text: IX. W. Snellius, Ph. Lansbergen, Christ. Huyghens over Ludolph van Ceulen.
  1. Wij hebben reeds vroeger, in No. VIII dezer bouwstoffen gezien, hoe willebrord snellius R.F. (Rudolphi Filius) à royen [zoo als hij eigenlijk heette], de werken van ludolph van ceulen in het latijn uitgaf, en daarop zelf over dit onderwerp een eigen werk in het licht gaf, zijn ‘Cyclometricus’* VVillebrordi Snellii R.F. || Cyclometricvs, || De circuli dimensione secundum Logista- || rum abacos, & ad Mechanicem accuratis- || sima; atque omnium parabilissima. || Êiusdemque usus in quarumlibet adscriptarum || inventione longe elegantissimus, & || quidem ex ratione diametri ad || suam peripheriam data. || vignette: Een arend met lint, waarop de woorden: Concordia res parvae crescvnt. || Lvgdvni Batavorvm, || Ex Officinâ Elzeviriana, || Anno CIƆIƆCXXI. in 4o.
  XX bladz. (zonder pagineering), bevatten: titel, en in verso een gedicht van Petrvs Cvnaevs. J.C. (1 blz.) de opdracht van Prins Maurits (5 blz.) en de ‘Lectori Benevolo’ (13 blz.) en daarachter de ‘Errata.’
  
  A-N (blz. 1-102) bevatten.
  Blz. 1-86 Propositiones I-XXXIX.
  Blz. 87 (zonder pagineering) een vers van Joh. Isacivs Pontanvs.
  Blz. 88 wit.
  Blz. 89-102. Appendicvla, || et || Cyclometrices || vsvs.’ Problemata VI.
  . Het is mijn voornemen niet, thans over dezen terecht zoo beroemden Leidschen hoogleeraar in het algemeen te spreken; voor dit oogenblik ten minste, zij het genoeg het een en ander omtrent hem mede te deelen, alleen met het oog op genoemden arbeid.
  In dat vorige nummer werd er reeds op gewezen, dat de roem van snellius wederrechtelijk vergroot is, ten koste van hetgeen rechtmatig aan van ceulen toekwam. Vooreerst was dit geheel onnoodig, omdat onze snellius op zooveel andere deelen der wis- en natuurkunde zijn naam met grooten roem heeft gevestigd; - men denke slechts aan de wet van snellius bij de straalbreking, aan het problema van snellius bij het landmeten; alle uitvindingen van onzen beroemden geleerde, hoezeer daarvan ten onrechte de namen van descartes en pothenot plegen verbonden te worden. Maar ook zelfs op het
  
  gebied, dat wij hier te betreden hebben, is zijn naam en zijn fijn analytisch vernuft met grooten lof te herdenken: niet omdat hij ons de methode van van ceulen gaf, maar omdat hij daarvoor eene andere leverde, die tot spoediger benadering voerde.
  2. Hij gebruikte daartoe de onregelmatige veelhoeken van 1073741824 = 230 zijden, die aan van ceulen slechts 16 decimalen hadden geleverd ‘meerder als 3 1415926535897982/10000000000000000 ende minder als 3 1415926535897933/10000000000000000’ [Zie Folio 131 van van ceulen's ‘Vanden Circkel, Delf 1596’; zie noot (12) van No. VIII der Bouwstoffen]; en vond daarmede naar zijne methode een aantal van 34 decimalen. Op blz. 54 van het aangehaalde werk zegt hij daaromtrent.
  ‘Hoc est posita diametro partis unius, tum peripheria || erit minor quam
  3 14/100, 15926/00000, 53589/00000, 79323/00000, 84626/00000, 43383/00000, 27950/00000, 28958/00000, || maior autem quā 3 14/100, 15926/00000, 53589/00000, 79323/00000, 84626/00000, 43383/00000, 27950/00000, 28293/00000, || vides itaque usque ad quintum & tricesimum circulumDit is de vijf en dertigste decimaal. || has notas consentire. Ludolphus per inscriptionem & || circumscriptionem hujus ejusdem polygoni duntaxat as- || secutus est hos limites 3 1415926535897933/10000000000000000 maiorem, & 3 14/100 || 1592653587932/0006000000000 (sic) minorem, nos ad tricesimum quartum cir- || culum ex eodem loco produximus. vides itaque nos in || omnibus ultra duplum millesimarum vel circulorum as- || sumprorum (sic) numerum consuetam rationem semper ante- || vertere. Quinimo priusquam Archimedea adscriptione || ad adeò amplos & arctos limites devenias, opus erit longe || ulterius latera adscriptarum continuari. diligentissimus || logista, Ludolphus noster, initio facto à latere quadrati e- || andem inscriptarum
  
