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Cohn E.
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Elektromagnetische Feld. Vorlesungen über die Maxwell'sche Theorie von Emil Cohn, a. o. Professor der Physik au der Universität Strassburg. Mit 54 Abbildungen. Leipzig Verlag von S. Hirzel 1900.
Das Recht der Uebersetzung ist vorbehalten. Druck von August Pries in Leipzig.
Vorwort. „Die Strenge der Wissenschaft erfordert, dass wir das bunte Gewand, welches wir der Theorie überwerfen, und dessen Schnitt und Farbe vollständig in unserer Gewalt liegt, wohl unterscheiden von der einfachen und schlichten Gestalt selbst, welche die Natur uns entgegenführt, und an deren Formen wir aus unserer Willkür nichts zu ändern vermögen". Hertz. Den Inhalt dieses Buches bilden die elektromagnetischen Erscheinungen in dem Umfange, in welchem sie in den Max- welPschen Gleichungen zusammengefasst sind. Mein Wunsch ist, dass es den Leser vorbereiten möge, Helmholtz, Maxwell, Hertz im Original zu lesen. Auf einige der Punkte, in welchen die vorliegende Darstellung von der zur Zeit üblichen abweicht, sei an dieser Stelle hingewiesen. Der wesentlichste Unterschied betrifft die Lehre vom Magnetismus im engeren Sinn: Die Einführung des „wahren Magnetismus" scheint mir genau so zulässig und zweckmässig, wie die Einführung der „wahren Elektricität". Alles, was gegen die Zulässigkeit angeführt wird, stützt sich auf die Thatsache, dass es unmöglich ist, eine einzelne, positive oder negative, magnetische Menge herzustellen. Aber das gleiche gilt von den elektrischen Mengen. Der scheinbare Unterschied entsteht nur dadurch, dass die Gesammtheit der mag-
IV Vorwort. netischen Mengen, deren Summe stets Null ist, sich in einem festen Körper findet, — die Gesammtheit der elektrischen Mengen, deren Summe Null ist, hingegen in einem beliebigen von Leitern umschlossenen Raum, den in der Regel Gase erfüllen. Die genannte Erfahrungsthatsache ist in der Theorie vollständig zum Ausdruck gebracht, sobald man an Stelle der ,,magnetischen Mengen" die „Magnetisirung" einführt. Statt dessen mit Hülfe des Ampere'schen Aequivalenz- princips den Magnetismus fortzudefiniren, halte ich aus dem S. 300 angeführten Grunde nicht für zweckmässig; jedenfalls aber bleibt dieses Vorgehen ohne praktische Bedeutung, solange nicht auch in die magnetischen Massmethoden die Vertheilung der Molecularströme an Stelle der Magnetisirung eingeführt wird. Ein bestimmtes absolutes Masssystem ist in der vorliegenden Darstellung nicht vorausgesetzt. Die Gleichungen sind durchweg so allgemein gehalten, dass nach Wunsch jedes der absoluten Masssysteme in sie eingeführt werden kann. Dadurch war es zugleich möglich, den Factor 4jt aus den allgemeinen Gleichungen und aus den Beziehungen zwischen Kraftlinienzahl und Elektricitätsmengen fortzuschaffen, und ihn dahin zu verweisen, wo sein legitimer Platz ist: in die über Kugelflächen erstreckten Integrale. — Sätze, deren Gültigkeit unabhängig ist von der Vertheilung der Materie im Raum, sind auch in allgemeingültiger Form abgeleitet. Den Ausgangspunkt bilden daher nicht die algebraischen Ausdrücke für die Feldgrössen, sondern ihre Eigenschaften, welche durch Differentialgleichungen, Endlichkeits- und Stetigkeitsbedingungen ausgesprochen sind. — Die Bedeutung von Ausdrücken, wie „Kraft auf die Elektricitätsmenge Eins", „Widerstand", „Selbstinductionscoefficient", ist auf ihren durch die Erfahrung gegebenen Geltungsbereich eingeschränkt worden. Sachlich neu sind, soviel mir bekannt, die Sätze über
Vorwort. V die mechanischen Spannungen und über die Beziehungen zwischen Arbeit und Energie im Fall von Eisenkörpern (Kapitel VIII A). Sie bilden mathematische Folgerungen aus anerkannten Prämissen. Bei der Auswahl und Anordnung des Stoffes war die Bestimmung des Buches als Lehrbuch massgebend. Die Erfahrungen meiner akademischen Lehrthätigkeit habe ich stets von neuem zu Rathe gezogen. Hier hilft nun weiter kein Bemühn! Sind's Rosen, nun sie werden blühn. Strassburg i. E., im April 1900.
Inhalt. Seite Einleitung 1 Methode, Eintheilung des Buches 2 Kapitel I. Elektrostatik. § 1. Elektricitätsmenge. — Coulomb's Gesetz 3 Elektrisirung, positive und negative 3 Leiter, Isolator 4 Leitende Hülle 4 Elektricitätsmenge 5 Ihre Addition, Unzerstörbarkeit, Continuität 5 Coulomb's Gesetz 7 Dielektricitätsconstante 7 Absolute Masssysteme 8 Das elektrische absolute Masssystem 8 Voraussetzungen in Coulomb's Gesetz 9 § 2. Elektrische Feldlntensltät, Potential, Mechanische Arbelt, Energie 10 Elektrische Feldintensität, Potential 10 Mechanische Arbeit 12 Energie 13 „Kraft auf die Elektricitätsmenge Eins" 14 § 3. Raum- und Flächenpotential, Glelchgewlchtsbedlngang ... 15 Raumpotential 15 Stetigkeit desselben und seiner Derivirten 10 Flächenpotential 17 Stetigkeit desselben und seiner Tangential-Derivirten 18 Gleichgewichtsbedingung; Potential eines Leiters 10
VIII Inhalt. Seite § 4. Umkehrnng der Aufgabe, Eigenschaften des elektrostatischen Feldes 20 Die Feldintensität als Fundamentalgrösse 20 Der Gauss'sehe Satz 20 Die Elektricitätsvertheilung durch das Feld ausgedrückt . . . . 23 Unstetigkeit von E 24 Elektricität nur auf der Oberfläche der Leiter 25 Der Green'sche Satz ' .... 20 Partielle Integration über einen Raum 28 Die Energie durch das Feld ausgedrückt 29 Linien-Integral eines Vectors 29 Allgemeine Bedingungen des elektrostatischen Feldes .... 29 § 5. Grnndgleichnngen der Elektrostatik für nichthomogene Di- elektrica 30 Zwei äquivalente Darstellungen; eine von ihnen erweiterungsfähig. Beliebige Isolatoren 30 Grundgleichungen der Elektrostatik 31 Energie eines endlichen Raumes 31 Flächen-Integral eines Vectors 32 Definirende Eigenschaften der „Elektricitätsmenge" 32 Eigenschaften des Potentials. Sein Nullpunkt 33 Specielle Formen von (A); Raum- und Flächendichte 33 Divergenz eines Vectors 34 Das e eines Leiters ist endlich 36 Vollständiges Feld 37 Geschlossenes Feld; seine gesammte Elektricitätsmenge = 0 . . 37 § 6. Darstellung des Feldes dnrch Kraftlinien 38 Elektrische Kraftlinien. Kraftfaden 38 Zahl der Kraftlinien. Endpunkte 39 Brechungsgesetz 41 Keine geschlossenen elektrostatischen Kraftlinien 41 Kraftlinien eines vollständigen —, eines geschlossenen Feldes . 42 Ein Vector, welcher Null sein muss 42 Kein vollständiges elektrostatisches Feld ohne Elektricitätsmengen 43 § 7. Allgemeine Lehrsätze. — Das Potential des Ellipsoids.... 43 Analytischer Beweis des vorigen Satzes 43 Die Elektricitätsvertheilung bestimmt eindeutig das Feld ... 44 Der Fall e = constans 45
Inhalt. IX Seite Dielektricitätsconstante eines Leiters 45 Superpositionsprincip 46 Wirkung einer leitenden Hülle im Innenraum 47 — im Aussenraum; Ableitung zur Erde 48 Nicht-vollständiges Feld 48 Das Potential des homogenen Ellipsoids 50 Rotationsellipsoid; Kugel 54 Wechselseitige Energie zweier Felder 55 Reciproke Beziehung 55 Potential und Energie 5G Feldintensität und mechanische Kraft 57 § 8. Systeme von Leitern. — Lineare Gleichungen zwischen Potentialen und Elektriciftsmengen 57 Elektricität nur auf den Leitern. Lineare Gleichungen zwischen den Vi und ek 57 Ihre Determinante symmetrisch 58 Potentialcoefficient, Inductionscoefficient, Capacität 58 Die Energie als quadratische Function dei4 ek , — der Vi . . 59 Die mechanische Arbeit; zwei identisch gleiche Ausdrücke . . 60 § 9. Eigenschaften der Coeificienten 61 Getrennte Felder 61 Zusammenhängendes Feld 62 Beziehung zwischen den Coefficienten a 62 Beziehung zwischen den Coefficienten ß 63 Verkleinerung der ßü durch neue Leiter, — durch Vergrösserung eines Leiters 63 Sehr grosse Leiter. — Die Erde als Leiter 65 Aehnliche Systeme 66 Condensator, — geschlossener 66 Capacität und Kräfte abhängig von e 67 § 10. Beispiele. — Massmethoden 68 Die allgemeine Aufgabe 68 Hohlkugel 68 Kugel 69 Coaxiale Cylinder 69 Zur Methodik 70
X Inhalt. Seite Nicht-coaxiale Cylinder 71 Ebene Platten 74 Schutzring 75 Absolutes Mass 76 Absolutes Elektrometer. — Quadrantelektrometer ..'... 77 Messung von Potentialdifferenzen 79 Messung von Capacitäten und Dielektricitätsconstanten ... 80 Elektrisirmaschine 81 § 11. Die mechanischen Kräfte im gegebenen Feld 83 Mechanische Kräfte und virtuelle Verschiebungen 83 Formulirung der Aufgabe 84 Kräfte auf die Volumelemente 85 Aequivalenz von Volumkräften und Flächenkräften 87 Die Flächenkräfte (Spannungen) 90 Hauptspannungen 91 Gültigkeitsbereich des Resultats 91 Kräfte auf Leiter, — auf ungeladene Dielektrica 92 Arbeit gegebener Spannungen 93 § 12. Elektrisirnng durch Influenz 94 Veränderung des Feldes durch Veränderung des t 94 Zusatzfeld. — Es kann einer fingirten Elektricitätsvertheilung zugeschrieben werden 95 deren Summe Null ist für jeden einzelnen Körper 90 Voraussetzung: im ursprünglichen Feld ist e0 = const. ... 90 Zwei Darstellungen: Das Vacuum als Normalmedium. Dielektrische Polarisation; „freie" Elektricität 97 Weitere Voraussetzung: im ursprünglichen Feld keine Leiter. Darstellung des Zusatzfeldes 98 Weitere Voraussetzung: Der polarisirbare Körper homogen. Das Zusatzfeld dargestellt durch eine fingirte Oberflächen- vertheilung 99 Mechanische Kräfte 99 A. Mechanische Kräfte auf starre Körper 99 Sie sind darstellbar mittels der „freien" Elektricität in der Form des Coulomb'schen Gesetzes 100 Voraussetzung a): Keine Leiter im Felde, ein polarisir- barer starrer Körper . .' 102 Voraussetzung b): Der starre Körper besitzt keine elektrische Ladung 103
TnhaH. XI Seite Weitere Voraussetzung: ° sehr klein 104 B. Beliebiger nicht geladener dielektrischer Körper .... 104 Leiter und Dielektricum mit der Constante s = oo 105 Eine Rechnungsregel 106 „Wahre" und „freie" Elektricität 108 Specielle Fälle; gemeinsame Voraussetzungen 108 Ellipsoid im gleichförmigen Feld. Drehungsmoment . . . . 110 £"~£° sehr klein 113 Co Kugel 114 Hohlkugel im gleichförmigen Feld 115 Stäbchen im symmetrischen Feld 118 Kapitel IL Die elektrische Strömung. § 1. Allgemeine Gesetze 120 Entladung eines Condensators. Elektrischer Strom 120 Elektrische Strömung allgemein 121 Strömung und Elektricitätsvertheilung. — Energieumsetzung . 122 Elektromotorische Intensität 124 Ohm'sches Gesetz 124 Joule'sche —, Peltier'sche Wärme 125 Elektrolyse 125 Elektricität im Innern der Leiter 120 § 2. Erlöschendes Feld. — Elektrolyse 127 Erlöschendes Feld. — Relaxationszeit 128 Dielektricitätsconstante von Leitern 129 Localisirung der Energie 130 Strömung und Kraftlinien 131 Strömung und Elektricitätsbewegung 132 Elektrolyse: Faraday's Gesetz. Wanderung der Ionen. Mechanische Kräfte 132 Die Mechanik der Elektrolyse liegt ausserhalb unserer Theorie 135
XII Tnhalt. Seite § 3. Stationäre Strömung 130 Die Stromlinien sind geschlossen 137 Lineare Leiter 137 Ohm'sches Gesetz für lineare Leiter 138 Verzweigte lineare Leiter. Kirchhoffsche Regeln 139 Allseitig ausgedehnte Leiter 142 Grundgleichungen der stationären Strömung 143 Brechung der Stromlinien 144 Elektricitätsvertheilung im stationär durchströmten Leiter . . 145 Bestimmtheit der Strömung und des Feldes 145 Superpositionsprincip 140 Gesammte abgegebene Energie gleich Null 147 § 4. Geschichtete Leiter .... 147 Schichtung. „Elektrische Differenz" 148 Einfach —, mehrfach —, zweifach zusammenhängender Raum . 150 „Spannungsreihe" 152 Ohm'sches Gesetz für einfach zusammenhängenden, geschichteten Leiter 152 Widerstand und Capacität 155 Ohm'sches Gesetz für einen geschichteten Ringkörper .... 158 Energieumsetzung im geschichteten Leiter 160 § 5. Mtssmethoden, Erweiterung der Elektrostatik 1G2 Vergleichende und absolute Messung von elektromotorischen Kräften. — Clark'sches Clement 1G2 Vergleichung von Widerständen, Strömen, Leitungsvermögen . 163 Absolute Messung von Widerständen. — Siemens'sche Einheit. 164 Absolute Messung von Strömen. — Elektrochemische Constante 165 Indirecte Methode zur Bestimmung von Capacitäten .... 166 Elektrische Differenzen, aus Peltier'schen Wärmen bestimmt . 166 Revision der Elektrostatik 167 Werth der Energie 168 Bestimmtheit des Feldes; Superposition 169 Mechanische Kräfte und Energieprincip 170 Elektrische Differenzen, nach Volta und Thomson bestimmt . 171
Inhalt. xill Kapitel III. Das statische magnetische Feld. Seite § 1. Magnetische Mengen. Coulomb's Gesetz 174 Eigenschaften eines Magneten 174 Der Länge nach gleichförmig magnetisirte Stahlnadeln . . . 175 Ihre Pole; magnetische Mengen. Coulomb's Gesetz 175 Elementargesetz, Feldintensität, Potential, Energie 177 Wechselseitige Energie 179 Magnetisches Moment. — Bestimmt a) Verhalten im gleichförmigen Feld, b) Potential in sehr grosser Entfernung . . 179 Potential in endlicher Entfernung für Stabmagneten .... 181 „Pole" 183 Erste und zweite Hauptlage 184 § 2. Magnetisirnng 185 Magnetisirung und magnetische Mengen 186 Potential, Energie 188 Elementargesetz der mechanischen Kräfte 189 Messung von magnetischem Moment und Horizontalcomponente (Gausstehe Methode) 191 Gleichförmige Magnetisirung 193 Magnetisches Solenoid; solenoidale Magnetisirung 194 § 3. Magnetisch inhomogenes Medium 194 „Inducirte Magnetisirung" des Eisens. Poisson's Annahme . . 195 Specifische magnetische Eigenschaften aller Körper .... 19(3 Erweiterung derTheoiic; allgemeine Eigenschaften des statischen magnetischen Feldes 197 Permeabilität. Paramagnetische, diamagnetische, ferromagnetische Körper. Neue Definition der magnetischen Menge .... 197 Analogie zur Elektrostatik; Unterschiede 199 Magnetische Kraftlinien; ihre Brechung 200 Magnetisirungslinien 200 Bestimmtheit des Feldes 201 Superpositionsprincip 202 Energie; wechselseitige Energie 202 Reciprocitätssatz. „Kraft auf die magnetische Menge Eins" . . 203 Mechanische Kräfte; Spannungen 203 Der Fall p = const 204 Der Fall fi + const.; die inducirte Magnetisirung 205
