Número p-ádico
En matemáticas, el sistema numérico -ádico para cualquier número primo  extiende la aritmética ordinaria de los números racionales de una manera diferente a la extensión de los números racionales a los sistemas numéricos real y complejo. La extensión se logra mediante una interpretación alternativa del concepto de cercanía o valor absoluto. En particular, se considera que dos números -ádicos están cerca cuando su diferencia es divisible por una potencia elevada de : cuanto mayor es la potencia, más cerca están. Esta propiedad permite que los números -ádicos codifiquen la información de congruencia de una manera que resulta tener aplicaciones de gran alcance en teoría de números, incluida, por ejemplo, la famosa demostración del último teorema de Fermat por Andrew Wiles.

Estos números fueron descritos por primera vez por Kurt Hensel en 1897, aunque, en retrospectiva, algunos de los trabajos anteriores de Ernst Kummer pueden interpretarse como el uso implícito de números -ádicos. Los números -ádicos fueron motivados principalmente por un intento de llevar las ideas y técnicas de los métodos de las series de potencias a la teoría de números. Su influencia ahora se extiende mucho más allá de este propósito inicial. Por ejemplo, el cuerpo del análisis -ádico proporciona esencialmente una forma alternativa de cálculo infinitesimal.

Más formalmente, para un primo  dado, el cuerpo  de los números -ádicos es un completado de los números racionales. El cuerpo  también recibe una topología derivada de una métrica, que a su vez se deriva del orden -ádico, una valoración alternativa en los números racionales. Este espacio métrico es completo en el sentido de que cada sucesión de Cauchy converge hasta un punto en . Esto es lo que permite el desarrollo del cálculo en , y es la interacción de esta estructura analítica y algebraica lo que le da a los sistemas numéricos -ádicos su gran utilidad.

La letra  en -ádico es una variable y puede ser reemplazada por un número primo (lo que produce, por ejemplo, los números 2-ádicos) u otra expresión que represente a un número primo. El término "ádico" de "-ádico" proviene de la terminación que se encuentra en palabras como diádico o triádico.

Expansión p-ádica de los números racionales

La representación decimal de un número racional  positivo es su representación como series

donde  es un número entero y cada  es también un número entero tal que  Esta expansión puede ser calculada mediante la división larga del numerador por el denominador, que a su vez se basa en el siguiente teorema: si  es un número racional tal que  hay un entero  tal que  y  con  La expansión decimal se obtiene aplicando repetidamente este resultado al resto  que en la iteración asume el papel del número racional original .

La expansión -ádica de un número racional se define de manera similar, pero con un paso de división diferente. Más precisamente, dado un número primo  fijo, cada número racional distinto de cero  se puede escribir únicamente como , donde  es un número entero (posiblemente negativo),  y  son números coprimos, ambos coprimos con , y  es positivo. El entero  es la valoración -ádica de , denotada como  y  es su valor absoluto -ádico, denotado como  (el valor absoluto es pequeño cuando la valoración es grande). El paso de división consiste en escribir

donde  es un número entero tal que  y  es cero o un número racional tal que  (es decir, ). 

La expansión -ádica de  es la serie formal de potencias

obtenido repitiendo indefinidamente el paso de división explicado anteriormente en residuos sucesivos. En una expansión -ádica, todos los  son enteros tales que 

Si  con , el proceso finalmente se detiene con un resto cero; en este caso, la serie se completa con términos finales con coeficiente cero, y es la representación de  en base-.

La existencia y el cálculo de la expansión -ádica de un número racional resulta de la identidad de Bézout de la siguiente manera. Si, como anteriormente,  y  y  son coprimos, existen los enteros  y  tales que  Entonces

y además, la división euclídea de  por  da

con 

Esto da el paso de división como

para que en la iteración

genere el nuevo número racional.

Comprobar la unicidad del paso de división y de toda la expansión -ádica es fácil: si  se tiene que  Esto significa que  divide a  Dado que  y  debe ser cierto que  y  Así, uno obtiene  y como  divide a  eso debe ser 

La expansión -ádica de un número racional es una serie que converge al número racional, si se aplica la definición de serie convergente con el valor absoluto -ádico.

En la notación estándar -ádica, los dígitos se escriben en el mismo orden que en el sistema estándar en base , es decir, con las potencias de la base aumentando hacia la izquierda. Esto significa que la producción de los dígitos se invierte y el límite se sitúa en el lado izquierdo.

