비 유클리드 기하학 - 위키백과 , 우리 모두 의 백과사전 
 비 유클리드 기하학 ( non - Euclidean geometry ) 은 유클리드 기하학 의 제 5 공리 " 직선 밖 의 한 점 을 지나 면서 그 직선 에 평행 한 직선 은 단 하나 존재 한다 " 가 성립 하 지 않 는 공간 을 다루 는 기하학 으로 , 쌍곡 기하학 , 타원 기하학 , 택시 기하학 등 이 있 다 . 19 세기 에 제 5 공리 를 부정 해도 다른 공리 와 는 아무런 모순 이 없 음 이 밝혀 지 면서 등장 하 였 다 . 연구 한 수학자 로 는 니콜라이 로바쳅스키 · 보여이 야노시 · 베른하르트 리만 이 유명 하 다 . 
 비 유클리드 기하학 은 타원 기하학 ( elliptic geometry ) 과 쌍곡 기하학 ( hyperbolic geometry ) 의 총칭 이 기 도 하 다 . 대표 적 인 학자 로 는 카 를 프리드리히 가우스 , 베른하르트 리만 등 이 있 다 . 리만 은 “ 구 위 에서 는 한 직선 과 그 직선 위 에 있 지 않 은 점 이 주어졌 을 때 , 그 직선 과 평행 하 고 그 점 을 지나 는 직선 은 없 다 . ” 고 말 했으며 , 가우스 는 반대 로 “ 의구 위 에서 는 한 직선 과 그 직선 위 에 있 지 않 은 점 이 주어졌 을 때 , 그 직선 과 평행 하 고 그 점 을 지나 는 직선 은 둘 이상 이 다 . ” 고 말 했 다 . 이 는 각각 타원 기하학 과 쌍곡 기하학 의 기초 가 되 었 다 . 삼각형 의 내각 의 합 이 180 도 인 유클리드 기하학 과 는 달리 비 유클리드 기하학 에서 는 삼각형 의 내각 의 합 이 180 도 가 아니 라 이 보다 크 거나 ( 타원 기하학 ) 작 다 ( 쌍곡 기하학 ) . 
 비 유클리드 기하학 은 역사 적 으로 는 공리론 적 으로 구성 되 지만 현대 적 인 견해 로 는 비 유클리드 기하학 을 리만 기하학 의 특수 한 예 또는 고전 적 인 모델 로 간주 한다 . 그리고 현재 까지 13 개 이상 의 기하학 이 탄생 되 고 체계 화 되 었 다 . 
 1 . 1 유클리드 기하학 
 1 . 2 유클리드 공준 
 1 . 3 비 유클리드 기하학 의 탄생 
 2 비 유클리드 기하학 과 유클리드 기하학 의 차이점 
 3 비 유클리드 기하학 의 분류 
 3 . 1 쌍곡선 기하학 
 3 . 1 . 1 쌍곡선 기하학 의 탄생 
 3 . 1 . 2 쌍곡선 기하학 의 공간 
 3 . 1 . 3 쌍곡선 기하학 에서 의 삼각형 내각 
 3 . 2 타원 기하학 
 3 . 2 . 1 타원 기하학 의 성질 
 3 . 2 . 2 타원 기하학 의 용어 정리 
 3 . 3 택시 기하학 
 3 . 3 . 1 택시 기하학 의 성질 
 3 . 4 절대 기하학 
 4 비 유클리드 기하학 의 중요 성 
 유클리드 기하학 편집 
 《 유클리드 원론 》 의 첫 번 째 영어 판 표지 
 유클리드 기하학 ( - 幾何 學 , Euclidean geometry ) 은 그리스 의 수학자 유클리드 ( Euclid , BC 330 ? ~ BC 275 ? ) 에 의해 구축 된 수학 체계 로 , 그 의 《 원론 》 은 기하학 에 관한 최초 의 체계 적 인 논의 로 알려져 있 다 . 유클리드 의 방법 은 직관 적 으로 인지 되 는 공리 를 참으로 간주 함 에 바탕 을 두 며 , 그것 들 로부터 연역 적 으로 명제 ( 정리 ) 를 이끌 어 낸다 . 이러 한 공리론 적 구성 법 에서 는 직선 · 평면 등 의 기본 적 인 개념 이 무 정의 ( 無 定 意 ) 요소 이 다 . 2 천 년 동안 유클리드 의 공리 는 어떤 정리 도 유도 해 낼 수 있 을 만큼 직관 적 으로 매우 명백 한 것 으로 보였 고 , 절대 적 인 의미 에서 참으로 간주 되 었 다 . 
