Частичный предел последовательности
Частичный предел некоторой последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей, если только он существует. Для сходящихся числовых последовательностей частичный предел совпадает с обычным пределом в силу единственности последнего, однако в самом общем случае у произвольной последовательности может быть от нуля до бесконечного числа различных частичных пределов. При этом, если обычный предел характеризует точку, к которой элементы последовательности приближаются с ростом номера, то частичные пределы характеризуют точки, вблизи которых лежит бесконечно много элементов последовательности.

Два важных частных случая частичного предела — верхний и нижний пределы.

Определения 
Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. В противном случае, говорят, что у последовательности нет частичных пределов. В некоторой литературе в случаях, если из последовательности удаётся выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой одновременно положительны или отрицательны, её частичным пределом называют соответственно  или .

Нижний предел последовательности — это точная нижняя грань множества частичных пределов последовательности.

Верхний предел последовательности — это точная верхняя грань множества частичных пределов последовательности.

Иногда нижним пределом последовательности называют наименьшую из её предельных точек, а верхним — наибольшую.
Эти определения эквивалентны, так как точная грань множества предельных точек обязательно принадлежит этому множеству.

Обозначения 
Нижний предел последовательности :
  (в отечественной литературе);

  (в иностранной литературе).

Верхний предел последовательности :
  (в отечественной литературе);

  (в иностранной литературе).

Примеры 
 

 

 

  (в другой терминологии оба предела равны )

Свойства 
 Частичным пределом последовательности может быть только её предельная точка, и, наоборот, любая предельная точка последовательности представляет собой некоторый её частичный предел. Иными словами, понятия «частичный предел последовательности» и «предельная точка последовательности» эквивалентны.
 У любой ограниченной последовательности существуют и верхний, и нижний пределы (в множестве вещественных чисел). Если же считать  и  допустимыми значениями частичного предела, то верхний и нижний пределы существуют вообще у любой числовой последовательности.
 Числовая последовательность  сходится к  тогда и только тогда, когда .
 Для любого наперёд взятого положительного числа  все элементы ограниченной числовой последовательности , начиная с некоторого номера, зависящего от , лежат внутри интервала .
 Если за пределами интервала  лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности , то интервал  содержится в интервале .
Множество частичных пределов замкнуто.

Примечания

Комментарии

Источники 

Ряды и последовательности
Пределы