高中数学有没有什么比较牛 X 的公式？
有无数人羡慕北京卷如何如何简单，但从知乎网友们对全国卷几道白送分题的反应来看，北京卷怕是考的比全国卷考的低。北京卷灵活和考临场反应题目出现频率比全国卷大很多，一般小题会有2道，至于压轴更不必说，解答题一般会有一小问突如其来，只会死刷题的同学，答北京卷会死的特别难看，毕竟北京数学平均分随随便便就100-110，全国卷考个120，已经超过很多人了，北京卷考120，依然是拖后腿的学科。 下面就来见识一下传说中最简单的高考卷——北京卷理数： 老规矩，前6题略。 充要条件和向量一起出已经是近几年的固定模式了，这道题难度和往年持平。 将向量BC表示成AC-AB，然后不等式两边平方消去相同项即可得到4AB·AC＞0，因此夹角是锐角，反过来推回去也成立，因此是充要条件。 这个题和北京今年西城一模的题在理念比较类似，给出一个陌生的曲线，利用你掌握的所有知识去推断性质。我个人认为这个题目的出题水平比全国I全国II的选择压轴水平都高。 首先通过观察可知 (\pm1,1),(\pm1,0),(0,±1) 即是所有整点，所以整点恰好有6个，①对；将这些整点依次连起来，可以得到一个矩形和一个等腰直角三角形组成的多边形，这个多边形面积正好是3，而且这个多边形在这个心形线的内部，因此③错，现在问题的关键就在于②对不对。②的迷惑性很强，直接从图上看的话并不能直接看出来，如果以 \sqrt{2} 为半径，以O为圆心用圆规画一下，也只能得到一个②可能是对的结论——虽然对的概率很高。想要彻底的弄清②对不对，是要通过不等式来证明的： 由于图像关于y轴对称，因此我们只要研究 x>0,y>0 的情况即可。 x^{2}+y^2=xy+1 ,xy\leq \frac{x^{2}+y^2}{2}，x^{2}+y^2\leq \frac{x^{2}+y^2}{2} 整理得， x^{2}+y^2\leq2 ，因此 \sqrt{x^{2}+y^2}\leq\sqrt{2} 。  第1空略，第2空首先a=0时显然成立，a>0时存在最小值，因此不可能为R上增函数，而a<0时f(x)是增函数，综上a≤0。 这个题准确的说像是一个初一的应用题，难度上和全国II压轴不分彼此。  选填总难度低于全国I——主要是计算量比较小，高于全国II。  前2问没什么好说，标准流程。第3问问的很妙，证明一条直线是否在一个平面内，实际上就是在问AG是否与平面AEF的法向量垂直，垂直就在，不垂直就不在，在算第2问时显然我们会计算平面AEF的法向量，因此这个题只要能转化一下问题就很容易。 这个概率题比全国I全国II的概率题都简单，没有任何陷阱以及误导，计算上也不难。  难度比18年北京卷圆锥曲线要简单，高于全国I卷圆锥曲线，只要第2问能想到利用向量的数量积为0去证明，那么就没有什么难度，就是一个韦达定理化简最后解出来y轴上有两个点满足条件即可。这里稍微写一下过程：  M:(x_{1},-\frac{x_{1}^2}{4}),N:(x_{2},-\frac{x_{2}^2}{4}),OM:y=-\frac{x_{1}}{4}x,ON:y=-\frac{x_{2}}{4}x 令y=-1，A:(-\frac{4}{x_{1}},-1),B:(-\frac{4}{x_{2}},-1) 设以AB为直径的圆交y轴于点P(0,t),则向量PA·向量PB=0 即(\frac{4}{x_{1}},1+t)·(\frac{4}{x_{2}},1+t)=0,(1+t)^2=-\frac{16}{x_{1}·x_{2}} 设MN斜率为k，则MN:y=kx-1，与抛物线方程联立得 x^2+4kx-4=0,x_{1}·x_{2}=-4 解得t=-3或1 即以AB为直径的圆交y轴于(-3,0),(1,0)  不得不说北京的导数是真的简单，虽然比2017 2018两年的导数题难了一丢丢，但和全国卷比的话，仍然是肉眼可见的差距。前两问是送分，第3问理解F(x)几何意义之后也没有难度： F(x)即是g(x)=\frac{1}{4}x^3-x^2上的点到y=a的距离 M(a)当且仅当a=\frac{1}{2}(F(x)_{min}+F(x)_{max})时最小，解得a=-3 如果感觉不好理解画个图就很容易理解了。  