리학에서, 위튼 지표 ( Witten [UNK] [UNK], 영어 : Witten index ) 또는 초대칭 지표 ( [UNK] 對 [UNK] [UNK] [UNK], 영어 : supersymmetric index ) 는 초대칭 양자역학에서 보손 및 페르미온 에너지 준위의 수의 차이다. [ 1 ] [ 2 ] 위튼 지표가 0이 아니라는 것은 초대칭이 자발적으로 깨지지 않았다는 것을 보여준다. 목차 1 개요 2 정의 2. 1 해밀토니언의 변화 2. 2 초대칭의 자발 대칭 깨짐 3 두 개의 초전하에서의 위튼 지표 3. 1 초대칭 코호몰로지 3. 2 공액에 대한 지표 4 추가 연산자의 삽입 4. 1 초등각 지표 4. 2 렌즈 공간 지표 4. 3 타원 종수 5 역사 6 예 6. 1 초대칭 양자역학 6. 2 4차원 초대칭 게이지 이론 6. 2. 1 가환
위튼 지표 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 위튼 지표 위키백과, 우리 모두의 백과사전. 둘러보기로 가기 검색하러 가기 초대칭초대칭을 통한 계층 문제의 해결 기본 개념 초공간초장초대칭 대수초등각 대수 초대칭 이론 베스 - 추미노 모형 초대칭 양자전기역학 초대칭 게이지 이론 최소 초대칭 표준 모형 차등 최소 초대칭 표준 모형 초대칭 대통일 이론 초중력 갈린 초대칭 초끈 이론 초대칭 파괴 최소 초중력 페예 - 일리오풀로스 모형 오라퍼티 모형 불가능성 정리 콜먼 - 맨듈라 정리하크 - [UNK] - 조니우스 정리 수학적 구조 초다양체리 초군과 리 초대수초행렬켈러 다양체 v. d. e. h 이론물리학에서, 위튼 지표 ( Witten [UNK] [UNK], 영어 : Witten index ) 또는 초대칭 지표 ( [UNK] 對
6 예 6. 1 초대칭 양자역학 6. 2 4차원 초대칭 게이지 이론 6. 2. 1 가환 초대칭 게이지 이론 6. 2. 2 비가환 초대칭 게이지 이론 6. 3 3차원 초대칭 게이지 이론 7 참고 문헌 8 외부 링크 개요 [ 편집 ] 초대칭의 특징은, 자발적으로 대칭이 깨지지 아니할 때 바닥 상태의 에너지가 0이다. 따라서 초대칭이 자발적으로 깨졌는지를 확인할 때는 에너지가 0인 바닥 상태의 존재 여부만 확인하면 된다. 한편 입자들이 도입되어 들뜬 상태의 에너지가 0이 아니라면, 언제나 그 상태의 초대칭짝 상태가 존재한다는 것이다. 이들의 기여는, 보손 상태의 개수에서 페르메온 상태의 개수를 뺀 것으로 정의한 위튼 지표에서 상쇄된다. 따라서, 위튼 지표에는 에너지가 0인 상태들만 기여한다. 다시 말
튼 지표가 0이 아니므로 아무리 강한 결합이 있더라도 초대칭이 깨지지 않을 것을 알 수 있다. 이 이론은 점근 자유성이 있어, 큰 크기 ( 낮은 에너지 ) 에서 게이지 결합이 강해지고 게이지노가 응축하여 초대칭을 [UNK] 가능성이 있으나, 이런 일이 일어나지 않는다는 것이다. 정의 [ 편집 ] 초대칭 양자역학 모형이 해밀토니언 H { [UNK] displaystyle H } 를 가진다고 하자. 이 경우, 다음과 같은 초대칭 대수가 존재한다. Q 2 = H { [UNK] displaystyle Q ^ { 2 } = H } { Q, ( - 1 ) F } = 0 { [UNK] displaystyle [UNK] { Q, ( - 1 ) ^ { F } [UNK] } = 0 } 여기서 초전하 Q { [UNK] displaystyle Q } 는 에르미트 초대칭 연산자이
바닥 상태의 수와 페르미온 초대칭 바닥 상태의 수의 차이며, ( 거의 모든 ) 해밀토니언의 변형에 대해 불변하다. 그러나 총 초대칭 바닥 상태의 수 dim ( ker Q / im Q ) = dim H dim H - = dim ker H { [UNK] displaystyle [UNK] dim ( [UNK] ker Q / [UNK] operatorname { im } Q ) = [UNK] dim H - { } [UNK] dim H - { - } = [UNK] dim [UNK] ker H } 는 일반적으로 불변하지 않다. 다만, 이 경우에도 총 초대칭 바닥 상태의 수는 다음과 같은 꼴의 공액 변환 ( conjugation ) 에 대하여 불변이다. [ 1 ] : [UNK] 3 Q [UNK] = M - 1 Q M { [UNK] displaystyle Q'= M ^ { - 1 } QM } 2 H [UNK] = { Q [UNK],
