라플라스 연산자 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 라플라스 연산자 위키백과, 우리 모두의 백과사전. 둘러보기로 가기 검색하러 가기 수학에서, 라플라스 연산자 ( Laplace [UNK] [UNK] 子, 영어 : Laplace operator ) 또는 라플라시안 ( 영어 : Laplacian ) 은 2차 미분 연산자의 일종으로, 기울기의 발산이다. [ 1 ] [ 2 ] 기호는 [UNK] ( 그리스 대문자 델타 ) 또는 [UNK]. 목차 1 정의 1. 1 라플라스형 연산자 2 성질 3 예 3. 1 함수의 경우 3. 2 텐서장의 경우 3. 3 유클리드 공간의 경우 3. 4 민코프스키 공간 4 역사 5 응용 6 참고 문헌 7 외부 링크 정의 [ 편집 ] 다음 데이터가 주어졌다고 하자. 준 리만 다양체 ( M, g ) { [UNK] displaystyle ( M, g ) } M { [UNK] displaystyle M } 위의 매끄러운 벡터 다발 E { [UNK] displaystyle E } E { [UNK] displaystyle E } 위의 [UNK] 접속 [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] nabla } 그렇다면, E { [UNK] displaystyle E } 위의 라플라스 연산자는 다음과 같이 E { [UNK] displaystyle E } 의 매끄러운 단면을 매끄러운 단면에 대응시키는
{ [UNK] displaystyle [UNK] nabla } 의 성분 ( 크리스토펠 기호 ) 이다. i, j,... { [UNK] displaystyle i, j, [UNK] ldots } 는 접다발의 첨자이며, a, b,... { [UNK] displaystyle a, b, [UNK] ldots } 는 E { [UNK] displaystyle E } 의 첨자이다. ( 주의 : 물리학에서는 라플라스 연산자가 거의 항상 위와 같이 정의되지만, 수학에서는 가끔 위에 정의된 연산자 x ( - 1 ) ( - 1 ) 을 라플라스 연산자로 정의하는 경우도 있다. ) 이에 따라, 리만 계량 g { [UNK] displaystyle g } 가 2차 성분의 계수를 결정하고, [UNK] 접속 [UNK] i a b { [UNK] displaystyle [UNK] Gamma - { ia } ^ { b } } 가 1차 성분의 계수를 결정함을 알 수 있다. 2차 성분과 1차 성분이 주어지면 0차 성분은 자동적으로 결정된다. 반대로, 매끄러운 다양체의 매끄러운 벡터 다발 위에 라플라스 연산자가 주어지면 이로부터 매끄러운 다양체 위의 리만 계량과 매끄러운 벡터 다발 위의 [UNK] 접속을 읽어낼 수 있다. 위 정의는 대신 기울기 [UNK] : [UNK] inf
마찬가지로, 장 르 롱 달랑베르 역시 라플라스 방정식을 연구하였다. [ 8 ] : Art. IV [ 9 ] : 118 피에르시몽 라플라스는 만유인력의 법칙을 연구하는 도중 라플라스 방정식을 재발견하였으며, [ 10 ] 여기에 등장하는 2차 미분 연산자는 " 라플라스 연산자 " 로 불리게 되었다. 이 밖에도, 달랑베르는 파동 방정식에 등장하는 달랑베르 연산자 ( = 민코프스키 공간 위의 라플라스 연산자 ) 를 도입하였다. [ 9 ] : 117 다양체 위의 라플라스 ( - 벨트라미 ) 연산자는 에우제니오 벨트라미가 고전역학을 일반적인 리만 다양체 위에 정의하기 위하여 도입하였다. [ 11 ] 리크네로비츠 - 오바타 정리의 경우, [UNK] 1 { [UNK] displaystyle [UNK] lambda - { 1 } } 의 하한은 앙드레 리크네로비츠 ( 프랑스어 : André Lichnerowicz ) 가 증명하였고, 이 하한의 포화가 초구에서만 일어난다는 것은 오바타 모리오 ( 일본어 : 小 [UNK] [UNK] 生 ) 가 증명하였다. 응용 [ 편집 ] 라플라스 연산자는 물리학 또는 화학에서 벡터장의 퍼텐셜을 이용해 벡터장의 특성을 나타낼 때
↑ Beltrami, Eugenio ( 1902 ). 〈 Richerche di analisi applicata alla geometria 〉. 《 Opere matematiche di Eugenio Beltrami. Pubblicate per cura della Facolta di scienze della R. Universita di Roma 》 ( 이탈리아어 ). 밀라노 : U. Hoepli. 107 - 198쪽. JFM 33. 0034. 02. 외부 링크 [ 편집 ] 수학 포털 " Laplace operator ". 《 Encyclopedia of Mathematics 》 ( 영어 ). Springer - Verlag. 2001. ISBN 978 - 1 - 55608 - 010 - 4. " Laplace - Beltrami equation ". 《 Encyclopedia of Mathematics 》 ( 영어 ). Springer - Verlag. 2001. ISBN 978 - 1 - 55608 - 010 - 4. Weisstein, Eric Wolfgang. " Laplacian ". 《 Wolfram MathWorld 》 ( 영어 ). Wolfram Research. Weisstein, Eric Wolfgang. " Vector La
