Continuidade uniforme é um importante conceito matemático com numerosas aplicações sobretudo na análise real e na análise funcional.

Grosseiramente falando, uma função é dita contínua se suficientemente pequenas variações no domínio resultem em pequenas variações na imagem. Uma função é dita uniformemente contínua se "suficientemente pequeno" for independente do ponto inicial. Isto quer dizer que a partir de uma pequena variação da imagem podemos encontrar uma única variação do domínio que sirva para todos os pontos.

O conceito de continuidade uniforme é normalmente definido para funções entre dois espaços métricos, mas este conceito é muitas vezes generalizado para espaços vectoriais topológicos.

A continuidade uniforme é um conceito mais forte que o de continuidade e mais fraco que o de Lipschitz-continuidade (quando este se aplica).

Definição
No livro An Elementary Course in Analytic Geometry, de 1808, John Henry Tanner e Joseph Allen definem função contínua real com o que, hoje, é a definição de função uniformemente contínua. Segundo esta obra, uma função contínua seria uma função  que, quando a variável independente  passa por todos os valores reais entre  e , o valor de  nunca se torna infinito e cobre todos valores entre  e . Esta definição é falsa.

Uma forma mais precisa desta definição é dizer que, para uma função real, definida para valores entre  e , dados quaisquer valores  e  entre  e , os valores de  e  devem ser finitos e deve ser possível achar para cada valor  um valor    tal que sempre que , tem-se que . Em outras palavras, sendo  uma função real definida em , diremos que  é uniformemente contínua quando dado , existe  tal que

Para a função  definida do espaço métrico  para o espaço métrico ,  é dita uniformemente contínua se dado  existe um  tal que:

Ou seja, juntando tudo em uma única sentença matemática:

 

A definição mais fraca de uma função contínua em todos os pontos se escreve assim:

 

Observa-se que para uma função ser contínua em todos os pontos, basta ser possível escolher um  para cada , enquanto que a continuidade uniforme exige um  global, para todo .

Para dizer que uma função real  não é uniformemente contínua, basta mostrar que se dado , seja qual for , podemos encontrar  e  no domínio de  tal que 

 mas .

Propriedades
As propriedades e exemplos são baseados no livro Curso de Análise volume 1, de Elon Lages Lima.

 Se uma função real  definida em  é lipschitziana, então é uniformemente contínua.                                                                                                                                Sendo  lipschitziana com constante de lipschitz , então para todo  e  em  tem-se . Dado , basta tomar  e então                                                                    
 Seja função real definida em  e uniformemente contínua. Se  é uma sequência de Cauchy em , então é uma sequência de Cauchy.                                     Como  é uniformemente contínua, dado , existe tal que Sendo de Cauchy, dado esse , existe  tal que para todo tem-se  Como  segue que para todo  temos Logo é de Cauchy.
 Se  é compacto, então toda função contínua definida em  é uniformemente contínua.                                                                                                                                                  Suponha por contradição que  é uma função definida em  e não é uniformemente contínua. Então existe , tal que para cada , podemos encontrar  e  tais que  mas Como  é compacto, uma subsequência  converge para  Assim temos  Como  é contínua, segue que  o que contradiz  Logo  é uniformemente contínua.

Exemplos

 A função não é uniformemente contínua. Dado , seja  escolhido. Tome um número positivo  tal que  e . Então para  temos , mas .
 A função , com , é uniformemente contínua.                                                                                                                                                                 Dado , escolha . Então qualquer que seja temos, .
 A função é uniformemente contínua se  for limitado.                                                                                                                                                                        De fato, se  para todo , dados quaisquer  temos                                                                                                                                              Logo f é lipschitziana e pela propriedade 1 é uniformemente contínua.
 A função  não é uniformemente contínua.                                                                                                                                                                                              De fato, sendo  e  temos , mas 
 A função  definida em é contínua. Como  é compacto, pela propriedade 3,  é uniformemente contínua.

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