계산 가능성 이론 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 계산 가능성 이론 위키백과, 우리 모두의 백과사전. 둘러보기로 가기 검색하러 가기 재귀 이론은 여기로 연결됩니다. 다른 뜻에 대해서는 재귀 이론 ( 동음이의 ) 문서를 참조하십시오. 계산 가능성 이론 ( [UNK] [UNK] 可 能 性 理 論, 영어 : computability theory ) 또는 재귀 이론 ( [UNK] [UNK] 理 論, 영어 : recursion theory ) 은 수학기초론의 중요한 분야이자 컴퓨터 과학에서는 계산 이론의 한 갈래이다. 계산 가능성 이론의 기초는 가산 집합 상에서 함수의 해를 찾는 문제와 관련이 있다. 1930년대 불완전성 정리와 함께 람다 대수와 튜링 기계라는 계산 모형이 만들어지면서, 어떤 집합이 효율적으로 계산 가능한지의 문제는 실질적으로 그 집합을 효율적으로 계산해 내는 함수를 만들어 내는 것과 같은 일이 되었다. 계산 가능성 이론의 초기 성과는 이들 집합을 계산적으로 동치인 것들로 묶어 위계로 분류한 것이다. 수학적으로 유한히 정의된 함수를 계산 가능성에 따라 분류했을 때 어떤 함수의 계산 가능성 문제를 다른 함수 ( 다른 함수들 ) 의 문제로 환원할 수 있다는 것을 보임으로써, 굳이 알고리즘 자체를 증명에 끌어들이지
정의된 함수를 계산 가능성에 따라 분류했을 때 어떤 함수의 계산 가능성 문제를 다른 함수 ( 다른 함수들 ) 의 문제로 환원할 수 있다는 것을 보임으로써, 굳이 알고리즘 자체를 증명에 끌어들이지 않고도 계산 가능성을 증명할 수 있는 것이다. 이에 따라 대안적인 공리계를 모색하기 위한 이론적 토대가 마련되었고, 수리논리학과 증명론에서 직관주의가 입지를 공고히 했으며, 형 이론과 고차 논리, 자연 연역, 헤이팅 대수의 비약적 발전에 영향을 주었다. 계산 복잡도 이론에서는 계산 가능한 집합을 그 함수의 해를 찾는 효율적인 알고리즘에 의해 소모되는 시공간적 자원의 추세를 토대로 분류한다. 이에 따라 계산 복잡도 이론과 계산 가능성 이론 중 어느 쪽이 상위의 개념인지에 관해 다소 논쟁이 있다. 목차 1 소개 2 계산 모형 3 계산모형의 계산능력 3. 1 유한상태기계의 계산능력 3. 2 내리누름 오토마타의 계산능력 3. 3 튜링 기계의 계산능력 3. 3. 1 정지 문제 3. 3. 2 순환 언어를 넘어서 4 가상의 계산모형 4. 1 무한실행 4. 2 신탁 기계 4. 3 초월계산의 한계 5 계산가능성 이론의 역사 6 같이 보기 7 참고 문헌 소개 [ 편집 ] 컴퓨터 과학의 핵심과
기계와 입력에 대해 정지 문제를 바로 판정할 수 있다. 초월계산의 한계 [ 편집 ] 이런 기계들이 기존의 한계를 벗어난 것처럼 보여도 다시 각각의 한계를 찾을 수 있다. 이런 기계들이 튜링 기계에 대한 정지 문제를 판정할 수는 있지만 그 기계들 사이의 정지 문제는 결정 불가능하다. 예를 들어 신탁 기계는 임의의 신탁 기계가 멈추는지 아닌지를 판정할 수 없다. 계산가능성 이론의 역사 [ 편집 ] 계산가능성 이론은 일차 논리에 그 뿌리를 두고 있으며, 정지 문제 및 재귀와 관련된 많은 문제들은 불완전성 정리와 밀접하게 연관되어 있다. 다비트 힐베르트와 쿠르트 괴델은 일차논리의 기초를 쌓았다. 계산가능성 이론에 앞서 알론조 처치와 스티븐 콜 클레이니 ( 영어 : Stephen Cole Kleene ) 는 람다 셈법을 연구했다. 앨런 튜링은 현대 전산학의 아버지라 불릴 수 있을 정도로 계산 가능성 이론과 복잡도 이론의 중대한 기틀을 다졌다. 튜링의 가장 유명한 업적은 튜링 기계를 제안하여 판정 문제를 해결한 것이다. 같이 보기 [ 편집 ] 오토마타 이론 추상 기계 결정 불가능한 문제 목록 계산 복잡도 이론 계산 가능성 논리 초월계산 문제 계산 가능성 이론의 주요 논문 참고 문헌