  inventionem sexagies continuavit, ad || taxationem diametri quinque & septuaginta circulorum, || & inde demum istos limites nobis summo cum labore ex- || pressit, quos ideò sepulchro suo tanquam exantlato- || rum laborum testes insculpi jussit. || 3 14159/100000, 26535/00000, 89793/00000, 23846/00000, 26433/00000, 83279/40000, 50289/00000, || 3 14159/100000, 26533/00000 (sic) 89793/00000, 23846/00000, 26433/00000, 83279/00000, 50288/00000. || vides ipsum adeo immani labori duntaxat unica nota nos || superare, & nos in tricesimo quarto circulo, illum in tri- || cesimo quinto desinere. ego ex [30 & 31 nostri syllabi nu- || mero ipsum una aut altera etiam nota anteverterem, si di- || ameter, secundum quam inscriptae illae taxantur, duobus || tribusve circulis fuisset auctior. ille enim in priore duntax- || at quatuor & quinquaginta circulorum fuit assumpta. ||’
  Men ziet hieruit, hoe snellius, en voorzeker niet ten onrechte, de verbetering, door hem aan de methode van van ceulen aangebracht, niet gering achtte; ja, hij ging noch verder. In zijne opdracht.
  ‘Illvstrissimo Principi Mavricio Principi Auraico, Comiti Nasso- || viae, Cattimaelibocoriom, Moersae, Viandae, || Dietzae, Lingae, Burae, Leerdami: Marchioni || Verae, Vlissingae: Domino & Baroni Bredae, || Gravae, regionis Cuyck, Diestae, Grimbergae, || Arlaei, Nozeroy, S Viti, Daesburgi, Herstal- || lae, &c. Hereditario Vice-Comiti Antvver- || piae & Vesontionis: Provinciarum Foedera- || tarum Belgij Gubernatori, earundumq. Ar- || chistratego, & Achithalasso generali &c.’ zegt snellius op de derde bladzijde
  ‘Poteram || equidem & ego tantorum virorum exemplis ab in- || stituto deterreri; cum hac in parte, Archimede exce- || plo nihil cuiquam ex voto successisset, nedum ut il- || lius industriam quispiam superavisset.... || .... || Nam & limi- || tes circuli perimetro (quod omnino palmarium vi- || debatur) circumposui & eosdem Archimedaeis non || paulo arctiores constitui.... || ... || .... quod etsi for- || san meritò haud contemnendum videatur; cum || nunc demum tot exactis seculis novi, & Archime- || daeis angustiores limites sint inventi.’
  
