二次剩余
在数论中，特别在同余理论裏，一个整数对另一个整数的二次剩余（）指的平方除以得到的余数。

當存在某個，式子成立時，稱「是模的二次剩余」

當对任意，不成立時，稱「是模的二次非剩余」

研究二次剩余的理论称为二次剩余理论。二次剩余理论在实际上有广泛的应用，包括从噪音工程学到密码学以及大数分解。

前几个自然数的二次剩余
下表列出了1至25对2至25的二次剩余。

研究历史以及基本概念
从17世纪到18世纪，费马、欧拉、拉格朗日和勒让德等数论学家对二次剩余理论作了初步的研究，证明了一些定理并作出了一些相关的猜想，但首先对二次剩余进行有系统的研究的数学家是高斯。他在著作《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae，1801年）中首次引入了术语“二次剩余”与“二次非剩余”，并声明在不至于导致混淆的行文中，可以省略“二次”两字。

为了得到关于一个整数的所有二次剩余（在一个完全剩余系中），我们可以直接计算0, 1,…, n − 1的平方模的余数。但只要注意到a2 ≡(n − a)2(mod n)，我们就可以减少一半的计算量，只算到n/2了。于是，关于的二次剩余的个数不可能超过n/2 + 1（n为偶数）或(n + 1)/2（n为奇数）。

两个二次剩余的乘积必然还是二次剩余。

基本结论

质数二次剩余
对于质数2，每个整数都是它的二次剩余。

以下討論是奇質數的情況：

對於，而言，能滿足「是模的二次剩餘」的共有個（剩余类），分別為：

（0計算在內）

此外是个二次非剩余。但在很多情况下，我们只考虑乘法群Z/pZ，因此不将0包括在内。这样，每个二次剩余的乘法逆元仍然是二次剩余；二次非剩余的乘法逆元仍然是二次非剩余。二次剩余的个数与二次非剩余的个数相等，都是。此外，两个二次非剩余的乘积是二次剩余，二次剩余和二次非剩余的乘积是二次非剩余。

应用二次互反律可以知道，当模4余1时，-1是的二次剩余；如果模4余3，那么，-1是的二次非剩余。

要知道d是否為模p的二次剩餘，可以运用歐拉判別法（或叫歐拉準則）。

质数乘方的二次剩余
每个奇数的平方都模8余1，因此模4也余1。设a是一个奇数。m为8，16或2的更高次方，那么a是关于m的二次剩余当且仅当a ≡ 1(mod 8)。

比如说，在模32时，所有的奇數的平方分别是：
12 ≡ 152 ≡ 1
32 ≡ 132 ≡ 9
52 ≡ 112 ≡ 25
72 ≡ 92 ≡ 17

模8都余1。而偶数的二次剩余是：
02 ≡ 82 ≡ 162 ≡ 0
22 ≡ 62≡ 102 ≡ 142≡ 4
42 ≡ 122 ≡ 16

可以看出，关于8，16或2的更高次方的二次剩余是具有4k(8n + 1)形式的所有数，其中、为整数。

对于奇质数以及与 互质的整数，是关于的若干次乘方的剩余当且仅当它是关于的剩余。

设模的是pn（n次乘方）， 
那么pkA 
当k ≥ n时是模pn的剩余； 
当k < n并为奇数时是模pn的非剩余。

当k < n并为偶数时，
如果是关于的剩余，那么pkA就是模pn的剩余；
如果是关于的非剩余，那么pkA就是模pn的非剩余。

合数二次剩余

首先可以看出，
如果a是模n的剩余，并且pk 整除n，那么a是模pk的剩余。
如果a是模n的非剩余，那么存在pk 整除n，使得a是模pk的非剩余。

对于模合数的情况，两个剩余的乘积仍然是剩余，剩余和非剩余的乘积必为非剩余，但是两个非剩余的乘积则可能是剩余、非剩余或0。

比如，对于模15的情况 

 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,  9, 10, 11, 12, 13, 14（粗斜体为二次剩余）。

两个二次非剩余2和8的乘积是二次剩余1，但另外两个二次非剩余2和7的乘积是二次非剩余14。

相关记号
高斯使用R和N来分别表示二次剩余及二次非剩余。例如：2 R 7，5 N 7，并且1 R 8，3,5,7 N 8。尽管这种记号在某些方面来说十分简洁，但现今最常用的是勒让德符号，或称二次特征（见狄利克雷特征）。对于整数a及奇质数p，

{| align=none border="0"
|rowspan=3| 
| 如果p整除a；
|-
| 如果a是模p的二次剩余且p不整除a
|-
| 如果a是模p的二次非剩余。
|}

之所以将0另分一类有两个原因。首先，这使公式和定理叙述方便。其次，二次特征是一个从乘法群Z/pZ射到复数域的群同态，可以将这个同态扩张到整数构成的乘法半群。

相比高斯的记号，勒让德符号的优势在于可以写在公式里（作为一个数字值）。此外勒让德符号可以推广到三次以至高次剩餘。

勒让德符号中的分母只限奇质数，对于一般的奇合数，有推广的雅可比符号。雅可比符号的性质比前者复杂。如果a R m那么，如果那么a N m。但如果，我们不能知道a R m还是a N m。

推广

二次剩餘的推廣叫做高次剩餘，是研究任意，中是否為模的次剩餘的問題。

相關條目 

勒让德符号
同餘
欧拉准则
二次互反律
三次互反律

注释及参考来源

闵嗣鹤、严士健，《初等数论》，第二版，高等教育出版社，2001年。

外部链接
李宗儒，高斯二次互反律

二次剩余
NP完全问题