XIV Inhalt. Seite Diu Luft als Normalruediuni; Susceptibilität; „wahre" und „freie" Magnetisirung 200 Zwei Felder superponiren sich bei fest gegebenen fi, — aber nicht bei fest gegebenen m 208 Kräfte dargestellt mittels der „freien" Magnetisirung .... 208 Kräfte auf schwach paramagnetische oder diamagnetische Körper; Einstellung im symmetrischen Feld ..'.... 210 Ellipsoid im gleichförmigen Feld 211 Ellipsoid in beliebigem Feld; inducirtes Moment 212 Hohlkugel im gleichförmigen Feld; Schirmwirkung 213 § 4. Die Permeabilität der Magnete 214 Vernachlässigung in der Theorie der §§ 1 und 2 214 Gleichförmig magnetisirtes Ellipsoid; Abhängigkeit des Feldes vom {i des Magneten und der Umgebung 214 „Scheinbare Magnetisirung" 2U5 Die allgemeine Aufgabe 217 Correcturen an der Gauss'scben Massmethode 218 § 5. Magnetische Doppelschicht 220 Doppelschicht. Ihre Stärke 220 Wechselseitige Energie einer Doppelschicht und einer beliebigen magnetischen Vertheilung 221 Magnetische Induction 221 Induction durch eine Fläche; Inductionslinien 222 Rechtsschraubensystem .... 223 Stokes'scher Satz 223 Rotation eines Vectors 225 Potential einer Doppelschicht 22G Feld einer Doppelschicht bestimmt durch Stärke und Randcurve 228 Wechselseitige Energie zweier Doppelschichten ...... 228 Kräfte auf die Doppelschicht 229 Der Fall fx = const .... 232 Feld und Potential 234 Wechselseitige Energie 235
Inhalt. XV Kapitel IV. Das magnetische Feld stationärer elektrischer Ströme. Seite § 1. Linearer Strom und magnetische Doppelschicht 230 Aequivalenz eines linearen Stromes und einer Doppelschicht . 237 Magnetisches Feld des Stromes . 238 Linienintegral der Feldintensität 239 Magnetisches Potential linearer Ströme 241 Kräfte auf den Stromträger 242 Der Leiter sucht ein Maximum von Kraftlinien zu umspannen . 243 Fiin Strom im Felde eines zweiten; wechselseitiger Inductionscoef- ficient 243 Der Fall (u = const.: Potential, Feld, Inductionscoefficient . . 244 § 2. Strömung im Ranm 245 Grundgleichungen des magnetischen Feldes stationärer Ströme . 246 Grundgleichungen des allgemeinsten stationären magnetischen Feldes 249 Eindeutige Bestimmtheit und Zerlegbarkeit des Feldes .... 249 Das magnetische Feld gegebener Ströme: 1. Der Fall ii = const 250 2. Die durch Ströme inducirte Magnetisirung 253 Ein Specialfall 254 Analogie zwischen magnetischen Kraftlinien und stationären Strömungslinien 255 Ein Näherungsverfahren 250 Mechanische Kräfte im allgemeinsten stationären magnetischen Feld 256 Sie sind ersetzbar durch Spannungen 258 § 3. Specielle Aufgaben 258 A. Feld gegebener Ströme 259 1. Einfaches Solenoid . . 259 2. Gerade Spirale 260 3. Ring-Spirale 260 4. Kreisstrom 261 5. Gerader Draht 262 6. Spirale um einen Theil eines ringartigen Eisenkörpers. a) vollständiger Ringkörper; Näherung 263 ß) aufgeschlitzter Ringkörper. „Magnetischer Kreis"; erste und zweite Näherung. „Streuung" 264
XVI Inhalt. Seite 13. Mechanische Kräfte auf Stromträger in einem gegebenen Feld 267 1. Gleichförmiges Feld; Weber's Bifilargalvanometer. Astatisches System 267 2. Gleitende Schiene 268 3. Rotirender Radius 269 4. Unipolare Wirkung 270 5. Gramme'scher Ring 272 C. Stromträger im Felde von Strömen 273 1. Zwei parallele Drähte 273 2. Eine lange Spirale in einer zweiten 273 3. Eine lange Spirale in einer kurzen 274 4. Kleiner Kreis im Centrum eines grossen 274 5. Zwei Kreise auf gemeinsamer Axe 275 § 4. Massmethoden 276 Galvanometer, Elektrodynamometer 276 Absolute Messungen 277 Elektromagnetische Constanten 278 Drei „absolute Masssysteme" 279 „Praktisches Masssystem" 280 § 5. Energie des stationären magnetischen Feldes 281 Keine wechselseitige Energie zwischen permanenten Magneten und stationären Strömen 281 Neuer Ausdruck für die Energie» des Stromfeldes 282 Wechselseitige Energie linearer Ströme 284 Selbstinductionscoefticient 285 Definition und Eigenschaft der Inductionscoefficienten .... 286 Die Arbeit bei Verschiebung von Stromleitern ist gleich der Z u - nähme der magnetischen Energie 286 Verschiebung eines Eisenkörpers, — eines permanenten Magneten gegen einen linearen Strom 292 Der Fall ^ = const.; Werth der Energie 293 Selbstinductionscoefticient für parallele Drähte, — für einen kreisförmigen Draht 295 Ampere's Molecularströme 298 Darstellung des Feldes mittels der Induction B 299
Inhalt. XVII Kapitel V. Indnctionsströme in linearen Leitern. Seite § 1. Das Gesetz der inducirten elektromotorischen Kraft.... 301 Bewegung eines permanenten Magneten gegen einen Stromleiter; Energiegleichung; inducirte elektromotorische Kraft . . . 302 Inductionsgesetz allgemein 304 Erhaltung der Energie 304 Voraussetzungen dieses Kapitels: „quasistationäre Ströme"; ihr magnetisches und elektrisches Feld 306 § 2. Specialfälle 308 Tnducirter Integral ström 309 A. Ruhende Leiter 309 Ein Stromkreis; Zeitconstante 310 Mechanische Analogie 311 Zwei Stromkreise; Inductionsapparat 312 Periodische Ströme. Impedanz 315 Transformator 317 Verzweigte Leiter 321 B. Induction durch Bewegung 323 Annäherung eines permanenten Magneten,— eines Eisenkörpers an einen Stromkreis 324 Lenz'sche Regel 326 Vertheilung der inducirten elektromotorischen Kraft auf die Curvenelemente 327 Specialfälle: 1. Erdinductor 327 2. Gleitschiene 328 3. Rotirendes Leiterstück 329 4. Unipolare Induction 329 5. Gramme'scher Ring 329 § 3. üngeschlossene Stromkreise 330 Ausdehnung des Inductionsgesetzes auf fast geschlossene Strombahnen 330 Ein ruhender Stromkreis mit Condensator 331 Oscillatorische Entladung 332 „Spannung" 333 Allgemeine Definition der elektromotorischen Kratt 334 Verzweigte Leiter mit Selbstinduction und Capacität. „Wider- standsoperator'* 335
XVIII Inhalt. Seite § 4. Hassmethoden 336 Elektrometrische Messungen 336 Zerfällung inducirter elektromotorischer Kräfte 337 Messung periodischer Ströme 338 Messung von Stromstössen 338 Bestimmung von Widerständen aus der Dämpfung von Magnet- Schwingungen 342 Vergleichung permanenter magnetischer Momente .'.... 343 Vergleichung inducirter Momente 343 Vergleichung inducirter Momente mit permanenten 344 Vergleichung von Permeabilitäten 344 Vergleichung von Inductionscoefficienten 345 Absolute Messungen („Ohm"- und ,,vu-Bestimmungen) .... 345 Kapitel VI. Die MaxwelFschen Gleichungen. § 1. Die erste Grundgleichung 349 Erweiterung der Theorie für ungeschlossene Ströme 349 Die ältere Fragstellung 349 Die Faraday - Maxwell'sche Grundanschauung 350 Erste Verallgemeinerung 352 Ihre mathematische Formulirung für ruhende Körper: erste Grundgleichung 352 Vertheilung einer veränderlichen Strömung in einem Draht . . 354 Einfach-harmonische (sinusartige) Stromschwankungen .... 356 BessePsche Functionen 357 Sehr langsame, — sehr schnelle Schwingungen 358 Widerstand und Selbstinductionscoefficient für diese Strömung 360 Grenzwerthe für sehr langsame, — sehr schnelle Schwingungen 364 § 2. Die zweite Grundgleichung 366 Zweite Verallgemeinerung, Maxwell's Hypothese 366 Ihre mathematische Formulirung: zweite Grundgleichung . . . 367 Hypothetische Interpretation dieser Gleichung 368 § 3. Die Maxvell'schen Gleichungen. — Deduction der Gesetze der stationären Felder 370 Dritte Grundannahme, die Energie betreffend 370 Die Maxwell'schen Gleichungen 370 Sie bilden von jetzt an die alleinige Voraussetzung 371
Inhalt. XIX Seite Allgemeine Folgerungen: Endlichkeit und Stetigkeit der Feldgrössen 371 Elektrische und magnetische Mengen; elektrische Strömung 373 Eindeutige Bestimmtheit des Feldes 374 Stationäre Felder 375 Elektrische und magnetische Mengen 377 Statische Felder 377 Zulässige Vereinfachung für veränderliche Felder 378 § 4. Die Mazwell'schen Gleichungen nnd die ältere Elektrodynamik 370 Die bisherige Behandlung zulässig für das Innere metallischer Leiter. Dielektricitätsconstante der Metalle 379 Der allgemeinste Ansatz der alten Theorie 381 Andere Formulirung dieses Ansatzes 383 Die Erhaltung der Energie 384 Die alte Theorie negirt die Einheitlichkeit des elektrischen Feldes 385 Der Ansatz der alten Theorie in einem speciellen, für sie typischen Fall. Explicite Darstellung des Feldes 386 Das Feld der Maxwell'schen Theorie für den gleichen Fall. Die alte Theorie als Näherung 388 Vergleich beider Felder im Fall sinusförmiger Stromschwankungen. — Wechselseitiger Inductionscoefficient 391 Ring-Solenoide mit erlöschenden Strömen 395 § 5. Der Poynting'sche Satz 396 Die Poynting'sche Gleichung ... 396 Ihre Interpretation. Elektromagnetische Strahlung 399 Anwendungen: Stationäres Feld 400 Periodische Strömung 402 Entladung eines Condensators 402 Erlöschendes Feld 404 Eindeutige Bestimmtheit eines begrenzten Feldes 405 Continuirliche Ausbreitung des Feldes 406
XX Inhalt. Kapitel VII. Die Ausbreitung des elektromagnetischen Feldes. Seite § 1. Ausbreitung im homogenen Medium 407 Die Differentialgleichungen zweiter Ordnung für die rechtwinkligen Feldcomponenten 407 Vereinfachung dieser Gleichungen. Dieselbe Gleichung für alle Componenten 410 Die allgemeine Aufgabe auf die Lösung dieser Gleichung zurückgeführt 411 Die Lösung 413 Verification der Lösung 413 Discussion der Lösung 419 Grenzfall a). Isolator. Ausbreitungsform der elastischen Deformationen 421 Grenzfall b). Ausbreitungsform der Temperaturen durch Wärme- leitung. „Vollkommener Leiter" 422 § 2. Ebene Wellen. — Reflexion und Brechung 426 Particuläre Integrale der Maxwell'schen Gleichungen. Die Strahlungsquellen liegen ausserhalb des Gültigkeitsbereichs der Lösungen 426 Sinusförmig verlaufende ebene Wellen 428 a) in einem Isolator 430 b) in einem Leiter 431 Reflexion und Brechung 434 Ansatz; Bedingungsgleichungen 434 Auflösung, a) Zwei Isolatoren 437 ai) Partielle Reflexion 437 a2) Totalreflexion 441 b) Ein Isolator und ein Leiter 443 bt) Metallischer Leiter 444 Stehende Wellen 445 § 3. Ausbreitung an cylindrischen Leitern 440 Bedeutung der Aufgabe 449 Zur Vorbereitung: eine ebene Grenzfläche Luft-Metall.... 449 Zwei ebene Metallplatten 456 Näherungsverfahren 458 Genäherte Lösung 459
Inhalt. XXI Seite Grenzfälle 461 Ausbreitung in grosser Entfernung . . 463 Vertheilung des Feldes im Querschnitt 465 Richtung der Strahlung in der Luft und im Metall . . . 467 Neue Formulitung des NäherungsVerfahrens ...... 467 Verallgemeinerung des Näherungsverfahrens 471 Hülfssatz: elektrisch-magnetische Analogie 471 Ausbreitung an Cylindern. Genäherte Lösung 475 Grenzfälle 478 Ausbreitung in grosser Entfernung 480 Anwendungen: Kabel 481 Zwei gleiche, entfernte Drähte 484 Kriterien für die Berechtigung des Näherungsverfahrens . . . 484 § 4. Oscillatorische Entladung eines Gondensators 488 Zwei parallele Drähte, an einem Condensator endigend. Das Feld des Drahtsytems 488 Das Feld im Condensator 489 Die Grenzbedingungen 491 Eigenschwingungen des Systems 493 Grenzfälle: Entladung in quasistationärem Strom 494 Schwingungen, welche in den Draht nicht eindringen . . . 496 § 5. Vergleich mit der Erfahrung. — Elektromagnetische Theorie des Lichts 498 Aeltere Beobachtungen 498 Die Hertz'schen Versuche 499 Zur Methodik 499 Ergebnisse 501 Elektromagnetische Theorie des Lichts 504 Verhältniss zu den mechanischen Theorien 505 Die Frage nach „dem Lichtvector". Der Wiener'sche Versuch 506 Gültigkeitsbereich der Maxwell'schen Gleichungen 507
xxn Inhalt. Kapitel VIII. Erweiterungen der MaxweH'schen Gleichungen. Seite A. Ferromagnetisclie Körper. Die Voraussetzung i* = const. wird aufgegeben 510 Grundgleichungen für ferromagnetische Körper 511 Werth der magnetischen Energie 512 Keine Superposition 512 Magnetische Vertheilung 513 Eindeutige Bestimmtheit stationärer Felder 513 Mechanische Kräfte im statischen Feld 514 Spannungen. — Ungleiche Hauptspannungen 517 Allgemeiner Ausdruck der Volumkräfte 518 Berechnung des stationären Feldes. Specialfalle. Experimentelle Bestimmung von ß = f {M) 519 Concentration der Kraftlinien im Eisen 520 Inducirte Magnetisirung 521 Kräfte auf starre Eisenkörper 522 Das magnetische Feld linearer Ströme. Seine Energie .... 523 Inducirte elektromotorische Kräfte. Erhaltung der Energie. Mechanische Kräfte 524 Ein linearer Stromkreis. Energie. Arbeit bei Verschiebung eines Eisenkörpers 526 Bedeutung der „wahren" und der „freien" Magnetisirung. . . 528 Geltungsbereich der Maxwell'schen Theorie 529 Hysteresis. — B und M als unabhängige Grössen, definirt durch die Grundgleichungen 529 Experimentelle Bestimmung gleichzeitiger B- und M-Werthe . 530 Kurze Uebersicht der Hysteresis-Erscheinungen 531 Die Theorie als Näherung 533 Elektrisches Analogon 534 B. Bewegte Medien 534 Grundgleichungen für bewegte Medien 535 Ausführung in cartesischen Coordinaten 536 Elektrische und magnetische Mengen 539 Analyse des Feldes 541
Inhalt. XXIII Seite Die mechanischen Kräfte 545 Spannungen als allgemeinster Ausdruck des Kräftesystems . . 548 Druck auf bestrahlte Körper 549 Allgemeinster Ausdruck für die Volumkräfte 550 Analyse der Kräfte 551 Von der Theorie geforderte Kräfte im Vacuum 553 C. Anisotrope Medien 554 Grundgleichungen für anisotrope Medien 554 Elektrische und magnetische Mengen 555 Die Strahlung ist normal zu den Feldintensitäten 555 Superposition. Eindeutige Bestimmtheit 555 Vereinfachung der Grundgleichungen bei bestimmter Wahl der Coordinatenaxen 556 Krystalle. Ihre elektromagnetischen Symmetrie-Eigenschaften . 556 Gesetze des statischen Feldes 558 Elektrische Kräfte auf einen ungeladenen Krystall 558 Krystallkugel im gleichförmigen Feld 559 Massmethoden für die s und [x 561 Doppelbrechung: Ausbreitung ebener Wellen 562 Strahlgeschwindigkeit. Strahl und Wellennormale. Wellenfläche 565 Specialfall: Die Fresnersche Krystalloptik 567 Der allgemeine Fall zurückgeführt auf den Specialfall .... 570 Verhältniss der Maxwell'schen Theorie zur Krystalloptik ... 571 Druckfehler. Seite 12, Zeile 26 lies Mengen statt Massen. „ 32, „ 14 „ dass „ das. „ 165, „ 14 „ (<p6-<pa) statt (<p6—<p).