  Op dezelfde wijze spreekt hij ook in zijn ‘Lectori benevolo.’
  Hier spreekt hij dus, alsof hij met den arbeid van ludolf van ceulen geheel onbekend was, dien hij nergens noemt; terwijl hij de naauwkeurige bepaling der bedoelde verhouding aan zich zelven toeschrijft, hoezeer hij zeer wel weet, dat de berekeningen van ludolf van ceulen vooreerst de zijne voorafgegaan waren, en daarenboven altijd nog éene decimaal verder gingen. Het is niet wel te verklaren, waarom hij alhier zoo spreekt; maar door deze en dergelijke uitdrukkingen en schattingen is gewis het bovenvermelde minder gunstig oordeel over de wetenschappelijke ontwikkeling van van ceulen in de wereld gekomen; dat naderhand slechts overgenomen en nog versterkt werd, zonder behoorlijk onderzoek en vergelijking der processtukken.
  3. Het eerst bebandelt snellius de gewone methode, die ook door ludolf van ceulen werd gevolgd, om met verdubbeling van het aantal zijden telkens den omtrek van om- en ingeschreven regelmatige veelhoeken met hetzelfde aantal zijden te berekenen. Na de Propositio XI geeft hij (bladz. 17, 18) op, hoe men door die veelhoeken met
  5.24, 5.25, 5.26, 5.27, 5.28, 5.29, 5.210, 5.211, 5.213, 5.214, 5.215, 5.216, 5.217, 5.218, 5.219, 5.220, 5.221, 5.222, 2.30, 3.231, 3.5.231
  zijden telkens
  2, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 6, 7, 7, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 15, 18, 19
  zuivere decimalen van de gezochte verhouding vindt [de enkele drukfouten niet in aanmerking genomen]. Hij laat daarop volgen (bladz. 18)
  ‘Atque haec materia non olim solum Apollonium Per- || gaeum, Philonem Gaditanum, & Claudium Ptolomaeum || quoque; sed hoc seculo etiam Pranciscum Vietam, Adri- || anum Romanum & Ludolphum nostrum exercuit, qui omnes Archemedaeam, & Regiam viam ingressi intra inscri- || pti & circumscripti polygoni ambitum circularis periphe- || riac modulum solide concluserunt. reliquorum enim ψευ- || δογραφίας nunc missas facio, qui aut à veritatis tramite || longe exorbitaverunt, aut intra minorem & majorem ter- || minum peripheriae modulum conclu-dere non potaerunt: id enim solum in hoc genere erat palmariam.’
  Daarop gaat hij over tot zijne eigene methode, die daarin bestaat, dat hij lijnen of vlakken construeert, waarvan hij aantoont, dat zij of kleiner of grooter rooeten zijn dan eenige andere bepaalde lijnen of vlakken; opdat, zoo als hij op bladz 25 zegt,
  ‘Atque ita circuli peripheria intra illos limites quan- || tumvis angustos facile cogi potest, cum inscriptae & cir- || cumscriptae lineae longius inter se distent, quam utraque à || circuli intermedia peripheria quod etiam numeris ad ean- || dem analogiam omninò explicare perfacile est.’
  Zijne beide hoofdsteilingen zijn de 28ste (op bladz. 42), die in het nederlandsch dus luidt
  Proposiitio (sic) XXVIII. Als men op het eene uiteinde van eene middellijn eene raaklijn plaatst en aan het andere uiteinde de middellijn met den straal verlengt; en men dan uit dit punt eene raaklijn dit kan, zoo als huyghens later bewees, echter ook eene snijlijn wezen) aan den cirkel trekt; dan is het afgesneden stuk van de eerste raaklijn kleiner dan de aanliggende afgesneden cirkelboog.
  en de 29ste op bladz. 43.
  Propositio XXIX. Wanneer men op het eene uiteinde van eene middellijn eene raaklijn plaatst, en uit eenig punt van het verlengde der middellijn bij het andere uiteinde eene snijlijn trekt, zoodanig, dat het daaraan grenzende segment elijk zij aan den straal; dan is het afgesneden stuk van de eerste raaklijn grooter dan de aanliggende afgesneden cirkelboog.
  Dat snellius beide stellingen zelf als hoofdzaak beschouwt, kan men opmaken uit zijne woorden op bladz. 45.
  ‘Vides itaque peripheriam intra duos limites || per hanc & antecedentem propositionem obsessam tene- || ri, quorum hic major sit, ille minor. hoc solum porrò restat, || ut quantum facilitatis logistarum abacis hinc acceclat de- || inceps calculo explicemus, cujus toedium etiam factionis || aliqua concinnitate in hoc novissimo levare placet.’
  Allengs tot toepassing overgaande, toont snellius aan hoeveel sterker benadering hij verkrijgt dan bijv. archimedes: de ingeschreven zeshoek levert hem bijv. eerst twee, daarna vier de-cimalen; terwijl archimedes daaruit hoogstens ééne decimaal zoude verkregen hebben. Op bladz. 52 beweert hij
  ‘Vt semper amplius duplo cha- || racterum numero illum (Archimedem) antevertamus. ubi illi ad sextum circu- || lum ratio diametri ad suam peripheriam desinit, nobis ad deci- || mum quartum facile excurrat. si ille decimum attingat, nos ultra || vigesimum provehamur. atque ita continuo in omnibus majori- || bus & minoribus constanti operis processu.’
  Zoo komt hij tot hetgeen in § 2 reeds werd aangehaald, en besluit dit (bladz. 55) met de woorden
  ‘Tantam itaque utilitem (sic), tantamque adeò facilitatem Lo- || gistarum abacis nostrum epichirema inducit. quod tamen || longe minimum mihi videatur, prae istis, quae hinc dein- || ceps postea deducemus.’
  Daarop gaat hij met zijne methode door, om steeds naauwere ongelijkheden te vinden, bepaalt (bladz. 57) de naauwkeurigheid in aantal decimalen bij de opeenvolgende veelhoeken, geeft (bladz. 70) de waarde van graden, minuten en seconden in deelen van den straal tot tien decimalen en (bladz, 82, 83) een tafel met den titel
  ‘Latera polygonorum insriptorum quantarum diameter erit: || 20000,00000,00000.’
  voor de regelmatige n hoeken, n = 3 tot 8] genomen.
  4 Zagen wij in No. VIII der Bouwstoffen, wat snellius gedaan heeft voor den arbeid van ludolf van ceulen in de jaren 1615 en 1619, - en hebben wij hierboven gezien, wat hij zelf werkte over dit onderwerp in 1621; reeds vroeger had snellius de handschoen opgenomen voor de handelingen van van ceulen tegen onzen philippus van lansbergen.
  Deze toch gaf in 1616 uit zijne ‘Cyclometicae Novae Libri duo’* Philippi Lansbergii || Cyclometriae Novae || Libri dvo || Ad Illusstrissimum Principem || Mavricivm Nassovivm || et || Illustres ac Potentes Zeelandiae Ordd. || vignette: Eene voorstelling van de zon met de planeten. || ο͂ Θεός ἀεί κυκλομετρεί. || Middelbvrgii. || Ex officinâ Richardi Schilders. || CIƆIƆCXVI. in 4o.
  
  A (8 blz. zonder pagineering) bevat Titel en in verso een grieksch vers van Daniel Heinsius: || daarna de opdracht (4 blz.) gedateerd ‘Middelbvrgi Zelandiae, pridie Idus Januar. CIƆIƆCXVI.’ Daarop een brief ‘Ex literis Clarissimi, Doctissimique viri || Willebrordi Snellij. R.F. ad Philippum || Lansbergium’ (2 blz.) geschreven. ‘Lugdini Batavorum XI. Octobr. CIƆIƆCVII.’ Eindelijk een ‘Lectori benevolo. S.’
  B-K, blz. 1-63 bevatten
  Blz. 1-52. Liber I. De dimensione circuli ambitus.
  Blz. 53-62. Liber II. D(sic) dimensione Circuli areae.
  Blz. 63 (zonder pagineering) bevat de ‘Graphica sphalmata (6)
  De figuren zijn tusschen den tekst gedrukt met rooden inkt.
  , die later zijn opgenomen in zijne ‘Opera Omnia’* Philippi || Lansbergii, || Astronomi || celeberrimi, || opera omnia. || vignette: eene zonneweg met de aarde en het motto ‘Hinc Omnia lustrat.’ || Middelbvrgi Zelandiae || Apud || Zachariam Roman. || M.DC.LXIII. in fol.
  De titel is gegraveerd: rondom den beschreven titel de afbeeldingen ten voeten uit, van boven afgerekend.
  
