displaystyle f ( x ) } 는 연속함수이다. 함수의 그래프 연속성 연속이다. 함숫값이 존재하지 않으므로 불연속이다. 함숫값과 극한값이 일치하지 않으므로 불연속이다. 좌극한값과 우극한값이 일치하지 않아 극한값이 존재하지 않으므로 불연속이다. 균등연속 ( Uniform Continuity ) [ 1 ] [ 편집 ] 함수 f ( x ) 가 모든 정의역에서 연속이면, 정의역의 모든점 x 0 { displaystyle x - { 0 } } 에 대해서 - 논법에 의해 모든 > 0에 대해 0 < | x - x 0 { displaystyle x - x - { 0 } } | < 만족하는 x가 | f ( x ) - f ( x 0 ) { displaystyle f ( x ) - f ( x - { 0 } ) } | < 되게하는 > 0이 존재한다. 만약 모든 x 0 { displaystyle x - { 0 } } 에 대해서 같다면, 즉, x 0 { displaystyle x - { 0 } } 에 변화에 따르지 않고 오직 변화에만 따른다면, 이 함수 f ( x ) 가 균등연속 ( Uniformly contin
##구간의 끝점 또는 중점으로 잡는다. 일반적으로 함수f가 구간 [ a, b ] 에서 유한개의 불연속점을 가지면 f가 구간 [ a, b ] 에서 적분 가능하다. 정적분의 성질 [ 4 ] [ 편집 ] 1. a b f ( x ) d x = - b a f ( x ) d x { displaystyle int - { a } ^ { b } f ( x ), dx = - int - { b } ^ { a } f ( x ), dx } 2. a b c f ( x ) d x = c a b f ( x ) d x { displaystyle int - { a } ^ { b } cf ( x ), dx = c int - { a } ^ { b } f ( x ), dx } ( 단, c { displaystyle c } 는 임의의 실수 ) 3. a b ( f ( x ) ( x ) g ( x ) ) d x = a b f ( x ) d x a b g ( x ) d x { displaystyle int - { a } ^ { b } ( f ( x ) ( x ) g ( x ) ), dx = int - { a } ^ { b
{ b } ( f ( x ) ( x ) g ( x ) ), dx = int - { a } ^ { b } f ( x ), dx int - { a } ^ { b } g ( x ), dx } 4. a c f ( x ) d x c b f ( x ) d x = a b f ( x ) d x { displaystyle int - { a } ^ { c } f ( x ), dx int - { c } ^ { b } f ( x ), dx = int - { a } ^ { b } f ( x ), dx } 5. a x b { displaystyle a leq x leq b } 인 x { displaystyle x } 에 대해서 f ( x ) 0 { displaystyle f ( x ) geq 0 } 이면 a b f ( x ) d x 0 { displaystyle int - { a } ^ { b } f ( x ), dx geq 0 } 이다. 6. a x b { displaystyle a leq x leq b } 인 x { displaystyle x } 에 대해서 f ( x )
) h { displaystyle m = lim - { h to 0 } { frac { f ( ah ) - f ( a ) } { h } } } 가 된다. 함수 f ( x ) { displaystyle f ( x ) } 의 도함수 f ( x ) { displaystyle f ^ {'} ( x ) } 란 m = lim h → 0 f ( x h ) - f ( x ) h { displaystyle m = lim - { h to 0 } { frac { f ( xh ) - f ( x ) } { h } } } 를 의미한다. 도함수 표현법에는 f ( x ) = y = d y d x = d f d x = d d x f ( x ) = D f ( x ) = D x f ( x ) { displaystyle f'( x ) = y'= { frac { dy } { dx } } = { frac { df } { dx } } = { frac { d } { dx } } f ( x ) = Df ( x ) = D - { x } f ( x ) } 등이 있다. 도함수를 한번 더 미분한 것을 이계도함수라고 한다. 이계도함