한번에 문자 한개를 전달하면, 현재 상태에 있어서의 상태 천이는 입력에 따라 이루어진다. 만약 입력에 맞는 상태 천이가 존재한다면, 기계는 새로운 상태로 변하게 된다. 일부 상태는 수락 ( accepting ) 상태로 정의되는데, 일련의 입력 끝에서 기계가 수락 상태에 있다면 해당 입력 전체를 수락한다. 내리누름 오토마타 정해지지 않은 크기를 가진 실행 스택을 가졌다는 것을 제외하고는 위의 유한 상태 기계와 거의 같다. 상태 천이는 기존의 기능 외에, 부가적으로 스택에 기호 ( symbol ) 를 추가하거나 [UNK] 수 있으며 스택 위의 기호에 따라 다른 상태로 이동할 수도 있다. 튜링 기계 입력 방식이 실행 테이프 ( tape ) 라는 점을 빼고는 내리누름 오토마타와 유사하다. 실행 테이프는 헤드 ( head ) 를 이동시키는 방식으로 읽고 쓰기를 수행하며 무한히 길다. 튜링 기계는 실제 기계와는 달리 유한성을 고려하지 않지만 컴퓨터 과학에서 가장 중요한 계산 모형이다. 계산모형의 계산능력 [ 편집 ] 앞서 말한 계산 모형들이 어떤 종류의 형식 언어를 표현할 수 있는지에 따라 각 모형의 한계를 알 수 있다. 유한상태기계의 계산능력 [ 편집 ] 컴퓨터 과학자들은
학 계산 이론 오토마타 이론 계산 가능성 이론 계산 복잡도 이론 양자 계산 이론 알고리즘 & 자료 구조 알고리즘 알고리즘 설계 알고리즘 해석 자료 구조 계산기하학 프로그래밍 언어 & 컴파일러 구문 분석 컴파일러 인터프리터 프로그래밍 언어 구조적 프로그래밍 객체 지향 프로그래밍 병렬 & 분산 시스템 병렬 컴퓨팅 컴퓨터 클러스터 분산 컴퓨팅 그리드 컴퓨팅 클라우드 컴퓨팅 IaaS PaaS SaaS 소프트웨어 공학 요구 분석 소프트웨어 설계 컴퓨터 프로그래밍 정형 기법 소프트웨어 테스트 소프트웨어 개발 시스템 아키텍처 컴퓨터 아키텍처 마이크로아키텍처 운영 체제 통신 & 네트워크 컴퓨터 오디오 라우팅 네트워크 토폴로지 암호학 차세대 통신망 데이터베이스 데이터 마이닝 RDBMS SQL NoSQL 오라클 데이터베이스 인공 지능 자동추론 전산언어학 컴퓨터 비전 진화 연산 기계 학습 자연 언어 처리 로봇학 컴퓨터 그래픽 시각화 영상 처리 인간과 컴퓨터 상호 작용 컴퓨터 접근성 사용자 인터페이스 착용 컴퓨터 유비쿼터스 컴퓨팅 가상현실 계산과학 인공생명 생물정보학 인지과학 계산화학 계산론적 신경과학 계산물리학 수치해석학 기호계산 정보보호 암호학 물리 보안 애플리케이션 보안 인터넷 보안 네트워크 보안 해킹 크래킹 vdeh수학의 주요 분야수론 대수적 수론 해석적 수론 대수학 선형대수학 추상대수학 군론 환론 가환대수학 호몰로지 대수학 해석학 미적분학 실해석학 복소해석학 수치해석학 측도론 함수해석학 조화해석학 비표준
지시 함수 함수의 합성 기수 집합의 크기 칸토어의 정리 ( 대각선 논법 ) 알레프 수 베트 수 극한 기수 기멜 함수 가능 공종도 순서수 정렬 순서 초한귀납법 공종도 ( [UNK] 정리 ) 하르톡스 수 정규 함수 역설의 해소 소박한 집합론 러셀의 역설 칸토어 역설 부랄리포르티 역설 모임 형 이론 ( 《 수학 원리 》 ) 체르멜로 - [UNK] 집합론 새 기초론 폰 노이만 - 베르나이스 - 괴델 집합론 모스 - 켈리 집합론 선택 공리 가산 선택 공리 의존적 선택 공리 초른의 보조정리 슈필라인 확장정리 바나흐 - 타르스키 역설 티호노프 정리 집합론의 모형 구성 가능 전체 추이적 집합 추이적 모형 순서수 정의 가능 집합 강제법 큰 기수도달 불가능한 기수 · 가측 