Von demselben Verfasser ist früher erschienen: Elektrische Ströme. Zehn Vorträge über die physikalischen Grundlagen der Starkstrom-Technik. Mit 70 Abbildungen. Preis geheftet: Mk. 3.60; in Leinwand gebunden Mk. 5.—.
Unsere theoretischen Vorstellungen über das Wesen elektromagnetischer Vorgänge haben zum Ausgangspunkt die Untersuchung der mechanischen Kräfte, welche einerseits elektrisirte, andrerseits magnetisirte ruhende Körper ausüben und erleiden. Sie waren zuerst bekannt; sie bildeten auch zuerst den Gegenstand quantitativer Versuche. Dann dehnte sich das Gebiet der qualitativen und quantitativen Erfahrungen aus auf die stationären galvanischen Ströme, — weiter auf den Zusammenhang derselben mit den magnetischen Erscheinungen, — die Inductionswirkungen für geschlossene lineare Leiter, — endlich die sehr schnell veränderlichen Zustände. -Zugleich wandelten sich die theoretischen Anschauungen. Die Vorstellungen, welche genügt hatten, um von den zuerst bekannten Erscheinungen Rechenschaft zu geben, wurden gegenüber den zuwachsenden Erfahrungen zu eng und mussten schrittweise erweitert werden. Dabei schienen sie sich mehr und mehr zu compliciren. — Erst in neuester Zeit hat sich gezeigt, dass die Summe der theoretischen Ergebnisse wiederum in wenige Sätze von grosser Allgemeinheit zusammengefasst werden kann. Es lassen sich wenige einfache Gesetze angeben und in Gleichungen formuliren, aus denen man die überwiegende Mehrzahl aller bekannten elektrischen und magnetischen Erscheinungen ableiten kann. Diese Sätze sind ihrem wesentlichen Inhalt nach von Maxwell aufgestellt. Eine Darstellung, welche die MaxweH'schen Grundgleichungen an die Spitze stellt und von ihnen aus deductiv fortschreitet, ist möglich, und kann durch ihre geschlossene, alle Wiederholung vermeidende Form Befriedigung gewähren. Sie beginnt aber nothwendig mit der Behandlung ganz abstracter mathematischer Symbole, die sich erst allmählich mit physikalischem Colin, elektromagn. Feld. 1
2 Methode, Eintheilung des Buches. Inhalt füllen. Sie erscheint dadurch ungeeignet zur Einführung in die Theorie. Wir wollen deshalb inductiv verfahren und zu zeigen suchen, wie man von den beobachteten Erscheinungen aus zu denjenigen theoretischen Anschauungen geführt wird, welche in den Maxwell'schen Gleichungen ihren einfachsten und umfassendsten Ausdruck finden. Wir werden, indem wir die unmittelbaren Ergebnisse der Beobachtungen verallgemeinern, im grossen und ganzen den Pfaden der historischen Entwicklung folgen; indem wir aber diejenigen Verallgemeinerungen ausschliessen, welche durch spätere Beobachtungen widerlegt sind, werden wir die Umwege zu vermeiden suchen. — Es werden nach einander behandelt werden: I. Das statische elektrische Feld. II. Die elektrische Strömung, insbesondere .die stationäre. III. Das statische magnetische Feld. IV. Das magnetische Feld stationärer elektrischer Ströme. V. Inducirte Ströme in linearen Leitern. VI. Die Maxweirschen Gleichungen. — Abriss einer deduc- tiven Darstellung des Inhalts von I—V. VII. Ausbreitung des elektromagnetischen Feldes in Raum und Zeit. Unsere Betrachtungen werden sich im allgemeinen auf die Vorgänge in ruhenden, isotropen Medien beschränken, und über das magnetische Verhalten der Körper gewisse vereinfachende Annahmen machen. — Erweiterungen der Theorie über diesen Rahmen hinaus enthält Kapitel VIII.
Kapitel I. Elektrostatik, § 1. Elektricitätsmenge. — Coulomb's Gesetz. Bei der Beschreibung der am längsten bekannten elektrischen Erscheinungen treffen wir den Ausdruck „Elektricitätsmenge". Wir gelangen zu einer Begriffsbestimmung dieser Grösse auf folgendem Wege: 1. Man reibe zwei verschiedenartige Körper, etwa Glas und Harz, an einander. Sie zeigen jetzt neue Eigenschaften. Die gleichen Eigenschaften können diesen Körpern auf mannigfache Art ertheilt werden. Wir bezeichnen sie, unabhängig von ihrer Entstehungsweise, als „elektrische" Eigenschaften, die Körper als „elektrisirt". 2. Man behandle in gleicher Weise mehrere Glas- und Harzstücke. Dann zeigt sich: Harz und Glas ziehen sich an, Harz und Harz, und ebenso Glas und Glas stossen sich ab. — Man behandle in gleicher Weise beliebige andere Körper: jeder verhält sich, nachdem er gerieben, allen anderen gegenüber qualitativ entweder wie das mit Harz geriebene Glas oder wie das mit Glas geriebene Harz. — Den Nachweis denken wir uns geführt mit Hülfe einer Drehwage, welche den einen der zu untersuchenden Körper trägt, und welcher der andere Körper genähert wird. Wir schliessen: es giebt zwei Arten von Elektrisirung. Wir nennen die Körper, welche sich wie das Glas verhalten, „positiv", — die andern „negativ" elektrisch oder elektrisirt.
4 Elektrisirung. Leiter, Isolator. [Kap. I. 3. Man berühre eine zuvor geriebene Stelle eines der Körper K mit einem Metall 17: M ist jetzt selbst elektrisch. Man berühre nun eine beliebige Stelle von M mit einem zweiten Metallstück M': auch M' ist jetzt elektrisch. Schaltet man dagegen zwischen K und 1/' statt M etwa einen Seidenfaden oder ein Stück Paraffin ein, so wird M' nicht elektrisch. Wir schliessen: die Elektrisirung überträgt sich durch gewisse Körper, durch andere nicht. Wir nennen die ersteren „Leiter" der Elektricität, die anderen „Isolatoren". Die atmosphärische Luft gehört zu den Isolatoren. — Die Uebertragung der Elektrisirung braucht Zeit; diese Zeit ist cet. par. für verschiedene Leiter ausserordentlich verschieden; am kleinsten, und unter den Bedingungen unserer Versuche in der Regel unmessbar klein, für Metalle. In diesem Abschnitt behandeln wir aber lediglich Gleichgewichtszustände, ohne danach zu fragen, wie sich dieselben herstellen. Es fällt daher der erwähnte Unterschied zwischen den verschiedenen Leitern ausser Betracht. Aus dem gesagten folgt ferner: um die Elektrisirung eines Körpers dauernd zu erhalten, müssen wir ihn mit Isolatoren umgeben. Die Elektrisirung eines Isolators ändert sich nur da, wo er mit einem Leiter berührt wird. Die Elektrisirung eines Leiters wird dagegen in seiner ganzen Ausdehnung be- einflusst durch Berührung mit einem elektrisirten Körper. Das Gesetz, nach dem sich in einem Leiter der neue elektrische Gleichgewichtszustand herstellt, werden wir später kennen lernen; schon jetzt aber können wir schliessen: um die Elektrisirung eines Isolators zu bestimmen, müssen wir die Geschichte jedes einzelnen seiner Theile kennen; ein Leiter hingegen ist elektrostatisch ein einziges Individuum. Wir werden also die übersichtlichsten Resultate zu erwarten haben, wrenn wir ausschliesslich mit Leitern operiren. 4. Sei also ursprünglich nur der Leiter M\ elektrisch. Es werde Mx mit dem unelektrischen Leiter M2 berührt; dann sind im allgemeinen nachher beide Leiter elektrisch, — unter bestimmten Umständen aber nur einer. Nämlich: Man umschliesse M vollständig mit der leitenden Hülle 77, bringe M und 77 zur Berührung, ziehe sodann Mohne Berührung aus 77 heraus: Jfist dann unelektrisch, aber 77 ist elektrisch.
§ 1] Elektricitätsmenge. Addition. 5 Das gleiche gilt, wenn II schon vor der Berührung elektrisch war. 5. Man wiederhole die unter Nr. 4 geschilderte Operation 1, 2, . . . n mal, und bringe dann H jedesmal in die gleiche Lage gegenüber einem elektrisirten Körper A, in einem Abstand r, der gross ist gegen die Dimensionen von A wie von IL Es sei M jedesmal in der gleichen Weise elektrisirt gewesen, was aus seinem stets gleichen Verhalten gegenüber A erkannt werden kann. Dann verhalten sich die Kräfte zwischen A und H wie 1:2: . . : n. 6. Definition. Wir sagen: Mhat seine gesammte „Elek- tricitätsmenge" an #abgegeben. Dadurch ist die Elektrici- tätsmenge von // definirt als proportional der elektrischen Kraft, die H cet. par. auf einen bestimmten Körper in grosser Entfernung ausübt; — und von dieser so definirten Elektri- citätsmenge zeigt der Versuch: sie ist etwas, was von einem Körper zu einem andern übergehen kann, dessen Gesammt- menge sich aber dabei nicht ändert. 7. Man bringe zwei so gemessene Elektricitätsmengen verschiedener Art o) einzeln, b) zusammen auf H\ die Kräfte auf A, welche nach Nr. 2 entgegengesetzte Bichtung haben, sub- trahiren sich jetzt. Damit also die Definition in Nr. 6 allgemein gelte, muss man Elektricitätsmengen verschiedener Art entgegengesetztes Vorzeichen geben; und der Erfahrungssatz in Nr. 6 lautet genauer: die algebraische Summe aller Elektri- cität bleibt beim Uebergang constant. — Dass, wie erwähnt, die Glas-Elektricität positiv gerechnet wird, ist eine willkürliche Festsetzung. 8. Wir modificiren jetzt den Versuch unter Nr. 4: Derelek- trisirte Leiter M werde in die Hülle H eingeschlossen, aber nicht mit ihr in Berührung gebracht. Wir finden: die elektrischen Kräfte im äusseren Raum sind genau die gleichen, wie wenn die Berührung stattgefunden hätte. Mit Benutzung unserer Definition unter Nr. 6 spricht sich diese Thatsache so aus: Die Wirkung einer Elektricitätsmenge im äusseren Raum ist. die gleiche, mag sie sich auf der leitenden Hülle, oder an beliebiger Stelle im Hohlraum befinden. Wir können demnach auch, unserer Definition gemäss, die Summe der Elektricitätsmengen beliebig vieler verschiedener Körper
6 Unzerstörbarkeit. Continuität. [Kap. I. messen; wir brauchen sie dazu nur gleichzeitig in die leitende Hülle zu bringen. 9. Wir bringen zwei Körper in die Hülle, die durch Reibung an einander elektrisch geworden sind. Es zeigt sich: die elektrischen Kräfte im Aussenraum werden dadurch nicht verändert. Also: die algebraische Summe der durch die Reibung auf den beiden Körpern erzeugten Elektricitätsmengen ist Null. Das gleiche gilt für jeden beliebigen Process, durch welchen Elektrisirung entstehen kann, sobald wir nur die Gesammtheit aller bei diesem Process betheiligten Körper in Betracht ziehen. Insbesondere also: durch keinen wie immer gearteten Vorgang, der sich ausschliesslich im Innern einer leitenden Hülle abspielt, werden die elektrischen Kräfte im Aussenraum beeinflusst. 10. Zusammengefasst mit dem früher gesagten heisst das: die durch Nr. 6 definirten Elektricitätsmengen sind Grössen, deren algebraische Summe wir auf keine Weise ändern können. Nur die Elektricitätsverth eilung ist veränderlich. Das ist eine Eigenschaft, welche der Elektricität mit der Materie gemeinsam ist. Sofern es sich um Isolatoren handelt, kann sich ferner Elektricität nur gemeinsam mit ihrem materiellen Träger bewegen, — sie- theilt also mit der Materie auch diejenige Eigenschaft, welche durch die „Continuitätsgleichung" ausgedrückt wird: der Inhalt eines Raumes ändert sich nur um diejenigen Beträge, welche durch die Oberfläche ein- und austreten. Ob wir der Elektricität diese Eigenschaft allgemein zuschreiben dürfen, hängt davon ab, ob wir auch in Leitern, wo unabhängig von der Materie eine Bewegung der Elektricität möglich ist, die Pfade derselben verfolgen können. Auf diese Frage kommen wir in Kapitel II zurück.*) 11. Aus unserer Definition folgt: die mechanische Kraft zwischen zwei Leitern mit den Elektricitätsmengen e, und e2, die sich in der gegen ihre Dimensionen grossen Entfernung r von einander befinden, ist proportional mit dem Product e{e2; *) Zwischen der Terminologie der verschiedenen Autoren besteht keine Uebereinstimmung. Was in diesem Buche „Elektricität" schlechthin genannt wird, bezeichnet Hertz als „wahre Elektricität". Ueber die von Hertz als „freie Elektricität" bezeichnete (irösse s. § 12.
