Das Pushout (auch Kofaserprodukt, kokartesisches Quadrat, Fasersumme, amalgamierte Summe) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Es handelt sich um die zum Pullback duale Konstruktion.

Pushout von Moduln 

Es seien  und  zwei Homomorphismen zwischen Moduln über einem Ring .
Setzt man ,
so ist das Pushout von  und   definiert als
 mit den Homomorphismen
 und 

Man kann zeigen, dass 
und dass  die folgende universelle Eigenschaft hat:

Ist  irgendein -Modul mit Homomorphismen  und , so dass , so gibt es genau einen Homomorphismus  mit  und .

Pushout in  Kategorien 
Durch obiges Beispiel motiviert, definiert man das Pushout in beliebigen Kategorien wie folgt.

Es seien  und  zwei Morphismen einer Kategorie. Ein Paar  von Morphismen  dieser Kategorie heißt Pushout von , falls gilt:
 
 Ist  ein Paar von Morphismen  mit  , so gibt es genau einen Morphismus  mit  und .

Manchmal nennt man nur das Objekt  ein Pushout und meint damit, dass es Morphismen  gibt, die obiger Definition genügen. Auch das Diagramm

wird bisweilen als Pushout bezeichnet. Es gibt die zum Pullback analoge Schreibweise .

Beispiele 
 Jedes Pullback in einer Kategorie  ist ein Pushout in der dualen Kategorie , denn offenbar ist das Pushout genau das zum Pullback duale Konzept.
 In einer abelschen Kategorie ist das Pushout zu

gleich dem Kokern von .
 Ist mit obigen Bezeichnungen  das Nullobjekt einer additiven Kategorie, so ist das Pushout gleich der direkten Summe .
 Das einleitende Beispiel zeigt, dass es in der Kategorie der -Moduln stets Pushouts gibt.
 In der Kategorie der Gruppen existiert stets ein Pushout. Mit obigen Bezeichnungen ist dieses gleich dem freien Produkt  modulo dem von  erzeugten Normalteiler  mit den natürlichen Abbildungen  Diese Konstruktion tritt beim Satz von Seifert-van Kampen auf.
 In der Kategorie der kommutativen Ringe mit Einselement ist das Pushout mit obigen Bezeichnungen gleich dem Tensorprodukt  versehen mit der Eins  und der durch  bestimmten Multiplikation.
 In der Kategorie der Mengen ist das Pushout , wobei  die von  erzeugte Äquivalenzrelation auf der disjunkten Vereinigung  ist.
 Ähnlich lassen sich Pushouts von topologischen Räumen beschreiben. Diese spielen bei Verklebekonstruktionen eine Rolle.

Einzelnachweise 

Kategorientheorie