公 [UNK] ) 의 부정 공리를 취한 기하학 이론체계이다. " 직선 밖의 한 점을 지나 그 직선에 평행한 직선은 단 하나 존재한다 " 는 것이 제5공준인데, 이것은 다른 공리공준 ( 公 理 公 [UNK] ) 과 달리 복잡하고, 질적으로 다르다고 생각되어, 이것을 부정하는 기하학 이론체계가 시도되었으며, 19세기에 이르러 니콜라이 [UNK] · 보여이 야노시 · 베른하르트 리만 등에 의해 성취되었다. 즉, 위의 공준이 부정되어도 이론적으로 그밖의 공리와는 아무 모순이 없다는 것이다. 비유클리드 기하학에서는 이 공리가 성립하지 않는 공간을 다룬다. 비유클리드 기하학은 타원기하학 ( elliptic geometry ) 과 쌍곡기하학 ( hyperbolic geometry ) 의 총칭이
데카르트 [UNK] 리만 명안도 민코프스키 보여이 브라마굽타 아르키메데스 아리아바타 아메스 아티야 베블런 아폴로니오스 알투시 알하이삼 양휘 에우클레이데스 엘리 카르탕 오일러 유휘 장형 클라인 파스칼 푸앵카레 피타고라스 하이얌 힐베르트 v. d. e. h 비유클리드 기하학 ( non - Euclidean geometry ) 은 유클리드 공간이 아닌 공간에서 다루는 모든 기하학을 총체적으로 가리키는 말로, 쌍곡기하학, 타원기하학, 택시기하학 등이 이에 해당한다. 유클리드 기하학의 제5공준 ( 公 [UNK] ) 의 부정 공리를 취한 기하학 이론체계이다. " 직선 밖의 한 점을 지나 그 직선에 평행한 직선은 단 하나 존재한다 " 는 것이 제5공준인데, 이것은 다른 공리공준 (
클리드 기하학 [ 편집 ] 《 유클리드 원론 》 의 첫 번째 영어판 표지 유클리드 기하학 ( - [UNK] [UNK] 學, Euclidean geometry ) 은 그리스의 수학자 유클리드 ( Euclid, BC330 ~ BC275 ) 에 의해 구축된 수학 체계로, 그의 《 원론 》 은 기하학에 관한 최초의 체계적인 논의로 알려져 있다. 유클리드의 방법은 직관적으로 인지되는 공리를 참으로 간주함에 바탕을 두며, 그것들로부터 연역적으로 명제 ( 정리 ) 를 이끌어낸다. 이러한 공리론적 구성법에서는 직선 · 평면 등의 기본적인 개념이 무정의 ( 無 定 意 ) 요소이다. 2천년 동안 유클리드의 공리는 어떤 정리도 유도해 낼 수 있을 만큼 직관적으로 매우 명백한 것으로 보였고, 절대적인 의미에서 참으로 간주되었다. 유클리드 공준
다. 새로운 기하학이 발표된 지 약 60년 뒤, 아인슈타인 ( Albert Einstein, 1879 ~ 1955 ) 은 우주가 평평하지 않고 중력에 의해서 휘어 있음을 보였다. 그리고 일반상대성이론은 공간에 대한 기초 이론을 비유클리드 기하학에서 찾았다. 이처럼 유클리드의 다섯 번째 공리에 관한 의심에서 출발한 비유클리드 기하학은 미시공간과 극대 공간을 해석하는 이론으로 폭넓게 사용되고 있다. " 나는 기하학의 이러한 해석이 대단히 중요하다고 생각한다. 만일 내가 그 기하학을 몰랐다면 나는 결코 상대성 이론을 만들어 낼 수 없었을 것이다. " - 알베르트 아인슈타인 참고자료 [ 편집 ] 로바체프스키가 들려주는 비유클리드 기하학이야기, 성정화 지음, ㈜자음과모음 기하학 - 유클리드 기하학 비유클리드 기하학 - 윤갑진