기수 · 약콤팩트 기수 · 강콤팩트 기수 · 초콤팩트 기수ZF와 독립된 명제 연속체 가설 특이 기수 가설 수슬린 가설 화이트헤드 문제 결정 공리 마틴 공리 다이아몬드 원리 vdeh컴퓨터 과학의 주요 분야수학적 기초 수리논리학 집합론 정수론 그래프 이론 형 이론 범주론 수치해석학 이산수학 계산 이론 오토마타 이론 계산 가능성 이론 계산 복잡도 이론 양자 계산 이론 알고리즘 & 자료 구조 알고리즘 알고리즘 설계 알고리즘 해석 자료 구조 계산기하학 프로그래밍 언어 & 컴파일러 구문 분석 컴파일러 인터프리터 프로그래밍 언어 구조
하지만 위에서 데스크톱 PC 등 현존하는 모든 컴퓨터들이 유한 상태 기계라고 말하였다. 이것은 컴퓨터에도 엄연히 컴퓨터의 메모리 용량 같은 제한이 존재하기 때문이다. 문자열의 길이가 길어지면 문자의 개수를 세는 데 컴퓨터의 메모리 용량을 다 쓸 것이고, 결국 바닥나 오버플로우할 것이다. 아무리 많은 문자열을 인식할 수 있다고 해도 결국 인식할 수 없는 문자열이 있다. 이러한 사실들은 정규 언어가 어떻게 데스크톱 PC 등에 적용되는지를 이해할 수 있게 해 준다. 내리누름 오토마타의 계산능력 [ 편집 ] 컴퓨터 과학자들은 내리누름 오토마타로 받아들일 수 있는 언어를 문맥 자유 언어라 정의한다. 이 언어는 문맥 자유 문법으로도 표현할 수 있다. 앞에서'a'와'b'가 같은 개수만큼 있는 언어는 정규 언어가 아니라고 하였는데, 내리누름 오토마타로는 표현할 수 있다. 일반적으로 내리누름 오토마타가 유한 상태 기계처럼 동작할 수 있고 따라서 정규 언어를 받아들인다. 그러므로 이 계산 모형은 유한 상태 기계보다 더 강력하다. 하지만 내리누름 오토마타로도 표현할 수 없는 언어가 있다. 정규 언어에서와 비슷하게 찾을 수 있는데, 예로는 소수의 집합이 있다 ( 상세히
리적인 모형은 생각할 수 있는데, 여기서 몇몇 모형을 살펴볼 것이다. 컴퓨터 과학자들은 많은 종류의 초계산기 ( hypercomputer ) 를 생각해냈다. 재귀 이론은 수리논리학의 한 갈래로 이런 계산 모형들을 엄밀하게 다룬다. 무한실행 [ 편집 ] 어떤 기계가 단계를 수행하는 데 전 단계의 반만큼의 실행 시간이 걸린다고 하자. 만일 처음 단계의 실행 시간을 1이라고 둔다면 총 실행시간은 1 1 2 1 4 [UNK] { [UNK] displaystyle 1 { 1 [UNK] over 2 } { 1 [UNK] over 4 } [UNK] cdots } 이 된다. 이 무한급수는 2로 수렴하고, 따라서 이 튜링 기계는 2의 실행 시간 내에 무한 실행이 가능하다. 이 기계는'무한히'실행해보는 것을 통해 정지 문제를 판정할 수 있다. 신탁 기계 [ 편집 ] 이 부분의 본문은 신탁 기계입니다. 신탁 기계는 결정 불가능한 문제를 풀어내는 특정한'신탁'에 접속할 수 있다. 예를 들어'정지 신탁'을 가진 튜링 기계는 임의의 튜링 기계와 입력에 대해 정지 문제를 바로 판정할 수 있다. 초월계산의 한계 [ 편집 ] 이런 기계들이 기존의 한계를 벗어난 것처럼 보여도 다시 각각의 한계를 찾을 수 있다. 이런 기계들이 튜링 기계
가정하자. 그러면 시분할 기법을 이용하여 튜링 기계를 입력으로 하여 M { [UNK] displaystyle M } 을 동작시키면서 동시에 입력으로 받은 기계를 동작시키는 기계 M [UNK] { [UNK] displaystyle M'} 을 만들 수 있다. 만약 입력된 튜링 기계가 멈추지 않는다면 M { [UNK] displaystyle M } 이 멈추고 만일 입력된 튜링 기계가 멈춘다면 M [UNK] { [UNK] displaystyle M'} 에서 입력으로 받은 기계를 동작시키는 부분이 멈출 것이다. 