Разбиение единицы
Разбиение единицы — конструкция, используемая в топологии для удобства работы с многообразием как с множеством карт.

С помощью разбиения единицы определяется, в частности, интеграл от дифференциальной формы на многообразии.

Конструкция 
Пусть дано открытое покрытие топологического пространства  открытыми множествами .
Разбиением единицы, подчиненным покрытию , называется набор неотрицательных непрерывных вещественных функций  на , обладающих следующими свойствами:
 
 Носитель каждой из функций  целиком содержится в одном из множеств .
 Для любой точки  имеем  (то есть при любом  для не более, чем счётного множества функций  отлично от нуля и ряд , где  сходится к 1. Этот ряд абсолютно сходится, поэтому сумма ряда не зависит от порядка членов). 
Если для любой точки  существует окрестность , такая что пересечение  непусто не более чем для конечного числа индексов , то  такое разбиение единицы называется локально конечным.

Свойства 
 Для всякого открытого покрытия паракомпактного пространства существует подчинённое ему локально конечное разбиение единицы. Обратно, если для всякого открытого покрытия  -пространства существует подчинённое ему разбиение единицы, то это пространство паракомпактно.
 Для всякого открытого покрытия -многообразия, существует подчинённое покрытию конечное или счётное локально конечное разбиение единицы, состоящее из функций класса .

Литература 

Топология
Общая топология
Дифференциальная геометрия и топология