Отношение эквивалентности
Отношение эквивалентности — бинарное отношение между элементами данного множества, 
свойства которого сходны со свойствами отношения равенства.

Определение 
Отношение эквивалентности () на множестве  — это бинарное отношение, для которого при любых  из  выполнены следующие условия:
 рефлексивность: ;
 симметричность: если , то ;
 транзитивность: если  и , то .

Запись вида «» читается как « эквивалентно ».

Связанные определения 
Классом эквивалентности  элемента  называется подмножество элементов, эквивалентных ; то есть, 
. 
Из вышеприведённого определения немедленно следует, что если , то .

Фактормножество — множество всех классов эквивалентности заданного множества  по заданному отношению , обозначается .

Для класса эквивалентности элемента  используются следующие обозначения: , , .

Множество классов эквивалентности по отношению  является разбиением множества.

Примеры 
 Равенство («»), тривиальное отношение эквивалентности на любом множестве, в частности, вещественных чисел.
 Сравнение по модулю:  а ≡ b (mod n).
 В евклидовой геометрии
 Отношение конгруэнтности («»).
 Отношение подобия («»).
 Отношение параллельности прямых («») (если считать каждую прямую параллельной самой себе).
 Эквивалентность функций в математическом анализе:
 Говорят, что функция  эквивалентна функции  при , если она допускает представление вида , где  при . В этом случае пишут , напоминая при необходимости, что речь идёт о сравнении функций при . Если  при , эквивалентность функций  и  при , очевидно, равносильна соотношению .
 Эквивалентность норм на векторном пространстве.
 Отношение равномощности множеств.
 Изоморфизм групп, колец, векторных пространств
 Эквивалентность категорий.
 Изоморфизм в некоторой категории задаёт отношение эквивалентности на этой категории.
 Эквивалентность гладких атласов гладкого многообразия.

Классы эквивалентности 
Множество всех классов эквивалентности, отвечающее отношению эквивалентности , обозначается символом  и называется фактормножеством относительно .
При этом сюръективное отображение
 
называется естественным отображением (или канонической проекцией)  на фактормножество .

Пусть  и  — множества,  — отображение, тогда бинарное отношение , определённое правилом
 ,
является отношением эквивалентности на .
При этом отображение  индуцирует отображение , определяемое правилом
 
или, что то же самое,
 .
При этом получается факторизация отображения  на сюръективное отображение  и инъективное отображение .

См. также 
 Отношение толерантности — ослабленная форма эквивалентности.
 Эквиваленция — логическая операция.
 Знак равенства.

Литература 
 А. И. Кострикин, Введение в алгебру. : Наука, 1977, 47—51.
 А. И. Мальцев, Алгебраические системы, : Наука, 1970, 23—30.
 

Математические отношения