§ lj Coulomb's Gesetz. Dielektricitätsconstante. 7 sie ist eine Abstossung oder Anziehung, je nach dem dieses Product positiv oder negativ ist. Coulomb hat experimentell gefunden, dass die Kraft ferner umgekehrt proportional mit dem Quadrat der Entfernung ist. Demnach ist die Abstossung f=c r* r2 wo o eine positive Constante bedeutet. 12. In Nr. 11 haben wir stillschweigend vorausgesetzt, dass die beiden Leiter von Luft umgeben sind. Bringen wir aber die beiden Leiter, ohne sie unter einander oder mit einem andern Leiter zu berühren, — d. h. also gemäss unserer Definition: mit unveränderten Elektricitätsmengen, — in ein anderes isolirendes Medium, so ändern sich die Kräfte in constantem Verhältniss. Wir können daher setzen ' s . r2 ' wo t eine für das isolirende Medium charakteristische Constante ist, welche seine „Dielektricitätsconstante" heissb. Die Körper, durch deren Beschaffenheit die elektrischen Kräfte be- einfiusst werden, nennt man „Dielektrica". Die elektrostatischen Erscheinungen sind vom Material der Leiter unabhängig; im Gebiet der Elektrostatik also sind die Bezeichnungen „Isolator" und „Dielektricum" gleichbedeutend. Die Grösse k ist unabhängig von den Elektricitätsmengen, von der Entfernung und von dem Medium. Andere Umstände, welche auf den AVerth der Kraft Einfluss haben, sind nicht bekannt; k ist also eine universelle Constante. Da wir nur Verhältnisse der e definirt haben, können wir k einen willkürlichen Zahlwerth beilegen. Wir setzen /c = —. Demnach haben wir als Ausdruck des Coulomb'schen Gesetzes: Entfernungen r und Kräfte f können in mechanisghem Mass gemessen werden. Die Gleichung (1) lehrt, wie mittels solcher Messungen zwei Elektricitätsmengen oder zwei Dielektricitäts- constanten mit einander verglichen werden können. Sie macht ferner, sobald die mechanischen Masseinheiten fest-
8 Absolute Masssysteme. [Kap. I. gelegt sind, die Einheit der e abhängig von derjenigen der t und umgekehrt. Eine dieser Einheiten aber bleibt nach dem bisher dargelegten vollkommen willkürlich; sie bleibt es auch gegenüber allen sonstigen Erfahrungsthatsachen. Es ist aber wichtig, die willkürliche Verfügung ßo zu treffen, dass diese Einheit — und damit, wie sich zeigen wird, die Einheit jeder elektrischen Grösse —jederzeit reproducirt werden kann. Denn nur unter dieser Bedingung werden Beobachtungen, die zu verschiedenen Zeiten und an verschiedenen Orten gemacht sind, mit einander quantitativ vergleichbar. Die genannte Bedingung erfüllen diejenigen Masssysteme, welche man als „absolute" bezeichnet. (Gauss und Weber.) Ein jedes derselben benützt als Grundlage das absolute Masssystem der Mechanik, welches wir als bekannt voraussetzen. Das sog. „absolute elektrische (auch wohl „elektrostatische") Masssystem "geht aus diesem hervor, wenn wir noch festsetzen, dass in Gleichung (1) für das Vadium 4 jtb= 1 sein soll. (Sehr nahe gleichbedeutend liiermitist es, wenn man für atmosphärische Luft \üi s = 1 setzt.) Dann wird das e jedes Dielektricums eine reine Zahl. Dann wird ferner das Product zweier Elek- tricitätsmengen nach (1) gemessen durch die gleiche Zahl, welche auch das Product einer reinen Zahl (4ji e), einer Kraft (/"), und zweier Längen (r.r) misst. Oder in der üblichen Bezeichnungsweise: es ist die „Dimension" einer Elektricitäts- menge [e] = [VVV] = MlLlr', wenn M das Symbol der Masseneinheit, L der Längeneinheit, T der Zeiteinheit ist. Hier ist benutzt, dass im absoluten Masssystem der Mechanik eine Kraft dem Product aus einer Masse und ihrer Beschleunigung nicht nur proportional, sondern numerisch gleich gesetzt wird. So wenig hierdurch etwas über den Begriff einer Kraft ausgesagt ist, so wenig erfahren wir aus der obigen Dimensionsgleichung, welcher Art physikalischer Grössen eine Elektricitätsmenge angehört. Gesetzt, es werde einmal experimentell festgestellt, eine Elektricitätsmenge e gehöre einer bestimmten Classe mechanischer Grössen a an, — dass dem so sei, ist denkbar, aber keineswegs notli-
§ 1.] Voraussetzungen in Coulonib's Gesetz. 9 wendig, — dann würde ein rationelles elektrisches Masssystem aufgeführt werden können und müssen, in welchem e und a in der gleichen Einheit ausgedrückt würden, und in welchem für unsere willkürliche Festsetzung: „4jre = 1 für Vacuum" kein Platz mehr wäre. Es würde dann aber die einmalige Festlegung eines Reductionsfactors genügen, um alle in „absolutem elektrischem Mass" ausgedrückten Messungsresultate in „rationelles Mass" überzuführen. AVir wrerden das „absolute elektrische Masssystem" nicht in unsere Darstellung einführen, vielmehr alle Gleichungen in solcher Form schreiben, dass ihre Gültigkeit von der AVahl des Masssystems unabhängig ist. Wenn wir dann numerische Angaben benützen wollen, welche in absolutem elektrischem Mass gemacht sind, so genügt es, in unseren Formeln t = zu schreiben, wo D= das Verhältniss der Dielektrici- tätsconstante des fraglichen Isolators (e) zu jener des Vacuums (s0) bedeutet. Dieses D, welches in der Regel das directe Object der Messung bildet, wird häufig ebenfalls als „Dielek- tricitätsconstante des Isolators" bezeichnet. Die Bedingungen für die Gültigkeit der Gleichung (1) waren die folgenden: l) die materiellen Träger der Elektricitätsmengen e{ und e2 sollen zwei Leiter, — 2) die Dimensionen dieser Leiter sollen sehr klein gegen ihren Abstand r, — 3) der Isolator, welcher sie umgiebt, soll homogen (und isotrop) sein. Bezüglich 1) nimmt man an, dass die Gleichung auch gilt, wenn die Elektricitätsmengen an Theilen des Isolators selbst haften. Ob solche Elektricitätsvertheilungen im Innern homogener Isolatoren thatsächlich vorkommen, ist zweifelhaft; wir wollen aber, der Allgemeinheit wegen und dem Herkommen folgend, auch diesen Fall in unsere Betrachtungen ein- schliessen. — Die Bedingung 2) ist für jede endliche Entfernung erfüllt, wenn wir unter e{ und e2 die Elektricitätsmengen zweier unendlich kleiner Körperelemente verstehen. Wir erhalten aus den so sich ergebenden Elementarkräften die Kräfte zwischen endlich ausgedehnten Körpern allgemein durch die Annahme, dass wir die ersteren nach den Regeln der
10 Elektrisches Feld. Feldintensität. [Kap. I. Statik zusammensetzen dürfen. — Die Bedingung 3) ist wesentlich für die Gültigkeit des Coulomb'schen Gesetzes; wir halten sie zunächst fest. § 2. Elektrische Feldintensität, Potential. Mechanische Arbeit, Energie. Jede Elementarkraft, welche an einem Volumelement mit der Elektricitätsmenge e angreift, enthält nach (1) den Factor e; also auch die Gesammtkraft f=e-E. E ist numerisch gleich der Kraft, welche auf das Volumelement wirken würde, wenn sich dort die Elektricitätsmenge Eins befände. Wir vereinfachen die mathematische Behandlung, indem wir diese Grösse E untersuchen; wir nennen sie die „elektrische Feldintensität" in dem betrachteten Punkt p (x, y, z). Ihre Componenten nach den Coordinatenaxen seien Ex, Elh Ex\ die Componente nach der willkürlichen Richtung l heisse Ei. In entsprechender Weise sollen durchweg die Componenten von Richtungsgrössen, — „Vectoren" — bezeichnet werden. Es ist demnach, wenn A einen beliebigen Vector bezeichnet, Al = A • cos (^4/) und A2 — AJ + A,/ + Ax\ Jeder Raum, in welchem eine elektrische Feldintensität vorhanden ist, heisst ein „elektrisches Feld." Auf den betrachteten Punkt p{x,y,z) mögen wirken die Elektricitätsmengen e{ in den Punkten pi(xi,yi, z{) mit den Abständen ri = p{p. Dann liefert a zu E den Beitrag ('i Ei = 4 - :;2 mit den Componenten Cj X X^ wo ?-.'2 = (x—x{)2 + (//—JA-)2 + («—~*)2. Folglich ist E die Resultante von C{ X—X; 7" 4ne rf E*=2 J. ,, ' u- s- w- (2)
§2.] Potential. 11 Diese Ausdrücke lassen sich in eine andere Form bringen: man setze V = 2j-^-> (3) dann wird Also - ^? = 2 Ci — = 2 — X~Xi = E bx i Aner? bx i 4ne r* x' &—&* — && — & <*> und ebenso, da die Coordinatenrichtungen willkürlich sind, auch *—& (4') wo n? die sogenannte „Richtungsderivirte" von <p nach der Richtung von l bedeutet. <p heisst das „ elektrische Potential" im Punkte p. — Aus (4') folgt: Schreiten wir vonp aus in einer Richtung / fort, in welcher sich <p nicht ändert, so ist für diese Richtung Ei = 0; d. h. die Feldintensität ist überall normal zu den Flächen constanten Potentials gerichtet. Denken wir uns ferner einen kleinen Körper mit der Elektricitätsmenge 1 aus p um die Strecke dl verschoben, während die übrigen Elektricitätsmengen ruhen; dann leisten die elektrischen Kräfte eine Arbeit iA = Ei.dl = — ~?eß = — dq>. Die Verschiebung werde fortgesetzt bis zum Punkte p, dann ist die Arbeit A = — / dcp = tp(p) — tp(p). (p ist nach dem Ausdruck in (3) eine einwerthige Function der Coordinaten von ;;, also ist A eindeutig bestimmt durch Anfangs- und Endlage des bewegten Theilchens, und unabhängig vom Wege der Ueberführung. — Es sei speciell p ein Punkt, in welchem das Potential unserer Elektricitätsver- theilung, gemäss (3) berechnet, Null ist, so wird A = (p(p).
12 Mechanische Arbeit. [Kap. I. Ein solcher Punkt p ist z. B. jeder Punkt in unendlicher Entfernung von den ev — von denen wir stets voraussetzen werden, dass sie in einem endlichen .Raum enthalten sind, — und man kann folglich definiren: Das Potential rp im Punkte p ist numerisch . gleich der mechanischen Arbeit, die von den elektrischen Kräften geleistet wird, wenn die Elektricitätsmenge 1 mit ihrem Träger aus dem Punkte p auf beliebigem AVege in unendliche Entfernung von dem elektrischen System übergeführt wird. Wir wollen jetzt die Arbeit berechnen, welche bei einer beliebigen unendlich kleinen Verschiebung des ganzen Systems gewonnen wird. Die Kraft zwischen den Elektricitätsmengen e- und et hat nach (1) die Grösse: . , und die Richtung der wachsenden rik. Also ist die Arbeit bei einer unendlich kleinen relativen Verschiebung: 4ner}k ar™ und die gesammte Arbeit bei unendlich kleinen Verschiebungen aller materiellen Punkte: ik *™-r& lk ik 4™rik wo 2 eine Summirung über alle Combinationen von i und k bedeutet, für welche i \~ k. Dafür kann man schreiben lA = —d2$r.k.2% =-(12hckcpv k i qnb'1ik k wo nach h über alle Punkte, und nach i über alle Punkte ausser pk zu sumniiren ist, und wo <pk das Potential aller Massen ausser rk im Punkte pk bedeutet. Also (Li = — d\\\1 wo (5) We = 2$ek<pk. ((>) Es ist die Arl)eit gleich der Abnahme einer Function If'c, welche durch die gegenwärtige Elektricitiitsvertheilung vollständig bestimmt ist. Jst der Werth dieser Function für
§2.] Energie. 13 eine gewisse Anfangslage aller elektrisirten Theilchen Wc und für eine gewisse Endlage W6\ so wird demnach die Arbeit A = W6 — W6ß jedesmal gewonnen, wenn das System auf beliebigen Wegen aus der Anfangslage in die Endlage übergeführt wird. Arbeit ist eine Form der Energie. Man kann fragen: wird bei Aenderung eines elektrischen Feldes Energie noch in anderen Formen, — wie z. B. Wärme, — abgegeben? Die Erfahrung antwortet: im allgemeinen ja! Wir werden diese Energie-Umsätze in späteren Abschnitten zu besprechen haben; denn sie treten ausschliesslich auf, wenn das Feld nicht statisch ist. Wenn aber der Zustand, wie wir gegenwärtig voraussetzen, ein Zustand elektrischen Gleichgewichts ist, — genauer: einem solchen auch bei der Verschiebung stets unendlich nahe bleibt,*) — so erhalten wir aus dem System Energie nur in einer Form: als mechanische Arbeit, und den Betrag dieser Arbeit haben wir soeben berechnet zu A= Wc — TfV. Aus dem Princip der Erhaltung der Energie folgt dann, dass Wc — We der Betrag ist, um welchen die Energie des elektrischen Systems im Endzustand geringer ist, als im Anfangszustand. Der wesentliche Inhalt dieses Satzes liegt darin, dass die Energie eines Systems eine Grösse ist, welche durch dessen gegenwärtigen Zustand eindeutig bestimmt ist, — dass also We— We stets der Gesammtbetrag der abgegebenen Energie ist, bei gegebenem Anfangs- und Endzustand, aber bei beliebigen Zwischenzuständen, die keine Gleichgewichtszustände zu sein brauchen. Von der Art der Zwischenzustände hängt lediglich ab, in welcher AVeise sich dieser Gesammtbetrag auf die verschiedenen Energieformen: Arbeit, Wärme u. s. w. vertheilt. Sind in der Endlage alle ei unendlich weit von einander entfernt, so ist jedes r/^ = 0, und somit auch 7TV = 0; es ist also We diejenige Energie, welche gewonnen wird, wenn das System in unendliche Zerstreuung übergeht. Wir werden einen andern Ausdruck für die Function We finden [Gleichung (B) S. 29], aus welchem hervorgeht, dass sie nie *) Siehe am Schluss von § 8.
