text:
Definition des Begriffes Zufall zurück Einleitung Wortfeld zum Thema
Zufall,Chaos,Entropie Kurze Definition
Basisaussagen zum Zufall Wo steckt überall
Zufall drin ? Welche Arten von
Zufall gibt es ? Kein Zufall Determinismus
teilweise Zufall
Wo wird Zufall neu
produziert ? Zufallsgenerator
für Pseudozufallszahlen Wo geht Zufall
verloren ? Was nützt uns
der Zufall ? Zufallsvariable
Zufallsmathematik
Zufall Testen
Gesetz der großen
Zahl Quantitative
Beschäftigung mit dem Begriff Zufall Redundanz und
Kompression Beispiel
Zufall Beispiele mit
verschiedenem Zufallsgehalt Zufall in Spielen
Gesamtzufallsmenge
= Entropie Zufall und
Entropie Zufall in der Physik Zufall in der Biologie Zufall in der Philosophie Fragen zum Thema
Zufall Falsche und
kontroverse Ansichten über den Zufall Wer hat zum
Zufallsbegriff beigetragen ? Zitate Heutige
Zufallsexperten Empfehlenswerte
Literatur zum Thema Zufall Internetseiten
zum Thema Zufall Orginaltexte Diese WWW-Seite stammt von R.Ho, rho54@gmx.de
www.madeasy.de Zufall Was ist Zufall ?
Man spricht von Zufall, wenn ein
Ereignis nicht notwendig oder nicht beabsichtigt auftritt.
Umgangssprachlich bezeichnet man ein Ereignis auch als zufällig,
wenn es nicht absehbar, vorhersagbar oder berechenbar ist.
Zufälligkeit und Unberechenbarkeit oder Unvorhersagbarkeit sind
jedoch nicht dasselbe.
Als zufällig gelten Ereignisse
wie eine Augenzahl beim Würfeln oder das Ergebnis eines
Münzwurfs, jedenfalls wenn eine Manipulation ausgeschlossen
Zufall ist das unberechenbare
Geschehen, das sich unserer Vernunft und Absicht entzieht. - Gebrüder
Grimm (Deutsches Wörterbuch)
Einleitung: Dieser Text ist rein zufällig entstanden. Viel Energie wurde und wird in der Diskussion zum Thema Zufall
damit vertan , daß auf der einen Seite der Zufall komplett
geleugnet wird , auf der anderen Seite der Zufall die Ursache für
alles sein soll. Man muß statt dessen mit dem Zufall experimentieren. Dann
merkt man sehr schnell, daß die Mischung aus zufälligen
und gesetzmäßigen Ereignissen der Realität am besten
gerecht wird. Auch der reine Zufall zeigt Gesetzmäßigkeiten , nämlich
zb das Gesetz der großen Zahl. Dieses Gesetz über den
Zufall kann man heranziehen , um zu testen, ob echter Zufall vorliegt
oder nicht. Die Vorstellung vom Zufall tritt in Widerspruch mit dem Gedanken
eines allmächtigen, allwissenden persönlichen Gottes , der
alles voraussehen kann. Der Zufall würde demnach den
hellseherischen Fähigkeiten Gottes widersprechen. Auch die Diskussion um den freien Willen der Menschen dreht sich
öfter um das Thema Zufall. Es hat sehr lange gedauert , bis man gemerkt hat , daß dem
Zufall neben seiner Anwendung im Glücksspiel auch sehr nützliche
Seiten abzugewinnen sind. Die Brauchbarkeit des Zufalls als
Gerechtigkeitsfaktor oder als Testverfahren für schwierige
Entscheidungen wurde in der philosophischen-theoretischen Diskussion
lange nicht erkannt, obwohl er sicher im Alltagsleben öfter
schon dazu benutzt wurde. Beispielsweise muß aus einer Gruppe
von Menschen einer ausgewählt werden, um eine sehr gefährliche
Aufgabe durchzuführen . Keiner will es machen. Es wird per Los
entschieden, wer es machen muß. ( Vergleich zum Beispiel Charly Chaplin : Der große Diktator
: In einen Kuchen wird eine Geldmünze gebacken. Jeder aus der
Gruppe erhält ein Stück Kuchen. Wer hat die Münze in
seinem Stück ?) Es ist erstaunlich , daß es in der realen Welt sehr einfache
Modelle gibt , die sehr gute Zufallszahlen und Zufallsreihen liefern,
daß es in der Mathematik aber keinen elementaren und trivialen
Zufallsprozeß gibt. Man muß mühsam
Pseudozufallszahlen konstruieren, um mit dem Zufall arbeiten zu
können. Platon würde sich über den Zufall doch ein
bißchen ärgern, denn beim Zufall scheint die Realität
dem mathematischen Ideal überlegen zu sein . Gleichzeitig beherrscht der Zufall viele wichtige Prozeße in
der Physik, Chemie und Biologie . Außerdem hat er sich als
wichtiger Gerechtigkeitsfaktor im sozialen Zusammenleben erwiesen. Deswegen ist ein möglichst gutes Verständnis des
Begriffes Zufall sehr wichtig. Eine elementare Frage zum Thema lautet: Gibt es einen echten
Zufall, oder bezeichnen wir etwas nur deshalb als zufällig, weil
wir nicht über genügend Informationen für eine genaue
Vorhersage verfügen ? Was ist echter Zufall und was ist unechter
Zufall ? Weitere Fragen zum Thema Zufall finden sich hier . Fragen
zum Thema Zufall Wenn man die drei Basisbegriffe der heutigen Naturwissenschaften
Materie , Energie und Information betrachtet , kann man fragen, wie
der Begriff Information in weitere Subkategorien untergliedert werden
kann. Basisbegriffe der Natur- und Strukturwissenschaften
Reiner gleichförmiger Zufall ist eher langweilig.
>> Interessant ist die Mischung aus Zufall und Ordnung.
Wenn man 1 Gramm Wasser betrachtet , dann ist eine Wassertropfen
mit Zufallsstruktur der Wassermoleküle eher langweilig. Ein
geordneter Einkristall des Wassers ist auch langweilig ( wenn es so
etwas gibt). Interessant ist es zwischen drin: zb ein Schneekristall
. Hier gibt es eine unendliche Vielfalt der Formen.
Siehe auch die Definition von
Information: http://www.madeasy.de/1/definfo.htm Wortfeld zum Thema Zufall Zufall Zufall Zufälle zufällig Zufälligkeit Zufälligkeiten Zufallsereignis Zufallsgenerator Zufallsvariable
akzidentell blinder Zufall blanker Zufall echter Zufall analytischer Zufall ( unbekannte
Sequenz die auf Ihre Zufälligkeit untersucht wird ) synthetischer Zufall ( künstlich
erzeugte Zufallsfolge ) Pseudozufall Randomisation Randomness Probability Chance coincidence zufälliges Zusammentreffen Wahrscheinlichkeit Unwahrscheinlichkeit Fortuna , Glück Pech , Unglück Schicksal Unordnung <=> Ordnung Entropie
<=> Negentropie Zufall <=> Notwendigkeit Indeterminismus <=>
Determinismus irreversibel <=> reversibel Risiko <=> Sicherheit Chaos Unbestimmtheit Statistik Wahrscheinlichkeitsrechnung Stochastik Wahrscheinlichkeit Zufallsexperiment Zufallsereignis Ergebnisraum Normal verteilt Erwartungswert Spieltheorie Unvorhersagbar Mischung Strukturlosigkeit Gleichförmige Verteilung Gleichförmige Mischung Los , Würfel , Roulette der blinde Zufall , bei Kant ( ein
blindes Ongefähr ), Ungefähr Willkür ex contingenti Bei Leibniz schreibt sich Los mit
2 o : Loos ! odds dice = Würfel coin = Münze casting of lots = Losen Lateinisch cadentia "falling," casus purus =
Blinder Zufall chance; accident; toss-up; tough break; occurrence, event;
coincidence; hazard ;by chance; casually; by a fluke; a lucky hit;
misfortune, risk , probability Geschichte: Aus Johann H. Zedler, Großes vollständiges
Universallexicon ... 1732 Zufälle sind die Umstände des ausserordentlichen Glücks,
oder daraus das ausserordentliche Glück bestehet, welches nichts
anderes ist, als eine Connexion natürlicher Umstände,
die nicht von unserem Willen abhängen, mit dem Fortgange unserer
Thaten, zu deren Verlauf sie unseren Absichten , entweder gemäß
, oder zuwider , etwas beytragen. Diese Umstände sind uns entweder von Anfange unserer
Unternehmungen bekannt , daß wir uns danach richten können
; oder sie ereignen sich wider Wissen , oder Vermuthen , welche
letztere man Glücks - und Unglücksfälle oder
unversehene Zufälle, ( CASUS FORTUITOS ) nennet. Beyde , nehmlich sowohl die vorherbekannten als unversehenen,
entstehen entweder blos aus dem gemeinen Lauffe der Natur; oder sie
werden , ob sie gleich natürlich sind , dennoch von Gott , als
dem Erhalter der Natur durch seine besondere Vorsehung zu besonderen
uns offtmahls .... Meyers Konversationslexikon 1888: Zufall (lat. Casus), im gewöhnlichen Leben alles, was uns
nicht als notwendig oder beabsichtigt erscheint, oder für dessen
Eintreten wir einen Grund nicht nachweisen können, oder was
ebensogut in anderer Weise und zu andrer Zeit hätte geschehen
können. Das Zufällige steht daher dem Notwendigen, dem
Wesentlichen und dem Absichtlichen entgegen, und ebenso wird auch die
Zufälligkeit bald der Notwendigkeit, bald der Wesentlichkeit,
bald der Absichtlichkeit entgegengesetzt. Das Zufällige kann selbst als ein Notwendiges vorgestellt
werden, wenn uns die Bedingung desselben nicht bekannt ist. Deshalb
sagt man auch: zufällig ist, was unter gewissen Bedingungen sein oder nicht
sein, so oder anders sein könnte. Wenn wir uns auf den Zufall als etwas die Dinge Beherrschendes,
Gestaltendes, Veränderndes, Zerstörendes berufen, so
gestehen wir damit eigentlich nur unsre Unwissenheit in betreff des
Zusammenhanges des Geschehens und der Gründe desselben ein. Wer
den Zufall als die gänzliche Ursachlosigkeit alles Geschehens
faßt, der verfällt in den Widerspruch, an welchem der
Begriff des absoluten Werdens leidet (s. Ursache). ==> Es geschieht nichts ohne Ursache Und insofern auch nichts
durch bloßen, blinden Zufall. (casus purus). Der Schein des
Zufalls aber entsteht für uns aus der Mangelhaftigkeit unsrer
Einsicht in die Gründe und Folgen der Begebenheiten. In
juristischer Bedeutung nennt man Zufall ein Ereignis, das nicht in
dem Willen und der Absicht des Handelnden liegt. Vgl. Windelband, Die Lehren vom Zufall. (Berl. 1870); Cantor, Das Gesetz im Zufall. (das. 1877). Woher kommt das Wort Zufall? Welche Bedeutung hatte das Wort Zufall früher ? Welche anderen Wörter hat man anstatt des Wortes Zufall
benutzt ? Welchen Bedeutungswandel hat das Wort durchgemacht ? Welche Worte gibt es in anderen Sprachen für den Begriff
Zufall? Lateinisch ex contingenti = zufällig occasionatus, accidens fortuna casu et fortuito casus purus = Blinder Zufall Griechisch lachesis Was heißt Clinamen bei
Demokrit oder Epikur ? Französisch Japanisch Chinesisch Arabisch, Indisch, Indianisch, Italienisch, Spanisch Englisch: chance; accident; toss-up; tough break; occurrence, event;
misfortune, random casting of lots odds dice ran·dom [rándm ] adjective = zufällig
1. without a pattern: done,
chosen, or occurring without a specific pattern, plan, or connection
random testing for drugs 2. lacking regularity: with a
pattern or in sizes that are not uniform or regular a wall
constructed of random stones 3. STATISTICS equally likely:
relating or belonging to a set in which all the members have the
same probability of occurrence a random sampling 4. STATISTICS having definite
probability: relating to or involving variables that have
undetermined value but definite probability [Mid-17th century. From Old French
randon "impetuosity, rush" (the original sense in
English), from randir "to run." Ultimately from a
prehistoric Germanic base (probably also the ancestor of English
run).] ran·dom·ly adverb ran·dom·ness noun at random with no set plan,
system, or connection random-access random-access memory = RAM 1. COMPUTING computer storage
medium: a computer storage medium on which data items are stored in
an arbitrary fashion but can be accessed directly because each
has a unique address. Because each data item can be addressed
independently of any other item, the time it takes to access any
memory location on a given medium is the same. 2. primary working memory of a computer: the primary working
memory in a computer used for the temporary storage of programs and
data and in which the data can be accessed directly and modified randomize random number random sample random variable random walk MATHEMATICS model with independent successive steps: a model
applicable to various processes such as diffusion in which the
direction and sometimes the magnitude of successive steps are
determined by chance chance [chanss ] noun (plural chanc·es) 1. likelihood that something will
happen: the degree of probability that something will happen (often
used in the plural) There's a strong chance we'll win. 2. opportunity or opportune time
for something: an opportunity or a set of circumstances that makes
it possible for something to happen I was given no chance to
explain. 3. supposed force that makes
things happen: the supposed force that makes things happen in
a particular way without any apparent cause 4. BASEBALL opportunity to make
putout or assist: in baseball, an opportunity to field a ball
and make a putout or assist 5. raffle or lottery ticket: a
ticket in a raffle or lottery 6. unexpected happening: an
unexpected event 7. something caused by luck: something caused by luck or
fortune verb (past chanced, past participle chanced, present participle
chanc·ing, 3rd person present singular chanc·es) 1. transitive verb do something risky: to do something knowing
that it is risky 2. intransitive verb do something unplanned: to do something or
happen without a cause or plan [13th century. Via Anglo-Norman from, ultimately, late Latin
cadentia "falling," from the present participle of
Latin cadere "to fall."] chance·less adjective by any chance used to inquire if there is any possibility of
something Is there a copy you could lend me, by any chance? by chance unexpectedly or without plan chance your arm U.K. to attempt something despite unfavorable odds
fat chance something that is highly unlikely (informal) odds [odz ] plural noun 1. chances of something happening:
the likelihood or probability that something will occur,
sometimes expressed as a ratio such as 10 to 1 The odds are that
you'll never make it. 2. BETTING predicted chances in
betting: a ratio of probability given to people placing a bet,
usually the likelihood of a specific event happening, or of a
competitor, team, or animal winning The horse was given odds of four
to one. 3. SPORTS handicap or advantage
used in competition: an advantage or handicap given to a person,
animal, or team in a sporting contest, to equalize the chances of
winning 4. perceived advantage or disadvantage: a perceived advantage
or disadvantage, especially one that one person is believed to have
over another in a competition [Early 16th century. Plural of odd.] at odds (with somebody) in disagreement with somebody at odds (with something) in conflict with something over the odds more than is usual or necessary what's the odds? used to indicate that something is of no
importance odds·mak·er [ódz màykr
] (plural odds·mak·ers) noun somebody who calculates
odds: somebody who officially calculates betting odds Kurze Definitionen von Zufall Zufall Als Zufall bezeichnet man das Eintreten unvorhergesehener und
unbeabsichtigter Ereignisse. Das Eintreten von Ereignissen für die keine Ursache und
keine Gesetzmäßigkeit erkennbar ist, bezeichnet man
als zufällig. Lexikon: Zufall ist ein Begriff für alles, was nicht notwendig oder
beabsichtigt geschieht; das Zusammentreffen von nicht absehbaren
Ereignissen. Setzt man die absolute Gültigkeit des
Kausalitätsprinzips voraus, d. h. einen Weltmechanismus, nach
dem alle Geschehnisse vorausbestimmt sind, so wird das Zufällige
zur bloßen Erscheinungsform des Notwendigen. 'Zu·fall männlich das Eintreten oder Zusammentreffen
von Ereignissen, das nach menschlicher Voraussicht nicht zu erwarten
war ein Spiel des Zufalls und wie es der Zufall manchmal mit
sich bringt ...; das kann doch nicht bloß Zufall sein!; das
wollen wir dem Zufall überlassen; seine Rettung ist nur dem
Zufall zu verdanken; der Zufall wollte (es), dass ... es war ein glücklicher,
unglücklicher Zufall, dass ...; es war reiner, purer Zufall,
dass wir uns hier trafen durch Zufall erfuhr ich davon;
eine Kette, Reihe von Zufällen brachte es mit sich, dass... was für ein, welch ein Zufall
(dass ich dich gerade hier treffe)! [ Man kann sehr viel über den Zufall lernen , wenn man mit
einer Münze selber Zufallszahlen erzeugt. Dabei ordnet man der einen Seite der Münze ( zb der Seite mit
der Zahl ) die Zahl 0 zu , der anderen Seite ( die Seite mit dem
Wappen ) die Zahl 1. So erhält man sehr einfache Folgen von 0
und 1 . In diesen Folgen steckt der elementarste Zufallsprozess ,
denn man sich denken kann. Die Zufallsfolgen von 0 und 1 sind leicht statistisch untersuchbar
. Die Zufallsfolgen sind mit nicht zufälligen 0 und 1 Folgen
mischbar . So bekommt man ein recht gutes Verständnis für
den Zufall und die Mischung von Zufälligem und Nichtzufälligem
, wie es ja oft in der Realität anzutreffen ist. So wird Zufall zunächst etwas Mathematisches und läßt
sich ohne großen Aufwand untersuchen. Stufen eines künstlichen Zufallsereignisses 1.Vor dem Ereignis: Mindestens 2 Wahlmöglichkeiten sind vorhanden , es wurde
aber noch nicht entschieden. 2.Der Zufallsmechanismus läuft ab. 3.Aus den mindestens 2 möglichen Varianten wurde eine
zufällig ausgewählt. Eine elementares Zufallsereigniss beruht auf Gleichheit und
Ungleichheit Die zwei möglichen Varianten
müssen gleich ( gleichberechtigt ) sein Trotzdem müssen sie irgendwie ungleich , nämlich
unterscheidbar sein ( Münze : beide Seiten müssen mit derselben
Wahrscheinlichkeit auftreten können , trotzdem müssen beide
Seiten verschieden geprägt sein , sonst könnte man sie
nicht unterscheiden.) Einige wichtige Basisaussagen über den
Zufall : Zufall ist das unberechenbare Geschehen, das sich unserer
Vernunft und Absicht entzieht. ( Gebrüder Grimm , Deutsches Wörterbuch)
Ein elementarer Zufallsprozeß ist der Münzwurf,
denn er liefert eine zufällige Entscheidung zwischen 2
Alternativen . Ordnung: Je geordneter ein System ist desto geringer
ist der Anteil an Zufall.
Kompression: Eine echte Zufallsfolge von 0 und 1 lässt
sich ohne Verlust kaum komprimieren.
Echten Zufall kann man sehr genau testen, wenn man das
zugrundeliegende Verfahren beliebig wiederholen kann.
Zufall heißt nicht, das alles möglich ist. Ein
zufälliger Münzwurf kann nur Kopf oder Zahl ergeben.
Wenn man der Meinung ist, die Zukunft sei völlig festgelegt
und vorherbestimmt, dann gibt es keinen Zufall. ( deterministische
Die Mischung aus zufälligen und nichtzufälligen
Ereignissen wird der Realität am besten gerecht.
Bevor man ein Ereignis als zufällig ansieht, sollte man sich
eingehende Gedanken darüber machen, ob es wirklich rein zufällig
ist. Manchmal ist der Zufall eine zu bequeme Erklärungsvariante.
Ein Maß für die Menge an Zufall die in einer
Zahlenfolge oder einem physikalischen System steckt ist die
Gesamtzufallsmenge oder Entropie.
Der Zufall hat kein Gedächtnis. (Vergleiche den Begriff
Unabhängigkeit in der Stochastik) Dieser Satz gilt nur für einige
Zufallsereignisse wie den Münzwurf und das Roulettespiel.
Bei anderen Zufallsereignissen , wie dem
Ziehen aus einer Urne ohne zurücklegen, wird jeder weitere Zug
durch die vorhergehenden Züge beeinflußt und die
Möglichkeiten werden eingeschränkt.
Wo steckt überall Zufall drin ? Fangen wir mit der Erklärung des Begriffes Zufall zunächst
mit leicht einsehbaren Aussagen aus dem heutigen Alltagsleben an. Zufall im praktischen Alltag: der einfachste Zufallsapparat ist die Münze Zufall steckt: im Münzwurf
in der statistischen Urne in den Lottozahlen , im Würfel im Roulettetisch in Gasmolekülen E
http://dcbwww.unibe.ch/groups/schumacher/happy.html
im radioaktiven Zerfall des Urans in der Evolution der Lebewesen
in der Variation und Rekombination
des Erbgutes wird wirksam bei der Befruchtung einer Eizelle und der
Fixierung des Geschlechtes Beispiele für teilweise zufällige Ereignisse Flug Zielankunft (Z) oder Absturz
(A) Risikolebensversicherung
Versicherter überlebt (Ü) oder ist Tod (T) Geschlecht eines Neugeborenen
weiblich (W) oder männlich (M) Wartezeit an der Kasse Zeit (T)
von 0 bis unendlich Kursänderung von Aktien unendlich viele Möglichkeiten
Wie kann ich Zufall im Alltag ausprobieren ? Beim Mittagessen : Ich habe 2 Suppen zu Auswahl . Eine
Tomatensuppen und eine Pilzsuppe . Mit einer Münze entscheide
ich mich welcher der beiden Suppen ich heute zubereite und essen
werde. Beim Wandern: Ich komme im Wald an eine Weggabel: Mit einer Münze
Zufall bestimme ich ob ich den rechten oder den linken Weg wählen
soll. Ist das dann schon echter Zufall ? Meist läßt man dem Zufall im eigenen Leben nur sehr
ungern seinen Lauf. Nur bei unwichtigen Entscheidungen vertraut man
der Münze. Muß allerdings die gerechte Auswahl zwischen 2 oder mehreren
Personen getroffen werden , so vertraut man dem Zufall als einer
gerechten Entscheidungsinstanz . Zufall als Mittel zur Erzeugung von Gerechtigkeit: Vergabe knapper Studienplätze: Es gibt in einer
Uni 20 Studienplätze für das Fach Philosophie. Dafür
gibt es erstaunlicherweise 200 Bewerber. Da aus den Zeugnissen keine
Entscheidungshilfen zu erwarten sind, werden die 20 Studienplätze
per Losverfahren verteilt. Vergabe knapper Therapieplätze: Es gibt in einer
Region 10 Behandlungsplätze zur künstlichen Blutwäsche
. Es gibt aber in der Region 100 Patienten , die dringend der
Behandlung bedürfen. Per Losverfahren unter notarieller Aufsicht
werden die 10 Therapieplätze vergeben. Randomisierte Studie: Um die Wirksamkeit einer
Behandlungsmaßnahme ( Gabe von 3 * 5 mg Valium / tag über
eine Woche ) beim Schlaganfall zu überprüfen , wird
eine große Studie geplant. Bereits vor dem Beginn der Studie
wird per Zufall eine Reihenfolge festgelegt, welcher Patient
mit dem Wirkstoff und welcher mit der sonst üblichen Behandlung
therapiert werden soll. Diese Reihenfolge wird in einer versiegelten
Liste zentral verwahrt. Mehrere Krankenhäuser nehmen an der
Untersuchung teil. Soll ein Patient in die Studie aufgenommen werden
, ruft das Krankenhaus in der Studienzentrale an . Das Krankenhaus
gibt einige Einschlußdaten durch und bekommt dafür eine
Zahl genannt. Anhand dieser Zahl wird eine Studienmedikation
ausgewählt, die entweder Wirkstoff oder Plazebo ( = unwirksame
Zuckertablette ) enthält. Der behandelnde Arzt weiß nicht,
ober er dem Patienten Plazebo oder Wirkstoff verabreicht. Bei
der Entlassung des Patienten aus dem Krankenhaus , wird der
Studienzentrale mitgeteilt , ob er den Schlaganfall überlebt hat
oder nicht. Sind genügend Patienten nach diesem Protokoll
behandelt worden , wird ausgerechnet , ob ein Unterschied in der
Überlebensrate zwischen der Valium und der Nichtvalium Gruppe
feststellbar ist. Die Entwicklung der Sprache ist vielen Zufällen
unterworfen. Welches Wort , welche Silben sich in einem Wort sich im
allgemeinen Gebrauch durchsetzen und welche Bedeutungswandel ein Wort
erfährt sind oft schwer nachzuvollziehen und manchmal auch nur
reiner Zufall. Andererseits kann man an Hand von Wortvergleichen
Verwandschaftsbeziehungen zwischen Sprachen und den Völkern ,
die sie sprechen herausarbeiten. Bei vielen großen Entdeckungen half der Zufall mit ,
sie zu finden : Röntgen bemerkte die Schwärzung einer
Photoplatte durch Röntgenstrahlen. Fleming bemerkte an Hand
einer zufälligen Verunreinigung seiner Petrischalen , daß
Pilze das Wachstum von Bakterien hemmen können etc , etc. Siehe zb Ernst Mach: Erkenntnis und Irrtum In jedem individuellen Lebewesen steckt eine Menge an
Zufall. Ein Merkmal der Individualität ist neben der
Einmaligkeit auch die Zufälligkeit. In jedem Individuum steckt
aber auch eine Menge Ordnung , nämlich die Ordnung seines
artspezifischen Erbgutes und die artspezifische Ausprägung in
den Körperstrukturen und Organen. Welche Arten von Zufall gibt es ? elementares Zufallsereignis 0
- 1 , Münze: Wappen oder Zahl echte 01 Zufallsfolgen gewonnen
durch mehrfachen Münzwurf kurze - lange Zufallsfolgen
, schiefe Zufallsfolgen ( zb Würfel
mit 5 mal der Zahl 6 und einmal der Zahl 1 ) codierte Zufallsfolgen zb
würfelzahlen 1-6 bei 1000 mal Würfeln Pseudozufallsfolgen, künstlich
errechneter Zufall analytische Zufallsfolge ( Der Ursprung der Sequenz ist
unbekannt , die Sequenz schaut zufällig aus) synthetische Zufallsfolge ( Die Sequenz wird mit einem
echten Zufallsgenerator erzeugt ) gemischte zufällige und
geordnete Folgen historisch teilweise zufällige
Folgen zb genetischer Code zb Sprache gut komprimierte geordnete Sequenz - die schaut dann sehr
zufällig aus und läßt sich kaum mehr komprimieren. Welche weitere Arten von Zufällen gibt es ? echter Zufall , Pseudozufall ,
50 / 50 Zufall (Münze), Lottozufall ( sehr seltenes Ereignis
Zufall in der Natur natürlicher Zufall ( Zufall in der Natur anorganischer Zufall ( zb Radioaktivität )
biologischer Zufall ( zb Geschlecht männlich - weiblich)
Zufall in der Kultur = künstlicher Zufall ( durch Menschen
bewußt herbeigeführt , zb Münze , zb Würfel ) elementarer Zufall ( Münzwurf ) 2 Möglichkeiten , 50 /50
Koinzidenzen 2 Ereignisse oder Ereignisketten sind zufällig irgendwie
zufällige gleichzeitige Ereignisse zb ein Kind wird geboren gleichzeitig
geht der Mond auf.
zufällige gleichörtliche
Ereignisse zb an einem Ort in der Wüste fällt
ein Meteorit herunter, an derselben Stelle findet sich in 10 m Tiefe
zufällige gleichzeitige und
gleichörtliche Ereignisse Ein Mensch wird von einem Meteoriten
Die Erde wird von einem Meteoriten
Bedeutung des Zufalls für den Einzelnen
Glück und Pechzufall Wo findet man offensichtlich keinen Zufall ?
