열 ) 조화급수 교대급수 [UNK] 이항급수 테일러 급수 수렴판정법 일반항 판정법 비판정법 근판정법 적분판정법 비교판정법 극한비교판정법 교대급수판정법 코시 응집판정법 디리클레 판정법 아벨 판정법 벡터 미적분학 기울기 발산 회전 라플라시안 방향도함수 벡터 미적분표 정리 발산정리 기울기정리 그린 정리 켈빈 - 스토크스 정리 다변수 미적분학 형식 행렬 텐서 외미분 기하 정의 편미분 중적분 선적분 면적분 삼중적분 야코비안 헤세 행렬 특수한 경우 분수차 미적분 말리아빈 미적분 확률미적분학 변분법 vdeh ( [UNK] [UNK] 分 學, calculus ) 은 수학의 한 분야로 극한, 함수, 미분, 적분, 무한급수를 다루는 학문이다. 다른 명칭은 " 무한소 해석학 " 이다. 미적분학은 속도, 가속도 같은 일정하게 변하는 양들의 값을 구한다. 그 값들은 곡선의 기울기로 해석한다. 또 넓이, 부피, 길이 등은 곡선으로 제한된다. 여기서 " 곡선 " 은 직선을 의미할 수도 있으므로 주의해야 한다. 또 극한을 구하는 과정을 유도하는 무한 과정 또는 궁극점 ( 일반적으로 구하는 값 ) 에 접근해 가는 것과 관련이 있다. 이
" 곡선 " 은 직선을 의미할 수도 있으므로 주의해야 한다. 또 극한을 구하는 과정을 유도하는 무한 과정 또는 궁극점 ( 일반적으로 구하는 값 ) 에 접근해 가는 것과 관련이 있다. 이 2가지 방법은 수학적 해석학의 토대가 되고 있다. 기하학이 모양 ( Shape ) 에 중심을 둔 학문 목차 1 고대 2 중세 3 근대 4 기초 5 함수 5. 1 함수의 정의 5. 2 함수의 표현방법 6 극한 6. 1 극한의 정의 6. 2 입실론 - 델타 논법 6. 3 극한의 성질 6. 4 극한에 관한 정리 7 연속 7. 1 함수 f ( x ) { [UNK] displaystyle f ( x ) } 가 x = a { [UNK] displaystyle x = a } 에서 연속 7. 2 함수 f ( x ) { [UNK] displaystyle f ( x ) } 가 연속 7. 3 균등연속 ( Uniform Continuity ) [ 1 ] 7. 4 제거 가능한 불연속성 8 미분 8. 1 도함수 8. 2 미분 가능성 8. 3 미분의 성질 8. 4 삼각함수의 미분 8. 5 연쇄법칙 8. 6 음함수 미분법 8. 7 지수, 로그 함수의 미분 9 적분 9. 1 역도함수 ( 부정적분 ) [ 2 ] 9. 2 정적분 [ 3
바이어슈트라스에 의해서 증명됐고 무한소의 의미가 극히 작은 값이라는 관념을 막을 방법을 찾았다. 이것이 미분과 적분을 위한 기초를 놓았다. 코시의 필기에서 무한소의 형태로 적혀진 연속의 정의와 극한의 ( [UNK] - [UNK] ) 정의의 원형 등의 기초에 접근하기 위한 다양한 방법을 찾을 수 있다. 코시의 업적에서 바이어슈트라스는 극한의 정의를 공식화 시키고 무한소의 개념을 없애버린다. 바이어슈트라스의 작업에 따라서 미적분학은 무한소가 아닌 극한에 기초하는 것이 일반적이게 됐다. 베른하르트 리만은 바이어슈트라스의 개념을 사용해서 적분의 정확한 개념을 만들었다. 그리고 이 발견의 기간 동안 미적분학의 아이디어들은 유클리드 공간과 복소평면에서 일반화됐다. 현대 수학에서 미적분학의 기초는 미적분학의 정리에 대한 완전한 정의와 증명들을 포함하는 실해석 분야에 포함되어 있고 미적분학의 범위는 엄청나게 확대됐다. 앙리 르베그는 측도론을 만들어서 거의 모든Pathological function에서 적분을 가능하게 했다. 로랑 슈바르츠는 어떤 함수도 미분시킬 수 있는 분포 이론을 만들었다. 일반