↑ Berline, N. ; Getzler, E. ; Vergne, M. ( 1992 ). 《 Heat kernels and Dirac operators 》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften ( 영어 ) 298. Springer - Verlag. ↑ Vassilevich, D. V. ( 2003 ). " Heat kernel expansion : user's manual ". 《 Physics Reports 》 ( 영어 ) 388 : 279 - 360. Bibcode : 2003PhR... 388.. 279V. arXiv : hep - th / 0306138. doi : 10. 1016 / j. physrep. 2003. 09. 002. ↑ Gilkey, P. 〈 The spectral geometry of operators of Dirac and Laplace type 〉 ( PDF ). Krupka, Demeter ; Saunders, David. 《 Handbook of global analysis 》 ( 영어 ). 289 - 326쪽. ISBN 978 - 0 - 444 - 52833 - 9. doi : 10. 1016 / B978 - 044452833 - 9. 50006
tyle E } 위의 라플라스 연산자는 다음과 같이 E { [UNK] displaystyle E } 의 매끄러운 단면을 매끄러운 단면에 대응시키는 2차 미분 연산자이다. [UNK] : [UNK] infinity ( E ) → [UNK] infinity ( E ) { [UNK] displaystyle [UNK] Delta [UNK] colon [UNK] Gamma ^ { [UNK] infty } ( E ) [UNK] to [UNK] Gamma ^ { [UNK] infty } ( E ) } 이는 국소 좌표계에서 다음과 같다. [UNK] s c = g i j [UNK] i [UNK] j s = g i j ( [UNK] j [UNK] b c [UNK] i b c ) ( [UNK] a b [UNK] i s [UNK] i a b s a ) = g i j [UNK] i [UNK] j s c 2 g i j [UNK] i a c [UNK] j s a g i j ( [UNK] i b c [UNK] j a b [UNK] i b c [UNK] j a b ) s a [UNK] s [UNK] [UNK] infinity ( E ) { [UNK] displaystyle [UNK] Delta s ^ { c } = g ^ { ij } [UNK] nabla - { i } [UNK] nabla - { j } s = g ^ { ij } ( [UNK] partial - { j } [UNK] delta - { b } ^ { c } [UNK] Gamma - { ib } ^ { c } )
방정식푸리에 해석학피에르시몽 라플라스숨은 분류 : CS1 - 영어 인용 ( en ) CS1 - 라틴어 인용 ( la ) CS1 - 프랑스어 인용 ( fr ) CS1 - 이탈리아어 인용 ( it ) 영어 표기를 포함한 문서프랑스어 표기를 포함한 문서일본어 표기를 포함한 문서 둘러보기 메뉴 개인 도구 로그인하지 않음토론기여계정 만들기로그인 이름공간 문서토론 변수 보기 읽기편집역사 보기 더 보기 검색 둘러보기 대문사용자 모임요즘 화제최근 [UNK] 문서 보기임의 문서로도움말기부 도구 여기를 가리키는 문서가리키는 글의 최근 [UNK] 올리기특수 문서 목록고유 링크문서 정보위키데이터 항목이 문서 인용하기 인쇄 / 내보내기 책 만들기PDF로 다운로드인쇄용 판 다른 언어 [UNK] 日 本 語 [UNK] [UNK] / [UNK] [UNK] / [UNK] [UNK] 中 文 링크 편집 이 문서는 2018년 9월 29일 ( 토 ) 18 : 22에 마지막으로 편집되었습니다. 모든 문서는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시 - 동일조건변경허락 3. 0에 따라 사용할 수 있으며, 추가적인 조건이 적용될 수 있습니다. 자세한 내용은 이용 약관을 참고하십시오. [UNK] 미국 및 다른 국가에 등록되어 있는 Wikimedia Foundation, Inc.
