페르마의 마지막 정리 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 페르마의 마지막 정리 위키백과, 우리 모두의 백과사전. ( 페르마의마지막정리에서 넘어옴 ) 둘러보기로 가기 검색하러 가기 1670년 출간된 피에르 드 페르마의 주석이 달린 디오판토스의 《 산술 》 ( Arithmetica ) 제2권 8번 문제 ( 라틴어 : [UNK] VIII ) 밑에 페르마의 마지막 정리가 들어있는 주석 ( 영어 : Observatio domini Petri di Fermat ) 이 수록되어 있다. 페르마의 마지막 정리 ( 영어 : Fermat's last theorem ) 는 정수론에서 3 이상 지수의 거듭제곱수는 같은 지수의 두 거듭제곱수의 합으로 나타낼 수 없다는 정리이다. 즉, a, b, c { [UNK] displaystyle a, b, c } 가 양의 정수이고, n { [UNK] displaystyle n } 이 3 이상의 정수일 때, 항상 a n b n [UNK] c n { [UNK] displaystyle a ^ { n } b ^ { n } [UNK] neq c ^ { n } } 이다. 이 정리는 1637년 프랑스의 유명한 수학자였던 피에르 드 페르마가 처음으로 추측하였다. 수많은 수학자들이 이를 증명하기 위해서 노력하였
{ n } [UNK] neq c ^ { n } } 이다. 이 정리는 1637년 프랑스의 유명한 수학자였던 피에르 드 페르마가 처음으로 추측하였다. 수많은 수학자들이 이를 증명하기 위해서 노력하였으나 실패하였다. 페르마가 자신의 추측을 기록한지 358년이 지난 1995년에 이르러서야 영국의 저명한 수학자인 앤드루 와일스에게 증명되었다. 이 방법이 페르마가 살던 시기에는 발견되지 않은 데다가 매우 복잡하기 때문에 수학자들은 페르마가 다른 방법으로 증명했거나 증명에 실패했다고 추측한다. 이 정리를 증명하기 위한 수학자들의 각고의 노력 덕분에 19세기 대수적 수론이 발전했고 20세기에 모듈러성 정리가 증명되었다. 앤드루 와일스의 증명은 기네스북에서 가장 어려운 수학 문제로 등재되었다. 사실 이 문제는 고대 그리스의 저명한 수학자인 피타고라스가 증명한 피타고라스 정리가 세제곱, 네제곱 등에서도 성립할까라는 질문에서 시작되었다고 한다. 목차 1 역사 2 수학적 배경 2. 1 피타고라스 수 2. 2 디오판토스 방정식 3 특정 지수에 대한 증명 3. 1 소피 제르맹 3. 2 쿠머의 아이디얼 이론 3. 3 모델 추측 3. 4 컴퓨터의 이용 4 타원곡선과의 관계
인 경우가 증명되었고 1839년 소피 제르맹이 100 이하의 소수에 대해 증명하였다. 19세기 중반 에른스트 쿠머는 정규 소수 전체에 대해 페르마의 마지막 정리가 성립한다는 것을 증명하였다. 이후 쿠머의 작업을 기반으로 컴퓨터를 사용한 정교한 연구를 통해 4백만 이하의 모든 정수에 대해 페르마의 마지막 정리가 성립한다는 것이 증명되었다. 1984년 게르하르트 프라이 ( Gerhard Frey ) 는 당시 다니야마 - 시무라 추론으로 알려진 타원 곡선에 대한 모듈러성 정리가 참일 경우 모든 정수 n 에 대하여 페르마의 마지막 정리 역시 성립된다는 것을 보였다. 1986년 케네스 앨런 리벳은 프라이의 추론 가운데 일부를 증명하였고, 1995년 앤드루 와일스는 리벳의 작업을 바탕으로 리처드 로런스 테일러의 도움을 받아 모듈러성 정리가 참이라는 것과 따라서 페르마의 마지막 정리 역시 성립한다는 것을 증명하였다. 와일스의 증명은 널리 알려졌으며 여러 책과 텔레비전 프로그램에서 소개되었다. 수학적 배경 [ 편집 ] 페르마의 마지막 정리는 피타고라스 수의 관계식 a2 b2 = c2을 일반식 an bn = cn으로 확장시켰을 경우, 지수 n에 대해 n > = 3 정수 해가 없다는 것을 뜻한다. 여기
렌스트라는 유리 지수를 갖는 방정식 a n / m b n / m = c n / m { [UNK] displaystyle a ^ { n / m } b ^ { n / m } = c ^ { n / m } } 에 대하여 n = 1 일 경우의 일반 해를 구하였다. [ 41 ]. 페르마는 정말 증명하였나 [ 편집 ] 페르마는 《 산법 》 여백에 자신이 놀라운 방법으로 증명하였다고 기록하였지만, 남아있는 상세한 증명은 n = 4인 경우, 즉 x4y4 = z4의 정수 해가 존재하지 않는다는 것뿐이다. 실제 페르마는 아마추어 수학자로서, 여가 활동으로 수학을 즐겼기 때문에 어느 정도 자신의 생각이 정리되면 다음 문제로 넘어가곤 하였다. [ 42 ] 앤드루 와일스와 리처드 로런스 테일러가 마무리 지은 증명 방법은 20세기에 발견한 많은 현대 수학을 바탕으로 하고 있기 때문에, 페르마가 이와 같은 방법으로 페르마의 마지막 정리를 증명할 생각을 할 수는 없었을 것이다. 오하이오 주립 대학교의 수학 논리학자인 하비 프리드먼 ( Harvey Friedman ) 은 페르마가 직접 페르마의 마지막 정리를 증명하기에는 당시 개발된 산술의 기초 도구들이 빈약하였기 때문에, 무리였을 것이라고 주장한 바
