Характер (теория чисел)
Характер (или числовой характер, или характер Дирихле), это определённая арифметическая функция, которая возникает из  характеров на обратимых элементах .  Характеры Дирихле используются для определения L-функций Дирихле, которые являются мероморфными функциями со множеством интересных аналитических свойств. 
Если  является характером Дирихле, его L-ряд Дирихле определяется равенством 

где s — комплексное число с вещественной частью > 1. Путём аналитического продолжения эта функция может быть продолжена до мероморфной функции на всей комплексной плоскости. L-функции Дирихле являются обобщением дзета-функции Римана и заметно проявляются в обобщённых гипотезах Римана.

Характеры Дирихле названы в честь Петера Густава Лежёна Дирихле.

Аксиоматическое определение 
Характер Дирихле — это любая  функция  на множестве целых чисел  с комплексными значениями, имеющая следующие свойства:

Существует положительное целое число k, такое что  для любых n.
Если n и k не взаимно просты, то ; если же они взаимно просты, .
 для любых целых m и n.

Из этого определения можно вывести некоторые другие свойства.  
Согласно свойству 3) . Поскольку  НОД(1, k) = 1,  свойство 2) гласит, что , так что  
<li>.
Свойства 3) и 4) показывают, что любой характер Дирихле  является  характером. 

Свойство 1) говорит, что характер является периодической функцией с периодом k. Мы говорим, что  является характером по модулю k. Это эквивалентно утверждению, что 
<li>если , то . 
Если НОД(a,k) = 1, теорема Эйлера утверждает, что   (где  является функцией Эйлера).  Таким образом, согласно свойствам 5) и 4), , а по свойству 3) . Следовательно,  
<li>Для всех a, взаимно простых с k,  является -ым комплексным корнем из единицы, то есть  для некоторого целого .

Единственный характер с периодом 1 называется тривиальным характером. Заметим, что любой характер обращается в 0 в точке 0, за исключением тривиального, который равен 1 для всех целых чисел. 

 Характер, принимающий значение 1 на всех числах, взаимно простых с , называется главным:
 .
 В группе характеров по модулю  он играет роль единицы.

Характер называется вещественным, если он принимает только вещественные значения. Характер, не являющийся вещественным, называется комплексным

Знак характера  зависит от его значения в точке −1. Говорят, что  нечётный, если , и чётный, если .

Построение через классы вычетов 

Характеры Дирихле могут рассматриваться в терминах  группы обратимых элементов кольца  как расширенные характеры классов вычетов.

Классы вычетов 
Если дано целое число k, можно определить класс вычета целого числа n как множество всех целых чисел, сравнимых с n по модулю k:
 
То есть класс вычетов  является классом смежности n в факторкольце .

Множество обратимых элементов по модулю k образует абелеву группу порядка , где умножение в группе задаётся равенством 
, а  
снова означает функцию Эйлера.  
Единицей в этой группе служит класс вычетов , а обратным элементом для  является класс вычетов , где 
, то есть . Например, для k=6 множеством обратимых элементов является , поскольку 0, 2, 3 и 4 не взаимно просты с 6.

Группа характеров  состоит из характеров классов вычетов.  Характер класса вычетов  на  примитивен, если нет собственного делителя d для k, такого что   факторизуются как .

Характеры Дирихле
Определение характера Дирихле по модулю k обеспечивает, чтобы он был ограничен  группы обратимых элементов по модулю k: группа гомоморфизмов  из  в ненулевые комплексные числа

,

со значениями, которые обязательно будут корнями из единицы, поскольку обратимые элементы по модулю k образуют конечную группу. В обратном направлении, если дана группа гомоморфизмов  на группе обратимых элементов по модулю k, мы можем  до  функции на целых числах, взаимно простых с k, а затем расширить эту функцию на все целые числа путём присвоения значения 0 на всех целых числах, имеющих нетривиальные делители, общие с k.  Получающаяся функция будет тогда характером Дирихле.

Главный характер  по модулю k имеет свойства 

 при НОД(n, k) = 1 и
 при НОД(n, k) > 1.

Ассоциированный характер мультипликативной группе  является главным характером, который всегда принимает значение 1.

