2차 논리 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 2차 논리 위키백과, 우리 모두의 백과사전. 둘러보기로 가기 검색하러 가기 수리논리학에서, 2차 논리 ( 二 [UNK] 論 理, 영어 : second - order logic ) 는 임의의 다항 관계 및 다항 연산에 대한 변수 및 이에 대한 전칭 · 존재 기호를 사용할 수 있는 논리이다. 1차 논리에서 변수는 사용하는 모형의 원소만을 지칭하지만, 2차 논리에서는 모형 속의 임의의 부분 집합에 대하여 언급할 수 있다. 이에 따라 2차 논리는 1차 논리보다 더 다양한 개념들에 대하여 논할 수 있다. 그러나 2차 논리는 1차 논리와 달리 완전한 증명 체계를 갖지 못하며, 콤팩트성 정리나 뢰벤하임 - 스콜렘 정리와 같은 중요한 성질들이 성립하지 않는다
증명들의 집합은 재귀적 집합이다. 즉, 주어진 문자열이 어떤 명제의 증명인지 여부를 항상 종료하는 알고리즘으로 판별할 수 있다. 반면, 1차 논리의 경우 위 세 조건을 만족시키는 증명 체계가 존재한다 ( 괴델의 완전성 정리 ). 2차 논리에서는 또한 콤팩트성 정리와 뢰벤하임 - 스콜렘 정리가 성립하지 않는다. ( 위 성질들은 2차 논리의 표준 의미론에 대한 것이다. [UNK] 의미론을 사용하면 이는 1차 논리와 같은 성질들을 갖는다. ) 역사 [ 편집 ] 고틀로프 프레게는 1879년에 출판된 《 개념 표기법 》 [ 2 ] 에서 오늘날의 2차 논리와 유사한 논리 체계를 도입하였다. [ 3 ] : 295 그러나 프레게는 1차 논리와 고차 논리를 구분하지 않았다. 이후 찰스 샌더스
66, Chapter 5 즉, 2차 논리로는 집합론에 해당하는 여러 개념들 ( [UNK] 등 ) 을 정의할 수 있으며, 또한 적절한 증명 이론을 제시할 수 없으므로, 1차 논리와 달리 2차'논리'는 사실 논리가 아니라는 것이다. 반면, 조지 불로스 ( 영어 : George Boolos ) [ 6 ] 를 비롯한 다른 수리철학자들은 [ 1 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] 콰인의 비판에 반대하여 2차 논리를 옹호하였다. 참고 문헌 [ 편집 ] ↑ 가 나 Shapiro, Stewart ( 2000 ). 《 Foundations without foundationalism : a case for second - order logic 》. Oxford Logic Guides ( 영어 ) 17. Oxford University Press. ISBN 978 - 0 - 19 - 825029 - 6. doi
존재 기호 [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] exists } 등호 = { [UNK] displaystyle = } 명제 논리 기호 [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] land } ( 논리곱 ), [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] lor } ( 논리합 ), [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] lnot } ( 부정 ) 등 괄호 { [UNK] displaystyle } 및 반점, { [UNK] displaystyle, } 등 주어진 n { [UNK] displaystyle n } 항 연산 f { [UNK] displaystyle { [UNK] mathsf { f } } } 및 n { [UNK] displaystyle n } 항 관계 R { [UNK] displaystyle { [UNK] mathsf { R } } }. 예를 들어, 집합론의 언어는 하나의 2항 관계 [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] in } 를 갖는다.
