반군 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 반군 위키백과, 우리 모두의 백과사전. 둘러보기로 가기 검색하러 가기 이 문서는 대수 구조에 관한 것입니다. 반란을 일으킨 군대인 반군 ( [UNK] 軍 ) 에 대해서는 반란 문서를 참조하십시오. 대수 구조 군 관련 범주 · 마그마 · 반군 · 모노이드 · 준군 · 아벨 군 · 위상군 · 리 군 환 관련 유사환 · 가환환 · 정역 · 데데킨트 정역 · 유일 인수 분해 정역 · 주 아이디얼 정역 · 유클리드 정역 · 위상환 체 관련 [UNK] · 체 · 순서체 · 대수적 수체 가군 관련 아벨 군 · 자유 가군 · 사영 가군 · 평탄 가군 · 벡터 공간 대수 관련 등급환 · 교대 대수 · 결합 대수 · 리 대수 · 요르단 대수 · 호프 대수 · 양자군 격자 관련 반격자 · 모듈러 격자 · 분배 격자 · 완비 격자 · 헤이팅 대수 · 불 대수 v. d. e. h 추상대수학에서, 반군 ( [UNK] [UNK], 영어 : semigroup ) 은 결합 법칙을 따르는 하나의 이항 연산이 부여된 대수 구조이다. 목차 1 정의 1. 1 반군 준동형 1. 2 부분 반군 1. 3 특별한 원소 1. 3. 1 영원 1. 3. 2 항등원 1. 3. 3 [UNK] 1. 3. 4 정칙원
igroup, 영어 : band 밴드 [ * ] ) 은 모든 원소가 [UNK] 반군이다. 가환 반군 ( 영어 : commutative semigroup ) 은 이항 연산이 교환 법칙을 따르는 반군이다. [UNK] 가환 반군을 반격자 ( 영어 : semilattice ) 라고 하기도 한다. 모노이드 ( 영어 : monoid ) 는 항등원을 갖는 반군이다. 왼쪽 소거 반군 ( 영어 : left - cancellative semigroup ) 은 만약 a b = a c { [UNK] displaystyle ab = ac } 라면 b = c { [UNK] displaystyle b = c } 가 성립하는 반군이다. 오른쪽 소거 반군 ( 영어 : right - cancellative semigroup ) 은 만약 b a = c a { [UNK] displaystyle ba = ca } 라면 b = c { [UNK] displaystyle b = c } 가 성립하는 반군이다. 소거 반군 ( 영어 : cancellative semigroup ) 은 왼쪽 소거 반군이자 오른쪽 소거 반군인 반군이다. 정칙 반군 ( 영어 : regular semigroup ) 은 모든 원소가 정칙원인 반군이다. 아르키메데스 반군 ( 영어 : Archimedean semigroup ) 은 임의의 원소 a, b [UNK] S {
x | x ^ { 2 } = x1 - { L } = 0, [UNK] ; 1 - { L } x = x, [UNK] ; 1 - { L } ^ { 2 } = 1 - { L } [UNK] rangle } 및 그 반대 반군 [UNK] 0 L, 0 L [UNK], x | 0 L x = 0 L 0 L [UNK] = 0 L 2 = 0 L, 0 L [UNK] x = 0 L [UNK] 0 L = 0 L [UNK] 2 = 0 L [UNK], x 2 = x [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] langle 0 - { L }, 0 - { L } ', x | 0 - { L } x = 0 - { L } 0 - { L }'= 0 - { L } ^ { 2 } = 0 - { L }, [UNK] ; 0 - { L }'x = 0 - { L }'0 - { L } = 0 - { L }'^ { 2 } = 0 - { L } ', [UNK] ; x ^ { 2 } = x [UNK] rangle } 및 그 반대 반군. 이는 비가환 [UNK] 반군이다. 역사 [ 편집 ] 1904년에 장아르망 드 세기에 ( 프랑스어 : Jean - Armand de Séguier, 1862 ~ 1935 ) 가 최초로 반군 ( 프랑스어 : semi - groupe ) 이라는 용어를 사용하였으나, [ 1 ] : 8
playstyle 1 - { G } [UNK] in G [UNK] subseteq S } 는 S { [UNK] displaystyle S } 의 [UNK] 이룬다. 반대로, 임의의 [UNK] i [UNK] S { [UNK] displaystyle i [UNK] in S } 에 대하여, i { [UNK] displaystyle i } 에 대한 역원을 갖는 모든 원소들의 집합 G i = { s [UNK] S : i s = s i = s, [UNK] t [UNK] S : s t = t s = 1 } { [UNK] displaystyle G - { i } = [UNK] { s [UNK] in S [UNK] colon is = si = s, [UNK] ; [UNK] exists t [UNK] in S [UNK] colon st = ts = 1 [UNK] } } 은 i { [UNK] displaystyle i } 를 항등원으로 하는 극대 부분군이다. 공집합이 아닌 모든 유한 반군은 항상 하나 이상의 [UNK] 가진다. ( 모노이드의 경우 항등원이 [UNK] 이는 자명하게 성립한다. ) 그러나 이는 무한 반군에 대하여 성립하지 않는다. 종류 [ 편집 ] 다음과 같은 특별한 종류의 반군들의 모임이 존재한다. [UNK] 반군 ( 영어 : idempotent semigroup, 영어 : band 밴드 [ * ] ) 은 모든 원소가 [UNK] 반군이다. 가환 반군 ( 영어 : commutative sem