毫不客气的说，今年北京压轴题难度大大高于全国I和全国II的压轴题。 第1问，白送分。 第2问很有水平，属于是一看就是显然的结论但仍要证明的类型，数分和离散数学里经常有这种的证明题，对于没有受过系统训练的高中生很容易卡住不知如何处理，正常解法是构造子列的方式证明——暂时没想到别的方法： a_{i_{1}},a_{i_{2}},……a_{i_{p}}是长度为p的单调递增数列，且a_{i_{p}}=a_{m_{0}}; a_{j_{1}},a_{j_{2}},……a_{j_{q}}是长度为q的单调递增数列，且a_{j_{q}}=a_{n_0}; 将数列a_{j_{1}},a_{j_{2}},……a_{j_{q}}保留前p项形成新的长度为p的递增子列a_{j_{1}},a_{j_{2}},……a_{j_{p}} 由题意可知a_{n_0}>a_{j_{p}}\geq a_{m_0}，问题得证 第3问比较有难度，如果能从排列组合的角度入手，发现 2^{s-1} 这个比较特殊的子列个数，就可以察觉将整个数列相邻2个项分为一组，那么从首项到 a_{2s-2} 共有 s-1  组，从每组里任选1项出来按次序排列并以 2s-1 为末项，正好有 2^{s-1} 个，也就是说相邻组之间，前一组的项必然小于后一组的项，由长度为 s 的递增子列末项最小值为 2s-1 可知每个组内后一项必然大于前一项，且一奇一偶，因此这个数列的形式就是 2,1,4,3,6,5…… a_n=n+1 ……n为奇数，a_n=n -1……n为偶数 接下来用数学归纳法证明即可。 一更（全国II卷部分）： 这几天比较忙，因此一直也没有更新，另外高考的热度想必也下去了不少，标答解析也都有了，动力也不是很足，但尽量还是有始有终的好。鉴于一些本题下一些答案和评论说全国II比全国I卷难，甚至还有说难很多的，因此北京卷我鸽子一下，先谈一谈全国II卷的个人感受。全国II卷大约是4 5天前做的，另外略微介绍下背景：我不接触全国卷大约已有十几年，近一年主要接触北京卷，稍有常识的都知道，北京卷和全国卷的出题习惯，考察侧重点以及难度都有非常大区别，我相当于一个做了半年北京模拟题的河北考生（如果具体说量的话，大约是二十套完整的北京各区模拟题，和一些零散的题目）。论对卷子的陌生感，我应该比绝大多数全国卷考生更有资格，论练习量的多少，我应该低于绝大部分正常的高三考生，所以也别说什么题出的新不新了，这题对应届生怎么新也没有对我这种十几年没碰过全国卷的人新。 还是老样子，前10题有问题，要么是数学基础有问题，连教材都存在很多疑点，要么是语文有问题，比如不会提炼题干有效信息——典型例子是不少人诟病的第4题，这个题目有问题，算术和语文上必然有一样存在严重短板，从数学的角度而言，该题难度是0，甚至完全不懂万有引力是什么都可以做，没上过高中的学生也可以做。 我也希望若有准高三的学生看到这篇回答，能清楚的认识到，有时候做不上数学题，不一定是数学能力不行，而可能是语文（阅读）能力和算术能力不行，数学，语文，算术是三种不同的能力。  这个题目利用OP⊥PF以及|OP|=a，|OF|=c即可得到|PQ|=2ab/c=c，即2ab=a²+b²，因此离心率是√2.  画图像，求出区间(2,3]上的函数表达式，之后解方程即可。表达式求的正确可以得到7/3和8/3两个解，根据图像很容易看出我们要取左边的，因此选B。   有π/3，有边的二倍关系，很明显这是个一个角为60°的直角三角形，且60°所对直角边是6，因此30°所对直角边是 2\sqrt{3} ，面积当然就是 6\sqrt{3} 了。  如果说今年全国I卷出了近几年最水的圆锥曲线，那么全国II就出了近几年最水的填空压轴，这两个空放在中考中，都不太可能有压轴题的地位。   所谓的简单总结，就是简单的根本不想总结什么，其他地区的学生(天津除外)都羡慕北京卷简单，但我可以明确的说，北京卷的选填也没简单过到这个程度。 这是第一道我觉得难度回归到正常的题，需要分析对X=2与X=4分别是什么情况，尤其是第二问的X=4，必须是甲乙轮流胜1局，然后甲再连2局的情况才可以满足X=4，如果对球类比赛完全陌生的话，需要临场一些推理能力。 就俩字，白给。