Ядро Дирихле
Ядро Дирихле — -периодическая функция, задаваемая следующей формулой:

 

Функция названа в честь французско-немецкого математика Дирихле. Данная функция является ядром, свёртка с которым даёт частичную сумму тригонометрического ряда Фурье. Это позволяет аналитически оценивать соотношения между исходной функцией и её приближениями в пространстве .

Соотношение с рядом Фурье 
Пусть  — интегрируема на  и -периодическая, тогда 

Эта формула является одной из важнейших в теории рядов Фурье.

Доказательство 
Рассмотрим n-ную частичную сумму ряда Фурье.

Применяя формулу косинуса разности к выражению, стоящему под знаком суммы, получим:

Рассмотрим сумму косинусов: 

Умножим каждое слагаемое на  и преобразуем по формуле 

Применяя это преобразование к формуле (4), получим:

Сделаем замену переменного

Свойства ядра Дирихле 
  — функция -периодическая и четная.

Примечания

См. также 
 Сопряжённое ядро Дирихле
 Ядро Фейера
 Ядро Джексона

Математический анализ
Теория приближений