= L } : > 0 N s. t i f x > N t h e n | f ( x ) - L | < { displaystyle forall epsilon > 0 exists N s. t if x > N then | f ( x ) - L | < epsilon } lim x → - infinity f ( x ) = L { displaystyle lim - { x to - infty } f ( x ) = L } : > 0 N s. t i f x < N t h e n | f ( x ) - L | < { displaystyle forall epsilon > 0 exists N s. t if x < N then | f ( x ) - L | < epsilon } lim x → infinity f ( x ) = infinity { displaystyle lim - { x to infty } f ( x ) = infty } : M > 0 N s. t i f x > N t h e n f ( x ) > M { displaysty
##했듯이 뉴턴과 라이프니츠는 모두 미적분의 발명가로 인정받고 있다. 하지만 둘의 미적분의 성격은 다르다. 뉴턴은 미적분을 물리학에서 활용한 첫 번째 사람으로, 라이프니츠는 오늘날 사용하는 미적분 표기법의 대부분을 만든 사람으로 여겨진다. 또 라이프니츠는 뉴턴과는 달리 형식을 중시해서 알맞은 표현법을 만들어내는데 며칠을 쓰는 일도 종종 있었다고 한다. 두 사람의 미적분에서 규정한 기본적인 사항들로는 미분과 적분의 법칙들, 2계도 이상에서의 미분, 다항 함수 급수의 근사에 대한 개념들이 있다. 그런데 이 시대에 미적분학의 기본정리들은 이미 알려져 있었다. 라이프니츠가 그의 결과를 발표하고 뉴턴이 그의 아이디어에 대해서 권리를 주장하자 수학자들 사이에서는 어떤 사람을 미적분학의 발명가로 인정을 해야 하느냐는 주제로 큰 논란이 일었다. 뉴턴이 최초로 결과를 이끌어 낸 사람이지만 출판을 한 것은 라이프니츠가 처음이었기 때문이다. 뉴턴은 라이프니츠가 자신이 출판하지 않고 왕립학회에서 공유한 노트들에서 아이디어를 훔쳤다고 주장했다. 이 논란 때문에 영국 수학자들과 유럽 대륙의 수학자들이 오랫동안 갈라지게 되고 이는 영국 수학에 큰 손실을
##im - { h to 0 } { frac { g ( xh ) - g ( x ) } { h } } = f ( x ) } 이다. 함수 f { displaystyle f } 가 닫힌 구간 [ a, b ] { displaystyle [, a,, b, ] } 에서 연속이면, a b f ( x ) d x = F ( b ) - F ( a ) { displaystyle int - { a } ^ { b } f ( x ) dx = F ( b ) - F ( a ) } 이다. 여기에서 F { displaystyle F } 는 f { displaystyle f } 의 임의의 역도함수, 즉 F = f { displaystyle F'= f } 이다. 증명 : g ( x ) = a x f ( t ) d t { displaystyle g ( x ) = int - { a } ^ { x } f ( t ) dt } 로 놓으면 위의 기본정리에 의해 g ( x ) = f ( x ) { displaystyle g'( x ) = f ( x ) } 이다. f { displaystyle f } 의 임의의 도함수 F { displaystyle F } 는 g { displ
f ( x ) } 등이 있다. 도함수를 한번 더 미분한 것을 이계도함수라고 한다. 이계도함수의 표현법에는 y = f ( x ) = d d x ( d y d x ) = d 2 y d x 2 { displaystyle y'' = f'' ( x ) = { frac { d } { dx } } ( { frac { dy } { dx } } ) = { frac { d ^ { 2 } y } { dx ^ { 2 } } } } 등이 있다. 이계도함수를 또 한번 더 미분한 것을 삼차도함수라고 하고 이것은 y = f ( x ) = d d x ( d 2 y d x 2 ) = d 3 y d x 3 { displaystyle y'''= f'''( x ) = { frac { d } { dx } } left ( { frac { d ^ { 2 } y } { dx ^ { 2 } } } right ) = { frac { d ^ { 3 } y } { dx ^ { 3 } } } } 등으로 표현한다. f { displaystyle f } 를 n { displaystyle n } 번 미분한 것은 y
