Среднее геометрическое
Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось. Более формально:
 

Среднее геометрическое двух чисел также называется их средним пропорциональным, поскольку среднее геометрическое  двух чисел  и  обладает следующим свойством: , то есть среднее геометрическое относится к первому числу так же, как второе число к среднему геометрическому.

Свойства 
 Так же, как и любое другое среднее значение, среднее геометрическое лежит между минимумом и максимумом из всех чисел:
 
 Среднее геометрическое двух чисел  является средним арифметическим-гармоническим этих чисел, то есть равно пределу двух последовательностей:
 
 Среднее геометрическое двух чисел равно среднему геометрическому их среднего арифметического и среднего гармонического.

Среднее геометрическое взвешенное 

Среднее геометрическое взвешенное набора вещественных чисел  с вещественными весами  определяется как

 

В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому.

В геометрии 

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Это даёт геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, и тогда высота, восстановленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину.

Расстояние до горизонта сферы есть среднее геометрическое между расстоянием до самой ближней точки сферы и расстоянием до самой дальней точки сферы.

Обобщения 
 Среднее геометрическое можно рассматривать как предел средних степенных  при .
 Среднее геометрическое является средним Колмогорова при .

Примечания

См. также 
 Геометрическая пропорция
 Геометрическая прогрессия
 Неравенство Швейцера

Средние величины