알파카 의 생각 : : 확률 의 세계 로 과감 하 게 한 발 - 베이지 정리 
 알파카 의 생각 
 확률 의 세계 로 과감 하 게 한 발 - 베이지 정리 
 알파카 의 과학 2016 . 11 . 16 15 : 23 
 " 환자 의 병명 은 중 2 병 입니다 ! " 
 의사 들 은 이런 결정 을 어떻게 할까요 ? 병원 가 면 응당 있 는 일 이 라 특별 한 일 아니 라고 생각 할 지 모르 지만 자세히 까보 면 심오 한 부분 이 있 습니다 . 결론 부터 얘기 하 면 병 에 대한 연구 와 진료 행위 는 서로 반대 방향 을 바라보 는 행위 라는 점 이 바로 얘기 하 고자 하 는 바 입니다 . 그러니까 . .. 
 연구 는 병 이 먼저 걸렸 을 때 이후 증상 에 대해 알아보 는 것 인 반면 
 진료 는 증상 을 먼저 관찰 하 고 이후 병 을 맞추 는 것 입니다 . 
 의사 들 이 가진 고민 의 궁극 적 인 어려움 이 바로 여기 있 습니다 . 의사 는 여러 증상 을 보 고 어떤 병일 확률 이 제일 높 은지 따져 보 고 진단 하 죠 . 그리고 이 문제 는 생각 보다 간단 한 얘기 가 아닙니다 . 조금 더 자세히 , 가상 의 병 을 상정 하 여 얘기 해 보 도록 합시다 . ' 과 학병 ' 이 라는 병 이 있 다고 해 보 자구요 . 이 병 에 걸린 환자 의 90 % 는 잘난 척 을 합니다 . 그냥 뭐 그렇 다고 해요 . 
 뭐 어때요 . 알파카 가 말 도 하 는데요 뭐 . 
 알파카 가 책 도 씁니다 ! 
 한 권 씩 사 보 세요 . 
 은근 어려 . ... 가 아니 고 재밌 음 . 
 명색 이 블로 근데 좀 있 어 보이 게 표현 해 봅시다 . 그림 으로 말 이 죠 . 온갖 증상 이 일어나 는 경우 들 과 병 에 걸린 경우 들 을 다음 그림 처럼 간단히 나타낼 수 있 습니다 . 그림 에 각 도형 의 크기 는 사건 의 크기 입니다 . 저 크기 를 이용 해 우리 는 간단 하 게 확률 을 실체 화 하 듯이 볼 수 있 지요 . 
 일단 은 각 영역 이 나타내 는 바 가 무엇 인지 명확히 하 고 넘어갑시다 . 
 제일 먼저 1 번 영역 에 대해 설명 해 보 도록 하 지요 . 
 지정 하 지 않 은 다른 모든 사건 입니다 . 다른 병 에 걸렸 다거나 아무 병 도 안 걸렸 다거나 발가락 이 간지럽 다거나 등등 등 . .. 사실 표현 할 수 없이 거대 한 사각형 입니다 . 지금 은 적당히 작 게 그린 것 일 뿐 이 죠 . 
 그 다음 2 번 . 
 과학 병 에 안 걸렸 는데 도 잘난 척 하 는 사건 을 나타냅니다 . 이런 경우 많 지요 . 정말 이 지 굉장히 많 습니다 . 주변 을 생각 해 보 세요 . ' 과 학병 ' 안 걸려 도 잘난 척 하 는 사람 천지 에 요 ~! 가만히 있 다가 도 잘난 척 하 고 싶 은 분야 가 대화 에 등장 하 면 때 는 이때 다 흥분 하 는 사람 정말 정말 많 지요 . 소설 병 에 걸렸 을 수 도 있 고 시크릿 가든 병 에 걸렸 을 가능 성 도 있 고 역사 병 도 만만 치 않 으며 , 뭐 여 튼 많 습니다 . 
 그리고 3 번 . 
 과학 병 에 걸려서 잘난 척 하 는 아주 상식 적 인 대단히 익숙 한 경우 죠 . 
