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Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes - PDF
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Clara Saavedra Navarro
1 Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes José M. Salazar Octubre de 20162 Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes Lección 1. Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes3 Índice 1 Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo Definiciones y expresión matricial 2 Matrices y álgebra matricial Definiciones preliminares Operaciones con matrices 3 Resolución de sistemas lineales Operaciones elementales y método de Gauss Cálculo de matrices inversas con operaciones elementales 4 Determinantes Definición y propiedades de los determinantes Métodos de cálculo de determinantes Matrices inversas Regla de Cramer Rango. Teorema de Rouché-Fröbenius4 Ejemplo Ejemplo (Redes) El tráfico de vehículos que entra y sale en la red de la figura cada minuto se reparte del modo en que se detalla: x 1 3 x 4 x 2 2 x Se desea conocer la calle con menor flujo de tráfico para realizar en ella unas obras. Qué calle se debe elegir?5 Ejemplo Ejemplo x 1 3 x 4 x 2 2 x x = x 2 + 3, x = x 3 + 1, x = x 4 + 2, x = x Resolviendo, x 1 = λ, x 2 = 1 + λ, x 3 = 1 + λ, x 4 = λ. Dado que λ 1 (0 x 2 = 1 + λ), x 2 es menor que x 1, x 3 y x 4.6 Ecuación lineal Definición Una expresión de la forma a 1 x a n x n = b, con a i R para todo i = 1,..., n, y b R se llama ecuación lineal con n incógnitas o variables (las x i ). Los elementos a i son los coeficientes de la ecuación y b es el término independiente. Definición Una solución de una ecuación lineal como la de arriba es una lista (s 1,..., s n ), con s i R para todo i, tal que al sustituir en los x i de la ecuación, se satisface la igualdad.7 Sistema de ecuaciones lineales Definición Una expresión de la forma a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 (I). a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m donde los a ij (coeficientes) y los b i (términos independientes) son números reales se denomina sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas x 1,..., x n. Una solución de (I) es una lista de n números reales (s 1,..., s n ) tales que al sustituir por (x 1,..., x n ), se cumplen las igualdades de (I).8 Ecuación matricial Definición El sistema (I) se escribe matricialmente como AX = b donde a a 1n x 1 b 1 A =....., X =., b =. a m1... a mn x n b m A las matrices A, X y b se las llama matriz de coeficientes, matriz de incógnitas y matriz de términos independientes de (I ), respectivamente. A la matriz Ā = a a 1n b a m1... a mn b m se la llama matriz ampliada de coeficientes de (I).9 Cuerpo Definición (Cuerpo) Un conjunto no vacío K acompañado de dos operaciones internas, + y (suma y multiplicación): +, : K K K tiene estructura de cuerpo si verifica las propiedades: 1. (x + y) + z = x + (y + z) x, y, z K 2. 0 K : x K se verifica 0 + x = x = x + 0. A 0 se le llama cero del cuerpo. 3. x K y K : x + y = y + x = 0. El elemento y se llama elemento opuesto de x y se denota por x. 4. x, y K se tiene x + y = y + x.10 Cuerpo Definición (Cuerpo) 5. x, y, z K se tiene x (y z) = (x y) z). 6. x, y, z K se tiene x (y + z) = x y + x z. 7. x, y K se tiene x y = y x K : x K se tiene 1 x = x = x 1. Al elemento 1 se le llama uno del cuerpo. 