Conexión de Levi-Civita
En geometría de Riemann, la conexión de Levi-Civita (nombrada así por Tullio Levi-Civita) es la conexión libre de torsión del fibrado tangente, preservando una métrica de Riemann (o métrica pseudoriemanniana) dada. El teorema fundamental de la geometría de Riemann establece que hay una conexión única que satisfacen estas propiedades.

En la teoría de una variedad de Riemann o de una variedad pseudoriemanniana el término derivada covariante se utiliza a menudo para la conexión de Levi-Civita. La expresión en coordenadas espaciales de la conexión se llama los símbolos de Christoffel.

Definición formal 

Sea (M, g) una variedad de Riemann (o una variedad pseudoriemanniana) entonces una conexión afín  es una conexión de Levi-Civita si satisface las condiciones siguientes

 Preserva la métrica, es decir, para cualesquiera campos vectoriales X, Y, Z tenemos , donde X g(Y, Z) denota la derivada de la función g(Y, Z) a lo largo del campo vectorial X.

Es libre de torsión, es decir, para cualesquiera campos vectoriales X y Y tenemos , donde  es el corchete de Lie de los campos vectoriales X y Y.

Símbolos de Christoffel 
Sea de  una conexión afín en el fibrado tangente  de la variedad de Riemann . En un entorno de cualquier punto podemos escoger coordenadas locales  con la base de campos vectoriales .
Localmente la conexión queda determinada por los Símbolos de Christoffel, que se definen como:
.

Para la conexión de Levi-Civita, los Símbolos de Christoffel pueden ser calculados a partir de la métrica. Localmente, si  son los coeficientes de la matriz del tensor métrico en el sistema de coordenadas local; y  los de la matriz inversa, se demuestra que, para la conexión de Levi-Civita:

Derivada a lo largo de una curva 

La conexión de Levi-Civita define también una derivada a lo largo una curva, denotada generalmente por D.

Dado curva diferenciable γ sobre (M, g) y un campo vectorial V en γ su derivada se define como

.

Conexión estándar de  
Para dos campos vectoriales  en el espacio euclídeo n-dimensional, ésta está dada por la regla

donde  es el jacobiano de Y.

Conexión inducida en superficies de  

Para un par de campos vectoriales tangentes a una superficie (variedad de codimensión 1 en ) se puede inducir una derivada covariante mediante el cálculo 

relación conocida como ecuación de Gauss. Es fácil demostrar que  satisface las mismas propiedades que D.

Enlaces externos 

PlanetMath: Levi-Civita Connection

Véase también 

vierbein.
Tullio Levi-Civita.

Geometría de Riemann