Открытое множество
Откры́тое мно́жество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью (в метрических пространствах и, в частности, на числовой прямой). Например, внутренность шара (без границы) является открытым множеством, а шар вместе с границей — не является открытым.

Термин «открытое множество» применяется к подмножествам топологических пространств и в этом случае никак не характеризует «само» множество (ни в смысле теории множеств, ни даже в смысле индуцированной на нём топологической структуры).
Открытое множество является фундаментальным понятием общей топологии.

Евклидово пространство 
Пусть  есть некоторое подмножество евклидова пространства. Тогда  называется открытым, если  такое что , где  — ε-окрестность точки 

Иными словами, множество открыто, если любая его точка является внутренней.

Например, интервал  как подмножество действительной прямой является открытым множеством. В то же время отрезок  или полуинтервал  не являются открытыми, так как точка  принадлежит множеству, но ни одна её окрестность в этом множестве не содержится.

Метрическое пространство 

Пусть  — некоторое метрическое пространство, и . Тогда  называется открытым, если  такое что , где  — ε-окрестность точки  относительно метрики . Другими словами, множество  в метрическом пространстве  называется открытым множеством, если каждая точка  множества  входит в это множество вместе с некоторым открытым шаром с центром в точке .

Топологическое пространство 
Обобщением приведённых выше определений является понятие открытого множества из общей топологии.

Топологическое пространство  по определению содержит «перечень» своих открытых подмножеств  — «топологию», определённую на . Подмножество , такое, что оно является элементом топологии (то есть ), называется открытым множеством относительно топологии .

Важный подкласс открытых множеств образуют канонически открытые множества, каждое из которых является внутренностью (открытым ядром) какого-либо замкнутого множества (и, следовательно, совпадает с внутренностью своего замыкания). Всякое открытое множество   содержится в наименьшем канонически открытом множестве — им будет внутренность замыкания множества  .

История

Открытые множества были введены Рене-Луи Бэром в 1899 году.

См. также 
 Замкнутое множество
 Граница подмножества

Примечания 

Функциональный анализ
Общая топология
Математический анализ