如果不给第1问，直接问第2问，那这个题的难度会直线飙升几倍，但给出第1问如果还不会第2问的话，那没什么好说的。 首先这个题目第1问问单调区间是有个陷阱的，如果忽视了定义域，会直接得出f(x)在(0,+∞)上单调递增，但出题人怕学生掉在坑里，特意问了一下f(x)为什么有且仅有2个零点，这就是说，就算你得到了f(x)在(0,+∞)上单调递增的错误结论，你也会马上反应过来你这个结论是错了，因为在连续区间上单调递增的函数不可能有2个零点。再者，使用零点存在定理需要寻找特殊值，与前几年相比本题特殊值相当好找，因此第1问难度很低。 第2问中规中矩，题目中也隐藏了1个陷阱，就是两个函数有公切线并不意味着切点也是同一个，如果按照公切线切 y=lnx与y=e^{x} 于同一点来算，那么就会算出矛盾。如果可以意识到这个陷阱，那么第2问难度很低，至少低于今年的全国I卷导数的第2问。  说实话，这个题，对于一部分学生配得上压轴，但对于另一部分学生完全配不上压轴，因为一旦了解一个二级结论，该题的1问，2问1小问都是白送的。先说一下这个二级结论的简化版，实际上也就是题目本身： 第二问的1小问用的是这个二级结论的进阶版： 这个二级结论尽管在解答题中不能直接使用，但是用点差法证明起来非常迅速，这里我介绍一下： 记椭圆方程为 \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 其中A，B，P均为椭圆上的点，A，B关于原点对称，且 k_{PA}   k_{PB} 存在，试证明： k_{PA}·k_{PB}=-\frac{b^{2}}{a^{2}} 。 设 A:(x_{1},y_{1}),B:(-x_{1},-y_{1}),P:(x_{0},y_{0}) 则： \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1 \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1  两式相减，得 \frac{x_{1}^{2}-x_{0}^2}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}-y_{0}^2}{b^{2}}=0  即 \frac{(x_{1}+x_{0})(x_{1}-x_{0})}{a^{2}}+\frac{(y_{1}+y_{0})(y_{1}-y_{0})}{b^{2}}=0  由 k_{PA} k_{PB} 存在可知 x_{1}\ne\pm x_{0} ，因此等式两边同除以 (x_{1}+x_{0})(x_{1}-x_{0}) ，得 \frac{1}{a^{2}}+\frac{(y_{1}+y_{0})(y_{1}-y_{0})}{b^{2}(x_{1}+x_{0})(x_{1}-x_{0})}=0 又 k_{PA} =\frac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}},k_{PB} =\frac{y_{1}+y_{0}}{x_{1}+x_{0}}, 即 \frac{1}{a^{2}}+\frac{k_{PA}·k_{PB}}{b^{2}}=0 整理得 k_{PA}·k_{PB}=-\frac{b^{2}}{a^{2}} 考试中如果需要用到这个结论，不用1分钟就可以证完。这个题第2问的1小问正好就用到了这个二级结论。 先说第1问，第1问轨迹当然是个椭圆，但要注意的是M点的轨迹C并非一个完整的椭圆，M点不能与A，B重合，这里是容易扣分的一个点。 第2问1小问几乎是某年北京高考模拟题的原题，如果不利用上面提到的二级结论，那么计算量还是比较大的，但如果用了，可以说是秒杀。 显然PQ均为椭圆上的点且关于原点对称，且GP与GQ斜率均存在。 根据上面推导的二级结论，我们有 k_{GQ}·k_{GP}=-\frac{1}{2} 设 P:(x_{1},y_{1}),Q:(-x_{1},-y_{1}),E:(x_{1},0) ,则 k_{GQ}=\frac{y_{1}}{2x_{1}}=\frac{1}{2}k ∴k_{GP}=-\frac{1}{k} 即PQ⊥GP，因此\triangle PQG是直角三角形 有兴趣者可以对比下网上放出的一般解法，我的这种证法比正常解法简单了几个数量级。 