Метрика Хаусдорфа
Метрика Хаусдорфа есть естественная метрика, определённая на множестве всех непустых компактных подмножеств метрического пространства.
Таким образом, она превращает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства в метрическое пространство.

По-видимому, первое упоминание этой метрики содержится в книге Феликса Хаусдорфа «Теория множеств», первое издание 1914 года.
Двумя годами позже, та же метрика описывается в книге Вильгельма Бляшке «Круг и шар»,
возможно независимо, так как не содержит ссылки на книгу Хаусдорфа.

Определение 
Пусть  и  суть два непустых компактных подмножества метрического пространства . Тогда расстояние по Хаусдорфу, , между  и  есть минимальное число  такое, что замкнутая -окрестность  содержит  и также замкнутая -окрестность  содержит .

Замечания

Другими словами, если  обозначает расстояние между точками  и  в  то
 

Эквивалентное определение:

где  обозначает функцию расстояния до множества .

Свойства 
Пусть  обозначает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства  с метрикой Хаусдорфа:
 Топология пространства  полностью определяется топологией .
 (Теорема выбора Бляшке)  компактно тогда и только тогда, когда компактно .
  полно тогда и только тогда, когда  полное.

Вариации и обобщения 
 Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех замкнутых подмножеств метрического пространства, в этом случае расстояние между некоторыми подмножествами может равняться бесконечности.
 Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех подмножеств метрического пространства. В этом случае она является только псевдометрикой и не является метрикой, так как «расстояние» между различными подмножествами может равняться нулю.
 В евклидовой геометрии, часто применяется метрика Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Пусть  и  два компактных подмножества евклидова пространства, тогда  определяется как минимум  по всем движениям евклидова пространства . Строго говоря, эта метрика на пространстве классов конгруэнтности компактных подмножеств евклидова пространства.
 Метрика Громова — Хаусдорфа аналогична метрике Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Она превращает множество (изометрических классов) компактных метрических пространств в метрическое пространство.

Литература 

 Скворцов В. А. Примеры метрических пространств // Библиотека «Математическое просвещение» . — 2001. — Выпуск 9.
 Хаусдорф «Теория множеств»

Метрическая геометрия