{ displaystyle mathbb { R } ^ { n, 1 } } 은 리만 다양체가 아니지만 준 리만 다양체이며, 이 경우의 라플라스 연산자는 달랑베르 연산자라고 한다. 이는 ( 리만 다양체의 경우와 달리 ) 타원형 미분 연산자가 아니다. 역사 [ 편집 ] 오늘날 " 라플라스 방정식 " 이라고 불리는 2차 편미분 방정식 및 이 속에 등장하는 2차 미분 연산자는 이미 레온하르트 오일러가 유체역학을 연구하는 동안 도입하였다. [ 6 ] : 300, 67 [ 7 ] : 489, 2 ; 490, Fig. 3 마찬가지로, 장 르 롱 달랑베르 역시 라플라스 방정식을 연구하였다. [ 8 ] : Art. IV [ 9 ] : 118 피에르시몽 라플라스는 만유인력의 법칙을 연구하는 도중 라플라스 방정식을 재발견하였으며, [ 10 ] 여기에 등장하는 2차 미분 연산자는 " 라플라스 연산자 " 로 불리게 되었다. 이 밖에도, 달랑베르는 파동 방정식에 등장하는 달랑베르 연산자 ( = 민코프스키 공간 위의 라플라스 연산자 ) 를 도입하였다. [ 9 ] : 117 다양체 위의 라플라스 ( - 벨트라미 ) 연산자는
R } 의 초구이다. 예 [ 편집 ] 함수의 경우 [ 편집 ] 만약 E = M x R { displaystyle E = M times mathbb { R } } 가 자명한 선다발일 경우, E { displaystyle E } 의 단면은 단순히 M { displaystyle M } 위의 실수 값 매끄러운 함수이다. 이 경우 라플라스 연산자는 라플라스 - 벨트라미 연산자 ( 영어 : Laplace - Beltrami operator ) 라고 하며, 이 경우 다음과 같은 특별한 공식이 존재한다. s = 1 det g i ( det g g i j j s ) { displaystyle Delta s = { frac { 1 } { sqrt { det g } } } partial - { i } left ( { sqrt { det g } } g ^ { ij } partial - { j } s right ) }. 여기서 det g i j { displaystyle det g - { ij } } 는 계량 텐서의 성분의 행렬식이다. 텐서장의 경우 [ 편집 ] 만약 E = ( T M ) p ( T M ) q { dis
##라스 연산자 ) 를 도입하였다. [ 9 ] : 117 다양체 위의 라플라스 ( - 벨트라미 ) 연산자는 에우제니오 벨트라미가 고전역학을 일반적인 리만 다양체 위에 정의하기 위하여 도입하였다. [ 11 ] 리크네로비츠 - 오바타 정리의 경우, 1 { displaystyle lambda - { 1 } } 의 하한은 앙드레 리크네로비츠 ( 프랑스어 : André Lichnerowicz ) 가 증명하였고, 이 하한의 포화가 초구에서만 일어난다는 것은 오바타 모리오 ( 일본어 : 小 生 ) 가 증명하였다. 응용 [ 편집 ] 라플라스 연산자는 물리학 또는 화학에서 벡터장의 퍼텐셜을 이용해 벡터장의 특성을 나타낼 때 사용된다. 예를 들어, 전기장의 퍼텐셜인 전기 퍼텐셜에 라플라스 연산자는 취하면 전하 밀도를 유전률 상수로 나눈 값이 되는데, 이것은 푸아송 방정식의 하나로 이것의 해를 찾는 것은 정전기학에서 중요한 문제이다. 참고 문헌 [ 편집 ] ↑ Rosenberg, Steven ( 1997 ). 《 The Laplacian on a Riemannian manifold : an introduction to analysis on manifold
##ac { partial } { partial r } } f right ) r ^ { - 2 } nabla - { mathbb { S } ^ { n - 1 } } f } 여기서 S n - 1 { displaystyle nabla - { mathbb { S } ^ { n - 1 } } } 은 초구 위의 라플라스 - 벨트라미 연산자로, 다음과 같다. S n - 1 f = i = 1 n - 1 1 ( sin 2 theta 1 sin 2 theta i - 1 ) sin n - i - 1 theta i theta i ( sin n - i - 1 theta i theta i f ) { displaystyle nabla - { mathbb { S } ^ { n - 1 } } f = sum - { i = 1 } ^ { n - 1 } { frac { 1 } { ( sin ^ { 2 } theta - { 1 } cdots sin ^ { 2 } theta - { i - 1 } ) sin ^ { n - i - 1 } theta - { i } } } { frac { partial
. 〈 The Origins of the Alternating Schwarz Method 〉 ( PDF ). 《 Domain decomposition methods in science and engineering XXI 》. Lecture Notes in Computational Science and Engineering ( 영어 ) 98. Springer - Verlag. 487 - 495쪽. ISBN 978 - 3 - 319 - 05788 - 0. ISSN 1439 - 7358. doi : 10. 1007 / 978 - 3 - 319 - 05789 - 7 - 46. ↑ d'Alembert, J. ( 1761 ). 《 Opuscules mathématiques, ou Mémoires sur différens Sujets de Géométrie, de Méchanique, d'Optique, d'Astronomie, & c. Tome 1 》 ( 프랑스어 ). 파리. ↑ 가 나 Guilbart, Alexandre ; Jouve, Guillaume ( 2009 ). " La résolution des équations aux dérivées partielles dans les Opuscules mathématiques de d'Alembert ( 1761 - 1783