La expansión -ádica de un número racional es finalmente periádica. Recíprocamente, una serie  con  converge (para el valor absoluto -ádico) a un número racional si y solo si finalmente es periódico. En este caso, la serie es la expansión -ádica de ese número racional. La demostración es similar al resultado similar a un número decimal periódico.

Ejemplo
Se va a calcular la expansión 5-ádica según la identidad de Bézout para  El número p es  y el denominador es . Por lo tanto,  (para ejemplos más grandes, esto se puede calcular con el algoritmo de Euclides extendido). De este modo

Para el siguiente paso, se tiene que dividir  (el factor 5 en el numerador de la fracción tiene que ser visto como un cambio de la valoración -ádica, y por lo tanto, no está involucrado en la división). Multiplicando la identidad de Bézout por  se obtiene

La "parte entera"  no está en el intervalo derecho. Entonces, se tiene que usar la división euclídea por  para obtener  dando

y

Del mismo modo, se tiene que

y

Como ya se ha encontrado el resto , el proceso puede continuar fácilmente, dando coeficientes  para potencias impares de cinco y  para potencias pares.
O en la notación estándar 5-ádica

con los puntos suspensivos  en el lado izquierdo.

Serie p-ádica
En este artículo, dado un número primo , una serie -ádica es una serie formal de potencias de la forma

donde todo  distinto de cero es un número racional  tal que ninguno de los  y  es divisible por .

Todo número racional puede verse como una serie -ádica con un solo término, que consiste en su factorización de la forma  con  y , ambos coprimos con .

Una serie -ádica está normalizada si cada  es un número entero en un intervalo  Por lo tanto, la expansión -ádica de un número racional es una serie -ádica normalizada.

El valor -ádico, u orden -ádico de una serie -ádica distinta de cero es el entero más bajo  tal que  El orden de la serie cero es infinito 

Dos series -ádicas son equivalentes si tienen el mismo orden , y si para cada entero  la diferencia entre sus sumas parciales

tiene un orden mayor que  (es decir, es un número racional de la forma  con  y  y  ambos coprimos con ). 

Para cada serie -ádica , hay una única serie normalizada  tal que  y  son equivalentes.  es la normalización de  La prueba es similar a la prueba de existencia de la expansión -ádica de un número racional. En particular, cada número racional puede considerarse como una serie -ádica con un solo término distinto de cero, y la normalización de esta serie es exactamente la representación racional del número racional.

En otras palabras, la equivalencia de la serie -ádica es una relación de equivalencia, y cada clase de equivalencia contiene exactamente una serie -ádica normalizada.

Las operaciones usuales de series (suma, resta, multiplicación, división) asignan series -ádicas a series -ádicas, y son compatibles con la equivalencia de series -ádicas. Es decir, denotando la equivalencia con , si ,  y  son series -ádicas distintas de cero tales que  se tiene que

Además,  y  tienen el mismo orden y el mismo primer término.

Notación posicional
Es posible usar una notación posicional similar a la que se usa para representar números en base .

Sea  una serie -ádica normalizada, es decir, cada  es un número entero en el intervalo  Se puede suponer que  al establecer  para  (si ), y sumando los términos cero resultantes a la serie.

Si , la notación posicional consiste en escribir  consecutivamente, ordenados por valores decrecientes de , a menudo con  apareciendo a la derecha como un índice:

Entonces, el cálculo del ejemplo anterior muestra que

y

Cuando  se añade un punto de separación antes de los dígitos con índice negativo y, si el índice  está presente, aparece justo después del punto de separación. Por ejemplo,

y

Si una representación -ádica es finita por la izquierda (es decir,  para valores grandes de ), entonces tiene el valor de un número racional no negativo de la forma  con  enteros. Estos números racionales son exactamente los números racionales no negativos que tienen una representación finita en base . Para estos números racionales, las dos representaciones son iguales.

Definición
Hay varias definiciones equivalentes de números -ádicos. La que se da aquí es relativamente elemental, ya que no implica ningún otro concepto matemático que los introducidos en las secciones anteriores. Otras definiciones equivalentes usan la compleción de un anillo de valoración discreta (véase enteros p-ádicos), espacio métrico completo (véase propiedades topológicas), o límites inversos (véase propiedades modulares).

Un número -ádico se puede definir como una "serie -ádica normalizada". Dado que hay otras definiciones equivalentes que se usan comúnmente, se dice a menudo que una serie -ádica normalizada "representa" un número -ádico, en lugar de decir que "es" un número -ádico.