ewart Calculus 6e, 333 ~ 336쪽 ↑ James Stewart Calculus 6e, 489 ~ 492쪽 vdeh수학의 주요 분야수론 대수적 수론 해석적 수론 대수학 선형대수학 추상대수학 군론 환론 가환대수학 호몰로지 대수학 해석학 미적분학 실해석학 복소해석학 수치해석학 측도론 함수해석학 조화해석학 비표준 해석학 기하학 대수기하학 계산기하학 해석기하학 미분기하학 리만 기하학 위상수학 일반위상수학 대수적 위상수학 미분위상수학 매듭 이론 수학기초론 수리논리학 모형 이론 증명 이론 계산 가능성 이론 집합론 범주론 이산수학 계산 이론 계산 복잡도 이론 암호학 조합론 그래프 이론 확률과 통계 확률론 통계학 확률미적분학 게임 이론 결정이론 원본 주소 " " 분류 : 적분학미적분학독일의 발명품숨은 분류 : 전문가의 참여가 필요한 문서영어 표기를 포함한 문서 둘러보기 메뉴 개인 도구 로그인하지 않음토론기여계정 만들기로그인 이름공간 문서토론 변수 보기 읽기편집역사 보기 더 보기 검색 둘러보기 대문사용자 모임요즘 화제최근 [UNK] 문서 보기임의 문서로도움말기부 도구 여기를 가리키는
x n n! { [UNK] displaystyle Tf ( x ) [UNK] equiv [UNK] sum - { n = 0 } ^ { [UNK] infty } { [UNK] frac { f ^ { ( n ) } ( 0 ) x ^ { n } } { n! } } } 를 f { [UNK] displaystyle f } 의 테일러 급수라고 한다. 테일러 급수가 원래 함수에 수렴할 필요충분조건은 lim n → infinity R n f ( x ) = 0 { [UNK] displaystyle [UNK] lim - { n [UNK] to [UNK] infty } R - { n } f ( x ) = 0 } 이다. 같이 보기 [ 편집 ] 공용에 분류가 있습니다. 미적분학 푸리에 급수 각주 [ 편집 ] ↑ Schaum's Advanced Calculus, 57쪽 ↑ James Stewart Calculus 6e, 275쪽 ↑ James Stewart Calculus 6e, 300쪽 ↑ James Stewart Calculus 6e, 307쪽 ~ 309 ↑ James Stewart Calculus 6e, 315 ~ 320쪽 ↑ James Stewart Calculus 6e, 333 ~ 336쪽 ↑ James Stewart Calculus 6e, 489 ~ 492쪽 vdeh수학의 주요 분야수론 대수적 수론 해석적 수
g ( x ) { [UNK] displaystyle g ( x ) } 일 때, 곡선 y = f ( x ) { [UNK] displaystyle y = f ( x ) }, y = g ( x ) { [UNK] displaystyle y = g ( x ) } 와 직선 x = a { [UNK] displaystyle x = a }, x = b { [UNK] displaystyle x = b } 로 둘러싸인 영역의 넓이 A는 A = [UNK] a b [ f ( x ) - g ( x ) ] d x { [UNK] displaystyle A = [UNK] int - { a } ^ { b } [ f ( x ) - g ( x ) ] dx } 로 정의된다. 부피 [ 편집 ] S를 x = a { [UNK] displaystyle x = a } 와 x = b { [UNK] displaystyle x = b } 에 놓인 입체도형이라 하자. x를 지나고 x축에 수직인 평면 Px에 있는 S의 절단면의 넓이가 A ( x ) 이고, A가 연속이라면 S의 부피 ( V ) 는 V = [UNK] a b A ( x ) d x { [UNK] displaystyle V = [UNK] int - { a } ^ { b } A ( x ) dx } 이다. 회전체의 경우, 위의 방법으로는 부피를 구하기 어려운 경우가 많다.
