것을 이론으로 발표했다. 나아가 곡률이 정해진 수로 나타나지 않는 공간에 대한 이론도 세워 곡면 위의 기하학으로 일반화하였다. 비유클리드 기하학과 유클리드 기하학의 차이점 [ 편집 ] 공리론적 구성법에서는 직선 · 평면 등의 기본적인 개념이 무정의 ( 無 定 意 ) 요소인 데 비해 리만 기하학의 입장에서는 이것들이 구체적으로 정의된다. 예를 들면 직선은 두 점을 연결하는 가장 짧은 선, 즉 측지선 ( 地 ) 으로 정의된다. 유클리드기하학 쌍곡기하학 구면기하학 평행선 단 한개 존재한다. 수없이 많이 존재한다. 존재하지 않는다. 삼각형의 세 내각의 합 180 삼각형의 넓이에 관계없이 세 내각의 크기의 합은 일정하다. 180보다 작다. 삼각형의 넓이가 넓어질수록 세 내각의 크기의 합은 작아진다. 180보다 크다. 삼각형의 넓이가 넓어질수록 세 내각의 크기의 합은 커진다. 측지선 직선 길이는 무한대이다. 두 점을 지나는 직선은 단 한 개 이다. 곡선 길이는 무한대이다. 두 점을 지나는 직선은 한개이다. 대원 길이가 유한이고, 일정하다. 두 점을 지나는 직선은 단 한
##곡면 위에서는 삼각형을 그려보면 공간 자체가 안으로 굽은 공간이기 때문에 삼각형 자체도 안으로 굽은 오목한 삼각형이 그려진다. 따라서 삼각형의 세 내각의 크기가 모두 작아지게 되어 그 합이 180보다 더 작게 된다. 그리고 삼각형의 크기가 커질수록 삼각형의 변도 안으로 더 많이 휘어지므로 세 내각의 크기의 합이 점점 작아진다. 타원 기하학 [ 편집 ] 비유클리드 기하학으로 분류되는 타원면 위에서 법칙을 설명하는 기하학이다. 타원 기하학 중 가장 간단한 구면 기하학은 리만 기하학이라고 불리기도 한다. 구면에서는 유클리드의 평행선 공리, 즉 한 직선이 있고 그 위에 있지 않은 어떤 점을 지나면서 그 직선에 평행한 직선은 오직 하나 있다는 것이 위배된다. 대신 타원기하학에서 평행선 공리는 한 직선이 있고 그 위에 있지 않은 어떤 점을 지나면서 그 직선과 만나지 않는 직선은 존재하지 않는다는 것이다. 타원 기하학의 모형으로는 좌표공간의 한 정점으로부터 같은 거리에 있는 점의 집합인 구를 생각할 수 있다. 이때 정점을 구 의 중심, 같은 거리를 구의 반지름의 길이라고 한다. 구에서 중심을 지나는 평면과 구의 교선을 직선으로 정의하면 평행공리
##를 구의 반지름의 길이라고 한다. 구에서 중심을 지나는 평면과 구의 교선을 직선으로 정의하면 평행공리의 불능이 성립함을 알 수 있다. 또한 타원기하학에서 구면에 그린 삼각형 내각의 합은 180도보다 크게 나타난다. 이러한 타원기하학은 도형을 도표에 의해 표현할 때마다 변형을 피할 수 없음을 의미한다. 하나의 관점, 즉 직선의 곧음성을 충실하게 표현하는 도표들은 다른 관점, 즉 길이나 각들을 변형시킬 것이다. 타원 기하학의 성질 [ 편집 ] 서로 다른 두 직선은 두 점에서 만난다 삼각형 내각의 합이 항상 180도 이상 540도 이하이다 같은 구면 위에 있는 삼각형의 면적비는 내각의 합에서 180도를 뺀 것의 비이다. 같은 구면 위에는 합동을 제외한 닮음은 존재하지 않는다. 곡률이 양인 공간에서 성립하는 기하학이다. 타원 기하학의 용어정리 [ 편집 ] 실수의 순서쌍으로 이루어진 집합을 좌표공간이라 하고 기호 R3 로 나타낸다. R 3 = { ( x, y, z ) | x, y, z R } { displaystyle R ^ { 3 } = { ( x, y, z ) | x, y, z in R } } 좌표공간 R3
##의 합이 180도가 아니라 이보다 크거나 ( 타원 기하학 ) 작다 ( 쌍곡 기하학 ). 비유클리드 기하학은 역사적으로는 공리론적으로 구성되지만 현대적인 견해로는 비유클리드 기하학을 리만 기하학의 특수한 예 또는 고전적인 모델로 간주한다. 그리고 현재까지 13개 이상의 기하학이 탄생되고 체계화 되었다. 목차 1 역사 1. 1 유클리드 기하학 1. 2 유클리드 공준 1. 3 비유클리드 기하학의 탄생 2 비유클리드 기하학과 유클리드 기하학의 차이점 3 비유클리드 기하학의 분류 3. 1 쌍곡선 기하학 3. 1. 1 쌍곡선 기하학의 탄생 3. 1. 2 쌍곡선 기하학의 공간 3. 1. 3 쌍곡선 기하학에서의 삼각형 내각 3. 2 타원 기하학 3. 2. 1 타원 기하학의 성질 3. 2. 2 타원 기하학의 용어정리 3. 3 택시 기하학 3. 3. 1 택시기하학의 성질 3. 4 절대 기하학 4 비유클리드 기하학의 중요성 5 참고자료 역사 [ 편집 ] 유클리드 기하학 [ 편집 ] 《 유클리드 원론 》 의 첫 번째 영어판 표지 유클리드 기하학 ( - 學, Euclidean geometry ) 은 그리스의 수학자 유클리드 ( Euclid, BC330 ~ BC275 ) 에 의해 구축된 수학
