Ассоциативность (математика)
Ассоциати́вность (сочетательность) — свойство бинарной операции , заключающееся в возможности осуществлять последовательное применение формулы 
в произвольном порядке к элементам .

Термин ввёл Уильям Гамильтон в 1853 году.

Поскольку для ассоциативных операций результат выражения  не зависит от порядка применения, скобки при записи опускаются.
Для неассоциативной операции выражение
 при 
не определено без дополнительных соглашений о порядке применения.

Примеры ассоциативных операций:
 сложение комплексных чисел: 
 умножение комплексных чисел: 
 композиция функций: 

Примером неассоциативной операции является возведение в степень — результат выражения  напрямую зависит от расстановки скобок, в общем случае .

Не всякая коммутативная операция ассоциативна — существуют  с неассоциативной.

Ассоциативность играет важную роль в общей алгебре: в большинстве рассматриваемых структур бинарные операции ассоциативны (группы, кольца, поля, полурешётки и решётки). Теория полугрупп фактически исследует феномен ассоциативности общеалгебраическими методами. При этом особо рассматриваются и неассоциативные системы, а именно: квазигруппы, лупы, неассоциативные кольца, . Их изучение осложнено тем, что многие свойства ассоциативных систем для них не имеют места. Иногда проблемы переносимости свойств на неассоциативные структуры оказываются нетрививиальными (например, открыт вопрос о выполнении теоремы Лагранжа для конечных луп).

В информатике ассоциативность считается полезным свойством, в частности, позволяющим задействовать параллелизм для последовательных применений операции. В то же время многие практические операции (сложение и умножение при работе с числами с плавающей запятой) оказываются неассоциативными.

Свойство естественным образом обобщается на -арный случай: операция  называется ассоциативной, если для всех  имеет место тождество:
 .

Ослабленные варианты свойства ассоциативности — степенная ассоциативность, альтернативность,  — в них изменение очерёдности последовательного применения возможно только для ограниченного набора случаев.

Литература 
 
 

Бинарные операции
Свойства операций