Симметрическая группа
Симметрическая группа — группа всех перестановок заданного множества  (то есть биекций ) относительно операции композиции.

Симметрическая группа множества  обычно обозначается . Если , то  также обозначается через . Поскольку для равномощных множеств () изоморфны и их группы перестановок (), то для конечной группы порядка  группу её перестановок отождествляют с .

Нейтральным элементом в симметрической группе является тождественная перестановка .

Группы перестановок 
Хотя обычно группой перестановок (или подстановок) называют саму симметрическую группу, иногда, особенно в англоязычной литературе, группами перестановок множества  называют подгруппы симметрической группы . Степенью группы в таком случае называется мощность .

Каждая конечная группа  изоморфна некоторой подгруппе группы  (теорема Кэли).

Свойства 
Число элементов симметрической группы для конечного множества равно числу перестановок элементов, то есть факториалу мощности: . При  симметрическая группа  некоммутативна.

Симметрическая группа  допускает следующее задание:
 .
Можно считать, что  переставляет  и . Максимальный порядок элементов группы  — функция Ландау.

Группы  разрешимы, при  симметрическая группа  является неразрешимой.

Симметрическая группа является совершенной (то есть отображение сопряжения является изоморфизмом) тогда и только тогда, когда её порядок отличен от 2 и 6 (теорема Гёльдера). В случае  группа  имеет ещё один . В силу этого и предыдущего свойства при  все автоморфизмы  являются внутренними, то есть каждый автоморфизм  имеет вид  для некоторого .

Число классов сопряжённых элементов симметрической группы  равно числу разбиений числа . Множество транспозиций  является порождающим множеством . С другой стороны, все эти транспозиции порождаются всего двумя перестановками , так что минимальное число образующих симметрической группы равно двум.

Центр симметрической группы тривиален при . Коммутантом  является знакопеременная группа ; причём при   — единственная нетривиальная нормальная подгруппа , а  имеет ещё одну нормальную подгруппу — четверную группу Клейна.

Представления 
Любая подгруппа  группы перестановок  представима группой матриц из , при этом каждой перестановке  соответствует перестановочная матрица (матрица, у которой все элементы в ячейках  равны 1, а прочие элементы равны нулю); например, перестановка  представляется следующей матрицей :

 

Подгруппа такой группы, составленная из матриц с определителем, равным 1, изоморфна знакопеременной группе .

Существуют и другие представления симметрических групп, например, группа симметрии (состоящая из вращений и отражений) додекаэдра изоморфна , а группа вращений куба изоморфна .

См. также 
 Группа кос

Примечания

Литература 
 
 
 
 
 

Теория групп
Конечные группы
Группы перестановок