Асимптота
Асимпто́та, или аси́мптота (от  — несовпадающая, не касающаяся кривой с бесконечной ветвью) — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед.

Виды асимптот графиков

Вертикальная 
Прямая вида  является вертикальной асимптотой при выполнении хотя бы одного из равенств:
 
 .
Вертикальных асимптот может быть любое количество.

Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Горизонтальная и наклонная 

Наклонная асимптота — прямая вида , если выполняется хотя бы одно из равенств:
 
 .
При этом, если выполняется первое условие, то говорят, что эта прямая является асимптотой при , а если второе, то асимптотой при .

Если , то асимптота также называется горизонтальной.

Замечание 1: Число наклонных асимптот у функции не может быть больше двух: одна при  и одна при , но она может быть одна или их вовсе может не быть.

Замечание 2: Некоторые источники включают требование, чтобы кривая не пересекала эту прямую в окрестности бесконечности.

Замечание 3: В некоторых случаях, таких как алгебраическая геометрия, асимптота определена, как прямая, которая является «касательной» к кривой на бесконечности.

Нахождение асимптот

Порядок нахождения асимптот 
 Нахождение точек разрыва, выбор точек, в которых есть вертикальная асимптота (прямой проверкой, что предел в этой точке есть ).
 Проверка, не являются ли конечными пределы  и. Если да, то существует горизонтальная асимптота  при  и  соответственно.
 Нахождение двух пределов 
 Нахождение двух пределов , если хотя бы один из пределов в пункте 3 или 4 не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при  (или ) не существует.

Наклонная асимптота — выделение целой части 

Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:

Дана функция .

Разделив нацело числитель на знаменатель, получим: .

При , ,

и  является искомым уравнением наклонной асимптоты, причем с обеих сторон.

Свойства 
 Среди конических сечений асимптоты имеют только гиперболы. Асимптоты гиперболы как конического сечения параллельны образующим конуса, лежащим в плоскости, проходящей через вершину конуса параллельно секущей плоскости. Максимальный угол между асимптотами гиперболы для данного конуса равен углу раствора конуса и достигается при секущей плоскости, параллельной оси конуса.

См. также 
 Асимптотическая кривая

Примечания

Литература 
 Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, 4-е изд. М., 1956.
 Графики функций: Справочник / Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. — Киев: Наук. думка, 1979, — 320 с.

Ссылки 

 
 

Кривые
Аналитическая геометрия