{ 0 } } 는 반군을 이루며, 새로 추가한 원소 0 { displaystyle 0 } 은 그 속의 영원을 이룬다. 만약 S { displaystyle S } 가 모노이드라면 S { 0 } { displaystyle S sqcup { 0 } } 역시 모노이드이다. [ 편집 ] 반군 S { displaystyle S } 가 주어졌을 때, 그 P ( S ) { displaystyle { mathcal { P } } ( S ) } 위에 다음과 같은 이항 연산을 주자. A B = { a b : a A, b B } { displaystyle AB = { ab colon a in A, b in B } } 그렇다면 P ( S ) { displaystyle { mathcal { P } } ( S ) } 는 반군을 이룬다. P ( S ) { displaystyle { mathcal { P } } ( S ) } 는 항상 영원을 가지며, 이는 공집합이다. 또한, P ( S ) { } { displaystyle { mathcal { P } } ( S ) setminus { varnothing } } 역시 반군을 이룬다. 만약 S {
##의 i S { displaystyle i in S } 에 대하여, i { displaystyle i } 에 대한 역원을 갖는 모든 원소들의 집합 G i = { s S : i s = s i = s, t S : s t = t s = 1 } { displaystyle G - { i } = { s in S colon is = si = s, ; exists t in S colon st = ts = 1 } } 은 i { displaystyle i } 를 항등원으로 하는 극대 부분군이다. 공집합이 아닌 모든 유한 반군은 항상 하나 이상의 가진다. ( 모노이드의 경우 항등원이 이는 자명하게 성립한다. ) 그러나 이는 무한 반군에 대하여 성립하지 않는다. 종류 [ 편집 ] 다음과 같은 특별한 종류의 반군들의 모임이 존재한다. 반군 ( 영어 : idempotent semigroup, 영어 : band 밴드 [ * ] ) 은 모든 원소가 반군이다. 가환 반군 ( 영어 : commutative semigroup ) 은 이항 연산이 교환 법칙을 따르는 반군이다. 가환 반군을 반격자 ( 영어 : semilattice ) 라고 하기도 한다
오른쪽 영원인 원소를 영원 ( 영어 : zero element ) 이라고 한다. 왼쪽 영원과 오른쪽 영원은 일반적으로 유일하지 않지만, ( 양쪽 ) 영원은 만약 존재한다면 유일하다. 항등원 [ 편집 ] 반군 S { displaystyle S } 속에서, 다음과 같은 원소 1 L S { displaystyle 1 - { L } in S } 가 존재한다면, 이를 S { displaystyle S } 의 왼쪽 항등원 ( 영어 : left identity element ) 이라고 한다. 1 L s = s s S { displaystyle 1 - { L } s = s qquad forall s in S } 반군 S { displaystyle S } 속에서, 다음과 같은 원소 1 R S { displaystyle 1 - { R } in S } 가 존재한다면, 이를 S { displaystyle S } 의 오른쪽 항등원 ( 영어 : right identity element ) 이라고 한다. s 1 R = s s S { displaystyle s1 - { R } = s qquad forall s in S } 왼쪽 항등원이자 오른쪽 항등원인 원소를 항등원 ( 영어 : identity
