poonright { [UNK] mathcal { F } } - { s } = [UNK] mathbb { E } ( X - { s1 } | X - { 0 }, [UNK] dotsc, X - { s }, X - { s1 } ) [UNK] upharpoonright { [UNK] mathcal { F } } - { s } = [UNK] mathbb { E } ( X - { s1 } | X - { 0 }, [UNK] dotsc, X - { s } ) = [UNK] mathbb { E } ( X - { s } ) } 와 같이 수학적 귀납법으로 모든 t [UNK] s { [UNK] displaystyle t [UNK] geq s } 에 대하여 성립함을 보일 수 있다. 여기서 F s { [UNK] displaystyle { [UNK] mathcal { F } } - { s } } 는 X { [UNK] displaystyle X } 의 자연 여과 확률 공간이다. 예 [ 편집 ] 마팅게일의 대표적인 예로는 무작위 행보가 있다. 역사 [ 편집 ] 마팅게일 ( 프랑스어 : martingale 마르탱갈 [ * ] ) 이라는 단어는 프랑스 남부의 지명 마르티그에서 유래한다. [ 2 ] 마르탱갈은 18세기 프랑스에서 유행하였던 도박 전략의 하나를 일컫는 단어였다. [ 2 ] : [UNK]
마팅게일 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 마팅게일 위키백과, 우리 모두의 백과사전. ( 마틴게일에서 넘어옴 ) 둘러보기로 가기 검색하러 가기 변수가 어떤 상계에 이르면 멈추게 되는 1차원 브라운 운동은 마팅게일의 한 예이다. 이는 돈이 다 떨어지면 파산하게 되는 도박꾼을 나타내는 확률론적 모형이다. 확률론에서, 마팅게일 ( 영어 : martingale 마턴게일 [ * ], 프랑스어 : martingale 마르탱갈 [ * ] ) 은 확률 과정의 하나로, 과거의 모든 정보를 알고 있다면 미래의 기댓값이 현재 값과 동일한 과정이다. [ 1 ] 목차 1 정의 1. 1 열마팅게일과 우마팅게일 1. 2 이산 시간 마팅게일 2 예 3 역사 4 참고 문헌 5 외부 링크 정의 [ 편집 ] 다음이 주어졌다고 하자. 전순서 집합 ( T, [UNK] ) { [UNK] displaystyle ( T, [UNK] leq ) } 여과 확률 공간 ( [UNK], F t, Pr ) t [UNK] T { [UNK] displaystyle ( [UNK] Omega, { [UNK] mathcal { F } } - { t }, [UNK] Pr ) - { t [UNK] in T } } 유클리드 공간 R d { [UNK] displaysty
[UNK] s { [UNK] displaystyle A [UNK] in [UNK] Sigma - { s } } 에 대하여, E ( X t | A ) = E ( X s | A ) [UNK] R d { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { E } ( X - { t } | A ) = [UNK] mathbb { E } ( X - { s } | A ) [UNK] in [UNK] mathbb { R } ^ { d } } 이다. 여기서 1 A : [UNK] → R { [UNK] displaystyle 1 - { A } [UNK] colon [UNK] Omega [UNK] to [UNK] mathbb { R } } 는 A { [UNK] displaystyle A } 의 지시 함수이다. 물론, 이 정의에서 s = t { [UNK] displaystyle s = t } 인 경우는 자명하게 참이다. 여기서 E ( - | - ) { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { E } ( - | - ) } 는 조건부 기댓값을 뜻한다. 마팅게일의 정의의 둘째 조건은 다음과 같이 풀어 해석할 수 있다. 현재 s { [UNK] displaystyle s } 까지의 정보 ( A [UNK] F s { [UNK] displaystyle A [UNK] in { [UNK] mathcal { F } } - { s } } ) 만을 알고 있다면, 미래 t [UNK] s { [UNK] dis
