혼돈 이론 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 혼돈 이론 위키백과, 우리 모두의 백과사전. ( 카오스 이론에서 넘어옴 ) 둘러보기로 가기 검색하러 가기 로렌즈 방정식의 궤도. 로렌즈 방정식은 대표적인 연속 시간 혼돈계이며, 로렌즈 방정식의 궤도는 위와 같이 복잡한 모양을 보인다. 이는 이상한 끌개의 하나이다. 동역학계 이론에서, 혼돈 ( [UNK] [UNK], 영어 : chaos ) 또는 카오스 ( [UNK] ) 는 특정 동역학계의 시간 변화가 초기 조건에 지수적으로 민감하며, 시간 변화에 따른 궤도가 매우 복잡한 형태를 보이는 현상이다. 혼돈 이론 ( [UNK] [UNK] 理 論, 영어 : chaos theory 케이오스 시어리 [ * ] ) 또는 카오스 이론은 혼돈계를 연구하는 수학 분야이다. 비선형 동역학계는 다음과 같은 다양한 현상을 보일 수 있다. 영구히 정지 영구히 팽창 ( 비속박계에 한해서 ) 주기 운동 준주기 운동 혼돈 운동 나타나는 행태의 종류는 계의 초기조건과 존재하는 매개변수의 값에 따라서 결정된다. 혼돈계의 경우 ( 준 ) 주기 궤도 · 팽창 따위의 현상을 보이지 않으며 매우 복잡한 궤도를 보인다. 목차 1 정의 2 성질 2. 1 차원 2. 2 샤르코우스키 정리와 리 - 요크 정리
는 과정에서, 비주기성이면서도 영원히 증가하지도, 또한 고정점에 도달하지도 않는 궤도가 있을 수 있다는 것을 발견하였다. 또한, 푸앵카레는 2차원에서는 혼돈이 일어날 수 없다는 푸앵카레 - 벤딕손 정리를 1892년에 발표하였으나, 이에 대한 엄밀한 증명을 제시하지 않았다. [ 5 ] 자크 아다마르는 1898년에 종수 2의 리만 곡면 위의 측지선을 연구하면서, 이 동역학계가 ( 현대적인 용어로 ) 양의 랴푸노프 지수를 갖는다는 것을 발견하였다. 이후 이바르 오토 벤딕손이 1901년에 푸앵카레 - 벤딕손 정리를 엄밀하게 증명하였다. [ 6 ] 20세기 초 [ 편집 ] 20세기 초에 비선형 동역학계의 연구가 발달하기 시작하였다. 이들은 초창기에는 대개 물리학 · 공학에서 등장하는 비선형 미분 방정식들을 다루었지만, 이들이 공통적으로 보이는 성질들이 점차 부각되기 시작하였다. 조지 데이비드 버코프는 혼돈과 밀접하게 연관된 에르고딕성을 연구하였고, 버코프 에르고딕 정리를 증명하였다. 안드레이 콜모고로프는 1941년에 유체 역학의 난류를 연구하였고
고양이 사상 ( 영어 : Arnold cat map ) 에농 사상 ( 영어 : Hénon map ) 말굽 사상 ( 영어 : horseshoe map ) 연속 시간 혼돈계 로렌즈 방정식 추아 회로 뢰슬러 끌개 ( 영어 : [UNK] attractor ) 판데르폴 진동자 ( 영어 : Van der Pol oscillator ) 다양한 모양의 평면 구역 위에서의 당구 동역학계 ( 영어 : dynamical billiards ). 혼돈계가 되는 당구장의 모양으로는 로런츠 기체 ( 영어 : Lorentz gas, 정사각형 속에서 원을 제거한 것 ) 와 부니모비치 스타디움 ( 영어 : Bunimovich stadium, 직사각형 양쪽에 반원을 붙인 것 ) 등이 있다. 삼체 문제와 일반적인 다체 문제는 일부 초기 조건에서 혼돈을 보인다. 혼돈계가 아닌 계 [ 편집 ] 실수 지수 함수 [UNK] t ( x ) = x exp ( t ) { [UNK] displaystyle [UNK] phi - { t } ( x ) = x [UNK] exp ( t ) } 는 양의 랴푸노프 지수 1을 갖지만, 위상 혼합성이나 조밀한 주기적 궤도를 갖지 않으므로 혼돈계가 아니다. 응용 [ 편집 ] 혼돈 현상은 나비 효과로 잘 알려져 있으며, 혼돈 이론은 지구의 대기, 판 구조론,
