a - { n } } } 이 극한 L { displaystyle L } 로 수렴한다라고 한다. 기호로는 lim n → infinity a n = L { displaystyle lim - { n to infty } a - { n } = L } 과 같이 나타낸다. 수열 { a n } { displaystyle { a - { n } } } 이 수렴하지 않을 때 수열 { a n } { displaystyle { a - { n } } } 이 발산한다고 한다. 이는 다음과 같은 경우로 나뉜다. 양의 무한대로 발산, 즉 n { displaystyle n } 이 커짐에 따라 a n { displaystyle a - { n } } 이 한없이 커짐. lim n → infinity a n = infinity { displaystyle lim - { n to infty } a - { n } = infty } 로 표기. 음의 무한대로 발산, 즉 n { displaystyle n } 이 커짐에 따라 a n { displaystyle a - { n } } 이 한없이 작아짐. lim n → infinity a n = - infinity { displaysty
원소 ( element ) 라고 한다. 수열은 항의 유형에 따라 자연수열, 실수열, 점렬, 함수열, 집합열 등으로 나뉜다. 처음으로 오는 항을 첫째항 ( first term ) 또는 첫항, 초항이라고 부르며, 둘째, 셋째, 넷째,... 로 오는 항을 둘째항, 셋째항, 넷째항,..., 다르게는 제2항, 제3항, 제4항,... 이라고 부른다. 수열에서 나열되는 항의 개수를 그 수열의 길이 ( length ) 라고 한다. 수열의 길이는 유한할 수도, 무한할 수도 있으며, 길이가 유한하면 유한수열 ( finite sequence ), 무한하면 무한수열 ( infinite sequence ) 이라고 부른다. 유한수열에게는 마지막으로 오는 항이 존재하며, 이를 끝항 ( final term ) 또는 마지막항, 말항이라고 부른다. 특정되지 않은 일반적인 제n항 ( nth term ) 을 수열의 일반항이라고 한다. 많은 경우에 n과 제n항 사이의 관계 규칙은 수식으로 표현 가능하다. 수열 1, 3, 5,... 의 일반항은 2 n - 1 { displaystyle 2n - 1 } 이다
##기 읽기편집역사 보기 더 보기 검색 둘러보기 대문사용자 모임요즘 화제최근 문서 보기임의 문서로도움말기부 도구 여기를 가리키는 문서가리키는 글의 최근 올리기특수 문서 목록고유 링크문서 정보위키데이터 항목이 문서 인용하기 다른 프로젝트 공용 인쇄 / 내보내기 책 만들기PDF로 다운로드인쇄용 판 다른 언어 日 本 語 / / 中 文 語 링크 편집 이 문서는 2019년 6월 8일 ( 토 ) 15 : 59에 마지막으로 편집되었습니다. 모든 문서는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시 - 동일조건변경허락 3. 0에 따라 사용할 수 있으며, 추가적인 조건이 적용될 수 있습니다. 자세한 내용은 이용 약관을 참고하십시오. 미국 및 다른 국가에 등록되어 있는 Wikimedia Foundation, Inc. 소유의 등록 상표입니다. 개인정보 정책 위키백과 소개 면책 조항 개발자 쿠키 정책 모바일 보기
k } } } } ( n k { displaystyle n - { k } } 는 순증가 자연수열 ) 꼴로 표현되는 수열을 뜻한다. 예를 들어 소수열 ( 2, 3, 5, 7,... ) 은 자연수열 ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... ) 의 부분수열이다. 계차수열 [ 편집 ] 이 부분의 본문은 계차수열입니다. 수열 { a n } { displaystyle { a - { n } } } 의 계차수열 { a n } { displaystyle { Delta a - { n } } } 은 제n항을 바로 다음 항에서부터 뺀 차 a n 1 - a n { displaystyle a - { n1 } - a - { n } } 를 일반항으로 하는 수열이다. 계차수열의 계차수열 { 2 a n } { displaystyle { Delta ^ { 2 } a - { n } } } 을 2계차수열이라고 하고, 비슷하게 3, 4,... 계차수열이 정의된다. 수열 a n = n 2 { displaystyle a - { n }
, 3, 5, 7, 11, 13,... 소수열. 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1,... " an = ( 7n의 일의 자리의 숫자 ) " 로 정의되는 수열. 3, 7, 5, 4, - 1,... 규칙이 뚜렷하지 않은 수열. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,... 사각수열, 즉 an = n2 0, 0, 0, 24, 120, 360, 840,... an = n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 ) 로 정의되는 수열. 수열의 성질 [ 편집 ] 다음은 주로 실수열의 예를 들어 설명한, 수열의 여러 속성들이다. 단조성 [ 편집 ] 이 부분의 본문은 단조수열입니다. 실수열 { a n } { displaystyle { a - { n } } } 이 모든 m > n { displaystyle m > n } 인 두 자연수 m, n { displaystyle m, n } 에 대해 a m a n { displaystyle a - { m } geq a - { n } } 을 만족시킬 때, { a n } { displaystyle