第二问是一道比较考验计算能力的题目，一般解法是通过硬解G点坐标之后强算|PG|的长，当然这种计算量相当之庞大，我这里给出一个个人版本计算量相对简洁的解法：  设PQ倾斜角为θ_{1},GQ倾斜角为θ_{2}，则\angle PQG=θ_1-θ_2 tan\angle PQG=tan(θ_{1}-θ_2)=\frac{tanθ_1-tanθ_2}{1+tanθ_1·tanθ_2}=\frac{k-\frac{k}{2}}{1+\frac{k^2}{2}}=\frac{k}{k^2+2} 即|QG|=\frac{k}{k^2+2}|PQ| ∴S_{\triangle PQG}=\frac{1}{2}|PQ|·|QG|=\frac{k}{2k^2+4}|PQ|^2 将PQ方程y=kx与椭圆联立解得x²=\frac{4}{2k^2+1} ∴|PQ|²=\frac{16(k^2+1)}{2k²+1} ∴S_{\triangle PQG}=\frac{8k(k^2+1)}{(k^2+2)(2k^2+1)}=\frac{8k^3+8k}{2k^4+5k^2+2}=\frac{8(k+\frac{1}{k})}{2(k+\frac{1}{k})^2+1} 令t=k+\frac{1}{k}，则t\in[2,+\infty)，S_{\triangle PQG}=\frac{8}{2t+\frac{1}{t}} 易见S_{\triangle PQG}在t\in[2,+\infty)上随t的增大而减小，因此t=2时，S_{\triangle PQG}有最大值\frac{16}{9}  这种解法的关键在于灵活运用了正切两角差公式以及PQ是GQ斜率2倍的特殊关系，极大降低了运算量，有兴趣同学仍可与正常解法做一下对比。 选做题我选的是不等式，第一问白送，第二问只要注意到x=a时f(x)=0也是白送，当然，极坐标选做也没有难度，但相对于不等式还是稍微麻烦点。   概率、导数难度中等偏易，甚至和今年的北京卷处于同一水平，计算量相对往年较少，圆锥曲线压轴第一问的陷阱在于M点轨迹并非一个完整的椭圆，第二问的难点在于如果不清楚那个关键的二级结论还有对三角函数的灵活运用，计算量比较恐怖，对于大部分知识学得比较死的学生来说对的起压轴，但对于知识运用较灵活的同学来说，这顶天算一道中等难度的圆锥曲线，难度甚至低于部分年份非压轴的圆锥曲线。 选做依然坚持白给的一贯风格，与往年难度相当。  因此从我个人角度可以下个结论，今年的全国II数学卷整体难度略低于全国I，不论是选填还是解答题难度都低一些。  不吐槽，正经答题。图片版真题到手立马就做了一下，总体感觉还可以。本回答中有做题时的感想以及一些题目的做法，如果有更好的做法也欢迎在评论区提出，即将步入高三的同学可以认真看看，高考完的同学可以猛烈吐槽。先放图片版真题：  令BF_{2}=m,AF_{2}=2m,则AB=3m,BF_{1}=3m 即2a=BF_{1}+BF_{2}=4m, AF_{1}+AF_{2}=4m,AF_{1}=2m 于是我们可以发现A正好是该椭圆短轴的上端点，利用相似三角形或者向量我们很容易得出B点坐标是 (\frac{3}{2},-\frac{b}{2})       ,代入进椭圆方程中即可得到 b^{2}=2 ，选B  ①④是对的非常显然，因此只能在AC中选，②直接代值就可以排除，因此选C。  有一些计算上的难度，思路上即是根据∠CEF=90°和底面为边长2的正三角形利用余弦定理勾股定理等求出PA PB PC,当然也可直接建系，总之用一种自己比较熟悉的方式求出三棱锥的棱长。然后常规方法求内接球半径即可。  需要注意的是4:1获胜意味着只会打5局，且最后1局为胜利，之后分别计算甲在1 2 3 4局输的概率并相加即可。  