Función holomorfa
Las funciones holomorfas son el principal objeto de estudio del análisis complejo; son funciones que se definen sobre un subconjunto del plano complejo  y con valores en , que son complejo-diferenciables en algún entorno de un punto de su dominio. En este caso se dice que la función es holomorfa en ese punto. Si la función es holomorfa en cada punto de su dominio, se dice que es holomorfa en su dominio. Esta condición es mucho más fuerte que la diferenciabilidad en caso real e implica que la función es infinitamente diferenciable y que puede ser descrita mediante su serie de Taylor.

El término función analítica se usa a menudo en vez del de "función holomorfa", especialmente para cuando se trata de la restricción a los números reales de una función holomorfa. Una función que sea holomorfa sobre todo el plano complejo se dice función entera. La frase "holomorfa en un punto a" significa no solo diferenciable en a, sino diferenciable en todo un disco abierto centrado en a, en el plano complejo.

Las funciones holomorfas también se denominan a veces funciones regulares. Una función holomorfa cuyo dominio es todo el plano complejo se denomina función entera. La frase "holomorfa en un punto " significa no sólo diferenciable en , sino diferenciable en todas partes dentro de alguna vecindad de  en el plano complejo.

Definición 

Dada una función de valor complejo  de una sola variable compleja, la derivada de  en un punto  de su dominio se define como el límite.

La definición/función es la siguiente:

Este límite se toma aquí sobre todas las sucesiones de números complejos que se aproximen a z0, y para todas esas sucesiones el cociente de diferencias tiene que dar el mismo número f '(z0).

Intuitivamente, si f es complejo-diferenciable en z0 y nos aproximamos al punto z0 desde la dirección r, entonces las imágenes se acercarán al punto f(z0) desde la dirección f '(z0) r, donde el último producto es la multiplicación de números complejos. Este concepto de diferenciabilidad comparte varias propiedades con la diferenciabilidad en caso real:
es lineal y obedece a las reglas de derivación del producto, del cociente y de la cadena.

Una función es holomorfa en un conjunto abierto  si es diferenciable compleja en cada punto de . Una función  es holomorfa en un punto  si es holomorfa en alguna vecindad de .  Una función es holomorfa en algún conjunto no abierto  si es holomorfa en cada punto de . 

Una función puede ser diferenciable compleja en un punto pero no holomorfa en ese punto. Por ejemplo, la función  es diferenciable compleja en , pero no diferenciable compleja en otro lugar (véase las ecuaciones de Cauchy-Riemann, más adelante). Por lo tanto, es no holomorfa en . 

Si f es complejo-diferenciable y las derivadas son continuas en cada punto z0 en U, se dice que f es holomorfa en U. Es claro que, al igual que en el caso real, si f es holomorfa e inyectiva en U —con inversa continua— entonces  es holomorfa y su derivada vale:

La relación entre la diferenciabilidad real y la diferenciabilidad compleja es la siguiente: Si una función compleja  es holomorfa, entonces  y  tienen primeras derivadas parciales con respecto a  y , y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

o, equivalentemente, la derivada de Wirtinger de  con respecto a  el complejo conjugado de  es cero:

lo que equivale a decir que, aproximadamente,  es funcionalmente independiente de  el complejo conjugado de .

Si no se da continuidad, la inversa no es necesariamente cierta. Una simple inversa es que si  y  tienen primeras derivadas parciales continuas y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces  es holomorfa. Un inverso más satisfactorio, que es mucho más difícil de demostrar, es el Teorema de Looman-Menchoff: si  es continua,  y  tienen primeras derivadas parciales (pero no necesariamente continuas), y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces  es holomorfa.

Terminología 
El término holomorfo fue introducido en 1875 por Charles Briot y Jean-Claude Bouquet, dos de los alumnos de Augustin-Louis Cauchy, y deriva del griego ὅλος (hólos) que significa "todo", y μορφή (morphḗ) que significa "forma" o "apariencia" o "tipo", en contraste con el término meromórfica derivado de μέρος (méros) que significa "parte". Una función holomorfa se asemeja a una función entera ("entera") en un dominio del plano complejo mientras que una función meromorfa (definida como holomorfa excepto en ciertos polos aislados), se asemeja a una fracción racional ("parte") de funciones enteras en un dominio del plano complejo.

