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abstract: 'Die übliche Interpretation der physikalischen Zustände in Quantenfeldtheorien vom Typ der Quantenelektrodynamik bereitet Schwierigkeiten aufgrund des Auftretens masseloser Teilchen, wie dem Photon. In Stoßprozessen geladener Teilchen werden unendlich viele dieser masselosen Teilchen erzeugt, die zu einer enormen Vielfalt von Zuständen führen zwischen denen theoretisch keine Interferenzen möglich sind (sie gehören zu verschiedenen Superauswahlsektoren); experimentell lassen sich diese Zustände jedoch nicht unterscheiden. Dieser scheinbare Widerspruch löst sich auf wenn man berücksichtigt, dass reale Experimente stets in zukunftsgerichteten Gebieten der Raumzeit (Lichtkegeln) durchgeführt werden. Versäumte Messungen in der Vergangenheit lassen sich aufgrund der Richtung des Zeitpfeils nicht nachholen. Die Theorie kann sich daher auf die Beschreibung und Interpretation solcher Lichtkegeldaten beschränken. In diesem Artikel wird erläutert, wie dieser Gedanke im allgemeinen Rahmen der Quantenfeldtheorie mathematisiert wird und zu einem konsistenten physikalischen Bild führt. Zustände gleicher Ladung aber inkohärenter masseloser Anteile lassen sich bei Einschränkung auf die Observablen in einem gegebenen Lichtkegel zu Ladungsklassen zusammenfassen; jede dieser Klassen vereinigt eine Vielzahl von Superauswahlsektoren. Es zeigt sich, dass zu jeder Ladungsklasse eine konjugierte Klasse existiert, die Zustände der entgegengesetzten Ladung (Antimaterie) beschreibt. Alle Zustände in einer Klasse und der entsprechenden konjugierten Klasse genügen der gleichen (Bose oder Fermi) Statistik. Obwohl auf Lichtkegeln nur die Halbgruppe zukunftsgerichteter Zeittranslationen wirkt, lässt sich sowohl die relativistische Kovarianz als auch die energetische Stabilität (Positivität der Energie) der Zustände jeder Ladungsklasse etablieren. Der Formalismus ist somit geeignet, die Eigenschaften der Zustände in Quantenfeldtheorien mit langreichweitigen Kräften in physikalisch sinnvoller Weise zu beschreiben.'
author:
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    Detlev Buchholz\
    Institut für Theoretische Physik und Courant Forschungszentrum\
    “Strukturen höherer Ordnung in der Mathematik”, Universität Göttingen,\
    37077 Göttingen, Deutschland
title: |
     **Masselose Teilchen und Zeitpfeil\
    in der relativistischen Quantenfeldtheorie**
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Einleitung
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Das Verständnis der Struktur des physikalischen Zustandsraumes in Quantenfeldtheorien mit langreichweitigen Kräften, prominentestes Beispiel ist die Quantenelektrodynamik, ist ein sehr altes Problem. Seine unterschiedlichen Aspekte wurden in zahlreichen Arbeiten untersucht, siehe zum Beispiel die entsprechenden Kapitel in den Monographien [@Ha; @St; @Str] und dort angegebene Referenzen. Allen diesen Untersuchungen ist gemeinsam, dass die physikalische Raumzeit als unendlich ausgedehnter Minkowskiraum modelliert wird, in dem die quantisierte Materie und die von masselosen Teilchen erzeugte Strahlung beschrieben wird (die Gravitation bleibt außer Acht). Geht man von diesem idealisierten Bild aus, so ergibt sich als Konsequenz, dass man beliebig langwellige Strahlung bzw. masselose Teilchen beliebig kleiner Energie behandeln muss, obwohl diese in realistischen Experimenten nicht nachgewiesen werden können. Dies führt sowohl bei der Konstruktion der Theorie als auch bei ihrer Interpretation zu Schwierigkeiten, die zuweilen als Infrarotkatastrophe bezeichnet werden. Man hat zwar gelernt, wie man diese Schwierigkeiten im Rahmen der Theorie bei einigen Fragestellungen umgehen kann, etwa bei der Berechnung von “inklusiven” Wirkungsquerschnitten von Stoßprozessen. Dort summiert man über unendlich viele unbeobachtbare [niederenergetische]{} masselose Teilchen, die bei der Wechselwirkung geladener Teilchen unvermeidlich erzeugt werden. Doch ist diese Methode, die aufgrund der Überidealisierung der experimentellen Situation eingehandelten Schwierigkeiten durch *ad hoc* Rezepte wieder zu beseitigen, konzeptionell nicht befriedigend. Zudem bleiben grundlegende Fragen, etwa nach der Sektorstruktur des physikalischen Zustandsraumes, nach den Wurzeln der Teilchenstatistik oder der Existenz von Antimaterie bei diesem Zugang unbeantwortet. Bei Abwesenheit von langreichweitigen Kräften konnten diese Fragen dagegen vor langem umfassend beantwortet werden [@Ha].

Ein ganz neuer Zugang zu diesem Problemkreis, bei dem die raumzeitlichen Einschränkungen bei realen Experimenten von vornherein im Rahmen der Theorie berücksichtigt werden, wurde in einer kürzlich erschienenen Arbeit vorgeschlagen [@BuRo]. Die gewonnen Einsichten sollen hier erläutert werden ohne auf technische Details einzugehen. Vorausgesetzt werden beim Leser lediglich Kenntnisse von Grundbegriffen der Quantentheorie und der speziellen Relativitätstheorie.

Grundlagen
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Es sei zunächst daran erinnert, dass die Ensembles eines physikalischen Systems durch normierte Vektoren (Zustandsvektoren) $\Phi$ eines Hilbertraumes $\cH$ beschrieben werden, die Messgrößen (Observablen) wirken auf diesem Raum durch lineare hermitesche Operatoren $A = A^*$. Operatoren lassen sich addieren, per Komposition multiplizieren und mit komplexen Zahlen skalieren, sie erzeugen durch diese Operationen eine Algebra $\cA$. Die Theorie macht Vorhersagen über Mittelwerte der Messgrößen in vorgegebenen Ensembles, deren Schwankungsquadrate . Sie werden beschrieben durch Erwartungswertfunktionale $\varphi$ auf der Observablenalgebra $\cA$. Diese Funktionale erhält man aus den Hilbertraumzuständen $\Phi$ gemäß der fundamentalen Formel $$\varphi(A) = \langle \Phi, A \Phi \rangle \, ,
\quad A \in \cA \, ,$$ wobei, wie üblich, die eckige Klammer das Skalarprodukt zwischen Hilbertraumvektoren beschreibt. Es ist hier wichtig, dass man umgekehrt aus jedem solchen (linearen und positiven) Erwartungswertfunktional – wir sprechen im Folgenden kurz von Zuständen – einen Hilbertraum und eine konkrete Darstellung der Observablen auf diesem Raum rekonstruieren kann, so dass obige Relation gilt (sogenannte GNS–Konstruktion [@Ha]). Dies ist insbesondere dann von Bedeutung, wenn man Ensembles behandeln möchte, die nicht von vornherein durch Vektoren im vorgegebenen Hilbertraum beschrieben werden können (zum Beispiel ladungstragende Zustände wenn man von neutralen Zuständen ausgeht). Sie lassen sich durch geeignete Grenzwerte der zur Verfügung stehenden Funktionale darstellen. Man kann so den gegebenen Hilbertraum “verlassen” und zu einer konsistenten Beschreibung der gewünschten Ensembles unter Beibehaltung der Observablen kommen. Genauer gesagt, man erhält aus den Limesfunktionalen mittels der GNS–Konstruktion eine neue Darstellung der gegebenen Observablenalgebra auf einem Hilbertraum. In ihm gelten nach wie vor die ursprünglichen algebraischen Relationen zwischen den Observablen (man denke an Vertauschungsrelationen, Feldgleichungen ).

