확률 과정 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 확률 과정 위키백과, 우리 모두의 백과사전. 둘러보기로 가기 검색하러 가기 확률론에서, 확률 과정 ( [UNK] [UNK] 過 [UNK], 영어 : stochastic process ) 은 시간의 진행에 대해 확률적인 변화를 가지는 구조를 의미한다. 목차 1 정의 1. 1 확률 변수의 족을 통한 정의 1. 2 함수 값의 확률 변수로서의 정의 1. 3 동치 관계 1. 4 분해 가능 확률 과정 2 성질 2. 1 콜모고로프 연속성 정리 3 예 4 역사 5 외부 링크 정의 [ 편집 ] 확률 과정의 개념은 일련의 확률 변수들의 족으로, 또는 함수 값의 확률 변수로 정의될 수 있으며, 이 두 정의는 서로 동치이다. ( 이 두 정의의 동치는 집합의 범주가 데카르트 닫힌 범주이기 때문이다. ) 확률 변수의 족을 통한 정의 [ 편집 ] 확률 과정은 다음과 같은 데이터로 주어진다. 확률 공간 [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] Omega } 집합 T { [UNK] displaystyle T }. 이를 지표 집합 ( [UNK] [UNK] 集 合, 영어 : index set ) 이라고 한다. 가측 공간 S { [UNK] displaystyle S }. 이를 표본 공간 ( [UNK] 本 空 間, 영어 : sample space ) 이라고 한다. 함수 T x [UNK] →
- t | ^ { 1 [UNK] beta } [UNK] qquad [UNK] forall s, t [UNK] in [ 0, [UNK] infty ) } 그렇다면, X { [UNK] displaystyle X } 와 확률 동치이며, 거의 확실하게 연속 함수인 확률 과정 ( X ~ t : [UNK] → S ) t [UNK] [ 0, infinity ) { [UNK] displaystyle ( { [UNK] tilde { X } } - { t } [UNK] colon [UNK] Omega [UNK] to S ) - { t [UNK] in [ 0, [UNK] infty ) } } 이 존재한다. 이를 콜모고로프 연속성 정리라고 한다. 예 [ 편집 ] 무작위 행보 브라운 운동 마르코프 연쇄 역사 [ 편집 ] 1933년에 안드레이 콜모고로프가 확률론의 기초를 닦았다. 이후 이를 기반으로 1930년대에 콜모고로프와 조지프 두브 · 윌리엄 펠러 ( 영어 : William Feller ) · 모리스 르네 프레셰 · 폴 피에르 레비 ( 프랑스어 : Paul Pierre Lévy ) · 볼프강 되블린 ( 독일어 : Wolfgang Doeblin ) · 하랄드 크라메르 등이 확률 과정의 이론을 전개하였다. 제2차 세계 대전으로 인하여 확률 과정 이론의 발달은 잠시 중단되었다. 특히, 되블린은 유대인이었으며, 프랑스에 망명하였으나
열린집합 G [UNK] T { [UNK] displaystyle G [UNK] subseteq T } 과 닫힌집합 F [UNK] S { [UNK] displaystyle F [UNK] subseteq S } 에 대하여, Pr ( ( [UNK] t [UNK] G [UNK] U : X t [UNK] F ) ( [UNK] t [UNK] G [UNK] U : X t [UNK] F ) [UNK] ( [UNK] t [UNK] G : X t [UNK] F ) ) = 0 { [UNK] displaystyle [UNK] Pr ( ( [UNK] forall t [UNK] in G [UNK] cap U [UNK] colon X - { t } [UNK] in F ) ( [UNK] forall t [UNK] in G [UNK] cap U [UNK] colon X - { t } [UNK] in F ) [UNK] land ( [UNK] exists t [UNK] in G [UNK] colon X - { t } [UNK] not [UNK] in F ) ) = 0 }. 즉, 어떤 가측 집합 [UNK] 0 [UNK] [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] Omega - { 0 } [UNK] subseteq [UNK] Omega } 에 대하여, Pr ( [UNK] 0 ) = 0 { [UNK] displaystyle [UNK] Pr ( [UNK] Omega - { 0 } ) = 0 } 이며 [UNK] t [UNK] G [UNK] U X t - 1 ( F ) [UNK] [UNK] t [UNK] G X t - 1 ( F ) [UNK] [UNK] 0 { [UNK] displaystyle [UNK] textstyle [UNK] bigcap - {
