Внешняя алгебра
Внешняя алгебра, или алгебра Грассмана, — ассоциативная алгебра, используемая в геометрии при построении теории интегрирования в многомерных пространствах.
Впервые введена Грассманом в 1844 году.

Внешняя алгебра над пространством  обычно обозначается .
Важнейшим примером является алгебра дифференциальных форм на данном многообразии.

Определение и связанные понятия 
Внешней алгеброй  векторного пространства  над полем  называют ассоциативную факторалгебру тензорной алгебры  по двустороннему идеалу , порождённому элементами вида :
.
Если характеристика поля , то идеал  в точности совпадает с идеалом, порождённым элементами вида . 

Умножение  в такой алгебре при этом называют внешним произведением. По построению оно антикоммутативно:

k-й внешней степенью пространства  называют векторное пространство , порождённое элементами вида 

причём  и  при . 

Если  и  — базис , то базисом  является множество

Тогда 

причём легко заметить, что внешняя алгебра естественным образом имеет градуировку: если  и , то

Свойства 

 Элементы пространства  называются r-векторами. В случае, когда характеристика основного поля равна 0, их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над  с операцией антисимметризированного (альтернированного) тензорного произведения, то есть внешнее произведение двух антисимметрических тензоров является композицией полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с тензорным произведением.
 В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:
 
 Замечание: Нет единого стандарта в том, что значит «антисимметризация». Например, многие авторы предпочитают формулу
 
 Внешний квадрат произвольного вектора  нулевой:
 
 Для r-векторов при чётном r это неверно. Например

 Линейно независимые системы из -векторов  и  из  порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда -векторы  и  пропорциональны.

Ссылки 
 Винберг Э. Б. Курс алгебры. — : Факториал Пресс, 2002. — ISBN 5-88688-060-7
 Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — : Физматлит, 2009.
 Шутц Б. Геометрические методы математической физики. — : Мир, 1984.
 Ефимов Н. В. Введение в теорию внешних форм. — : Наука, 1977.

См. также 
 Алгебра Клиффорда
 Тензорная алгебра
 Симметрическая алгебра
 Поливектор

Линейная алгебра
Дифференциальные формы