高中数学有没有什么比较牛 X 的公式？
分割线后是大招。以下比较狠的二级结论，助你提高！ 1、圆的弦长公式： \color{red}{|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}} 2、其他曲线的弦长公式： \color{red}{|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}} \color{red}{=\sqrt{1+k^2}\cdot \frac{\sqrt{\Delta}}{|二次项系数|}} 3、圆上动点到圆外定点的距离最值口诀 \color{red}{❶\quad 最小值：穿心-半径} 即圆外点到圆心的距离减去半径。 \color{red}{❷\quad 最大值：穿心+半径} 即圆外点到圆心的距离加上半径。 举例： 如图，动点 P 在圆上，定点 M 在圆外。 |MP| 的范围是： \min\{|MP|\}=|MB|=|MO|-r 即，穿心-半径 \max\{|MP|\}=|MA|=|MO|+r 即，穿心+半径 4、焦点三角形的面积公式串 \color{red}{\begin{cases}S_{椭圆}=b^2\tan \frac\theta2\\S_{双曲线}=\frac{b^2}{\tan \frac{\theta}{2}}\end{cases}=c|y|=\frac12r_内l_周=\frac12|PF_1|\cdot|PF_2|\sin\theta} 注意：其中 \theta 为上顶角 ∠F_1PF_2 ； P 为上顶点； |y| 为上顶点纵坐标； r_内 为焦点三角形的内切圆半径； l_周 为焦点三角形的周长。 5、“ AF=\lambda BF ”模型 椭双抛中焦点弦 AB 若满足 AF=\lambda BF ，则有： \color{red}{(\frac{1-\lambda}{1+\lambda})^2=\frac{\text{e}^2}{1+k^2}} 注意： r_长、r_短 6、抛物线的焦半径关系 \color{red}{\begin{cases}r_长=\frac{p}{1-|\cos θ |}\\r_短=\frac{p}{1+|\cos θ |}\end{cases}} 注： \theta 为焦点弦 AB 与抛物线对称轴的夹角； r_长、r_短 分别为焦点弦 AB 上较长的与较短的焦半径（焦半径即 AF、BF ）。 \color{red}{\frac{1}{r_长}+\frac{1}{r_短}=\frac{2}{p}} \color{red}{|AB|=\frac{2p}{\sin^2\theta}} 注： \theta 为焦点弦 AB 与抛物线对称轴的夹角 7、切线方程与切点弦方程（适用一切曲线） 若 (x_0,y_0 ) 在曲线 Ax^2+By^2+Dx+Ey+F=0 上，则过该点的切线方程为： \color{red}{Ax_0 x+By_0 y+D\cdot\frac{x_0+x}2+E\cdot\frac{y_0+y}2+F=0} 过曲线外一点 (x_0,y_0 ) 向曲线 Ax^2+By^2+Dx+Ey+F=0 引两条切线，则切点弦方程同样为： \color{red}{Ax_0 x+By_0 y+D\cdot\frac{x_0+x}2+E\cdot\frac{y_0+y}2+F=0} 记忆方式：（用 t 代表变量 x 或 y ） ❶ 遇 t^2 ，变成 t_0 t ❷ 遇 t ，变成 \frac{t_0+t}2 ❸ 其他常数不变 8、椭圆双曲线的中点弦斜率积 如图：椭圆方程为 Ax^2+By^2=1 ， M 为弦 AB 中点。 弦 AB 斜率记为 k_弦 ，弦中点 M 与中心 O 连线斜率记为 k_中 。则有： \color{red}{ k_弦\cdot k_中=-\frac AB }  X1、快速求导小技巧 \color{red}{[\text{e}^{kx+b}\cdot f(x)]'=\text{e}^{kx+b}[f'(x)+kf(x)]} 以上这个式子相信大家都会推导，但是总结成公式拿来用，其实非常好用，你们一定很少有人这么用吧？ 例： 大家体会体会吧！ X2、极限思维的应用 结论1.  \color{red}{\frac1{±∞}→0^±} 结论2.  \color{red}{\frac1{±0}→±∞} 原理如下： 当然还有各种各样其他的极限，借助函数图像亦可轻松求得。 结论3. 无穷大的级别比较 当 x 趋于相同的值，下列函数趋于 ∞ 时， ∞ 的级别是有高低之分的： \color{red}{\log_ax≪x^{低次} ≪x^{高次} ≪a^x} To  be continued。。。  //***************我是分割线***************// 2019/5/13 先将给各位献上一个实用公式： 「\color{red}{R=\sqrt{r^2+\frac{h^2}{4}}}」 稍后继续更新。