如何理解 95% 置信区间？
置信区间，就是一种区间估计。 先来看看什么是点估计，什么是区间估计。 1 点估计与区间估计 以前很流行一种刮刮卡： 游戏规则是（假设只有一个大奖）： 那么我们起码有两种策略来刮奖： 很显然区间估计的命中率会更高（当然费用会更高，因为风险降低了）。 接下来，我们看看置信区间是如何进行区间估计的。 2 置信区间 我们通过对人类身高的估计来讲解什么是置信区间。 2.1 上帝视角 对于人类真实的平均身高，我们是没有办法知道的，因为几乎不可能把每个人都统计到。 但这个数据肯定是真实存在的，我们可以说，上帝知道。 在这里我们引入了上帝视角，即上帝看到的人类身高的真实分布。 假设人类的身高分布服从如下正态分布（ \mu =145,\sigma =1.4 ）： X \sim N(145, 1.4^2)\\ 也就是说全体人类的平均身高为145cm，为了表示只有上帝可以看到，我把真实分布用虚线来表示： 2.2 点估计 作为愚蠢的人类，我们只能在人群中抽样统计： 比如下面是一次抽样数据，我把算出来的样本均值（记作 \hat{\mu } ）画在图上（蓝色的点）： \hat{\mu } 就是对真实的 \mu  的一次点估计。 通过一次次的抽样，我们可以算出不同的身高均值的点估计： 如果我们关闭上帝视角，我们分辨不出哪个点估计更好： 区间估计可以改进此问题。 2.3 置信区间 置信区间，提供了一种区间估计的方法。 下面采用 95\%  置信区间来构造区间估计（什么是 95\%  置信区间，这个我们后面解释）： 通过 95\%  置信区间构造出来的区间，我们可以看到，基本上都包含了真实的 \mu  ，除了红色的那根。 关闭上帝视角，我们仍然不知道哪一个区间估计更好： 但是，和点估计比较： 这就好像用渔网捞鱼，我知道一百次网下去，可能会有95次网到我想要的鱼，但是我并不知道是不是现在这一网： 剩下的问题就是 95\%  置信区间是如何构造的。 3 95\%  置信区间 假设人群的身高服从： X \sim N(\mu , \sigma ^2)\\ 其中 \mu  未知， \sigma  已知。 我们不断对人群进行采样，样本的大小为 n ，样本的均值： M=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_ n}{n}\\ 根据大数定律和中心极限定律， M 服从： M \sim N(\mu , \frac{\sigma ^2}{n})\\ 我们可以算出以 \mu  为中心，面积为0.95的区间，如下图： 即： P(\mu -1.96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\leq M\leq \mu +1.96\frac{\sigma }{\sqrt{n}})=0.95\\ 也就是， M 有 95\%  的几率落入此区间： 我们以 1.96\frac{\sigma }{\sqrt{n}} 为半径做区间，就构造出了 95\%  置信区间。按这样去构造的100个区间，其中大约会有95个会包含 \mu ： 那么，只有一个问题了，我们不知道、并且永远都不会知道真实的 \mu  是多少。 我们就只有用 \hat{\mu } 来代替 \mu  ： P(\hat{\mu }-1.96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\leq M\leq \hat{\mu }+1.96\frac{\sigma }{\sqrt{n}})\approx 0.95\\ 4 总结 总结一下： 更多内容推荐马同学图解数学系列教程 