怎么样才能学好高中数学？
根据我的经验， 如果能在数学学习中避免以下误区（附解决办法），同时再通过适量题目练习做到： 才能真正做到： 最终成绩提升是自然而然的 。 我当年学数学的时候，没有这个毛病。 但随着我接触的孩子越来越多，我发现很多孩子很努力，但是根本不会学习，尤其是不会仔细体会和品味这些理科的概念。 他们很努力，拼命刷题，但仍然对这些概念一知半解。甚至还有同学质疑，说“不用掌握概念我也可以做题”。 是的，你的确可以做一部分题，但题目一变，你就完蛋。来看看下面例子：   很多同学这题做不出来。请看一下我的思路，再揣摩一下基础在解题过程中的重要性： 首先，解决数学问题，我们不喜欢中文，要“翻译”为数学语言，例如画张图（几何语言） 因此这道题的第一问一点都不难，如果你对于椭圆的定义不熟悉，你即使会数学思维“翻译”，知道要把中文翻译为数学语言，你也无从下手！ 请记住： 如果说数学思维就像是成为米其林三星大厨需要具备的手艺的话，那么基础知识就是备菜。 巧妇难为无米之炊，如果你的米没有洗好，肉没有切好，锅没有洗干净，你的技艺再高超，也不可能做好一道菜。 那基础概念应该如何学习呢？ 其实数学也好，科学（物理，化学等）也罢和诗歌是非常相似的，都是在试图用最精炼的语言表达：数学/科学是刻画我们所处的外在环境-大自然的万千现象，诗歌是刻画我们的内心复杂的感情。 因此基础概念的描述没有一个字是多余的。一定要精读，一个词一个词的理解，不要像小说一样的去泛读。 例如，我们刚刚讲了什么叫做椭圆，那你别急着看下文，思考一下什么叫做双曲线？ 很多人的回答是：“到两定点的距离之差等于定长的点的集合”，很遗憾这是错的。 正确的答案是：“到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的集合（两定点线段长>这个绝对值>0）”，没有了“绝对值”三个字，得出来的是双曲线的一个分支。 如果我是高考命题人，我可以轻松出一道题目，就考这个基本概念，我估计又会“死掉”一大片。 学习物理又何尝不是如此？例如什么叫摩擦力？ 同学们要学会精读，并且理解这些定义和概念。你们高中课本的定义是这样写的： 阻碍物体相对运动（或相对运动趋势）的力叫做摩擦力。 我们来一点一点的理解： 一个力是向量，因此你必须说清楚其大小和方向 首先是方向，摩擦力既然是”阻碍”，因此其方向是和相对运动方向相反的，也就是说和速度(以接触的物体作为参照物）方向相反！那么什么叫做相对运动趋势？即，假如没有摩擦力，这个物体会如何动（以接触的物体作为参照物）？摩擦力的方向就和这个运动方向相反。 例如一个往前移动的传送带上的物体（物体跟着传送带运动），为什么摩擦力方向是向前的？ 这里就要求你对“相对运动趋势”理解深刻。如果没有摩擦力（绝对光滑），传送带上的物体将保持静止。那么相对于传送带（以传送带作为参照物），其运动方向是向后的，这就是相对运动方向。因此摩擦力应该和这个方向相反。 那么大小呢？分为静摩擦和动摩擦两种，静摩擦用受力平衡来确定，而动摩擦力的大小= \mu N 这样不就十分清楚了？以后遇到任何关于摩擦力的问题，你都可以轻松的利用上面的定义“翻译”为物理中力的语言（物理模型），而后翻译为数学语言，解之，即可。 你只需要这样做： 用自己的话，把这个概念或者定理复述一遍。然后利用微信录音，QQ录音等录下来，之后对比你讲的和教科书上的内容。 如果一致，那么就说明你懂了，如果不一致，或者说不清楚，说不出来，那么不好意思，你这个概念掌握得比较差。 我非常相信王阳明先生的“知行合一”四个字，知而不行就是未知。 在你运用这些概念之前，最起码的“行”就是能够说得出来，连说都说不出来，谈什么知呢？ 这也是用来自我检验基础概念的极佳方法。 例如你自己问自己，高中阶段证明线面垂直至少可以有5个不同的定理，你能很快把他们说出来吗？如果不能，你就知道你的立体几何的基础不够扎实。 