 유클리드 공준 편집 
 비 유클리드 기하학 의 탄생 편집 
 독일 의 가우스 ( 1777 ~ 1855 ) 는 제 5 공준 대신 평행선 을 몇 개 나 그을 수 있 다는 공리 에서 출발 하 여도 , 모순 이 없 는 비 유클리드 기하학 ( 쌍곡 기하학 ) 이 만들 어 진다는 것 을 보여 주 었 다 . 이 비 유클리드 기하학 연구 는 발표 되 지 않 았 고 1831 년 가우스 의 친구 보여이 퍼 르 커시 의 아들 인 헝가리 의 보여이 야노시 에 의해서 연구 되 어 그 의 아버지 의 논문 에 발표 되 었 다 . 
 1854 년 가우스 의 제자 인 베른하르트 리만 ( 1826 ~ 1866 ) 은 기하학 의 기초 에 관한 강연 을 했 다 . 그 는 곡률 이 라는 개념 을 도입 해 다섯 번 째 공리 가 성립 하 는 공간 은 곡 률 이 0 인 공간 ( 유클리드 기하학 ) 이 고 평행선 공리 없이 , 곡 률 이 1 이 면 구면 처럼 평행선 이 없 는 공간 ( 구면 기하학 또는 타원 기하학 ) , 곡 률 이 - 1 이 면 평행선 이 무수히 많 은 공간 이 된다는 것 을 이론 으로 발표 했 다 . 나아가 곡 률 이 정해진 수 로 나타나 지 않 는 공간 에 대한 이론 도 세워 곡면 위 의 기하학 으로 일반 화 하 였 다 . 
 비 유클리드 기하학 과 유클리드 기하학 의 차이점 편집 
 공리론 적 구성 법 에서 는 직선 · 평면 등 의 기본 적 인 개념 이 무 정의 ( 無 定 意 ) 요소 인 데 비해 리만 기하학 의 입장 에서 는 이것 들 이 구체 적 으로 정의 된다 . 예 를 들 면 직선 은 두 점 을 연결 하 는 가장 짧 은 선 , 즉 측지선 ( 測地 線 ) 으로 정의 된다 . 
 평행선 단 한 개 존재 한다 . 수없이 많이 존재 한다 . 존재 하 지 않 는다 . 
 삼각형 의 세 내각 의 합 ＊ 180 ° 
 측지선 직선 
 ＊ 두 점 을 지나 는 직선 은 단 한 개 이 다 . 
 ＊ 두 점 을 지나 는 직선 은 한 개 이 다 . 
 ＊ 두 점 을 지나 는 직선 은 단 한 개 로 한정 하 지 않 는다 . ( 2 개 이상 ) 
 비 유클리드 기하학 의 분류 편집 
 쌍곡선 기하학 편집 
 쌍곡기하 학 의 위구 
 유클리드 기하학 과 쌍곡 기하학 의 비교 
 안장 꼴 모양 ( 쌍곡 포물면 ) 에 그린 삼각형 과 두 발산 하 는 ultraparallel lines . 
 쌍곡선 기하학 의 탄생 편집 
 논리 적 으로 완벽 하 다고 믿 어 왔 던 유클리드 기하학 의 여러 공리 중 에서 평행선 공준 에 모순 이 있 다는 것 을 발견 하 였 다 . 유클리드 기하학 은 구부러지 지 않 은 평평 한 면 과 공간 을 대상 으로 하 였 기 때문 에 이런 평면 과 공간 에서 평행선 공준 은 아무런 문제점 을 갖 지 않 지만 , 관점 을 달리 하 면 그렇 지 않 다 . 즉 , 구부러진 곡면 과 공간 에서 는 다른 공리 · 공준 들 은 모두 성립 하 지만 평행선 공준 은 성립 하 지 않 는다 . 따라서 새로운 기하학 의 필요 성 이 제기 되 었 고 , 그 결과 유클리드 의 다른 공리 들 은 모두 받아들여 지 면서 평행선 공준 만 을 바꾼 비 유클리드 기하학 이 만들 어 지 게 되 었 다 . 
