일반항 판정법 비판정법 근판정법 적분판정법 비교판정법 극한비교판정법 교대급수판정법 코시 응집판정법 디리클레 판정법 아벨 판정법 벡터 미적분학 기울기 발산 회전 라플라시안 방향도함수 벡터 미적분표 정리 발산정리 기울기정리 그린 정리 켈빈 - 스토크스 정리 다변수 미적분학 형식 행렬 텐서 외미분 기하 정의 편미분 중적분 선적분 면적분 삼중적분 야코비안 헤세 행렬 특수한 경우 분수차 미적분 말리아빈 미적분 확률미적분학 변분법 vdeh 수학에서, 미분 ( 영어 : derivative, [UNK] 分 ) 또는 도함수 ( [UNK] [UNK] 數 ) 는 어떤 함수의 정의역 속 각 점에서의 함숫값의 변화량과 독립 변숫값의 변화량의 비의 극한 혹은 극한들로 치역이 구성되는 새로운 함수이다. [ 1 ] 어떤 함수의 미분 계수를 구하는 것을 의미하며 미분 계수는 독립 변수 x의 증분에 대한 함숫값 [UNK] ( x ) 의 증분의 비가 한없이 일정한 값에 가까워질 때의 그 일정한 값 즉, 함수에서 변수 x값의 변화량에 대한 함숫값 [UNK] ( x ) 의 변화량의 비가 한없이 일정한 값에 가까워질 때의 그 일정한 값 dy
. 함수의 미분은 존재하지 않을 수 있다. 미분이 모든 곳에서 존재하는 함수를 미분 가능 함수라고 한다. 미분 가능 함수는 반드시 연속 함수 ( = 독립 변수의 변화가 미세할 때 함숫값의 변화 역시 미세한 함수 ) 이어야 한다. 그러나 연속 함수가 반드시 미분 가능 함수이지는 않다. 함수의 미분을 정의역 속 각 점에 그 점에서의 미분을 대응시키는 함수 ( 도함수 ) 로 여길 수 있다. 따라서, 함수의 도함수의 도함수, 함수의 도함수의 도함수의 도함수 따위를 생각할 수 있으며, 이들을 그 함수의 고계 도함수 ( 高 [UNK] [UNK] [UNK] 數, 영어 : higher order derivative ) 또는 고계 미분 ( 高 [UNK] [UNK] 分 ) 이라고 한다. 예를 들어, 변위의 도함수는 순간 속도, 이계 도함수는 순간 가속도이다. 미적분학의 기본 정리에 따르면 원시함수는 부정적분과 같아서 정적분을 미분법의 역연산을 통해 구할 수 있으므로 미분과 적분은 대략 서로 역연산의 관계이다. 미분은 여러 분야의 여러 문제에서 응용된다. 미분을 통해 함수의 단조성 · 극값 · 볼록성을 판정할 수 있다. 미분계수는 함수의 선형 근사의 계수이며
값에 가까워질 때의 그 일정한 값 즉, 함수에서 변수 x값의 변화량에 대한 함숫값 [UNK] ( x ) 의 변화량의 비가 한없이 일정한 값에 가까워질 때의 그 일정한 값 dy / dx로 나타낸다. 동사로서의 미분 ( 영어 : differentiation ) 은 이러한 극한이나 도함수를 구하는 일 즉 미분법을 뜻하기도 한다. 도함수로부터 미분의 역연산을 통해 원시함수 ( antiderivative ) 를 구하는 것 역시 미분법 ( differential calculus ) 의 주요주제이다. 역사적으로나 직관적으로나, 미분의 개념은 주어진 변위의 물체의 순간 속도를 구하는 물리학 문제 및 주어진 곡선의 접선의 기울기를 구하는 기하학 문제와 연관 있다. 즉, 순간 속도는 평균 속도의 극한이며, 접선의 기울기는 할선의 기울기의 극한인데, 서로 다른 이 두 문제의 수학적 실질은 미분으로 서로 같다. 전자는 아이작 뉴턴이, 후자는 고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 연구하였다. 함수의 미분은 존재하지 않을 수 있다. 미분이 모든 곳에서 존재하는 함수를 미분 가능 함수라고 한다. 미분 가능 함수는 반드시 연속 함수 ( = 독립 변수의 변화가 미세할 때 함숫값
. v ( t ) = lim [UNK] t → 0 [UNK] s [UNK] t = lim [UNK] t → 0 s ( t [UNK] t ) - s ( t ) [UNK] t { [UNK] displaystyle v ( t ) = [UNK] lim - { [UNK] Delta t [UNK] to 0 } { [UNK] frac { [UNK] Delta s } { [UNK] Delta t } } = [UNK] lim - { [UNK] Delta t [UNK] to 0 } { [UNK] frac { s ( t [UNK] Delta t ) - s ( t ) } { [UNK] Delta t } } } 일반적인 함수에 대하여, 미분은 그 함수의 변화량과 독립 변수의 변화량의 비가, 변화량이 0에 가까워질 때 갖는 극한으로 정의된다. 이에 따라, 순간 속도 v ( t ) { [UNK] displaystyle v ( t ) } 는 변위 s ( t ) { [UNK] displaystyle s ( t ) } 의 ( 시간 t { [UNK] displaystyle t } 에 대한 ) 미분이며, 이를 v ( t ) = s [UNK] ( t ) { [UNK] displaystyle v ( t ) = s'( t ) } 또는 v = d s d t { [UNK] displaystyle v = { [UNK] frac { ds } { dt } } } 와 같이 표기할 수 있다.
