Теорема о равномерной непрерывности
Теорема о равномерной непрерывности или Теоре́ма Ка́нтора — Ге́йне говорит, что непрерывная функция, определённая на компакте, равномерно непрерывна на нём.

Формулировка 

Пусть даны два метрических пространства  и  Пусть также дано компактное подмножество  и определённая на нём непрерывная функция  Тогда  равномерно непрерывна на

Замечания

 В частности, непрерывная вещественнозначная функция, определённая на отрезке,  равномерно непрерывна на нём.

 В условиях теоремы компакт нельзя заменить на произвольное открытое множество. Например, функция
 
непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной.

История

Определение равномерной непрерывности появляется в работе Гейне.
Через два года он публикует доказательство теоремы для функций определённых на замкнутом ограниченном интервале.
В этих работах, он не претендует на оригинальность и его доказательство практически повторяет доказательство Дирихле опубликованное им в его лекциях 1854 года.

Основной вклад, по-видимому, принадлежит Больцано.

Литература

Теоремы математического анализа