는 혼돈과 밀접하게 연관된 에르고딕성을 연구하였고, 버코프 에르고딕 정리를 증명하였다. 안드레이 콜모고로프는 1941년에 유체 역학의 난류를 연구하였고, [ 7 ] 또 1954년에 미세한 비선형성에 대한 콜모고로프 - 아르놀트 - 모저 정리를 도입하였다. [ 8 ] 메리 카트라이트와 존 이든저 리틀우드는 1945년에 무선 공학에서 자연스럽게 등장하는 판데르폴 진동자를 연구하였다. [ 9 ] 스티븐 스메일은 1960년에 비선형 동역학계를 모스 이론을 사용하여 분석하였다. [ 10 ] 20세기 후반 [ 편집 ] 에드워드 노턴 로렌즈는 1961년에 기상학 컴퓨터 시뮬레이션을 연구하던 도중 로렌즈 방정식의 야릇한 끌개를 발견하였다. [ 11 ] 1963년에 브누아 망델브로는 프랙털 기하학을 도입하였으며, [ 12 ] 이는 야릇한 끌개의 프랙털 성질을 규명하는 이론적 기반을 제공하였다. 1975년에 리톈옌 ( 중국어 : [UNK] 天 [UNK], 병음 : [UNK] [UNK], 한자음 : 이천암, 영어 : Tien - Yien Li ) 과 제임스 요크 ( 영어 : James A. Yorke ) 는 " 혼돈 " ( 영어 : chaos 케이오스 [
天 [UNK], 병음 : [UNK] [UNK], 한자음 : 이천암, 영어 : Tien - Yien Li ) 과 제임스 요크 ( 영어 : James A. Yorke ) 는 " 혼돈 " ( 영어 : chaos 케이오스 [ * ] ) 이라는 용어를 전문 용어로 최초로 사용하였다. [ 3 ] 이는 고대 그리스어 : [UNK] 카오스 [ * ] 에서 유래하며, 원래 그리스 신화에서 우주 태초의 상태 ( 또는 그 의인화 ) 를 뜻한다. 1976년에 오토 에버하르트 뢰슬러 ( 독일어 : Otto Eberhard [UNK] ) 는 연속 시간 혼돈계인 뢰슬러 끌개를 발표하였다. [ 13 ] 1978년에 미첼 파이겐바움은 파이겐바움 상수를 발견하였다. 1987년에 제임스 글리크 ( 영어 : James Gleick, IPA : [ [UNK] [UNK] ] ) 는 대중 교양 서적 《 카오스 : 새로운 과학의 출현 》 ( 영어 : Chaos : Making a New Science ) 을 출판하여, 혼돈 이론을 대중화하였다. [ 14 ] [ 15 ] 참고 문헌 [ 편집 ] ↑ Wiggins ( 1990, p. 437 ) 는 " 닫힌 불변 세트 ( 둘 이상의 궤도로 구성된 ) 에서 초기 조건에 민감한 의존성을 보이는 동적 시스템을 혼돈 이라고합니다. " ↑ Tabor ( 1989, p. 34 ) 는 " 결정 론적
계의 경우 ( 준 ) 주기 궤도 · 팽창 따위의 현상을 보이지 않으며 매우 복잡한 궤도를 보인다. 목차 1 정의 2 성질 2. 1 차원 2. 2 샤르코우스키 정리와 리 - 요크 정리 2. 3 끌개 3 예 3. 1 혼돈계가 아닌 계 4 응용 5 역사 5. 1 19세기 5. 2 20세기 초 5. 3 20세기 후반 6 참고 문헌 7 같이 보기 8 외부 링크 정의 [ 편집 ] 혼돈계 ( 영어 : chaotic dynamical system ) 는 다음 세 성질들을 만족시키는 동역학계이다. 