초기값 문제 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 초기값 문제 위키백과, 우리 모두의 백과사전. 둘러보기로 가기 검색하러 가기 수학분야에서의 미분 방정식의 분야에서, 초기값 문제는 미분 방정식과 초기 상태라는 주어진 점에서 알 수 없는 함수의 값이 주어진 문제이다. 물리학이나 다른 과학, 모델링 시스템에서 자주 양을 해결하는 초기 값 문제 ; 이러한 맥락에서, 미분 방정식은 어떻게 변화하는지를 지정한방정식이며, 초기 조건이 주어졌을 때, 계가 시간에 따라 변화하게 만든다. 목차 1 정의 2 솔루션의 존재여부와 유일성 3 예시 4 참조 5 참고문헌 정의 [ 편집 ] 초기 값 문제는 다음의 미분 방정식 y [UNK] ( t ) = f ( t, y ( t ) ( t ) ) { [UNK] displaystyle y'( t ) = f ( t, y ( t ) ( t
bb { R } ^ { n } } 의 열린 집합이다과 초기 상태라는 f { [UNK] displaystyle f } 의 한 점에서의 값이 있는 문제이다. ( t 0, y 0 ) [UNK] [UNK] { [UNK] displaystyle ( t - { 0 }, y - { 0 } ) [UNK] in [UNK] Omega } 초기 값 문제의 솔루션은 다음을 만족하는 미분방정식의 솔루션인 함수 y { [UNK] displaystyle y } 이다. y ( t 0 ) = y 0 { [UNK] displaystyle y ( t - { 0 } ) = y - { 0 } }. 높은 차원에서, 미분 방정식은 y i [UNK] ( y ) = f i ( t, y 1 ( t ) ( t ), y 2 ( t ),... ) { [UNK] displaystyle y'- { i } ( y ) = f - { i }
( t ),... ) { [UNK] displaystyle y'- { i } ( y ) = f - { i } ( t, y - { 1 } ( t ) ( t ), y - { 2 } ( t ), [UNK] dots ) } 으로 대체되고, y ( t ) { [UNK] displaystyle y ( t ) } 는 벡터 ( y 1 ( t ) ( t ),..., y n ( t ) ) { [UNK] displaystyle ( y - { 1 } ( t ) ( t ), [UNK] dots, y - { n } ( t ) ) } 로 나타났다. 더 일반적으로, 모르는 함수 y { [UNK] displaystyle y } 는 바나흐 공간이나 공간의 분포와 같은 무한 차원의 공간에서 값을 가질 수 있다. 초기 값 문제는 독립적인 함수와 같은 방법으로 유도되게 처리함으로
이 방법은 바나흐 고정점 정리의 특별한 경우에 해당한다. 오카무라 히로시는 필요 충분 조건으로 초기치 문제의 솔루션은 유일하다는것을 얻었다. 이 조건은 시스템에 대한 Lyapunov 함수의 존재와 관계가 있다. 어떤 때는 함수 [UNK] C1클래스가 아니거나 립시츠 연속함수일 때도 있다. 그래서 보통의 결과는 지역적으로 유일한 솔루션이 존재하는 것을 보장하지 않는다. 하지만 페아노 존재 정리는 [UNK] 연속이면 항상 지역적으로 솔루션이 존재하는것을 보장한다 ; 문제는 유일성을 보장할 수 있는것은 없다는 것이다. 이 결과는 Coddington & Levinson ( 1955, 정리 1. 3 ) 이나 Robinson ( 2001 년, 정리 2. 6 ) 에서 찾을 수 도 있다. 더 일반적인 결과는 Carathéodory
( t ) ( t ) ) { [UNK] displaystyle y'( t ) = f ( t, y ( t ) ( t ) ) } 이고 함수 f { [UNK] displaystyle f } 가 f : [UNK] [UNK] R x R n → R n { [UNK] displaystyle f [UNK] colon [UNK] Omega [UNK] subset { [UNK] mathbb { R } } [UNK] times { [UNK] mathbb { R } } ^ { n } [UNK] to { [UNK] mathbb { R } } ^ { n } } 에서 정의되어 있고, [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] Omega } 는 R x R n { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { R } [UNK] times [UNK] mathbb { R } ^ { n } } 의 열린 집합이다과 초기 상태라는 f { [UNK] displaystyle f } 의 한
