수열 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 수열 위키백과, 우리 모두의 백과사전. ( 첫항에서 넘어옴 ) 둘러보기로 가기 검색하러 가기 실수의 무한수열 수학에서, 수열 ( 數 [UNK] ) 또는 열 ( [UNK], sequence ) 은 수 또는 다른 대상의 순서있는 나열이다. [ 1 ] 나열 순서를 생각해야 하고 중복이 허용된다는 점에서 집합과 구분된다. 양의 홀수의 크기 순 나열 1, 3, 5, 7,... 은 수열의 예이다. 수열은 자연수의 집합에 정의된 함수라고 할 수 있다. 목차 1 정의 1. 1 수열의 항 1. 2 수열의 표현 1. 3 함수로서의 정의 1. 4 귀납적으로 정의된 수열 2 예 3 수열의 성질 3. 1 단조성 3. 2 유계성 3. 3 수렴성 4 수열로부터 새 수열 만들기 4. 1 부분수열 4. 2 계차수열 4. 3 수열의 합, 급수 5 같이 보기 6 각주 7 외부 링크 정의 [ 편집 ] 수열의 항 [ 편집 ] 수열을 이루는 구성원을 수열의 항 ( term ) 또는 원소 ( element ) 라고 한다. 수열은 항의 유형에 따라 자연수열, 실수열, 점렬, 함수열, 집합열
즉, 각 자연수 n { [UNK] displaystyle n } 의 함수값을 수열의 제n항 a n { [UNK] displaystyle a - { n } } 으로 정의한 함수이다. 실수열의 예를 들면, 수열 1, 1 / 2, 1 / 3,..., 1 / n,... 은 곧 함수 a : N → R, n [UNK] 1 / n { [UNK] displaystyle a : [UNK] mathbb { N } [UNK] to [UNK] mathbb { R }, [UNK] n [UNK] mapsto 1 / n } 와 같다. 귀납적으로 정의된 수열 [ 편집 ] 점화식, 귀납적 정의 문서를 참고하십시오. 구체적인 수열을 정의하는 방법 중 하나는 귀납적 정의법이다. 먼저 처음 몇 항의 값을 정하고, 그 뒤로는 각 항을 앞의 항에 의존한 관계식을 통해 정의한다. 일반항 공식에 의한 수열의 정의가 임의의 an과 n 사이의 관계를 사용한다면, 귀납적 정의는 각 an을 a1부터 an - 1까지의 항들로 나타낸 식을 사용한다. 일부 수열의 경우, 일반항은 귀납적 관계보다 간명하지 않거나, 더 발견되기 어렵다. 피보나치 수열 ( 1, 1, 2, 3, 5
부터 n까지의 자연수의 합 공식이 있다. [UNK] k = 1 n k = 1 2 3 [UNK] n = n ( n 1 ) 2 { [UNK] displaystyle [UNK] sum - { k = 1 } ^ { n } k = 123 [UNK] cdots n = { [UNK] frac { n ( n1 ) } { 2 } } } 부분합 수열 { [UNK] k = 1 n a k } { [UNK] displaystyle [UNK] left [UNK] { [UNK] sum - { k = 1 } ^ { n } a - { k } [UNK] right [UNK] } } 이 수열로서 상수 L { [UNK] displaystyle L } 로 수렴할 때, 무한급수 [UNK] n = 1 infinity a n { [UNK] displaystyle [UNK] sum - { n = 1 } ^ { [UNK] infty } a - { n } } 이 L { [UNK] displaystyle L } 로 수렴한다고 하고 이를 [UNK] n = 1 infinity a n = L { [UNK] displaystyle [UNK] sum - { n = 1 } ^ { [UNK] infty } a - { n } = L } 과 같이 나타낸다. 같이 보기 [ 편집 ] 등차수열 등비수열 계차수열 점화식 급수 차분 그물 ( 수학 ) 필터 ( 수학 ) 순열 온라인 정수열 사전 각주 [ 편집 ] ↑ Weiss
열의 항 ( term ) 또는 원소 ( element ) 라고 한다. 수열은 항의 유형에 따라 자연수열, 실수열, 점렬, 함수열, 집합열 등으로 나뉜다. 처음으로 오는 항을 첫째항 ( first term ) 또는 첫항, 초항이라고 부르며, 둘째, 셋째, 넷째,... 로 오는 항을 둘째항, 셋째항, 넷째항,..., 다르게는 제2항, 제3항, 제4항,... 이라고 부른다. 수열에서 나열되는 항의 개수를 그 수열의 길이 ( length ) 라고 한다. 수열의 길이는 유한할 수도, 무한할 수도 있으며, 길이가 유한하면 유한수열 ( finite sequence ), 무한하면 무한수열 ( infinite sequence ) 이라고 부른다. 유한수열에게는 마지막으로 오는 항이 존재하며, 이를 끝항 ( final term ) 또는 마지막항, 말항이라고 부른다. 특정되지 않은 일반적인 제n항 ( nth term ) 을 수열의 일반항이라고 한다. 많은 경우에 n과 제n항 사이의 관계 규칙은 수식으로 표현 가능하다. 수열 1, 3, 5,... 의 일반항은 2 n - 1 { [UNK] displaysty