displaystyle y = f ( x ) } 에 대하여, 증분 ( [UNK] 分, 영어 : increment ) 은 독립 변숫값의 변화량 [UNK] x { [UNK] displaystyle [UNK] Delta x } 및 함숫값의 변화량 [UNK] y = f ( x [UNK] x ) - f ( x ) { [UNK] displaystyle [UNK] Delta y = f ( x [UNK] Delta x ) - f ( x ) } 을 뜻하는 용어이며, 평균 변화율 ( 平 [UNK] [UNK] 化 [UNK], 영어 : average rate of change ) 은 두 증분의 비 [UNK] y [UNK] x = f ( x [UNK] x ) - f ( x ) [UNK] x { [UNK] displaystyle { [UNK] frac { [UNK] Delta y } { [UNK] Delta x } } = { [UNK] frac { f ( x [UNK] Delta x ) - f ( x ) } { [UNK] Delta x } } } 를 뜻하는 용어이다. [ 3 ] 미분 또는 미분 계수 ( [UNK] 分 [UNK] 數, 영어 : differential coefficient ) 또는 순간 변화율 ( [UNK] 間 [UNK] 化 [UNK], 영어 : instantaneous rate of change ) 은 평균 변화율의 극한 d y d x = lim [UNK] x → 0 [UNK] y [UNK] x = lim [UNK]
는 데 사용된다. 이는 고계 도함수를 나타내기 힘겨운 표기법이지만, 시간에 대한 미분은 보통 이계를 넘지 않는 편이다. 오일러의 표기법 [ 편집 ] 레온하르트 오일러는 도함수를 미분 연산자를 통해 표기하였다. 즉, 일계 · 고계 도함수의 표기는 각각 다음과 같다. D f { [UNK] displaystyle Df } D n f { [UNK] displaystyle D ^ { n } f } 성질 [ 편집 ] 미분 가능성 [ 편집 ] 이 함수는 0을 도약 불연속점으로 하므로, 0에서 미분 가능하지 않다. 미분 가능 함수는 항상 연속 함수이다. ( 이는 연속 함수가 아니라면, 독립 변숫값이 0에 가까워질 때 함숫값이 0에 가까워지지 않으므로, 이 둘의 비가 유한한 값으로 수렴하지 못하기 때문이다. ) 그러나 연속 함수는 미분 가능 함수가 아닐 수 있다. 열린구간 I { [UNK] displaystyle I } 에 정의된 함수 f : I → R { [UNK] displaystyle f [UNK] colon I [UNK] to [UNK] mathbb { R } } 및 점 a [UNK] I { [UNK] displaystyle a [UNK] in I } 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. f [UNK] ( a ) { [UNK]
[ 편집 ] 미분표 문서를 참고하십시오. 제곱 함수의 그래프 바이어슈트라스 함수는 모든 점에서 연속이면서 모든 점에서 미분 불가능한 병적 함수의 예이다. 절댓값 함수는 0을 지나는 직선 가운데 접선과 유사한 성질을 갖는 것들은 기울기가 [ - 1, 1 ] 에 속하는 직선들이며, 이는 유일하지 않다. 세제곱근 함수의 0에서의 접선은 기울기가 무한대인 수직선이다. f ( x ) = xsin ( 1 / x ) ( x [UNK] 0 ) ; f ( 0 ) = 0와 같이 정의되는 함수의, 0을 지나는 할선의 기울기는 - 1과 1 사이에서 심하게 요동친다. 정의를 통한 계산 [ 편집 ] 함수 f ( x ) = x 2 { [UNK] displaystyle f ( x ) = x ^ { 2 } } 의 미분을 정의에 따라 계산하면 다음과 같다. f [UNK] ( x ) = lim [UNK] x → 0 f ( x [UNK] x ) - f ( x ) [UNK] x = lim [UNK] x → 0 ( x [UNK] x ) 2 - x 2 [UNK] x = lim [UNK] x → 0 x 2 2 x [UNK] x ( [UNK] x ) 2 - x 2 [UNK] x = lim [UNK] x → 0 2 x [UNK] x ( [UNK] x ) 2 [UNK] x = lim [UNK] x →
