##95120330. 다음 날짜 값 확인 필요 : | date = ( 도움말 ) ↑ Cartan, Henri ( 1971년 1월 ). 《 Differential Calculus 》. Houghton Mifflin Co. ISBN 978 - 0395120330. 다음 날짜 값 확인 필요 : | date = ( 도움말 ) ↑ Cartan, Henri ( 1971년 1월 ). 《 Differential Calculus 》. Houghton Mifflin Co. ISBN 978 - 0395120330. 다음 날짜 값 확인 필요 : | date = ( 도움말 ) ↑ Stein, Sherman ( 2006 ). 《 아르키메데스 》. 번역 이우영. 경문사. 145 - 168쪽. ISBN 89 - 7282 - 926 - 9. ↑ 이광연 ( 2007 ). 《 수학자들의 전쟁 》. 프로네시스. 69 - 70쪽. ISBN 89 - 01 - 07286 - 6. ↑ 가 나 Maor, Eli ( 2000 ). 《 오일러가 사랑한 수 e 》. 번역 허민. 경문사. 102 - 141쪽. ISBN 89 - 7282 - 467 - 4. 외부 링크 [ 편집 ] 위키백과 자매 프로젝트에서 " 도함수 " 에 관련된 문서를 찾을 수 있습
displaystyle ( a, b ) } 에 정의된 함수 f : ( a, b ) → R { displaystyle f colon ( a, b ) to mathbb { R } } 가 다음 조건을 만족시키면, f { displaystyle f } 를 ( a, b ) { displaystyle ( a, b ) } 에서의 미분 가능 함수라고 한다. f { displaystyle f } 는 열린구간 속 임의의 점 x ( a, b ) { displaystyle x in ( a, b ) } 에서 미분 가능하다. 닫힌구간 [ a, b ] { displaystyle [ a, b ] } 에 정의된 함수 f : [ a, b ] → R { displaystyle f colon [ a, b ] to mathbb { R } } 가 다음 조건들을 만족시키면, f { displaystyle f } 를 [ a, b ] { displaystyle [ a, b ] } 에서의 미분 가능 함수라고 한다. f { displaystyle f } 는 열린구간 속 임의의 점 x ( a, b ) { displaystyle x in ( a, b ) } 에서 미분 가능하다
##법 극한비교판정법 교대급수판정법 코시 응집판정법 디리클레 판정법 아벨 판정법 벡터 미적분학 기울기 발산 회전 라플라시안 방향도함수 벡터 미적분표 정리 발산정리 기울기정리 그린 정리 켈빈 - 스토크스 정리 다변수 미적분학 형식 행렬 텐서 외미분 기하 정의 편미분 중적분 선적분 면적분 삼중적분 야코비안 헤세 행렬 특수한 경우 분수차 미적분 말리아빈 미적분 확률미적분학 변분법 vdeh 수학에서, 미분 ( 영어 : derivative, 分 ) 또는 도함수 ( 數 ) 는 어떤 함수의 정의역 속 각 점에서의 함숫값의 변화량과 독립 변숫값의 변화량의 비의 극한 혹은 극한들로 치역이 구성되는 새로운 함수이다. [ 1 ] 어떤 함수의 미분 계수를 구하는 것을 의미하며 미분 계수는 독립 변수 x의 증분에 대한 함숫값 ( x ) 의 증분의 비가 한없이 일정한 값에 가까워질 때의 그 일정한 값 즉, 함수에서 변수 x값의 변화량에 대한 함숫값 ( x ) 의 변화량의 비가 한없이 일정한 값에 가까워질 때의 그 일정한 값 dy / dx로 나타낸다. 동사로서의 미분 ( 영어 : different
##을 구하는 방법으로서 미분을 발견하였다. 라이프니츠는 1677년 무렵에는 미분의 계산방법과 표기법을 완성하였다. 오늘날에는 보다 수학적으로 효율적인 라이프니츠의 방법이 주로 쓰인다. [ 13 ] 뉴턴과 라이프니츠는 미분의 발견 공로를 놓고 오랫동안 다투었으며 이로 인해 유럽의 수학계는 둘 중 누구를 지지하는 가를 놓고 심한 대립을 보이기도 하였다. 뉴턴과 라이프니츠는 서로 상대방이 자신의 아이디어를 훔쳤다고 비난하였다. 이러한 대립은 라이프니츠가 사망한 이후에도 계속되었다. 오늘날에는 뉴턴과 라이프니츠가 각자 독자적인 방법으로 미분을 발견했다고 본다. [ 13 ] 각주 [ 편집 ] ↑ 이 극한값을 의미하는'미분계수'라는 용어는 현대 영어권 수학계에서 더이상 사용하지 않는 용어이다. 비록 대한민국의 고등학교 교과과정에서'미분계수 ','미분 ','도함수'를 서로 다른 용어로 설명하고 있으나 현대수학의 추세를 따라 본 문서에서도 용어를 통합하는 방향으로 재구성이 필요하다. ↑ 미야구치 유우지 ( 2001 ). 《 수학을 다시 시작하는 책 》. 번역 김상윤. 자음과 모음. 156 - 160쪽. ISBN 89 - 8447 -
