長い整数乗算のためのKaratsubaのアルゴリズムは何ですか？
Karatsubaのアルゴリズムは、1960年にAnatolii alexeevitch Karatsubaによって開発された大型整数を増やすための高速な方法です。これは、2つの数値を掛けるために必要な基本的な乗算の数を減らすため、より効率的になります。古典的な長い乗算法と比較したアルゴリズム。

2つのn桁数値xとyを掛けたいとします。xとyを次のように表現できます。

x = a * 10^（n/2） + b
y = c * 10^（n/2） + d

ここで、aとbはxの最初と最後のn/2桁、cとdはyの最初と最後のn/2桁です。

素朴な乗算アプローチには、AC、AD、BC、BDの4つの乗算が必要です。ただし、Karatsubaのアルゴリズムは、巧妙な代数操作を使用して、これを3つの乗算に減らします。

1.高次桁の積を計算する：p1 = a * c
2.低次桁の積を計算する：p2 = b * d
3.数字の合計の積を計算します：p3 =（a + b） *（c + d）
4.クロス製品の計算：P4 = P3 -P1 -P2

これで、乗算x * yの結果は次のように計算できます。

x * y = p1 * 10^n + p4 * 10^（n/2） + p2

Karatsubaのアルゴリズムの重要な利点は、4つではなく3つの乗算のみが必要であることです。この削減は少数では重要ではないように見えるかもしれませんが、アルゴリズムを再帰的に適用できるため、大規模な整数で大幅な時間節約をもたらします。

Karatsubaのアルゴリズムの時間の複雑さは、O（n^log2（3））またはほぼO（n^1.585）です。