하고, 가능하지 않은 상태일 경우 0이라고 하면, p n = 1 { displaystyle p - { n } = { frac { 1 } { Omega } } } 이다. 여기서 { displaystyle Omega } 가 양자역학적으로 계산되어야 한다. 즉, 입자들을 구별할 수 없다는 점을 고려해야 한다. 그러면 엔트로피는 다음과 같이 쓸 수 있다. S = k B ln = - k B Tr ( ln ). { displaystyle S = k - { B } ln Omega = - k - { B } operatorname { Tr } ( rho ln rho ). } = 1 { displaystyle Omega = 1 } 인 앙상블을'순수 앙상블 ( pure ensemble ) 이라고 한다. 순수 앙상블일 때 엔트로피가 사라지는 것은 결국 열역학 제3법칙과 같다. 참고 문헌 [ 편집 ] R. K. Pathria, Statistical Mechanics, Elsevier, 2001년 Nivedita Deo, Sanjay Jain, Chung - I Tan, The Ideal Gas of
lim - { Delta E to 0 } { frac { { mbox { vol } } ( Q ( E, E Delta E ) ( E, E Delta E ) ) } { Delta E } } } 이 때, Q는 Q M = R의 관계를 만족하는 M의 열린 부분집합이다. Q ( E, E ) 는 E < H < E Q의 일부이고, " v o l { displaystyle vol } " 은 일반적인 리우빌 ( Liouville ) 부피이다. 그러므로 어떤 충분히 좋은 ( 가측 ) M E { displaystyle M - { E } } 의 부분집합은 d A { displaystyle dA } 에 대한 그것의 측도로 결정될 수 있다. 전체 위상 공간에서의 밀도 함수 ( q, p ) { displaystyle rho ( q, p ) } 는 일반화 함수 ( H ( q, p ) ( q, p ) - E ) { displaystyle { frac { delta ( H ( q, p ) ( q, p ) - E ) } { Omega } } } 로 표현 가능하다. 이 때, H는 해밀토니언이고
##년 Nivedita Deo, Sanjay Jain, Chung - I Tan, The Ideal Gas of Strings, Bombay Quant. Field Theory ( 1990 ) 112 - 148 [ 깨진 링크 ( 과거 내용 찾기 ) ] en : Microcanonical ensemble 김인묵, 김엽 공저, 《 통계열물리 》, 범한서적주식회사, 2000년 원본 주소 " " 분류 : 통계역학숨은 분류 : 영어 표기를 포함한 문서깨진 링크를 가지고 있는 문서 둘러보기 메뉴 개인 도구 로그인하지 않음토론기여계정 만들기로그인 이름공간 문서토론 변수 보기 읽기편집역사 보기 더 보기 검색 둘러보기 대문사용자 모임요즘 화제최근 문서 보기임의 문서로도움말기부 도구 여기를 가리키는 문서가리키는 글의 최근 올리기특수 문서 목록고유 링크문서 정보위키데이터 항목이 문서 인용하기 인쇄 / 내보내기 책 만들기PDF로 다운로드인쇄용 판 다른 언어 日 本 語 / 中 文 링크 편집 이 문서는 2019년 1월 3일 ( 목 ) 11 : 02에 마지막으로 편집되었습니다. 모든 문서는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시 - 동일조건변경허락 3. 0에
