개요에서 밝혔듯이 원주율은 반복되지 않고 무한히 계속되는 수열을 이룬다. 네덜란드 수학자 라위트전 브라우어르는 다음과 같은 질문을 제기하였다. [ 30 ] 원주율 pi = 3. 141592...... 의 전개에서 계속되는 소수의 수열에 9가 연속적으로 100회 나타날까 브라우어르는 이 수열이 무한히 계속되기 때문에 이 수열을 어느 정도까지만 확인한 결과만으로는 위 질문에 답할 수 없다는 점을 지적하였다. 실제 소수점 이하 762번째에서부터 수열 99 가 출현한다. 이 수열은 파인만 포인트로 알려져 있으며 원주율의 소수점 이하 수열에서 확률 0. 08 % 로 발견할 수 있는 것으로 알려져 있다. [ 31 ] 따라서 경험적 방법으로는 위 문제에 답할 수 없다. 브라우어르는 이러한 논의를 바탕으로 아리스토텔레스의 배중률 [ 주해 4 ] 은 유한한 개수를 대상으로 한 것에만 적용 수 있을 뿐 무한한 것에 적용할 수 없다고 결론지었다. [ 30 ] 원주율에서 나타나는 수열은 무작위 표집을 사용해 만든 난수표의 성질을 보인다. 하지만, 실제 원주율의 수열이 완전한 무작위성을 보이는지는 증명되지 않았다. [ 7
계산은 단순 알고리즘의 무한 반복에 불과한 작업이 되어 수학적 의미를 잃었다. [ 19 ] 이 계산은 종종 컴퓨터의 성능을 시험하기 위한 방법으로 사용한다. [ 18 ] 2005년 일본 도쿄 대학의 가네다 야스마사 교수는 컴퓨터를 601시간 56분 동안 사용하여 원주율을 소수점 1, 241, 100, 000, 000자리까지 구하였다. 2009년 〈 도쿄신문 〉 에 따르면, 일본 쓰쿠바 대학 계산과학연구센터는 17일, 슈퍼컴퓨터를 사용한 원주율 계산에서, 2조 5769억 8037만 자리수의 세계기록을 수립했다고 한다. ( 73시간 59분 소요 ) [ 20 ] [ 21 ] 그 이후 프랑스에서는 2조 7천억 자리까지 계산하였다. [ 22 ] 2010년 8월 3일에는 일본의 회사원 곤도 시게루 ( 近 ) 가 소수점 이하 5조 자리까지 계산하였다. ( 90일 7시간 소요, 검증 기간 포함 / PC 사용 ) [ 23 ] 2016년 11월 11일 스위스의 입자 물리학자인 페터 트뤼프 ( Peter ) 는 105일 동안 계산하여, 원주율을 소수점 이하 22조 4591억 5771만 8361자리 ( pi e { displaystyle pi ^ { e } } 조 개 ) 까지 계산했
##에서 수학을 배우자 ( 수학의 도레미 3 ), 이지북, 2001년, ISBN 89 - 89422 - 62 - 0, 160 - 161쪽 ↑ Pierre Eymard, Jean Pierre Lafon, The number pi, 45p. ↑ Opera mathematica... opera atque studio Francisci a Schooten, Leydensis,... - P400L17, Variorum de rebus Liber VIII ↑ Lennart Berggren, Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein, Pi, a source book ↑ Lange, L. J. ( May 1999 ). " An Elegant Continued Fraction for pi ". The American Mathematical Monthly 106 ( 5 ) : 456 - 458. doi : 10. 2307 / 2589152 ↑ Stein, Sherman ( 2006 ). 《 아르키메데스 》. 번역 이우영. 경문사. 145 - 168쪽. ISBN 89 - 7282 - 926 - 9. ↑ 박은순 ( 2008 ). 《 쉬운 미분 · 적분학 》. 숭실대학교출판부. 70쪽. ISBN 89 -
sqrt { pi } } } 이 결과는 반정수의 감마 함수가 sqrt pi의 유리수 곱임을 뜻한다. 확률과 통계 [ 편집 ] 확률 밀도 함수 f ( x ; x - 0, ) 에 대한 코시 분포 확률과 통계에서 원주율이 등장하는 정리들은 다음과 같은 것들이 있다. 정규분포를 따르는 확률분포의 평균을, 표준편차를 하면, 가우스 적분의 값을 상쇄하기 위해 정규분포의 확률 밀도 함수는 f ( x ) = 1 2 pi e - ( x - ) 2 2 2 { displaystyle f ( x ) = { 1 over sigma { sqrt { 2 pi } } }, e ^ { - { frac { ( x - mu ) ^ { 2 } } { 2 sigma ^ { 2 } } } } } 이 된다. [ 43 ] 표준 코시 분포의 확률 밀도 함수 : [ 44 ] f ( x ) = 1 pi ( 1 x 2 ) { displaystyle f ( x ) = { frac { 1 } { pi ( 1x ^ { 2 } ) } } } 참고로, 모든 확률 밀도 함수는 다음과 같이 적분한다. [ 45 ]
