4개씩의 조합의 경우의 수는, n! k! ( n - k )! = 5! 4! ( 5 - 4 )! = 5 4 3 2 1 4! ( 1 ) = 5 1 = 5 { displaystyle { frac { n! } { k! cdot ( n - k )! } } = { frac { 5! } { 4! cdot ( 5 - 4 )! } } = { { 5 cdot 4 cdot 3 cdot 2 cdot 1 } over { 4! cdot ( 1 ) } } = { { 5 } over { 1 } } = 5 } 이다. 5개씩의 조합의 경우의 수는, n! k! ( n - k )! = 5! 5! ( 5 - 5 )! = 5 4 3 2 1 5! 0! = 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 = 120 120 = 1 { displaystyle { frac { n! } { k! cdot ( n - k )! } } = { frac { 5! } { 5! cdot ( 5 - 5 )! } } = { { 5 cd
cdot 4 cdot 3 cdot 2 cdot 1 } over { 2! cdot ( 3 cdot 2 cdot 1 ) } } = { { 5 cdot 4 } over { 2 cdot 1 } } = { 20 over 2 } = 10 } 3개씩의 조합의 경우의 수는, n! k! ( n - k )! = 5! 3! ( 5 - 3 )! = 5 4 3 2 1 3! ( 2 1 ) = 5 4 2 1 = 20 2 = 10 { displaystyle { frac { n! } { k! cdot ( n - k )! } } = { frac { 5! } { 3! cdot ( 5 - 3 )! } } = { { 5 cdot 4 cdot 3 cdot 2 cdot 1 } over { 3! cdot ( 2 cdot 1 ) } } = { { 5 cdot 4 } over { 2 cdot 1 } } = { 20 over 2 } = 10 } 4개씩의 조합의 경우의 수는, n! k! ( n - k )! = 5! 4! ( 5
x - beta ) ( x - ) ( x - ) ( x - ) = 0 { displaystyle ( x - alpha ) ( x - beta ) ( x - gamma ) ( x - delta ) ( x - epsilon ) = 0 } x 5 - ( alpha beta ) x 4 ( alpha beta alpha alpha alpha beta beta beta ) x 3 { displaystyle x ^ { 5 } - ( alpha beta gamma delta epsilon ) x ^ { 4 } ( alpha beta alpha gamma alpha delta alpha epsilon beta gamma beta delta beta epsilon gamma delta gamma epsilon delta epsilon ) x ^ { 3 } } - ( alpha beta alpha beta alpha beta alpha alpha alpha beta beta beta
##pha alpha beta beta beta = - d a { displaystyle alpha beta gamma alpha beta delta alpha beta epsilon alpha gamma delta alpha gamma epsilon alpha delta epsilon beta delta epsilon beta delta gamma beta gamma epsilon gamma delta epsilon = - { d over a } } alpha beta alpha beta alpha beta alpha beta = e a { displaystyle alpha beta gamma delta alpha beta gamma epsilon alpha beta delta epsilon alpha gamma delta epsilon beta gamma delta epsilon = { e over a } } alpha bet
{ frac { 5! } { 5! cdot ( 5 - 5 )! } } = { { 5 cdot 4 cdot 3 cdot 2 cdot 1 } over { 5! cdot 0! } } = { { 5 cdot 4 cdot 3 cdot 2 cdot 1 } over { 5 cdot 4 cdot 3 cdot 2 cdot 1 } } = { 120 over 120 } = 1 } 이다. 차고차항 압축 정리 ( 취른하우스 변형 ) [ 편집 ] a x 5 b x 4 c x 3 d x 2 e x f = 0 { displaystyle ax ^ { 5 } bx ^ { 4 } cx ^ { 3 } dx ^ { 2 } exf = 0 } 다항 방정식에서 양변의 각 항들을 해당 방정식의 최고차항 ( n { displaystyle n } 차항 ) 의 x { displaystyle x } 의 계수, a { displaystyle a } 로 나눈 다음 x = y - b n a { displaystyle textstyle x = y - { b over mathbf { n } a } } 의 형태로 치환하면 차고차항
