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=, forall, exists, lor, land, lnot } 만을 포함하는 ) 2차 논리 명제에 대하여 증명을 제시하거나 또는 제시하지 않는 함수이다. 증명 체계가 증명을 제시하는 명제를 증명 가능 명제 ( 영어 : provable proposition ) 라고 한다. 여기서 " 증명 " 이란 ( 주어진 알파벳에 대한 ) 일련의 문자열을 뜻한다. 괴델의 불완전성 정리에 따라, 2차 논리의 증명 체계는 다음 세 조건을 동시에 만족시킬 수 없다. ( 정당성 영어 : soundness ) 증명 체계가 증명할 수 있는 모든 명제는 2차 논리의 모든 ( 표준 ) 모형에서 참이다. ( 완전성 영어 : completeness ) 증명 체계는 2차 논리의 모든 ( 표준 ) 모형에서 참인 2차 논리 명제를 증명할 수 있다. ( 유효성 영어 : effectiveness ) 증명들의 집합은 재귀적 집합이다. 즉, 주어진 문자열이 어떤 명제의 증명인지 여부를 항상 종료하는 알고리즘으로 판별할 수 있다. 반면, 1차 논리의 경우 위 세 조건을 만족시키는 증명 체계가 존재한다 ( 괴델의 완전성 정리 ). 2차 논리에서는 또한 콤팩트성 정리와 뢰벤하임 - 스콜렘 정리가 성립하지 않는다.
, t - { 2 }, dots, t - { n } } 에 대하여, R ( t 1, t 2,..., t n ) { displaystyle { mathsf { R } } ( t - { 1 }, t - { 2 }, dots, t - { n } ) } 는 논리식이다. 두 항 t 1 { displaystyle t - { 1 } }, t 2 { displaystyle t - { 2 } } 에 대하여, t 1 = t 2 { displaystyle t - { 1 } = t - { 2 } } 는 논리식이다. 논리식 { displaystyle phi } 와 { displaystyle phi } 에 등장하는 n { displaystyle n } 항 자유 연산 변수 f i n { displaystyle f - { i } ^ { n } } 에 대하여, f i n { displaystyle forall f - { i } ^ { n } phi } 와 f i n { displaystyle exists f - { i } ^ { n } phi } 는 논리식이다. 논리식 { displaystyle phi } 와 {
》 ( 독일어 ). 할레 : Verlag von Louis Nebert. ↑ 가 나 Putnam, Hilary ( 1982 ). " Peirce the logician ". 《 Historia Mathematica 》 ( 영어 ) 9 ( 3 ) : 290 - 301. ISSN 0315 - 0860. doi : 10. 1016 / 0315 - 0860 ( 82 ) 90123 - 9. ↑ Henkin, Leon Albert ( 1950 ). " Completeness in the theory of types ". 《 Journal of Symbolic Logic 》 ( 영어 ) 15 ( 2 ) : 81 - 91. ISSN 0022 - 4812. JSTOR 2266967. doi : 10. 2307 / 2266967. ↑ Quine, W. V. O. ( 1986년 6월 ). 《 Philosophy of logic 》 ( 영어 ) 2판. Harvard University Press. ISBN 978 - 067466563 - 7. ↑ Boolos, George S. ( 1975년 9월 ). " On second - order logic ". 《 The Journal of Philosophy 》 ( 영어 ) 72 ( 16 ) : 509 - 527. doi : 10. 2307 / 2025179. ↑ Shapiro
{ n } phi } 는 논리식이다. 논리식 { displaystyle phi } 와 { displaystyle phi } 에 등장하는 n { displaystyle n } 항 자유 관계 변수 R i n { displaystyle R - { i } ^ { n } } 에 대하여, R i n { displaystyle forall R - { i } ^ { n } phi } 와 R i n { displaystyle exists R - { i } ^ { n } phi } 는 논리식이다. 두 논리식 { displaystyle phi } 와 { displaystyle chi } 에 대하여, { displaystyle phi land chi } 와 { displaystyle phi lor chi } 및 { displaystyle phi } 에 대하여, { displaystyle lnot phi } 는 논리식이다. 여기서, 논리식 { displaystyle phi } 에 등장하는 연산 변수 또는 관계 변수 x { displaystyle x } 가 자유 변수 ( 영어 :
, f - { 1 } ^ { 1 }, dots } 는 1차 논리 변수들의 집합에 해당한다. 변수 밖에도 다음과 같은 논리 기호들이 사용된다. ( 이들은 1차 논리와 같다. ) 전칭 기호 { displaystyle forall } 와 존재 기호 { displaystyle exists } 등호 = { displaystyle = } 명제 논리 기호 { displaystyle land } ( 논리곱 ), { displaystyle lor } ( 논리합 ), { displaystyle lnot } ( 부정 ) 등 괄호 { displaystyle } 및 반점, { displaystyle, } 등 주어진 n { displaystyle n } 항 연산 f { displaystyle { mathsf { f } } } 및 n { displaystyle n } 항 관계 R { displaystyle { mathsf { R } } }. 예를 들어, 집합론의 언어는 하나의 2항 관계 { displaystyle in } 를 갖는다. 다른 예로, 순서체의 언어는 2항 연산 { displaystyle } 와 { displaystyle