수의 미분 8. 5 연쇄법칙 8. 6 음함수 미분법 8. 7 지수, 로그 함수의 미분 9 적분 9. 1 역도함수 ( 부정적분 ) [ 2 ] 9. 2 정적분 [ 3 ] 9. 3 정적분의 성질 [ 4 ] 9. 4 미적분학의 기본정리 [ 5 ] 9. 5 치환 법칙 [ 6 ] 9. 6 부분적분법 [ 7 ] 9. 7 넓이 9. 8 부피 10 급수 10. 1 무한급수 10. 2 [UNK] 10. 3 테일러 급수 11 같이 보기 12 각주 고대 [ 편집 ] 적분을 이끌어내기 위한 몇 가지 아이디어들은 고대에서부터 시작됐지만 이 시대의 방법들은 수학적으로 엄밀하지도 않고 체계적이지 않았다. 모스크바 수학 파피루스 ( Moscow mathematical papyrus ) 에서 적분의 목표 중 하나인 부피계산법들이 나와있으나 이것들은 방법으로서 설명이 부족하고 몇 가지는 틀렸다. 고대 그리스에서는 크니도스의 에우독소스 ( Eudoxus ) 가 극한의 개념과 비슷한 문제의 철저 검토법을 사용했고 아르키메데스는 이 방법을 발전시킨 발견적 교수법이라는 적분과 비슷한 방법을 만들었다. 중국에서는 유휘가 3세기에 원의 넓이를 구하기 위해 크니도스
정확히 한 원소, f ( x ) { [UNK] displaystyle f ( x ) } 에 대응되는 규칙을 말한다. 여기서 집합 D { [UNK] displaystyle D } 는 정의역이라하고 E { [UNK] displaystyle E } 는 공역이라고 한다. 또한 정의역에 있는 임의의 수를 나타내는 기호를 독립변수, 공역에 있는 원소를 나타내는 기호를 종속변수라고 한다. 함수의 표현방법 [ 편집 ] 함수를 표현하는 방법에는 말로 설명하는 방법, 표를 이용하는 방법, 그래프를 이용하는 방법, 대수학적 식으로 표현하는 방법 등이 있다. 극한 [ 편집 ] 극한의 정의 [ 편집 ] lim x → a f ( x ) = L { [UNK] displaystyle [UNK] lim - { x [UNK] to a } f ( x ) = L } 는 x { [UNK] displaystyle x } 가 a { [UNK] displaystyle a } 로 다가갈 때 f ( x ) { [UNK] displaystyle f ( x ) } 가 L { [UNK] displaystyle L } 로 다가간다는 것이다. 극한에는 좌극한과 우극한이 존재하는데 좌극한이란 x { [UNK] displaystyle x } 가 a { [UNK] displaystyle a } 보다 작은 곳에서
{ [UNK] displaystyle x - { 0 }, x - { 1 },... x - { n } } 이라하자. [ x i - 1, x i ] { [UNK] displaystyle [ x - { i - 1 }, x - { i } ] } 에 속하도록 표본점 x i [UNK] { [UNK] displaystyle { x - { i } } ^ { * } } 을 잡자. 이 때 lim n → infinity [UNK] k = 1 n f ( x k ) [UNK] x { [UNK] displaystyle [UNK] lim - { n [UNK] to [UNK] infty } [UNK] sum - { k = 1 } ^ { n } f ( x - { k } ) [UNK] Delta x } 가 존재하면, 그 값을 a로부터 b까지의 f의 정적분 [UNK] a b f ( x ) d x { [UNK] displaystyle [UNK] int - { a } ^ { b } f ( x ) dx } 이라고 하고, 함수 f는 구간 [ a, b ] 에서 적분 가능하다고 한다. 이 때 표본점은 각구간의 끝점 또는 중점으로 잡는다. 일반적으로 함수f가 구간 [ a, b ] 에서 유한개의 불연속점을 가지면 f가 구간 [ a, b ] 에서 적분 가능하다. 정적분의 성질 [ 4 ]
