L-функция Дирихле
L-функция Дирихле  — комплексная функция, заданная при  (при  в случае главного характера) формулой

 ,

где  — некоторый числовой характер (по модулю k). -функции Дирихле были введены для доказательства теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии, центральным моментом которого является доказательство неравенства  для неглавных характеров.

Произведение Эйлера для L-функций Дирихле 

В силу мультипликативности числового характера  -функция Дирихле представима в области  в виде эйлерова произведения по простым числам:

 .

Эта формула обуславливает многочисленные применения -функций в теории простых чисел.

Связь с дзета-функцией 

-функция Дирихле, соответствующая главному характеру по модулю k, связана с дзета-функцией Римана  формулой

 .

Эта формула позволяет доопределить  для области  c простым полюсом в точке .

Функциональное уравнение 

Аналогично функции Римана, -функция удовлетворяет похожему функциональному уравнению. 

Определим  следующим образом:
если  — гамма-функция,  — чётный характер, то 

Если  — нечётный характер, то 

Пусть также  — сумма Гаусса характера , а  для чётного  и  для нечётного . Тогда функциональное уравнение принимает вид:

См. также 
 Ряд Дирихле

Литература 

 
 

Аналитическая теория чисел
Дзета- и L-функции