위튼 지표 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 위튼 지표 위키백과, 우리 모두의 백과사전. 둘러보기로 가기 검색하러 가기 초대칭초대칭을 통한 계층 문제의 해결 기본 개념 초공간초장초대칭 대수초등각 대수 초대칭 이론 베스 - 추미노 모형 초대칭 양자전기역학 초대칭 게이지 이론 최소 초대칭 표준 모형 차등 최소 초대칭 표준 모형 초대칭 대통일 이론 초중력 갈린 초대칭 초끈 이론 초대칭 파괴 최소 초중력 페예 - 일리오풀로스 모형 오라퍼티 모형 불가능성 정리 콜먼 - 맨듈라 정리하크 - - 조니우스 정리 수학적 구조 초다양체리 초군과 리 초대수초행렬켈러 다양체 v. d. e. h 이론물리학에서, 위튼 지표 ( Witten, 영어 : Witten index ) 또는 초대칭 지표 ( 對, 영어 : supersymmetric index ) 는 초대칭 양자역학에서 보손 및 페르미온 에너지 준위의 수의 차이다. [ 1 ] [ 2 ] 위튼 지표가 0이 아니라는 것은 초대칭이 자발적으로 깨지지 않았다는 것을 보여준다. 목차 1 개요 2 정의 2. 1 해밀토니언의 변화 2. 2 초대칭의 자발 대칭 깨짐 3 두 개의 초전하에서의 위튼
##0. Zbl 0625. 57008. doi : 10. 1007 / BF01208956. ↑ Kawai, Toshiya ; Yasuhiko Yamada, Sung - Kil Yang. " Elliptic genera and N = 2 { displaystyle N = 2 } superconformal field theory " ( 영어 ). Bibcode : 1994NuPhB. 414.. 191K. arXiv : hep - th / 9306096. doi : 10. 1016 / 0550 - 3213 ( 94 ) 90428 - 6. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 ( 도움말 ) ; | 제목 = 에 지움 문자가 있음 ( 위치 21 ) ( 도움말 ) ↑ Ochanine, Serge ( 2009년 6월 ). " What is... an elliptic genus " ( PDF ). 《 Notices of the American Mathematical Society 》 ( 영어 ) 56 ( 6 ) : 720 - 721. Zbl 1172. 58006. ↑ Benini, Francesco ; Richard Eager, Kentaro Hori, Yuji Tachikawa ( 2013 ). " Ellip
Richard Eager, Kentaro Hori, Yuji Tachikawa ( 2013 ). " Elliptic genera of two - dimensional N = 2 gauge theories with rank - one gauge groups " ( 영어 ). Bibcode : 2013arXiv1305. 0533B. arXiv : 1305. 0533. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 ( 도움말 ) ↑ Benini, Francesco ; Richard Eager, Kentaro Hori, Yuji Tachikawa. " Elliptic genera of 2d N = 2 gauge theories " ( 영어 ). Bibcode : 2013arXiv1308. 4896B. arXiv : 1308. 4896. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 ( 도움말 ) ↑ Witten, Edward ( 1982 ). " Supersymmetry and Morse theory ". 《 Journal of Differential Geometry 》 ( 영어 ) 17 ( 4 ) : 661 - 692. MR 683171. Zbl 0499. 53056. ↑ 가 나 Witten, Edward ( 1998년 2월 ). " To
) ( 도움말 ) ↑ Festuccia, Guido ; Nathan Seiberg ( 2011년 6월 ). " Rigid supersymmetric theories in curved superspace ". 《 Journal of High Energy Physics 》 ( 영어 ) 2011 ( 6 ) : 114. Bibcode : 2011JHEP... 06.. 114F. ISSN 1029 - 8479. arXiv : 1105. 0689. doi : 10. 1007 / JHEP06 ( 2011 ) 114. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 ( 도움말 ) ↑ Benini, Francesco ; Tatsuma Nishioka, Masahito Yamazaki ( 2012년 9월 15일 ). " 4d Index to 3d Index and 2d topological quantum field theory ". 《 Physical Review D 》 ( 영어 ) 86 ( 6 ) : 065015. Bibcode : 2012PhRvD.. 86f5015B. arXiv : 1109. 0283. doi : 10. 1103 / PhysRevD. 86. 065015. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 ( 도움말 )
개요 2 정의 2. 1 해밀토니언의 변화 2. 2 초대칭의 자발 대칭 깨짐 3 두 개의 초전하에서의 위튼 지표 3. 1 초대칭 코호몰로지 3. 2 공액에 대한 지표 4 추가 연산자의 삽입 4. 1 초등각 지표 4. 2 렌즈 공간 지표 4. 3 타원 종수 5 역사 6 예 6. 1 초대칭 양자역학 6. 2 4차원 초대칭 게이지 이론 6. 2. 1 가환 초대칭 게이지 이론 6. 2. 2 비가환 초대칭 게이지 이론 6. 3 3차원 초대칭 게이지 이론 7 참고 문헌 8 외부 링크 개요 [ 편집 ] 초대칭의 특징은, 자발적으로 대칭이 깨지지 아니할 때 바닥 상태의 에너지가 0이다. 따라서 초대칭이 자발적으로 깨졌는지를 확인할 때는 에너지가 0인 바닥 상태의 존재 여부만 확인하면 된다. 한편 입자들이 도입되어 들뜬 상태의 에너지가 0이 아니라면, 언제나 그 상태의 초대칭짝 상태가 존재한다는 것이다. 이들의 기여는, 보손 상태의 개수에서 페르메온 상태의 개수를 뺀 것으로 정의한 위튼 지표에서 상쇄된다. 따라서, 위튼 지표에는 에너지가 0인 상태들만 기여한다. 다시 말해 초대칭이 자발적으로 깨졌는지를 알려주는 상태들만이 기여한다는 것이다. 위튼 지표
