클리퍼드 대수 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 클리퍼드 대수 위키백과, 우리 모두의 백과사전. ( 클리퍼드대수에서 넘어옴 ) 둘러보기로 가기 검색하러 가기 환론에서, 클리퍼드 대수 ( Clifford 代 數, 영어 : Clifford algebra ) 는 이차 형식에 의하여 정의되는 결합 대수의 한 종류이다. [ 1 ] [ 2 ] 복소수체와 사원수환의 일반화이며, 외대수의 양자화로 여길 수 있다. 목차 1 정의 1. 1 보편 성질을 통한 정의 1. 2 텐서 대수를 통한 구성 1. 3 등급과 여과 1. 4 대합 1. 5 노름과 내적 2 성질 2. 1 외대수와의 관계 2. 2 환론적 성질 2. 2. 1 반단순성 2. 2. 2 중심 2. 2. 3 스칼라 확대 2. 3 클리퍼드
Q = 0 { [UNK] displaystyle Q = 0 } 일 경우 Cliff ( V, 0 ; K ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { Cliff } ( V, 0 ; K ) } 는 외대수 [UNK] ( V ; K ) { [UNK] displaystyle [UNK] Lambda ( V ; K ) } 와 대수로서 동형이지만, Q [UNK] 0 { [UNK] displaystyle Q [UNK] neq 0 } 일 경우 외대수와 대수로서 다르다. 따라서, 클리퍼드 대수는 외대수의 일종의 양자화로 생각할 수 있다. 환론적 성질 [ 편집 ] 가환환 K { [UNK] displaystyle K } 위의 유한 생성 사영 가군 M { [UNK] displaystyle M } 위의 비퇴화 이차 형식 Q { [UNK] displaystyle Q } 의 클리퍼드 대수 Cliff ( M,
Mat } ( 2 ^ { ( n - 1 ) ( n - 1 ) / 2 } ; [UNK] mathbb { F } - { q ^ { 2 } } ) } Mat ( 2 ( n - 1 ) ( n - 1 ) / 2 ; F q ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { Mat } ( 2 ^ { ( n - 1 ) ( n - 1 ) / 2 } ; [UNK] mathbb { F } - { q } ) } O ( n ; F q ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { O } ( n ; [UNK] mathbb { F } - { q } ) } 홀수 표수 유한체 위의 양의 유한 차원 벡터 공간 위에는 정확히 두 개의 이차 형식 ( 의 동형류 ) 가 존재하므로, 이 경우 이차 형식은 그 클리퍼드 대수만으로 구별할 수 있
} = y - { [UNK] pm } } 이므로 K [ x ] / ( x 2 - a ) [UNK] K y [UNK] K y - { [UNK] displaystyle K [ x ] / ( x ^ { 2 } - a ) [UNK] cong Ky - { } [UNK] oplus Ky - { - } } 가 된다. 2차원 자유 가군 위의 클리퍼드 대수 [ 편집 ] 체 K { [UNK] displaystyle K } 위의 2차원 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식에 의하여 정의되는 클리퍼드 대수는 사원수형 대수 ( 영어 : quaternion algebra, 프랑스어 : [UNK] de quaternions ) 라고 한다. 체 위의 사원수형 대수는 환으로서 항상 [UNK] 이루거나 또는 2x2 K { [UNK] displaystyle K } 위의 행렬환 Mat ( 2 ; K ) { [UNK] displaysty
[UNK] displaystyle K - { [UNK] mathfrak { p } } } - 자유 가군이라면, Cliff ( M, Q ; K ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { Cliff } ( M, Q ; K ) } 는 홀수형 등급 아즈마야 대수이다. ( 여기서 K p { [UNK] displaystyle K - { [UNK] mathfrak { p } } } 는 국소화이다. ) 특히, 만약 K { [UNK] displaystyle K } 가 표수가 2가 아닌 체라면, Cliff ( V, Q ; K ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { Cliff } ( V, Q ; K ) } 는 등급 중심 단순 대수 ( 영어 : graded central simple algebra ) 이다. [ 4 ] : 109, Theorem 2. 1 만약
