Линейно связное пространство
Лине́йно свя́зное простра́нство — это топологическое пространство, в котором любые две точки можно соединить непрерывной кривой.

Определения 
 Рассмотрим отрезок числовой прямой  с определённой на нём стандартной топологией вещественной прямой. Пусть также дано топологическое пространство  Тогда последнее называется линейно связным, если для любых двух точек  найдётся непрерывное отображение  такое, что
 
 Пусть дано подмножество . Тогда на нём естественным образом определяется топология , индуцированная . Если пространство  линейно связно, то подмножество  также называется линейно связным в .

Связанные определения 
 Каждое линейно связное подмножество пространства  содержится в некотором максимальном линейно связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются компонентами линейной связности пространства .
 Пространство, в котором каждая компонента линейной связности состоит из одной точки, называется вполне линейно несвязным (по аналогии с вполне несвязным пространством).
 Если существует база топологии пространства , состоящая из линейно связных открытых множеств, тогда топология пространства  и само пространство  (в этой топологии) называются локально линейно связными.

Примеры 

 Прямая, окружность, выпуклое подмножество евклидова пространства — примеры линейно связных пространств.
 Дополнение , где  — объединение не более чем счетного числа аффинных подпространств в  коразмерности 2 и больше.  
 Замыкание графика функции  при  — пример связного пространства, которое не является линейно связным. Это пространство имеет две компоненты линейной связности: график функции при x > 0, и отрезок  на оси ординат.
 Псевдодуга — пример связного, но вполне линейно несвязного пространства.

Свойства 
 Всякое линейно связное пространство связно. Обратное неверно.
 Конечное топологическое пространство линейно связно тогда и только тогда, когда оно связно.
 Непрерывный образ линейно связного пространства линейно связен.
 Если пространство  линейно связно и , то гомотопические группы  и  изоморфны, причем этот изоморфизм определяется однозначно с точностью до внутреннего автоморфизма .

Линейная связность на числовой прямой 
Будем считать, что , а  — стандартная топология числовой прямой. Тогда
 Подмножество  линейно связно тогда и только тогда, когда
 
 то есть любые две точки входят в него вместе с соединяющим их отрезком.
 Любое линейно связное подмножество числовой прямой является конечным или бесконечным открытым, полуоткрытым или замкнутым интервалом:
 
 Подмножество числовой прямой линейно связно тогда и только тогда, когда оно связно.

Обобщение 
Многомерным обобщением линейной связности является -связность (связность в размерности ). Пространство  называется связным в размерности , если любые два отображения -мерной сферы  в , где , гомотопны. В частности, -связность — это то же, что линейная связность, а -связность — то же, что односвязность.

Примечания

Литература 
 
 

Общая топология