拉格朗日点
拉格朗日点（Lagrangian point）又称平动点（libration points）在天体力学中是限制性三体问题的五个特殊解（particular solution）。就平面圆型三体问题，1767年数学家欧拉根据旋转的二体引力场推算出其中三个点為、、，1772年数学家拉格朗日推算出另外两个点（特解）為、。例如，两个天体环绕运行，在空间中有五个位置可以放入第三个物体（质量忽略不计），使其與另两个天体的相對位置保持不變。理想状态下，两个同轨道物体以相同的周期旋转，两个天体的万有引力在拉格朗日点平衡，使得第三个物体与前两个物体相对静止。

位置 
五个拉格朗日点之定义及位置如下：

在M1和M2两个大天体的连线上，且在它们之间。

 

其中：r 表示  与较小的物体之间的距离，R 表示两个主要物体之间的距离，M1 和 M2 分别表示较大物体和较小物体的质量。

求解 r 需要求解五次方程，但是当小物体的质量（M2）远小于大物体的质量（M1）时，近似于希尔球的半径，求解如下：

 

例如一个围绕太阳旋转的物体，它距太阳的距离越近，它的轨道周期就越短。但是这忽略地球的万有引力对其产生的拉力的影响。如果这个物体在地球与太阳之间，地球引力的影响会减弱太阳对这物体的拉力，因此增加这个物体的轨道周期。物体距地球越近，这种影响就越大。在点，物体的轨道周期恰好等于地球的轨道周期。

太阳及日光层探测仪（SOHO）即在日-地系统的点上运行。嫦娥五号的轨道器由于原登月任务完成后仍有充足的燃料，所以安排拓展任务，飞进到日-地系统的L1点进行进一步的太阳探测任务。

在两个大天体的连线上，且在较小的天体一侧。

 

同样的，當小物体的质量（M2）远小于大物体的质量（M1）时：

 

日地系统的在地球远离太阳的一侧。一般来讲，一个物体距太阳的距离越远，它的轨道周期通常就越长，但点上的物体还受到地球的引力，所以轨道周期变得与地球的相等。日地系统的通常用于放置-{zh-hans:空间天文台; zh-hant:太空望遠鏡;}-。因为上的物体可以保持背向太阳和地球的方位，易于保护和校准。威尔金森微波各向异性探测器已经在日-地系统的点上运行。詹姆斯韋伯太空望远镜也在日-地系统的点上。嫦娥二号亦於2011年进入日-地系统的点的环绕轨道，為从月球轨道出发進入日-地系统点的首例。

地月系统的在月球远离地球的一侧（月球背面）。2014年中国探月工程三期再入返回飛行試驗器服务舱曾进入环绕地月的李萨如轨道开展试验，服务舱实现了环绕地月飞行三圈，验证了轨道设计、轨道控制和轨道维持技术。之后嫦娥4号的通信中继卫星鹊桥号则是在该位置使用晕轮轨道维持运转。

在两个大天体的连线上，且在较大的天体一侧。

例如：第三个拉格朗日点，，位于太阳的另一侧，與太陽的距離略小於地球與太陽的距離，但是位於地球軌道的外部，這個看上去矛盾的表述是因為地球公轉軌道的焦点，是太陽與地球的共同質心，儘管對於日地系統來說共同質心在太陽內部，太陽同時也在圍繞這個共同質心轉動，所以這種狀態成為可能。

一些科幻小说和漫画会在点創造一个「反地球」。

在以两天体连线为底的等边三角形的第三个顶点上，且在较小天体围绕两天体系统质心运行轨道的前方。此点稳定的原因在于，它到两大物体的距离相等，其对两物体分别的引力之比，正好等于两大物体的质量之比。因此，两个引力的合力正好指向该系统的质心，合力大小正好提供该物体公转所需之向心力，使其旋转周期与质量较小天体相同并达成轨道平衡。该系统中，两大物体和上物体围绕质心旋转，旋转中心与质心重合。事实上，上的物体的质量不须小到可忽略。处，小物体受太阳和地球的引力的合力指向日地共同质心且大小正合适。

在以两天体连线为底的等边三角形的第三个顶点上，且在较小天体围绕两天体系统质心运行轨道的后方。

和有时称为三角拉格朗日点或特洛伊点。科幻作品（如漫画、小说）所说的用于放置殖民卫星的拉格朗日点特指和，不包括。

例如：和在地球围太阳运行的轨道之前和之后成60°角处。
实质上是三个物体围绕共同质心转动。

平衡性 

嚴格而言，首先拉格朗日點只算是二星體連線之法平面內的穩定點，而在三維空間內則不穩定：考慮：若垂直於中線地推移測試質點，則有一力將其推回平衡點（稳定平衡）；但若測試質點漂向任一星體，則該星體之引力會將其拉向自己（不稳定平衡）。在这条直线上不稳定，如果把物体放在这上面的话，它马上会离开这个点。所以，有一种轨道的设计就是，它是围绕做周期运动（晕轮轨道），这样的话，我们的卫星只需少量調節便能維持其軌道。

此對比：若M1比M2大於24.96，則处于與的物体是稳定平衡：當一測試質點偏離此平衡點，則科里奥利力會將其軌道扭曲成（相對於旋轉座標之）扁豆狀。太陽－木星系統有幾千枚小行星，通稱為「特洛伊小行星」，俱劃此等軌迹。太陽－火星、太陽－土星、木星－木衞、土星－土衞等系統亦有類似星體。日－地系統中亦有 2010 TK7（第一顆地球特洛伊小行星），在二十世紀五十年代發現塵霧圍繞與。在地－月系統之與點亦發現比对日照更微弱之塵霧。

行星特洛伊的轨道动画 

地球的伴星（companion object）克魯特尼以類似特洛伊之軌道「圍繞」地球，但不是真正的特洛伊衞星，它基本上以一週期略小於一年之橢圓軌道環繞太陽，接近地球時從地球公轉提取動能而進入較高之軌道。當克魯特尼被地球追上，則會交回此動能，跌落低能軌道，重新開始循環。

土衛十一（Epimetheus）與土衛十（Janus）有類似關係，唯因其質量相若，故週期性地互換軌道。

另一類似位形為軌道共振，其中各星體之週期，因其相互作用，成簡單整數比。

土卫三（Tethys）的和点有两个小卫星，土衛十三（Telesto）和土衛十四（Calypso）。土卫四（Dione）的点有一个卫星土衛十二（Helene）和点有一个卫星土衛三十四（Polydeuces）。

流行文化 
科幻作品 (例如漫畫和小說) 所說的放置殖民衛星的拉格朗日點指L4和L5，不包括L1和L2。例如L4和L5在地球圍太陽運行的軌道之前和之後成60°角處。

參考文獻

相關
 
 地球特洛伊
 火星特洛伊
 木星特洛伊
 天王星特洛伊
 海王星特洛伊
 小行星带

外部連結 
 歐洲太空總署有關拉格朗日點的介紹和動畫 

天体力学