부 해 보 라 . < 내용 을 갖 다 붙이 기 하 니까 표 가 모두 깨 어 지 는군요 . 표 와 그림 이 제대로 되 어 있 는 내용 을 보 려면 http : / / pakebi . com / writing / critic / a 04 - firstlogic . html ? PHPSESSID = 9 bf 30 c 3 c 4308 c 61 ef 9 be 05378 b 78 d 998 을 참조 하 세요 . >