무한 차원의 공간에서 값을 가질 수 있다. 초기 값 문제는 독립적인 함수와 같은 방법으로 유도되게 처리함으로 인해 높은 차원으로 확장될 수 있다, 예를 들면 다음과 같다. y [UNK] ( t ) = f ( t, y ( t ) ( t ), y [UNK] ( t ) ) { [UNK] displaystyle y'' ( t ) = f ( t, y ( t ) ( t ), y'( t ) ) } 솔루션의 존재여부와 유일성 [ 편집 ] 대규모의 초기치 문제에서, 솔루션의 존재와 고유성은 계산기를 통해 설명할 수 있다. 피카르 - 린델뢰프 정리는 [UNK] t0와 y0 를 포함하는 구간 내에서 연속적이고 변수 y가 립시츠 조건을 만족 할 때, t0를 포함하는 구간 내에서 유일한 솔루션이 있음을 보장한다
변수 y가 립시츠 조건을 만족 할 때, t0를 포함하는 구간 내에서 유일한 솔루션이 있음을 보장한다. 이 정리는 문제를 동등한 적분 방정식으로 재 형성함으로 증명이 가능하다. 이 적분은 한 함수에서 다른 함수로 매핑되는 연산으로 고려될 수 있으며, 그 솔루션은 그 연산의 고정점이 된다. 초기치 문제의 솔루션인 유일한 부동점이 존재한다는것을 보이기 위하여 바나흐 부동점 정리를 사용한다. 이전의 피카르 - 린델뢰프 정리의 증명은 적분 방정식의 솔루션이자 초기값 문제의 솔루션에 수렴하는 함수의 [UNK] 생성한다. 이러한 구조는 " 피카르의 방법 " 또는 " 연속 근사 방법 " 이라고 불린다. 이 방법은 바나흐 고정점 정리의 특별한 경우에 해당한다. 오카무라 히로시는 필요 충분 조건으로 초기치 문제의 솔루션
= 0. 85tB } ln { [UNK] displaystyle [UNK] ln } 을 제거하자 | y | = e B e 0. 85 t { [UNK] displaystyle | y | = e ^ { B } e ^ { 0. 85t } } C { [UNK] displaystyle C } 를 다음과 같이 정의된 새로운 상수로 두자 ; C = [UNK] e B { [UNK] displaystyle C = [UNK] pm e ^ { B } }, 그러면 다음과 같이 변형된다. y = C e 0. 85 t { [UNK] displaystyle y = Ce ^ { 0. 85t } } 이제 우리는 C { [UNK] displaystyle C } 의 값을 알 필요가 있다. 주어진 식인 y ( 0 ) = 19 { [UNK] displaystyle y ( 0 ) = 19 } 를 사용하여 0을 t { [UNK] displaystyle
) = 19 { [UNK] displaystyle y ( 0 ) = 19 } 를 사용하여 0을 t { [UNK] displaystyle t } 에, 19를 y { [UNK] displaystyle y } 에 대입해 보자. 19 = C e 0. 85 [UNK] 0 { [UNK] displaystyle { [UNK] displaystyle 19 = Ce ^ { 0. 85 [UNK] cdot 0 } } } C = 19 { [UNK] displaystyle C = 19 } 이것으로 최종적인 솔루션은 y ( t ) = 19 e 0. 85 t { [UNK] displaystyle y ( t ) = 19e ^ { 0. 85t } } 다. 두 번째 예제 아래의 식에서 y [UNK] 3 y = 6 t 5, y ( 0 ) = 3 { [UNK] displaystyle y'3y = 6t5, [UNK] qquad y ( 0 ) = 3 } 다음
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수학분야에서의 미분 방정식의 분야에서, 초기값 문제(Initial Value Problem, IVP)는 미분 방정식과 초기 상태라는 주어진 한 점에서 알 수 없는 함수의 값이 주어진 문제이다. 물리학이나 다른 과학, 모델링 시스템에서 자주 양을 해결하는 초기 값 문제이다. 이러한 맥락에서, 미분 방정식은 어떻게 변화하는지를 지정한 방정식이며, 초기 조건이 주어졌을 때, 계가 시간에 따라 변화하게 만든다.