 쌍곡선 기하학 의 공간 편집 
 그리고 공간 을 곡률 에 따라서 곡 률 이 0 인 공간 , 양수인 공간 , 음수 인 공간 으로 구분 함 으로써 유클리드 기하학 과 함께 비 유클리드 기하학 의 대상 이 된 공간 이 설명 될 수 있 었 다 . 이것 으로 비 유클리드 기하학 은 더 이상 기괴 한 것 이 아니 라 논리 적 으로 합당 한 또 하나 의 기하학 으로 인정받 았 다 . 
 쌍곡 기하학 은 비 유클리드 기하학 의 시초 라고 할 수 있 다 . 이 쌍곡 기하학 은 가우스 , 로바쳅스키 , 볼리 아이 가 만든 기하학 이 다 . 쌍곡 기하학 은 바로 곡 률 이 음수 로 일정 한 공간 에서 성립 하 는 기하학 으로 , 위구 ( 또는 의구 ) 와 같 은 공간 에서 성립 한다 . 
 이 공간 은 양쪽 끝 쪽 으로 갈수록 점점 작아져서 그 간격 이 0 에 가까워 지 고 , 가운데 로 갈수록 점점 커져 그 간격 이 무한대 로 커지 는 공간 으로 , 안 으로 휘어진 공간 이 다 . 쉽 게 말 하 면 나팔 두 개 를 서로 맞대 어 붙여 놓 은 것 과 비슷 한 모양 이 다 . 이 공간 에서 직선 l 과 l 위 에 있 지 않 은 점 P 가 주어졌 을 때 점 P 를 지나 면서 l 과 평행 한 직선 은 몇 개 일까 ? 
 평행선 은 만나 지 않 는 선 이 므로 직선 l 과 만나 지 않 는 직선 을 그려 보 면 여러 개 가 존재 한다 . 점 P 를 지나 면서 직선 l 과 평행 한 직선 은 m 과 n 이 있 다 . 그리고 m 과 n 사이 에 있 는 모든 직선 도 직선 l 과 만나 지 않 으므로 평행 하 게 되 고 , 결국 평행선 은 무수히 많이 존재 한다 . 또한 이 공간 에서 두 평행선 사이 의 거리 는 양쪽 끝 방향 으로 가 면 0 에 점점 가까워 지 고 ( 하 지만 만나 지 는 않 는다 ) 가운데 방향 으로 가 면 그 거리 가 무한히 된다 . 
 쌍곡선 기하학 에서 의 삼각형 내각 편집 
 이 공간 에서 는 삼각형 의 세 내각 의 크기 의 합 은 180 ° 라는 유클리드 기하학 의 정리 도 성립 하 지 않 는다 . 이 공간 에서 는 평행선 공준 이 성립 하 지 않 으므로 평행선 상 에서 동위각 과 엇각 의 크기 가 같 다는 성질 이 성립 하 지 않 기 때문 이 다 . 삼각형 의 세 내각 의 크기 의 합 이 180 ° 라는 것 은 평행선 상 에서 동위각 과 엇각 의 크기 가 같 다는 성질 을 이용 해서 증명 되 는 것 인데 , 쌍곡면 위 에서 는 이러 한 성질 이 성립 하 지 않 기 때문 에 삼각형 의 세 내각 의 크기 의 합 이 180 ° 가 아니 다 . 
 쌍곡면 위 에서 는 삼각형 을 그려 보 면 공간 자체 가 안 으로 굽 은 공간 이 기 때문 에 삼각형 자체 도 안 으로 굽 은 오목 한 삼각형 이 그려진다 . 따라서 삼각형 의 세 내각 의 크기 가 모두 작아지 게 되 어 그 합 이 180 ° 보다 더 작 게 된다 . 그리고 삼각형 의 크기 가 커질수록 삼각형 의 변도 안 으로 더 많이 휘어지 므로 세 내각 의 크기 의 합 이 점점 작아진다 . 
 타원 기하학 편집 
 비 유클리드 기하학 으로 분류 되 는 타원면 위 에서 법칙 을 설명 하 는 기하학 이 다 . 타원 기하학 중 가장 간단 한 구면 기하학 은 리만 기하학 이 라고 불리 기 도 한다 . 
