바나흐 대수 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 바나흐 대수 위키백과, 우리 모두의 백과사전. ( 복소수 바나흐 대수에서 넘어옴 ) 둘러보기로 가기 검색하러 가기 함수해석학에서, 바나흐 대수 ( Banach 代 數, 영어 : Banach algebra ) 는 바나흐 공간과 결합 대수의 구조를 서로 호환되게 갖춘 집합이다. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] 대표적인 예로 콤팩트 하우스도르프 공간 위의 연속 함수 공간이나 바나흐 공간 위의 유계 작용소 공간이 있다. 목차 1 정의 1. 1 유니터리 원소 2 연산 2. 1 반대 대수 2. 2 직합 2. 3 몫 2. 4 복소화 2. 5 완비화 2. 6 무게 부여 2. 7 아렌스 곱 3 성질 3. 1 환론적 성질 3. 2 위상수학적 성질 3. 3 스펙트럼 3. 4
이는 K { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { K } } - 바나흐 대수를 이룬다. 역사 [ 편집 ]'바나흐 대수'라는 이름은 스테판 바나흐를 딴 것이다. 그러나 바나흐 대수의 이론은 스테판 바나흐와 큰 관계가 없으며, 다만 바나흐가 연구한 바나흐 공간을 이루기 때문에 이러한 이름이 붙었다. [ 5 ] 바나흐 대수의 개념은 나구모 미치오 ( 일본어 : 南 雲 道 夫, 1905 ~ 1995 ) 가 1936년에'선형 계량환'( 독일어 : linearer metrischer Ring ) 이라는 이름으로 도입하였다. [ 5 ] [ 6 ] 이후 이즈라일 겔판트가 이를'노름환'( 독일어 : normierter Ring ) 이라는 이름으로 재도입하였고, 이에 대하여 자세히 연구하였다. [
공간 [ 편집 ] 공집합이 아닌 콤팩트 하우스도르프 공간 X { [UNK] displaystyle X } 위에 정의된 연속 함수의 공간 C 0 ( X, K ) { [UNK] displaystyle { [UNK] mathcal { C } } ^ { 0 } ( X, [UNK] mathbb { K } ) } 은 ( 균등 노름 및 점별 합과 곱에 대하여 ) K { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { K } } - 바나흐 대수를 이룬다. [ 4 ] : 247, Example 10. 3 ( a ) [UNK] 대수 [ 편집 ] 실수체 R { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { R } } · 복소수체 C { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { C } } · 사원수 대수 H { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { H } } 는 모두 실수 바나흐 대수
[UNK] [UNK] [UNK] ( B ) } [UNK] C [UNK] b [UNK] B { [UNK] displaystyle [UNK] sigma ( b ) = [UNK] sigma ( { [UNK] hat { b } } ) = [UNK] { [UNK] chi ( b ) [UNK] colon [UNK] chi [UNK] in [UNK] Delta ( B ) [UNK] } [UNK] subseteq [UNK] mathbb { C } [UNK] qquad [UNK] forall b [UNK] in B } 여기서 우변은 복소수 바나흐 대수 C 0 ( [UNK] ( B ) ( B ), C ) { [UNK] displaystyle { [UNK] mathcal { C } } ^ { 0 } ( [UNK] Delta ( B ) ( B ), [UNK] mathbb { C } ) } 에서 취한 스펙트럼이다. 예 [ 편집 ] 연속 함수 공간 [ 편집 ] 공집합이 아닌 콤팩트 하우스도르프 공간 X { [UNK] displaystyle X } 위에 정의
[UNK] sup [UNK] left [UNK] { { [UNK] sqrt { | [UNK] lambda | } } [UNK] colon [UNK] lambda [UNK] in [UNK] mathbb { C }, [UNK] ; [UNK] lambda - a ^ { * } a [UNK] not [UNK] in [UNK] operatorname { Unit } ( A ) [UNK] right [UNK] } } 을 부여하면 이는 바나흐 대수를 이룬다. 위상군 위의 함수 [ 편집 ] 콤팩트 하우스도르프 위상군 G { [UNK] displaystyle G } 위의 ( 왼쪽 하르 측도에 대한 ) 르베그 공간 L 1 ( G ; K ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { L } ^ { 1 } ( G ; [UNK] mathbb { K } ) } 은 K { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { K } } - 바나흐 대수이다. 그 위