9. x K, x 0, y K : x y = y x = 1. El elemento y es el elemento inverso de x denotándose por x 1. Ejemplos Ejemplos habituales de cuerpos que se utilizan son Q, R y C. Nosotros trabajaremos casi exclusivamente con K = R.11 Definición de matriz y tipos Definición (Matriz) Llamamos matriz de orden m n sobre un cuerpo K a una tabla con m filas y n columnas integrada por elementos de K: a 11 a 1n A =..... a m1 a mn Escribiremos A = (a i,j ). Al conjunto de las matrices sobre K de orden m n lo denotamos por M m n (K). Una submatriz de A es una matriz obtenida de eliminar filas o columnas (o ambas) de A. La diagonal principal de A está constituida por los elementos a ii.12 Tipos de matrices Definición (Tipos de matrices) Matriz fila: m = 1. Matriz columna: n = 1. Matriz cuadrada: m = n. Se denota A M n (K). Matriz triangular superior: A cuadrada y a ij = 0 i > j. Matriz triangular inferior: A cuadrada y a ij = 0 i < j. Matriz diagonal: A M n (K) y a ij = 0 i j. Matriz identidad: A M n (K) diagonal con a ii = 1 i. Se denota por I n. Matriz nula: a ij = 0 i, j. Se escribe A = 0 Matriz traspuesta: Si A = (a ij ) M m n (K), la traspuesta de A es A t = (a ji ) M n m (K). Matriz simétrica: A = A t. Matriz antisimétrica: A = A t.13 Operaciones con matrices Definición (Suma y producto por escalar) Dadas A, B M m n (K), se define: Suma de A y B: A + B = (a ij + b ij ) M m n (K). Producto por un escalar: dado λ K, λa = (λa ij ) M m n (K) Definición (Producto de matrices) Dadas A = (a ij ) M m n (K) y B = (b ij ) M n p (K), se define el producto de A por B como C = (c ij ) M m p (K) donde Escribimos C = AB. c ij = a i1 b 1j + + a in b nj14 Propiedades de la suma y el producto por un escalar Propiedades (Suma y producto por escalar) Dadas A, B, C matrices de tamaños adecuados para llevar a cabo las operaciones correspondientes y dados λ, µ K: A + (B + C) = (A + B) + C. A + 0 = 0 + A con 0 la matriz nula. A + ( A) = ( A) + A = 0. A + B = B + A. λ(a + B) = λa + λb. (λ + µ)a = λa + µa. λ(µa) = (λµ)a. 1A = A.15 Propiedades del producto Propiedades (Producto) Dadas A, B, C matrices de los tamaños adecuados: A(BC) = (AB)C. AI n = I n A = A con A M n (K). A(B + C) = AB + AC. Definición (Matriz inversa) La matriz A M n (K) es invertible si existe B M n (K) tal que AB = BA = I n. La matriz B es inversa de A y se denota por A 1.16 Propiedades de la inversa y la traspuesta Propiedades (Propiedades de la inversa y la traspuesta) Si A es invertible, la inversa es única e invertible con (A 1 ) 1 = A. Si A, B M n (K) son invertibles, AB es invertible y (AB) 1 = B 1 A 1. Si A es invertible, A t es invertible y (A t ) 1 = (A 1 ) t. (A t ) t = A. (λa) t = λa t. (A + B) t = A t + B t. (AB) t = B t A t. Definición A M n (K) es ortogonal si AA t = I n, esto es, si A t = A 1.17 Matrices escalonadas Definición Una matriz es escalonada si: 1. Todas las filas nulas, si las hay, están en la parte inferior de la matriz. 2. El número de ceros al comienzo de una fila no nula es estrictamente menor que el número de ceros al comienzo de la fila inferior. El primer elemento no nulo de cada fila, en caso de tenerlo, se llama cabecera de la fila.18 Matrices escalonadas Definición Si la matriz escalonada cumple, además: 3. Todas las cabeceras de filas son unos. 4. En las columnas en las que están las cabeceras de las filas, todos los demás elementos son nulos, entonces se dice que es escalonada reducida. Ejemplo19 Operaciones elementales Definición Dada una matriz A M m n (R), llamamos operaciones elementales sobre las filas de A a las siguientes manipulaciones: Intercambiar la posición de dos filas. Sustituir la fila i-ésima por k veces ella más k veces la j-ésima, con k 0. Observación Toda matriz A M m n (R) se puede transformar en escalonada E o en una escalonada reducida R efectuando operaciones elementales sobre sus filas. La matriz E no es única, mientras R sí lo es.20 Algoritmo para escalonar matrices Procedimiento (Obtención de matriz escalonada) Dada una matriz A M m n (R), reduzcámosla mediante operaciones elementales sobre las filas a forma escalonada y a forma escalonada reducida. 