Conjunto vacío
Desde principios del , en la matemática, particularmente en la teoría axiomática de Conjuntos de ZF o la teoría intuitiva de conjuntos, el conjunto vacío es  el que no posee  elemento alguno. Puesto que lo único que define a un conjunto es la propiedad que satisfacen sus elementos, el conjunto vacío es único.

Algunas propiedades de los conjuntos son obviamente ciertas para el conjunto vacío. En una teoría axiomática de conjuntos, la existencia de un conjunto vacío se postula.

Definición y notación 

El conjunto vacío es el conjunto que no tiene elementos.

El conjunto vacío es denotado por los símbolos:

derivados de la letra Ø de las lenguas danesa y noruega, entre otras. Esta notación fue introducida por André Weil en 1939. Otra notación común para el conjunto vacío es la notación extensiva, especificando sus elementos (ninguno) entre llaves:
 

Expresión analítica :  Sea el conjunto en el espacio vectorial R .  Entonces

Propiedades 
Es necesario y legítimo hablar de «el conjunto vacío» y no de «un conjunto vacío». El conjunto vacío posee ciertas propiedades:

Muchas afirmaciones sobre el conjunto vacío son trivialmente ciertas, debido a la siguiente propiedad:

Este teorema es cierto porque el conjunto vacío no tiene elementos, y decir «todo hombre en  es inmortal» es lo mismo que afirmar que «no hay ningún hombre mortal en », y esto último es trivialmente cierto. Además, el conjunto vacío actúa como el cero en las operaciones del álgebra de conjuntos:

Adicionalmente, el conjunto potencia del conjunto vacío es el que contiene sólo al mismo conjunto vacío, es decir, . Por lo tanto, el número cardinal de  es .

Otras propiedades
 La intersección de un conjunto y su complementario es el conjunto vacío. En símbolos: .
 El conjunto  es abierto y cerrado.
 La diferencia de cualquier conjunto consigo mismo es el conjunto vacío. .
 En la diferencia simétrica definida en un conjunto potencia , el conjunto vacío es el elemento neutro, esto es,  .
 En una partición de un conjunto inducida por una relación de equivalencia, la intersección de dos clases distintas es el conjunto vacío. .
 El conjunto vacío es elemento del conjunto potencia de cualquier conjunto, necesariamente. .
 La unión de una familia vacía de conjuntos es el conjunto vacío.
 La intersección de una familia vacía de conjuntos es el conjunto vacío.
  figura como elemento propio de toda  topología sobre X. Notación: . Y es cerrado, a la vez que abierto en cualquier topología.
 La intersección del interior del  conjunto A con el interior de su complementario es  donde .
 La intersección del interior con su frontera es  .
 El conjunto   tal que  es igual a .
 En cálculo de probabilidades el conjunto vacío representa el suceso imposible y P(∅) = 0.

En otras áreas de las matemáticas

Números reales extendidos 
Dado que el conjunto vacío no tiene miembros cuando se considera como un subconjunto de cualquier conjunto ordenado, cada miembro de ese conjunto será un límite superior e inferior para el conjunto vacío. Por ejemplo, cuando se ve como un subconjunto de los números reales, con su orden habitual, representado por una recta numérica real, cada número real es un límite superior e inferior para el conjunto vacío. Cuando se ve como un subconjunto de los valores reales extendidos formados al agregar dos "números" o "puntos" a los números reales (es decir, infinito negativo, denotado  que se define como menor que cualquier otro número real aumentado, y el infinito positivo , denotado por , que se define como mayor que cualquier otro número real aumentado), obtenemos que:

y

En otras palabras, el límite superior más pequeño (sup o supremum) del conjunto vacío es infinito negativo, mientras que el límite inferior más grande (inf o infimum) es infinito positivo. Por analogía con lo anterior, en el dominio de los valores reales extendidos, el infinito negativo es el elemento idéntico para los operadores máximo y supremo, mientras que el infinito positivo es el elemento identidad para los operadores mínimo e ínfimo.

Topología
En cualquier espacio topológico X, el conjunto vacío es abierto por definición, al igual que X. Dado que el complemento del conjunto abierto es cerrado, y el conjunto vacío y X son complementarios entre sí, el conjunto vacío también es cerrado, lo que lo convierte en un conjunto abierto-cerrado. Además, el conjunto vacío es compacto por el hecho de que todo conjunto finito es compacto.

El cierre del conjunto vacío es vacío. Esto se conoce como "preservación de uniones nulas".

Teoría de categorías 
Si  es un conjunto entonces hay exactamente una función   desde el  hacia  que es una función vacía. Por lo tanto, el conjunto vacío es el único objeto inicial de la categoría de conjunto y función.

Un conjunto vacío se puede convertir en un espacio topológico, llamado espacio vacío, de una sola manera: definiendo que el conjunto vacío sea abierto. Este espacio topológico vacío es un objeto inicial único en la categoría de espacios topológicos con mapas continuos. De hecho, es un objeto inicial estricto: solo el conjunto vacío tiene una función de conjunto vacío.

Teoría de conjuntos 
En la construcción ordinal de von Neumann, 0 se define como el conjunto vacío, y el sucesor del ordinal se define como  . Entonces tenemos , , , y así sucesivamente. La construcción de Von Neumann, junto con el axioma del infinito, que garantiza la existencia de al menos un conjunto infinito, puede usarse para construir el conjunto de números naturales, , tal que se satisfagan los Axiomas de Peano de la aritmética.

Véase también 
 Álgebra de conjuntos
 Conjunto
 Teoría de conjuntos
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 Producto vacío

Referencias

Bibliografía
 Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
 Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.

Vacio
Cero