Der Kompaktheitssatz von Riesz  ist ein Lehrsatz, welcher dem mathematischen Teilgebiet der  Funktionalanalysis zuzurechnen ist. Er geht zurück auf den ungarischen Mathematiker Friedrich Riesz und gibt eine Charakterisierung derjenigen normierten  -Vektorräume ( oder ), welche endlichdimensional sind.

Formulierung des Satzes 
Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:
 Ein normierter Vektorraum  ist dann und nur dann endlichdimensional, wenn die abgeschlossene Einheitskugel in   ein kompakter topologischer Unterraum ist.

Dabei kann der Satz gleichwertig auch wie folgt formuliert werden:
 Ein normierter Vektorraum  ist genau dann von endlicher Dimension, wenn in  jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge besitzt.

In der Herleitung des Satzes lässt sich der wesentliche Beweisschritt auf das Lemma von Riesz stützen.

Schärfere Version 
Zum rieszschen Kompaktheitssatz gibt es die folgende schärfere Version, welche in der Monographie von Lutz Führer zu finden ist:
 Sei   ein separierter topologischer Vektorraum über .
 Dann sind gleichwertig:
  (a)   ist endlichdimensional.
  (b)   ist homöomorph zu einem .
  (c)   ist lokalkompakt.

Anmerkung 
In der Einleitung und im Anhang der Monographie von Jürgen Appell und Martin Väth findet sich eine umfassende Liste von äquivalenten Bedingungen für die "Endlichdimensionalität" normierter Räume.

Literatur

Einzelnachweise und Anmerkungen 

Funktionalanalysis
Satz (Mathematik)