対称双線形の形態は、コサインの法則と何の関係がありますか？2つのベクトル間の角度式と関係がありますか？
はい、対称双線形形式は、コサインの法則と2つのベクトル間の角度式と密接な関係を持っています。

コサインの法則から始めましょう。これは、任意の三角形で、片側の長さの正方形は、他の両側の長さの正方形の合計と、長さの積とコサインの2倍を引いたものと等しいと述べています。それらの間の角度。これは次のように代数的に表現できます。

c^2 = a^2 + b^2-2ab cos（c）

ここで、Cは反対の角度c、aとbは他の2つの辺の長さです。

次に、座標によって与えられるN次元のユークリッド空間の2つのベクトルを検討してください。

u =（u1、u2、...、un）
v =（v1、v2、...、vn）

これらのベクトルのドット積は、次のように定義されます。

u・v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn

対称双線形形式b（u、v）を定義する場合：

b（u、v）= u・v

次に、これを使用して、2つのベクトル間の角度式を導出できます。

ベクトルuの長さは次のことを与えられていることを思い出してください。

|| u ||= sqrt（u・u）

DOT製品の定義と正方形の根の特性を使用して、次のことを示すことができます。

|| u ||* || V ||* cos（theta）= u・v

シータはuとv。の間の角度です。

cos（theta）=（u・v） /（|| u || * || v ||）

対称的な双線形形式の定義に置き換えると、次のようになります。

cos（theta）= b（u、v） /（|| u || * || v ||）

これで、コサインの法則を、ベクターu、v、およびu -v（uとvのエンドポイントを接続する）によって形成された三角形に適用できます。u -vの長さは次のように与えられます：

|| u -v ||^2 =（u -v）・（u -v）= u・u -2u・v + v・v

対称双線形形式の定義を使用して、これを次のように書くことができます。

|| u -v ||^2 = || u ||^2 + || v ||^2-2b（u、v）

コサインの法則を適用すると、次のようになります。

|| u -v ||^2 = || u ||^2 + || v ||^2-2 || u ||* || V ||* cos（シータ）

cos（theta）のフォーミュラに置き換えると、次のようになります。

|| u -v ||^2 = || u ||^2 + || v ||^2-2b（u、v）= || u ||^2 + || v ||^2-2-2|| u ||* || V ||*（u・v） /（|| u || * || v ||）

単純化してください：

b（u、v）= || u ||* || V ||* cos（シータ）

これは、前に導出した2つのベクトル間の角度式です。

したがって、要約すると、対称双線形の形式は、2つのベクターとコサインの法則の間の角度式に密接に関連しています。対称双線形形式を2つのベクトルのドット積として定義することにより、それを使用して角度式を導き出し、コサインの法則をベクターに適用できます。