作为一个科研工作者，数学在平时你的研究中有什么作用？
首先感谢 @覃含章 举办这个圆桌。我不是数学专业出身，虽然博士阶段自学了一些数学的内容，也特别喜欢学数学，经常和数学系的童鞋讨论各种问题，但是真正讲起来是么有科班出身的那么严谨，经常被数学大佬喷。不过我觉得我的经验更适合一些工科出身数学基础薄弱的小白们。 博士期间主要做的是运筹优化方向，所以结合自己的研究方向谈一些最基本的概念。优化问题，顾名思义就是求解一个极小（大）化的问题，例如这样 \[\begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_x f\left( x \right)\\ s.t.\;x \in D \end{array}\] 很多时候你会看到很多人会这样写 \[\begin{array}{l} \mathop {\inf }\limits_x f\left( x \right)\\ s.t.\;x \in D \end{array}\] 对于非数学系的初读相关paper的童鞋对这个 \mathop {\inf }  符号有着一种莫名的恐惧。如果你去问导师或者前辈师兄们大概率他们会不耐烦的告诉你 “哎呀，这个 \mathop {\inf }  和 \mathop {\min }  差不多，你把它们看成一样的就行“。一开始你好像还有点感觉不太习惯，后来见多了也就这么不求甚解的把 \mathop {\inf }  当成  \mathop {\min}   去理解似乎也没出什么大的问题。 直到有一天你自己鼓捣了一圈，写出了这么一个优化问题的模型 \[\begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_x x\\ s.t.\;0 < x < 1 \end{array}\] 这时候可以很容易看到，这个优化问题的最小值是不存在的。本来应该是在 x=0 点处取到最小，但是刚好可行域又是一个开集，0这点又不在可行域内。童鞋们千万不要笑，千万不要觉得这样建模建出一个最优解不存在的优化问题模型好像是很可笑的事情，它就发生在我们身边，还发生过好几次（当然没有我举例子的这么简单，但是基本意思都一样）。 \mathop {\inf }  是下确界，下界大家都知道，所谓下确界 就是所有下界里边最大的那个。判断下确界的一个充要条件就是比这个下确界大那么一点点，它就不是下界了，比这个下确界小那么一点点，就会存在一个下界比它大（想看严谨定义可以看回答末尾的参考书籍）。例如 若 D = (0,1) , 则 0 = \mathop {\inf }\limits_{x \in D} x , 但是 \mathop {\min }\limits_{x \in D} x  是不存在的（前面的例子就是这个）。若 D = [0,1] ，则 0 =\mathop {\inf }\limits_{x \in D} x = \mathop {\min }\limits_{x \in D} x 。所以到这里你可以知道 \mathop {\inf }  是一个比 \mathop {\min }更加一般的概念。所以要想彻底了解\mathop {\inf } 需要两个问题。 1 问：既然 \mathop {\min }都有不存在的时候，那么什么时候 \mathop {\inf }  存在？ 答：存在下界就存在下确界（确界存在定理）。 2 问：\mathop {\inf } 和\mathop {\min }啥时候会相等？答：在有限维的有界闭集上 下确界和极小值是能取到的并且相等的。（紧致性的一个推论） 这些关于\mathop {\inf }和\mathop {\min }背后的严谨一点的定义和原理都在数学系所学的数学分析和实变函数中讲到，因此工科出身的童鞋如果没有有意识地去学习过这些内容的话，容易出现只知道是什么不知道为什么的情况。我也是自动化专业出身，博士阶段恶补了一些数学分析，实变函数，应用泛函分析，高等代数，抽象代数和ODE的内容（拓扑，微分几何和PDE想学但是还没时间入手）。虽然主要是自学的，也比不上数学系本科生四年的那种强度的训练，但是已经让我受益匪浅。同时对应用问题非常了解的我，在学到抽象的数学概念的时候总能联系到应用问题。其实做research的话还真的是需要去深究一下为什么，否则很难做的深入，而数学给我们提供了这么一个框架帮助我们去探究背后的原理。 最后常规操作推荐几本书： 数学分析推荐中科大的 常庚哲，史济怀的 《数学分析教程》，本书的优点是 1 让你相信国内教材竟然还有这么好的；2 比较适合工科生读 实变函数推荐郭懋正，北京大学出版社 《实变函数与泛函分析》。本书算不上写得非常好，但是在我初次学习实变函数的时候这本书还是蛮有帮助的，在国内教材里算是良心之作了，另外也配套了相应的视频课程，这个比较赞。看完这个再看国外教材会轻松很多。 最后一本是陶哲轩的 《陶哲轩实分析》，陶神不用我介绍了，书名翻译为实分析，其实主要内容对应到我们国内是数学分析为主。这本书的观点比较现代，例如自然数系不是通过集合的基数定义而是皮亚罗公理（虽然一大堆显而易见的公理让你看得容易犯困哈哈）。陶神给我们演示了从非常基础的公理着手展开整个复杂的恢弘的数学大厦。我是读完前几本教材再来读这本的，感觉瞬间有打通任督二脉的感觉。 