申し訳ありませんが、方程式を間違えました。私は意味しました：

f（k）= kf（k-1） +

ここで、aとnは両方とも定数です。

関数の最初と2番目の導出fをください。
指定された方程式は、関数fの再帰定義を備えた関数方程式です。

この方程式を解くために、関数を生成する方法を使用できます。生成関数f（x）を次のように定義します。

f（x）= f（0） + f（1）x + f（2）x^2/2！+ f（3）x^3/3！+ ...

元の方程式の両側にx^k/kを掛ける！そして、すべてのkを合計すると、次のようになります。

∑（k> = 0）f（k）x^k/k！= ∑（k> = 0）f（k-1）x^k/k！+ ∑（k> = 0）x^k/k！

生成関数f（x）とその誘導体を使用して、この式を次のように簡素化できます。

f '（x）= f（x） + an * e^x

この微分方程式を解くと、次のようになります。

f（x）= c * e^x-

ここで、Cは定数統合です。Cを決定するには、初期条件F（0）= 1を使用します。

f（0）= f（0）= 1

c = 1 + an

したがって、生成関数f（x）は次のとおりです。

f（x）=（1 + an） * e^x-

次に、生成関数を使用して、関数fの係数を見つけることができます。f（x）のk番目の誘導体を採取し、x = 0で評価すると、次のようになります。

f（k）= [x^k/k！] f（x）| x = 0
= [（1+an） * x^k/k！e^x -an * x^k/k！] | x = 0
=（1+an） * f（k -1）-an *Δ（k、0）

ここで、Δ（k、0）はKronecker Deltaであり、それ以外の場合はK = 0および0の場合に1に等しい。

したがって、fの最初の導関数は次のとおりです。

f '（k）=（1+an） * f（k -1）-an *Δ（k、0）

fの2番目の微分は次のとおりです。

f ''（k）=（1+an） * f '（k-1）=（1+an）^2 * f（k-2）-an *（1+an） *Δ（k-1、0）