모고로프 연속성 정리 [ 편집 ] 다음이 주어졌다고 하자. 확률 공간 [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] Omega } 완비 거리 공간 ( S, d ) { [UNK] displaystyle ( S, d ) } 확률 과정 ( X t : [UNK] → S ) t [UNK] [ 0, infinity ) { [UNK] displaystyle ( X - { t } [UNK] colon [UNK] Omega [UNK] to S ) - { t [UNK] in [ 0, [UNK] infty ) } } 양의 실수 alpha, beta, K [UNK] R { [UNK] displaystyle [UNK] alpha, [UNK] beta, K [UNK] in [UNK] mathbb { R } ^ { } } 또한, 다음이 성립한다고 하자. E ( d ( X s, X t ) ( X s, X t ) alpha ) [UNK] K | s - t | 1 beta [UNK] s, t [UNK] [ 0, infinity ) { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { E } ( d ( X - { s }, X - { t } ) ( X - { s }, X - { t } ) ^ { [UNK] alpha } ) [UNK] leq K | s - t | ^ { 1 [UNK] beta } [UNK] qquad [UNK] forall s, t [UNK] in [ 0, [UNK] infty ) } 그렇다면
[UNK] in [UNK] Omega [UNK] colon X - { t } ( [UNK] omega ) [UNK] neq Y - { t } ( [UNK] omega ) [UNK] } [UNK] subseteq [UNK] Omega [UNK] setminus N - { t } } 이며 Pr ( N t ) = 0 { [UNK] displaystyle [UNK] Pr ( N - { t } ) = 0 } 인 가측 집합 N t [UNK] [UNK] { [UNK] displaystyle N - { t } [UNK] subseteq [UNK] Omega } 이 존재한다. N t { [UNK] displaystyle N - { t } } 는 t { [UNK] displaystyle t } 에 의존할 수 있다. 같은 지표 집합 · 표본 공간 · 확률 공간을 갖는 두 확률 과정 ( X t : [UNK] → S ) t [UNK] T { [UNK] displaystyle ( X - { t } [UNK] colon [UNK] Omega [UNK] to S ) - { t [UNK] in T } }, ( Y t : [UNK] → S ) t [UNK] T { [UNK] displaystyle ( Y - { t } [UNK] colon [UNK] Omega [UNK] to S ) - { t [UNK] in T } } 이 다음 조건을 만족시킨다면, X { [UNK] displaystyle X } 와 Y { [UNK] displaystyle Y } 가 서로 구별 불가능 ( [UNK] 別
며, N { [UNK] displaystyle N } 은 t { [UNK] displaystyle t } 에 의존하지 않는다. 분해 가능 확률 과정 [ 편집 ] 분해 가능 공간 T { [UNK] displaystyle T } 을 지표 공간으로, 보렐 가측 공간 S { [UNK] displaystyle S } 를 표본 공간으로 갖는 확률 과정 ( X t : [UNK] → S ) t [UNK] T { [UNK] displaystyle ( X - { t } [UNK] colon [UNK] Omega [UNK] to S ) - { t [UNK] in T } } 이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건들을 모두 만족시키는 데이터 ( U, [UNK] 0 ) { [UNK] displaystyle ( U, [UNK] Omega - { 0 } ) } 이 존재한다면, ( X t ) t [UNK] T { [UNK] displaystyle ( X - { t } ) - { t [UNK] in T } } 를 분해 가능 확률 과정 ( 영어 : separable stochastic process ) 이라고 한다. U [UNK] T { [UNK] displaystyle U [UNK] subseteq T } 는 T { [UNK] displaystyle T } 의 조밀 집합이며, 가산 집합이다. 임의의 열린집합 G [UNK] T { [UNK] displaystyle G [UNK] subseteq T } 과 닫힌집합 F [UNK] S { [UNK] displays