考试，无论你喜欢还是不喜欢，最大的特点就是有时间限制。 因此，一个能拿高分的人一定是简单的题目做得又快又对，这样他/她才有时间思考难题。 因此，平常练习就应该掐着时间做。例如选择填空题就尽量不要超5分钟。 如果超过了，就把它当做是错题 – 深入探寻： 还有更加简单的方法吗 （例如特殊化）？ 我能总结什么模式？ 我需要记忆什么快速解答的公式吗？ 另外这样练习也让你十分熟悉考试的压力和紧张感。真正考试的时候就不容易发挥失常。 我先定义以下什么是错题： 1. 做错的题（包括3种：粗心，概念不清，以及逻辑问题，这三者一定要严格区分开来） 2. 不会做的题 3. 做得慢，没有在规定时间做完的题 都是你的错题。 很多同学遇到错题，就扫一遍答案，看懂了，然后？然后就没有然后了。 这样的学习，恕我直言，是在浪费题目和时间！ 这样日积月累，你表面上很努力，不过只是在重复做无用功罢了。 记住：错误是一个人最大的学习之源！ 我的一生最重要的原则，方法都是从错误（自己的+别人的）中学来的。 正如孟子所言， 那么如何从错误中学习呢？我总结了以下反馈环 遇到错误，首先的就是要找原因。 例如，我的答案错了，是为什么？粗心，概念不清，还是逻辑不清？ 例如有的同学在变换： (x^2-1)/(x-1) 直接写： (x^2-1)/(x-1)=x+1 这不是粗心，而是逻辑不清。你没有意识到你的变换不是充要变换，因为你舍去了一个限制条件（ x\neq1 ），因此会出现增根。 扩而广之，你要知道，天下间所有的题目只有两类，判断题（包括证明题）和求解题。而求解题是求满足某个条件的某未知数的取值范围。 必须是这个条件的充要变化才无增根，无失根，是完美的解。如果你转化为其必要条件，例如上面的变化，那就记得要检验。 这样，你对这个错误才真正学到东西了！ 那么做不出来，做得慢呢？ 记住，看懂答案为什么是对的远远不够，关键是你要弄清楚下一次你要如何想，才能把这道题又快又对地做出来 – 即解题思维是什么。   上面是我总结我在教学过程发现学生存在的问题及对应的解决方法， 即使我给了解决方案， 我发现还不够， 因为我统计了学生们对解决方案的执行情况，统计数据让人咋舌： 80%以上的同学没有付诸实践，依旧按照原来的错误模式继续。 为何如此？ 我有以下几个结论： 中国的儒家非常强调诚实。诚实的第一条是不要骗自己。 这个观点，在RayDalio（世界最大对冲基金“桥水公司”创始人）先生的Principle（中文翻译为：原则）一书中记为“acceptance of reality（接受现实）”。 现实中，很多的人非常习惯于欺骗自己。现实往往是残酷的，他们选择的不是直面残酷的现实，而是逃避。 真的掐着时间做，这些孩子发现他们的正确率和做得出来的题目比率大幅下降。这一点让他们恐惧。于是他们虽然看过了我的文章，但仍然选择继续原来的模式：逃避。 我是“知行合一”的推崇者，请切记：判断你是否自欺欺人的标准不是你嘴上说什么，而是你实际做了什么。 首先不是只有那些说话狂妄的人才有高傲的毛病，很多看起来十分谦逊，甚至唯唯诺诺的人也同样犯这高傲的错误。 我先从我的一个亲身经历开始吧： 高傲的其中一种情况就是：不去了解你要应对的事物，低估了环境的恶劣程度。 如果说交易员这项工作的难度是100的话，我的同事轻敌了，他没有去真正了解他要应对的事物，即使有，也认为难度只有50，因此他得到了教训。 除了逃避现实外，还有一个部分学生不去掐着时间做题，从错误中学习就是高傲所致： 高考的难度只有在你掐着时间做题时候才真正体现出来，你平时能在4个小时把高考数学做到150分，但这有用吗？ 不掐着时间做题，从一定程度上来说就是高傲 – 对“环境恶劣程度”的轻视。 