바나흐 대수 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 바나흐 대수 위키백과, 우리 모두의 백과사전. ( 복소수 바나흐 대수에서 넘어옴 ) 둘러보기로 가기 검색하러 가기 함수해석학에서, 바나흐 대수 ( Banach 代 數, 영어 : Banach algebra ) 는 바나흐 공간과 결합 대수의 구조를 서로 호환되게 갖춘 집합이다. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] 대표적인 예로 콤팩트 하우스도르프 공간 위의 연속 함수 공간이나 바나흐 공간 위의 유계 작용소 공간이 있다. 목차 1 정의 1. 1 유니터리 원소 2 연산 2. 1 반대 대수 2. 2 직합 2. 3 몫 2. 4 복소화 2. 5 완비화 2. 6 무게 부여 2. 7 아렌스 곱 3 성질 3. 1 환론적 성질 3. 2 위상수학적 성질 3. 3 스펙트럼 3. 4 겔판트 표현 4 예 4. 1 연속 함수 공간 4. 2 [UNK] 대수 4. 3 유클리드 공간 4. 4 유계 작용소 4. 5 C * 대수 4. 6 위상군 위의 함수 5 역사 6 참고 문헌 7 외부 링크 정의 [ 편집 ] K [UNK] { R, C } { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { K } [UNK] in [UNK] { [UNK] mathbb { R }, [UNK] mathbb { C }
[UNK] dotsc, a - { n } [UNK] } } 및 성분별 곱 ( a 1,..., a n ) [UNK] ( b 1,..., b n ) = ( a 1 b 1,..., a n b n ) { [UNK] displaystyle ( a - { 1 }, [UNK] dotsc, a - { n } ) [UNK] cdot ( b - { 1 }, [UNK] dotsc, b - { n } ) = ( a - { 1 } b - { 1 }, [UNK] dotsc, a - { n } b - { n } ) } 을 부여하면, 이는 가환 K { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { K } } - 바나흐 대수를 이룬다. 그 가역원군은 Unit ( V ) = ( K x ) n { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { Unit } ( V ) = ( [UNK] mathbb { K } ^ { [UNK] times } ) ^ { n } } 이다. 유계 작용소 [ 편집 ] 1차원 이상의 K { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { K } } - 노름 공간 V { [UNK] displaystyle V } 위의 V → V { [UNK] displaystyle V [UNK] to V } 유계 작용소들의 집합 B ( V, V )
) 가 1936년에'선형 계량환'( 독일어 : linearer metrischer Ring ) 이라는 이름으로 도입하였다. [ 5 ] [ 6 ] 이후 이즈라일 겔판트가 이를'노름환'( 독일어 : normierter Ring ) 이라는 이름으로 재도입하였고, 이에 대하여 자세히 연구하였다. [ 5 ] [ 7 ] 1945년에 워런 앰브로즈 ( 영어 : Warren Ambrose, 1914 ~ 1995 ) 가'바나흐 대수'( 영어 : Banach algebra ) 라는 용어를 도입하였다. [ 5 ] [ 8 ] 아렌스 곱은 리하르트 프리드리히 아렌스 ( 독일어 : Richard Friederich Arens, 1919 ~ 2000 ) 가 1951년에 도입하였다. [ 9 ] [ 10 ] 겔판트 - 마주르 정리는 이즈라일 겔판트와 스타니스와프 마주르의 이름을 땄다. 마주르가 1938년에 증명하였는데 [ 11 ] [ 12 ], 저널에 페이지가 모자라 증명을 싣지 못하고 정리 자체만 출판하였다. 1941년에 이즈라일 겔판트가 독자적으로 증명하였다. [ 7 ] 참고 문헌 [ 편집 ] ↑ 가 나 다 라 마 바 사 Bonsall, Frank F. ; Duncan, John ( 1973 ).