14 „Kraft auf Elektricitätsmenge Eins." [Kap. I. negativ werden kann. TPi ist also zugleich die maximale Energie, welche aus dem System gewonnen werden kann. Man bezeichnet daher W6 als die ,,elektrische Energie" des Systems. Wir benutzen diese Bemerkungen, um zu einer neuen Definition von <p und E zu gelangen: Aus der Form folgt: wenn nur der Ort von ek sich ändert, so ist dlVe^ek.d21^- = ekd<pk. Sind also zwei elektrische Zustände gegeben, bei welchen die Vertheilung der Materie die gleiche ist, welche sich aber dadurch unterscheiden, dass die Elektricitätsmenge e das erste Mal an einer Stelle vom Potential <p, das zweite Mal an einer Stelle vom Potential q> sich befindet, so besitzt der erste Zustand gegenüber dem zweiten einen Energieüberschuss — dWe = e{<p—<p). (7) Ist ein Uebergang aus dem ersten in den zweiten Zustand möglich, so giebt dieser Ausdruck die dabei abgegebene Energie an. Da in unendlicher Entfernung rp = 0 ist, können wir also definiren: Das Potential <p im Punkte p misst die Energie, welche aus dem System gewonnen wird, wenn die Elektricitätsmenge Eins (ohne ihren Träger) aus p in unendliche Entfernung rückt. Ferner: sei E die Feldintensität am Ort von e, und dl die Verschiebung von e (bei ruhender Materie), dann ist _ dW6 = — e** dl = e.Efll, also die abgegebene Energie bei Verschiebung der Elektricitätsmenge Eins um dl (ohne ihren Träger): Ei dl Das rechtfertigt die übliche Bezeichnung von E als „auf die Elektricitätsmenge Eins wirkende Kraft". Es ist also in dem bisher von uns behandelten Gebiet, in welchem das Coulomb'sche Gesetz gilt, für den
8 3.] Raumpotential. 15 Betrag der Energieabgabe gleichgültig, ob wir uns die Elek- tricitätsmengen mit ihren materiellen Trägern oder ohne dieselben verschoben denken. Allgemein ist das nicht der Fall: wir werden finden, dass die Sätze, welche die Energieabgabe durch die Verschiebung der Elektricität ausdrücken, allgemein gelten, — die Sätze hingegen, welche die mechanische Arbeit durch die Verschiebung der materiellen Träger der Elektricität ausdrücken, nicht allgemein gelten. E ist allgemein die auf die Elektricitätsmenge Eins wirkende Kraft im Sinne der obigen Gleichung, — aber nicht allgemein die auf den Träger der Elektricitätsmenge Eins wirkende mechanische Kraft. (§ 7 bez. § 11.) § 3. Raum- und Flächenpotential. Gleichgewichtsbedingung. In Gleichung (2) mussten wir bei der Bildung von Ex, in (3) bei der Bildung von <p die in dem betrachteten Punkte p selbst befindliche Elektricitätsmenge von den ei ausschliessen; wir würden sonst nicht nur falsche, sondern sogar unendlich grosse Werthe der gesuchten Functionen erhalten haben. Dies rührt aber nur daher, dass wir bis jetzt zur Vereinfachung der Darstellung uns endliche Elektricitätsmengen in Punkten concen- trirt dachten. Eine solche Elektricitätsvertheilung kommt thatsächlich nicht vor. "Wäre Elektricität Materie, so könnten endliche Elektricitätsmengen nur in endlichen Räumen vorhanden sein; wir werden zu der Annahme genöthigt werden, dass endliche Elektricitätsmengen ausserdem auch auf endlichen Flächen vorkommen. Wir haben zu untersuchen, wie sich Potential und Feldintensität in diesen beiden Fällen verhalten. Erfülle erstens die Elektricität continuirlich einen Raum t; im Element dr befinde sich die Menge de = Qdr, wo q eine endliche Grösse, q heisst die „Raumdichte" der Elektricität am Ort von dr. Es wird dann das Potential
und eine Componente der Feldintensität wenn p(x\y\ a') der Ort von dx ist, <p und Ex die Wert he dieser Functionen im Punkte p (x, ?/, z) bezeichnen, und r= />//. Die Integration muss ausgedehnt werden über den ganzen Kaum t, in welchem () 4" 0 ist; sie darf aber, ohne Aenderung des Resultats, auf beliebige weitere Räume, insbesondere auch auf den unendlichen Raum ausgedehnt werden. Wir behaupten: <jp und Ex sind endliche und stetige Functionen von x, y, % auch dann, wenn der Punkt p im Raum x liegt und die Integranden folglich unendlich werden. Zum Beweis zerlegen wir x in zwei Theile: r', eine Kugel vom Radius R mit p als Mittelpunkt, — und t", den Rest von r. Dann zerfallen (p und E\ je in zwei Theile: <P = V + <p" » Ex = JSu' + #/, von welchen rp" und Ex Integrale mit durchweg endlichen und stetigen Integranden, und folglich stets endliche und stetige Functionen von x, y, z sind. Den Raum x zerlegen wir in Elemente durch concen- trische Kugelflächen vom variablen Radius r und unendlich spitze Kegel vom Oeffnungswinkel do, welche alle ihre Spitze in p haben. Dann wird dx = r2dr do und folglich R R v,==fLferdr> e;==$L§*x7 dr> o o wo die Integration nach o über die Fläche der Einheitskugel zu erstrecken ist. n ist endlich, ' ' ein echter Bruch. Lassen wir also R ohne Ende abnehmen, so nähern sich r// und Ej der Grenze Null. Es liefern also zu (p wie zu Ex die unendlich benachbarten Raumtheile nur verschwindende Beiträge; beide Grössen bleiben nicht nur endlich, sondern ändern sich auch stetig, wenn der Punkt p sich innerhalb des mit Elektricität erfüllten Raumes bewegt.
X IClUlltlU'Utül'lKllc 1 / Daraus folgt erstens: wenn wir zur Berechnung der Energie und der Kräfte die Functionen (p und Er bilden, so brauchen wir bei der Sumiuation keine Elektricitätsmenge auszu- schliessen; die beiden Funktionen sind stets unzweideutig durch die Ausdrücke (3') und (2') detinirt. Ferner folgt aus (2'): und aus (3'): _ h = — 1 f .3- ix. Ane.r Die rechten Seiten beider Gleichungen sind einander gleich, sobald beide Rechnungsoperationen zu bestimmten endlichen Werthen führen, d. h. sofern Ex endlich und <jp stetig ist. Also gilt zweitens nach dem obigen ganz allgemein, auch innerhalb r, unsere frühere Gleichung (4'): TP, — Ö<? Da auch die Componenten von E durchweg stetig sind, so folgt drittens noch, dass ihre ersten Differentialquotienten überall endliche Werthe haben. Hiervon werden wir später Gebrauch machen. Erfülle zweitens die Elektricität continuirlich eine Fläche S, für welche wir überall endliche Krümmung voraussetzen wollen. Auf dem Flächenelement dS befinde sich die Elektricitätsmenge 6 dS, wo a eine endliche Grösse sei. 6 heisst die „Flächendichte der Elektricität." Auch dann tragen zum Werthe von (p die unendlich benachbarten Theile nur verschwindend wenig bei; und (p bleibt daher endlich und stetig, auch wenn p durch die Fläche S oder in der Fläche S sich bewegt. Beweis: Wir haben im jetzigen Fall f adS Nun befinde sich der Punkt p in dem unendlich kleinen Abstand ö von der Fläche. Wir fällen dann von p die Normale auf die Fläche, und grenzen um deren Fusspunkt ein kleines Cohn, elektromagn. Feld. 2
IS Flacbenpotential. [Kap. I. Flächenstück S\ das wir als eben betrachten dürfen, durch eine Kreislinie vom Radius (J ab. Der Rest der Fläche S heisse S". Von S' möge herrühren <p ; von S" dagegen <p"', so dass rp = (p 4- (p" ; dann bleibt <p" endlich und ändert sich stetig, auch wenn p sich auf oder durch £' bewegt. S' zerlegen wir in unendlich dünne Kreisringe vom variablen Radius q und diese durch Sec- toren vom unendlich kleinen Oettnungswinkel cid: Dann wird ,y2 + gl = r> U11J ds' = dü.tj.dq = (Ztf-.n//-; folglich <p'=jdujö4'^. 0 ö Wenn f> unbegrenzt abnimmt, so convergirt <p gegen Null, — womit unsere Behauptung bewiesen ist. Das <p der Gleichung (3") ist also, wie das der Gleichung (3'), stets eine bestimmte endliche Grösse mit derjenigen Bedeutung, welche wir dem Potential ursprünglich beigelegt haben. Da cp durchweg stetig ist, so haben auch seine Richtungsderi- virten durchweg endliche Werthe. Aus der Stetigkeit von <p folgt ferner, dass auch Jp sich stetig ändert beim Durchschreiten der Fläche S, wenn s eine beliebige zu S tangentiale Richtung bedeutet. Es ist nämlich, wenn die Indices 1 und 2 sich auf zwei Punkte beziehen, die zu beiden Seiten der Fläche und einander unendlich nahe auf derselben Flächennormale liegen, wegen der Stetigkeit von <p: <jpiO) = V'Äs) und <px (.v + ds) -- (p2(s -f- ds); weiter aber ist: <P\(S -\- ds) — V\(y) + '£ ds und rp2(s + ds) - (p>(s) + ^2 ds. Daraus <V'i 0(P2 . , n — - s , wie zu beweisen war. 06' OS ' Eine solche Gleichung besteht aber nicht für die Deri- virte nach der Normalen von S. (S. unten S. 24 f.).
§ 3.1 Gleichgewichtsbedingung für Leiter. 19 Wir verzichten auf den Nachweis, oh — hezw. wie weit — die gemäss (2) detinirten Componenten der Feldintensität, welche jetzt lauten würden auch in der Fläche £ den Gleichungen (4): Ex = — n u. s. w. QX genügen.*) Wir definiren vielmehr von jetzt an die Componenten von E durch ehen diese Gleichungen. Dann ist also auch an S die tangentiale Componente Es stetig. Vorbehalten aber bleibt es, zu untersuchen, wie man aus dem so definirten E die mechanische Kraft auf den Träger der Elektricitäts- menge ödS findet, (s. § 11.) Im vorstehenden betrachteten wir die Elektricitäts-Ver- theilung als gegeben. Sie kann aber im allgemeinen nicht willkürlich gegeben werden, wenn elektrisches Gleichgewicht bestehen soll. Wir lernten bereits Fälle kennen (Berührung von Leitern), wo in Leitern eine Störung des Gleichgewichts, eine „elektrische Strömung", stattfindet. Diese führte zu einem neuen Gleichgewichtszustand, dem eine neue Elektricitätsvertheilung entsprach. Gleichgewicht und Elektricitätsvertheilung müssen also, sofern Leiter in Frage kommen, durch eine Bedingung verknüpft sein. Wir formuliren, in Uebereinstiinmung mit der Erfahrung, diese Bedingung jetzt dahin: elektrisches Gleichgewicht besteht nur, wenn in jedem Leiter die Feldintensität E=0 ist. Jede Verletzung dieser Bedingung hat elektrische Strömung zur Folge.**) Wir definiren durch diese Eigenschaft einen Leiter. Gleichbedeutend mit der ausgesprochenen Bedingung ist, dass in der ganzen Ausdehnung eines zusammenhängenden, von leitender Materie erfüllten Raumes cp = constans sei. Diesen constanten Werth nennt man „das Potential des Leiters." Hiernach sind also in einem elektrostatischen Feld nur solche Elektricitätsvertheilungen möglich, welche dem gemäss (3) zu berechnenden <p für alle Punkte eines Leiters denselben Werth ertheilen. *) Vgl. Gauss, Allgemeine Lehrsätze . . . § 13 ff. *"*) Eine erweiterte Fassung dieses Satzes in Kap. II. 2*
2() Feldintensität als Fundamentalgrösse. [Kap. T. § 4. Umkehrung der Aufgabe. — Eigenschaften des e 1 e k t r o s t a t i s c h e n F e 1 de s. Die elektrische Feldintensität wurde gemäss der historischen Entwicklung von uns eingeführt als eine Grösse, durch welche die mechanischen Kräfte zwischen elektrisirten Körpern sich darstellen lassen. Diesem Sachverhalt entsprechen unsere bisherigen Gleichungen, in welchen die Elektricitätsvertheilung als das ursprünglich gegebene, dagegen E, <p und Wc als daraus abgeleitete Grössen erscheinen. Es wird aber im Verlauf unserer Untersuchung mehr und mehr hervortre- Fig. i. ten, dass wir zur Darstellung aller elektrischen Erscheinungen des Begriffs der Feldintensität bedürfen, während der Begriff der Elektricitätsnienge nur auf einem begrenzten Gebiet von Nutzen ist. Und selbst auf diesem Gebiet ist eine Darstellung einfacher und fruchtbarer, welche als Fundanientalgrösse die Feldintensität einführt. Wir wollen also jetzt annehmen, es sei diese gegeben, und versuchen, daraus die Elektricitätsmengen und die Energie abzuleiten. Dazu dient uns folgende Betrachtung (Gauss'scher Satz): Es sei gegeben eine Elektricitätsnienge ca im Punkte pa. Wir denken uns (vgl. Fig. 1.) eine geschlossene Fläche S, die den Punkt pa nicht einschliesst, im übrigen aber beliebig sein kann. Die nach aussen errichtete Normale von dS heisse N, der von S eingeschlossene Baum r. Wir bilden das Integral
§4.] (iauss'scher Satz. 21 In einem Punkte von S, welcher von pa den Abstand /• hat, ist und hat die Richtung der wachsenden /•; also ist Bezeichnet do den körperlichen Winkel, unter dem dS von pa aus erscheint, so ist dS. cos (Nr) = + /^.cfo, also eENdS=±e£do, wobei das Plus- oder Minuszeichen gilt, je nachdem der AVinkel (Nr) spitz oder stumpf ist. Nun tritt jeder Leitstrahl ?•, der von pa aus in das Innere von r eindringt, nothwendig an einer anderen Stelle wieder heraus, — und allgemein: wenn er £-mal eintritt, so tritt er auch /c-mal aus. Derselbe Elementarkegel mit dem Oeffnungswinkel do, der aus S ein Element dS beim Eintritt herausschneidet, grenzt also ein zweites Element beim Austritt ab. Da, wo er eintritt, ist (AV) stumpf; wo er austritt, ist (Nr) spitz. Easst man die beiden Elemente dS, die zum gleichen do gehören, zusammen, so heben sich also ihre Beiträge zu $ gegenseitig auf. Es folgt: ^ = o, wenn pa ausserhalb S, sonst aber willkürlich liegt. Sind beliebig viele Elektricitätsmengen eia, eia--- ausserhalb S vorhanden, so wird EN gleich der Summe der ElX, E2N.., die von den einzelnen ea herrühren, und folglich 3 gleich einer Summe von Tennen, deren jeder Null ist. Folglich 3 = o, wenn das Feld von beliebigen Elektricitätsmengen ausserhalb S herrührt. Wir berechnen jetzt das gleiche Integral 3 für den Fall, dass das Kehl von einer Elektricitätsmenge et herrührt, welche sich in pi innerhalb S befindet. Zu dem Zweck beschreiben wir um p( eine Kugel mit dem willkürlichen Radius L\ der nur so gewühlt werden soll, dass die Kugel ganz innerhall) S liegt (vgl. Fig. 2.) Die Oberfläche der Kugel heisse K. Dann