볼프스켈상이 시작된 1908년에 접수된 것만 621건이었고, 1970년대에도 매달 3 ~ 4건의 증명이 접수되었다. [ 51 ] 수학사 연구자인 하워드 이브스는 " 페르마의 마지막 정리는 가장 많은 잘못된 증명들이 발표된 정리이기도 하다 " 고 언급하였다. [ 46 ] 대중 문화 [ 편집 ] 1989년 5월 방영된 《 스타 트렉 : 넥스트 제네레이션 》 의 12번째 에피소드 〈 더 로얄 〉 에서는 드라마의 배경이 되는 2360년대에도 여전히 페르마의 마지막 정리가 해결되지 않은 것으로 묘사된다. [ 52 ] 미국 PBS의 장수 과학 다큐멘터리 노바는 앤드루 와일스의 증명을 소개한 적이 있다. 같이 보기 [ 편집 ] 피에르 드 페르마 앤드루 와일즈 모듈러성 정리 대수적 수론 오일러의 곱셈 공식 소피 제르맹 소수 문제용 주해 [ 편집 ] ↑ 이 문제의 경우 답은 1 과 3 이 된다. ↑ This elliptic curve was first suggested in the 1960s by Yves Hellegouarch, but he did not call attention to its non - modularity. For more details, see Hellegouarch, Yves ( 2001 ). 《 In
m in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. " - [ 1 ] 페르마는 a n b n = c n { [UNK] displaystyle a ^ { n } b ^ { n } = c ^ { n } } 식에서 n이 3 이상인 모든 정수 n 에 대한 증명을 남기지는 않았지만, n = 4 인 경우에 대해서는 자세한 증명을 남겼다. 이 증명에 지수의 법칙을 적용하면, 결국 페르마의 마지막 정리에 대한 증명은 모든 정수 n에 대하여 살필 필요 없이 소수의 경우만 증명하면 된다. 페르마가 추론을 적은 1637년 부터 2세기 동안 n 이 3, 5, 7 인 경우가 증명되었고 1839년 소피 제르맹이 100 이하의 소수에 대해 증명하였다. 19세기 중반 에른스트 쿠머는 정규 소수 전체에 대해 페르마의 마지막 정리가 성립한다는 것을 증명
마의 마지막 정리를 증명하였다. 그러나 와일스의 이러한 증명을 검증하는 과정에서 오류가 발견되었다. [ 36 ] 오류를 발견한 사람 가운데에는 와일스의 증명에 도움을 준 카츠도 있었다고 한다. [ 37 ] 와일스와 그의 제자였던 리처드 로런스 테일러는 1년 가까이 오류를 해결하기 위해서 노력하였으나 실패하였다. [ 38 ] 그러던 1994년 9월 19일 와일스는 예전에 콜리바긴 - 플라흐 방법을 도입하면서 포기하였던 자신의 수평 이와사와 이론 접근법과 [ 39 ] 헤케 대수학의 환론적 속성을 떠올렸고 [ 40 ], 다시 테일러와 함께 증명을 완성하였다. 와일스는 1995년 5월 2편의 논문을 발표해서, 358년 된 수학 난제인 페르마의 마지막 정리를 완벽하게 증명하였다. 양의 정수 이외의 지수 [ 편집 ] 지수의 법칙에 따라 어떤 수의 거듭제곱 an의 지수 n은 정수 뿐만 아니라 유리수와 복소수를 포함하는 모든 수로 나타낼 수1992년 렌스트라는 유리 지수를 갖는 방정식 a n / m b n / m = c n / m { [UNK] displaystyle a ^ { n / m } b ^ { n / m } = c ^ { n / m