In der relativistischen Quantenfeldtheorie benutzt man zweckmäßigerweise das Heisenbergbild. Das heißt, die Symmetrietransformationen im zugrundeliegenden Minkowskiraum $\cM$, wie die Verschiebung des Zeitpunktes und Ortes von Messungen oder Drehungen der Messgeräte und der Übergang von einem Inertialsystem zu einem anderen wirken auf die entsprechende Observablen in $\cA$. Für jede derartige Poincaré–Transformation $\lambda$ wird diese Wirkung beschrieben durch eine lineare, multiplikative und symmetrische Abbildung $\alpha_\lambda$ von $\cA$ auf sich (Automorphismus). Man hat ebenfalls Informationen über die raumzeitlichen Lokalisierungseigenschaften der Observablen. Messungen in einem gegebenen Raumzeitgebiet $\cR \subset \cM$ werden beschrieben durch Observablen in entsprechenden Unteralgebren $\cA(\cR) \subset \cA$. Da diese Messungen auch in jedem größeren Gebiet ausgeführt werden können, gilt aus Konsistenzgründen $\cA(\cR_1) \subset \cA(\cR_2)$ falls $\cR_1 \subset \cR_2$. Weiterhin ist die Wirkung der Symmetrietransformationen $\lambda$ in $\cM$ konsistent mit der Zuordnung von Observablen zu Gebieten, d.h. Observablen in $\cA(\cR)$ werden durch die Wirkung von $\alpha_\lambda$ in die Algebra $\cA(\lambda
\cR)$ des transformierten Gebietes $\lambda \cR$ überführt, in Formeln $\alpha_\lambda \, \cA(\cR) = \cA(\lambda \cR)$.

Das Einsteinsche Kausalitätsprinzip, also die Aussage, dass sich physikalische Effekte nicht mit Überlichtgeschwindigkeit ausbreiten (dies gilt auch für die Quanteneffekte von Messungen), lässt sich in diesem Rahmen ebenfalls in sehr einfacher Weise formulieren. Dazu sei daran erinnert, dass Messungen, die sich gegenseitig nicht beeinflussen, durch Observablen beschrieben werden, deren Produkt kommutativ ist. Gemäß Kausalitätsprinzip müssen daher Paare von Observablen in raumartig getrennten (nicht durch kausale Weltlinien verbindbaren) Gebieten $\cR_1, \cR_2$ miteinander kommutieren, d.h. $A_1 A_2 = A_2 A_1$ für alle $A_1 \in \cA(\cR_1)$. $A_2 \in \cA(\cR_2)$; man bezeichnet dies als Lokalitätsbedingung. Jede physikalische Theorie, die den Grundprinzipien der [Quantentheorie]{} und der speziellen Relativitätstheorie genügt, erfüllt diese Bedingungen. Es ist bemerkenswert, dass der so abgesteckte allgemeine Rahmen vollständig ausreicht, um die hier interessierenden konzeptionellen Fragen zu diskutieren.

Geht man von der Vorstellung aus, dass der zugrunde gelegte Hilbertraum $\cH$ die Zustände sämtlicher elementarer Systeme einer Theorie beschreibt (z.B. alle Zustände endlicher Energie) so stellt sich die Frage nach dessen Sektorstruktur. Dabei trägt man der Tatsache Rechnung, dass in der Quantenfeldtheorie das Superpositionsprinzip nur eingeschränkt gilt: Zustandsvektoren unterschiedlicher Gesamtladung lassen sich zwar auf dem Papier addieren, ihre relative Phase spielt jedoch experimentell keine Rolle, sie sind nicht kohärenzfähig. Die Familien kohärenzfähiger Zuständen in $\cH$ nennt man (Superauswahl) Sektoren. Sie kann man dadurch charakterisieren, dass man von jedem gegebenen Zustand in einem Sektor zu jedem anderen Zustand im gleichen Sektor durch die Quanteneffekte von Messungen gelangen kann, die Observablen operieren transitiv auf den Sektoren. Verschiedene Sektoren lassen sich durch klassische Observablen unterscheiden, die man als Grenzwerte von geeigneten Folgen von Observablen in $\cA$ erhält. Sie vertauschen mit allen Elementen von $\cA$ und haben in jedem Sektor einen scharfen (nicht statistisch fluktuierenden) Wert, die entsprechende Superauswahlladung des Sektors.

Prominente Beispiele solcher Superauswahlladungen sind die elektrische Ladung und die sogenannte Univalenz, mit der man bosonische und fermionische Sektoren unterscheiden kann. Es zeigt sich jedoch, dass es in Quantenfeldtheorien mit langreichweitigen Kräften, die durch masselose Teilchen vermittelt werden, eine ungeheure Vielzahl von weiteren Sektoren gibt. Sie unterscheiden sich durch facettenreiche Infrarotwolken unendlich vieler masseloser Teilchen, die bei Stoßprozessen geladener Teilchen erzeugt werden. Die theoretische Beschreibung und Klassifikation aller dieser Infrarotsektoren ist mathematisch ein hoffnungsloses Problem. Zum Glück spielt sie experimentell keine Rolle. Denn es ist praktisch unmöglich unendliche Konfigurationen masseloser Teilchen mit beliebig kleiner Energie scharf zu unterscheiden. Bei Anwendungen der Theorie trägt man dieser Tatsache meist dadurch Rechnung, dass man *ad hoc* spezielle Sektoren auswählt und in Erwartungswerten über alle unbeobachtbaren masselosen Teilchen summiert. Dadurch kann man zwar eine Reihe von Schwierigkeiten umgehen, die Methode ist jedoch aus zwei Gründen konzeptionell unbefriedigend. Zum einen erfordert die Unterscheidung zwischen hoch– und niederenergetischen Teilchen die Wahl eines Inertialsystems, man bricht damit die relativistische Invarianz der Theorie. Zum anderen zerstören die Quanteneffekte der lokalisierten Observablen diese Unterscheidung wegen der Unschärferelation. Jedes Ensemble niederenergetischer Teilchen enthält nach einer lokalen Messung auch Anteile beliebig hoher Energie. Diese Tatsache erschwert die Diskussion von Konsequenzen des Einsteinschen Kausalitätsprinzips bei diesem Zugang.

Die kürzliche Lösung dieses Problems beruht auf der Einsicht, dass der Zeitpfeil bereits bei der Interpretation der mikroskopischen Theorie berücksichtigt werden muss. Um Missverständnissen vorzubeugen: der Zeitpfeil soll hier nicht erklärt werden, er wird lediglich als empirische in den theoretischen Rahmen eingebaut. Es ist ein Faktum, dass es unmöglich ist, versäumte Messungen in der Vergangenheit heute oder in der Zukunft nachzuholen. Man kann also nicht ausschließen, dass gewisse Daten, die man in der Vergangenheit hätte bestimmen können, unwiederbringlich verloren sind. Anders gesagt, die Theorie kann sich darauf beschränken, die Ergebnisse von Messungen in Raumzeitgebieten zu beschreiben und zu erklären, die in realistischen Experimenten (zumindest prinzipiell) zugänglich sind. Dies sind vorwärts gerichtete Lichtkegel $V$ mit Spitze in einem beliebig gewählten Raumzeitpunkt $a$ in der Vergangenheit; der Rand des Kegels wird von den von der Spitze ausgehenden Lichtstrahlen gebildet.

