中央値$ \ mu $と分散$ \ sigma^2 $の正規分布の尤度関数を見つける方法について、段階的な説明を提供し、その後、パラメーター$ \ muの最尤推定器（MLE）を見つけます$および$ \ sigma^2 $。
中央値$ \ mu $と分散$ \ sigma^2 $の正規分布の尤度関数を見つけるには、次の手順に従います。

ステップ1：正規分布の確率密度関数（PDF）を中央値$ \ mu $および分散$ \ sigma^2 $を書き留めます。それは：によって与えられます：

$ f（x | \ mu、\ sigma^2）= \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma^2}} e^{ -  \ frac {（x- \ mu）^2} {2 {2\ sigma^2}} $

このPDFは、パラメーター$ \ mu $および$ \ sigma^2 $の値を考慮して、$ x $の値を観察する確率を説明しています。

ステップ2：この正規分布からの独立した同一分布（IID）観測のセットが$ x_1、x_2、\ dots、x_n $のセットがあると仮定します。尤度関数は、パラメーター$ \ mu $および$ \ sigma^2 $を考慮して、観測の共同確率密度関数です。観測はIIDであるため、尤度関数は各観測のPDFの積によって与えられます。

$ l（\ mu、\ sigma^2 | x_1、x_2、\ dots、x_n）= \ prod_ {i = 1}^n f（x_i | \ mu、\ sigma^2）$

ステップ3：正規分布のPDFを尤度関数に置き換えます。

$ l（\ mu、\ sigma^2 | x_1、x_2、\ dots、x_n）= \ prod_ {i = 1}^n \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma^2}}} e^{ -  \ frac {（x_i- \ mu）^2} {2 \ sigma^2}} $

ステップ4：計算を簡素化するために、単調変換である尤度関数の自然対数を取ります。

$ \ ln l（\ mu、\ sigma^2 | x_1、x_2、\ dots、x_n）=  -  \ frac {n} {2} \ ln（2 \ pi \ sigma^2） -  \ frac {1} {{2 \ sigma^2} \ sum_ {i = 1}^n（x_i- \ mu）^2 $

ステップ5：パラメーター$ \ mu $および$ \ sigma^2 $の最尤推定器（mle）を見つけるには、尤度関数を最大化する$ \ mu $および$ \ sigma^2 $の値を見つける必要があります。これは、$ \ mu $および$ \ sigma^2 $に関してlog-likelihood関数の部分的な導関数を取得し、それらをゼロに等しく設定し、パラメーターを解くことで実行できます。

$ \ mu $に対してlog-likelihood関数の部分的な導関数を取り、それをゼロに等しく設定すると、次のようになります。

$ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} \ ln l（\ mu、\ sigma^2 | x_1、x_2、\ dots、x_n）= \ frac {1} {\ sigma^2} \ sum_ {i {i i= 1}^n（x_i- \ mu）= 0 $

$ \ mu $を解くと、

$ \ hat {\ mu} {\ text {mle}} = \ frac {1} {n} \ sum {i = 1}^n x_i $

$ \ sigma^2 $に対して対数尤度関数の部分導関数を取得し、ゼロに等しく設定すると、次のことがわかります。

$ \ frac {\ partial} {\ partial \ sigma^2} \ ln l（\ mu、\ sigma^2 | x_1、x_2、\ dots、x_n）=  -  \ frac {n} {2 \ sigma^2}+ \ frac {1} {2（\ sigma^2）^2} \ sum_ {i = 1}^n（x_i- \ mu）^2 =