##tyle mathbf { F } ( mathbf { r } ) } 은 인력이기 때문에 음수이다. 일 [ 편집 ] 이체문제에서 두 물체가 서로에게 작용한 힘에 의한 일은 한 힘이 물체 사이의 상대변위에 곱해진 것과 같다. 상대 운동 [ 편집 ] 이체 문제에서 한 물체가 다른 물체를 관측할 때, 그 다른 물체는 그 물체의 속도와 위치에 따라 원, 타원, 포물선, 쌍곡선의 네 가지 이차곡선 궤도 중 한 궤도를 그린다. 출처 [ 편집 ] ↑ David Betounes ( 2001 ). 《 Differential Equations 》. Springer. 58 ; Figure 2. 15쪽. ISBN 0387951407. 같이 보기 [ 편집 ] 삼체 문제 다체 문제 비네 방정식 비리얼 정리 라플라스 - 룽게 - 렌츠 벡터 참고 문헌 [ 편집 ] Landau LD, Lifshitz EM ( 1976 ). 《 Mechanics 》 3. 판. New York : Pergamon Press. ISBN 0 - 08 - 029141 - 4. Goldstein H ( 1980 ). 《 Classical Mechanics 》 2. 판. New York : Addison - Wesley. ISBN 0 - 201 - 02918 - 9.
} ( t ) } x 2 ( t ) = R ( t ) - m 1 m 1 m 2 r ( t ) { displaystyle mathbf { x } - { 2 } ( t ) = mathbf { R } ( t ) - { frac { m - { 1 } } { m - { 1 } m - { 2 } } } mathbf { r } ( t ) } 이 식들은 R { displaystyle mathbf { R } } 과 r { displaystyle mathbf { r } } 의 정의를 우변에 대입해보면 쉽게 확인된다. 평면상의 이체 문제 [ 편집 ] 이체 문제에서 두 물체는 언제나 한 평면 위에서 움직이게 된다. 운동량 p { displaystyle mathbf { p } } 와 각운동량 L { displaystyle mathbf { L } } 을 정의하면 아래의 식이 성립한다. L = r x p = r x d r d t { displaystyle mathbf { L } = mathbf { r } times mathbf { p } = mathbf { r } times mu { frac { d mathbf { r
는 환산 질량이다. = 1 1 m 1 1 m 2 = m 1 m 2 m 1 m 2 { displaystyle mu = { frac { 1 } { { frac { 1 } { m - { 1 } } } { frac { 1 } { m - { 2 } } } } } = { frac { m - { 1 } m - { 2 } } { m - { 1 } m - { 2 } } } } R ( t ) { displaystyle mathbf { R } ( mathbf { t } ) } 와 r ( t ) { displaystyle mathbf { r } ( mathbf { t } ) } 가 구해지면 아래와 같이 각 물체의 궤적을 구할 수 있다. x 1 ( t ) = R ( t ) m 2 m 1 m 2 r ( t ) { displaystyle mathbf { x } - { 1 } ( t ) = mathbf { R } ( t ) { frac { m - { 2 } } { m - { 1 } m - { 2 } } } mathbf { r } ( t ) } x 2 ( t ) = R ( t ) - m 1 m 1 m 2 r ( t ) { displ
##에 대해 나타내는 식이 나오고, 두 식을 빼면 두 물체를 잇는 벡터 r = x 1 - x 2 { displaystyle mathbf { r } = mathbf { x } - { 1 } - mathbf { x } - { 2 } } 의 시간에 대한 식이 나온다. 이 두 식의 해를 이용하여 각 물체의 궤적 x 1 ( t ) { displaystyle mathbf { x } - { 1 } ( mathbf { t } ) } 과 x 2 ( t ) { displaystyle mathbf { x } - { 2 } ( mathbf { t } ) } 를 구할 수 있다. 질량 중심의 운동 [ 편집 ] ( 1 ) 과 ( 2 ) 를 더하여 아래의 식을 얻을 수 있다. m 1 x 1 m 2 x 2 = ( m 1 m 2 ) R = F 12 F 21 = 0 { displaystyle m - { 1 } { ddot { mathbf { x } } } - { 1 } m - { 2 } { ddot { mathbf { x } } } - { 2 } = ( m - { 1 } m - { 2 } ) { ddot { mathb
