오차 방정식 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 오차 방정식 위키백과, 우리 모두의 백과사전. 둘러보기로 가기 검색하러 가기 네 개의 임계점을 가지는 5차함수의 그래프 5차 방정식 ( Quintic equation ) 이란, 최고차항의 차수가 5인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 모양은 a x 5 b x 4 c x 3 d x 2 e x f = 0, a [UNK] 0 { [UNK] displaystyle ax ^ { 5 } bx ^ { 4 } cx ^ { 3 } dx ^ { 2 } exf = 0, [UNK] ; a [UNK] neq 0 } 와 같다. 여기에서 a, b, c, d, e { [UNK] displaystyle a, b, c, d, e } 는 각각 x 5, x 4, x 3, x 2, x { [UNK] displaystyle x ^ { 5 }, x ^ { 4 }, x ^ { 3 }, x ^ { 2 }, x } 의 계수라고 한다. 또한 f { [UNK] displaystyle f } 는 상수항이라고 부른다. 그리고 차수가 홀수인 경우를 기수차라고 하고 짝수인 경우를 우수차라고 하기 때문에, 5차방정식은 기수차 방정식이다. 또한 차수가 소수인 방정식을 기약 방정식이라고 한다. 목차
ot 2 [UNK] cdot 1 } [UNK] over { 5! [UNK] cdot 0! } } = { { 5 [UNK] cdot 4 [UNK] cdot 3 [UNK] cdot 2 [UNK] cdot 1 } [UNK] over { 5 [UNK] cdot 4 [UNK] cdot 3 [UNK] cdot 2 [UNK] cdot 1 } } = { 120 [UNK] over 120 } = 1 } 이다. 차고차항 압축 정리 ( 취른하우스 변형 ) [ 편집 ] a x 5 b x 4 c x 3 d x 2 e x f = 0 { [UNK] displaystyle ax ^ { 5 } bx ^ { 4 } cx ^ { 3 } dx ^ { 2 } exf = 0 } 다항 방정식에서 양변의 각 항들을 해당 방정식의 최고차항 ( n { [UNK] displaystyle n } 차항 ) 의 x { [UNK] displaystyle x } 의 계수, a { [UNK] displaystyle a } 로 나눈 다음 x = y - b n a { [UNK] displaystyle [UNK] textstyle x = y - { b [UNK] over [UNK] mathbf { n } a } } 의 형태로 치환하면 차고차항 ( 최고차항의 바로 아랫차항 ) 을 생략시킬 수 있다. 이러한 절차로 정리하는 것을 차고차항 압축 정리 ( zipping ) 이라 칭한다
undamental theorem of algebra ) 에 의해 복소수 범위에서 5차방정식의 해는 항상 존재한다. 다만, 그 해를 유한번의 사칙연산과 거듭제곱근으로 표현을 할 수 없다는 것이다. 이는 마치 자연수를 유한번 이용하여 원주율을 표현할 수 없는 것과 유사하다. 실제적인 문제에서 정확한 해석적 해는 종종 필요없을 때가 있다. 수치적인 근사치로 충분한 경우가 많으며 이를 위해 뉴턴의 방법, Laguerre의 방법, Jenkins - Traub 알고리즘 등 다양한 기법이 알려져 있다. 근과 계수와의 관계 [ 편집 ] 근과 계수의 관계 문서를 참고하십시오. 오차방정식 a x 5 b x 4 c x 3 d x 2 e x f = 0 { [UNK] displaystyle [UNK] textstyle ax ^ { 5 } bx ^ { 4 } cx ^ { 3 } dx ^ { 2 } exf = 0 } 의 다섯 근을 alpha, beta, [UNK], [UNK], [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] textstyle [UNK] alpha, [UNK] beta, [UNK] gamma, [UNK] delta, [UNK] epsilon } 라고 하면, 다항 방정식에서 근과 계수와는 다음의 관계가 성립한다. (
형태로 치환하면 차고차항 ( 최고차항의 바로 아랫차항 ) 을 생략시킬 수 있다. 이러한 절차로 정리하는 것을 차고차항 압축 정리 ( zipping ) 이라 칭한다. 이 과정을 5차방정식에 적용시키면 다음과 같이 된다. 먼저, 최고차항의 계수로 양변을 나눈다. x 5 b a x 4 c a x 3 d a x 2 e a x f a = 0 { [UNK] displaystyle x ^ { 5 } { b [UNK] over a } x ^ { 4 } { c [UNK] over a } x ^ { 3 } { d [UNK] over a } x ^ { 2 } { e [UNK] over a } x { f [UNK] over a } = 0 } 그리고 y로 치환한다. x = y - b 5 a { [UNK] displaystyle x = y - { b [UNK] over [UNK] mathbf { 5 } a } } 그러면, 방정식은 y 5 p y 3 q y 2 r y s = 0 { [UNK] displaystyle y ^ { 5 } py ^ { 3 } qy ^ { 2 } rys = 0 } 의 꼴로 정리된다. 여기서 p, q, r, s { [UNK] displaystyle p, q, r, s } 는 다음과 같다. p = - 2 b 2 5 a c 5 a 2 {
