z 1 1 4 z -. { displaystyle e ^ { z } = { cfrac { 1 } { 1 - { cfrac { z } { 1z - { cfrac { { frac { 1 } { 2 } } z } { 1 { frac { 1 } { 2 } } z - { cfrac { { frac { 1 } { 3 } } z } { 1 { frac { 1 } { 3 } } z - { cfrac { { frac { 1 } { 4 } } z } { 1 { frac { 1 } { 4 } } z - ddots } } } } } } } } } }., } 또는 이를 조금 보기 좋게 쓰면 다음과 같다. e z = 1 1 - z 1 z - z 2 z - 2 z 3 z - 3 z 4 z - { displaystyle e ^ { z } = { cfrac { 1 } { 1 - { cfrac { z } { 1z - { cfrac { z } { 2z - { cfrac { 2z } { 3z - { cfrac { 3z } { 4z - ddots } } } } }
##z } { 3z - { cfrac { 3z } { 4z - ddots } } } } } } } } } }, } pi의 연분수 표현 [ 편집 ] 오일러의 연분수 공식을 응용하여 유명한 초월수인 상수 pi를 연분수 꼴로 쓸 수 있다. 먼저 | z | < 1에 대하여 테일러 급수를 이용하면 다음 식을 얻는다. log 1 z 1 - z = 2 ( z z 3 3 z 5 5 ) = 2 z [ 1 z 2 3 ( z 2 3 ) z 2 5 / 3 ( z 2 3 ) ( z 2 5 / 3 ) z 2 7 / 5 ]. { displaystyle log { frac { 1z } { 1 - z } } = 2 left ( z { frac { z ^ { 3 } } { 3 } } { frac { z ^ { 5 } } { 5 } } cdots right ) = 2z left [ 1 { frac { z ^ { 2 } } { 3 } } left ( { frac { z ^ { 2 } } { 3 } } right ) { frac { z ^ { 2 } } { 5 / 3 } } left ( { frac { z
right ) { frac { z ^ { 2 } } { 5 / 3 } } left ( { frac { z ^ { 2 } } { 3 } } right ) left ( { frac { z ^ { 2 } } { 5 / 3 } } right ) { frac { z ^ { 2 } } { 7 / 5 } } cdots right ]. } 그러므로 오일러의 연분수 공식을 적용하면 이 함수의 연분수 표현은 이렇게 된다. log 1 z 1 - z = 2 z 1 - 1 3 z 2 1 1 3 z 2 - 3 5 z 2 1 3 5 z 2 - 5 7 z 2 1 5 7 z 2 - 7 9 z 2 1 7 9 z 2 - = 2 z 1 - z 2 z 2 3 - ( 3 z ) 2 3 z 2 5 - ( 5 z ) 2 5 z 2 7 - ( 7 z ) 2 7 z 2 9 -. { displaystyle log { frac { 1z } { 1 - z } } = { cfrac { 2z } { 1 - { cfrac { { frac { 1 } { 3 } } z ^ { 2 } } { 1 { frac { 1 } { 3 } } z ^ { 2 } - { c
/ 내보내기 책 만들기PDF로 다운로드인쇄용 판 다른 언어 링크 편집 이 문서는 2019년 6월 10일 ( 월 ) 23 : 55에 마지막으로 편집되었습니다. 모든 문서는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시 - 동일조건변경허락 3. 0에 따라 사용할 수 있으며, 추가적인 조건이 적용될 수 있습니다. 자세한 내용은 이용 약관을 참고하십시오. 미국 및 다른 국가에 등록되어 있는 Wikimedia Foundation, Inc. 소유의 등록 상표입니다. 개인정보 정책 위키백과 소개 면책 조항 개발자 쿠키 정책 모바일 보기
r 3 1 r 3 - { displaystyle x = { cfrac { 1 } { 1 { cfrac { a - { 2 } } { b - { 2 } { cfrac { a - { 3 } } { b - { 3 } { cfrac { a - { 4 } } { b - { 4 } ddots } } } } } } } } = { cfrac { 1 } { 1 - { cfrac { r - { 1 } } { 1r - { 1 } - { cfrac { r - { 2 } } { 1r - { 2 } - { cfrac { r - { 3 } } { 1r - { 3 } - ddots } } } } } } } }, } x = 1 i = 1 infinity r 1 r 2 r i = 1 i = 1 infinity ( j = 1 i r j ) { displaystyle x = 1 sum - { i = 1 } ^ { infty } r - { 1 } r - { 2 } cdots r - { i } = 1 sum - { i = 1 } ^ { infty } left ( prod -