[UNK] displaystyle A [UNK] in { [UNK] mathcal { F } } - { s } } ) 만을 알고 있다면, 미래 t [UNK] s { [UNK] displaystyle t [UNK] geq s } 에서의 X { [UNK] displaystyle X } 의 값 X t { [UNK] displaystyle X - { t } } 의 기댓값 E ( X t | A ) { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { E } ( X - { t } | A ) } 은 현재의 기댓값 E ( X t | A ) { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { E } ( X - { t } | A ) } 과 같다. 열마팅게일과 우마팅게일 [ 편집 ] d = 1 { [UNK] displaystyle d = 1 } 이라고 하자. 마팅게일의 정의에서, 둘째 조건을 다음과 같이 대체할 경우, 열마팅게일 ( [UNK] martingale, 영어 : submartingale 서브마팅게일 [ * ] ) 의 개념을 얻는다. ( 열마팅게일 조건 ) 임의의 s, t [UNK] T { [UNK] displaystyle s, t [UNK] in T } 에 대하여, 만약 s [UNK] t { [UNK] displaystyle s [UNK] leq t } 라면, E ( X s
그에서 유래한다. [ 2 ] 마르탱갈은 18세기 프랑스에서 유행하였던 도박 전략의 하나를 일컫는 단어였다. [ 2 ] : [UNK] 2 이 전략은 한 판을 이겼을 때 얻는 금액과 한 판을 졌을 때 잃는 금액이 같고 이길 확률과 질 확률 역시 동일한 형태의 도박을 할 때 사용할 수 있는 전략으로, 졌을 때 다음 판에 이번 판의 두 배에 해당하는 판돈을 걸면 결국 언젠가 이기는 순간 첫 판의 판돈에 해당하는 금액이 최종 수익으로 남게 된다는 점에 착안하여 이에 상응하는 베팅 방식을 고수한다. 만약 도박을 하는 사람의 재산이 무한하다면 거의 확실하게 이기는 순간이 오기 때문에 언젠가는 돈을 딸 수 있지만, 실제로는 재산이 유한하기 때문에 돈을 따기 전에 가진 돈을 잃을 확률이 존재하게 된다.'마르탱갈'이라는 단어는 이 전략의 어리석음을 마르티그 지방 사람들의 ( 파리 사람들의 편견에 따르면 ) 어리숙하고 순진함에 빗댄 것이다. [ 2 ] : 108, [UNK] 4 폴 피에르 레비 ( 프랑스어 : Paul Pierre Lévy ) 가 처음으로 확률론에 이 마팅게일 전략을 도입하였으며, 조지프 두브 역시 마팅게일의 이론적 발전에
tyle s, t [UNK] in T } 에 대하여, 만약 s [UNK] t { [UNK] displaystyle s [UNK] leq t } 라면, E ( X s | F s ) [UNK] E ( X t | F s ) : F s → R d { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { E } ( X - { s } | { [UNK] mathcal { F } } - { s } ) [UNK] leq [UNK] mathbb { E } ( X - { t } | { [UNK] mathcal { F } } - { s } ) [UNK] colon { [UNK] mathcal { F } } - { s } [UNK] to [UNK] mathbb { R } ^ { d } } 이다. 마찬가지로, 마팅게일의 정의에서, 둘째 조건을 다음과 같이 대체할 경우, 우마팅게일 ( [UNK] martingale, 영어 : supermartingale 슈퍼마팅게일 [ * ] ) 은 의 개념을 얻는다. ( 우마팅게일 조건 ) 임의의 s, t [UNK] T { [UNK] displaystyle s, t [UNK] in T } 에 대하여, 만약 s [UNK] t { [UNK] displaystyle s [UNK] leq t } 라면, E ( X s | F s ) [UNK] E ( X t | F s ) : F s → R d { [UNK] displaystyle
athbb { E } ( X - { s1 } | X - { 0 }, X - { 1 }, [UNK] dotsc, X - { s } ) = [UNK] operatorname { E } ( X - { s } ) } 이 조건은 t = s 1 { [UNK] displaystyle t = s1 } 인 경우로, 일반적 정의보다 더 약한 것처럼 보이지만, 사실 E ( X s 2 | X 0,..., X s ) = E ( X s 2 | X 0,..., X s, X s 1 ) [UNK] F s = E ( X s 1 | X 0,..., X s, X s 1 ) [UNK] F s = E ( X s 1 | X 0,..., X s ) = E ( X s ) { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { E } ( X - { s2 } | X - { 0 }, [UNK] dotsc, X - { s } ) = [UNK] mathbb { E } ( X - { s2 } | X - { 0 }, [UNK] dotsc, X - { s }, X - { s1 } ) [UNK] upharpoonright { [UNK] mathcal { F } } - { s } = [UNK] mathbb { E } ( X - { s1 } | X -