{ [UNK] displaystyle X } 가 사실 바나흐 공간이라면 ( 즉, 완비 거리 공간이라면 ), K { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { K } } - 바나흐 대수 ( 영어 : Banach K { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { K } } - algebra ) 라고 한다. [ 1 ] : 4, Definition I. 10 [ 4 ] : 245, Definition 10. 1 유니터리 원소 [ 편집 ] K { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { K } } - 노름 대수 A { [UNK] displaystyle A } 가 주어졌다고 하자. 이는 환을 이루므로, 가역원의 개념을 정의할 수 있다. 가역원 a [UNK] Unit ( A ) { [UNK] displaystyle a [UNK] in [UNK] operatorname { Unit } ( A )
흐 대수 B { [UNK] displaystyle B } 의 원소 b [UNK] B { [UNK] displaystyle b [UNK] in B } 의 스펙트럼은 다음과 같다. [UNK] ( b ) = { [UNK] [UNK] K : [UNK] ( [UNK] - b ) - 1 } { [UNK] displaystyle [UNK] sigma ( b ) = [UNK] left [UNK] { [UNK] lambda [UNK] in [UNK] mathbb { K } [UNK] colon [UNK] nexists ( [UNK] lambda - b ) ^ { - 1 } [UNK] right [UNK] } } 이는 바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼의 개념의 일반화이다. 겔판트 표현 [ 편집 ] 가환 복소수 바나흐 대수 B { [UNK] displaystyle B } 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다. B { [UNK] displaystyle B } 의
athbb { K } } - 노름 공간 V { [UNK] displaystyle V } 위의 V → V { [UNK] displaystyle V [UNK] to V } 유계 작용소들의 집합 B ( V, V ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { B } ( V, V ) } 는 작용소 노름과 함수의 합성에 의하여 K { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { K } } - 노름 대수를 이룬다. [ 1 ] : 5, Example I. 14 만약 V { [UNK] displaystyle V } 가 K { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { K } } - 바나흐 공간이라면, B ( V, V ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { B } ( V, V ) } 는 K { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb
아렌스 곱 3 성질 3. 1 환론적 성질 3. 2 위상수학적 성질 3. 3 스펙트럼 3. 4 겔판트 표현 4 예 4. 1 연속 함수 공간 4. 2 [UNK] 대수 4. 3 유클리드 공간 4. 4 유계 작용소 4. 5 C * 대수 4. 6 위상군 위의 함수 5 역사 6 참고 문헌 7 외부 링크 정의 [ 편집 ] K [UNK] { R, C } { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { K } [UNK] in [UNK] { [UNK] mathbb { R }, [UNK] mathbb { C } [UNK] } } 가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자. K { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { K } } - 노름 대수 ( 영어 : normed K { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { K } } - algebra ) ( A, 0,
하면, [UNK] ( B ) { [UNK] displaystyle [UNK] Delta ( B ) } 는 콤팩트 하우스도르프 공간을 이룬다. 특히, 복소수 바나흐 대수 C 0 ( [UNK] ( B ) ( B ), C ) { [UNK] displaystyle { [UNK] mathcal { C } } ^ { 0 } ( [UNK] Delta ( B ) ( B ), [UNK] mathbb { C } ) } 를 정의할 수 있다. 이 경우, B { [UNK] displaystyle B } 의 겔판트 표현 ( [UNK] 表 現, 영어 : Gelfand representation ) 은 다음과 같다. ^ : B → C 0 ( [UNK] ( B ) ( B ), C ) { [UNK] displaystyle { [UNK] hat { [UNK] ; } } [UNK] colon B [UNK] to { [UNK] mathcal { C } } ^ { 0 } ( [UNK] Delt
함수해석학에서 바나흐 대수(Banach代數, 영어: Banach algebra)는 바나흐 공간과 결합 대수의 구조를 서로 호환되게 갖춘 집합이다. 대표적인 예로 콤팩트 하우스도르프 공간 위의 연속 함수 공간이나 바나흐 공간 위의 유계 작용소 공간이 있다.