aystyle D - { a } f [UNK] colon [UNK] mathbb { R } [UNK] to W } 은 다음과 같다. [ 10 ] D a f ( [UNK] x ) = [UNK] x f [UNK] ( a ) { [UNK] displaystyle D - { a } f ( [UNK] Delta x ) = [UNK] Delta xf'( a ) } 기타 [ 편집 ] 그 밖의 미분의 일반화에는 미분 연산자 · 미분 대수 · 두 매끄러운 다양체 사이의 미분 가능 함수 따위가 있다. 역사 [ 편집 ] 뉴턴은 변화량의 순간변화율이 곡선의 접선과 같다는 점을 발견하였다. 미분적분학에서 다루는 구적법과 같은 계산 방식은 고대 그리스의 아르키메데스가 구와 원기둥의 부피를 계산한 때부터 전해왔다. [ 11 ] 그러나, 무한의 개념을 수학에 도입하여 계산하기 시작한 것은 17세기 이탈리아의 수학자 에반젤리스타 토리첼리 때 부터이다. 토리첼리는 무한소의 개념 ( 무한히 작은 단위량 ) 을 도입하여 포물선 일부 구간의 면적을 구하는 방법을 정리하였다. 또한 거리와 속도의 관계를 밝혔고 넓이를 구하는 문제가 접선을 구하는 문제와 역관계가 있다는 것을 밝혔다. [ 12 ] 아이작 뉴턴과 라이프니츠는 각각 독자적인 방법
t ) 또는 순간 변화율 ( [UNK] 間 [UNK] 化 [UNK], 영어 : instantaneous rate of change ) 은 평균 변화율의 극한 d y d x = lim [UNK] x → 0 [UNK] y [UNK] x = lim [UNK] x → 0 f ( x [UNK] x ) - f ( x ) [UNK] x { [UNK] displaystyle { [UNK] frac { dy } { dx } } = [UNK] lim - { [UNK] Delta x [UNK] to 0 } { [UNK] frac { [UNK] Delta y } { [UNK] Delta x } } = [UNK] lim - { [UNK] Delta x [UNK] to 0 } { [UNK] frac { f ( x [UNK] Delta x ) - f ( x ) } { [UNK] Delta x } } } 을 뜻하는 용어이다. [ 3 ] 여기서 극한 대신 좌극한을 사용하면 좌미분 또는 좌미분 계수 ( [UNK] [UNK] 分 [UNK] 數 ) 의 개념을 얻으며, 우극한을 사용하면 우미분 또는 우미분 계수 ( [UNK] [UNK] 分 [UNK] 數 ) 의 개념을 얻는다. 정의 [ 편집 ] 함수 f : I → R { [UNK] displaystyle f [UNK] colon I [UNK] to [UNK] mathbb { R } } ( I { [UNK] displaystyle I } 는 열린구간 ) 의 점 a [UNK] I { [UNK] displaystyle a
를 놓고 오랫동안 다투었으며 이로 인해 유럽의 수학계는 둘 중 누구를 지지하는 가를 놓고 심한 대립을 보이기도 하였다. 뉴턴과 라이프니츠는 서로 상대방이 자신의 아이디어를 훔쳤다고 비난하였다. 이러한 대립은 라이프니츠가 사망한 이후에도 계속되었다. 오늘날에는 뉴턴과 라이프니츠가 각자 독자적인 방법으로 미분을 발견했다고 본다. [ 13 ] 각주 [ 편집 ] ↑ 이 극한값을 의미하는'미분계수'라는 용어는 현대 영어권 수학계에서 더이상 사용하지 않는 용어이다. 비록 대한민국의 고등학교 교과과정에서'미분계수 ','미분 ','도함수'를 서로 다른 용어로 설명하고 있으나 현대수학의 추세를 따라 본 문서에서도 용어를 통합하는 방향으로 재구성이 필요하다. ↑ 미야구치 유우지 ( 2001 ). 《 수학을 다시 시작하는 책 》. 번역 김상윤. 자음과 모음. 156 - 160쪽. ISBN 89 - 8447 - 141 - 0. ↑ 가 나 박은순 ( 2008 ). 《 쉬운 미분 · 적분학 》. 숭실대학교출판부. 211 - 212쪽. ISBN 89 - 7450 - 235 - 6. ↑ 한상현 ( 2010 ). 《 현대토목수학 》. 동화기술. 217 - 218쪽.
