Дискриминант
Дискримина́нт многочлена — математическое понятие (в алгебре), обозначаемое буквами D или Δ.

Для многочлена , , его дискриминант есть произведение
 ,
 где  — все корни многочлена (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

Чаще всего используется дискриминант квадратного трёхчлена, знак которого определяет количество действительных корней.

Свойства 
 Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
 Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
 , где  — результант многочлена  и его производной .

Примеры 
Во всех следующих примерах рассматриваются многочлены с вещественными коэффициентами и отличным от нуля старшим коэффициентом.

Многочлен второй степени 
Дискриминант квадратного трёхчлена  равен 

 При  трёхчлен будет иметь два вещественных корня:
 
 При  — один корень кратности 2 (другими словами, два одинаковых корня):
 
 При  вещественных корней нет, однако есть два комплексно-сопряженных корня, выражающиеся той же формулой, что и для положительного дискриминанта. Также её можно переписать так, чтобы она не содержала отрицательного подкоренного выражения, следующим образом:

Геометрический смысл дискриминанта квадратного уравнения 
Дискриминант квадратного трехчлена геометрически характеризует расстояние от абсциссы точки экстремума функции   до точки пересечения графика функции с осью Ox. Это расстояние определяется по формуле:

 .

Многочлен третьей степени 
Дискриминант кубического многочлена  равен
 
В частности, дискриминант кубического многочлена  (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен .
 При  кубический многочлен имеет три различных вещественных корня.
 При  он имеет кратный корень (либо один корень кратности 2 и один корень кратности 1, и тот, и другой вещественные; либо один-единственный вещественный корень кратности 3).
 При  кубический многочлен имеет один вещественный корень и два комплексных корня (являющихся комплексно-сопряжёнными).

Многочлен четвёртой степени 
Дискриминант многочлена четвёртой степени  равен
 
Для многочлена  дискриминант имеет вид
 
и равенство  определяет в пространстве  поверхность, называемую ласточкиным хвостом.

 При  многочлен имеет два различных вещественных корня и два комплексных корня.
 При  многочлен имеет четыре различных корня: либо все вещественные, либо все комплексные.
 А именно, для многочлена :
 если , то все корни комплексные;
 если  и , то все корни комплексные;
 если  и , то все корни вещественные.
 При  многочлен имеет по меньшей мере один кратный корень (вещественный или комплексный). Во втором случае многочлен имеет два комплексно сопряжённых кратных корня и, следовательно, распадается в произведение двух многочленов второй степени, неприводимых над полем вещественных чисел.
 Точнее:
 если  и , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
 если  и , то три различных вещественных корня, один из которых кратности 2;
 если  и , то два вещественных корня, каждый из которых кратности 2;
 если  и , то два вещественных корня, один из которых кратности 3;
 если ,  и , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
 если ,  и , то одна пара комплексно сопряжённых корней кратности 2;
 если  и , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
 если  и , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
 если  и , то один вещественный корень кратности 4.

История 
Термин образован от  — «разбираю», «различаю». Понятие «дискриминант квадратной формы» использовалось в работах Гаусса, Дедекинда, Кронекера, Вебера и др. Термин ввёл Сильвестр и Александр Бейгул.

См. также 
 Результант

Литература

Примечания 

Многочлены