1. Si A j 1 es la primera columna de A con una entrada no nula, intercambiamos, si es necesario, filas para que a 1j Utilizamos a 1j1 como pivote para obtener ceros bajo él. 3. Se repiten los pasos 1 y 2 con la submatriz obtenida de quitar la primera fila. 4. Se repite el proceso hasta que la matriz queda en la forma escalonada E.21 Algoritmo para escalonar matrices Procedimiento (Obtención de matriz escalonada reducida) Si, además, buscamos obtener la matriz escalonada reducida, continuamos con los pasos siguientes: 5. Se multiplica la última fila no nula A r (con cabecera a rjr ) por 1/a rjr de forma que la cabecera se convierta en Se utiliza a rjr = 1 como pivote para obtener ceros sobre él. 7. Se repiten los pasos 5 y 6 para las filas A r 1, A r 2,..., A Se multiplica A 1 por 1/a 1j1 (a 1j1 es la cabecera de la fila A 1 ). Así se obtiene la matriz escalonada reducida R.22 Típos de sistemas lineales Definición Decimos que AX = b es compatible determinado si tiene una única solución, compatible indeterminado si tiene más de una, e incompatible si no tiene ninguna. Discutir un sistema AX = b consiste en determinar a cuál de los tipos mencionados pertenece. Definición Un sistema es homogéneo si b = 0. Lo denotaremos por AX = 0. Si b 0, el sistema se dice no homogéneo. Observación Todo sistema homogéneo es compatible (siempre existe la solución trivial x 1 = x 2 = = x n = 0).23 Sistemas equivalentes Definición Dos sistemas de ecuaciones lineales se dicen equivalentes si tienen las mismas soluciones. Observación Dado (I ) AX = b, si Ā se obtiene de Ā mediante operaciones elementales sobre sus filas, Ā Ā, entonces el sistema (II ) asociado a Ā es equivalente a (I ).24 Métodos de resolución de Gauss y Gauss-Jordan Procedimiento (Métodos de resolución de Gauss y Gauss-Jordan) Para resolver (I ) AX = b se siguen los siguientes pasos: Se escalona Ā Ē mediante operaciones elementales en filas. Se resuelve el sistema (II ) asociado a Ē, al que llamamos sistema escalonado, y que es equivalente a (I ). Se procede así: Llamamos incógnitas principales a las asociadas a las cabeceras de Ē y parámetros al resto. Se despejan las incógnitas principales en función de los parámetros empezando por la última ecuación y siguiendo el proceso de susittución hacia arriba. Éste es el método de eliminación de Gauss. Si escalonamos Ā R, con R escalonada reducida, y resolvemos el sistema asociado a R, estamos utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan.25 Cálculo de matrices inversas con operaciones elementales Teorema Sea A M n (R) regular. La matriz inversa de A se obtiene de transformar en escalonada reducida la matriz (A I n ). Se obtendrá: (A I n ) (I n B) siendo B = A 1.26 Definición de determinante Definición (Determinante) Dada una matriz A = (a 11 ) M 1 (R), el determinante de A es det(a) = a 11. Supuesto conocido el valor det(a) para las matrices A M n 1 (R), el determinante para A = se define del siguiente modo a a 1n..... a n1... a nn det(a) = a 11 α 11 + a 21 α a n1 α n1 siendo α ij = ( 1) i+j det(a ij ), donde A ij M n 1 (R) es la submatriz de A obtenida al quitar la fila i y la columa j. Al elemento α ij se le llama adjunto ij-ésimo de A.27 Definición de determinante Esta definición de determinante es de tipo inductivo y se denomina desarrollo de Laplace de det(a) por la primera columna. Ejemplos det(i n ) = 1. Si A M 2 (R), det(a) = a 11 a 22 a 21 a 12. Si A M 3 (R), det(a) = a 11 a 22 a 33 + a 13 a 21 a 32 + a 12 a 23 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 Definición (Matriz regular) Se dice que A es regular si det(a) 0.28 Propiedades de los determinantes Propiedades (Propiedades de los determinantes) 1. Dadas A, B, C M n (R) iguales, salvo en la i-ésima fila (resp. columna) de A, que es igual a la suma de las i-ésimas filas (resp. columnas) de B y C, entonces: det(a) = det(b) + det(c) 2. Si A M n (R) tiene dos filas (resp. columnas) iguales o proporcionales, entonces det(a) = Dada A M n (R) y dada B obtenida de intercambiar en A la posición de dos filas (resp. columnas), entonces det(b) = det(a). 