미분(微分, 영어: derivative) 또는 도함수(導函數)는 어떤 함수의 정의역 속 각 점에서 함숫값의 변화량과 독립 변숫값의 변화량 비의 극한 혹은 극한들로 치역이 구성되는 새로운 함수다. 어떤 함수의 순간 변화율(미분계수)을 구하는 것을 의미하며 순간변화율은 독립 변수 x의 증분에 관한 함숫값 ƒ(x)의 증분의 비가 한없이 일정한 값에 가까워질 때 그 일정한 값, 즉 함수에서 변수 x값의 변화량에 관한 함숫값 ƒ(x)의 변화량 비가 한없이 일정한 값에 가까워질 때 그 일정한 값 dy/dx로 나타낸다. 동사로서 미분(영어: differentiation)은 이러한 극한이나 도함수를 구하는 일, 즉 미분법을 뜻하기도 한다. 도함수에서 미분의 역연산을 통해 원시함수(antiderivative)를 구하는 것 역시 미분법(differential calculus)의 주요 주제다. 미분은 비선형 함수를 선형함수로 근사적으로 나타내려는 시도다. 비선형 함수를 미분하여 한 점 주변에서 1차 함수로 생각한다. 이를 반복하면 함수의 다항함수 근사를 얻으며 무한 번 하면 테일러 급수를 얻는다. 이는 14세기 인도 수학자의 저작에도 등장한다. 기하학적으로는, 비선형적인 함수로 표현되는 곡선의 한 점에서 그 곡선과 비슷한 직선인 접선을 구하는 것으로도 볼 수 있다. 일반적으로 미분기하학에서는 선형 공간인 접공간을 생각하여 미분다양체를 선형적으로 바라보며, 미분형식, 미분다양체에서 적분 등은 모두 접공간이 필수적으로 고려되어야 한다. 함수 미분은 존재하지 않을 수 있다. 미분이 모든 곳에서 존재하는 함수를 미분 가능 함수라고 한다. 미분 가능 함수는 반드시 연속 함수(=독립 변수의 변화가 미세할 때 함숫값의 변화 역시 미세한 함수)이어야 한다. 그러나 연속 함수가 반드시 미분 가능 함수이지는 않다. 연속함수이지만 모든 정의역에서 미분 불가능한 함수가 아주 많이 존재한다(예: 바이어슈트라스 함수). 함수 미분을 정의역 속 각 점에 그 점에서의 미분을 대응시키는 함수(도함수)로 여길 수 있다. 따라서, 함수의 도함수의 도함수, 함수의 도함수의 도함수의 도함수 따위를 생각할 수 있으며, 이들을 그 함수의 고계 도함수(高階導函數, 영어: higher order derivative) 또는 고계 미분(高階微分)이라고 한다. 이런 고계미분이 되고 그 고계도함수가 연속함수인 함수들의 집합을 기호로 C 0 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}} (연속함수), C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} (1회 미분가능이고 연속), C n {\displaystyle {\mathcal {C}}^{n}} (n회 미분가능이고 연속), C infinity {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }} (무한번 미분가능이고 연속), C ω {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\omega }} (해석함수) 등으로 나타낸다. 미적분학의 기본 정리에 따르면 원시함수는 부정적분과 같아서 정적분을 미분법의 역연산을 통해 구할 수 있으므로 미분과 적분은 대략 서로 역연산의 관계이다. 미분의 개념에 대한 여러 가지 일반화가 존재한다. 벡터 미적분학의 기울기, 다변수 미적분학의 야코비 행렬, 함수해석학의 프레셰 도함수 따위가 있다. 또한, 미분을 주어진 함수에 새 함수를 대응시키는 연산자(미분 연산자)로 생각할 수 있다.