라플라스 연산자 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 라플라스 연산자 위키백과, 우리 모두의 백과사전. 둘러보기로 가기 검색하러 가기 수학에서, 라플라스 연산자 ( Laplace [UNK] [UNK] 子, 영어 : Laplace operator ) 또는 라플라시안 ( 영어 : Laplacian ) 은 2차 미분 연산자의 일종으로, 기울기의 발산이다. [ 1 ] [ 2 ] 기호는 [UNK] ( 그리스 대문자 델타 ) 또는 [UNK]. 목차 1 정의 1. 1 라플라스형 연산자 2 성질 3 예 3. 1 함수의 경우 3. 2 텐서장의 경우 3. 3 유클리드 공간의 경우 3. 4 민코프스키 공간 4 역사 5 응용 6 참고 문헌 7 외부 링크 정의 [ 편집 ] 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 준 리만 다양체 ( M, g ) { [UNK] displaystyle ( M, g
달랑베르 역시 라플라스 방정식을 연구하였다. [ 8 ] : Art. IV [ 9 ] : 118 피에르시몽 라플라스는 만유인력의 법칙을 연구하는 도중 라플라스 방정식을 재발견하였으며, [ 10 ] 여기에 등장하는 2차 미분 연산자는 " 라플라스 연산자 " 로 불리게 되었다. 이 밖에도, 달랑베르는 파동 방정식에 등장하는 달랑베르 연산자 ( = 민코프스키 공간 위의 라플라스 연산자 ) 를 도입하였다. [ 9 ] : 117 다양체 위의 라플라스 ( - 벨트라미 ) 연산자는 에우제니오 벨트라미가 고전역학을 일반적인 리만 다양체 위에 정의하기 위하여 도입하였다. [ 11 ] 리크네로비츠 - 오바타 정리의 경우, [UNK] 1 { [UNK] displaystyle [UNK] lambda -
{ [UNK] displaystyle R } 의 초구이다. 예 [ 편집 ] 함수의 경우 [ 편집 ] 만약 E = M x R { [UNK] displaystyle E = M [UNK] times [UNK] mathbb { R } } 가 자명한 선다발일 경우, E { [UNK] displaystyle E } 의 단면은 단순히 M { [UNK] displaystyle M } 위의 실수 값 매끄러운 함수이다. 이 경우 라플라스 연산자는 라플라스 - 벨트라미 연산자 ( 영어 : Laplace - Beltrami operator ) 라고 하며, 이 경우 다음과 같은 특별한 공식이 존재한다. [UNK] s = 1 det g [UNK] i ( det g g i j [UNK] j s ) { [UNK] displaystyle [UNK] Delta s = { [UNK] frac { 1 } { [UNK] sqrt { [UNK] det g } } } [UNK] parti
로비츠 - 오바타 정리의 경우, [UNK] 1 { [UNK] displaystyle [UNK] lambda - { 1 } } 의 하한은 앙드레 리크네로비츠 ( 프랑스어 : André Lichnerowicz ) 가 증명하였고, 이 하한의 포화가 초구에서만 일어난다는 것은 오바타 모리오 ( 일본어 : 小 [UNK] [UNK] 生 ) 가 증명하였다. 응용 [ 편집 ] 라플라스 연산자는 물리학 또는 화학에서 벡터장의 퍼텐셜을 이용해 벡터장의 특성을 나타낼 때 사용된다. 예를 들어, 전기장의 퍼텐셜인 전기 퍼텐셜에 라플라스 연산자는 취하면 전하 밀도를 유전률 상수로 나눈 값이 되는데, 이것은 푸아송 방정식의 하나로 이것의 해를 찾는 것은 정전기학에서 중요한 문제이다. 참고 문헌 [ 편집 ] ↑ Rosenberg, St
f = r ^ { 1 - n } { [UNK] frac { [UNK] partial } { [UNK] partial r } } [UNK] left ( r ^ { n - 1 } { [UNK] frac { [UNK] partial } { [UNK] partial r } } f [UNK] right ) r ^ { - 2 } [UNK] nabla - { [UNK] mathbb { S } ^ { n - 1 } } f } 여기서 [UNK] S n - 1 { [UNK] displaystyle [UNK] nabla - { [UNK] mathbb { S } ^ { n - 1 } } } 은 초구 위의 라플라스 - 벨트라미 연산자로, 다음과 같다. [UNK] S n - 1 f = [UNK] i = 1 n - 1 1 ( sin 2 theta 1 [UNK] sin 2 theta i - 1 ) sin n - i - 1 theta i [UNK] [UNK] theta i ( s
