波函数
在量子力學裏，量子系統的量子態可以用波函數（）來描述。薛丁格方程式設定波函數如何隨著時間流逝而演化。

波函數  是一種複值函數，表示粒子在位置  、時間  的機率幅，它的絕對值平方  是在位置  、時間  找到粒子的機率密度。以另一種角度詮釋，波函數是「在某時間、某位置發生相互作用的概率幅」。

歷史 

在1920年代與1930年代，理論量子物理學者大致分為兩個陣營。第一個陣營的成員主要為路易·德布羅意和埃爾溫·薛丁格等等，他們使用的數學工具是微積分，他們共同創建了波動力學。第二個陣營的成員主要為維爾納·海森堡和馬克斯·玻恩等等，使用線性代數，他們建立了矩陣力學。後來，薛丁格證明這兩種方法完全等價。

德布羅意於1924年提出的德布羅意假說表明，每一種微觀粒子都具有波粒二象性。電子也不例外，具有這種性質。電子是一種波動，是電子波。電子的能量與動量分別決定了它的物質波頻率與波數。既然粒子具有波粒二象性，應該會有一種能夠正確描述這種量子特性的波動方程式，這點子給予埃爾溫·薛定諤極大的啟示，他因此開始尋找這波動方程式。薛定諤參考威廉·哈密頓先前關於牛頓力學與光學之間的類比這方面的研究，在其中隱藏了一個奧妙的發現，即在零波長極限，物理光學趨向於幾何光學；也就是說，光波的軌道趨向於明確的路徑，而這路徑遵守最小作用量原理。哈密頓認為，在零波長極限，波傳播趨向於明確的運動，但他並沒有給出一個具體方程式來描述這波動行為，而薛定諤給出了這方程式。他從哈密頓-雅可比方程成功地推導出薛定谔方程式。他又用自己設計的方程式來計算氫原子的譜線，得到的答案與用波耳模型計算出的答案相同。他將這波動方程式與氫原子光譜分析結果，寫為一篇論文，1926年，正式發表於物理學界。從此，量子力學有了一個嶄新的理論平台。

薛丁格給出的薛定諤方程式能夠正確地描述波函數的量子行為。那時，物理學者尚未能解釋波函數的涵義，薛定諤嘗試用波函數來代表電荷的密度，但遭到失敗。1926年，玻恩提出機率幅的概念，成功地解釋了波函數的物理意義。可是，薛定諤本人不贊同這種統計或機率方法，和它所伴隨的非連續性波函數塌縮，如同愛因斯坦認為量子力學只是個決定性理論的統計近似，薛定諤永遠無法接受哥本哈根詮釋。在他有生最後一年，他寫給玻恩的一封信內，薛定諤清楚地表明了這意見。

1927年，道格拉斯·哈特里與弗拉基米尔·福克在對於多體波函數的研究踏出了第一步，他們發展出哈特里－福克方程來近似方程的解。這計算方法最先由哈特里提出，後來福克將之加以改善，能夠符合包立不相容原理的要求。

薛定谔方程式不具有勞侖茲不變性 ，无法准确给出符合相对论的结果。薛定諤試著用相對論的能量動量關係式，來尋找一個相對論性方程式，並且描述電子的相对论性量子行為。但是這方程式給出的精細結構不符合阿諾·索末菲的結果，又會給出違背量子力學的負機率和怪異的負能量現象，他只好將這相對論性部分暫時擱置一旁，先行發表前面提到的非相對論性部分。

1926年，奥斯卡·克莱因和沃尔特·戈尔登將電磁相對作用納入考量，獨立地給出薛定谔先前推導出的相對論性部分，並且證明其具有勞侖茲不變性。這方程式後來稱為克莱因-戈尔登方程式。