수학을 다시 시작하는 책 》. 번역 김상윤. 자음과 모음. 156 - 160쪽. ISBN 89 - 8447 - 141 - 0. ↑ 가 나 박은순 ( 2008 ). 《 쉬운 미분 · 적분학 》. 숭실대학교출판부. 211 - 212쪽. ISBN 89 - 7450 - 235 - 6. ↑ 한상현 ( 2010 ). 《 현대토목수학 》. 동화기술. 217 - 218쪽. ISBN 89 - 425 - 1522 - 3. ↑ 박진홍 ( 1998 ). 《 미분적분학 》. 학문사. 39쪽. ISBN 89 - 467 - 4063 - 9. ↑ Maor, Eli ( 2000 ). 《 오일러가 사랑한 수 e 》. 번역 허민. 경문사. 142 - 144쪽. ISBN 89 - 7282 - 467 - 4. ↑ 한상현 ( 2010 ). 《 현대토목수학 》. 동화기술. 217 - 218쪽. ISBN 89 - 425 - 1522 - 3. ↑ Cartan, Henri ( 1971년 1월 ). 《 Differential Calculus 》. Houghton Mifflin Co. ISBN 978 - 0395120330. 다음 날짜 값 확인 필요 : | date = ( 도움말 ) ↑ Cartan, Henri ( 1971
함수에 대하여, 미분은 그 함수의 변화량과 독립 변수의 변화량의 비가, 변화량이 0에 가까워질 때 갖는 극한으로 정의된다. 이에 따라, 순간 속도 v ( t ) { displaystyle v ( t ) } 는 변위 s ( t ) { displaystyle s ( t ) } 의 ( 시간 t { displaystyle t } 에 대한 ) 미분이며, 이를 v ( t ) = s ( t ) { displaystyle v ( t ) = s'( t ) } 또는 v = d s d t { displaystyle v = { frac { ds } { dt } } } 와 같이 표기할 수 있다. 예를 들어, 다리위에서 손에 쥐었던 농구공을 가만히 놓아 떨어뜨렸을 때, 공기 저항이나 바람의 영향이 크지 않다면, 농구공의 운동은 자유 낙하이며, 그 변위는 다음과 같다. h = 1 2 g t 2 { displaystyle h = { frac { 1 } { 2 } } gt ^ { 2 } } 따라서, 그 순간 속도를 다음과 같이 구할 수 있다. [ 2 ] v = d h d t = lim t → 0 1 2 g ( t t ) 2 - 1 2 g t 2
평균 변화율과 순간 변화율 [ 편집 ] 일반적인 함수 y = f ( x ) { displaystyle y = f ( x ) } 에 대하여, 증분 ( 分, 영어 : increment ) 은 독립 변숫값의 변화량 x { displaystyle Delta x } 및 함숫값의 변화량 y = f ( x x ) - f ( x ) { displaystyle Delta y = f ( x Delta x ) - f ( x ) } 을 뜻하는 용어이며, 평균 변화율 ( 平 化, 영어 : average rate of change ) 은 두 증분의 비 y x = f ( x x ) - f ( x ) x { displaystyle { frac { Delta y } { Delta x } } = { frac { f ( x Delta x ) - f ( x ) } { Delta x } } } 를 뜻하는 용어이다. [ 3 ] 미분 또는 미분 계수 ( 分 數, 영어 : differential coefficient ) 또는 순간 변화율 ( 間 化, 영어 : instantaneous rate of change ) 은 평균 변화
} } { bigg / } { frac { dx } { dt } } } 단조성과의 관계 [ 편집 ] 함수의 일부 성질은 도함수 또는 고계 도함수를 통해 판정할 수 있다. 예를 들어, 단조성과 도함수의 관계는 다음과 같다. f : I → R { displaystyle f colon I to mathbb { R } } ( I { displaystyle I } 는 구간 ) 가 미분 가능 함수라고 하자. f { displaystyle f } 가 증가 함수일 필요충분조건은 임의의 x I { displaystyle x in I } 에 대하여 f ( x ) 0 { displaystyle f'( x ) geq 0 } 인 것이다. f { displaystyle f } 가 감소 함수일 필요충분조건은 임의의 x I { displaystyle x in I } 에 대하여 f ( x ) 0 { displaystyle f'( x ) geq 0 } 인 것이다. f { displaystyle f } 가 엄격 증가 함수일 필요충분조건은 임의의 x I { displaystyle x in I } 에 대하여 f
##되었으며, I { displaystyle I } 에서 미분 가능 함수라면, f ( 2 ) = f ( 1 ) = f { displaystyle f ^ { ( 2 ) } = { f ^ { ( 1 ) } }'= f'' } 이다. 그렇지 않다면, f ( 2 ) { displaystyle f ^ { ( 2 ) } } 는 정의되지 않는다. 이계 미분의 기호는 f { displaystyle f'' }, D 2 f { displaystyle D ^ { 2 } f }, d 2 f d x 2 { displaystyle { frac { d ^ { 2 } f } { dx ^ { 2 } } } } 등등이다. [ 5 ] ( 삼계 도함수 / 미분, 三 數 / 分, 영어 : third derivative ) f ( 2 ) { displaystyle f ^ { ( 2 ) } } 가 정의되었으며, I { displaystyle I } 에서 미분 가능 함수라면, f ( 3 ) = f ( 2 ) = f { displaystyle f ^ { ( 3 ) } = { f ^ { ( 2 ) } }'= f'''} 이다. 그렇지 않다면, f ( 3 ) {