즉, M [UNK] { [UNK] displaystyle M'} 의 두 스레드 중 적어도 하나는 멈춘다. 따라서 M [UNK] { [UNK] displaystyle M'} 은 정지 문제를 판정할 수 있는 기계이며 이것은 정지 문제가 결정 불가능하다는 데서 모순이다. 따라서 정지 언어의 여집합은 순환 열거 언어가 아니다. 가상의 계산모형 [ 편집 ] 처치 - 튜링 명제를 통해, 튜링 기계보다 더 강력하면서 논리적인 모형은 없다고 추측할 수 있다. 그러나 비논리적인 모형은 생각할 수 있는데, 여기서 몇몇 모형을 살펴볼 것이다. 컴퓨터 과학자들은 많은 종류의 초계산기 ( hypercomputer ) 를 생각해냈다. 재귀 이론은 수리
기계를 제안하여 판정 문제를 해결한 것이다. 같이 보기 [ 편집 ] 오토마타 이론 추상 기계 결정 불가능한 문제 목록 계산 복잡도 이론 계산 가능성 논리 초월계산 문제 계산 가능성 이론의 주요 논문 참고 문헌 [ 편집 ] Michael Sipser, Introduction to the Theory of Computation, PWS Publishing ISBN 0 - 534 - 94728 - XPart Two : Computability Theory, chapters 3 - 6, pp. 123 - 222. Christos Papadimitriou, Computational Complexity, Addison Wesley ISBN 0 - 201 - 53082 - 1, Chapter 3 : Computability, pp. 57 - 70. vdeh집합론집합 원소 공집합 한원소 집합 부분 집합 교집합 합집합 여집합 대칭차 [UNK] ( [UNK] 공리 ) 곱집합 ( 순서쌍 ) 유한 집합 무한 집합 ( 무한 공리 ) 가산 집합 드 모르간의 법칙 함수 정의역 공역 치역 상 전사 함수 단사 함수 전단사 함수 다가 함수 역함수 항등 함수 상수 함수 지시 함수 함수의 합성 기수 집합의 크기 칸토어의 정리 ( 대각선 논법 ) 알레프 수 베트 수 극한 기수 기멜 함수 가능 공종도 순서수 정렬 순서 초한귀납법 공종도 ( [UNK] 정리 )
계산 가능성 이론(計算可能性理論, 영어: computability theory) 또는 재귀 이론(再歸理論, 영어: recursion theory)은 수학기초론의 중요한 분야이자 컴퓨터 과학에서는 계산 이론의 한 갈래이다. 계산 가능성 이론의 기초는 가산 집합 상에서 함수의 해를 찾는 문제와 관련이 있다. 1930년대 불완전성 정리와 함께 람다 대수와 튜링 기계라는 계산 모형이 만들어지면서, 어떤 집합이 효율적으로 계산 가능한지의 문제는 실질적으로 그 집합을 효율적으로 계산해 내는 함수를 만들어 내는 것과 같은 일이 되었다. 계산 가능성 이론의 초기 성과는 이들 집합을 계산적으로 동치인 것들로 묶어 위계로 분류한 것이다. 수학적으로 유한히 정의된 함수를 계산 가능성에 따라 분류했을 때 어떤 함수의 계산 가능성 문제를 다른 함수(다른 함수들)의 문제로 환원할 수 있다는 것을 보임으로써, 굳이 알고리즘 자체를 증명에 끌어들이지 않고도 계산 가능성을 증명할 수 있는 것이다. 이에 따라 대안적인 공리계를 모색하기 위한 이론적 토대가 마련되었고, 수리논리학과 증명론에서 직관주의가 입지를 공고히 했으며, 유형 이론과 고차 논리, 자연 연역, 헤이팅 대수의 비약적 발전에 영향을 주었다. 계산 복잡도 이론에서는 계산 가능한 집합을 그 함수의 해를 찾는 효율적인 알고리즘에 의해 소모되는 시공간적 자원의 추세를 토대로 분류한다. 이에 따라 계산 복잡도 이론과 계산 가능성 이론 중 어느 쪽이 상위의 개념인지에 관해 다소 논쟁이 있다.