##가 똑같은 확률로 가능하다는 것이다. 그러므로 위상 공간에서의 해당 영역에서 밀도 함수가 상수이다. 그러나 리우빌 정리에 따르면 이 측도는 해밀턴 시간 변화 ( Hamiltonian time evolution ) 에 따라 불변이다. 여기에 따라 모든 측정값들에 대한 시간 평균이란 개념이 의미를 가지게 된다. 앙상블 평균은 이용해 정의된다. 에르고딕 가설이 성립하는가의 문제는 그 둘이 일치하느냐의 여부다. 작은 바른틀 앙상블과 리우빌 정리가 직접적으로 연관되어 있다는 것은 강조되어야 할지 모르겠지만, 그것이 에르고딕 가설과 같다고 착각해서는 안 된다. 양자역학적 계 [ 편집 ] 준고전적 방법 [ 편집 ] 지금까지, 우리는 고전적 계를 가정했다. 양자역학적 계를 다루기 위해서는 약간의 수정이 필요하다. 하지만 결과는 본질적으로 같다. 양자역학적 계를 구성하는 앙상블에 대해서는 모든 앙상블의 구성요소들이 정확히 에너지 E를 가지고 있다고 말하는 것이 적절하지 않다. 그러므로 위상 공간에서 H ( q, p ) = E { displaystyle H ( q, p ) = E } 대신에, 앙상블의 계가 위상 공간 위에서 작은 영역 E < H < E d E { displays
##에 대해 움직이는 관찰자가 보았을 때 위상 공간의 대표점들의 영역에서 국소 밀도가 불변이라는 것을 의미한다. 에르고딕 가설 [ 편집 ] 이 부분의 본문은 에르고딕 가설입니다. 고전적 계에서의 작은 바른틀 앙상블은 자연스럽게 에르고딕 가설을 고려해야 하는 기반을 제공해준다. 그 말인 즉, 긴 시간 동안의 시간 평균이 앙상블 평균 ( ensemble average ) 과 같다는 것이다. 좀 더 정확히 말하면, 관측량이 작은 바른틀 앙상블에서의 측도 대해 적분 가능한 위상 공간 위에서의 실함수 f로 나타난다는 것이다. x ( 0 ) { displaystyle x ( 0 ) } 를 위상 공간에서의 대표점으로 기술하면, x ( t ) { displaystyle x ( t ) } 은 시간 t에서 해밀턴 흐름 ( Hamiltonian flow ) 의 상 ( image ) 이 된다. f의 시간 평균은 다음과 같이 정의된다. f = lim T → infinity 1 T 0 T f ( x ( t ) ( t ) ) d t { displaystyle { bar { f } } = lim - { T rightarrow infty } { frac { 1 } { T } } int
그리고 측도 d A { displaystyle dA } 는 d { displaystyle d phi } 의 상수배이다. 리우빌 정리와의 관계 [ 편집 ] 우리는 다음이 성립함을 알고 있다. { H, } = 0 { displaystyle { H, rho } =, 0 } ( 중괄호는 푸아송 괄호이고, { displaystyle rho } 는 H의 함수이다. 그러므로 리우빌 정리에 의해 다음을 구할 수 있다. d d t = 0 { displaystyle { frac { d rho } { dt } } = 0 }. 특히 d A { displaystyle dA } 는 시간에 따라 불변이고, 그것은 작은 바른틀 앙상블이 시간에 따라 불변하는 것임을 알 수 있다. 대신에 리우빌 측도가 해밀턴 흐름 ( Hamiltonian flow ) ( Hamiltonian flow ) 에 대해 불변이라면 측도 d A { displaystyle dA } 도 역시 불변이라고 할 수 있다. 물리적으로 말하면, 이것은 계에 대해 움직이는 관찰자가 보았을 때 위상 공간의 대표점들의 영역에서 국소 밀도가 불변이라는 것을 의미한다.