Im Computer fällt es offensichtlich schwer echten
Zufall zu erzeugen . Der digitale Computer ist zunächst einmal
eine deterministische Maschine und bis ins letzte Bit berechenbar.
Durch Pseudozufallszahlen versucht man den echten Zufall nachzuahmen.
In den Planetensystemen ist es offensichtlich relativ
einfach über Jahrtausende korrekte Vorausberechnungen zu machen
. Hier ist der Zufall durch riesige Massekonzentrationen weitgehend
außer Kraft gesetzt worden. In einer geordneten binären Zahlenreihe zb 01010101010101010101010101010101010101010101010101010101 steckt kein oder sehr wenig Zufall. In jeder logisch geordneten Zahlenreihe steckt kein Zufall . zb 012345678910111213141516171819202122 Im Schachspiel steckt kein Zufall . Außer ganz am
Anfang , wenn verlost wird, wer anfangen darf. Man kann natürlich
die Steine zufällig setzen , dann wird man aber schnell
verlieren . Wenn man gut spielen will muß man möglichst
deterministisch spielen und alle sich ergebenden Möglichkeiten
so weit und so tief wie möglich vorausberechnen. Deswegen
spielen Computer auch so gerne und so gut Schach . Steckt in einem Kristall Zufall ? Wenn es ein sauberer Einkristall ohne Verunreinigungen ist ,
dann steckt sehr viel Ordnung und wenig oder kein Zufall in einem
Kristall. Die meisten menschlichen Handlungen sind kein Zufall
sondern teilweise unterbewußtes Abwägen von Alternativen
und Auswahl der zum gegebenen Zeitpunkt anscheinend
vorteilhaftesten. ( Ökonomie des Alltagslebens ) Determinismus Der Determinismus lehnt den Zufall komplett ab:
Determinismus (von lateinisch: determinare abgrenzen, bestimmen)
ist eine philosophische Denkrichtung, die davon ausgeht, alle
Ereignisse laufen nach vorher festgelegten Gesetzen ab. Deterministen vertreten die Meinung, dass bei bekannten
Naturgesetzen und bekanntem Anfangszustand der weitere Ablauf aller
Ereignisse prinzipiell vorausberechenbar sei. Es gibt verschiedene Varianten des Determinismus, die mehr oder
minder streng die Vorausberechenbarkeit aller Ereignisse vertreten. Die Existenz des echten Zufalls wird vom Determinismus
bezweifelt. Die Existenz eines freien Willens wird von vielen
Deterministen bezweifelt. Eine wichtige Einteilung des Determinismus ist folgende
Unterscheidung allgemeiner Determinismus: Das ganze Weltgeschehen läuft
deterministisch ab. Es gibt keinen echten Zufall. persönlicher Determinismus: Der Mensch ist in seinem Willen
durch äußere oder innere Ursachen vorherbestimmt und nicht
frei. Es gibt keinen freien Willen. Nicht mit dem Determinismus verwechselt werden sollte die
Kausalität, welche besagt, dass gegenwärtige Ereignisse nur
von vergangenen Ereignissen beeinflusst werden können. So ist
z.B. die Quantenmechanik nach der üblichen Interpretation zwar
kausal, aber nicht deterministisch (wegen des Zufallselements bei
Messungen). Auch in der Religion und Theologie spielt der Determinismus eine
gewisse Rolle, da in der christlichen Vorstellung von Gott, dieser in
seiner Allmacht alles vorherbestimmt, so dass es keinen echten freien
Willen seiner Menschenkinder geben kann. Siehe auch
Berechenbarkeit, Zufallsgenerator, Pseudozufallszahl,
Indeterminismus, Deterministischer Algorithmus, Chaostheorie Der Computer als deterministische Maschine Das Planetensystem als deterministisches System Das menschliche Gehirn als weitgehend deterministisches
Informationsverarbeitungs- und speicherungssystem Unterarten des Determinismus harter Determinismus weicher Determinismus logischer Determinismus biologischer Determinismus genetischer Determinismus Lebewesen sind nur Marionetten ihrer Gene infantiler Determinismus kindliche psychische Traumata und daraus resultierende
Störungen lassen sich angeblich nicht mehr beheben. Vertreter des Determinismus Baruch Spinoza (1632 - 1677) Paul de Holbach (1723 - 1789) Pierre Simon Laplace Gottfried Wilhelm Leibniz Thomas Hobbes John Locke David Hume J. S. Mill Ayer Ted Honderich Gottfried Seebaß Literatur zum Thema Determinismus Pothast, Ulrich: Seminar: Freies Handeln und Determinismus.
Frankfurt/M.: Suhrkamp, 1978. Steinvorth, Ulrich: Freiheitstheorien in der Philosophie der
Neuzeit. 2., Darmstadt: WBG, 1994. Walter, Henrik: Neurophilosophie der Willensfreiheit. Von
libertarischen Illusionen zum Konzept natürlicher Autonomie.
Paderborn: Mentis, 1998. Links zum Thema Determinismus physikalischer Determinismus und seine Grenzen
(http://theotp1.physik.uni-ulm.de/~schu/komplex/lec1.html
) philosophische Literatur zum Thema
(http://beat.doebe.li/bibliothek/w00099.html
) Determinismus in der nichtlinearen Dynamik
(http://nld.physik.uni-mainz.de/az_determinismus.htm
) http://www.uni-bielefeld.de/ZIF/AG/2002/07-11-Huettemann.html
http://members.aol.com/gewanne/determ.htm
Teilweise zufällig , teilweise geordnet
01 Beispiele Mischung aus je einer Zufallszahl zb mit einer Münze erzeugt
und einem geordneten Wechsel Wechsel aus 0 und 1. zb Chaitin A und B
gemischt. Chaitins Beispiel für 2 binäre Zahlen mit 20 Stellen
Geordnete Reihe : 10101010101010101010 Zufall = 0, oder fast Null Ungeordnete Reihe:
01101100110111100010 als Beispiel für eine Zufallsfolge ==> Gemischte Reihe: 1001110011011000110110011101110010001100
Steckt im Insulinmolekül Zufall ? Steckt in der DNS Zufall ? Steckt in einem Stein Zufall ? Ja, Steine sind meist amorphe
Gemische verschiedener Substanzen , der Anteil der verschiedenen
Elemente ist meist wenig gesetzmäßig die Größe und Form
eines Steines ist ziemlich zufällig Im Vergleich mit einem gleichmäßigen Gasgemisch
wie zb der Luft ist ein Stein aber noch stärker geordnet und
nicht völlig zufällig. Die meisten Spiele haben feste Regeln und gleichzeitig
Zufallselemente, die das Spiel spannend und nicht komplett
berechenbar machen. Siehe Spiele und Zufall Zufall und Fehler Wie kann man echte systematische Fehler von Fehlern abgrenzen ,
die zufällig in ein geordnetes System hineingeraten sind ? Zufall und Streuung von Meßergebnissen Wo wird Zufall neu produziert ? vom Menschen geschaffene
Zufallsgeneratoren Zufall in der Physik
Zufall in der
Biologie Kompliziertere echte
Zufallszahlengeneratoren Vom Menschen geschaffene Zufallsgeneratoren Zufallsgenerator: Münze Zufallsgenerator Würfel: Zufallsgenerator : Roulettekessel Urnenmodell der Statistik , ( außerordentlich
vielseitig und sehr lehrreich !) Eine Urne ist so etwas wie eine Lostrommel zum hineingreifen. Galtonbrett siehe folgendes hervorragende
Programm simples Programm in vb Es werden viele zufällige
gleichlange 10 Folgen produziert Dann wird nachgesehen wie das
Verhätnis von 1 und 0 ist Wie kann man das mit einer Urne
simulieren ? Wie kann man das mit einer Münze simulieren ? Galton Links http://www.bics.be.schule.de/cif/physik/software/bpgalton.htm Ball mit oberer und unterer Hälfte Kreisel mit markierten Rändern Russisches Roulette : Trommelrevolver mit einer Patrone in der
Trommel , restliche Trommel leer ( sehr böse ) Reißnagel : als Beispiel eines Zufallsgenerators mit
ungleicher Zufallsverteilung Echter Zufall in der Physik: Brownsche Molekularbewegung Radioaktiver Zerfall Regentropfen auf eine Fläche Echter Zufall in der Biologie: Geburt männlich /weiblich (
Chancen nicht genau 50 / 50, aber doch ziemlich zufällig. ) Ein Blatt fällt von einem
Baum zu Boden , landet es auf der Voderseite oder Rückseite ? Mutationen Variationen Zufallskanone in Conways Life siehe life.htm
Die Zufallskoanone produzierte eine
zufällige Serie von Gleitern.
Komplizierte Echte Zufallszahlengeneratoren
Bei echten Zufallszahlengeneratoren handelt es sich um mechanische
oder elektrische Geräte, die Zufallszahlen aus der ihnen
zugrunde liegenden Verteilung liefern. Ein Beispiel für
mechanische Zufallszahlengeneratoren sind Würfel (6-seitige,
10-seitige, 20-seitige). Ein Beispiel für einen elektrischen Zufallszahlengenerator
ist der Generator ERNIE(Electronic Random Number Indicator
Equipment). Die Erzeugung von Zufallszahlen basiert hier auf der
Erzeugung von Geräuschimpulsen bei Neonröhren, welche
innerhalb konstanter Intervalle mit Hilfe von Zähleinrichtungen
in Zufallszahlen umgewandelt werden. Verwendung fand dieser Generator
bei Ziehung der Gewinner der ,,premium bond savings lottery" in
Großbritannien. Der Vorteil von ,,echten" Zufallszahlengeneratoren ist, daß
eine Prognose wie ein Zufallsexperiment ausgehen wird, nicht möglich
ist. Soll allerdings ein Zufallsexperiment mit genau den gleichen
Zufallszahlen ein zweites Mal durchgeführt werden so ist dies
nicht möglich. Ein Grund für ein solches Vorgehen ist z.B.
die Veränderung von Parametern der zugrunde liegenden
Verteilung, um Veränderungen im Simulationsablauf vorher und
nachher festzustellen. Ein weiterer Nachteil, der bei echten
Zufallszahlengeneratoren auftreten kann, ist der, daß sich die
zugrunde gelegte Verteilung aufgrund von Verschleiß der
mechanischen Generatoren schleichend verändert. ,,Echte"
Zufallszahlengeneratoren müssen daher immer daraufhin überprüft
werden, ob die Zufallszahlen, die sie liefern immer noch der
Verteilung entsprechen, die zugrunde gelegt ist. http://www.fh-weingarten.de/iaf/projekte/is/zufall.htm
Welche Anforderungen sind an Zufallserzeuger zu stellen ? http://www.hausarbeiten.de/rd/archiv/informatik/info-zufall-handout/info-zufall-handout.shtml
*** Sicherheit durch Zufallszahlen Intel hat ein auf thermisches Rauschen basierenden
Zufallszahlengenerator entwickelt, der "echte"
Zufallszahlen erzeugt. von Carol Levin Wählen Sie eine Zahl, irgendeine ganz beliebige Zahl. Na,
haben Sie's? Egal, welche Zahl Sie gewählt haben - wirklich
zufällig ist sie nie, denn dabei spielen auch psychologische
Faktoren eine Rolle. Weisen Sie einen Computer an, eine zufällige
Zahl zu wählen, und Sie überfordern den Computer. Das
Ergebnis mag zwar zufällig erscheinen, aber tatsächlich
handelt es sich dabei um eine Pseudo-Zufallszahl, generiert durch
eine Berechnung wie zum Beispiel dem Lewis-Goodman-Miller-Generator: xn=16.807 * xn-1(mod 231 - 1) Das bedeutet, daß sich im Lauf der Zeit in den Zahlen, die
ein Computer wählt, ein Muster herauskristallisiert. Und das
kann zu Problemen führen. Zufallszahlen sind extrem wichtig für die Computersicherheit,
denn sie werden verwendet, um Sicherheits-Codes zu erzeugen, durch
die Betrüger daran gehindert werden, in Online-Bankkonten
einzubrechen, Online-Transaktionen zu gefährden und in digital
unterzeichneten Dokumenten herumzuschnüffeln. Wer genügend
Zeit und Geld hat, dem ist es möglich, ein Muster festzustellen
und einen Code-Schlüssel nachzumachen. Um bei der Lösung dieses Problems zu helfen, haben
Sicherheitsexperten bei Intel einen auf thermischem Rauschen
basierenden Zufallszahlengenerator entwickelt. Eine so generierte
Zufallszahl kann als Eingabe verwendet werden, um sichere Codes zu
erzeugen. Thermisches Rauschen ist eines der wenigen Quellen
natürlicher Ereignisse, die wirklich zufällige und
unberechenbarer sind (weitere sind z. B. radioaktiver Zerfall,
Fluoreszenz oder Elektronenspin). Es entsteht durch die Erwärmung
eines Widerstands auf dem Chip während des Betriebes. Die
Temperatur, die der Widerstand abstrahlt, variiert im Lauf der Zeit,
da sie durch Variationen im Luftstrom beeinflußt wird. Auf Hardware basierende Zufallszahlengeneratoren gibt es bereits,
aber sie sind sperrig und teuer. Durch Intels Bemühungen ist zum
ersten Mal ein auf Hardware basierende Zufallszahlengenerator
entwickelt worden, der in Großserie auf einem Standard-Bauteil
produziert wird. Intel plant, den Zufallszahlengenerator auf seinem
810-Chipsatz auszuliefern, der in den ganz normalen Desktops
verwendet werden soll. HotBits: Genuine random numbers, generated by radioactive decay
People working with computers often sloppily talk about their
system's "random number generator" and the "random
numbers" it produces. But numbers calculated by a computer
through a deterministic process, cannot, by definition, be random.
Given knowledge of the algorithm used to create the numbers and its
internal state, you can predict all the numbers returned by
subsequent calls to the algorithm, whereas with genuinely random
numbers, knowledge of one number or an arbitrarily long sequence of
numbers is of no use whatsoever in predicting the next number to be
generated. Computer-generated "random" numbers are more properly
referred to as pseudorandom numbers, and pseudorandom sequences of
such numbers. A variety of clever algorithms have been developed
which generate sequences of numbers which pass every statistical test
used to distinguish random sequences from those containing some
pattern or internal order. A test program is available at this site
which applies such tests to sequences of bytes and reports how random
they appear to be, and if you run this program on data generated by a
high-quality pseudorandom sequence generator, you'll find it
generates data that are indistinguishable from a sequence of bytes
chosen at random. Indistinguishable, but not genuinely random. HotBits is an Internet resource that brings genuine random
numbers, generated by a process fundamentally governed by the
inherent uncertainty in the quantum mechanical laws of nature,
directly to your computer in a variety of forms. HotBits are
generated by timing successive pairs of radioactive decays detected
by a Geiger-Müller tube interfaced to a computer. You order up
your serving of HotBits by filling out a request form specifying how
many random bytes you want and in which format you'd like them
delivered. Your request is relayed to the HotBits server, which
flashes the random bytes back to you over the Web. Since the HotBits
generation hardware produces data at a modest rate (about 30 bytes
per second), requests are usually filled from an "inventory"
of pre-built HotBits. Once the random bytes are delivered to you,
they are immediately discarded--the same data will never be sent to
any other user and no records are kept of the data at this or any
other site. (Of course, if you're using the random data for
cryptography or other security-related applications, you can't be
certain I'm not squirreling away a copy. But I'm not, really.) An alternative to downloading HotBits for later use is provided by
the randomX package for Java. A program developed with randomX can
select from a variety of pseudorandom sequence generators or genuine
random data from HotBits, obtained on demand across the Internet. Wie kann man Zufall künstlich erzeugen ? Zufallsgenerator ===Zufallszahlengenerator===
Als Zufallszahlengenerator,
gelegentlich auch Zufallsgenerator oder schlicht Generator,
bezeichnet man eine Prozedur, die eine Folge von Zufallszahlen
Das Simulationslemma besagt: Mit Hilfe
von Standard-Zufallszahlengeneratoren kann man prinzipiell
Zufallsvariablen (bzw. unabhängige, identisch verteilte Folge
von Zufallsvariablen) zu jeder anderen Verteilung F über R
simulieren (Inversionsmethode).
====Arten von
Zufallszahlengeneratoren====
Man unterscheidet unter anderem
folgende Arten von Zufallszahlengeneratoren (Auswahl):
physikalischer Zufallszahlengenerator
(z. B. Ausnutzung radioaktiver Zerfallsvorgänge oder
elektronischer Impulsschwankungen)
(basieren auf der Arithmetik) rekursiver arithmetischer
Zufallszahlengenerator (Verwendung rationaler Zahlen) Kongruenzgenerator linearer Kongruenzgenerator multiplikativer Kongruenzgenerator
gemischter linearer Kongruenzgenerator
Schieberegister mit Rückkopplung lineares Schieberegister
nichtlineares Schieberegister
Auszählreime in Kinderspielen
stellen eine Art analoge Version von Zufallsgeneratoren da.
Rekursive arithmetische
Zufallszahlengeneratoren gehören zu den
Pseudozufallszahlengeneratoren, da sie bestimmte Eigenschaften von
Zufallszahlen verletzen und man nur von Pseudozufallszahlen sprechen
Münze, Würfel, Roulette,
=====Münze:=====
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/4/43/MÃŒnzmerkmale.bmp
=====Würfel:=====
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/5/5c/Wuerfel_rot.jpg
Ein Spielwürfel ist ein als
Zufallsgenerator verwendeter Gegenstand, der auf mehrere, voneinander
unterscheidbare Arten stabil auf der Ebene zu liegen kommen kann. Die
meisten Würfel sind heute aus Holz oder Kunststoff und haben
einen Durchmesser von etwa eineinhalb Zentimetern. Spielwürfel
werden vor allem in den nach ihnen benannten Würfelspielen und
in Glücksspielen, gelegentlich auch in Brettspielen verwendet.
Zum Bestimmen des Zufallsergebnisses
wird der Würfel auf eine ebene Fläche geworfen. Sind
mehrere Würfel gleichzeitig zu werfen oder soll das Ergebnis
nicht allen Spielern einsichtig sein, so ist es zweckmäßig
einen Würfelbecher zu benutzen. Nachdem der Würfel zur Ruhe
gekommen ist, kann das Ergebnis an seiner Lage abgelesen werden.
Weitere in Spielen gebräuchliche
Zufallsgeneratoren sind Spielkarten, das Glücksrad und das
Die am meisten verwendete, klassische
Form ist die eines geometrischen Würfels, worauf auch der
Begriff Spielwürfel zurückgeht. Um seine Rolleigenschaft zu
verbessern, sind die Ecken heute häufig abgerundet. Die Flächen
sind meistens mit ein bis sechs Punkten versehen, die auch als Augen
bezeichnet werden, wobei die Augensumme sich gegenüberliegendener
Seiten in der Regel sieben ergibt. Die Orientierung der
gegenüberliegenden Paare (1,6), (2,5), (3,4) ist im westlichen
Kulturkreis so festgelegt, dass die Ziffern 1, 2 und 3 im
Gegenuhrzeigersinn gesehen werden, während sie im Fernen Osten
im Uhrzeigersinn ausgerichtet sind.
In der Antike und im Mittelalter
wurden Sprunggelenkknöchelchen von Paarhufern wie Schafen oder
Ziegen zum Würfeln verwendet. Im Mittelalter waren sie unter dem
Namen Buckelhörner bekannt; der lateinische Name lautet
astragali. Durch deren kantige Form sind vier verschiedene
Ruhepositionen möglich. Die Wahrscheinlichkeit für diese
Ergebnisse ist unterschiedlich hoch, eine Tatsache, die auch in den
Regeln des beliebten römischen Würfelspiels Astragaloi
Im Sinne dieses Artikels ist auch ein
Münzwurf als Würfel anzusehen. Münzen wurden wohl seit
ihrer Erfindung auch für Zufallsentscheidungen benutzt.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/9/97/20-sided_dice_250.jpg
Papier-und-Bleistift-Rollenspiel kommen auch vom Würfel
verschiedene Polyederformen zum Einsatz. Dabei wünscht man, dass
die einzelnen Ergebnisse mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit
auftreten und die Ruhepositionen eine gewisse Stabilität in
ihrer Lage aufweisen. Diese Eigenschaften sind für die fünf
platonischen Körper erfüllt, die nicht zuletzt auch deshalb
gerne benutzt werden, da ihnen aufgrund ihrer zahlreichen Symmetrien
ein hoher ästhetischer Reiz zugesprochen wird. Weil der
klassische Würfel selbst auch ein platonischer Körper ist,
ergeben sich als neue Formen vier-, acht-, zwölf- und 20-seitige
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/1/19/4-sided_dice_250.jpg
Das vierseitige Tetraeder weist dabei
die Besonderheit auf, dass in den Ruhepositionen keine Fläche,
sondern eine Ecke des Körpers nach oben weist, und sich deshalb
die Ergebnisse nicht auf die gewohnte Weise von den Seiten ablesen
lassen. Deshalb sind hier häufig die nach oben ragende Ecke
oder, wie auf dem Foto zu sehen, die Kanten der untenliegenden Seite
an den sichtbaren, angrenzenden Seiten markiert. Ebenfalls gebräuchliche zehn- und
100-seitige Würfel weisen im Verhältnis zu ihrer
Flächenanzahl weniger Symmetrien auf als die platonischen
Körper. Sie werden aber gerne benutzt, um beispielsweise in
unserem Dezimalsystem zufällige Prozentzahlen zu erzeugen.
Einen Spielwürfel, bei dem jedes
mögliche Ergebnis mit exakt gleicher Wahrscheinlichkeit
auftritt, nennt man einen idealen Würfel. Für die meisten
Würfel wird die Form eines idealen Würfels gewählt,
wobei physikalisch bedingt immer gewisse Abweichungen bei der
Fertigung auftreten. Bei einem guten Würfel ist diese Abweichung
sehr gering. Gelegentlich wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung
bewusst zugunsten bestimmter Ergebnisse manipuliert, möglichst
ohne den Würfel optisch zu verändern, um sich im Spiel
einen Vorteil zu verschaffen. In diesem Fall spricht man von einem
gezinkten Würfel. Die Möglichkeiten beinhalten das
Verändern der Gewichtsverteilung, unterschiedlich stark
abgerundete Kanten bzw. Ecken sowie das Verziehen von manchen
Flächen. Zu stark gezinkte Würfel verraten sich durch eine
torkelnde Rollbewegung, was beim Einsatz eines Würfelbechers
aber nicht auffällt. Eine weitere Manipulationsmöglichkeit
ist es, im Inneren des Würfels einen Dauermagneten zu platzieren
um den Würfelwurf bei Bedarf durch einen zweiten, beispielsweise
unter die Tischplatte gehaltenen, Magneten zu beeinflussen. Um das
Zinken zu erschweren, werden im Kasino transparente Würfel
====Urne====
*Ohne zurücklegen
*Mit zurücklegen
Eine Urne ist ein Behälter in dem
meist feststoffliche Dinge temporär oder dauerhauft aufbewahrt
werden. Lotterieurnen
Bei Lotterien und verwandten Spielen
werden Lose oder Kugeln in eine Urne gesteckt und anschließend
verdeckt gezogen, um ein Zufallsereignis zu erzeugen. Urnen haben
sich dabei als universelle Werkzeuge der Stochastik erwiesen, da man
mit Ihnen fast alle Arten von Zufall und Wahrscheinlichkeit
simulieren kann. Wichtig ist der Unterschied der Ziehung mit
Zurücklegen und ohne Zurücklegen. Siehe auch
http://de.wikipedia.org/wiki/Lotterie
====Roulette====
Roulette ist ein Glücksspiel, bei
dem üblicherweise in einer Spielbank mit Hilfe einer Kugel in
einem rotierenden liegenden Rad (genannt: Kessel) eine Zufallszahl
gezogen wird. Die Spieler wetten auf die Zahl oder auf Zahlengruppen
(so genannte Chancen), indem sie ihren Einsatz mit Hilfe von
Spielmarken (Jetons) auf die entsprechenden Felder des Spieltisches
legen. Wird die Zahl gezogen oder ist in der entsprechenden
Zahlengruppe, wird ein Vielfaches des Einsatzes als Gewinn ausgezahlt
und der Einsatz zurückgegeben. Wird die Zahl nicht gezogen,
fällt der Einsatz an die Spielbank.
Die Erfindung des Roulettespiel wird
dem französischen Mathematiker Blaise Pascal zugeschrieben. Er
soll es zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten entworfen haben. Es
wird mit den Zahlen 0 bis 36 gespielt. In manchen Spielbanken, so in
Belgien, gibt es auch, zum Vorteil der Spielbank, die Doppelnull. In
den USA wird auf einem vereinfachten Tableau mit Doppelnull gespielt.
Im Roulettespiel gibt es Standards bei
den Wetten. Gewettet werden kann
*auf eine einzelne Zahl, z.B. 1,
genannt: Plein, Gewinnwahrscheinlichkeit 1/37, bei Gewinn gibt es das
35-fache des Einsatzes und den Einsatz zurück.
*auf zwei auf dem Spielplan
nebeneinanderliegende Zahlen, z.B. 1 und 2 oder 1 und 4, genannt:
Cheval, Gewinnwahrscheinlichkeit 2/37, bei Gewinn gibt es das
17-fache des Einsatzes und den Einsatz zurück.
*auf drei auf dem Spielplan
nebeneinanderliegende Zahlen, z.B. 1, 2 und 3, genannt: Transversale
Plein, Gewinnwahrscheinlichkeit 3/37, bei Gewinn gibt es das 11-fache
des Einsatzes und den Einsatz zurück.
*auf vier Zahlen, die auf dem
Spielplan ein Quadrat bilden, z.B. 1, 2, 4 und 5, genannt: Carre;
oder auf die ersten vier Zahlen 0, 1, 2 und 3, genannt: Die ersten
Vier. Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist 4/37, bei Gewinn gibt es das
Achtfache des Einsatzes und den Einsatz zurück.
*auf sechs auf dem Spielplan
nebeneinanderliegende Zahlen, z.B. 1 bis 6, genannt: Transversale
Simple, Gewinnwahrscheinlichkeit 6/37, bei Gewinn gibt es das
Fünffache des Einsatzes und den Einsatz zurück.
*auf 12 auf dem Spielplan
nebeneinanderliegende Zahlen, z.B. 1 bis 12, genannt: Dutzende; oder
12 untereinanderliegende Zahlen, z.B. 1, 4, 7, ..., 34, genannt:
Kolonnen. Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist 12/37, bei Gewinn gibt es
das Zweifache des Einsatzes und den Einsatz zurück.