难度略难于第10题，画图不难看出 AO是\triangle F_{1}BF_{2}的中位线，\angle AOF_{1}=\angle BF_{2}F_{1} ， 根据渐近线性质又有 \angle AOF_{1}=\angle BOF_{2}，即\angle BOF_{2}=\angle BF_{2}F_{1},BF_{2}=BO 又BO是RT\triangle BF_{1}F_{2}斜边上的中线，因此BO=OF_{2} 即\triangle BOF_{2}是等边三角形,因此渐近线斜率是\pm\sqrt{3},∴e=2  选择题难度中等偏易(没有哪个题目的思路形成很难或是被误导，都是主流解法，没有用到偏门解题技巧)，总体计算量一般，其中10题如果没注意到A点的特殊位置可能算得比较麻烦，12题在计算上稍微复杂一些。 填空题中，15题容易出错，可能将前4盘胜第5盘失败的错误情况计算进去；16题如果不利用平面几何知识可能计算得比较繁琐。 两道圆锥曲线小题都是考验平面几何功底以及观察力，尤其16题，利用平面几何可在几秒钟内确定渐近线斜率。   和去年难度基本一致，高考的三角函数题目中，只要记住两个凡是：凡是求角就用余弦定理，凡是要用余弦定理就找边的关系，几乎都可以解决。 第1小问问角度，那就是要用余弦定理，意味着我们要有边的关系，可已知条件没有给边的关系，于是我们用正弦定理转化成边的关系即可，轻松得出结果是60°。 第2小问先用正弦定理转化为三个角正弦值之间的关系，再利用第一问的结果得到： \frac{\sqrt{6}}{2}+sinB=2sin(120°-B),解得cosB=\frac{\sqrt{2}}{2},利用sinC=sin(A+B)即可得出答案  有句话叫，高中凡是可用向量做的立体几何，都是算术题，唯一的技术含量就是在建系，本题底面是个菱形，因此可以直接用底面对角线作为x轴y轴，其余都是计算。需要注意的是利用法向量求得的结果是二面角的余弦值，而题目问的是正弦值，因此需要转化一次，这里是可能的失分点。具体过程略。  近几年最简单也可能是全国I卷有史以来最简单的圆锥曲线题。 设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})，且y_{1}>0,y_{2}<0 第1小问，令直线方程为 y=\frac{3}{2}x+b，联立得\frac{9}{4}x^{2}+(3b-3)x+b^{2}=0 |AF|+|BF|=p+x_{1}+x_{2}=\frac{3}{2}-\frac{4}{9}(3b-3)=4，b=-\frac{7}{8} 第2小问，令直线方程为 x=\frac{2}{3}y+n，联立得y^{2}-2y-3n=0,由AP=3PB可知y_{1}=-3y_{2} 又y_{1}+y_{2}=2,y_{1}=3,y_{2}=-1,|AB|=\sqrt{1+(\frac{2}{3})^{2}}|y_{1}-y_{2}|=\frac{4\sqrt{13}}{3}  1小问求2次导即可解决，2问常规做法是将(-1,+∞)的区间分为(-1，0]，(0，π/2]，(π/2，π]，(π，+∞)4个区间分别讨论零点的个数，最后我们得到在0处与(π/2，π]区间各有一个零点，也可以讨论y=ln(1+x)的图像与y=sinx图像交点的个数 本题难度不高，但讨论起来很烦，个人认为花费时间可能在压轴题以上。  如果你把这个题更多地当成一个数列题而不是概率题去思考，在读懂题的前提下，纵向对比来看，难度远低于很多年份的全国I压轴题，横向对比，难度低于北京卷今年压轴题。你要是问，那读不懂题怎么办呢？请好好学语文，我是认真的。  参数方程这个题如果不能直接看出结果，只能说根本就不会消参——只会消直线的参那不叫会消参，顶天叫知道了参数方程的概念。 但即便不会消参，不等式也给了你补偿，难度可以说是大题中最简单的一道——和选择题的前两题难度差不多，如果说解三角形，立体几何还可能因为计算失误扣分，那这两个不等式证明从源头就堵死了计算出错的可能。 两个证明使用的知识点只有一个，均值不等式，非说柯西不等式的话，但这个题目已经简单到连柯西不等式都体现不出来优越性了。 第一问等价于证明： ab+bc+ac\leq a²+b²+c² 这个连没学过均值不等式的初中生都可以用配方法证明，不会请面壁。 第二问对着左边用2次均值不等式就完事了： (a+b)³+(b+c)³+(a+c)³\geq 3(a+b)(b+c)(a+c)\geq 3·2\sqrt{ab}·2\sqrt{bc}·2\sqrt{ac}=24abc=24  改天将北京卷更完。