Fórmula de inversión de Möbius
La clásica fórmula de inversión de Möbius fue introducida en la teoría de números durante el  por August Ferdinand Möbius. Fue generalizada más tarde a otras «fórmulas de inversión de Möbius».

Formulación 

La versión clásica establece que si g(n) y f(n) son funciones aritméticas satisfaciendo
 
entonces

donde μ es la función de Möbius y las sumas se extienden sobre todos los divisores positivos de n. La fórmula también es correcta si f y g son funciones de los números enteros positivos en algún grupo abeliano. Las dos funciones se dice que son la transformada de Möbius la una de la otra. En el lenguaje de convoluciones (véase función multiplicativa), la primera fórmula puede expresarse como

donde "*" denota el operador convolución de Dirichlet, y 1 es la función constante f(n)=1. De la misma manera, la segunda se expresa como

Generalizaciones 

Una formulación equivalente de la fórmula de inversión, más útil en combinatoria es como sigue:

Suponga que F(x) y G(x) son funciones complejo-valoradas definidas en un intervalo [1, ∞) tales que

 
entonces
 

aquí las sumas se extienden sobre todos los números enteros positivos n que son menores o iguales que x. 

La inversión de Möbius tratada arriba es la inversión original de Möbius. Cuando el conjunto parcialmente ordenado de los números naturales ordenados por la divisibilidad es substituido por otros conjuntos parcialmente ordenados localmente finitos, uno obtiene otras fórmulas de inversión de Möbius; para una reseña de ellas, véase álgebra de incidencia.

Versión multiplicativa de la fórmula de inversión 

Como la fórmula de inversión de Möbius puede ser aplicada a cualquier grupo abeliano, esto no supone una diferencia entre si la operación de grupo es la adición o la multiplicación. En este sentido, se puede proporcionar la siguiente versión multiplicativa de la fórmula de inversión de Möbius. Si 

 

entonces

Véase también 

 August Ferdinand Möbius
 Álgebra de incidencia
 Función multiplicativa

Referencias

Enlaces externos 

Mobius, formula de inversion
Möbius, fórmula
Combinatoria enumerativa
ru:Функция Мёбиуса#Обращение Мёбиуса