오일러의 연분수 공식 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 오일러의 연분수 공식 위키백과, 우리 모두의 백과사전. 둘러보기로 가기 검색하러 가기 오일러의 연분수 공식 ( - [UNK] 分 數 公 式, Euler's continued fraction formula ) 은 스위스의 수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 해석학의 공식이다. 기본적으로 어떠한 급수를 연분수로 전개하는 방법을 정리한 것이다. 이 공식을 이용하여 [UNK] 전개 가능한 함수를 연분수 꼴로 표현하는 것도 가능하다. 목차 1 공식화 1. 1 현대적인 형태 2 응용 2. 1 지수 함수의 연분수 표현 2. 2 pi의 연분수 표현 3 각주 4 참고 문헌 공식화 [ 편집 ] 유한 복소수항 급수에 대해 오일러의 연분수 공식은 다음과
[UNK] cfrac { a - { 0 } } { 1 - { [UNK] cfrac { a - { 1 } } { 1a - { 1 } - { [UNK] cfrac { a - { 2 } } { 1a - { 2 } - { [UNK] cfrac { [UNK] ddots } { [UNK] ddots { [UNK] cfrac { a - { n - 1 } } { 1a - { n - 1 } - { [UNK] cfrac { a - { n } } { 1a - { n } } } } } } } } } } } } } [UNK], } 이것은 단순히 자연수에 대한 수학적 귀납법으로 증명할 수 있는 항등식이다. 이러한 공식은 무한 항까지 자연스럽게 확장될 수 있는데, 만약 좌변이 수렴하는 무한급수라면 우변도 역시 수렴하는 무한 연분수가 된다.
z 1 z - z 2 z - 2 z 3 z - 3 z 4 z - [UNK] { [UNK] displaystyle e ^ { z } = { [UNK] cfrac { 1 } { 1 - { [UNK] cfrac { z } { 1z - { [UNK] cfrac { z } { 2z - { [UNK] cfrac { 2z } { 3z - { [UNK] cfrac { 3z } { 4z - [UNK] ddots } } } } } } } } } } [UNK], } pi의 연분수 표현 [ 편집 ] 오일러의 연분수 공식을 응용하여 유명한 초월수인 상수 pi를 연분수 꼴로 쓸 수 있다. 먼저 | z | < 1에 대하여 테일러 급수를 이용하면 다음 식을 얻는다. log 1 z 1 - z = 2 ( z z 3 3 z 5 5 [UNK] ) = 2 z [
{ ri } 은 다음과 같이 정의할 수 있다. r i = - a i 1 b i - 1 b i 1. { [UNK] displaystyle r - { i } = - { [UNK] frac { a - { i1 } b - { i - 1 } } { b - { i1 } } }. [UNK], } 그러면 다음 두 등식은 귀납법에 의해 증명할 수 있다. x = 1 1 a 2 b 2 a 3 b 3 a 4 b 4 [UNK] = 1 1 - r 1 1 r 1 - r 2 1 r 2 - r 3 1 r 3 - [UNK] { [UNK] displaystyle x = { [UNK] cfrac { 1 } { 1 { [UNK] cfrac { a - { 2 } } { b - { 2 } { [UNK] cfrac { a - { 3 } } { b - { 3 } { [UNK] cfrac { a - {
} { 3 } } [UNK] right ) { [UNK] frac { z ^ { 2 } } { 5 / 3 } } [UNK] left ( { [UNK] frac { z ^ { 2 } } { 3 } } [UNK] right ) [UNK] left ( { [UNK] frac { z ^ { 2 } } { 5 / 3 } } [UNK] right ) { [UNK] frac { z ^ { 2 } } { 7 / 5 } } [UNK] cdots [UNK] right ]. } 그러므로 오일러의 연분수 공식을 적용하면 이 함수의 연분수 표현은 이렇게 된다. log 1 z 1 - z = 2 z 1 - 1 3 z 2 1 1 3 z 2 - 3 5 z 2 1 3 5 z 2 - 5 7 z 2 1 5 7 z 2 - 7 9 z 2 1 7 9 z 2 - [UNK] = 2 z 1 - z 2 z 2 3 - ( 3 z ) 2 3 z 2 5 - (
