확률 과정 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 확률 과정 위키백과, 우리 모두의 백과사전. 둘러보기로 가기 검색하러 가기 확률론에서, 확률 과정 ( [UNK] [UNK] 過 [UNK], 영어 : stochastic process ) 은 시간의 진행에 대해 확률적인 변화를 가지는 구조를 의미한다. 목차 1 정의 1. 1 확률 변수의 족을 통한 정의 1. 2 함수 값의 확률 변수로서의 정의 1. 3 동치 관계 1. 4 분해 가능 확률 과정 2 성질 2. 1 콜모고로프 연속성 정리 3 예 4 역사 5 외부 링크 정의 [ 편집 ] 확률 과정의 개념은 일련의 확률 변수들의 족으로, 또는 함수 값의 확률 변수로 정의될 수 있으며, 이 두 정의는 서로 동치이다. ( 이 두 정의의 동치는 집합의 범주가 데카르트 닫힌 범주이기 때문이다. ) 확률 변수의 족을 통한 정의 [ 편집
연쇄 역사 [ 편집 ] 1933년에 안드레이 콜모고로프가 확률론의 기초를 닦았다. 이후 이를 기반으로 1930년대에 콜모고로프와 조지프 두브 · 윌리엄 펠러 ( 영어 : William Feller ) · 모리스 르네 프레셰 · 폴 피에르 레비 ( 프랑스어 : Paul Pierre Lévy ) · 볼프강 되블린 ( 독일어 : Wolfgang Doeblin ) · 하랄드 크라메르 등이 확률 과정의 이론을 전개하였다. 제2차 세계 대전으로 인하여 확률 과정 이론의 발달은 잠시 중단되었다. 특히, 되블린은 유대인이었으며, 프랑스에 망명하였으나 나치 독일이 프랑스를 침공하자 나치에 체포되기 직전 자살하였다. 전후 조지프 두브와 이토 기요시 · 가쿠타니 시즈오 등이 확률미적분학을 개발하였다. 1960년대
{ s }, X - { t } ) ^ { [UNK] alpha } ) [UNK] leq K | s - t | ^ { 1 [UNK] beta } [UNK] qquad [UNK] forall s, t [UNK] in [ 0, [UNK] infty ) } 그렇다면, X { [UNK] displaystyle X } 와 확률 동치이며, 거의 확실하게 연속 함수인 확률 과정 ( X ~ t : [UNK] → S ) t [UNK] [ 0, infinity ) { [UNK] displaystyle ( { [UNK] tilde { X } } - { t } [UNK] colon [UNK] Omega [UNK] to S ) - { t [UNK] in [ 0, [UNK] infty ) } } 이 존재한다. 이를 콜모고로프 연속성 정리라고 한다. 예 [ 편집 ] 무작위 행보 브라운 운동 마르코프 연쇄 역사 [ 편집 ] 1933년에 안드레이 콜모고로프가 확률론의 기초를 닦았다
동치이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 못한다. 같은 지표 집합 · 표본 공간 · 확률 공간을 갖는 두 확률 과정 ( X t : [UNK] → S ) t [UNK] T { [UNK] displaystyle ( X - { t } [UNK] colon [UNK] Omega [UNK] to S ) - { t [UNK] in T } }, ( Y t : [UNK] → S ) t [UNK] T { [UNK] displaystyle ( Y - { t } [UNK] colon [UNK] Omega [UNK] to S ) - { t [UNK] in T } } 이 다음 조건을 만족시킨다면, X { [UNK] displaystyle X } 와 Y { [UNK] displaystyle Y } 가 서로 확률 동치 ( [UNK] [UNK] 同 [UNK], 영어 : stochastically equivalent ) 라고 한다. 임의의 t [UNK] T { [UNK] displaystyle t [UNK] in T } 에 대하여,
{ t [UNK] in T } } 이 다음 조건을 만족시킨다면, X { [UNK] displaystyle X } 와 Y { [UNK] displaystyle Y } 가 서로 구별 불가능 ( [UNK] 別 不 可 能, 영어 : indistinguishable ) 라고 한다. Pr ( [UNK] t [UNK] T : X t = Y t ) = 1 { [UNK] displaystyle [UNK] Pr ( [UNK] forall t [UNK] in T [UNK] colon X - { t } = Y - { t } ) = 1 } 이다. 즉, 임의의 t [UNK] T { [UNK] displaystyle t [UNK] in T } 에 대하여 { [UNK] [UNK] [UNK] : X t ( [UNK] ) [UNK] Y t ( [UNK] ) } [UNK] [UNK] [UNK] N { [UNK] displaystyle [UNK] { [UNK] omega [UNK] in [UNK] Omega [UNK] colon X - { t } ( [UNK] omega ) [UNK] neq Y - { t
