맥스웰 - 볼츠만 분포 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 맥스웰 - 볼츠만 분포 위키백과, 우리 모두의 백과사전. 둘러보기로 가기 검색하러 가기 맥스웰 - 볼츠만 분포 ( Maxwell - Boltzmann 分 [UNK] ) 는 물리학과 화학에서 응용하는 확률 분포이다. 일반적으로 사용되는 곳이 통계 역학이다. 모든 물리 계의 온도는 그 계를 구성하는 분자들이나 원자들의 운동에 의해 발생한다. 이 입자들은 각각 다른 속도 범위를 가지고 있는데 다른 입자들과 충돌하면서 일정하게 변한다. 이러한 속도들의 맥스웰 분포는 모든 속도 범위에 대해 계의 온도에 대한 함수로 표현된다. 만약, 이 분포가 표준 편차 a { [UNK] displaystyle a } 에 대한 정규분포처럼 그 성분들이 분산되어 있다면 이 분포는 3차원 벡터의 크기로 생각할 수 있다. 즉, X i { [UNK] displaystyle X - { i } } 가 X ∼ N ( 0, a 2 ) { [UNK] displaystyle X [UNK] sim N ( 0, a ^ { 2 } ) } 처럼 분포되면 아래 식이 파라메터 a { [UNK] displaystyle a } 로 맥스웰 - 볼츠만 분포처럼 분포된다. Z = X 1 2 X 2 2 X 3
{ 2 } p - { z } ^ { 2 } ) } { 2mkT } } [UNK] right ] [UNK] qquad [UNK] qquad ( 3 ) } Z는 여기서 분배 함수를 나타내며, 식 1에서 분모에 해당된다. m 은 기체의 분자 질량이며, T 는 열역학 온도, k 는 볼츠만 상수이다. Ni / N의 분포는 운동량 성분들의 값으로 분자를 찾을 확률 밀도 함수 fp 에 비례적이다. 따라서 밑의 식으로 나타낼 수 있다. f p ( p x, p y, p z ) = c Z exp [ - ( p x 2 p y 2 p z 2 ) 2 m k T ]. ( 4 ) { [UNK] displaystyle f - { [UNK] mathbf { p } } ( p - { x }, p - { y }, p - { z } ) = { [UNK] frac { c } { Z } } [UNK] exp [UNK] left [ { [UNK] frac { - ( p - { x } ^ { 2 } p - { y } ^ { 2 } p - { z } ^ { 2 } ) } { 2mkT } } [UNK] right ]. [UNK] qquad [UNK] qquad ( 4 ) } 규격화 상수 c는 어떠한 운동량이 반드시 1이 되는 값을 가지는 분자의 확률을 알아내는 것으로 고려
v = v x 2 v y 2 v z 2 { [UNK] displaystyle v = { [UNK] sqrt { v - { x } ^ { 2 } v - { y } ^ { 2 } v - { z } ^ { 2 } } } } 식 10에 있는 f ( v ) 의 단위는 단위 속력당 확률이거나, 그래프의 오른쪽에서 단지 속력의 반비례가 된다. 그리고 속도가 정규화 분포된 세 속도 성분들의 제곱의 합의 제곱근이 되면, 이 분포는 a = k T / m { [UNK] displaystyle a = { [UNK] sqrt { kT / m } } } 만큼의 맥스웰 - 볼츠만 분포가 된다. 또한 우리는 실제 분포보다 입자들의 평균속력과 같은 물리량을 필요로 한다. 평균 속도, 예상 속도와 제곱 평균은 맥스웰 - 볼츠만 분포의 특성으로부터 나타내질 수 있다. 전체 속력 [ 편집 ] 위의 식들이 속력 분포를 알 수 있게 해 주지만 일반적으로 실제 분포보다 입자들의 평균 속력와 같이 그 실제적인 양을 필요로 한다. vp는 어떤 계에서 어느 분자에 의해 같아진 속력이고 최댓값이나 f ( v ) 의 모드에 대응한다. 이것을 찾으려면 df / dv을 계산해야 한다. 이것을 0으로 두고 v에 대하여 풀
= ( m 2 pi k T ) 3 exp [ - m ( v x 2 v y 2 v z 2 ) 2 k T ], ( 8 ) { [UNK] displaystyle f - { [UNK] mathbf { v } } ( v - { x }, v - { y }, v - { z } ) = { [UNK] sqrt { [UNK] left ( { [UNK] frac { m } { 2 [UNK] pi kT } } [UNK] right ) ^ { 3 } } } [UNK] exp [UNK] left [ { [UNK] frac { - m ( v - { x } ^ { 2 } v - { y } ^ { 2 } v - { z } ^ { 2 } ) } { 2kT } } [UNK] right ], [UNK] qquad [UNK] qquad ( 8 ) } 이것이 바로 맥스웰 - 볼츠만의 속도 분포이다. 무한소 [ dvx, dvy, dvz ] 에서 v = [ vx, vy, vz ] 에 대한 어떤 속도를 가진 입자를 찾을 확률은 밑의 식이 된다. f v ( v x, v y, v z ) d v x d v y d v z. { [UNK] displaystyle f - { [UNK] mathbf { v } } [UNK] left ( v - { x }, v - { y }, v - { z } [UNK] right
