Непрерывная функция
Непрерывная функция — функция, которая меняется без мгновенных «скачков» (называемых разрывами), то есть такая, малые изменения аргумента которой приводят к малым изменениям значения функции.
График непрерывной функции является непрерывной линией.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой.
Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения.
Вариацию этого понятия для функций комплексной переменной см. в статье Комплексный анализ.

Определение 

Пусть  и .
Существует несколько эквивалентных определений непрерывности функции в точке .

 Определение через предел: функция  непрерывна в точке , предельной для множества , если  имеет предел в точке , и этот предел совпадает со значением функции :
 
 Определение, использующее ε-δ-формализм: функция  непрерывна в точке , если для любого  существует  такое, что для любого ,
 
 Комментарий: По сравнению с определением предела функции по Коши в определении непрерывности нет требования, обязывающего все значения аргумента  удовлетворять условию , то есть быть отличными от а.
 Определение, использующее o-символику: функция  непрерывна в точке , если
 , при .
 Определение через колебания: функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.

Функция  непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке данного множества.

В этом случае говорят, что функция  класса  и пишут:  или, подробнее, .

Точки разрыва 

Если условие, входящее в определение непрерывности функции, в некоторой точке нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв. Другими словами, если  — значение функции  в точке , то предел такой функции (если он существует) не совпадает с . На языке окрестностей условие разрывности функции  в точке  получается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точки  области значений функции , что как бы мы близко не подходили к точке  области определения функции , всегда найдутся такие точки, чьи образы будут за пределами окрестности точки .

Классификация точек разрыва в ℝ¹ 
Классификация разрывов функций  зависит от того, как устроены множества X и Y. Здесь приведена классификация для простейшего случая — . Таким же образом классифицируют и особые точки (точки, где функция не определена). Стоит заметить, что классификация в  различается от автора к автору.

Если функция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точке), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:
 если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода. К точкам разрыва первого рода относят устранимые разрывы и скачки.
 если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода. К точкам разрыва второго рода относят полюса и точки существенного разрыва.

Устранимая точка разрыва 
Если предел функции существует и конечен, но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:
 ,
то точка  называется точкой устранимого разрыва функции  (при отсутствии  — устранимая особая точка).

Если «поправить» функцию  в точке устранимого разрыва и положить , то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности, что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.

Точка разрыва «скачок» 
Разрыв «скачок» (особая точка «скачок») возникает, если
 , и пределы конечны.

Точка разрыва «полюс» 
Разрыв «полюс» (особая точка «полюс») возникает, если один из односторонних пределов бесконечен.
  или .

Точка существенного разрыва 
В точке существенного разрыва (существенной особой точке) хотя бы один из односторонних пределов вообще отсутствует.

Классификация изолированных особых точек в ℝn, n>1 
Для функций  и  нет нужды работать с точками разрыва, зато часто приходится работать с особыми точками (точками, где функция не определена). Классификация изолированных особых точек (то есть таких, где в какой-то окрестности нет других особых точек) сходная.
 Если , то это устранимая особая точка (аналогично функции действительного аргумента).
 Полюс определяется как . В многомерных пространствах, если модуль числа растёт, считается, что , каким путём бы он ни рос.
 Если предел вообще не существует, это существенная особая точка.

Понятие «скачок» отсутствует. То, что в  считается скачком, в пространствах бóльших размерностей — существенная особая точка.

Свойства

Локальные 
 Функция, непрерывная в точке , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.
 Если функция  непрерывна в точке  и  (или ), то  (или ) для всех , достаточно близких к .
 Если функции  и  непрерывны в точке , то функции  и  тоже непрерывны в точке .
 Если функции  и  непрерывны в точке  и при этом , то функция  тоже непрерывна в точке .
 Если функция  непрерывна в точке  и функция  непрерывна в точке , то их композиция  непрерывна в точке .

Глобальные 
 Теорема о равномерной непрерывности: функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.
 Теорема Вейерштрасса о функции на компакте: функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.
 Областью значений функции , непрерывной на отрезке , является отрезок  где минимум и максимум берутся по отрезку .
 Если функция  непрерывна на отрезке  и  то существует точка  в которой .
 Теорема о промежуточном значении: если функция  непрерывна на отрезке  и число  удовлетворяет неравенству  или неравенству  то существует точка  в которой .
 Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.
 Монотонная функция на отрезке  непрерывна в том и только в том случае, когда область её значений является отрезком с концами  и .
 Если функции  и  непрерывны на отрезке , причем  и  то существует точка  в которой  Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Примеры

Элементарные функции 
Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции (прямые и обратные) непрерывны везде в своей области определения.

Функция с устранимым разрывом 
Функция  задаваемая формулой
 

непрерывна в любой точке  Точка  является точкой устранимого разрыва, ибо предел функции

Функция знака 
Функция
 

называется функцией знака.

Эта функция непрерывна в каждой точке .

Точка  является точкой разрыва первого рода, причём
 ,
в то время как в самой точке функция обращается в нуль.

Функция Хевисайда 
Функция Хевисайда, определяемая как
 
является всюду непрерывной, кроме точки , где функция терпит разрыв первого рода. Тем не менее, в точке  существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, данная функция является примером непрерывной справа функции на всей области определения.

Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как
 

является примером непрерывной слева функции на всей области определения.

Функция Дирихле 

Функция
 
называется функцией Дирихле. По сути, функция Дирихле — это характеристическая функция множества рациональных чисел. Эта функция разрывна в каждой точке, поскольку в сколь угодно малой окрестности любой точки имеются как рациональные, так и иррациональные числа.

Функция Римана 

Функция
 
называется функцией Римана или «функцией Тома».

Эта функция непрерывна на множестве иррациональных чисел (), поскольку предел функции в каждой иррациональной точке равен нулю (если последовательность , то с необходимостью ).
Во всех же рациональных точках она разрывна.

Вариации и обобщения

Равномерная непрерывность 

Функция  называется равномерно непрерывной на , если для любого  существует  такое, что для любых двух точек  и  таких, что , выполняется .

Каждая равномерно непрерывная на множестве  функция, очевидно, является также и непрерывной на нём. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если область определения — компакт, то непрерывная функция оказывается также и равномерно непрерывной на данном отрезке.

Полунепрерывность 
Существует два симметричных друг другу свойства — полунепрерывность снизу и полунепрерывность сверху:
 функция  называется полунепрерывной снизу в точке , если для любого  существует такая окрестность , что  для всякого ;
 функция  называется полунепрерывной сверху в точке , если для любого  существует такая окрестность , что  для всякого .
Между непрерывностью и полунепрерывностью имеется следующая связь:
 если взять функцию , непрерывную в точке , и уменьшить значение  (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную снизу в точке ;
 если взять функцию , непрерывную в точке , и увеличить значение  (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную сверху в точке .
В соответствии с этим можно допустить для полунепрерывных функций бесконечные значения:
 если , то будем считать такую функцию полунепрерывной снизу в точке ;
 если , то будем считать такую функцию полунепрерывной сверху в точке .

Односторонняя непрерывность 
Функция  называется непрерывной слева (справа) в точке  её области определения, если для одностороннего предела выполняется равенство:

Непрерывность почти всюду 
На вещественной прямой обычно рассматривается простая линейная мера Лебега. Если функция  такова, что она непрерывна всюду на , кроме, быть может, множества меры нуль, то такая функция называется непрерывной почти всюду.

В том случае, когда множество точек разрыва функции не более чем счётно, мы получаем класс интегрируемых по Риману функций (см. критерий интегрируемости функции по Риману).

Примечания

Литература 
 

Математический анализ
Типы функций