Эрмитова нормальная форма — это аналог ступенчатого вида матрицы для матриц над кольцом  целых чисел. В то время, как ступенчатый вид матрицы используется для решения систем линейных уравнений вида  для , эрмитова нормальная форма может быть использована для решения линейных систем диофантовых уравнений, в которых подразумевается, что . Эрмитова нормальная форма используется в решении задач целочисленного программирования, криптографии и общей алгебры.

Определение 
Матрица  является эрмитовой нормальной формой целочисленной матрицы  если есть унимодулярная матрица  такая что  и  удовлетворяет следующим ограничениям:

  является верхне-треугольной, то есть,  если  и любая строка, целиком состоящая из нулей находится ниже всех остальных.
 Ведущий элемент любой ненулевой строки всегда положителен и лежит правее ведущего коэффициента строки над ней.
 Элементы под ведущими равны нулю, а элементы над ведущими неотрицательны и строго меньше ведущего.

Некоторые авторы в третьем условии требуют, чтобы элементы были неположительными или вообще не накладывают на них знаковых ограничений.

Существование и единственность эрмитовой нормальной формы 
Эрмитова нормальная форма  существует и единственна у любой целочисленной матрицы .

Примеры 
В примерах ниже матрица  является эрмитовой нормальной формой матрицы , а соответствующей унимодулярной матрицей является матрица  такая что .

Алгоритмы 
Первые алгоритмы вычисления эрмитовой нормальной формы датируются 1851 годом. При этом первый алгоритм, работающий за строго полиномиальное время был разработан лишь в 1979 году. Один из широко используемых классов алгоритмов для приведения матрицы к эрмитовой нормальной форме основан на модифицированном методе Гаусса. Другим распространённым методом вычисления эрмитовой нормальной формы является LLL-алгоритм.

Применения

Вычисления в решётках 
Обычно решётки в  имеют вид , где . Если рассмотреть матрицу , чьи строки составлены из векторов , то её эрмитова нормальная форма будет задавать некоторый единственным образом определённый базис решётки. Данное наблюдение позволяет быстро проверять, совпадают ли решётки, порождённые строками матриц  и , для чего достаточно проверить, что у матриц совпадают их эрмитовы нормальные формы. Аналогичным образом можно проверить, является ли решётка  подрешёткой решётки , для чего достаточно рассмотреть матрицу , полученную из объединения строк  и . В такой постановке  является подрешёткой  если и только если совпадают эрмитовы нормальные формы  и .

Диофантовы линейные уравнения 
Система линейных уравнений  имеет целочисленное решение  если и только если система  имеет целочисленное решение, где  — эрмитова нормальная форма матрицы .

Реализация 
Вычисление эрмитовой нормальной формы реализовано во многих системах компьютерной алгебры:

 HermiteForm в Maple
 HermiteDecomposition в Mathematica
 hermiteForm в MATLAB
 hermite_form в SageMath

См. также 
 Нормальная форма Смита
 Нормальная форма Хауэлла
 Диофантово уравнение

Примечания 

Линейная алгебра
Нормальные формы матриц