##tyle 1 < 3 < 5 < 7 < dots } 순증가 또는 순감소수열은, 단조증가 또는 감소하면서 같은 값에 두 번 이상 머무르지 않는 수열이다. 수열의 단조성은, 실수 이외에도 순서구조가 정립된 곳에서 값을 취하는 수열에 대해 정의 가능하다. 유계성 [ 편집 ] 이 부분의 본문은 유계집합입니다. 실수 또는 다른 순서가 정의된 대상의 열 { a n } { displaystyle { a - { n } } } 의 모든 항이 어떤 일정한 값 ( 상계라 부른다 ) 보다 작을 때, 즉 M { displaystyle exists M } 이어서 n N { displaystyle forall n in mathbb { N } } 에 대해 a n M { displaystyle a - { n } leq M } 일 때, { a n } { displaystyle { a - { n } } } 이 위로 유계라고 한다. 모든 항이 하계라 불리는 어떤 값 M { displaystyle M } 보다 클 때 아래로 유계라고 한다. 위로도 아래로도 유계인 수열, 또는 이와 동등한 조건인 | a n | M, n N {
} } 이 한없이 작아짐. lim n → infinity a n = - infinity { displaystyle lim - { n to infty } a - { n } = - infty } 로 표기. 진동 발산, 즉 상수로도, 양과 음의 무한대로도 한없이 가까워지지 않음. 수열 a n = 1 n { displaystyle a - { n } = { frac { 1 } { n } } } 은 수렴수열의 예이다. lim n → infinity 1 n = 0 { displaystyle lim - { n to infty } { frac { 1 } { n } } = 0 } 수열로부터 새 수열 만들기 [ 편집 ] 부분수열 [ 편집 ] 이 부분의 본문은 부분수열입니다. 수열 { a n } { displaystyle { a - { n } } } 의 부분수열은, 나열 순서가 변하지 않은 채로 일부 항을 제거해 얻는 새로운 수열이다. 더 정확히는 { a n k } { displaystyle { a - { n - { k } } } } ( n k { displaystyle n - { k } } 는 순증가 자연수열 )
1, 3, 5,... 의 일반항은 2 n - 1 { displaystyle 2n - 1 } 이다. 여기의 n에 임의의 자연수를 대입하면, 수열의 아무 번째 항의 값을 알아낼 수 있다. 자연수는 일부 문헌에서는 1부터, 일부 문헌에서는 0부터 시작한다. 만약 0부터 시작한다고 정할 경우 수열에서 처음 오는 항은'제0항'이 된다. 수열의 표현 [ 편집 ] 수열의 원소를 순서대로 나열하는 것은 수열의 한 가지 표현법이다. 홀수열은 1, 3, 5,... 와 같이 표현할 수 있다. { 1, 3, 5,... } { displaystyle { 1, 3, 5, dots } } 또는 ( 1, 3, 5,... ) { displaystyle ( 1, 3, 5, dots ) } 처럼 괄호를 씌워도 된다. 구체적으로 지정되지 않은 수열은 그 항들을 첨자가 달린 변수로 나타내어 ( 무한수열의 예를 들면 ) a 1, a 2, a 3,... { displaystyle a - { 1 }, a - { 2 }, a - { 3 },
은, n = 1, 2, 3,... 를 취할 때 새로운 수열 { k = 1 n a k } { displaystyle left { sum - { k = 1 } ^ { n } a - { k } right } } 을 이룬다. 이를 때로는 부분합 수열이라고 한다. 계차수열이 쉽게 구해지는 것과 다르게, 수열의 합 공식은 일반적으로 쉽게 찾을 수 없으며, 여러 가지 기교와 정형화된 방법이 요구된다. 수열의 합 공식의 예로는 1부터 n까지의 자연수의 합 공식이 있다. k = 1 n k = 1 2 3 n = n ( n 1 ) 2 { displaystyle sum - { k = 1 } ^ { n } k = 123 cdots n = { frac { n ( n1 ) } { 2 } } } 부분합 수열 { k = 1 n a k } { displaystyle left { sum - { k = 1 } ^ { n } a - { k } right } } 이 수열로서 상수 L { displaystyle L } 로 수렴할 때, 무한급수 n = 1 infinity a n { displays
m } geq a - { n } } 을 만족시킬 때, { a n } { displaystyle { a - { n } } } 을 단조증가수열이라고 한다. 반대로 모든 m > n { displaystyle m > n } 인 두 자연수 m, n { displaystyle m, n } 에 대해 a m a n { displaystyle a - { m } leq a - { n } } 을 만족시킬 때 단조감소수열이라고 한다. 이 둘과 동등한 조건은 각각 a n 1 a n { displaystyle a - { n1 } geq a - { n } } 또는 a n 1 a n { displaystyle a - { n1 } leq a - { n } } 이 모든 자연수 n { displaystyle n } 에 대해 성립한다는 것이다. 홀수열 a n = 2 n - 1 { displaystyle a - { n } = 2n - 1 } 은 단조증가수열의 예이다 : 1 < 3 < 5 < 7 <... { displaystyle 1 < 3 < 5 < 7 < dots } 순증가 또는 순감소수열은, 단조증가 또는 감소
수학에서 수열(數列) 또는 열(列, sequence)은 수 또는 다른 대상의 순서 있는 나열이다. 나열 순서를 생각해야 하고 중복이 허용된다는 점에서 집합과 구분된다. 양의 짝수의 크기 순 나열 2, 4, 6, 8, ...은 수열의 예이다. 수열은 자연수의 집합에 정의된 함수라고 할 수 있다.