  Links: Aristarchus Samius, Ptolemeus, Rex Alfonsus.
  Rechts: Hipparchus Rhodius, Albategnius, N. Copernicus.
  Onderaan de borstbeelden, links van Tycho Brahé, rechts van P. Lansbergius.
  
  A.V. Vonne, in en D. Bremden sc.
  In verso van den titel gegraveerd een fraai portret ‘W. Delffsculpsit’ met het randschrift ‘Philippus Lansbergius Gandavensis Aetatis suae anno LXVII,’ en daaronder het vers
  
  Sidera qui terris, totumq; relinquit Olympum,
  Monstratur aetheris novi,
  Jam pridem coeli vetus incola, corporis aegri
  Pertaesus, et nostri satur,
  Umbram animi, coeloq; oculos quos fixit, amicis
  Sic consecrat Lansbergius.
  D. Heinsius.
  
  XII bladz, bevatten een titel vóór dezen gegraveerden titel. Daarna de opdracht van Zacharias Roman aan de Staten van Zeeland (6 bladz.): de ‘Index operum’ (1 bladz.) en een vers van D. Heinsius (1 blz.)
  Het werk is verdeeld in X afzonderlijke stukken, die allen met blz. 1 aanvangen, en een afzonderlijken titel bezitten, van verschillende jaren.
  Het eerste stuk, dat hier noodig is, heeft tot titel
  Philippi Lansbergii || Triangulorum || Geometriae || Libriquatuor; || In quibus novà & perspicuà methodo, & ακποδεζεί tota ipsorum || Triangulorum doctrinaex plicatur. || Item || Philippi Lansbergii || Cyclometriae novae || Libri Duo. || Ab Autore recognita, multisque in locis aucta. || vignette: eene sterrekundige figuur. || Middelbvrgi Zelandiae, || Apvd Zachariam Roman, Bibliopolam. || CIƆIƆCLXIII. in folio.
  In verso van den titel een ‘Jani Dovsae Filii Carmen (1 blz.) daarop de opdracht van Philippus Lansbergius ‘ad Consules et Senatum,’ gedateerd ‘Goesae III Kalend. April. Anno Chisti CIƆIƆXCI.’
  A-P (blz. 1-118), waarvan blz. 89-118 bevatten het werk van noot (2), behalve den titel en de fouten. De figuren zijn hier zwart.. Maar hij had zijne benadering reeds vroeger bekend gemaakt, want de bedoelde opmerkingen van willebrord snellius, die lansbergen zeer openhartig in zijn werk opnam, komen voor in eenen brief van 11 October 1607. Derhalve was snellius toen reeds bekend met de uitkomsten van lansbergen. De aangehaalde plaats luidt aldus.
  ‘Ex literis Clarissimi, Doctissimique viri || Willebrordi Snellij,
  
  R.F. ad Philippum || Lansbergium. || Tvam verò novam quadraturam non levi- || ter admiror, qui etiam in vastissimis illis nu- || meris tam prope verum collimaris; unde fa- || cilè conjecturam capio, eam vero assidere. || Quod tamen Cl Ludolphum in ratione dia- || metri & peripheriae constituenda hallucina- || tum censes, || haud possum tecum sentire: || neque enim est ratio legittima quam ponis ||
  20000000000000000000000ad6283185||3071795864769128.
  Sed ista
  20000000000 || 000000000000 || ad 6283185307179586 || 4769252867 & amplius. Habes numeros tuis majores. Caeterum || verissimè illud notasti omnes Veterum quadraturas in numeris ma- || ximè expediri.’
  Snellius eindigt dien brief met deze woorden.
  ‘Neque enim decet te Aspendiam citharistam imitari, quem omnia intus || canere dicebant, ut tu quoque tibi soli sapias; sed multo magis ut publi- || cè prosis, & Belgici nominis claritatem nunc ad exteros, olim verò ad po- || steros propages. Vale Vir Clarissime, & affectum quo nos hactenus com- || plexus es deinceps porro continuato. Lugduni Batavorum XI. Octobr. || CIƆIƆCVII. || Tuus, tibique addictissimus || vvillebrord. Snellivs R.F.’
  5. Lansbergen stelt in zijn ‘Cyclometriae || Liber I. || De dimensione circuli ambitus’ als grondstelling zijner methode de volgende stelling (bladz. 4, 5).
  Indien men den loodrechten straal van een quadrant, en den boog zelven door achtereenvolgende halveering in 2n deelen verdeelt, en de eindpunten der eerste stukken op den straal en op den omtrek vereenigt; dan snijdt die verbindingslijn van de raaklijn aan het begin des quadrants een stuk af, dat gelijk is aan den afgesneden boog.
  ‘Hoc Theorema’ zegt hij ‘totius Cyclometriae fundamentum continet. || Quare perspicuè explicari, accuratéque demonstrari debet.’ Doch hierin schiet hij te kort.
  Ten einde deze stelling te kunnen toepassen geeft hij eenige tafels, en daaronder ook eene, waarvan hij (bladz. 12) zegt
  ‘Tertius Canon continet subtensas || conplementorum arcus um ad semicir- || culum, qui ex continua bisectione Qua- || drantis
  
