En mathématiques, l'ensemble de Cantor (ou ensemble triadique de Cantor, ou poussière de Cantor), est un sous-ensemble remarquable de la droite réelle construit par le mathématicien allemand Georg Cantor.

Il s'agit d'un sous-ensemble fermé de l'intervalle unité , d'intérieur vide. Il sert d'exemple pour montrer qu'il existe des ensembles infinis non dénombrables mais négligeables au sens de la mesure de Lebesgue. C'est aussi le premier exemple de fractale (bien que le terme ne soit apparu qu'un siècle plus tard), et il possède une dimension non entière.

Il admet enfin une interprétation sous l'angle du développement des réels en base 3.
Pour cette raison, il est souvent noté .

On le construit de manière itérative à partir du segment  en enlevant le tiers central ; puis on réitère l'opération sur les deux segments restants, et ainsi de suite. On peut voir les six premières itérations du procédé sur le schéma suivant :

Construction

Construction itérative 

On dénote par  l'opérateur « enlever le tiers central » :

On note  et on définit par récurrence une suite de parties de  par la relation :

On a :

Alors l'ensemble de Cantor  est la « limite » de  quand  tend vers  :

Écriture en base 3 

On peut aussi définir l'ensemble de Cantor via l'écriture en base 3. En effet tout réel  peut s'écrire :

avec .
On écrit alors

Cette écriture est unique à ceci près : on peut remplacer  par  (et  par ) à la fin d'une écriture. Si on choisit de faire cette transformation on peut alors définir  par :

Ou plus formellement :

Par exemple le réel 1/3 est dans cet ensemble, puisqu'il admet les deux écritures 0,1000… et 0,02222… en base 3. Le réel 2/3 également (0,2000… ou 0,12222…). On peut remarquer que parmi les nombres admettant un développement propre et un développement impropre, il n'en existe aucun dont les deux écritures vérifient la propriété demandée.

Propriétés

Mesure 

L'ensemble de Cantor est de mesure nulle, c'est-à-dire négligeable au sens de la mesure de Lebesgue.

En effet en notant  la mesure de Lebesgue sur , on a :
  ;
 pour une réunion  d'intervalles :  ;
où  est l'opérateur « ablation du tiers central » (voir premier paragraphe).

On en déduit que pour les étapes de la construction itérative ci-dessus :

Et comme l'ensemble de Cantor est inclus dans tous les  : .

L'ensemble de Cantor est donc « petit » au sens de la mesure de Lebesgue.

Non-dénombrabilité 

Cependant l'ensemble de Cantor n'est pas dénombrable. Plus précisément, il a la puissance du continu, c'est-à-dire qu'il est équipotent à , l'ensemble des parties de l'ensemble  des entiers naturels (or , d'ailleurs équipotent à , n'est pas dénombrable, d'après le théorème de Cantor).

On peut en effet, grâce à l'écriture en base 3 ci-dessus, définir une bijection de  dans , en associant à toute partie  de  le réel , où  désigne la fonction caractéristique de la partie .

Ainsi l'ensemble de Cantor est « grand » au sens de la théorie des ensembles.

Propriétés topologiques 

 L'ensemble de Cantor est compact, et n'a que des points d'accumulation (il est sans point isolé). On dit que c'est un ensemble parfait. Par ailleurs, il est d'intérieur vide.

 L'ensemble de Cantor est également totalement discontinu c'est-à-dire que chaque singleton est sa propre composante connexe.
Il est homéomorphe à l'espace de Cantor , muni de sa topologie produit.
 Un espace topologique X est homéomorphe à l'espace de Cantor si et seulement si X est un compact parfait possédant une base dénombrable d'ouverts-fermés.
 Tout espace métrique compact est l'image de l'ensemble de Cantor par une application continue. Cette propriété a des répercussions importantes en analyse fonctionnelle. En outre, tout espace métrique compact totalement discontinu parfait est homéomorphe à l'ensemble de Cantor ; les sous-espaces du plan ou de l'espace usuel ayant cette propriété sont souvent appelés des poussières de Cantor.

Auto-similarité 
L'image de l'ensemble de Cantor par l'homothétie  de centre 0 et de rapport 1/3 est incluse dans ensemble de Cantor. Plus précisément :
.

Ainsi,  est la réunion disjointe de deux parties qui lui sont homothétiques. C'est une manifestation de
ce qu'on appelle l'auto-similarité, qui est l'une des propriétés de base des fractales.

Dimension 
En conséquence de ce qui précède, on peut calculer la dimension de Minkowski ; elle vaut log3(2) = log(2)/log(3) ≈ 0,631, où b est n'importe quelle base. C'est un nombre irrationnel et même transcendant. On parle parfois de dimension fractionnaire car elle n'est pas entière, même s'il ne s'agit pas davantage d'un nombre rationnel.

Cette valeur log3(2) est également la dimension de Hausdorff de l'ensemble.

Variantes 

Soit s un nombre strictement compris entre 0 et 1. Si, au lieu de couper chaque intervalle en trois et d'enlever l'intervalle central, on enlève à la n-ème étape un intervalle de longueur  au centre de chaque intervalle de la génération précédente, on obtient un ensemble de Cantor dont la mesure de Lebesgue est 1 - s. Cela permet d'obtenir un compact d'intérieur vide de mesure aussi proche de 1 que l'on veut. Le cas s = 1 redonne l'ensemble de Cantor usuel. Un procédé comparable est utilisé dans l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor.

Une autre version de l'ensemble de Cantor est le carré de Cantor. Il est construit sur le même principe général, mais basé sur un carré : on considère un carré que l'on découpe en 9 carrés de même taille, et on supprime tous les carrés n'étant pas dans un coin du carré de départ. L'ensemble est construit de façon itérative en répétant cette action sur les nouveaux carrés. Ce n'est rien d'autre que le produit cartésien  d'un ensemble de Cantor par lui-même (à ne pas confondre avec le tapis de Sierpiński).

La même construction en dimension 3 conduit au cube de Cantor, égal au produit cartésien  (à ne pas confondre avec l'éponge de Menger).

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes 
 Collier d'Antoine
 Ensemble de Smith-Volterra-Cantor
 Éponge de Menger
 Escalier de Cantor ou du diable
 Liste de fractales par dimension de Hausdorff
 Système de fonctions itérées

Bibliographie 

,  6
 
,  3

Cantor (Ensemble)
Espace topologique remarquable
Georg Cantor
Théorie de la mesure dans les espaces euclidiens