Риманово многообразие
Риманово многообразие, или риманово пространство (M, g), — это (вещественное) гладкое многообразие M, в котором каждое касательное пространство снабжено скалярным произведением g — метрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом. Другими словами, риманово многообразие — это дифференцируемое многообразие, в котором касательное пространство в каждой точке является конечномерным евклидовым пространством.

Это позволяет определить различные геометрические понятия на римановых многообразиях, такие как углы, длины кривых, площади (или объёмы), кривизну, градиент функции и дивергенции векторных полей.

Риманова метрика g — это положительно определённый симметрический тензор — метрический тензор; точнее — это гладкое ковариантное симметричное положительно определенное тензорное поле валентности (0,2).

Не стоит путать римановы многообразия с римановыми поверхностями — многообразиями, которые локально выглядят как склейки комплексных плоскостей.

Термин назван в честь немецкого математика Бернхарда Римана.

Обзор 
Касательное расслоение гладкого многообразия M ставит в соответствие каждой точке M векторное пространство, называемое касательным, и на этом касательном пространстве можно ввести скалярное произведение. Если такой набор введённых скалярных произведений на касательном расслоении многообразия изменяется гладко от точки к точке, то с помощью таких произведений можно ввести метричность на всём многообразии. К примеру, гладкая кривая α(t): [0, 1] → M имеет касательный вектор α′(t0) в касательном пространстве TM(t0) в любой точке t0 ∈ (0, 1), и каждый такой вектор имеет длину ‖α′(t0)‖, где ‖·‖ обозначает норму, индуцированную скалярным произведением на TM(t0). Интеграл по этим длинам даёт длину всей кривой α:

 

Гладкость α(t) для t в [0, 1] гарантирует, что интеграл L(α) существует и длина кривой определена.

Во многих случаях для того чтобы перейти от линейно-алгебраической концепции к дифференциально геометрической, гладкость очень важна.

Каждое гладкое подмногообразие Rn имеет индуцированную метрику g: скалярное произведение на каждом касательном пространстве — это просто скалярное произведение на Rn. Имеет место и обратный факт: теорема Нэша о регулярных вложениях утверждает, что любое достаточно гладкое риманово многообразие может быть реализовано как подмногообразие с индуцированной метрикой в Rn достаточной большой размерности n.

Измерение длин и углов при помощи метрики 

На римановом многообразии длина сегмента кривой, заданной параметрически (как вектор-функция  параметра , меняющегося от  до ), равна:

 

Угол  между двумя векторами,  и  (в искривлённом пространстве векторы существуют в касательном пространстве в точке многообразия), определяется выражением:

Обобщения 
 Псевдориманово многообразие
 Субриманово многообразие
 Финслерово многообразие

Литература 
 Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Современная геометрия. — Любое издание.
 А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Любое издание.
 В. А. Шарафутдинов. Лекции. Глава 5: Римановы многообразия

Риманова (и псевдориманова) геометрия
Структуры на многообразиях