[UNK] mathcal { F } } - { t }, [UNK] Pr ) - { t [UNK] in T } } 유클리드 공간 R d { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { R } ^ { d } }. 이는 보렐 가측 공간으로 가정한다. ( 르베그 시그마 대수가 아니다. ) 그렇다면, ( [UNK], F t, Pr ) t [UNK] T [UNK] { infinity } { [UNK] displaystyle ( [UNK] Omega, { [UNK] mathcal { F } } - { t }, [UNK] Pr ) - { t [UNK] in T [UNK] cup [UNK] { [UNK] infty [UNK] } } } 위의 순응 확률 과정 ( X t : [UNK] → ) t [UNK] T { [UNK] displaystyle ( X - { t } [UNK] colon [UNK] Omega [UNK] to ) - { t [UNK] in T } } 이 만약 다음 두 조건을 만족시킨다면, 마팅게일이라고 한다. ( 기댓값의 존재 ) 임의의 t [UNK] T { [UNK] displaystyle t [UNK] in T } 에 대하여, E ( [UNK] X t [UNK] ) < infinity { [UNK] displaystyle [UNK] operatorname { E } ( [UNK] | X - { t } [UNK] | ) < [UNK] infty }. 즉, X t [UNK] L 1 ( [UNK] ; R d ) { [UNK]
1, 2,... } { [UNK] displaystyle T = [UNK] mathbb { N } = [UNK] { 0, 1, 2, [UNK] dotsc [UNK] } } ( 자연수 집합 ) 인 경우를 생각하자. 이는 이산 시간 확률 과정에 해당한다. 이 경우, ( X t : [UNK] → R d ) t [UNK] Z { [UNK] displaystyle ( X - { t } [UNK] colon [UNK] Omega [UNK] to [UNK] mathbb { R } ^ { d } ) - { t [UNK] in [UNK] mathbb { Z } } } 가 마팅게일이 될 조건은 다음과 같다. ( 기댓값의 존재 ) 임의의 t [UNK] N { [UNK] displaystyle t [UNK] in [UNK] mathbb { N } } 에 대하여, E ( [UNK] X t [UNK] ) < infinity { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { E } ( [UNK] | X - { t } [UNK] | ) < [UNK] infty } ( 마팅게일 성질 ) E ( X s 1 | X 0, X 1,..., X s ) = E ( X s ) { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { E } ( X - { s1 } | X - { 0 }, X - { 1 }, [UNK] dotsc, X - { s }
leq t } 라면, E ( X s | F s ) [UNK] E ( X t | F s ) : F s → R d { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { E } ( X - { s } | { [UNK] mathcal { F } } - { s } ) [UNK] geq [UNK] mathbb { E } ( X - { t } | { [UNK] mathcal { F } } - { s } ) [UNK] colon { [UNK] mathcal { F } } - { s } [UNK] to [UNK] mathbb { R } ^ { d } } 이다. 만약 ( X t ) t [UNK] T { [UNK] displaystyle ( X - { t } ) - { t [UNK] in [UNK] mathbb { T } } } 가 열마팅게일이라면, ( - X t ) t [UNK] T { [UNK] displaystyle ( - X - { t } ) - { t [UNK] in T } } 는 우마팅게일이며, 그 역도 마찬가지다. 열마팅게일이자 우마팅게일인 확률 과정은 마팅게일이다. 이산 시간 마팅게일 [ 편집 ] 다음과 같은 특별한 경우를 생각하자. ( [UNK], F t, Pr ) { [UNK] displaystyle ( [UNK] Omega, { [UNK] mathcal { F } } - { t
확률론에서 마팅게일(영어: martingale 마턴게일[*], 프랑스어: martingale 마르탱갈[*])은 확률 과정의 하나로, 과거의 모든 정보를 알고 있다면 미래의 기댓값이 현재 값과 동일한 과정이다.