Aritmética modular
En matemática, la aritmética modular es un sistema aritmético para clases de equivalencia de números enteros llamadas clases de congruencia. La aritmética modular fue introducida en 1801 por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae.

Algunas veces se le llama, sugerentemente, aritmética del reloj, ya que los números «dan la vuelta» tras alcanzar cierto valor llamado módulo.

Relación de congruencia 

La aritmética modular puede ser construida matemáticamente mediante la relación de congruencia entre enteros, que es compatible con las operaciones en el anillo de enteros: suma y multiplicación. Para un determinado módulo n, ésta se define de la siguiente manera:

Esta relación se puede expresar cómodamente utilizando la notación de Gauss:

Así se tiene por ejemplo

ya que ambos, 63 y 83 dejan el mismo resto (3) al dividir entre 10,
o, equivalentemente, 63 − 83 es un múltiplo de 10. Se lee:

«63 es congruente con 83, módulo 10», «en módulo 10,  63 y 83 son congruentes», o «63 y 83 son congruentes uno con otro, módulo 10».

«Módulo» a veces se abrevia con la palabra «mod» al hablar, de la misma manera que como está escrito y proviene de la palabra modulus del latín, la lengua de los escritos originales de Gauss. Así, el número n, que en este ejemplo es 10, sería el modulus.

Otro ejemplo; cuando el módulo es 12, entonces cualesquiera dos números que divididos entre doce den el mismo resto son equivalentes (o "congruentes") uno con otro. Los números

..., −34, −22, −10, 2, 14, 26,....

son todos "congruentes módulo 12" unos con otros, ya que cada uno deja el mismo resto (2) cuando los dividimos entre 12. La colección de todos esos números es una clase de congruencia.

Propiedades principales

Clases de equivalencia módulo n 

La aritmética modular se basa en una relación de equivalencia, y las clases de equivalencia de un entero a se denota con [a]n (o simplemente [a] si sobreentendemos el módulo.) Otras notaciones son por ejemplo a + nℤ o a mod n. El conjunto de todas las clases de equivalencia se denota con ℤ/nℤ = { [0]n, [1]n, [2]n,..., [n-1]n }.

Esta relación de equivalencia tiene importantes propiedades que se siguen inmediatamente de la definición:

Si
 
y
 
entonces
 
y
 

Lo que muestra que la suma y la multiplicación son operaciones bien definidas sobre el conjunto de las clases de equivalencia. En otras palabras, la suma y la multiplicación están definidas sobre ℤ/nℤ mediante las fórmulas siguientes:

 
 

De este modo, ℤ/nℤ se convierte en un anillo con n elementos.
Por ejemplo, en el anillo ℤ/12ℤ, se tiene :[8]12[3]12 + [6]12 = [30]12 = [6]12.

El conjunto de enteros en ℤ/pℤ forma un cuerpo finito si y sólo si p es primo.

Resolución de congruencias 

Si a y b son enteros, la congruencia: ax ≡ b (mod n) tiene solución x si y solo si el máximo común divisor (a, n) divide a b. Los detalles están recogidos en el
teorema de congruencia lineal. Sistemas de congruencias más complicados con módulos diferentes se pueden resolver usando el teorema chino del resto o el método de sustitución sucesiva.

En el anillo de enteros, si consideramos la ecuación ax ≡ 1
(mod n), vemos que a tiene un inverso multiplicativo si y solo si a y n son coprimos. Por tanto, ℤ/nℤ es un cuerpo si y sólo si n es un primo. Se puede probar que cada cuerpo finito es una extensión de ℤ/pℤ para algún primo p.

Pequeño teorema de Fermat y teorema de Euler 

Un hecho importante sobre aritmética modular, cuando los módulos son números primos es el pequeño teorema de Fermat: si p es un número primo, entonces:

Si a es cualquier entero:

Si a es un entero no divisible entre p:

Esto fue generalizado por Euler: para todo entero positivo n y todo entero a relativamente primo a n, :aφ(n) ≡ 1 (mod n),
donde φ(n) denota función phi de Euler que cuenta el número de enteros entre 1 y n que sean coprimos con respecto a n. El teorema de Euler es una consecuencia del teorema de Lagrange, aplicado al caso del grupo de las unidades del anillo ℤ/nℤ.

Generalizaciones 

Dos enteros a, b son congruentes módulo n, escrito como:a ≡ b (mod n) si su diferencia a
− b es divisible entre n, esto es, si a − b = kn para algún entero k.

Usando esta definición, podemos generalizar a módulos no enteros. Por ejemplo, podemos definir a ≡ b (mod 2π) si a − b = k2π para algún entero k. Esta idea se desarrolla plenamente en el contexto de la teoría de los anillos y funciones trigonométricas.

En Álgebra abstracta se ve que la aritmética modular es un caso especial del proceso de crear un anillo cociente de un anillo módulo un ideal. Si R es un anillo conmutativo, e I es un ideal de R, entonces dos elementos a y b de R se dicen congruentes módulo I si a − b es un elemento de I. Como pasaba con el anillo de enteros, esto se convierte en una relación de equivalencia, y la suma y la multiplicación se convierten en operaciones bien definidas sobre el anillo factorial R/I.