frac { ( 5z ) ^ { 2 } } { 5z ^ { 2 } 7 - { [UNK] cfrac { ( 7z ) ^ { 2 } } { 7z ^ { 2 } 9 - [UNK] ddots } } } } } } } } } }. [UNK], } 그런데 이 함수는 z = i에서 값이 존재하고, 실제로 이렇게 된다. 1 i 1 - i = i [UNK] log 1 i 1 - i = i pi 2. { [UNK] displaystyle { [UNK] frac { 1i } { 1 - i } } = i [UNK] quad [UNK] Rightarrow [UNK] quad [UNK] log { [UNK] frac { 1i } { 1 - i } } = { [UNK] frac { i [UNK] pi } { 2 } }. [UNK], } 또 여기서 급수 표현이 수렴하므로 아벨 극한 정리에 의해 급수 표현과 이 값은 같고, pi
[UNK], } 각주 [ 편집 ] ↑ 이 bi 들은 기본 순환 공식 ( fundamental recurrence formulas ) 에 의해 결정된다. 참고 문헌 [ 편집 ] H. S. Wall, Analytic Theory of Continued Fractions, D. Van Nostrand Company, Inc., 1948 ; reprinted ( 1973 ) by Chelsea Publishing Company ISBN 0 - 8284 - 0207 - 8. 원본 주소 " " 분류 : 해석학 ( 수학 ) 연분수수론 정리해석학 정리 둘러보기 메뉴 개인 도구 로그인하지 않음토론기여계정 만들기로그인 이름공간 문서토론 변수 보기 읽기편집역사 보기 더 보기 검색 둘러보기 대문사용자 모임요즘 화제최근 [UNK] 문서 보기임의 문서로도움말기부 도구 여기를 가리키는 문서
ity ( [UNK] j = 1 i r j ) { [UNK] displaystyle x = 1 [UNK] sum - { i = 1 } ^ { [UNK] infty } r - { 1 } r - { 2 } [UNK] cdots r - { i } = 1 [UNK] sum - { i = 1 } ^ { [UNK] infty } [UNK] left ( [UNK] prod - { j = 1 } ^ { i } r - { j } [UNK] right ) [UNK], } 응용 [ 편집 ] 지수 함수의 연분수 표현 [ 편집 ] 복소 지수 함수는 전해석 함수이고, 테일러 급수로 다음과 같이 나타낼 수 있다. e z = 1 [UNK] n = 1 infinity z n n! = 1 [UNK] n = 1 infinity ( [UNK] j = 1 n z j ) { [UNK] displaystyle e ^ { z } = 1 [UNK] sum - { n = 1 } ^ {
{ 2 } - { [UNK] cfrac { { [UNK] frac { 5 } { 7 } } z ^ { 2 } } { 1 { [UNK] frac { 5 } { 7 } } z ^ { 2 } - { [UNK] cfrac { { [UNK] frac { 7 } { 9 } } z ^ { 2 } } { 1 { [UNK] frac { 7 } { 9 } } z ^ { 2 } - [UNK] ddots } } } } } } } } } } [UNK], = { [UNK] cfrac { 2z } { 1 - { [UNK] cfrac { z ^ { 2 } } { z ^ { 2 } 3 - { [UNK] cfrac { ( 3z ) ^ { 2 } } { 3z ^ { 2 } 5 - { [UNK] cfrac { ( 5z ) ^ { 2 } } { 5z ^ { 2 } 7 - { [UNK] cfrac {
3 각주 4 참고 문헌 공식화 [ 편집 ] 유한 복소수항 급수에 대해 오일러의 연분수 공식은 다음과 같다. 이 형태는 오일러가 입안한 초기의 형태이다. a 0 a 0 a 1 a 0 a 1 a 2 [UNK] a 0 a 1 a 2 [UNK] a n = a 0 1 - a 1 1 a 1 - a 2 1 a 2 - [UNK] [UNK] a n - 1 1 a n - 1 - a n 1 a n { [UNK] displaystyle a - { 0 } a - { 0 } a - { 1 } a - { 0 } a - { 1 } a - { 2 } [UNK] cdots a - { 0 } a - { 1 } a - { 2 } [UNK] cdots a - { n } = { [UNK] cfrac { a - { 0 } } { 1 - { [UNK] cfrac { a - { 1 } } {
오일러의 연분수 공식(-連分數 公式, Euler's continued fraction formula)은 스위스의 수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 해석학의 공식이다. 기본적으로 어떠한 급수를 연분수로 전개하는 방법을 정리한 것이다. 이 공식을 이용하여 멱급수로 전개 가능한 함수를 연분수 꼴로 표현하는 것도 가능하다.