*auf 18 Zahlen, die einer Gruppe
angehören, die so genannten "einfachen Chancen". Dabei
werden drei unterschiedliche Gruppen gebildet, nämlich die
Zahlen 1 bis 18, genannt: Manque, und 19 bis 36, genannt: Passe; die
geraden Zahlen 2, 4, 6, ..., 36 genannt: Pair, und die ungeraden
Zahlen 1, 3, 5, ..., 35 genannt: Impair; sowie die so genannten roten
Zahlen 1, 3, 5, 7, 9, 12, 14, ..., 36, genannt: Rouge; und die so
genannten schwarzen Zahlen 2, 4, 6, 8, 10, 11, ..., 35, genannt:
Noir. Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt 18/37, bei Gewinn
gibt es den einfachen Einsatz und den Einsatz zurück.
*auf Zahlen, die im Kessel
nebeneinander angeordnet sind. Dabei werden im Standard drei Gruppen
unterschiedlicher Größe gebildet, welche die Namen "Große
Serie 0/2/3", "Serie 5/8" und "Orphelins"
Generell gilt: '''Je höher die
Gewinnwahrscheinlichkeit, umso geringer die Gewinnausschüttung,
und umgekehrt.''' Die Standardwetten erlauben es den Spielern, mit
dem geforderten Minimaleinsatz auf mehr als eine Zahl zu wetten.
Darüber hinaus steht es jedem Spieler frei, pro Durchgang seine
eigenen Zahlenkombinationen zu bilden, für die er im Allgemeinen
dann jedoch mehr als den Minimaleinsatz aufwenden muss.
Die '''Chance''' beim Roulette-Spiel
bedeutet die Art und Höhe eines Einsatzes gemäß den
Konventionelle Satzmöglichkeiten
*Plein = 1 Nummer
*Cheval = 2 Nummern
*Transversale Simple = 3 Nummern
*Erste Drei = 3 Nummern (<u>1</u>,
<u>2</u>, <u>3</u>)
*Carré = 4 Nummern
*Erste Vier = 4 Nummern (<u>0</u>,
<u>1</u>, <u>2</u>, <u>3</u>)
*Transversale Simple = 6 Nummern
*Dutzend = 12 Nummern (auch doppelte
Chance genannt)
*Kolonne = 12 Nummern (auch doppelte
*Einfache Chance = 18 Nummern
Daneben spricht man von "objektiven"
und "subjektiven" Chancen, um die Möglichkeit des
Gewinns zu verdeutlichen. Die "subjektive" Chance ist das
Setzen auf eine "Glückszahl" (wie Geburtstag oder
Hochzeitstag) ohne Beachtung der Permanenz (der bisher gefallenen
Nummern) oder statistischer Verteilungen. Im Gegensatz dazu nutzt die
"objektive" Chance bestimmte Ausprägungen der
Permanenz aus und setzt z.B. auf die 3 letzten noch nicht gefallenen
Nummern oder auf den Wechsel einer Farbe nach Zero. Die
Wahrscheinlichkeitsrechnung entlarvt solche "Strategien"
jedoch als keineswegs "objektiv", sondern als bloßen
Wahn -- eine lange nicht mehr gefallene Zahl oder Farbe hat
keineswegs eine höhere Chance als eine soeben gefallene.
Personen, die allzu fest an solche mathematisch nicht haltbaren
Konstrukte wie "objektice Chance" glauben, sind vermutlicht
Spielsucht-gefährdet.
Man spricht von Chancengröße
''m'', um die Anzahl der gesetzten Nummern eines Satzes anzugeben.
Bei einfachen Chancen (Rot oder Schwarz) ist m = 18, beim Carré
ist m = 4.
Zufallsgenerator für
Pseudozufallszahlen Pseudozufallszahlengeneratoren Bei Pseudozufallszahlen handelt es sich um ,,Zufallszahlen"
die mit Hilfe eines mathematischen Algorithmus erzeugt werden. Streng
genommen sind diese Zahlen nicht zufällig, denn mit Kenntnis des
erzeugenden Algorithmus ist jede Person in der Lage, genau die
gleiche Folge von Zufallszahlen zu reproduzieren, beziehungsweise die
nachfolgenden ,,Zufallszahlen" vorauszusagen. Vorteil der Pseudozufallszahlengeneratoren ist, daß
verschiedene Experimente mit den gleichen Zufallszahlen durchgeführt
werden können, bei gleichzeitiger Änderung der zugrunde
liegenden Parameter. Die Simulationsergebnisse lassen sich so
miteinander vergleichen. Der große Nachteil der Pseudozufallszahlengeneratoren ist
jedoch, daß durch Kenntnis des Algorithmus erzeugte
Zufallszahlen nicht mehr zufällig, sondern berechenbar sind. Ein Computer kann bisher nur bedingt als Zufallserzeuger
dienen, denn er liefert bisher nur errechnete Pseudozufallszahlen.
http://www.educeth.ethz.ch/informatik/werkstatt/multiplik/zufallszahlen/
http://www.educeth.ethz.ch/informatik/werkstatt/multiplik/zufgen/
http://www.elf.org/etc/randomnumbers.html
http://home.t-online.de/home/poisoner/krypto/prngs.htm***
http://www.uni-ulm.de/~cschmid/v2000s/webprob/sb1/sb1_2.htm***
Literatur zu Pseudozufallszahlen Motwani, R., Raghavan, P.: Randomized Algorithms. Cambridge
University Press 1995 Hromkovic, J.: Algorithmics for Hard Problems. Introduction to
Combinatorial Optimization, Randomization, Approximation, and Heuristics. Springer-Verlag
2001. Hromkovic, J.: Communication Protocols â€“ an
Exemplary Study of the Power of Randomness. In: Pardalos, P., Rajasekaran, S., Reif, J., Rolim, J. (Eds.):
Handbook of Randomized Computing. Kluwer Publ. 2001. Generator vom Rechenfehler-Typ Er erzeugt Pseudozufallszahlen im Intervall (0;1). Zu einer
(vorgegebenen) Anfangsvariable x wird z.B. 3,1415... addiert, die
Zahl wird mit 8 potenziert und vom Ergebnis der Nachkommateil als
neue Pseudozufallszahl ausgegeben. Hier werden also Fehler, die wegen
der begrenzten Rechengenauigkeit auftreten, als Pseudozufallsziffern
benützt. Rechenfehler-Typ 2 Eine andere Möglichkeit besteht z.B. in der Berechnung von
irrationalen Logarithmen logba mit 1< a < b. Wegen der
Rechenfehler werden die Nachkommastellen schnell pseudozufällig.
Hier ein möglicher Quellcode (a=2, b=10): Linearer Kongruenz Algorithmus Eine Startzahl S ("Seed") wird mit der Zahl A
multipliziert, die Zahl B wird addiert. Das Ergebnis wird modulo M
genommen, das ergibt die neue Zahl S. S/M ist eine Pseudozufallszahl
zwischen 0 und 1. Hier der Quellcode des Generators. function rnd() S=(A*S+B)%M; return S/M; Im vorliegenden Fall gilt als Initialisierung: var A=11113,B=1,M=524288,S=1123; Hier können Sie eine andere Initialisierungsvariable
eingeben: A= B= M= S= Günstige bzw. ungünstige Wahlen: Nach Knuth erhält man für M=2n die maximale
Periodenlänge, wenn B ungerade und A mod 4 = 1 gilt. Da die
Modulo-Arithmetik bei Integer-Typen "automatisch" durch
Überlauf eingebaut ist, wird man meist M als Zweierpotenz
wählen. (In JavaScript hat man dabei jedoch Probleme: Es wird auf
Gleitkomma-Arithmetik umgeschaltet. Im vorliegenden Fall n=19,
A=11113, B=1 tritt noch keine Umschaltung ein) Allgemeiner erhält man maximale Periodenlänge, wenn
ggT(B;M)=1 und A-1 ein Vielfaches jedes Primfaktors von M und - falls
M ein Vielfaches von 4 auch A-1 ein Vielfaches von 4 ist. Literatur http://www.eduvinet.de/gebhardt/stochastik/zufallsg.html
Wo geht Zufall verloren ? Wasser gefriert zu Eiskristallen , Salz kristallisiert aus Eine gleichmäßige Verteilung wird ungleichmäßig
Viele zufällige Mikrozustände werden zu einem
gleichmäßigen Makrozustand ( zb interstellarer Staub verdichtet sich zu einem Stern Viele Wasserteilchen werden zu einer Wolke ) Bei einem Mikadospiel wird aus dem zufälligen Haufen an
Mikadostäben im Laufe des Spiels ein geordneter Haufen vor jedem
Spieler. Aus dem ungeordneten Kartenfolgen bei Solitaire oder Gaps werden
im Lauf des Spiels wieder geordnete Folgen. Ein Zimmer wird aufgeräumt. Zufallsvermehrung Mischen von Spielkarten die vorher geordnet waren Erwärmen und Schmelzen von Kristallen Erwärmen und Verdampfen von Flüssigkeiten Was kann man mit Zufall alles machen ? Ganz egal ob man an den echten Zufall glaubt oder nicht, im
praktischen Alltag ist der Zufall längst nicht mehr wegzudenken,
denn man kann einige schöne ( und unschöne ) Dinge damit
Gerechtigkeit produzieren
zB Knappe Studienplätze vergeben. Organempfänger
Spiele spannend machen
In den meisten Spielen ist ein Zufallsfaktor eingebaut. zb Lotto ,
Klassenlotterie etc Kartenspiele
Randomisierte Versuche zum Wirksamkeitsnachweis durchführen.
Die Wirksamkeit von Medikamenten nachweisen.
Unter dem Begriff Randomisation versteht man die zufallsmässige
Aufteilung einer größeren Anzahl von Versuchspersonen oder
Versuchstieren in 2 oder mehrere Gruppen. Umgangssprachlich kann man
den Begriff Randomisation auch mit Auslosen übersetzen.
Durch eine Randomisation kann man nicht gewollte, systematische
Einflüsse auf Versuchsergebnisse verkleinern. Man braucht die
Randomisation bei der Durchführung von statistischen
Die Wirksamkeit von medizinischen Maßnahmen wird oft mittels
Randomisation in eine Gruppe von behandelten und in eine Gruppe von
nichtbehandelten Versuchspersonen überprüft.
Manche bringen ethische Bedenken bei der Forderung nach einer
Randomisation vor. Diese sind aber meist nicht zutreffend, da die
Randomisation die statistische Aussagekraft erhöht und damit
gewährleistet, dass möglichst wenige Personen mit der
unwirksamen Alternative behandelt werden.
Echte Zufallszahlen sind wichtig für die Kryptographie z.B.
für die Erzeugung von geheimen Schlüsseln sowie in der
Simulation zufälliger Prozesse!
Echte Unterschiede in 2 sonst gut vergleichbaren Gruppen
herausarbeiten. Die Echtheit von Meßdaten überprüfen.
Ausprobieren von zufälligen Möglichkeiten beim
Problemlösen und behalten von brauchbaren Möglichkeiten.
Zufall und Geld
Geld verdienen kann der Staat mit Lotto , Toto , Klassenlotterie ,
Spielcasinos Geld gewinnen kann der einzelne Mitspieler, wenn er viel
Unregelmäßige Flächen berechnen
http://www.informatik.hu-berlin.de/Institut/struktur/algorithmen/lehre/lvws0102/rand_alg.shtml
Die Grundidee beim Entwurf randomisierter Algorithmen besteht
darin, dass man durch Einsatz von Zufall oft auf elegante Art die
Strategie eines bösartigen Gegenspielers vereiteln kann. In der
Vorlesung wird dieses Prinzip unter anderem auf Graphenalgorithmen,
Online-Algorithmen (wo Entscheidungen auf der Basis von
unvollständigen Informationen gefällt werden müssen)
und Monte-Carlo Verfahren angewandt. Empfohlene Literatur R. Motwani und P. Raghavan:
Randomized Algorithms S. Krumke und O. Rambau:
Online-Algorithmen Niedermeier: Randomisierte
Algorithmen Häggström: Markovketten B. Hayes: Modellierung des World Wide Web durch zufällige
Graphen Geld erwirtschaften mit Lotto , Toto , Klassenlotterie
, Spielcasinos E http://www.westlotto.de/
Geld gewinnen , wenn man viel Glück hat als Lottospieler etc und noch vieles mehr Was soll man unter einer Folge von Zufallszahlen verstehen?
Der österreichische Mathematiker Richard von Mises
versuchte es in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts mit
fehlender Vorhersehbarkeit: Eine 0-1-Sequenz sollte als zufällig
gelten, wenn es keine Regel gibt, die an irgendeiner Stelle das
nächste Glied aus den vorhergehenden mit einer
Wahrscheinlichkeit größer als 50 Prozent prognostiziert.
Für den Münzwurf bedeutet das: Systeme, die dem Spieler
einen Vorteil versprechen, existieren nicht. Erst in den sechziger Jahren fanden der Russe Andrej
Nikolajewitsch Kolmogorow und der Amerikaner Gregory Chaitin
unabhängig voneinander mit einer speziellen Komplexitätstheorie
einen Ausweg: Eine Zahlenfolge ist ihrer Meinung nach zufällig,
wenn sie sich nicht mit einer kürzeren Zeichensequenz
beschreiben lässt. Die Folge 11111 ... etwa kann man knapp
ausdrücken mithilfe des mit Nullen und Einsen geschriebenen
Computerbefehls für "Schreibe lauter Einsen!",
01010101 ... mit einem entsprechenden "wiederhole 01!". Bei
Zufallsfolgen darf es keine solche Umschreibung in Kurzform geben. Chaitin , ein bekannter Zufallsforscher, gab in einem Aufsatz
folgende Eins-Null Sequenz an A = 01010101010101010101 als
Beispiel für eine nichtzufällige Folge B = 01101100110111100010 als Beispiel für eine
Zufallsfolge Lit chaitin G.J. 1975 scientific American 232 S 47 -52 Eine echte Zufallsfolge von 0 und 1 ist kaum oder nicht
komprimierbar. Zufallsvariable
Als Zufallsvariable bezeichnet man in der mathematischen
Wahrscheinlichkeitstheorie das numerische Ergebnis eines
nicht-deterministischen (zufälligen) Prozesses oder
Experimentes. Beispielsweise liefert der Wurf eines Würfels eine
Zufallsvariable aus der Menge der Zahlen {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Die Häufigkeiten der unterschiedlichen Werte einer
Zufallsvariable lassen sich mit einer Verteilungsfunktion
angeben. Wählt man beispielsweise das Alter einer zufälligen
Person als Zufallsvariable, so ist nicht zu erwarten, dass alle
Altersangaben gleich häufig vorkommen. Je nachdem, ob eine Zufallsvariable aus diskreten
Einzelereignissen (Beispiel Würfel) oder aus einer
kontinuierlichen Menge von reellen Werten ermittelt wird (Beispiel
beliebig genau messbare Weite eines Wurfes), lassen sich diskrete
und kontinuierliche Zufallsvariablen unterscheiden. Zufallsmathematik Es ist erstaunlich , daß es in der realen Welt sehr einfache
Zufallsprozeß gibt. Man muß etwas mühsam
können. Der Zufall ist also ein Beispiel dafür , das Platon nicht
immer recht haben muß. Manchmal kann die Realität
treffender sein als die schwer und kompliziert verstehbare
Idealvorstellung einer Sache. Vielleicht kann man aus der Not eine Tugend machen und einfach
einen binären idealen Zufallsgenerator ( wie es eine Münze
darstellt ) , als Basisobjekt einer Zufallsmathematik heranziehen. Einen einfacheren Zufall als das elementare Zufallsereignis mit 2
Alternativen gibt es nicht. Dabei endet man natürlich zu einem großen Teil bei
schon bekannten Gesetzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung , aber
vielleicht kommen bei so einem Vorgang auch ein paar neue Dinge
heraus , die über die üblichen Erkenntnisse der
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik hinausgehen. Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung wird die Wahrscheinlichkeit in
Form von Brüchen angegeben. Die Wahrscheinlichkeit als
numerischer Wert kann nur zwischen 0 und 1 liegen. Je
unwahrscheinlicher ein Ereignis ist , desto näher liegt seine
Wahrscheinlichkeit bei 0. Ein sicheres Ereignis hat die
Wahrscheinlichkeit 1. Ziel der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist es
zufällige Ereignisse oder Vorgänge berechnen und damit
vielleicht auch besser erklären zu können. Ein erstes simples Ziel ist es beliebige 0 und 1 Folgen aus
Zufallsprozeßen zu formalisieren und mathematisch mit ihnen
umzugehen. Die Frage ist, ob es ausreicht, einen einzigen Zufallsmechanismus
heranzuziehen und daraus alle anderen Zufallsmechanismen abzuleiten. ( Wie kann man aus der Wiederholung der Münze zb einen Würfel
ableiten ?) Mögliche Definitionen: 1.Gegeben Zufallszahl 1 = zz , entspricht einer Münze Erhält man beim Münzwurf
die Zahl , so kann man zz = 0 setzen . Erhält man beim Münzwurf das Wappen , so kann man
zz = 1 setzen. 2.Diese Zufallszahl zz kann beliebig wiederholt werden , ihre
Länge soll definiert werden: zz(3) = Achterwürfel =
Zufallsbinärzahl mit 3 Stellen ( zb Ergebnisraum = 000,001,010,100,011,110,101,111) 3.Aus dem Ergebnisraum müssen vorher festgelegte Lösungen
streichbar sein . Werden Sie zufällig getroffen wird zz
wiederholt zz(3; -111,-000) heißt dann 3 mal Münze , falls
Ergebnis 111 oder 000 wiederhole zz bis Ergebnis ungleich 111 oder 000. So kann man dann aus einem Achterwürfel durch Streichen der
Möglichkeiten 111 und 000 und Wiederholung des Zufallsvorganges
bei solchen verbotenen Lösungen einen Sechserwürfel
konstruieren , ohne denn Zufallscharakter des Vorganges echt zu
verletzen. 4. Abgeschwächter Zufall oder windschiefer Zufall: Was passiert wenn man auf einem Würfel 5 Seiten mit 0
beschreibt und eine Seite mit 1 ? Man erhält eine Zufallsfolge .
Diese zeigt aber natürlich 5mal sooft eine 0 als eine 1. Die
Paare 00 , 01 , 10 sind viel häufiger als das Paar 11. Wie kann
man so einen schiefen Würfel mit den Z Zahlen beschreiben ? Kann man das leicht programmieren ? zz(3 ; zn1 = 000 = 0 , zn2 = Rest = 1) Man definiert also eine Funktion mit neuen Zufallszahlen zn und
gibt explizit die Vorschrift an , mit der sie aus zz erzeugt werden. zn = f(zz(3; wobei zn = 0 if zz(3) = 000 ; zn = 1 if zz(3)
ungleich 000)) Etwas umständlich aber die Möglichkeiten werden dadurch
natürlich größer. Die Stochastik ist die Teildisziplin der Mathematik, die sich mit
dem Zufall beschäftigt. Erstaunlicherweise taucht der Begriff
Zufall in den meisten Büchern der Stochastik nur relativ
spärlich auf. Meist wird die Stochastik auf den Basisbegriffen
Wahrscheinlichkeit, Häufigkeit und Erwartungswert aufgebaut.
Vergleiche beispielsweise :
http://de.wikipedia.org/wiki/Stochastik
Der Begriff Zufall kommt dann meistens etwas später als
Zufallsexperiment oder Zufallsvariable in die Diskussion. Eine
grundlegende Klärung, was den Zufall eigentlich ist und wie man
ihn messen kann erfolgt selten ( zumindest nicht in den
Stochastikschulbüchern ). Auch die Verbindung zwischen so
zentralen Begriffen wie Zufall, Entropie, Ordnung und Information
wird selten hergestellt.
Man muß 3 Begriffe trennen:
Zahl der Möglichkeiten ( Ereignisraum eines
Zufallsexperimentes)
Gesamtzufallsmenge = Entropie in der Mathematik
Für den idealen einmaligen Münzwurf gilt dann
Zahl der Möglichkeiten : 2
Gesamtzufallsmenge = Log2(2) = 1 bit
Wiederholt man den Münzwurf 2 mal , dann gilt:
Zahl der Möglichkeiten : 4
Gesamtzufallsmenge = Log2(4) = 2 bit
Zufall quantitativ
In der formalen Welt der Mathematik lassen sich abstrakte
Strukturen definieren, die aus der menschlichen Vorstellung
beziehungsweise Erwartung von Zufall motiviert sind. Glücksspiele
motivierten die ersten mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorien und
werden auch heute noch oft zu ihrer Illustration eingesetzt.
Die folgenden Begriffe sind zentral zur formalen Beschreibung des
Zufalls:
(Zufalls)experiment: Die durchgeführten und/oder beobachteten
Vorgänge (beispielsweise zweimaliges Werfen eines Würfels).
Ergebnis oder Elementar-Ereignis: Beobachtung (beispielsweise
erster Wurf '3', zweiter Wurf '5'). Ereignis: Aus Elementarereignissen zusammengesetze Menge (das
Ereignis "gerade Zahl gewürfelt" ist aus den
Elementarereignissen "2,4 oder 6 gewürfelt"
zusammengesetzt). Wahrscheinlichkeit: Jedem Elementarereignis wird ein Zahlenwert
zwischen 0 (tritt nie ein) und 1 (tritt immer ein) zugeordnet
(beispielsweise Gleichverteilung: Die Wahrscheinlichkeit für
jede Zahl auf dem Würfel ist gleichgroß, nämlich
1/6). Bei einem Kontinuum möglicher Ergebnisse spricht man von
einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Offensichtlich sind nur solche Zufallsexperimente interessant, die
mehr als ein mögliches Ergebnis haben.
Die Statistik versucht, zu einem gegebenen Zufallsexperiment die
zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsverteilung zu ermitteln.
In der Wahrscheinlichkeitstheorie bezeichnet ein Zufallsexperiment
eine Serie von gleichwertigen und voneinander unabhängigen
Versuchen. Als Versuch versteht man hier einen Vorgang, der ein nicht
vorhersagbares, erfassbares Ergebnis zur Folge hat, zum Beispiel das
Werfen einer Münze oder eines Spielwürfels.
Obwohl das Ergebnis jedes einzelnen Versuchs zufällig ist,
lassen sich bei hinreichend häufiger Wiederholung
Gesetzmäßigkeiten erkennen. Die interessierenden Größen
eines Zufallsexperimentes nennt man Zufallsvariablen.
Beispiel eines Zufallsexperimentes
Die Stufen eines Zufallsexperiments sind
Vor dem Experiment: Mindestens 2 Ergebnisse sind möglich, es
ist aber noch nichts entschieden.
Aus den mindestens 2 möglichen Ergebnissen wurde eines
Das einfachste Zufallsexperiment hat zwei mögliche
Ergebnisse, die die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.
Man kann mit einer Münze diese Art von Zufallsexperiment
durchführen und selber Zufallszahlen erzeugen. Dabei ordnet man
der einen Seite der Münze die Zahl 0, der anderen die Zahl 1 zu.
Durch Notieren vieler Wurfergebnisse erhält man eine Folge von 0
und 1. Eine solche Folge ist das Ergebnis eines sehr einfachen
Zufallsprozesses.
Die so erhaltenen Zufallsfolgen von 0 und 1 sind leicht
statistisch untersuchbar. Dabei kann man Eigenschaften dieser
Zufallsfolgen feststellen, die bei nicht-zufälligen Folgen (also
Folgen, die deterministisch nach irgendeinem Gesetz ermittelt werden)
nicht auftreten. Auf diese Weise kann man Zahlenfolgen auf echte
Zufälligkeit prüfen.
Auffällige statistische Abweichungen von reinen Zufallsfolgen
können zum Beispiel verwendet werden, um wissenschaftliche
Fälschungen zu enttarnen, da Messungen stets auch einen
zufälligen Messfehler beinhalten, während erfundene
Zufallsfehler oft gerade durch den Versuch, sie möglichst
zufällig erscheinen zu lassen, deutliche Abweichungen vom
Zufallsergebnis enthalten.
Je länger eine Zahlenfolge ist, desto klarer kann
unterschieden werden, ob es sich um eine zufällige oder nicht
zufällige Folge handelt. Theoretisch kann auch ein
Zufallsexperiment eine Folge von hundert Nullen hintereinander
liefern, nur ist das so unwahrscheinlich, dass man in diesem Fall mit
gutem Recht von einer Regelmäßigkeit ausgehen darf. Auf
der anderen Seite gibt es deterministische Algorithmen, deren
Ergebnisse sehr ähnlich denen eines Zufallsexperiments sind, so
genannte Pseudozufallsgeneratoren. Bei guten Pseudozufallsgeneratoren
braucht man eine sehr lange Zahlenreihe, um den Unterschied zum
echten Zufall erkennen zu können. In der Informatik werden
gelegentlich Zufallszahlen benötigt. Der Versuch, sie mit dem
Computer zu berechnen, ist ein Widerspruch in sich.
Eine Folge, die die Realität abbildet, ist nicht immer rein
deterministisch oder rein zufällig, sondern es liegt häufig
eine Mischung aus beidem vor. Ein einfaches Beispiel wäre, wenn
man beispielsweise stets eine Ziffer per Münzwurf bestimmt, die
nächste als den Unterschied zwischen den beiden vorhergehenden
Ziffern, dann wieder Münzwurf, und so fort. Durch Untersuchung
solcher Folgen bekommt man ein recht gutes Verständnis für
den Zufall und die Mischung von Zufälligem und Nichtzufälligem,
wie es ja oft in der Realität anzutreffen ist.
Ein elementares Zufallsereignis beruht auf Gleichheit und
Die zwei möglichen Varianten müssen gleich sein (das
heißt gleichwahrscheinlich).
Trotzdem müssen sie irgendwie ungleich, nämlich
(Münze: beide Seiten müssen mit derselben
Wahrscheinlichkeit auftreten können, trotzdem müssen beide
Seiten verschieden geprägt (beziehungsweise gefärbt etc.)
sein, sonst könnte man sie nicht unterscheiden.)
Siehe auch Abbildungen unter http://www.madeasy.de/2/zufall.htm#5
Zufallsvariable, Zufallsgröße
Als Zufallsvariable oder Zufallsgröße bezeichnet man
eine mathematische Variable, die je nach dem Ergebnis einer als
zufällig aufgefassten Prozedur verschiedene Werte annehmen kann.
Die Prozedur kann eine Auslosung sein, die Berechnung einer
Pseudozufallszahl oder die Messung einer statistisch verteilten
und/oder mit Messfehler behafteten Größe.
Beispielsweise ist die Augenzahl eines Würfels eine
Zufallsvariable, die die Werte 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 annehmen kann.
Wenn die Menge der möglichen Werte einer Zufallsvariablen
endlich (wie beim Würfel) oder abzählbar unendlich ist,
nennt man die Zufallsvariable diskret. Wenn die Wertemenge
überabzählbar ist, typischerweise also aus reellen Zahlen
besteht (wie bei der idealisierten Messung einer physikalischen
Größe), heißt die Zufallsvariable stetig
(kontinuierlich).
Die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Werte einer diskreten
Zufallsvariable bilden eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die
Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit zwei Würfeln die
Gesamtaugenzahl Z zu erreichen, folgt zum Beispiel der
Wahrscheinlichkeitsverteilung P(Z)=(6-|7-Z|)/36.
