如何从博弈树中划分出各个子博弈？贝叶斯法则如何使用？
先补充一点背景。 上图摘自张维迎的《博弈论与信息经济学》（P 7） 在此图中，我们可以看出博弈论大概分为四类，每种类别都有固定的纳什均衡。 这道题中所问的“如何分辨子博弈”，是求解子博弈精炼纳什均衡的基础。而“贝叶斯法则”是求解精炼贝叶斯均衡的基础。 所以，如果扩展一下是属于如何求解完全信息动态博弈的子博弈精炼纳什均衡，以及如何求解不完全信息动态博弈的精炼贝叶斯纳什均衡。在下面分开讨论。 一、完全信息动态的子博弈精炼纳什均衡 完全信息动态一般用扩展式表述。 子博弈精炼纳什均衡要求（1）它在原博弈上是纳什均衡（2）它在每一个子博弈上都是纳什均衡。 所以，如何分辨一个扩展式有几个子博弈，关键在于看一个扩展式表述的博弈中有几个单节信息集。同时，子博弈不能切割原博弈的信息集。 通过下面几个图来解释： 图  1 在此博弈中，有三个参与者，分别是A、N（自然）、B。 共有七个决策点，A有一个。N有两个，B有四个。这七个决策点分割成七个信息集，每个信息集都只包括一个决策点。（表示，所有参与者在参与时准确知道自己处于哪个决策结。） 子博弈由每个决策结及其后续结构成，所以在图一中，共有七个子博弈。 （注意：任何博弈本身成为其自身的一个子博弈。） 图  2 图2与图1相同，也有三个参与者，A、N（自然）、B。 不同的是，B在选择时并不知道N的选择，也就是说B知道A选择了开发或者不开发，但是不知道N选择了大还是小。因为B不知道自己处在N选择了大还是小的决策结上，用虚线表示。此时，B有两个信息集，但是每个信息集有两个决策点。 总结来说，在图2中，A有一个信息集，只包含一个决策结；N有两个信息集，各包含一个决策结；B有两个信息集，各包含两个决策结。所以，图2共有三个单节信息集，那么也就可以判断图2有三个子博弈。 图  3 在同样三个参与者的图中，图3代表A决策时不知道N决策的结果；B知道自然的选择，但是不知道A的选择。在图3中，根据“子博弈不能切割原博弈信息集”的规则，图3只有一个子博弈就是原博弈本身。 图3的博弈还可以用另外的方式来表达，可能更容易理解。 图  4 图4和图3代表的完全是同一个博弈。A决策时不知道N决策的结果；B知道自然的选择，但是不知道A的选择。在这个图中，根据之前的“有几个单节信息集就有几个子博弈”的判断方法，可以知道只有一个子博弈就是原博弈本身。或者说，只有一个子博弈，即N有一个信息集只包含一个决策点。 二、贝叶斯法则的应用 如何理解贝叶斯法则在博弈论中的应用，我觉得张维迎《博弈论与信息经济学》中举的一个例子很好，我先把这部分截图放在下面。 摘自张维迎《博弈论与信息经济学》 P182~P183 用贝叶斯法则求解精炼贝叶斯纳什均衡最典型的例子应该是用在信号博弈上。 可以参考罗云峰主编的《博弈论教程》，第十三章1、2小节。我觉得这本书相对讲的清楚些。 这是之前上课用到的一个例子，把它放在下面。 首先，在这个博弈中，有三个参与者，分别是N、S、R。Sender有两种类型，他是哪种类型是其私有信息。也就是说，receiver不知道sender是哪种类型，知道的是1/2的可能性是t1,另外1/2的可能性是t2，同时Receiver可以根据Sender的行动来修正自己的判断。  Sender有两个行动的可能性，L或者R；Receiver有两个行动的可能性，u或者d。 1.假设无论是Sender  t1，还是Sender t2，都会选择L。 这一假设条件可以表示为 p（L︱ t1）= p（L︱t2）= 1。又知Sender 1/2的可能性是t1,另外1/2的可能性是t2，即p（ t1）= p（t2）= 0.5 那么这个时候，根据贝叶斯法则。他选择U，受益是1/2*3+1/2*4=3.5。如果他选择d，收益是1/2*0+1/2*1=0.5。所以，在Sender选L的情况下，Receiver会选u。