 마지막 으로 4 번 
 과학 병 에 걸렸 는데 잘난 척 을 안 하 는 경우 입니다 . 이럴 리 가 없 . ..... 
 전 알파카 이 기 때문 에 
 잘난 척 이 니 과학 병 이 니 
 자 이제 본격 적 으로 확률 을 나타내 볼까요 . 제일 먼저 사람 들 이 잘난 척 하 는 증상 을 나타낼 확률 을 나타내 봅시다 . 애초 얘기 한 대로 확률 은 영역 의 비율 이 니까요 , 전체 그림 중 에 잘난 척 을 나타내 는 영역 과 전체 영역 의 면적 비 로 나타낼 수 있 습니다 . 면적 비 니까 분수 형태 로 나타내 집니다 . 아래 그림 에서 위 아래 를 가르 는 가운데 검정 선 이 분수 에서 나타나 는 막대 에 요 . 
 이렇게 구한 값 을 수식 으로 P ( 잘난 척 ) 이 라고 표현 합니다 . 
 다음 으로 는 중요 한 예 를 들 어 보 겠 습니다 . 과학 병 에 걸린 사람 중 에 90 % 는 잘난 척 을 한다는 사실 을 그림 에서 이해 할 필요 가 있 습니다 . 이것 이 바로 과학 병 에 대한 연구 결과 그 자체 거든요 . 그렇 다면 ' 과 학병 ' 을 나타내 는 동그라미 면적 의 90 % 는 잘난 척 을 나타내 는 동그라미 가 차지 해야 합니다 . 그러니까 다음 그림 처럼 표현 할 수 있 습니다 . 
 수식 으로 표현 하 면 
 P ( 잘난 척 | 과 학병 ) 이 됩니다 . 
 조금 어렵 네요 . .... 
 그래서 이런 표현 은 
 되도록 안 쓰 려구요 . 
 병 에 관한 연구 를 그림 으로 알 아 봤 으니까 이제 의사 선생 님 의 진단 행위 를 그림 으로 나타낼 차례 입니다 . 결정 적 으로 의사 선생 님 은 환자 가 과학 병 에 걸렸 는지 아닌지 아직 모릅니다 . 그저 증상 이 잘난 척 이 라는 것 만 확인 한 상태 이 지요 . 의사 는 잘난 척 증상 이 나타나 는 경우 중 에 가장 확률 이 높 은 원인 을 찾아내 야 하 는 것 이 지요 . 그것 이 진단 입니다 . 진단 에 필요 한 정보 를 그림 으로 잘 이해 하 기 위해 표현 을 조금 만 바꾸 면 , ' 잘난 척 증상 을 보이 는 환자 중 몇 퍼센트 가 과학 병 을 앓 고 있 을까 ? ' 가 됩니다 . 그럼 그림 으로 도 이해 할 수 있 습니다 . 
 이것 이 바로 궁금 한 값 이 지요 . 역시 수식 으로 나타낼 수 있 습니다 . P ( 과학 병 | 잘난 척 ) 어 랏 ? 아까 랑 정확히 반대 아닌가요 ? 설명 듣 기 전 에 이것 눈치챘 으면 당신 은 과학 병 환 ㅈ . .. 가 아니 고 훌륭 하 신 분 ! 
 문제 는 여기 에서 발생 합니다 . 세상 누구 도 2 의 크기 ( 혹은 3 의 크기 ) 를 미리 모른다는 것 이 죠 . 잘난 척 하 는 사람 중 에 얼마나 과학 병 에 걸렸 나 어떻게 미리 알아내 겠 어요 . 잘난 척 하 는 사람 을 전부 검사 할 수 도 없 는데 말 입니다 . 이건 그냥 추정 만 하 기 도 힘든 값 입니다 . 잘난 척 하 는 인간 만 세 면 되 는 게 아니 고 그 중 에 과학 병 에 안 걸린 사람 을 골라 내 야 하 는 거 니까요 . 계산 적 으로 는 진단 행위 가 거대 한 벽 에 부딪힌 셈 입니다 . 
