为什么说性别博弈（Battle of the sexes）的相关均衡（Correlated equilibrium）有无数个？
性别博弈（Battle of the sexes）: \[%
\begin{tabular}
[c]{lll}
& $F$ & $B$\\\cline{2-3}%
$F$ & \multicolumn{1}{|l}{$2,1$} & \multicolumn{1}{|l|}{$0,0$}\\\cline{2-3}%
$B$ & \multicolumn{1}{|l}{$0,0$} & \multicolumn{1}{|l|}{$1,2$}\\\cline{2-3}%
\end{tabular}
\]你上面图里画出来的不是这个博弈的相关均衡的集合，只是纳什均衡集合的凸包。例如，\frac{1}{4}FF+\frac{1}{2}FB+\frac{1}{4}BB 也是相关均衡，但不在该凸包中。 首先，每个相关均衡都是一个在策略组合的集合 \{F,B\}\times \{F,B\} 上的概率分布（correlated distribution）p，p可以用下面的表格刻画\[%
\begin{tabular}
[c]{lll}
& $F$ & $B$\\\cline{2-3}%
$F$ & \multicolumn{1}{|l}{$a$} & \multicolumn{1}{|l|}{$b$}\\\cline{2-3}%
$B$ & \multicolumn{1}{|l}{$c$} & \multicolumn{1}{|l|}{$d$}\\\cline{2-3}%
\end{tabular}
\]\[%
\begin{tabular}
[c]{lll}
& $F$ & $B$\\\cline{2-3}%
$F$ & \multicolumn{1}{|l}{$1/2$} & \multicolumn{1}{|l|}{$0$}\\\cline{2-3}%
$B$ & \multicolumn{1}{|l}{$0$} & \multicolumn{1}{|l|}{$1/2$}\\\cline{2-3}%
\end{tabular}
\]例如，这个概率分布会以概率b 抽取行动组合(F,B)，并将F 推荐给第一个参与人，B 推荐给第二个参与人。当第一个人收到推荐F 的时候，他并不知道对方收到的推荐是什么，但由于他知道概率分布如上，他的条件概率估计是对方以概率\frac{a}{a+b} 收到了推荐F，以概率\frac{b}{a+b} 收到了推荐B。（如果p 可以表示成两个参与人混合策略的乘积，那么p 本质上就是不包含任何correlation 的。而右上表给出的概率分布\frac{1}{2}FF+\frac{1}{2}BB 则不能由任何乘积表示，也容易看出在该分布下，双方的策略是高度相关的。）p 构成相关均衡的条件是，在按照p 随机抽取行动组合推荐给参与人时，每个参与人在接收到行动推荐后，给定根据p计算出的对方收到的行动推荐的条件概率并假定对方会服从，那么他的最优选择就是服从推荐。也就是说，相关均衡是基于推荐的均衡。可以通过交通调度来理解。调度员只需要分别告诉每个司机他该走哪条路，司机收到调度指令后，根据调度分布算出调度员给其他人的指令的概率分布是什么（从而计算拥堵程度），如果该分布是均衡，在给定其他司机都会服从调度的情况下，每个司机都会发现服从调度是最优的。=====================================================对于性别博弈，概率分布p 构成相关均衡的条件是：1. 参与人1 在收到行动推荐F 时，选择F 是最优（即好过选择B）。给定条件概率，我们可以计算出F 和B 分别带来的收益，得到不等式1F: \frac{a}{a+b}2+\frac{b}{a+b}0\geq\frac{a}{a+b}0+\frac{b}{a+b}12. 同理，在1 收到推荐B 和 2 分布收到两个行动推荐时，服从推荐都需要是最优选择，于是如下三个不等式需要满足1,B  & :0c+1d\geq2c+0d,\\
2,F  & :1a+0c\geq0a+2c,\\
2,B  & :0b+2d\geq1b+0d.整理后，得到a+b+c+d  & =1,\\
a,b,c,d\geq 0\\
a,d  & \geq2c\\
a,d  & \geq b/2所有满足以上不等式组的a,b,c,d 所定义的概率分布p 都是性别博弈的相关均衡。由于以上不等式的解的集合是一个多面体（准确地说，是有五个顶点的六面体）和它的内部，相关均衡的集合自然就是一个凸集。并且该凸集包含纳什均衡集合的凸包。相关均衡(a,b,c,d)=(1/2,0,0,1/2) 以一半概率选择(F,F)一半概率选择(B,B)，带来的期望支付是(3/2, 3/2) 是三个纳什均衡都达不到的。而相关均衡(a,b,c,d)=(1/4,1/2,0,1/4), (2/5, 0, 1/5, 2/5) 则不在三个纳什均衡构成的凸包中。 References: Aumann, R. (1974), Subjectivity and correlation in randomized strategies, Journal of Mathematical Economics, 1, 67-96. Nau, R., Canovas, S.G., Hansen, P. (2004), On the geometry of Nash equilibria and Correlated equilibria, 32, International Journal of Game Theory, 443-453.