Астроида
Астро́ида (от  — звезда и  — вид, то есть звездообразная) — плоская кривая, описываемая точкой окружности радиуса , катящейся по внутренней стороне окружности радиуса . Иначе говоря, астроида — это гипоциклоида с модулем .

История 
Название кривой в форме «Astrois» предложил австрийский астроном Йозеф Иоганн фон Литров в 1838 г.

Уравнения 
Уравнение в декартовых прямоугольных координатах:
 

Параметрическое уравнение:
 

Астроида также является алгебраической кривой 1 рода (и шестого порядка). Уравнение в алгебраическом виде:

Свойства 

 Имеются четыре каспа. 
 Длина дуги от точки с 0 до 

 Длина всей кривой . 
 Радиус кривизны:

 Площадь, ограниченная кривой:

 Объём тела вращения относительно любой координатной оси:

 Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых. 
 Эволюта астроиды подобна ей, но вдвое больше неё и повёрнута относительно неё на 45°.
 Астроида (вытянутая вдоль оси) является эволютой эллипса. В этом случае параметрическое выражение имеет вид:
 
Неопределённый интеграл правой части последнего уравнения является интегралом от дифференциального бинома и равен
 
Это выражение полезно при вычислении площадей элементов фигуры.

Примечания

Литература 
 Савёлов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.
 

Алгебраические кривые