Eを規範的な空間とバナッハ空間とします。eからfまでの境界線形演算子のセット（適切な操作とフィールドに関してすでにベクトル空間になると想定できる）は、オペレーターのノルムを装備していることもバナッハ空間であることを証明します。
b（e、f）によってeからfまでの境界線形演算子のセットを示しましょう。b（e、f）がオペレーターの規範に関して完全であることを示す必要があります。（TN）をB（E、F）のコーシーシーケンスとします。次に、任意のε> 0には、すべてのn、m≥nについて、|| tn -tm ||を持つようにnが存在します。<ε。

ここで、x∈Eを任意で固定します。次に、|| tnx -tmx ||を持っています≤|| tn -tm |||| x ||<ε|| x ||。これは、（TNX）がFのCauchyシーケンスであることを示しています。Fはバナッハ空間であるため、（TNX）がいくつかの要素Tx∈Fに収束することを示しています。

TX = LIM（TNX）で定義されたMAP T：E→Fは、境界線形演算子であり、オペレーターノルムのTN→TがTN→Tであると主張しています。

Tの線形性は、各TNの線形性と、制限が線形操作を維持するという事実から続きます。tが境界に囲まれていることを確認するには、任意のn≥nおよびx∈Eの場合、|| tx ||を持っていることに注意してください。= lim（|| tnx ||）≤lim（|| tn -tn || || x || + || tnx ||）≤ε|| x ||+ || tnx ||。|| x ||ですべてのxの上で最高のxを撮影します= 1は|| t ||を示しています≤ε + || tn ||<∞。

最後に、オペレーターの標準でTN→Tを示しましょう。任意のn≥nおよびx∈Eについて
    ||| tx -tnx |||
    = ||| lim（tmx）-tnx |||
    ≤lim（| | | tmx -tnx | | |
    ≤lim（| | |（tm-tn）x | | |
    ≤lim（| |（tm-tn）| *| x |）
    = 0

これは、任意のn≥nについて私たちが持っていることを示しています
    max {0 <= k <= n}（| |（tk-t）||）
    <= max {0 <= k <= n}（| |（tk-t）||） +ε

これはすべてのε> 0に保持されるため、操作者の標準ではk→∞であることがわかります。

したがって、b（e、f）のすべてのコーシーシーケンスがb（e、f）の要素に収束するため、b（e、f）は演算子の標準、したがってバナッハ空間に関して完全であることを示しました。