Числа Каталана
Числа Катала́на — числовая последовательность, встречающаяся во многих задачах комбинаторики.

Последовательность названа в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана, хотя была известна ещё Леонарду Эйлеру.

Числа Каталана  для  образуют последовательность:
 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, … ()

Определения 
n-е число Каталана  можно определить несколькими эквивалентными способами, такими как:

 Количество разбиений выпуклого (n+2)-угольника на треугольники непересекающимися диагоналями.
 Количество способов соединения 2n точек на окружности n непересекающимися хордами.
 Количество правильных скобочных последовательностей длины 2n, то есть таких последовательностей из n левых и n правых скобок, в которых количество открывающих скобок равно количеству закрывающих, и в любом её префиксе открывающих скобок не меньше, чем закрывающих.
 Например, для n = 3 существует 5 таких последовательностей:
  ((())), ()(()), ()()(), (())(), (()()) 
 
 то есть .

 Количество кортежей  из n натуральных чисел, таких, что  и  при .
 Количество неизоморфных упорядоченных бинарных деревьев с корнем и n + 1 листьями.
 Количество всевозможных способов линеаризации декартова произведения 2 линейных упорядоченных множеств: из 2 и из n элементов.
 Количество путей Дика из точки(0,0) в точку (n, n).

Свойства 
 Числа Каталана удовлетворяют рекуррентному соотношению:
  и  для .
 Это соотношение легко получается из того, что любая непустая правильная скобочная последовательность однозначно представима в виде w = (w1)w2, где w1, w2 — правильные скобочные последовательности.

 Есть ещё одно рекуррентное соотношение:

  и .

 Ещё одна рекуррентная формула:

  и . Если положить , то получается удобная для вычислений рекурсия , .
 Отсюда следует: .

 Также существует более простое рекуррентное соотношение:
  и .

 Производящая функция чисел Каталана равна:
 

 Числа Каталана можно выразить через биномиальные коэффициенты:
 
 Другими словами, число Каталана  равно разности центрального биномиального коэффициента и соседнего с ним в той же строке треугольника Паскаля.

 Асимптотически

См. также 
 Размещение
 Сочетание
 Перестановка

Примечания

Ссылки 
 
 
 
 

Целочисленные последовательности
Комбинаторика