22 Gauss'scher Satz. [Kap. I. begrenzen S und K zusammen einen Raum r', für welchen pi ein äusserer Punkt ist; also ist nach dem vorigen Satz j'eENdS + I eEn h K dK={), ENdS + K wo die Normalen N und n die in der Fig. 2 angegebenen Richtungen haben müssen. Nun ist En = t 4ne.1V folglich jeEndK=-4^i2fdK = — ei; also &■■ -fsEN, Fig 2. ■dS= + ei. Haben wir innerhalb und ausserhalb S beliebig viele Elek- tricitätsmengen eu, en ... und c\a, (tecf, so zerfällt EN und folglich 3 in eine Reihe von Summanden. Jedes ei liefert zu Q einen Beitrag ei, jedes ea einen Beitrag Null. Also ist ganz allgemein für eine geschlossene Fläche aS': / eENdS: Sri, (A) wo Sa die algebraische Summe aller eingeschlossenen Elek- tricitätsmengen bezeichnet. — Wir konnten in unserer Ableitung die Kugel Ä'beliebig eng um pi zusammenziehen, ohne am Resultat etwas zu rindern; es tritt so anschaulich hervor, wie in (A) jeder Beitrag a zum Integral demjenigen Volum- element innerhalb *V entstammt, in welchem sich ei befindet. Wir wollen die (ileiehung (A) auf zwei speciellc Fälle anwenden: Sei erstens S die Oberfläche des Volumelements dr = djc-dy-dz,
§ 4.] Raum- und Flüchoiicliehte '2!l in welchem sich Elektricität von der Dichte (>, d. h. die Elek- tricitätsmcnge dr = (> dr befinde. Dann zerfällt S in (5 Kechtecke. Für die Beiträge, welche die beiden zu x senkrechten Flächen zu unserni Integral liefern, ist dS = dy dz, und ferner für die Fläche mit der kleineren Coordinate x: f en = — e Er für die Fläche mit der grösseren Coordinate x + dx: (Denn Ex ist durchweg stetig nach S. 17.) Also liefern beide Flächen zusammen den Beitrag: + \ ;* dx-dydr. Ebenso liefern die beiden übrigen Flächenpaare: b(eEff) b(eEx) n f dy • d\dx und x d \ • dxdy. Die Gleichung (A) giebt also, nach Division durch dr: b[eE2) , b(eE„) , b(eEJ ^ bjr + by + ' bi " ~ P" (8) Benutzen wir, dass s eonstant im Raum ist, so folgt: /ö/i Jfi^ *EX\ ... Es sei zweitens Elektricitiit von der Flächendichte 0 auf einer Fläche S \ erbreitet, also r/r = (W/,S' auf dem Flächenelement dS vorhanden. Wir grenzen dann einen Kaum r ab (vgl. Fig. 3 a. f. S.) durch eine Cylinderfiäehe, gebildet \on den Normalen am Rande» von dS, und durch zwei Marallelfläcben zu dS, nämlich dS{ uncD/»Sf2 zu beiden Seiten von dS. Die beiden Normalen von dS seien mit Ar, und i\r2 bezeichnet, und durch entsprechende Jndices seien allgemein die Grössen f
24 Unstefcigkeit von EN. [Kap. I. unterschieden, die sich auf die beiden Seiten von dS beziehen. Es sei der Cylinder so niedrig, .dass die Mantelfläche gegen die Grundfläche verschwindend klein sei. Dann verschwindet bei der Ausführung von (A) das Integral über die Mantelfläche, und man erhält: (denn EN = — J^ hat bestimmte endliche Werthe auch in unendlicher Nähe der Fläche S nach S. 18); oder, da die drei Flächen gleich gross sind: 8^+6^ = 0. (9) Benutzt man, dass £t = e2 = £, so lautet diese Gleichung: e(ENi + EN2) = ö. (9a) Die Gleichungen (Sa) und (9a) lehren die Elektricitäts- vertheilung kennen, sobald das elektrische Feld gegeben ist; sie enthalten die Auflösung der Gleichungen (3) und (4) nach den e. — Die Gleichung (9) wollen wir noch in etwas veränderter Form schreiben: Errichtet man (s. Fig. 4) auf dS nur die eine Normale, etwa nach der Seite YO\\dS{, bezeichnet diese mit N, und fügt die Indices 1 und 2 der Grösse E an, je nachdem es sich um Werthe auf der einen oder andern Seite von S handelt, so lautet die Gleichung: *lElN—*2KtN=<'> (9) sie sagt also aus: an Flächen, wo sich Elektricität von endlicher Flächendichtc befindet, und nur dort, ist die zur Fläche
§ 4.] Elektricität nur auf Leiter ob er flächen. 25 normale Componente von h\ — und nach dem früheren nur diese Componente — unstetig. Aus (8) ergiebt sich eine wichtige Folgerung: betrachten wir einen Punkt im Innern einer leitenden Masse, d. h. in endlicher (wenn auch noch so kleiner) Entfernung von deren Oberfläche; dann ist in diesem Punkt und in seiner unendlichen Nähe E gleich Null. Es ist für diesen Punkt also die linke Seite von (8) gleich Null, und folglich q = 0. Das heisst: im Innern einer leitenden Masse kann sich im Fall des Gleichgewichts keine Elektricität befinden. Wenn uns also ein elektrisirter Leiter gegeben ist, so müssen wir annehmen, dass sich die Elektricität in einer unendlich dünnen Schicht an seiner Oberfläche befindet. — Bedeute ferner in der Ableitung der Gleichung (9) S die Oberfläche eines Leiters, iVdie äussere, N' die in den Leiter hinein errichtete Normale, dann ist Ex = 0, und die Gleichung (9) verwandelt sich in diesem Fall in die einfachere: eEN = a. (9') Daraus ergiebt sich die gesammte Elektricitätsmenge des Leiters e = / a-dS = / €ENdS. (10) Es soll nun auch die Energie We durch die Werthe der Feldintensität ausgedrückt werden. Es sei Elektricität vorhanden mit endlicher Flächendichte ö auf gewissen Flächen *S^; im übrigen mit endlicher räumlicher Dichte (> im Räume t. Der Ausdruck (6) nimmt dann die Form an: We = U (pQdx + \2 y-ödSik oder nach (8) und (9): '*-»/. (*■? + *£'-+ *£!)* Die Integrale müssen erstreckt werden über alle Flächen, an denen ö ^ 0, bezw. durch alle Räume, in welchem q \ 0 ist.
26 Green'scher Satz. [Kap. I. Sie dürfen offenbar ausserdem über beliebige andere Flächen und Räume erstreckt werden. Mit dem Raumintegral haben wir eine Umformung vorzunehmen. Diese liefert uns ein Satz von grosser Fruchtbarkeit, den wir-jetzt ableiten wollen: Es ist identisch bx A -kw + v'L' Wir multipliciren mit dr = dx-dy-d\ und integriren über alle Elemente eines Raumes r. Dann ist, wenn U-Ax im Integrationsgebiet eine einwerthige und stetige Function von x ist, -fllT' Azdr = — n[r-Axdydi] + n\LT.Acdydz] r y l -f + U. bx dr. Fig. 5. Hier soll xa den grössten, xe den kleinsten Werth bezeichnen, den x für ein gegebenes Werthepaar ?/, *„ innerhalb r erreicht (vgl. Fig. 5). Das heisst, wenn wir für dieses y, % die Parallele zur x-Axe ziehen, so ist x — xe, wo diese Gerade in r eintritt; x = x„, ' wo sie austritt. (Die Gerade kann nochmals in r eintreten; sie muss dann aber auch nochmals austreten, und es giebt ein neues Werthepaar xe, xa.) Bezeichnen wir mit dS das Element der Oberfläche von r, dessen Projection auf die y\-Ebene dydi ist, und mit n die nach dem Innern von r errichtete Normale von dS, so ist für x = xc dy-dz — dS. cos (//./•), für x —- xa dy-dx = — dS. cos (n.r). Wir erhalten also für die beiden ersten Glieder der recliten Seite: / f.[LT-AXcos (ns) dS] + f f [V-Ax cos (n./) dS] . J J Xa J J Xe
§4.] Green'scher Satz. 27 Beide Integrale zusammen bilden die Summe aller Werthe LrAxcos (nx) dSj gebildet für die gesammte Oberfläche *S' von r. Demnach: T.AxdT = + f U.Axcos(nx)dS + f u'-fa~ dT- Zu dieser Gleichung addiren wir zwei andere, die entstehen, wenn wir x durch y, bezw. z ersetzen. Bedeuten AXf Ay, Ax, wie es der Bezeichnung entspricht, die rechtwinkligen Com- ponenten eines Vectors A, so bildet sich unter dem Flächenintegral der Ausdruck Ax cos (n x) + Ay cos (n y) + Ax cos (n z) = An und wir erhalten: +J üljü+ ö?/ +-biUr- (11) Diese Gleichung ist eine Verallgemeinerung derjenigen, welche als der „Green'sche Satz" bezeichnet wird. Bedingung ihrer Gültigkeit ist, dass U', Ax, Ay, Ax innerhalb x einwerthige und stetige Functionen von x, y, % seien. Es sei nun diese Bedingung nicht durchweg erfüllt: es seien zwar U, Ax, Ay, Ax noch einwerthig, und U auch durchweg stetig in r; hingegen mögen in r Flächen Sik vorhanden sein, an denen AN unstetig ist, wenn N die Normale von Sik bezeichnet. Sind diese Flächen geschlossen, oder haben sie ihre Randcurven auf der Oberfläche S von r, so zerfällt durch sie t in Räume t», r*, innerhalb deren die Stetigkeitsbedingungen erfüllt sind. Haben die Sik andere Randcurven, so erreichen wir die gleiche Zerfällung, indem wir die Sik passend ergänzen. Für jeden Raum n gilt nun die obige Gleichung; seine Oberfläche wird gebildet durch Flächen Sik und durch Theile von S. Wir addiren alle so entstehenden Gleichungen.
28 Partielle Integration über einen Raum. jKap. I Dann setzen sich die Kaumintegrale wieder zusammen zu Integralen üher den Gesammtraum r. Die Flächenintegrale setzen sich zusammen zu einem Integral üher S und solchen üher die #,*, und zwar tritt jede der letzteren Flächen in zwei Integralen auf. Fassen wir" zusammen, was mit dem- selhen Flächenelement dSik multiplicirt ist, und l^zeichnen mit Ni und X/c seine heiden Normalen, so kommt: ö. rA'+\].A*+~*-A ör "*]dT = T füAn-tlS \-2J ü[Ax. + AXl] dSn )•. J dT Sil +/"fö+t (12) mit folgenden Bedingungen: U, Ax, A,h A*, müssen innerhalb r einwerthig, und U auch stetig sein, und unter die Sik müssen alle Flächen aufgenommen werden, an welchen Ax.-* Ay -j- 0 ist. Von dieser Gleichung werden wir häufig Gebrauch machen; wir bezeichnen die hier ausgeführte Operation als „partielle Integration über den Kaum r." Als erste Anwendung setzen wir in (12): U — cp, A = sE und benutzen, dass nach (4) Ex = — ^ Es folgt: ist. ft[Eh* + E,/-\- E^]dz = T / <p ■ sEn .dS +2 <p [e,. EN. + «fc ENk] dSu, + j * hü S.4 b(fEr) , b(tEv) , *{fE, + - <V/ + bx r> (13) Die "Bedingungen der Gültigkeit von (12) sind erfüllt, gemäss den Stetigkeitseigenschaften des Potentials und der Feldintensität (S. 16, 17 u. 24), wenn wir unter den ,S't^ alle diejenigen Flächen hegreifen, auf welchen sich Elektricität mit endlicher Flächendiclite befindet.
g l.| Linienintegral. — ,, Allgemeine Bedingungen." 29 Nun wollen ^ir für r den ganzen unendlichen Baum nehmen. Die Fläche S rückt dann in unendliche Entfernung von dem elektrisirten System. Dort ist, wenn r den Abstand von einem Punkt des letzteren bezeichnet, nach dem Bildungsgesetz (3): (p = 0 wie ^, und En ----- 0 wie y2. Die Ausdehnung der Fläche aber ist unendlich nur wie r2. Also verschwindet das erste Integral der rechten Seite von (13). Die übrigen Glieder aber sind =2irc (vgl. S. 25). Also folgt: IV* = V2 fe [Ex> + E,/ + ES] dz = V2 fe&dr, (B) wo die Integrale soweit auszudehnen sind, wie E von Null verschiedene Werthe hat, d. h. über das ganze Feld. Wir wollen noch der Beziehung (4'): Ei = — c.^, eine p andere Form geben. Es ist nach dieser Gleichung / Ei dl gleich v der Differenz q>(p) — <p(p) zweier durch die Lage von p und p eindeutig bestimmter Functionswerthe (p; also ist das Integral, welches wir als „Linien-Integral des Vectors A1 über den Weg Z" bezeichnen, gleich Null für jede in sich zurücklaufende Curve. Dies soll in folgender Weise geschrieben werden: /- Eidl = 0. O Zusammenstellend haben wir dann die folgenden „allgemeinen Bedingungen des elektrostatischenFeldes": E überall endlich, im allgemeinen stetig, unstetig nur die Nornialcomponenten an gewissen Flächen. r2 E endlieh für r oc IEtdl -0 (C) o E 0 in Leitern. (D)
30 Erweiterte Voraussetzungen. [Kap. I. § 5. Grundgleichungen der Elektrostatik für nichthomogene Dielektrica. Wir haben jetzt die Beziehungen zwischen den elektrischen Grössen durch zwei Systeme von Gleichungen ausgedrückt: einerseits (3) (4) (6), in welchen die Elektricitätsmengen, — andererseits (A) (B) (C), in welchen die Werthe der Feldintensität den Ausgangspunkt bilden. Wir leiteten das zweite System als nothwendige Folge aus dem ersten ab; es ist, wie wir alsbald sehen werden, auch das umgekehrte möglich. Beide Systeme sind also mathematisch äquivalent unter unseren bisherigen Voraussetzungen. Ihr wesentlichster Unterschied bestellt darin, dass im ersten System die Feldstärke in jedem Punkt abhängig erscheint von der Elektricitäts-Vertheilung im ganzen llaume, während in der zweiten die Elektricitäts-Vertheilung bestimmt wird durch die Werthe der Feldintensität in unendlicher Nähe des betrachteten Punktes; [denn (8) und (9) sind lediglich specielle Formen von (A).] Zu unseren Voraussetzungen gehörte wesentlich, dass das ganze Feld ausser den Leitern nur einen homogenen Isolator enthielt; die Wahl dieses Isolators bedingte den Werth, den wir dem t ertheilen mussten. Wir gehen jetzt zu dem allgemeineren Fall über, dass das Feld sich aus beliebigen Isolatoren und Leitern zusammensetzt. Das erste Gleichungssystem lässt sich nicht in der Weise verallgemeinern, dass die fc-Werthe verschiedener Medien darin erscheinen. Wohl aber bleiben wir mit der Erfahrung in Uebereinstiminung, wenn wir das zweite Gleichungssystem beibehalten, sofern wir nur jedem Kauiuelement denjenigen Werth von t zuschreiben, der die dort vorhandene Materie (gemäss dem soeben gesagten) charakterisirt. Die Grundlage unserer weitern Untersuchungen soll daher das Gleichungssystem (A) (B) (C) (D) bilden, — und zwar die ausschliessliche: wir sehen vollständig ab von den Erfahrungen und Ueberlegungen, welche uns zu diesen Gleichungen geführt haben, insbesondere: die Elektricitätsmenge ist nicht mehr durch das Coulomb'sehe Gesetz, die Feldintensität nicht mehr durch den Summenwerth in (2) definirt.
