위튼 지표 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 위튼 지표 위키백과, 우리 모두의 백과사전. 둘러보기로 가기 검색하러 가기 초대칭초대칭을 통한 계층 문제의 해결 기본 개념 초공간초장초대칭 대수초등각 대수 초대칭 이론 베스 - 추미노 모형 초대칭 양자전기역학 초대칭 게이지 이론 최소 초대칭 표준 모형 차등 최소 초대칭 표준 모형 초대칭 대통일 이론 초중력 갈린 초대칭 초끈 이론 초대칭 파괴 최소 초중력 페예 - 일리오풀로스 모형 오라퍼티 모형 불가능성 정리 콜먼 - 맨듈라 정리하크 - [UNK] - 조니우스 정리 수학적 구조 초다양체리 초군과 리 초대수초행렬켈러 다양체 v. d. e. h 이론물리학에서, 위튼 지표 ( Witten [UNK] [UNK], 영어 : Witten index ) 또는 초대칭 지표 ( [UNK] 對 [UNK] [UNK] [UNK], 영어 : supersymmetric index ) 는 초대칭 양자역학에서 보손 및 페르미온 에너지 준위의 수의 차이다. [ 1 ] [ 2 ] 위튼 지표가 0이 아니라는 것은 초대칭이 자발적으로 깨지지 않았다는 것을 보여준다. 목차 1 개요 2 정의 2. 1 해밀토니언의 변화 2. 2 초대칭의 자발 대칭 깨짐 3 두 개의 초전하에서의 위튼 지표
↑ Witten, Edward ( 1982 ). " Supersymmetry and Morse theory ". 《 Journal of Differential Geometry 》 ( 영어 ) 17 ( 4 ) : 661 - 692. MR 683171. Zbl 0499. 53056. ↑ 가 나 Witten, Edward ( 1998년 2월 ). " Toroidal compactification without vector structure ". 《 Journal of High Energy Physics 》 ( 영어 ) 1998 ( 2 ) : 6. Bibcode : 1998JHEP... 02.. 006W. arXiv : hep - th / 9712028. doi : 10. 1088 / 1126 - 6708 / 1998 / 02 / 006. ↑ 가 나 다 Kac, V. G. ; A. V. Smilga. " Vacuum structure in supersymmetric Yang - Mills theories with any gauge group " ( 영어 ). Bibcode : 1999hep. th.... 2029K. arXiv : hep - th / 9902029. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 ( 도움말 ) ↑ 가 나 Witten, Edward ( 2001 ). "
따라서, 위튼 지표에는 에너지가 0인 상태들만 기여한다. 다시 말해 초대칭이 자발적으로 깨졌는지를 알려주는 상태들만이 기여한다는 것이다. 위튼 지표는 이론의 파라메터 ( 결합 세기 등 ) 에 의존하지 않는 위상적인 양이므로, 섭동 계산을 할 수 없는 경우에도, 초대칭이 깨졌는지 여부를 확인할 때 사용할 수 있다. 가령, 결합 세기가 약해서 섭동이 가능한 상태에서 위튼 지표를 계산한 뒤 초대칭 깨짐 여부를 확인한다면, 그 결과는 섭동이 불가능한 큰 결합 세기에도 적용할 수 있다. 이에 대한 좋은 예로, 초대칭 순수 양 - 밀즈 이론은 위튼 지표가 0이 아니므로 아무리 강한 결합이 있더라도 초대칭이 깨지지 않을 것을 알 수 있다. 이 이론은 점근 자유성이 있어, 큰 크기 ( 낮은 에너지 ) 에서 게이지 결합이 강해지고 게이지노가 응축하여 초대칭을 [UNK] 가능성이 있으나, 이런 일이 일어나지 않는다는 것이다. 정의 [ 편집 ] 초대칭 양자역학 모형이 해밀토니언 H { [UNK] displaystyle H } 를 가진다고 하자. 이 경우, 다음과 같은 초대칭 대수가 존재한다. Q 2 = H { [UNK] displaystyle Q ^ {
ame { ind } ( Q ) = [UNK] operatorname { tr } [UNK] left ( ( - 1 ) ( - 1 ) ^ { F } [UNK] exp ( - [UNK] beta H ) [UNK] right ) } 여기서 beta { [UNK] displaystyle [UNK] beta } 는 임의의 상수로, 표현의 수렴을 위하여 삽입한 것이다. 대략 온도로 생각할 수 있다. 위튼 지표는 바른틀 앙상블의 분배 함수 Z ( beta ) = tr exp ( - beta H ) { [UNK] displaystyle Z ( [UNK] beta ) = [UNK] operatorname { tr } [UNK] exp ( - [UNK] beta H ) } 와 유사하나, ( - 1 ) F { [UNK] displaystyle ( - 1 ) ^ { F } } 가 삽입된 것이 다르다. 즉, 위튼 지표는 일종의 뒤틀린 ( twisted ) 분배 함수로 생각할 수 있다. 위튼 지표는 " 온도 " 1 / beta { [UNK] displaystyle 1 / [UNK] beta } 에 무관하며, 편의상 beta = 0 { [UNK] displaystyle [UNK] beta = 0 } 으로 놓을 수 있다. 이는 에너지가 0보다 큰 상태들의 경우 보손과 페르미온이 같은 수로 나타나므로, 위튼 지표는 오직 에너지가 0인 상태들만을 세기 때문이다