1 1! ( 5 4 3 2 1 ) = 5 1 = 5 { displaystyle { frac { n! } { k! cdot ( n - k )! } } = { frac { 5! } { 1! cdot ( 5 - 1 )! } } = { { 5 cdot 4 cdot 3 cdot 2 cdot 1 } over { 1! cdot ( 5 cdot 4 cdot 3 cdot 2 cdot 1 ) } } = { 5 over 1 } = 5 } 2개씩의 조합의 경우의 수는, n! k! ( n - k )! = 5! 2! ( 5 - 2 )! = 5 4 3 2 1 2! ( 3 2 1 ) = 5 4 2 1 = 20 2 = 10 { displaystyle { frac { n! } { k! cdot ( n - k )! } } = { frac { 5! } { 2! cdot ( 5 - 2 )! } } = { { 5 cdot 4 cdot 3 cdot 2 cdot 1 } over { 2! cdot (
beta alpha alpha alpha beta beta beta ) x 2 { displaystyle - ( alpha beta gamma alpha beta delta alpha beta epsilon alpha gamma delta alpha gamma epsilon alpha delta epsilon beta gamma delta beta gamma epsilon beta delta epsilon gamma delta epsilon ) x ^ { 2 } } ( alpha beta alpha beta alpha beta alpha beta ) x - alpha beta = 0 { displaystyle ( alpha beta gamma delta alpha beta gamma epsilon alpha beta delta epsilon alpha gamma delta epsilon beta gamma
epsilon alpha gamma delta epsilon beta gamma delta epsilon ) x - alpha beta gamma delta epsilon = 0 } 또한, alpha beta = - b a { displaystyle alpha beta gamma delta epsilon = - { b over a } } alpha beta alpha alpha alpha beta beta beta = c a { displaystyle alpha beta alpha gamma alpha delta alpha epsilon beta gamma beta delta beta epsilon gamma delta gamma epsilon delta epsilon = { c over a } } alpha beta alpha beta alpha beta alpha alpha alpha beta beta beta = - d a {
##ilon beta gamma delta epsilon = { e over a } } alpha beta = - f a { displaystyle alpha beta gamma delta epsilon = - { f over a } } 의 관계가 있다. 특히 각 항 ( x 5, x 4, x 3, x 2, x, f { displaystyle x ^ { 5 }, x ^ { 4 }, x ^ { 3 }, x ^ { 2 }, x, f } ) 에 따른 계수의 출현에 대한 조합개수는 조합의 경우의 수로 따져 볼수있다. 5차방정식에 존재하는 5개의 가상의 근을 alpha, beta,,, { displaystyle textstyle alpha, beta, gamma, delta, epsilon } 라고 하면, 1개씩의 조합의 경우의 수는, n! k! ( n - k )! = 5! 1! ( 5 - 1 )! = 5 4 3 2 1 1! ( 5 4 3 2 1 ) = 5 1 = 5 { displaystyle { fr
0 } 의 꼴로 정리된다. 여기서 p, q, r, s { displaystyle p, q, r, s } 는 다음과 같다. p = - 2 b 2 5 a c 5 a 2 { displaystyle p = { { - 2b ^ { 2 } 5ac } over { 5a ^ { 2 } } } } q = 4 b 3 - 15 a b c 25 a 2 d 25 a 3 { displaystyle q = { { 4b ^ { 3 } - 15abc25a ^ { 2 } d } over { 25a ^ { 3 } } } } r = - 3 b 4 15 a b 2 c - 50 a 2 b d 125 a 3 e 125 a 4 { displaystyle r = { { - 3b ^ { 4 } 15ab ^ { 2 } c - 50a ^ { 2 } bd125a ^ { 3 } e } over { 125a ^ { 4 } } } } s = 625 a 3 b e 4 b 5 - 25 a b 3 c 125 a 2 b 2 d 3125 a 5 f 3125 a 5 { displaystyle s = { { 625a ^ { 3 } be4b ^ { 5 } - 25ab ^ { 3 } c125a ^ { 2 } b ^ { 2 }
오차 방정식(Quintic equation)이란, 최고차항의 차수가 5인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 형태는 a x 5 b x 4 c x 3 d x 2 e x f = 0 , a ≠ 0 {\displaystyle ax^{5}bx^{4}cx^{3}dx^{2}exf=0,\;a\neq 0} 와 같다. 여기에서 a , b , c , d , e {\displaystyle a,b,c,d,e} 는 각각 x 5 , x 4 , x 3 , x 2 , x {\displaystyle x^{5},x^{4},x^{3},x^{2},x} 의 계수라고 한다. 또한 f {\displaystyle f} 는 상수항이라고 부른다. 그리고 차수가 홀수인 경우를 기수차라고 하고 짝수인 경우를 우수차라고 하기 때문에, 오차방정식은 기수차 방정식이다. 또한 차수가 소수인 방정식을 기약 방정식이라고 한다.