다. [ 6 ] [ 7 ] 데이비드 리스 ( 영어 : David Rees, 1918 ~ 2013 ) 는 1947년에 역원 반군 ( 영어 : inverse semigroup ) 의 개념을 도입하였고, 예브게니 세르게예비치 랴핀 ( 러시아어 : [UNK] [UNK] [UNK], 1914 ~ 2005 ) 와 고든 프레스턴 ( 영어 : Gordon Preston, 1925 ~ 2015 ) 은 그 이론을 발전시켰다. 이 밖에도, 제임스 알렉산더 그린 ( 영어 : James Alexander Green, 1926 ~ 2014 ), 존 매킨토시 하위 ( 영어 : John Mackintosh Howie, 1936 ~ 2011 ) 등이 반군 이론에 공헌하였다. 특히, 그린은 1951년에 그린 관계를 도입하였다. [ 8 ] 사무엘 에일렌베르크 ( 1913 ~ 1998 ) 와 마르셀폴 쉬첸베르제 ( 프랑스어 : Marcel - Paul [UNK], 1920 ~ 1996 ) 는 반군 이론을 자동기계 이론에 응용하여 발전시켰다. 특히, 쉬첸베르제는 1957년에 쉬첸베르제 군을 도입하였다. [ 9 ] 크론 - 로즈 정리는 미국의 케네스 크론 ( 영어 : Kenneth Krohn ) 과 존 루이스 로즈 ( 영어 : John Lewis Rhodes, 1937 ~ ) 가 1965년 박사 학위 논문에서 발표하였다. [ 10 ] 1961년
반군 L { [UNK] displaystyle L } 으로 가는 반군 준동형 f : S → L { [UNK] displaystyle f [UNK] colon S [UNK] to L } 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. 각 원소 l [UNK] L { [UNK] displaystyle l [UNK] in L } 의 원상 f - 1 ( l ) { [UNK] displaystyle f ^ { - 1 } ( l ) } 은 S { [UNK] displaystyle S } 의 부분 반군을 이룬다. 이를 S l { [UNK] displaystyle S - { l } } 로 표기하자. 임의의 l, l [UNK] [UNK] L { [UNK] displaystyle l, l'[UNK] in L } 에 대하여, S l S l [UNK] [UNK] S l l [UNK] { [UNK] displaystyle S - { l } S - { l'} [UNK] subseteq S - { ll'} } 이다. 즉, S { [UNK] displaystyle S } 는 L { [UNK] displaystyle L } 에 의하여 등급 반군을 이룬다. 임의의 가환 반군 S { [UNK] displaystyle S } 에 대하여, S / ∼ { [UNK] displaystyle S / { [UNK] sim } } 이 가환 [UNK] 반군이 되는 가장 섬세한 합동 관계 ∼ { [UNK] displaystyle [UNK] sim } 가 존재하며
반군이다. 아르키메데스 반군 ( 영어 : Archimedean semigroup ) 은 임의의 원소 a, b [UNK] S { [UNK] displaystyle a, b [UNK] in S } 에 대하여 a n = b c { [UNK] displaystyle a ^ { n } = bc } 가 되는 원소 c [UNK] S { [UNK] displaystyle c [UNK] in S } 와 양의 정수 n [UNK] Z { [UNK] displaystyle n [UNK] in [UNK] mathbb { Z } ^ { } } 이 존재하는 가환 반군이다. 분류 [ 편집 ] 유한 반군 [ 편집 ] 유한 반군에 대하여, 크론 - 로즈 정리 ( 영어 : Krohn - Rhodes theorem ) 라는 구조 정리가 존재한다. 이에 따르면, 모든 유한 반군 S { [UNK] displaystyle S } 는 유한 단순군과 비자명군을 포함하지 않는 유한 반군들의 화환곱의 부분 반군의 몫반군이다. 즉, 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다. S = T / ∼ { [UNK] displaystyle S = T / { [UNK] sim } } T [UNK] G 1 [UNK] [UNK] [UNK] G n { [UNK] displaystyle T [UNK] subseteq G - { 1 } [UNK] wr [UNK] cdots [UNK] wr G - { n } } 여기서 G