수가 홀수인 경우를 기수차라고 하고 짝수인 경우를 우수차라고 하기 때문에, 5차방정식은 기수차 방정식이다. 또한 차수가 소수인 방정식을 기약 방정식이라고 한다. 목차 1 5차방정식의 근 2 근과 계수와의 관계 3 차고차항 압축 정리 ( 취른하우스 변형 ) 4 일반적인 해법이 있는 특수 5차 방정식들 5 5차방정식의 판별식 6 같이 보기 7 각주 5차방정식의 근 [ 편집 ] 갈루아와 아벨은 기하적인 면을 배제하고 계수만 가지고 표현할 수 없다는 것을 증명했다. 반면에 일차, 이차, 삼차, 사차 방정식은 그러한 과정이 가능하다. 이 결과는 아벨 - 루피니 정리 ( Abel - Ruffini theorem ) 로 알려져 있으며 1924년에 최초로 출판되었다. [ 1 ] 종종 일반인들은 이 결과가'5차 방정식을 항상 풀 수 없다'또는'5차 방정식은 해가 없다'로 오해하여 받아들이는데, 이는 잘못된 것이다. 대수학의 기본 정리 ( fundamental theorem of algebra ) 에 의해 복소수 범위에서 5차방정식의 해는 항상 존재한다. 다만, 그 해를 유한번의 사칙연산과 거듭제곱근으로 표현
3a - { 3 } & 2a - { 2 } & 1a - { 1 } & 0 [UNK] [UNK] 0 & 0a - { 0 } & 0 & 0 & 5a - { 5 } & 4a - { 4 } & 3a - { 3 } & 2a - { 2 } & 1a - { 1 } [UNK] [UNK] [UNK] end { bmatrix } } } D = ( - 1 ) n ( n - 1 ) 2 a n - 1 M { [UNK] displaystyle D = ( - 1 ) ^ { n ( n - 1 ) [UNK] over 2 } a - { n } ^ { - 1 } M } D = ( - 1 ) 5 ( 5 - 1 ) 2 a 5 - 1 M { [UNK] displaystyle D = ( - 1 ) ^ { 5 ( 5 - 1 ) [UNK] over 2 } a - { 5 } ^ { - 1 } M } D = ( - 1 ) 20 2 a 5 - 1 M { [UNK] displaystyle D = ( - 1 ) ^ { 20 [UNK] over 2 } a - { 5 } ^ { - 1 } M } D = ( - 1 ) 10 a 5 - 1 M { [UNK] displaystyle D = ( - 1 ) ^ { 10 } a - { 5 } ^ { - 1 } M } 같이 보기 [ 편집 ] 일차 방정식 이차 방정식 삼차 방정식 사차 방정식 육차
라플라스 전개로 5차방정식의 판별식 유도가 가능하다. a x 5 b x 4 c x 3 d x 2 e x f = 0 { [UNK] displaystyle ax ^ { 5 } bx ^ { 4 } cx ^ { 3 } dx ^ { 2 } exf = 0 } 을 a 5 x 5 a 4 x 4 a 3 x 3 a 2 x 2 a 1 x 1 a 0 = 0 { [UNK] displaystyle a - { 5 } x ^ { 5 } a - { 4 } x ^ { 4 } a - { 3 } x ^ { 3 } a - { 2 } x ^ { 2 } a - { 1 } x ^ { 1 } a - { 0 } = 0 } 으로 계수를 예약했을때, 실베스터 행렬 M = ( 2 n - 1 ) [UNK] ( 2 n - 1 ) { [UNK] displaystyle M = ( 2n - 1 ) [UNK] cdot ( 2n - 1 ) } M = [ a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 0 0 0 0 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 0 0 0 0 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 0 0 0 0 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 5 a 5 4 a 4 3 a 3 2 a 2 1 a 1 0 a 0 0 0 0 0