단위를 쓸 수 있는지 주의해서 보아야 한다. 예를 들어, 1차원의 조화 진동자를 고려해보자. 위상 공간은 R 2 { displaystyle mathbb { R } ^ { 2 } } ( 위치 - 운동량 평면 ) 이고, 일정한 에너지 초곡면은 다음과 같은 타원이다. k q 2 2 p 2 2 m = E { displaystyle { frac { kq ^ { 2 } } { 2 } } { frac { p ^ { 2 } } { 2m } } = E } 이 때, 변수는 다음과 같이 쓸 수 있다. q = 2 E k cos ( ) { displaystyle q = { sqrt { frac { 2E } { k } } } cos ( phi ) } p = 2 m E sin ( ) { displaystyle p = { sqrt { 2mE } } sin ( phi ) } 여기서 { displaystyle phi } 는 0과 2 pi { displaystyle 2 pi } 사이에서 변할 수 있다. 그리고 측도 d A { displaystyle dA } 는 d { displaystyle d phi }
##된다. S = k B ln 0. { displaystyle S = k - { B } ln { frac { Omega } { omega - { 0 } } }. } 밀도 연산자 [ 편집 ] 작은 바른틀 앙상블은 밀도 연산자로도 기술할 수 있다. 만약 { displaystyle Omega } 가 계의 가능한 모든 미시상태의 총 수이고, | n { displaystyle | psi - { n } rangle } 은 주어진 조건에서 가능하지 않은 상태를 포함한 계의 모든 상태라고 한다면, 작은 바른틀 앙상블은 다음과 같은 중첩상태로 볼 수 있다. = p n | n n | { displaystyle rho = sum p - { n } | psi - { n } rangle langle psi - { n } | } 이 때, | n { displaystyle | psi - { n } rangle } 가 가능한 상태를 나타낸다고 하고, 가능하지 않은 상태일 경우 0이라고 하면, p n = 1 { displaystyle p -
이러한 경우 바른틀 앙상블과 작은 바른틀 앙상블은 같지 않다. 그러므로 이런 문제를 다룰 때는 좀 더 근본적이라고 생각되는 작은 바른틀 앙상블에 의지할 필요가 있다. 바른틀 앙상블로 계산할 수는 있지만 엔트로피나 에너지 밀도 등의 물리량을 유도할 때는 작은 바른틀 앙상블의 계산해야 한다는 점을 강조해야 한다. 엔트로피 [ 편집 ] 엔트로피는 다음과 같이 정의된다. S = k B ln { displaystyle S =, k - { B } ln Omega } 이 때 k B { displaystyle k - { B } } 은 볼츠만 상수이다. 또는 다음과 같이 쓸 수도 있다. ( U, V, N ) = e S / k B { displaystyle Omega ( U, V, N ) = e ^ { S / k - { B } } } 이 때, { displaystyle Omega } 는 작은 바른틀 앙상블의 가능한 미시상태의 수이다. 이 때, 작은 바른틀 앙상블에서는 { displaystyle Omega } 가 바른틀 앙상블과 큰 바른틀 앙상블의 분배함수 ( Partition function ) 의 역할을 한다는 점
이러한 부분 다양체를 M E { displaystyle M - { E } } 라고 부른다. 위에서의 물리적 고려로부터, 전체 위상 공간이 아닌 일정한 에너지면에서의 확률 측정은 모든 곳에서 일정한 것임을 알 수 있다. 그러나, 오직 부분 다양체 M E { displaystyle M - { E } } 만이 작은 바른틀 앙상블의 관심사이긴 하지만, 다른 앙상블에서는 전체 위상 공간을 고려해주어야 한다. 이제 작은 바른틀 앙상블에 적합한 전체 위상 공간에서의 측도를 기술해보자. 전체 위상 공간에서의 리우빌 측도 ( Liouville measure ) d q d p { displaystyle dqdp } 는 다음과 같이 M E { displaystyle M - { E } } 위에서의 측도 d A { displaystyle dA } 를 유도한다. M E { displaystyle M - { E } } 의 열린 부분집합 R에서의 단위는 다음과 같이 주어진다. lim E → 0 vol ( Q ( E, E E ) ( E, E E ) ) E { displaystyle lim - { Delta E to 0 } { frac { { mbox { vol } } ( Q
작은 바른틀 앙상블(영어: microcanonical ensemble) 또는 소정준 앙상블(小正準-)은 통계역학의 앙상블 중 가장 단순한 것이다.