^ { [UNK] # } [UNK] colon [UNK] Gamma ^ { [UNK] infty } ( E [UNK] otimes [UNK] mathrm { T } ^ { * } M ) [UNK] to [UNK] Gamma ^ { [UNK] infty } ( E [UNK] otimes [UNK] mathrm { T } M ) } 과 발산 div : [UNK] infinity ( E [UNK] T M ) → [UNK] infinity ( E ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { div } [UNK] colon [UNK] Gamma ^ { [UNK] infty } ( E [UNK] otimes [UNK] mathrm { T } M ) [UNK] to [UNK] Gamma ^ { [UNK] infty } ( E ) } 의 합성으로 여길 수 있다. [UNK] = div [UNK] ( - ) # [UNK] [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] Delta = [UNK] operatorname { div
rep. 2003. 09. 002. ↑ Gilkey, P. 〈 The spectral geometry of operators of Dirac and Laplace type 〉 ( PDF ). Krupka, Demeter ; Saunders, David. 《 Handbook of global analysis 》 ( 영어 ). 289 - 326쪽. ISBN 978 - 0 - 444 - 52833 - 9. doi : 10. 1016 / B978 - 044452833 - 9. 50006 - 1. ↑ Evlerus, L. ( 1756 ). " Principia motvs flvidorum. Pars prior ". 《 Commentarii academiae scientiarvm imperialis Petropolitanae 》 ( 라틴어 ) 6 : 271 - 311
달랑베르 연산자입니다. 민코프스키 공간 R n, 1 { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { R } ^ { n, 1 } } 은 리만 다양체가 아니지만 준 리만 다양체이며, 이 경우의 라플라스 연산자는 달랑베르 연산자라고 한다. 이는 ( 리만 다양체의 경우와 달리 ) 타원형 미분 연산자가 아니다. 역사 [ 편집 ] 오늘날 " 라플라스 방정식 " 이라고 불리는 2차 편미분 방정식 및 이 속에 등장하는 2차 미분 연산자는 이미 레온하르트 오일러가 유체역학을 연구하는 동안 도입하였다. [ 6 ] : 300, [UNK] 67 [ 7 ] : 489, [UNK] 2 ; 490, Fig. 3 마찬가지로, 장 르 롱 달랑베르 역시 라플라스 방정식을 연구하였다. [ 8 ] : Art. IV [ 9 ] : 118
{ ja } ^ { b } [UNK] Gamma - { ib } ^ { c } [UNK] Gamma - { ja } ^ { b } [UNK] right ) s ^ { a } [UNK] qquad [UNK] forall s [UNK] in [UNK] Gamma ^ { [UNK] infty } ( E ) } 여기서 [UNK] i a b { [UNK] displaystyle [UNK] Gamma - { ia } ^ { b } } 는 [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] nabla } 의 성분 ( 크리스토펠 기호 ) 이다. i, j,... { [UNK] displaystyle i, j, [UNK] ldots } 는 접다발의 첨자이며, a, b,... { [UNK] displaystyle a, b, [UNK] ldots } 는 E { [UNK] displaystyle E } 의 첨자이다. ( 주의 : 물리학에서는 라플
[UNK] displaystyle n [UNK] geq 2 } 이며, 또한 R - 2 = inf X [UNK] [UNK] infinity ( T M [UNK] M ) Ric ( X, X ) g ( X, X ) > 0 { [UNK] displaystyle R ^ { - 2 } = [UNK] inf - { X [UNK] in [UNK] Gamma ^ { [UNK] infty } ( [UNK] mathrm { T } M [UNK] setminus M ) } { [UNK] frac { [UNK] operatorname { Ric } ( X, X ) } { g ( X, X ) } } > 0 } 라면, [UNK] 1 { [UNK] displaystyle [UNK] lambda - { 1 } } 에 대하여 다음이 성립한다. [UNK] 1 [UNK] C n n - 1 { [UNK] displaystyle [UNK] lambda - { 1 } [UNK] geq { [UNK] frac {
수학에서 라플라스 연산자(Laplace演算子, 영어: Laplace operator) 또는 라플라시안(영어: Laplacian)은 2차 미분 연산자의 일종으로, 기울기의 발산이다. 기호는 Δ(그리스 대문자 델타) 또는 ∇2이다.