4. Dada A M n (R) y dada B obtenida de multiplicar los elementos de una fila (resp. columna) de A por un escalar k, entonces det(b) = k det(a). Si A tiene una fila (resp. columna) de ceros, entonces det(a) = 0.29 Propiedades de los determinantes Propiedades (Propiedades de los determinantes) 5. Dada A M n (R) y dada B obtenida de sumar a una fila (resp. columna) de A otra fila (resp. columna) multiplicada por un escalar k, entonces det(a) = det(b). 6. A M n (R) es invertible si y sólo si det(a) Dadas A, B M n (R), det(ab) = det(a)det(b). 8. Dada A M n (R), det(a) = det(a t ) 9. Dada A M n (R), det(a) puede obtenerse desarrollando por cualquiera de sus filas o columnas: det(a) = a i1 α i1 + + a in α in = a 1j α 1j + + a nj α nj30 Métodos de cálculo de determinantes Dada A M n (R) con n > 3, veamos procedimientos de cálculo de det(a). Procedimiento Se elige un elemento no nulo de una fila o columna (la que más ceros tenga) y se hacen ceros el resto de elementos mediante operaciones elementales (aplicando las reglas 3, 4 y 5 anteriores). Finalmente, se desarrolla por esa fila o columna obtenida. El procedimiento se puede repetir con los determinantes de las matrices de orden n 1 resultantes. Procedimiento Se escalona A con operaciones elementales aplicando las propiedades 3, 4 y 5 anteriores. Resulta det(a) = a 11 a 22 a nn31 Cálculo de la matriz inversa Teorema Dada A M n (R) regular, se tiene A 1 = 1 det(a) Adj(A)t siendo Adj(A) = (α ij ) la matriz de adjuntos de A.32 Regla de Cramer Teorema (Regla de Cramer) Dada A M n (R) regular y dado el sistema (I ) AX = b, entonces (I) es compatible determinado y sus soluciones son de la forma: x 1 = det( b A 2... A n ) det(a),..., x n = det(a1... A n 1 b), det(a) siendo A i la columna i-ésima de A para i = 1,..., n.33 Rango Definición (Rango) Sea A M n (R). Se llama menor de orden r de A al determinante de la matriz formada por la intersección de r filas y r columnas de A. El rango de A es r si existe un menor de orden r de A no nulo y todos los menores de orden mayor que r son nulos. Observación El rango de una matriz A es invariante por operaciones elementales sobre sus filas y resulta ser igual al número de filas no nulas de cualquier matriz escalonada asociada a A.34 Teorema de Rouché-Frobenius Teorema (Rouché-Frobenius) Dado un sistema (I) AX = b de m ecuaciones con n incógnitas, se verifica: El sistema es compatible si r(a) = r(ā). Será compatible determinado si r(a) = r(ā) = n y compatible indeterminado si r(a) = r(ā) < n. El sistema es incompatible si r(a) < r(ā). Documentos relacionados
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María Teresa Felisa Escobar Contreras
1 BOE núm. 83 Martes 6 abril MINISTERIO DE TRABAJO Y ASUNTOS SOCIALES 6147 RESOLUCIÓN de 22 de marzo de 2004, del Instituto Social de la Marina, sobre cumplimiento, por los trabajadores por cuenta propia del Régimen Especial de la Seguridad Social de los Trabajadores del Mar, de la obligación establecida en el párrafo segundo del artículo 12 del Real Decreto 1273/2003, de 10 de octubre, por el que se regula la cobertura de las contingencias profesionales de los trabajadores incluidos en el Régimen Especial de la Seguridad Social de los trabajadores por cuenta propia o autónomos y la ampliación de la prestación por incapacidad temporal para los trabajadores por cuenta propia. El artículo 12 del Real Decreto 1273/2003, de 10 de octubre, por el que se regula la cobertura de las contingencias profesionales de los trabajadores incluidos en el Régimen Especial de la Seguridad Social de los trabajadores por cuenta propia o autónomos y la ampliación de la prestación por incapacidad temporal para los trabajadores por cuenta propia, establece que los trabajadores que se encuentren en incapacidad temporal, vendrán obligados a presentar, ante la correspondiente entidad gestora o colaboradora, en la forma y con la periodicidad que determine la entidad gestora del régimen en que estén encuadrados, declaración sobre la persona que gestione