= 0 { displaystyle [ X, Q ] = 0 } 이다. 그렇다면 대각합의 순환성에 의해 tr ( ( - 1 ) ( - 1 ) F Q X ) = tr ( ( - 1 ) ( - 1 ) F X Q ) = tr ( Q ( - 1 ) ( - 1 ) F X ) = - tr ( ( - 1 ) ( - 1 ) F Q X ) { displaystyle operatorname { tr } left ( ( - 1 ) ( - 1 ) ^ { F } QX right ) = operatorname { tr } left ( ( - 1 ) ( - 1 ) ^ { F } XQ right ) = operatorname { tr } left ( Q ( - 1 ) ( - 1 ) ^ { F } X right ) = - operatorname { tr } left ( ( - 1 ) ( - 1 ) ^ { F } QX right ) } 이므로, 이러한 꼴의 대각합은 항상 0이다. 즉, tr ( ( - 1 ) ( - 1 ) F exp ( - beta H ) ) = tr ( ( - 1 ) ( - 1 ) F P 0 ) { displaystyle operatorname { tr } left ( ( - 1 )
##htarrow { Q } } { mathcal { H } } - { } { xrightarrow { Q } } { mathcal { H } } - { - } } 따라서, 이 공사슬 복합체의 코호몰로지 H = ker Q | H → H im Q | H → H { displaystyle H - { pm } = { frac { ker Q | - { { mathcal { H } } - { pm } to { mathcal { H } } - { mp } } } { operatorname { im } Q | - { { mathcal { H } } - { mp } to { mathcal { H } } - { pm } } } } } 를 정의할 수 있다. 여기서 H { displaystyle H - { pm } } 은 각각 보손 및 페르미온 초대칭 바닥 상태에 대응하고, 위튼 지표는 이 코호몰로지의 오일러 지표에 해당한다. tr ( - 1 ) F = dim H - dim H - { displaystyle operatorname { tr } ( - 1 ) ^ { F } = dim H - { } - dim H
더 커지거나, 아니면 그 반대가 일어날 수 있다. 그러나 이러한 경우 에너지가 > 0인 상태들의 수는 항상 짝수이므로, 위튼 지표는 2의 배수로 바뀌게 된다. 즉, 위튼 지표가 짝수 또는 홀수인지의 여부는 해밀토니언을 연속적으로 변화시켜도 바뀌지 않는다. 초대칭의 자발 대칭 깨짐 [ 편집 ] 초대칭이 자발 대칭 깨짐을 겪는다는 것은 바닥 상태가 초대칭에 대하여 불변이지 않다는 것을 말한다. 만약 바닥 상태 | { displaystyle | psi rangle } 의 에너지가 0이라고 하자. 0 = | 2 H | = Q | Q Q | Q { displaystyle 0 = langle psi | 2H | psi rangle = langle Q psi | Q psi rangle langle Q ^ { dagger } psi | Q ^ { dagger } psi rangle } 따라서 Q | = Q | = 0 { displaystyle Q | psi rangle = Q ^ { dagger
in mathbb { Z } h ^ { vee } ( G ) / 2 } 이다. 여기서 h ( G ) { displaystyle h ^ { vee } ( G ) } 는 G { displaystyle G } 의 이중 콕서터 수이다. 이 경우 | k | < h / 2 { displaystyle | k | < h ^ { vee } / 2 } 라면 위튼 지표가 0이고, | k | > h / 2 { displaystyle | k | > h ^ { vee } / 2 } 라면 위튼 지표가 0이 아니다. [ 18 ] SU ( N ) 게이지 군의 경우, 위튼 지표는 I ( k, N ) = { ( sgn k ) N - 1 ( | k | N / 2 - 1 N - 1 ) | k | N / 2 0 | k | < N / 2 { displaystyle I ( k, N ) = { begin { cases } ( operatorname { sgn } k ) ^ { N - 1 } { binom { | k | N / 2 - 1 } { N - 1 } } & | k | geq N / 2 0 & | k | < N / 2
} } H = n H 2 n { displaystyle { mathcal { H } } - { } = bigoplus - { n } { mathcal { H } } - { 2n } } H - = n H 2 n 1 { displaystyle { mathcal { H } } - { - } = bigoplus - { n } { mathcal { H } } - { 2n1 } } 으로 정의할 수 있고, 이에 따라 다음과 같은 공사슬 복합체가 존재한다. 0 → H 0 → Q H 1 → Q H 2 → { displaystyle 0 to { mathcal { H } } ^ { 0 } { xrightarrow { Q } } { mathcal { H } } ^ { 1 } { xrightarrow { Q } } { mathcal { H } } ^ { 2 } to dotsb } 이에 따라 코호몰로지를 정의할 수 있다. H Q n = ker Q | H n → H n 1 im Q | H n - 1 → H n { displaystyle H - { Q } ^ { n } = { frac { ker Q | - { { mathcal { H
이론물리학에서 위튼 지표(Witten指標, 영어: Witten index) 또는 초대칭 지표(超對稱指標, 영어: supersymmetric index)는 초대칭 양자역학에서 보손 및 페르미온 에너지 준위의 수의 차이다. 위튼 지표가 0이 아니라는 것은 초대칭이 자발적으로 깨지지 않았다는 것을 보여준다.