{ displaystyle { lambda - { i } } } 는 음이 아닌 실수들의 가산 집합이며, 0 = 0 < 1 2 3 { displaystyle 0 = lambda - { 0 } < lambda - { 1 } leq lambda - { 2 } leq lambda - { 3 } leq cdots } 의 꼴이다. ( 0 = 0 { displaystyle lambda - { 0 } = 0 } 이 항상 것은 상수 함수가 그 고유 벡터이기 때문이다. i 0 { displaystyle lambda - { i } geq 0 } 인 것은 부분 적분에 따라 M | f | 2 det g = - M f f det g = M g ( f, f ) ( f, f ) det g 0 { displaystyle lambda int - { M } | f | ^ { 2 } { sqrt { det g } } = - int - { M } f Delta f { sqrt
E E ) ( E E ) ) { displaystyle H = Delta T qquad ( T in Gamma ^ { infty } ( E otimes E ^ { * } ) ( E otimes E ^ { * } ) ) } 여기서 { displaystyle Delta } 는 라플라스 연산자이며, infinity ( E E ) { displaystyle Gamma ^ { infty } ( E otimes E ^ { * } ) } 는 E E = End ( E ) { displaystyle E otimes E ^ { * } = operatorname { End } ( E ) } 의 매끄러운 단면들의 공간이다. 성질 [ 편집 ] 콤팩트 리만 다양체 M { displaystyle M } 이 주어졌으며, 그 위의 복소수 값 매끄러운 함수에 대한 라플라스 연산자를 생각하자. 이는 사실 복소수 힐베르트 공간 ( 르베그 공간 ) H = L 2 ( M ; C ) { displaystyle { mathcal { H } } = operatorname { L } ^ { 2 } ( M ; mathbb { C
##athcal { H } } = operatorname { L } ^ { 2 } ( M ; mathbb { C } ) } 의 조밀한 부분 집합 위에 정의된다. 따라서, 임의의 t R { displaystyle t in mathbb { R } } 에 대하여 유계 작용소 exp ( i t ) : H → H { displaystyle exp ( mathrm { i } t Delta ) colon { mathcal { H } } to { mathcal { H } } } 가 H { displaystyle { mathcal { H } } } 위에 잘 정의된다. 이제, 위 유계 작용소의 생각할 수 있다. 이는 물론 exp ( - i t i ) { displaystyle exp ( - mathrm { i } t lambda - { i } ) } 의 꼴이며, - i { displaystyle - lambda - { i } } 를 라플라스 작용소의 여길 수 있다. 이 경우, { i } { displaystyle { lambda - { i } } } 는 음이 아닌 실수들의 가산
delta - { b } ^ { c } Gamma - { ib } ^ { c } ) ( delta - { a } ^ { b } partial - { i } s Gamma - { ia } ^ { b } s ^ { a } ) = g ^ { ij } partial - { i } partial - { j } s ^ { c } 2g ^ { ij } Gamma - { ia } ^ { c } partial - { j } s ^ { a } g ^ { ij } left ( partial - { ib } ^ { c } Gamma - { ja } ^ { b } Gamma - { ib } ^ { c } Gamma - { ja } ^ { b } right ) s ^ { a } qquad forall s in Gamma ^ { infty } ( E ) } 여기서 i a b { displaystyle Gamma - { ia } ^ { b } } 는 { displaystyle nabla } 의 성분 ( 크리스토펠 기호 ) 이다. i, j,... { displaystyle i, j, ldots }
##이다. 텐서장의 경우 [ 편집 ] 만약 E = ( T M ) p ( T M ) q { displaystyle E = ( mathrm { T } M ) ^ { otimes p } otimes ( mathrm { T } ^ { * }! M ) ^ { otimes q } } 가 ( p, q ) { displaystyle ( p, q ) } 차 텐서장의 벡터 다발일 경우, E { displaystyle E } 위에는 리만 계량에 의한 표준적인 접속인 레비치비타 접속이 존재한다. 이 경우, 레비치비타 접속을 사용한 라플라스 연산자를 역시 라플라스 - 벨트라미 연산자라고 한다. 예를 들어, 벡터장의 라플라스 - 벨트라미 연산자는 다음과 같다. ( X ) i = g j k ( j k X ) i = g j k j k X i 2 g j k j i i k X i g j k ( j i i k i i j i i j i i ) X i { displaystyle ( Delta X ) ^ { i } = g ^ { jk } ( na
수학에서 라플라스 연산자(Laplace演算子, 영어: Laplace operator) 또는 라플라시안(영어: Laplacian)은 2차 미분 연산자의 일종으로, 기울기의 발산이다. 기호는 Δ(그리스 대문자 델타) 또는 ∇2이다.