Matriz ortogonal
Una matriz ortogonal es una matriz cuadrada cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta. El conjunto de matrices ortogonales constituyen una representación lineal del grupo ortogonal .

Geométricamente, las matrices ortogonales representan transformaciones isométricas en espacios vectoriales reales (o más exactamente espacios de Hilbert reales) llamadas justamente, transformaciones ortogonales. Estas transformaciones son isomorfismos internos del espacio vectorial en cuestión. En el caso real, dichas transformaciones pueden ser rotaciones, reflexiones especulares o inversiones y son usadas extensivamente en computación gráfica. Por sus propiedades, también son usadas para el estudio de ciertos fibrados y en física se las usa en el estudio del movimiento de cuerpos rígidos y en la formulación de ciertas teorías de campos.

Definición
Sea  un número natural y sea  una matriz cuadrada  por , con entradas reales. Se dice que la matriz es ortogonal si:

donde  representa la matriz traspuesta de  e  representa la matriz identidad.

Ejemplos 
Supongamos que la matriz de números reales

es ortogonal y su determinante es +1 o -1.

Por lo que: 

Así que los números ,  ,  y  satisfacen, además, la propiedad que la suma de sus cuadrados vale 1. Por lo tanto, existen un par de números reales  y  para los cuales
 

Por lo tanto, sustituyendo en  queda: 

Y . Entonces, se cumple que  o 

Concluimos que toda matriz ortogonal de tamaño 2 puede escribirse como

con  real y

con  real

Caracterización

Sea  una matriz ortogonal  por . Sean , ,   los  vectores fila de la matriz. En término de estos vectores, es muy fácil expresar los elementos de la matriz que resulta de multiplicar  por su transpuesta:

De modo que los vectores fila de una matriz ortogonal forman un conjunto de  vectores ortonormales. Puesto que la ecuación

también se verifica, tenemos que los vectores columna de la matriz  también forman un conjunto ortonormal de vectores. Como el recíproco de todo esto también es cierto, tenemos
Una matriz real  es ortogonal si y sólo si sus vectores filas o vectores columna son cada uno un conjunto ortonormal de vectores.
Es en este sentido que se dice que se ha hecho una caracterización de las matrices ortogonales. Dada una matriz, basta verificar esta propiedad entre sus vectores fila y columna para determinar si dicha matriz es o no ortogonal.

Propiedades
De la definición, es inmediato que si una matriz es ortogonal, la matriz es no singular o invertible y su transpuesta coincide con su inversa
El determinante de una matriz ortogonal  es +1 o -1. En efecto, de las propiedades del determinante tenemos

y por tanto,

El conjunto de matrices  ortogonales, junto con la operación de producto de matrices es un grupo llamado grupo ortogonal O(n). Supongamos que  y  son matrices ortogonales y sea  igual al producto de  por . Usando las propiedades del producto de matrices, tenemos

y así, el producto de matrices ortogonales es una matriz ortogonal.
En teoría de grupos, al grupo de matrices ortogonales  por  con coeficientes en el cuerpo  se denomina grupo ortogonal de dimensión  y se representa con . En particular el subgrupo formado por las matrices ortogonales de determinante +1, se llama grupo especial ortogonal y se le representa con . Entre las matrices ortogonales se encuentran las matrices de rotación y las de permutación. Cuando el cuerpo es el de los reales  entonces se escribe simplemente  y .

Notas

Véase también
Para profundizar sobre este tema y en general sobre álgebra, puede consultar
G. Birkhoff, S MacLane, Álgebra Moderna, ed. Vicens-Vives, Madrid 1980. ISBN 84-316-1226-6

Matrices