얼 이론 [ 편집 ] 에른스트 쿠머, 아이디얼 문서를 참고하십시오. 에른스트 쿠머 에른스트 쿠머는 또한 페르마의 마지막 정리에 대한 증명 과정에서 근대 정수론의 기반을 마련하였다. 쿠머는 소수를 정규 소수와 비정규 소수로 구분하고, 페르마의 마지막 정리의 방정식 x n y n = z n { [UNK] displaystyle x ^ { n } y ^ { n } = z ^ { n } } 에 대해 n이 정규 소수일 때 해를 갖지 않는다는 것을 증명하였다. [ 22 ] 쿠머의 증명 방법은 훗날 아이디얼 이론으로 불리게 된 이론의 기초인 P진수의 발견에 거의 근접한 것이었다. 소수의 n차 단위근에 대해 체를 확장한 쿠머 이론은 이차 형식에 대한 탁월한 연구였으며, 오늘날에도 아이디얼 유군을 다루는 유체론의 기반을 이루고 있다. [ 23 ] 모델 추측 [ 편집 ] 이 부분의 본문은 팔팅스 정리입니다. 루이스 모델 1920년대에 들어 루이스 모델은 페르마의 방정식에서 지수 n 이 자명하지 않은 소수일 경우 n이 아무리 큰 수라도 페르마의 마지막 정리가 성립할 것이란 추측을 내놓았다. [ 24 ] 이 추측은 1983년 게르트 팔팅스에 의해 증명되어 [ 25 ] 팔팅
증명은 두 단계의 세부적인 증명을 거쳐야 한다. 우선 프라이가 나타낸 바와 같이 페르마의 방정식이 타원 방정식으로 변환 가능한 지를 증명하여야 한다. 프라이는 이것을 엄밀하게 증명하는데 성공하지 못하였다. 장피에르 세르는 프라이가 놓친 부분을 " [UNK] 추측 " ( 영어 : epsilon conjecture ) 이라는 이름으로 정리하였고, 1986년 케네스 앨런 리벳은 세르의 [UNK] 추측을 증명하였다. [ 주해 3 ] 두 번째 단계는 모든 타원 방정식이 대응되는 특정한 모듈러 곡선을 갖고 있는데 반해 페르마 방정식은 그러지 못하다는 것을 보이는 것이다. 앤드루 와일스는 1995년 이것을 증명하여 페르마의 정리를 증명할 수 있었다. 와일스의 증명 [ 편집 ] 앤드루 와일스 이 부분의 본문은 페르마의 마지막 정리에 대한 앤드루 와일스의 증명입니다. 1986년 이루어진 리벳의 [UNK] 추측에 대한 증명으로, 페르마의 마지막 정리를 증명하기 위한 프라이 방법의 첫 단계가 해결되었다. 앤드루 와일스는 프라이 방법의 두 번째 단계인 타니야마 - 시무라 추론을 홀로 증명하기로 결심하였다. ( 타니야마 - 시무라 추론은 와일스의 증명 이후, 모듈러성 정리로 불린다. ) [ 32 ] 와일스는 6
z 2 { [UNK] displaystyle x ^ { 4 } - y ^ { 4 } = z ^ { 2 } } 위의 증명은 페르마의 마지막 정리에서 n = 4 인 경우인 a 4 b 4 = c 4 { [UNK] displaystyle a ^ { 4 } b ^ { 4 } = c ^ { 4 } } 와 같은 형태인 c 4 - b 4 = ( a 2 ) 2 { [UNK] displaystyle c ^ { 4 } - b ^ { 4 } = ( a ^ { 2 } ) ^ { 2 } } 로 바꾸어 쓸 수 있다. 페르마는 이 방정식에서 a, b, c 의 절댓값을 아무리 작은 수로 잡아도 그 보다 더 작은 수로 나타낼 수 있다는 점을 증명하였다. 그런데, 정수의 절댓값이 무한히 작아지는 것은 불가능하므로 결국 정수해가 존재하지 않는다는 것을 알 수 있다. [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] 소피 제르맹 [ 편집 ] 소피 제르맹 문서를 참고하십시오. 소피 제르맹 19세기 초, 소피 제르맹은 페르마의 마지막 정리를 모든 지수에 대해 적용하는 단초로써 몇 가지 특별한 접근법을 개발하였다. [ 18 ] 우선, 제르맹은 소수 p 에 대하여 3의 배수가 아닌 임의의 정수 h를 사용하여 방정식 theta = 2hp1 을
페르마의 마지막 정리(영어: Fermat's last theorem)란, 정수론에서 n {\displaystyle n} 이 3 이상의 정수일 때, a n b n = c n {\displaystyle a^{n}b^{n}=c^{n}} 을 만족하는 양의 정수 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 가 존재하지 않는다는 정리이다. 이 정리는 1637년 프랑스의 유명한 수학자였던 피에르 드 페르마가 처음으로 추측하였다. 수많은 수학자들이 이를 증명하기 위해서 노력하였으나 실패하였다. 페르마가 자신의 추측을 기록한지 358년이 지난 1995년에 이르러서야 영국의 저명한 수학자인 앤드루 와일스가 이를 증명하였다. 이 방법이 페르마가 살던 시기에는 발견되지 않은 데다가 매우 복잡하기 때문에 수학자들은 페르마가 다른 방법으로 증명했거나 증명에 실패했다고 추측한다. 이 정리를 증명하기 위한 수학자들의 각고의 노력 덕분에 19세기 대수적 수론이 발전했고 20세기에 모듈러성 정리가 증명되었다. 앤드루 와일스의 증명은 기네스북에서 가장 어려운 수학 문제로 등재되었다. 이 문제는 고대 그리스의 저명한 수학자인 피타고라스가 증명한 피타고라스 정리가 세제곱 이상에서도 성립할까라는 질문에서 시작되었다고 한