Теорема Уитни о вложении
Теорема Уитни о вложении — утверждение дифференциальной топологии, согласно которому произвольное гладкое -мерное многообразие со счётной базой допускает гладкое вложение в -мерное евклидово пространство. Установлено Хасслером Уитни в 1938 году.

Этот результат оптимален, например, если  — степень двойки, то -мерное проективное пространство
невозможно вложить в -мерное евклидово пространство.

Схема доказательства 
Случаи  и  устанавливаются напрямую.

Для доказательства случая  используется факт, что гладкое отображение общего положения  является погружением с конечным количеством точек трансверсального самопересечения. 

Избавиться от этих точек самопересечения можно, несколько раз применив трюк Уитни. 
Он состоит в следующем. Возьмем точки  самопересечения отображения , имеющие разные знаки. Возьмем точки , для которых  и . Соединим  и  гладкой кривой . Соединим  и  гладкой кривой . Тогда  есть замкнутая кривая в . Далее построим отображение  с границей . В общем положении,  является вложением и  (как раз здесь используется то, что ). Тогда можно изотопировать  в маленькой окрестности диска  так, чтобы эта пара точек самопересечения исчезла. В последнее утверждение легко поверить, представив картинку для  (в которой свойства диска оказались выполнены случайно, а не по общему положению).
Аккуратное доказательство приведено в пункте 22.1 книги Прасолова .

Приведем набросок другого способа избавиться от точек самопересечения отображения общего положения . Он основан на важной идее поглощения. (Иногда данное применение этой другой идеи ошибочно называют трюком Уитни.) Возьмем точку  самопересечения отображения . Возьмем точки , для которых . Соединим  и  гладкой кривой . Тогда  есть замкнутая кривая в . Далее построим отображение  с границей . В общем положении,  является вложением и  (как раз здесь  используется то, что ). Теперь можно изотопировать  в маленькой окрестности диска  так, чтобы эта точка самопересечения исчезла.
См. детали и обобщения в книге Рурке и Сандерсона  и параграфе 8 обзора Скопенкова .
Это рассуждение обычно проводят в кусочно-линейной категории.
В гладкой же категории (как здесь) для последней деформации нужно использовать теорему Хефлигера о незаузленности сфер (см. ).

Вариации и обобщения 
Пусть  есть гладкое -мерное многообразие, .
 Если  не является степенью двойки, тогда существует вложение  в 
  может быть погружено в 
 Более того  может быть погружено в , где  есть число единиц в двоичном представлении .
 Последний результат оптимален, для любого  можно построить -мерное многообразие (можно взять произведение вещественных проективных пространств), которое невозможно погрузить в .

См. также

Примечания

Литература 
Оревков С.Ю. Физическое доказательство теоремы Уитни о плоских кривых// Сборник "Математическое Просвещение".
Третья серия. 1997. Выпуск 1 . С. 96-102

Дифференциальная геометрия и топология
Уитни о вложении