Proposiciones básicas

Proposición 1 
Sean a,b,c∈ℤ. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

 Reflexividad:  a≡a (mod n).
 Simetría: Si  a≡b (mod n), entonces b≡a (mod n).
 Transitividad: Si  a≡b (mod n)y b≡c (mod n), entonces a≡c (mod n).

Es decir, la congruencia ≡ es una relación de equivalencia.

Proposición 2. 
Sean a,b,c,d,λ∈ℤ y n∈ℕ tales que a≡b (mod n) y c≡d (mod n). Entonces

 λa≡λb (mod n).
 a+c≡b+d (mod n).
 ac≡bd (mod n).

Proposición 3. 
Sean a,b∈ℤ y n,k∈ℕ, tales que a≡b (mod n). Entonces ak≡bk (mod n).

Proposición 4. 
Sean a,b∈ℤ y m,n∈ℕ. Si a≡b (mod n) y m|n entonces a≡b (mod m).

Proposición 5. 
Sean a,b,c∈ℤ y n∈ℕ. Si ac≡bc (mod n) y (c,n)=1, entonces a≡b (mod n).

Proposición 6. 
Sean a,b,c∈ℤ y p∈ℕ. Si ac≡bc (mod p) y p es primo tal que p∤c, entonces a≡b (mod p).

Proposición 7. 
Sean a,b,c∈ℤ, n∈ℕ y (c,n)=d. Entonces ac≡bc (mod n) si y sólo si a≡b (mod nd).

División 
Se sabe que si , entonces  es el recíproco o inverso de  y también  es el inverso de .

 Por ejemplo, inverso de a = 4 es b = 0.25 porque 4 · 0.25 = 1. El inverso del entero 4 es el decimal (racional) 0.25.
 Esta es una anomalía que no queremos en ℤn. Quisíeramos que en ℤn los inversos de los elementos de ℤn estén en ℤn, como sucede con los negativos. Pero esto no siempre sucede. Por ejemplo en ℤ9 = {0, ..., 8}, ningún elemento es inverso de 3, porque ningún número multiplicado por 3 daría 1. Tendría que dar 10, para que al tomarlo módulo 9, dé 1, y ese entero no existe. Sin embargo 2 · 5 = 1. lo que revela que el 5 es el inverso del 2 y, simétricamente, el 2 es el inverso de 5. Podemos afirmar que en ℤ9, el 2 es invertible, es decir tiene inverso y su inverso es 2−1 = 5. Observa la notación: el inverso de a es a−1. Contar con inversos es importante porque nos permiten hacer divisiones y resolver ecuaciones. En efecto, la división a / b la entendemos como a · b−1, es decir multiplicamos a por el inverso del divisor b.

Teorema (Criterios de divisibilidad) 
Sea  en base 10. Entonces  y por tanto, 

 , luego  es divisible entre 2 si y solo si  lo es. 
 , luego  es divisible entre 3 si y solo si  lo es. 
 , luego  es divisible entre 4 si y solo si  lo es. 
 , luego  es divisible entre 5 si y solo si  lo es. 
 , luego  es divisible entre 9 si y solo si  lo es. 
 , luego  es divisible entre 11 si y solo si

Multiplicación 
Las operaciones de suma y producto en ℤ se pueden trasladar a ℤm puesto que son compatibles con la estructura de este último conjunto.

Teorema 
Sean m ∈ ℕ y a, b, c, d ∈ ℤ tales que a ≡ b (mod m) y c ≡ d (mod m). Entonces 

i) a + c ≡ b + d (mod m), 

ii) ac ≡ bd (mod m).

Ecuaciones lineales de congruencia

Definición 1 
Sean a,b∈ℤ; no nulos y n∈ℕ. Se denomina ecuación lineal de congruencia a la expresión ax≡b (mod n).
El número entero x: corresponde a la solución de la ecuación.

Las soluciones de una Ecuación Lineal de Congruencia deben ser números enteros. ¿Existe algún criterio para determinar cuando una Ecuación Lineal de Congruencia tiene soluciones enteras? La respuesta es afirmativa.

Definición 2 
Sean a,b∈ℤ no nulos y n∈ℕ. La ecuación ax≡b (mod n), tiene solución si y sólo si (a,n)|b.

Sin embargo (y nuevamente, al igual que en las ecuaciones diofánticas lineales), una ecuación lineal de congruencia puede poseer más de una solución. Por lo tanto, consideremos el siguiente resultado (Definición 3).

Definición 3 
Sean a,b∈ℤ no nulos, n∈ℕ, (a,n)=d y d|b. Entonces la congruencia ax≡b (mod n) tiene d soluciones. Adicionalmente x≡x0+ntd (mod n), es el conjunto solución de la ecuación, con t={1,2,3,...,d−1} y x0 es una solución particular de ax≡b (mod n).
Los siguientes resultados permitirán resolver de manera más expedita una Ecuación Lineal de Congruencia (Definición 4 y 5).

Definición 4 
Sean a,b∈ℤ y n,d∈ℕ. Si ad≡bd (mod nd), entonces a≡b (mod n).