以下是这个公式在「几何体外接球问题」中的应用技巧讲解： 题记：立体几何压轴小题，基本上无论哪个省份，都会十分宠幸“几何体的外接球问题”。那么，倒霉的，看似就是我们这些广大高三狗了。 而这类问题你通常会想到： ❶ 画出球体、标明球心 ❷ 画出球的内接几何体 ❸ 寻找突破口建立方程。 以上的方法可以说是“通法”，但，并不好用！因为很多人空间感略差，而另外一些人就算空间感不错，最后依然可能面临找不到关系（因为找嘛，考察的是眼力，看走眼总是很正常的）。 那今天我告诉你，这类题80%以上（夸张的说法，确实没统计过，但真的很频繁。）都不用画图，只需要2步搞定： ❶ 识别模型 ❷ 代入公式 就可以轻松求出外接球半径 R 。 本节教给你的就是这80%中最常用到的第1个模型——圆柱外接球模型。 一、题型描述  二、技巧讲解 以下这幅图，大家应该都能看懂：一个底面半径为 r，高为 h 的圆柱，求它的外接球半径。图片的右侧我给出了求解公式，容易理解不赘述。 这里我要让你明白公式“R=\sqrt{r^2+\frac{h^2}{4}}”的由来。至于这个式子有何妙用？接着看—— ▌Part 1. 如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如图所示： 我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说直棱柱的“外接球求半径”符合这个模型。 哦对了，斜棱柱怎么办？ 斜棱柱没有外接球，有兴趣的自己尝试找到原因。  ▌Part 2. 我们再继续，如果我把刚刚那个三棱柱上面的B_1,C_1两点干掉，我将得到三棱锥，如图： 这个三棱锥的特点是AA_1⊥底面ABC，即有一根侧棱⊥底面的锥体，依然符合这个模型。 如果你参透了以上讲解，请自觉点赞。然而，我想说的是，这还没完！！！！！  ▌Part 3. 题目还喜欢这么干： 这种类型题目考的够多的了吧！而你，是不是每次都傻傻的画球？其实我告诉你，它！非！常！符！合！圆！柱！外！接！球！模！型！接着看，当我对第二幅图中的三棱柱ABC-A_1B_1C_1只去掉C_1这个点，会得到什么呢？ 没错！这就是刚刚那个四棱锥放倒了！它的特点是：底面 ABC⊥侧面AA_1B_1B（这里的 ABC 相当于原四棱锥的侧面 PAD ，这里的AA_1B_1B相当于原四棱锥的底面 ABCD ）。 再看这个四棱锥：  让我们总结一下： 圆柱外接球模型——R=\sqrt{r^2+\frac{h^2}{4}}适用于： ❶ 圆柱-------r,h自带 ❷ 直棱柱-------r：底面外接圆半径；h：直棱柱的高 ❸ 一根侧棱⊥底面的锥体-------r：底面外接圆半径；h：垂直于底面的那条侧棱 ❹ 一个侧面⊥矩形底面的四棱锥-------r：垂直底面的侧面的外接圆半径；h：垂直于那个侧面的底边长 那么接下来第二步就是找到 h，求出 r，而 r 又怎么求呢？ 正弦定理。正弦定理。正弦定理。 可以说正弦定理求外接圆半径这种方法咱们基本上就在高一学的时候提及过，根本就没用过它！告诉你，几乎整个高考也就此处“求外接球题型”可以用它来求求那个 r 了。 所以，你千万要学会哟！ 讲解如图：  当我们求出 r，找到 h，剩下的就是套入公式了：R=\sqrt{r^2+\frac{h^2}{4}} 来，我们秒杀几道： 【例题1】直三棱柱ABC-A_1B_1C_1的六个顶点都在球O的球面上，若AB=BC=1，\text{∠}ABC=120\text{°},AA_1=2\sqrt{3}，则球O的表面积为 A.4\pi B.8\pi C.16\pi D.24\pi 解：   【例题2】点A,B,C,D均在同一球面上，其中\Delta ABC是正三角形，AD\bot \text{平面}ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为___________. 解：   【例题3】已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O上，底面ABCD是矩形，平面PAD\bot 平面ABCD，\Delta PAD为正三角形，AB=2AD=4，则球O的表面积为 A.\frac{32\pi}{3} B.32\pi C.64\pi D.\frac{64\pi}{3} 解：  以上，就是本节课程的全部内容。希望能够帮助到你！ <完>  PS：返场时刻 ！如果以上觉得对你有帮助，那这些呢？这些呢！—— 于庆涛：模法筆記™ 我不是针对谁，奇偶性题目都该秒杀！——奇偶性的运算法则 于庆涛：模法筆記™ 1分钟还原10组三视图，你也行！——还原直观图的万能三步 于庆涛：模法筆記™ 秒杀外接球进阶篇——圆锥外接球模型 and so on……  个人网课：算喜讯吗？价格一小时30元。有需要的联系微信：xinruiyqt 于庆涛的想法 - 知乎 https://www.zhihu.com/pin/1412142718436556800 (⊙o⊙)………还是再次求个赞吧，有用帮忙点个赞赞赞赞赞赞赞赞！