4 5 6 5 6 7 8 7 8 9 = n = 1 infinity ( 4 n 2 4 n 2 - 1 ) { displaystyle { frac { pi } { 2 } } = { frac { 2 } { 1 } } cdot { frac { 2 } { 3 } } cdot { frac { 4 } { 3 } } cdot { frac { 4 } { 5 } } cdot { frac { 6 } { 5 } } cdot { frac { 6 } { 7 } } cdot { frac { 8 } { 7 } } cdot { frac { 8 } { 9 } } cdots = prod - { n = 1 } ^ { infty } left ( { frac { 4 cdot n ^ { 2 } } { 4 cdot n ^ { 2 } - 1 } } right ) }...... 월리스 공식 1655년 pi 2 6 = 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 5 2 1 6 2 1 7 2 1 8 2 1 9 2 { displaystyle { frac { pi ^ { 2
##le! } 리만 제타 함수는 s가 짝수일 때 위 식을 이용하여 그 값을 쉽게 계산할 수 있으나 홀수일 때는 자명하지 않다. 1978년 s가 3일 때 무리수로 수렴하는 것이 증명되었다. 이 수렴값은 아페리 상수라고 한다. [ 41 ] 복소수 계산 [ 편집 ] 복소평면에 그린 오일러의 공식. 각 가 pi 라디안 ( 180 ) 으로 증가하는 동안 오일러 등식이 성립함을 보인다. 복소수 z { displaystyle z } 는 극좌표계를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. [ 42 ] z = r ( cos i sin ) { displaystyle z = r cdot ( cos varphi i sin varphi ) } 복소해석학에서 pi는 복소수 변수가 지수 함수에서 보이는 행동과 연관이 있으며 오일러의 공식에 따라 다음과 같이 표현할 수 있다. e i = cos i sin { displaystyle e ^ { i varphi } = cos varphi i sin varphi! } i 는 허수 단위이기 때문에 i2 = -
나타낼 수 있다. [ 4 ] pi = C d { displaystyle pi = { frac { C } { d } } } 원주율을 나타내는 기호 pi는 1706년 영국의 수학자 윌리엄 존스가 최초로 사용했다. 이것은 둘레를 뜻하는 고대 그리스어 " 페리페레스 " ( ) 또는 " 페리메트론 " ( ) 의 첫 글자를 딴 것이다. [ 5 ] 윌리엄 존스는 " 특정 도형의 길이나 넓이를 구하는 계산에 매우 유용한 방법이 여러 가지 있다. 원을 예로 들면 지름이 1인 원의 둘레를 약 3. 14159... = pi로 표기하는 것이다. " 라고 기호 pi의 사용을 제안하였다. [ 6 ] 원주율은 소수점 아래 어느 자리에서도 끝나지 않고, 순환마디도 없이 무한히 계속되는 비순환소수이다. 원주율이 무리수라는 것은 1761년 요한 하인리히 람베르트가 증명했다. 원주율의 소수점 이하에서 나타나는 수열은 무작위 표집을 통해 만드는 난수표와 성질이 같다. [ 7 ] 원주율은 십진법으로는 값을 정확하게 표기할 수 없기 때문에 실제 계산에서는 근삿값을 이용한다. 원의 넓이 = pi x 반지름2 원의 둘레 = pi
##서 A이면서 동시에 A가 아닌 경우는 없다는 것이다. 불 대수로 표현하면 a a = 0 { displaystyle a land { neg } a = 0 } ↑ 이 식은 바젤 문제의 해답으로 후일 리만 제타 함수로 일반화되었을 때 ( 2 ) { displaystyle zeta ( 2 ) } 에 해당하는 급수이다. 참고 [ 편집 ] ↑ 송은영, 재미있는 수학상식, 맑은창, 2007, ISBN 89 - 86607 - 59 - X, 126 - 133 쪽 ↑ Pickover, Clifford A. ( 2005 ). A passion for mathematics : numbers, puzzles, madness, religion, and the quest for reality. John Wiley and Sons. p. 52. ISBN 0 - 471 - 69098 - 8., Extract of page 52 ↑ 가 나 파이 ( pi ) 본격 연구는 아르키메데스부터 Archived 2012년 12월 9일 - 웨이백 머신, 즈, 2010년 1월 20일 ↑ " About Pi ". Ask Dr. Math FAQ. Retrieved 2007 - 10 - 29. ↑ Stein, Sherman ( 2006 ).