d v y d v z. { [UNK] displaystyle f - { [UNK] mathbf { v } } [UNK] left ( v - { x }, v - { y }, v - { z } [UNK] right ) [UNK], dv - { x } [UNK], dv - { y } [UNK], dv - { z }. } 운동량처럼 이 분포는 분산 k T / m { [UNK] displaystyle kT / m } 만큼 주어진 세 가지 독립적인 정규 분포 값들 v x { [UNK] displaystyle v - { x } } v y { [UNK] displaystyle v - { y } }, v z { [UNK] displaystyle v - { z } } 의 곱으로 보인다. 이것 역시 벡터 속도 [ vx, vy, vz ] 에 대한 맥스웰 - 볼츠만 속도 분포가 각 세 가지 방향에 대하여 분포들의 곱이라는 것으로 보일 수 있다. f v ( v x, v y, v z ) = f v ( v x ) f v ( v y ) f v ( v z ) { [UNK] displaystyle f - { v } [UNK] left ( v - { x }, v - { y }, v - { z } [UNK] right ) = f - { v } ( v - { x } ) f - { v } ( v - { y } )
[UNK] left ( v - { x }, v - { y }, v - { z } [UNK] right ) = f - { v } ( v - { x } ) f - { v } ( v - { y } ) f - { v } ( v - { z } ) } 한 방향에 대한 분포는 분산 k T m { [UNK] displaystyle { [UNK] frac { kT } { m } } } 의 정규 분포의 형태를 가지고 있다. 정지 상태의 기체에 대해 예측했던 것처럼, 어떤 방향에 대한 평균 속도는 0이 된다. f v ( v i ) = m 2 pi k T exp [ - m v i 2 2 k T ]. ( 9 ) { [UNK] displaystyle f - { v } ( v - { i } ) = { [UNK] sqrt { [UNK] frac { m } { 2 [UNK] pi kT } } } [UNK] exp [UNK] left [ { [UNK] frac { - mv - { i } ^ { 2 } } { 2kT } } [UNK] right ]. [UNK] qquad [UNK] qquad ( 9 ) } 속력 분포 [ 편집 ] 온도 298. 15K ( 25 C ) 에서 불활성 기체들의 속도의 확률 밀도 함수는 정규 분포로 접근하지만 오른쪽으로 편중된 모습을 보이다. y축은 s / m이므로 곡선 상의 면적은
- { y }, p - { z } ) = { [UNK] sqrt { [UNK] left ( { [UNK] frac { 1 } { 2 [UNK] pi mkT } } [UNK] right ) ^ { 3 } } } [UNK] exp [UNK] left [ { [UNK] frac { - ( p - { x } ^ { 2 } p - { y } ^ { 2 } p - { z } ^ { 2 } ) } { 2mkT } } [UNK] right ]. [UNK] qquad [UNK] qquad ( 6 ) } 이 분포는 분산 m k T { [UNK] displaystyle mkT } 에 의한 3개의 독립적인 정규 분포 값들 p x { [UNK] displaystyle p - { x } }, p y { [UNK] displaystyle p - { y } }, p z { [UNK] displaystyle p - { z } } 의 곱으로 보일 수 있다. 게다가 운동량의 크기가 a = m k T { [UNK] displaystyle a = { [UNK] sqrt { mkT } } } 만큼 맥스웰 - 볼츠만 분포처럼 분포될 것이라고 보일 수 있다. 에너지의 분포 [ 편집 ] p 2 = 2 m E { [UNK] displaystyle p ^ { 2 } = 2mE } 를 사용하여 에너지 분포에 대한 식을 유도할 수 있다. f E d E