 그렇 다고 진단 을 안 할 수 는 없 으니까 그래도 추정 할 수 있 는 방법 을 만들 어야 될 것 같 아요 . 그래도 그냥 잘난 척 하 는 인간 의 비율 이 얼마 인지 는 대충 알 지 않 을까요 ? 그냥 잘난 척 이 요 . 왜 살 다 보 면 한 반 에 몇 명 이나 잘난 척하 는지 알 잖 아요 . 이런 식 으로 대강 의 값 들 을 몇 개 추정 하 면 진단 에 도움 이 되 도록 확률 값 을 알 수 있 게 됩니다 . 
 수학 이 에요 . 수학 ! 
 그림 으로 하 면 
 안 어려울 . .... 껄 요 ? 
 우선 알 고 싶 은 값 을 등호 왼쪽 에 놓 고 . .... 
 바로 밑 에 계산 원리 를 그림 으로 알려 드립니다 . 
 왼쪽 에 있 는 값 들 을 각각 오른쪽 으로 옮기 고 
 그 사이 에 통분 해서 사라지 는 값 들 을 
 대각선 으로 배치 한 것 이 죠 . 
 그러면 양쪽 은 값 이 같 습니다 . 
 이해 하 기 그렇 게 난해 하 지 않 은 분수 를 이용 한 식 입니다 . 그런데 이렇게 해 놓 으면 등호 의 왼쪽 은 전혀 알 수 없 는 값 이 었 는데 오른쪽 은 추론 을 통해 알 수 있 는 값 이 됩니다 . 정말 이 에요 . 하나하나 알 아 볼께요 . 
 등호 오른쪽 의 첫 번 째 인데 이것 은 앞서 이미 봤 습니다 . 바로 연구 로 알아낸 과학 병 에 걸렸 을 때 잘난 척 할 확률 입니다 . 바로 90 % 요 . 따라서 수학 적 으로 는 0 . 9 가 되 겠 지요 . ( 면적 비 니까 1 이 곧 100 % 를 의미 합니다 . ) 
 등호 오른쪽 의 두 번 째 인데 이것 은 보통 사람 이 과학 병 에 걸릴 확률 입니다 . 그니까 대충 추정 해야 되 는 값 이 지만 딱히 어려울 것 같 지 는 않 습니다 . 대충 한 반 에 서너 명 있 잖아요 ? 그러니까 4 / 30 이 라고 과감 하 게 추론 합시다 . 
 이것 은 등호 오른쪽 의 제일 오른쪽 것 입니다 . 보통 사람 이 잘난 척 을 할 확률 입니다 . 정확히 는 그럴 확률 을 뒤집 은 값 이 지요 . 역수 인 것 입니다 . 여 튼 잘난 척 하 는 사람 은 무지 많 을 것 으로 예상 되 지만 너무 많 으면 우리 의 삶 이 너무 안타까 우 니까 세 명 중 하나 정도 로 합시다 . 그래서 10 / 30 . 식 에 들어갈 때 위아래 가 뒤집혀 있 으니 30 / 10 . 모든 것 을 종합 하 여 누군가 잘난 척 을 했 는데 과학 병 에 걸릴 확률 을 추정 하 여 다음 과 같이 계산 할 수 있 습니다 . 
 그러면 결과 적 으로 값 이 0 . 36 이 나오 네요 . 잘난 척 한다고 과학 병 걸린 거 아니 냐고 물 어 보 러 의사 선생 님 한테 가 면 의사 선생 님 은 36 % 확률 로 확신 을 갖 는 상황 , 한마디 로 확진 못 하 는 상황 입니다 . 캬 울 . 그래서 아마도 다른 검사 를 하 자고 할 겁니다 . 과학 병 이 나타내 는 다른 증상 이 더 있 는지 알아보 려고 말 입니다 . 여태 확률 적 으로 진단 행위 를 이해 했으니 의사 선생 님 들 이 왜 다른 검사 를 하 자고 하 는지 이제 명확히 이해 할 수 있 습니다 . 
