Die Kategorie der Elemente ist eine Konstruktion aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie.
Diese Konstruktion ordnet jedem Funktor mit Werten in der Kategorie der Mengen eine weitere Kategorie zu.

In beliebigen Kategorien kann man im Allgemeinen nicht von Elementen der Objekte sprechen. Hat man aber einen Funktor, der jedem Objekt eine Menge zuordnet, so stehen die Elemente dieser Menge zur Verfügung. Bei dem hier vorgestellten Begriff betrachtet man zu jedem Objekt der Ausgangskategorie auch die Elemente der Menge, auf die das Objekt mittels des vorgegebenen Funktors abgebildet wird. Das motiviert auch die Bezeichnung "Kategorie der Elemente".

Definition für kovariante Funktoren 
Sei  eine Kategorie und  ein (kovarianter) Funktor in die Kategorie der Mengen .
Dann heißt die Kategorie mit
 Objekten: Paare , wobei  Objekt aus  ist und  ein Element der Menge,
 Morphismen : Morphismen , die  erfüllen,
die Kategorie der Elemente zu , wobei die Komposition der Morphismen diejenige aus  ist.
Diese Kategorie wird mit  oder  bezeichnet.

Definition für kontravariante Funktoren 
Sei  eine Kategorie und  ein kontravarianter Funktor in die Kategorie der Mengen .
Dann heißt die Kategorie mit
 Objekten: Paare , wobei  Objekt aus  ist und  ein Element der Menge,
 Morphismen : Morphismen , die  erfüllen,
die Kategorie der Elemente zu , wobei die Komposition der Morphismen diejenige aus  ist.
Diese Kategorie wird ebenfalls mit  oder  bezeichnet.

Bemerkungen 
 Für obige Definitionen ist natürlich noch zu beweisen, dass es sich tatsächlich um eine Kategorie handelt. Dazu prüft man ohne Mühe, dass die identischen Morphismen  aus  auch identische Morphismen in  sind, und dass die -Komposition zweier Morphismen aus  wieder ein Morphismus in  ist.
 Die Definition für kontravariante Funktoren  lässt sich alternativ auf die Definition für kovariante Funktoren mittels der Formel  zurückführen, denn  ist ein kovarianter Funktor .

Beispiele 
 Das einfachste Beispiel erhält man, wenn die Kategorie  gleich  und der Funktor  die Identität  ist. Die Kategorie der Elemente  besteht dann aus Paaren  aus einer Menge  und einem darin enthaltenen Punkt . Die Morphismen zwischen  und  sind Abbildungen , die den ausgewählten Punkt erhalten, für die also  gilt.  ist also nichts anderes als die Kategorie der Mengen mit ausgezeichnetem Punkt.
 Sei  ein Objekt der Kategorie  und  der zugehörige kovariante Hom-Funktor. Ein Objekt aus der Kategorie der Elemente ist definitionsgemäß ein Paar  mit  und ein Morphismus  ist ein -Morphismus  mit . Da die Komponente  des Paares  als Zielobjekt von  schon eindeutig bestimmt ist, bedeutet der vorangegangene Satz: ein Objekt in  ist ein Morphismus  und ein Morphismus ist ein -Morphismus  mit . Diese Kategorie ist daher isomorph zur Kommakategorie :
    und dual dazu    .
 Jede Kategorie  ist isomorph zu einer geeigneten Kategorie der Elemente, denn ist  der konstante Funktor mit Wert , der also jedes Objekt auf die Einermenge  und jeden Morphismus auf die Identität  abbildet, so ist offenbar .

Darstellbarkeit 
Die Daten  eines Objektes aus  definieren nach dem Lemma von Yoneda eine eindeutig bestimmte natürliche Transformation des Hom-Funktors  nach , denn nach diesem Lemma gibt es eine Bijektion zwischen den natürlichen Transformationen  und der Menge . Daher besteht eine enge Beziehung zur Darstellbarkeit von Funktoren, es gilt:

 Ein kovarianter Funktor  ist genau dann darstellbar, wenn  ein Anfangsobjekt hat.

 Ein kontravarianter Funktor  ist genau dann darstellbar, wenn  ein Endobjekt hat.

Kategorie der Elemente als Pullback 

Sei  eine Kategorie und  ein Funktor.
Weiter sei  die Kategorie der Mengen mit ausgezeichnetem Punkt.
Dann haben wir weitere Funktoren:
 , der Objekte  auf  abbildet und auf Morphismen die Identität ist.
 , der Objekte  auf , die Menge  mit dem ausgezeichneten Punkt , abbildet und Morphismen  auf . Die Definitionen sind gerade so angelegt, dass  die ausgezeichneten Punkte erhält.
 , den Vergissfunktor, der den ausgezeichneten Punkt vergisst.
Dann ist das Teilquadrat unten rechts des nebenstehenden Diagramms ein Pullback in der "Kategorie aller Kategorien".
Die hier auftretenden mengentheoretischen Probleme (eine nicht-kleine Kategorie ist keine Menge und kann daher nicht Element einer Klasse sein) werden durch das Ausformulieren der Pullback-Bedingung aufgelöst: Es gilt  und ist  eine weitere Kategorie mit Funktoren  und   und , so gibt es genau einen Funktor  mit  und .

Kolimites darstellbarer Funktoren 
Sei  eine kleine Kategorie und  ein kontravarianter Funktor, das heißt eine Prägarbe auf .
Den oben eingeführten Funktor  kann man mit der Yoneda-Einbettung  verlängern und erhält so einen kontravarianten Funktor
,
dessen Kolimes in der Funktorkategorie  existiert. Es besteht die natürliche Isomorphie
.
Da Funktoren der Form  darstellbar sind, kann man diesen Sachverhalt auch so formulieren, dass Prägarben Kolimites darstellbarer Prägraben sind.

Einzelnachweise 

Kategorientheorie