Подгруппа
Подгруппа ― подмножество  группы , само являющееся группой относительно группового умножения на .

Подмножество  группы  является её подгруппой тогда и только тогда, когда:
  содержит единичный элемент из 
 содержит произведение любых двух элементов из ,
 содержит вместе со всяким своим элементом  обратный к нему элемент .

В случае конечных и, вообще, периодических групп третье условие является следствием первых двух.

Примеры 
 Подмножество группы , состоящее из одного элемента , будет, очевидно, подгруппой, и эта подгруппа называется единичной подгруппой группы .
 Сама  также является своей подгруппой.

Связанные определения 
 Всякая подгруппа, отличная от всей группы, называется истинной подгруппой этой группы. Истинная подгруппа некоторой бесконечной группы может быть изоморфна самой группе.
 Сама группа  и единичная подгруппа называется несобственными подгруппами группы , все остальные ― собственными.
 Пересечение всех подгрупп группы , содержащих все элементы некоторого непустого множества , называется подгруппой, порождённой множеством , и обозначается .
 Если  состоит из одного элемента , то  называется циклической подгруппой элемента .
 Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп, называется циклической группой.
 Если группа  изоморфна некоторой подгруппе  группы , то говорят, что группа  может быть вложена в группу .
 Если  — подгруппа группы , то для любого  подмножество

является подгруппой. При этом подгруппы  и  называются сопряжёнными.

Основные свойства 
 Пересечение подгрупп А и В также является подгруппой.
 Все подгруппы образуют полную решетку по включению, называемую решеткой подгрупп.
 Непустое множество  является подгруппой группы  тогда и только тогда, когда для любых  выполняется 
 Теоретико-множественное пересечение любых двух (и любого множества) подгрупп группы  является подгруппой группы .
 Теоретико-множественное объединение подгрупп, вообще говоря, не обязано являться подгруппой. Объединением подгрупп  и  называется подгруппа, порожденная объединением множеств .
 Гомоморфный образ подгрупп ― подгруппа.
 Если даны две группы и каждая из них изоморфна некоторой истинной подгруппе другой, то отсюда ещё не следует изоморфизм самих этих групп.

Смежные классы 
Для подгруппы  и некоторого элемента  , определяется левый смежный класс . Количество левых смежных классов подгруппы  называется индексом подгруппы  в  и обозначается . Аналогично можно определить правые классы смежности .

Если левые и правые классы смежности подгруппы совпадают, то она называется нормальной. Это свойство даёт возможность построить факторгруппу  группы  по нормальной подгруппе .

Литература 
 
 

Теория групп