클리퍼드 대수 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 클리퍼드 대수 위키백과, 우리 모두의 백과사전. ( 클리퍼드대수에서 넘어옴 ) 둘러보기로 가기 검색하러 가기 환론에서, 클리퍼드 대수 ( Clifford 代 數, 영어 : Clifford algebra ) 는 이차 형식에 의하여 정의되는 결합 대수의 한 종류이다. [ 1 ] [ 2 ] 복소수체와 사원수환의 일반화이며, 외대수의 양자화로 여길 수 있다. 목차 1 정의 1. 1 보편 성질을 통한 정의 1. 2 텐서 대수를 통한 구성 1. 3 등급과 여과 1. 4 대합 1. 5 노름과 내적 2 성질 2. 1 외대수와의 관계 2. 2 환론적 성질 2. 2. 1 반단순성 2. 2. 2 중심 2. 2. 3 스칼라 확대 2. 3 클리퍼드 군 3 분류 3. 1 직합에 대한 분해 3. 2 체 위의 클리퍼드 대수의 분류 3. 3 복소수 클리퍼드 대수 3. 4 실수 클리퍼드 대수 3. 5 홀수 표수의 유한체 3. 6 표수 2의 유한체 4 예 4. 1 1차원 자유 가군 위의 클리퍼드 대수 4. 2 2차원 자유 가군 위의 클리퍼드 대수 5 클리퍼드 해석학 5. 1 디랙 연산자 5.
이지만, Q [UNK] 0 { [UNK] displaystyle Q [UNK] neq 0 } 일 경우 외대수와 대수로서 다르다. 따라서, 클리퍼드 대수는 외대수의 일종의 양자화로 생각할 수 있다. 환론적 성질 [ 편집 ] 가환환 K { [UNK] displaystyle K } 위의 유한 생성 사영 가군 M { [UNK] displaystyle M } 위의 비퇴화 이차 형식 Q { [UNK] displaystyle Q } 의 클리퍼드 대수 Cliff ( M, Q ; K ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { Cliff } ( M, Q ; K ) } 는 등급 아즈마야 대수 ( 영어 : graded Azumaya algebra ) 이다. [ 3 ] : 152, Corollary 3. 7. 4 또한, 만약 모든 소 아이디얼 p [UNK] Spec K { [UNK] displaystyle { [UNK] mathfrak { p } } [UNK] in [UNK] operatorname { Spec } K } 에 대하여 M [UNK] K K p { [UNK] displaystyle M [UNK] otimes - { K } K - { [UNK] mathfrak { p } } } 가 짝수 계수 K p { [UNK] displaystyle K - { [UNK] mathfrak { p } } } - 자유 가군이라면,
& a = 0 [UNK] end { cases } } } 이다. 구체적으로, a [UNK] 0 { [UNK] displaystyle a [UNK] neq 0 } 일 경우 y [UNK] = 1 2 ( 1 [UNK] x / a ) { [UNK] displaystyle y - { [UNK] pm } = { [UNK] frac { 1 } { 2 } } ( 1 [UNK] pm x / { [UNK] sqrt { a } } ) } 를 정의한다면, y [UNK] 2 = y [UNK] { [UNK] displaystyle y - { [UNK] pm } ^ { 2 } = y - { [UNK] pm } } 이므로 K [ x ] / ( x 2 - a ) [UNK] K y [UNK] K y - { [UNK] displaystyle K [ x ] / ( x ^ { 2 } - a ) [UNK] cong Ky - { } [UNK] oplus Ky - { - } } 가 된다. 2차원 자유 가군 위의 클리퍼드 대수 [ 편집 ] 체 K { [UNK] displaystyle K } 위의 2차원 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식에 의하여 정의되는 클리퍼드 대수는 사원수형 대수 ( 영어 : quaternion algebra, 프랑스어 : [UNK] de quaternions ) 라고 한다. 체 위의 사원수형 대수는 환으로서 항상 [UNK] 이루거나 또는 2x2 K { [UNK] displ
playstyle [UNK] { e - { i - { 1 } } e - { i - { 2 } } [UNK] dotsb e - { i - { k } } | 1 [UNK] leq i - { 1 } < i - { 2 } < [UNK] dotsb < i - { k } [UNK] leq n [UNK] } } 외대수와의 관계 [ 편집 ] 체 K { [UNK] displaystyle K } 위의 클리퍼드 대수 Cliff ( V, Q ; K ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { Cliff } ( V, Q ; K ) } 는 K { [UNK] displaystyle K } - 가군으로서 외대수 [UNK] K ( V ) { [UNK] displaystyle [UNK] Lambda - { K } ( V ) } 와 동형이다. 만약 Q = 0 { [UNK] displaystyle Q = 0 } 일 경우 Cliff ( V, 0 ; K ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { Cliff } ( V, 0 ; K ) } 는 외대수 [UNK] ( V ; K ) { [UNK] displaystyle [UNK] Lambda ( V ; K ) } 와 대수로서 동형이지만, Q [UNK] 0 { [UNK] displaystyle Q [UNK] neq 0 } 일 경우 외대수와 대수로서 다르다. 따라서, 클리퍼드 대수는