También se puede decir que cualquier serie -ádica representa un número -ádico, ya que cada serie -ádica es equivalente a una única serie -ádica normalizada. Esto es útil para definir operaciones (suma, resta, multiplicación, división) de números -ádicos: el resultado de tal operación se obtiene normalizando el resultado de la operación correspondiente en serie. Esto define bien las operaciones sobre números -ádicos, ya que las operaciones en serie son compatibles con la equivalencia de series -ádicas.

Con estas operaciones, los números -ádicos forman un cuerpo llamado campo de números -ádicos y denotado como  o . Hay un homomorfismo de cuerpo único de los números racionales sobre los números -ádicos, que representa cada número por su expansión -ádica. La imagen de este homomorfismo se identifica comúnmente con el cuerpo de los números racionales. Esto permite considerar los números -ádicos como una extensión de los números racionales, y los números racionales como un subcampo de los números -ádicos.

La valoración de un número -ádico  distinto de cero, comúnmente denominada , es el exponente de  en el primer término distinto de cero de cada serie -ádica que representa a . Por convención,  es decir, la valoración de cero es  Esta valoración es una valoración discreta. La restricción de esta valoración a los números racionales es la valoración -ádica de , es decir, el exponente  en la factorización de un número racional como  tanto con  como con  números coprimos con respecto a .

Enteros p-ádicos 
Los enteros -ádicos son los números -ádicos con una valoración no negativa.

Un entero -ádico se puede representar como una secuencia

 

de residuos  mod  para cada entero , satisfaciendo las relaciones de compatibilidad  para .

Cada número entero es un entero -ádico (incluyendo cero, cuya valoración por convenio es ). Los números racionales de la forma  con  coprimo con respecto a  y con  también son números enteros -ádicos (por la razón de que  tiene un módulo inverso  para cada ).

Los enteros -ádicos forman un anillo conmutativo, denominado  o , que tiene las siguientes propiedades:

 Es un dominio de integridad, ya que es un subanillo de un cuerpo, o porque el primer término de la serie representativa del producto de dos series -ádicas distintas de cero es el producto de sus primeros términos.
 Las unidades (elementos invertibles) de  son los números -ádicos de valoración cero.
 Es un dominio de ideales principales, tal que cada ideal es generado por una potencia de .
 Es un anillo local de dimensión de Krull, ya que sus únicos ideales primos son los elementos cero y el ideal generado por  el único ideal maximal.
 Es un anillo de valoración discreta, lo que resulta de las propiedades anteriores.
 Es la compleción del anillo local  que es la localización de  en el ideal primo 
 El cardinal del dicho conjunto igual al de los números reales 

La última propiedad proporciona una definición de los números -ádicos que es equivalente a la anterior: el cuerpo de los números -ádicos es el cuerpo de fracciones de la compleción de la localización de los enteros en el ideal primo generado por .

Propiedades topológicas
La valoración -ádica permite definir un valor absoluto sobre los números -ádicos: el valor absoluto -ádico de un número -ádico distinto de cero  es

donde  es la valoración -ádica de . El valor absoluto -ádico de  es  Este es un valor absoluto que satisface el espacio ultramétrico ya que, para cada  y  se tiene que
  si y solo si 
 

Además, si  se tiene que 

Esto hace de los números -ádicos un espacio métrico, e incluso un espacio ultramétrico, con la distancia -ádica definida por

Como espacio métrico, los números -ádicos forman la completación de los números racionales equipados con el valor absoluto -ádico. Esto proporciona otra forma de definir los números -ádicos. Sin embargo, la construcción general de una terminación se puede simplificar en este caso, porque la métrica se define por una valoración discreta (en resumen, se puede extraer de cada sucesión de Cauchy una subsecuencia tal que las diferencias entre dos términos consecutivos tienen valores absolutos estrictamente decrecientes; tal subsecuencia es la secuencia de los términos de una serie -ádica, y por lo tanto una única serie -ádica normalizada puede asociarse a cada clase de equivalencia de sucesiones de Cauchy, por lo que para construir la completación basta considerar la serie -ádica normalizada en lugar de las clases de equivalencia de las sucesiones de Cauchy).

Como la métrica se define a partir de una valoración discreta, cada bola es también cerrada. Más precisamente, la bola abierta  es igual a la bola cerrada  donde  es el menor entero tal que  De manera similar,  donde  es el mayor entero tal que  Esto implica que el espacio topológico de los números p-ádicos  con la topología definida por la norma p-ádica, es un espacio completamente disconexo.

