0. 999... - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 0. 999... 위키백과, 우리 모두의 백과사전. 둘러보기로 가기 검색하러 가기 수학에서 순환소수 0. 999... ( 다음과 같은 방식으로도 쓰인다 0. 9, 0. 9 { displaystyle 0. { bar { 9 } }, 0. { dot { 9 } } } ), 는 1과 같은 실수를 의미한다. 다른 말로는 " 0. 999... " 와 " 1 " 은 같은 수이다. 이 두 수는 오랫동안 수학자들에게 같다고 인정 받았다. 0. 999.. 가 1과 같다는 것을 증명하는 방법에는 여러가지가 있다. 이러한 현상은 10진법에서만 적용되는 것은 아니며, 모든 진법수에서 일어날 수 있다. 수학자들은 1을 정수가 아닌 수로 표현하는 방법을 고안해 냈다. 1에서만 발생되는 현상은 아니며, 9로 무한으로 이어지는 수라면 가능하다. 수십 년 동안은 수학교육자들은 학생들에게 등식이 성립하는지를 물어 보았으며, 많은 이들이 이를 질문하거나 성립하지 않는다고 하였다. 많은 학생들이 교과서, 교사들에 의해서
##DF로 다운로드인쇄용 판 다른 언어 ( ) IndonesiaItaliano 日 本 語 / 中 文 語 링크 편집 이 문서는 2019년 5월 1일 ( 수 ) 21 : 36에 마지막으로 편집되었습니다. 모든 문서는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시 - 동일조건변경허락 3. 0에 따라 사용할 수 있으며, 추가적인 조건이 적용될 수 있습니다. 자세한 내용은 이용 약관을 참고하십시오. 미국 및 다른 국가에 등록되어 있는 Wikimedia Foundation, Inc. 소유의 등록 상표입니다. 개인정보 정책 위키백과 소개 면책 조항 개발자 쿠키 정책 모바일 보기
##으며, 많은 이들이 이를 질문하거나 성립하지 않는다고 하였다. 많은 학생들이 교과서, 교사들에 의해서 등식이 성립한다고 배워왔다. 하지만 보통은 이 이 성립함을 보이기 위해 고난이도의 증명이 필요하다. 일부 학생들이 두 숫자가 같지 않다고 생각하는 이유는 보통 잘못된 직관에 의한 것들이다. 대표적으로 모든 실수는 단 한 가지 방법으로만 표현될 수 있다는 생각, 0. 999... 는 결국에는 멈춰설 거라는 생각 등이 있다. 목차 1 개론 2 증명 2. 1 더 간단한 증명 2. 1. 1 매우 간단한 증명 2. 1. 2 매우 간단한 증명 2 3 외부 링크 개론 [ 편집 ] 0. 999... 는 10진법에서 쓰이는 숫자이며, 1과 같다는 간단한 증명이 여러 개 있는데, 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기, 부등식 등의 셈법에 의하여 가능하다. 유한소수의 경우 자릿수가 다르면 다른 숫자가 된다. 특히 0. 99... 9의 경우 언제나 1보다 작다. 이와 같은 이유로 0. 999... 이 1과 같냐는 질문에 대해 잘못된 결론을 내릴 수도 있다. 언어나 0. 99... 9에서의 생략표는 생략된 부분
. 999... { displaystyle 1 = S = 0. 999... } 매우 간단한 증명 [ 편집 ] 1 / 3 = 0. 333... { displaystyle 1 div 3 = 0. 333... } 이므로 양변 모두 3을 곱해서 1이 나와야 한다. 3을 곱하면 0. 999... { displaystyle 0. 999... } 이므로 0. 999... = 1 { displaystyle 0. 999... = 1 } 매우 간단한 증명 2 [ 편집 ] 서로 다른 두 실수 사이엔 반드시 제3의 실수가 존재해야 한다. 이 명제의 대우는 " 두 실수 사이에 서로 다른 실수가 존재하지 않으면, 그 두 수는 같은 실수이다. " 인데, 0. 99.... 와 1 사이에는 다른 실수가 없으므로, 0. 999... 와 1은 같은 수이다. 외부 링크 [ 편집 ] 공용에 자료가 있습니다. 0. 999.... 99... = 1 from cut - the - knot Why does 0. 99... = 1 Ask A Scientist : Repeating Decimals Proof of the equality based on arithmetic
##에는 여러 가지가 있다. 엄밀한 증명의 개요는 다음과 같다. 두 실수가 같을 필요충분조건은 두 수의 차가 0일 때이다. 1과 0. 999... 의 차가 존재한다고 하면, 이는 매우 작아야 할 것이다. 이제 1과 수열 0. 9, 0. 99,... 와의 차이를 생각하여보면, 1과 0. 999... 의 차이는 모든 양수보다도 항상 작아야만 한다. 이때 이러한 성질을 만족하는 수는 0밖에 없으므로, 1과 0. 999... 의 차이는 0과 같다는 사실을 알 수 있다. ( 아르키메데스 성질을 참조. ) 같은 방식으로 0. 333... =, 0. 111... = 증명할 수 있다. 증명 [ 편집 ] 0. 999... 를 등비수열의 무한급수로 보고 공식을 이용해 풀 수 있다. 0. 999... = n = 1 infinity ( 9 10 ) ( 1 10 ) n - 1 = 9 10 1 - 1 10 = 1. { displaystyle sum - { n = 1 } ^ { infty } left ( { frac { 9 } { 10 } } right ) le