^ { 3 } = { ( x, y, z ) | x, y, z in R } } 좌표공간 R3에서 원점으로부터 거리가 집합을 중심이 O ( 0, 0, 0 ) 이고 반지름의 길이가 구 또는 구면이라고 하고, 기호 S2 ( ) 로 나타낸다. 그리고 좌표공간 R3에서 원점 O ( 0, 0, 0 ) 을 지나는 평면과 구 S2 ( ) 의 교선을 대원이라고 한다. 구 S2 ( ) 위의 두 점을 잇는 선분 중에서 길이가 최소인 것은 대원에 의해 주어지는 호이다. 택시 기하학 [ 편집 ] 헤르만 민코프스키가 19세기에 고안한 택시 기하학은 유클리드 좌표기하와 거의 유사하나 거리함수가 다르다. 예를 들어, 블록으로 이루어진 도로가 있는 경우 점과 점 사이를 구할 때, 유클리드 기하학은 점과 점 사이의 거리 공식을 이용하는 반면 택시기하학에서는 블록의 변을 센다. 유클리드 기하학에서 두 점 사이의 거리는 직각삼각형에 관한 피타고라스 정리를 이용하여 구할 수 있다. 즉, 그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 A ( a, b ) 와 B ( c, d ) 사이의 거리는 d ( A, B ) = ( c - a ) 2 (
만나지 않는 선이므로 직선 l과 만나지 않는 직선을 그려보면 여러 개가 존재한다. 점 P를 지나면서 직선 l과 평행한 직선은 m과 n이 있다. 그리고 m과 n 사이에 있는 모든 직선도 직선 l과 만나지 않으므로 평행하게 되고, 결국 평행선은 무수히 많이 존재한다. 또한 이 공간에서 두 평행선 사이의 거리는 양쪽 끝 방향으로 가면 0에 점점 가까워지고 ( 하지만 만나지는 않는다 ) 가운데 방향으로 가면 그 거리가 무한히 된다. 쌍곡선 기하학에서의 삼각형 내각 [ 편집 ] 이 공간에서는 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180라는 유클리드 기하학의 정리도 성립하지 않는다. 이 공간에서는 평행선 공준이 성립하지 않으므로 평행선상에서 동위각과 엇각의 크기가 같다는 성질이 성립하지 않기 때문이다. 삼각형의 세 내각의 크기의 합이 180라는 것은 평행선상에서 동위각과 엇각의 크기가 같다는 성질을 이용해서 증명되는 것인데, 쌍곡면 위에서는 이러한 성질이 성립하지 않기 때문에 삼각형의 세 내각의 크기의 합이 180가 아니다. 쌍곡면 위에서는 삼각형을 그려보면 공간 자체가 안으로 굽은 공간이기 때문에 삼각형 자체도 안으로 굽은 오목
비유클리드 기하학이 만들어지게 되었다. 쌍곡선 기하학의 공간 [ 편집 ] 그리고 공간을 곡률에 따라서 곡률이 0인 공간, 양수인 공간, 음수인 공간으로 구분함으로써 유클리드 기하학과 함께 비유클리드 기하학의 대상이 된 공간이 설명될 수 있었다. 이것으로 비유클리드 기하학은 더 이상 기괴한 것이 아니라 논리적으로 합당한 또 하나의 기하학으로 인정받았다. 쌍곡 기하학은 비유클리드 기하학의 시초라고 할 수 있다. 이 쌍곡 기하학은 가우스,, 볼리아이가 만든 기하학이다. 쌍곡 기하학은 바로 곡률이 음수로 일정한 공간에서 성립하는 기하학으로, 위구 ( 또는 의구 ) 와 같은 공간에서 성립한다. 이 공간은 양쪽 끝 쪽으로 갈수록 점점 작아져서 그 간격이 0에 가까워지고, 가운데로 갈수록 점점 커져 그 간격이 무한대로 커지는 공간으로, 안으로 휘어진 공간이다. 쉽게 말하면 나팔 두 개를 서로 맞대어 붙여 놓은 것과 비슷한 모양이다. 이 공간에서 직선 l과 l위에 있지 않은 점 P가 주어졌을 때 점 P를 지나면서 l과 평행한 직선은 몇 개일까 평행선은 만나지 않는 선이므로 직선 l과 만나지 않는 직선을 그려보면 여러 개가 존재한다. 점 P를 지나면서