매끄러운 다양체 위의 리만 계량과 매끄러운 벡터 다발 위의 [UNK] 접속을 읽어낼 수 있다. 위 정의는 대신 기울기 [UNK] : [UNK] infinity ( E ) → [UNK] infinity ( E [UNK] T [UNK] M ) { [UNK] displaystyle [UNK] nabla [UNK] colon [UNK] Gamma ^ { [UNK] infty } ( E ) [UNK] to [UNK] Gamma ^ { [UNK] infty } ( E [UNK] otimes [UNK] mathrm { T } ^ { * } M ) } 와 음악 동형 ( - ) # : [UNK] infinity ( E [UNK] T [UNK] M ) → [UNK] infinity ( E [UNK] T M ) { [UNK] displaystyle ( - ) ^ { [UNK] # } [UNK] colon [UNK] Gamma ^ { [UNK] infty } ( E [UNK] otimes [UNK] mathrm { T } ^ { * } M ) [UNK] to [UNK] Gamma ^ { [UNK] infty } ( E [UNK] otimes [UNK] mathrm { T } M ) } 과 발산 div : [UNK] infinity ( E [UNK] T M ) → [UNK] infinity ( E ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { div } [UNK] colon [UNK] Gamma ^ { [UNK] infty } ( E [UNK] otimes [UNK] mathrm { T } M
atorname { div } [UNK] colon [UNK] Gamma ^ { [UNK] infty } ( E [UNK] otimes [UNK] mathrm { T } M ) [UNK] to [UNK] Gamma ^ { [UNK] infty } ( E ) } 의 합성으로 여길 수 있다. [UNK] = div [UNK] ( - ) # [UNK] [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] Delta = [UNK] operatorname { div } [UNK] circ ( - ) ^ { [UNK] # } [UNK] circ [UNK] nabla } 라플라스형 연산자 [ 편집 ] 보다 일반적으로, 위와 같은 형태의 2차 미분 연산자에 임의의 0차 항을 추가하여 라플라스형 연산자 ( Laplace 形 [UNK] [UNK] 子, 영어 : Laplace - type operator ) 또는 일반화 라플라스 연산자 ( 一 [UNK] 化 Laplace [UNK] [UNK] 子, 영어 : generalized Laplace operator ) 의 개념을 정의할 수 있다. [ 3 ] : 65 - 67, [UNK] 2. 1 [ 4 ] : [UNK] 2. 1 [ 5 ] : 290, [UNK] 2 구체적으로, 라플라스형 연산자 H { [UNK] displaystyle H } 는 다음과 같은 꼴의 2차 미분 연산자이다. H = [UNK] T ( T [UNK] [UNK] infinity ( E [UNK] E [UNK] ) (
r 2 sin 2 theta 1 d theta 2 1 r 2 sin 2 theta 1 sin 2 theta 2 d theta 3 2 [UNK] r 2 sin 2 theta 1 [UNK] sin 2 theta n - 2 d theta n - 1 2 { [UNK] displaystyle [UNK] mathrm { d } s ^ { 2 } = [UNK] mathrm { d } r ^ { 2 } r ^ { 2 } [UNK] mathrm { d } [UNK] theta - { 1 } ^ { 2 } r ^ { 2 } [UNK] sin ^ { 2 } [UNK] theta - { 1 } [UNK] mathrm { d } [UNK] theta - { 2 } ^ { 1 } r ^ { 2 } [UNK] sin ^ { 2 } [UNK] theta - { 1 } [UNK] sin ^ { 2 } [UNK] theta - { 2 } [UNK] mathrm { d } [UNK] theta - { 3 } ^ { 2 } [UNK] cdots r ^ { 2 } [UNK] sin ^ { 2 } [UNK] theta - { 1 } [UNK] cdots [UNK] sin ^ { 2 } [UNK] theta - { n - 2 } [UNK] mathrm { d } [UNK] theta - { n - 1 } ^ { 2 } } 이다. 따라서 리만 계량의 행렬식의
수학에서 라플라스 연산자(Laplace演算子, 영어: Laplace operator) 또는 라플라시안(영어: Laplacian)은 2차 미분 연산자의 일종으로, 기울기의 발산이다. 기호는 Δ(그리스 대문자 델타) 또는 ∇2이다.