Den möglichen Wert einer kontinuierlichen Zufallsvariablen
kann man dagegen keine endliche Wahrscheinlichkeit zuordnen; man muss
hier mit Wahrscheinlichkeitsdichten und/oder kumulativen
Wahrscheinlichkeitsverteilungen arbeiten.
In einer abstrakteren Formulierung der Wahrscheinlichkeitstheorie
bezeichnet man als Zufallsvariable eine messbare Funktion von einem
Wahrscheinlichkeitsraum in einen Maßraum. Normalerweise wählt
man als Bildraum die Menge der |reellen Zahlen, ausgestattet mit der
Borelschen σ-Algebra.
In der Statistik bezeichnet man mit Zufallszahl den Wert einer
Zufallsvariable bei einem Zufallsexperiment. Das Ergebnis des
Experiments ist von früheren Ergebnissen unabhängig.
Zufallszahlen werden bei verschiedenen Methoden der Statistik
benötigt, z.B. bei der Auswahl einer repräsentativen
Stichprobe aus einer Grundgesamtheit, bei der Verteilung von
Versuchstieren auf verschiedene Versuchsgruppen (Randomisierung), bei
der Monte-Carlo-Simulation u.a.
Zur Erzeugung von Zufallszahlen gibt es verschiedene Verfahren.
Echte Zufallszahlen werden mit Hilfe physikalischer Phänomene
erzeugt: Münzwurf, Würfel, Roulette, Rauschen (Physik)
elektronischer Bauelemente, radioaktive Zerfallsprozesse. Diese
Verfahren sind jedoch recht zeitaufwändig. In der realen
Anwendung genügt meist eine Folge von Pseudozufallszahlen, d.h.
scheinbar zufällige Zahlen, die nach einem festen,
reproduzierbaren Verfahren erzeugt werden. Sie sind also nicht
wirklich zufällig, haben aber ähnliche statistische
Eigenschaften (gleichmäßige Häufigkeitsverteilung,
geringe Korrelation) wie echte Zufallszahlenfolgen.
http://de.wikipedia.org/wiki/Verteilung_von_Zufallszahlen
Als Pseudozufallszahlen bezeichnet man Zahlenfolgen, die durch
einen deterministischen Algorithmus (Pseudozufallszahlengenerator)
berechnet werden (und somit nicht zufällig sind), aber (für
hinreichend kurze Sequenzen) zufällig aussehen. Bei jedem Start
der Zufallszahlenberechnung mit gleichem Startwert wird die gleiche
Zahlenfolge erzeugt (weswegen diese Zahlen weit davon entfernt sind,
wirklich zufällig zu sein). Pseudozufallszahlen erzeugt man mit
Pseudozufallszahlengeneratoren.
Die Zufälligkeit wird durch statistische Eigenschaften der
Zahlenfolge bestimmt, wie Gleichwahrscheinlichkeit der einzelnen
Zahlen und statistische Unabhängigkeit verschiedener Zahlen der
Folge. Wie gut diese statistischen Forderungen erfüllt sind,
bestimmt die Güte eines Pseudozufallszahlengenerators.
Eine Folge von Pseudozufallszahlen wird mittels deterministischer
Algorithmen ausgehend von einem echt zufällig gewählten
Startwert berechnet. Ein solcher Startwert kann z.B. die Systemzeit
des Computers in Millisekunden im Moment des letzten Einschaltens
sein. Diese Folge besitzt die Eigenschaft, dass es schwer ist, anhand
einiger Zahlen die nächsten Zahlen der Folge vorherzusagen. Eine
Folge von Pseudozufallszahlen "sieht zufällig aus".
Eigenschaften von Pseudozufallszahlalgorithmen
Einige Zufallszahlenalgorithmen sind periodisch. Auch wenn es
meist besser wäre nicht-periodische Algorithmen zu verwenden,
sind die periodischen oft deutlich schneller. Durch geschickte Wahl
der Parameter kann man die Periode beliebig groß machen,
weshalb sie in der Praxis den nicht-periodischen oft deutlich
überlegen sind. Einige Pseudozufallszahlengeneratoren sind auch
nur endlich, d.h. man kann mit ihnen nicht beliebig viele Zahlen
erzeugen (von daher sind sie in gewissem Sinne verwandt mit den
periodischen).
Drei Beispiele für Pseudozufallszahlengeneratoren
endlicher Generator
Um eine Folge von N Zahlen zwischen 0 und
m zu erzeugen, wähle man ein k größer als m2, ein p
größer als (k + N)2 und nicht durch kleine Primzahlen
teilbar (wobei klein hier bedeutet: kleiner als m).
an = ( p mod (k + n) ) mod m 2.periodischer Generator
Man nehme Startzahlen a0, p, b und m,
wobei m die größte dieser Zahlen ist.
an = (An-1p + b) mod m Ein weiteres Beispiel stellt der Mersenne
Twister dar.
3.nicht-periodischer/unendlicher Generator
Man nehme die Nachkommastellen einer
Wurzel einer ganzen Zahl als Zufallszahlen
Verwendung von Pseudozufallszahlen
Pseudozufallszahlen werden u.a. in der Rechnersimulation
angewandt, bei der statistische Prozesse mit Hilfe von Software
simuliert werden. Pseudozufallszahlen können auch bei der
Fehlersuche in Computerprogrammen nützlich sein. Andererseits
macht diese Eigenschaft Pseudozufallszahlen für bestimmte
Anwendungen unbrauchbar (so muss man beispielsweise in der
Kryptographie aufpassen, dass man Pseudozufahlszahlen nicht an den
falschen Stellen verwendet). Anwendung finden Pseudozufallszahlen
auch in Rauschgeneratoren.
Ein weiterer Vorteil der Pseudozufallszahlen ist, dass sie auf
jedem Rechner ohne Rückgriff auf externe Daten erzeugt werden
können (was sie für bestimmte Bereiche der Kryptographie
trotz oben genannter Nachteile wieder interessant macht). Zur
Erzeugung echter Zufallszahlen braucht man entweder einen echten
Zufallsgenerator (z.B. durch Digitalisieren von Rauschen oder durch
Ausnutzen von Quanteneffekten) oder zumindest eine Quelle
quasizufälliger (normalerweise nicht vorhersagbarer) Ereignisse
wie Zeiten von Benutzereingaben oder Netzwerkaktivität.
http://www.educeth.ch/informatik/werkstatt/multiplik/zufgen/
Interessante Folgerungen 1.Streichen beim Zufallselementarprozeß : zz(1;-1) liefert sicher die 0 zz(1;- 0) liefert sicher die 1 2.Mischen von Zufallszahlen mit festen Zahlen Wenn man Zufallszahlen kombinierbar macht mit festen anderen
Zahlen , kann man gemischte Zahlen teils zufällig , teils nicht
zufällig erhalten Beispiel: for x = 1 to 10 if x = ungerade then e = zz(1) if x = gerade then e = zz(1;-1) e gesamt = e gesamt + e
next x print e Das Beispiel in Visual Basic Dies liefert eine zehnstellige Binärzahl die halb zufällig
, zur anderen Hälfte aus 0 besteht. Z0Z0Z0Z0Z0 3.Testen von Würfelbinärzahlen auf ihre 0,1 Verteilung Bleibt ein 6er Würfel binärzufällig ? Man reiht das Ergebnis von zz(3; -111,-000) beliebig lang
hintereinander und testet dann auf binären Zufall . Interessante Zufallsdatei Erste Ziffer : 01 Zufall 2.Ziffer : Gegenteil der ersten Ziffer ( oder dasselbe wie
die erste Ziffer ) zb Chaitinszufallsfolge 01101100110111100010 daraus wird dann Chaitin + Gegenteil 0110100110100101101001101010100101011001 oder Chaitin doppelt 0011110011110000111100111111110000001100 Der Zufallsgehalt wird geringer ! Obwohl auf den ersten Blick ohne Kenntnis der Entstehung
vielleicht sogar mehr Zufall zu erwarten ist, kann man nach einer
Zufallstestung erkennen ( zb an der ungleichen Paarverteilung ) , daß
der Zufall weniger geworden ist. wie ist die 01 Verteilung , wie
ist die Länge der 0 und 1 Sequenzen ? wie ist die Komprimierbarkeit ? Siehe Visual Basic Programm prg01st.htm
2*Chaitin 0110110011011110001001101100110111100010
Nur an der zu geringen Zahl an 00000 oder 11111 Sequenzen kann man
erkennen , daß hier nicht völliger Zufall im Spiel ist. Zufall testen Also der Zufall auch, der scheinbar zügelbefreite, treu und
gehorsam stets feste Gesetze befolgt! [Boethius: Die Tröstungen der Philosophie, S. 181. Digitale
Bibliothek Band 2: Philosophie, S. 8474 (vgl. Boethius-Trost, S.
134)] Zufall testen zb auf statistische 0,1
Verteilung testen ( Münze überprüfen ) Ist eine 01 Datei komprimierbar
? Eine zufällige 01 Datei ist kaum komprimierbar auf Normalverteilung testen Würfel überprüfen Roulette überprüfen Siehe Visual Basic Programm prg01st.htm
Screenshot aus diesem Programm: Literatur: P. Martin-Lof, The definition of random sequences, Inform.
Contr., 9(1966), 602-619. P. Martin-Lof, Complexity oscillations in infinite binary
sequences, Zeitschrift fur Wahrscheinlichkeitstheory und Verwandte
Gebiete 19 (1971), pp. 225--230. http://www.mathematik.ch/anwendungenmath/wkeit/hypotest/hypotest.php
Überprüfen eines Münzwurfes Gesetz der großen Zahl Das Gesetz der großen Zahlen besagt, daß sich die
relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses immer weiter an
einen Mittelwert der Wahrscheinlichkeit für dieses Ergebnis
annähert, je häufiger das Zufallsexperiment durchgeführt
Beispiel: wiederholter Münzwurf
Anzahl der Würfe davon Kopf
Verhältnis absoluter Abstand
relativer Abstand theoretisch beobachtet theoretisch beobachtet
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze beim Werfen Kopf
zeigt, beträgt 0,5. Je häufiger die Münze geworfen
wird, desto näher wird der Anteil der Würfe, bei denen Kopf
erscheint, beim theoretischen Wert 0,5 liegen. Trotzdem kann der
absolute Abstand zwischen dem theoretischen und dem tatsächlich
beobachteten Ergebnis immer weiter anwachsen. Man kann also aus dem
Gesetz der großen Zahlen nicht die Schlussfolgerung ziehen,
wenn ein Ereignis bislang nicht so häufig eintrat wie erwartet,
muss es diesen Rückstand ausgleichen und folglich in Zukunft
häufiger vorkommen. Der Zufall hat hier kein Gedächtnis ! ==Zufallsfolge - Zufallssequenz==
Eine Zufallssequenz oder Zufallsfolge entsteht durch die
wiederholte Anwendung eines statistischen Experiments. Eine
Zufallssequenz ist im Allgemeinen eine Abfolge von Realisationen
einer Zufallsvariablen. Der Begriff wird meistens im Sinne einer
Abfolge von zufällig aus einem bestimmten Alphabet oder
Zahlenvorrat ausgewählten Zeichen gebraucht. Die einfachste Zufallssequenz gewinnt man durch einen wiederholten
Münzwurf, wenn man einer Seite der Münze die 0 und der
anderen die 1 zuordnet. Man kann andere Zufallssequenzen so in eine
einfache 0-1-Sequenz umcodieren (dichotomisieren), ohne dass der
Zufallscharakter verloren geht. Beispiel:
1011011010101001110010110011100000011110010100001111010100010011011110110000100010
1010001110111001010111011111110000010011010000110111011110101011000001000111011000
1000000100111110000011111010010001101111001010100000101101000011000110100011001111
0111110001101110010011000000111110010000001100001000000110101010000011000101100001
1100111100100001101111111100100101010011111001000100100001001001000010001010011100
1111011000001010011111110010111110111011000111011010110000011101100111101011001110
Diese Folge wurde durch wiederholten Münzwurf gewonnen.
Auffällig ist, wie oft längere zusammenhängende
Sequenzen von 0 oder 1 zu finden sind. Zufallsfolge – Zufallssequenz
Eine Zufallssequenz ist durch eine verschwindende serielle
Korrelation oder auch Autokorrelation gekennzeichnet, d.h. der
Korrelationskoeffizient zwischen aufeinander folgenden Werten in der
Sequenz ist nicht signifikant von Null verschieden. Viele natürlich vorkommenden zeit- bzw. ortsdiskreten Signale
(z.B. DNA, siehe auch DNA-Sequenzanalyse) werden statistisch
analysiert, indem man zunächst die Nullhypothese eines zugrunde
liegenden Zufallsprozesses postuliert. Kann man diese Hypothese
widerlegen, liegen also Korrelationen in der Sequenz vor, weisen
diese unter Umständen auf in der Sequenz verborgene
Nutzinformation hin. Speziell bei dichtomen Folgen kann man die
Sequenzen mit Hilfe des Run-Tests auf Zufälligkeit überprüfen,
wobei mit "Run" eine Folge gleicher Ausprägungen in
der Sequenz bezeichnet wird. Der Test führt zur Ablehnung, wenn
zu wenig, aber auch zu viel Runs in einer Sequenz sind.
Run-Test auf Zufälligkeit einer Sequenz
Der '''Run'''- oder '''Runs-Test''' (auch '''[[Abraham
Wald|Wald]]-[[Jacob Wolfowitz|Wolfowitz]]-Test''' oder
'''Iterationstest''') ist ein [[nichtparametrischer Test]] auf
Zufälligkeit einer Folge. Konzeptionell wird von einer
dichotomen Grundgesamtheit, also einem Urnenmodell mit zwei Sorten
Kugeln, ausgegangen. Es sind n viele Kugeln entnommen worden. Es soll
die Hypothese geprüft werden, dass die Entnahme zufällig
erfogt ist. Vorgehensweise
Es wurden einer dichotomen Grundgesamtheit n Kugeln entnommen. Die
Ergebnisse liegen in ihrer chronologischen Abfolge vor. Es werden nun
alle benachbarten Ergebnisse gleicher Ausprägung zu einem Lauf
oder Run zusammengefasst. Wenn die Folge tatsächlich zufällig
ist, sollten nicht zu wenig Runs vorliegen, aber auch nicht zu viele.
Es wird die Hypothese aufgestellt: '''Die Entnahme erfolgte
zufällig'''. Für die Festlegung der Zahl der Runs, bei der die Hypothese
abgelehnt wird, wird die Verteilung der Runs benötigt: Es seien
n<sub>1</sub> die Zahl der Kugeln erster Sorte und
n<sub>2</sub> = n - n<sub>1</sub> der zweiten
Sorte; es sei r die Zahl der Runs. Nach dem Symmetrieprinzip ist die
Wahrscheinlichkeit für jede beliebige Folge der Kugeln bei
zufälliger Entnahme gleich groß. Es gibt insgesamt <math>\frac{(n_1 + n_2)!}{n_1 \cdot n_2}</math>
Bezüglich der Verteilung der Zahl der Runs unterscheidet man
1. Die Zahl der Runs r ist geradzahlig: :Es liegen <math>q= \frac {r}{2}</math> Runs der
Kugeln der ersten Sorte und <math>q= \frac {r}{2}</math>
Runs der Kugeln der zweiten Sorte vor. Die Wahrscheinlichkeit, dass
genau r Runs eingetreten sind, ist dann
::<math> P(R=2q) = \frac { 2 {{n_1-1} \choose {q-1}}
{{n_2-1} \choose {q-1}}} {{{n_1+n_2} \choose n_1}} </math>
2. Die Zahl der Runs r ist ungeradzahlig: :Es liegen <math> q = \frac {r+1}{2}</math> Runs der
Kugeln der ersten Sorte und <math> q = \frac {r-1}{2}</math>
Runs der Kugeln der zweiten Sorte vor oder der umgekehrte Fall. Die
Wahrscheinlichkeit, dass genau r Runs eingetreten sind, berechnet
sich dann als Summe aus diesen beiden Möglichkeiten
::<math> P(R=2q+1)= \frac { {n_1-1 \choose q} {n_2-1 \choose
q-1 } + {n_1-1 \choose q-1} {n_2-1 \choose q }} {{n_1+n_2 \choose
n_1}} </math>
Ist r zu klein oder zu groß, führt das zur Ablehnung
der Nullhypothese. Bei einem Signifikanzniveau von alpha wird
H<sub>0</sub> abgelehnt, wenn für die Prüfgröße
r gilt:
<math>r \le r(\frac {\alpha}{2})</math> oder <math>r
\ge r(1 - \frac {\alpha}{2})</math> mit r(p)als [[Quantil]] der Verteilung von R an der Stelle p,
wobei hier das Prinzip des konservativen Testens angewendet wird. Da
die Berechnung der kritischen Werte von r für die Ablehnung der
Hypothese umständlich ist, bedient man sich häufig einer
Für eine Podiumsdiskussion mit zwei politischen Parteien
wurde die Reihenfolge der Sprecher angeblich zufällig ermittelt.
Es waren von der Partei Supi 4 Vertreter anwesend und von der Partei
Toll 5 Vertreter. Die Reihenfolge der Sprecher war folgendermaßen
S S T S T T T S T
Ein Vertreter von Toll beschwerte sich, dass S vorgezogen würde.
Es wurde ein Runtest vorgenommen:
Es ist n<sub>1</sub> = 4 und n<sub>2</sub>
= 5. Man erhielt r = 6 Runs.
Nach der Tabelle des Runstests wird H<sub>0</sub>
abgelehnt, wenn r ≤ 2 oder r ≥ 9 ist. Also liegt die
Prüfgröße r = 6 im Nichtablehnungsbereich; man kann
davon ausgehen, dass die Reihenfolge der Sprecher zufällig ist.
== Ergänzungen ===
==== Parameter der Verteilung von R ====
ER = \frac{2 n_1 n_2}{n} + 1
und die Varianz :<math>
varR = \frac{2 n_1 n_2 (2 n_1 n_2 - n)}{n^2(n_1 + n_2 - 1)}
==== Grundgesamtheit mit mehr als zwei Ausprägungen des
Merkmals ====
Liegt eine Folge reeller Zahlen xi eines metrischen Merkmals vor,
wird die Folge dichotomisiert: Man bestimmt den Median z der
Stichprobe. Werte x < z werden als Kugeln 1. Sorte, Werte x > z
als Kugeln 2. Sorte interpretiert. Diese dichotome Folge kann dann
wieder auf Zufälligkeit getestet werden.
Liegt eine nichtnumerische Symbolsequenz mit mehr als zwei
Ausprägungen vor, muss zunächst eine numerische Reihe
erzeugt werden, wobei hier das Problem bestehen kann, dass die
Symbole nicht geordnet werden können.
==== Normalapproximation ====
Für [[Stichprobe]]numfänge n<sub>1</sub>,n<sub>2</sub>
> 20 ist die Zahl der Runs R annähernd
[[Normalverteilung|normalverteilt]] mit [[Erwartungswert]] und
Varianz wie oben. Man erhält die standardisierte Prüfgröße
:<math>z = \frac{r - (\frac{2 n_1 n_2}{n} + 1
)}{\sqrt{\frac{2 n_1 n_2 (2 n_1 n_2 - n)}{n^2(n_1 + n_2 -
1)}}}</math>
Die Hypothese wird abgelehnt, wenn :<math>z < -z(1 - \frac {\alpha}{2})</math> oder
<math>z > z(1 - \frac {\alpha}{2})</math> mit <math>z(1 - \frac {\alpha}{2})</math> als Quantil
der Standardnormalverteilung für die Wahrscheinlichkeit <math>1
- \frac {\alpha}{2}</math> .
Der Runtest kann angewendet werden, um [[Stationarität]] bzw.
Nicht-[[Korrelation]] in einer [[Zeitreihe]] oder anderen [[Folge
(Mathematik)|Sequenz]] zu überprüfen, vor allem wenn die
Verteilung des Merkmals unbekannt ist. Die [[Nullhypothese]] ist
hier, dass aufeinanderfolgende Werte unkorreliert sind. Der Run-Test ist nicht so mächtig wie der [[Kolmogorov-Test]]
oder der [[Chi-Quadrat-Test]], kann aber mit letzterem kombiniert
werden, da beide Prüfgrößen asymptotisch unabhängig
=== Beispiel für ein metrisches Merkmal ===
13	3	14	14	1	14	3	8	14	17	9	14	13	2	16	1	3	12	13	14
vor. Sie wird mit dem Median z = 13 dichotomisiert. Für die
erste Ausprägung wird + gesetzt, für die zweite Ausprägung
0	-10	1	1	-12	1	-10	-5	1	4	-4	1	0	-11	3	-12	-10	-1	0	1
+	-	+	+	-	+	-	-	+	+	-	+	+	-	+	-	-	-	+	+
Man erhält bei n<sub>1</sub> = 11 (+) und
n<sub>2</sub> = 9 (-) r = 13 Runs. R ist annähernd
normalverteilt mit dem Erwartungswert
:<math>ER = \frac{(2\cdot11\cdot9)}{20} + 1 = 10,9</math>
:<math>varR= \frac{2 \cdot 11 \cdot 9 \cdot (2 \cdot 11
\cdot 9 - 20)}{20^2 \cdot 19} 4,6</math>.
:<math>\frac{13 - 10,9}{\sqrt{4,6}}= 1.0 </math>
Bei einem Signifikanzniveau von 0,05 wird H<sub>0</sub>
abgelehnt, wenn |z| > 1,96. Dies ist nicht der Fall.
'''Entscheidung:''' Die Hypothese wird nicht abgelehnt. Die
Elemente der Stichprobe sind vermutlich zufällig entnommen
Folgender Text stammt aus dem Internet: Surrogatdaten-Methode Die Methode der Surrogatdaten dient in der Nichtlinearen Dynamik
dazu, eine Datenreihe darauf zu testen, ob das System, das diese
Daten erzeugt hat, sich gesetzmäßig (d. h.
deterministisch) bewegt oder ob seine Entwicklung rein zufällig
erfolgt. Das Verfahren geht so vor, daß es die Originaldaten mit
anderen Datensätzen, den sog. Surrogatdaten, vergleicht, die dem
Originaldatensatz zwar ähnlich sehen, aber doch durch einen
Zufallsprozeß erzeugt wurden. Dabei reicht es nicht aus, mit
einem einzigen zufällig erzeugten Datensatz zu vergleichen, denn
dieser könnte ja - ebenfalls rein zufällig - in allen
untersuchten Punkten dem Originaldatensatz praktisch gleich sein. Man
erzeugt daher eine ganze Reihe von Vergleichsdatensätzen und
prüft mit statistischen Methoden, ob der Originaldatensatz
ebenso entstanden sein könnte, wie die Surrogatdaten. Bei diesem Verfahren müssen zwei Entscheidungen gefällt
werden: Was soll unter "ganz ähnlichen Zufallsdaten"
verstanden werden? (mathematisch: Was soll die Null-Hypothese sein?) Welcher Kennwert, den man aus den Daten gewinnen kann, soll für
den Vergleich herangezogen werden? (mathematisch: Welche Teststatistik soll verwendet werden?) Erzeugung der Surrogatdaten/Wahl der Null-Hypothese Auch zufällig erzeugte Daten können Regelmäßigkeiten
zeigen. So kann unregelmäßiges Rauschen einen
Resonanzkörper so anregen, daß das Rauschen wie ein mehr
oder weniger unsauberer Ton klingt. Wenn nun die Originaldaten -
allgemein gesprochen - bestimmte Töne enthalten, dann sollten
diese Töne auch genau so in den Surrogatdaten vorkommen, denn es
könnte ja z. B. sein, daß sie durch einen zufälligen
Prozeß mit nachgeschaltetem resonanzfähigen Strukturen
erzeugt worden sind. Man erzeugt daher die Surrogatdaten mit einem
mathematischen Verfahren, das dem entspricht, daß in den
Surrogatdaten die Leistung auf die verschiedenen Frequenzen (d. h.
akustisch gesprochen: auf die Töne) genau so verteilt ist, wie
in den Originaldaten. Man kann nun zeigen, daß dies dem
entspricht, daß die Daten mit einem ganz allgemeinen, jedoch
linearen Verfahren aus Rauschen erzeugt wurden. Bei dieser Art der
Surrogatdatenerzeugung steckt die Zufallskomponente in den Details,
wie die verschiedenen Frequenzanteile zusammengeführt werden. Datenvergleich mit Kennwerten (Teststatistik) Die Surrogatdaten werden anschließend mit den Originaldaten
verglichen. Dabei geht man so vor, daß man aus den
Originaldaten und aus den verschiedenen Surrogatdatensätzen
jeweils den Wert einer Kenngröße, der sog. Teststatistik
ausrechnet, die für Systeme mit nichtlinearer Dynamik
charakteristisch ist und von der man erwartet, daß sie in einem
System mit gesetzmäßigem Chaos andere Werte hat als in
einem System, dessen Entwicklung der Zufall bestimmt. Häufig
verwendete nichtlineare Kenngrößen sind die sog.
Korrelationsdimension und der mittlere Vorhersagefehler. Nur in den seltensten Fällen kann man mathematisch
vorherberechnen, mit welchen Wahrscheinlichkeiten die verschiedenen
möglichen Werte der Kennwerte auftreten, die man als
Teststatistik benutzt. Daher geht man in der Regel so vor, daß
man eine ganze Reihe (z. B. 20 - 50) Surrogatdatensätze erzeugt
und für diese jeweils den Kennwert ausrechnet. Mit Hilfe der so
gewonnen Häufigkeiten kann man abschätzen, wie
wahrscheinlich es ist, daß der Kennwert des Originaldatensatzes
durch den gleichen Prozeß wie die Surrogatdaten erzeugt wurde. Quantitative Beschäftigung mit dem
Begriff Zufall Wie kann man den Anteil von Zufall in einer Zufallszahl festlegen
? Wie kann man den Zufall quantifizieren ? 1.Möglichkeit: Ich habe eine festgelegte Folge von Zahlen
oder Buchstaben und will wissen , wie groß die
Wahrscheinlichkeit ist, daß es sich um eine Zufallsfolge
handelt. Ein Gesamtmaß der
Zufallsverteilung berechnen , zb approximierte Entropie Geht nur bei schon festgelegter
Sequenz Komprimierbarkeit angeben. Geht nur bei schon festgelegter Sequenz ==> Analytischer Zufall 2.Möglichkeit: Ich habe eine Sequenz von
Zufallsentscheidungen, die noch nicht erfolgt sind , evt gemischt mit
festgelegten Zahlen. Wieviel Zufall steckt in der Sequenz ? 2a.Alle Möglichkeiten angeben
zb 4 * Münze WWWW , WWWZ, WWZW, WZWW, ZWWW WWZZ, WZZW, ZZWW , WZWZ, ZWWZ,
ZWZW ZZZW,ZZWZ,ZWZZ,WZZZ, ZZZZ entsprechend 16 Möglichkeiten
2b.Die Zahl der binären Zufallsentscheidungen angeben
. Bei reinen binären Zufallszahlen entspricht dies der Länge
der Zufallszahl zb 4 * Münze = 4 * binärer Zufall Wenn man die Informationsmenge einer Zufallssequenz in Bit oder
Byte angibt , dann ist das genauso sinnvoll , wie die Angabe der
Informationsmenge einer geordneten Sequenz in Bit und Byte .
