Die Abelisierung (auch Abelianisierung oder Faktorkommutatorgruppe) ist eine Konstruktion aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie. Die Abelisierung einer Gruppe ist in gewisser Hinsicht die beste Approximation durch eine abelsche Gruppe.

Definition 

Die Faktorgruppe

einer Gruppe  nach ihrer Kommutatoruntergruppe  wird Abelisierung von  genannt. Der Begriff Abelisierung wird ebenfalls für die kanonische Surjektion

verwendet.

Eigenschaften 

 Die Abelisierung ist eine abelsche Gruppe; die Abelisierung einer abelschen Gruppe ist die Gruppe selbst.
 Ist  ein Gruppenhomomorphismus, so induziert die Verkettung  einen kanonischen Homomorphismus ; die Abelisierung ist funktoriell.
 Die Abelisierung ist linksadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der abelschen Gruppen in die Kategorie aller Gruppen, d. h. ist  eine beliebige Gruppe und  eine abelsche Gruppe, so induziert die kanonische Abbildung  eine Bijektion
 
 Anders gesagt: Jeder Homomorphismus in eine abelsche Gruppe faktorisiert über die Abelisierung.
 Insbesondere haben  und  dieselben Charaktere.
 Die Abelisierung einer Gruppe  ist kanonisch dual zur Gruppenkohomologie

Beispiele 

 Ist eine einfache Gruppe nicht abelsch, so ist ihre Abelisierung die triviale Gruppe.
 Für einen wohlpunktierten wegzusammenhängenden topologischen Raum  ist die erste Homologiegruppe  die Abelisierung der Fundamentalgruppe.
 Die Klassenkörpertheorie beschäftigt sich mit der Beschreibung der Abelisierung der absoluten Galoisgruppe  eines Zahlkörpers .

Verlagerung 

Ist  eine Untergruppe einer endlichen Gruppe , so gibt es einen kanonischen Homomorphismus
 
der Verlagerung genannt wird. Sie ist dual zur Korestriktion
 
lässt sich aber auch explizit beschreiben: Es sei  ein Schnitt der kanonischen Projektion (kein Homomorphismus, lediglich eine Abbildung). Dann ist die Verlagerung gegeben durch

Quellen 

Gruppentheorie