directamente el establecimiento mercantil, industrial o de otra naturaleza del que sean titulares o, en su caso, el cese temporal o definitivo en la actividad. A tal fin, en uso de las facultades que le atribuye el citado artículo, esta Dirección General, resuelve: Primero.Los trabajadores por cuenta propia incluidos en el Régimen Especial de la Seguridad Social de los Trabajadores del Mar, que se encuentren en situación de incapacidad temporal, deberán presentar ante el Instituto Social de la Marina o ante la Mutua de Accidentes de Trabajo y Enfermedades Profesionales de la Seguridad Social con la que se haya concertado la contingencia de incapacidad temporal, declaración sobre la persona que va a gestionar directamente la actividad en el supuesto de ser titular de una embarcación o artefacto flotante o, en su caso, el cese temporal o definitivo de la actividad desarrollada, en el modelo que figura como anexo a la presente Resolución. Segundo.En los procesos de incapacidad temporal la presentación de la declaración por el trabajador por cuenta propia deberá realizarse dentro de los 15 días siguientes a la fecha de la baja. Tercero.En la declaración deberá señalarse la persona que, durante el tiempo de baja, va a gestionar la actividad o, alternativamente, indicarse el cese temporal o definitivo en la actividad. Cuarto.1. La falta de presentación de la declaración, en el plazo máximo señalado, tendrá como consecuencia la suspensión cautelar del abono de la prestación, pudiendo iniciarse de oficio las actuaciones oportunas a fin de verificar la situación en la que queda la actividad del beneficiario de la prestación. 2. Si como consecuencia de las actuaciones administrativas realizadas, se dedujese el carácter indebido de la prestación que, en su caso, se hubiera comenzado a percibir, se procederá a realizar las actuaciones precisas para el reintegro de la misma. 3. Lo establecido en los párrafos anteriores se entiende sin perjuicio de que, por la no presentación en plazo de la declaración a que se refiere la presente Resolución, así como, en su caso, por haber percibido indebidamente la prestación, pudieran iniciarse los correspondientes expedientes sancionadores en aquellos casos en que, atendiendo a las circunstancias concurrentes, oportunamente valoradas por la entidad gestora, así se determine por ésta. Quinto.Mientras se mantenga la situación de incapacidad temporal los trabajadores a que se refiere la presente Resolución vendrán obligados a presentar ante el Instituto Social de la Marina o ante la Mutua de Accidentes de Trabajo y Enfermedades Profesionales de la Seguridad Social, según corresponda, con periodicidad semestral, a contar desde la fecha en que se inicie la incapacidad temporal, la declaración de la situación de la actividad, si fueran requeridos a ello. Sexto.La presente Resolución entrará en vigor el día siguiente al de su publicación en el Boletín Oficial del Estado. Madrid, 22 de marzo de 2004.La Directora General, María Antonia Lucena Varea. Ilmos. Sres. Secretario General, Subdirectores Generales y Directores Provinciales del Instituto Social de la Marina. MINISTERIO DE LA PRESIDENCIA 6148 CORRECCIÓN de errores del Real Decreto 365/2004, de 5 de marzo, por el que se crea el título de Farmacéutico Especialista en Inmunología. Advertido error en el Real Decreto 365/2004, de 5 de marzo, por el que se crea el título de Farmacéutico Especialista en Inmunología, publicado en el «Boletín Oficial del Estado» número 63, de 13 de marzo de 2004, se procede a efectuar la oportuna rectificación: En la página 11408, primera columna, en la disposición transitoria segunda, el apartado 3 debe quedar redactado como sigue: «3. Los vocales a que se refiere el artículo 3.2.d) del Real Decreto 1163/2002, de 8 de noviembre, podrán ser también elegidos entre los farmacéuticos residentes en la especialidad que se encuentren, como mínimo, en el segundo año de formación». MINISTERIO DE ECONOMÍA 6149 RESOLUCIÓN de 9 de marzo de 2004, de la Dirección General de Seguros y Fondos de Pensiones, por la que se da publicidad a las cuantías de las indemnizaciones por muerte, lesiones permanentes e incapacidad temporal que resultarán de aplicar durante 2004, el sistema para valoración de los daños y perjuicios causados a las personas en accidentes de circulación. La Ley sobre Responsabilidad Civil y Seguro en la Circulación de Vehículos a Motor, texto refundido apro-
