Die Kompakt-Offene-Topologie, kurz KO-Topologie, ist eine im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtete Struktur auf Funktionenräumen stetiger Funktionen.
Sind nämlich  und  topologische Räume, so sind die stetigen Abbildungen die strukturerhaltenden Abbildungen. Daher liegt es nahe, die Menge  aller stetigen Funktionen  wieder mit einer Topologie auszustatten. Unter den vielen Möglichkeiten, das zu tun, hat sich die Kompakt-Offen-Topologie als besonders geeignet herausgestellt.

Die Mathematiker R. H. Fox (1945) und Richard Friederich Arens (1946) definierten als erste diese Topologie und untersuchten sie systematisch.

Definition 
Seien  und  topologische Räume. Ist  kompakt und  offen, so sei .

Die Kompakt-Offen-Topologie auf  ist die von allen Mengen der Form ,  kompakt,  offen, erzeugte Topologie, d. h., die offenen Mengen dieser Topologie sind beliebige Vereinigungen endlicher Durchschnitte solcher Mengen .

Die Mengen ,  kompakt,  offen, bilden damit eine Subbasis der Kompakt-Offen-Topologie. Diese Topologie wird oft mit  abgekürzt (engl. compact-open),  bezeichnet dann den Raum , der mit der Kompakt-Offen-Topologie versehen ist.

Eigenschaften 
Im Folgenden seien  und  topologische Räume.

Trennungsaxiome 
Ist Y T0-Raum, T1-Raum, Hausdorffraum, regulärer Raum oder ein vollständig regulärer Raum, so genügt  demselben Trennungsaxiom.

Die Auswertungsabbildung 
Für jede Teilmenge  hat man die Auswertungsabbildung . Ist  irgendeine Topologie auf , so dass  stetig ist ( trägt dabei die Produkttopologie aus  und der auf  gegebenen Topologie), so ist , d. h., die relative Kompakt-Offen-Topologie auf  ist gröber als . In einem wichtigen Spezialfall ist die Auswertungsabbildung  stetig, wenn man  mit der relativen Kompakt-Offen-Topologie versieht; es gilt:

Ist  lokalkompakt und  ein beliebiger topologischer Raum, so ist die Kompakt-Offen-Topologie auf jeder Teilmenge  die gröbste Topologie, die die Auswertungsabbildung  stetig macht.

Komposition 
Seien  und  lokalkompakt,  sei ein dritter topologischer Raum.
Dann ist die Kompositionsabbildung

stetig.

Kompakte Konvergenz 
Sei  lokalkompakt,  uniformer Raum. Dann stimmt die Kompakt-Offen-Topologie auf  mit der Topologie der kompakten Konvergenz überein.

Anwendung 
Als typische Anwendung in der algebraischen Topologie wird hier die rekursive Definition der höheren Homotopiegruppen vorgestellt. Es sei  ein topologischer Raum mit einem ausgezeichneten Punkt . Mit  werde die Fundamentalgruppe zum Basispunkt  bezeichnet. Zur Definition der höheren Homotopiegruppen  betrachte man den Raum  aller stetigen Abbildungen  des Einheitsintervalls  nach , die den Rand  des Einheitsintervalls auf den Basispunkt  abbilden. Bezeichnet man die konstante Funktion aus , die das Einheitsquadrat auf den Punkt  abbildet, mit  und versieht man  mit der relativen Kompakt-Offen-Topologie von , so ist das Paar  ein topologischer Raum mit einem ausgezeichneten Punkt.

Man definiert nun  und allgemeiner rekursiv  für .

Literatur 
 
 Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung (= Teubners mathematische Leitfäden. ).  Teubner, Stuttgart 1964, (4. Auflage. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6).

Einzelnachweise 

Topologische Struktur
Mengentheoretische Topologie