曾国藩先生说过： 我至今仍然用这句话警醒自己，但我惊奇的发现有很多孩子甚至拥有最糟糕的组合：能力差+高傲 看看下列对话，绝对不是个例： 或者是这个版本的变形： 再如这个： 我专门抽出1个月的时间，在闲暇之余一一回答这些孩子的咨询，但是其中有一部分我发现他们的基本思维方式是错的： 他们自大，对毫不了解的事物盲目下结论，有的甚至还固执。 我当然不会和这些孩子计较，但是和他们的对话让我忧心忡忡。 因此我写下了这篇文章，并在我的课程中录制了更多的故事，希望能引导这一部分孩子。 无论如何，我至少把我作为老师能做的做到位吧。 我也会在后面针对家长写一些话，希望对那些孩子还小的家长能有所助益。 学习从来就不是一件时时刻刻让人愉悦的事情。有的人说这是“逆人性”，我虽然不赞同这个名称，但也觉得这是一个十分有趣的说法。 随着我见到类似的现象越来越多，我开始理解那些“秒杀”，“模板”即使误人子弟，却仍旧“经久不衰”的原因了： 他们不能辨别这种方式在逻辑上叫做“cherry picking（摘樱桃）”。 有些“老师”摘取1%题目，编出一种能够在数秒内解决他们的方法，看上去十分精彩。 但这个样本是有偏的，剩下的99%的题目用这些“模板”“秒杀”要么做不出来，要么是错误的。 今天的高考越来越灵活，这样的学法是学不好数学的，更不用说学生失去了思考问题的能力，只会死劲硬背，贻害终身。 我这一辈子从来没有见过这样的好事。 如果有这样的机会，那机会窗口也一定很短暂，因为竞争一定会非常激烈，于是乎这样的机会就会消失殆尽。(no arbitrage opportunity, 这是金融衍生品定价的基本原理) 这个套路在社会上早已屡见不鲜了，各种庞氏骗局，传销，包治百病的保健品不都是这个心理吗？ 反而那些真正帮助学生提高基础，学习解决问题的思维的东西反而更难以让人接受。 尽管如此，我还是把这句话说清楚：天助自助者，你自己都不愿努力，没有人帮得了你。 这是十分糟糕的习惯。关于错误我有一个重要的原则： 同样的大错误犯两次是愚蠢的，3次是非常愚蠢的，4次是故意的。 我原来在投行，以及我自己的公司，这样的人我是直接开除的，因为没有学习能力。 这就要求一旦出现问题，一个人首先应该立诚 – 直面它，然后找出真正的原因。 至少对于学习而言，最重要的因素是你自己！ 很遗憾，很多孩子养成了不良的习惯，一旦出现了问题，就胡乱归因，常见的有： 1）我的天分不好（父母的错，记住：永远不要归因到天分，这是无解的。大家都是两个眼睛，一个鼻子，一张嘴，人的共性远远大于个性！）； 2）老师不好（老师的错，学校的错，对这一部分学生我特别想问：那我现在把课程/学习方法提供给你了，为何你还是不好好学？即使是自学也该学好了吧？）； 3）没有时间（既然你的学校教育没能帮你提高，你为何不请假自学？好，你没这个胆量。那为何不辛苦些，少睡点？为何不利用好假期？） 错误都是别人的，自己一点问题都没有，难怪这些孩子翻来覆去犯同样的错误，跌入同一个坑中。 我先从美国的一个心理学实验开始： A，B两个小孩本来对数学的天赋差不多，但老师和家长经常表扬B，B的自尊心起来了并自认为自己是有天分的，他就会花很多时间在数学上，且经受挫折也不愿放弃，因为自尊心有了。 而A没有得到表扬，觉得自己一般，也不会投入大量精力，遇到问题也更容易放弃，毕竟归因于“我没有天分”是最省力的。1，2年后他们对于数学的“天分”就会出现真正的巨大的差别。 即使智商最开始差不多，A类小孩最容易欺骗自己，找借口，而B类更容易从自身出发，寻求解决方案。因此我希望父母无论如何都不要说自己孩子笨，鼓励为主！ 我接触到的有一部分家长是“外圆内圆”。 他们甚至会帮着自己的孩子找借口，例如高傲，他会说：“我的孩子很有个性”。这是个性吗？ 孩子在同样的错误上反复犯，他们也不去纠正，好像害怕得罪孩子一般。 这类家长往往在该管的原则上的事情不管，不该管的鸡毛蒜皮的事情，例如一个星期用多少小时的手机/电脑却盯得十分紧，本末倒置，令人唏嘘。 出现原则性的问题，我的建议是火炉法则： 事先告知，不能触碰，碰则要有后果，不是说说就算的。