Двойственное пространство
Двойственное пространство (также дуальное пространство, иногда сопряжённое пространство) — пространство линейных функционалов на заданном векторном пространстве.

Определение 
Множество всех непрерывных линейных функционалов, определённых на топологическом векторном пространстве , также образует векторное пространство. Это пространство называется сопряжённым к , оно обычно обозначается . Множество всех линейных функционалов на , не обязательно непрерывных, называется алгебраически сопряжённым к , оно обычно обозначается  .

В случае (рассматриваемом обычно в линейной алгебре), когда векторное пространство  конечномерное, все линейные функционалы автоматически являются непрерывными, и сопряжённое пространство  состоит просто из всех линейных функционалов (функций) на . В случае (рассматриваемом обычно в функциональном анализе), когда  бесконечномерное, вообще говоря, .

В тензорном исчислении применяется обозначение  для элементов  (верхний, или контравариантный, индекс) и  для элементов  (нижний, или ковариантный, индекс).

Двойственные отображения 
Двойственное отображение — линейное отображение между векторными пространствами, двойственными к данным, индуцированное отображением между самими пространствами.

Пусть  — векторные пространства, а  — двойственные векторные пространства. Для любого линейного отображения  двойственное отображение  (в обратном порядке) определяется как
 
для любого .

Свойства

Конечномерные пространства 
 Сопряжённое пространство  имеет ту же размерность, что и пространство  над полем . Следовательно, пространства  и  изоморфны.
 Каждому базису  пространства  можно поставить в соответствие так называемый двойственный (или взаимный) базис  пространства , где функционал  — проектор на вектор :
 
 Если пространство  евклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то между  и  существует так называемый канонический изоморфизм (то есть изоморфизм, не зависящий от выбранных базисов), определённый соотношением
 
 Второе сопряжённое пространство  изоморфно . Более того, существует канонический изоморфизм между  и  (при этом не предполагается, что пространство  евклидово), определённый соотношением

 Определенный выше канонический изоморфизм  показывает, что пространства  и  играют симметричную роль: каждое из них является сопряженным к другому. Для того, чтобы выделить эту симметрию, для  часто пишут  подобно записи скалярного произведения.

 Бесконечномерные пространства 
 Если векторное пространство  нормированное, то сопряжённое пространство  имеет естественную норму — это операторная норма непрерывных функционалов. Пространство  — банахово.

 Если пространство  гильбертово, то по теореме Рисса существует изоморфизм между  и , причём, аналогично конечномерному случаю, каждый линейный ограниченный функционал может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента пространства .

 Сопряжённым к пространству , , является пространство , где . Аналогично, сопряжённым к , , является  с тем же соотношением между p и q.

 Вариации и обобщения 
 Термин сопряжённое пространство'' может иметь иное значение для векторных пространств над полем комплексных чисел: пространство , совпадающее с  как вещественное векторное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа:
 
 При наличии в пространстве эрмитовой метрики (например, в гильбертовом пространстве) линейно-сопряжённое и комплексно-сопряжённое пространства совпадают.

См. также 
 Ковариантность и контравариантность
 Рефлексивное пространство

Примечания 

Линейная алгебра
Функциональный анализ
Теории двойственности
Теория операторов
Топологические пространства функций