Подмножество
В математике говорят, что множество  есть подмно́жество множества , если все элементы первого множества являются и элементами второго множества.

Определение 
Множество  называется подмножеством множества , если все элементы, принадлежащие , также принадлежат . Формальное определение:
 

Существует две системы символических обозначений для подмножеств:

Обе системы обозначений предусмотрены стандартом ISO 31-11, но используют символ  в разных смыслах, что может привести к путанице. В данной статье мы будем использовать последнюю систему обозначений.

Множество  называется  множества , если  является подмножеством множества .

То, что  является надмножеством множества , записывают , то есть

Множество всех подмножеств множества  обозначается .

Множества  и  называются равными , только когда они состоят из одних и тех же элементов, то есть  и .

Собственное и несобственное подмножество 
Любое множество  среди своих подмножеств содержит само себя и пустое множество. Само множество  и пустое множество называют несобственными подмножествами, остальные подмножества называют собственными.

То есть, если мы хотим исключить само  и пустое множество из рассмотрения, мы пользуемся понятием со́бственного подмножества, которое определяется так:
 множество  является собственным подмножеством множества , только если  и , .

Зарубежная литература 
В зарубежной литературе несобственные подмножества в вышеуказанном смысле (само множество B и пустое множество) называют тривиальными, а собственные — нетривиальными, а термин «собственное подмножество» (proper subset) применяется в значении «строгое включение A в B» или «подмножество A, строго входящее в множество B, то есть такое, которому не принадлежит как минимум один элемент множества B», то есть здесь понятие «собственное подмножество» уже, наоборот, включает пустое множество.

В этом случае, если вдобавок нужно исключить из рассмотрения пустое множество, нужно использовать понятие нетривиа́льного подмножества, которое определяется так:

 множество  является нетривиальным подмножеством множества , если  является собственным подмножеством (proper subset)  и .

Примеры 
 Множества  являются подмножествами множества 
 Множества  являются тривиальными (несобственными) подмножествами множества  все остальные подмножества из элементов множества — нетривиальными или собственными.
 Множества  являются подмножествами множества 
 Пусть  Тогда 
 Пусть . Тогда  а также  (то есть C не является ни строгим, ни нестрогим подмножеством A).

Свойства 
Отношение подмножества обладает целым рядом свойств.
 Отношение подмножества является отношением частичного порядка:
 Отношение подмножества рефлексивно:
 
 Отношение подмножества антисимметрично:
 
 Отношение подмножества транзитивно:
 
 Пустое множество является подмножеством любого другого, поэтому оно является наименьшим множеством относительно отношения подмножества:
 
 Для любых трёх множеств ,  и  таких, что , равносильны все следующие утверждения:

Подмножества конечных множеств 
Если исходное множество конечно, то у него существует конечное количество подмножеств. А именно, у -элементного множества существует  подмножеств (включая пустое). Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что каждый элемент может либо входить, либо не входить в подмножество, а значит, общее количество подмножеств будет -кратным произведением двоек. Если же рассматривать только подмножества -элементного множества из  элементов, то их количество выражается биномиальным коэффициентом . Для проверки этого факта можно выбирать элементы подмножества последовательно. Первый элемент можно выбрать  способами, второй  способом, и так далее, и, наконец, -й элемент можно выбрать  способом. Таким образом мы получим последовательность из  элементов, и ровно  таким последовательностям соответствует одно подмножество. Значит, всего найдётся  таких подмножеств.

Примечания

Литература

Ссылки 
 

Теория множеств