라는 명제와 " M은 M의 원소가 아니다 " 라는 명제는 둘 다 모순을 도출하여 맞다 혹은 그르다 중에 어떤 답으로 답할 수 없다. 프레게의 공리체계에서 M은 " 자신을 정의하는 개념에 포함되지 않는다 ( not fall under its defining concept ) " 라는 개념 ( concept ) 에 해당한다. 따라서, 프레게의 체계 역시 모순을 낳는다. 목차 1 역사 1. 1 러셀의 역설과 소박한 집합론 ( set theory ) 2 응용 방면과 관련 주제 3 같이 보기 4 참고 문헌 역사 [ 편집 ] 러셀이 정확히 언제 이 역설을 발견했는지는 확실하지 않지만, 아마도 1901년 5월이나 6월경 특정 영역의 개체의 수는 그 개체의 하등계급 수보다 작다는 칸토어의 법칙에 대한 연구를 하다가 발견한 것으로 보인다. [ 1 ] 러셀의 역설과 소박한 집합론 ( set theory ) [ 편집 ] 칸토어가 세상에 내어 놓은 집합론은 러셀의 역설과 같은 서술이 논리적으로 참인지 거짓인지를 판별할 수 있는 강력한 수학이론이다. 이러한 소박한 집합론에서 아무 원소를 포함하지 않는 공집합을, = { } 로 표시하는데, 이러한 공집합을
교형 역설 목록 vdeh집합론집합 원소 공집합 한원소 집합 부분 집합 교집합 합집합 여집합 대칭차 ( 공리 ) 곱집합 ( 순서쌍 ) 유한 집합 무한 집합 ( 무한 공리 ) 가산 집합 드 모르간의 법칙 함수 정의역 공역 치역 상 전사 함수 단사 함수 전단사 함수 다가 함수 역함수 항등 함수 상수 함수 지시 함수 함수의 합성 기수 집합의 크기 칸토어의 정리 ( 대각선 논법 ) 알레프 수 베트 수 극한 기수 기멜 함수 가능 공종도 순서수 정렬 순서 초한귀납법 공종도 ( 정리 ) 하르톡스 수 정규 함수 역설의 해소 소박한 집합론 러셀의 역설 칸토어 역설 부랄리포르티 역설 모임 형 이론 ( 《 수학 원리 》 ) 체르멜로 - 집합론 새 기초론 폰 노이만 - 베르나이스 - 괴델 집합론 모스 - 켈리 집합론 선택 공리 가산 선택 공리 의존적 선택 공리 초른의 보조정리 슈필라인 확장정리 바나흐 - 타르스키 역설 티호노프 정리 집합론의 모형 구성 가능 전체 추이적 집합 추이적 모형 순서수 정의 가능 집합 강제법 큰 기수도달 불가능한 기수 · 가측 기수 · 약콤팩트 기수 · 강콤팩트 기수 · 초콤팩트 기수ZF와 독립된 명제 연속체 가설 특이 기수 가설 수슬린 가설 화이트헤드 문제 결정 공리
' 이런 느낌의 단어이다. 칸토어의 집합론에 그런 단어를 붙여 부르는 것이 옳은지는 의문이다. 천재 칸토어는 집합론을 세상에 내어 놓으면서 다른 한편으로는 제논의 역설 이후 금기 시 되어온 무한의 개념을 집어 들었다. 당연히 엄청난 부담감을 느꼈을 것이다. 그리고 조심스럽게 무한한 집합을 분류하기 시작했다. 그리곤, 당시 수학자들로부터 엄청난 반발을 불러일으켰다. 동년배인 수학자 푸앙카레는 칸토어의 집합론과 무한 수를 심각한 수학 질병이라고 불렀고, 칸토어에게 중요했던 선배 수학자 크로네커는 그를 과학 사기군, 배교자, 젊은이를 지적 타락으로 이끄는 자라고 매도했다. 철학자들도 이러한 비난에 가세했고, 성직자들은 그의 시도를 신에 대한 심각한 도전으로 여겼다. 그리고, 러셀의 역설과 베른의 역설과 같은 역설들이 쏟아져 나온다. 한편, 그의 당대 일부 수학자들은 칸토어 집합론의 공리화를 시작한다. 유클리드의 원론 ( elements ) 에 나오는 그 공리화 방법론을 집합론에 도입한 것이다. 집합론을 체계화 시킨 측면도 있지만, 러셀의 역설을 비롯한 역설들이 주장하는 칸토어 집합론이 지닌 모순들을 극복하기 위해 시작
##콤팩트 기수 · 초콤팩트 기수ZF와 독립된 명제 연속체 가설 특이 기수 가설 수슬린 가설 화이트헤드 문제 결정 공리 마틴 공리 다이아몬드 원리 원본 주소 " " 분류 : 소박한 집합론의 역설자기언급 역설버트런드 러셀1901년 과학숨은 분류 : 영어 표기를 포함한 문서 둘러보기 메뉴 개인 도구 로그인하지 않음토론기여계정 만들기로그인 이름공간 문서토론 변수 보기 읽기편집역사 보기 더 보기 검색 둘러보기 대문사용자 모임요즘 화제최근 문서 보기임의 문서로도움말기부 도구 여기를 가리키는 문서가리키는 글의 최근 올리기특수 문서 목록고유 링크문서 정보위키데이터 항목이 문서 인용하기 인쇄 / 내보내기 책 만들기PDF로 다운로드인쇄용 판 다른 언어 日 本 語 / / 中 文 文 言 語 링크 편집 이 문서는 2019년 3월 6일 ( 수 ) 22 : 56에 마지막으로 편집되었습니다. 모든 문서는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시 - 동일조건변경허락 3. 0에 따라 사용할 수 있으며, 추가적인 조건이 적용될 수 있습니다. 자세한 내용은 이용 약관을 참고하십시오. 미국 및 다른 국가에 등록되어 있는 Wikimedia Found
