##는 서로 평행한다. 또한, AP와 AP'가 만나므로, AP 와 BQ도 만난다. 따라서, 평행선 공준이 성립한다. 르장드르 공준 [ 편집 ] ( 르장드르 공준 평행선 공준 ) 어떤 직선 l과 각자 A, B에서 만나는 두 직선 AP, BQ의 동측내각이 < 180이라고 하자. 만약 동측내각이 하나는 직각 하나는 예각이라면, 명제에 따라 AP와 BQ는 만난다. 만약 둘 다 예각이라면, 선분 AB에 아무렇게나 점 M을 찍고, BQ의 수선 MN을 긋고, MN이 BQ와 N에서, AP와 C에서 만난다고 하자. 그렇다면, 삼각형의 내각은 그와 이웃하지 않는 외각보다 작으므로, <, 즉 예각이다. 따라서 첫번째 경우로 귀결된다. 만약 하나는 둔각 하나는 예각이라면, 두번째 경우와 같이 점 M, N, C를 만들되, M을 AB의 중점으로 취하자. 그렇다면, 직각일 수 없다. 안 그러면, 각각변 합동에 따라, 삼각형 MCA와 MNB는 합동이 되므로, 동측내각의 합이 180이 되어 모순이다. 따라서, 이 역시 첫번째 경우로 귀결된다. 세 경우
결과를 1829년 니콜라이 이바노비치 한 러시아 저널에 발표하였다. ( 1840년에 독일어로 다시 출판되었다. ) 또한 1831년 보여이 야노시가 독자적으로 그의 아버지의 논문에 이러한 발견을 실었다. 카를 프리드리히 가우스가 이러한 문제를 연구했다는 설도 있지만, 그는 이러한 내용을 출간하지 않았다. 이 새로운 기하학은 후에 니콜라이 이바노비치, 베른하르트 리만과 앙리 푸앵카레에 의해 쌍곡기하학과 구면기하학으로 발전되었다. 참고 문헌 [ 편집 ] 王 宗 ( 1981년 7월 ). 《 三 形 和 180 》 [ 삼각형의 내각합은 180일까 ] ( 중국어 ). 南 人 民 出 社. 원본 주소 " " 분류 : 초등 기하학기하학기초론유클리드 기하학비유클리드 기하학공리숨은 분류 : 출처가 필요한 글 / 2013년 6월출처가 필요한 모든 글전체에 출처가 필요한 글영어 표기를 포함한 문서빈 문단이 포함된 문서CS1 - 중국어 인용 ( zh ) 둘러보기 메뉴 개인 도구 로그인하지 않음토론기여계정 만들기로그인 이름공간 문서토론 변수 보기 읽기편집역사 보기 더 보
, MN = MA NA = 1 / 2BC B'M = MA'C'N = NA'이므로, B'C'= BC이다. 따라서, 밑변과 윗변이 같은 사케리 사변형이 존재한다. 피타고라스의 정리 [ 편집 ] ( 피타고라스의 정리 중위선 조건 ) 피타고라스의 정리가 성립한다면, 직각 삼각형 ABC의 빗변 AB에 대한 중위선 MN을 긋자. 그렇다면, AB2 = AC2 BC2 MN2 = AM2 BM2 AM = 1 / 2AC BN = 1 / 2BC 이므로, MN = 1 / 2AB이다. 즉, 중위선이 그 대변의 절반 길이인 삼각형이 존재한다. 역사 [ 편집 ] 평행선 공준은 원론의 공준 중 다른 네 공준보다 직관적이지 못하다. 따라서 몇몇 수학자들은 이 공준이 다른 명제들로부터 증명될 수 있을지도 모른다고 생각했다. 또한 다른 몇몇 수학자들은 이 공준의 부정을 가정하여 모순을 이끌어내려고 하였다. 결국 19세기에 이 공준은 증명될 수 없다고 결론지어졌으며, 이것의 반대 상황을 가정해도 모순이 없다는 것이 밝혀졌다. 이러한 결과를 1829년 니콜라이 이바노비치 한 러시아 저널에 발표하였다. ( 1840년에 독일어로 다시 출판되
##다. 즉, 공선점이 아닌 세 점에 대하여, 그들을 지나는 원이 항상 존재한다. ( 월리스 공준 1 ) 합동이 아닌 닮음삼각형이 존재한다. ( 월리스 공준 2 ) 모든 원의 둘레와 지름의 비율은 같다. 즉, 원주율을 정의할 수 있다. ( 월리스 공준 3 ) 삼각형의 넓이는 상계를 갖지 않는다. 즉, 삼각형의 넓이는 주어진 임의의 도형의 넓이보다 클 수 있다. 윗변과 아랫변이 같은 사케리 사변형이 존재한다. 대변의 절반 길이인 중위선을 갖는 삼각형이 존재한다. ( 피타고라스의 정리 ) 직각삼각형의 빗변의 길이의 제곱은 직각을 이루는 두 변의 길이의 제곱합과 같다. 동치 증명 [ 편집 ] 위 명제들은 자명하게 유클리드 기하학의 정리이므로, 이들로부터 평행선 공준을 유도하거나, 동치성 증명이 끝난 명제를 유도하는 것으로 족하다. 명제 1, 2, 3, 4, 10에 대한 증명은 플레이페어의 공리, 삼각형의 내각합, 사케리 - 르장드르 정리 참고. 직사각형 조건 삼각형 공준 등거리 공준 직사각형 조건 프로클로스 공준 평행선 공준 르장드르 공준