명시하기 위해 { a n } n [UNK] N { [UNK] displaystyle [UNK] { a - { n } [UNK] } - { n [UNK] in [UNK] mathbb { N } } } 또는 { a n } n = 1 infinity { [UNK] displaystyle [UNK] { a - { n } [UNK] } - { n = 1 } ^ { [UNK] infty } } 등으로 표현하기도 한다. 일반항을 구체적인 수식으로 표현할 수 있는 수열, 이를테면 홀수열은, 일반항을 괄호 안에 집어넣어 { 2 n - 1 } { [UNK] displaystyle [UNK] { 2n - 1 [UNK] } } 과 같이도 표현한다. 일반항에 관한 공식 a n = 2 n - 1 { [UNK] displaystyle a - { n } = 2n - 1 } 이 수열을 확정짓기 충분하기에, 공식 자체를 수열의 표기로 삼기도 한다. 함수로서의 정의 [ 편집 ] 수열은 더 엄밀히는 자연수 전체 또는 앞의 n개의 집합을 정의역으로 하는 함수 n [UNK] a n { [UNK] displaystyle n [UNK] mapsto a - { n } } 으로 정의된다. 즉, 각 자연수 n { [UNK] displaystyle n } 의 함수값을 수열의 제n항 a n { [UNK] displaystyle a - { n }
{ a n } { [UNK] displaystyle [UNK] { a - { n } [UNK] } } 이 모든 m > n { [UNK] displaystyle m > n } 인 두 자연수 m, n { [UNK] displaystyle m, n } 에 대해 a m [UNK] a n { [UNK] displaystyle a - { m } [UNK] geq a - { n } } 을 만족시킬 때, { a n } { [UNK] displaystyle [UNK] { a - { n } [UNK] } } 을 단조증가수열이라고 한다. 반대로 모든 m > n { [UNK] displaystyle m > n } 인 두 자연수 m, n { [UNK] displaystyle m, n } 에 대해 a m [UNK] a n { [UNK] displaystyle a - { m } [UNK] leq a - { n } } 을 만족시킬 때 단조감소수열이라고 한다. 이 둘과 동등한 조건은 각각 a n 1 [UNK] a n { [UNK] displaystyle a - { n1 } [UNK] geq a - { n } } 또는 a n 1 [UNK] a n { [UNK] displaystyle a - { n1 } [UNK] leq a - { n } } 이 모든 자연수 n { [UNK] displaystyle n } 에 대해 성립한다는 것이다. 홀수열 a n = 2 n - 1 { [UNK] dis
} } [UNK] right ) ( { [UNK] frac { 1 { [UNK] sqrt { 5 } } } { 2 } } [UNK] right ) ^ { n } - [UNK] left ( { [UNK] frac { 1 - { [UNK] sqrt { 5 } } } { 2 } } [UNK] right ) ^ { n } [UNK] right ) } 은 귀납적 정의보다 훨씬 더 복잡하고 알아내기 어렵다. 수열의 귀납적 정의의 유효성은 자연수 위의 귀납 정리가 보장한다. 예 [ 편집 ] 다음 두 ( 유한 ) 수열은 한국어의 자음 일곱 개가 정확히 한 번씩 나오지만, 순서가 달라 다른 수열이다. ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ, ㅅ ㄴ, ㄱ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ, ㅅ 다음 두 ( 무한 ) 수열은 양의 홀수 전체를 나열하지만, 3의 중복 여부가 달라 다른 수열이다. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,... 1, 3, 3, 5, 7, 9, 11, 13,... 다음은 몇 가지 정수열의 예이다. 2, 4, 6, 8, 10, 12,... 양의 짝수열. 각 항 간의 차가 일정하다. ( 등차수열 ) 3, 9, 27, 81, 243,... 3의