in S } 에 대하여 a n = b c { displaystyle a ^ { n } = bc } 가 되는 원소 c S { displaystyle c in S } 와 양의 정수 n Z { displaystyle n in mathbb { Z } ^ { } } 이 존재하는 가환 반군이다. 분류 [ 편집 ] 유한 반군 [ 편집 ] 유한 반군에 대하여, 크론 - 로즈 정리 ( 영어 : Krohn - Rhodes theorem ) 라는 구조 정리가 존재한다. 이에 따르면, 모든 유한 반군 S { displaystyle S } 는 유한 단순군과 비자명군을 포함하지 않는 유한 반군들의 화환곱의 부분 반군의 몫반군이다. 즉, 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다. S = T / ∼ { displaystyle S = T / { sim } } T G 1 G n { displaystyle T subseteq G - { 1 } wr cdots wr G - { n } } 여기서 G 1,..., G n { displaystyle G - { 1 }, dots, G - { n } } 은 각각 다음 둘 가운데 하나이다. 유한 단순
##은 자명군 밖에 없다. 크기가 2인 반군은 총 5개가 있다. 2차 순환군 Cyc ( 2 ) { displaystyle operatorname { Cyc } ( 2 ) }. 이는 크기 2의 유한체 F 2 { displaystyle mathbb { F } - { 2 } } 의 덧셈 아벨 군이다. 2원소 불 대수의 ( 만남 또는 이음 ) 모노이드 B 2 { displaystyle B - { 2 } }. 이는 크기 2의 유한체 F 2 { displaystyle mathbb { F } - { 2 } } 의 곱셈 모노이드이다. 크기 2의 영반군 O 2 { displaystyle O - { 2 } } 크기 2의 왼쪽 영원 반군 L O 2 { displaystyle LO - { 2 } } 과 크기 2의 오른쪽 영원 반군 R O 2 { displaystyle RO - { 2 } } 크기가 3인 반군은 총 24개가 있다. 이 가운데 모노이드가 아닌 것은 17개이며, 다음과 같다. 아래 목록에서 표시는 반군의 표시이며, 영원의 경우 항상 0으로 표기하며 이에 대한 관계 ( 0 x = x 0 = 0 { displaystyle 0x = x0 = 0
cdot - { L } ) } 를 왼쪽 영원 반군 ( 영어 : left zero semigroup ), ( S, L ) { displaystyle ( S, cdot - { L } ) } 를 오른쪽 영원 반군 ( 영어 : right zero semigroup ) 이라고 한다. 왼쪽 영원 반군에서, 모든 원소는 왼쪽 영원이자 오른쪽 항등원이다. 오른쪽 영원 반군에서, 모든 원소는 오른쪽 영원이자 왼쪽 항등원이다. 왼쪽 · 오른쪽 영원 반군은 S { displaystyle S } 가 한원소 집합이 아니라면 모노이드를 이루지 않는다. 하나의 원소로 생성되는 반군 [ 편집 ] 하나의 원소로 생성되는 반군은 항상 가환 반군이며, 다음 두 경우 가운데 하나와 동형이다. 한원소 집합 위의 자유 반군. 양의 정수의 덧셈 반군 ( Z ) { displaystyle ( mathbb { Z } ^ { } ) } 과 동형이다. 이는 갖지 않는다. 두 양의 정수 n, k Z { displaystyle n, k in mathbb { Z } ^ { } } 에 대하여, x | x n = x n k { displaystyle langle x | x ^
반군 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 반군 위키백과, 우리 모두의 백과사전. 둘러보기로 가기 검색하러 가기 이 문서는 대수 구조에 관한 것입니다. 반란을 일으킨 군대인 반군 ( 軍 ) 에 대해서는 반란 문서를 참조하십시오. 대수 구조 군 관련 범주 · 마그마 · 반군 · 모노이드 · 준군 · 아벨 군 · 위상군 · 리 군 환 관련 유사환 · 가환환 · 정역 · 데데킨트 정역 · 유일 인수 분해 정역 · 주 아이디얼 정역 · 유클리드 정역 · 위상환 체 관련 · 체 · 순서체 · 대수적 수체 가군 관련 아벨 군 · 자유 가군 · 사영 가군 · 평탄 가군 · 벡터 공간 대수 관련 등급환 · 교대 대수 · 결합 대수 · 리 대수 · 요르단 대수 · 호프 대수 · 양자군 격자 관련 반격자 · 모듈러 격자 · 분배 격자 · 완비 격자 · 헤이팅 대수 · 불 대수 v. d. e. h 추상대수학에서, 반군 (, 영어 : semigroup ) 은 결합 법칙을 따르는 하나의 이항 연산이 부여된 대수 구조이다. 목차 1 정의 1. 1 반군 준동형 1. 2 부분 반군 1. 3 특별한 원소 1. 3. 1 영원 1. 3. 2 항등원 1. 3. 3 1. 3. 4 정칙
