In de complexe analyse is een ophefbare singulariteit (soms verwijderbare singulariteit genoemd) van een holomorfe functie een punt waarin deze functie ongedefinieerd is, maar waarin zij zo gedefinieerd kan worden dat zij holomorf blijft op het met dit singuliere punt uitgebreide domein.

De functie

bijvoorbeeld heeft een singulariteit in . Deze singulariteit kan worden opgeheven door  te definiëren. De resulterende functie, aangeduid als , is een continue, in feite holomorfe functie.

Definitie
Als  een open deelverzameling van het complexe vlak is,  een punt van  is en  een holomorfe functie is, dan wordt  een ophefbare singulariteit voor  genoemd, indien er een holomorfe functie  bestaat, die samenvalt met  op . In dat geval heet  holomorf uitbreidbaar in .

Stelling van Riemann
De stelling van Riemann geeft aan wanneer een singulariteit ophefbaar is.

Stelling
Zij ,  en  als in de bovenstaande definitie. Dan zijn de volgende uitspraken equivalent:

  is holomorf uitbreidbaar in het punt .
  is continu uitbreidbaar in .
  is begrensd in een omgeving van .
 .

Bewijs
Gemakkelijk is in te zien dat: 1) ⇒ 2) ⇒ 3) ⇒ 4). Voor het bewijs van 4) ⇒ 1) bedenken we dat het voldoende is aan te tonen dat  analytisch is in , dat wil zeggen dat  een machtreeksontwikkeling heeft in . We definiëren daartoe:

Dan is:
,

waarin , volgens 4), een continue functie is op . Dus is  holomorf op  en heeft een Taylorreeksontwikkeling rond :

Maar dan is  een holomorfe uitbreiding van  in .

Zie ook
 Singulariteit
 Essentiële singulariteit
 Geïsoleerde singulariteit

Complexe analyse