城市大小和当时主要交通方式有关，这是真的吗？
老师已经有了一个从经济学角度的解释，这里我从统计物理的角度，介绍一个有意思的模型分析一下这个问题。模型的话，总是把很多具体的因素都抽象了出来，因此很多实际的细节会被忽略掉，大家就当成「真空中的球形鸡」，感受一下即可。 我曾经在「 这个问题的回答里介绍过把电梯里面的人看成互相排斥的「硬球模型」。在理解城市的形成时，我们需要把这种「硬球」的想法反过来——因为正如 老师所说的，在城市形成过程中存在着「集聚效应」，简而言之，电梯里我们总想跟人不挨着，但在城市的形成过程中，我们总希望不能跟别人隔得太远。不管是我们自己居住地的选择、工厂的选址、或者城市规划其实都会考虑到这一点。 在这种想法的基础上，为了对城市形成中的集聚效应进行建模，我们会想到某种「 」模型。这个模型是北师大的张江（jake）老师等人提出的，这个模型可以解释许多复杂网络上的现象。关于这个模型的详细介绍可以参考： 。这个回答下面的讨论都基于这一模型。相关的论文参见：Zhang, Jiang; Xintong Li, Xinran Wang, Wen-Xu Wang, Lingfei Wu (2015). . Scientific Reports5: 9767. 本文的所有插图都来自于这篇文章和前面给出的几个链接。原文的讨论和推导比我这里所介绍的要更详尽，强烈推荐大家阅读。下面内容里关于交通工具速度的部分有些我的发挥，欢迎大家批评指正。 这里我们用这个模型非常简单地讨论城市的形成问题，假设现在已经有了一个作为种子（凝结核）的定居点 1 ，从这个定居点开始，一个城市会逐渐开始「晶体生长」。在空间中可能随机形成许多的节点，每一个节点是一个定居点，在这里是一个又一个的「黏性纽扣」与这个节点距离小于一定阈值的定居点可以继续发展下来，同时与所有邻近的节点建立连接，并与此前存活下来的定居点融合进一步形成更大的定居点（如下图所示的 a, b, c 所示），而如果距离大于一定的阈值（如图 d 所示，这里将该阈值设定为黏性纽扣的直径），则这样的定居点最终不能存活。在模型中，直接去掉这样的节点。 接下来我们考虑这样一个问题。在「黏性纽扣」模型中，「交通工具」的变化意味着什么？如果有了更快的交通工具，这就意味着一个人在单位时间内所能走过的距离增加，即更大的「生活圈」，在黏性纽扣模型中，这就对应于不同的黏性纽扣的半径，换句话说，交通工具的发展提高了远离城市中心的定居点的存活率。用计算机可以模拟这种城市的生长过程。随着加入的钮扣数增加，城市所覆盖的面积也就不断扩张（如下图所示）。 这个模型非常简单，也很容易用程序实现，前面的地址给出了相应模拟的 Python 代码，不过我想，大家可以根据自己心中假定的一些原则，应该不难模拟出其它更有实际意义的结果。这个模型可以真实地反映了城市发展中的其它一些趋势。例如： （1）当在空间中随机产生一些定居点时，城市面积的扩张得越来越快，因为随着城市的面积在增加，城市的边界也在不断增大。 （2）当我们在空间中均匀产生一些定居点时，位于城市中心定居点有很高的概率能存活下来，与此相反，城市边界附近的定居点则有可能不能成为城市的一部分。这种看似均匀产生「黏性纽扣」的方法会「很自然地」导致城市中心的居民越来越多。 （3）这种城市中心密集化的趋势很合理，但也应该有一个「限度」，我们可以设定单位面积内的最多定居点数（相应于定居人数）。这个限制条件反映了人们「远离城市中心」的倾向，也可以认为反映了城市的「拥挤成本」。这里的「拥挤成本」与 老师提到的拥挤成本作为城市规模的限制条件思路是一致的。本来，看似在空间中「均匀」产生「黏性纽扣」的方法会导致城市中心的居民越来越多，但是如果让这些处在中心的黏性纽扣不再接收新来的居民，这是在「劫富济贫」，从而城市中黏性纽扣（居民、社区中心）的分布变得更均匀了。 