나무 ( 집합론 ) - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 나무 ( 집합론 ) 위키백과, 우리 모두의 백과사전. ( 아론샤인 나무에서 넘어옴 ) 둘러보기로 가기 검색하러 가기 순서론과 집합론에서, 나무 ( 영어 : tree ) 는 임의의 원소에 대하여 그 미만의 원소들로 구성된 부분 집합이 정렬 전순서 집합을 이루는 부분 순서 집합이다. [ 1 ] [ 2 ] 목차 1 정의 1. 1 순서론적 정의 1. 2 범주론적 정의 2 종류 3 구성 3. 1 나무에 대응하는 전순서 집합 3. 2 전순서 집합에 대응하는 나무 3. 3 수슬린 직선 4 성질 4. 1 순서론적 성질 4. 2 논리학적 성질 4. 3 강제법 5 예 5. 1 자명한 나무 5. 2 완비 나무 5. 3 묘사적 집합론에서의 나무 6 역사 6
13 정돈된 [UNK] 1 { [UNK] displaystyle [UNK] aleph - { 1 } } - 수슬린 나무에 대응하는 전순서 집합은 수슬린 직선이다. 정돈된 수슬린 직선에 대응하는 나무는 [UNK] 1 { [UNK] displaystyle [UNK] aleph - { 1 } } - 수슬린 나무이다. 따라서, 수슬린 나무의 존재와 수슬린 직선의 존재는 서로 동치이다. [ 7 ] 성질 [ 편집 ] 순서론적 성질 [ 편집 ] 나무에서, 모든 반사슬은 강상향 반사슬이다. 즉, 반사슬과 강상향 반사슬의 개념이 일치한다. 나무의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다. 하향 원순서 집합이다. 정확히 한 개의 뿌리를 갖는다. 다음 세 개념이 서로 동치이다. 전순서 집합인 나무 모든 단계가 한원소 집합이거나 공집합인 나무 정렬
5. 1 자명한 나무 5. 2 완비 나무 5. 3 묘사적 집합론에서의 나무 6 역사 6. 1 19세기 ~ 20세기 초 6. 2 20세기 중반 ~ 21세기 7 참고 문헌 8 외부 링크 정의 [ 편집 ] 나무의 개념은 순서론적으로 특정 조건을 만족시키는 부분 순서 집합으로 정의할 수 있으며, 또 범주론적으로 순서수 위의 준층으로 생각할 수도 있다. 순서론적 정의 [ 편집 ] 부분 순서 집합 ( T, [UNK] ) { [UNK] displaystyle ( T, [UNK] leq ) } 가 다음 조건을 만족시킨다면, 나무라고 한다. 임의의 s [UNK] T { [UNK] displaystyle s [UNK] in T } 에 대하여, 하집합 T s = { t [UNK] T : t < s } { [UNK] displaystyle T - { s } = [UNK] { t [UNK] in T [UNK] colon t < s [UNK] } }
{ [UNK] displaystyle T } 의 높이 ht ( T ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { ht } ( T ) } 는 모든 원소들의 높이를 초과하는 최소의 순서수이다. ht ( T ) = min { alpha [UNK] Ord : [UNK] t [UNK] T : alpha > ht T ( t ) } { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { ht } ( T ) = [UNK] min [UNK] left [UNK] { [UNK] alpha [UNK] in [UNK] operatorname { Ord } [UNK] colon [UNK] forall t [UNK] in T [UNK] colon [UNK] alpha > [UNK] operatorname { ht } - { T } ( t ) [UNK] right [UNK] } } 나무 T { [UNK] displaystyle T } 의 가지 ( 영어 : branch ) 는 극대 사슬이다. 나무의 가지 역시 정렬
( t ) = s ) { [UNK] displaystyle [UNK] forall s [UNK] in T ( [UNK] alpha ) [UNK] forall t [UNK] in T ( [UNK] beta ) [UNK] colon s [UNK] leq t [UNK] iff ( [UNK] alpha [UNK] leq [UNK] beta ) [UNK] land ( f - { [UNK] beta [UNK] alpha } ( t ) ( t ) = s ) } 종류 [ 편집 ] 기수 [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] kappa } 에 대하여, [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] kappa } - 아론샤인 나무 ( 영어 : [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] kappa } - Aronszajn tree ) 는 다음 세 조건들을 만족시키는 나무 T { [UNK] displaystyle T } 이다. [ 3 ] : 69, Definition II. 5. 8 [ 1 ] : 2 높이가 [UNK]