달리 완전한 증명 체계를 갖지 못하며, 콤팩트성 정리나 뢰벤하임 - 스콜렘 정리와 같은 중요한 성질들이 성립하지 않는다. 목차 1 정의 1. 1 문법 1. 2 의미론 2 성질 3 역사 4 참고 문헌 5 외부 링크 정의 [ 편집 ] 문법 [ 편집 ] 2차 논리의 문법은 다음과 같은 기호들로 구성된다. 2차 논리의 변수 ( 영어 : variable ) 들은 다음과 같은 가산 무한 개의 종류 ( 영어 : sort ) 에 속한다. 각 자연수 n [UNK] N { [UNK] displaystyle n [UNK] in [UNK] mathbb { N } } 에 대하여, n { [UNK] displaystyle n } 항 연산 변수 f 0 n, f 1 n, f 2 n,... { [UNK] displaystyle f - { 0 } ^ { n }, f - { 1 } ^ {
논리 체계를 도입하였다. [ 3 ] : 295 그러나 프레게는 1차 논리와 고차 논리를 구분하지 않았다. 이후 찰스 샌더스 퍼스가 1차 논리와 2차 논리를 구분하였으며, " 2차 논리 " 라는 용어를 도입하였다. [ 3 ] : 296 [UNK] 의미론은 리언 앨버트 [UNK] ( 영어 : Leon Albert Henkin, 1921 ~ 2006 ) 이 1950년에 도입하였다. [ 4 ] 2차 논리에 대하여 윌러드 밴 오먼 콰인은 ( [UNK] 우화에 빗대어 ) " 양의 탈을 쓴 집합론 " ( 영어 : set theory in sheep's clothing ) 이라고 평하였다. [ 5 ] : 66, Chapter 5 즉, 2차 논리로는 집합론에 해당하는 여러 개념들 ( [UNK] 등 ) 을 정의할 수 있으며, 또한 적절한 증명
2 n,... { [UNK] displaystyle R - { 0 } ^ { n }, R - { 1 } ^ { n }, R - { 2 } ^ { n }, [UNK] dots }. 특히, n = 1 { [UNK] displaystyle n = 1 } 일 때, f 0 1, f 1 1,... { [UNK] displaystyle f - { 0 } ^ { 1 }, f - { 1 } ^ { 1 }, [UNK] dots } 는 1차 논리 변수들의 집합에 해당한다. 변수 밖에도 다음과 같은 논리 기호들이 사용된다. ( 이들은 1차 논리와 같다. ) 전칭 기호 [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] forall } 와 존재 기호 [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] exists } 등호 = { [UNK] displaystyle = } 명제 논리 기호 [UNK] { [UNK] displays
{ R } } }. 예를 들어, 집합론의 언어는 하나의 2항 관계 [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] in } 를 갖는다. 다른 예로, 순서체의 언어는 2항 연산 { [UNK] displaystyle } 와 [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] cdot }, 1항 연산 - { [UNK] displaystyle - }, 0항 연산 0 { [UNK] displaystyle 0 } 과 1 { [UNK] displaystyle 1 }, 그리고 2항 관계 [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] leq } 를 갖는다. 2차 논리의 항 ( 영어 : term ) 은 다음 문법을 따라야 한다. n { [UNK] displaystyle n } 항 연산 변수 f i n { [UNK] displaystyle f - { i } ^ { n } } 과 n { [UNK] displaystyle n } 개의 항 t 1, t
Pedersen, Stig Andur ; Wansing, Heinrich. 《 First - order logic revisited 》. Logische Philosophie ( 영어 ) 12. [UNK] - Verlag. 303 - 322쪽. ISBN 978 - 3 - 8325 - 0475 - 5. Shapiro, Stewart ( 2001년 8월 ). 〈 Classical logic II : higher order logic 〉. Goble, Lou. 《 The Blackwell Guide to Philosophical Logic 》 ( 영어 ). Blackwell. 33 - 54쪽. ISBN 978 - 0 - 631 - 20693 - 4. doi : 10. 11 / b. 9780631206934. 2001. 005. x. Lambek, Joachim ; Scott,
tyle [UNK] phi } 에 등장하는 n { [UNK] displaystyle n } 항 자유 관계 변수 R i n { [UNK] displaystyle R - { i } ^ { n } } 에 대하여, [UNK] R i n [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] forall R - { i } ^ { n } [UNK] phi } 와 [UNK] R i n [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] exists R - { i } ^ { n } [UNK] phi } 는 논리식이다. 두 논리식 [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] phi } 와 [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] chi } 에 대하여, [UNK] [UNK] [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] phi [UNK] land [UNK] chi } 와 [UNK] [UNK] [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] phi [UNK] lor [UNK] chi } 및 [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] phi } 에 대하
수리논리학에서 2차 논리(二次論理, 영어: second-order logic)는 임의의 다항 관계 및 다항 연산에 대한 변수 및 이에 대한 전칭·존재 기호를 사용할 수 있는 논리이다. 1차 논리에서 변수는 사용하는 모형의 원소만을 지칭하지만, 2차 논리에서는 모형 속의 임의의 부분 집합에 대하여 언급할 수 있다. 이에 따라 2차 논리는 1차 논리보다 더 다양한 개념들에 대하여 논할 수 있다. 그러나 2차 논리는 1차 논리와 달리 완전한 증명 체계를 갖지 못하며, 콤팩트성 정리나 뢰벤하임-스콜렘 정리와 같은 중요한 성질들이 성립하지 않는다.