高中圆锥曲线很难吗？
最近有小伙伴问，看网上说排列组合靠聪明，难道真的没有什么窍门吗？ 还有的问，为什么这个要除全排列，那个不用？ 看到别人用很简单的公式就能做出来，自己用的公式很复杂，还经常算不对，心态崩了又崩。 按照一些人的心理，排列组合做不出，一定是因为自己不知道某些所谓的大招、秘诀、诀窍。 但其实排列组合和圆锥曲线、导数都不一样。 圆锥曲线和导数：即便你看懂了题目，若是你不知道某些超纲知识、大招，很可能做不出，或者计算量很大。 而排列组合是很朴素的哲学、逻辑，你只需要知道它是谁就够了。 简言之，大部分时候不是我们不会做，而是我们压根就不知道问题是什么。 找到问题，问题就解决啦。 网上总结了很多题型、方法——隔板法、插空法、捆绑法、缩倍法、涂色问题、全错位，甚至还有分得更细的——多排、圆排、标号、逐分、特殊元素（限制条件）、至多至少、枚举、分解与合成、递推、配对。 如果按题型把套路背下来，容易乱。 因为背题型不难，难的是找准哪道题对应哪个题型。 说到底，排列组合考的是逻辑推理，如果你有福尔摩斯那样的推理天赋，不需要学习任何题型，也能做出来。 如果没有，没关系，那是二阶段的努力目标，一阶段我们的任务十分简单——看清我们的敌人是谁。 比如这个 这是常规的思路，先分类讨论，把三类情况的数字列出来，然后先分组、再排序。 问题是：结合答案看，这里并没有除A22。 然而下面那题就除了。 这是什么原因呢？ 首先，这两题不属于上面说的那些题型，大家不用绞尽脑汁想这是什么高大上的新题型。 这就是分配问题，考察的是最基础的加法原理、乘法原理。 题目虽然不难，却需要我们理解“分组、排序”的实质才能做对。 接上，分配问题的关键在看清楚分配与被分配的对象是否有区别。 大家注意到了吗，3个乡镇和3个实验室天生就不一样，不管它们有没有标号，不管题目有没有说它们不一样。 这是它们的自然属性。 还有什么情况具有这样“天生就不一样”的属性呢？ 顺序。 比如我吃7个不同的水果，分三次吃，第一次吃2个，第二次吃2个，第三次吃3个，虽然我前两次吃的个数一样，但因为顺序不同，所以AB-CD-EFG和CD-AB-EFG是两种情况。 接受了这个属性，我们再来看第一题。 其实问题的答案很简单——并不是没有除A22，而是除了又乘回来了。 那么，为什么要除，又为什么要乘呢？ 不少同学能做对，但大家告诉我——其实我也不知道为什么要这样做，老师说先除再乘，所以我们就照做。 你是不是也这样？ 恰好第一题的乘除一样，所以最后看起来好像没有除过。 如果不明白其中的道理，每次都碰运气，总有翻车的时候对吧，所以有必要了解一下这里面的除和乘都是什么意思。 关键在分子的组合数。 前面说了，先分组再排序。 分组好理解，排序是因为对象不同。 我们先看最基础的分配问题—— 把4个数字1分成3组。 4个数字1天生就一样，而3组暗含的前提是每组至少有1个，且组与组之间没有区别。 这样，我们很容易分类讨论——只有1-1-2这1种分法。 提升一下难度—— 把4个人分成3组，或者把4个数字1分到3个“数字研究院”（另一种问法是在4个数字中间插2个板子） 前者要考虑的是4个人天生不一样，在1-1-2的基础上，我们要考虑那个2是谁，剩下的1又是谁，所以要用组合数公式 完了吗？ 没有。 注意，我们是分成3组，这3组是不考虑先后顺序的，也就是说那2个“1”只要元素相同，就全部当作一种情况，用缩倍法的方法，除它们的全排列，所以答案应该是 后者则是分到的地方不一样，因为数字1全都一样，且只有1-1-2一种分法，所以关键在那个“2”放在哪里。从3个不同的去处里选一个出来，C31。 用插空、隔板的思想也能做，4个数字中间有3个空，放进2个板子，且板子全都一样，那么只有C32种方法。 