Vielleicht sollte man die Zufallsbit anders nennen als die normalen
Bits um den Unterschied klar zu machen . Bit <=>
zBit Man muß also aufpassen , daß man beides nicht
durcheinanderbringt: Zufallsinformation ist direkt
proportional zur Entropie Geordnete Information ist nicht
proportional zur Entropie: Wenn die Ordnung zunimmt nimmt
die Entropie ab. Wenn man Information als Maß für die Ordnung (
"Organization") definiert , dann ist Information
indirekt korreliert mit der Entropie. Was passiert mit dem 6er Würfel ? Hier ist 2* binärer Zufall zu wenig und 3 * binärer
Zufall zuviel Es wird 10 mal eine Münze geworfen Man erhält 3 mal Zahl (1) und 7 mal Wappen (0). Ist
dieser Unterschied signifikant bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit <
5 % ? Urnenmodell mit zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge Möglichkeiten : 1111111111 1* 1111111110 1111111101 1111111011 1111110111 etc insgesamt 10 * 1111111100 1111111010 1111110110 1111101110 Wahrscheinlichkeit Redundanz und Kompression siehe
auch Kompression Echter Zufall enthält praktisch keine Redundanz und läßt
sich verlustfrei kaum komprimieren. Die Abbildung zeigt die Komprimierbarkeit von geordneten 01 Folgen
zb der Chaitin A Folge und die Nichtkomprimierbarkeit von reinen
Zufallsfolgen , zb der Chaitin B Folge. Genaugenommen ist hier die verlustfreie Komprimierbarkeit gemeint.
Auch eine Zufallsfolge läßt sich problemlos
komprimieren , wenn es auf die genaue Abfolge von 01 nicht ankommt ,
sondern nur die Länge an Zufall ausgedrückt werden soll .
Dies ist dann eine nichtverlustfreie Komprimierung . Aus einer Zufallszahl wie 01101100110111100010 wird dann
zz(20) . Ziehe auch Zufallsmathematik: Beispiel Zufall : Chaitins Beispiel für 2 binäre Zahlen mit 20 Stellen
01101100110111100010 als Beispiel für eine Zufallsfolge Beispielzeile Zufall gleichförmige Unordnung: zufällige Anordnung der
Buchstaben des Alphabets xbeowhgttgsyäcxjpülgjwrqxyshfogjkudrwuepzjfcmwsmgqzqpqvbtiwpaüa
Zweimal das kleine Alphabet = gleichförmige Ordnung: abcdefghijklmnopqrstuvwxyzäöüßabcdefghijklmnopqrstuvwxyzäöüß
Beispiel einer Zufallsverteilung von Punkten Die Verteilung ist mit folgendem Visual Basic Code programmiert
worden: Sub Form_Click () Dim CX, CY,
Msg, XPos, YPos ' Variablen deklarieren. ScaleMode =
3 ' ScaleMode = Pixel. DrawWidth =
5 ' DrawWidth festlegen. ForeColor =
QBColor(4) ' Hintergrund rot. FontSize =
24 ' Point-Größe festlegen. CX =
ScaleWidth / 2 ' Horizontales Zentrum. CY =
ScaleHeight / 2 ' Vertikales Zentrum. Cls ' Form löschen. Do XPos = Rnd
* ScaleWidth ' Horizontale Position YPos = Rnd
* ScaleHeight ' Vertikale Position PSet (XPos,
YPos), QBColor(Rnd * 15) ' Konfetti zeichnen. DoEvents ' Steuerung an Windows Loop End Sub Der Zufall ( besser der Pseudozufall) ist hier gleich 3 * in Form
der Random Funktion der Programmiersprache Visual Basic eingebaut
worden: bei der Horizontalen
Punktanordnung. bei der Vertikalen Punktanordnung und bei der Auswahl der Farben Beispiel einer echten 01 Zufallszahl Diese Zahl wurde durch wiederholten Münzwurf gewonnen.
Beachten Sie wie oft längere zusammenhängende Sequenzen von
0 oder 1 zu finden sind. Hätte man diese
Folge aus dem Kopf erzeugt wären einem solch lange
zusammenhängende Sequenzen als nicht zufällig vorgekommen. 10110110101010011100101100111000000111100101000011110101 00010011011110110000100010101000111011100101011101111111 00000100110100001101110111101010110000010001110110001000 00010011111000001111101001000110111100101010000010110100 00110001101000110011110111110001101110010011000000111110 01000000110000100000011010101000001100010110000111001111 00100001101111111100100101010011111001000100100001001001 00001000101001110011110110000010100111111100101111101110 11000111011010110000011101100111101011001110 Fragen zur Zufallsfolge Wie kann man so eine Zufallszahl untersuchen ? Siehe VB Programm 10Statistik Wie lang ist sie ? 492 Wieviel 0 und 1 kommen vor ? 0:
251 mal 1 : 241 mal Ist die Verteilung von 0 und 1
wahrscheinlich ? ja Wieviele Paare 00,01,10,11 kommen
vor ? Ist die Verteilung der Paare
wahrscheinlich ? ja Wieviele längere Sequenzen zb
000000 von 0 und 1 kommen vor ? Ist die Häufigkeit dieser
gleichen Sequenzen wahrscheinlich ? ja Läßt sich die Zufallsfolge komprimieren ? kaum Beispiele mit verschiedenem Zufallsgehalt
Völlige Unordnung von 32 Steinen, allerdings liegen sie noch
auf einem Haufen. Zufallsfolge Zufall in Spielen In den meisten Spielen ist ein Zufallsfaktor eingebaut. zb Lotto , Klassenlotterie etc Kartenspiele erzeugen den Zufall durch Mischen der Karten Ein Spiel ohne Zufall ist das Schachspiel. Im Computer gibt es Patiencen . Sie fangen mit einer
Zufallsverteilung der Spielkarten an und enden mit einer geordneten
Reihe. http://www.uni-klu.ac.at/stochastik.schule/frames.htm STOCHASTIK IN DER SCHULE erscheint als Organ des Vereins zur
Förderung des schulischen Statistikunterrichts e.V. in Dortmund
und zugleich in der Didaktischen Reihe des Fachbereichs Statistik der
Universität Dortmund. Jg. 19(1999) Heft 1 Ronald D. Fricker (übersetzt von Ingeborg Strauß) Ein Blick auf den Zufallsprozess in Microsoft Windows Spiel
Solitaire oder Wie benützt man elektronische Glücks-Spiele für
statistische Projekte ? Das populäre Computer-Spiel Solitaire
wird als Vehikel für die Untersuchung eines
Zufallszahlen-Generators eingesetzt. Die Erforschung seiner
Eigenschaften ist eine geeignete Basis für ein schulbezogenes
Projekt. Jean Melrose (übersetzt von Anke Strauß) Schlangen und Leitern - ein Wahrscheinlichkeitsspiel Durch
Reduzierung der Felder-Anzahl des bekannten Spiels "Schlangen
und Leitern", durch Verwendung anders geformter oder
beschrifteter Würfel, Veränderung der Spielregeln, andere
Anordnung der Schlangen und Leitern werden Fragen aufgeworfen, die
Schüler zum Ende der Sekundarstufe 1 interessieren und
bewältigen können. Gesamtzufallsmenge: siehe Gesamtzufallsmenge
( = Menge an Zufall , Zufälligkeit , statistische Entropie,
Überraschungswert, Unsicherheitswert, Randomness ) Die Gesamtzufallsmenge soll aussagen, wieviel Zufall in einem oder
mehreren Ereignissen enthalten ist . Sie entspricht der Entropie
in der Informationstheorie. Zufall und Entropie siehe
Gesamtzufallsmenge Je mehr Zufall in einem System steckt , desto höher ist
die Entropie Je geordneter ein System ist desto geringer ist die Entropie und
desto geringer war der Zufall bei der Entstehung im Spiel Entropie = Null , Zufall = 0 : zb
00000000000000000000 Entropie maximal , Zufall maximal ( 20 * Zufall ) zb
10110110101010011100 Entropie = Null : sauberer Einkristall bei minus 273 Grad Entropie maximal : völlig gleichverteilte Materie im Weltraum
ohne Temperaturunterschiede ohne Bewegungsunterschiede. Gibt es dann negative Entropie ? Meines Erachtens nein Wie groß war die Entropie im Urknall ? Null ? Kann man die Entropie auf den Zufall zurückführen oder
muß man umgekehrt den Zufall als Folgerung der Entropie
definieren ? Was ist die Entropie in der Mathematik ? Der Anteil an
Zufall an einer Zahl oder Zahlenfolge Chaitin , ein bekannter Zufallsforscher, gab in einem Aufsatz
folgende Eins-Null Sequenz an A = 01010101010101010101 als Beispiel für eine nichtzufällige
Folge B = 01101100110111100010 als Beispiel für eine Zufallsfolge Wenn man mit einem Computerprogramm alle Möglichkeiten einer
20 stelligen binär Zahl auflistet, erstaunt man zunächst
einmal wieviele Möglichkeiten es schon bei so einer kurzen Zahl
gibt. Wieviele ? Auch wenn man vereinfachend annimmt , daß die Anzahl der
Nullen und die Anzahl der Einsen gleich sein soll, bleibt immer noch
eine lange Liste übrig. Wieviele ? Von diesen vielen Möglichkeiten genügen nun einige den
Kriterien einer Zufallsfolgen , andere nicht . Wieviele ? Dabei sind die statistischen Grenzen zwischen Zufall und nicht
Zufall nicht klar zu ziehen , sondern man muß , wie üblich
bei statistischen Tests eine Irrtumswahrscheinlichkeit von zb 5 %
vorher festlegen. Je weiter weg man von dieser unsicheren Grenze Zufall -
Nichtzufall ist , desto klarer wird allerdings der Unterschied. Herr
Chaitin hat nun schlauer Weise 2 Beispiele gewählt die sehr klar
einer der beiden Kategorien zufällig - nichtzufällig
zuzuordnen sind. Interessant wäre es , wenn man jeder dieser Folgen einen
Zufallswert wie zb die approximative Entropie bzw den
Kompressionsfaktor zuordnen kann . Dann müßte man eine
gewiße Struktur der Zufälligkeit erkennen , die vielleicht
ähnlich der Primzahlstruktur der natürlichen Zahlen ist. So eine Betrachtung wirft m.E. dann auch ein schiefes Licht auf
die direkte oder indirekte Verknüpfung von Entropie und
Information. Nur die Gesamtzahl der Möglichkeiten einer bestimmten Zahl
von 01 Entscheidungen entspricht dann der kompletten
Informationsmenge gemessen in Bit. Die zufälligen Anordnungen von 0 und 1 bei einer gegebenen
Länge sind dann nur ein Teil dieser Informationsmenge , der
andere Teil entspricht mehr oder mindert geordneten Folgen, die den
Zufallskriterien nicht mehr genügen. Geschätzt sind bei einer gegebenen Länge einer 01 Folge
bei Durchprobieren aller Möglichkeiten , je nach Strenge der
Zufallsdefinition 70 - 90 % der 01 Folgen Zufall , 10 -
30 % nicht zufällige Folgen Je größer die Gesamtlänge der 01 Folge , desto
größer der Anteil der Zufälligen Varianten, desto
größer aber auch der Anteil der nichtzufälligen
Varianten. Für manche Folgen kann man zeigen 1. daß sie den
Zufallskriterien genügen (testen) 2. kaum komprimierbar sind ( Kompression
) und vielleicht doch nicht zufällig sind. Bei endlichen Folgen gibt es analytische Zufallsfolgen , hinter
der sich doch logische Reihen verbergen. Interessant sind die Fragen: ob sich manche Dateien kaum
komprimieren lassen und doch nicht den Zufallskriterien gehorchen ob sich manche Dateien gut komprimieren lassen und doch den
Zufallskriterien gehorchen . Gibt es das , oder steckt in den beiden analytischen
Hauptzufallsparametern Redundanz ? Zufall in der Physik Die Naturwissenschaften versuchen herauszufinden, ob unsere Welt
im innersten deterministisch oder zufällig ist. Man will wissen,
ob ein Ereignis zufällig ist, weil der Beobachter nicht genügend
Daten hatte, um eine exakte Vorhersage zu machen, oder ob das
beobachtete System in sich zufällig ist. Beide Arten von
Systemen lassen sich mathematisch modellieren.
Die erste Art von Systemen sind solche, in denen angenommen wird,
dass das Ergebnis eines Experiments bei festen Bedingungen immer
gleich sein muss, und dass die auftretenden Variationen des
Ergebnisses auftreten, weil der Beobachter das System nicht genau
genug kontrolliert hat. Solche Systeme werden als deterministisch
Es ist heute bekannt, dass (theoretisch exakt) deterministische
Systeme unvorhersagbares Verhalten zeigen können. Solche Systeme
werden in der Chaostheorie untersucht.
Die Quantenphysik hat eine neue Diskussion darüber ausgelöst,
ob die Welt fundamental deterministischen oder fundamental zufälligen
Prinzipien gehorcht. Die akzeptierte Interpretation der
Quantentheorie sagt, dass identische Experimente unterschiedliche
Ergebnisse haben können. Das beste Beispiel hierfür ist der
radioaktive Zerfall. Es ist keine Möglichkeit bekannt, den
Zerfallszeitpunkt eines instabilen Atomkernes vorherzusagen. Über
eine große Anzahl von Atomkernen dagegen lassen sich
statistische Vorhersagen treffen.
Es gibt Wissenschaftler, die Alternativen (etwa verborgene
Variablen) vorschlagen, um doch noch eine deterministische Welt zu
Daneben gibt es die Möglichkeit, aus mikroskopischen
Theorien, die zufällig erscheinen, makroskopische Theorien
aufzubauen, die (quasi)deterministisch sind.
Ein promineneter Physiker, der sich immer gegen den Einfluß
des Zufalls in der Physik gewehrt hat, war Albert Einstein. Von ihm
stammt der Satz: Gott würfelt nicht !.
Der Laplacesche Dämon ist eine Metapher für das
deterministische Weltbild, wie es zum Teil aus der Klassischen
Mechanik abgeleitet wurde.
Pierre Simon Laplace beschreibt im Vorwort seines Essai
philosophique sur les probabilités von 1814 ein intelligentes,
rechnendes Wesen - der besagte Dämon - dem zu einem beliebigen
Zeitpunkt alle im Kosmos wirkenden Kräfte sowie die Lage aller
Teile zueinander (heute würde man sagen: deren Anfangszustand)
bekannt sind. Dann wäre es nach den Gesetzen der Mechanik für
diesen möglich, die Entwicklung des Weltalls sowohl in die
Zukunft voraus - als auch in die Vergangenheit zurückzuberechnen.
In einer Welt, in der ein solches Wesen existiern kann, wäre
weder Platz für das Wirken eines Gottes noch für
menschliche Willensfreiheit, die Geschichte wäre vollständig
determiniert und berechenbar.
Es ist dabei nebensächlich, ob ein solches Wesen tatsächlich
existiert, oder je existieren wird, denn schon seine potentielle
Existenz führt ja zu dem Schluss, das alles vorherbestimmt
Was den Laplaceschen Dämon aber auch auf dieser Ebene
unmöglich macht, ist die Tatsache, das es nicht nur aus
subjektivem, technischem Unvermögen heraus nicht möglich
ist, unendlich genau zu messen, sondern auch ganz objektiv, also
grundsätzlich, jedem und zu jeder Zeit. Dieses Phänomen
beschreibt die Unschärferelation.
Es gibt also in der Welt der Quanten eine Unschärfe,
Unbestimmtheit, also sozusagen ein absolutes Fehlen von Information.
Weder das Teilchen selbst, noch Gott (oder der Laplacesche Dämon,
oder ein anderes, über uns stehende Wesen) weiß (kann
wissen), wie es um den Impuls eines Teilchens steht, wenn sein Ort
bekannt ist, oder wie es um seinen Ort steht, wenn der Impuls bekannt
ist. Der so entstehende absolute Zufall schließt einen
Laplaceschen Dämon aus.
Unschärferelation (Physik)
Die Entropie als Maß für den Zufall in der Physik
Zufall in der Chemie Zufall in der Biologie Stichworte
Entstehung des Lebens ein Zufall ?
Die Evolution als Mischprozess von Zufall und Ordnung.
Über die Evolution wird sehr heftig gestritten, da manche
meinen es wäre ein reiner Zufallsprozess. Das stimmt nicht. Ein
schönes, immer noch sehr lesenswertes Büchlein hat dazu
Jaques Monod geschrieben: Zufall und Notwendigkeit.
Monod, Jacques Zufall und Notwendigkeit
Philosophische Fragen der modernen Biologie
dtv Tb 1069
Zufall in der Philosophie
Der Zufall bezeichnet in der Philosophie
1. etwas, das durch den Verlauf äußerer
Umstände bedingt ist, im Unterschied zur Notwendigkeit, die
durch die innere Natur der Dinge bedingt ist.
2. etwas, das sein, aber auch nicht sein
kann, im Unterschied zur Notwendigkeit, die etwas ist, das
obligatorisch vor sich gehen muss.
Zum Zufall in der Beziehung zum Gesetz und den Zusammenhängen
in der objektiven Realität
Der Zufall existiert als objektive Beziehung zwischen
verschiedenen Ereignissen, die ihren Grund nicht in den wesentlichen
inneren Bedingungen der Ereignisse hat. Der Zufall muss in seiner
dialektischen Beziehung zum Gesetz untersucht werden. Als objektive
Beziehung ist er im objektiven Zusammenhang begründet.
Zu seiner Erklärung brauchen keine übernatürlichen
Ursachen herangezogen werden. Der objektive Zusammenhang ist
unendlich kompliziert. Es existieren jedoch objektiv allgemeine,
notwendige und wesentliche Beziehungen, die von der Wissenschaft
erkannt und in Theorien als Widerspiegelungen objektiver Gesetze
enthalten sind. Zufälle unterscheiden sich gerade dadurch von
anderen Formen des objektiven Zusammenhangs, dass sie nicht
allgemein-notwendig, das heißt reproduzierbar sind.
Die Negation des Zufalls im Dogma des mittelalterlichen
metaphysischen Determinismus
Sie sind Erscheinungsformen der Gesetze (dazu Einzelheiten weiter
unten). In der Auseinandersetzung mit Idealismus und Wunderglauben
vertraten die Materialisten des Mittelalters meist einen
metaphysischen Determinismus, der die materiellen Prozesse alle als
notwendig erklärte, den Zufall aus der Betrachtung ausschloss
und damit letztlich zum Fatalismus führte. Die antiken Atomisten
waren ebenso wie später zum Beispiel B. Spinoza und P.H.D.
Holbach Verfechter des metaphysischen Determinismus.
Während allerdings Demokrit die Notwendigkeit des
Atomverhaltens betonte, schrieb Lukrez bei seiner Darstellung der
Auffassung Epikurs in seinem Lehrgedicht "Über die Natur
der Dinge", dass die Körper durch ihr Gewicht zu ungewisser
Zeit an unbestimmtem Ort etwas von ihrer Bahn abwichen; nur dadurch
könne Wechselwirkung entstehen(Atomistik).
Zur Rolle des Zufalls bei Hegel und Engels
Von den Dialektikern hat sich vor allem G.W.Hegel mit dem
Verhältnis von Notwendigkeit und Zufall befasst. In der
Auseinandersetzung mit dem Idealismus Hegels und dem metaphysischen
Materialismus entwickelte Friedrich Engels den dialektischen
Determinismus. Er zeigte die Objektivität des Zufalls, wies
begründet den Indeterminismus zurück und fasste den Zufall
als Erscheinungsform der Notwendigkeit.
Besondere Bedeutung für die Entwicklung der philosophischen
Auffassungen vom Zufall hatte die dialektisch-materialistische
Deutung der Ergebnisse der Quantenmechanik, die für die Physik
die objektive Existenz des Zufalls nachwiesen. Aus der
philosophischen Analyse der statistischen Gesetzeskonzeption ergibt
sich, dass der Zufall als zufällige Verwirklichung von
Möglichkeiten eines aus dem Gesetz sich ergebenden
Möglichkeitsfeldes auftreten kann; für diese Verwirklichung
existiert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Zur Unterscheidung der Arten des Zufalls
Damit hat die Dialektik von Notwendigkeit und Zufall auch für
die Struktur des statistischen Gesetzes Bedeutung. Betrachtet man die
Dialektik von Gesetz und Zufall, so kann man Arten des Zufalls
1.) systeminnere und systemäußere Zufälle, die für
das Verhalten des Systems entweder wesentlich oder unwesentlich sein
können. Wesentlich sind solche Zufälle, die das System
entscheidend verändern oder es in seiner Existenz gefährden.
Unwesentlich sind die Zufälle, die in das Verhalten des Systems
integriert werden können, ohne seine Makrostruktur und seine
Funktion zu beeinflussen;
2.) systeminterne Zufälle sind wiederum zu differenzieren. Es
gibt solche, die als zufällige Verwirklichungen von
Möglichkeiten mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit im Gesetz
enthalten sind, und solche, die als Erscheinungsformen der Gesetze in
den zufälligen Beziehungen zwischen verschiedenen Ereignissen
3.) es gibt erkannte und unerkannte Zufälle; die unerkannten
müssen darauf analysiert werden, ob sie systeminnere oder
systemäußere, wesentliche oder unwesentliche Zufälle
sind, ob sie in der Struktur von Gesetzen enthalten oder konkrete
Erscheinungsformen der Gesetze sind.
Zur Interpretation des Zufalls als Schnittpunkt von Kausalketten
Manchmal wird der Zufall noch als Schnittpunkt von Kausalketten
oder von Notwendigkeiten betrachtet. Wenn damit nur die Objektivität
des zufälligen Zusammenhangs betont und die Dialektik von
Notwendigekit und Zufall berücksichtigt werden soll, ergeben
sich keine Einwände gegen diese Interpretation.
Nur bringt sie ungenügend die Spezifik des Zufalls zum
Ausdruck, als Beziehung zwischen Ereignissen nicht durch die
wesentlichen inneren Beziehungen jedes Ereignisses begründet zu
werden. Der Tod eines Menschen bei einem Verkehrsunfall ist
tatsächlich das Zusammentreffen verschiedener Ereignisse und
damit auch verschiedener Notwendigkeiten und Kausalketten.
Aber aus den inneren wesentlichen Bedingungen dieser Ereignisse,
Notwendigkeiten und Kausalketten folgt nicht ihre zufällige
objektive Beziehung, die im Tod eines bestimmten Menschen besteht.
Man kennt zwar die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen des Unfalltods
bei Unfällen, die Wahrscheinlichkeit von Todesursachen der
verschiedensten Art, die Bedeutung von Verletzungen für das
Funktionieren des menschlichen Organismus und so weiter, aber alles,
was man an Gesetzen kennt, liefert keine unmittelbare Begründung
für das bestimmte Zusammentreffen im Verkehrsunfall.
Zur eigentlichen Spezifik des Zufalls innerhalb einer
Der Zufall steht also nicht außerhalb des objektiven
Zusammenhangs. Denn würde diese Schlussfolgerung nicht
zutreffen, so müsste es einen absoluten Zufall im Sinne eines
ursachelosen Ereignisses geben (was allgemein unter "Wunder"
zu verstehen ist). Aber auch das Ereignis des Zufalls wird durch eine
Ursache eingeleitet. Die Spezifik des Zufalls besteht darin, kein
Gesetz, kein allgemein-notwendiger und wesentlicher Zusammenhang zu
sein. Wesentlich kann er nur bezogen auf die Verhaltensweisen eines
Systems sein, die er entscheidend verändert. Wesentlich ist er
nicht in dem Sinne, aus den wesentlichen inneren Bedingungen eines
Ereignisses begründet zu sein.
Widerspricht ein Zufallsereignis dem Kausalitätsprinzip ?
Dazu betrachte man folgendes praktisches Beispiel:
Man würfelt und erhält eine 3 .
1.Ursache : der Mensch der würfelt.
2.Ursache : Bewegungsenergie wird einem Körper mitgegeben der
auf 6 verschiedene Arten wieder in ein stabiles Gleichgewicht kommen
3.Ursache: Die Bewegungsenergie des Würfels wird durch
Luftreibung und durch Kontakt zb mit einer Tischfläche in
Reibungsenergie verwandelt.
4.Ursache: Der Würfel hat 6 gleichberechtigte Möglichkeiten
Wirkung : Er kommt zu Ruhe und nimmt eine dieser Möglichkeiten
ein. Welche er einnimmt, war nicht voraussehbar , jedenfalls
praktisch nicht berechenbar.
Die 3 oben ist die Wirkung . Der würfelnde Mensch ist die
>>> Es ergibt sich keine Verletzung des
Kausalitätsprinzips.
Wenn man Probleme mit der physikalischen Berechenbarkeit des
Würfelfluges hat , kann man auch das Urnenmodel heranziehen.
Da werden zb 6 mit den Nummern 1 - 6 versehene sonst gleiche
Kugeln in eine undurchsichtige Urne gefüllt. Kräftig
geschüttelt. Dann greift man in die Urne und zieht eine Kugel
heraus. Da ist auch prinzipiell nichts mehr berechenbar. Trotzdem
bleibt das Kausalitätsprinzip erhalten.
>>> Eine Ursache kann eben mehrere gleichberechtigte
Das umgekehrte gilt natürlich auch : Viele verschiedene
Ursachen können ein und diesselbe Wirkung haben.
Beispiel: Eine Leberzirrhose kann durch eine Alkoholkrankheit,
eine Hepatitis B, eine Hepatitis C oder auch durch eine
Kupferspeicherkrankheit hervorgerufen werden.
Zufall in der Theologie
Gott würfelt nicht ( Albert Einstein )
Wenn man sich Gott allwissend vorstellt, kann er dann zufälliges
Zufallsentscheidungen wurden in der Bibel und bis ins Mittelalter
als Gottesentscheidungen angesehen. Nur Gott konnte den Zufall
Zufall in der Geschichte
Die Geschichtsphilosophie ist der Versuch, Geschehenes in einen
systematischen Vermittlungszusammenhang zu stellen. Die
geschichtlichen Daten selbst sind subjektiv und objektiv
unvollständig und ergeben wie Puzzlestücke von selbst
keinen sinnvollen Zusammenhang; der wird vielmehr erst in der
philosophischen Schau oder Theorie hergestellt. Das Ergebnis sind die
verschiedenen Geschichtsbilder.
Die Geschichtsphilosophie gibt Antwort auf folgende Fragen:
Wer oder was spielt die Hauptrolle im historischen Prozess? Die so
genannten welthistorischen Persönlichkeiten? Oder ein Kollektiv
wie die Stadt oder der Staat? Die Kultur oder die ganze Menschheit?
Welche Gestalt hat die Menschheitsgeschichte? Gibt es nachweisbare
Entwicklungslinien? Zum Beispiel Beweise für Fortschritte? Oder
für die ewige Wiederkehr des Immergleichen? Oder lässt sich
nur ein sinnloses Durcheinander feststellen?
Wenn eine bestimmte Richtung angenommen wird: Was treibt die
Geschichte in diese Richtung?
Welche Gesetzmäßigkeiten zeigen sich eventuell? Haben
etwa vergleichbare Situationen aus vergleichbarer Notwendigkeit zu
vergleichbaren Lösungen geführt?
Welchen Einfluß hat der Zufall im historischen Geschehen ?
