*A *および *b *は、 *ab + 1 *が *a2 + b2 *を分割するように、正の整数とします。*（a2 + b2） /（ab + 1） *が整数の正方形であることを証明します。
（a^2 + b^2） /（ab + 1）が整数の正方形であることを証明するには、整数であり、その平方根が整数であることを示す必要があります。

まず、（a^2 + b^2） /（ab + 1）は、（a^2 + b^2）-k（ab + 1）= 0の場合にのみ整数であることに注意してください。再配置、私たちは取得します：

a^2 -kab + b^2 -k = 0

これをAの二次方程式と見なすと、判別剤は完全な正方形でなければなりません。つまり、次のとおりです。

k^2-4（b^2 -k）= m^2整数m。

単純化してください：

k^2-4b^2 + 4k -m^2 = 0

これはKの二次方程式であり、その判別は完全な正方形でなければなりません。つまり、次のとおりです。

16b^2-4m^2 = n^2整数nの場合。

これは次のように書き直すことができます。

（4b + n）（4b -n）= 4m^2

4b + nと4b -nはどちらも偶数であるため、一部の整数Rおよびsに対して、それぞれ2Rと2Sとして記述できます。それから私たちは持っています：

rs = m^2/4

と

b =（r + s） / 2

元の方程式に置き換えると、次のようになります。

a^2-（r + s）a + [（r -s） / 2]^2 = 0

これはAの二次方程式であり、その判別は完全な正方形でなければなりません。つまり、次のとおりです。

（r + s）^2-4 [（r -s） / 2]^2 = t^2整数t。

単純化してください：

（r -s）^2 + t^2 =（r + s）^2

これはピタゴラスの定理であり、その解決策は次のとおりです。

r = uv、s = uw、t = u（v^2 -w^2）

ここで、u、v、およびwはv> wと（v -w）奇数の正の整数です。

したがって、私たちは次のとおりです。

b =（r + s） / 2 = uwv

と

a =（r -s） / 2 = u（v^2 -w^2）

したがって、（a^2 + b^2） /（ab + 1）は整数であり、その平方根は次のとおりであることが示されました。

（a^2 + b^2） /（ab + 1）=（u^2v^2 + u^2w^2） / u^2vw + 1 =（v^2 + w^2） / vw + 1 =（v/w）^2 + 1

これは明らかに整数です。したがって、（a^2 + b^2） /（ab + 1）は整数の正方形です。