} } ) } Mat ( 2 ( n - 1 ) ( n - 1 ) / 2 ; F q ) { displaystyle operatorname { Mat } ( 2 ^ { ( n - 1 ) ( n - 1 ) / 2 } ; mathbb { F } - { q } ) } O ( n ; F q ) { displaystyle operatorname { O } ( n ; mathbb { F } - { q } ) } 홀수 표수 유한체 위의 양의 유한 차원 벡터 공간 위에는 정확히 두 개의 이차 형식 ( 의 동형류 ) 가 존재하므로, 이 경우 이차 형식은 그 클리퍼드 대수만으로 구별할 수 있다. 표수 2의 유한체 [ 편집 ] 표수 2에서는 등급 텐서곱 ^ { displaystyle { hat { otimes } } } 이 일반 텐서곱 { displaystyle otimes } 과 같다. 표수 2의 유한체 K = F 2 e { displaystyle K = mathbb { F } - { 2 ^ { e } } } 위의 2 n { displaystyle 2n } 차원 벡터 공간 위의 모든 비퇴화 이차 형식은 다음과 같은 두 2
↑ 가 나 Lam, Tsit - Yuen ( 2005 ). 《 Introduction to quadratic forms over fields 》. Graduate Studies in Mathematics ( 영어 ) 67. American Mathematical Society. ISBN 0 - 8218 - 1095 - 2. MR 2104929. Zbl 1068. 11023. ↑ 가 나 Farb, Benson ; Dennis, R. Keith ( 1993 ). 《 Noncommutative algebra 》. Graduate Texts in Mathematics ( 영어 ) 144. Springer - Verlag. ISBN 978 - 1 - 4612 - 6936 - 6. ISSN 0072 - 5285. doi : 10. 1007 / 978 - 1 - 4612 - 0889 - 1. ↑ 가 나 Knus, Max - Albert ( 1991 ). 《 Quadratic and hermitian forms over rings 》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften ( 영어 ) 294. Springer. ISBN 978 - 3 - 642 - 75403 - 6. ISSN 0072 - 7830. MR 1096299. Zbl 0756
displaystyle operatorname { Cliff } ( M, Q ; K ) } 는 등급 아즈마야 대수 ( 영어 : graded Azumaya algebra ) 이다. [ 3 ] : 152, Corollary 3. 7. 4 또한, 만약 모든 소 아이디얼 p Spec K { displaystyle { mathfrak { p } } in operatorname { Spec } K } 에 대하여 M K K p { displaystyle M otimes - { K } K - { mathfrak { p } } } 가 짝수 계수 K p { displaystyle K - { mathfrak { p } } } - 자유 가군이라면, Cliff ( M, Q ; K ) { displaystyle operatorname { Cliff } ( M, Q ; K ) } 는 짝수형 등급 아즈마야 대수이며, 반대로 만약 모든 소 아이디얼 p Spec K { displaystyle { mathfrak { p } } in operatorname { Spec } K } 에 대하여 M K K p { displaystyle M otimes - { K } K - {
, V. 2 n { displaystyle n } 이 짝수일 때 : Cliff ( V, Q ; K ) { displaystyle operatorname { Cliff } ( V, Q ; K ) } 는 K { displaystyle K } 위의 중심 단순 대수이다. Z ( Cliff ( V, Q ; K ) ( V, Q ; K ) ) K ( a ) { displaystyle operatorname { Z } ( operatorname { Cliff } ^ { } ( V, Q ; K ) ( V, Q ; K ) ) cong K ( { sqrt { a } } ) } ( a K x / ( K x ) ( K x ) 2 ) { displaystyle a in K ^ { times } / ( K ^ { times } ) ^ { 2 } ) } ) 의 꼴이라면, Cliff ( V, Q ; K ) { displaystyle operatorname { Cliff } ^ { } ( V, Q ; K ) } 는 K ( a ) { displaystyle K ( { sqrt { a } } ) } 위의 중심 단순 대수이다. Z ( Cliff ( V, Q ; K ) ( V,
; mathbb { F } - { q } ) } 제곱수가 아님 ( Q { displaystyle Q } 가 마이너스형 ) 짝수 Mat ( 2 n / 2 ; F q ) { displaystyle operatorname { Mat } ( 2 ^ { n / 2 } ; mathbb { F } - { q } ) } Mat ( 2 n / 2 - 1 ; F q 2 ) { displaystyle operatorname { Mat } ( 2 ^ { n / 2 - 1 } ; mathbb { F } - { q ^ { 2 } } ) } O - ( n ; F q ) { displaystyle operatorname { O } ^ { - } ( n ; mathbb { F } - { q } ) } 제곱수가 아님 홀수 Mat ( 2 ( n - 1 ) ( n - 1 ) / 2 ; F q 2 ) { displaystyle operatorname { Mat } ( 2 ^ { ( n - 1 ) ( n - 1 ) / 2 } ; mathbb { F } - { q ^ { 2 } } ) } Mat ( 2 ( n - 1 ) ( n - 1 ) / 2 ; F q ) { displaysty