Definición 5 
Sean a,b∈ℤ y n,d∈ℕ tales que (n,d)=1. Si ad≡bd (mod n), entonces a≡b (mod n).

¿Es posible relacionar la función φ de Euler con las ecuaciones lineales de congruencia? La Definición 6 tiene la respuesta.

Definición 6 
Sean a,b∈ℤ no nulos, n∈ℕ y (a,n)=1. Entonces la única solución a la ecuación ax≡b (mod n) es x≡aφ(n)−1⋅b (mod n).

Aritmética con números grandes 
Casi todos los procesadores trabajan mucho más rápido con números pequeños que con números grandes. Este problema puede resolverse utilizando congruencias. Para ello consideramos un conjunto {m1, m2, . . . , mk } de números primos entre sí (esto es mcd(mi, mj) = 1 para todo i != j). Entonces cualquier número positivo S menor que m = m1m2 · · · mk se puede expresar mediante una n-tupla (r1,r2, . . . ,rk ) (con 0 ≤ ri < mi para todo i ∈ {1, 2, . . . , k}) donde

Además, por el teorema del resto chino existe un único x ∈ {0, 1, 2, . . . , m} satisfaciendo estas condiciones. Además, si

Por tanto, las operaciones aritméticas se pueden realizar entre las r-uplas – cuyas coordenadas son todas menores o iguales que max1≤i≤r mi –, pudiéndose realizar estas operaciones en paralelo. Esto es, para sumar n y n' se suman los vectores asociados (r1,r2, . . . ,rk ) y(r'1,r'2, . . . ,r'k ) y para multiplicar n y n' se multiplican escalarmente los vectores asociados.

Finalmente x + x' y xx' serán las soluciones (únicas en ℤm) de los sistemas anteriores.

Por ejemplo se pueden considerar m1 = 99, m2 = 98, m3 = 97 y m4 = 95 para trabajar con números menores o iguales que m = m1m2m3m4 = 89403930.

Otros enteros que pueden escogerse son los de la forma 2k − 1 con k ∈ ℕ puesto que es relativamente fácil encontrar conjuntos de estos enteros primos entre sí

(mcd(2a − 1, 2b −1) = 2mcd(a,b) − 1). Además con estos enteros es fácil trabajar en base 2. Por ejemplo, 235 − 1, 234 − 1, 233 − 1,231 −1, 229 −1 y 223 −1 son primos entre sí y el producto de ellos es mayor que 2184.

Ejemplo:  Si tomamos m1 = 3, m2 = 4 se tiene que 0 = (0, 0) 1 = (1, 1) 2 = (2, 2) 3 = (0, 3) 4 = (1, 0) 5 = (2, 1) 6 = (0, 2) 7 = (1, 3) 8 = (2, 0) 9 = (0, 1) 10 = (1, 2) 11 = (2, 3) y 5 + 6 ≡ (2, 1) + (0, 2) = (2, 3) ≡ 11.

Por otra parte y 2 · 3 ≡ (2, 2) · (0, 3) = (0, 6) ≡ (0, 2) ≡ 6. Sin embargo 5 · 6 no es calculable, puesto que el resultado es mayor o igual que 12.

Aplicaciones de la aritmética modular 

La aritmética modular, estudiada sistemáticamente en primer lugar por Carl Friedrich Gauss al final del , se aplica en teoría de números, álgebra abstracta, criptografía, y en artes visuales y musicales.

Las operaciones aritméticas que hoy en día hacen la mayoría de las computadoras son aritmético modulares, donde el módulo es 2b (b es el número de bits de los valores sobre los que operamos).
Esto se ve claro en la compilación de lenguajes de programación como el C; donde por ejemplo todas las operaciones aritméticas sobre "int", enteros, se toman módulo 232 en la mayoría de las computadoras.

En el arte 

En música, debido a la equivalencia de octavas y equivalencia enarmónica (esto es, los pasos en razones de 1/2 o 2/1 son equivalentes, y Do# es lo mismo que Reb), la aritmética modular se usa cuando consideramos la escala de doce tonos igualmente temperada, especialmente en el dodecafonismo. En artes visuales esta aritmética puede usarse para crear patrones artísticos basados en las tablas de multiplicación módulo n (ver enlace abajo).

Véase también 

 Residuo cuadrático
 Teorema chino del resto
 Pequeño teorema de Fermat
 Teorema de Euler
 Criterio de Euler
 Teorema de Lagrange (teoría de grupos)
 Aritmética de saturación
 Operación módulo
 Resto
 Teorema de congruencia lineal
 Principio de inducción
 Reflexividad
 Simetría
 Transitividad
 Congruencias

Referencias

Enlaces externos 
 
 Perl arithmetic enhancements - explica las razones que se encuentran tras el operador de Perl %

Bibliografía 
 http://www.matematicas.ciencias.uchile.cl/juaco/section-10.html
 http://serbal.pntic.mec.es/jpem0100/cesar/01.html
 https://www.cartagena99.com/recursos/alumnos/apuntes/Tema3%20Aritmetica%20Modular.pdf

Teoría de grupos
Aritmética modular