Теорема Хана — Банаха
Теоре́мой Ха́на — Ба́наха называют несколько связанных между собой классических результатов функционального анализа, в частности
Теорему о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты; 
Теорему о разделении выпуклых множеств;
Теорему о непрерывном или положительном продолжении линейного функционала.

Теорема о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты 

Легко показать, что одной лишь положительной однородности (такая ошибочная формулировка приведена в Математической энциклопедии) или субаддитивности функционала  для справедливости этой теоремы недостаточно.

Контрпример для положительно однородного функционала: , , .

Широко известны различные варианты теоремы о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты для линейных пространств над полем комплексных чисел, когда  — полунорма.

Теорема о непрерывном продолжении линейного функционала 

Из этих теорем вытекает много важных следствий. Одно из них:

Доказательство 
Сначала докажем, что существует продолжение в одном направлении. Пусть . Рассмотрим линейное пространство вида:

 
Продолжение  на  запишем:
 

где  — вещественное число, которое необходимо определить.
Для произвольных  и  выполняется:
 

 

 

 

Отсюда
 
Как следствие
 

Определим  так
 

Выполняется равенство
 .

Определим
 
Для всех  и произвольных  выполняется неравенство:

 

поэтому
 

Для завершения доказательства используем лемму Цорна. Пусть  является множеством всех возможных продолжений, удовлетворяющих условия теоремы. Данное множество является частично упорядоченным из-за включения областей определения, и каждое линейно упорядоченное подмножество имеет супремум (объединение областей определения). Поэтому по лемме Цорна данное множество имеет максимальный элемент. Данный элемент равен всему пространству, иначе в противном случае можно осуществить дальнейшее продолжение воспользовавшись только определенной конструкцией.

См. также 
 Выпуклый функционал
 Банаховы пределы

Литература 
 Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с.
 Пугачев В. С. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996. 744 с.
 Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 358 c.
 Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.
 Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.

Примечания 

Функциональный анализ
Хана — Банаха