러셀의 역설 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 러셀의 역설 위키백과, 우리 모두의 백과사전. 둘러보기로 가기 검색하러 가기 러셀의 역설 ( - 說, Russell's paradox ) 은 수학자 버트런드 러셀이 1901년 발견한 논리적 역설로 프레게의 논리체계와 칸토어의 소박한 집합론이 모순을 지닌다는 것을 보여준 예이다. 그 대략적인 내용은 다음과 같다. M이라는 집합을 " 자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들의 집합 " 으로 정의하자. 다시 말해, A가 M의 원소가 되기 위한 필요충분조건은 A가 A의 원소가 아닌 것으로 한다. 칸토어의 공리체계에서 위와 같은 정의로 집합 M은 문제없이 잘 정의된다. 여기서 M이 자기 자신을 원소로 포함하는가란 질문을 던져본다. 만약 포함한다고 가정하면 그 정의에 의해 M은 자신을 원소로 포함하지 않는다. 반대로 M이 자신을 원소로 포함하지 않는다고 가정했을 때에는 다시 그 정의에 의해 M은 자신에 포함되어야 한다. 즉 " M은 M의 원소이다 " 라는 명제와 " M은 M의 원소가 아니다 " 라는 명제는 둘 다 모순을 도출하여 맞다 혹은 그르다 중에 어떤
측면도 있지만, 러셀의 역설을 비롯한 역설들이 주장하는 칸토어 집합론이 지닌 모순들을 극복하기 위해 시작되었다는 점에서 문제의 소지도 있다. 오직 이러한 역설들을 극복하기 위해 도입된 계급의 공리 ( Axiom of class ) 는 그 필요성이 의문일 뿐만 아니라, 칸토어의 집합론에 심각한 제약을 가한다. 응용 방면과 관련 주제 [ 편집 ] 러셀의 역설은 거짓말쟁이의 역설과 깊은 관련이 있다. 러셀은 유형이론을 바탕으로 모순을 해결하였다. 같이 보기 [ 편집 ] 괴델의 불완전성 정리 참고 문헌 [ 편집 ] ↑ Godehard Link ( 2004 ), 《 One hundred years of Russell's paradox 》, 350쪽, ISBN 978 - 3 - 11 - 017438 - 0 vdeh논리 역설자기언급 이발사 베리 바르트리하리 법원 악어 커리 에피메니데스 그렐링 - 넬슨 클리네 - 로저 거짓말쟁이 카드 피노키오 콰인 야블로 리차드 러셀 소크라테스 모호성 테세우스의 배 소리테스 기타 역설 이발소 캐치 - 22 술꾼 계사 한정 복권 레이븐 로스 불시 교형 역설 목록 vdeh집합론집합 원소 공집합 한원소 집합 부분 집합 교집합 합집합 여
##론에서 아무 원소를 포함하지 않는 공집합을, = { } 로 표시하는데, 이러한 공집합을 표현할 수 있는 서술 방법은 무한히 많다. 예를 들어 { x | x = 1 and } =, 러셀의 역설에서 가정하는 집합은 수학적 대상은 아니지만, 소박한 집합론에서 공집합의 원소는 될 수 있다. 공집합에 자신을 원소로 포함시키는 과정을 되풀이하면,, { }, {, { } },.... 되고, 자연수가 도출된다. 다른 수학이론의 기초가 되고, 함수를 정의할 수 있으면, 또한 무한한 대상들을 다룰 수 있는 유일한 방법을 제공한다. 그래서, 수학자 힐버트는 칸토어의 집합론이 이끄는 세계를 수학자의 낙원이라고 묘사했다. 소박한 집합론에서'소박한'은 후대 수학자들이 칸토어가 발견한 집합론을 공리 집합론 ( axiomatic set theory ) 과 구분 짓기 위해 붙인 것이다.'' 란 단어를'소박한'이라고 긍정적으로 해석했지만,'덜 성숙된 ','생각이 얕은'이런 느낌의 단어이다. 칸토어의 집합론에 그런 단어를 붙여 부르는 것이 옳은지는 의문이다. 천재
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논리학에서 러셀의 역설(-逆說, 영어: Russell's paradox)은 버트런드 러셀이 1901년에 발견한 역설이다. 고틀로프 프레게의 《산술의 기본 법칙》과 게오르크 칸토어의 소박한 집합론 따위의 논리 체계가 모순을 지닌다는 것을 보여준다. 예를 들어, 칸토어의 집합론에서 자기 자신의 원소가 아닌 모든 집합들의 집합을 정의하고 이 집합이 자기 자신의 원소인지 여부를 물으면, 이에 대한 긍정과 부정 가운데 어느 하나를 가정하더라도 모순이 유도된다. 유형 이론과 공리적 집합론이 도입되면서 해결되었다.