Ejemplos 

Todas las funciones polinómicas en z con coeficientes complejos son holomorfas sobre C,
y también lo son las funciones trigonométricas de z y la función exponencial.
(Las funciones trigonométricas están de hecho relacionadas estrechamente con esta última y pueden definirse a partir de ella usando la fórmula de Euler).
La rama principal de la función logaritmo es holomorfa sobre el conjunto C - {z ∈ R : z ≤ 0}.
La función raíz cuadrada se puede definir como :
 
y es por tanto allá donde lo sea la función logaritmo ln(z). La función 1/z es holomorfa sobre {z : z ≠ 0}.
Las funciones trigonométricas inversas tienen cortes y son holomorfas en todos los puntos excepto en estos cortes.

Propiedades 

Ya que la diferenciación compleja es lineal y cumple las reglas del producto, del cociente y de la cadena, se tendrá que las sumas, productos, composiciones son también holomorfas, y el cociente de dos funciones holomorfas lo será allá donde el denominador sea distinto de cero. 

Cada función holomorfa es infinitamente diferenciable en cada punto, y coincide con su propia serie de Taylor; esta serie convergerá sobre cada disco abierto que se encuentre dentro del dominio U. La serie de Taylor puede converger en un disco más grande; por ejemplo, la serie de Taylor para el logaritmo converge sobre cada disco que no contenga al 0, incluso en las cercanías de la línea real negativa.

Si se identifica C con R², entonces las funciones holomorfas son las mismas que aquellas funciones de dos variables reales diferenciables y que cumplan las ecuaciones de Cauchy-Riemann, que son un par de ecuaciones diferenciales parciales.

Las funciones holomorfas son conformes cerca de los puntos con derivada distinta de cero, en el sentido de que preservan ángulos y la forma (pero no el tamaño) de las figuras pequeñas.

Toda función holomorfa puede separarse en sus partes real e imaginaria }, y cada una de ellas es una función armónica en  (cada una satisface la ecuación de Laplace ), siendo  el conjugado armónico de . A la inversa, toda función armónica  sobre un dominio simplemente conexo  es la parte real de una función holomorfa: Si  es el conjugado armónico de , único hasta una constante, entonces  es holomorfa.

La fórmula integral de Cauchy dice que los valores, dentro de un disco, de una función holomorfa, quedan determinados por los valores de la función en la frontera del disco.

Aquí  es un  camino rectificable en un dominio complejo simplemente conexo  cuyo punto inicial es igual a su punto final, y  es una función holomorfa.

La fórmula integral de Cauchy afirma que toda función holomorfa en el interior de un disco está completamente determinada por sus valores en la frontera del disco. Además: Supongamos que  es un dominio complejo,  es una función holomorfa y el disco cerrado D = {z : |z − z0| ≤ r} es completamente contenida en . Sea  el círculo que forma el límite de . Entonces para cada  en el interior de :

donde la integral de contorno se toma en sentido contrario a las agujas del reloj.

La derivada  puede escribirse como una integral de contorno utilizando la fórmula de diferenciación de Cauchy:

para cualquier bucle simple que se enrolle positivamente una vez alrededor de , y

para bucles infinitesimales positivos  alrededor de .

En regiones donde la primera derivada no es cero, las funciones holomorfas son conforme: preservan los ángulos y la forma (pero no el tamaño) de las figuras pequeñas.

Toda función holomorfa es analítica. Es decir, una función holomorfa  tiene derivadas de todo orden en cada punto  de su dominio, y coincide con su propia serie de Taylor en  en una vecindad de . De hecho,  coincide con su serie de Taylor en  en cualquier disco centrado en ese punto y situado dentro del dominio de la función.

Desde un punto de vista algebraico, el conjunto de funciones holomorfas sobre un conjunto abierto es un anillo conmutativo y un  espacio vectorial complejo. Además, el conjunto de funciones holomorfas en un conjunto abierto  es un  dominio integral si y sólo si el conjunto abierto  es conexo. De hecho, es un  espacio vectorial topológico localmente convexo, siendo la seminorma la  suprema en un  subconjunto compacto.

Desde una perspectiva geométrica, una función  es holomórfica en  si y sólo si su derivada exterior  en una vecindad  de  es igual a  para alguna función continua . Se deduce de

que  también es proporcional a , lo que implica que la derivada  es a su vez holomorfa y, por tanto, que  es infinitamente diferenciable. Análogamente,  dz ∧ dz = 0}} implica que cualquier función  que sea holomorfa en la región simplemente conexa  es también integrable en .

(Para un camino  de  a  enteramente en , definir  a la luz del teorema de la curva de Jordan y del teorema de Stokes generalizado,  es independiente de la elección particular de la trayectoria , y por tanto  es una función bien definida sobre  teniendo  y . )

}

Véase también 
 función antiholomorfa
 Biholomorfismo
 Función meromorfa

Referencias

Bibliografía 
 

Holomorfa
Análisis complejo
Funciones analíticas