2 14378 Martes 6 abril 2004 BOE núm. 83 bado por Decreto 632/1968, de 21 de marzo, establece que anualmente, con efectos de primero de enero de cada año, deberán actualizarse las cuantías indemnizatorias que se recogen en el sistema para la valoración de los daños y perjuicios causados a las personas en accidentes de circulación y, en su defecto, quedarán automáticamente actualizadas en el porcentaje del índice general de precios al consumo correspondiente al año natural inmediatamente anterior. En este último supuesto, y con la finalidad de facilitar el conocimiento y aplicación del sistema, la Dirección General de Seguros y Fondos de Pensiones debe dar publicidad a las cuantías resultantes. Habida cuenta que según datos del Instituto Nacional de Estadística, el índice general de precios al consumo se incrementó en 2,6 por ciento en el período de referencia, procede actualizar en tal cuantía para el ejercicio de 2004 el sistema de valoración precitado. Sobre la base de cuanto antecede, esta Dirección General de Seguros y Fondos de Pensiones ha acordado: Dar publicidad a las indemnizaciones vigentes durante el año 2004, para caso de muerte, lesiones permanentes e incapacidades temporales, que resultan de aplicar el sistema para la valoración de los daños y perjuicios causados a las personas en accidentes de circulación, recogido en la Ley sobre Responsabilidad Civil y Seguro en la Circulación de Vehículos a Motor, a través de la presente Resolución, que incorpora como anexo las cuantías actualizadas de las mismas. Madrid, 9 de marzo de 2004.El Director General, José Carlos García de Quevedo Ruiz. ANEXO TABLA I Indemnizaciones básicas por muerte (Incluidos daños morales) Edad de la víctima Perjudicados/beneficiarios (1) de la indemnización (por grupos excluyentes) Hasta 65 años De 66 a 80 años Más de 80 años GRUPO I Víctima con cónyuge (2) Al cónyuge , , , A cada hijo menor , , , A cada hijo mayor: Si es menor de veinticinco años , , , Si es mayor de veinticinco años , , , A cada padre con o sin convivencia con la víctima , , A cada hermano menor huérfano y dependiente de la víctima , , GRUPO II Víctima sin cónyuge (3) y con hijos menores Sólo un hijo , , , Sólo un hijo, de víctima separada legalmente , , , Por cada hijo menor más (4) , , , A cada hijo mayor que concurra con menores , , , A cada padre con o sin convivencia con la víctima , , A cada hermano menor huérfano y dependiente de la víctima , , GRUPO III Víctima sin cónyuge (3) y con todos sus hijos mayores III.1 Hasta veinticinco años: A un solo hijo , , , A un solo hijo, de víctima separada legalmente , , , Por cada otro hijo menor de veinticinco años (4) , , , A cada hijo mayor de veinticinco años que concurra con menores de veinticinco años , , , A cada padre con o sin convivencia con la víctima , , A cada hermano menor huérfano y dependiente de la víctima , , III.2 Más de veinticinco años: A un solo hijo , , , Por cada otro hijo mayor de veinticinco años más (4) , , , A cada padre con o sin convivencia con la víctima , , A cada hermano menor huérfano y dependiente de la víctima , ,854547
