Избыточные числа
Избы́точное число́ — положительное целое число n, сумма положительных собственных делителей (отличных от n) которого превышает n.

Любое натуральное число относится к одному из трёх классов:
 избыточные числа,
 совершенные числа,
 недостаточные числа.

Избыточные числа ():
 , , …

Число 48, например, является избыточным, поскольку  = 76, 76 > 48.

Наименьшим избыточным числом является . Наименьшим нечётным избыточным числом является .

Существует бесконечно много как чётных, так и нечётных избыточных чисел.
Более того, почти каждое четвёртое натуральное число является избыточным. Более точно, произвольно взятое натуральное число является избыточным с вероятностью (см. асимптотическая плотность), лежащей между 0,2474 и 0,2480.

Индексом избыточности называется величина , где  — сумма делителей числа (для совершенных чисел  .

Существуют числа со сколь угодно большим индексом избыточности. Последовательность  минимальных чисел , таких что  — последовательность A134716 в OEIS.

Советский математик Лев Шнирельман доказал, что любое натуральное число, большее , может быть представлено в виде суммы двух избыточных чисел.

См. также 
 
 Совершенное число
 Полусовершенное число
 Недостаточные числа
 Слегка избыточные числа (квазисовершенные числа)
 Слегка недостаточные числа
 Дружественные числа
 Магические числа (физика)

Целочисленные последовательности