속도 v 1 ( t = 0 ) { displaystyle mathbf { v } - { 1 } ( mathbf { t } = 0 ) }, v 2 ( t = 0 ) { displaystyle mathbf { v } - { 2 } ( mathbf { t } = 0 ) } 를 가지고 각각의 궤적 x 1 ( t ) { displaystyle mathbf { x } - { 1 } ( mathbf { t } ) } 과 x 2 ( t ) { displaystyle mathbf { x } - { 2 } ( mathbf { t } ) } 를 시간 t { displaystyle mathbf { t } } 에 대해 구하는 것이다. 각각의 물체에 대하여 뉴턴의 운동 제2 법칙을 적용해보면 F 12 ( x 1, x 2 ) = m 1 x 1 ( 1 ) { displaystyle mathbf { F } - { 12 } ( mathbf { x } - { 1 }, mathbf { x } - { 2 } ) = m - { 1 } { ddot { mathbf { x } } } - { 1 } quad quad qu
##하여 천체의 포물선 운동을 수학적으로 보였다. 뉴턴의 법칙을 통해 혜성 등 혜성의 주기를 알아내는 데 성공했으며 이후 요한 람베르트는 오일러 방법을 일반화하여 행성의 타원, 쌍곡선 궤도를 수학적으로 계산해내었다. 이후 조제프루이 라그랑주는 행성 간의 각도들을 이용하여 궤도를 계산하는 새로운 방법을 개발했다. 이 방법은 카를 프리드리히 가우스에 의해 훨씬 개선되었고, 현재도 계속 사용되고 있다. 두 개의 독립된 일체 문제로의 변형 [ 편집 ] 이체문제 해결을 위한 야코비 좌표계. 야코비 좌표계는 M = m 1 m 2 { displaystyle M = m - { 1 } m - { 2 } } 일 때 R = m 1 M x 1 m 2 M x 2 { displaystyle { boldsymbol { R } } = { frac { m - { 1 } } { M } } { boldsymbol { x } } - { 1 } { frac { m - { 2 } } { M } } { boldsymbol { x } } - { 2 } } 이고 r = x 1 - x 2 { displaystyle { boldsymbol { r } } = {
##le { ddot { mathbf { R } } } = 0 } 이다. 이 식을 통해 질량 중심의 속도 V = d R / d t { displaystyle mathbf { V } = mathbf { d } mathbf { R } / mathbf { d } mathbf { t } } 는 일정함을 알 수 있고 총 운동량 m 1 v 1 m 2 v 2 { displaystyle mathbf { m } - { 1 } mathbf { v } - { 1 } mathbf { m } - { 2 } mathbf { v } - { 2 } } 도 일정함을 알 수 있다. ( 운동량 보존 법칙 ). 그러므로 질량 중심의 변위 R ( t ) { displaystyle mathbf { R } ( mathbf { t } ) } 는 두 물체의 초기 위치와 초기 속도를 가지고 언제나 구할 수 있다. 변위 벡터 r [ 편집 ] ( 1 ) 과 ( 2 ) 를 각각 물체의 질량으로 나누어주고, ( 1 ) 에서 ( 2 ) 를 뺀 후에 정리하면 r = x 1 - x 2 = ( F 12 m 1 - F 21 m 2 ) = ( 1 m 1 1 m
이체 문제 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 이체 문제 위키백과, 우리 모두의 백과사전. 둘러보기로 가기 검색하러 가기 질량이 비슷한 두 천체가 둘의 질량 중심 주위를 타원궤도로 돌고 있다. 고전역학에서, 이체 문제 ( 二 體 問, two - body problem ) 는 서로 상호작용하는 두 물체의 운동을 다루는 문제이다. 보통 이 상호작용은 만유인력과 같은 역제곱 법칙이다. 행성을 공전하는 위성, 항성을 공전하는 행성, 쌍성계 등이 이체 문제에 해당한다. 이체 문제는 식의 변형을 통해 두 개의 독립적인 일체문제로 변형될 수 있다. 일체문제는 퍼텐셜 안에서의 한 물체의 운동에 관한 식을 푸는 것으로 기술되며, 언제나 해석적인 해를 구할 수 있다. 그러므로 이체 문제도 언제나 해를 구할 수 있다. 그러나 삼체문제 이상의 다체문제에서는 특수한 경우를 제외하고는 해석적인 해를 구할 수 없고, 수치적인 방법을 쓴다. 질량이 약간 차이나는 두 천체가 둘의 질량 중심 주위를 타원궤도로 돌고 있다. 이 형태는 명왕성 - 카론 계나 지구 - 달 계와 비슷하다. 단지 지구 - 달 계는 질량 중심이 지구 내부에 있다는 차이가 있다.