Wo die Spitze des Kegels liegt spielt praktisch keine Rolle. Man kann z.B. den Geburtstag und Geburtsort von Aristoteles wählen, der das Wort Physik ($\phi \upsilon \sigma \iota \kappa \eta$) eingeführt hat; wir alle wissen davon und befinden uns also innerhalb des entsprechenden Kegels. Eine andere Wahl wäre z.B. der Tag und Ort, an dem die Finanzierung eines geplanten Experiments genehmigt wurde. Wichtig ist nur, dass in der Vergangenheit des gewählten Punktes $a$ keine experimentellen Daten berücksichtigt werden müssen bzw. können. Natürlich erstrecken sich reale Experimente nur über einen bestimmten Zeitraum. Doch könnten im Prinzip zukünftige Generationen ein Experiment bis in alle Ewigkeit weiterführen. Lichtkegel sind also die maximalen Raumzeitgebiete in denen Experimente möglich sind.

Im Rahmen der Theorie werden die Observablen in einem gegebenen Lichtkegel $V$ durch Elemente der entsprechenden Unteralgebra $\cA(V) \subset \cA$ beschrieben. Geht man davon aus, dass nur diese Observablen in einem Experiment zur Verfügung stehen, so kann man bei gegebenem Zustand $\varphi$ eines Systems nur die entsprechenden Erwartungswerte $\varphi(A)$, $A \in \cA(V)$ bestimmen. Man erhält also nur partielle Informationen über den globalen Zustand $\varphi$ und bezeichnet dessen Einschränkung $\varphi \rest \cA(V)$ daher als partiellen Zustand. Es stellt sich dann die Frage, welche Information man aus solchen partiellen Zuständen extrahieren kann.

Bei genauerer Analyse zeigt sich, dass in Theorien, in denen es ausschließlich massive Teilchen gibt (also in einer hypothetischen Welt), die partiellen Zustände bereits die vollständige Information über den globalen Zustand enthalten, egal wie man den Lichtkegel $V$ wählt, d.h. wann und wo man mit den Messungen begonnen hat. Dies kann man auch heuristisch verstehen wenn man bedenkt, dass die Weltlinien massiver Teilchen, die sich ja mit weniger als Lichtgeschwindigkeit bewegen, irgendwann einmal in den Lichtkegel eintreten müssen. Aus den Daten in $V$ lassen sich daher die globalen Daten mit Hilfe der Theorie rekonstruieren.

Sobald masselose Teilchen in der Theorie auftreten (“Es werde Licht”) ändert sich die Situation jedoch drastisch. Werden in der Vergangenheit des gegebenen Lichtkegels $V$ durch Wechselwirkungsprozesse masselose Teilchen erzeugt, die danach ungehindert durch die Raumzeit propagieren, so können diese $V$ nicht erreichen und dort nachgewiesen werden, denn sie bewegen sich stets mit Lichtgeschwindigkeit (Huygensches Prinzip). Aus den Zuständen $\varphi \rest \cA(V)$ lassen sich diese auslaufenden masselosen Anteile daher nicht rekonstruieren. Man erhält somit in Experimenten nur eingeschränkte Informationen über die Beiträge masseloser Teilchen in den Zuständen. Wie wir noch sehen werden, ist diese Tatsache dafür verantwortlich, dass man die unterschiedlichen Infrarotwolken in den partiellen Zuständen nicht scharf unterscheiden kann. Die Zustände in verschiedenen Infrarotsektoren stimmen bei Restriktion auf Lichtkegel überein und man kann auf diese Weise Klassen von physikalisch äquivalenten (weil ununterscheidbaren) Zuständen bilden. Von Bedeutung ist dabei, dass die masselosen Teilchen in den Zuständen nicht mehr in einen energetisch weichen und einen harten Anteil aufgeteilt werden (mit den erwähnten Problemen). Stattdessen wird der masselose Teilcheninhalt getrennt in einen marginalen (nicht notwendig niederenergetischen) Teil, der in $V$ keine Beiträge liefert und einen essentiellen Teil, der Messungen in $V$ zugänglich ist. Diese Aufspaltung ist mit der relativistischen Invarianz der Theorie und dem Einsteinschen Kausalitätsprinzip verträglich und bildet den Ausgangspunkt der Untersuchungen in [@BuRo], die wir im Folgenden erläuteren wollen.

Das Vakuum
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Sowohl bei der Konstruktion von Theorien als auch bei deren Interpretation spielt der Zustand des Vakuums eine ausgezeichnete Rolle. Dies liegt daran, dass man eine ganze Reihe von Eigenschaften dieses speziellen Zustandes nennen kann, ohne die Theorie konstruiert zu haben: Der Vakuumzustand ist für alle inertialen Beobachter gleich, das heißt Messergebnisse in diesem Zustand ändern sich nicht, wenn man die Positionen der Messapparate durch Poincaré–Transformationen ändert. Ferner ist das Vakuum energielos, d.h. für alle inertialen Beobachter ist es der Zustand niedrigster Energie (Grundzustand).

Da wir nur Messungen in Lichtkegeln betrachten wollen, müssen wir bei der mathematischen Umsetzung dieser Charakterisierung beachten, dass die von den Poincaré–Transformationen $\lambda$ erzeugte Poincaré–Gruppe $\cP$ keine Symmetriegruppe der Kegel ist; denn kein Lichtkegel $V$ ist invariant unter beliebigen derartigen Transformationen. Die Untergruppe $\cL$ der Drehungen und Geschwindigkeitstransformationen bei festgehaltener Spitze des Kegels (Lorentz–Gruppe) lässt $V$ zwar invariant, doch ändert jede raumzeitliche Translation die Lage von $V$ im Minkowski–Raum. Es gibt jedoch Translationen, bei denen man $V$ zumindest nicht verlässt. Dies sind zukunftsgerichtete zeitartige (oder auch lichtartige) Verschiebungen. Inertiale Beobachter in $V$ müssen wenig tun, um derartige Verschiebungen ihrer Messgeräte zu bewerkstelligen: sie müssen nur warten, der Zeitpfeil tut das Übrige. Die Familie der Poincaré–Transformationen, die $V$ auf bzw. in sich abbilden, erzeugt eine Semigruppe $\cS \subset \cP$ (“semi” deshalb, weil die Elemente von $\cS$ sich zwar komponieren lassen, es gibt jedoch kein Inverses, da sich der Zeitpfeil nicht umkehren lässt).

Nach diesen Vorbemerkungen können wir nun obige formlose Beschreibung des Vakuums in unserem Formalismus präzisieren. Ein partieller Zustand $\omega \rest \cA(V)$ wird als Vakuum in $V$ gedeutet wenn $$\omega(\alpha_\lambda(A)) = \omega(A) 
\quad \mbox{für alle} \quad A \in \cA(V), \ \lambda \in \cS \, .$$ Man ergänzt diese Relation noch durch einige physikalisch sinnvolle Bedingungen an die Natur der Korrelationen zwischen Paaren von Observablen in diesem Zustand, siehe [@BuRo]. Mit Hilfe der weiter oben erwähnten GNS–Konstruktion kann man dann einen Hilbertraum $\cH$ konstruieren, auf dem die Observablen in $\cA(V)$ operieren, sowie einen Zustandsvektor $\Omega \in \cH$ angeben, so dass $\omega(A) = \langle \Omega, A \Omega \rangle$ für alle $A \in \cA(V)$. Die Vektoren in $\cH$ beschreiben die durch Quanteneffekte von Messungen erzeugten lokalen Anregungen des Vakuums. Der interessante Punkt ist nun, dass die oben erwähnten charakteristischen Eigenschaften des partiellen Vakuumzustandes bereits ausreichen, um auf $\cH$ eine Darstellung der *vollen* Poincaré Gruppe $\cP$ durch unitäre Operatoren $U(\lambda)$, $\lambda \in \cP$ zu konstruieren [@BuRo]. Für ihre Einschränkung auf $\cS$ gelten die Relationen $$U(\lambda) A U(\lambda)^{-1} = \alpha_\lambda(A) \, , \quad
U(\lambda) \Omega = \Omega \, , \quad \lambda \in \cS \, .$$ Man kann also auch im Fall der auf Lichtkegel eingeschränkten Messungen alle Symmetrietransformationen durch unitäre Operatoren beschreiben, die sich aus den entsprechenden in Weise rekonstruieren lassen.

