Сопряжённый оператор
Сопряжённый оператор — обобщение понятия эрмитово-сопряжённой матрицы для бесконечномерных пространств.

Линейная алгебра 
Преобразование  называется сопряжённым линейному преобразованию , если для любых векторов  и  выполнено равенство . У каждого преобразования существует единственное сопряжённое преобразование. Его матрица в базисе определяется по матрице преобразования формулой , если пространство евклидово, и формулой  в унитарном пространстве.  здесь обозначает матрицу Грама выбранного базиса. Если он ортонормированный, эти формулы принимают вид  и  соответственно.

Общее линейное пространство 
Пусть  — линейные пространства, а  — сопряжённые линейные пространства (пространства линейных функционалов, определённых на ). Тогда для любого линейного оператора  и любого линейного функционала  определён линейный функционал  — суперпозиция  и : . Отображение  называется сопряжённым линейным оператором и обозначается .

Если кратко, то , где  — действие функционала  на вектор .

Топологическое линейное пространство 
Пусть  — топологические линейные пространства, а  — сопряжённые топологические линейные пространства (пространства непрерывных линейных функционалов, определённых на ). Для любого непрерывного линейного оператора  и любого непрерывного линейного функционала  определён непрерывный линейный функционал  — суперпозиция  и : . Нетрудно проверить, что отображение  линейно и непрерывно. Оно называется сопряжённым оператором и обозначается также .

Банахово пространство 
Пусть  — непрерывный линейный оператор, действующий из банахова пространства  в банахово пространство  и пусть  — сопряжённые пространства. Обозначим . Если  — фиксировано, то  — линейный непрерывный функционал в . Таким образом, для  определён линейный непрерывный функционал из , поэтому определён оператор , такой что .

 называется сопряжённым оператором.
Аналогично можно определять сопряжённый оператор к линейному неограниченному оператору, но он будет определён не на всём пространстве.

Для  справедливы следующие свойства:
 Оператор  — линейный.
 Если  — линейный непрерывный оператор, то  также линейный непрерывный оператор.
 Пусть  — нулевой оператор, а  — единичный оператор. Тогда .
 .
 .
 .
 .

Гильбертово пространство 
В гильбертовом пространстве  теорема Рисса даёт отождествление пространства со своим сопряжённым, поэтому для оператора  равенство  определяет сопряжённый оператор . Здесь  — скалярное произведение в пространстве .

См. также 
 Эрмитов оператор

Примечания

Литература 
 
 
 
 
 
 
 Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.

Линейная алгебра
Теория операторов