않는다. 이 경우 초대칭 바닥 상태 ( 에너지가 0인 바닥 상태 ) 가 존재하나, 보손 초대칭 바닥 상태와 페르미온 초대칭 바닥 상태의 수가 같다. 위튼 지표가 0이고, 초대칭이 깨진다. 이 경우 초대칭 바닥 상태가 존재하지 않는다. 두 개의 초전하에서의 위튼 지표 [ 편집 ] 위튼 지표는 적어도 하나의 초전하가 주어지면 정의될 수 있지만, 두 개 이상의 초전하가 주어진다면 더 다양한 값들을 정의할 수 있다. 힐베르트 공간 H { [UNK] displaystyle { [UNK] mathcal { H } } } 위에 해밀토니언 연산자 H { [UNK] displaystyle H }, 두 개의 초대칭 연산자 Q 1 { [UNK] displaystyle Q - { 1 } } 과 Q 2 { [UNK] displaystyle Q - { 2 } }, 페르미온 수 연산자 ( - 1 ) F { [UNK] displaystyle ( - 1 ) ^ { F } } 가 주어졌다고 하자. 이들은 다음과 같은 대수를 만족시킨다. { Q i, Q j } = 2 H [UNK] i j { [UNK] displaystyle [UNK] { Q - { i }, Q - { j } [UNK] } = 2H [UNK] delta - { ij } } { Q i, ( - 1 )
튼 지표는 초대칭 코호몰로지의 오일러 지표로 이해할 수 있다. [ 3 ] : 182 - 197 이 경우 Q 2 = 0 { [UNK] displaystyle Q ^ { 2 } = 0 } 이므로 다음과 같은 공사슬 복합체를 정의할 수 있다. H - → Q H → Q H - { [UNK] displaystyle { [UNK] mathcal { H } } - { - } { [UNK] xrightarrow { Q } } { [UNK] mathcal { H } } - { } { [UNK] xrightarrow { Q } } { [UNK] mathcal { H } } - { - } } 따라서, 이 공사슬 복합체의 코호몰로지 H [UNK] = ker Q | H [UNK] → H [UNK] im Q | H [UNK] → H [UNK] { [UNK] displaystyle H - { [UNK] pm } = { [UNK] frac { [UNK] ker Q | - { { [UNK] mathcal { H } } - { [UNK] pm } [UNK] to { [UNK] mathcal { H } } - { [UNK] mp } } } { [UNK] operatorname { im } Q | - { { [UNK] mathcal { H } } - { [UNK] mp } [UNK] to { [UNK] mathcal { H } } - { [UNK] pm } } } } } 를 정의할 수 있다. 여기서 H [UNK] { [UNK] dis
si [UNK] rangle = [UNK] langle Q [UNK] psi | Q [UNK] psi [UNK] rangle [UNK] langle Q ^ { [UNK] dagger } [UNK] psi | Q ^ { [UNK] dagger } [UNK] psi [UNK] rangle } 따라서 Q | [UNK] [UNK] = Q [UNK] | [UNK] [UNK] = 0 { [UNK] displaystyle Q | [UNK] psi [UNK] rangle = Q ^ { [UNK] dagger } | [UNK] psi [UNK] rangle = 0 } 이다. 즉, 바닥 상태의 에너지가 0이라면 초대칭이 깨지지 않는다. 만약 위튼 지표가 0이 아니라면, 에너지가 0인 상태가 적어도 하나는 존재한다. 따라서 바닥 상태의 에너지는 0이며, 초대칭이 자발 대칭 깨짐을 겪지 않는다. ( 반면, 위튼 지표가 0이더라도 에너지가 0인 상태가 존재하여, 초대칭이 깨지지 않을 수 있다. ) 즉, 다음과 같은 가능성들이 존재한다. 위튼 지표가 0이 아니다. 이 경우 초대칭은 깨지지 않는다. 위튼 지표가 0이며, 이에 불구하고 초대칭은 깨지지 않는다. 이 경우 초대칭 바닥 상태 ( 에너지가 0인 바닥 상태 ) 가 존재하나, 보손 초대칭 바닥 상태와 페르미온 초대칭 바닥 상태의 수