Darüber hinaus haben die Generatoren der resultierenden Raumzeittranslationen, die wie üblich als Energie–Impulsoperatoren gedeutet werden, die erwarteten spektralen Eigenschaften (Positivität der Energie für alle inertialen Beobachter). Sie lassen sich jedoch nicht in der üblichen Weise als Observablen deuten, da in ihnen die Fluktuationen des Energieinhalts in $V$ infolge von in der Vergangenheit abgestrahlten masselosen Teilchen nur pauschal berücksichtigt werden. Die Situation ist ähnlich wie in der Quantenstatistischen Mechanik, wo die Unkenntnis der Mikrozustände thermischer Systeme in die Liouvilleoperatoren statistisch eingeht. Ein charakteristisches Energie–Impulsspektrum, wie man es zum Beispiel für die lokalen Anregungen des Vakuums in der erwartet, ist in Figur \[spektrum\] dargestellt. Eingezeichnet sind die Zustände, die zu den jeweiligen Energie–Impulswerten beitragen: Die Spitze des Kegels entspricht dem Vakuum, der Rand den Energie–Impulswerten eines einzelnen Photons. Die Spektralwerte in der Nähe des Randes gehören zu Streuzuständen von Photonen (Delbrück–Streuung). Photonen genügend hoher Energie können bei Stoßprozessen Elektron–Positron Paare erzeugen, .

Ladungsklassen
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Auch wenn das Vakuum für die Konstruktion und Interpretation der Theorie von Bedeutung ist, so sind doch vor allem seine lokalen Anregungen und die daraus resultierenden ladungstragenden Zustände von physikalischem Interesse. Bevor wir uns der Konstruktion und Analyse dieser Zustände zuwenden, müssen wir zunächst besser verstehen, weshalb die bei der Interpretation der Theorie im Minkowskiraum auftretenden Infrarotprobleme bei unserem Zugang verschwinden.

Gemäß der Maxwellschen Elektrodynamik erzeugen beschleunigte Punktladungen Strahlung. Im Rahmen der Quantenfeldtheorie kann man diese Strahlung durch kohärente Zustände von Photonen beschreiben. Es stellt sich bei genauerer Analyse heraus, dass für Punktladungen mit verschiedenem einlaufenden und auslaufenden Impuls $p_{\mbox{\tiny \it ein}} \neq p_{\mbox{\tiny \it aus}}$ diese Zustände mit Sicherheit unendlich viele niederenergetische Photonen enthalten (sie können nicht durch Vektorzustände im Fockraum der Photonen beschrieben werden).

Man spricht daher, wie bereits mehrfach erwähnt, von Infrarotwolken. Es zeigt sich ferner, dass diese Infrarotwolken von den präzisen Werten der asymptotischen Impulse abhängen. Es gibt daher eine ungeheure Vielfalt von solchen global unterscheidbaren (im Sinne von Superauswahlsektoren) Infrarotwolken. Doch gibt es einen interessanten Spezialfall: Stimmen die beiden asymptotischen Impulse der Punktladung exakt überein, so erhält man kohärente Zustände im Fockraum der Photonen, d.h. mit endlicher Teilchenzahl. Diese Tatsache bleibt meist unbeachtet, da es ja extrem unwahrscheinlich ist, dass in realen Prozessen ein solches Ereignis auftritt. Doch spielt gerade dieser Spezialfall bei unseren Überlegungen eine wichtige Rolle. Stellt man sich nämlich die Frage, ob sich die Photonenwolken der beiden in Fig. \[stroeme\] angedeuteten Prozesse durch Messungen in einem Lichtkegel $V$ scharf lassen, so verdeutlicht Fig. \[fock\] dass dies nicht so sein sollte.

Denn durch Messung an den Photonen in $V$ wird sich nicht mit Sicherheit feststellen lassen, welche einlaufenden Impulse zwei Punktladungen mit dem gleichen auslaufenden Impuls in ferner Vergangenheit einmal hatten; durch Wechselwirkungsprozesse in der und dabei abgestrahlte marginale Photonen wird diese in den Superauswahlsektoren enthaltene globale Information völlig verwischt. Die Messergebnisse werden daher konsistent sein mit denen, die man in Zuständen mit übereinstimmenden einlaufenden und auslaufenden Impulsen erhalten würde. Anders gesagt, globale Infrarotwolken sollten sich bei Messungen in $V$ nicht von Zuständen im Fockraum der Photonen unterscheiden lassen. Tatsächlich lässt sich dies im Rahmen der Quantenfeldtheorie beweisen [@Bu].

Während die Infrarotsektoren sich also bei Messungen in Lichtkegeln nicht unterscheiden lassen, kann der Gesamtwert der von massiven Teilchen in einem Zustand getragenen Ladungen in Lichtkegeln ermittelt werden. Dies veranschaulicht Fig. \[ladung\], in der die Weltlinien von massiven geladenen Teilchen eingezeichnet sind, die sich natürlich alle mit weniger als Lichtgeschwindigkeit bewegen.

Massive Teilchen entgegengesetzter Ladung können in Stoßprozessen vernichtet werden (wobei z.B. hochenergetische Photonen entstehen) oder aber durch solche Prozesse in Paaren entgegengesetzter Ladung erzeugt werden. Diese Ereignisse ändern die eines Zustands nicht. Man kann daher aus der Analyse des massiven Teilcheninhalts in die von diesen Teilchen getragene Gesamtladung bestimmen. Diese wichtige Einsicht lässt sich im Rahmen der Quantenfeldtheorie präzise formulieren und begründen [@Bu].

In Analogie zu den Superauswahlsektoren im Minkowskiraum $\cM$ kann man daher im Rahmen der Theorie die Zustände mit gleicher Gesamtladung und auf gegebenem Lichtkegel $V$ ununterscheidbaren Infrarotwolken in Ladungsklassen einteilen. Dabei besteht jede Ladungsklasse aus Zuständen, deren Einschränkungen auf $\cA(V)$ durch die Quanteneffekte physikalischer Operationen in $V$ ineinander überführt werden können. Wir erinnern daran, dass Operationen in der Quantentheorie durch die Wirkung von unitären Operatoren auf Zustandsvektoren beschrieben werden: Stört man die Dynamik des Systems für einige Zeit durch einen in $V$ lokalisierten Operator, so kann man den Effekt dieser Störung im Wechselwirkungsbild berechnen. Nach Abschaltung der Störung erhält man einen unitären Operator $W \in \cA(V)$, der die Änderung der Zustände aufgrund dieser Operation beschreibt. Dies führt zu folgender Definition, die wir hier in etwas vereinfachter Form wiedergeben und auch so benutzen werden. Die präzise Formulierung findet sich in [@BuRo].

***Ladungsklassen:***   Zwei reine (ungemischte) Zustände $\varphi_1$, $\varphi_2$ auf der Observablenalgebra $\cA$ gehören zur gleichen Ladungsklasse, wenn es zu jedem gegebenem Lichtkegel $V$ einen entsprechenden unitären Operator $W \in \cA(V)$ gibt, so dass $$\varphi_2 \rest \cA(V) = \varphi_1 {\raisebox{1.2pt}{$\, \scriptscriptstyle \circ \, $}}\mbox{Ad} \, W \rest
\cA(V) \, ,$$ d.h. die partiellen Zustände werden durch die adjungierte Wirkung $\mbox{Ad} \, W = W \cdot W^{-1}$ von $W$ auf $\cA(V)$ ineinander überführt. Das Symbol ${\raisebox{1.2pt}{$\, \scriptscriptstyle \circ \, $}}$ bezeichnet die Komposition von Abbildungen.

