La paradoja del Hotel Infinito
¿Hay infinitos más grandes que otros? Descúbrelo con esta paradójica historia ideada por el matemático David Hilbert.
#Divulgación #Ciencia #EducaciónyCultura #CuriosaMente320

Conoce Platzi: http://platzi.com/curiosamente

Suscríbete a CuriosaMente: https://www.youtube.com/curiosamente?sub_confirmation=1

Únete a este canal para acceder a sus beneficios:
https://www.youtube.com/channel/UCX16cLWl6dCjlZMgUBxgGkA/join

O apóyanos en Patreon (mismos beneficios): https://www.patreon.com/curiosamente

Guión: Tonatiuh Moreno
Ilustraciones:  Sergio Rivera https://www.instagram.com/sergioriverart/
Voz: Javier Lacroix
Música: Miguel Solís, Mary Camarena y Jorge Verdín
Animación: Sofía Espinosa
Edición: Erick Blackmer
 Este video es presentado por Platzi, la plataforma de educación online que te enseña todas las habilidades para triunfar en la nueva economía digital. ¡Nunca pares de aprender! ¿Cuál es el número más grande que puedes pensar? ¿Un millón? ¿Tres mil trillones? ¿Un millón de millones a la millonésima potencia? ¿Un Google? ¿Un uno con cien ceros? ¿Un Googleplex? ¿Un uno con un Google de ceros? ¿Chorrocientos millongones? Siempre podemos pensar en un número más grande. Sabemos que los números nunca se acaban. La cuenta se extiende hasta el infinito. Pero ¿qué es el infinito? En el siglo XIX el ruso-alemán Georg Cantor desarrolló la idea de los conjuntos infinitos y volvió al infinito un concepto operativo en las matemáticas. Sin embargo, surgieron paradojas bastante curiosas, como el hecho de que algunos infinitos son más grandes que otros. Y en 1929 a David Hilbert se le ocurrió una historia para explicar estas extrañas propiedades. La paradoja del hotel infinito. ¿Hay infinitos más grandes que otros? Hilbert se imaginó a un millonario infinitamente rico que decidió construir el hotel más grande del mundo. Si lo hacía con un millón de habitaciones, alguien más podría hacer uno de un millón una habitaciones. Si lo hacía de un Googleplex de habitaciones, alguien lo podría hacer de un Googleplex más una y ganarle el título. Así que decidió construir un hotel con infinitas habitaciones. Pero eso le traería problemas a Rosa, la recepcionista. Esta temporada fue especialmente buena para el turismo y un infinito número de viajeros se hospedaron en el hotel de Hilbert. Está lleno. Pero llega, oh sorpresa, un huésped más. Y la recepcionista no sabe en dónde meterlo. Finalmente se le ocurre una idea. Llama por el sistema de avisos y les pide a sus huéspedes que se cambien de cuarto al del número siguiente. Así la persona que estaba en el cuarto uno se pasa al dos, la del dos se pasa al tres, la del cuarto mil se pasa al mil uno y así con cada uno de los infinitos huéspedes. De esa manera queda libre el cuarto número uno y el nuevo visitante se puede alojar cómodamente. Esta es la primera paradoja. ¿El nuevo número de huéspedes infinito más uno es mayor que el primer infinito? La inteligente recepcionista cree tenerlo todo resuelto. ¿Que llegan 400 huéspedes? Solo les pide a los ya alojados que desalojen su cuarto y se alojen 400 cuartos más adelante. Puede alojar a cualquier número finito de huéspedes. Pero ¡ah! El hotel se ha vuelto ya muy famoso y un día llega un tren con un infinito número de personas. Rosa no sabe qué hacer. ¿Podrá su hotel lleno albergar a dos infinitos números de personas? Como es muy ingeniosa hace lo siguiente. Ahora les pide a los huéspedes que miren el número de su cuarto, lo multipliquen por dos y se trasladen al cuarto que haya resultado. La persona del cuarto uno se va al dos, la del dos al cuatro, la del tres al seis, la del cuatro al ocho, la del cinco al diez y así con todos. ¿Te fijas? Quedaron ocupados