  oriuntur, idque in mensura Ra- || dij vastissimi particul. || 100000,00000, || 00000,00000,00000,00000,00000, || 00000, 00000,0. || Quem Canonem sum- || ma industria, atque indefesso labore sup- || putavit logistarum nostri seculi Princeps || Ludolphus à Collen, eundemq; abhinc octennium nobiscum perhuma- || niter communicavit.’
  Deze tafel gaat ‘ad bisectionem Quadrantis 46m’ en geeft 53 decimalen.
  Naar zijne methode verkrijgt lansbergen twaalf decimalen door denzelfden boog, die aan van ceulen tien decimalen leverde (bladz. 32).
  ‘Quae ratio perimetri ad diametrum [namelrjk 31415, 92653, 58978Deze 8 moet eene 9 zijn, ook naar de voorafgaande berekening: dezelfde cijferfout begaat lansbergen eenige regels lager bij het aanhalen der uitkomst van van ceulen., 3238....] multò accuratior est illâ quam || Clarissimus Ludolphus à Collen, in opere suo Cyclometrico, ex eiusdem || arcus inscripta & circumscripta demonstravit, nimirum vt 100000, || 00000,00000,0 ad 31415, 92653, 58978, 32 minorem iusta; 131415, || 92653, 58978,33 iustà, maiorem. Vtraque enim duabus ultimis notis || deficit à nostra.’
  Twee bladzijden verder vindt hij de sterkere benadering in 38 decimalen, (waarin hij de, in den straks vermelden brief van snellius, niet juiste waarde verbeterd heeft); daarop laat hij volgen (bladz. 34)
  ‘Cuiusmo- || di est quem magnus Logista Ludolphus à Collen supputavit ad Dia- || metri circulos 75 (sic). ‘Verùm quia tam infiniti numerorum anfractus, || nec usum habent ullum, nec ad Cyclometriae perfectionē ullo mo- || do faciunt, non libet nobis ultra λ επτολεσχείν.’
  en bladz. 36,
  ‘Et nostro tempore priscos omnes antecedens in- || comparabilis Logista Ludolphus a Collen demonstravit peripheri- || am circuJi cuius diameter ponitur particul ..... Cuius vestigijs etiam nos insistētes osten- || dimus circuli cuius diameter est .... perimetrum esse minorem quam ....’
  Uit al deze aanhalingen blijkt het, hoe hoog van ceulen ge-schat werd door onze lansbergen; maar dat deze evenwel zijn eigen werk nog beter oordeelde.
  Maar met deze bewerkingen was lansbergen niet tevreden: hij zegt toch op blz. 37
  ‘Reli- || quum est vt in Cyclometria Dinostrati deinceps tentemus, quod in || Archimedaea, Deo juvante, fecimus & perfecimus.’ en na de opgave van eene eerste stelling daarover,
  ‘Inter lineas quas quae Geometrarum scriptis celebrantur, duae prinum || locum obtinent, Admirabilis & τετραγωνίζουσα.’
  Omtrent deze, de Quadratrix van dinostratus, geeft lansbergen nog een tiental stellingen en werkstukken.
  Daarop begint bladz. 58, de ‘Cyclometriae || Liber II. || D (sic) dimensione Circuli areae.’ die op blz. 62 eindigt, en waarin hij slechts de eigenlijke quadratuur met de rectificatie in verband brengt; dat is de betrekking nagaat van den inhoud en den omtrek van cirkeldeelen, uitgedrukt in het vierkant van den straal en den straal zelven als eenlieden.
  Tegen lansbergen en zijne methode, schreef nog in hetzelfde jaar een Schot, alexander anderson zijne ‘Vindiciae ArchimedisVindiciae || Archimedis. || sive || elenchvs || Cyclometriae novae, || a Philippo Lansbergio || nuper editae || Per Alexandrvm Andersonvm, Scotum. || Parisiis, || Apud Joannem Laqvehay. In Monte Diui Hila- || rii, in Area Albretiae. || M.DC.XVI. in 4o.
  IV bladz., dan bladz. 1-7, eene bladzijde wit., een geschrift van slechts zeven bladzijden.
  6. Het was in den jare 1654 dat christiaan huyghens in zijne ‘De Circuli Magnitudine inventa’* Christiani Hugenii, Const. F. || De || Circuli || Magnitudine || Inventa. || Accedvnt eivsdem || Problematum quorundam illustrium || Constructiones. || vignette: Een boom met klimplant en man, non solus || Lvgdvni Batavorvm, || Apud Johannem & Danielem Elzevier. || Academ. Typograph. || CIƆIƆLIV in 4o.
  VIII bladz, zonder paginatuur, bevat: titel en Praefatio (6 blz.).
  
