¿Qué es el Número de Euler? Y la ecuación más hermosa del mundo
¿De dónde sale el número de Euler? ¿Y qué tiene que ver con la ecuación más hermosa de las matemáticas? ¿Para qué sirve?
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Guión: Tonatiuh Moreno
Ilustraciones:  Sergio Rivera
Voz: Javier Lacroix
Música: Miguel Solís, Mary Camarena y Jorge Verdín
Animación: Alejandra o Sofía Espinosa
Edición: Erick Blackmer
 Este video es presentado por Platzi, la plataforma de educación online que te enseña todas las habilidades para triunfar en la nueva economía digital. ¡Nunca pares de aprender! Entre las constantes matemáticas más importantes se encuentran el famosísimo pi, el humilde pero fundamental 1, el poderoso número 0 y el extrañísimo i, la raíz cuadrada de menos uno. Y destaca el número e, 2.71828 e infinitos decimales. Es el número de Euler, que forma parte central de la que se ha llamado la ecuación más hermosa de las matemáticas. Acompáñanos a descubrir ¿Qué es el número de Euler? Igual que pi, la constante de Euler, es un número irracional, o sea que sus decimales siguen y siguen y no paran nunca. Pi es definido geométricamente, es la relación que hay entre el diámetro de un círculo con su circunferencia, o lo que es lo mismo, entre el radio y la mitad de la circunferencia. Pero e no se define por la geometría, sino que proviene de otro tipo de cálculos. A diferencia de pi, que es muy antiguo, e es muy reciente. El primero que hizo referencia a este número no fue Euler, sino John Napier, en una tabla de logaritmos publicada en 1618, pero no entró en detalles. En 1683, Jacob Bernoulli fue el primero en calcularlo y su primera aparición fue al resolver un problema de interés compuesto que va más o menos así. Imagina que tienes un peso y que quieres depositarlo en el banco para ganar intereses. Y encuentras un banco muy generoso que te dará el 100% de interés al finalizar un año. ¡Ah, qué sueño! Significa que al final del año tendrás dos pesos. ¿Qué tal si en vez de darte de golpe el 100% de interés al final, te da el 50% a los seis meses y otro 50% al último? Significa que a los seis meses tendrás 1.50 pesos. El 50% de esa cantidad es 75 centavos. Al final del año lo sumas al 1.50 y te da 2.25. Conviene más partir los intereses en dos periodos. ¿Entonces convendrá más si el banco te paga intereses del 25% cuatro veces al año? Veamos. Un peso inicial más 25 centavos el primer trimestre son 1.25. El 25% de 1.25 es 0.32125. Lo sumamos y obtenemos 1.5625. El 25% de ese número es 0.390625. Al sumarlo obtenemos 1.95325. El 25% de eso es 0.48828125. Lo sumamos a la cantidad que ya teníamos ahorrada y al final del año tendremos 2.441 pesos. Mientras más periodos tengamos, más obtenemos. ¿Podría nuestro dinero crecer ilimitadamente si dividimos el tiempo en lapsos cada vez más cortos? Si te fijas, la operación que estamos haciendo se puede sintetizar en esta fórmula. En el caso de dos periodos es 1 más 1 sobre 2 y todo al cuadrado. En el caso de los seis periodos es 1 más 1 sobre 6 todo a la sexta potencia. O sea, la fórmula general es 1 más 1 sobre n todo a la n potencia. Entonces, usando la fórmula, si dividimos el año en 12 meses el número es de 2.613 pesos y si cobraras intereses cada uno de los 365 días del año al final tendrías 2.7146 pesos. ¿Ya viste? Este número se empieza a parecer a E. Bernoulli demostró que tu dinero no podía crecer infinitamente. El número siempre sería mayor que 2 y siempre menor a 3. Fue la primera vez que un número se definió como un proceso de límite. Para un millón de periodos el número crece, pero en decimales. 2.7182804. Bueno, y si Bernoulli hizo todo este trabajo ¿por qué se llama número de Euler? Quizá es una injusticia, pero Leonhard Euler fue el primero que lo publicó y en 1748 escribió su Introducción al análisis del infinito, donde reveló las 18 primeras cifras del número y fue el primero en demostrar que estas eran infinitas, o sea que E era un número irracional. Además, Euler definió que se podía calcular como 1 más 1 sobre 1 más 1 sobre 1 por 2 más 1 sobre 1 por 2 por 3, etc. ¿Y por qué es tan importante? Pues E se considera ni más ni menos que el puente hacia las matemáticas más avanzadas, o sea, el cálculo. ¿Pero tiene algo que ver con el mundo real? Pues mucho más de lo que te imaginas. E se usa siempre que necesitamos calcular el crecimiento o decrecimiento de algo en la naturaleza. Pero no sólo eso, por ejemplo en probabilidad. Imagina que tienes en una caja tu colección de minerales, cada piedra en su compartimento, pero la caja se te cae y tienes que recoger rápidamente todas las piedras sin fijarte dónde deberían ir. La probabilidad de que todas las piedras queden en un compartimento diferente se aproxima a 1 sobre E y se aproxima más mientras más piedras tengas. Ahora imagina que tienes un equipo de básquetbol y quieres contratar al jugador más apto. Puedes evaluar a 100 jugadores, pero al final de cada evaluación sólo puedes o regresarlo a su casa o contratarlo y ya no entrevistar a nadie más. Entonces existe la posibilidad de que un jugador mejor se haya quedado en el resto que no evaluaste. O quizá dejes pasar al mejor jugador con la esperanza de que encontrarías a uno aún mejor después. La mejor estrategia sería evaluar a 100 sobre E jugadores, o sea unos 37, y llevar registro del que haya logrado la mejor calificación. Luego contratar a la primera persona que lo supere. Así aseguras 1 sobre E de probabilidades de haber escogido al mejor de los 100. Funciona no sólo con 100, sino con todos los candidatos que quieras. Otra curiosidad. Si tienes una cuerda que mide digamos 10 metros y la divides en dos, obtienes dos pedazos de 5 metros. 