los números pares y desocupados todos los números nones. Como la cantidad de números nones es infinita, ya pueden hospedarse los recién llegados. Y hemos dado con otra paradoja. Sabemos que el conjunto de números naturales contiene al conjunto de números nones. Y también sabemos que tanto los números naturales como los nones son infinitos. Esto significaría que el infinito de los nones es menor que el infinito de los números naturales. La avispada y agotada recepcionista cree que ya podrá descansar. Ya sabe cómo alojar a un número contable infinito de huéspedes. Sí, infinito contable. Es cuando ocurre algo inconcebible. Llegan un infinito número de trenes con un infinito número de viajeros. ¿Qué podrá hacer? Los viajeros exigen ser alojados o demandarán al hotel por publicidad engañosa. Rosa tiembla al pensar en infinitas denuncias ante la Procuraduría del Consumidor. Pero no sólo es perspicaz, sino también culta. Así que revisa sus libros de matemáticas y encuentra varios métodos posibles. Afortunadamente elige uno que se vería bien en un video de Curiosamente. El de los números triangulares. Si ordena los números de los cuartos en forma de triángulo, aquellos que quedan en la columna de hasta la derecha forman una secuencia de los llamados números triangulares. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, etc. Le pide a los clientes ya hospedados que ocupen el número triangular que les corresponda según su cuarto según la ecuación n al cuadrado más n entre 2, donde n es el número de cuarto nuevo. Por ejemplo, la persona del cuarto 2 calcula 2 al cuadrado es 4, más 2 es 6, 6 entre 2 es 3. Entonces pasará al cuarto 3. La del 3 hace el mismo cálculo y pasa al 6. Y así con todos. Si te fijas quedó un triángulo de cuartos vacíos. Entonces le puede pedir a los viajeros del tren 1 que se acomoden en los cuartos vacíos de esta columna, a los del tren 2 en los de esta columna y así hasta el infinito. Cada viajero puede saber qué cuarto le toca usando esta fórmula, donde t es el número de tren y n es su número de pasajero dentro de su tren. Bueno, pues ya lo tiene resuelto. Pero hay que mencionar que esta paradoja apenas lidia con el nivel más bajo de infinitud, el nivel de los infinitos contables de los números naturales, llamado nivel Aleph cero. El nivel de los números reales es más complicado. Existirían un infinito número de habitaciones con números negativos y entre una habitación y otra un infinito número de habitaciones fraccionarias. Y no empecemos con números irracionales, que además tienen un infinito número de decimales. Todo esto es tan raro que algunos matemáticos heréticos como el doctor Norman Wilderberg de plano quieren desterrar el infinito de las matemáticas con el argumento de que el infinito no representa nada real. Lo sorprendente es que, como humanos, nunca hemos experimentado lo infinito en la vida real e incluso es muy difícil imaginarlo, pero nuestras mentes nos permiten calcularlo e incluso darle utilidad. Los límites que se manejan en cálculo y que se necesitan para explorar velocidades terminales o de escape hacen uso de ese concepto y los espacios de Hilbert requieren la idea del infinito en física cuántica. Y yo siento que en este video he dicho la palabra infinito un infinito número de veces. ¡Curiosamente! ¿Sabes también qué es infinita? La cantidad de conocimientos por aprender. Platzi tiene no infinitos, pero sí cientos de cursos. Su programa de matemáticas, por ejemplo, no sólo es fascinante, sino muy útil. Tiene álgebra, matemáticas para la física y algoritmos y pensamiento lógico entre muchos más. Entra a platzi.com diagonal curiosamente y obtén un mes gratis en el programa de tu elección y nunca pares de aprender.
