Простая группа
Простая группа — группа, не имеющая нормальных подгрупп, отличных от всей группы и единичной подгруппы.

Конечные простые группы полностью классифицированы в 1982.

В теории бесконечных групп значение простых групп значительно меньше ввиду их необозримости.

В теории групп Ли и алгебраических групп определение простой группы несколько отличается от приведенного, см. простая группа Ли.

Примеры

Конечные простые группы 

Циклическая группа  проста. Действительно, если — подгруппа , то порядок  по теореме Лагранжа должен делить порядок , равный 5. Единственными делителями 5 являются 1 или 5, то есть  либо тривиальна, либо совпадает с . Наоборот, группа  простой не является, так как множество, состоящее из классов чисел 0, 4 и 8 по модулю 12, образует группу порядка 3, которая нормальна как подгруппа абелевой группы. Группа  целых чисел с операцией сложения также не является простой, поскольку множество чётных чисел есть нетривиальная нормальная подгруппа в . Аналогичными рассуждениями можно убедиться, что всевозможные простые абелевы группы — это в точности циклические группы простого порядка.

Классификация простых неабелевых групп существенно сложнее. Простая неабелева группа наименьшего порядка — знакопеременная группа  порядка 60, при этом любая простая группа порядка 60 изоморфна  . Более того, простыми являются все группы  при . Следующая по количеству элементов простая неабелева группа после — специальная проективная группа  порядка 168. Можно доказать, что любая простая группа порядка 168 изоморфна .

Бесконечные простые группы 
Простой является группа всех чётных подстановок, каждая из которых перемещает конечное подмножество элементов бесконечного множества ; в частности, если множество счётно, это бесконечная знакопеременная группа . Ещё одним семейством примером служат , где поле  бесконечно и .

Существуют конечно порождённые и даже конечно определённые бесконечные простые группы.

Свойства 
 Всякая группа вложима в простую группу.

См. также 
 Простая группа Ли
 Абелева группа

Теория групп