amma [UNK] epsilon [UNK] gamma [UNK] delta [UNK] epsilon = - { d [UNK] over a } } alpha beta [UNK] [UNK] alpha beta [UNK] [UNK] alpha beta [UNK] [UNK] alpha [UNK] [UNK] [UNK] beta [UNK] [UNK] [UNK] = e a { [UNK] displaystyle [UNK] alpha [UNK] beta [UNK] gamma [UNK] delta [UNK] alpha [UNK] beta [UNK] gamma [UNK] epsilon [UNK] alpha [UNK] beta [UNK] delta [UNK] epsilon [UNK] alpha [UNK] gamma [UNK] delta [UNK] epsilon [UNK] beta [UNK] gamma [UNK] delta [UNK] epsilon = { e [UNK] over a } } alpha beta [UNK] [UNK] [UNK] = - f a { [UNK] displaystyle [UNK] alpha [UNK] beta [UNK] gamma [UNK] delta [UNK] epsilon = - { f [UNK] over a } } 의 관계가 있다. 특히 각 항 ( x 5, x 4, x 3, x 2, x, f { [UNK] displaystyle x ^ { 5 }, x ^ { 4 }, x ^ { 3 }, x ^ { 2 }, x, f } ) 에 따른 계수의 출현에 대한 조합개수는 조합의 경우의 수로 따져 볼수있다. 5차방정식에 존재하는 5
a 5 { [UNK] displaystyle s = { { 625a ^ { 3 } be4b ^ { 5 } - 25ab ^ { 3 } c125a ^ { 2 } b ^ { 2 } d3125a ^ { 5 } f } [UNK] over { 3125a ^ { 5 } } } } 일반적인 해법이 있는 특수 5차 방정식들 [ 편집 ] 상반방정식 5차 방정식은 차수가 홀수 ( 기수 ) 이므로 우선, 조립제법이나 다항식의 [UNK] 정리로 ( x [UNK] a ) { [UNK] displaystyle ( x [UNK] pm a ) } 의 꼴과 4차 방정식으로 찻수를 낮추어 푼다. 예 ) : a x 5 b x 4 c x 3 c x 2 b x a = 0 { [UNK] displaystyle ax ^ { 5 } bx ^ { 4 } cx ^ { 3 } cx ^ { 2 } bxa = 0 } 이 식은 먼저 하나의 해는 무조건 - 1 { [UNK] displaystyle - 1 } 임을 알아야 한다. - 1 { [UNK] displaystyle - 1 } 이 나올 수 있는 인수는 ( x 1 ) { [UNK] displaystyle ( x1 ) } 이므로 조립제법을 통해 남는 인수를 알아낸다. 조립제법을 이용하면 방정식은 a x 4 ( - a b ) x
는 인수는 ( x 1 ) { [UNK] displaystyle ( x1 ) } 이므로 조립제법을 통해 남는 인수를 알아낸다. 조립제법을 이용하면 방정식은 a x 4 ( - a b ) x 3 ( a - b c ) x 2 ( - a b ) x a = 0 { [UNK] displaystyle ax ^ { 4 } ( - ab ) x ^ { 3 } ( a - bc ) x ^ { 2 } ( - ab ) xa = 0 } 가 되고 이 방정식은 짝수차 상반방정식이므로 짝수차의 해법을 이용하여 푼다. 이항방정식 x 5 [UNK] a = 0 { [UNK] displaystyle x ^ { 5 } [UNK] pm a = 0 } 의 꼴은 이항방정식으로 a { [UNK] displaystyle a } 와 근의 계수 [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] omega } 를 찾아 5개의 근을 구할수있다. 5차방정식의 판별식 [ 편집 ] 5차 방정식의 판별식은 59개항으로 이루어져 있다. 실베스터 행렬의 종결식을 사용한 소행렬식의 라플라스 전개로 5차방정식의 판별식 유도가 가능하다. a x 5 b x 4 c x 3 d x 2 e x f = 0 { [UNK] displaystyle ax ^ { 5 } bx
오차 방정식(Quintic equation)이란, 최고차항의 차수가 5인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 형태는 a x 5 b x 4 c x 3 d x 2 e x f = 0 , a ≠ 0 {\displaystyle ax^{5}bx^{4}cx^{3}dx^{2}exf=0,\;a\neq 0} 와 같다. 여기에서 a , b , c , d , e {\displaystyle a,b,c,d,e} 는 각각 x 5 , x 4 , x 3 , x 2 , x {\displaystyle x^{5},x^{4},x^{3},x^{2},x} 의 계수라고 한다. 또한 f {\displaystyle f} 는 상수항이라고 부른다. 그리고 차수가 홀수인 경우를 기수차라고 하고 짝수인 경우를 우수차라고 하기 때문에, 오차방정식은 기수차 방정식이다. 또한 차수가 소수인 방정식을 기약 방정식이라고 한다.