Замкнутое множество
За́мкнутое мно́жество — подмножество  топологического пространства  с топологией , дополнение к которому открыто: .

Пустое множество  всегда замкнуто (и, в то же время, открыто). Отрезок  замкнут в стандартной топологии на вещественной прямой, так как его дополнение открыто. Множество  замкнуто в пространстве рациональных чисел , но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел .

Связанные определения

Замыкание множества  топологического пространства  — минимальное по включению замкнутое множество , содержащее . Множество замкнуто тогда и только тогда, когда совпадает со своим замыканием.

Важный подкласс замкнутых множеств образуют канонически замкнутые множества, каждое из которых является замыканием какого-либо открытого множества (и, следовательно, совпадает с замыканием своей внутренности). В каждом замкнутом множестве   содержится максимальное канонически замкнутое множество — им будет замыкание внутренности множества .

История

Замкнутые множества были введены Георгом Кантором в 1884 году.

Примечания

Литература 
 
 

Общая топология