초기 조건에 민감해야 한다. ( 즉, 초기 조건에서의 작은 변화가 결과에 큰 차이를 가져 오는 ) [ 1 ] [ 2 ] 위상 혼합성을 보인다. 조밀한 주기적 궤도들을 가진다. 각 조건은 구체적으로 다음과 같다. 초기 조건에 민감 ( 영어 : sensitivity to initial conditions ) 하다는 것은 랴푸노프 지수가 양수라는 것이다. 랴푸노프 지수가 양수이므로, 계의 시간 변화는 초기 조건에 지수적으로 의존한다. 흔히 이는 나비 효과로 불리며 혼돈계의 주요 성질로 일컬어지지만, 초기 조건에 대한 민감성은 혼돈계를 정의하는 세 조건 가운데 하나일 뿐이다. ( 예를 들어, x [UNK] 2 x { [UNK] displ
Chaos ". 《 Wolfram MathWorld 》 ( 영어 ). Wolfram Research. Weisstein, Eric Wolfgang. " Chaos theory ". 《 Wolfram MathWorld 》 ( 영어 ). Wolfram Research. Weisstein, Eric Wolfgang. " Period three theorem ". 《 Wolfram MathWorld 》 ( 영어 ). Wolfram Research. Weisstein, Eric Wolfgang. " Sharkovsky's theorem ". 《 Wolfram MathWorld 》 ( 영어 ). Wolfram Research. Bishop, Robert ( 2015년 10월 13일 ). Edward N. Zalta, 편집. " Chaos ". 《 Stanford Encyclopedia of Philosophy 》 ( 영어 ). 김영태. " 비선형 동역학 및 카오스 소개 ". 2016년 3월 4일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 10월 13일에 확인함. 원본 주소 " " 분류 : 혼돈 이론숨은 분류 : CS1 - 영어 인용 ( en ) CS1 - 러시아어 인용 ( ru ) CS1 - 프랑스어 인용 ( fr ) 인용 오류 - 보이지 않는 문자영어 표기를 포함한 문서우크라이나어 표기를 포함한 문서러시아어
{ U, V } [UNK] colon [UNK] phi - { t } ( U ) [UNK] cap V [UNK] neq [UNK] varnothing } 가 되는 시간 T U, V [UNK] R [UNK] 0 { [UNK] displaystyle T - { U, V } [UNK] in [UNK] mathbb { R } - { [UNK] geq 0 } } 이 존재하여야 한다. 동역학계의 궤도 ( 영어 : orbit ) 는 주어진 초기 조건의 시간 변화들로 구성된 부분 집합이다. 주기적 궤도 ( 영어 : periodic orbit ) 는 궤도 가운데, 일정한 시간이 지나면 원점으로 돌아오는 것이다. 조밀한 주기적 궤도들 ( 영어 : dense periodic orbits ) 을 갖는다는 것은 모든 주기적 궤도들의 합집합이 조밀 집합을 이룬다는 것이다. 즉, 모든 초기 조건에 대하여, 이에 대하여 임의적으로 가까운 주기적 궤도가 존재한다. 성질 [ 편집 ] 차원 [ 편집 ] 이 부분의 본문은 푸앵카레 - 벤딕손 정리입니다. 연속 시간 동역학계의 경우, 푸앵카레 - 벤딕손 정리에 따라서 2차원 이하의 계는 혼돈을 보일 수 없다. 즉, 혼돈계는 3차원 이상이어야 한다. 이산 시간 동역학계의 경우 이러한 제약이 없다. 예를