[{"start": 0.0, "end": 6.84, "text": " Este video es presentado por Platzi, la plataforma de educaci\u00f3n online que te ense\u00f1a todas"}, {"start": 6.84, "end": 12.56, "text": " las habilidades para triunfar en la nueva econom\u00eda digital. \u00a1Nunca pares de aprender!"}, {"start": 12.56, "end": 18.88, "text": " \u00bfCu\u00e1l es el n\u00famero m\u00e1s grande que puedes pensar? \u00bfUn mill\u00f3n? \u00bfTres mil trillones?"}, {"start": 18.88, "end": 26.2, "text": " \u00bfUn mill\u00f3n de millones a la millon\u00e9sima potencia? \u00bfUn Google? \u00bfUn uno con cien ceros?"}, {"start": 26.2, "end": 33.8, "text": " \u00bfUn Googleplex? \u00bfUn uno con un Google de ceros? \u00bfChorrocientos millongones?"}, {"start": 33.8, "end": 39.6, "text": " Siempre podemos pensar en un n\u00famero m\u00e1s grande. Sabemos que los n\u00fameros nunca se acaban."}, {"start": 39.6, "end": 45.08, "text": " La cuenta se extiende hasta el infinito. Pero \u00bfqu\u00e9 es el infinito?"}, {"start": 45.08, "end": 52.08, "text": " En el siglo XIX el ruso-alem\u00e1n Georg Cantor desarroll\u00f3 la idea de los conjuntos infinitos"}, {"start": 52.08, "end": 57.92, "text": " y volvi\u00f3 al infinito un concepto operativo en las matem\u00e1ticas. Sin embargo, surgieron"}, {"start": 57.92, "end": 63.239999999999995, "text": " paradojas bastante curiosas, como el hecho de que algunos infinitos son m\u00e1s grandes"}, {"start": 63.239999999999995, "end": 70.0, "text": " que otros. Y en 1929 a David Hilbert se le ocurri\u00f3 una historia para explicar estas"}, {"start": 70.0, "end": 77.4, "text": " extra\u00f1as propiedades. La paradoja del hotel infinito. \u00bfHay infinitos m\u00e1s grandes que"}, {"start": 77.4, "end": 84.44000000000001, "text": " otros? Hilbert se imagin\u00f3 a un millonario infinitamente"}, {"start": 84.44000000000001, "end": 89.56, "text": " rico que decidi\u00f3 construir el hotel m\u00e1s grande del mundo. Si lo hac\u00eda con un mill\u00f3n"}, {"start": 89.56, "end": 95.0, "text": " de habitaciones, alguien m\u00e1s podr\u00eda hacer uno de un mill\u00f3n una habitaciones. Si lo"}, {"start": 95.0, "end": 101.32000000000001, "text": " hac\u00eda de un Googleplex de habitaciones, alguien lo podr\u00eda hacer de un Googleplex m\u00e1s una"}, {"start": 101.32, "end": 107.6, "text": " y ganarle el t\u00edtulo. As\u00ed que decidi\u00f3 construir un hotel con infinitas habitaciones. Pero"}, {"start": 107.6, "end": 113.32, "text": " eso le traer\u00eda problemas a Rosa, la recepcionista. Esta temporada fue especialmente buena para"}, {"start": 113.32, "end": 119.0, "text": " el turismo y un infinito n\u00famero de viajeros se hospedaron en el hotel de Hilbert. Est\u00e1"}, {"start": 119.0, "end": 126.22, "text": " lleno. Pero llega, oh sorpresa, un hu\u00e9sped m\u00e1s. Y la recepcionista no sabe en d\u00f3nde"}, {"start": 126.22, "end": 131.62, "text": " meterlo. Finalmente se le ocurre una idea. Llama por el sistema de avisos y les pide"}, {"start": 131.62, "end": 136.6, "text": " a sus hu\u00e9spedes que se cambien de cuarto al del n\u00famero siguiente. As\u00ed la persona"}, {"start": 136.6, "end": 141.7, "text": " que estaba en el cuarto uno se pasa al dos, la del dos se pasa al tres, la del cuarto"}, {"start": 141.7, "end": 147.76, "text": " mil se pasa al mil uno y as\u00ed con cada uno de los infinitos hu\u00e9spedes. De esa manera"}, {"start": 147.76, "end": 152.72, "text": " queda libre el cuarto n\u00famero uno y el nuevo visitante se puede alojar c\u00f3modamente."