A PID szabályozó egy lineáris rendszerek szabályozásánál gyakran alkalmazott, párhuzamos kompenzáción alapuló szabályozótípus. A PID rövidítés a szabályozó elvére utal, a szabályozó által kiadott végrehajtójel
 a hibajellel (P: proportional),
 a hibajel integráljával (I: integral), valamint
 a hibajel változási sebességével, deriváltjával (D: derivative)
arányos tagokból adódik össze, azaz a végrehajtójel a jelenlegi hiba, a múltbeli hibák és a várható hibák függvénye. Ezen tagok közül nem mindig valósítják meg mindet, ilyenkor beszélhetünk P, PI, PD szabályozókról. A végrehajtójel használható a folyamat vezérlésére, például egy fűtési rendszer energiaforrásának szabályozására.

Matematikai leírás
A PID szabályozó bemenetét -vel, kimenetét -vel jelölve azt várjuk el a szabályozótól, hogy

alakú kimenetet állítson elő, ahol  az arányos tag súlyát,  az integráló tag és  a differenciáló tag súlyát adja meg.

Mint lineáris rendszer, a PID szabályozó viselkedése is leírható frekvenciatartományban. Átviteli függvénye párhuzamos, az előző képletből a Laplace-transzformáció alapján következő alakban:

Ebben a formában a differenciáló tag valóban a hibajel deriváltjával arányos jelet állítja elő, azonban ebben a tagban a számláló fokszáma nagyobb, mint a nevezőé, vagyis valós rendszerrel nem valósítható meg. Ezért az ideális differenciáló tag helyett egy közelítő D-tagot szokás megvalósítani:

 megfelelő megválasztásával a szabályozó kisfrekvenciás jelekre jól közelíti az ideális PID szabályozó tulajdonságait.

A tagok közös nevezőre hozásával és a kifejezés átrendezésével megkaphatjuk a szabályozó átviteli függvényének soros alakját:

A soros alak előnye, hogy rámutat a soros kompenzáció hatására frekvenciatartományban:

Ha a szabályozandó folyamat (szakasz) viselkedésének leírását ismerjük (a rendszer részletes fizikai modellje, vagy a szakaszt identifikálva), a  és  értékét az identifikált szakasz két legnagyobb időállandójával egyezőnek választva, -t pedig náluk kisebbre választva a rendszer gyorsítható. Az eredő rendszert visszacsatolva pedig az integrátor jelleg (-es tényező) a rendszer statikus hibája megszüntethető.

PID szabályozó elmélete
A következőkben leírjuk, hogyan válaszolnak a szabályozó elemei, ha az alapjel egységugrás függvény szerint változik (kék vonal). Az időfüggvények csak a hasonlóságot jelzik – például villamos szabályozó alapjele 4...20 mA értékek közé eshet, míg a szabályozott jellemző akármi lehet (nyomás, hőmérséklet, folyadékszint, stb.)

Arányos rész

Az arányos tag válaszfüggvényét megkapjuk, ha megszorozzuk a hibajelet a  Kp konstanssal.
Az arányos tagot a következőképpen adhatjuk meg:

ahol:
 : arányos tag kimenete
 : arányos tag átviteli tényezője (erősítés)
 : hibajel 
 : Setpoint, alapjel
 : Process value, szabályozott jellemző
 : Pillanatnyi idő

A magas erősítés azt jelenti, hogy a kimenet változása nagy lesz. Az arányos tag arányos a hibajellel. Ha az erősítés túl nagy, instabilitási problémák léphetnek fel, míg ha túl kicsi, akkor kevésbé érzékeny a szabályzó kör.

Integráló rész

Az integráló-tag arányos a hibajel nagyságával, valamint a hibajel időtartamával is. Összegezve a pillanatnyi hibát időről időre (más szóval integrálva a hibajelet) megadja az offset-hibát.
Az offset-hibát célszerű korábban kiküszöbölni. Az összegzett hibát az integrátor erősítésével összeszorozva megkapjuk az integráló tag kimenetét. Az integráló tag erősítését a  paraméter határozza meg.

Az integráló-tagot a következőképpen adhatjuk meg:

ahol:
 : Integráló-tag kimenete
 : Erősítés, integráló tag átviteli tényezője
 : Setpoint, alapjel
 : Process value, szabályozott jellemző
 : Hibajel 
 : Pillanatnyi idő
 : Integrálási idő

Az integráló tag (amennyiben hozzáadjuk az az arányos-taghoz) gyorsítja a folyamat mozgását az alapérték (SP-Setpoint) felé és kiküszöböli a maradó szabályozási eltérést. Mivel az integráló tag a múltbeli összegzett hibajelekkel áll összefüggésben, a jelenben túllendülést produkálhat a kívánt értékhez képest.

Differenciáló-tag

A hiba változásának nagysága a hibajel meredekségéből határozható meg, azaz vesszük az első deriváltját az idő függvényében és megszorozzuk a differenciáló-tag erősítésével (). A  konstans megadja az erősítés nagyságát.

A differenciáló-tag a következőképpen adható meg:

ahol:
 : Differenciáló-tag kimenete
 : differenciáló tag átviteli tényezője, erősítés
 : Setpoint, alapjel
 : Process value, szabályozott jellemző
 : Hibajel 
 : Pillanatnyi idő

A differenciáló tag késlelteti a szabályozó kimenetének változásának a mértékét. Ezen túl a differenciáló-tag szerepe, hogy csökkentse az integráló-tag túllendülését, valamint fokozza a szabályozási folyamat stabilitását. Azonban a jelek differenciálása erősíti a zajt, ezért ha a zaj és az erősítése ennek a tagnak túl nagy, akkor instabilitási problémák léphetnek fel. A zaj kifejezés helyett a zavaró jellemző is használatos

Kapcsolódó szócikkek 
A kifejezések értelmezését lásd a szabályozás szócikkben

Források 

Számítástechnika
Szabályozáselmélet