##k A Scientist : Repeating Decimals Proof of the equality based on arithmetic Repeating Nines Point nine recurring equals one David Tall's research on mathematics cognition What is so wrong with thinking of real numbers as infinite decimals Theorem 0. 999... on Metamath Hackenstrings, and the 0. 999... = 1 FAQ 네이버캐스트 0. 999... 는 1인가 원본 주소 " " 분류 : 실해석학기수법수학의 역설실수1 둘러보기 메뉴 개인 도구 로그인하지 않음토론기여계정 만들기로그인 이름공간 문서토론 변수 보기 읽기편집역사 보기 더 보기 검색 둘러보기 대문사용자 모임요즘 화제최근 문서 보기임의 문서로도움말기부 도구 여기를 가리키는 문서가리키는 글의 최근 올리기특수 문서 목록고유 링크문서 정보위키데이터 항목이 문서 인용하기 다른 프로젝트 공용 인쇄 / 내보내기 책 만들기PDF로 다운로드인쇄용 판 다른 언어 ( ) IndonesiaItaliano 日 本 語
1 } ^ { infty } left ( { frac { 9 } { 10 } } right ) left ( { frac { 1 } { 10 } } right ) ^ { n - 1 } = { frac { frac { 9 } { 10 } } { 1 - { frac { 1 } { 10 } } } } = 1. } 더 간단한 증명 [ 편집 ] 0. 999... = S { displaystyle 0. 999... = S } 라고 했을 때, 양변에 10을 곱하면 9. 999... = 10 S { displaystyle 9. 999... = 10S } 이다. 이때 첫 번째 식에서 두 번째 식을 빼면 9. 999... - 0. 999... = 9 { displaystyle 9. 999... - 0. 999... = 9 } 10 S - S = 9 S { displaystyle 10S - S = 9S } 중요 가 된다. 9 = 9 S { displaystyle 9 = 9S } 이므로 1 = S = 0. 999... { displaystyle 1 = S = 0. 999... } 매우 간단한 증명 [
##는 질문에 대해 잘못된 결론을 내릴 수도 있다. 언어나 0. 99... 9에서의 생략표는 생략된 부분이 유한한 정보를 담고 있다는 의미이다. 하지만 순환소수에서 생략표가 사용되었을 때에는 이는 무한히 반복된다는 의미이다. 이는 수학적 개념인 극한을 사용하면 설명할 수 있다. 수학적으로 0. 999... 를 사용할 때에는 수열 ( 0. 9, 0. 99, 0. 999, 0. 99,... ) 의 극한값으로 생각한다. 어떤 수를 정수나 유한소수로 표기하면 한 가지 방법밖에 없지만, 다른 표기법을 사용하면 하나의 수에 대하여 여러가지 방법이 존재한다. 예를 들어, 분수를 사용하면, = 표현이 된다. 하지만 무한소수로 표현하면 하나의 수를 많아야 두 가지 방법으로밖에 표시할 수 없다. 만약 두 가지 방법이 있다고 한다면, 하나는 9가 무한히 반복되어야 하고, 다른 하나는 0이 무한히 반복되어야 한다. ( 즉, 유한자리에서 끝나야 한다. ) 0. 999... = 1을 수학적으로 엄밀하게 증명하는 방법에는 여러 가지가 있다. 엄밀한 증명의 개요는 다음과 같다. 두 실수가 같을 필요충분조건은 두
수학에서 순환소수인 0.999 ... 는 소수점 뒤로 9가 무한히 반복되는 소수로, 실수 1의 또 다른 십진법 소수 표현이다. 즉 "0.999 ... "와 "1"은 같은 수이다. 이러한 증명은 실수론의 전개, 배경이 있는 가정, 역사적 맥락, 대상이 되는 청자(듣는 사람) 등에 맞는 수준에 따른 것으로서 여러 단계의 수학적 엄밀함을 적절하게 고려한 다양한 정식화가 있다. 0.999는 줄임표 앞의 9의 개수를 다소 늘리거나 줄여서 0.99 ... 처럼 쓰기도 한다. 또는 순환마디를 명확하게 하기 위해 0. 9 ¯ {\displaystyle 0.{\bar {9}}} 또는 0. 9 ˙ {\displaystyle 0.{\dot {9}}} 와 같이 표기하기도 한다. 일반적으로 임의의 0이 아닌 유한소수(말미에 무한개의 0을 붙여서 무한소수로 봄)는 소수 부분이 있는 자리부터 9가 연속해서 반복되는 소수 표시(예를 들어 8.32, 8.31999 ...)를 가진다. 보통은 유한소수 표시를 선호하는 것으로서 그것이 하나의 뜻만 가진 표시라는 오해로 이어지기 쉽다. 이와 같은 현상은 임의의 다른 밑에 관한 위치 기수법이나 같은 실수의 표기법에서도 발생한다. 0.999 ... 와 1의 등가성은 실수의 체계(해석학에서 가장 일반적으로 이용되는 체계)에 0이 아닌 무한소가 존재하지 않는 것과 깊이 관련되어 있다. 한편 초실수의 체계와 같이 0이 아닌 무한소를 포함한 다른 수 체계도 있다. 그런 체계의 대부분은 표준 해석에 따른 등식에서 0.999 ... 의 값은 1과 같아지지만 일부 체계에서는 기호 "0.999 ... "에 다른 해석을 주면서 1보다 무한소만 작도록 만들 수 있다. 등식 0.999 ... = 1은 수학자들에게 오랫동안 받아들여져 일반적인 수학 교육의 일부였음에도 불구하고 이를 충분히 직관에 반하는 것으로 간주하고 의심하거나 거부 반응을 보이는 일부 학생들이 있다. 이와 같은 회의론은 이러한 등식을 그들에게 납득시키는 것이 얼마나 어려운가가 수학 교육의 여러 연구 주제가 되는 것에 정당성을 부여하는 정도로 당연하게 존재한다.