Целое алгебраическое число
Целыми алгебраическими числами называются комплексные (и, в частности, вещественные) корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице.

По отношению к сложению и умножению комплексных чисел, целые алгебраические числа образуют кольцо .
Очевидно,  является подкольцом поля алгебраических чисел и содержит все обычные целые числа.

Пусть  — некоторое комплексное число. Рассмотрим кольцо , порождённое добавлением  к кольцу обычных целых чисел . Оно образовано всевозможными значениями , где  — многочлен с целыми коэффициентами. Тогда имеет место следующий критерий: число  является целым алгебраическим числом тогда и только тогда, когда  — конечнопорождённая абелева группа.

Примеры целых алгебраических чисел 
 Гауссовы целые числа.
 Корни из единицы — корни многочлена  над полем комплексных чисел.

Свойства 
 Все рациональные числа, входящие в , являются целыми числами. Другими словами, ни одна несократимая дробь  со знаменателем, большим единицы, целым алгебраическим числом быть не может.
 Для каждого алгебраического числа  существует натуральное число  такое, что  — целое алгебраическое число.
 Корень любой степени из целого алгебраического числа тоже является целым алгебраическим числом.

История 
Теорию целых алгебраических чисел создали в XIX веке Гаусс, Якоби, Дедекинд, Куммер и другие.
Интерес к ней был, в частности, вызван тем, что исторически эта структура оказалась первой в математике, где было обнаружено неоднозначное разложение на простые множители.
Классические примеры построил Куммер; скажем, в подкольце целых алгебраических чисел вида  имеют место 2 разложения:
 ,
причём в обоих случаях все множители — простые, то есть неразложимы в этом подкольце.

Исследование этой проблемы привело к открытию важных понятий идеала и простого идеала, в структуре которых разложение на простые множители стало возможным определить однозначно.

Литература 
 К. Айерлэнд, М. Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел. Перевод с английского С. П. Демушкина под редакцией А. Н. Паршина. М.: Мир, 1987, глава 6.
 Боревич З. И., Шафаревич И. P. Теория чисел. М.: Наука, 3-е изд., 1985.— 504 с.
 Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Мир, 1975, глава 17: Целые алгебраические элементы.
 Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел, пер. с нем., М. — Л., 1940.
 Гельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.
 Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел

Алгебра
Теория чисел
Алгебраические числа