Формула конечных приращений
Формула конечных приращений, или теорема Лагра́нжа о среднем значении, утверждает, что если функция  непрерывна на отрезке  и дифференцируема в интервале , то найдётся такая точка , что
 .
Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке  найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

Механическое истолкование:
Пусть  — расстояние точки в момент  от начального положения.
Тогда  есть путь, пройденный с момента  до момента ,
отношение  — средняя скорость за этот промежуток.
Значит, если скорость тела определена в любой момент времени ,
то в некоторый момент она будет равна своему среднему значению на этом участке.

Конечные и бесконечно малые приращения 
Название «конечные приращение» объясняется тем фактом, что, если в формуле , левую часть обозначить как , а в правой части фактор  обозначить через , то мы получим формулу в представлении:
 
что в свою очередь уже очень похоже на определение дифференциала:
 
с той лишь разницей, что в формуле конечных приращений у нас дана формула нахождения истинного приращения , но через производную  в точке , которая находится где-то между  и . Если же в формуле  устремить  к нулю, то в пределе мы получим .

Приложения 
 Теорема Лагранжа иногда может быть применена при раскрытии неопределённостей для нахождения пределов.

Вариации и обобщения 
Теорема Лагранжа о конечных приращениях — одна из самых важных, узловая теорема во всей системе дифференциального исчисления. Она имеет массу приложений в вычислительной математике, и главнейшие теоремы математического анализа также являются её следствиями.

 Дифференцируемая на отрезке функция с производной, равной нулю, есть константа.

Доказательство. Для любых  и  существует точка , такая что .

Значит, при всех  и  верно равенство .

Замечание. Аналогично доказывается следующий важный критерий монотонности для дифференцируемых функций: Дифференцируемая функция  возрастает/убывает на отрезке  тогда и только тогда, когда её производная  на этом отрезке неотрицательна/неположительна. При этом строгая положительность/отрицательность производной влечёт строгую монотонность функции .

 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа). Если функция  дифференцируема  раз в окрестности точки , то для малых  (то есть тех, для которых отрезок  лежит в указанной окрестности) справедлива формула Тейлора:

 

где  — некоторое число из интервала .

Замечание. Данное следствие является в то же время и обобщением. При  из него получается сама теорема Лагранжа о конечных приращениях.

 Если функция  переменных  дважды дифференцируема в окрестности точки О и все её вторые смешанные производные непрерывны в точке О, тогда в этой точке справедливо равенство:

Доказательство для . Зафиксируем значения  и  и рассмотрим разностные операторы

  и .

По теореме Лагранжа существуют числа , такие что

 

при  в силу непрерывности вторых производных функции .

Аналогично доказывается, что .

Но так как , (что проверяется непосредственно), то эти пределы совпадают.

Замечание. Следствием этой формулы является тождество  для оператора внешнего дифференциала, определённого на дифференциальных формах.

 Формула Ньютона — Лейбница. Если функция  дифференцируема на отрезке  и её производная интегрируема по Риману на этом отрезке, то справедлива формула: .

Доказательство. Пусть  — произвольное разбиение  отрезка . Применяя теорему Лагранжа, на каждом из отрезков  найдём точку  такую, что .

Суммируя эти равенства, получим: 

Слева стоит интегральная сумма Римана для интеграла  и заданного отмеченного разбиения. Переходя к пределу по диаметру разбиения, получим формулу Ньютона-Лейбница.

Замечание. Следствием (и обобщением) формулы Ньютона-Лейбница является формула Стокса, а следствием формулы Стокса является интегральная теорема Коши — основная теорема теории аналитических функций (ТФКП).

 Теорема об оценке конечных приращений. Пусть отображение  непрерывно дифференцируемо в выпуклой компактной области  пространства . Тогда .

Замечание. Без использования теоремы об оценке конечных приращений не обходятся доказательства таких теорем, как теорема об обратном отображении, теорема о неявной функции, теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Примечания

См. также 
 Лагранж, Жозеф Луи
 Теорема Коши — расширенный вариант этой теоремы.

Дифференциальное исчисление
Конечных приращений