Vier bekannte Beispiele:
I. Condorcet
Bezeichnend für das Geschichtsbild der Aufklärer ist
Condorcets "Entwurf einer historischen Darstellung der
Fortschritte des menschlichen Geistes" (1795). Im Bewusstsein
der unleugbaren Beschleunigung der Wissensmehrung in der damals
überschaubaren Geschichte sind die Erwartungen an die Zukunft
hoch. Die Grenzen des Menschenmöglichen erscheinen nicht
absehbar. Das Vertrauen in die positiven Fähigkeiten des
Menschen und in den auf Fortschritt programmierten historischen
Prozess sind das Credo des Aufklärers.
II: Hegel
Der Berliner Staatsphilosoph wird oft zitiert mit dem Prinzip des
dialektischen Geschichtsverlaufs. Inhaltlich bedeutet seine
"Philosophie der Geschichte" (1837) eine Antithese zum
Geist und Buchstaben der Aufklärung. Nicht der Mensch sei das
Subjekt der Geschichte, heißt es da, sondern der "Weltgeist",
der seine "Geschäftsführer" fernsteuere. Wes
Geistes Kind Hegel ist, verrät er, wenn er konkret wird. Seine
angeblichen "Geschäftsführer des Weltgeistes"
heißen Alexander der Große, Cäsar und Napoleon. Er
verherrlicht die Gewalt im Staat ("Der Staat ist die göttliche
Idee, wie sie auf Erden vorhanden ist.") und im Krieg.
III: Marx
Aus dem "kommunistischen Manifest" (1848) ist der Satz
geläufig: "Alle bisherige Geschichte ist eine Geschichte
von Klassenkämpfen." Von der Sklavenhaltergesellschaft bis
zum Kapitalismus tritt das Kollektiv geschichtsmächtig auf. Die
Masse der Unterdrückten und Ausgebeuteten bestimmt danach den
Gang der Geschichte maßgeblich. Vor dem Klassenkampf habe es
den Kommunismus der Urgesellschaft gegeben. Der Sieg des Proletariats
werde zum Kommunismus der klassenlosen Gesellschaft führen.
Diese These wird deshalb kritisiert, weil sie benutzt wurde, um ein
anderes System der Unterdrückung unter dem Namen "Diktatur
des Proletariats" zu rechtfertigen.
IV: Spengler
Seine "Morphologie der Weltgeschichte" (1918) steht im
Gegensatz zu allen drei genannten Ansätzen, weil sie keinen
Fortschritt mehr kennt. Vielmehr wird die Geschichte vorgestellt als
ein ländlicher Jahrmarkt mit acht Karussells als "Kulturen".
Die Kulturkarussells drehen sich nicht gleichzeitig und mit gleichem
Tempo, haben aber alle die gleiche Laufzeit von ungefähr 1000
Jahren. Grundlage von Spenglers Geschichtsbild ist die Vorstellung,
dass es vergleichbare Phasen der Entwicklung in verschiedenen
Regionen und Zeitaltern gibt. So war z. B. schon lange vor Spengler
die griechische Sophistik mit der westeuropäischen Aufklärung
verglichen worden oder die Antike mit der deutschen Klassik. Das
Durchbuchstabieren dieser Erkenntnis zum biologistischen Schema der
Weltgeschichte und der Behauptung, Geschichte erstmalig vorhersagen
zu können, begründet zum einen den gewaltigen
Verkaufserfolg, zum anderen auch die Attraktivität, die
Spenglers Vorstellung immer noch hat.
Beispiele von geschichtlichem Zufall
Der Einfluß von Naturkatastrophen auf die Geschichte
Zufall in der Soziologie
Sinn der Soziologie ist es, nicht an den Zufall in der
Gesellschaft zu glauben. WOLF LEPENIES, Süddeutsche Zeitung,
25/01/02.
http://www.soziologie.uni-freiburg.de/fachschaft/wasistsoz.php
Zufall, Pech und die Grenzen des Sozialstaats Vortrag gehalten am
Philosophischen Kolloquium Leipzig am 10.05.2000
http://www.phil-fak.uni-duesseldorf.de/sowi/lsi/vortraeg/sozialstaat.html
Die wissenschaftliche Zweckerfüllung und das Losverfahren
http://www.marcelmbaumann.de/Seiten/helgepeukert1.html
http://www.uni-giessen.de/~g51039/vorlesungV.htm
Zufall in der Psychologie
Die meisten menschlichen Handlungen sind kein Zufall sondern
teilweise unterbewußtes Abwägen von Alternativen und
Auswahl der zum gegebenen Zeitpunkt anscheinend vorteilhaftesten. (
Ökonomie des Alltagslebens )
Es ist bis heute in der Psychologie und Neurophysiologie
umstritten, ob es im menschlichen Gehirn einen Zufallsgenerator gibt
In Situationen in denen man sich ganz schnell zwischen zwei
Alternativen entscheiden muß, wäre so ein Zufallsgenartor
vielleicht hilfreich. Eine Situation, die in der Evolution sicher
sehr häufig aufgetreten ist, war die Frage Kampf oder Flucht,
wenn einem ein feindliches Tier plötzlich gegenüberstand.
Zwischen den Begriffen Zufall und freier Wille existiert ein enger
Zusammenhang. Man kann argumentieren, dass eine freie Entscheidung
eine Entscheidung ist, die zumindest teilweise nicht von anderen
Einflüssen (innerer und äußerer Art) bestimmt wird.
Sie ist also nicht determiniert. Dies kann aber gerade auch als
Definition von Zufall angesehen werden. Nach dieser Auffassung kann
es in einem Universum ohne Zufall keinen freien Willen geben, da jede
Entscheidung bei Kenntnis aller Einflussgrößen
vorhergesagt werden könnte.
Es ist nun eine Aufgabe der Philosophie, Gemeinsamkeiten und
Unterschiede beider Begriffe genauer herauszuarbeiten. Der englische
Begriff random number (wörtlich: freie Zahl) für
Zufallszahl weist auf diesen Zusammenhang hin.
Zufall im Leben jedes einzelnen
Es ist Zufall ob man männlich oder weiblich geboren wird. (
In Indien und anderswo versucht man dies zu manipulieren )
Es ist Zufall in welche Familie man hinein geboren wird.
Es ist Zufall in welchem Land und in welcher Zeit man auf die Welt
Vieles was man als Schicksal bezeichnet, kann man auch als Einfluß
des Zufalls ansehen.
Es ist oft Zufall, welche Krankheiten man bekommt und an welcher
Krankheit man stirbt . Zufall in der Literatur und Kunst
Der beste Romanschreiber aller Zeiten ist der Zufall. Um fruchtbar
zu sein muss man ihn studieren. Honoré de Balzac
Fragen zum Thema Zufall: Gibt es einen echten Zufall, oder bezeichnen wir etwas nur deshalb
als zufällig, weil wir nicht über genügend
Informationen für eine genaue Vorhersage verfügen? Darüber kann man lange trefflich streiten . Aus praktischen
Erwägungen ist die Frage ziemlich uninteressant, da man auch
ohne eine Antwort auf diese Frage sehr gut mit dem Zufall arbeiten
kann. Was ist echter Zufall ? Was ist
unechter Zufall ? Was ist Pseudozufall ? Schließt das
Kausalitätsprinzip den Zufall aus ? Schließt der Determinismus
den Zufall aus ? Wie kann man den Determinismus auf
die Probe stellen ? Kann man den Determinismus auf die
Probe stellen ? Kann man echten Zufall simulieren
? ja mit dem Urnenmodell , mit
Würfeln , mit Münzen Wie kann man den Zufall messen ? ja mit der Entropie oder Wahrscheinlichkeit und noch weiteren Parametern Welche Einheit hat der Zufall ?
bit oder zbit Kann man ihm überhaupt eine
Einheit geben ? Kann man den Zufall an der
Komprimierbarkeit messen ? Wie hängen Zufall und
Entropie zusammen ? Gibt es negativen Zufall ? Wie hängen Zufall und
Wahrscheinlichkeit zusammen ? Kann die Zufallsmenge negative
Werte annehmen ? Sind die Nachkommazahlen bei
irrationalen Zahlen wie Pi,e und Wurzel 2 oder Wurzel 3 eine Folge
von Zufallszahlen ? Welches Reich ist größer
: das Reich des Zufalls oder das Reich der Ordnung ? Bei den binären Zahlen ist
das Reich des Zufalls größer Fragen aus der Stochastik Was ist eine diskrete
Zufallsvariable ? Programmierung des Zufalls:
Welcher Algorithmus steckt hinter
der Random Funktion ? Wie kann man die Gegensätze
von Ordnung und Unordnung, von Entropie und Negentropie verständlich
machen ? Wie ist es möglich, daß
sich der Effekt des Zufalls berechnen läßt, daß
also zufällige Ursachen gesetzmäßige Wirkungen
haben? Wie kann der Zufall entstehen,
wenn alles Geschehen nur auf regelmäßige Naturgesetze
zurückzuführen ist? Oder mit anderen Worten: Wie können
gesetzmäßige Ursachen eine zufällige Wirkung haben? Gibt es im menschlichen Gehirn
einen Zufallsgenerator ? Ist in unseren Träumen
zumindest zum Teil der Zufall wirksam ? Widerspricht ein Zufallsereignis dem Kausalitätsprinzip ?
In Praxis: Man würfelt und erhält eine 3 . 1.Ursache : der Mensch der
würfelt. 2.Ursache : Bewegungsenergie wird
einem Körper mitgegeben der auf 6 verschiedene Arten wieder in
ein stabiles Gleichgewicht kommen kann. 3.Ursache: Die Bewegungsenergie
des Würfels wird durch Luftreibung und durch Kontakt zb mit
einer Tischfläche in Reibungsenergie verwandelt. 4.Ursache: Der Würfel hat 6 gleichberechtigte
Möglichkeiten zur Ruhe zu kommen. Wirkung : Er kommt zu Ruhe und nimmt eine dieser Möglichkeiten
praktisch nicht berechenbar. Die 3 oben ist die Wirkung . Der würfelnde Mensch ist die Ursache . ==> Ich sehe da keine Verletzung des Kausalitätsprinzips. Wenn man Probleme mit der physikalischen Berechenbarkeit des
Würfelfluges hat , kann man auch das Urnenmodel heranziehen. Da werden zb 6 mit den Nummern 1 - 6 versehene sonst gleiche
geschüttelt. Dann greift man in die Urne und zieht eine Kugel heraus. Da ist auch prinzipiell nichts mehr berechenbar. Trotzdem bleibt das Kausalitätsprinzip erhalten. ==> Eine Ursache kann eben mehrere gleichberechtigte Folgen
haben. Das umgekehrte gilt auch : Viele verschiedene Ursachen können
ein und diesselbe Wirkung haben. Dortessa schrieb am 26.7. 2000 um 04:03:43 Uhr über Zufall Qualität ist kein Zufall. Zufall ist Penicillin. Penicillin ist Qualität. Ist Qualität dann eben doch
ein Zufall ? Oder wurde Penicillin doch nicht
zufällig entdeckt ? Oder .... Klaus E. Anders KEA2099@compuserve.de schrieb
19.1.2002 zum Thema schließt das Kausalitätsprinzip den
Zufall aus ? Ihren Text über den Zufall kann ich durchaus so akzeptieren.
Zwar scheinen Sie eine Definition des Zufalls zu bevorzugen, weil er
sich im allgemeinen Zusammenleben als praktikabel eingeführt
hat, aber sie geben auch alternative Definitionen an. "Das Eintreten von Ereignissen für die keine Ursache und
keine Gesetzmäßigkeit erkennbar ist, bezeichnet man als
zufällig. Lexikon: Zufall ist ein Begriff für alles, was nicht
notwendig oder beabsichtigt geschieht; das Zusammentreffen von nicht
absehbaren Ereignissen. Setzt man die absolute Gültigkeit des
zur bloßen Erscheinungsform des Notwendigen" Im allgemeinen werden Zufälle als solche hingenommen und
nicht mehr kritisch hinterfragt. Das stört mich manchmal massiv,
denn auch ein gezinkter Würfel oder eine ebensolche
Rouletteanlage produziert für die Unwissenden Zufälle.
Ich bemühe mich zu den Wissenden zu gehören, aber es
gelingt mir sicherlich nicht immer!!! Eher selten. Die Anerkenntnis
von Zufällen ist eine pragmatische Art mit der Umwelt umzugehen.
Sie drückt somit auch wieder eine ganz persönliche
Einstellung oder Sichtweise aus. Ob Determinismus oder
Konstruktivismus: Zufall ist dabei weniger eine Herausforderung,
sondern eine vorkomende Sichtweise, die einbezogen ist. Wenn sie
Vorteile für den Alltag bringt, warum nicht. Eine
Definitionshoheit über Zufälle scheint mir allerdings nicht
zulässig zu sein. Ich sehe aber auch Ihren Beitrag weniger als
Definition sondern als Diskussion über die verschiedenen
Phänomene, die als zufällig angesehen werden. Sind Sie der
Überzeugung, dass das Kausalitätsprinzip unzutreffend ist? Prof. Dr. Michael Esfeld: Philosophische Fakultät Uni Köln
Hauptseminar "Kausalitaet" Einfuehrung in philosophische Kausalitaetstheorien Vortrag von Prof. Dr. Gerd Grasshoff, Die Regularitaetstheorie der
Kausalitaet Begriffsanalyse von Kausalitaet : Beziehungen zwischen einzelnen
Ereignissen (Lewis, Causation, in David Lewis, Philosophical Papers.
Volume 2. Oxford: Oxford University Press 1986; deutsch in Poesch,
Gunter (ed.) (1981): Kausalitaet. Neue Texte. Stuttgart: Reclam) Empirische Realisation von Kausalitaet: Transfer einer
Erhaltungsgroesse? (Max Kistler in Spohn, Wolfgang, Ledwig, Marion &
Esfeld, Michael (eds.) (2001): Current Issues in Causation.
Paderborn: Mentis) Philosophische Deduktion der Kausalitaet in der
Relativitaetstheorie (Kapitel 10 bis 12 in Mellor, D. Hugh (1998):
Real Time II. London: Routledge) Kausalitaet in der klassischen Mechanik und Quantenmechanik (Mittelstaedt, klassische Mechanik, QM-Lehrbuch) Kausalitaet in der Relativitaetstheorie (Hawking & Ellis;
Finkelstein; Zemann) Kosmologien ohne vollstaendige Kausalitaet (Goedel, de Sitter) Nicht-kausale Korrelationen in der Quantentheorie I: EPR-common
cause (Kapitel 10 in van Fraassen, Bas C. (1991): Quantum Mechanics:
An Empiricist View. Oxford: Oxford University Press; Mittelstaedt) Nicht-kausale Korrelationen in der Quantentheorie II: EPR versus
Lewis (Butterfield, Jeremy N. (1992): "David Lewis meets John
Bell". Philosophy of Science 59, S. 26-43; Michael Esfeld in
Spohn, Wolfgang, Ledwig, Marion & Esfeld, Michael (eds.) (2001): Current Issues in Causation.
Paderborn: Mentis) (Als pdf-file zum Download) Kausalitaet ohne Prognostizierbarkeit (Thomas Breuer in in Spohn,
Wolfgang, Ledwig, Marion & Esfeld, Michael (eds.) (2001): Current
Issues in Causation. Paderborn: Mentis; Chaos-Literatur) Diskussion in Wikibooks
>Der Zufall hat kein Gedächtnis. (Vergleiche den Begriff
Unabhängigkeit in der Stochastik)
Das ist so einfach Unfug. Es gibt Zufallsexperimente ohne
Gedächtnis, das ist aber keineswegs gottgegeben. Als
Gegenbeispiel sei hier die Brownsche Molekularbewegung angeführt,
die sich ihre momentane Position der Teilchen sehr gut merlken kann.
"Ziehen aus einer Urne ohne zurücklegen" oder
"Abheben der jeweils obersten Karte aus einem gut durchmischten
Kartenstapel" sind einfachere Beispiele fuer Prozesse mit
Gedaechtnis: Wenn das Herz As gefallen ist, kommt es nicht mehr, die
verbliebenen Karten sind trotzdem zufällig. (HZ, 5. Okt 2004) >Eine echte Zufallsfolge von 0 und 1 lässt sich ohne
Verlust kaum komprimieren.
"gleichverteilt" ist hier das richtige Stichwort. Der
Begriff "echter Zufall" der hier konstruiert wird, ist IMHO
nicht zielführend. Nicht gleichverteilte 0-1-Folgen lassen sich
z.T. sehr gut komprimieren.
Was mir sonst noch so aufgefallen ist: Erst eine große
philisophische Diskussion anfangen und dann den Zufall einfach so zu
postulieren, wirkt auf mich befremdlich. Zufall ist ein Model zur
Erklärung der Welt, d.h. um Voraussagen (i.d.R. für die
Zukunft) zu machen. Interesannterweise spielt es dabei eigentlich
keine Rolle, ob es Zufall im Sinne der philisophischen/theologischen
Disskusion wirklich gibt.
Ich denke alle würden sich sehr freuen wenn du den Artikel
mit deinem Wissen überarbeiten würdest. :) Gruss --Moolsan 09:51, 28. Sep 2004 (UTC) So, wie der Artikel momentan ist, müsste er eher neu
geschrieben als überarbeitet werden. (HZ, 5. Okt 2004) Dann schreib ihn doch neu. Über konstruktive Beiträge
freut sich hier jeder. -- Daniel B 09:14, 5. Okt 2004 (UTC) Ich habe leider nicht die Zeit fuer einen kompletten Artikel, kann
aber gerne ein paar Gedankenanstöße geben, die meiner
Meinung nach hinein geoeren: Zuerst gehoert geklärt, ob ma ndie Frage nach dem Zufall
philosophisch oder naturwissenschaftlich angehen will. Philosophisch kann man beliebig lang diskutieren, ob es echten
Zufall gibt oder nicht. Im Artikel steht "Die Vorstellung vom
Zufall tritt in Widerspruch mit dem Gedanken eines allmächtigen,
allwissenden persönlichen Gottes, der alles voraussehen kann".
Dazu kenne ich ein anderes Zitat (von wem?) "Zufall ist nur ein
Spitzname Gottes, wenn er anonym bleiben will". Naturwissenschaftlich ist mir kein Experiment bekannt, mit dem man
"echten" Zufall von einer deterministischen, aber
unbekannten Ursache unterscheiden kann. Mathematisch macht es keinen Unterschied, ob etwas echt zufällig,
oder lediglich deterministisch und unbekannt ist. Beispiel: Ich
mische Spielkarten, lege sie verdeckt auf den Tisch und verlasse den
Raum. Dann geht jemand anderer in den Raum und sieht sich die oberste
Karte an und verlässt ihn wieder, ohne mit mir Kontakt
aufzunehmen. Danach gehe ich wieder in den Raum. Wie hoch ist die
Chance, dass die oberste Karte das Herz As ist? Tatsaechlich ist die
oberste Karte bereits längst bestimmt; für mich aber
weiterhin "zufaellig" Zur Frage nach dem "Gedächtnis" des Zufalls ist
u.B. die Markov (Markow?) Eigenschaft zu erwaehnen:
http://en.wikipedia.org/wiki/Markov_process Bei zufälligen
Prozessen mit dieser Eigenschaft ist die gesamte Information über
die Vergangenheit (also das "Gedächtnis") ist im
gegenwärtigen Zustand enthalten. Zur Erzeugung von Zufallszahlen findet man Information in TAOCP,
http://de.wikipedia.org/wiki/The_Art_of_Computer_Programming Vol 2,
Chapter 3. Dort ist auch eine ausführliche Diskussion zm Thema
"What is a random sequence" Mathematisch laesst sich der Zufall auch benutzen, um
deterministische Dinge zu berechnen
http://en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_method Vgl. auch Buffonsches
Nadelproblem, http://en.wikipedia.org/wiki/Buffon%27s_needle Viel Spass beim Artikel Schreiben ;-) (HZ, 6. Okt 2004) Da sich anscheinend niemand findet, der den Artikel ueberarbeitet
und er aus urheberrechtlich unklarer Quelle stammt, waere es wohl
besser, ihn zu löschen. (HZ, 15. Okt 2004) Falsche und kontroverse Ansichten über
den Zufall Interessant ist , daß viele Menschen glauben , es
gäbe keinen echten Zufall . Andere wiederum meinen alles
sei nur Zufall . Mit viel Vehemenz werden beide Standpunkte
vertreten. Beide Gruppen haben unrecht , denn die Wirklichkeit zeigt
eine gute Mischung von Zufallsereignissen und gesetzmäßig
ablaufenden Ereignissen. Aus Zufall kann wieder Ordnung entstehen und
Ordnung kann durch zufällige Fehler wieder verloren gehen. Albert Einstein hatte große Probleme dem Zufall in seinem
Weltbild einen Platz einzuräumen: "Gott würfelt
nicht !" Meines Erachtens hat er unrecht mit dieser
Bemerkung , denn in den Naturgesetzen hat der Zufall einen wichtigen
Platz. â€œ Man giebt allgemein zu, dass nichts da ist
ohne Ursache für sein Dasein, und dass Zufall im strengen Sinne
nur eine Verneinung ist und keine wirkliche Kraft bezeichnet, die
irgend ein Dasein in der Natur hätte.â€œ [Hume: Untersuchung in Betreff des menschlichen Verstandes, S.
134. Digitale Bibliothek Band 2: Philosophie, S. 15317 (vgl.
Hume-Unters., S. 88)] Chandowar schrieb am 1.8. 2001 um 11:36:09 Uhr über Zufall Es gibt keinen Zufall. Alles hat eine Ursache, auch wenn wir es
nicht erkennen können oder vergessen haben. Claudia schrieb am 11.9. 2000 um 11:23:19 Uhr über Zufall Zufall gibt es nicht Daniel schrieb am 24.5. 2001 um 23:33:07 Uhr über Zufall Ich glaube nicht an Zufall! Zufall gibt es nicht! Es gibt nur KA
oder Karma! und wir alle die die meinen Text lesen gehören zu
einem KA-TET denn wir haben uns beeinflusst ihr mich dass ich diesen
Text geschrieben habe und ich euch dass ihr euch die Zeit genommen
habt ihn zu lesen! Es ist kein Zufall!!! Felix schrieb am 10.2. 2000 um 13:48:19 Uhr über Zufall Zufall ist ein Unwort, daß aus dem Wortschatz gestrichen
werden sollte. Es gibt keine Zufälle. Es gibt nur unvollkommene Einsicht des
Menschen, mangelndes Verstehen und mangelndes Erklärungsvermögen.
Alles ist miteinander verbunden und steht in ewiger
Wechselwirkung. Alles bedingt und beeinflusst sich gegenseitig. Xanroth schrieb am 6.12. 2000 um 17:26:28 Uhr über Zufall Gott ist Zufall! Wer hat zum Zufallsbegriff beigetragen ? Die Natur : denn sie würfelt doch . Die Evolution bei der zufälligen Variation von DNSSequenzen
und bei Mutationen Der erste Mensch der das Los erfand . Der Erfinder des Würfels . Der Erfinder der Münze als Zufallswette. Der Erfinder der Lostrommel. Der Erfinder des Roulettespiels. Aristoteles hat sich in seinem Buch Physik als
erster ausführlich mit dem Thema Zufall auseinandergesetzt. (
Zweites Buch , Capitel 4 und 5 ) Epikur hat die Atome zufällig etwas schräg fallen lassen
Die Bibel hat den armen ??? aus dem Boot geworfen. Ihn hatte das
Los getroffen und damals war ein Los ein Gottes Urteil , denn nur
Gott konnte den Ausgang des Losverfahrens geahnt haben. Hume schrieb eine Abhandlung über die Wahrscheinlichkeit und
das Würfeln. [Hume: Untersuchung in Betreff des menschlichen Verstandes, S. 79.
Digitale Bibliothek Band 2: Philosophie, S. 15262 (vgl. Hume-Unters.,
S. 53-54)] Viele Bernoullis Blaise Pascal Fisher http://psy.ed.asu.edu/~classics/Fisher/Methods/index.htm
WORKERS By Ronald A. Fisher (1925) Originally published in London by Oliver and Boyd. Boltzmann Kolmogorow : Andrej Nikolajewitsch Kolmogorow Gregory Chaitin http://www.cs.auckland.ac.nz/CDMTCS/chaitin/index.html
und viele mehr Zitate Zufall ist das unberechenbare Geschehen, das sich unserer Vernunft
und Absicht entzieht. ( Gebrüder Grimm , Deutsches
Gott würfelt nicht ( Albert Einstein ) Zufall ist vielleicht das Pseudonym Gottes, wenn er nicht selbst
unterschreiben will ( Anatole France )
"Nun noch zu einem weiteren Kennzeichen der Biologie, dem
Zufall. In den physikalischen Wissenschaften führen die
Naturgesetze normalerweise zu stark deterministischen Ergebnissen.
Weder die natürliche noch die geschlechtliche Selektion
gewährleisten einen solchen Determinismus. Tatsächlich ist
das Ergebnis eines evolutionären Prozesses gewöhnlich die
Folge von Wechselwirkungen zahlreicher Zufallsfaktoren. Blinder
Zufall produziert auch die Variation. Er herrscht sowohl beim
crossing-over wie bei der Verteilung, der Chromosomen in der
Reduktionsteilung. Gerade wegen dieses Zufallsaspektes wurde die
Theorie der natürlichen Selektion am häufigsten kritisiert.
Doch ist es gerade diese Unabhängigkeit vom Determinismus, die
der natürlichen Selektion ihre große Flexibilität
gibt. Es ist keineswegs wahr, wie von Darwins Zeitgenossen, zum
Beispiel dem Geologen Sedgwick behauptet wurde, dass es
unwissenschaftlich sei, sich auf den Zufall zu berufen, Es ist gerade
die Zufälligkeit der Variation, die so charakteristisch für
die Darwin'sche Evolution ist. Dennoch ist die relative Bedeutung des
Zufalls im Evolutionsprozess auch heute noch sehr umstritten.
Natürlich hat die eigentliche Selektion immer das letzte Wort."
"Bei dem Gedanken an den gewaltigen Weg, den die Evolution ...
zurückgelegt hat, an die ungeheure Vielfalt der Strukturen, die
durch sie geschaffen wurden und an die wunderbare Leistungsfähigkeit
von Lebewesen - angefangen vom Bakterium bis zum Menschen - können
einem leicht Zweifel aufkommen, ob das alles Ergebnis einer riesigen
Lotterie sein kann, bei der eine blinde Selektion nur wenige Gewinner
ausersehen hat." (Monod, J.: Zufall und Notwendigkeit, dtv, 3.
Aufl. 1977)
"Zufall ist ein Wort ohne Sinn, nichts kann ohne Ursache
existieren." (Voltaire)
"Die Welt, in der wir leben, läßt sich als das
Ergebnis von Wirrwarr und Zufall verstehen; wenn sie jedoch das
Ergebnis einer Absicht ist, muß es die Absicht eines Teufels
gewesen sein. Ich halte den Zufall für eine weniger peinliche
und zugleich plausiblere Erklärung." Russell
Albert Einstein (1897 - 1955): ..Zufall ist nicht möglich: "Gott
würfelt nicht."