유사환을 정의할 수 있는데, 그 곱셈 반군은 영반군이다. 자유 반군 [ 편집 ] 반군의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 이에 대한 자유 대수를 정의할 수 있다. 집합 S { displaystyle S } 위의 자유 반군 ( 自 由, 영어 : free semigroup ) 은 S { displaystyle S } 위의 클레이니 스타 ( 자유 모노이드 ) S { displaystyle S ^ { * } } 에서, 길이가 0인 문자열 { displaystyle epsilon } ( 항등원 ) 을 제거한 반군 S { } { displaystyle S ^ { * } setminus { epsilon } } 이다. 한원소 집합으로 생성되는 자유 반군은 양의 정수의 덧셈 반군 ( Z ) { displaystyle ( mathbb { Z } ^ { } ) } 과 동형이다. 마찬가지로 자유 가환 반군 ( 自 由 可, 영어 : free commutative semigroup ) 을 정의할 수 있다. 집합 S { displaystyle S } 위의 자유 가환 모노이드는 S { displaystyle S } 의 원소들로 구성된 유한
특별한 원소 1. 3. 1 영원 1. 3. 2 항등원 1. 3. 3 1. 3. 4 정칙원 2 연산 2. 1 반대 반군 2. 2 몫반군 2. 3 직접곱 2. 4 반직접곱 2. 5 자유곱 2. 6 영원의 추가 2. 7 2. 8 화환곱 3 성질 4 종류 5 분류 5. 1 유한 반군 5. 2 가환 반군의 구조 이론 6 예 6. 1 공반군 6. 2 영반군 6. 3 자유 반군 6. 4 왼쪽 · 오른쪽 영원 반군 6. 5 하나의 원소로 생성되는 반군 6. 6 작은 크기의 반군 7 역사 8 참고 문헌 9 외부 링크 10 같이 보기 정의 [ 편집 ] 반군 ( S, ) { displaystyle ( S, cdot ) } 은 다음과 같은 데이터로 구성되는 대수 구조이다. S { displaystyle S } 는 집합이다. : S x S → S { displaystyle cdot colon S times S to S } 은 결합 법칙을 만족시키는 이항 연산이다. { displaystyle cdot } 은 항등원을 가질 필요가 없다. 항등원을 갖는 반군을 모노이드라고 한다. 즉, 반군과 모노이드의 관계는 유사환
, 오른쪽 영원 반군 R O 3 { displaystyle RO - { 3 } }. 이는 비가환 반군이다. 0 L, x | 0 L x = 0 L 2 = 0 L, x 0 L = x 2, x 3 = x 2 { displaystyle langle 0 - { L }, x | 0 - { L } x = 0 - { L } ^ { 2 } = 0 - { L }, ; x0 - { L } = x ^ { 2 }, ; x ^ { 3 } = x ^ { 2 } rangle } 및 그 반대 반군 0, 1 L, x | x 2 = x 1 L = 0, 1 L x = x, 1 L 2 = 1 L { displaystyle langle 0, 1 - { L }, x | x ^ { 2 } = x1 - { L } = 0, ; 1 - { L } x = x, ; 1 - { L } ^ { 2 } = 1 - { L } rangle } 및 그 반대 반군 0 L, 0 L, x | 0 L x = 0 L 0 L = 0 L 2 = 0 L, 0 L x = 0 L 0 L = 0 L 2 = 0 L, x 2 = x {
추상대수학에서 반군(半群, 영어: semigroup)은 결합법칙을 따르는 하나의 이항 연산이 부여된 대수 구조이다.