Ladungen und Morphismen
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Geht man, so wie bei der Konstruktion von Quantenfeldtheorien üblich, vom Vakuumzustand aus, so kann man mit Hilfe der vorangegangenen Definition alle Zustände in der Ladungsklasse des Vakuums charakterisieren, also alle neutralen Zustände, die keine globale Ladung tragen. Es stellt sich dann die Frage, wie man im Rahmen der Theorie aus diesen neutralen Zuständen geladene Zustände erhält. Auch hier ergibt sich die Antwort aus physikalische Überlegungen.

Wir wählen im Folgenden einen festen Lichtkegel $V$. Stellt man sich vor, dass inertiale Beobachter, die in der Spitze des Kegels mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten in verschiedene Richtungen gestartet sind, alle zur gleichen Eigenzeit den Raumzeitpunkt, den sie erreicht haben, markieren, so erhält man einen Hyperboloid in $V$, den wir als Zeitschale bezeichnen, siehe Fig.\[zeitschale\]. Die asymptotisch lichtartigen Punkte auf einer solchen Zeitschale, die man nur mit Lichtgeschwindigkeit erreichen könnte, liegen raumartig zu allen kompakten Gebieten im Inneren von $V$.

Durch lokale Operationen mit genügend großem Energieübertrag kann man nun auf einer gegebenen Zeitschale aus dem Vakuum Paare von Teilchen mit entgegengesetzter Ladung erzeugen (Vakuumpolarisation), daneben entstehen Wolken von masselosen Teilchen. Um aus solchen global neutralen Paaren einen für Beobachter in $V$ effektiv ladungstragenden zu präparieren, muss die unerwünschte entgegengesetzte Ladung auf Lichtgeschwindigkeit gebracht werden. Sie befindet sich dann am asymptotisch lichtartigen Rand der Zeitschale und verschwindet dadurch aus dem kausalen Einflussgebiet von Beobachtern im Inneren von $V$. Dieser Limes würde in der Praxis unendlich viel Energie erfordern, die von der kompensierenden Ladung weggetragen wird. Man betrachtet hier also, wie häufig in der Theoretischen Physik, eine Idealisierung, da sie es gestattet, die Eigenschaften der Ladungen in Reinkultur zu analysieren. Wie in Fig. \[ladungen\] angedeutet, kann die Erzeugung von Paaren in kompakten Gebieten erfolgen, die Erzeugung der geladenen Limeszustände erfordert dagegen unendlich ausgedehnte Gebiete, die sich zur Begrenzung der von den masselosen Teilchen abgestrahlten Energie asymptotisch weiten müssen. Sie haben daher die Form hyperbolischer Kegel $\rm K$. Es ist hier wichtig, dass die Richtung und der Öffnungswinkel dieser Kegel bei der Präparation von Zuständen mit gegebener Ladung frei gewählt werden kann. Wir bezeichnen die kausalen Abhängigkeitsgebiete (Abschlüsse) der Kegel $\rm K$ mit kalligrafischen Buchstaben $\cK$ und nennen sie kurz Hyperkegel.

Nach diesen Vorbemerkungen können wir nun beschreiben, wie man in der Theorie, ausgehend vom Vakuumzustand $\omega$, geladene Zustände erhält. Dazu gibt man sich zunächst einen Hyperkegel $\cK \subset V$ vor, in dem die Präparation erfolgen soll. Dann wählt man Folgen von in $\cK$ lokalisierten unitären Operatoren, $\{W_n \in \cA(\cK)\}_{n \in \NN}$, die die Operation der Paarerzeugung beschreiben, wobei für wachsendes $n$ die kompensierende Ladung immer weiter in asymptotisch lichtartiger Richtung verschoben wird. Bei geeigneter Wahl der Operatorfolge konvergieren die resultierenden partiellen Zuständen in der Ladungsklasse des Vakuums, $\{ \omega {\raisebox{1.2pt}{$\, \scriptscriptstyle \circ \, $}}\mbox{Ad} \, W_n \rest \cA(V) \}_{n \in \NN}$, gegen einen partiellen Zustand $\varphi \rest \cA(V)$ aus der gewünschten Ladungsklasse. Die kompensierende Ladung ist in $\varphi \rest \cA(V)$ nicht mehr nachweisbar, sie befindet sich im raumartigen Komplement der in $V$ zur Verfügung stehenden Observablen.

Ausgehend von dieser physikalisch transparenten aber umständlichen Methode kann man zu einer bequemeren, aber etwas abstrakteren Beschreibung der Ladungserzeugung übergehen. Es zeigt sich nämlich, dass auch die Folgen der von den unitären Operatoren induzierten Abbildungen $\{ \mbox{Ad} \, W_n \}_{n \in \NN}$ der Observablenalgebra $\cA(V)$ auf sich selbst konvergieren, wobei wir hier nicht auf die in [@BuRo] diskutierten mathematischen Details eingehen können. Für die Grenzwerte führen wir die Notation ein $$\sigma_\cK = \lim_{n \rightarrow \infty} \,  \mbox{Ad} \, W_n
\, .$$ Der Index $\cK$ erinnert daran, dass $\sigma_\cK$ Grenzwert von Operationen im Hyperkegel $\cK$ ist. Die so definierten Abbildungen $\sigma_\cK$ sind, wie ihre Approximationen, verträglich mit der algebraischen Struktur von $\cA(V)$: sie sind linear, multiplikativ und symmetrisch; der Einfachheit halber nehmen wir ferner an, dass ihr Bildbereich ebenfalls in $\cA(V)$ liegt. Wir bezeichnen diese Abbildungen kurz als (in $\cK$ lokalisierte) Morphismen.

Die in der Monographie [@Ha] erläuterten tiefen Resultate über die Sektorstruktur von Quantenfeldtheorien massiver Teilchen basieren auf der Analyse solcher Morphismen. Auch im vorliegenden Kontext von Theorien mit masselosen Teilchen erweisen sie sich als nützliches analytisches Instrument. Denn in ihnen sind in mathematisch präziser Weise alle physikalischen Informationen enthalten, die wir in den vorangegangenen Abschnitten zusammengetragen haben. Wir fassen sie in der folgenden Liste zusammen, in der einige technische Details etwas vereinfacht dargestellt sind. (Die präzise Formulierung findet sich in [@BuRo].)

***Lokalisierte Morphismen:***   Zu gegebener Ladungsklasse und beliebigem Hyperkegel $\cK \subset V$ gibt es einen auf $\cA(V)$ definierten lokalisierten Morphismus $\sigma_\cK$ mit den folgenden Eigenschaften.

-   $\omega {\raisebox{1.2pt}{$\, \scriptscriptstyle \circ \, $}}\sigma_\cK \rest \cA(V)$ stimmt mit einem partiellen Zustand aus der gegebenen Ladungsklasse überein.

-   Für jedes Raumzeitgebiet $\cR \subset V$, das $\cK$ enthält, gilt $\sigma_\cK(\cA(\cR)) \subseteq
    \cA(\cR)$. In den Fällen wo man Gleichheit hat, bezeichnet man die Ladungsklasse und die entsprechenden Morphismen als “einfach”.

-   Für jedes Raumzeitgebiet $\cR \subset V$, das raumartig von $\cK$ getrennt ist, gilt $\sigma_\cK \rest \cA(\cR) = \iota$, worin $\iota$ die identische (triviale) Abbildung bezeichnet.