 정확 한 진단 을 내리 기 위해서 의사 선생 님 이 해야 할 가장 원리 적 인 것 들 이 수식 에 잘 표현 되 어 있 습니다 . 첫째 , 병 에 걸리 면 높 은 확률 로 나타나 는 증상 을 찾아내 는 겁니다 . 병 에 걸리 면 무조건 나타나 는 증상 을 알아내 면 최고 지요 . 수식 에 따르 면 등호 오른쪽 에 있 는 것 중 에 첫 번 째 것 의 값 이 커야 하 는 것 이 죠 . 과학 병 의 예 에서 는 잘난 척 은 환자 의 90 % 가 보이 는 증상 이 니까 병 의 지표 로서 잘난 척 은 첫 단계 통과 한 셈 입니다 . 
 둘째 , 증상 중 에 병 에 고유 한 증상 을 알아내 는 것 입니다 . 위 의 예 에서 진단 확률 이 안 좋 아 진 이유 는 잘난 척 이 란 증상 이 너무 흔한 증상 이 기 때문 입니다 . 만약 30 / 10 이 아니 고 30 / 4 가 곱해 졌 다고 생각 해 보 세요 . 확률 은 자그마치 90 % 가 됩니다 . 의사 선생 님 들 은 그래서 여러 증상 을 동시 에 관찰 해서 관찰 하 는 증상 이 고유 한 증상 이 되 도록 만드 는 것 이 죠 . 병원 가 면 이거 저거 검사 많이 하 는 이유 가 이겁니다 . 많 은 검사 를 통해 ' 특정 병 에 만 기인 하 는 증상 ' 을 조합 해 내 면 진단 확률 이 매우 높 아 지 니까요 . 잘난 척 때문 에 가 면 아마 의사 선생 님 이 주기율표 를 외우 고 있 는지 원주율 을 몇 자리 까지 외우 는지 등등 더 검사 할 겁니다 . 
 여태 얘기 한 것 이 바로 
 베이 지 정리 ( Bayes ' theorem ) 입니다 . 
 몇 년 전 부터 대단히 각광 받 는 베이지안 확률론 의 시작 이 자 기본 이 자 핵심 이 자 . .... 뭐 그런 겁니다 . 처음 이 정리 가 만들 어 진 지 는 한참 되 었 는데 말 입니다 . 토마스 베이지 가 1701 년 에 태어난 사람 이 니까 상당히 오래 된 얘기 지요 . 그런데 요 근래 에 다시 널리 퍼지 게 된 데 에 는 이 수식 이 뜻 하 는 바 가 인간 의 인지 와 대단히 비슷 하 다는 것 이 큰 원인 으로 작용 했 습니다 . 
 인간 은 불 확실 한 상황 에서 주어진 정보 를 이용 해 판단 을 내립니다 . 매 순간 주어진 정보 를 기반 으로 이 일 이 무엇 인지 개연 성 이 제일 높 은 일 을 선택 하 지요 . 그 과정 은 이 베이즈 정리 가 표현 하 는 바 와 매우 비슷 합니다 . 이 글 에서 는 예 를 통해 ' 베이지안 정리 ' 가 나타내 는 바 와 ' 진단 ' 같 다고 했 지만 사실 의사 선생 님 의 진단 이 우리 가 살 면서 내리 는 판단 과 본질 적 으로 크 게 다르 지 않 습니다 . 일상 생활 에서 도 어떤 사건 이 일어나 면 그것 을 본 후 에 기존 에 알 고 있 던 사실 을 바탕 으로 추론 해서 원인 이 무엇 인지 확률 적 으로 판단 하 죠 . 
 이런 유사 성 은 과학 과 도 연관 이 있 습니다 . 제 가 이 이야기 를 길 게 풀어낸 이유 이 기 도 하 지요 . 다음 에 는 이 포스트 를 기본 으로 해서 이야기 를 조금 더 심도 있 게 풀 어 봅시다 . 베이지 통계 가 과학 과 무슨 상관 인지 가볍 게 다루 는 것 에서부터 기술 적 으로 ( ? ) 어떤 식 으로 사용 되 는지 등등 할 얘기 가 많 습니다 . 
 바로 다음 은 아닐지 도 몰라요 . 
 일단 퇴로 는 열 어 놓 고 . ... 
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