Теорема Нэша — Кёйпера
Теорема Нэша — Кёйпера утверждает, что любое гладкое короткое вложение (или погружение) -мерного Риманова многообразия в Евклидово пространство  при  можно аппроксимировать -гладким изометрическим вложением (или соответственно погружением).

Формулировка

Термин «изометрическое вложение/погружение» здесь означает соответственно вложение/погружение, которое сохраняет длины кривых.

Более точно:

Пусть  есть Риманово многообразие и  есть короткое -гладкое вложение (или погружение) в Евклидово пространство  и . Тогда для любого  существует вложение (или соответственно погружение)  такое, что

  является -гладким,
 (изометричность) для любых двух касательных векторов  в касательном пространстве точки  мы имеем:
 
 (-близость)  для всех .

Этот результат является весьма контринтуитивным. В частности из него следует что любая замкнутая ориентированная поверхность может быть изометрично -вложена в произвольно малый трёхмерный шар.
Из формулы Гаусса следует, что такое вложение невозможно в классе -вложений.

История 

Теорема была доказана Нэшем в предположении  вместо  и приведена к настоящему виду Кёйпером с помощью нехитрого трюка.

Вариации обобщения 
 Теорема Нэша о регулярных вложениях
 Теорема Громова о складках утверждает, что для любого короткого отображения из -мерного риманова многообразия в  существует сколь угодно близкое (негладкое) отображение, сохраняющее длины кривых.

Литература 

 

Риманова (и псевдориманова) геометрия
Нэша — Кёйпера