  A-I blz. 1-71.
  Bladz. 1-44. De || circvli magnitvdine || inventa. Propositiones XX.
  Bladz. 45-71. Illvstrivm qvorvndam || Problematvm constrvctiones. Problemata VIII.
  Blz. 73 (zonder pagineering) de ‘Errata.’
   op deze benaderingen terugkwam. Hij vangt zijne ‘Praefatio’ aldus aan.
  ‘Circa antiquum Tetragonismi || problema, quo vel apud Ma- || thematum ignaros nihil est cele- || brius recens operae pretium nos || fecisse rati, & quaedam hactenus, compertis || meliora ut putamus consecuti, Geometris ea || demonstrata impertiri volumus.... || .... || Nos autem propiorem || determinationem nunc exhibemus ostendimus- || que, quod duobus sumptis po]ygo- || nis proportione mediis inter in- ]| scriptum circumscriptumque ip- || sis simile, minoris eorum perime- || ter circumferentiâ circuli major || existit, reliquum vero polygonmn eâdem proportione circuli || aream exuperat. Et hoc quidem ut in- || ter ea quae demonstraturi sumus & difficilli- || mum & contemplatione praecipué dignum vi- || deatur, alia tamen sunt non accuratiora modò, || sed quae & usu magis probentur; quae sanè hic || in antecessum non recensebimus.’
  
  Verder zegt hij, hoe hij behalve den gewonen meetkundigen weg, ook de theorie van het zwaartepunt bij zijne bewijzen heeft gebruikt.
  ‘Cum igitur dupli- || cem propositi tractationem instituerimus, || primùm ea tradendo quorum demonstratio || consuetis Geometriae elementis contenta est, || deinde centrorum gravitatis quoque considera- || tionem adhibendo:’
  Omtrent die eerste methode geeft hij op.
  ‘Ex polygonis autem || laterum 10800, cum iis qui veterem insi- || stunt viam vix hi peripheriae termini exi- || stāt 62831852 & 62881855, ad diametrū || partium 20000000, nostrâ Methodo isti || prodiisse cernētur, 6283185307179584, || 6283185307179589;’
  maar de tweede methode, met behulp van het zwaartepunt, geeft nog veel sterker benadering.
  ‘E sexagintā- || gulo autem inter hosce eam contineri probamus || 31415926538 & 31415926533, po- || sitâ diametro partium 10000000000, cum || solitâ methodo vix isti producantur 3145, || 3140. Adeo ut triplus jam & ultra sit verarum hîc notarum numerus, sicut per praecedentia du- || plus.’
  Hij eindigt die voorrede met de volgende opmerking.
  ‘Comperimus autem & Renatum Cartesium, || cujus viri inventis cum Philosophia universa tum || Mathesis plurimum illustrata est, nonnulla quae || huc spectent scriptis mandasse. Ea vero defuncto || ipso in commentariis reperta feruntur, neque ad- || huc rescire potuimus quâ industriâ aut eventu || hisce manum admoverit. VVillebrordi autem || Snellii geometrae eruditi Cyclometricus extat, || multo labore conscriptus, quique omnis in his est. || Atque ille non exiguam laudem promeritus vide- || retur, si praecipua duo theoremata, quibus onme || id opus velut fundamentis superstructum est, de- || monstrare potuisset. Sed quas ibi pro demonstra- || tionibus haberi postulat, propositum minimè com- || probant: ipsa verò theoremata, sicut in utroque || evidenti ratione nos ostendimus, praeclaram con- || tinent veritatem. Et ea quidem sequentibus me- || ritò inserenda putavimus, quod causae eorum ànostris pende ant inventis.’
  Even als snellius, zocht ook huvghens tot meer en meer nauwe ongelijkheden te geraken, zoowel wat den inhoud, als wat den
  
  omtrek des cirkels betreft. De boven in de voorrede aangehaalde stelling, komt voor op bladz. 23, als Theor. XI. Prop. XIV. Hij besluit deze stelling (bladz. 27) met de opmerking, dat daarmede tevens de ongerijmdheid wordt bewezen van het beweren van orontius finaeus: Wanneer men tusschen de zijden van de om- en ingeschreven vierkanten twee meetkundig midden-evenredigen construeert, dan is de omtrek van de kleinste figuur gelijk aan den omtrek des cirkels, de inhoud van de grootste figuur gelijk aan den inhoud des cirkels. Deze had dus gemeend, dat de omtrek zoowel als de inhoud des cirkels 2 ∛ 4 waren, dat is = 2 × 1, 5...
  De daarop volgende beide stellingen Theor. XII. Propos. XV en Theor. XIII. Propos. XVI zijn dezelfde als in § 3 behandelde hoofdstellingen Propos. XXIX en XXVIII van willebrord snellius; waarbij huyghens van de eerste zegt.
  ‘Hoc Theorema alterum est ex iis quibus Cyclometria || Willebrordi Snellii tota innititur, quaeque demonstrasse || videri voluit, argumentatione usus quae meram quae- || siti petitionem continet. Sed & alterum subjungemus, || quod utile est imprimis & contemplatione dignissimum.’
  Bij de volgende stelling Theorema XIV. Propos. XVII (bladz. 31) worden de eigenschappen van het zwaartepunt reeds gebruikt. Daardoor komt hij eindelijk tot zijne laatste stelling Theor. XVI, Propos. XIX (bladz. 37).
  Iedere boog, kleiner dan een halve omtrek, is grooter dan de som van zijne koorde in het derde deel van het verschil tusschen deze koorde en zijn sinus: kleiner daarentegen dan de som van de koorde en eene vierde evenredige tot 1o. de som van tweemaal de koorde een driemaal de sinus, 2o. de som van viermaal de koorde en de sinus, 3o. het derde deel van het verschil tusschen koorde en sinus.
  En hiermede vindt hij in Problema IV. Propos. XX bladz. 43, uit den regelmatigen 60 hoek de verhouding met negen juiste decimalen, uit de voorrede hierboven aangehaald. Hij besluit deze redeneering en zijn geheelen arbeid met de woorden (bladz. 44).
  ‘Utile hoc ad sinuum tabulas examinandas. || Imo ad componendas quoque: quià cognità arcus ali- || cujus subtensâ, etiam
  