3 BOE núm. 83 Martes 6 abril Edad de la víctima Perjudicados/beneficiarios (1) de la indemnización (por grupos excluyentes) Hasta 65 años De 66 a 80 años Más de 80 años GRUPO IV Víctima sin cónyuge (3) ni hijos y con ascendientes Padres (5): Convivencia con la víctima Sin convivencia con la víctima , , , , Abuelo sin padres (6): A cada uno , A cada hermano menor de edad en convivencia con la víctima en los dos casos anteriores , GRUPO V Víctima con hermanos solamente V.1 Con hermanos menores de veinticinco años: A un solo hermano , , , Por cada otro hermano menor de veinticinco años (7) , , , A cada hermano mayor de veinticinco años que concurra con hermanos menores de veinticinco años , , , V.2 Sin hermanos menores de veinticinco años: A un solo hermano , , , Por cada otro hermano (7) , , , (1) Con carácter general: a) Cuando se trate de hijos, se incluirán los adoptivos también. b) Cuando se fijen cuantías distintas según la edad del perjudicado o beneficiario, se aplicará la edad que tuviese éste en la fecha en que se produjo el accidente de la víctima. (2) Cónyuge no separado legalmente al tiempo del accidente. Las uniones conyugales de hecho consolidadas se asimilarán a las situaciones de derecho. (3) Se equiparan a la ausencia de cónyuge la separación legal y el divorcio. No obstante, si el cónyuge separado o divorciado tiene derecho a la pensión regulada en el artículo 97 del Código Civil, le corresponderá una indemnización igual al 50 por 100 de las fijadas para el cónyuge en el grupo I. En los supuestos de concurrencia con uniones conyugales de hecho o, en su caso, de aquéllos o éstos con cónyuges no separados legalmente, la indemnización fijada para el cónyuge en el grupo I se distribuirá entre los concurrentes en proporción a la cuantía que les hubiera correspondido de no haber concurrencia. (4) La cuantía total de la indemnización que corresponda según el número de hijos se asignará entre ellos a partes iguales. (5) Si concurriesen uno que conviviera y otro que no conviviera con la víctima, se asignará a cada uno el 50 por 100 de la cuantía que figura en su respectivo concepto. (6) La cuantía total de la indemnización se distribuirá al 50 por 100 entre los abuelos paternos y maternos. (7) La cuantía total de la indemnización que corresponda según el número de hermanos se asignará entre ellos a partes iguales. TABLA II Factores de corrección para las indemnizaciones básicas por muerte Porcentaje de reducción Perjuicios económicos Ingresos netos anuales de la víctima por trabajo personal: Hasta , euros (1) Hasta el 10 De , a , euros Del 11 al 25 De , a , euros Del 26 al 50 Más de , euros Del 51 al 75 Circunstancias familiares especiales: Discapacidad física o psíquica acusada (anterior al accidente) del perjudicado/beneficiario: Si es cónyuge o hijo menor Del 75 al 100 (2) Si es hijo mayor con menos de veinticinco años Del 50 al 75 (2) Cualquier otro perjudicado/beneficiario Del 25 al 50 (2)
4 14380 Martes 6 abril 2004 BOE núm. 83 Porcentaje de reducción Víctima hijo único: Si es menor Del 30 al 50 Si es mayor, con menos de veinticinco años Del 20 al 40 Si es mayor, con más de veinticinco años Del 10 al 25 Fallecimiento de ambos padres en el accidente: Con hijos menores Sin hijos menores: Del 75 al 100 (3) Con hijos menores de veinticinco años Sin hijos menores de veinticinco años Del 25 al 75 (3) Del 10 al 25 (3) Víctima embarazada con pérdida de feto a consecuencia del accidente: Si el concebido fuera el primer hijo: Hasta el tercer mes de embarazo A partir del tercer mes , , Si el concebido fuera el segundo hijo o posteriores: Hasta el tercer mes A partir del tercer mes , , Elementos correctores del apartado primero.7 de este anexo Hasta el 75 (1) Se incluirá en este apartado cualquier víctima en edad laboral, aunque no se justifiquen ingresos. (2) Sobre la indemnización que corresponda al beneficiario discapacitado. (3) Sobre la indemnización básica que corresponda a cada perjudicado. TABLA III Indemnizaciones básicas por lesiones permanentes (incluidos daños morales) Valores del punto en euros Puntos Menos de 20 años De 21 a 40 años De 41 a 55 años De 56 a 65 años Más de 65 años 1 668, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,670955
