Главный идеал
Главный идеал — идеал, порождённый одним элементом.

Общепринятых обозначений для главных идеалов нет.
Иногда используют обозначения ,
,  для левых, правых
и двусторонних главных идеалов элемента  кольца  соответственно.

Определение 
Левый идеал кольца  называется главным левым идеалом, если он порождён одним элементом .
Аналогично определяются главные правые идеалы и главные двусторонние идеалы.

Если  — коммутативное кольцо, то эти три понятия эквивалентны. В этом случае идеал, порождённый , обозначают через .

В случае ассоциативного кольца с единицей главные идеалы описываются следующим образом.
 .
 .
 .

Если же  — ассоциативное кольцо (вообще говоря без единицы), то
 .
 .
 .

Не все идеалы — главные. Рассмотрим, например, коммутативное кольцо  многочленов с комплексными коэффициентами от двух переменных  и . Идеал , порождённый многочленами  и , (то есть идеал, состоящий из многочленов, у которых свободный член равен нулю) не будет главным. Чтобы доказать это, допустим, что этот идеал порождается некоторым элементом ; тогда на него должны делиться  и . Это возможно, только если  — ненулевая константа. Но в только одна константа — нуль. Приходим к противоречию.

Связанные определения 
 Кольцо, все идеалы которого — главные, называется кольцом главных идеалов.
 Целостное кольцо главных идеалов называется также областью главных идеалов. В областях главных идеалов выполняется основная теорема арифметики (любой элемент однозначно разложим на простые множители); доказательство этого факта совпадает с доказательством для случая целых чисел.

Примеры 
Все евклидовы кольца являются областями главных идеалов; в них для поиска порождающего элемента данного идеала можно использовать алгоритм Евклида. Вообще, у любых двух главных идеалов коммутативного кольца есть наибольший общий делитель в смысле умножения идеалов; благодаря этому в областях главных идеалов можно вычислять (с точностью до умножения на обратимый элемент) НОД элементов  и  как порождающий элемент идеала .

Литература 
 

Теория колец