displaystyle f } 의 임의의 도함수 F { displaystyle F } 는 g { displaystyle g } 와 상수만큼 차이가 있다. F ( x ) = g ( x ) C { displaystyle F ( x ) = g ( x ) C } 여기서 C 는 상수라고 하자. 따라서 F ( b ) - F ( a ) = [ g ( b ) C ] - [ g ( a ) c ] = g ( b ) - g ( a ) = g ( b ) = a b f ( t ) d t { displaystyle { begin { aligned } F ( b ) - F ( a ) & = [ g ( b ) C ] - [ g ( a ) c ] & = g ( b ) - g ( a ) = g ( b ) & = int - { a } ^ { b } f ( t ) dt end { aligned } } } 이다. 치환 법칙 [ 6 ] [ 편집 ] 함수 u = g ( x ) { displaystyle u = g ( x ) } 가 미분 가능하고, 그 치역이 구간 I이며 함수 f가 구간 I에서 연속이면, f ( g ( x ) ( x ) ) g ( x ) d x = f ( u
x to 0 } f ( x ) = 1 } 로 극한값이 존재하므로 만약 f ( 0 ) = 1 { displaystyle f ( 0 ) = 1 } 로 함숫값을 정하면 불연속성이 제거될 수 있다. 따라서 함수 f ( x ) { displaystyle f ( x ) } 는 x = 0인 점에서 제거 가능한 불연속성을 지닌다. 미분 [ 편집 ] 도함수 [ 편집 ] 그래프 y = f ( x ) { displaystyle y = f ( x ) } 에서 점 P ( a, f ( a ) ( a ) ) { displaystyle P ( a, f ( a ) ( a ) ) } 을 통과하는 접선은 기울기 m = lim x → a f ( x ) - f ( a ) x - a { displaystyle m = lim - { x to a } { frac { f ( x ) - f ( a ) } { x - a } } } 를 가진다. 여기서 x - a = h { displaystyle x - a = h } 라고 하면 m = lim h → 0 f ( a h ) - f ( a ) h { displaystyle m = lim - { h to 0 } { frac { f ( ah
미적분학(微積分學, calculus)은 수학의 한 분야로 극한, 함수, 미분, 적분, 무한급수를 다루는 학문이다. 미분은 도함수라는 정의역에서 미소한 차이에 대한 함수값의 차이 값의 비를 구한다. 그 값은 곡선의 기울기로 해석한다. 또 넓이, 부피, 길이 등은 곡선으로 제한된다. 여기서 "곡선"은 직선을 의미할 수도 있으므로 주의해야 한다. 또 극한을 구하는 과정을 유도하는 무한 과정 또는 궁극점(일반적으로 구하는 값)에 접근해 가는 것과 관련이 있다. 이 2가지 방법은 수학적 해석학의 토대가 되고 있다. 기하학이 모양에 중심을 둔 학문이고 대수학이 연산에 대한 수학이라면, 미적분학은 변화에 중점을 둔 수학이다. 미적분학은 크게 2개의 분야로 분류되는데, 미분과 적분이 바로 그것이다. 미분은 미소적인 변화를 다루는 분야이고, 적분은 미소적인 양의 집적을 다루는 분야이다. 미분의 기하학적 의미를 보면, 특정 함수 그래프의 어떤 점에서 접선, 혹은 접평면을 구하는데 필요한 연산이다. 더 일반적으로, 미분은 원래는 어렵게 정의된 함수를 선형근사해서 다루기 쉬운 형태로 바꾸어 파악하려는 목적을 가지고 있다. 미분은 선형사상이 된다. 그래서 선형 대수학에서 미분가능한 함수들의 선형공간을 다룰 때 중요한 선형사상으로 여겨진다. (단, 다변수 함수의 미분을 선형사상으로 취급하는 방식은 20세기에 들어서부터 확립됐다.) 미분방정식은 이런 사고의 자연스러운 연장 선상에 있다.적분은 기하학적으로 보면, 곡선 또는 곡면과 좌표축으로 둘러싸인 영역의 면적을 구하는 것에 해당된다.(단, 이때는 절댓값 기호를 씌워서 곡선 또는 곡면을 x축위로 꺾어올렸을때의 상태이다.)(실제 적분의 기하학적인 의미는 y좌표, 즉 길이들의 합이다.) 그러나 적분의 의미는 오랫동안 확실하게 파악되지 못하고 있었다. 적분의 확실한 정의를 내린 사람은 베른하르트 리만이 최초이다. 리만이 생각한 적분을 정식화한 것을 리만 적분이라고 한다. 적분 또한 선형사상이다. 미분과 적분은 완전히 별개의 개념이지만, 밀접한 연관성을 갖는다. 변수가 하나인 경우, 하나가 나머지의 역연산이 된다. 이를 미적분학의 기본정리라고 부른다.