Andreas Bauch, Leiter der PTB-Arbeitsgruppe "Zeiteinheit":
.Zufall ist immer im Spiel. Ganz bestimmt dann, wenn ich verliere.
Werner Heisenberg (1901 - 1976): "Kann das Mögliche,
nämlich das zu erreichende Ziel, den kausalen Ablauf
beeinflussen? Damit ist man aber schon fast wieder im Rahmen der
Quantentheorie. Denn die Wellenfunktion der Quantentheorie stellt ja
das Mögliche und nicht das Faktische dar. In anderen Worten:
vielleicht ist der Zufall, der in der Darwinschen Theorie eine so
wichtige Rolle spielt, gerade deshalb, weil er sich den Gesetzen der
Quantenmechanik einordnet, etwas viel Subtileres, als wir uns
zunächst vorstellen."
Reinhard Scherm, zum Zeitpunkt des Interviews Leiter des
PTB-Fachbereichs "Physikalische Grundlagen": Toni macht
Praktikum: Eine schwach radioaktive Quelle erzeugt Krächzer in
einem Lautsprecher. Toni soll die Ankunftszeit von 200 Ereignissen
protokollieren und dann zu Hause Verteilungen zur Poisson-Statistik
A -16:30 Erstes Pip. Um 17.03 hat Toni seine 200 Pipser fertig, packt
ein und geht in die Kneipe zum Skat bis Mitternacht.
B - Wiederholen wir das Experiment!
16:30 Erstes Pip. Um 17.05 hat Toni seine 200 Pipser fertig, packt
ein, da kommt eine Studentin, die ihren Taschenrechner verloren hat.
Sie suchen ihn, finden ihn schließlich.... Der Abend endete
Uwe Keyser, zum Zeitpunkt des Interviews Leiter des PTB-Fachbereichs
"Experimentelle Forschungsschwerpunkte": Zufall ist.die
Beschreibung eines Sachverhalts den wir noch nicht erklären
können; frei mit H. v. Kleist kann man sagen: ... "ich
grüße jenen großen Geist in 500 Jahren"
Hermann von Helmholtz (1821 - 1894): "Zufall ist in Wirklichkeit
nur der Ausdruck für die Mangelhaftigkeit unseres Wissens und
die Schwerfälligkeit unseres Combinationsvermögen. Ein
Geist, der die genaue Kenntnis der Thatsachen hätte und dessen
Denkoperationen schnell und präcis genug vollzogen würden,
um den Ereignissen vorauszueilen, würde in der wildesten
Launenhaftigkeit des Wetters nicht weniger, als im Gange der
Gestirne, das harmonische Walten ewiger Gesetze anschauen, das wir
nur voraussetzen und ahnen.
Ernst O. Göbel, Präsident der PTB: Zufall ist die
Manifestierung der Gesetze der Statistik
Annette Paul, PTB-Arbeitsgruppe "Umweltradioaktivität":
Zufall ist ein unvorhersagbares und nicht reproduzierbares Ereignis.
Gesine Grosche, PTB-Arbeitsgruppe "Längeneinheit":
Zufall ist nötig.
Zufällig im reinen Sinne der Kategorie ist das, dessen
kontradiktorisches Gegenteil möglich ist.Immanuel Kant (Kritik
der reinen Vernunft, B 487)
Der Zufall im statistischen Sinne ist die zusammengefasste Wirkung
aller Faktoren, welche ständig tätig, nicht klar erkennbar,
nicht zuschreibbar und nicht kontrollierbar sind, und deren Effekte
wir im Einzelfall nicht vorhersagen können. Herbert Immich
Der Zufall ist allgegenwärtig. Herbert Immich
Est autem fortuna; rerum igitur fortuitarum nulla praesensio est. Es
gibt aber einen Zufall , und deshalb kann man die kommenden Dinge
nicht vorauswissen. Cicero
Und was / Ist Zufall anders als der rohe Stein, / Der Leben annimmt
unter Bildners Hand? / Den Zufall gibt die Vorsehung - Zum Zwecke /
Muss ihn der Mensch gestalten. - Friedrich Schiller (Don Carlos)
Zufall ist das unberechenbare Geschehen, das sich unserer Vernunft
und Absicht entzieht. - Gebrüder Grimm (Deutsches Wörterbuch)
Zufall ist vielleicht das Pseudonym Gottes, wenn er nicht selbst
unterschreiben will. - Anatole France
Der liebe Gott würfelt nicht ! Albert Einstein
Das, wobei unsere Berechnungen versagen, nennen wir Zufall. Albert
Also der Zufall auch, der scheinbar zügelbefreite, treu und
gehorsam stets feste Gesetze befolgt! Boethius: Die Tröstungen
Nun noch zu einem weiteren Kennzeichen der Biologie, dem Zufall. In
den physikalischen Wissenschaften führen die Naturgesetze
normalerweise zu stark deterministischen Ergebnissen. Weder die
natürliche noch die geschlechtliche Selektion gewährleisten
einen solchen Determinismus. Tatsächlich ist das Ergebnis eines
evolutionären Prozesses gewöhnlich die Folge von
Wechselwirkungen zahlreicher Zufallsfaktoren. Blinder Zufall
produziert auch die Variation. Er herrscht sowohl beim crossing-over
wie bei der Verteilung, der Chromosomen in der Reduktionsteilung.
Gerade wegen dieses Zufallsaspektes wurde die Theorie der natürlichen
Selektion am häufigsten kritisiert. Doch ist es gerade diese
Unabhängigkeit vom Determinismus, die der natürlichen
Selektion ihre große Flexibilität gibt. Es ist keineswegs
wahr, wie von Darwins Zeitgenossen, zum Beispiel dem Geologen
Sedgwick behauptet wurde, dass es unwissenschaftlich sei, sich auf
den Zufall zu berufen, Es ist gerade die Zufälligkeit der
Variation, die so charakteristisch für die Darwin'sche Evolution
ist. Dennoch ist die relative Bedeutung des Zufalls im
Evolutionsprozess auch heute noch sehr umstritten. Natürlich hat
die eigentliche Selektion immer das letzte Wort. - Ernst Mayr
Stochastik ist die Lehre der Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit.
Sie ist ein sehr junger Teilbereich der Mathematik, zu dem im
weiteren Sinne auch die Kombinatorik, die Wahrscheinlichkeitstheorie
sowie die beurteilende Statistik gehören. deutsche Wikipedia
Zufall ist ein Wort ohne Sinn, nichts kann ohne Ursache existieren. -
Die Welt, in der wir leben, lässt sich als das Ergebnis von
Wirrwarr und Zufall verstehen; wenn sie jedoch das Ergebnis einer
Absicht ist, muss es die Absicht eines Teufels gewesen sein. Ich
halte den Zufall für eine weniger peinliche und zugleich
plausiblere Erklärung. - Bertrand Russell
Die zwei größten Tyrannen der Erde: der Zufall und die
Zeit. Johann Gottfried von Herder
Der Zufall ist ein Rätsel, welches das Schicksal dem Menschen
aufgibt. Friedrich Hebbel
Der Zufall ist die in Schleier gehüllte Notwendigkeit. Marie von
Spielen ist Experimentieren mit dem Zufall. Novalis
Der Zufall lehrt uns Achtsamkeit. Hierin liegt der größte
Gewinn, das er uns beschert. Überraschungen machen uns
empfänglich für die Gegenwart - und ist das Jetzt nicht
alles, was wir haben? Sich dem Zufall öffnen heißt
lebendig sein. Stefan Klein , http://www.alles-zufall.de
No risk, no fun Autor unbekannt
Heutige Zufallsexperten alle Mathematiker die sich mit der Statistik und der
Wahrscheinlichkeitsrechnung befassen Stochastiker Statistiker Chaosforscher http://www.ebelinge.de/index.htm
werner@ebelinge.de Prof. Dr. W. Ebeling HUMBOLDT - UNIVERSITÄT ZU
BERLIN Lehrstuhl für Statistische
Physik und Nichtlineare Dynamik Lehrstuhl für Stochastische
Prozesse Invalidenstr.110 10115 Berlin Tel.:030/2093-7636 Fax 030/2093-7638 Gregory Chaitin http://www.cs.auckland.ac.nz/CDMTCS/chaitin/index.html
Pincus und Kalman http://lslwww.epfl.ch/~aperez/rlbj.html Kalman, Rudolf E. Swiss Federal Institute of
Technology Kalman's work on the foundations
of control theory helped to establish the field as a central part of
applied mathematics. In particular, the Kalman filter revolutionized
the area of recursive estimation. Scientific Field: Mathematics http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~duerr/
Prof. Dr. Detlef Dürr Mathematisches Institut der
Universität München Theresienstr. 39 80333 München Germany Tel: 49 89 - 23 94 4477; privat:
08191 911640 Fax: 49 89 - 2805248 Email: duerr@mathematik.uni-muenchen.de http://www.math.uni-frankfurt.de/~stoch/lang/
PD Dr. Reinhard Lang Postanschrift : J.W. Goethe-Universität FB Mathematik Postfach 11 19 32 D-60054 Frankfurt a.M. Adresse : Robert-Mayer-Straße 10 Raum 705 D-60325 Frankfurt am Main Tel: +49 (69) 798 - 22641 Fax: +49 (69) 798 - 28841 e-mail: reinhard.lang@math.uni-frankfurt.de http://www.mi.informatik.uni-frankfurt.de/ag7.1/people/kauffmann/
Lars Kauffmann Robert-Mayer-Straße 10 Zimmer 703 D-60325 Frankfurt am Main Telefon: +49 (69) 798 - 23671 Prof. Dr. Juraj Hromkovic Lehrstuhl für Informatik I RWTH Aachen 52056 Aachen Email: jh@cs.rwth-aachen.de Internet: http://www-i1.informatik.rwth-aachen.de Projekt Algorithmen, Struktur, Zufall http://asz.informatik.hu-berlin.de/mitarb.php
Arbeitsgruppe Grötschel Prof. Dr. Martin Grötschel Die Projekte Stabile Mengen und spezielle Graphenklassen und
Kombinatorische Online-Planung sind in die Abteilung Optimierung des
Konrad-Zuse-Zentrums für Informationstechnik Berlin (ZIB)
eingebettet. Eine Gruppe von etwa zwanzig Mitarbeiterinnen und
Mitarbeitern ermöglicht einen regen Austausch in beinahe allen
Gebieten der kombinatorischen Optimierung (ganzzahlige /
gemischt-ganzzahlige Optimierung, stochastische Programmierung,
semidefinite Optimierung u.ä.). Das Projekt Stabile Mengen und spezielle Graphenklassen wird
bearbeitet von Dr. Ralf Borndörfer Dr. Annegret Wagler. Das Projekt Kombinatorische Online-Planung wird bearbeitet von Dr. Sven O. Krumke Dipl.-Math. Diana Poensgen Dr. Jörg Rambau Arbeitsgruppe Möhring Prof. Dr. Rolf Möhring Die Arbeitsgruppe Kombinatorische Optimierung und
Graphenalgorithmen von Prof. Möhring ist Teil des Fachbereichs
Mathematik der Technischen Universität Berlin. Die
Forschungsschwerpunkte der insgesamt 14 Mitglieder liegen in der
Kombinatorischen Optimierung (insbesondere Graphen- und
Netzwerkalgorithmen), im Scheduling und in der Kombinatorik
geordneter Mengen. Das Projekt wird bearbeitet von Dipl.-Math. Michael Naatz Dipl.-Math. Vanessa Kääb
Dr. Ekkehard Köhler Dr. Martin Skutella Arbeitsgruppe Prömel Prof. Dr. Hans Jürgen Prömel Der Lehrstuhl Algorithmen und Komplexität von Prof. Prömel
gehört zur Theoretischen Informatik des Instituts für
Informatik der Humboldt-Universität zu Berlin. Acht Mitarbeiter
verfolgen derzeit im wesentlichen zwei Forschungsrichtungen. Ein Teil
beschäftigt sich mit zufälligen Strukturen, der andere mit
Approximationsalgorithmen und Nichtapproximierbarkeit. Am Projekt Evolution und Phasenübergänge beteiligen sich
Dr. Deryk Osthus Dr. Anusch Taraz Am Projekt Entwurf und Analyse von Graphenalgorithmen beteiligen
sich Dr. Clemens Gröpl Dr. Stefan Hougardy Dr. Till Nierhoff Arbeitsgruppe Ziegler Prof. Dr. Günter M. Ziegler Die Arbeitsgruppe Diskrete Geometrie von Prof. Ziegler ist Teil
des Fachbereichs Mathematik der Technischen Universität Berlin.
Die Arbeit an den Projekten wird insbesondere von folgenden
Mitarbeitern unterstützt: Dr. Michael Joswig Dr. Volker Kaibel Dipl.-Math Marc Pfetsch Dipl.-Math. Alexander Schwartz Thomas Voigt und viele mehr http://www.wer-weiss-was.de/content/start.shtml
Chance in Physics: conference in Naples in Dec 1999 Programme Monday: Foundations of Statistical Mechanics and Philosophy of
probability. 09:30-10:15 The rise of statistical mechanics. Carlo Cercignani 10:15-11:00 Boltzmann's approach to statistical mechanics. Sheldon
Goldstein 11:30-12:15 Information and entropy. Christopher Fuchs 12:15-13:00 Non commutative probability. Enrico Beltrametti 15:00-16:30 Round table on Philosophy of probability I. Organizer:
Tim Maudlin (with Lawrence Sklar, Frank Arntzenius, Simon Saunders) 17:00-18:30 Round table on Philosophy of probability II.
Organizer: Maria Carla Galavotti (with Richard Jeffrey, Peter Clark,
Patrick Suppes, Jeremy Butterfield) Tuesday: Foundations of Quantum Mechanics. 09:00-09:45 Orthodox Quantum mechanics. Stephen Adler 09:45-10:30 Bohmian Mechanics. Detlef Dürr 11:00-11:45 The theory of spontaneous localisation. Alberto Rimini
11:45-12:30 The theory of decoherent histories. Roland Omnès
15:00-16:30 Round table on the foundations of Quantum Mechanics.
Organizers: GianCarlo Ghirardi, Adrian Kent, Peter Holland (with
Paolo Grigolini, Francesco Petruccione, Chris Dewdney and others) Wednesday: Chaos. 09:00-09:45 Classical Chaos. James Yorke 09:45-10:30 Quantum Chaos. Giulio Casati 11:00-11:45 Quantum Chaos. Andreas Knauf 11:45-12:30 Singular perturbations in classical and quantum
mechanics: the case of constrained systems. Gianfausto Dell'Antonio 15:00-15:30 Probability and nonlocality in quantum mechanics.
Augusto Garuccio 15:30-16:00 Relaxation times to statistical equilibrium.Stefano
Ruffo 16:30-17:00 Quantum-like aspects of classical dynamical systems.
Luigi Galgani 17:00-17:30 Entropic Analysis for Chaotic Systems. Angelo Vulpiani
Thursday: Chaos and probability. 09:00-09:45 The Boltzmann equation and irreversibility. Herbert
Spohn 09:45-10:30 On the relevance of chaos for the foundations of
statistical mechanics. Jean Bricmont 11:00-11:45 Direction of Time. Oliver Penrose 11:45-12:30 Title to be announced. Giovanni Jona-Lasinio 15:00-15:45 Thermodynamic Arrow of Time. David Albert 15:45-16:30 Stochastic mechanics. Francesco Guerra 17:00-19:00 Round table on Probability in Physics. Organizer: Nino
Zanghì Friday: Relativity. 09:00-09:45 On relativity. Michael Kiessling 09:45-10:30 Relativity and spontaneous localisation. Heinz-Peter
Breuer 11:00-13:00 General Discussion. Chairman: Edward Nelson Chance in Physics: conference in Naples in Dec 1999 List of participants Adami, Riccardo, Roma, Italy Adams, Stefan, München,
Germany Adler, Stephen, Princeton, USA Agnese, Angelo, Genova, Italy Albert, David Z., New York, USA Allori, Valia, Genova, Italy Arntzenius, Frank, New Brunswick
NJ, USA Bacciagaluppi, Guido, Cambridge,
UK Bassani, Franco, Pisa, Italy Bassi, Angelo, Trieste, Italy Beltrametti, Enrico, Genova, Italy
Benci, Vieri, Pisa, Italy Ben-Menahem, Yemima, Jerusalem,
Israel Bergia, Silvio, Bologna, Italy Bernardini, Carlo, Roma, Italy Blanchard, Philipp, Bielefeld,
Germany Booss-Bavnbek, Bernhelm, Roskilde,
Denmark Breuer, Heinz-Peter, Freiburg,
Germany Bricmont, Jean, Louvain-la-neuve,
Belgium Butterfield, Jeremy N., Cambridge,
UK Callender, Craig, London, UK Casati, Giulio, Como, Italy Castellani, Elena, Firenze, Italy Cercignani, Carlo, Milano, Italy Clark, Peter, St. Andrews, UK Corregi, Michele, Pisa, Italy Costantini, Domenico, Bologna,
Italy Cufaro Petroni, Nicola, Bari,
Italy Dalla Chiara, Maria Luisa,
Firenze, Italy Dell'Antonio, Gianfausto, Roma,
Italy Dewdney, Chris, Portsmouth, UK Dinges, Herrmann, Frankfurt,
Germany Dorner, Uwe, Freiburg, Germany Dürr, Detlef, München,
Germany Festa, Roberto, Genova, Italy Fronzoni, Leone, Pisa, Italy Fuchs, Christopher, Caltech, USA Galavotti, Maria Carla, Bologna,
Italy Galgani, Luigi, Milano, Italy Garuccio, Augusto, Bari, Italy Gentili, Fausto, Bologna, Italy Ghirardi, Gian Carlo, Trieste,
Italy Giannerini, Simone, Bologna, Italy
Goldstein, Sheldon, New Brunswick
NJ, USA González Jiménez,
Edgar, Bogotá, Colombia Gray, Lawrence, Minneapolis MN,
USA Grigolini, Paolo, Denton TX, USA Guerra, Francesco, Roma, Italy Guttmann, Yair, Stanford CA, USA Gwirceman, Orit, New Brunswick NJ,
USA Hemmo, Meir, Haifa, Israel Hiley, Basil J., London, UK Holland, Peter R., Bristol, UK Horton, George, Portsmouth, UK Huggett, Nicholas, Chicago IL, USA
Jeffrey, Richard, Princeton NJ,
USA Jona-Lasinio, Giovanni, Roma,
Italy Kastner, Ruth, Maryland, USA Kent, Adrian, Cambridge, UK Khrennikov, Andrei, Växjö,
Sweden Kiessling, Michael, New Brunswick
NJ, USA Knauf, Andreas, Leipzig, Germany Loewer, Barry, New Brunswick NJ,
USA Marinatto, Luca, Trieste, Italy Maudlin, Tim, New Brunswick NJ,
USA Morato, Laura, Verona, Italy Nelson, Edward, Princeton, USA Noja, Diego, Milano, Italy Omnès, Roland, Paris,
France Panati, Gianluca, Trieste, Italy Penrose, Oliver, Edinburgh, UK Peruzzi, Giulio, Padova, Italy Petruccione, Francesco, Freiburg,
Germany Pizzo, Alessandro, Trieste, Italy Pohlmeyer, Klaus, Freiburg,
Germany Poschadel, Norbert, Saarbrücken,
Germany Posilicano, Andrea, Como, Italy Prestipino, Santi, Trieste, Italy Redei, Miklos, Budapest, Hungary Ridderbos, Katinka, Cambridge, UK Rimini, Alberto, Pavia, Italy Robotti, Nadia, Genova, Italy Rosa, Rodolfo, Bologna, Italy Ruffo, Stefano, Firenze, Italy Saunders, Simon, Oxford, UK Satzger, Helmut, München,
Germany Shenker, Orly, Jerusalem, Israel Sklar, Lawrence, Michigan, USA Spohn, Herbert, München,
Germany Stokley, Martin, Portsmouth, UK Storck, Tim, München, Germany
Suppes, Patrick, Stanford CA, USA Teta, Alessandro, Roma, Italy Teufel, Stefan, München,
Germany Tumulka, Roderich, München,
Germany Ugolini, Stefania, Verona, Italy Uffink, Jos, Utrecht, the
Netherlands Ullmann, Philipp, Frankfurt,
Germany Valentini, Antony, London, UK van Lith-van Dis, Janneke,
Utrecht, the Netherlands Vulpiani, Angelo, Roma, Italy Yorke, James A., Maryland, USA Zanghì, Nino, Genova, Italy Empfehlenswerte Literatur zum Thema
Zufall: Alles Zufall Die Kraft, die unser Leben bestimmt Stefan Klein EUR 19,90 ROWOHLT, REINBEK
Erscheinungstermin: 07.2004 Seiten: 376
ISBN: 3-498-03519-3 http://www.alles-zufall.de/links.html
siehe http://www.zeit.de/2004/43/SM-Klein
Wie der Zufall will? : Vom Wesen der Wahrscheinlichkeit von Tarassow, Lew W. Preis: 20,00 DM Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg | 1998 | ISBN 3827404746 gutes Buch , leicht verständlich Das Reich des Zufalls: Wissen zwischen Wahrscheinlichkeiten, Häufigkeiten und
Unschärfen. Von Gerd Gigerenzer, Zeno Swijtink, Theodore Porter
u. a.. 1999. 374 S. 24 cm. Gebunden. 826gr. ISBN: 3-8274-0101-1, KNO-NR: 07 01 43 67 -SPEKTRUM AKADEMISCHER VERLAG- 79.90 DM Sehr interessantes Buch über die Geschichte der
Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sehr lesenswert. Zusatztext: Die "Macht des Zufalls" ist ein Buch über alle
Facetten des Begriffes "wahrscheinlich": Von den Wurzeln
der Zufallsstatistik beim Glücksspiel über die Bedeutung
der Wahrscheinlichkeit als Häufigkeit in bezug auf eine
Stichprobe oder Grundgesamtheit bis hin zur quantenmechanischen
Wahrscheinlichkeit und Faktorenanalyse in der Psychologie. Die Autoren, namhafte Wissenschaftler aus unterschiedlichen
geistes- und naturwissenschaftlichen Disziplinen, haben das Buch
primär für Psychologen geschrieben, die sich mit
raffinierten statistischen Methoden auskennen müssen. Das Buch
knüpft aber auch an andere Disziplinen wie Sozial- und
Wirtschaftswissenschaften oder Naturwissenschaften an. Bd.410 Eigen, Manfred; Winkler, Ruthild: Das Spiel. Serie Piper: -PIPER-Naturgesetze steuern den Zufall. Mit 68 meist
farb. Abb.. Kartoniert. 466gr. ISBN: 3-492-20410-4, KNO-NR: 02 60 09 02 29.90 DM Zusatztext: Die Grundelemente des Spiels - Zufall und Gesetz - bestimmen
jegliches Geschehen im Universum. So lassen sich Naturgesetze in Form
von Spielregeln abstrahieren. Auf dem Spielfeld bilden sich Muster,
Information entsteht, die Gesetze von Selektion und Entwicklung
treten klar hervor. Dies ist die Quintessenz dieses weltweit
erfolgreichen Buches. Sehr gutes Buch. sehr lesenswert . Statistik für Nichtstatistiker. Zufall oder
Wahrscheinlichkeit. Karl Bosch Preis: DM 39,80 EUR 20,34 Gebundene Ausgabe - 3., bearb. Aufl. (1998) Oldenbourg, Mchn.;
ISBN: 3486247506 frank.gaeth@t-online.de aus Berlin , 13. Dezember 2000 Gute Einführung Didaktisch sehr gute Einführung vom Nullniveau aus mit
mathematischem Schwerpunkt. Ursprünglich wohl ein Schulbuch,
ähnliches Buch im Klett-Verlag erschienen. Dieses Buch ist
wirklich zu empfehlen. --Dieser Text bezieht sich auf die
Taschenbuch-Ausgabe des Titels Alte Bücher zum Thema Aristoteles Physika Im Zweiten Buch , Kapitel 4 und 5 eine der ersten längeren
Abhandlungen über den Zufall. Auch heute noch sehr lesenswert.
Viele Jahrhunderte nach Aristoteles hat es gebraucht den Zufall als
Ursache anzuerkennen. Die Analyse des Zufalls von Timerding, Heinrich Emil http://cdl.library.cornell.edu/Hunter/hunter.pl?handle=cornell.library.math/00660001&id=5
1.Kap: Der Begriff des Zufalls S1 2.Kap: Die statistische Methode
S13 3.Kap: Stationäre
Zahlenreihen S21 4.Kap: Das Gesetz der großen
Zahl S35 5.Kap: Die Theorie der
Glücksspiele S50 6.Kap: Die Mathematische Analyse
stationärer Reihen S69 7.Kap: Das Urnenschema S91 8.Kap: Näherungsformeln S105 9.Kap: Die statistische Theorie
des Zufalls S134 10.Kap: Die genetische Theorie des
Zufalls S154 Namensverzeichnis Windelband, Die Lehren vom Zufall. (Berl. 1870); Cantor, Das Gesetz im Zufall. (das. 1877). Wahrscheinlichkeitsrechnung Ars conjectandi Reihe Ostwalds Klassiker, Bd. 107: Autor Jakob Bernoulli Ausgangspunkt für die Auseinandersetzung Jakob Bernoullis mit
wahrscheinlichkeitstheoretischen Problemen waren die Studien von
Christian Huygens über Glücksspiele aus dem Jahre 1657. Er baute sie zu einer umfassenden Theorie aus, der "Ars
conjectandi", in der er versucht, dieses Gebiet über die
bislang üblichen Anwendungen auf Glückspiele hinaus auf
"bürgerliche, sittliche und wirtschaftliche Verhältnisse"
auszuweiten. Das Werk enthält Gedanken über Gewißheit,
Notwendigkeit, Zufall, moralische und rechnerische Erwartung,
Gewinnaussichten sowie die Auswertung von Potenzsummen mittels
Bernoullischer Zahlen. Bibliographie 2. Auflage 1999, 328 Seiten, 1 Abbildungen, kartoniert, Euro
24,80 ISBN 3-8171-3107-0 22.01.2002 © Verlag Harri Deutsch, Gräfstraße 47,
D-60486 Frankfurt am Main, Philosophischer Versuch über die Wahrscheinlichkeit Reihe Ostwalds Klassiker, Bd. 233: Autor : Pierre Simon de Laplace Wer hat sich nicht im Mathematikunterricht mit den
Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln oder Werfen einer Münze
amüsiert? In seinem Werk "Philosophischer Versuch über
die Wahrscheinlichkeit" legt Laplace die Grundlagen für die
Berechnung dieser Ereignisse dar. Ferner zeigt er auf, wie leicht sich Menschen aus ihren
Alltagserfahrungen heraus von falschen Wahrscheinlichkeiten leiten
lassen und dehnt seine Berechnungen auf die ethischen Wissenschaften
aus. Der "Essai" enthält die berühmte
klassische, mehr als 100 Jahre lang benutzte Definition der
Wahrscheinlichkeit. Ferner umfasst er die exakte Formulierung des
klassischen mechanischen Determinismus. Die Anwendung der
Wahrscheinlichkeitsrechnung auf naturwissenschaftliche
Fragestellungen erwies sich als fruchtbar, während ihre
Anwendung auf Zeugenaussagen und Gerichtsurteile erfolglos bleiben
musste. Bibliographie 2. Auflage 1996, 211 Seiten, 1 Abbildungen, kartoniert, 16,80 ISBN 3-8171-3233-6 Weitere Bücher zum Thema , zum Teil sehr speziell. Habe ich
noch nicht gelesen Chaitin, Gregory J.: Exploring RANDOMNESS. Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science. 2001. X,
164 p. 24 cm. Gebunden. 432gr. ISBN: 1-85233-417-7, KNO-NR: 09 67 27 81 -SPRINGER, BERLIN- 69.00 DM GAME THEORY Davis, Morton D. Game Theory: A Nontechnical Introduction.
