Треугольник Паскаля
Треугольник Паскаля (арифметический треугольник) — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел.

История 

Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается в комментарии индийского математика X века  к трудам другого математика, Пингалы. Треугольник исследуется также Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя).

В Италии треугольник Паскаля иногда называют «треугольником Тартальи», поскольку Никколо Тарталья описал эту таблицу на сто лет раньше Паскаля. На титульном листе учебника арифметики, написанного в 1529 году Петером Апианом, астрономом из Ингольштадтского университета, также изображён треугольник Паскаля. А в 1665 году вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике», которая была специально посвящена данной таблице и по содержательности опережала своих предшественников.

Обозначения и свойства 
Биномиальные коэффициенты часто обозначаются  или  и читаются как «число сочетаний из  элементов по ».

 Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.
 В строке с номером n (нумерация начинается с 0):
 первое и последнее числа равны 1;
 второе и предпоследнее числа равны n;
 третье число равно треугольному числу , что также равно сумме номеров предшествующих строк;
 четвёртое число является тетраэдрическим;
 m-е число (при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту .
 Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n − 1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи:
 
 Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.
 Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна .
 Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n тогда и только тогда, когда n является простым числом (следствие теоремы Люка).
 Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n + 1, 3n + 2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.
 Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

Цитаты

См. также 
 Треугольник Серпинского
 Гипотеза Сингмастера
 Треугольник Хосойя

Примечания

Литература

Ссылки 
 
 Построение треугольника Паскаля

Комбинаторика
Блез Паскаль