웨이백 머신,, 2005 - 7 - 11 ↑ 가 나 사이먼 싱, 박병철 역, 페르마의 마지막 정리, 영림카디널, 2002, ISBN 89 - 85055 - 97 - 6 74 - 75쪽 ↑ 日, 쓰쿠바 대학 세계 신기록 원주율 자리수 계산, JPNews, 2009 - 8 - 18 ↑ 周 の 世 界 記 立, 쓰쿠바 대학 홈페이지 ( 일본어 ) ↑ 파이 ( pi ), 2조7천억 자리까지 계산 Archived 2012년 12월 9일 - 웨이백 머신, 즈, 2010 - 1 - 19 ↑ 日 회사원, 원주율 소수점 이하 5조 자리까지 계산 성공 : : 네이버 뉴스 ↑ Peter 계산한 pi { displaystyle pi } 값 22조 자리 중 첫 1조 자리의 값은 / 사이트에서 다운로드 받을 수 있다. ↑ 김흥식, 세상의 모든지식, 서해문집, 2007, ISBN 89 - 7483 - 317 - 4 547쪽 ↑ Laczkovich, ( 1997 ), " On Lambert's proof of the irrationality of pi ", American Mathematical Monthly 104 ( 5 ) : 439 - 443, ISSN 0002 - 9890 ↑ Zhou, Li ; Mar
} cdot { frac { sqrt { 2 { sqrt { 2 } } } } { 2 } } cdot { frac { sqrt { 2 { sqrt { 2 { sqrt { 2 } } } } } } { 2 } } cdots = { frac { 2 } { pi } } } 또한, 스털링 근사를 사용해 원주율을 유도할 수도 있다. [ 35 ] n! 2 pi n ( n e ) n { displaystyle n! approx { sqrt { 2 pi n } } left ( { frac { n } { e } } right ) ^ { n } } 원주율은 다음과 같이 연분수로 표현할 수 있다. [ 36 ] 4 pi = 1 1 3 4 5 9 7 16 9 25 11 36 13 { displaystyle { frac { 4 } { pi } } = 1 { cfrac { 1 } { 3 { cfrac { 4 } { 5 { cfrac { 9 } { 7 { cfrac { 16 } { 9 { cfrac { 25 } { 11 { cfra
원주율(圓周率, 문화어: 원주률)은 원둘레와 지름의 비 즉, 원의 지름에 대한 둘레의 비율을 나타내는 수학 상수이다. 수학과 물리학의 여러 분야에 두루 쓰인다. 그리스 문자 pi로 표기하고, 파이(pi)라고 읽는다. 원주율은 수학에서 다루는 가장 중요한 상수 가운데 하나이다. 무리수인 동시에 초월수이다. 아르키메데스의 계산이 널리 알려져 있어 아르키메데스 상수라고 부르기도 하며, 독일에서는 1600년대 뤼돌프 판 쾰런이 소수점 이하 35자리까지 원주율을 계산한 이후 뤼돌프 수라고 부르기도 한다. 원주율의 값은 순환하지 않는 무한소수(무리수)이기 때문에, 원주율을 포함한 계산에서는 3.14 또는 3.141 등 첫 소수점 아랫자리를 취한 근삿값을 사용하거나 기호 파이(pi)를 사용한다.