Сигма-алгебра
σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.

Определение 
Семейство  подмножеств множества  называется σ-алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:
  содержит множество .
 Если , то и его дополнение .
 Объединение или пересечение счётного подсемейства из  принадлежит

Пояснения 
 Из пунктов 1 и 2 определения следует, что любая σ-алгебра содержит пустое множество .
 Поскольку
 
 в пункте 3 достаточно требовать, чтобы только пересечение или только объединение принадлежало .
 Для любой системы множеств  существует наименьшая сигма-алгебра , являющаяся её надмножеством.
 Сигма-алгебры являются естественной областью определения счётно-аддитивных мер. Если мера определена частично (на семействе множеств ) так, что выполнено условие сигма-аддитивности (синоним счётной аддитивности), эта частичная мера имеет единственное продолжение на , то есть на наименьшую сигма-алгебру, это семейство содержащую, и при этом свойство сигма-аддитивности не нарушится.
 σ-алгебра, порождённая случайной величиной , определяется следующим образом:
 ,
 где  — борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой. Это — наименьшая сигма-алгебра на пространстве , относительно которой случайная величина  всё ещё остаётся измеримой. Эта же конструкция применяется и в том случае, если на пространстве  вообще не выделена никакая сигма-алгебра, в этом случае с помощью функции  её можно ввести и наделить таким образом пространство  структурой измеримого пространства, так что функция  будет измеримой.

Измеримое пространство 

Измеримое пространство — это пара , где  — множество, а  — некоторая сигма-алгебра его подмножеств.

Примеры 
 Борелевская сигма-алгебра
 Для любого множества  существует тривиа́льная σ-алгебра .
 Для любого множества  существует σ-алгебра, которая содержит все его подмножества.

Примечания

Литература 
 

Теория меры