5 BOE núm. 83 Martes 6 abril TABLA IV Factores de corrección para las indemnizaciones básicas por lesiones permanentes Porcentaje de reducción Perjuicios económicos Ingresos netos de la víctima por trabajo personal: Hasta , euros (1) Hasta el 10 De , a , euros Del 11 al 25 De , hasta , euros Del 26 al 50 Más de , euros Del 51 al 75 Daños morales complementarios: Se entenderán ocasionados cuando una sola secuela exceda de 75 puntos o las concurrentes superen los 90 puntos. Sólo en estos casos será aplicable Hasta , Lesiones permanentes que constituyan una incapacidad para la ocupación o actividad habitual de la víctima: Permanente parcial: Con secuelas permanentes que limiten parcialmente la ocupación o actividad habitual, sin impedir la realización de las tareas fundamentales de la misma Hasta , Permanente total: Con secuelas permanentes que impidan totalmente la realización de las tareas de la ocupación o actividad habitual del incapacitado De , a , Permanente absoluta: Con secuelas que inhabiliten al incapacitado para la realización de cualquier ocupación o actividad De , a , Grandes inválidos: Personas afectadas con secuelas permanentes que requieren la ayuda de otras personas para realizar las actividades más esenciales de la vida diaria como vestirse, desplazarse, comer o análogas (tetraplejías, paraplejías, estados de coma vigil o vegetativos rónicos, importantes secuelas neurológicas o neuropsiquiátricas con graves alteraciones mentales o psíquicas, ceguera completa, etc.): Necesidad de ayuda de otra persona: Ponderando la edad de la víctima y grado de incapacidad para realizar las actividades más esenciales de la vida. Se asimilan a esta prestación el coste de la asistencia en los casos de estados de coma vigil o vegetativos crónicos Hasta , Adecuación de la vivienda: Según características de la vivienda y circunstancias del incapacitado, en función de sus necesidades Hasta , Perjuicios morales de familiares: Destinados a familiares próximos al incapacitado en atención a la sustancial alteración de la vida y convivencia derivada de los cuidados y atención continuada, según circunstancias Hasta , Embarazada con pérdida de feto a consecuencia del accidente (2): Si el concebido fuera el primer hijo: Hasta el tercer mes de embarazo Hasta , A partir del tercer mes Hasta ,684955
6 14382 Martes 6 abril 2004 BOE núm. 83 Porcentaje de reducción Si el concebido fuera el segundo hijo o posteriores: Hasta el tercer mes de embarazo A partir del tercer mes Hasta 7.523, Hasta , Elementos correctores del apartado primero.7 de este anexo Según circunstancias Según circunstancias Adecuación del vehículo propio: Según características del vehículo y circunstancias del incapacitado permanente, en función de sus necesidades Hasta , (1) Se incluirá en este apartado cualquier víctima en edad laboral, aunque no se justifiquen ingresos. (2) Habrá lugar a la percepción de esta indemnización aunque la embarazada no haya sufrido lesiones. TABLA V Indemnizaciones por incapacidad temporal (Compatibles con otras indemnizaciones) A) Indemnización básica (incluidos daños morales). Día de baja Indemnización diaria Durante la estancia hospitalaria , Sin estancia hospitalaria: Impeditivo (1) , No impeditivo , (1) Se entiende por día de baja impeditivo aquel en que la víctima está incapacitada para desarrollar su ocupación o actividad habitual. B) Factores de corrección. Porcentajes aumento Porcentajes disminución Perjuicios económicos: Ingresos netos anuales de la víctima por trabajo personal: Hasta , euros. Hasta el 10 D e , a , euros.... Del 11 al 25 De , hasta , euros.... Del 26 al 50 Más de , euros Del 51 al 75 Elementos correctores de disminución del apartado primero.7 de este anexo..... Hasta el 75

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