}, {"start": 152.72, "end": 159.56, "text": " Esta es la primera paradoja. \u00bfEl nuevo n\u00famero de hu\u00e9spedes infinito m\u00e1s uno es mayor que"}, {"start": 159.56, "end": 166.44, "text": " el primer infinito? La inteligente recepcionista cree tenerlo todo resuelto. \u00bfQue llegan 400"}, {"start": 166.44, "end": 171.44, "text": " hu\u00e9spedes? Solo les pide a los ya alojados que desalojen su cuarto y se alojen 400 cuartos"}, {"start": 171.44, "end": 178.2, "text": " m\u00e1s adelante. Puede alojar a cualquier n\u00famero finito de hu\u00e9spedes. Pero \u00a1ah! El hotel"}, {"start": 178.2, "end": 185.04, "text": " se ha vuelto ya muy famoso y un d\u00eda llega un tren con un infinito n\u00famero de personas."}, {"start": 185.04, "end": 190.88, "text": " Rosa no sabe qu\u00e9 hacer. \u00bfPodr\u00e1 su hotel lleno albergar a dos infinitos n\u00fameros de"}, {"start": 190.88, "end": 196.2, "text": " personas? Como es muy ingeniosa hace lo siguiente. Ahora les pide a los hu\u00e9spedes que miren"}, {"start": 196.2, "end": 202.72, "text": " el n\u00famero de su cuarto, lo multipliquen por dos y se trasladen al cuarto que haya resultado."}, {"start": 202.72, "end": 208.56, "text": " La persona del cuarto uno se va al dos, la del dos al cuatro, la del tres al seis, la"}, {"start": 208.56, "end": 214.42, "text": " del cuatro al ocho, la del cinco al diez y as\u00ed con todos. \u00bfTe fijas? Quedaron ocupados"}, {"start": 214.42, "end": 219.76, "text": " los n\u00fameros pares y desocupados todos los n\u00fameros nones. Como la cantidad de n\u00fameros"}, {"start": 219.76, "end": 224.44, "text": " nones es infinita, ya pueden hospedarse los reci\u00e9n llegados."}, {"start": 224.44, "end": 229.76, "text": " Y hemos dado con otra paradoja. Sabemos que el conjunto de n\u00fameros naturales contiene"}, {"start": 229.76, "end": 234.67999999999998, "text": " al conjunto de n\u00fameros nones. Y tambi\u00e9n sabemos que tanto los n\u00fameros naturales como"}, {"start": 234.67999999999998, "end": 241.12, "text": " los nones son infinitos. Esto significar\u00eda que el infinito de los nones es menor que"}, {"start": 241.12, "end": 245.95999999999998, "text": " el infinito de los n\u00fameros naturales. La avispada y agotada recepcionista cree que"}, {"start": 245.95999999999998, "end": 252.51999999999998, "text": " ya podr\u00e1 descansar. Ya sabe c\u00f3mo alojar a un n\u00famero contable infinito de hu\u00e9spedes."}, {"start": 252.52, "end": 260.44, "text": " S\u00ed, infinito contable. Es cuando ocurre algo inconcebible. Llegan un infinito n\u00famero de"}, {"start": 260.44, "end": 267.48, "text": " trenes con un infinito n\u00famero de viajeros. \u00bfQu\u00e9 podr\u00e1 hacer? Los viajeros exigen ser"}, {"start": 267.48, "end": 273.0, "text": " alojados o demandar\u00e1n al hotel por publicidad enga\u00f1osa. Rosa tiembla al pensar en infinitas"}, {"start": 273.0, "end": 278.0, "text": " denuncias ante la Procuradur\u00eda del Consumidor. Pero no s\u00f3lo es perspicaz, sino tambi\u00e9n"}, {"start": 278.0, "end": 285.44, "text": " culta. As\u00ed que revisa sus libros de matem\u00e1ticas y encuentra varios m\u00e9todos posibles. Afortunadamente"}, {"start": 285.44, "end": 291.44, "text": " elige uno que se ver\u00eda bien en un video de Curiosamente. El de los n\u00fameros triangulares."}, {"start": 291.44, "end": 296.86, "text": " Si ordena los n\u00fameros de los cuartos en forma de tri\u00e1ngulo, aquellos que quedan en la columna"}, {"start": 296.86, "end": 303.04, "text": " de hasta la derecha forman una secuencia de los llamados n\u00fameros triangulares. 1, 3,"}, {"start": 303.04, "end": 310.90000000000003, "text": " 6, 10, 15, 21, 28, 36, etc. Le pide a los clientes ya hospedados que ocupen el n\u00famero"}, {"start": 310.90000000000003, "end": 317.76000000000005, "text": " triangular que les corresponda seg\u00fan su cuarto seg\u00fan la ecuaci\u00f3n n al cuadrado m\u00e1s n entre"}, {"start": 317.76000000000005, "end": 323.76, "text": " 2, donde n es el n\u00famero de cuarto nuevo. Por ejemplo, la persona del cuarto 2 calcula"}, {"start": 323.76, "end": 331.8, "text": " 2 al cuadrado es 4, m\u00e1s 2 es 6, 6 entre 2 es 3. Entonces pasar\u00e1 al cuarto 3. La del"}, {"start": 331.8, "end": 336.0, "text": " 3 hace el mismo c\u00e1lculo y pasa al 6. Y as\u00ed con todos."