Теорема о бабочке
Теорема о бабочке — классическая теорема планиметрии.

История
Опубликована в 1803 году Уильямом Уоллесом в английском журнале .
Позднее еще не раз переоткрывалась.

Формулировка

Пусть через точку М, являющуюся серединой хорды PQ некоторой окружности, проведены две произвольные хорды АВ и CD той же окружности. Пусть хорды AD и ВС пересекают хорду PQ в точках X и Y. Тогда М является серединой отрезка XY.

Замечания 
Верна и обратная теорема о бабочке:
Пусть через точку М внутри некоторой окружности проведены две произвольные хорды АВ и CD. Пусть хорды AD и ВС пересекают произвольную хорду PQ в точках X и Y. Тогда если М является серединой отрезка XY, то она одновременно является серединой хорды PQ.

О доказательствах 

Теорема о бабочке имеет большое число различных доказательств, как в рамках элементарной геометрии, так и использующих методы, выходящие за её пределы.
В частности, в проективной модели плоскости Лобачевского, треугольник  центрально симметричен  и отсюда легко следует теорема.

 При помощи проецирования двойных отношений: Рассмотрим двойное отношение точек , и спроецируем его на окружность из точки . Точки  и  перейдут сами в себя, так как принадлежат окружности, а точки  и  перейдут в точки  и  соответственно. Получаем  (последнее следует трактовать как двойное отношение точек на комплексной плоскости). Проецируем обратно на прямую  с центром в точке , получаем . Распишем двойное отношение по определению, получим необходимое равенство.
 Используется также метод инверсии

Вариации и обобщения 

 Обобщение Шарыгина: Пусть на окружности дана хорда AB, на ней — точки M и N, причём AM = BN. Через точки M и N проведены хорды PQ и RS, соответственно. Прямые QS и RP пересекают хорду AB в точках K и L, тогда AK = BL.

Ссылки

Примечания 

Планиметрия
Теоремы планиметрии