[UNK] S { [UNK] displaystyle a [UNK] cdot'b = b [UNK] cdot a [UNK] qquad [UNK] forall a, b [UNK] in S } 그렇다면 ( S, [UNK] [UNK] ) { [UNK] displaystyle ( S, [UNK] cdot') } 는 반군을 이룬다. 이를 ( S, [UNK] ) { [UNK] displaystyle ( S, [UNK] cdot ) } 의 반대 반군 ( 反 對 [UNK] [UNK], 영어 : opposite semigroup ) 이라고 하고, S op { [UNK] displaystyle S ^ { [UNK] operatorname { op } } } 으로 쓴다. 반대 모노이드나, 군론의 반대군이나, 환론의 반대환은 반대 반군의 특수한 경우이다. 군의 경우 모든 군은 스스로의 반대군과 역원 함수를 통해 표준적으로 동형이지만, 반군의 경우 일반적으로 스스로의 반대 반군과 동형이 아니다. ( 가환 반군은 물론 스스로의 반대 반군과 같다. ) 몫반군 [ 편집 ] 반군 S { [UNK] displaystyle S } 위의 합동 관계 ∼ { [UNK] displaystyle [UNK] sim } 는 s ∼ s [UNK] [UNK] t ∼ t [UNK] [UNK] s t ∼ s [UNK] t [UNK] [UNK] s, s [UNK], t, t [UNK] [UNK] S { [UNK] displaystyle s [UNK] sim s'[UNK] land
의 모든 모노이드 준동형은 반군 준동형이지만, 두 모노이드 사이의 반군 준동형은 모노이드 준동형이 아닐 수 있다 ( 즉, 항등원을 항등원으로 대응시키지 않을 수 있다 ). 부분 반군 [ 편집 ] 반군 S { [UNK] displaystyle S } 의 부분 집합 T [UNK] S { [UNK] displaystyle T [UNK] subseteq S } 가 다음 조건을 만족시킨다면, T { [UNK] displaystyle T } 를 S { [UNK] displaystyle S } 의 부분 반군 ( 部 分 [UNK] [UNK], 영어 : subsemigroup ) 라고 한다. 임의의 s, t [UNK] S { [UNK] displaystyle s, t [UNK] in S } 에 대하여, s t [UNK] S { [UNK] displaystyle st [UNK] in S } 모노이드의 모든 부분 모노이드는 부분 반군이지만, 모노이드의 부분 반군은 부분 모노이드가 아닐 수 있다 ( 즉, 항등원을 포함하지 않을 수 있다 ). 반군 S { [UNK] displaystyle S } 속에서, 다음 조건을 만족시키는 부분 반군 I [UNK] S { [UNK] displaystyle I [UNK] subseteq S } 을 S { [UNK] displaystyle S } 의 왼쪽 아이디얼 ( 영어 : left ideal ) 이라고 한다. s
[UNK] forall s [UNK] in S } 왼쪽 영원이자 오른쪽 영원인 원소를 영원 ( 영어 : zero element ) 이라고 한다. 왼쪽 영원과 오른쪽 영원은 일반적으로 유일하지 않지만, ( 양쪽 ) 영원은 만약 존재한다면 유일하다. 항등원 [ 편집 ] 반군 S { [UNK] displaystyle S } 속에서, 다음과 같은 원소 1 L [UNK] S { [UNK] displaystyle 1 - { L } [UNK] in S } 가 존재한다면, 이를 S { [UNK] displaystyle S } 의 왼쪽 항등원 ( 영어 : left identity element ) 이라고 한다. 1 L s = s [UNK] s [UNK] S { [UNK] displaystyle 1 - { L } s = s [UNK] qquad [UNK] forall s [UNK] in S } 반군 S { [UNK] displaystyle S } 속에서, 다음과 같은 원소 1 R [UNK] S { [UNK] displaystyle 1 - { R } [UNK] in S } 가 존재한다면, 이를 S { [UNK] displaystyle S } 의 오른쪽 항등원 ( 영어 : right identity element ) 이라고 한다. s 1 R = s [UNK] s [UNK] S { [UNK] displaystyle s1 - { R } = s [UNK] qquad [UNK] forall s [UNK] in S } 왼쪽 항등원이자 오른쪽 항등원인
추상대수학에서 반군(半群, 영어: semigroup)은 결합법칙을 따르는 하나의 이항 연산이 부여된 대수 구조이다.