Esto implica que los números -ádicos forman una estructura con compacidad local; y que los enteros -ádicos, es decir, las bolas , forman un espacio compacto.

Como espacio métrico los números p-ádicos forman un espacio métrico completo. Aunque no son un cuerpo algebraicamente cerrado. La clausura algebrica denotada como  vuelce a no ser métricamente completa. Sin embargo, se puede construir un cuerpo algebraico cerrado, que además sea un espacio métrico completo y contenga a . Ese cuerpo se suele denotar como  o bien como .

Propiedades modulares
El anillo cociente  se puede identificar con el anillo  de los enteros respecto al módulo  Esto se puede demostrar observando que todo entero -ádico, representado por su serie -ádica normalizada, es congruente módulo  con su serie  cuyo valor es un entero en el intervalo  Una verificación directa muestra que esto define un homomorfismo de anillos de  a 

El límite inverso de los anillos  se define como el anillo formado por las secuencias  tal que  y  para cada .

La aplicación que hace corresponder una serie -ádica normalizada a la secuencia de sus sumas parciales es un isomorfismo de anillo desde  hasta el límite inverso de . Esto proporciona otra forma de definir enteros -ádicos (salvo un isomorfismo).

Esta definición de enteros -ádicos es especialmente útil para cálculos prácticos, ya que permite construir enteros -ádicos mediante aproximaciones sucesivas.

Por ejemplo, para calcular el inverso -ádico (multiplicativo) de un número entero, se puede utilizar el método de Newton, a partir del módulo inverso ; y luego, para cada paso del método de Newton calcula el módulo inverso  del módulo inverso 

Se puede usar el mismo método para calcular la raíz cuadrada -ádica de un número entero que es un residuo cuadrático módulo . Este parece ser el método conocido más rápido para probar si un entero grande es un cuadrado: basta con probar si el entero dado es el cuadrado del valor encontrado en . La aplicación del método de Newton para encontrar la raíz cuadrada requiere que  sea mayor que el doble del entero dado, lo que se satisface rápidamente.

La elevación de Hensel es un método similar que permite elevar el módulo de factorización  de un polinomio con coeficientes enteros a un módulo de factorización  para valores grandes de . Esto es comúnmente utilizado por los algoritmos de factorización de polinomios.

Notación
Hay varias convenciones diferentes para escribir expansiones -ádicas. Hasta ahora, este artículo ha utilizado una notación para expansiones -ádicas en las que las potencias de  aumentan de derecha a izquierda. Con esta notación de derecha a izquierda, la expansión 3-ádica de , por ejemplo, se escribe como

Al realizar operaciones aritméticas en esta notación, los dígitos son acarreados a la izquierda. También es posible escribir expansiones -ádicas de modo que las potencias de  aumenten de izquierda a derecha y los dígitos se lleven a la derecha. Con esta notación de izquierda a derecha, la expansión 3-ádica de  es

Las expansiones -ádicas pueden escribirse con otros conjuntos de dígitos en lugar de {0, 1, ..., }. Por ejemplo, la expansión 3-ádica de 1/5 se puede escribir usando los dígitos en sistema ternario equilibrado {1,0,1} como

De hecho, cualquier conjunto de números enteros  que estén en distintos clases de residuos módulo  puede utilizarse como dígitos -ádicos. En teoría de números, las representaciones de Teichmüller a veces se usan como dígitos.

La notación con comillas es una variante de la representación -ádica de los números racionales que fue propuesta en 1979 por Eric Hehner y Nigel Horspool para manejar en las computadoras la aritmética (exacta) generada con estos números.

Cardinalidad
Tanto  como  son no numerables y poseen la cardinalidad del continuo. Para  esto resulta de la representación -ádica, que define una función biyectiva de  sobre el conjunto de potencias  Para  esto resulta de su expresión como conjunto numerable unión de copias de :

Cierre algebraico
 contiene a  y es un cuerpo de característica . Debido a que  se puede escribir como suma de cuadrados,  no se puede convertir en un cuerpo ordenado.

El conjunto de los números reales  tiene solo una única extensión algebraica propia: los números complejos . En otras palabras, esta extensión de cuerpos ya es algebraicamente cerrada. Por el contrario, la clausura algebraica de , denotado como  tiene grado infinito, es decir,  tiene infinitas extensiones algebraicas no equivalentes. También contrastando el caso de los números reales, aunque existe una única extensión de la valoración -ádica a  esta última no es (métricamente) completa. Su completación (métrica) se denomina  o . Aquí se llega a una estructura completa, ya que  es algebraicamente cerrado. Sin embargo, a diferencia de , este cuerpo no posee compacidad local.

