페리 수열 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 페리 수열 위키백과, 우리 모두의 백과사전. 둘러보기로 가기 검색하러 가기 수론에서, 페리 수열 ( 영어 : Farey sequence ) 은 0과 1, 그리고 그 사이에 있는 분모가 어떤 자연수 n 을 넘지 않는 기약진분수를 오름차순으로 나열한 수열을 말한다. 수학적으로 다음과 같이 정의할 수 있다. F n { [UNK] displaystyle F - { n } } : 0 [UNK] h [UNK] k [UNK] n { [UNK] displaystyle 0 [UNK] leq h [UNK] leq k [UNK] leq n } 이고 gcd ( h, k ) = 1 { [UNK] displaystyle [UNK] gcd ( h, k ) = 1 } 을 만족하는 h k { [UNK] displaystyle { [UNK] frac { h } {
1 { [UNK] displaystyle [UNK] gcd ( h, k ) = 1 } 을 만족하는 h k { [UNK] displaystyle { [UNK] frac { h } { k } } } 를 오름차순으로 나열한 수열 한편, 페리 수열을 페리 급수라고 부르기도 하지만, 엄밀히 말해서 페리 수열의 각 항은 수열의 합이 아니기 때문에 페리 급수라는 표현은 잘못된 표현이다. 목차 1 성질 1. 1 수열의 길이 1. 2 이웃한 항 2 표 3 역사 4 참고 문헌 5 같이 보기 성질 [ 편집 ] 수열의 길이 [ 편집 ] n번째 페리 수열 F n { [UNK] displaystyle F - { n } } 의 정의에 따라 F n { [UNK] displaystyle F - { n } } 의 길이와 F n 1 { [UNK] displaystyle F - { n1 } } 의 길이의
2 } / k - { 2 }, h - { 3 } / k - { 3 } } 가 연속하는 페리 수열의 세 항일 때 h 1 / k 1, h 2 / k 2 { [UNK] displaystyle h - { 1 } / k - { 1 }, h - { 2 } / k - { 2 } } 와 h 2 / k 2, h 3 / k 3 { [UNK] displaystyle h - { 2 } / k - { 2 }, h - { 3 } / k - { 3 } } 는 각각이 페리 수열의 연속하는 두 항이므로 k 1 h 2 - k 2 h 1 = 1 { [UNK] displaystyle k - { 1 } h - { 2 } - k - { 2 } h - { 1 } = 1 }... ( 1 ) k 2 h 3 - k 3 h 2 = 1 { [UNK] displaystyle k -
1, 1 / 8, 1 / 7, 1 / 6, 1 / 5, 1 / 4, 2 / 7, 1 / 3, 3 / 8, 2 / 5, 3 / 7, 1 / 2, 4 / 7, 3 / 5, 5 / 8, 2 / 3, 5 / 7, 3 / 4, 4 / 5, 5 / 6, 6 / 7, 7 / 8, 1 / 1 } 역사 [ 편집 ] 1802년에 프랑스의 기하학자 샤를 아로 ( 영어 : Charles Haros ) 가 도입하였다. 이후 1816년에 영국의 지질학자 존 페리 1세 ( 영어 : John Farey, Sr. ) 가 이 수열을 재발견하였고, 이에 대한 추측을 발표하였다. 이 추측은 곧 오귀스탱 루이 코시가 증명하였다. 참고 문헌 [ 편집 ] ↑ Hardy, G. H. ; E. M
1 }, h - { 2 } / k - { 2 }, h - { 3 } / k - { 3 } } 라고 할 경우, h 2 k 2 = h 1 h 3 k 1 k 3 { [UNK] displaystyle { [UNK] frac { h - { 2 } } { k - { 2 } } } = { [UNK] frac { h - { 1 } h - { 3 } } { k - { 1 } k - { 3 } } } } 이 두 성질은 사실 각각 다른 성질이 아니라 서로를 함축하고 있다. h 1 / k 1, h 2 / k 2, h 3 / k 3 { [UNK] displaystyle h - { 1 } / k - { 1 }, h - { 2 } / k - { 2 }, h - { 3 } / k - { 3 } } 가 연속하는 페리 수열의 세 항일 때 h 1 / k 1, h 2 /
