Функция Мёбиуса
Функция Мёбиуса  — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году.

Определение 
 определена для всех натуральных чисел  и принимает значения  в зависимости от характера разложения числа  на простые сомножители:

 , если  свободно от квадратов (то есть не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение  на простые множители состоит из чётного числа сомножителей;
 , если  свободно от квадратов и разложение  на простые множители состоит из нечётного числа сомножителей;
 , если  не свободно от квадратов.

По определению также полагают .

У Ивана Матвеевича Виноградова в книге «‎Элементы высшей математики» встречается следующее определение функции Мёбиуса:

Функция Мёбиуса — мультипликативная функция, определённая равенствами:  

Из этих двух равенств и мультипликативности самой функции выводятся её значения для всех натуральных аргументов.

Свойства и приложения 

 Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых взаимно простых чисел  и  выполняется равенство .

 Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа , не равного единице, равна нулю
 
Это, в частности, следует из того, что для всякого непустого конечного множества
количество различных подмножеств, состоящих из нечётного числа элементов, равно количеству
различных подмножеств, состоящих из чётного числа элементов, — факт, применяемый также в доказательстве
формулы обращения Мёбиуса.

 

  где n — положительное целое число.

 

 

  где  — это постоянная Эйлера.

 

 Функция Мёбиуса тесно связана с дзета-функцией Римана. Так, через функцию Мёбиуса выражаются коэффициенты ряда Дирихле функции, мультипликативно обратной для дзета-функции Римана:

 .

Ряд абсолютно сходится при , на прямой  сходится условно, в области  утверждение об условной сходимости ряда эквивалентно гипотезе Римана, а при  ряд заведомо не сходится, даже условно.

При  справедлива также формула:

 

  где p — простое число.

 Функция Мёбиуса связана с функцией Мертенса, также тесно связанной с задачей о нулях дзета-функции Римана

 

 Справедливы асимптотические соотношения:

  при 
 ,

из которых следует, что существует асимптотическая плотность распределения значений функции Мёбиуса. Линейная плотность множества её нулей равна , а плотность множества единиц (или минус единиц) . На этом факте основаны теоретико-вероятностные подходы к изучению функции Мёбиуса.

Обращение Мёбиуса

Первая формула обращения Мёбиуса 

Для арифметических функций  и ,
 
тогда и только тогда, когда
 .

Вторая формула обращения Мёбиуса 

Для вещественнозначных функций  и , определённых при ,
 
тогда и только тогда, когда
 .

Здесь сумма  интерпретируется как .

Обобщённая функция Мёбиуса 
Несмотря на кажущуюся неестественность определения функции Мёбиуса, его природа может стать ясна при рассмотрении класса функций с аналогичными свойствами обращаемости, вводимых на произвольных частично упорядоченных множествах.

Пусть задано некоторое частично упорядоченное множество с отношением сравнения . Будем считать, что .

Определение 
Обобщённая функция Мёбиуса рекуррентно определяется соотношением.

Формула обращения 
Пусть функции  и  принимают вещественные значения на множестве  и выполнено условие .

Тогда

Связь с классической функцией Мёбиуса 
Если взять в качестве  множество натуральных чисел, приняв за отношение  отношение , то получим , где  - классическая функция Мёбиуса.

Это, в частности, означает, что , и далее определение классической функции Мёбиуса следует по индукции из определения обобщённой функции и тождества , так как суммирование по всем делителям числа, не делимого на полный квадрат, можно рассматривать как суммирование по булеану его простых множителей, перемножаемых в каждом элементе булеана.

См. также 
 Свёртка Дирихле

Литература

Ссылки 

 Лекторий МФТИ.  Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №5, 2013.
 Лекторий МФТИ.  Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №6, 2013.
 Обобщённая формула обращения Мёбиуса

Арифметические функции