§ 5.] Grundglcichungen der Elektrostatik. 31 Unsere einzigen Voraussetzungen sind also von jetzt ab die folgenden: Es liege ein „elektrostatisches Feld" vor, d.h. ein Zustand der Materie, welcher unverändert und ohne Energie- umsatz verharren kann, und welcher in folgender Weise bestimmt ist: Die Energie des Feldes ist We = i l tE*dr. (B) Hierin bedeutet t eine positive Constante (Dielektricitätscon- stante), welche das elektrostatische Verhalten der Materie charakterisirt, die sich im Kaumelement dx befindet; E einen Vector, die elektrische Feldintensität. Die Bedeutung von We ist diese: vergleichen wir zwei elektrostatische Zustände des Raumes, so giebt die Differenz We — W6" die Energiemenge an, welche bei der Ueberführung aus dem ersten in den zweiten Zustand frei wird; diese Energie erscheint als mechanische Arbeit, wenn der Zustand auch bei der Ueberführung ein elektrostatischer bleibt. — Zu W6 liefert jedes Element des Kaunies einen Beitrag; wir können und wollen daher auch jedem Kaumelement einen bestimmten Energiegehalt zuschreiben, indem wir als Energie des begrenzten Raumes x die Grösse \f tEHx bezeichnen. Der Vector E genügt den „allgemeinen Bedingungen": E endlich, unstetig nur EN an gewissen Flächen; E = 0 wie 2 im unendlichen; / Eidl — 0 für jede geschlossene Curve; (0) ö E = 0 in Leitern. — (Dj Ferner gilt die Gleichung / eEydiS^Se^ (A)
32 Neue Definition von „Elektricitätsmengc." [Kap. I. Sie spricht, da i. jetzt variabel, eine Function der Coordinaten ist, eine Eigenschaft nicht sowohl des Vectors h\ als des Vectors i K aus. Wir bezeichnen den letzteren als „elektrische Polarisation." Er ist, da e positiv, stets mit # gleich gerichtet. Wir bezeichnen ferner allgemein, wenn .1 ein beliebiger Vector, S eine beliebige Fläche, und N die — überall auf derselben Seite von ti gezogene — Normale «von dS ist, das Integral fANdS s als „das Flächen-Integral von Ä über S.u Dann sagt (A) aus: das Flächenintegral der elektrischen Polarisation über eine geschlossene Fläche ist gleich dem Elektricitäts-Inhalt der Fläche. — Seinen physikalischen Inhalt erhält dieser Satz dadurch, das „Elektricitätsmengen" Grössen sind, deren algebraische Summe durch keinen Vorgang verändert wird, und die ferner in Isolatoren fest an den materiellen Elementen haften.*) Ausschliesslich durch diese Eigenschaften, und durch das, was aus den Gleichungen (A) (B) (C) (D) folgt, sind Elektricitätsmengen von jetzt ab für uns definirt. Aus den jetzt vorausgesetzten Eigenschaften von /? ergeben sich zunächst einige Folgerungen von neuem, die wir früher aus dem algebraischen Ausdruck ableiteten. Zunächst folgt aus (C): das Linienintegral von E über eine beliebige Curve ist durch Anfangs- und Endpunkt der Curve eindeutig bestimmt. In Zeichen: es ist p I Eidl = (p(p) — tp(p), oder Ei = — £, p wo <p{p) eine einwert hige Function der Coordinaten von p *) Durch den zweiten Theil der Behauptung sind die Vorgänge, durch welche die Elektrisirung von Isolatoren hergestellt wird (wie z. B. Reibung), von unseren theoretischen Betrachtungen ausgeschlossen. Für dieselben haben sich bisher quantitative Gesetzmässigkeiten nicht ergeben, — ausser der einen, dass auch bei ihnen die algebraische Summe aller Kilektricität ungeändert bleibt.
§ 5.] Eigenschaften des Potentials. Sein Nullpunkt. 33 bezeichnet, v>eiche wir wiederum das „elektrische Potential im Punkte p" nennen. Die vorausgesetzten weiteren Eigenschaften von E ergeben folgende Eigenscliaften für <p\ das Potential kann — und soll, wie wir hiermit festsetzen, — als durchweg stetige Function der (Koordinaten angenommen werden. Es nähert sich für alle unendlich fernen Punkte einem und demselben constanten Werth c derart, dass (p^—c gleich Null wird, wie .. Schliesslich: (p ist constant in jedem zusammenhängenden Leiter. Wenn in einem Raum x das Feld E bekannt ist, so ist dadurch für den gleichen Raum (p bestimmt bis auf eine additive Constante. Der letzteren kommt, solange wir unsere Betrachtungen auf den Raum x beschränken, keine physikalische Bedeutung zu; nur Potential-Differenzen besitzen eine solche. Eine vollkommen willkürliche, aber für die Darstellung bequeme Festsetzung ist die folgende: a) wenn das betrachtete Feld den ganzen unendlichen Raum umfasst, so setzen wilden gemeinsamen Werth, den <p in allen unendlich fernen Punkten besitzt, gleich Null. — b) wenn es sich um einen Raum handelt, der von einem zusammenhängenden Leiter umschlossen ist, so setzen wir das Potential in diesem Leiter gleich Null. Falls dann nachträglich dieses Feld mit einem anderen combinirt wird, genügt es, durchweg an Stelle von <p(p) zu setzen: <p{p) — a, wo a das Potential der leitenden Hülle bedeutet. — Die Gleichung (A) ist ihrem Wesen nach eine Differentialgleichung. Wir erhalten sie in der Form einer solchen, indem wir für S die vollständige Begrenzung eines beliebig geformten Volumelements wählen. Specielle Fälle bilden das rechtwinklige Parallelepiped dxdydx und der flache Cylinder über ^/N. Indem wir (A) auf diese anwenden, erhalten wir &(*/&) ,öMW , HtEx) ,fi. tx + ö/y + d* =P W e^ + tiE^^o, (9) genau wie S. 23f.; denn wir haben bei der ersten Ableitung dieser Gleichungen von der damals vorausgesetzten Constanz von t keinen Gebrauch gemacht. — Colin, elektromagn. Feld. 3
34 Raum- und Flächendichte. [Kap. I. Führen wir <p ein, so lauten die Gleichungen dM0 + i(4) + £(4f)=-e <*> Für homogene Körper wird daraus: oder, wenn wir wie üblich, ein Operationszeichen A definiren durch £Agp= — (>. (8a) '(& + &) — «• (9a) Die Operationen, welchen sE in (8) und (9) unterworfen ist, werden wir noch mit anderen Vectoren vorzunehmen haben. Wir wollen bezeichnen, wenn Ä ein beliebiger Vector ist: und rr(Ä) die„räumlicheDivergenz", rs(Ä) die„Flächen- Divergenz des Vectors Au nennen. Für den Vector eE wird dann: r9(sE) = q (8) rs(sE) = o, (9) in Worten: Die räumliche (Flächen-)Dichte der Elektricität ist gleich der räumlichen (Flächen-)Divergenz der elektrischen Polarisation. Wir haben gezeigt, dass (8) und (9) nothw.endige Folge von (A) ist. Aber auch das umgekehrte gilt. Wenn wir in (12) U = 1, A = tE setzen und statt der inneren Normale n die äussere N einführen, so kommt fsENdS =fl\(eE)dx + 2Jrs(sE)dSik =fQdT + 2J'odSik = 2ei.
§5.] Divergenz. 35 (8) und (9) einerseits, (A) andrerseits sind also vollkommen gleichwertig. Aus der letzten Ableitung ist aber noch etwas anderes zu entnehmen: es sei r ein Raum, in welchem die Componenten von J durchweg stetig sind; dann ist fANdS = frx(A)dT; ist auch I\(A) stetig, und wird das Volumen r sehr klein, so kommt W-fAydS. Die Gleichung enthält keine Voraussetzung über die Form von r und sagt daher aus: Die Divergenz I\(A) des Vectors A ist numerisch gleich dem Flächenintegral von A über die Oberfläche einer beliebig geformten Volumeinheit (welche, wie in allen entsprechenden Definitionen, so klein gedacht ist, dass man von einem bestimmten Werth von rT(A) im Innern sprechen kann). rr(A)dz und rs(A)dS sind'stets Grössen gleicher Art,— z. B. wenn A = t E, unendlich kleine Elektricitätsmengen; — wir wollen deshalb, zur Vereinfachung der Schreibweise, als gemeinsames Zeichen für beide: F(A)dv überall da benutzen, wo eine Unterscheidung nicht nothwendig ist. Statt [ANdS= frr(A)d +sfrs(A)dSit | ? r 4 O4) (S Oberfläche von r, &• Flächen in r),l werden wir also im allgemeinen schreiben: I ANdS= I I\A)dr. (14a) Wo auch der Factor — dx oder dS — unwesentlich ist, soll J\A) als gemeinsames Symbol für J\(A) und rs(A) gelten. Aus (8) schliesst man wieder mittels (D): (> = 0 in jedem Leiter. Hierzu ist folgende Bemerkung zu machen:
36 Das e eines Leiters endlich. [Kap. I. s bedeutet in unseren jetzigen Gleichungen eine Constante der den Raum dz erfüllenden Materie, im vorliegenden Fall also des Leiters. Indem man den erwähnten Schluss zieht, hat man also von der Dielektricitätsconstante eines Leiters, die nach dem bisherigen nicht detinirt werden konnte, bereits das Eine vorausgesetzt, dass sie nicht unendlich ist. Wir machen diese Annahme; dann kann sich nur auf der Oberfläche von Leitern Elektricität befinden. Dort gilt wieder: eEN = ö, oder e y^ = — o (9') und (sENdS = e. (10) Es ergiebt sich ferner, in Folge der „allgemeinen Bedingungen", genau wie S. 28 die Gleichung (13) und somit für die Energie des Raumes r, unter Benutzung der soeben eingeführten Zeichen: We = $feE2dz = if<p-r(£E)dr + %f(p-eEndS, oder nach (8) und (9) $2<p.e + $f<p-sEndS, K15) wo e das gemeinsame Symbol für alle in r liegenden Elek- tricitätsmengen, vom Typus Qdr oder adS, ist. Auf jeder Leiteroberfläche hat (p einen constanten Werth (p{\ ihr Beitrag zu We kann also geschrieben werden: i */ rs(sE)dSi = i<piei, wo e% die gesammte Elektricitätsmenge des Leiters ist. Die Energie eines beliebig begrenzten Raumes war in unserer ersten Darstellung nicht detinirt. Was wir jetzt nls solche detinirt haben, fällt, wie (15) zeigt, im allgemeinen nicht zusammen mit der über diesen Raum erstreckten Summe 2\rp-e.