5 por 5 es 25. Si la dividieras en tres, obtienes trozos de 3.33 metros. Multiplicados dan 37.037. Si la dividieras en cuatro pedazos de 2.5 y los multiplicas entre ellos, te dará 39.0625. ¡Aumentó! Pero si la divides en cinco trozos de 2 metros, el producto es sólo 32. El resultado más grande se obtiene cuando la medida de cada una de las partes es más cercana al número de Euler. Esto aplica con cualquier medida de la cuerda original. Elevar E a cualquier potencia arroja un ritmo de cambio que es siempre el mismo. Por ejemplo, vas en un auto cuya posición cambia con el tiempo y depende de E a la potencia del tiempo. Su posición, velocidad y aceleración siempre van a coincidir. Digamos que si llega a la posición de 145 metros, su velocidad será de 145 metros por segundo, su aceleración será 145 metros por segundo al cuadrado y así sucesivamente. Ya entrando en cálculo, graficando la función de E a la X potencia, podemos buscar el área debajo de la curva y encontraremos que el área desde infinito negativo a 1 es E a la 1 y de infinito negativo a 2 el área es igual a E al cuadrado y así con cualquier número. La famosa curva de Bell de la distribución normal de cualquier cosa incluye el número de Euler. El número de Euler incluso se relaciona con la velocidad en la que una pizza se enfría al salir del horno. E tiene un papel central en la llamada fórmula más hermosa de las matemáticas. La identidad de Euler, que se expresaría como E elevada a la potencia de I multiplicada por pi más 1, es igual a cero. Se trata de un caso especial deducido a partir de la fórmula de Euler que viene de la trigonometría, donde X, pudiendo ser cualquier número real, es pi. Como la fórmula de Euler proviene de la relación entre las funciones de seno y coseno, es posible aplicarlas al análisis de señales, corrección de sonido, mecánica cuántica, circuitos, deformación de resortes, ondas electromagnéticas y cualquier fenómeno físico que manifieste algún tipo de oscilación. ¿Y por qué se dice que es tan hermosa la identidad de Euler? Su elegancia radica en que muestra una profunda conexión entre los números más fundamentales de las matemáticas la unidad, el cero, el número I, base de los números imaginarios, el número pi, la constante geométrica y nuestro ahora ya conocido E, el número de Euler. Por cierto, la identidad de Euler también se puede expresar así y un ángulo de 180 grados equivale a 3.1416 radianes, o sea, a pi. Si graficamos la identidad de Euler, esta se puede interpretar como rotar cualquier punto pi radianes desde el punto de origen equivale a reflejarlo. O lo que es lo mismo, multiplicarlo por menos uno. ¡Oh, curiosamente! ¿Te quedaron neuronas vivas y quieres aprender más? ¡Conoce Platzi, la plataforma online con cursos de matemáticas, geometría, ingeniería, física y muchas materias igual de fascinantes! Entra a platzi.com diagonal curiosamente y te regalamos un mes gratis cuando adquieras un programa completo. ¡Para que nunca pares de aprender!
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La identidad de Euler, que se expresar\u00eda como E elevada a la potencia de"}, {"start": 543.28, "end": 551.0799999999999, "text": " I multiplicada por pi m\u00e1s 1, es igual a cero. Se trata de un caso especial deducido a partir"}, {"start": 551.0799999999999, "end": 557.9599999999999, "text": " de la f\u00f3rmula de Euler que viene de la trigonometr\u00eda, donde X, pudiendo ser cualquier n\u00famero real,"}, {"start": 557.9599999999999, "end": 561.24, "text": " es pi. 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Su elegancia radica en"}, {"start": 584.0, "end": 590.04, "text": " que muestra una profunda conexi\u00f3n entre los n\u00fameros m\u00e1s fundamentales de las matem\u00e1ticas"}, {"start": 590.04, "end": 596.72, "text": " la unidad, el cero, el n\u00famero I, base de los n\u00fameros imaginarios, el n\u00famero pi, la"}, {"start": 596.72, "end": 602.52, "text": " constante geom\u00e9trica y nuestro ahora ya conocido E, el n\u00famero de Euler."}, {"start": 602.52, "end": 607.96, "text": " Por cierto, la identidad de Euler tambi\u00e9n se puede expresar as\u00ed y un \u00e1ngulo de 180"}, {"start": 607.96, "end": 616.68, "text": " grados equivale a 3.1416 radianes, o sea, a pi. Si graficamos la identidad de Euler,"}, {"start": 616.68, "end": 622.56, "text": " esta se puede interpretar como rotar cualquier punto pi radianes desde el punto de origen"}, {"start": 622.56, "end": 628.96, "text": " equivale a reflejarlo. O lo que es lo mismo, multiplicarlo por menos uno."}, {"start": 628.96, "end": 635.96, "text": " \u00a1Oh, curiosamente! \u00bfTe quedaron neuronas vivas y quieres aprender m\u00e1s? \u00a1Conoce Platzi,"}, {"start": 635.96, "end": 642.8000000000001, "text": " la plataforma online con cursos de matem\u00e1ticas, geometr\u00eda, ingenier\u00eda, f\u00edsica y muchas materias"}, {"start": 642.8000000000001, "end": 649.4000000000001, "text": " igual de fascinantes! Entra a platzi.com diagonal curiosamente y te regalamos un mes gratis"}, {"start": 649.4, "end": 659.64, "text": " cuando adquieras un programa completo. \u00a1Para que nunca pares de aprender!"}]