Los conjuntos  y  son isomorfos como anillos , por lo que se puede considerar a  como  dotado de una métrica exótica. La prueba de la existencia de tal isomorfismo de cuerpo se basa en el axioma de elección y no proporciona un ejemplo explícito de tal isomorfismo (es decir, no es una demostración constructiva).

Si  es una extensión de Galois finita de , el grupo de Galois  es resoluble. Así, el grupo de Galois  es prorresoluble.

Grupo multiplicativo
 contiene el -ésimo cuerpo ciclotómico () si y solo si . Por ejemplo, el cuerpo ciclotómico -ésimo es un subcuerpo de  si y solo si  o . En particular, no existe una -torsión multiplicativa en , si . Además,  es el único elemento de torsión no trivial en .

Dado un número natural , el índice del grupo multiplicativo de las -ésimas potencias de los elementos distintos de cero de  en  es finito.

El número , definido como la suma de recíprocos de factoriales, no es miembro de ningún cuerpo -ádico; pero . Para  se debe tomar al menos la cuarta potencia. Por lo tanto, un número con propiedades similares a las de , es decir, una raíz -ésima de , es miembro de  para todos los .

Principio local-global
Según el principio local-global de Helmut Hasse, una ecuación se puede resolver sobre los números racionales si y solo si se puede resolver sobre los números reales y sobre los números -ádicos para cada primo . Este principio se cumple, por ejemplo, para ecuaciones dadas por formas cuadráticas, pero falla para polinomios superiores con varias varables.

Aritmética racional con la elevación de Hensel

Generalizaciones y conceptos relacionados
Los números reales y los números -ádicos son los complementos de los números racionales; pero también es posible completar otros cuerpos de manera análoga, como por ejemplo el cuerpo de números algebraicos generales. Esta propiedad se describe a continuación.

Supóngase que D es un dominio de Dedekind y E es su cuerpo de fracciones. Elíjase un ideal primo P de D distinto de cero. Si x es un elemento distinto de cero de E, entonces xD es un ideal fraccional y se puede factorizar de forma única como un producto de potencias positivas y negativas de ideales primos distintos de cero de  D. Entonces, se escribe ordP(x) para el exponente de P en esta factorización, y para cualquier elección de número c mayor que 1 se puede establecer que

La completación con respecto a este valor absoluto|.|P produce un cuerpo EP, lo que supone la generalización propia del cuerpo de los números p-ádicos respecto a esta configuración. La elección de c no cambia la completación (diferentes elecciones producen el mismo concepto de sucesión de Cauchy, por lo que se obtiene la misma completación). Es conveniente, cuando el cuerpo residuo D/P es finito, tomar c el tamaño de D/P.

Por ejemplo, cuando E es un cuerpo de números algebraicos, el teorema de Ostrowski afirma que todo valor absoluto no arquimediano no trivial en E surge como algún|.|P. Los restantes valores absolutos no triviales de E surgen de las diferentes incrustaciones de E en los números reales o complejos. De hecho, los valores absolutos no arquimedianos pueden considerarse simplemente como las diferentes incrustaciones de E en los campos Cp, poniendo así la descripción de todos los valores absolutos no triviales de un cuerpo numérico en una base común.

A menudo, es necesario realizar un seguimiento simultáneo de todas las terminaciones mencionadas anteriormente cuando E es un cuerpo numérico (o, más generalmente, un cuerpo global), que se considera que codifica información local. Esto se logra mediante los anillos adeles y los grupos ideles.

Los enteros p-ádicos se pueden extender a los solenoides p-ádicos . Existe una aplicación de  sobre el grupo circular cuyas fibras son los enteros p-ádicos , en analogía a como existe una aplicación de  sobre el círculo cuyas fibras son .

Véase también

Referencias

Notas

Bibliografía

. — Translation into English by  John Stillwell of Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen (1882).

Lecturas relacionadas

Enlaces externos

p-adic number at Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics
Completion of Algebraic Closure – on-line lecture notes by Brian Conrad
An Introduction to p-adic Numbers and p-adic Analysis - on-line lecture notes by Andrew Baker, 2007
Efficient p-adic arithmetic (slides)
Introduction to p-adic numbers

Teoría de cuerpos
Teoría de números
Números p-ádicos