Неравенство треугольника
Нера́венство треуго́льника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния.
Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух его других сторон (или равносильная формулировка — длина наибольшей стороны меньше суммы длин двух других сторон).

Евклидова геометрия 

Неравенство
 
выполняется в любом треугольнике .
Причём равенство  достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка  лежит строго между  и .

Евклид в Началах доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из неё выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника.

Нормированное пространство 
Пусть  — нормированное векторное пространство, где  — произвольное множество, а  — определённая на  норма. Тогда по определению последней справедливо:

Гильбертово пространство 
В гильбертовом пространстве, неравенство треугольника является следствием неравенства Коши — Буняковского.

Метрическое пространство 
Пусть  — метрическое пространство, где  — произвольное множество, а  — определённая на  метрика. Тогда по определению последней

Вариации и обобщения 
  Сильное неравенство треугольника

Обратное неравенство треугольника 
Следствием неравенства треугольника в нормированном и метрическом пространствах являются следующие неравенства:

Неравенство треугольника для трёхгранного угла 

Каждый плоский угол выпуклого трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

Произвольное число точек 
Обозначим  расстояние между точками  и . Тогда имеет место следующее неравенство: . Оно получается последовательным применением неравенства треугольника для трех точек:

См. также 
 Неравенство четырёхугольника
 Теорема о внешнем угле треугольника

Примечания 

Метрическая геометрия
Евклидова геометрия
Т
Неравенства