}, {"start": 336.0, "end": 341.02000000000004, "text": " Si te fijas qued\u00f3 un tri\u00e1ngulo de cuartos vac\u00edos. Entonces le puede pedir a los viajeros"}, {"start": 341.02000000000004, "end": 346.12, "text": " del tren 1 que se acomoden en los cuartos vac\u00edos de esta columna, a los del tren 2"}, {"start": 346.12, "end": 352.44, "text": " en los de esta columna y as\u00ed hasta el infinito. Cada viajero puede saber qu\u00e9 cuarto le toca"}, {"start": 352.44, "end": 359.12, "text": " usando esta f\u00f3rmula, donde t es el n\u00famero de tren y n es su n\u00famero de pasajero dentro"}, {"start": 359.12, "end": 362.52, "text": " de su tren. Bueno, pues ya lo tiene resuelto. Pero hay"}, {"start": 362.52, "end": 368.84000000000003, "text": " que mencionar que esta paradoja apenas lidia con el nivel m\u00e1s bajo de infinitud, el nivel"}, {"start": 368.84000000000003, "end": 375.0, "text": " de los infinitos contables de los n\u00fameros naturales, llamado nivel Aleph cero. El nivel"}, {"start": 375.0, "end": 380.98, "text": " de los n\u00fameros reales es m\u00e1s complicado. Existir\u00edan un infinito n\u00famero de habitaciones"}, {"start": 380.98, "end": 386.6, "text": " con n\u00fameros negativos y entre una habitaci\u00f3n y otra un infinito n\u00famero de habitaciones"}, {"start": 386.6, "end": 391.90000000000003, "text": " fraccionarias. Y no empecemos con n\u00fameros irracionales, que adem\u00e1s tienen un infinito"}, {"start": 391.90000000000003, "end": 396.48, "text": " n\u00famero de decimales. Todo esto es tan raro que algunos matem\u00e1ticos"}, {"start": 396.48, "end": 401.52000000000004, "text": " her\u00e9ticos como el doctor Norman Wilderberg de plano quieren desterrar el infinito de"}, {"start": 401.52000000000004, "end": 407.36, "text": " las matem\u00e1ticas con el argumento de que el infinito no representa nada real. Lo sorprendente"}, {"start": 407.36, "end": 413.44, "text": " es que, como humanos, nunca hemos experimentado lo infinito en la vida real e incluso es muy"}, {"start": 413.44, "end": 421.2, "text": " dif\u00edcil imaginarlo, pero nuestras mentes nos permiten calcularlo e incluso darle utilidad."}, {"start": 421.2, "end": 425.4, "text": " Los l\u00edmites que se manejan en c\u00e1lculo y que se necesitan para explorar velocidades"}, {"start": 425.4, "end": 432.04, "text": " terminales o de escape hacen uso de ese concepto y los espacios de Hilbert requieren la idea"}, {"start": 432.04, "end": 438.22, "text": " del infinito en f\u00edsica cu\u00e1ntica. Y yo siento que en este video he dicho la palabra infinito"}, {"start": 438.22, "end": 444.88000000000005, "text": " un infinito n\u00famero de veces. \u00a1Curiosamente! \u00bfSabes tambi\u00e9n qu\u00e9 es infinita?"}, {"start": 444.88000000000005, "end": 450.56, "text": " La cantidad de conocimientos por aprender. Platzi tiene no infinitos, pero s\u00ed cientos"}, {"start": 450.56, "end": 455.36, "text": " de cursos. Su programa de matem\u00e1ticas, por ejemplo, no s\u00f3lo es fascinante, sino muy"}, {"start": 455.36, "end": 460.52000000000004, "text": " \u00fatil. Tiene \u00e1lgebra, matem\u00e1ticas para la f\u00edsica y algoritmos y pensamiento l\u00f3gico"}, {"start": 460.52000000000004, "end": 466.6, "text": " entre muchos m\u00e1s. Entra a platzi.com diagonal curiosamente y obt\u00e9n un mes gratis en el"}, {"start": 466.6, "end": 469.76000000000005, "text": " programa de tu elecci\u00f3n y nunca pares de aprender."}]