벤딕손 정리에 따라서 2차원 이하의 계는 혼돈을 보일 수 없다. 즉, 혼돈계는 3차원 이상이어야 한다. 이산 시간 동역학계의 경우 이러한 제약이 없다. 예를 들어, 적절한 매개 변수에서의 로지스틱 사상은 1차원 이산 시간 혼돈계이다. 샤르코우스키 정리와 리 - 요크 정리 [ 편집 ] 이 부분의 본문은 샤르코우스키 정리입니다. 리 - 요크 정리 ( [ [UNK] ] - Yorke 定 理, 영어 : Li - Yorke theorem ) [ 3 ] 에 따르면, 주기 3의 궤도를 갖는 1차원 이산 시간 동역학계 f : R → R { [UNK] displaystyle f [UNK] colon [UNK] mathbb { R } [UNK] to [UNK] mathbb { R } } 는 리 - 요크 혼돈 ( 영어 : Li - Yorke chaos ) 이라는 현상을 보인다. 이는 위에서 정의한 일반적인 혼돈의 정의보다 더 약한 성질이다. 이와 관련된 정리로 샤르코우스키 정리 ( [UNK] 定 理, 영어 : Sharkovskii's theorem ) 가 있다. 이는 올렉산드르 미콜라요비치 샤르코우스키 ( 우크라이나어 : [UNK] [UNK] [UNK], 러시아어 : [UNK] [UNK] [UNK] 알렉산드르 니콜라예비치 샤르콥스키 [ *
는 " 닫힌 불변 세트 ( 둘 이상의 궤도로 구성된 ) 에서 초기 조건에 민감한 의존성을 보이는 동적 시스템을 혼돈 이라고합니다. " ↑ Tabor ( 1989, p. 34 ) 는 " 결정 론적 방정식에 대한 혼란스러운 해결책은 결과가 초기 조건에 매우 민감한 ( 즉, 초기 조건의 작은 변화가 결과에 큰 차이를 가져 오는 ) 해결책을 의미하며, 위상 공간은 무작위로 보인다. " ↑ 가 나 Li, Tien - Yien ; Yorke, James A. ( 1975년 12월 ). " Period Three Implies Chaos ". 《 American Mathematical Monthly 》 ( 영어 ) 82 ( 10 ) : 985 - 992. JSTOR 2318254. doi : 10. 2307 / 2318254. ↑ [UNK], [UNK]. [UNK]. ( 1964 ). " [UNK] [UNK] [UNK] [UNK] [UNK] [UNK] [UNK] ". 《 [UNK] [UNK] [UNK] 》 ( 러시아어 ) 16 ( 1 ) : 61 - 71. ↑ Poincaré, H. ( 1892 ) Sur les courbes définies par une équation différentielle ↑ Bendixson, Ivar ( 1901 ). " Sur les courbes définies par des équations différentielles "
혼돈 이론(混沌理論) 또는 카오스 이론(영어: chaos theory)은 동역학계 이론에서 특정 동역학계의 시간 변화가 초기 조건에 지수적으로 민감하며, 시간 변화에 따른 궤도가 매우 복잡한 형태를 보이는 현상이다. 혼돈 이론(混沌理論, 영어: chaos theory 케이오스 시어리[*]) 또는 카오스 이론은 무질서하게 보이는 혼돈 상태에도 논리적 법칙이 존재한다는 이론으로, 혼돈계를 연구하는 수학 분야이다. 비선형 동역학계는 다음과 같은 다양한 현상을 보일 수 있다. 영구히 정지 영구히 팽창(비속박계에 한해서) 주기 운동 준주기 운동 혼돈 운동나타나는 행태의 종류는 계의 초기조건과 존재하는 매개변수의 값에 따라서 결정된다. 혼돈계의 경우 (준)주기 궤도 · 팽창 따위의 현상을 보이지 않으며 매우 복잡한 궤도를 보인다.