Теорема Барбье
Теорема Барбье́ — теорема французского астронома и математика , описывающая длину кривых постоянной ширины. Сформулирована и доказана Барбье в 1860 году.

Формулировка   

Длина любой кривой постоянной ширины  равна .

Доказательства  
Существует несколько доказательств теоремы Барбье:

 Основанное на методах выпуклой геометрии. С одной стороны, выпуклая фигура является фигурой постоянной ширины , тогда и только тогда, когда сумма Минковского её и её образа при центральной симметрии оказывается кругом радиуса . С другой стороны, при сумме по Минковскому плоских выпуклых фигур их периметры складываются, периметр фигуры постоянной ширины равен половине периметра круга радиуса , то есть .

 Основанное на теории вероятностей или формуле Крофтона. Барбье доказал теорему, обобщающую известный ответ в задаче Бюффона о бросании иглы. Он показал, что при бросании выпуклой фигуры на плоскость, расчерченную линиями на расстоянии  друг от друга, если фигура не может пересечь более одной из этих линий, то вероятность, что фигура пересечёт одну из линий, оказывается равной , где  — периметр этой фигуры. Поскольку фигура постоянной ширины  удовлетворяет условию этой теоремы для , а вероятность пересечения в этом случае равна единице, её периметр должен равняться .

Вариации и обобщения 
 Теорема Барбье также выполняется для фигур постоянной ширины в плоскости Минковского.
 Формула Крофтона

Примечания

Литература 
 
 
  
 

Барбье
Евклидова геометрия
Выпуклая геометрия