[UNK] t [UNK] G X t - 1 ( F ) [UNK] [UNK] 0 { [UNK] displaystyle [UNK] textstyle [UNK] bigcap - { t [UNK] in G [UNK] cap U } X - { t } ^ { - 1 } ( F ) [UNK] setminus [UNK] bigcap - { t [UNK] in G } X - { t } ^ { - 1 } ( F ) [UNK] subseteq [UNK] Omega - { 0 } } 이다. 다시 말해, 분해 가능 확률 과정의 경우, 그 성질이 가산 개의 확률 변수 ( X t ) t [UNK] U { [UNK] displaystyle ( X - { t } ) - { t [UNK] in U } } 만으로부터 결정된다. 두브 정리 ( 영어 : Doob's theorem ) 에 따르면, 임의의 R → R { [UNK] displaystyle [UNK] mathbb { R } [UNK] to [UNK] mathbb { R } } 확률 과정은 어떤 분해 가능 확률 과정과 확률 동치이다. ( 이는 조지프 두브가 증명하였다. ) 성질 [ 편집 ] 확률 과정 X : [UNK] → S T { [UNK] displaystyle X [UNK] colon [UNK] Omega [UNK] to S ^ { T } } 가 주어졌을 때, 이를 통하여 [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] Omega } 위의 측도를 S T {
일반적으로 성립하지 못한다. 같은 지표 집합 · 표본 공간 · 확률 공간을 갖는 두 확률 과정 ( X t : [UNK] → S ) t [UNK] T { [UNK] displaystyle ( X - { t } [UNK] colon [UNK] Omega [UNK] to S ) - { t [UNK] in T } }, ( Y t : [UNK] → S ) t [UNK] T { [UNK] displaystyle ( Y - { t } [UNK] colon [UNK] Omega [UNK] to S ) - { t [UNK] in T } } 이 다음 조건을 만족시킨다면, X { [UNK] displaystyle X } 와 Y { [UNK] displaystyle Y } 가 서로 확률 동치 ( [UNK] [UNK] 同 [UNK], 영어 : stochastically equivalent ) 라고 한다. 임의의 t [UNK] T { [UNK] displaystyle t [UNK] in T } 에 대하여, Pr ( X t = Y t ) = 1 { [UNK] displaystyle [UNK] Pr ( X - { t } = Y - { t } ) = 1 } 이다. 즉, { [UNK] [UNK] [UNK] : X t ( [UNK] ) [UNK] Y t ( [UNK] ) } [UNK] [UNK] [UNK] N t { [UNK] displaystyle [UNK] { [UNK] omega [UNK] in [UNK] Omega [UNK] colon X - { t } ( [UNK] omega ) [UNK] neq Y - { t } ( [UNK] o
T } } 가 주어졌을 때, 이를 통하여 [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] Omega } 위의 측도를 S T { [UNK] displaystyle S ^ { T } } 로 밀어서 S T { [UNK] displaystyle S ^ { T } } 위의 확률 측도를 정의할 수 있다. 즉, 이는 구체적으로 다음과 같다. Pr ( A ) = Pr ( [UNK] f [UNK] A : [UNK] t [UNK] T : f ( t ) ( t ) = X t ) [UNK] A [UNK] S T { [UNK] displaystyle [UNK] Pr ( A ) = [UNK] Pr ( [UNK] exists f [UNK] in A [UNK] colon [UNK] forall t [UNK] in T [UNK] colon f ( t ) ( t ) = X - { t } ) [UNK] qquad [UNK] forall A [UNK] subseteq S ^ { T } } 이에 따라 함수 공간 S T { [UNK] displaystyle S ^ { T } } 는 확률 공간을 이룬다. 이를 확률 과정 X { [UNK] displaystyle X } 의 법칙 ( 法 則, 영어 : law ) 이라고 한다. ( 예를 들어, 위너 확률 과정의 법칙은 위너 공간의 확률 측도이다. ) 콜모고로프 연속성 정리 [ 편집 ] 다음이 주어졌다고 하자. 확률 공간 [UNK] { [UNK] displaystyle [UNK] Omega } 완비 거리
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확률론에서 확률 과정(確率過程, 영어: stochastic process)은 시간의 진행에 대해 확률적인 변화를 가지는 구조를 의미한다.