§5.] Vollständiges —, geschlossenes Feld. 37 Wir wollen nun aber über r eine beschränkende Voraussetzung machen: r sei ein zusammenhängender Raum, dessen Grenzen zum Theil in unendlicher Entfernung, zum Theil in Leitern verlaufen. An dein letztern Theil von S ist En = 0, und auch das Integral über den ersteren Theil verschwindet, wie S. 29 gezeigt wurde. Also folgt: We = i fsE2dz = if<p- r(sE)dz = %2(p-e. (15a) Der Raum r, für welchen die Gleichung (15a) gilt, hat die auszeichnende Eigenschaft, dass er von etwa vorhandenen anderen elektrischen Feldern vollkommen getrennt ist durch Räume, in denen kein Feldexistirt. Wir wollen ihn ein „vollständiges Feld" nennen. Einen besonderen Fall des vollständigen Feldes bifdet der ganze unendliche Raum. Einen zweiten, für uns wichtigeren^ Specialfall haben wir, wenn x sich nirgends ins unendliche erstreckt, seine Grenze also ganz in Leitern verläuft. Da r zusammenhängend sein soll, so muss dann ein zusammenhängender Leiter seine äussere Grenze bilden. Das vollständige Feld soll in diesem Fall ein „geschlossenes" heissen. Auf der ganzen Oberfläche eines solchen Feldes ist E=Q. Also folgt aus (A): d. h. die algebraische Summe aller in einem geschlossenen Felde enthaltenen Elektricität ist Null. Dem Felde gehört die innere Oberfläche der leitenden Hülle H an. Die auf dieser befindliche Elektricitätsmenge ist also der Summe aller eingeschlossenen Elektricitätsmengen stets entgegengesetzt gleich. Sie kann neben diesen nicht willkürlich vorgeschrieben werden. Sie tritt aber in Folge unserer Festsetzung, y>H = 0 anzunehmen, in der Gleichung (15a) nicht auf; eben darin liegt der Nutzen dieser Festsetzung. — Einem vollständigen, nicht geschlossenen Felde können und wollen wir eine äussere Begrenzung zuschreiben, welche — im übrigen unbestimmt, — im unendlichen verläuft. Unsere will-
38 Kraftlinie. Kraftfaden. [Kap. I. kürliche Festsetzung über den Nullpunkt der rp lautet dann einfach: in jedem vollständigen Feld nehmen wir rp = 0 an auf der äusseren Begrenzung. § 6. Darstellung des Feldes durch Kraftlinien. Bisher haben wir die Beziehungen zwischen den verschiedenen elektrischen Grössen analytisch dargestellt. Wir wollen uns jetzt eine anschauliche Darstellung dieser Beziehungen verschaffen. Wir denken uns eine Linie gezogen, — es wird im allgemeinen eine Curve doppelter Krümmung sein, — welche in ihrem Verlauf überall der Richtung der Polarisation hE folgt. Für dieselbe wollen wir im folgenden das Zeichen © benutzen. Eine solche Linie nennen wir eine „elektrische Kraftlinie." In ihr werde diejenige Richtung positiv^ gerechnet und als „Richtung der Kraftlinie14 bezeichnet, welche mit der Richtung von @, also auch von E, gleichsinnig ist. Wir wollen nun solche Kraftlinien ziehen durch alle Punkte des Randes eines Flächenelements q{, welches zu CS normal ist. Wir führen sie durch eine beliebige Strecke fort, setzen aber voraus, dass wir dabei auf keine Elektricitätsmenge stossen; dann legen wir zu dem unendlich dünnen Bündel einen zweiten senkrechten Querschnitt q2. Die Werthe von S an qx und q2 mögen (S, und ß2 heissen. Wir haben durch unsere Construction einen fadenförmigen Raum r eingegrenzt (s. Fig. 6), der ein „Kraftfaden" heissen mag. Auf diesen wenden wir die Gleichung (A) an: ChENdS= f&xdS — Sa. Die rechte Seite ist nach Voraussetzung Null. Zur linken Seite liefert die Röhrenwand keine Beiträge, denn dort liegt
§ 6.] Zahl der Kraftlinien. 39 überall ® in der Fläche S; es bleiben'von dem Integral nur die beiden Elemente übrig, welche von q{ und q2 herrühren. Diese sind — q{ ©, und -)- q2 ©2. Also haben wir qx Q] = q2 ®2; d. h. längs dem Kraftfaden ist <?@ = const. Zerlegen wir nun eine Fläche constanten Potentials, — auf der die Kraftlinien überall senkrecht stehen, — in der Weise in Flächenelemente q, dass <?@ auf der ganzen Fläche denselben Werth hat, ziehen die* Kraftlinien durch alle Punkte der Begrenzungslinien aller q und führen sie beliebig durch einen von Elektricität freien Raum fort, so wird durch die Construction dieser ganze Raum in Kraftfäden zerlegt, für welche 2@ = const. (16) ist. In einem Raum also, in welchem die Construction ausgeführt ist, ersieht man für jeden Punkt unmittelbar nicht nur die Richtung, sondern — aus dem Querschnitt des Kraftfadens an der betrachteten Stelle — auch die Grösse der Polarisation. Man pflegt sich nun etwas anders auszudrücken, im An- schluss an eine von Faraday benützte Bezeichnungsweise. Statt die Kraftlinien durch alle Punkte der Randcurve von q zu ziehen, denken wir uns in der Axe jedes Kraftfadens eine Kraftlinie gezogen. Es gehen dann durch jede zu © senk- 1 ß* rechte Flächeneinheit: - = —r- Kraftlinien. Die noch will- q const. kürliche Constante wählen wir =1, d. h. wir ziehen durch die Flächeneinheit einer Aequipotentialfläche @ Kraftlinien, oder durch ein Flächenelement d2 derselben &-dJ2 Kraftlinien. Durch ein beliebig gestelltes Flächenelement dS gehen dann ebensoviel Kraftlinien, wie durch die Projection von dS auf die Aequipotentialfläche, d.h. @-cos ($N)dS, wenn N die Normale von dS bezeichnet, oder S^-rfS. Also: durch eine beliebig gestellte Flächeneinheit gehen soviel Kraftlinien, wie die zur Fläche normale Componente der Polarisation angiebt. Nun sei r ein beliebiger Raum, mit beliebiger Elektrici- täts-Vertheilung im Innern. Seine vollständige Begrenzung
40 Endpunkte. Brechungsgesetz. [Kap. I. bilde die Fläche ti, deren äussere Normale N heisse. Durch ti treten in der Richtung von innen nach aussen Kraftlinien. Wo eine Kraftlinie in r hineintritt, da ist ©v negativ, und das betreffende Flächenelement liefert einen negativen Beitrag zu 3- 3 ^ 'd^° der Ueberschuss der austretenden über die eintretenden Kraftlinien. Es ist aber nach Gleichung. (A): 3 = iv Unsere Gleichung gilt auch noch, wenn der von S unispannte Raum x beliebig klein ist; also folgt: Unsere Con- struction lässt sich auch für einen beliebig von Elektricität erfüllten Raum durchführen; nur muss am Ort jeder positiven Elektricitäts- Ex einheit eine Kraftlinie entspringen, am Ort jeder negativen Elektricitäts- ^ *j. einheit eine Kraftlinie münden. Die Raum- und Flächendichten q und 0, welche wir bereits als räumliche, S bezw. Flächen-Divergenz derPolarisation Fig. 7. bezeichneten, sind identisch mit der Zahl von Kraftlinien, welche von einer Volum-, bezw. Flächeneinheit ausstrahlen. Dies ist der Inhalt der Gleichung (A) bezw. (8) und (9) in unserer jetzigen Ausdrucksweise. Ueber den Verlauf der einzelnen Kraftlinie geben uns die „allgemeinen Bedingungen" (S. 31) Ausschluss: Wo die Werthe von t sich stetig ändern, da sind auch die Compo- nenten von G stetig, dort hat also die Kraftlinie stetige Krümmung. Wo aber, an einer von Elektricität freien Fläche, t.sich sprungweise ändert, da sind (man setze o = 0 in (9)) stetig die Normalconiponente von 6, und die T an gen tial- componente von E\ in Zeichen uEiN= tiEix Eis == E>s &E1
§ (j.] Keine geschlossenen elektrostatischen Kraftlinien. 41 Daraus folgt zunächst, dass die Kraftlinien in beiden Medien und die Normale der Grenzfläche in einer Ebene liegen. Ferner (vgl. Fig. 7), wenn a{ und a2 die Winkel zwischen Normale und Kraftlinie auf beiden Seiten der Grenzflächen bezeichnen: 4. Eis , Ezs i tg"' = EiN > ^«2 = e^ > also fc«.=?t. (n) tg«2 e2 v J Dies ist das „Brechungsgesetz der Kraftlinien." Sie werden in dem Medium von grösserer Dielektricitätscon- stante von der Normale fortgelenkt; aber eine „Totalreflexion" existirt für sie nicht. Weiter: die Polarisation hat an jeder Stelle des Raums, sofern sie nicht Null ist, eine bestimmte Richtung. Daraus folgt: eine Kraftlinie kann weder sich selbst, noch eine andere Kraftlinie schneiden. Kann aber eine Kraftlinie etwa in einer einfachen Schleife in sich zurücklaufen? Hierauf giebt die Bedingung (C) die Antwort: erstreckten wir über eine solche geschlossene Kraftlinie / das Linienintegral uöx /< Eidl, O so wäre, weil E und G gleich gerichtet sind, auf dem ganzen Wege Ei = + E, also positiv, und somit das Integral positiv; es muss aber für jede geschlossene Curve Null sein. Also giebt es keine in sich zurücklaufenden Kraftlinien. Jede elektrostatische Kraftlinie hat zwei Endpunkte. (AVir wollen aber schon hier bemerken, dass dies nur für statische, und allgemeiner für stationäre Felder gilt. Später werden wir elektrische Felder kennen lernen, in denen in sich zurücklaufende Kraftlinien existiren.) Betrachten wir einen beliebigen Raum r, so werden im allgemeinen Kraftlinien existiren, welche die Grenzen von r durchsetzen; durch sie hängt das Feld in r mit anderen Feldern zusammen. In einem Leiter aber ist nach (D): E = 0, dort existiren also keine Kraftlinien. Erstreckt sich demnach
42 Ein Vector, welcher Null sein inuss. [Kap. I. der Raum t zum Theil in's unendliche, und verlaufen im übrigen seine Grenzen in Leitern, so ist das Feld in t mit keinem andern Feld durch Kraftlinien verbunden. Wir nannten es ein vollständiges Feld. Erstreckt sich t in's unendliche, so können auch Kraftlinien im unendlichen verlaufen und dort enden; d. h. ihr Verlauf kann zum Theil unbestimmt sein. In jedem solchen Fall haben wir auf eine vollständige Behandlung des vorliegenden Problems zu verzichten. Alle ex- acten Versuche beziehen sich deshalb auf solche vollständige Felder, die zugleich endlich sind, auf Räume also, deren Grenzen durchweg in Leitern verlaufen. Einen zusammenhängenden Raum dieser. Art haben wir ein geschlossenes Feld genannt. Der Satz, dass die gesammte Elektricitätsmenge eines geschlossenen Feldes Null ist (S. 37), heisst nichts anderes, als: jede Kraftlinie, die in dem Felde entspringt, muss auch in ihm münden. — Der Satz, dass wir auf keine Weise die algebraische Summe aller Elektricität ändern können, ist, sobald wir unserer Darstellung des Feldes allgemeine Gültigkeit zuschreiben, selbstverständlich. Denn er heisst nichts anderes, als dass die allgemeinsten Veränderungen, die wir hervorrufen können, in der Herstellung beliebiger, aber vollständiger Kraftlinien bestehen, — mit anderen Worten, dass sie sich stets auf endliche Räume beschränken. Wir schliessen mit einem allgemeinen Satz über Vectoren- vertheilung im Raum: Es genüge ein Veetor A im Raum x den folgenden Bedingungen: 1) es sei I aAidl = 0 für jede geschlossene Curve, wo a eine variable, aber stets positive Zahlgrösse bedeute; 2) es sei An = 0 an der ganzen Oberfläche von t; 3) es sei r(A) = 0 im ganzen Raum t. — AVir stellen den Vector in gleicher Weise durch „^-Linien" dar, wie wir es eben für @ durch die Kraftlinien gethan haben. Dann ist durch 1) ausgesagt: es existiren in t keine geschlossenen ^-Linien; durch 2): es treten keine ^4-Linien durch die Oberfläche von r; durch 3): es existiren in r keine Endpunkte von ^1-Linien. Daraus folgt offenbar: es existiren in r überhaupt keine yl-Linien, d. h. der Vector A ist in r durchweg Null.
§ 7.] Kein vollständiges elektrostatisches Feld ohne Klektricität. 43 Bedeutet .1 speciell die elektrische Polarisation, so ist die Bedingung ]) für elektrostatische Felder allgemein erfüllt; 2) ist erfüllt für ein vollständiges Feld; 3) ist erfüllt, wenn sich in x keine Elektricität befindet. Also: es giebt kein vollständiges elektrostatisches Feld, in dem sich keine Elektricitilt befindet. § 7. Allgemeine Lehrsätze. — Das Potential des Ellipsoids. Aus unseren Grundannahmen, und zwar zunächst aus dem Inhalt der Gleichungen (A) (C) (D), sollen jetzt eine Anzahl allgemeiner Sätze abgeleitet werden. — Das Fundament bildet der Satz, den wir soeben mit Hülfe der Kraftlinien geometrisch bewiesen haben: a) Es kann kein vollständiges elektrostatisches Feld geben, in welchem sich nirgends Elektricität befindet. — Der Satz ist nicht selbstverständlich; denn wir können im allgemeinen keineswegs, wie dies unter den Voraussetzungen des § 2 möglich war, die Feldintensität explicite durch die Elektricitäts- mengen darstellen. Wir beweisen ihn nochmals in analytischer Form. Die Voraussetzung ist: in einem vollständigen Felde x sei durchweg q =---- I\(bE) = 0 und ö = rs(eE) = 0; kürzer: I\eE) = 0; — die Behauptung: dann ist in x auch durchweg E = 0. Beweis: Für ein vollständiges Feld gilt die Gleichung (15a); aus ihr folgt unter unseren Voraussetzungen: j€ß2dx = 0. r Die linke Seite ist aber eine Summe von Gliedern, deren keins negativ sein kann, folglich jedes einzeln Null sein muss. Also: /<J=0 im ganzen Jntegrationsgebiet. — Zu diesem Beweise sind implicite die „allgemeinen Bedingungen des elektrostatischen Feldes" benutzt: denn diese sind Voraussetzung für die Gültigkeit von (15a).
44 Die Elektricitätsvertheilung bestimmt das Feld. [Kap. I. Zusatz 1: Befinden sich Leiter im Felde, so genügt es bezüglich der Elektricitätsvertheilung auf diesen, dass die gesammte Elektricitätsmenge eines jeden Leiters Null sei. Zusatz 2: Statt der Bedingung, dass die Elektricitätsmenge eines Leiters Null sei, genügt auch die, dass sein Potential Null sei, — d. h. gleich dem Werth an der äusseren Begrenzung des Feldes. Beweis: Zum Werthe von I eE2dr in (15a) liefert jeder Leiter i ein Summenglied Nach unseren Voraussetzungen aber wird in jedem Summenglied einer der beiden Factoren Null. — Aus a) folgt: b) Jedes vollständige elektrostatische Feld ist eindeutig bestimmt durch die Angabe seiner Elektricitätsvertheilung. Beweis: Gesetzt, es gäbe zwei elektrische Feldintensitäten E' und E", zu denen die gleiche Elektricitätsvertheilung q, o in dem vollständigen Felde r gehörte. Es soll also sein r(eE') = rT(eE") = Q und r&E') = rs(fcE") = o, und es soll sowohl E' wie E" den „allgemeinen Bedingungen'4 genügen. Wir bilden dann das „Differenzfeld" E mit den Componenten Ex = Ex' — Ex' etc. (oder allgemein: Ei = Ei — El' für jede Richtung /). Auch E genügt dann den allgemeinen Bedingungen, und es ist in t durchweg: r(fcl?) = 0; daraus folgt nach a) ^=0 in t, oder E' identisch mit E" in t, w. z. b. w. Zusatz: Befinden sich Leiter im Felde, so genügt, um das Feld zu einem bestimmten zu machen, dass für jeden derselben die gesammte Elektricitätsmenge, oder auch das Potential, gegeben sei. Der Beweis folgt aus den Zusätzen zu a) in der gleichen Weise, wie der Beweis von b) aus a) selbst folgte.
§ 7.] Der Fall: e = const. Das e der Leiter. 45 Künftig soll unter einer „vorgeschriebenen Elektricitäts- vertheilung" verstanden werden: vorgeschriebene Werth e der Dichten q, ö im Dlelektricum und der gesammten Elektricitäts- mengen e.% der einzelnen Leiter Li. c) Ist im ganzen Felde 8 = const., so wird fiEx . bE,, bE~\ £Ux + by + öJ^C e (ENi + EN2) = 0. Ein Feld E, welches diese Gleichungen befriedigt und zugleich den allgemeinen Bedingungen genügt, haben wir in §§ 3 und 4 kennen gelernt. Es ist nach dem dort bewiesenen * — fc, „,_£[/•«£+/>£] ein möglicher Werth des Feldes bei gegebenen q, ö und gegebenem constantem e. Wir sehen jetzt, dass es der notwendige Werth ist. Es kann von unserm jetzigen Standpunkt aus auffallen, dass der gleiche einfache Ausdruck auch gilt, wenn in das homogene Dielektricum Leiter eingebettet sind, 8 also nicht durchweg constant ist. Die Erklärung liegt darin, dass in diesem Fall die Elektricitätsvertheilung auf den Leiteroberflächen derart bestimmt sein muss, dass E in jedem Leiter Null wird, — und dass andrerseits 8 in den Gleichungen nur als Factor der Componenten von E auftritt. Man kann also zunächst das 8 der Leiter gleich dem des umgebenden Dielektricums annehmen. Ist die Aufgabe unter dieser Annahme gelöst, so genügt die Lösung auch den Gleichungen, welche entstehen, wenn man nachträglich für das 8 der Leiter den wahren Werth einführt, — unter der alleinigen Voraussetzung, dass dieser wrahre Werth nicht unendlich sei (vgl. S. 36). Es könnte hiernach scheinen, als ob dem Begriff „Dielek- tricitätsconstante eines Leiters" überhaupt kein physikalischer Inhalt entspräche. Das ist jedoch nicht der Fall. Die Grösse ist stets definirbar, \uu\ nach Uniständen auch messbar (s. Kap. II, § 2); sie ist nur nicht definirbar aus elektrostatischen Erscheinungen. In der Ausdrucksweise von S. 7: auch
46 Superpositionsprincip. [Kap. I. ein Leiter ist, allgemein gesprochen, ein „Dielektricum;" aber er macht sich in der Elektrostatik nicht als solches geltend. d) Aus dem unter b) bewiesenen ergiebt