-   Zu jedem Paar von Morphismen $\sigma_{\cK_1}$, $\sigma_{\cK_2}$, die mit der Ladungsklasse affiliiert sind, existieren unitäre Operatoren $W_{2 1} \in \cA(V)$, die die Morphismen verknüpfen, . Man nennt die Operatoren $W_{2 1}$ Verknüpfungsoperatoren.

Punkt (a) dieser Liste wurde bereits ausführlich erläutert. Die Punkte (b) und (c) folgen aus den Eigenschaften der approximierenden Operatoren $W_n$. Im Fall von (b) gilt $W_n \in \cA(\cK) \subset \cA(\cR)$ und somit $\mbox{Ad} \, W_n (\cA(\cR)) \subseteq \cA(\cR)$ und im Fall (c) gilt aufgrund der Vertauschbarkeit von in $\cR$ und $\cK$ lokalisierten Operatoren (Lokalitätsprinzip) $\mbox{Ad} \, W_n \rest \cA(\cR) = \iota$. Diese Eigenschaften übertragen sich auf den Limes $\sigma_\cK$. In Punkt (d) kommt die Tatsache zum Ausdruck, dass die Superauswahlsektoren der bei der Erzeugung von Ladungen unvermeidlich entstehenden Infrarotwolken bei Messungen in $V$ nicht unterschieden werden können. Die Zustände $\omega {\raisebox{1.2pt}{$\, \scriptscriptstyle \circ \, $}}\sigma_{\cK_1} \rest \cA(V)$ und $\omega {\raisebox{1.2pt}{$\, \scriptscriptstyle \circ \, $}}\sigma_{\cK_2} \rest \cA(V)$ gehören daher zur gleichen Ladungsklasse und können durch die adjungierte Wirkung unitärer Operatoren in $\cA(V)$ ineinander transformiert werden. Diese Operatoren verknüpfen auch die lokalisierten Morphismen.

Wir werden uns im Folgenden auf die Diskussion der in (b) charakterisierten einfachen Ladungsklassen bzw. Morphismen beschränken. Zu ihnen gehört die uns hier besonders interessierende elektrische Ladung und die Univalenz.

Ladungskonjugation und Statistik
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Mit Hilfe der lokalisierten Morphismen lässt sich die Struktur der Ladungsklassen in der Quantenfeldtheorie in systematischer Weise analysieren und klassifizieren. Dazu muss man voraussetzen, dass die Theorie alle in Hyperkegeln $\cK$ prinzipiell möglichen Messungen und Operationen beschreibt, d.h. dass sich die Algebren $\cA(\cK)$ nicht durch Hinzufügen weiterer Operatoren vergrößern lassen, ohne mit dem Lokalitätsprinzip in Konflikt zu geraten. Sie sind also in diesem Sinne maximal. Diese physikalisch motivierte Forderung an die Theorie lässt sich mathematisch in Form einer Dualitätsbedingung ausdrücken [@BuRo].

Wie bereits angedeutet, werden wir uns im Folgenden auf die Diskussion der einfachen Ladungsklassen beschränken, ohne dies jedes Mal zu erwähnen. Der erste und entscheidende Schritt bei der Analyse ist der Beweis, dass sich Ladungsklassen komponieren lassen. Anschaulich gesprochen entspricht diese Komposition der Addition des Ladungsinhaltes von Zuständen. Genauer gesagt, man kann zeigen [@BuRo], dass für gegebene Ladungsklassen $L_1$, $L_2$ von Zuständen und Lichtkegel $V$ die jeweils zu diesen Klassen assoziierten, in Hyperkegeln lokalisierten Morphismen $\sigma_{\cK_1}$, $\tau_{\cK_2}$ komponiert werden können, $\tau_{\cK_2} {\raisebox{1.2pt}{$\, \scriptscriptstyle \circ \, $}}\sigma_{\cK_1}$. Die resultierenden partiellen Zustände $\omega {\raisebox{1.2pt}{$\, \scriptscriptstyle \circ \, $}}\tau_{\cK_2} {\raisebox{1.2pt}{$\, \scriptscriptstyle \circ \, $}}\sigma_{\cK_1} \rest \cA(V)$ gehören unabhängig von der Wahl von $\cK_1$, $\cK_2$ alle zu einer bestimmten Ladungsklasse $L_3$, die sich ebenfalls durch lokalisierte Morphismen $\rho_{\cK_3}$ beschreiben lässt. Insbesondere gibt es also unitäre Operatoren $W_{3 2 1} \in \cA(V)$, die diese Morphismen verknüpfen, $\rho_{\cK_3} = \mbox{Ad} \, W_{3 2 1} {\raisebox{1.2pt}{$\, \scriptscriptstyle \circ \, $}}\tau_{\cK_2} {\raisebox{1.2pt}{$\, \scriptscriptstyle \circ \, $}}\sigma_{\cK_1}$. Dies Resultat zeigt, dass bei der Komposition von Ladungen keine neuartigen Typen von Infrarotwolken entstehen, deren Superauswahlsektoren sich in $V$ unterscheiden lassen.

Bei unserer heuristischen Diskussion der Ladungserzeugung waren wir von der Existenz von entgegengesetzten Ladungen ausgegangen, die sich gegenseitig neutralisieren. Es zeigt sich, dass auch diese empirische Tatsache bereits in der Struktur der lokalisierten Morphismen kodiert ist [@BuRo]: Zu jeder Ladungsklasse $L$ von Zuständen und gegebenem Lichtkegel $V$ mit dazu assoziierten in Hyperkegeln lokalisierten Morphismen $\sigma_\cK$ existiert eine konjugierte Ladungsklasse $\overline{L}$ mit entsprechend lokalisierten Morphismen $\overline{\sigma}_\cK$ für die gilt $\sigma_\cK {\raisebox{1.2pt}{$\, \scriptscriptstyle \circ \, $}}\overline{\sigma}_\cK = 
\overline{\sigma}_\cK  {\raisebox{1.2pt}{$\, \scriptscriptstyle \circ \, $}}\sigma_\cK  = \iota$. Das heißt, alle Effekte der Ladungen in $L$ lassen sich durch Komposition mit bestimmten Konfigurationen der konjugierten Ladungen aus $\overline{L}$ vollständig neutralisieren und umgekehrt. Die mit $\overline{L}$ affiliierten Zustände werden daher als zu $L$ ladungskonjugierte Antimaterie interpretiert.

Eine weitere fundamentale Eigenschaft von Ladungen, nämlich die Tatsache, dass sie bei Vertauschung in Zuständen (je nach Ladungstyp) entweder der Bose– oder der Fermistatistik genügen, lässt sich ebenfalls aus den Eigenschaften der lokalisierten Morphismen herleiten [@BuRo]. Dazu betrachtet man bei gegebener Ladungsklasse $L$ und Lichtkegel $V$ zwei assoziierte, beliebig lokalisierte Morphismen $\sigma_{\cK_1}$, $\sigma_{\cK_2}$ und vergleicht die resultierenden komponierten Morphismen $\sigma_{\cK_1} {\raisebox{1.2pt}{$\, \scriptscriptstyle \circ \, $}}\sigma_{\cK_2}$ bzw. $\sigma_{\cK_2} {\raisebox{1.2pt}{$\, \scriptscriptstyle \circ \, $}}\sigma_{\cK_1}$. Wie oben erläutert, gehören diese komponierten Morphismen zur gleichen Ladungsklasse (mit verdoppelter Ladung) und sind durch unitäre Verknüpfungsoperatoren miteinander verbunden. Tatsächlich gibt es eine kanonische Wahl für diesen Verknüpfungsoperator, der in einem feldtheorischen Rahmen als gruppentheoretischer Kommutator von ladungstragenden (und daher nicht observablen) unitären Operatoren gedeutet werde könnte.

