Выпуклая оболочка
Выпуклой оболочкой множества  называется наименьшее выпуклое множество, содержащее .
«Наименьшее множество» здесь означает наименьший элемент по отношению к вложению множеств, то есть такое выпуклое множество, содержащее данную фигуру, что оно содержится в любом другом выпуклом множестве, содержащем данную фигуру.

Обычно выпуклая оболочка определяется для подмножеств векторного пространства над вещественными числами (в частности в евклидовом пространстве) и на соответствующих аффинных пространствах.

Выпуклая оболочка множества  обычно обозначается .

Пример 

Представьте себе доску, в которую вбито — но не по самую шляпку — много гвоздей. Возьмите верёвку, свяжите на ней скользящую петлю (лассо) и набросьте её на доску, а потом затяните. Верёвка окружает все гвозди, но касается она только некоторых, самых внешних. В таком положении петля и окружённая ей область доски являются выпуклой оболочкой для всей группы гвоздей.

Свойства 
  — выпуклое множество тогда и только тогда, когда .
 Для произвольного подмножества линейного пространства  существует единственная выпуклая оболочка  — это пересечение всех выпуклых множеств, содержащих .
 При этом
 
 Более того, если размерность пространства равна  то верна следующая теорема Каратеодори:
 
 Выпуклой оболочкой конечного набора точек на плоскости является выпуклый плоский многоугольник (в вырожденных случаях — отрезок или точка), причём его вершины являются подмножеством исходного набора точек. Аналогичный факт верен и для конечного набора точек во многомерном пространстве.
 Выпуклая оболочка  равна пересечению всех полупространств, содержащих .
 Теорема Крейна — Мильмана. Выпуклый компакт  в локально выпуклом пространстве  совпадает с замыканием выпуклой оболочки множества своих крайних точек

Вариации и обобщения 

Выпуклой оболочкой функции f называют такую функцию , что
 ,

где epi f — надграфик функции f.

Стоит отметить связь понятия выпуклой оболочки функции с преобразованием Лежандра невыпуклых функций.
Пусть f * — преобразование Лежандра функции f. Тогда если  —собственная функция (принимает конечные значения на непустом множестве), то
 

 — выпуклое замыкание f, то есть функция, надграфик которой является замыканием надграфика f.

Сложность построения
Из теоремы о верхней границе вытекает, что выпуклая оболочка множества из  точек в пространстве размерности  может быть построена алгоритмом сложности  для двумерного и трёхмерного случая и алгоритмом сложности  в пространствах более высокой размерности.

См. также 

 Алгоритм быстрой оболочки
 Алгоритм Грэхема
 Алгоритм Джарвиса
 Алгоритм Киркпатрика
 Алгоритм Чена
 Выпуклость
 Лемма Шепли — Фолкмана
 Метод эластичной сети

Литература 
 Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — : Физматлит, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
 
 
 
 
 Г. Г. Магарил-Ильяев, В. М. Тихомиров. Выпуклый анализ и его приложения. Изд. 2-е, исправл. —М.: Едиториал УРСС. 2003. —176 с. —ISBN 5-354-0262-1.

Примечания 

Выпуклая геометрия
Выпуклые оболочки
Выпуклый анализ