하지 않는 공간을 다룬다. 비유클리드 기하학은 타원기하학 ( elliptic geometry ) 과 쌍곡기하학 ( hyperbolic geometry ) 의 총칭이기도 하다. 대표적인 학자로는 카를 프리드리히 가우스, 베른하르트 리만 등이 있다. 리만은 " 구 위에서는 한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 점이 주어졌을 때, 그 직선과 평행하고 그 점을 지나는 직선은 없다. " 고 말했으며, 가우스는 반대로 " 의구 위에서는 한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 점이 주어졌을 때, 그 직선과 평행하고 그 점을 지나는 직선은 둘 이상이다. " 고 말했다. 이는 각각 타원 기하학과 쌍곡 기하학의 기초가 되었다. 삼각형의 내각의 합이 180도인 유클리드
, 그 직선과 평행하고 그 점을 지나는 직선은 둘 이상이다. " 고 말했다. 이는 각각 타원 기하학과 쌍곡 기하학의 기초가 되었다. 삼각형의 내각의 합이 180도인 유클리드 기하학과는 달리 비유클리드 기하학에서는 삼각형의 내각의 합이 180도가 아니라 이보다 크거나 ( 타원 기하학 ) 작다 ( 쌍곡 기하학 ). 비유클리드 기하학은 역사적으로는 공리론적으로 구성되지만 현대적인 견해로는 비유클리드 기하학을 리만 기하학의 특수한 예 또는 고전적인 모델로 간주한다. 그리고 현재까지 13개 이상의 기하학이 탄생되고 체계화 되었다. 목차 1 역사 1. 1 유클리드 기하학 1. 2 유클리드 공준 1. 3 비유클리드 기하학의 탄생 2 비유클리드 기하학과 유클리드 기하학의 차이점 3 비유클리드 기하학의 분류 3. 1 쌍곡선
1856 ) 는 평행선 공리를 도입하지 않은 새로운 기하학을 한 러시아 저널에 발표하였다. 독일의 가우스 ( 1777 ~ 1855 ) 는 제5공준 대신 평행선을 몇 개나 그을 수 있다는 공리에서 출발하여도, 모순이 없는 비유클리드 기하학 ( 쌍곡기하학 ) 이 만들어진다는 것을 보여주었다. 이 비유클리드 기하학 연구는 발표되지 않았고 1831년 가우스의 친구 보여이 퍼르커시의 아들인 헝가리의 보여이 야노시에 의해서 연구되어 그의 아버지의 논문에 발표되었다. 1854년 가우스의 제자인 베른하르트 리만 ( 1826 ~ 1866 ) 은 기하학의 기초에 관한 강연을 했다. 그는 곡률이라는 개념을 도입해 다섯 번째 공리가 성립하는 공간은 곡률이 0인 공간 ( 유클리드 기하학 )
어떤 점을 지나면서 그 직선에 평행한 직선은 오직 하나 있다는 것이 위배된다. 대신 타원기하학에서 평행선 공리는 한 직선이 있고 그 위에 있지 않은 어떤 점을 지나면서 그 직선과 만나지 않는 직선은 존재하지 않는다는 것이다. 타원 기하학의 모형으로는 좌표공간의 한 정점으로부터 같은 거리에 있는 점의 집합인 구를 생각할 수 있다. 이때 정점을 구 의 중심, 같은 거리를 구의 반지름의 길이라고 한다. 구에서 중심을 지나는 평면과 구의 교선을 직선으로 정의하면 평행공리의 불능이 성립함을 알 수 있다. 또한 타원기하학에서 구면에 그린 삼각형 내각의 합은 180도보다 크게 나타난다. 이러한 타원기하학은 도형을 도표에 의해 표현할 때마다 변형을 피할 수 없음을 의미한다. 하나
