복소해석학 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 복소해석학 위키백과, 우리 모두의 백과사전. 둘러보기로 가기 검색하러 가기 이 문서의 내용은 출처가 분명하지 않습니다. 이 문서를 편집하여, 신뢰할 수 있는 출처를 표기해 주세요. 검증되지 않은 내용은 삭제될 수도 있습니다. 내용에 대한 의견은 토론 문서에서 나누어 주세요. ( 2012년 12월 ) 복소해석학 ( [UNK] [UNK] 解 [UNK] 學, 영어 : complex analysis ) 은 복소변수 함수 ( 복소함수 ) 를 연구하는 수학의 한 분야이다. 복소해석학은 정수론, 응용수학을 포함한 수학의 여러 분야와 물리학에서도 유용하게 이용된다. 복소해석학의 주된 내용은 복소 해석함수, 좀 더 일반적으로 유리형 함수와 관련된 이론이다. 복소 해석함수는 실수부와 허수부로 나눌 수 있고, 실수부와 허수부를 나타내는 함수는 각각 라플라스 방정식을 만족하기 때문에, 복소해석학은 물리학의 2차원 문제에 광범위하게 응용되고 있다. 목차 1 역사 2 복소함수 3 도함수와 코시 - 리만 방정식 3. 1 도함수 3. 2 코시 - 리만 방정식
같은 프랙털 구조를 다루는 프랙털 기하학 등이 유명하다. 이들 분야에 대한 발달과 함께 복소해석학은 더욱 많은 사람들이 관심을 갖는 분야가 되었다. 최근의 중요한 복소함수론의 응용은 물리학의 끈 이론에서 찾을 수 있다. 복소함수 [ 편집 ] 일반적으로 복소함수란 독립변수와 종속변수가 모두 복소수인 함수를 말한다. 다시 말해 복소함수는 정의역과 치역이 복소평면의 부분집합인 함수로, 복소함수의 독립변수와 종속변수는 모두 실수부와 허수부로 나눌 수 있다. z = x i y { [UNK] displaystyle z = xiy [UNK], } w = f ( z ) = u ( x, y ) i v ( x, y ) { [UNK] displaystyle w = f ( z ) = u ( x, y ) iv ( x, y ) [UNK], } 여기서 x, y [UNK] R { [UNK] displaystyle x, y [UNK] in [UNK] mathbb { R } [UNK], } 이고 u ( x, y ), v ( x, y ) { [UNK] displaystyle u ( x, y ), v ( x, y ) [UNK], } 는 실함수이다.
aystyle f [UNK], ( x ) = e ^ { x } [UNK], } 와 같은 값을 가질 뿐만 아니라, 실함수로서의 지수함수가 갖는 중요한 성질인 f ( x y ) = e x y = e x e y = f ( x ) f ( y ) { [UNK] displaystyle f [UNK], ( xy ) = e ^ { xy } = e ^ { x } [UNK], e ^ { y } = f [UNK], ( x ) [UNK], f [UNK], ( y ) } 를 복소평면에서 만족하도록 정의되었다. 도함수와 코시 - 리만 방정식 [ 편집 ] 도함수 [ 편집 ] 실함수에서와 마찬가지로 복소함수 f ( z ) { [UNK] displaystyle f ( z ) [UNK], } 의 정의역 안의 점 z { [UNK] displaystyle z [UNK], } 에서의 미분은 극한 f [UNK] ( z ) = d w d z = lim h → 0 f ( z h ) - f ( z ) h [UNK] [UNK] ( 1 ) { [UNK] displaystyle f ^ { [UNK] prime } ( z ) = { [UNK] frac { dw } { dz } } = [UNK] lim - { h [UNK] to 0 } { [UNK] frac { f ( zh ) - f ( z ) } { h } } [UNK],