  ejus qui paulò major minorve sit || satis accuratè definiri potest.’
  7. Het tweede gedeelte van het aangehaalde werk bevat:
  Illvstrivm qvorvndam || problematum constrvctiones (bladz. 45-72.). Zij zijn de volgende.
  
  bladz. 45. Probl. I. Datam sphaeram plano secare, ut portiones inter || se rationem habeant datam.
  bladz. 49. Probl. II. Cubum invenire dati cubi duplum.
  bladz. 51. Probl. III. Datis duabus rectis duas medias propor- || tionales invenire (3 constr.).
  bladz. 56. Probl. IV. Qvadrato dato & uno latere producto, aptare sub || angulo exteriori rectam magnitudine datam quae || ad angulum oppositum pertineat.
  bladz. 57. Probl. V. Dato quadrato, & duobus contiguis lateribus pro- || ductis, aptare sub angulo interiori rectam magni- || tudine datam quae per angulum oppositum transeat. || Oportet autem non minorem esse datam quam sit qua- || drati diameter dupla.
  bladz. 59. Probl. VI. Rhombo dato, & uno latere producto, aptare sub || angulo exteriori lineam magnitudine datam quae || ad oppositum angulum pertineat.
  bladz. 62. Probl. VII. Rrombo (sic) dato & duobus contiguis lateribus produ- || ctis, aptare sub angulo interiori rectam magnitu- || dine datam quae per oppositum angulum transeat. Opor- || tet autem datam non minorem esse quam duplam diame- || tri quae reliquos rhombi angulos conjungit (2 constr).
  bladz. 69. Probl. VIII. In Conchoide linea invenire confinia || flexus contrarii.
  
  8. Het schijnt hier de plaats, om even stil te staan bij hetgeen j.f. montucla over deze verschillende personen en methoden zegt in zijne ‘Histoire des recherches sur la quadrature du cercle’* Histoire || des recherches || sur la || quadrature || du cercle; || Ouvrage propre à instruire des découver- || tes réelles faites sur ce problême célé- || bre, & à servir de préservatif contre || de nouveaux efforts pour le résoudre: || Avec une Addition concernant les problêmes || de la duplication du cube & de la trisec- || tion de l'angle. || vignette || A paris, || Chez Ch. Ant. Jombert, Imprimeur- || Libraire du Roi en son Artillerie, rue || Dauphine, à l'Image Notre Dame. || M.DDC.LIV. || Avec Approbation & Privilege du Roi. in 8o.
  
  a-e. blz. i-xliij (gepagineerd) bevatten de titel; Préface (29 bladz.), Avis au Lecteur (1 bladz.), Table des matières sommaires (12 bladz.), Approbation du censeur Royal. Daarop 4 bladz. (niet gepagineerd) bevatten Privilege du Roi (3 bladz.) en Errata.
  A-N, blz. 1-304, het werk zelf, waarvan bladz. 295-304. Table Alphabétique des matieres.’
  Nog 4 bladz. (niet gepagineerd) Livres de Mathematique.
  
  Van dit werk bestaat een tweede druk, die te Parijs in 1831 is uitgekomen..
  Hij begint op bladz. 45 aldus.
  ‘Il semble en effet que les Géo- || metres desesperant d'atteindre à la me- || sure précise du cercle, ont cherché à || s'en dédommager per des approxima- || tions d'une exactitude fort supérieure à || nos besoins. Cette de Viete fut effacée ||
  
