Формула Герона
Фо́рмула Герона — формула для вычисления площади треугольника  по длинам его сторон :
 ,

где  — полупериметр треугольника: .

Формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё Архимеду). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми, такие треугольники носят название героновых, простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.

Вариации и обобщения
Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить три эквивалентные формулы Герона:
 
 
 
 

Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде:
 
Первый определитель последней формулы является частным случаем  для вычисления гиперобъёма симплекса.

Ряд формул для площади треугольника сходен по структуре формуле Герона, но выражается через другие параметры треугольника. Например, через длины медиан ,  и  и их полусумму :
 ;
через длины высот ,  и  и полусумму их обратных величин :
 ;
через углы треугольника ,  и , полусумму их синусов  и диаметр описанной окружности :
 

Площадь вписанного в окружность четырёхугольника вычисляется по формуле Брахмагупты:
 ,
где  — полупериметр четырёхугольника; в данном случае треугольник оказывается предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Та же формула Брахмагупты через определитель:
 

Для тетраэдров верна формула Герона — Тартальи, которая обобщена также на случай других многогранников (изгибаемые многогранники): если у тетраэдра длины рёбер равны , то для его объёма  верно выражение:
 .

Формула Герона — Тартальи может быть выписана для тетраэдра в явном виде: если , , , , ,  являются длинами рёбер тетраэдра (первые три из них образуют треугольник; и, например, ребро  противоположно ребру  и так далее), тогда справедливы формулы:
 
где:
 .

По теореме Люилье площадь сферического треугольника выражается через его стороны  как:
 ,
где  — полупериметр.

Примечания

Литература 
 § 258 в 
 
  — доказательство формулы Герона на основе теоремы Пифагора

Геометрия треугольника
Герона
Площадь