Dover,1997. Mosteller, Frederick. Fifty Challenging Problems in Probability
with Solutions. Dover,1986, 1989.Popular exposition of game theory. Packel, Edward. The Mathematics of Games and Gambling.
Mathematical Association of America,1981.Only prerequisite is some
high school algebra. PROBABILITY AND STATISTICS Bernstein, Peter L. Against the Gods: The Remarkable Story of
Risk. Wiley,1996.Comprehensive history of our efforts to understand
risk and probability. Cushman, Jean. Do You Wanna Bet? Your Chance to Find Out About
Probability. Clarion,1991.A lively introduction to the subject of
probability, using the experiences of two young boys at home and at
school. For younger readers. Kocherlakota, K. A Primer in Probability. Dekker,1990.Introductory
undergraduate text, with traditional but not overly difficult topics.
McGervey, John D. Probabilities in Everyday Life.
Ivy,1989.Workable problems that are relevant for nonscience students.
Mendenhall, William; Robert J. Beaver; and Barbara M. Beaver.
Introduction to Probability and Statistics. Duxbury,1998.Useful
particularly for those who are not mathematicians. Peterson, Ivars. The Jungles of Randomness: A Mathematical Safari.
Wiley,1997.An exploration of randomness in mathematics, written by
the mathematics and physics editor of Science News magazine. Includes
many illustrations. Chance and Order in Mathematics and Life. 1999. XX, 201 p.
w. 25 figs. 21,5 cm. Gebunden. 374gr. ISBN: 0-387-98737-1, KNO-NR: 08
45 95 90 -SPRINGER, BERLIN; COPERNICUS, N. Y.- 39.90 DM VanMelkebeek, D: Randomness and Completeness in Computational
Complexity -SPRINGER, BERLIN- 2000 62,- DM Gentle, J: Random Number Generation and Monte Carlo
Methods-SPRINGER, BERLIN- 2000 114,- DM Arnold, L: Random Dynamical Systems -SPRINGER, BERLIN- 1998 Beltrami, E: What is Random? -SPRINGER, BERLIN; COPERNICUS,
N. Y.- 1999 39,90 DM What is Random? Edward Beltrami Springer-Verlag 1999 Hard cover $15.40 at
www.Amazon.com This book is an attempt to understand the concept of randomness
and its relation to concepts like entropy, thermodynamics, and chaos.
When we toss a coin a number of times we are accustomed to thinking
of the resulting sequence of heads and tails as a random sequence.
Thus we would consider any sequence that is the result of tossing a
coin a sequence of times to be random. This approach makes the
sequence HHHHH no less random than the sequence HTHHTH. However, most
people would consider the second sequence a random sequence but not
the first. This leads some to believe that people do not understand what
random means. However, it led the founder of modern probability
Kolmogorov, and others (Chaitin, Solomonov, and Martin Lof) to try to
say what it should mean to say that a specific sequence is random. Martin Lof took the approach that a sequence of heads and tails
should be considered random if it would pass a set of statistical
tests for randomness such as: the proportion of heads should be near
1/2, there should not be too many or too few runs of heads or tails
etc. That is a sequence is random if it is a typical sequence in the
sense that it would not be rejected by standard tests of randomness.
Kolmogorov, Chaitin and Solomonov took an apparently different
approach. They say a sequence of heads and tails is random if it is
"complex", meaning that the shortest computer program you
can write to produce the sequence is about as long as the sequence
itself. The Martin Lof approach was shown to be equivalent to the
Komogorov approach, and Beltrami restricts himself to the Kolmogorov
approach. Here is a connection between complexity and entropy. Entropy as
defined by Shannon, is a measure of the uncertainly in a chance experiment. It is defined as -sum p(i)log(p(i) where the
sum is over all possible outcomes i of the chance experiment and the log is to the base 2. For a single toss of a biased coin with
probability p for heads and q for tails the entropy is -plogp -qlogq
= -log(pq). This entropy is maximum when p = 1/2 when it has the
value 1. For a fair coin tossed n times, the entropy is n and, for a biased coin tossed n times, the entropy is less than n. Shannon was interested in the problem of encoding sequences for
more efficient transmission. He showed that the expected length of the encoded sequence could be at most the entropy, and
there is an encoding that achieves this. Writing a computer program to produce sequences of H's and T's of length n is a way
to encode a sequence. Thus Shannon's coding theorem is consistent with the fact that most sequences produced by tossing a
fair coin are random but this is not true of the tosses of a biased coin. This is a book that you cannot sit down and read like a novel. You
will constantly find intriguing discussions that require you to stop and ponder what is actually going on. Beltami finds a simple example helpful in discussing the relations
between randomness, chaos and entropy. This example was suggested by similar examples presented by M. Bartlett in his
paper Chance or Chaos? J. Royal Statistical Soc. A. 153, 321-347, 1990, written in his 80th year. Beltrami named this example the
Janus sequence, after the Roman god who was depicted with two heads looking in opposite directions, at once peering into the
future and scanning the past. To construct this example we start with a number u(0) expressed in
binary representation. For example u(0) = .1011001101...... meaning that u(0) = 1/2 + 1/8 + 1/16 + 1/128 + 1/256 + 1/1024 +...
Starting with u(0) we determine a sequence of numbers u(0),u(1),u(3). We do this by going from u(k) to u(k+1) by
shifting the digits of u(k) one to the right and adding a new first
digit determined by the toss of a fair coin. We make this first digit 1
if heads turns up and 0 if tails turned up. If the first five tosses
are HTHTHH we obtain u(0) = .1011001101...... u(1) = .01011001101..... u(2) = .101011001101.... u(3) = .0101011001101... u(4) = .10101011001101.. u(5) = .110101011001101. We have described how we go from u(0) to u(5). Suppose that we are
given u(5) and we want to determine the previous values. To do this we simply start with u(5) and successively chop off the
first digit of the sequence and shift the sequence one digit to the left. These transformations appear to be very different. One seems to
introduce a lot of uncertainty as it computes successive values and the other does not. But this is deceptive. They each require
an initial value to determine the successive values. Suppose that this initial value can only be measured to a certain accuracy say
to 99 digits. What happens if you have the 100th digit wrong and it should be a 1 rather than a 0? For the forward process, such an
error makes at most an error of 1/2^100 in any of the successive values. But suppose you make this same error in the
initial value for the backward transformation. Then the value we end up with after 100 interactions would have a 0 as first digit
rather than a 1 and this would be a serious error. The backward transformation is a chaotic transformation, small errors in the
initial value can cause larger errors in future values. Thus in the forward process uncertainty in the future values is caused by the
coin tosses. In the reverse process it is caused by the chaotic nature of the transformation. Here is another way Beltrami uses this example to illustrate
relations between randomness, entropy, and chaos. Assume that we start with all the digits of u(0) known to be zero. Then for n
iterations the forward transformation is just the result of tossing a
coin n times. Thus we start with uncertainty as measured by entropy of
n. After k iterations of the forward process the uncertainty has decreased to n-k and the observed sequence of length k should have
complexity of about k. When we reverse the process we start with a sequence of complexity n. After we have removed the
first k digits we have reduced the complexity to n-k and the entropy is k. Thus entropy plus complexity remains the same in
both directions with entropy and complexity playing dual roles for these two transformations. Beltrami uses this example to help explain interesting physical
problems such as the famous Maxwell demon as interpreted by Szilard. A single molecule is put into a rectangular box and moves
randomly between two halves of the box. Entropy increases as the second law of thermodynamics predicts, because we become more
an more uncertain where the molecule is. The entropy is maximum when the system is in equilibrium and then by the second
law we cannot get work out of the system without changing it. Now the demon blocks the ends of the box by pistons and records on
which side the molecule is at each time unit of time. He then moves the piston from the end without the molecule to the center
of the box and lets the molecule push it back. The demon thus apparently produces work, increasing entropy without changing the
system. One explanation is that the demon, by obtaining information where the molecule is at a sequence of times, has
changed the system. Removing this information decreases uncertainty, that is entropy, by the same amount that the demon
has increased it. We don't expect you to understand or be convinced by it any more than we were. But the discussion will
inspire you to look further. For example, a more complete discussion of the Szilard version of Maxwell's demon can be found.
If this fails try the book "Maxwell's Demon" by Hans
Christian von Baeyer, Random House, 1998. <<<========<< Dacunha-Castelle, D: Spiele des Zufalls -GERLING AKADEMIE VERLAG-
1997 59,- DM Everitt, B: Chance Rules -SPRINGER, BERLIN- 1999 119,- DM Everitt, B: Chance Rules -SPRINGER, BERLIN; COPERNICUS, N. Y.-
1999 49,- DM Fayolle, G: Random Walks in the Quarter-Plane -SPRINGER, BERLIN-
1999 139,- DM Gentle, J: Random Number Generation and Monte Carlo Methods
-SPRINGER, BERLIN- 2000 114,- DM Goldreich, O: Modern Cryptography, Probalistic Proofs and
Pseudorandomnes -SPRINGER, BERLIN- 1999 129,- DM Grimmett, G: Percolation, -SPRINGER, BERLIN- 1999 159,- DM Johansen, S: Functional Relations, Random Coefficients, Nonlinear
Regress -SPRINGER, BERLIN- 36,- DM Kaye, B: A Random Walk Through Fractal Dimensions -WILEY-VCH- 1994
nicht mehr lieferbar 98,- DM Liu Pei-Dong: Smooth Ergodic Theory of Random Dynamical Systems
-SPRINGER, BERLIN- 1995nicht mehr lieferbar 63,- DM Moller, J: Lectures on Random Voronoi Tessellations -SPRINGER,
BERLIN- 1994 54,- DM Moryson, M: Testing for Random Walk Coefficients in Regression and
State -PHYSICA-VERLAG- 1998, nicht mehr lieferbar 98,- DM Müller, W: Collecting Spatial Data, -PHYSICA-VERLAG- 2001
85,- DM, Peterson, I: The Jungles of Randomness, -WILEY & SONS- 1998,
unbestimmt 65,- DM Rahimov, I: Random Sums and Branching Stochastic Processes,
-SPRINGER, BERLIN- 1995 80,- DM Random and Quasi-Random Point Sets, -SPRINGER, BERLIN- 1998 89,-
DM Random Discrete Structures-SPRINGER, BERLIN- 1996 78,- DM Random Sets-SPRINGER, BERLIN- 1997 59,- DM Das Reich des Zufalls-SPEKTRUM AKADEMISCHER VERLAG- 1999 78,- DM Rosenblatt, M: Gaussian and Non-Gaussian Linear Time Series and
Random Fi-SPRINGER, BERLIN- 2000 139,- DM Scheid, H: Zufall, -BIBLIOGRAPHISCHES INSTITUT, MANNHEIM- 1996
16,80 DM Snyder, D: Random Point Processes in Time and Space, -SPRINGER,
BERLIN- 1991 139,- DM Spitzer, F: Principle of Random Walk, -SPRINGER, BERLIN- 2001,
noch nicht lieferbar 89,- DM Stochastic Models in Geosystems, -SPRINGER, BERLIN- 1996 108,- DM Sznitman, A: Brownian Motion, Obstacles and Random Media,
-SPRINGER, BERLIN- 1998 129,- DM Tarassow, L: Wie der Zufall will?, -SPEKTRUM AKADEMISCHER VERLAG-
1998 20,- DM Thorisson, H: Coupling, Stationarity, and Regeneration, -SPRINGER,
BERLIN- 2000 159,- DM VanMelkebeek, D: Randomness and Completeness in Computational
Complexity, -SPRINGER, BERLIN- 2000 Paul Vitányi Randomness http://citeseer.nj.nec.com/56812.html
MATHEMATICAL FOUNDATIONS AND PHILOSOPHY How to define the notion of "a (finite) sequence of random
numbers"? Knuth describes the problem as this: The mathematical theory of probability and statistics carefully
sidesteps this question; it refrains from making absolute statements,
and instead expresses everything in terms of how much probability is
to be attached to statements involving random sequences of events.
The axioms of probability theory are set up so that abstract
probabilities can be computed readily, but nothing is said about what
probability really signifies, or how this concept can be applied
meaningfully to the actual world. The following papers and textbooks propose notions of randomness
different from Kolmogorov's: Chaitin, G.J.: Randomness and mathematical proof. Sci. Amer., 232:
47--52, 1975. Compagner, A.: Definitions of randomness. Am. J. Phys., 59:
700--705, 1991. Kac, M.: What is random?. American Scientist, 71: 405--406, 1983. Knuth, D.E.: The Art of Computer Programming, volume 2:
Seminumerical Algorithms. Addison-Wesley, Reading, MA, 2nd edition,
1981. Schnorr, C.P.: Zufälligkeit und Wahrscheinlichkeit, volume
218 of Lecture Notes in Math.. Springer, Berlin, 1971. The theory of uniform distribution of sequences, a sub field of
number-theory, is not concerned with randomness but provides highly
useful tools to construct theoretical "figures of merit"
for random number generators. The keyword is "discrepancy of
point sets and sequences". For an excellent introduction to this
field, see Kuipers, L. and Niederreiter, H.: Uniform
Distribution of Sequences. John Wiley, New York, 1974. Even the spectral test is nothing else than a measure of uniform
distribution, as I have shown in my survey Hellekalek, P.: On the assessment of random and quasi-random point
sets. In Hellekalek, P. and Larcher, G., editor(s), Pseudo and Quasi-Random Point Sets of Lecture Notes in
Statistics. Springer-Verlag, New York, 1998. The algebraic background of random number generation (keyword:
"arithmetics in finite fields"; think of shift register
types of generators or of inversive generators) can be found in the
comprehensive monograph Lidl, R. and Niederreiter, H.: Finite fields. Addison-Wesley,
Reading, Mass., 1983. There is a recent monograph on the Monte Carlo method that will
certainly become a standard reference, in particular among
practitioners, Fishman, G.S.: Monte Carlo: Concepts, Algorithms, and
Applications. Springer-Verlag, New York, 1996. Smoluchowski, M.: Über den Begriff des Zufalls und den Ursprung der
Wahrscheinlichkeitsgesetze in der Physik. Die Naturwissenschaften, Heft 17, 253 - 263 (1918) Der Physiker Marian von Smoluchowski (1872-1917) schrieb kurz vor
seinem Tod den Artikel: ,,Über den Begriff des Zufalls und den
Ursprung der Wahrscheinlichkeitsgesetze in der Physik..Er stellte
darin zwei Fragen: 1.Wie ist es möglich, daß sich der Effekt des Zufalls
berechnen lasse, daß also zufällige Ursachen gesetzmäßige
Wirkungen haben? 2.Wie kann der Zufall entstehen, wenn alles Geschehen nur auf
regelmäßige Naturgesetze zurückzuführen ist?
Oder mitanderen Worten: Wie können gesetzmäßige
Ursachen eine zufällige Wirkung haben? Auf die zweite Frage geht Smoluchowski nicht wirklich ein, und wir
kommen nachher mit Boltzmann darauf zurück. Smoluchowski
entwickelt die Antwort auf die erste Frage. Mit ,,gesetzmäßiger
Wirkung`` meint er das Gesetz vom empirischen Mittel oder
gleichbedeutend das Gesetz der großen Zahlen. Der
,,berechenbare Zufall`` offenbart sich in den voraussagbaren
relativen Häufigkeiten oder allgemein in den empirischen
Mitteln, die man mit den regellosen Versuchausgängen eines
Experimentes bildet: Ein Münzwurfexperiment liefert bei
100-facher Wiederholung eine regellose Folge von Kopf und Zahl, wobei
Kopf und Zahl ungefähr gleich häufig auftreten, die
relative Häufigkeit von Kopf ist also ungefähr 50 %. Smoluchowski untersucht die physikalischen Voraussetzungen, die
eine solche regelmäßige Regellosigkeit ermöglichen.
Diese liegen in der Instabilität der Bewegung, oder wie es
Smoluchowski treffend auf den Punkt bringt: kleine Ursache, große
Wirkung. Kleinste Schwankungen in den Anfangsdaten führen zu
total verschiedenen Ausgängen. Der auf seine Spitze gestellte
Bleistift ist ein einfaches Beispiel. Die kleinste Abweichung seines
Schwerpunktes vom Lot bringt den Bleistift zu Fall. Zufällige
Schwankungen in der Schwerpunktslage ergeben zufällige
Richtungen, in die der Bleistift nach dem Fall zeigt. Man sollte sich
wundern, daß diese Überlegung tatsächlich in die
richtige Richtung weist, denn wie kann ,,Verstärkung`` des
Zufalls durch Instabilität Gesetzmäßigkeit nach sich
ziehen? Dabei darf man dann aber nicht vergessen, daß wir eine
Gesetzmäßigkeit in der Regellosigkeit suchen. Alte Texte DENNERT, Eberhard ... Vom Sterbelager des Darwinismus (Berr. über die
Stellungnahme bedeutender Naturforscher z. Darwinismus). 1. Tl.,
1902; 2. Tl., 1905; »Es werde!« Ein Bild der Schöpfung,
1903 (neubearb. 1922); Bibel u. Naturwiss. Gedanken u. Bekenntnisse
eines Naturforschers, 1904 (1906 4); Christus u. die Naturwiss., 1904
(1911 2); Haeckels Weltanschauung, naturwiss. krit. beleuchtet, 1906
(1911 2); Naturgesetz, Zufall, Vorsehung, 1906 (1913 15); Vom
Leben und Weben der Natur (Ges. volkstüml. Aufss.), 1906 (1913
2); Die Weltanschauung des modernen Naturforschers, 1907 (1911 2);
Die Naturwiss. u. der Kampf um die Weltanschauung, 1907; Ist Gott
tot? Gott - Welt - Mensch? Drei Kernfragen der Weltanschauung
naturwiss. beleuchtet, 1908 (1922 8); Das Weltbild im Wandel der
Zeit, 1909; Gott - Seele - Geist - Jenseits ... http://www.bautz.de/bbkl/d/dennert_e.shtml , 9965 bytes Ivo Schneider, Wahrscheinlichkeit und Zufall bei Kepler, in:
Philosophia Naturalis 16, H. 1, 1976, 40-63 Internetseiten zum Thema Zufall
http://www.eduvinet.de/gebhardt/stochastik/zufallsg.html
*** http://home.wtal.de/schwebin/lsys/zufall.htm**
http://www.alles-zufall.de/links.html
http://www.random.org liefert echte Zufallszahlen http://webnz.com/robert/true_rng.html
Seiten über echte Hardware Zufallszahlengeneratoren http://www-math.uni-paderborn.de/~aggathen/vorl/2001ss/sem/
http://www.uni-koblenz.de/~hasan/zufall/zufall.html
Abt. Koblenz Fachbereich Informatik Proseminar im WS 97/98 von Sasa
Hasan Zufallszahlen Inhalt Einleitung Methoden zur Erzeugung von
Zufallszahlen Linear kongruente Methode Andere Methoden Testen von Folgen von
Zufallszahlen -Test Kolmogorov-Smirnov-Test Anmerkungen zum Spektral-Test Nicht-gleichverteilte
Zufallszahlen Literaturangaben http://www.uni-ulm.de/~cschmid/v2000s/webprob/sb1/sb1_2.htm
Schöne Seite über
Zufallsgeneratoren mit vielen Bildern §1 Einführung: Was ist
Zufall? §2 Pseudozufallszahlen §3 Einige mathematische
Grundlagen §4 Lineare
Kongruenzgeneratoren §5 Simulation der
Gleichverteilung §6 Simulation der
Dreiecksverteilung §7 Simulation der Gauß-Verteilung http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~bohmmech/chance/sueddeutsche.htm
Würfelt Gott? Und wenn ja, wann? Noch immer streiten
Physiker über den Zufall in der Quantenmechanik, der schon
Albert Einstein missfiel http://random.mat.sbg.ac.at/
http://www.fh-weingarten.de/iaf/projekte/is/zufall.htm
http://www.romankoch.ch/capslock/zufall.htm
http://www.paroli.de/roulette/index.htm
http://www.uni-klu.ac.at/stochastik.schule/
Sehr schöner Kurs zum Thema Zufall in Englisch http://www.philosophiebuch.de/lassonzu.htm
http://cdl.library.cornell.edu/Hunter/hunter.pl?handle=cornell.library.math/00660001&id=5
Die Analyse des Zufalls by
Timerding, Heinrich Emil 1.Kap: Der Begriff des Zufalls S1 2.Kap: Die statistische Methode
Zufalls S154 Namensverzeichnis Internetseiten zum Thema Stochastik http://www.mathematik.uni-kassel.de/didaktik/biehler/StatistikOnline/index.html
Gute Übersicht zu weiteren Links AK
Stochastik in der Schule der GDM Hompage
Prof. Dr. Biehler, Uni Kassel Mathematik
und Informatik, PH Ludwigsburg Statistik
an der Universität Klagenfurt Educational
Statistik an der Universität Wien Statistik-Seiten
an der Universität Köln http://www.neundorf.de/Zufall/zufall.html
** Hallo Herr Hoffmann, Dank für Ihr Interesse. Natürlich habe ich in meinem
Text, den Zufall betreffend, nur einige Aspekte der
Zufallsproblematik berücksichtigt. Grundlegende mathematische
Gesichtspunkte zu behandeln, waren nicht mein Anliegen. Ich habe Ihren umfangreichen Text kurz überflogen und werde
mich demnächst etwas näher damit befassen.Meine Intentionen
waren es eher, zu zeigen, dass in der (physikalischen) Realität
streng determinierte Prozesse eher die Ausnahme sind. Diese
Einschätzung aber war gerade den Physikern (so konnte sich
Einstein seinerzeit nicht mit dem zufälligen Charakter der
Quantenphysik anfreunden) noch zu Beginn des 20. Jahrhunderts nicht
sonderlich angenehm. Der objektive Zufall wurde durchaus geleugnet;
und zufällige Ereignisse seien nur zufällig in dem Sinne,
dass wir nicht in der Lage sind, alle Ursachen und Zusammenhänge
zu erkennen . Die philosophischen Implikationen dürften bekannt
sein. (Und die Zeit-Problematik ist hier äußerst wichtig.)
Es wird - auch heute noch - unter Physikern oft die Ansicht
vertreten, dass erst die Quantenmechanik (bzw. deren landläufige
Interpretation) den Zufall handhabbar machen. Allgemeinere Einsichten
- unabhängig von fachspezifischen Erkenntnissen - haben keinen
Einfluss auf die konkrete physikalische Forschungstätigkeit,
obwohl es dafür genügend Anknüpfungspunkte gäbe. Es lässt sich beispielsweise zeigen (dies ist absolut keine
Neuigkeit), dass selbst einfachste mechanische Systeme im Allgemeinen
sich nicht periodisch verhalten. Schon ein elementares
3-Massen-System mit abstandsabhängigen Zentralkräften
(Gravitation, elektrostatische Kräfte) verhält sich nur
unter ganz bestimmten Bedingungen nicht chaotisch bzw. verhält
sich stabil. In Vorbereitung habe ich noch Texte, die sich (möglichst
leicht verständlich und anschaulich) weiter mit angrenzender
Thematik befassen. Einige Stichworte: Entropie, Reversibilität,
Strukturbildung, Evolution, (Aspekte der) Information. MfG W.N. Wolfgang Neundorf http://www.zufallsgeneratoren.de/
http://www.fortuna-service.de/home.html
http://stargate.cosy.sbg.ac.at/pherbert/monte/monte.htm**
http://www.uni-magdeburg.de/zoellner/ma_zufall.html
http://www.darmstadt.gmd.de/BV/BI-Esto1.html
http://math-www.uni-paderborn.de/~aggathen/vorl/2001ss/sem/
http://www.cmap.polytechnique.fr/~bousquet/kolmogorov.html
Sicherlich kennen Sie auch folgenden Aufsatz von Pincus und Kalman
aus dem Jahr 1997, der ein Meilenstein in der Forschung gewesen ist:
http://www.pnas.org/cgi/content/full/94/8/3513**
Leider ist das Programmlisting nicht dabei. http://late5.e-technik.uni-erlangen.de/user/fo/esp.htm
Schönes Gasmodell http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~duerr/Zufall/zufall.html
http://www.alles-zufall.de/
http://home.wtal.de/schwebin/lsys/zufall.htm
http://www.madeasy.de/2/zufallo.htm Orginaltexte zum Thema Zufall
http://www.random.org liefert echte Zufallszahlen
http://webnz.com/robert/true_rng.html Seiten über echte Hardware Zufallszahlengeneratoren
http://www-math.uni-paderborn.de/~aggathen/vorl/2001ss/sem/
http://www.uni-koblenz.de/~hasan/zufall/zufall.html Universität Koblenz-Landau, Abt. Koblenz Fachbereich
Proseminar im WS 97/98 von Sasa Hasan
http://www.uni-ulm.de/~cschmid/v2000s/webprob/sb1/sb1_2.htm Schöne Seite über Zufallsgeneratoren mit vielen Bildern
http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~bohmmech/chance/sueddeutsche.htm
Würfelt Gott? Und wenn ja, wann? Noch immer streiten Physiker
über den Zufall in der Quantenmechanik, der schon Albert
Einstein missfiel
Sehr schöner Kurs zum Thema Zufall in Englisch
Die Analyse des Zufalls by Timerding, Heinrich Emil
Internetseiten zum Thema Stochastik
http://www.mathematik.uni-kassel.de/didaktik/biehler/StatistikOnline/index.html
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Orginaltexte: Kein Zufall , kein Spaß. No
randomness , no fun Vorbemerkung: Viel Energie wird in der Diskussion zum Thema Zufall damit vertan
, das auf der einen Seite der Zufall komplett geleugnet wird , auf
der anderen Seite der Zufall die Ursache für alles sein soll. Man hätte statt dessen mit dem Zufall experimentieren müssen.
Dann hätte man gemerkt, das die Mischung aus zufälligen und
gesetzmäßigen Ereignissen der Realität am besten
Zufall kann man heran ziehen , um zu testen ob echter Zufall vorliegt
eines allmächtigen Gottes , der alles voraussehen kann . Der
Zufall würde demnach den Hellseherfähigkeiten Gottes
widersprechen. Auch die Diskussion um den freien Willen der Menschen dreht sich
öfter um das Thema Zufall. Es hat sehr lange gedauert , bis man gemerkt hat , das dem Zufall
neben seiner Anwendung im Glücksspiel auch sehr nützliche
schon dazu benutzt wurde. zb Aus einer Gruppe von Menschen muß einer ausgewählt
werden, um eine sehr gefährliche Aufgabe durchzuführen .
Keiner will es machen. Es wird per Los entschieden wer es machen muß.
Hier gehts zu den Orginaltexten zum Thema
Zufall zurück bei Kritik ,
Ergänzungen , Anregungen rho54@gmx.de

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