ベクトルを必要としないこの方程式のバージョンはありますか？
はい、ベクトルを必要としない交差点の方程式のバージョンがあります。方程式のこのバージョンは、行のパラメトリック形式と呼ばれます。パラメトリック形式では、行の方程式は次のように記述できます。

x = x1 + t（x2 -x1）
y = y1 + t（y2 -y1）
Z = Z1 + T（Z2 -Z1）

ここで、（x1、y1、z1）および（x2、y2、z2）はライン上の2つのポイント、tは実数です。

交差点の2つのポイントを見つけるために、前のソリューションで見つけた2つのポイント、各平面から1ポイントを使用できます。たとえば、平面1と平面2の両方にあるポイント（1、-1、1/3）とポイント（3、0、1）を使用できます。

次に、これら2つのポイントをラインのパラメトリック形式に接続して、交差点の方程式を取得できます。

x = 1 + t（3-1）= 1 + 2t
y = -1 + t（0-（-1））= -1 + t
z = 1/3 + t（1-1/3）= 1/3 + 2/3t

これは、ベクトルを使用せずに、パラメトリック形式の交差点の方程式です。