, 평행선 공준에 부정을 취하면 새로운 무모순적 기하학을 얻는다. 이는 좁은 의미의 비유클리드 기하학이며, 넓은 의미의 비유클리드 기하학은 평행선 공준을 만족하지 않는 기하학을 뜻한다. 절대기하학은 다섯 공준에서 평행선 공준을 제외한 네 공준만을 취한 것이다. 목차 1 동치 명제 2 동치 증명 2. 1 직사각형 조건 2. 2 등거리 공준 2. 3 프로클로스 공준 2. 4 르장드르 공준 2. 5 보여이 공준 2. 6 월리스 공준 1 2. 7 월리스 공준 2 2. 8 월리스 공준 3 2. 9 사케리 사변형 조건 2. 10 중위선 조건 2. 11 피타고라스의 정리 3 역사 4 참고 문헌 동치 명제 [ 편집 ] 다음 명제들은 평행선 공준과 동치이다. 정확히 말해, 절대기하학 아래, 서로가 서로를 함의하며, 절대기하학에 이들 명제 가운데 하나를 추가하여 얻는 기하학은 유클리드 기하학과 동치이다. ( 소괄호 속은 원래 명제의 이름, 대괄호 속은 동치성 명제의 이름이다. ) ( 플레이페어 공리 ) 주어진 직선 밖 한 점을 지나는, 그 직선의 평행선은 많아야 하나 존재한다. (
##은 비어있습니다. 내용을 추가해 주세요. 사케리 사변형 조건 [ 편집 ] ( 사케리 사변형 조건 직사각형 조건 ) 두 사케리 사변형 ABCD, 밑변 AB와 윗변 DC가 같다고 하자. 밑변과 윗변의 중점 M, N을 연결하자. 그렇다면, 좌우 대칭에 따라 MN은 AB와 DC의 수선이다. 또한, MB = NC이므로, MNCB는 밑변이 MN인 사케리 사변형이다. 사케리 사변형의 윗변의 두 이웃각은 서로 같으므로, = = 90이다. 따라서, 직사각형 MNCB가 존재한다. 중위선 조건 [ 편집 ] ( 중위선 조건 사케리 사변형 조건 ) 삼각형 ABC의 중위선 MN이 대변 BC의 절반 길이라고 하자. MN의 수선 AA ', BB'를 그어 MN과 A ', B'에서 만나게 하자. 그렇다면, 변각변 합동에 따라, 삼각형 MAA ', MBB'는 서로 합동이며, 삼각형 NAA ', NCC'는 서로 합동이다. 따라서, BB'= AA'= CC'이므로, BB'C'C는 사케리 사변형이다. 또한, MN = MA NA = 1 / 2BC B'M = MA'C'N = NA'이므로, B'C '
) ( 플레이페어 공리 ) 주어진 직선 밖 한 점을 지나는, 그 직선의 평행선은 많아야 하나 존재한다. ( 삼각형 공준 ) 모든 삼각형의 내각합은 180이다. [ 사케리 - 르장드르 제2정리 ] 어떤 삼각형의 내각합은 180이다. 모든 삼각형의 내각합은 같다. 직사각형이 존재한다. ( 등거리 공준 1 ) 평행한 두 직선의 거리는 어디에서나 일정하다. ( 등거리 공준 2 ) 어떤 같은 평면 위에서, 어떤 주어진 직선과 거리가 같은 세 공선점이 존재한다. ( 프로클로스 공준 1 ) 같은 평면 위에서, 평행선 중 하나와 만나는 직선은 다른 하나와도 만난다. ( 프로클로스 공준 2 ) 같은 평면 위에서, 같은 직선과 평행하는 두 직선은 서로 평행한다. [ 사케리 - 르장드르 제4정리 ] 주어진 각의 내부의 점을 지나며, 각의 두 변과 만나는 직선은 항상 존재한다. ( 르장드르 공준 ) 동측내각이 하나는 직각 하나는 예각이라면, 두 직선은 만난다. ( 보여이 공준 ) 모든 삼각형은 외접원을 갖는다. 즉, 공선점이 아닌 세 점에 대하여, 그들을 지나는 원이 항상 존재한다. ( 월리스 공