Cliff ( V, Q ; K ) F n - 1 Cliff ( V, Q ; K ) [UNK] [UNK] ( V ; K ) { [UNK] displaystyle [UNK] bigoplus - { n = 0 } ^ { [UNK] infty } { [UNK] frac { F ^ { n } [UNK] operatorname { Cliff } ( V, Q ; K ) } { F ^ { n - 1 } [UNK] operatorname { Cliff } ( V, Q ; K ) } } [UNK] cong [UNK] Lambda ( V ; K ) } 대합 [ 편집 ] 가환환 K { [UNK] displaystyle K } 위의 클리퍼드 대수 Cliff ( V, Q ; K ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { Cliff } ( V, Q ; K ) } 위에, 다음과 같은 자기 동형이 존재한다. alpha :
atorname { Cliff } ( [UNK] operatorname { diag } ( 0, 0, [UNK] dots, 0, 0 ) ( 0, 0, [UNK] dots, 0, 0 ) ; [UNK] mathbb { F } - { 2 ^ { e } } ) } 및 Cliff ( diag ( 0, 0,..., 0, 1 ) ( 0, 0,..., 0, 1 ) ; F 2 e { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { Cliff } ( [UNK] operatorname { diag } ( 0, 0, [UNK] dots, 0, 1 ) ( 0, 0, [UNK] dots, 0, 1 ) ; [UNK] mathbb { F } - { 2 ^ { e } } } 둘 다 외대수와 동형이다. 후자의 경우, 구체적으로 클리퍼드 대수 Cliff ( diag (
[UNK] displaystyle K } - 가군 M { [UNK] displaystyle M } 및 그 위의 이차 형식 Q { [UNK] displaystyle Q } 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ( M, Q ) { [UNK] displaystyle ( M, Q ) } 의 스칼라 확대 ( M [UNK] K K ~, Q [UNK] K 1 ) { [UNK] displaystyle ( M [UNK] otimes - { K } { [UNK] tilde { K } }, Q [UNK] otimes - { K } 1 ) } 의 클리퍼드 대수는 다음과 같은 Z / 2 { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { Z } / 2 } - 등급 K ~ { [UNK] displaystyle { [UNK] tilde { K } } } - 대수이다. [ 6 ] : 195, Proposition IV. 1. 2. 3 Cliff ( M [UNK] K K
operatorname { Cliff } ( [UNK] mathbb { F } - { 2 ^ { n } } ^ { 2 }, Q - { 2 } ) } 둘 다 K { [UNK] displaystyle K } 위의 중심 단순 대수를 이룬다. 따라서, 2 n { [UNK] displaystyle 2n } 차원 벡터 공간 위의 임의의 비퇴화 이차 형식 Q { [UNK] displaystyle Q } 의 클리퍼드 대수는 행렬환과 동형이다. Cliff ( F 2 e 2 n, Q ; F 2 e ) [UNK] Mat ( 2 n ; F 2 e ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { Cliff } ( [UNK] mathbb { F } - { 2 ^ { e } } ^ { 2n }, Q ; [UNK] mathbb { F } - { 2 ^ { e } } ) [UNK] cong [UNK] oper
name { Cliff } ( V, Q ; K ) } 위에도 여과 F n Cliff ( V, Q ; K ) = [UNK] m [UNK] n T m ( V ; K ) / i ( Q ) { [UNK] displaystyle F ^ { n } [UNK] operatorname { Cliff } ( V, Q ; K ) = [UNK] bigoplus - { m [UNK] leq n } [UNK] operatorname { T } ^ { m } ( V ; K ) / { [UNK] mathfrak { i } } ( Q ) } 가 존재하며, 따라서 클리퍼드 대수는 자연수 오름 여과를 갖는다. 이 여과로부터 정의되는 자연수 등급 대수는 외대수와 표준적으로 동형이다. [UNK] n = 0 infinity F n Cliff ( V, Q ; K ) F n - 1 Cliff ( V, Q ; K ) [UNK] [UNK] ( V
환론에서 클리퍼드 대수(Clifford代數, 영어: Clifford algebra)는 이차 형식에 의하여 정의되는 결합 대수의 한 종류이다. 복소수체와 사원수환의 일반화이며, 외대수의 양자화로 여길 수 있다.