Radical de un ideal
En teoría de anillos, una rama de las  matemáticas, el radical de un anillo  es el ideal por la izquierda  que es la intersección de todos los ideales por la izquierda maximales de .  Hay diferentes tipos de radicales, como el nilradical o el radical de Jacobson, así como una teoría de propiedades generales radicales.

Definición de radical de un ideal

Sea  un anillo conmutativo y sea  un ideal del anillo. El conjunto  se denomina radical del ideal  (o sencillamente radical de ).

Si  es que existe un entero  tal que . Así, si  es . 

Si además  existirá otro entero  de manera que . 

Por el Teorema del binomio:

Si  entonces es , luego el exponente de  es mayor o igual que , y así .

Si  entonces es  ya que .

En cualquier caso, cada sumando de  está en , que es un ideal de , luego  y será .

Así  es un ideal de .

Un ideal  de un anillo conmutativo y unitario  se dice que es ideal radical si coincide con su radical, esto es, si . Como es obvio, el radical de un ideal es siempre un ideal radical.

Todo ideal primo es radical: En efecto, Si  es un ideal primo, entonces  es un dominio integral, esto es, no tiene divisores de cero, y en particular no puede tener nilpotentes.

Es sencillo comprobar que si tomamos  la proyección canónica de  sobre , entonces  (de hecho mediante esta demostración se demuestra de manera inmediata que  es un ideal de ; aquí,  es el nilradical de , definido más abajo). Para ver esto, notar en primer lugar que si , entonces para algún ,  es cero en , y por tanto  está en . Recíprocamente, si  está en  para algún  será , entonces es cero en , y por tanto  está en .

Mediante el uso de la localización, podemos ver que  es la intersección de todos los ideales primos de  que contienen a : cada ideal primo es radical, así que la intersección de los ideales primos que contienen a  contienen a .  Si  es un elemento de  que no está en , entonces sea  el conjunto .  es multiplicativamente cerrado, así que podremos formar la localización .

El nilradical 

Sea  un Anillo conmutativo.  Primero mostraremos que los elementos nilpotentes de  forman un ideal .  Sean  y  elementos nilpotentes de  con  y .  Probamos que  es nilpotente.  Podemos usar el Teorema del binomio para expandir (a+b)^(n+m) :

Para cada , se da una y sólo una de las siguientes condiciones:

Esto dice que en cada expresión , o bien el exponente de  será lo suficientemente grande como para anular la expresión (si  entonces es , luego el exponente de  es mayor o igual que , y así ), o bien el exponente de  será lo suficientemente grande como para anular la expresión (si  entonces es ). Así tenemos que  es nilpotente, y por tanto está en .

Para terminar de comprobar que   es un ideal, cogemos un elemento arbitrario .  , así que  es nilpotente, y está por tanto en .  Con lo que  es un ideal.

 se denomina entonces  nilradical de , o radical nilpotente de , y se denota por .
Al anillo  se le denomina anillo reducido (asociado a ), aunque esta denominación está cayendo en el desuso.

Es inmediato comprobar que .

Es sencillo demostrar que , esto es, que el nilradical de un anillo es precisamente el radical del ideal nulo.
Por esto, el nilradical de  es la intersección de todos los ideales primos de .

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