오일러의 연분수 공식 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 오일러의 연분수 공식 위키백과, 우리 모두의 백과사전. 둘러보기로 가기 검색하러 가기 오일러의 연분수 공식 ( - 分 數 公 式, Euler's continued fraction formula ) 은 스위스의 수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 해석학의 공식이다. 기본적으로 어떠한 급수를 연분수로 전개하는 방법을 정리한 것이다. 이 공식을 이용하여 전개 가능한 함수를 연분수 꼴로 표현하는 것도 가능하다. 목차 1 공식화 1. 1 현대적인 형태 2 응용 2. 1 지수 함수의 연분수 표현 2. 2 pi의 연분수 표현 3 각주 4 참고 문헌 공식화 [ 편집 ] 유한 복소수항 급수에 대해 오일러의 연분수 공식은 다음과 같다. 이 형태는 오일러가 입안한 초기의 형태이다. a 0 a 0 a 1 a 0 a 1 a 2 a 0 a 1 a 2 a n = a 0 1 - a 1 1 a 1 - a 2 1 a 2 - a n - 1 1 a n - 1 - a n 1 a n { displaystyle a - { 0 } a - { 0 } a - { 1 } a - { 0 }
) ^ { 2 } } { 7z ^ { 2 } 9 - ddots } } } } } } } } } }., } 그런데 이 함수는 z = i에서 값이 존재하고, 실제로 이렇게 된다. 1 i 1 - i = i log 1 i 1 - i = i pi 2. { displaystyle { frac { 1i } { 1 - i } } = i quad Rightarrow quad log { frac { 1i } { 1 - i } } = { frac { i pi } { 2 } }., } 또 여기서 급수 표현이 수렴하므로 아벨 극한 정리에 의해 급수 표현과 이 값은 같고, pi를 남기고 연분수로 표현하여 이항하면 바로 pi의 연분수 표현을 얻는다. pi = 4 1 1 2 2 3 2 2 5 2 2 7 2 2. { displaystyle pi = { cfrac { 4 } { 1 { cfrac { 1 ^ { 2 } } { 2 { cfrac { 3 ^ { 2 } } { 2 { cfrac { 5 ^ { 2 } } { 2 { cfrac { 7 ^ { 2 } } { 2 ddots }
} } z ^ { 2 } } { 1 { frac { 1 } { 3 } } z ^ { 2 } - { cfrac { { frac { 3 } { 5 } } z ^ { 2 } } { 1 { frac { 3 } { 5 } } z ^ { 2 } - { cfrac { { frac { 5 } { 7 } } z ^ { 2 } } { 1 { frac { 5 } { 7 } } z ^ { 2 } - { cfrac { { frac { 7 } { 9 } } z ^ { 2 } } { 1 { frac { 7 } { 9 } } z ^ { 2 } - ddots } } } } } } } } } }, = { cfrac { 2z } { 1 - { cfrac { z ^ { 2 } } { z ^ { 2 } 3 - { cfrac { ( 3z ) ^ { 2 } } { 3z ^ { 2 } 5 - { cfrac { ( 5z ) ^ { 2 } } { 5z ^ { 2 } 7 - { cfrac { ( 7z ) ^ { 2 } } { 7z ^ { 2 } 9 - ddots } } } } } } } } } }
##가 된다. 현대적인 형태 [ 편집 ] 만약 x = 1 1 a 2 b 2 a 3 b 3 a 4 b 4 { displaystyle x = { cfrac { 1 } { 1 { cfrac { a - { 2 } } { b - { 2 } { cfrac { a - { 3 } } { b - { 3 } { cfrac { a - { 4 } } { b - { 4 } ddots } } } } } } } }, } 이 복소 연분수이고 어느 bi 도 0이 아니라면 [ 1 ], 그 비의 열 { ri } 은 다음과 같이 정의할 수 있다. r i = - a i 1 b i - 1 b i 1. { displaystyle r - { i } = - { frac { a - { i1 } b - { i - 1 } } { b - { i1 } } }., } 그러면 다음 두 등식은 귀납법에 의해 증명할 수 있다. x = 1 1 a 2 b 2 a 3 b 3 a 4 b 4 = 1 1 - r 1 1 r 1 - r 2 1 r 2 - r 3 1 r 3 - { displaystyle x = { cfrac { 1 } { 1 { c
- { i } = 1 sum - { i = 1 } ^ { infty } left ( prod - { j = 1 } ^ { i } r - { j } right ), } 응용 [ 편집 ] 지수 함수의 연분수 표현 [ 편집 ] 복소 지수 함수는 전해석 함수이고, 테일러 급수로 다음과 같이 나타낼 수 있다. e z = 1 n = 1 infinity z n n! = 1 n = 1 infinity ( j = 1 n z j ) { displaystyle e ^ { z } = 1 sum - { n = 1 } ^ { infty } { frac { z ^ { n } } { n! } } = 1 sum - { n = 1 } ^ { infty } left ( prod - { j = 1 } ^ { n } { frac { z } { j } } right ), } 그러므로 다음과 같이 즉시 오일러의 연분수 공식을 적용할 수 있다. e z = 1 1 - z 1 z - 1 2 z 1 1 2 z - 1 3 z 1 1 3 z - 1 4 z 1 1 4 z -. { displaystyle e ^ { z } = { cfrac { 1 }
오일러의 연분수 공식(-連分數 公式, Euler's continued fraction formula)은 스위스의 수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 해석학의 공식이다. 기본적으로 어떠한 급수를 연분수로 전개하는 방법을 정리한 것이다. 이 공식을 이용하여 멱급수로 전개 가능한 함수를 연분수 꼴로 표현하는 것도 가능하다.