- 결합 대수이다. 또한, 노름 공간 구조와 결합 대수 구조 사이에 다음과 같은 두 호환 조건이 주어져야 한다. ( 노름 부등식 ) [UNK] a [UNK] b [UNK] [UNK] [UNK] a [UNK] [UNK] b [UNK] [UNK] a, b [UNK] A { [UNK] displaystyle [UNK] Vert a [UNK] cdot b [UNK] Vert [UNK] leq [UNK] Vert a [UNK] Vert [UNK] Vert b [UNK] Vert [UNK] qquad [UNK] forall a, b [UNK] in A } ( 항등원의 노름 ) [UNK] 1 [UNK] = 1 { [UNK] displaystyle [UNK] | 1 [UNK] | = 1 } ( 일부 문헌에서는 곱셈 항등원을 가져야 하는 조건을 생략한다. [ 4 ] : 246, [UNK] 10. 1 ) 만약 X { [UNK] displaystyle X } 가 사실 바나흐 공간이라면 ( 즉, 완비 거리 공간이라면 ), K { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { K } } - 바나흐 대수 ( 영어 : Banach K { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { K } } - algebra ) 라고 한다. [ 1 ] : 4, Definition I. 10 [ 4 ] : 245, Definition 10. 1 유니터리 원소 [ 편집 ] K { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { K } } - 노름 대수 A { [UNK]
all b [UNK] in B } 여기서 우변은 복소수 바나흐 대수 C 0 ( [UNK] ( B ) ( B ), C ) { [UNK] displaystyle { [UNK] mathcal { C } } ^ { 0 } ( [UNK] Delta ( B ) ( B ), [UNK] mathbb { C } ) } 에서 취한 스펙트럼이다. 예 [ 편집 ] 연속 함수 공간 [ 편집 ] 공집합이 아닌 콤팩트 하우스도르프 공간 X { [UNK] displaystyle X } 위에 정의된 연속 함수의 공간 C 0 ( X, K ) { [UNK] displaystyle { [UNK] mathcal { C } } ^ { 0 } ( X, [UNK] mathbb { K } ) } 은 ( 균등 노름 및 점별 합과 곱에 대하여 ) K { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { K } } - 바나흐 대수를 이룬다. [ 4 ] : 247, Example 10. 3 ( a ) [UNK] 대수 [ 편집 ] 실수체 R { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { R } } · 복소수체 C { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { C } } · 사원수 대수 H { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { H } } 는 모두 실수 바나흐 대수를 이룬다. 이 가운데 C { [UNK] displaystyle [UNK] math
{ [UNK] ; } } [UNK] colon B [UNK] to { [UNK] mathcal { C } } ^ { 0 } ( [UNK] Delta ( B ) ( B ), [UNK] mathbb { C } ) } b ^ : [UNK] [UNK] [UNK] ( b ) ( b [UNK] B, [UNK] [UNK] [UNK] ( B ) ( B ) ) { [UNK] displaystyle { [UNK] hat { b } } [UNK] colon [UNK] chi [UNK] mapsto [UNK] chi ( b ) [UNK] qquad ( b [UNK] in B, [UNK] ; [UNK] chi [UNK] in [UNK] Delta ( B ) ( B ) ) } 이는 결합 대수 준동형을 이루며, 또한 스펙트럼을 보존한다. 즉, 다음이 성립한다. [UNK] ( b ) = [UNK] ( b ^ ) = { [UNK] ( b ) : [UNK] [UNK] [UNK] ( B ) } [UNK] C [UNK] b [UNK] B { [UNK] displaystyle [UNK] sigma ( b ) = [UNK] sigma ( { [UNK] hat { b } } ) = [UNK] { [UNK] chi ( b ) [UNK] colon [UNK] chi [UNK] in [UNK] Delta ( B ) [UNK] } [UNK] subseteq [UNK] mathbb { C } [UNK] qquad [UNK] forall b [UNK] in B } 여기서 우변은 복소수 바나흐 대수 C 0 ( [UNK] ( B ) ( B ), C ) { [UNK] displaystyle