n = 0 infinity T 2 n ( V ; K ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { T } ^ { } ( V ; K ) = [UNK] bigoplus - { n = 0 } ^ { [UNK] infty } [UNK] operatorname { T } ^ { 2n } ( V ; K ) } T - ( V ; K ) = [UNK] n = 0 infinity T 2 n 1 ( V ; K ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { T } ^ { - } ( V ; K ) = [UNK] bigoplus - { n = 0 } ^ { [UNK] infty } [UNK] operatorname { T } ^ { 2n1 } ( V ; K ) } 을 정의했을 때, 클리퍼드 대수를 구성하는 아이디얼은 위 Z / 2 { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { Z } / 2 } 구조를 보존하며, 따라서 클리퍼드 대수는 K { [UNK] displaystyle K } 위의 Z / 2 { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { Z } / 2 } - 등급 대수를 이룬다. Cliff ( V ; K ) = T ( V ; K ) i ( Q ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { Cliff } ^ { } ( V ;
{ 1 } ^ { 2 } k - { 1 } k - { 2 } ak - { 2 } ^ { 2 } ) [UNK] right ), [UNK] qquad a [UNK] in K [UNK] setminus [UNK] { b ^ { 2 } b [UNK] colon b [UNK] in K [UNK] } } 이 경우 Cliff ( F 2 e 2, Q 1 ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { Cliff } ( [UNK] mathbb { F } - { 2 ^ { e } } ^ { 2 }, Q - { 1 } ) } 및 Cliff ( F 2 n 2, Q 2 ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { Cliff } ( [UNK] mathbb { F } - { 2 ^ { n } } ^ { 2 }, Q - { 2 } ) } 둘 다 K { [UNK] displaystyle K } 위의 중심 단순 대수를 이룬다. 따라서, 2 n { [UNK] displaystyle 2n } 차원 벡터 공간 위의 임의의 비퇴화 이차 형식 Q { [UNK] displaystyle Q } 의 클리퍼드 대수는 행렬환과 동형이다. Cliff ( F 2 e 2 n, Q ; F 2 e ) [UNK] Mat ( 2 n ; F 2 e ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { Cliff } ( [UNK] mathb
bb { C } } Cliff ( 1 ; C ) [UNK] C [UNK] C { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { Cliff } ( 1 ; [UNK] mathbb { C } ) [UNK] cong [UNK] mathbb { C } [UNK] oplus [UNK] mathbb { C } } ( 테사린, tessarine ) Cliff ( 2 ; C ) [UNK] Mat ( 2 ; C ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { Cliff } ( 2 ; [UNK] mathbb { C } ) [UNK] cong [UNK] operatorname { Mat } ( 2 ; [UNK] mathbb { C } ) } ( 2x2 복소 행렬 ) 실수 클리퍼드 대수 [ 편집 ] K = R { [UNK] displaystyle K = [UNK] mathbb { R } } 가 실수체이며, V { [UNK] displaystyle V } 가 유한 차원 실수 벡터 공간이고, Q { [UNK] displaystyle Q } 가 부호수가 ( p, q ) { [UNK] displaystyle ( p, q ) } 인 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 이 경우, 이에 대한 클리퍼드 대수를 Cliff ( p, q ; R ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { Cliff } ( p, q ; [UNK] math