##르 정리를 증명할 수 있다. 비유클리드 기하학의 중요성 [ 편집 ] 비유클리드 기하학은 과학사에 중요한 패러다임의 전환이 되었다. 공간을 설명하는 데에 있어서 유클리드 기하학은 수학적 모델로서 2천년간 절대적인 권위를 갖고 있었기 때문에, 인간의 사고 역시 유클리드 공간 내에서만 사고하는 데에 그쳤다. 여기에 철학자 칸트 ( Kant, 1724 - 1804 ) 는 산술과 유클리드 기하학은 선험적인 것이지, 분석적인 것은 아니라고 주장을 하였다. 경험에 의하지 않고서, 이성에서부터 발생되는 관념의 존재를 인정하여, 이것은 경험적인 관념보다 우월하며 보편타당적이고 또한 필연적이라고 하였다. 비유클리드 기하학과 공간의 성질에 대한 이해가 점진적으로 이루어지면서 유클리드 기하학의 관점은 크게 흔들리게 되었고, 논리와 산술에서 논쟁의 주제로 남게 되었다. 자신의 신기하학 ( 비유클리드 기하학 ) 은 천문학 연구 및 미소 ( 小 ) 현상의 범위 연구에 주어진다고 생각하고, 통상의 유클리드 기하학은 지구상의 차원에 적용된다고 했다. 이 견해는 칸트의 인식론에서 얘기되는 공간의 아 프리오리설에 큰 타격을 가했다. 의하
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제2판 고석구 지음 2006 경문사 vdeh수학의 주요 분야수론 대수적 수론 해석적 수론 대수학 선형대수학 추상대수학 군론 환론 가환대수학 호몰로지 대수학 해석학 미적분학 실해석학 복소해석학 수치해석학 측도론 함수해석학 조화해석학 비표준 해석학 기하학 대수기하학 계산기하학 해석기하학 미분기하학 리만 기하학 위상수학 일반위상수학 대수적 위상수학 미분위상수학 매듭 이론 수학기초론 수리논리학 모형 이론 증명 이론 계산 가능성 이론 집합론 범주론 이산수학 계산 이론 계산 복잡도 이론 암호학 조합론 그래프 이론 확률과 통계 확률론 통계학 확률미적분학 게임 이론 결정이론 원본 주소 " " 분류 : 기하학쌍곡기하학숨은 분류 : 출처가 필요한 글 / 2011년 11월출처가 필요한 모든 글전체에 출처가 필요한 글 둘러보기 메뉴 개인 도구 로그인하지 않음토론기여계정 만들기로그인 이름공간 문서토론 변수 보기 읽기편집역사 보기 더 보기 검색 둘러보기 대문사용자 모임요즘 화제최근 문서 보기임의 문서로도움말기부 도구 여기를 가리키는 문서가리키는 글의 최근 올리기특수 문서 목록
비유클리드 기하학(non-Euclidean geometry)은 직선 밖의 한 점에서 직선에 평행한 직선을 두 개 이상 그을 수 있는 공간을 대상으로 하는 기하학이다. 유클리드 기하학의 제5공리 "직선 밖의 한 점을 지나면서 그 직선에 평행한 직선은 단 하나 존재한다"가 성립하지 않는 공간을 다루는 기하학으로, 쌍곡기하학, 타원기하학, 택시기하학 등이 있다. 19세기에 제5공리를 부정해도 다른 공리와는 아무런 모순이 없음이 밝혀지면서 등장하였다. 연구한 수학자로는 니콜라이 로바쳅스키 · 보여이 야노시 · 베른하르트 리만이 유명하다. 비유클리드 기하학은 타원기하학(elliptic geometry)과 쌍곡기하학(hyperbolic geometry)의 총칭이기도 하다. 대표적인 학자로는 카를 프리드리히 가우스, 베른하르트 리만 등이 있다. 리만은 "구 위에서는 한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 점이 주어졌을 때, 그 직선과 평행하고 그 점을 지나는 직선은 없다."고 말했으며, 가우스는 반대로 "지구 위에서는 한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 점이 주어졌을 때, 그 직선과 평행하고 그 점을 지나는 직선은 둘 이상이다."고 말했다. 이는 각각 타원 기하학과 쌍곡 기하학의 기초가 되었다. 삼각형의 내각의 합이 180도인 유클리드 기하학과는 달리 비유클리드 기하학에서는 삼각형의 내각의 합이 180도가 아니라 이보다 크거나(타원 기하학) 작다(쌍곡 기하학). 비유클리드 기하학은 역사적으로는 공리론적으로 구성되지만 현대적인 견해로는 비유클리드 기하학을 리만 기하학의 특수한 예 또는 고전적인 모델로 간주한다. 그리고 현재까지 13개 이상의 기하학이 탄생되고 체계화되었다.