, 프랑스에 망명하였으나 나치 독일이 프랑스를 침공하자 나치에 체포되기 직전 자살하였다. 전후 조지프 두브와 이토 기요시 · 가쿠타니 시즈오 등이 확률미적분학을 개발하였다. 1960년대 · 1970년대에는 알렉산드르 드미트리예비치 벤첼 ( 러시아어 : ) · 먼로 돈스커 ( 영어 : Monroe D. Donsker ) · 스리니바사 바라단 등이 이 분야에 공헌하였다. 외부 링크 [ 편집 ] " Stochastic process ". 《 Encyclopedia of Mathematics 》 ( 영어 ). Springer - Verlag. 2001. ISBN 978 - 1 - 55608 - 010 - 4. Weisstein, Eric Wolfgang. " Stochastic process ". 《 Wolfram MathWorld 》 ( 영어 ). Wolfram Research. 원본 주소 " " 분류 : 확률 과정확률 모형숨은 분류 : 영어 표기를 포함한 문서프랑스어 표기를 포함한 문서독일어 표기를 포함한 문서러시아어 표기를 포함한 문서CS1 - 영어 인용 ( en ) 둘러보기 메뉴 개인 도구 로그인하지 않음토론기여계정 만들기로그인 이름공간 문서토론
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X - { t } ( omega ) neq Y - { t } ( omega ) } subseteq Omega setminus N - { t } } 이며 Pr ( N t ) = 0 { displaystyle Pr ( N - { t } ) = 0 } 인 가측 집합 N t { displaystyle N - { t } subseteq Omega } 이 존재한다. N t { displaystyle N - { t } } 는 t { displaystyle t } 에 의존할 수 있다. 같은 지표 집합 · 표본 공간 · 확률 공간을 갖는 두 확률 과정 ( X t : → S ) t T { displaystyle ( X - { t } colon Omega to S ) - { t in T } }, ( Y t : → S ) t T { displaystyle ( Y - { t } colon Omega to S ) - { t in T } } 이 다음 조건을 만족시킨다면, X { displaystyle X } 와 Y { displaystyle Y } 가 서로 구별 불가능 ( 別 不 可 能, 영어 : indisting
##tyle S }. 이를 표본 공간 ( 本 空 間, 영어 : sample space ) 이라고 한다. 함수 T x → S { displaystyle T times Omega to S }, ( t, ) X t ( ) { displaystyle ( t, omega ) mapsto X - { t } ( omega ) }. 또한, 각 t T { displaystyle t in T } 에 대하여, X t { displaystyle X - { t } } 는 가측 함수이다. 즉, X t { displaystyle X - { t } } 는 확률 변수이다. 만약 모든 t T { displaystyle t in T } 에 대하여 X t { displaystyle X - { t } } 가 같은 확률 분포를 갖는다면, 확률 과정을 정상 과정 ( 正 常 過, 영어 : stationary process ) 이라고 한다. 함수 값의 확률 변수로서의 정의 [ 편집 ] 다음이 주어졌다고 하자. 집합 T { displaystyle T }. 이를 지표 집합 ( 集 合, 영어 : index set ) 이라고 한다. 가측 공간 S { displaystyle S }. 이를 표본
, infty ) } 그렇다면, X { displaystyle X } 와 확률 동치이며, 거의 확실하게 연속 함수인 확률 과정 ( X ~ t : → S ) t [ 0, infinity ) { displaystyle ( { tilde { X } } - { t } colon Omega to S ) - { t in [ 0, infty ) } } 이 존재한다. 이를 콜모고로프 연속성 정리라고 한다. 예 [ 편집 ] 무작위 행보 브라운 운동 마르코프 연쇄 역사 [ 편집 ] 1933년에 안드레이 콜모고로프가 확률론의 기초를 닦았다. 이후 이를 기반으로 1930년대에 콜모고로프와 조지프 두브 · 윌리엄 펠러 ( 영어 : William Feller ) · 모리스 르네 프레셰 · 폴 피에르 레비 ( 프랑스어 : Paul Pierre Lévy ) · 볼프강 되블린 ( 독일어 : Wolfgang Doeblin ) · 하랄드 크라메르 등이 확률 과정의 이론을 전개하였다. 제2차 세계 대전으로 인하여 확률 과정 이론의 발달은 잠시 중단되었다. 특히, 되블린은 유대인이었으며, 프랑스에 망명하였으나 나치 독일이 프랑스를 침공하자 나치에 체포되기 직전 자살하였다. 전후 조지프 두