Um diesen Sachverhalt zu beleuchten, nehmen wir für einen Moment an, dass es ladungstragende, in $\cK_j$ lokalisierte unitäre Operatoren $V_j$ gibt so dass $\sigma_{\cK_j} = \mbox{Ad} \, V_j$, $j = 1,2$. Der Operator $W_{2 1} = V_2 V_1^{-1}$ wäre dann ein Verknüpfungsoperator zwischen $\sigma_{\cK_1}$ und $\sigma_{\cK_2}$ im Sinne der oben angegebenen Definition und der gruppentheoretische Kommutator $V_2 V_1 V_2^{-1} V_1^{-1}$ wäre ein Verknüpfungsoperator zwischen $\sigma_{\cK_1} {\raisebox{1.2pt}{$\, \scriptscriptstyle \circ \, $}}\sigma_{\cK_2} = \mbox{Ad} \, V_1 V_2$ und $\sigma_{\cK_2} {\raisebox{1.2pt}{$\, \scriptscriptstyle \circ \, $}}\sigma_{\cK_1} = \mbox{Ad} \, V_2 V_1$. Der interessante Punkt ist nun, dass sich dieser gruppentheoretische Kommutator auch ohne Kenntnis von ladungstragenden Operatoren berechnen lässt gemäß $$V_2 V_1 V_2^{-1} V_1^{-1} = 
(V_2 V_1^{-1})   V_1 ( V_1  V_2^{-1}) V_1^{-1}  =
W_{2 1} \, \mbox{Ad} \, V_1 (W_{2 1}^{-1}) = 
W_{2 1} \sigma_{\cK_1}(W_{2 1}^{-1}) \, .$$ Auf der rechten Seite dieser Gleichung steht eine Größe, die in unserem nur auf Observablen aufgebauten Formalismus bestimmt werden kann.

Diese Überlegungen legen es nahe, für die gegebenen Morphismen $\sigma_{\cK_1}$, $\sigma_{\cK_2}$ und entsprechendem Verknüpfungsoperator $W_{2 1} \in \cA(V)$ den Operator $\varepsilon(\sigma_{\cK_1}, \sigma_{\cK_2}) = 
W_{2 1} \, \sigma_{\cK_1}(W_{2 1}^{-1})$ einzuführen. Man stellt fest, dass $\varepsilon(\sigma_{\cK_1}, \sigma_{\cK_2})$ nicht von der Wahl von $W_{2 1}$ abhängt sowie die komponierten Morphismen $\sigma_{\cK_1} {\raisebox{1.2pt}{$\, \scriptscriptstyle \circ \, $}}\sigma_{\cK_2}$ und $\sigma_{\cK_2} {\raisebox{1.2pt}{$\, \scriptscriptstyle \circ \, $}}\sigma_{\cK_1}$ verknüpft. In diesem Sinne ist

der Operator kanonisch. Der physikalisch bedeutsame Punkt ist nun, dass für Morphismen, die in raumartig getrennten Hyperkegeln $\cK_1, \cK_2$ lokalisiert sind, siehe Fig. \[statistik\], der Operator $\varepsilon(\sigma_{\cK_1}, \sigma_{\cK_2})$ eine besonders einfache Form hat. Man kann nämlich zeigen [@BuRo], dass es zu jeder Ladungsklasse $L$ eine Zahl $\varepsilon_L \in \{\pm 1 \}$ (genannt Statistikparameter) gibt, so dass $\varepsilon(\sigma_{\cK_1}, \sigma_{\cK_2}) = \varepsilon_L 1$ für alle mit der Klasse assoziierten, in raumartig getrennten Hyperkegeln lokalisierten Morphismen $\sigma_{\cK_1},
\sigma_{\cK_2}$. Die physikalische Bedeutung dieses Ergebnisses wird klar, wenn man es durch die oben betrachteten ladungstragenden Operatoren $V_j$, $j=1,2$ reformuliert: Falls $\varepsilon_L = 1$ müssen diese Operatoren bei raumartigen Abständen miteinander kommutieren (bosonischer Fall), falls $\varepsilon_L = -1$ müssen sie antikommutieren (fermionischer Fall). Jede Ladungsklasse $L$ genügt also entweder der Bose oder der Fermi Statistik. Andere Möglichkeiten gibt es für die hier betrachteten einfachen Ladungen nicht. Man kann ferner zeigen [@BuRo], dass die Statistik der konjugierten Klasse $\overline{L}$ stets mit der von $L$ übereinstimmt, $\varepsilon_{\overline{L}} = \varepsilon_L^{ }$.

Es sei betont, dass diese Ergebnisse ganz wesentlich von der Tatsache abhängen, dass die physikalische Raumzeit vierdimensional ist. In hypothetischen Welten niedrigerer Dimension würde die gleiche Analyse ergeben, dass Ladungsklassen auch einer anderen (z.B. anyonischen) Statistik genügen können. Man gelangt somit, wie im massiven Fall [@Ha], auch in Theorien mit masselosen Teilchen zu einem vertieften Verständnis der Wurzeln der Teilchenstatistik.

Kovarianz und Spektrum
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Ein weiterer physikalisch wichtiger Punkt ist die Frage, wie man im vorliegend Rahmen die relativistische Invarianz der Ladungsklassen und die energetischen Eigenschaften der entsprechenden Zustände beschreibt. Wie bereits erwähnt, wirkt auf einen gegebenen Lichtkegel $V$ in natürlicher Weise nur die Semigruppe $\cS \subset \cP$ der Lorentztransformationen und zukunftsgerichteten Translationen, die $V$ auf bzw. in sich abbilden. Wir müssen daher zunächst diskutieren, wie man in physikalisch sinnvoller Weise den Transport von lokalisierten Morphismen $\sigma$ . (Da wir im folgenden einen festen Morphismus betrachten spielt dessen Lokalisationsgebiet keine Rolle.)

Zur Lösung dieses Problems gehen wir von einigen physikalisch motivierten Annahmen aus. Für eine gegebene Transformation $\lambda \in \cS$ sollte es im Prinzip möglich sein, die durch $\sigma$ beschriebene Ladungserzeugung in $V$ in exakt der gleichen Weise auf dem transformierten Lichtkegel zu bewerkstelligen (Wiederholbarkeit des Experiments). Es sollte also Morphismen ${}^\lambda \sigma$ auf $\cA(V)$ geben für die gilt ${}^\lambda \sigma {\raisebox{1.2pt}{$\, \scriptscriptstyle \circ \, $}}\alpha_\lambda 
= \alpha_\lambda {\raisebox{1.2pt}{$\, \scriptscriptstyle \circ \, $}}\sigma$, wobei daran erinnert sei, dass . Der Ladungsinhalt ändert sich beim Transport nicht, die Morphismen ${}^\lambda \sigma$ gehören somit alle zur gleichen Ladungsklasse und es gibt unitäre Verknüpfungsoperatoren $W_\lambda \in \cA(V)$, so dass $\mbox{Ad} \, W_\lambda {\raisebox{1.2pt}{$\, \scriptscriptstyle \circ \, $}}{}^\lambda \sigma = \sigma$, $\lambda \in \cS$. Die relativistische Invarianz der Theorie kommt dann dadurch zum Ausdruck, dass die durch $W_\lambda$ beschriebenen physikalischen Operationen auf allen transportierten Lichtkegeln $\mu V$, $\mu \in \cS$ in analoger Weise operieren, d.h. $\alpha_\mu(W_\lambda)$ ist auch Verknüpfungsoperator zwischen den transportierten Morphismen ${}^{\mu \lambda} \sigma$ und ${}^{\mu} \sigma$ für $\lambda, \mu \in \cS$. (Hier benutzt man die Tatsache dass $\cS$ eine Semigruppe ist, dass also das dem sukzessiven Transport entsprechende Produkt erklärt ist.) Wir fassen diese physikalisch erwarteten Eigenschaften in folgender Definition zusammen.