mathbb { K } } - 바나흐 대수 B { [UNK] displaystyle B } 의 가역원군 Unit ( B ) [UNK] B { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { Unit } ( B ) [UNK] subseteq B } 는 B { [UNK] displaystyle B } 의 열린집합이며, 역원 함수 ( - ) - 1 : Unit ( B ) → Unit ( B ) { [UNK] displaystyle ( - ) ^ { - 1 } [UNK] colon [UNK] operatorname { Unit } ( B ) [UNK] to [UNK] operatorname { Unit } ( B ) } 는 연속 함수이다. 스펙트럼 [ 편집 ] 이 부분의 본문은 스펙트럼 ( 함수해석학 ) 입니다. 임의의 K { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { K } } - 바나흐 대수 B { [UNK] displaystyle B } 의 원소 b [UNK] B { [UNK] displaystyle b [UNK] in B } 의 스펙트럼은 다음과 같다. [UNK] ( b ) = { [UNK] [UNK] K : [UNK] ( [UNK] - b ) - 1 } { [UNK] displaystyle [UNK] sigma ( b ) = [UNK] left [UNK] { [UNK] lambda [UNK] in [UNK] mathbb { K } [UNK] colon [UNK] nexists ( [UNK] lambda - b
( B ) { [UNK] displaystyle { [UNK] mathfrak { m } } [UNK] in [UNK] operatorname { Max } ( B ) } 는 항상 닫힌집합이기 때문이다. ) 또한, 그 작용소 노름은 항상 1이다. 이에 따라, [UNK] ( B ) { [UNK] displaystyle [UNK] Delta ( B ) } 위에 점별 수렴 위상을 부여하면, [UNK] ( B ) { [UNK] displaystyle [UNK] Delta ( B ) } 는 콤팩트 하우스도르프 공간을 이룬다. 특히, 복소수 바나흐 대수 C 0 ( [UNK] ( B ) ( B ), C ) { [UNK] displaystyle { [UNK] mathcal { C } } ^ { 0 } ( [UNK] Delta ( B ) ( B ), [UNK] mathbb { C } ) } 를 정의할 수 있다. 이 경우, B { [UNK] displaystyle B } 의 겔판트 표현 ( [UNK] 表 現, 영어 : Gelfand representation ) 은 다음과 같다. ^ : B → C 0 ( [UNK] ( B ) ( B ), C ) { [UNK] displaystyle { [UNK] hat { [UNK] ; } } [UNK] colon B [UNK] to { [UNK] mathcal { C } } ^ { 0 } ( [UNK] Delta ( B ) ( B ),
대수이다. 그 위에 합성곱 ( f [UNK] g ) ( x ) = [UNK] G f ( y ) g ( y - 1 x ) d y ( f, g [UNK] L 1 ( G ; K ) ( G ; K ) ) { [UNK] displaystyle ( f * g ) ( x ) = [UNK] int - { G } f ( y ) g ( y ^ { - 1 } x ) [UNK] ; [UNK] mathrm { d } y [UNK] qquad ( f, g [UNK] in [UNK] operatorname { L } ^ { 1 } ( G ; [UNK] mathbb { K } ) ( G ; [UNK] mathbb { K } ) ) } 을 부여하면, 이는 K { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { K } } - 바나흐 대수를 이룬다. 역사 [ 편집 ]'바나흐 대수'라는 이름은 스테판 바나흐를 딴 것이다. 그러나 바나흐 대수의 이론은 스테판 바나흐와 큰 관계가 없으며, 다만 바나흐가 연구한 바나흐 공간을 이루기 때문에 이러한 이름이 붙었다. [ 5 ] 바나흐 대수의 개념은 나구모 미치오 ( 일본어 : 南 雲 道 夫, 1905 ~ 1995 ) 가 1936년에'선형 계량환'( 독일어 : linearer metrischer Ring ) 이라는 이름으로 도입하였다. [ 5 ]
frak { m } } [UNK] in [UNK] operatorname { Max } ( B ) } 에 대하여, B / m { [UNK] displaystyle B / { [UNK] mathfrak { m } } } 은 체인 복소수 바나흐 대수이므로, B / m [UNK] C { [UNK] displaystyle B / { [UNK] mathfrak { m } } [UNK] cong [UNK] mathbb { C } } 이다. 따라서, 몫 준동형 ( / m ) : B [UNK] B / m [UNK] C { [UNK] displaystyle ( / [UNK] mathbb { m } ) [UNK] colon B [UNK] twoheadrightarrow B / { [UNK] mathfrak { m } } [UNK] cong [UNK] mathbb { C } } 이 존재한다. 이 때문에, B { [UNK] displaystyle B } 의 극대 아이디얼은 지표 ( [UNK] [UNK], 영어 : character ) 라고도 한다. 임의의 지표 [UNK] [UNK] [UNK] ( B ) { [UNK] displaystyle [UNK] chi [UNK] in [UNK] Delta ( B ) } 는 항상 연속 함수이다. ( 이는 그 핵 m [UNK] Max ( B ) ( B ) { [UNK] displaystyle { [UNK] mathfrak { m } } [UNK] in [UNK] operatorname { Max } ( B ) }
함수해석학에서 바나흐 대수(Banach代數, 영어: Banach algebra)는 바나흐 공간과 결합 대수의 구조를 서로 호환되게 갖춘 집합이다. 대표적인 예로 콤팩트 하우스도르프 공간 위의 연속 함수 공간이나 바나흐 공간 위의 유계 작용소 공간이 있다.