v 2 = Q ( v ) [UNK] v [UNK] V { [UNK] displaystyle v ^ { 2 } = Q ( v ) [UNK] qquad [UNK] forall v [UNK] in V } 즉, 범주론적으로 클리퍼드 대수는 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다. K { [UNK] displaystyle K } 위의 단위 결합 대수들의 범주 uAssocAlg K { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { uAssocAlg } - { K } } 에서, j ( v ) 2 = Q ( v ) 1 A [UNK] v [UNK] V { [UNK] displaystyle j ( v ) ^ { 2 } = Q ( v ) 1 - { A } [UNK] forall v [UNK] in V } 를 만족시키는 임의의 대수 ( A, j : V → A ) { [UNK] displaystyle ( A, j [UNK] colon V [UNK] to A ) } 가 주어지면, 다음 그림을 가환시키는 유일한 대수 준동형 f : Cliff ( V, Q ) → A { [UNK] displaystyle f [UNK] colon [UNK] operatorname { Cliff } ( V, Q ) [UNK] to A } 가 존재한다. V → i Cliff ( V, Q ) j [UNK] [UNK] [UNK]! f A { [UNK] displaystyle { [UNK] begin { matrix }
K ) = T ( V ; K ) i ( Q ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { Cliff } ^ { } ( V ; K ) = { [UNK] frac { [UNK] operatorname { T } ^ { } ( V ; K ) } { { [UNK] mathfrak { i } } ( Q ) } } } Cliff - ( V ; K ) = T - ( V ; K ) i ( Q ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { Cliff } ^ { - } ( V ; K ) = { [UNK] frac { [UNK] operatorname { T } ^ { - } ( V ; K ) } { { [UNK] mathfrak { i } } ( Q ) } } } 특히, 클리퍼드 대수 Cliff ( V, Q ; K ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { Cliff } ( V, Q ; K ) } 에서, 짝수 등급 부분 대수 Cliff ( V, Q ; K ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { Cliff } ^ { } ( V, Q ; K ) } 역시 클리퍼드 대수를 이룬다. 만약 V = Span K { a } [UNK] U { [UNK] displaystyle V = [UNK] operatorname { Span } - { K } [UNK] { a [UNK] } [UNK]
Cliff } [UNK] left ( [UNK] operatorname { Span } - { K } [UNK] { i, j [UNK] }, [UNK] operatorname { diag } ( a, b ) ( a, b ) ; K [UNK] right ) = { [UNK] frac { K [UNK] langle i, j [UNK] rangle } { ( i ^ { 2 } - a, j ^ { 2 } - b, ijji ) } } [UNK] qquad ( [UNK] deg i = [UNK] deg j = 1 ) } 보통 ( 사원수와 마찬가지로 ) i j = - j i = k { [UNK] displaystyle ij = - ji = k } 로 표기한다. K { [UNK] displaystyle K } 가 표수가 2가 아닌 체일 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다. ( a, b K ) { [UNK] displaystyle ( { [UNK] tfrac { a, b } { K } } ) } 가 분할 사원수형 대수이다. 힐베르트 기호 ( a, b ) K = 1 { [UNK] displaystyle ( a, b ) - { K } = 1 } 이다. 즉, z 2 = a x 2 b y 2 { [UNK] displaystyle z ^ { 2 } = ax ^ { 2 } by ^ { 2 } } 의 해가 K { [UNK] dis
환론에서 클리퍼드 대수(Clifford代數, 영어: Clifford algebra)는 이차 형식에 의하여 정의되는 결합 대수의 한 종류이다. 복소수체와 사원수환의 일반화이며, 외대수의 양자화로 여길 수 있다.