Subespacio vectorial
En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V el espacio vectorial original.

Definición de subespacio vectorial 
Sea  un espacio vectorial sobre  y  no vacío,  es un subespacio vectorial de  si:

Consecuencias 

Un subconjunto de vectores que cumple las dos condiciones anteriores es un subespacio vectorial y por tanto un espacio vectorial.

Notaciones

Dado  un subespacio vectorial, se tiene:

Para i) el abuso de lenguaje , e incluso  es correcto.

Para ii) el abuso de lenguaje , e incluso  es correcto.

Criterio de verificación 
Es posible sintetizar i) y ii) en una condición única:

Ejemplos 
Dado el espacio vectorial , sus elementos son del tipo .

El subconjunto 

es un subespacio vectorial.

El subconjunto

no es un subespacio vectorial.

Operaciones con subespacios 
Sea  un espacio vectorial;  y  subespacios vectoriales de , se definen las siguientes operaciones:

Unión 

En general, la unión de subespacios no es un subespacio.

Intersección 

La intersección de dos subespacios es un subespacio.

Suma 

La suma de dos subespacios es un subespacio de V.

Suma directa 
Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa".
Es decir que si 
Esto significa que todo vector de S+W, se escribe de manera única como la suma de un vector de S y otro de W.

Subespacios suplementarios 
Se dice que los subespacios  y son suplementarios cuando verifican que su suma directa es igual al espacio vectorial :

Dimensiones de subespacios 

La fórmula de Grassmann resuelve que la dimensión de la suma de los subespacios  y  será igual a la dimensión del subespacio  más la dimensión del subespacio  menos la dimensión de la intersección de ambos, es decir:

Por ejemplo, siendo  y  y teniendo como intersección un subespacio de dimensión 1. Luego, .

En la suma directa 
En el caso particular de la suma directa, como .La fórmula de Grassmann resulta:Entonces en el ejemplo anterior, resultaría .

Véase también 

 Base (álgebra)
 Combinación lineal
 Dependencia e independencia lineal
 Espacio vectorial
 Producto escalar
 Producto vectorial
 Producto mixto
 Sistema generador

Referencias 

Álgebra lineal