  par celle d' Adrianus Romanus: ce Géo- || metre des Pays-bas calcula labo- || rieusement la grandeur du côté d'un || polygone de 1073741824 côtés, & dé- || termina par ce moyen le rapport en 16 || chiffres de 1,00000,00000,00000, || à 3,14159,26535,89793 +; mais || ce travail de Romanus, quelque grand || qu'il soit, est cependant encore beau- || coup inférieur à celui que Ludolph || van Ceulen, son contemporain, eut || le courage d'entreprendre. On doit à || celui-ci une proportion esprimée en 36 chiffres.’
  Na eene uiteenzetting der methode van van ceulen, vervolgt hij (bladz. 47)
  ‘La suite des opérations || de Ludolph, est exposée dans quelques- || uns de ses ouvrages òu les Géo || metres de son tems purent l'examiner.’
  Naar hetgeen wij in No. VIII der Bouwstoffen hebben gezien, vergist zich montucla hier in het aantal cijfers, evenzeer als in de geboorteplaats van van ceulen en in diens betrekking, waaromtrent hij in eene noot op bladz. 46 schreef.
  ‘Ludolph étoit de Cologne, d'où lui vient || son nom de van Ceulen, car Cologne se dit en || en (sic) Hollandois Ceulen: il fut long-temps Pro- || fesseur de Mathématiques en Hollande, à || Amsterdam ou Breda. On ne sçait presque rien || de lui.’ Op bladz. 47 vervolgt montucla.
  ‘Le P. Griemberger, un de ceux qui || eurent le courage de le faire, assura le || monde sçavant de leur justesse, & par || conséquent de celle de l'appromixation || qu'il en tiroit.’
  Deze christopher grimberger schreef in zijne ‘Elementa trigonometricaElementa || Trigonometrica || id est || sinvs tangentes || secantes || In Partibus Sinus totius || 100000. || Christophori Grienbergeri || E. Societate Jesv || Rerum Mathematicarum || Opusculum Secundum. || Romae. Per Haered. Barthol. Iun. 1630. || Superiorum permissu. in 8o.
  Dit werk is opgedragen aan ‘ Illustrissimo & Excellentissimo || Principi || Jacobo. || Bonconpagno || Sorae Duci. || Christophorus Grienbergerus || E Societate Jesu. S.P.D.’ op de vijfde bladzijde, over de verhouding van den omtrek tot den straal des cirkels:
  ‘Qui (numeri) licèt non sint absolutè || veri; sunt tamen tam accurati, vt accuratiores || nè circuli quidem coelestes desiderent, & fortas- || sis Logistae hactenus hisce maiores non conspe- || xere. Quas autē prodidit Ludolphus à Colen || sunt hisce minores quinque figuris, vt videre est || ad propositionem 31. Cyclometrici Villebrordi || Snellij, quo nemo alius quod sciā melius atq. ad || praxin dimensionis circuli accommodatius, nego- || tium hoc pertractauit: cuius praeceptionibus in- || sistens tentare coepi, vtrum ex meis finibus ma- || ioribus, & ex cōtinuis bi-sectionibus Arcus gra- || duum 3. easdem circumferentias elicere pos- || sem, quas Ludolphus; resq. successit penitus ex || voto. Omnes enim 35. figuras reperi easdem || sicq. omnem dubitandi occasionem sustuli, quae || circa huiusmodi calculos oriri solet. Certè || quod ad me attinet certiores alios accuratio- || resq. iam amplius non desidero. || Proportio Semidiametri, ad Semiperi- || pheriam vera minorem, & maiorem. || Est vt || 100000,00000, 00000,00000,00000 || 00000,00000,00000. Semidiameter vera. || Ad || 314159, 26535, 89793, 23846, 26433, || 83279, 50288, 4199. Semiperipheriam ma- || iorem vera, vel || 314159, 26535, 89793,23846, 26433, || 83279, 50288, 4196. Semiperipheriā mino- || rem vera.’
  Vervolgens spreekt montucla over den grafsteen van van ceulen: voor dat hij daarop tot snellius overgaat, met wien hij veel ophad, schrijft hij (bladz. 48).
  ‘Cependant à apprécier au juste || le travail immense de Ludolph, il est || bien plus propre à lui procurer la ré- || putation d'un infatigable calculateur || que d'un homme de génie. On fait, & || avec quelque raison, en Mathémati- || que, peu de cas de ce qui n'est que le || fruit de la patience. Sans rabaisser donc || le mérite de Ludoph (sic), que nous sçavons || d'ailleurs avoir été un habile analyste’ - (een der oordeelen, die later hebben ten gevolge gehad, dat van ceulen te zeer miskend is geweest) - il me paroît que le Géomètre dont je || vais parler mérite plus d'éloges pour || les découvertes qu'il ajouta à la Cyclo- || métrie.
  Willebrord Snellius, c'est ce Géome- || tre, se proposa d'abréger ces pénibles || opérations,.... || Ces deux theorêmes réduisent à || moins de la moitié le travail des ap- || proximations qui jusqu'alors avoient || exigé de si laborieux calculs.’
  Over lansbergen spreekt montucla niets, maar omtrent huyghens zegt hij (bladz. 56).
  ‘Le célèbre M. Huygens entra || peu d'années après Snellius, dans la || même carrière que celui-ci avoit ou- || verte. Les premiers coups d'essai de ce || Mathématicien illustre furent d'enri- || chir la Cyclométrie de plusieurs vérités || utiles; ce que Snellius avoit tenté & || laissé à certains égards imparfaits, M. || Huygens, encore fort jeune, le per- || fectionna considérablement.’
  
  Het scheen niet onbelangrijk, hier deze meeningen van montucla weder te geven, al ware het dan met korte woorden; hij, die hiervan meer bijzonderheden wil weten, neme het boekje van montucla zelf ter hand. Maar naar hetgeen in dit en in vorige nummers dezer Bouwstoffen is medegedeeld, vindt men geene aanleiding, meen ik, om het door mij uitgesproken oordeel te wijzigen. Trouwens, men moet bij de beoordeeling der voorstelling van montucla niet vergeten, welke de omvang van zijn arbeid is aan den eenen kant; en hoe aan den anderen kant, in het onderhavige geval, de omstandigheid in het oog te houden is, dat de werken van ludolf van ceulen oorspronkelijk in het nederlandsch geschreven zijn; welke taal wel niet door montucla met het noodige gemak zal gelezen zijn.