Бесконечное множество
Бесконе́чное мно́жество — множество, не являющееся конечным. Можно дать ещё несколько эквивалентных определений бесконечного множества:
 Множество, в котором для любого натурального числа  найдётся конечное подмножество из  элементов.
 Множество, в котором найдётся счётное подмножество.
 Множество, в котором найдётся подмножество, равномощное некоторому (ненулевому) предельному ординалу.
 Множество, для которого существует биекция с некоторым его собственным подмножеством.

Для любого бесконечного множества существует множество с ещё большей мощностью — таким образом, не существует бесконечного множества наибольшей мощности. Мощности бесконечных множеств называются алефами («алеф», א — первая буква еврейского алфавита) и обозначаются  где индекс  пробегает все порядковые числа. Мощности бесконечных множеств составляют вполне упорядоченный класс — наименьшей мощностью бесконечного множества является  (алеф-0, мощность множества натуральных чисел), за ним следуют

Примеры 
 Множества натуральных чисел  целых чисел  рациональных чисел  действительных чисел  комплексных чисел  — являются бесконечными множествами.
 Множество функций  является бесконечным.
 Упорядоченное бесконечное множество может иметь "концы" (минимальный и максимальный элементы) — например, множество рациональных чисел на отрезке 
 Совокупность всех бесконечных подмножеств счётного множества является несчётным бесконечным множеством.

См. также 
 Бесконечность
 Кардинальное число
 Аксиоматика теории множеств
 Теорема Кантора — Бернштейна
 Континуум
 Континуум-гипотеза

Теория множеств
Мощность множеств