. 따라서, 르장드르 공준이 성립한다. 월리스 공준 1 [ 편집 ] ( 월리스 공준 1 사각형 공준 ) 삼각형 ABC와 A'B'C'가 서로 닮음이나, 서로 합동이 아니라고 하자. 그렇다면, AB > A'B'라고 가정할 수 있다. 변 AB에 AB'' = A'B'인 점 B'' 을 찍고,'' C'' = 직선 B'' C'' 을 긋자. 그렇다면, 직선 B'' C'' 은 변 AC와 어떤 점 C'' 에서 만난다. 또한, 각변각 합동에 따라, 삼각형 AB'' C'' 와 AB'C'는 합동이다. 따라서,'' B'' ='B'=. 이때, 사각형 BB'' C'' C의 내각합은 360가 되므로, 내각합이 360인 사각형이 존재한다. 비슷하게, " 합동이 아닌 닮음다각형이 존재한다 " 는 명제가 평행선 공준과 동치라는 것을 보일 수 있다. 월리스 공준 2 [ 편집 ] 이 문단은 비어있습니다. 내용을 추가해 주세요. 월리스 공준 3 [ 편집 ] 이 문단은 비어있습니다. 내용을 추가해 주세요. 사케리 사변형 조건 [ 편집 ] ( 사케리 사변형 조건
조건 삼각형 공준 등거리 공준 직사각형 조건 프로클로스 공준 평행선 공준 르장드르 공준 평행선 공준 월리스 공준 2 르장드르 공준 월리스 공준 1 사각형 공준 사케리 사변형 조건 직사각형 조건 중위선 조건 사케리 사변형 조건 피타고라스의 정리 중위선 조건 직사각형 조건 [ 편집 ] ( 직사각형 조건 삼각형 공준 ) 직사각형 ( 즉 네 내각이 모두 직각인 사각형 ) 에 대각선을 그어 두 작은 삼각형을 만들자. 그렇다면, 사케리 - 르장드르 제1정리에 따라, 두 삼각형의 내각합은 각자 180이다. 또한, 두 내각합을 합하면 직사각형의 내각합 360가 된다. 따라서, 두 삼각형의 내각합은 모두 180이므로, 내각합이 180인 삼각형이 존재한다. 비슷하게, " 내각합이 180 ( n - 2 ) 인 n각형이 존재한다 " 는 명제가 평행선 공준과 동치라는 것을 보일 수 있다. 이를 " n각형 공준 " 이라고 하자. 등거리 공준 [ 편집 ] ( 등거리 공준 직사각형 조건 ) 평행선 사이의 거리가 어디에서나 일정하다면, 당연히 주어진 직선과 거리가 같은 세 공선점이 존재하며, 점과 선은 어떤 같은 평면
평행선 공준 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 평행선 공준 위키백과, 우리 모두의 백과사전. 둘러보기로 가기 검색하러 가기 이 문서의 내용은 출처가 분명하지 않습니다. 이 문서를 편집하여, 신뢰할 수 있는 출처를 표기해 주세요. 검증되지 않은 내용은 삭제될 수도 있습니다. 내용에 대한 의견은 토론 문서에서 나누어 주세요. ( 2013년 6월 ) 만약 alpha beta < 180라면, 두 직선은 이 두각과 같은 쪽에서 만난다. 기하학에서, 평행선 공준 ( 平 行 公, 영어 : parallel postulate ) 은 원론에 등장하는 다섯 개의 공준 중 마지막으로, 내용은 다음과 같다. 두 직선이 다른 한 직선과 만나 이루는 두 동측내각의 합이 두 직각보다 작다면, 이 두 직선을 무한히 연장할 때, 그 두 동측내각과 같은 쪽에서 만난다. 유클리드 기하학은 평행선의 공준을 비롯한 다섯 공준으로 구성되는 기하학이다. 평행선 공준은 남은 네 공준과 독립적이다. 즉, 남은 네 공준으로부터 유도할 수 없으며, 평행선 공준에 부정을 취하면 새로운 무모순적 기하학을 얻는다. 이는 좁은 의미의 비유클리드 기하학
기하학에서 평행선 공준(平行線公準, 영어: parallel postulate)은 원론에 등장하는 다섯 개의 공준 중 마지막으로, 내용은 다음과 같다. 두 직선이 다른 한 직선과 만나 이루는 두 동측내각의 합이 두 직각보다 작다면, 이 두 직선을 무한히 연장할 때, 그 두 동측내각과 같은 쪽에서 만난다. 유클리드 기하학은 평행선의 공준을 비롯한 다섯 공준으로 구성되는 기하학이다. 평행선 공준은 남은 네 공준과 독립적이다. 즉, 남은 네 공준으로부터 유도할 수 없으며, 평행선 공준에 부정을 취하면 새로운 무모순적 기하학을 얻는다. 이는 좁은 의미의 비유클리드 기하학이며, 넓은 의미의 비유클리드 기하학은 평행선 공준을 만족하지 않는 기하학을 뜻한다. 절대기하학은 다섯 공준에서 평행선 공준을 제외한 네 공준만을 취한 것이다.