Desigualdad de Chebyshov
En probabilidad, la desigualdad de Chebyshov (también escrito de Chebychev) es un resultado que ofrece una cota inferior a la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria con varianza finita esté a una cierta distancia de su esperanza matemática. La desigualdad recibe su nombre del matemático ruso Pafnuti Chebyshov.

En la literatura, a este tipo de desigualdades, cuya característica es la comparación de la probabilidad de la cola de la distribución y su valor esperado, se le conoce como desigualdades tipo Chebyshov.

Estas desigualdades son la herramienta básica para demostrar resultados como la ley de los grandes números, entre otros. Además de que tienen aplicaciones en estadística, así como en otras áreas de las matemáticas.

Historia

El teorema se llama así por el matemático ruso Pafnuty Chebyshev, a pesar de que fue formulada por primera vez por su amigo y colega  Irénée-Jules Bienaymé. El teorema fue enunciado primero sin pruebas por Bienaymé en 1853 y posteriormente probado por Chebyshev en 1867. Su estudiante  Andrey Markov proporcionó otra prueba más en 1884 en su tesis doctoral.

Formulación 
Sea  una variable aleatoria no negativa y una función  creciente tal que . Entonces  se da la desigualdad siguiente:

Casos particulares de la desigualdad 
Algunas formulaciones menos generales que se desprenden de la primera son las siguientes:

 Sea  variable aleatoria con momento de orden  finito, entonces

siendo  y  .

 Sea  con momento centrado de orden  finito, entonces

 siendo , , y  .

 Sea  variable aleatoria de media  y varianza finita , entonces, para todo número real ,

Sólo en caso de que   la desigualdad proporcionan una cota no trivial.

Tabla

Ejemplos 
Para ilustrar este resultado, supongamos que los artículos de Wikipedia tienen una extensión media de 1000 caracteres y una desviación típica de 200 caracteres. De la desigualdad de Chebyshov, usando , se deduce que al menos el 75% de los artículos tendrán una extensión comprendida entre 600 y 1400 caracteres.

Otra consecuencia del teorema es que para cada distribución de media μ y desviación típica finita σ, al menos la mitad de sus valores se concentrarán en el intervalo .

Demostración 
Debido a que por hipótesis  es creciente, se cumple que:

Si  es continua se tiene,

y de ser discontinua se razonaría análogamente, llegando a la misma conclusión. Si ahora se aplica el funcional esperanza a los dos lados de la primera desigualdad, se habrá demostrado el resultado.

Demostración del tercer caso particular 
Para demostrar la desigualdad se parte de la variable aleatoria auxiliar  definida así:

Entonces, trivialmente,

y por lo tanto,

Tomando esperanzas en ambos miembros se obtiene

por lo que

Pero, a su vez, dado que  sólo puede ser 0 o 1,

lo que prueba el resultado.

Referencias

Véase también
 Desigualdad de Márkov
 Desigualdad de Hoeffding

Teoría estadística
Desigualdades
Teoría de probabilidades
Chebyshov, desigualdad
Ciencia y tecnología de Rusia del siglo XIX
Ciencia de 1867