정의에 따라 F n { [UNK] displaystyle F - { n } } 의 길이와 F n 1 { [UNK] displaystyle F - { n1 } } 의 길이의 차이는, n1보다 작으면서 동시에 n1과 서로소인 자연수의 개수와 같다. 따라서 페리 수열의 길이에 관한 점화식은 오일러 피 함수를 이용해 다음과 같이 나타낼 수 있다. | F n 1 | = | F n | [UNK] ( n 1 ) { [UNK] displaystyle | F - { n1 } | = | F - { n } | [UNK] varphi ( n1 ) } 즉, | F n | { [UNK] displaystyle | F - { n } | } 은 계차가 [UNK] ( n ) { [UNK] displaystyle [UNK] varphi ( n ) } 인 계차수열이고 | F 1 | = 2 {
k 1 k 3 = h 2 ( k 1 h 3 - h 1 k 3 ) k 2 ( k 1 h 3 - h 1 k 3 ) = h 2 k 2 { [UNK] displaystyle { [UNK] frac { h - { 1 } h - { 3 } } { k - { 1 } k - { 3 } } } = { [UNK] frac { h - { 2 } ( k - { 1 } h - { 3 } - h - { 1 } k - { 3 } ) } { k - { 2 } ( k - { 1 } h - { 3 } - h - { 1 } k - { 3 } ) } } = { [UNK] frac { h - { 2 } } { k - { 2 } } } } 물론, 후자의 성질에서 전자의 성질을 유도하는 것 역시 가능하다. [ 1 ] 한편, 페리 수열의 인접한 두 항 h 1 / k 1, h 2
playstyle F - { n } } 의 연속된 두 항을 각각 순서대로 h 1 / k 1, h 2 / k 2 { [UNK] displaystyle h - { 1 } / k - { 1 }, h - { 2 } / k - { 2 } } 라고 하면, k 1 h 2 - k 2 h 1 = 1 { [UNK] displaystyle k - { 1 } h - { 2 } - k - { 2 } h - { 1 } = 1 } 따라서 페리 수열의 연속된 두 항의 차는 각 항의 분모를 분모로 갖는 단위 분수의 곱으로 표현할 수 있다. h 2 k 2 - h 1 k 1 = k 1 h 2 - k 2 h 1 k 1 k 2 = 1 k 1 k 2 { [UNK] displaystyle { [UNK] frac { h - { 2 } } { k - { 2 } } } - { [UNK] frac {
n } 보다 크다. k 1 k 2 > n { [UNK] displaystyle k - { 1 } k - { 2 } > n } 또한 인접한 두 항의 중앙값은 k 1 k 2 { [UNK] displaystyle k - { 1 } k - { 2 } } 번 째 페리 수열 F k 1 k 2 { [UNK] displaystyle F - { k - { 1 } k - { 2 } } } 에 처음 등장하며, 이 값은 항상 구간 ( h 1 k 1, h 2 k 2 ) { [UNK] displaystyle [UNK] left ( { [UNK] frac { h - { 1 } } { k - { 1 } } }, { [UNK] frac { h - { 2 } } { k - { 2 } } } [UNK] right ) } 사이에 존재하게 된다. 표 [ 편집 ] n = 1... 8까지의 페리 수열은 다음과 같다
1 k 2 = 1 k 1 k 2 { [UNK] displaystyle { [UNK] frac { h - { 2 } } { k - { 2 } } } - { [UNK] frac { h - { 1 } } { k - { 1 } } } = { [UNK] frac { k - { 1 } h - { 2 } - k - { 2 } h - { 1 } } { k - { 1 } k - { 2 } } } = { [UNK] frac { 1 } { k - { 1 } k - { 2 } } } } 연속된 세 항을 차례대로 h 1 / k 1, h 2 / k 2, h 3 / k 3 { [UNK] displaystyle h - { 1 } / k - { 1 }, h - { 2 } / k - { 2 }, h - { 3 } / k - { 3 } } 라고 할 경우, h 2 k 2 = h 1 h 3 k
수론에서 페리 수열(영어: Farey sequence)은 0과 1, 그리고 그 사이에 있는 분모가 어떤 자연수 n 을 넘지 않는 기약진분수를 오름차순으로 나열한 수열을 말한다. 수학적으로 다음과 같이 정의할 수 있다. F n {\displaystyle F-{n}} : 0 ≤ h ≤ k ≤ n {\displaystyle 0\leq h\leq k\leq n} 이고 gcd (h, k) = 1 {\displaystyle \gcd(h, k)=1} 을 만족하는 h k {\displaystyle {\frac {h}{k}}} 를 오름차순으로 나열한 수열한편, 페리 수열을 페리 급수라고 부르기도 하지만, 엄밀히 말해서 페리 수열의 각 항은 수열의 합이 아니기 때문에 페리 급수라는 표현은 잘못된 표현이다.