Когда k равен 1, главный характер по модулю k равен 1 на всех целых чисел.  Для k, большего 1, главные характеры по модулю k обращаются в нуль в целых числах, имеющих ненулевые общие множители с k, и равно 1 на других целых числах.

Имеется  характеров Дирихле по модулю n.

Примеры 

 Для любого нечётного модуля  символ Якоби  является характером по модулю .
 Степенной вычет степени выше 2 — это невещественный характер.

Некоторые таблицы характеров 
Таблицы ниже помогают иллюстрировать природу характеров Дирихле. Они представляют характеры по модулю от 1 до 10. Характеры  являются главными характерами.

По модулю 1
Существует  характер по модулю 1:

{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|-
| 
|   0  
|-
| 
| 1
|-
|}

Это тривиальный характер.

По модулю 2
Существует  характер по модулю 2:

{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|-
| 
|   0  
|   1  
|-
| 
| 0
| 1
|-
|}

Заметим, что  полностью определяется значением , поскольку 1 порождает группу обратимых элементов по модулю 2.

По модулю 3
Есть  характера по модулю 3:

{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|-
| 
|   0  
|   1  
|   2  
|-
| 
| 0
| 1
| 1
|-
| 
| 0
| 1
| −1 
|-
|}

Заметим, что  полностью определяется значением , поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 3.

По модулю 4
Существует  характера по модулю 4:

{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|-
|  
|   0  
|   1  
|   2  
|   3  
|-
| 
| 0
| 1
| 0 
| 1
|-
| 
| 0
| 1
| 0 
| −1
|-
|}

Заметим, что  полностью определяется значением , поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 4.

L-ряд Дирихле для  равен лямбда-функции Дирихле (тесно связанной с эта-функцией Дирихле)

,

где  является дзета-функцией Римана.  L-ряд для  является бета-функцией Дирихле

По модулю 5
Существует  характеров по модулю 5. В таблицах i является квадратным корнем из .

{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|-
| 
|   0  
|   1  
|   2  
|   3  
|   4  
|-
| 
| 0
| 1
| 1
| 1
| 1
|-
| 
| 0
| 1
| i
| −i
| −1
|-
| 
| 0
| 1
| −1 
| −1
| 1
|-
| 
| 0
| 1
| −i 
| i
| −1
|-
|}

Заметим, что  полностью определяется значение , поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 5.

По модулю 6
Существует  характеров по модулю 6:

{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|-
| 
|   0  
|   1  
|   2  
|   3  
|   4  
|   5  
|-
| 
| 0
| 1
| 0 
| 0
| 0
| 1
|-
| 
| 0
| 1
| 0
| 0
| 0 
| −1
|-
|}

Заметим, что  полностью определяется значением, поскольку 5 порождает группу обратимых элементов по модулю 6.

По модулю 7
Существует  характеров по модулю 7. В таблице ниже 

{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|-
| 
|   0  
|   1  
|   2  
|   3  
|   4  
|   5  
|   6  
|-
| 
| 0
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
|-
| 
| 0
| 1
| 
| 
| 
| 
| −1
|-
| 
| 0
| 1
| −
| 
| 
| 
| 1
|-
| 
| 0
| 1
| 1
| −1
| 1
| −1
| −1
|-
| 
| 0
| 1
| 
| 
| 
| 
| 1
|-
| 
| 0
| 1
| 
| 
| 
| 
| −1
|-
|}

Заметим, что  полностью определяется значением , поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 7.

По модулю 8
Существует  характеров по модулю 8.

{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|-
| 
|   0  
|   1  
|   2  
|   3  
|   4  
|   5  
|   6  
|   7  
|-
| 
| 0
| 1
| 0
| 1
| 0
| 1
| 0
| 1
|-
| 
| 0
| 1
| 0
| 1
| 0
| −1
| 0
| −1
|-
| 
| 0
| 1
| 0
| −1
| 0
| 1
| 0
| −1
|-
| 
| 0
| 1
| 0
| −1
| 0
| −1
| 0
| 1
|-
|}

Заметим, что  полностью определяется значениями  и , поскольку 3 и 5 порождают группу обратимых элементов по модулю 8.

