Правило Лопиталя
Теорема Лопита́ля (также правило Бернулли — Лопиталя) — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида  и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Точная формулировка 

Теорема Лопиталя:

Если:  — действительнозначные функции, дифференцируемые в проколотой окрестности  точки , где  — действительное число или один из символов , причём
  или ;
  в ;
 существует ;
тогда существует .

Пределы также могут быть односторонними.

История 
Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Inﬁniment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя. Метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем Иоганном Бернулли.

Примеры 
 

 Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, но можно поступить иначе. Необходимо разделить и числитель, и знаменатель на  в наибольшей степени(в нашем случае ). В этом примере получается:
 
  — применение правила  раз;
  при ;
 .

Контрпример 
В некоторых ситуациях правило Лопиталя может не дать ожидаемого результата, так как существование предела отношения производных  не вытекает из существования предела отношения самих функций. Пример:
 отношение  имеет предел в бесконечности (единица), но у отношения производных предела нет.

Следствие 
Простое, но полезное следствие правила Лопиталя — признак дифференцируемости функций, состоит в следующем:

Пусть функция  дифференцируема в проколотой окрестности точки , а в самой этой точке она непрерывна и имеет предел производной . Тогда функция  дифференцируема и в самой точке , и  (то есть, производная  непрерывна в точке ).

Для доказательства достаточно применить правило Лопиталя к отношению .

См. также 
Аналогом правила Лопиталя для последовательностей вещественных чисел является Теорема Штольца.

Примечания

Литература 
 

Лопиталя
Пределы
Лопиталя