Диффеоморфизм
Диффеоморфизм — отображение определённого типа между гладкими многообразиями.

Определение 

Диффеоморфизм — взаимно однозначное и гладкое отображение  гладкого многообразия  в гладкое многообразие , обратное к которому тоже является гладким.

Обычно под гладкостью понимается -гладкость, однако таким же образом могут быть определены диффеоморфизмы с другим типом гладкости, в частности, класса  при любом натуральном .

Примеры 

Простейшими примерами диффеоморфизмов являются невырожденные линейные (аффинные) преобразования векторных (соответственно, аффинных) пространств одинаковой размерности.

Связанные определения 
 Если для  и  существует диффеоморфизм , то говорят, что  и  диффеоморфны.
Обычно это отношение обозначается  .
Заметим, что диффеоморфными могут быть только многообразия одинаковой размерности.

 Множество диффеоморфизмов многообразия  в себя образует группу, называемую группой диффеоморфизмов  и обозначаемую .

 Отображение  называется локальным диффеоморфизмом в точке  если его сужение на некоторую окрестность точки  является диффеоморфизмом на некоторую окрестность точки .

Свойства 
 Любой диффеоморфизм является гомеоморфизмом.
 Обратное неверно. Более того, существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные гладкие многообразия (например, экзотическая сфера).
 Взаимно однозначное отображение  является диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда  — гладкое отображение и его якобиан нигде не равен нулю.

См. также 
 Гомеоморфизм

Литература 
 
 Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология (начальный курс), — Любое издание.
 Хирш М. Дифференциальная топология, — Любое издание.
 Спивак М. Математический анализ на многообразиях. — М.: Мир, 1968.

Дифференциальная геометрия и топология
Математический анализ