치이다. 전순서 집합인 나무 모든 단계가 한원소 집합이거나 공집합인 나무 정렬 전순서 집합 논리학적 성질 [ 편집 ] [UNK] 보조정리에 의하면, [UNK] 0 { [UNK] displaystyle [UNK] aleph - { 0 } } - 아론샤인 나무는 존재하지 않는다. [ 3 ] : 69, Lemma II. 5. 7 ZFC만으로, [UNK] 1 { [UNK] displaystyle [UNK] aleph - { 1 } } - 아론샤인 나무가 존재한다는 것을 증명할 수 있다. [ 3 ] : 70, Theorem II. 5. 9 그러나 [UNK] 1 { [UNK] displaystyle [UNK] aleph - { 1 } } - 수슬린 나무의 존재 ( 수슬린 가설 ) 는 ( ZFC가 무모순적이라면 ) ZFC와 독립적이다. 만약 구성 가능성 공리 V = L {
순서수 alpha < [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] alpha < [UNK] lambda } 에 대하여, 집합 T ( alpha ) { [UNK] displaystyle T ( [UNK] alpha ) }. 이를 나무 T { [UNK] displaystyle T } 의 alpha { [UNK] displaystyle [UNK] alpha } 번째 단계라고 한다. 임의의 두 순서수 alpha [UNK] beta < [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] alpha [UNK] leq [UNK] beta < [UNK] lambda } 에 대하여, 함수 f beta alpha : S beta → S alpha { [UNK] displaystyle f - { [UNK] beta [UNK] alpha } [UNK] colon S - { [UNK] beta } [UNK] to S - { [UNK] alpha } }. 이 데이터는 다음과 같은 함자 조건을 만족시켜
aystyle T } 의 가지 ( 영어 : branch ) 는 극대 사슬이다. 나무의 가지 역시 정렬 전순서 집합을 이루며, 따라서 가지의 높이를 정의할 수 있다. T { [UNK] displaystyle T } 의 가지들의 집합을 Br ( T ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { Br } ( T ) } 라고 하자. 나무 T { [UNK] displaystyle T } 가 다음 두 조건을 만족시킨다면, T { [UNK] displaystyle T } 를 정돈된 나무 ( [UNK] [UNK] -, 영어 : well pruned tree ) 라고 한다. 임의의 순서수 alpha < beta < ht T { [UNK] displaystyle [UNK] alpha < [UNK] beta < [UNK] operatorname { ht } T } 및 높이 alpha { [UNK] displaystyle [UNK] alpha } 의
aystyle { [UNK] mathsf { SH } } } 이라고 한다. [ 5 ] [ 3 ] : 66, Definition II. 4. 1 [ 1 ] : 4 " [UNK] 1 { [UNK] displaystyle [UNK] aleph - { 1 } } - 쿠레파 나무가 존재한다 " 는 명제를 쿠레파 가설 ( [UNK] [UNK] 說, 영어 : Kurepa hypothesis ) K H { [UNK] displaystyle { [UNK] mathsf { KH } } } 라고 한다. [ 3 ] : 74, Definition 5. 16 ( 역사적 이유로 인하여, 수슬린 가설과 쿠레파 가설의 정의는 서로 반대이다. ) [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] kappa } - 특수 아론샤인 나무 ( 영어 : special Aronszajn tree ) 는 다음 조건을 만족시키는 [UNK] { [UNK]
construction of a Souslin tree. " - [ 19 ] 즉, 수슬린 문제는 사실과 달리 " 당연히 참 " 이거나 " 당연히 거짓 " 인 것처럼 보인다는 것이다. 얀 미치엘스키는 수슬린 가설을 옹호하기 위하여 다음과 같이 적었다. " 수학에서는 [ 수슬린 가설 ] 을 위배하는 전순서 집합이 등장하지 않는다. 따라서, 집합론을 자연스럽게 단순화하기 위하여, 우리는 [ 수슬린 가설 ] 을 [ 공리로서 ] 받아들이기로 한다. [ W ] e do not meet in mathematics any linear orders violating [ Suslin's hypothesis ]. So we accept [ Suslin's hypothesis ] [ as an axiom ] since it simplifies se
순서론과 집합론에서 나무(영어: tree)는 임의의 원소에 대하여 그 미만의 원소들로 구성된 부분 집합이 정렬 전순서 집합을 이루는 부분 순서 집합이다.