***Kovariante Morphismen:***   Ein Morphismus $\sigma$ auf $\cA(V)$ heißt kovariant, wenn es eine dazu assoziierte Familie von transportierten Morphismen ${}^\lambda \sigma$, $\lambda \in \cS$ gibt mit den oben angegebenen Eigenschaften.

Es ist bemerkenswert, dass diese zwar physikalisch gut begründete aber implizite Charakterisierung der kovarianten Morphismen ausreicht, um die gewohnte Formulierung der relativistischen Kovarianz zu etablieren [@BuRo]. Ausgehend von der durch das Vakuum fixierten unitären Darstellung $U$ der vollen Poincaré Gruppe $\cP$ kann man nämlich zeigen, dass die gemäß $U_\sigma(\lambda) = U(\lambda) W_\lambda$, $\lambda \in \cS$ definierten unitären Operatoren die Transformation der Observablen in der Ladungsklasse von $\sigma$ implementieren, $$\mbox{Ad} \, U_\sigma(\lambda) {\raisebox{1.2pt}{$\, \scriptscriptstyle \circ \, $}}\sigma = \sigma {\raisebox{1.2pt}{$\, \scriptscriptstyle \circ \, $}}\alpha_\lambda \, , \quad \lambda \in \cS \, .$$ Darüber hinaus existiert stets eine Wahl der Verknüpfungsoperatoren $W_\lambda$, so dass sich die Operatoren $U_\sigma(\lambda)$, $\lambda \in \cS$ eindeutig zu einer unitären Darstellung von $\cP$ (bzw. der Überlagerungsgruppe von $\cP$) fortsetzen lassen. Beobachter in $V$ können somit in eindeutiger Weise über den Energieinhalt und Drehimpuls (Spin) von Zuständen in der gegebenen Ladungsklasse sprechen. Diese ergeben sich aus den Generatoren der Darstellung $U_\sigma$, die jedoch nicht direkt als Observablen werden können. Observablen im üblichen Sinne sind die unitären (und damit im Sinne der Spektraltheorie normalen) Verknüpfungsoperatoren $W_\lambda = U(\lambda)^{-1} U_\sigma(\lambda) \in \cA(V)$, $\lambda \in \cS$ aus denen man z.B. Informationen über den Energieunterschied zwischen Zuständen in der Ladungsklasse des Vakuums und der geladenen Klasse erhält. Mit der getroffenen Wahl des Vakuums als Referenzzustand und der sich daraus eindeutig ergebenden Darstellung $U$ von $\cP$ kann man diese Informationen dann mithilfe der Darstellungen $U_\sigma$ in gewohnter Weise beschreiben.

Ein weiteres Resultat, das die physikalische Konsistenz unseres theoretischen Zugangs untermauert, betrifft die Form des Energie–Impuls Spektrums in den Ladungsklassen. Durch eine detaillierte Analyse des sich bei der Komposition von konjugierten Ladungsklassen ergebenden Spektrums lässt sich zeigen [@BuRo], dass die Generatoren der raumzeitlichen Verschiebungen $U_\sigma \rest \RR^4$ in allen Ladungsklassen die relativistische Spektrumsbedingung erfüllen (Positivität der Energie in allen Inertialsystemen). Diese energetische Stabilität der Ladungsklassen ist also eine Konsequenz der Struktur der Observablen und des Vakuums und muss nicht extra postuliert werden.

Fazit
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Die vorangegangene Diskussion hat verdeutlicht, dass die notorischen Infrarotprobleme bei der Interpretation von Quantenfeldtheorien mit langreichweitigen Kräften auf einer Überidealisierung beruhen: Nimmt man im Rahmen der Theorie wie gewöhnlich an, dass der masselose Teilcheninhalt der Zustände durch Messungen im gesamten Minkowskiraum bestimmt werden kann, so ist man gezwungen, eine Vielzahl unendlicher Infrarotwolken masseloser Teilchen in Betracht zu ziehen. Berücksichtigt man jedoch die Existenz des Zeitpfeils, so ist offensichtlich, dass sich Messungen bestenfalls in zukunftsgerichteten Lichtkegeln durchführen lassen. Versäumte Messungen in der Vergangenheit bedeuten im Allgemeinen einen unwiederbringlichen Verlust an Informationen, und die Theorie kann sich daher auf die Beschreibung und Interpretation von Lichtkegeldaten beschränken.

Wie wir gesehen haben, führt diese Beschränkung zu einer sowohl mit den Symmetrien des Minkowskiraums als auch dessen kausaler Struktur verträglichen Infrarotregularisierung. Das aus der Einsteinschen Kausalitätsforderung ableitbare Huygenschen Prinzips bewirkt die geometrische Aufteilung des globalen masselosen Teilcheninhalts in einen in Lichtkegeln experimentell zugänglichen essentiellen und einen in der Vergangenheit abgestrahlten und daher für alle Zeiten verlorenen marginalen Anteil. Angesichts dieser Fakten wird im Rahmen der Theorie verständlich, weshalb sich globale Infrarotwolken nicht scharf unterscheiden lassen.

Auch die Frage, welche physikalischen Aspekte einer Theorie in Lichtkegeln bestimmt werden können, konnte beantwortet werden. Dies sind zum einen die Eigenschaften massiver Teilchen, insbesondere deren Ladungen und Statistik, sowie die Existenz und Eigenschaften von Antimaterie. Darüber hinaus lassen sich aus den auf Lichtkegel eingeschränkten partiellen Zuständen auch deren energetische und rotatorischen Eigenschaften bestimmen. Materie kann also auch in diesem neuen theoretischen Zugang detailliert beschrieben werden.

Der in Lichtkegeln nachweisbare masselose Teilcheninhalt lässt sich durch Zustände mit endlicher Teilchenzahl (also im Fockraum) beschreiben. Es sei betont, dass dies auch masselose Teilchen einschließt, die den Lichtkegel aus fernen Galaxien erreichen. Diese Teilchen wurden zwar vor Äonen erzeugt, doch kommen sie nicht aus der Vergangenheit des Beobachters, sondern aus zum Beobachter zuvor raumartig getrennt liegenden Gebieten. Stellt man sich nun vor, dass durch diese Teilchen Informationen über das Ergebnis von Experimenten unserer Kollegen übermittelt werden, so kann man sich die Frage stellen, ob diese Informationen im Widerspruch zu den in hiesigen Lichtkegeln gewonnenen physikalischen Einsichten stehen könnten. Die Antwort ist beruhigend: Auch die extragalaktischen Kollegen können ihre Experimente bestenfalls in Lichtkegeln durchführen und man kann zeigen [@BuRo], dass die Vorhersagen der Theorie nicht von der Wahl eines Lichtkegels abhängen. Somit ist die innere Konsistenz unserer zwar ungewohnten aber dafür problemfreien Interpretation der relativistischen Quantenfeldtheorie gesichert.

Danksagung {#danksagung .unnumbered}
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Mein Dank gilt dem Evangelischen Studienwerk, besonders Herrn Prof. Dr. Eberhard Müller, für die langjährige fruchtbare Zusammenarbeit und stete Förderung des Promotionsschwerpunktes “Wechselwirkung”.

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Commun. Math. Phys. [**85**]{} (1982) 49

D. Buchholz und J. E. Roberts, New light on infrared problems: Sectors, statistics, symmetries and spectrum.\
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R. Haag, *Local Quantum Physics: Fields: Particles, Algebras*.\
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Berlin Springer (2000)

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