Барицентрические координаты
Барицентри́ческие координа́ты — скалярные параметры, набор которых однозначно задаёт точку аффинного пространства (при условии, что в данном пространстве выбран некоторый точечный базис).

Точечный базис (иногда используется термин «базис барицентрических координат») в -мерном аффинном пространстве   представляет собой систему из -й точки ,  которые предполагаются аффинно независимыми  (т. е. не лежат в -мерном подпространстве рассматриваемого пространства).

Определение 

Пусть  есть произвольная точка в .  Каждая точка    может быть единственным образом представлена в виде барицентрической комбинации
 
барицентричность стоящей в правой части линейной комбинации точек означает, что действительные числа  (коэффициенты комбинации) удовлетворяют условию
 

Числа   и называются барицентрическими координатами точки .  Легко видеть, что барицентрические координаты не зависят от выбора .

Записанное выше равенство в символике барицентрического исчисления может быть переписано так:

Свойства 
 Барицентрические координаты аффинно инвариантны.
 Барицентрические координаты точек симплекса с вершинами в  неотрицательны и их сумма равна единице.
 Обращение в нуль барицентрической координаты  равносильно тому, что точка лежит на плоскости, содержащей грань симплекса, противоположную вершине . Это свойство позволяет рассматривать барицентрические координаты точек симплициального комплекса относительно всех его вершин.
 В барицентрических координатах изотомическое сопряжение двух точек внутри треугольника задаётся формулой . В связи с этим, барицентрические координаты часто бывают удобны при работе с изотомическим сопряжением.
Для точки , лежащей внутри треугольника , в качестве барицентрических координат можно взять площади треугольников .
Барицентрические координаты  тесно связаны с трилинейными координатами. А именно, если  — барицентрические координаты точки  относительно треугольника , а  — длины его сторон, то
 
её трилинейные координаты. Трилинейные координаты, как и барицентрические, определены с точностью до пропорциональности.
Точка  является центром масс грузиков с массами , расположенных в точках .

История 
Барицентрические координаты введены Мёбиусом в 1827 г.

Примечания

Литература

См. также 
 Трилинейные координаты
 Аффинные преобразования
 Аффинное пространство

Аффинная геометрия
Системы координат