eton Lectures in Analysis ( 영어 ) 2. Princeton University Press. ISBN 978 - 069111385 - 2. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 ( 도움말 ) Rudin, Walter ( 1987 ). 《 Real and complex analysis 》 ( 영어 ) 3판. McGraw - Hill. ISBN 978 - 007054234 - 1. MR 0924157. Zbl 0925. 005. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 22일에 확인함. CS1 관리 - 추가 문구 ( 링크 ) Silverman, Richard A. ( 1967 ). 《 Introductory complex analysis 》. Dover Books on Mathematics ( 영어 ). Dover. ISBN 978 - 048664686 - 2. Zbl 0145. 29804. Ullrich, David C. ( 2008 ). 《 Complex made simple 》. Graduate Studies in Mathematics ( 영어 ) 97. American Mathematical Society. ISBN 978 - 0 - 8218 - 4479 - 3. Zbl 1221. 30002. Greene, Robert E. ; Steven G. Krantz. 《
수를 그 닫힌곡선을 따라 적분한 값은 항상 0이다. 코시의 적분공식 : 원판 안에서 정칙함수의 값은 그 원판의 경계선 ( 원 ) 을 따라 그 함수와 관련된 특정한 형태의 함수를 적분하여 구할 수 있다. 유수 정리 : 닫힌곡선의 안쪽에서 극 ( 극점 ) 이나 진성특이점을 갖는 복소함수의 닫힌곡선 위에서의 선적분의 계산은 유수 정리를 이용할 수 있다. 유수 정리를 이용하면 실수체 위에서 사실상 불가능할 정도로 복잡한 실함수의 적분 계산을 복소평면에서의 선적분을 이용하여 계산할 수 있다. 복소해석학의 주요 주제는 복소함수 - 해석함수, 유리형 함수 - 에 관한 것이다. 테일러 급수 : 해석적인 복소함수는 테일러 급수로 나타낼 수 있다. 로랑 급수 : 특이점을 제외한 특이점 근방에서 복소함수는 로랑의 급수로 나타낼 수 있으며 이를 이용하여 특이점 근방에서의 복소함수의 특성을 알아볼 수 있다. 피카르의 대정리 : 진성특이점 근방에서 해석함수의 특성을 설명하는 정리이다. 리우빌 정리 : 전체 복소평면에서 유계인 해석함수 즉, 유계인 전해석함수는 상수함수
위 두 식의 실수부와 실수부, 허수부와 허수부는 같아야 하므로 다음이 성립한다. [UNK] u [UNK] x = [UNK] v [UNK] y [UNK] u [UNK] y = - [UNK] v [UNK] x { [UNK] displaystyle { [UNK] frac { [UNK] partial u } { [UNK] partial x } } = { [UNK] frac { [UNK] partial v } { [UNK] partial y } } [UNK] qquad { [UNK] frac { [UNK] partial u } { [UNK] partial y } } = - { [UNK] frac { [UNK] partial v } { [UNK] partial x } } [UNK], } 또는, u x = v y u y = - v x. { [UNK] displaystyle u - { x } = v - { y } [UNK] qquad u - { y } = - v - { x }. [UNK], } 이 두 방정식을 코시 - 리만 방정식이라고 한다. 중요한 결과들 [ 편집 ] 복소해석학에서 가장 중요한 해석 도구 중의 하나로 선적분을 들 수 있다. 코시의 적분정리 : 닫힌 곡선의 안쪽에서 해석적인 복소함수를 그 닫힌곡선을 따라 적분한 값은 항상 0이다. 코시의 적분공식 : 원판 안에서 정칙함수의 값은 그 원판의 경계선 ( 원 ) 을 따라
고유 링크문서 정보위키데이터 항목이 문서 인용하기 다른 프로젝트 공용 인쇄 / 내보내기 책 만들기PDF로 다운로드인쇄용 판 다른 언어 [UNK] 日 本 語 [UNK] [UNK] / [UNK] [UNK] 中 文 링크 편집 이 문서는 2019년 5월 2일 ( 목 ) 17 : 37에 마지막으로 편집되었습니다. 모든 문서는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시 - 동일조건변경허락 3. 0에 따라 사용할 수 있으며, 추가적인 조건이 적용될 수 있습니다. 자세한 내용은 이용 약관을 참고하십시오. [UNK] 미국 및 다른 국가에 등록되어 있는 Wikimedia Foundation, Inc. 소유의 등록 상표입니다. 개인정보 정책 위키백과 소개 면책 조항 개발자 쿠키 정책 모바일 보기