광범위하게 유도된 계산들이 후에 1877년 볼츠만이 적은 가정으로 설명되고 이 가정이 더 설득력을 얻었다. 바닥 상태에서 상호 작용이 없는 원자들로만 구성된 " 이상 기체 " 의 경우, 모든 에너지는 운동 에너지의 형태로 되어 있고 일반적인 입자들에 대하여 운동 에너지와 운동량은 아래와 같은 관계를 가진다. E = p 2 2 m { [UNK] displaystyle E = { [UNK] frac { p ^ { 2 } } { 2m } } } 여기서 p2는 운동량 벡터의 제곱이 된다. p = [ px, py, pz ]. 따라서 우리는 식 1을 다음과 같이 사용할 수 있다. N i N = 1 Z exp [ - ( p x 2 p y 2 p z 2 ) 2 m k T ] ( 3 ) { [UNK] displaystyle { [UNK] frac { N - { i } } { N } } = { [UNK] frac { 1 } { Z } } [UNK] exp [UNK] left [ { [UNK] frac { - ( p - { x } ^ { 2 } p - { y } ^ { 2 } p - { z } ^ { 2 } ) } { 2mkT } } [UNK] right ] [UNK] qquad [UNK] qquad ( 3 ) } Z는 여기서 분배 함수를 나타내며, 식 1에서
, a ^ { 2 } ) } 처럼 분포되면 아래 식이 파라메터 a { [UNK] displaystyle a } 로 맥스웰 - 볼츠만 분포처럼 분포된다. Z = X 1 2 X 2 2 X 3 2 { [UNK] displaystyle Z = { [UNK] sqrt { X - { 1 } ^ { 2 } X - { 2 } ^ { 2 } X - { 3 } ^ { 2 } } } } 목차 1 특성 2 맥스웰 - 볼츠만 분포의 물리적 응용 2. 1 운동량 벡터의 분포 2. 2 에너지의 분포 2. 3 속도 벡터 분포 2. 4 속력 분포 2. 5 전체 속력 3 참고 하기 4 외부 링크 특성 [ 편집 ] 맥스웰 - 볼츠만 분포 곡선은 입자들의 평균 표본에서 어떻게 입자 속도가 분포되는지 보여준다. 어떤 주어진 온도에서 매우 적은 입자들만이 매우 낮거나 높은 에너지를 갖는다. ( 대부분은 두 상태 내부 어딘가에 에너지 준위를 가질 것이다. ) 이것은 평균 에너지라고 불린다. 반응이 일어나려면 활성 에너지 장벽을 넘어야 한다. 만약 입자의 수를 늘리면, 반응 물질의 농도가 증가하고 보다 높은 활성화 에너지를 만들 수 있다. a = 1 { [UNK] displaystyle a = 1 } 에서 맥스웰 - 볼츠만 분포는 Chi - 분포와 동일하다. 추가로, 만약
온도 298. 15K ( 25 C ) 에서 불활성 기체들의 속도의 확률 밀도 함수는 정규 분포로 접근하지만 오른쪽으로 편중된 모습을 보이다. y축은 s / m이므로 곡선 상의 면적은 ( 차지하는 범위만큼의 속도의 확률을 표현한다. ) 단위가 없을 것이다. 통계 물리에서는 분자 개개의 속도보다 분자들의 속력에 더 관심을 가진다. 속력에 대한 맥스웰 - 볼츠만 분포는 아래와 같이 쓸 수 있다. f ( v ) = 4 pi ( m 2 pi k T ) 3 / 2 v 2 exp [ - m v 2 2 k T ] ( 10 ) { [UNK] displaystyle f ( v ) = 4 [UNK] pi [UNK] left ( { [UNK] frac { m } { 2 [UNK] pi kT } } [UNK] right ) ^ { 3 / 2 } [UNK]! [UNK]! v ^ { 2 } [UNK] exp [UNK] left [ { [UNK] frac { - mv ^ { 2 } } { 2kT } } [UNK] right ] [UNK] qquad ( 10 ) } 여기서 속력 v는 아래와 같이 정의된다. v = v x 2 v y 2 v z 2 { [UNK] displaystyle v = { [UNK] sqrt { v - { x } ^ { 2 } v - { y } ^ { 2 } v - { z }
맥스웰-볼츠만 분포(Maxwell-Boltzmann 分布)는 물리학과 화학에서 응용하는 확률 분포이다. 일반적으로 사용되는 곳이 통계 역학이다. 모든 물리 계의 온도는 그 계를 구성하는 분자들이나 원자들의 운동에 의해 발생한다. 이 입자들은 각각 다른 속도 범위를 가지고 있는데 다른 입자들과 충돌하면서 일정하게 변한다. 이러한 속도들의 맥스웰 분포는 모든 속도 범위에 대해 계의 온도에 대한 함수로 표현된다. 만약, 이 분포가 표준 편차 a {\displaystyle a} 에 대한 정규분포처럼 그 성분들이 분산되어 있다면 이 분포는 3차원 벡터의 크기로 생각할 수 있다. 즉, X i {\displaystyle X-{i}} 가 X ∼ N (0, a 2) {\displaystyle X\sim N(0, a^{2})} 처럼 분포되면 아래 식이 파라메터 a {\displaystyle a} 로 맥스웰-볼츠만 분포처럼 분포된다. Z = X 1 2 X 2 2 X 3 2 {\displaystyle Z={\sqrt {X-{1}^{2}X-{2}^{2}X-{3}^{2}}}}