1 } { ddot { mathbf { x } } } - { 1 } quad quad quad ( 1 ) } F 21 ( x 1, x 2 ) = m 2 x 2 ( 2 ) { displaystyle mathbf { F } - { 21 } ( mathbf { x } - { 1 }, mathbf { x } - { 2 } ) = m - { 2 } { ddot { mathbf { x } } } - { 2 } quad quad quad ( 2 ) } F 12 { displaystyle mathbf { F } - { 12 } } 는 물체1에 가해지는 물체2와의 상호작용에 의한 힘이고, F 21 { displaystyle mathbf { F } - { 21 } } 은 물체2에 가해지는 물체1과의 상호작용에 의한 힘이다. 위의 두 식을 더하고 빼는 과정을 통해 이체 문제를 두 개의 독립적인 일체 문제로 분리할 수 있다. ( 1 ) 과 ( 2 ) 를 더하면 이 계의 질량 중심의 운동을 시간에 대해 나타내는 식이 나오고, 두 식을 빼면 두 물체를 잇는 벡터 r = x 1 - x 2 { dis
##athbf { L } } { dt } } = mathbf { r } times mathbf { F }, } 이고, F = d 2 r / d t 2 { displaystyle mathbf { F } = mu mathbf { d } ^ { 2 } mathbf { r } / mathbf { dt } ^ { 2 } } 이다. 두 물체 사이의 힘이 두 물체를 잇는 선과 같은 방향이라고 가정하면, r { displaystyle mathbf { r } } x F = 0 { displaystyle mathbf { F } = 0 } 이고 이는 각운동량 벡터 L { displaystyle mathbf { L } } 이 일정함을 의미한다. ( 각운동량 보존 ) 그러므로 변위 벡터 r { displaystyle mathbf { r } } 과 속도 벡터 v { displaystyle mathbf { v } } 는 언제나 L { displaystyle mathbf { L } } 에 수직인 평면 위에 함께 존재하게 된다. 중심력 [ 편집 ] 대부분의 물리 문제에서 중심력 F ( r ) { displays
고전역학에서 이체 문제(二體問題, two-body problem)는 서로 상호작용하는 두 물체의 운동을 다루는 문제이다. 보통 이 상호작용은 만유인력과 같은 역제곱 법칙이다. 행성을 공전하는 위성, 항성을 공전하는 행성, 쌍성계 등이 이체 문제에 해당한다. 이체 문제는 식의 변형을 통해 두 개의 독립적인 일체문제로 변형될 수 있다. 일체문제는 퍼텐셜 안에서의 한 물체의 운동에 관한 식을 푸는 것으로 기술되며, 언제나 해석적인 해를 구할 수 있다. 그러므로 이체 문제도 언제나 해를 구할 수 있다. 그러나 삼체문제 이상의 다체문제에서는 특수한 경우를 제외하고는 해석적인 해를 구할 수 없고, 수치적인 방법을 쓴다.