으로 갖는 확률 과정 ( X t : [UNK] → S ) t [UNK] T { [UNK] displaystyle ( X - { t } [UNK] colon [UNK] Omega [UNK] to S ) - { t [UNK] in T } } 이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건들을 모두 만족시키는 데이터 ( U, [UNK] 0 ) { [UNK] displaystyle ( U, [UNK] Omega - { 0 } ) } 이 존재한다면, ( X t ) t [UNK] T { [UNK] displaystyle ( X - { t } ) - { t [UNK] in T } } 를 분해 가능 확률 과정 ( 영어 : separable stochastic process ) 이라고 한다. U [UNK] T { [UNK] displaystyle U [UNK] subseteq T } 는 T { [UNK] displaystyle T } 의 조밀 집합이며, 가산 집합이다. 임의의 열린집합 G [UNK] T {
[UNK] displaystyle X [UNK] colon [UNK] Omega [UNK] to S ^ { T } } 가 주어졌을 때, 이를 통하여 [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] Omega } 위의 측도를 S T { [UNK] displaystyle S ^ { T } } 로 밀어서 S T { [UNK] displaystyle S ^ { T } } 위의 확률 측도를 정의할 수 있다. 즉, 이는 구체적으로 다음과 같다. Pr ( A ) = Pr ( [UNK] f [UNK] A : [UNK] t [UNK] T : f ( t ) ( t ) = X t ) [UNK] A [UNK] S T { [UNK] displaystyle [UNK] Pr ( A ) = [UNK] Pr ( [UNK] exists f [UNK] in A [UNK] colon [UNK] forall t [UNK] in T [UNK] colon f ( t ) ( t ) = X - { t } ) [UNK] qquad [UNK] forall A [UNK]
A [UNK] G [UNK] [UNK] t [UNK] T : { f ( t ) : f [UNK] F } [UNK] F { [UNK] displaystyle A [UNK] in { [UNK] mathcal { G } } [UNK] iff [UNK] forall t [UNK] in T [UNK] colon [UNK] { f ( t ) [UNK] colon f [UNK] in F [UNK] } [UNK] in { [UNK] mathcal { F } } } 이제, S T { [UNK] displaystyle S ^ { T } } 에 G { [UNK] displaystyle { [UNK] mathcal { G } } } 로 생성되는 시그마 대수 [UNK] ( G ) { [UNK] displaystyle [UNK] sigma ( { [UNK] mathcal { G } } ) } 를 부여하면, 이는 가측 공간을 이룬다. 확률 공간 [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] Omega } 위의, 지표 집합 T { [UNK] displaystyle T } 의, 표본 공간 S { [UNK]
f ( t ) ( t ) = X - { t } ) [UNK] qquad [UNK] forall A [UNK] subseteq S ^ { T } } 이에 따라 함수 공간 S T { [UNK] displaystyle S ^ { T } } 는 확률 공간을 이룬다. 이를 확률 과정 X { [UNK] displaystyle X } 의 법칙 ( 法 則, 영어 : law ) 이라고 한다. ( 예를 들어, 위너 확률 과정의 법칙은 위너 공간의 확률 측도이다. ) 콜모고로프 연속성 정리 [ 편집 ] 다음이 주어졌다고 하자. 확률 공간 [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] Omega } 완비 거리 공간 ( S, d ) { [UNK] displaystyle ( S, d ) } 확률 과정 ( X t : [UNK] → S ) t [UNK] [ 0, infinity ) { [UNK] displaystyle ( X - { t } [UNK] colon [UNK]
a [UNK] colon X - { t } ( [UNK] omega ) [UNK] neq Y - { t } ( [UNK] omega ) [UNK] } [UNK] subseteq [UNK] Omega [UNK] setminus N } 이며 Pr ( N ) = 0 { [UNK] displaystyle [UNK] Pr ( N ) = 0 } 인 가측 집합 N [UNK] [UNK] { [UNK] displaystyle N [UNK] subseteq [UNK] Omega } 이 존재하며, N { [UNK] displaystyle N } 은 t { [UNK] displaystyle t } 에 의존하지 않는다. 분해 가능 확률 과정 [ 편집 ] 분해 가능 공간 T { [UNK] displaystyle T } 을 지표 공간으로, 보렐 가측 공간 S { [UNK] displaystyle S } 를 표본 공간으로 갖는 확률 과정 ( X t : [UNK] → S ) t [UNK] T { [UNK] displaystyle
확률론에서 확률 과정(確率過程, 영어: stochastic process)은 시간의 진행에 대해 확률적인 변화를 가지는 구조를 의미한다.