미적분학 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 미적분학 위키백과, 우리 모두의 백과사전. ( 미적분에서 넘어옴 ) 둘러보기로 가기 검색하러 가기 이 문서에는 수학 분야의 전문가 참여가 필요합니다. 이 분야를 잘 알고 계신다면 이 문서가 더 좋은 문서가 되도록 문서 수정을 도와주세요. 관련된 위키프로젝트인 위키프로젝트 수학에서 도움을 구하실 수도 있습니다. 관련 문서 둘러보기미적분학 미적분학의 기본정리 함수의 극한 연속 함수 평균값 정리 롤의 정리 미분 정의 미분 일반화 무한소 주요 부분 전미분 개념 미분 표기법 고계 도함수 변수 변환 테일러 정리 법칙과 항등식 합의 법칙 곱의 법칙 몫의 법칙 [UNK] 법칙 연쇄 법칙 역함수의 미분 음함수의 미분 적분 적분표 정의 부정적분 적분 ( 이상적분 ) 리만 적분 르베그 적분 경로적분 적분법 부분적분 디스크 방법 원통셸 방법 치환적분 ( 삼각 치환 ) 부분분수 적분법 적분 순서 재귀식 적분 수열과 급수 기하급수 ( 산술 - 기하 수열 ) 조화급수 교대급수 [UNK] 이항급수 테일러 급수 수렴판정법 일반항 판정법 비판정법 근판정법 적분판정법 비교판정법 극한비교판정법 교대급수판정법 코시 응집판
미적분학(微積分學, calculus)은 수학의 한 분야로 극한, 함수, 미분, 적분, 무한급수를 다루는 학문이다. 미분은 도함수라는 정의역에서 미소한 차이에 대한 함수값의 차이 값의 비를 구한다. 그 값은 곡선의 기울기로 해석한다. 또 넓이, 부피, 길이 등은 곡선으로 제한된다. 여기서 "곡선"은 직선을 의미할 수도 있으므로 주의해야 한다. 또 극한을 구하는 과정을 유도하는 무한 과정 또는 궁극점(일반적으로 구하는 값)에 접근해 가는 것과 관련이 있다. 이 2가지 방법은 수학적 해석학의 토대가 되고 있다. 기하학이 모양에 중심을 둔 학문이고 대수학이 연산에 대한 수학이라면, 미적분학은 변화에 중점을 둔 수학이다. 미적분학은 크게 2개의 분야로 분류되는데, 미분과 적분이 바로 그것이다. 미분은 미소적인 변화를 다루는 분야이고, 적분은 미소적인 양의 집적을 다루는 분야이다. 미분의 기하학적 의미를 보면, 특정 함수 그래프의 어떤 점에서 접선, 혹은 접평면을 구하는데 필요한 연산이다. 더 일반적으로, 미분은 원래는 어렵게 정의된 함수를 선형근사해서 다루기 쉬운 형태로 바꾸어 파악하려는 목적을 가지고 있다. 미분은 선형사상이 된다. 그래서 선형 대수학에서 미분가능한 함수들의 선형공간을 다룰 때 중요한 선형사상으로 여겨진다. (단, 다변수 함수의 미분을 선형사상으로 취급하는 방식은 20세기에 들어서부터 확립됐다.) 미분방정식은 이런 사고의 자연스러운 연장 선상에 있다.적분은 기하학적으로 보면, 곡선 또는 곡면과 좌표축으로 둘러싸인 영역의 면적을 구하는 것에 해당된다.(단, 이때는 절댓값 기호를 씌워서 곡선 또는 곡면을 x축위로 꺾어올렸을때의 상태이다.)(실제 적분의 기하학적인 의미는 y좌표, 즉 길이들의 합이다.) 그러나 적분의 의미는 오랫동안 확실하게 파악되지 못하고 있었다. 적분의 확실한 정의를 내린 사람은 베른하르트 리만이 최초이다. 리만이 생각한 적분을 정식화한 것을 리만 적분이라고 한다. 적분 또한 선형사상이다. 미분과 적분은 완전히 별개의 개념이지만, 밀접한 연관성을 갖는다. 변수가 하나인 경우, 하나가 나머지의 역연산이 된다. 이를 미적분학의 기본정리라고 부른다.