{ [UNK] frac { dw } { dz } } = [UNK] lim - { h [UNK] to 0 } { [UNK] frac { f ( zh ) - f ( z ) } { h } } [UNK], [UNK] cdots [UNK] cdots ( 1 ) } 으로 정의한다. 만약 극한이 존재하지 않는다면 f ( z ) { [UNK] displaystyle f ( z ) [UNK], } 는 점 z 0 { [UNK] displaystyle z - { 0 } [UNK], } 에서 미분 불가능하다. 여기서 극한에 관해 주의해야 할 것은, 일변수 함수의 극한에서 h { [UNK] displaystyle h [UNK], } 는 수직선을 따라 0에 접근하는 경우만을 생각할 수 있었지만, 복소평면에서는 무수히 많은 경로를 생각할 수 있고 어떤 경우든 그 극한값이 모두 일치해야 극한이 존재한다는 점이다. 복소함수 f : D → C { [UNK] displaystyle f : D [UNK] rightarrow [UNK] mathbb { C } [UNK], } 의 영역 D { [UNK] displaystyle D [UNK], } 안의 모든 점에서 위 ( 1 ) 의 극한이 존재하면 f { [UNK] displaystyle f [UNK], } 를 D { [UNK] displaystyle D [UNK], } 에서 미분가능하다고 하고 식 ( 1 )
기하학 리만 기하학 위상수학 일반위상수학 대수적 위상수학 미분위상수학 매듭 이론 수학기초론 수리논리학 모형 이론 증명 이론 계산 가능성 이론 집합론 범주론 이산수학 계산 이론 계산 복잡도 이론 암호학 조합론 그래프 이론 확률과 통계 확률론 통계학 확률미적분학 게임 이론 결정이론 전거 통제 LCCN : sh85052356 원본 주소 " " 분류 : 복소해석학숨은 분류 : 출처가 필요한 글 / 2012년 12월출처가 필요한 모든 글전체에 출처가 필요한 글영어 표기를 포함한 문서인용 오류 - 오래된 변수를 사용함CS1 관리 - 추가 문구CS1 - 영어 인용 ( en ) LCCN 식별자를 포함한 위키백과 문서 둘러보기 메뉴 개인 도구 로그인하지 않음토론기여계정 만들기로그인 이름공간 문서토론 변수 보기 읽기편집역사 보기 더 보기 검색 둘러보기 대문사용자 모임요즘 화제최근 [UNK] 문서 보기임의 문서로도움말기부 도구 여기를 가리키는 문서가리키는 글의 최근 [UNK] 올리기특수 문서 목록고유 링크문서 정보위키데이터 항목이 문서 인용하기 다른 프로젝트 공용 인쇄 / 내보내기 책 만들기PDF로 다운로드인쇄용 판 다른 언어 [UNK] 日 本 語 [UNK] [UNK] / [UNK] [UNK] 中
문제에 광범위하게 응용되고 있다. 목차 1 역사 2 복소함수 3 도함수와 코시 - 리만 방정식 3. 1 도함수 3. 2 코시 - 리만 방정식 4 중요한 결과들 5 참고 문헌 6 외부 링크 역사 [ 편집 ] 복소해석학은 19세기 무렵에 여러 수학자들에 의해 연구되기 시작한 분야로, 수학의 고전적인 분야 가운데 하나이다. 초창기에는 레온하르트 오일러, 카를 프리드리히 가우스, 베른하르트 리만, 오귀스탱 루이 코시, 카를 바이어슈트라스 등이 중요한 업적을 남겼고, 20세기에 들어서는 더 많은 수학자들이 복소해석학의 연구에 동참했다. 전통적으로 복소해석학의 주제들, 그 중에서도 특히 등각사상은 물리학의 여러 분야에 응용되었으며, 이는 해석적 수론의 연구 전반에서도 중요한 역할을 한다. 현대에 복소해석학이 응용되는 분야는 20세기 말부터 두각을 나타내고 있는 복소 동역학이나, 해석함수를 반복적으로 적용하여 얻을 수 있는 망델브로 집합과 같은 프랙털 구조를 다루는 프랙털 기하학 등이 유명하다. 이들 분야에 대한 발달과 함께 복소해석학은 더욱 많은 사람들이 관심을 갖는 분야가 되었
복소해석학(複素解析學, 영어: complex analysis)은 복소변수 함수(복소함수)를 연구하는 수학의 한 분야이다. 복소해석학은 정수론, 응용수학을 포함한 수학의 여러 분야와 물리학에서도 유용하게 이용된다. 복소해석학의 주된 내용은 복소 해석함수, 좀 더 일반적으로 유리형 함수와 관련된 이론이다. 복소 해석함수는 실수부와 허수부로 나눌 수 있고, 실수부와 허수부를 나타내는 함수는 각각 라플라스 방정식을 만족하기 때문에, 복소해석학은 물리학의 2차원 문제에 광범위하게 응용되고 있다.