Неравенство Брунна — Минковского
Теорема Брунна — Минковского — классическая теорема выпуклой геометрии:

Формулировка
Пусть  и  — компактные выпуклые тела в n-мерном евклидовом пространстве.
Рассмотрим сумму Минковского , , то есть множество точек, делящих отрезки с концами в любых точках множеств  и  в отношении  к . Тогда функция
 
есть вогнутая функция от .

Более того, функция  линейна в том и только в том случае, когда  и  гомотетичны.

Замечания
Неравенство легко выводится из своего частного случая

для любых компактных выпуклых тел  и  — в n-мерном пространстве.

Следствия 
 Изодиаметрическое неравенство: В евклидовом пространстве среди всех тел данного диаметра, шар имеет наибольший объём. Для доказательства теоремы достаточно применить неравенство Брунна — Минковского к данному телу  и к его центральносимметричной копии .
 Теорема Линделёфа о многограннике: Среди всех выпуклых многогранников трёхмерного евклидова пространства с данными направлениями граней и с данным объёмом наименьшую площадь поверхности имеет многогранник, описанный вокруг шара.

История 
Теорема установлена Брунном в 1887, уточнена и дополнена Минковским, обобщена на случай произвольных компактных тел Люстерником.

Довольно простое доказательство приведённое Бляшке использует симметризацию Штайнера.
Другое, короткое и простое доказательство нашли Г. Хадвигер и Д. Оман.
В нём неравенство доказывается сначала для пар параллелепипедов с параллельными гранями — эта часть эквивалентна неравенству между средним геометрическим и средним арифметическим.
Далее по индукции доказывается для конечных объединений таких параллелепипедов.
Неравенство следует поскольку любое тело можно приблизить таким объединиением.

Вариации и обобщения

Неравенство Александрова — Фенхеля — неравенство на смешанный объём, которое влечёт неравенство Брунна — Минковского.

Литература 

 В. Бляшке, Круг и шар. : Наука, 1967.

Выпуклая геометрия
Неравенства
Герман Минковский
Б