По модулю 9
Существует  характеров по модулю 9. В таблице ниже 

{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|-
| 
|   0  
|   1  
|   2  
|   3  
|   4  
|   5  
|   6  
|   7  
|   8  
|-
| 
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 1
|-
| 
| 0
| 1
| 
| 0
| 
| 
| 0
| 
| −1
|-
| 
| 0
| 1
| 
| 0
| 
| 
| 0
| 
| 1
|-
| 
| 0
| 1
| −1
| 0
| 1
| −1
| 0
| 1
| −1
|-
| 
| 0
| 1
| 
| 0
| 
| 
| 0
| 
| 1
|-
| 
| 0
| 1
| 
| 0
| 
| 
| 0
| 
| −1
|-
|}

Заметим, что  полностью определяется значением, поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 9.

По модулю 10
Существует  характеров по модулю 10.

{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|-
| 
|   0  
|   1  
|   2  
|   3  
|   4  
|   5  
|   6  
|   7  
|   8  
|   9  
|-
| 
| 0
| 1
| 0
| 1
| 0
| 0
| 0
| 1
| 0
| 1
|-
| 
| 0
| 1
| 0
| i
| 0
| 0
| 0
| −i
| 0
| −1
|-
| 
| 0
| 1
| 0
| −1
| 0
| 0
| 0
| −1
| 0
| 1
|-
| 
| 0
| 1
| 0
| −i
| 0
| 0
| 0
| i
| 0
| −1
|-
|}

Заметим, что  полностью определяется значением , поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 10.

Примеры

Если p является нечётным простым числом, то функция

 где  является символом Лежандра, является примитивным характером Дирихле по модулю p.

Более обще, если m является положительным нечётным числом, функция

 где  является символом Якоби, является характером Дирихле по модулю m.

Это квадратичные характеры — в общем случае примитивные квадратичные характеры возникают в точности из cимвола Кронекера — Якоби.

Примитивные характеры и кондуктор
При переходе от вычетов по модулю N к вычетам по модулю M для любого множителя M числа N происходит потеря информации. Эффект характеров Дирихле дает противоположный результат – если  является характером по модулю M, он индуцирует характер  по модулю N для любого N, кратного M.  Характер является примитивным, если он не индуцируется каким-либо характером по меньшему модулю.

Если  – характер по модулю n и d делит n, мы говорим, что модуль d является индуцированным модулем для , если  для всех a, взаимно простых с n и 1 mod d:  характер примитивен, если нет меньшего индуцированного модуля.

Мы можем это формализовать различным образом путём определения характеров  и  как согласованных, если для некоторого модуля N, такого что N1 и N2 оба делят N, мы имеем  для всех n взаимно простых с N, то есть существует некоторый характер , порождённый как , так и .  Это отношение эквивалентности на характерах.  Характер с наименьшим модулем в классе эквивалентности является примитивным, и этот наименьший модуль является кондуктором характеров в классе.  

Непримитивность характеров может привести к отсутствию  в их L-функциях.

Ортогональность характеров
Ортогональность характеров конечной группы переносится на характеры Дирихле.

Если мы зафиксируем характер  по модулю n, то

,

если  не главный характер, иначе сумма равна .  

Аналогично, если зафиксировать класс вычетов a по модулю n, то сумма по всем характерам даёт
,

кроме случая a=1, когда сумма равна .  

Отсюда делаем вывод, что любая периодическая функция с периодом n над классом вычетов, взаимно простых с n, является линейной комбинацией характеров Дирихле.

История 
Характеры Дирихле вместе с их -рядами были введены Дирихле в 1831 году, в рамках доказательства теоремы Дирихле о бесконечности числа простых чисел в арифметических прогрессиях. Он изучал их только для  и в основном когда  стремится к 1. Расширение этих функций на всю комплексную плоскость было получено Риманом в 1859 году.

См. также
  
 
 Сумма Гаусса
 Примитивный корень по модулю n

Примечания

Литература

 
 
 

  см. главу 13.

Литература 
 Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Московского университета, 1984.
 Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — М.: УРСС, 2004.

Аналитическая теория чисел
Алгебраическая теория чисел
Дзета- и L-функции