a n { [UNK] displaystyle a - { n } } 이 한없이 커짐. lim n → infinity a n = infinity { [UNK] displaystyle [UNK] lim - { n [UNK] to [UNK] infty } a - { n } = [UNK] infty } 로 표기. 음의 무한대로 발산, 즉 n { [UNK] displaystyle n } 이 커짐에 따라 a n { [UNK] displaystyle a - { n } } 이 한없이 작아짐. lim n → infinity a n = - infinity { [UNK] displaystyle [UNK] lim - { n [UNK] to [UNK] infty } a - { n } = - [UNK] infty } 로 표기. 진동 발산, 즉 상수로도, 양과 음의 무한대로도 한없이 가까워지지 않음. 수열 a n = 1 n { [UNK] displaystyle a - { n } = { [UNK] frac { 1 } { n } } } 은 수렴수열의 예이다. lim n → infinity 1 n = 0 { [UNK] displaystyle [UNK] lim - { n [UNK] to [UNK] infty } { [UNK] frac { 1 } { n } } = 0 } 수열로부터 새 수열 만들기 [ 편집 ] 부분수열 [ 편집 ] 이 부분의 본문은 부분수열입니다.
bb { N } } 에 대해 a n [UNK] M { [UNK] displaystyle a - { n } [UNK] leq M } 일 때, { a n } { [UNK] displaystyle [UNK] { a - { n } [UNK] } } 이 위로 유계라고 한다. 모든 항이 하계라 불리는 어떤 값 M { [UNK] displaystyle M } 보다 클 때 아래로 유계라고 한다. 위로도 아래로도 유계인 수열, 또는 이와 동등한 조건인 | a n | [UNK] M, n [UNK] N { [UNK] displaystyle | a - { n } | [UNK] leq M, [UNK] n [UNK] in [UNK] mathbb { N } } 을 만족하는 수열을 유계수열이라고 한다. 수열 a n = 1 n { [UNK] displaystyle a - { n } = { [UNK] frac { 1 } { n } } } 은 유계수열의 예이다. 0 < a n < 1 { [UNK] displaystyle 0 < a - { n } < 1 } 이 모든 자연수 n { [UNK] displaystyle n } 에 대해 성립하기에 그렇다. 수렴성 [ 편집 ] 이 부분의 본문은 수열의 극한입니다. 실수열 { a n } { [UNK] displaystyle [UNK] { a - { n } [UNK] } } 이 n { [UNK] displaystyle n }
일반항은 귀납적 관계보다 간명하지 않거나, 더 발견되기 어렵다. 피보나치 수열 ( 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... ) 은 귀납적 정의할 수 있는 수열의 전형적인 예이다. 처음 두 항은 둘 다 1이고, 셋째 항 뒤부터는 두 인접 항을 더한 합을 그 바로 다음항으로 정의한다. 즉, a 1 = a 2 = 1, { [UNK] displaystyle a - { 1 } = a - { 2 } = 1, } a n 2 = a n 1 a n. { [UNK] displaystyle a - { n2 } = a - { n1 } a - { n }. } 피보나치 수열의 일반항 공식 a n = 1 5 ( ( 1 5 2 ) ( 1 5 2 ) n - ( 1 - 5 2 ) n ) { [UNK] displaystyle a - { n } = { [UNK] frac { 1 } { [UNK] sqrt { 5 } } } [UNK] left ( [UNK], [UNK] left ( { [UNK] frac { 1 { [UNK] sqrt { 5 } } } { 2 } } [UNK] right ) ( { [UNK] frac { 1 { [UNK] sqrt { 5 } } } { 2 } } [UNK] right ) ^ { n } - [UNK] le
수학에서 수열(數列) 또는 열(列, sequence)은 수 또는 다른 대상의 순서 있는 나열이다. 나열 순서를 생각해야 하고 중복이 허용된다는 점에서 집합과 구분된다. 양의 짝수의 크기 순 나열 2, 4, 6, 8, ...은 수열의 예이다. 수열은 자연수의 집합에 정의된 함수라고 할 수 있다.