몰로지 H Q ∙ { [UNK] displaystyle H - { Q } ^ { [UNK] bullet } } 는 드람 코호몰로지 H dR ∙ { [UNK] displaystyle H - { [UNK] text { dR } } ^ { [UNK] bullet } } 와 일치한다. dim H Q n = dim H dR n { [UNK] displaystyle [UNK] dim H - { Q } ^ { n } = [UNK] dim H - { [UNK] text { dR } } ^ { n } } 위튼 지표는 초대칭 코호몰로지의 오일러 지표이므로, 이는 다양체 M { [UNK] displaystyle M } 의 오일러 지표 [UNK] ( M ) { [UNK] displaystyle [UNK] chi ( M ) } 이다. ind ( Q ) = [UNK] ( M ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { ind } ( Q ) = [UNK] chi ( M ) } 4차원 초대칭 게이지 이론 [ 편집 ] 가환 초대칭 게이지 이론 [ 편집 ] 원환면 T 3 { [UNK] displaystyle T ^ { 3 } } 에 정의한 U ( 1 ) 초대칭 게이지 이론의 경우, 위튼 지표는 0이다. [ 1 ] : [UNK] 6 그러나 이 경우 전하 [UNK] 대칭 연산자 C { [UNK] displaystyle C } 를 삽입한 지표는 4
2H ( [UNK] lambda ) = [UNK] { Q ( [UNK] lambda ), Q ( [UNK] lambda ) ^ { [UNK] dagger } [UNK] } } 이와 같은 경우, 에너지가 0이었던 상태들 가운데 일부가 에너지가 0보다 더 커지거나, 아니면 그 반대가 일어날 수 있다. 그러나 이러한 경우 에너지가 > 0인 상태들의 수는 항상 짝수이므로, 위튼 지표는 2의 배수로 바뀌게 된다. 즉, 위튼 지표가 짝수 또는 홀수인지의 여부는 해밀토니언을 연속적으로 변화시켜도 바뀌지 않는다. 초대칭의 자발 대칭 깨짐 [ 편집 ] 초대칭이 자발 대칭 깨짐을 겪는다는 것은 바닥 상태가 초대칭에 대하여 불변이지 않다는 것을 말한다. 만약 바닥 상태 | [UNK] [UNK] { [UNK] displaystyle | [UNK] psi [UNK] rangle } 의 에너지가 0이라고 하자. 0 = [UNK] [UNK] | 2 H | [UNK] [UNK] = [UNK] Q [UNK] | Q [UNK] [UNK] [UNK] Q [UNK] [UNK] | Q [UNK] [UNK] [UNK] { [UNK] displaystyle 0 = [UNK] langle [UNK] psi | 2H | [UNK] psi [UNK] rangle = [UNK] langle Q [UNK] psi | Q [UNK] psi [UNK] rangle [UNK] langle Q ^ { [UNK] dag
( NS ) 경계 조건을 가하거나, ( - 1 ) F { [UNK] displaystyle ( - 1 ) ^ { F } } 를 삽입하지 않는 다른 일반적인 분배 함수는 [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] tau } 에 의존하게 된다. ) 또한, 이론이 맛깔 대칭을 가지는 경우, 이들도 마찬가지로 경로 적분에 삽입할 수 있다. 역사 [ 편집 ] 에드워드 위튼이 초대칭 깨짐을 분석하기 위해 도입하였다. [ 1 ] 예 [ 편집 ] 위튼 지표는 유한 에너지 상태들에 의존하지 않으므로, 에너지가 0인 상태들만 고려하면 된다. 일반적으로 무한히 큰 공간에서는 해밀토니언이 연속적 스펙트럼을 가지므로, 이론을 유한한 크기의 공간 ( 원환면 T d { [UNK] displaystyle T ^ { d } } 등 ) 에 놓아 계산한다. 이 때, 공간의 경계 조건 및 공간에 존재하는 자기 선속 따위에 따라 위튼 지표가 달라질 수 있다. [ 1 ] 위튼 지표를 계산할 때 흔히 보른 - 오펜하이머 근사법 ( 영어 : Born - Oppenheimer approxmation ) 을 사용한다. [ 1 ] 이 근사법에서는 고전적으로 에너지가 0인 상태만을 양자화한다. 즉, 게이지 이론에서는 순수 게이지 상태 ( 장세기가
이론물리학에서 위튼 지표(Witten指標, 영어: Witten index) 또는 초대칭 지표(超對稱指標, 영어: supersymmetric index)는 초대칭 양자역학에서 보손 및 페르미온 에너지 준위의 수의 차이다. 위튼 지표가 0이 아니라는 것은 초대칭이 자발적으로 깨지지 않았다는 것을 보여준다.