1928年，保羅·狄拉克最先成功地統一了狹義相對論與量子力學，他推導出狄拉克方程式，適用於電子等等自旋為1/2的粒子。這方程式的波函數是一個旋量，擁有自旋性質。

概述

位置空間波函數
假設一個自旋為零的粒子移動於一維空間。這粒子的量子態以波函數表示為  ；其中， 是位置， 是時間。波函數是複值函數。測量粒子位置所得到的結果不是決定性的，而是機率性的。粒子的位置  在區間  （即  ）的機率為
 ；

其中， 是對於粒子位置做測量的時間。

換句話說， 是粒子在位置  、時間  的機率密度。

這導致歸一化條件：在位置空間的任意位置找到粒子的機率為100%：
 。

動量空間波函數
在動量空間，粒子的波函數表示為  ；其中， 是一維動量，值域從  至  。測量粒子動量所得到的結果不是決定性的，而是機率性的。粒子的動量  在區間  （即  ）的機率為
 。

動量空間波函數的歸一化條件也類似：
 。

兩種波函數之間的關係

位置空間波函數與動量空間波函數彼此是對方的傅立葉變換。他們各自擁有的信息相同，任何一種波函數都可以用來計算粒子的相關性質。兩種波函數之間的關係為
 、
 。

薛丁格方程式
在一維空間裏，運動於位勢  的單獨粒子，其波函数滿足含時薛丁格方程式
 ；

其中， 是質量， 是約化普朗克常數。

不含時薛丁格方程式與時間無關，可以用來計算粒子的本徵能量與其它相關的量子性質。應用分離變數法，猜想  的函數形式為
 ；

其中， 是分離常數，稍加推導可以論定  就是能量， 是對應於  的本徵函數。

代入這猜想解，經過一番運算，可以推導出一維不含時薛丁格方程式：
 。

波函数的概率诠释 
波函数  是概率波。其模的平方  代表粒子在该处出现的概率密度，并且具有归一性，全空间的积分

 。

波函数的另一个重要特性是相干性。两个波函数叠加，概率的大小取决于两个波函数的相位差，类似光学中的杨氏双缝实验。

波函数的本征值和本征态 
在量子力学中，可观察量  以算符  的形式出现。 代表对於波函数的一种运算。例如，在位置空間裏，动量算符  的形式為
 。

可观察量  的本徵方程式為
 。

对应的  称为算符  的本徵值， 称为算符  的本徵態。假設對於  的本徵態  再測量可观察量  ，則得到的結果是本徵值  。

态叠加原理 
假設對於某量子系統測量可觀察量  ，而可觀察量  的本徵態  、 分別擁有本徵值  、 ，則根据薛定谔方程的线性关系，疊加態  也可以是這量子系統的量子態：
 ；

其中，  、 分別為疊加態處於本徵態  、 的機率幅。

假設对這疊加態系統测量可观察量  ，則測量獲得數值是  或  的機率分別為  、 ，期望值為
 。

定态 

在量子力学中，一类基本的问题是哈密顿算符  不含时间的情况。對於這問題，應用分離變數法，可以將波函數  分離成一个只与位置有关的函数  和一个只与时间有关的函数  ：
 。

將這公式代入薛定谔方程，就会得到
  。

而  则满足本徵能量薛丁格方程式：
 。

例子

自由粒子 

3D空间中的自由粒子，其波矢 为 ， 角频率 为，其波函数为：

無限深方形阱 

粒子被限制在和之间的1D空间中，其波函数为:

其中，是能量本徵值，是正整數，是質量。

有限位势垒

在1D情况下，粒子处于如下势垒中：

其波函数的定态解为(为常数)

量子点 

量子点是在把激子在三个空间方向上束缚住的半导体纳米结构。粒子在三个方向上都处在势阱中。势阱可以由于静电势（由外部的电极，掺杂，应变，杂质产生），两种不同半导体材料的界面（例如：在自組量子点中），半导体的表面（例如：半导体纳米晶体），或者以上三者的结合。量子点具有分离的量子化的能谱。所对应的波函数在空间上位于量子点中，但延伸于数个晶格周期中。其中的能级可以用类似無限深方形阱的模型来描述，能级位置取决于势阱宽度。

参閱 
 波包

参考文獻

注释

B
B