##y 》 ( 영어 ). Uzquiano, Gabriel ( 2014년 9월 3일 ). " Quantifiers and quantification ". 《 The Stanford Encyclopedia of Philosophy 》 ( 영어 ). " Second - order logic ". 《 nLab 》 ( 영어 ). " Higher - order logic ". 《 nLab 》 ( 영어 ). 원본 주소 " " 분류 : 수리논리학숨은 분류 : CS1 - 영어 인용 ( en ) CS1 - 독일어 인용 ( de ) 영어 표기를 포함한 문서 둘러보기 메뉴 개인 도구 로그인하지 않음토론기여계정 만들기로그인 이름공간 문서토론 변수 보기 읽기편집역사 보기 더 보기 검색 둘러보기 대문사용자 모임요즘 화제최근 문서 보기임의 문서로도움말기부 도구 여기를 가리키는 문서가리키는 글의 최근 올리기특수 문서 목록고유 링크문서 정보위키데이터 항목이 문서 인용하기 인쇄 / 내보내기 책 만들기PDF로 다운로드인쇄용 판 다른 언어 日 本 語 中 文 링크 편집 이 문서는 2017년 10월 8일 ( 일 ) 17 : 08에 마지막으로 편집되었습니다. 모든 문서는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시 - 동일
, x 1, x 2,..., x n : R i n 1 ( x 0, x 1,..., x n ) ( x 0, x 0, x 1, x 2,..., x n : R i n 1 ( x 0, x 1,..., x n ) ( x 0, x 1,..., x n ) R i n 1 ( x 0, x 1,..., x n ) x 0 = x 0 ) ( ) ) { displaystyle forall R - { i } ^ { n1 } left ( ( forall x - { 0 }, x - { 0 } ', x - { 1 }, x - { 2 }, dots, x - { n } colon R - { i } ^ { n1 } ( x - { 0 }, x - { 1 }, dots, x - { n } ) ( forall x - { 0 }, x - { 0 } ', x - { 1 }, x - { 2 }, dots, x - { n } colon R - { i } ^ { n1 } ( x - { 0 }, x - { 1 }, dots, x - { n } ) ( x - { 0 },
##le phi } 에 등장하는 연산 변수 또는 관계 변수 x { displaystyle x } 가 자유 변수 ( 영어 : free variable ) 라는 것은 { displaystyle phi } 에 x { displaystyle forall x } 나 x { displaystyle exists x } 가 포함되지 않는 것을 의미한다. 의미론 [ 편집 ] 2차 논리의 의미론은 흔히 2차 논리의 모형으로 주어진다. 이 경우, 모형 X,... { displaystyle langle X, dots rangle } 가 주어졌을 때, n { displaystyle n } 항 연산 변수는 X { displaystyle X } 위의 모든 ( 외적 관점에서의 ) 연산 X X n { displaystyle X ^ { X ^ { n } } } 의 값을 가질 수 있으며, n { displaystyle n } 항 관계 변수는 X { displaystyle X } 위의 모든 ( 외적 관점에서의 ) 관계 P ( X n ) { displaystyle { mathcal { P } } ( X ^ { n } ) } 의 값을 가질 수 있다. 특히, 1항 관계 변수는 X {
n = 0 { displaystyle n = 0 } 일 때 괄호 f i 0 { displaystyle f - { i } ^ { 0 } } 를 생략하여 f i 0 { displaystyle f - { i } ^ { 0 } } 로 쓴다. ) n { displaystyle n } 항 연산 f { displaystyle { mathsf { f } } } 와 n { displaystyle n } 개의 항 t 1, t 2,..., t n { displaystyle t - { 1 }, t - { 2 }, dots, t - { n } } 에 대하여, f ( t 1, t 2,..., t n ) { displaystyle { mathsf { f } } ( t - { 1 }, t - { 2 }, dots, t - { n } ) } 은 항이다. ( 편의상 n = 0 { displaystyle n = 0 } 일 때 괄호 f { displaystyle { mathsf { f } } } 를 생략하여 f { displaystyle { mathsf { f } } } 로 쓴다. ) 2차 논리의 논리식 ( 영어 : ( well formed ) ( we
수리논리학에서 2차 논리(二次論理, 영어: second-order logic)는 임의의 다항 관계 및 다항 연산에 대한 변수 및 이에 대한 전칭·존재 기호를 사용할 수 있는 논리이다. 1차 논리에서 변수는 사용하는 모형의 원소만을 지칭하지만, 2차 논리에서는 모형 속의 임의의 부분 집합에 대하여 언급할 수 있다. 이에 따라 2차 논리는 1차 논리보다 더 다양한 개념들에 대하여 논할 수 있다. 그러나 2차 논리는 1차 논리와 달리 완전한 증명 체계를 갖지 못하며, 콤팩트성 정리나 뢰벤하임-스콜렘 정리와 같은 중요한 성질들이 성립하지 않는다.