Интегральный оператор Фредгольма
Интегра́льный опера́тор Фредго́льма — вполне непрерывный линейный интегральный оператор вида
 
отображающий одно пространство функций в другое. Здесь  — область в евклидовом пространстве ,  — функция, заданная на декартовом квадрате , называемая ядром интегрального оператора. Для вполне непрерывности оператора  на ядро  накладываются дополнительные ограничения. Чаще всего рассматривают непрерывные ядра, -ядра, а также полярные ядра. Интегральный оператор Фредгольма и его свойства используются при решении интегрального уравнения Фредгольма.

Свойства

Линейность 
Интегральный оператор Фредгольма является линейным, то есть .

Непрерывность 
Интегральный оператор с непрерывным на  ядром , переводит  в  (и, следовательно,  в  и  в ) и ограничен (непрерывен), причём
 
 
 
где
 .

Интегральный оператор с -ядром:
 
переводит  в , непрерывен и удовлетворяет оценке:
 

Существуют условия непрерывности интегральных операторов из  в .

Вполне непрерывность 
Интегральный оператор с непрерывным ядром  является вполне непрерывным из  в , то есть переводит любое множество, ограниченное в , в множество, предкомпактное в . Вполне непрерывные операторы замечательны тем, что для них справедлива альтернатива Фредгольма. Интегральный оператор с непрерывным ядром является пределом последовательности конечномерных операторов с вырожденными ядрами. Аналогичные утверждения справедливы для интегрального оператора с -ядром.

Существуют также более слабые достаточные условия вполне непрерывности (компактности) интегрального оператора из  в .

Сопряжённый оператор 
Сопряжённый оператор к оператору  с -ядром в гильбертовом пространстве  имеет вид
 
Если , то интегральный оператор Фредгольма  является самосопряжённым

Обратный оператор 
При достаточно малых значениях  оператор  (где  — единичный оператор) имеет обратный вида
, где  — интегральный оператор Фредгольма с ядром  — резольвентой ядра .

См. также 
 Интегральное уравнение Фредгольма
 Ядро интегрального уравнения
 Теория Фредгольма
 Альтернатива Фредгольма
 Компактный оператор

Примечания

Литература 
  
 
 
 
 

Интегральные уравнения
Теория Фредгольма
Теория операторов