Теорема Бруна
Теорема Бруна утверждает, что сумма чисел, обратных числам-близнецам (парам простых чисел, которые отличаются лишь на 2) сходится к конечному значению, известному как константа Бруна, которая обозначается как B2 (). Теорему Бруна доказал Вигго Брун в 1919, и она имеет историческое значение для .

Асимптотические границы чисел-близнецов 
Сходимость суммы обратных к числам-близнецам следует из ограниченности плотности последовательности чисел-близнецов.
Пусть  означает число простых  чисел, для которых p + 2 тоже является простым (т.е.  является числом чисел-двойников, не превосходящих x). Тогда для  мы имеем

То есть числа-близнецы более редки по сравнению с простыми числами почти на логарифмический множитель.
Из этого ограничения следует, что сумма обратных к числам-близнецам сходится, или, другими словами, числа-близнецы образуют . Сумма в явном виде 

либо имеет конечное число членов, либо имеет бесконечное число членов, но сходится к значению, известному как константа Бруна.

Из факта, что сумма обратных значений простым числам расходится, вытекает, что существует бесконечно много простых чисел. Поскольку сумма обратных значений чисел-близнецов сходится, из этого результата невозможно заключить, что существует бесконечно много чисел-близнецов. Константа Бруна иррациональна только в случае бесконечного числа чисел-двойников.

Числовые оценки
При вычислении чисел-двойников вплоть до 1014 (и обнаружении по пути ошибки Pentium FDIV), Томас Р. Найсли эвристически оценил константу Бруна примерно равной 1,902160578. Найсли расширил вычисления до 1,6 к 18 января 2010, но это не было самое большое вычисление этого типа.

В 2002 Паскаль Себа и Патрик Демишель использовали все числа-двойники вплоть до 1016 и получили оценку

 B2 ≈ 1,902160583104.

Оценка опирается на оценку суммы в 1,830484424658... для чисел-двойников, меньших 1016. Доминик Клайв показал (в неопубликованных тезисах), что B2 < 2.1754 в предположении, что верна расширенная гипотеза Римана.

Существует также константа Бруна для квадруплетов близнецов.  — это пара двух простых двойников, разделённых расстоянием 4 (наименьшее возможное расстояние). Несколько квадруплетов — (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). Константа Бруна для квадруплетов, обозначаемая B4, является суммой обратных чисел ко всем квадруплетам:

И эта сумма равна

B4 = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005, ошибка имеет уровень уверенности в 99 %  (согласно Найсли).

Эту константу не следует путать с константой Бруна для , пар простых чисел вида (p, p + 4), поскольку эта константа тоже записывается как B4.

Дальнейшие результаты
Пусть  () — константа простых-близнецов. Есть гипотеза, что 

В частности,

для любого  и всех достаточно больших x.

Многие специальные случаи, упомянутые выше, были доказаны.  Недавно Цзие У (Jie Wu) доказал, что для достаточно большого x,
,
где 4,5 соответствует случаю  выше.

В популярной культуре
Цифры константы Бруна были использованы в заявке в $1.902.160.540 на патентном аукционе Nortel. Заявка была опубликована компанией Google и была одной из трёх заявок Google, основанных на математических константах.

См. также 
 Ряд обратных простых чисел
 Константа Майсселя — Мертенса

Примечания

Литература

 
 
 
  Перепечатано в Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1990.
  Содержит более современное доказательство.
 
В. И. Зенкин. Распределение простых чисел. Элементарные методы. Калининград, 2008.

Ссылки
 
 
 
 Sebah, Pascal and Xavier Gourdon, Introduction to twin primes and Brun's constant computation, 2002.  A modern detailed examination.
 Wolf's article on Brun-type sums

Теоремы о простых числах
Теория решета