##값과의 관계 [ 편집 ] 또한, 극값과 도함수의 관계는 다음과 같다. f : I → R { displaystyle f colon I to mathbb { R } } ( I { displaystyle I } 는 구간 ) 가 I { displaystyle I } 에서 연속 함수, I { a } { displaystyle I setminus { a } } 에서 미분 가능 함수라고 하자. 만약 어떤 빠진 근방 J { a } I { displaystyle J setminus { a } subseteq I } 의 임의의 점 x J { a } { displaystyle x in J setminus { a } } 에 대하여 f ( x ) ( x - a ) < 0 { displaystyle f'( x ) ( x - a ) < 0 } 라면, f ( a ) { displaystyle f ( a ) } 는 엄격 극댓값이다. 만약 어떤 빠진 근방 J { a } I { displaystyle J setminus { a } subseteq I } 의 임의의 점 x J { a } { displaystyle x in J
미분(微分, 영어: derivative) 또는 도함수(導函數)는 어떤 함수의 정의역 속 각 점에서 함숫값의 변화량과 독립 변숫값의 변화량 비의 극한 혹은 극한들로 치역이 구성되는 새로운 함수다. 어떤 함수의 순간 변화율(미분계수)을 구하는 것을 의미하며 순간변화율은 독립 변수 x의 증분에 관한 함숫값 ƒ(x)의 증분의 비가 한없이 일정한 값에 가까워질 때 그 일정한 값, 즉 함수에서 변수 x값의 변화량에 관한 함숫값 ƒ(x)의 변화량 비가 한없이 일정한 값에 가까워질 때 그 일정한 값 dy/dx로 나타낸다. 동사로서 미분(영어: differentiation)은 이러한 극한이나 도함수를 구하는 일, 즉 미분법을 뜻하기도 한다. 도함수에서 미분의 역연산을 통해 원시함수(antiderivative)를 구하는 것 역시 미분법(differential calculus)의 주요 주제다. 미분은 비선형 함수를 선형함수로 근사적으로 나타내려는 시도다. 비선형 함수를 미분하여 한 점 주변에서 1차 함수로 생각한다. 이를 반복하면 함수의 다항함수 근사를 얻으며 무한 번 하면 테일러 급수를 얻는다. 이는 14세기 인도 수학자의 저작에도 등장한다. 기하학적으로는, 비선형적인 함수로 표현되는 곡선의 한 점에서 그 곡선과 비슷한 직선인 접선을 구하는 것으로도 볼 수 있다. 일반적으로 미분기하학에서는 선형 공간인 접공간을 생각하여 미분다양체를 선형적으로 바라보며, 미분형식, 미분다양체에서 적분 등은 모두 접공간이 필수적으로 고려되어야 한다. 함수 미분은 존재하지 않을 수 있다. 미분이 모든 곳에서 존재하는 함수를 미분 가능 함수라고 한다. 미분 가능 함수는 반드시 연속 함수(=독립 변수의 변화가 미세할 때 함숫값의 변화 역시 미세한 함수)이어야 한다. 그러나 연속 함수가 반드시 미분 가능 함수이지는 않다. 연속함수이지만 모든 정의역에서 미분 불가능한 함수가 아주 많이 존재한다(예: 바이어슈트라스 함수). 함수 미분을 정의역 속 각 점에 그 점에서의 미분을 대응시키는 함수(도함수)로 여길 수 있다. 따라서, 함수의 도함수의 도함수, 함수의 도함수의 도함수의 도함수 따위를 생각할 수 있으며, 이들을 그 함수의 고계 도함수(高階導函數, 영어: higher order derivative) 또는 고계 미분(高階微分)이라고 한다. 이런 고계미분이 되고 그 고계도함수가 연속함수인 함수들의 집합을 기호로 C 0 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}} (연속함수), C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} (1회 미분가능이고 연속), C n {\displaystyle {\mathcal {C}}^{n}} (n회 미분가능이고 연속), C infinity {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }} (무한번 미분가능이고 연속), C ω {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\omega }} (해석함수) 등으로 나타낸다. 미적분학의 기본 정리에 따르면 원시함수는 부정적분과 같아서 정적분을 미분법의 역연산을 통해 구할 수 있으므로 미분과 적분은 대략 서로 역연산의 관계이다. 미분의 개념에 대한 여러 가지 일반화가 존재한다. 벡터 미적분학의 기울기, 다변수 미적분학의 야코비 행렬, 함수해석학의 프레셰 도함수 따위가 있다. 또한, 미분을 주어진 함수에 새 함수를 대응시키는 연산자(미분 연산자)로 생각할 수 있다.