接下来是对象和去处都不一样的问题—— 把4个人分到3个单位。 怎么办呢？ 在组合数公式的基础上，先除再乘 记住，我们是先分组，分出来的两个1是一样，除A22和缩倍法的原理一样，两个1不考虑先后顺序，所有排法算1种，用除法把那2个1之间的排法“缩”为1种。 缩倍法的想法是：这几个元素之间不考虑顺序，而在整体计算中我们是考虑进它们的顺序，除它们的全排列，就可以抵消它们之间的顺序，把种种顺序缩成1种。 缩倍法是用除法解决问题，我们都知道，乘除的效率比加减的高。 若是无法理解缩倍法，或者数字比较小的时候，可以用枚举法，把不符合的情况减掉。 比如算筹这题，答案是D，16种 能数清楚吗？ 关键在充分挖掘题目的隐含条件——6根算筹全部用完，同样是5根算筹，可以表示5也可以表示9，考虑数字的顺序，最后，同样的数字可以用2次，比如33 37 73 77。 这样，就能不重不漏把结果点数出来。 说到排列组合，就不得不提一下另外一个非常小众的题型——合情推理。 如果你真的无法理解排列组合题的思维，可以试试“曲线救国”——找些智力题来开拓思维，英语竞赛那5分智力题、门萨俱乐部的考核题、侦探类谜题都是很好的素材。 这道买水果的题其实放到小学也不错，小学竞赛题喜欢飙思维玩一些趣味、技巧、生活化的东西。 很容易看出情况可以分为2种——有西梅，没有西梅。 接着是分别讨论。 因为水果和人都是“天生不一样”，所以人要排序，水果也要排序，这是挑人和水果乘全排列的原因。 比如没有西梅，就是4人从5种水果中买了3种水果，你如果用插空法、隔板法，或者先把水果分给人而不是先从水果种挑出水果，大概率会错。 最简单的思路是什么呢？ 先挑水果，从最显而易见的条件入手。 挑出3种水果给4人，问题就转化成前面说的把4人分到3个单位，只有1-1-2这1种分法。 在讨论怎么把水果分给4个人的时候，水果是固定的3种，所以我们也可以当作把4个人分给3种水果，每个水果都要分到人。 按照这样的思路，我们的过程是这样的 答案中间的C42是简化的，熟练分组过程后你会明白，因为那2个“1”不考虑顺序，所以关键还是那个“2”到底是谁，只要解决了“2”的问题，分组就完事了。 这应该是很多小伙伴的心声。 关键不是要除全排列，而是为什么要除，什么时候要除、什么时候不用除。 在分组的过程中，我们除了有C42，后面还乘了C21、C11，意思是我们是考虑后面那两个“1”的顺序的，而在分组过程中只要数目一样地位就平等，所以除它们的全排列。 最后，我们关注一下缩倍法的原理——为什么不考虑某几个元素的顺序，除全排列就可以了呢？ 我们从小数字入手，举例说明。 把4个人分成3组，只有1-1-2这1种分法对吧。 我们先取2个，再取1个，最后取1个，所以公式是C42C21C11=12 但问题来了，这3组没有顺序，也就是说AB-C-D和AB-D-C算一种情况，按照这样的算法，其实数目相同的数字进行了全排列，所以要除掉它们的全排列，抵消掉全排列的影响，把所有排列缩减为“1”。 换一种思路理解，除数字相同那部分的全排列，对剩下的元素并没有影响，因为他们是乘法的关系。 什么意思？ 比如AB-CD-E-F-G，ABCD的情况乘EFG的情况等于ABCDEFG的情况，意思就是先固定AB-CD，然后对EFG进行全排列，而ABCD之间还有AC-BD、AD-BC等情况，所以乘上ABCD的这些情况就可以了。 所以它们之间是乘法的关系，缩倍法只影响你处理的那部分元素，不影响其余元素。 理解了这个道理，你计算的效率、准确度会大大提升哦。 按照这个思路，你能写出下面问题的答案吗？   进阶问题： 依然是那6个字母，排成一行，要求AB均在C的左侧，有几种排法？ PS.打字真难受，还是喜欢用视频解读。 