在Receiver选U的情况下，Sender  t1 选L的收益是1，Sender t2选L的收益是2.以上结论，建立在“无论是Sender  t1，还是Sender t2，都会选择L，这一假设上，那么要使上述结论成立，首先这个假设要成立。如何让这个假设成立呢？就需要保证，如果Receiver选择u，那么无论对哪种类型的Sender来说，选L一定比选R好。因此，当Sender选择R时，Receiver做出的反应使得任何类型Sender得到的收益，都小于其选择L得到的收益。当Sender选择R时，只有Receiver选择d 才能保证任何类型的Sender收益都小于其选择L的收益。所以，必须保证当Sender选择R时，Receiver一定选择d。要想保证Receiver一定选择d呢，则一定要使Sender选R时，Receiver选u的预期收益小于其选d的预期收益。即q+（1-q）*0 < 0*q + 2(1- q), 即q < 2/3. 所以，这种情况下的精炼贝叶斯均衡是 无论是Sender  t1，还是Sender t2，都会选择L；当Sender选择L时，Receiver 选u，当Sender选R时，Receiver选d；p=0.5；q ≤2/3 2. 假设无论是Sender  t1，还是Sender t2，都会选择R 这一假设条件可以表示为 p（R︱ t1）= p（R︱t2）= 1。又知Sender 1/2的可能性是 t1,另外1/2的可能性是t2，即p（ t1）= p（t2）= 0.5 那么这个时候，根据贝叶斯法则。他选择u，受益是1/2*1+1/2*0=0.5。如果他选择d，收益是1/2*0+1/2*2=1。所以，在sender选L的情况下，Receiver会选d。 在Receiver选d 的情况下，sender  t1 选R的收益是0，sender t2选R的收益是1。 如果Sender选择L，那么Receiver选择u总是优于其选择d，所以Receiver一定会选择u。而当Receiver选择u是，sender  t1 收益是1，sender t2的收益是2。 所以这种情况，Sender选L总是优于其选R。 与假设相悖，不存在均衡。 3.如果是Sender  t1，会选择L：如果是Sender t2，会选择R。 在这种情况下，根据贝叶斯法则，p=1 q=0（如果Receiver发现Sender的选择是L，就会知道是Sender  t1，如果发现选择的是R就能判断出是R） 在Sender  t1选择L时，Receiver会选择u，Sender获得收益1；当Sender t2选择R时，Receiver会选择d，Sender获得收益1。 需要检验，当确定Receiver选择u、d时， Sender做出与假设不一样的选择是否会得到更高的收益。 当Receiver会选择u，Sender  t1选择R收益少于选L（可以）；当Receiver会选择d，Sender  t2选择L收益大于R。因此，Sender  t2会选择L，与假设相悖。 所以，这种均衡不存在 4.如果是Sender  t1，会选择R：如果是Sender t2，会选择L。 在这种情况下，根据贝叶斯法则，p=0 q=1 在Sender  t1选择R时，Receiver会选择u，Sender获得收益2；当Sender t2选择L时，Receiver会选择u，Sender获得收益2。 再次检验，当确定Receiver选择（u︱L，u︱R）时， 两类型Sender做出与假设不一样的选择是否会得到更高的收益。 当Receiver会选择u，Sender  t1选择L收益少于选R（可以）；当Receiver会选择u，Sender  t2选择R收益小于L（可以）。 所以，这种均衡存在：

｛（R︱t1, L︱t2），（u︱L, u︱R），p=0， q=1｝