displaystyle { mathcal { G } } } 로 생성되는 시그마 대수 ( G ) { displaystyle sigma ( { mathcal { G } } ) } 를 부여하면, 이는 가측 공간을 이룬다. 확률 공간 { displaystyle Omega } 위의, 지표 집합 T { displaystyle T } 의, 표본 공간 S { displaystyle S } 에 대한 확률 과정은 S T { displaystyle S ^ { T } } 값의 확률 변수 X : → S T { displaystyle X colon Omega to S ^ { T } } 이다. 동치 관계 [ 편집 ] 확률 과정에 대하여, 확률 동치 ( 同, 영어 : stochastic equivalence ) 와 구별 불가능 ( 別 不 可 能, 영어 : indistinguishability ) 이라는 두 동치 관계가 존재한다. 전자는 후자보다 더 거친 동치 관계이다. 즉, 서로 구별 불가능한 두 확률 과정은 서로 확률 동치이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 못한다. 같은 지표 집합 · 표본 공간 · 확률 공간을 갖는 두 확률 과정 ( X t : → S ) t T { displ
##은 지표 집합 · 표본 공간 · 확률 공간을 갖는 두 확률 과정 ( X t : → S ) t T { displaystyle ( X - { t } colon Omega to S ) - { t in T } }, ( Y t : → S ) t T { displaystyle ( Y - { t } colon Omega to S ) - { t in T } } 이 다음 조건을 만족시킨다면, X { displaystyle X } 와 Y { displaystyle Y } 가 서로 확률 동치 ( 同, 영어 : stochastically equivalent ) 라고 한다. 임의의 t T { displaystyle t in T } 에 대하여, Pr ( X t = Y t ) = 1 { displaystyle Pr ( X - { t } = Y - { t } ) = 1 } 이다. 즉, { : X t ( ) Y t ( ) } N t { displaystyle { omega in Omega colon X - { t } ( omega ) neq Y - { t } ( omega ) }
##seteq T } 과 닫힌집합 F S { displaystyle F subseteq S } 에 대하여, Pr ( ( t G U : X t F ) ( t G U : X t F ) ( t G : X t F ) ) = 0 { displaystyle Pr ( ( forall t in G cap U colon X - { t } in F ) ( forall t in G cap U colon X - { t } in F ) land ( exists t in G colon X - { t } not in F ) ) = 0 }. 즉, 어떤 가측 집합 0 { displaystyle Omega - { 0 } subseteq Omega } 에 대하여, Pr ( 0 ) = 0 { displaystyle Pr ( Omega - { 0 } ) = 0 } 이며 t G U X t - 1 ( F ) t G X t - 1 ( F ) 0 { displaystyle textstyle bigcap - { t in G cap U } X - { t } ^
X } 와 Y { displaystyle Y } 가 서로 구별 불가능 ( 別 不 可 能, 영어 : indistinguishable ) 라고 한다. Pr ( t T : X t = Y t ) = 1 { displaystyle Pr ( forall t in T colon X - { t } = Y - { t } ) = 1 } 이다. 즉, 임의의 t T { displaystyle t in T } 에 대하여 { : X t ( ) Y t ( ) } N { displaystyle { omega in Omega colon X - { t } ( omega ) neq Y - { t } ( omega ) } subseteq Omega setminus N } 이며 Pr ( N ) = 0 { displaystyle Pr ( N ) = 0 } 인 가측 집합 N { displaystyle N subseteq Omega } 이 존재하며, N { displaystyle N } 은 t { displaystyle t } 에 의존하지 않는다. 분해 가능 확률 과정 [ 편집 ] 분해 가능 공간 T {
##aystyle textstyle bigcap - { t in G cap U } X - { t } ^ { - 1 } ( F ) setminus bigcap - { t in G } X - { t } ^ { - 1 } ( F ) subseteq Omega - { 0 } } 이다. 다시 말해, 분해 가능 확률 과정의 경우, 그 성질이 가산 개의 확률 변수 ( X t ) t U { displaystyle ( X - { t } ) - { t in U } } 만으로부터 결정된다. 두브 정리 ( 영어 : Doob's theorem ) 에 따르면, 임의의 R → R { displaystyle mathbb { R } to mathbb { R } } 확률 과정은 어떤 분해 가능 확률 과정과 확률 동치이다. ( 이는 조지프 두브가 증명하였다. ) 성질 [ 편집 ] 확률 과정 X : → S T { displaystyle X colon Omega to S ^ { T } } 가 주어졌을 때, 이를 통하여 { displaystyle Omega } 위의 측도를 S T { displaystyle S ^ { T } } 로 밀어서 S T
확률론에서 확률 과정(確率過程, 영어: stochastic process)은 시간의 진행에 대해 확률적인 변화를 가지는 구조를 의미한다.