 구면 에서 는 유클리드 의 평행선 공리 , 즉 한 직선 이 있 고 그 위 에 있 지 않 은 어떤 점 을 지나 면서 그 직선 에 평행 한 직선 은 오직 하 나 있 다는 것 이 위배 된다 . 대신 타원 기하학 에서 평행선 공리 는 한 직선 이 있 고 그 위 에 있 지 않 은 어떤 점 을 지나 면서 그 직선 과 만나 지 않 는 직선 은 존재 하 지 않 는다는 것 이 다 . 타원 기하학 의 모형 으로 는 좌표 공간 의 한 정점 으로부터 같 은 거리 에 있 는 점 의 집합 인 구 를 생각 할 수 있 다 . 이때 정점 을 구 의 중심 , 같 은 거리 를 구 의 반지름 의 길 이 라고 한다 . 구 에서 중심 을 지나 는 평면 과 구 의 교선 을 직선 으로 정의 하 면 평행 공리 의 불능 이 성립 함 을 알 수 있 다 . 또한 타원 기하학 에서 구면 에 그린 삼각형 내각 의 합 은 180 도 보다 크 게 나타난다 . 이러 한 타원 기하학 은 도형 을 도표 에 의해 표현 할 때 마다 변형 을 피할 수 없 음 을 의미 한다 . 하나 의 관점 , 즉 직선 의 곧 음성 을 충실하 게 표현 하 는 도표 들 은 다른 관점 , 즉 길 이나 각 들 을 변형 시킬 것 이 다 . 
 타원 기하학 의 성질 편집 
 서로 다른 두 직선 은 두 점 에서 만난다 
 삼각형 내각 의 합 이 항상 180 도 이상 540 도 이하 이 다 
 같 은 구면 위 에 있 는 삼각형 의 면적 비 는 내각 의 합 에서 180 도 를 뺀 것 의 비이 다 . 
 같 은 구면 위 에 는 합동 을 제외 한 닮음 은 존재 하 지 않 는다 . 
 곡 률 이 양인 공간 에서 성립 하 는 기하학 이 다 . 
 타원 기하학 의 용어 정리 편집 
 실수 의 순서쌍 으로 이루어진 집합 을 좌표 공간 이 라 하 고 기호 R 3 로 나타낸다 . 
 좌표 공간 R 3 에서 원점 으로부터 거리 가 ρ 점 의 집합 을 중심 이 O ( 0 , 0 , 0 ) 이 고 반지름 의 길이 가 ρ 인 구 또는 구면 이 라고 하 고 , 기호 S 2 ( ρ ) 로 나타낸다 . 
 그리고 좌표 공간 R 3 에서 원점 O ( 0 , 0 , 0 ) 을 지나 는 평면 과 구 S 2 ( ρ ) 의 교선 을 대원 이 라고 한다 . 구 S 2 ( ρ ) 위 의 두 점 을 잇 는 선분 중 에서 길이 가 최소 인 것 은 대원 에 의해 주 어 지 는 호이 다 . 
 택시 기하학 편집 
 헤르만 민코프스키 가 19 세기 에 고안 한 택시 기하학 은 유클리드 좌표 기하 와 거의 유사 하나 거리 함수 가 다르 다 . 예 를 들 어 , 블록 으로 이루어진 도로 가 있 는 경우 점 과 점 사이 를 구할 때 , 유클리드 기하학 은 점 과 점 사이 의 거리 공식 을 이용 하 는 반면 택시 기하학 에서 는 블록 의 변 을 센다 . 
 유클리드 기하학 에서 두 점 사이 의 거리 는 직각삼각형 에 관한 피타고라스 정리 를 이용 하 여 구할 수 있 다 . 즉 , 그림 과 같이 좌표 평면 위 의 두 점 A ( a , b ) 와 B ( c , d ) 사이 의 거리 는 
 택시 기하학 에서 는 바둑판 모양 의 블록 도로망 을 가진 도시 의 A 점 에서 택시 를 타 고 B 로 가 는 경우 를 생각 하 여 거리 를 구한다 . 두 점 사이 에 건물 이 있 으므로 A 에서 B 로 곧바로 가 지 못하 고 C 점 을 거쳐서 건물 을 돌 아 B 점 에 가 게 된다 . 이 와 같이 거리 를 측정 하 는 것 을 택시 거리 라고 한다 . 
 실생활 에서 두 지점 사이 의 거리 는 택시 거리 로 측정 하 는 것 이 더 현실 적 이 며 택시 평면 위 에서 유클리드 기하학 의 내용 이 적용 되 지 않 기 때문 에 택시 기하학 은 비 유클리드 기하학 에 분류 된다 . 
 택시 기하학 의 성질 편집 
 삼각형 의 합동 공리 가 성립 하 지 않 는다 . 
