Descomposición de una aplicación lineal


Isomorfismo canónico

Definición y teorema

Sean  y  dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo, o más generalmente, dos módulos sobre un mismo anillo. Sea  una aplicación lineal,  su núcleo e  su imagen o codominio.

Teorema: Existe un isomorfismo canónico :

donde  se puede ver como la clase de  en  ("a" módulo "N") o como el conjunto  de los elementos de la forma  con .

Prueba

 Primero hay que verificar que  está bien definida, porque se ha definido  escogiendo un elemento  (un representante) de la clase , y mirando su imagen por . Hay que establecer que esta imagen no depende de esta elección. Sea entonces  otro elemento de . Las clases de  y  son idénticas: , lo que se puede escribir también: . Entonces , lo que significa que  (porque , luego  también). Luego existe  en el núcleo de  tal que , entonces  por linealidad.
 es sobreyectiva: Todo elemento de la imagen  es por definición de la forma  que vale ; luego pertenece también a .
 es inyectiva:  significa que , es decir que . Entonces  que es el elemento neutro de .

Descomposición de una aplicación lineal

Este isomorfismo se completa naturalmente en una descomposición de la aplicación lineal:  , donde  es la inclusión canónica de  en  ( para todo ), y  es la sobreyección canónica de  sobre  ( para todo ): 
    
 

 

En efecto:  para todo . 

El diagrama precedente es conmutativo en el sentido siguiente:
Cuando existen dos caminos para ir de un punto a otro del diagrama, respetando claro está la orientación de las flechas, entonces se obtiene el mismo resultado por la composición de las aplicaciones.
En este nuevo ejemplo, los caminos verdes y rojos dan la misma aplicación:  y el camino azul equivale al negro: .

Ejemplos

1) Sea  la aplicación que asocia a un entero  su resto por la división euclidiana por 7 (escogido al azar).
Los restos posibles son 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6. La división de 6 por 7 da un resto de 6, mientras que la de 7 por 7 da como resto 0. Es por lo tanto lógico decidir que 0 sucede a 6 en este conjunto, que adquiere así una estructura circular. De hecho, se trata del anillo cíclico :

La aplicación  es lineal como propiedad de las congruencias, es sobreyectiva porque cada cifra entre 0 y 6 corresponde a un resto posible: basta con tomar el dividendo igual a la cifra.
No es inyectiva, y su núcleo es  porque los dividendos que dan restos nulos son claramente los múltiplos de 7.
Como la inclusión  es, como , sobreyectiva, se vuelve biyectiva (una inclusión es por definición inyectiva) y podemos prescindir de ella en la descomposición:

La flecha en diagonal representa el isomorfismo canónico entre  y .
 
2) Consideremos el producto vectorial en , por un vector dado. Para fijar las cosas, sea  una base ortonormal directa del espacio usual, y estudiemos la aplicación que al vector  asocia el vector  (el producto vectorial se denota  o , según los países).

Su descomposición es la siguiente:
La sobreyección  es asimilable a la proyección ortogonal sobre el plano  (mediante la identificación de una recta dirigida por  a su intersección con el plano anterior).
En ella interviene la rotación  directa de 90 grados en el plano  perpendicular al vector .
De hecho  es asimilable a  (gracias a la identificación anterior).
Esto no es de extrañar porque el producto vectorial y las rotaciones en el espacio están íntimamente ligadas (ver cuaterniones y rotación en el espacio).

Álgebra