q ; mathbb { R } ) cong operatorname { Mat } ( 2 ; mathbb { R } ) otimes - { mathbb { R } } operatorname { Cliff } ( q, p ; mathbb { R } ) } Cliff ( p 1, q 1 ; R ) Mat ( 2 ; R ) R Cliff ( p, q ; R ) { displaystyle operatorname { Cliff } ( p1, q1 ; mathbb { R } ) cong operatorname { Mat } ( 2 ; mathbb { R } ) otimes - { mathbb { R } } operatorname { Cliff } ( p, q ; mathbb { R } ) } Cliff ( p, q 2 ; R ) H R Cliff ( q, p ; R ) { displaystyle operatorname { Cliff } ( p, q2 ; mathbb { R } ) cong mathbb { H } otimes - { mathbb { R } } operatorname { Cliff } ( q,
Q } 가 부호수가 ( p, q ) { displaystyle ( p, q ) } 인 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 이 경우, 이에 대한 클리퍼드 대수를 Cliff ( p, q ; R ) { displaystyle operatorname { Cliff } ( p, q ; mathbb { R } ) } 로 쓰자. 낮은 차원의 실수 클리퍼드 대수들은 다음과 같다. Cliff ( 0, 0 ; R ) R { displaystyle operatorname { Cliff } ( 0, 0 ; mathbb { R } ) cong mathbb { R } } ( 실수 ) Cliff ( 0, 1 ; R ) C { displaystyle operatorname { Cliff } ( 0, 1 ; mathbb { R } ) cong mathbb { C } } ( 복소수 ) Cliff ( 1, 0 ; R ) R R { displaystyle operatorname { Cliff } ( 1, 0 ; mathbb { R } ) cong mathbb { R } oplus mathbb { R } } ( 분할복소수 ) Cliff (
Q ; K ) = m n T m ( V ; K ) / i ( Q ) { displaystyle F ^ { n } operatorname { Cliff } ( V, Q ; K ) = bigoplus - { m leq n } operatorname { T } ^ { m } ( V ; K ) / { mathfrak { i } } ( Q ) } 가 존재하며, 따라서 클리퍼드 대수는 자연수 오름 여과를 갖는다. 이 여과로부터 정의되는 자연수 등급 대수는 외대수와 표준적으로 동형이다. n = 0 infinity F n Cliff ( V, Q ; K ) F n - 1 Cliff ( V, Q ; K ) ( V ; K ) { displaystyle bigoplus - { n = 0 } ^ { infty } { frac { F ^ { n } operatorname { Cliff } ( V, Q ; K ) } { F ^ { n - 1 } operatorname { Cliff } ( V, Q ; K ) } } cong Lambda ( V ; K ) } 대합 [ 편집 ] 가환환 K { displaystyle K } 위의 클리퍼드 대수 Cliff
유계 집합이자 단일 연결 공간이며, 경계 V { displaystyle partial V } 가 조각별 C 1 { displaystyle { mathcal { C } } ^ { 1 } } 미분 가능 다양체를 이루며, f, g : U → Cliff ( 0, n ; R ) { displaystyle f, g colon U to operatorname { Cliff } ( 0, n ; mathbb { R } ) } 는 C 1 { displaystyle { mathcal { C } } ^ { 1 } } 함수이며, f { displaystyle f } 는 왼쪽 정칙 함수이며 g { displaystyle g } 는 오른쪽 정칙 함수라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. 0 = V g ( x ) n ^ V ( x ) f ( x ) d x n - 1 { displaystyle 0 = oint - { partial V } g ( x ) { hat { n } } - { partial V } ( x ) f ( x ) ; mathrm { d }! x ^ { n - 1 } } 여기서 n ^ V : V → R n Cliff ( 0,
; K ) { displaystyle operatorname { Cliff } ( V, Q ; K ) } 는 짝수형 등급 중심 단순 대수이다. 즉, Z ( Cliff ( V, Q ; K ) ( V, Q ; K ) ) = K { displaystyle operatorname { Z } ( operatorname { Cliff } ( V, Q ; K ) ( V, Q ; K ) ) = K } 이며, Z / 2 { displaystyle mathbb { Z } / 2 } - 등급 구조를 잊으면 중심 단순 대수를 이룬다. 만약 V { displaystyle V } 가 짝수 차원이라면 Cliff ( V, Q ; K ) { displaystyle operatorname { Cliff } ( V, Q ; K ) } 는 홀수형 등급 중심 단순 대수이다. 즉, Z / 2 { displaystyle mathbb { Z } / 2 } - 등급 구조를 잊으면 Cliff ( V, Q ; K ) { displaystyle operatorname { Cliff } ( V, Q ; K ) } 는 중심 단순 대수가 아니지만, Cliff ( V, Q ; K ) { displaystyle operatorname { Cl
환론에서 클리퍼드 대수(Clifford代數, 영어: Clifford algebra)는 이차 형식에 의하여 정의되는 결합 대수의 한 종류이다. 복소수체와 사원수환의 일반화이며, 외대수의 양자화로 여길 수 있다.