 세 변의 길이 가 같 은 삼각형 이 라는 정삼각형 의 정의 를 택시 평면 에 적용 하 면 세 각 의 크기 가 각각 45 도 , 45 도 , 90 도 가 나온다 . 즉 택시 기하학 에서 는 정삼각형 이 아닌 이등변 삼각형 이 된다 . 
 네 변의 길이 가 같 은 사각형 인 마름모 의 대표 적 성질 은 두 대각선 이 서로 직교 한다는 것 인데 , 택시 기하학 에서 는 이 를 만족 하 지 않 는다 . 
 절대 기하학 편집 
 절대 기하학 은 보여이 야노시 가 1832 년 에 고안 한 비 유클리드 기하학 이 다 . 유클리드 기하학 의 제 5 공준 인 평행선 공준 을 만족 하 지 않 으며 측지선 을 바탕 으로 한다 . 절대 기하학 은 중립 기하학 이 라는 별칭 을 갖 고 있 다 . 
 절대 기하학 법칙 은 비 유클리드 기하학 인 쌍곡 기하학 에서 만들 어 졌 다 . 절대 기하학 은 순서 기하 가 확정 된 것 이 고 따라서 순서 기하 의 법칙 이 절대 기하학 에서 도 성립 한다 . 하지만 그 역 은 성립 하 지 않 는다 . 절대 기하학 은 아핀 기하학 에 반대 하 기 위해 유클리드 의 첫 번 째 공리 를 추측 하 였 는데 그것 은 유클리드 의 세 번 째 , 네 번 째 법칙 을 추측 하 지 는 않 았 다 . 순 서기 하 는 절대 기하학 과 아핀 기하학 의 공통 된 기초 이 다 . 절대 기하학 은 타원 기하학 과 반대 된다 . 이론 적 으로 평행 한 선 은 존재 하 지 않 기 때문 에 유클리드 의 평행선 은 곧바로 오류 로 증명 된다 . 반면 , 평행선 이 인정 하 는 것 은 절대 기하학 의 법칙 이 다 . 
 절대 기하학 이 불 충분 하 다고 생각 될 수 있 지만 꼭 그렇 지만은 않 다 . 물론 , 유클리드 공리 에서 는 처음 28 개 의 명제 가 평행선 을 사용 하 지 않 았 고 따라서 절대 기하학 에서 는 타당 하 다 . 절대 기하학 으로 외각 법칙 ( 삼각형 의 외각 이 remote angle 보다 크다 ) 과 삼각형 의 합 은 180 ° 라는 사케리 - 르장드르 정리 를 증명 할 수 있 다 . 
 비 유클리드 기하학 의 중요 성 편집 
 비 유클리드 기하학 은 과학사 에 중요 한 패러다임 의 전환 이 되 었 다 . 
 공간 을 설명 하 는 데 에 있 어서 유클리드 기하학 은 수학 적 모델 로서 2 천 년 간 절대 적 인 권위 를 갖 고 있 었 기 때문 에 , 인간 의 사고 역시 유클리드 공간 내 에서 만 사고 하 는 데 에 그쳤 다 . 여기 에 철학자 칸트 ( Kant , 1724 - 1804 ) 는 산술 과 유클리드 기하학 은 선험 적 인 것 이 지 , 분석 적 인 것 은 아니 라고 주장 을 하 였 다 . 경험 에 의하 지 않 고서 , 이성 에서부터 발생 되 는 관념 의 존재 를 인정 하 여 , 이것 은 경험 적 인 관념 보다 우월 하 며 보편타당 적 이 고 또 한 필연 적 이 라고 하 였 다 . 
 “ 나 는 기하학 의 이러 한 해석 이 대단히 중요 하 다고 생각 한다 . 만일 내 가 그 기하학 을 몰랐 다면 나 는 결코 상대 성 이론 을 만들 어 낼 수 없 었 을 것 이 다 . ” – 알베르트 아인슈타인 
 로바체프스키 가 들려주 는 비 유클리드 기하학 이야기 , 성정 화 지음 , ㈜ 자음 과 모음 
 기하학 - 유클리드 기하학 비 유클리드 기하학 - 윤갑진 지음 2009 교우 사 
 비 유클리드 기하학 제 2 판 고석구 지음 2006 경문사 
 2019 년 11 월 27 일 ( 수 ) 23 : 01 에 마지막 으로 편집 됨