칭이 깨지지 않는다. 만약 위튼 지표가 0이 아니라면, 에너지가 0인 상태가 적어도 하나는 존재한다. 따라서 바닥 상태의 에너지는 0이며, 초대칭이 자발 대칭 깨짐을 겪지 않는다. ( 반면, 위튼 지표가 0이더라도 에너지가 0인 상태가 존재하여, 초대칭이 깨지지 않을 수 있다. ) 즉, 다음과 같은 가능성들이 존재한다. 위튼 지표가 0이 아니다. 이 경우 초대칭은 깨지지 않는다. 위튼 지표가 0이며, 이에 불구하고 초대칭은 깨지지 않는다. 이 경우 초대칭 바닥 상태 ( 에너지가 0인 바닥 상태 ) 가 존재하나, 보손 초대칭 바닥 상태와 페르미온 초대칭 바닥 상태의 수가 같다. 위튼 지표가 0이고, 초대칭이 깨진다. 이 경우 초대칭 바닥 상태가 존재
아니므로, 일반적으로 순수 초대칭 게이지 이론에서는 초대칭이 깨지지 않는다. 3차원 초대칭 게이지 이론 [ 편집 ] 다양한 3차원 초대칭 게이지 이론의 경우에도 위튼 지표가 계산되었다. [ 5 ] [ 18 ] 3차원의 경우, 게이지군이 G { [UNK] displaystyle G } 인 순수 N = 1 { [UNK] displaystyle { [UNK] mathcal { N } } = 1 } 초대칭 양 - 밀스 이론에 천 - 사이먼스 항을 추가할 수 있다. 즉, ( 유클리드 계량 부호에서 ) 작용은 S = [UNK] d 3 x 1 2 g 2 tr ( F 2 1 2 [UNK] [UNK] i [UNK] [UNK] D [UNK] [UNK] ) - i k 4 pi [UNK] tr ( A [UNK] d A 2 3 A [UNK] A [UNK] A [UNK] [UNK] [UNK] ) { [UNK] displaystyle S = [UNK] int d ^
{ im } Q | - { { [UNK] mathcal { H } } - { n - 1 } [UNK] to { [UNK] mathcal { H } } - { n } } } } } 이들은 페르미온 수 n { [UNK] displaystyle n } 을 가진 초대칭 바닥 상태와 일대일 대응한다. 그렇다면 위튼 지표는 이 공사슬 복합체의 오일러 지표가 된다. tr ( - 1 ) F = [UNK] n ( - 1 ) n dim H n { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { tr } ( - 1 ) ^ { F } = [UNK] sum - { n } ( - 1 ) ^ { n } [UNK] dim H - { n } } 공액에 대한 지표 [ 편집 ] 위튼 지표는 보손 초대칭 바닥 상태의 수와 페르미온 초대칭 바닥 상태의 수의 차이며, ( 거의 모든 ) 해밀토니언의 변형에 대해
H { [UNK] displaystyle H } 와 P { [UNK] displaystyle P } 가 정의되므로 이 값을 정의할 수 있다. ( 만약 느뵈 - 슈워츠 ( NS ) ( NS ) 경계 조건을 가하거나, ( - 1 ) F { [UNK] displaystyle ( - 1 ) ^ { F } } 를 삽입하지 않는 다른 일반적인 분배 함수는 [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] tau } 에 의존하게 된다. ) 또한, 이론이 맛깔 대칭을 가지는 경우, 이들도 마찬가지로 경로 적분에 삽입할 수 있다. 역사 [ 편집 ] 에드워드 위튼이 초대칭 깨짐을 분석하기 위해 도입하였다. [ 1 ] 예 [ 편집 ] 위튼 지표는 유한 에너지 상태들에 의존하지 않으므로, 에너지가 0인 상태들만 고려하면 된다. 일반적으로 무한히 큰 공간에서는 해밀토니언이 연속적
H | [UNK] [UNK] = [UNK] Q [UNK] | Q [UNK] [UNK] [UNK] Q [UNK] [UNK] | Q [UNK] [UNK] [UNK] { [UNK] displaystyle 0 = [UNK] langle [UNK] psi | 2H | [UNK] psi [UNK] rangle = [UNK] langle Q [UNK] psi | Q [UNK] psi [UNK] rangle [UNK] langle Q ^ { [UNK] dagger } [UNK] psi | Q ^ { [UNK] dagger } [UNK] psi [UNK] rangle } 따라서 Q | [UNK] [UNK] = Q [UNK] | [UNK] [UNK] = 0 { [UNK] displaystyle Q | [UNK] psi [UNK] rangle = Q ^ { [UNK] dagger } | [UNK] psi [UNK] rangle = 0 } 이다. 즉, 바닥 상태의 에너지가 0이라면 초대칭이 깨지지 않는다. 만약 위튼 지표가 0이 아니라면, 에너지가 0인 상태가 적어도 하나는 존재
이론물리학에서 위튼 지표(Witten指標, 영어: Witten index) 또는 초대칭 지표(超對稱指標, 영어: supersymmetric index)는 초대칭 양자역학에서 보손 및 페르미온 에너지 준위의 수의 차이다. 위튼 지표가 0이 아니라는 것은 초대칭이 자발적으로 깨지지 않았다는 것을 보여준다.