Декартов лист
Декартов лист — плоская алгебраическая кривая третьего порядка, удовлетворяющая уравнению в прямоугольной системе .
Параметр  определяется как диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде петли.

История 

Впервые уравнение кривой исследовал Р. Декарт в 1638 году, однако он построил только петлю в первом координатном угле, где  и  принимают положительные значения. Декарт полагал, что петля симметрично повторяется во всех четырёх координатных четвертях, в виде четырёх лепестков цветка. В то время эта кривая называлась цветком жасмина (, ).

В современном виде эту кривую впервые представил Х. Гюйгенс в 1692 году.

Уравнения 
 В прямоугольной системе по определению:
 

 В полярной системе:

 Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:
, где .

Часто рассматривают повёрнутую на  кривую. Её уравнения выглядят так:
 В прямоугольной системе:
 , где 

 Параметрическое:
 

 В полярных координатах:

Свойства 
 Прямая  — ось симметрии, её уравнение: .
 Точка A называется вершиной, её координаты .

 Для обеих ветвей существует асимптота , её уравнение: .

 Площадь области между дугами  и  

 Площадь области между асимптотой и кривой равна площади петли .

 Объём тела, образованного при вращении дуги  вокруг оси абсцисс

Исследование кривой 
При  имеем  или
, или
, то есть  .

Уравнение асимптоты UV определяется из выражения:
.

Производная 
Чтобы найти максимальное значение функции и уравнение касательной, вычислим производную функции: 

.
Приравниваем производную y' к нулю и решаем полученное уравнение относительно x. Получим:
. При этом значении x функция (2) имеет максимум на верхней дуге  — точка  и минимум на нижней дуге  — точка . Значение функции в этих точках равно:
.

Значение производной y’ в точке  равно , то есть касательные в точке  взаимно перпендикулярны и наклонены к оси абсцисс под углом .

См. также 
 Овал Декарта

Ссылки 

 

Алгебраические кривые
Рене Декарт