가 안으로 굽은 공간이기 때문에 삼각형 자체도 안으로 굽은 오목한 삼각형이 그려진다. 따라서 삼각형의 세 내각의 크기가 모두 작아지게 되어 그 합이 180보다 더 작게 된다. 그리고 삼각형의 크기가 커질수록 삼각형의 변도 안으로 더 많이 휘어지므로 세 내각의 크기의 합이 점점 작아진다. 타원 기하학 [ 편집 ] 비유클리드 기하학으로 분류되는 타원면 위에서 법칙을 설명하는 기하학이다. 타원 기하학 중 가장 간단한 구면 기하학은 리만 기하학이라고 불리기도 한다. 구면에서는 유클리드의 평행선 공리, 즉 한 직선이 있고 그 위에 있지 않은 어떤 점을 지나면서 그 직선에 평행한 직선은 오직 하나 있다는 것이 위배된다. 대신 타원기하학에서 평행선 공리는 한 직선이 있고 그 위에 있지 않은 어떤 점을 지나면서 그 직선
다섯 번째 공리를 부정해 모순을 증명하려고 했다. 그 과정에서 사케리는 새로운 정리를 많이 얻었으나 새로운 사실을 알았음에도 불구하고 다섯 번째 공리의 모순을 얻지 못했다는 이유로 연구한 것을 모두 버렸다. 결국 19세기에 이탈리아의 수학자 벨트라미 ( Eugenio Beltrami, 1835 ~ 1899 ) 에 의해 이 공준은 증명될 수 없음이 밝혀졌고, 또한 이것의 반대 상황을 가정해도 모순이 없다는 것이 밝혀졌다. 1829년 러시아의 니콜라이 이바노비치 [UNK] ( Nikolai Ivanovich Lobachevskii, 1792 ~ 1856 ) 는 평행선 공리를 도입하지 않은 새로운 기하학을 한 러시아 저널에 발표하였다. 독일의 가우스 ( 1777 ~ 1855 ) 는 제5공준 대신 평행선을 몇 개나 그을 수 있
비유클리드 기하학(non-Euclidean geometry)은 직선 밖의 한 점에서 직선에 평행한 직선을 두 개 이상 그을 수 있는 공간을 대상으로 하는 기하학이다. 유클리드 기하학의 제5공리 "직선 밖의 한 점을 지나면서 그 직선에 평행한 직선은 단 하나 존재한다"가 성립하지 않는 공간을 다루는 기하학으로, 쌍곡기하학, 타원기하학, 택시기하학 등이 있다. 19세기에 제5공리를 부정해도 다른 공리와는 아무런 모순이 없음이 밝혀지면서 등장하였다. 연구한 수학자로는 니콜라이 로바쳅스키 · 보여이 야노시 · 베른하르트 리만이 유명하다. 비유클리드 기하학은 타원기하학(elliptic geometry)과 쌍곡기하학(hyperbolic geometry)의 총칭이기도 하다. 대표적인 학자로는 카를 프리드리히 가우스, 베른하르트 리만 등이 있다. 리만은 "구 위에서는 한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 점이 주어졌을 때, 그 직선과 평행하고 그 점을 지나는 직선은 없다."고 말했으며, 가우스는 반대로 "지구 위에서는 한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 점이 주어졌을 때, 그 직선과 평행하고 그 점을 지나는 직선은 둘 이상이다."고 말했다. 이는 각각 타원 기하학과 쌍곡 기하학의 기초가 되었다. 삼각형의 내각의 합이 180도인 유클리드 기하학과는 달리 비유클리드 기하학에서는 삼각형의 내각의 합이 180도가 아니라 이보다 크거나(타원 기하학) 작다(쌍곡 기하학). 비유클리드 기하학은 역사적으로는 공리론적으로 구성되지만 현대적인 견해로는 비유클리드 기하학을 리만 기하학의 특수한 예 또는 고전적인 모델로 간주한다. 그리고 현재까지 13개 이상의 기하학이 탄생되고 체계화되었다.