Нормальная подгруппа
Норма́льная подгру́ппа (также инвариа́нтная подгру́ппа или нормальный делитель) — подгруппа особого типа, левый и правый смежные классы по которой совпадают.
Такие группы важны, поскольку позволяют строить факторгруппу.

Определения 
Подгруппа  группы  называется нормальной, если она инвариантна относительно сопряжений, то есть для любого элемента  из  и любого  из  элемент  лежит в :

  

Следующие условия нормальности подгруппы эквивалентны:

 Для любого  из  .
 Для любого  из  .
 Множества левых и правых смежных классов  в  совпадают.
 Для любого  из  .
  изоморфна объединению классов сопряжённых элементов.
Условие (1) логически слабее, чем (2), а условие (3) логически слабее, чем (4). Поэтому условия (1) и (3) часто используются при доказательстве нормальности подгруппы, а условия (2) и (4) используются для доказательства следствий нормальности.

Примеры 
  и  — всегда нормальные подгруппы . Они называются тривиальными. Если других нормальных подгрупп нет, то группа  называется простой.

 Центр группы — нормальная подгруппа.

 Коммутант группы — нормальная подгруппа.

 Любая характеристическая подгруппа нормальна, так как сопряжение — это всегда автоморфизм.

 Все подгруппы  абелевой группы  нормальны, так как . Неабелева группа, у которой любая подгруппа нормальна, называется гамильтоновой.

 Группа параллельных переносов в пространстве любой размерности — нормальная подгруппа евклидовой группы; например, в трёхмерном пространстве поворот, сдвиг и поворот в обратную сторону приводит к простому сдвигу.

 В группе кубика Рубика подгруппа, состоящая из операций, действующих только на угловые элементы, нормальна, так как никакое сопряжённое преобразование не заставит такую операцию действовать на краевой, а не угловой элемент. Напротив, подгруппа, состоящая лишь из поворотов верхней грани, не нормальна, так как сопряжения позволяют переместить части верхней грани вниз.

Свойства 
 Нормальность сохраняется при сюръективных гомоморфизмах и взятии обратных образов.
 Ядро гомоморфизма — нормальная подгруппа.
 Нормальность сохраняется при построении прямого произведения.
 Нормальная подгруппа нормальной подгруппы не обязана быть нормальной в группе, то есть нормальность не транзитивна. Однако характеристическая подгруппа нормальной подгруппы нормальна.
 Каждая подгруппа индекса 2 нормальна. Если  — наименьший простой делитель порядка , то любая подгруппа индекса  нормальна.
 Если  — нормальная подгруппа в , то на множестве левых (правых) смежных классов  можно ввести групповую структуру по правилу
 
 Полученное множество называется факторгруппой  по .
  нормальна тогда и только тогда, когда она тривиально действует на левых смежных классах .
 Каждая нормальная подгруппа является квазинормальной

Исторические факты 
Эварист Галуа первым понял важность нормальных подгрупп.

Ссылки 
 Винберг Э. Б. Курс алгебры — :Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
 

Свойства подгрупп