接下来，可以利用这个模型的变形来初步讨论城市大小跟交通的一些关系。从前面分析的几点中可以看出来，我们其实完全没有必要在空间中「均匀」产生一些点，在模拟的初期（或者高维情况下的模拟）大量计算浪费在这种「随机」选择上。这个模型可以简化为：假定在空间中任意一点X 处附近产生一个（能存活）黏性纽扣的概率Z(X) 大致满足：Z(X)\sim\rho(X) + C。这里的 C 是一个常数，可以取任意的正数，如果常数C 等于 0，那么城市的新移民会总是特别倾向于人多的地方生活，而如果 C 的数值很大，那么城市的新移民无所谓在哪生存，在空间中任意位置生活下来的概率大致相等。这个模型可以比较真实地反映城市的发展，如下图所示，左边的图是利用这个模型做得一个模拟，而右边是伦敦的人口密度分布图，直观地看起来，这两个图非常相似，而选择恰当的常数C，这一模型可以得到与真实的城市发展相似的幂律。 直观地看，C 的数值接近 0 的情况对应于城市交通不便的情况，因为交通不便，所以生活在城市的核心区会有更多的机会，所以每个人都只是往人多的地方去跑。而随着「当时主要交通方式」速度的提高，每个人可以有的选择就更多，人们终于可以有不往人多的地方聚集的选择的可能性。随着交通工具速度的增加，常数C 的数值会逐渐增大。但这里常数C的数值跟交通方式的关系还是一个值得讨论的问题，欢迎各位朋友提供一些有实际经济学背景的分析思路。这里，我假定当时的主流交通工具的（无量纲化了的）平均速度大致为 v，黏性纽扣在空间中任意一点X 处附近能存活的概率等于：Z(X)\sim \rho(X) + \rho_0 v^{\gamma} ，即假定了一个幂律关系 C = \rho_0 v^{\gamma}。 进而，时刻t在空间中X 处附近的纽扣数（人口）密度的变化有方程： \frac{\partial \rho(X,t)}{\partial t} =\frac{M_0}{L^2} [ \rho(X,t) + \rho_0 v^\gamma(t) ] M_0 是一个常数，是一个与人口的增长成正比的量（例如经济、卫生条件的提高），L^2 代表的是空间的约束，地图的总面积。其中，初始条件中，t=0 时刻，历史开始了，城市开始扩张，人类的移动速度应该是v_0，即人类自己步行的速度（无量纲化后，速度v \equiv  v/v_0，即初始时刻的速度为 1，而各处的人口密度为 0，\rho_0 是一个常数）。这个方程写的是空间中任意一点的人口密度的演化方程，当我们讨论城市的发展时，应该把这个方程写到极坐标下，讨论距离城市中心距离为R 时，人口密度随距离的变化，即 \rho(R,t) 的形式。通常会有 \rho(R)\sim R^{-\beta} ，这里的标度\beta 跟标度 \gamma 之间的依赖关系间接地表现了「城市大小和当时主要交通方式」之间的依赖关系。这个不太好解析推导，不过通过模拟还是能得到这两个标度之间的关系。张江等人的模拟结果中，\beta 随着 C呈现幂律加指数尾的衰减，\beta 随着 v 的变化应该也是类似的。直观地看，大致结论如下： 这个结论直观上看起来还是很合理的，虽然不一定符合许多真实的例子。考虑到这个模型非常简单，于是就觉得一切皆可以原谅了。相信在这个模型的基础上，再进行少量的修改，应该可以定量解释很多具体的问题。 接下来是模型的一些扩展， 老师提到其关心的问题是「城市之间的交通」问题，这对应的是城市生长的多种子模型。在多种子的基础上再考虑上面提到的拥挤因素和其它因素（例如不同城市的不同「影响力」）。事实上，张江老师等人做了一些这一方面的初步研究，他们将用这种「黏性纽扣」生成的城市团簇跟卫星拍摄的城市真实城市的夜光团簇进行了比较，发现这二者之间有很强的相似性，并且真实城市的「亮度」（大致正比于人数、钮扣数）和「面积」的幂律关系进行对比，发现了相似的幂律。