Формула Гаусса — Бонне
Формула Гаусса — Бонне связывает эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы.

Формулировка

Пусть  — компактное двумерное ориентированное риманово многообразие с гладкой границей . Обозначим через  гауссову кривизну  и через  геодезическую кривизну . Тогда
 
где  — эйлерова характеристика .

В частности, если у  нет границы, получаем
 

Если поверхность деформируется, то её эйлерова характеристика не меняется, в то время как гауссова кривизна может меняться поточечно. Тем не менее, согласно формуле Гаусса — Бонне, интеграл гауссовой кривизны остаётся тот же.

История 
Частный случай этой формулы для геодезических треугольников был получен Фридрихом Гауссом,
Пьер Оссиан Бонне 
и Жак Бине независимо обобщили формулу на случай диска ограниченного произвольной кривой;
Бине не опубликовал статьи на эту тему, но Бонне упоминаеет об этом на странице 129 своей .
Для неодносвязных областей формула появляется в работе Вальтера фон Дика.
Современная формулировка дана
Вильгельмом Бляшке.

Вариации и обобщения 

 Формула Гаусса — Бонне естественно обобщается на области с кусочно-гладкой границей. Если в точке излома  касательный вектор  разворачивается на угол  в сторону области  (может быть положительное или отрицательное число), то формула обобщается до такой:
 
 Обобщённая формула Гаусса — Бонне — обобщение формулы на старшие размерности.
 Неравенство Кон-Фоссена — обобщение на некомпактные поверхности.
 Теорема сравнения Топоногова уточняет следующее следствие формулы Гаусса — Бонне: любой треугольник на полной поверхности неотрицательной гауссовой кривизны имеет сумму углов хотя бы .

См. также 
 Формула Гаусса

Ссылки 

 С. Е. Степанов, Теорема Гаусса—Бонне, СОЖ, 2000, № 9, с. 116—121.
 Wu, Hung-Hsi. "Historical development of the Gauss-Bonnet theorem". Science in China Series A: Mathematics 51.4 (2008): 777—784.

Дифференциальная геометрия поверхностей
Риманова (и псевдориманова) геометрия
Гаусса — Бонне
Объекты, названные в честь Карла Фридриха Гаусса