Шары Данделена
Шары Данделена — сферы, участвующие в геометрическом построении, которое связывает планиметрическое определение эллипса, гиперболы и параболы через фокусы с их стереометрическим определением как сечения конуса.
Предложены Данделеном в 1822 году.

Описание 
Рассмотрим круговой конус, рассечённый плоскостью, не проходящей через центр конуса.
Рассмотрим две сферы, касающиеся поверхности конуса по окружностям  и  и касающиеся секущей плоскости в точках  и .
Такие сферы называют шарами Данделена.
В случае, когда сечение конуса — эллипс или гипербола, существует две таких сферы, а в случае параболы — только одна.

Если сфер две, то в случае эллипса обе расположены в том же конусе, одна — над секущей плоскостью, вторая — под ней; в случае гиперболы одна сфера расположена в данном конусе, вторая — в конусе, симметричном данному относительно вершины, обе — над секущей плоскостью (или по ту же сторону от секущей плоскости, что и ось конуса, если секущая плоскость параллельна оси конуса, но не содержит её).
Для параболы единственная сфера расположена в том же конусе над секущей плоскостью.

Из соображений симметрии ясно, что центры шаров лежат на оси конуса.
Построим шары Данделена в случае эллипса, в случаях параболы и гиперболы построение во многом сходно. Опустим перпендикуляр из вершины конуса на секущую плоскость и проведем прямую через его основание и точку пересечения оси конуса и секущей плоскости. Через верхнюю точку пересечения этой прямой и поверхности конуса проведем биссектрису угла между этой прямой и образующей конуса, проходящей через эту точку. Через эту же точку проведём вторую биссектрису — угла, смежного указанному. Эти две биссектрисы пересекут ось конуса в центрах двух шаров Данделена. Осталось провести две сферы с центрами в этих двух точках и радиусом, равным расстоянию от центра до образующей.

Применение к построению сечений 

Если взять произвольную точку  на линии пересечения конуса и плоскости  и провести через неё образующую конуса, которая пересекается с окружностями  и  в точках  и , то при перемещении точки , точки  и  будут перемещаться по окружностям  и  с сохранением расстояния .

Так как  и  — отрезки двух касательных к сфере из одной точки , то  и, аналогично, .

Таким образом точки на линии пересечения
 имеют постоянную сумму  и значит, что множество возможных точек  — это есть эллипс, а точки  и  — его фокусы.
 или имеют постоянную разницу  и значит, что множество возможных точек  — это есть гипербола, а точки  и  — её фокусы.

Плоскость  пересекает плоскости, в которых лежат окружности  и  по прямым, являющимся директрисами конического сечения. Свойство директрисы таково, что для всех точек, лежащих на линии пересечения конуса и плоскости  отношение расстояний от точки до директрисы и до соответствующего ей фокуса одинаково. Действительно, пусть  лежит на линии пересечения,  - плоскость окружности . Пусть плоскости  и  пересекаются по прямой ,  - перпендикуляр из  на ,  - перпендикуляр из  на . Нетрудно заметить, что , где   — угол между плоскостями  и . , где   — угол между осью конуса и его образующей.
Перемножив два отношения, получим, что , то есть величина, не зависящая от выбора точки .
Величина  , обратная ей, называется эксцентриситетом коники. (Другому фокусу соответствует другая директриса, образуемая пересечением секущей плоскости и плоскости окружности .)
В случае, когда секущая плоскость параллельна некоторой образующей, , откуда , то есть .
Это соответствует стандартному определению параболы как геометрического места точек, равноудалённых от заданных точки (фокуса) и прямой (директрисы).

Примечания

Литература 
 Dandelin G. Mémoire sur l’hyperboloïde de révolution, et sur les hexagones de Pascal et de M. Brianchon // Nouveaux mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles, T. III., 1826 (pp. 3-16).
 
 
 

 
 
 
 Ф. Нилов.  Лекция на Малом мехмате МГУ, 2011 г.

Ссылки 

Конические сечения
Стереометрия