2019 年你的数学研究有什么收获和感悟？
泻药2019年是我真正开始做问题的第一年（算是2月份开始的吧），之前都还在读文章学方法的阶段。我做的方向就是所谓的“民工学科”PDE，具体一些则是磁流体（MHD）方程的自由边界问题。今年也算是做出了一些小的成果，算是开了个好头吧，希望能把这个势头延续下去。 MHD方程可以看作是欧拉方程（刻画理想的无粘性流体）与(pre-)Maxwell方程的耦合，刻画的是（带电）流体在磁场中的运动。其自由边界问题描述的是所谓Plasma-Vacuum模型，即一坨等离子体被真空或者一个密闭容器包住，等离子体内部满足MHD方程，外部的磁场则满足散度、旋度为0，加上模型对应的边界条件以及所谓的Rayleigh-Taylor sign稳定性条件（没有此条件时，欧拉方程的自由边界问题会直接Illposed），即完成了方程的定解。 尽管MHD方程在形式上可以看作是欧拉方程加一个来源于磁场的外力项，但只要自己计算之后就会发现，想直接套用欧拉方程的方法是不可能的。一个很重要的不同是：欧拉方程只要流体的初值无旋，那么他的解永远是无旋的（这也是色散方法做水波方程的一个基础）。结合div-curl-边界分解，我们就可以通过提高欧拉方程初值旋度的正则性来提高解的正则性，但这对MHD的不可能成立的。实际上，高中物理就已经告诉我们带电粒子会在磁场里面受到洛仑兹力而旋转，因此额外的旋度会产生（如果你计算的话会发现这是一个无法单独控制的高阶项）。 对不可压（也就是流体密度是常数）MHD方程而言，非低正则性的解（H^4以上，某种程度上你可以看作是C^2正则性及以上）可以用Alinhac Good Unknown的技巧绕过这个困难，这一点在顾旭旻-王焰金 19年JMPA上的一篇文章里面已经有所体现（这篇文章我个人认为写得非常非常好）。此外，如果流体的表面张力非零，亦可以使用边界椭圆估计绕开如上困难，这也算是我自己的一个新发现吧。 但是对可压MHD方程而言，以上的方法全部作废。如果你搜一搜arxiv就知道，即便是R3全空间的可压理想MHD方程的存在性至今也没用被证明，那更不用说自由边界问题了。单纯从硬分析的角度来看，这种失败的出现是因为密度的改变会导致流体的散度非零，进而导致压力的估计从椭圆方程变成了一个波方程，从而失去了正则性的提升。可压欧拉方程对应的波方程 \square p=(\partial u)(\partial u)+\cdots 右边只有1阶导数的项因此可以硬吃；而MHD对应的波动方程要使右边只有一阶项，主体部分就会变成 \partial_{t}^2 p-\Delta(p+\frac{1}{2}|B|^2) ，造成流体方程和磁场方程出现了“你中有我，我中有你，且没有共同的控制”这种尴尬现象，进而整个证明崩溃。 更深层次的原因，则是可压MHD方程出现了“多特征速度”的问题：可压欧拉方程对应的波动方程右边只有一阶导数项，并且具有所谓的“null structure”（这个是相对论PDE中的一个术语，见Jared Speck等人的文章）；但MHD方程因为磁场的出现，就变成了两个波相互干扰，难以寻找到共同的控制。Jared Speck的波方程小初值激波形成那本书中的前言最后一段就公开提出了这样的问题： 如果给流体或者磁场之一加上耗散项，那么问题也许能够继续推进。我今年做的一个不可压极限的结果就表明加上磁场的耗散项之后是可以推进的，但很遗憾的是目前没有办法得到零耗散极限去构造理想方程的解。实际上，加入耗散项之后，带耗散的那个方程就变成了抛物方程，因此可以硬吃高阶项，同时这也有物理上的背景（resistive MHD），但是原方程的结构实际上已经被破坏。理想MHD方程是一个双曲方程组，而双曲方程的正则性是不可能超过初值的，这和椭圆、抛物方程完全不一样。消去高阶项的方法，即是利用方程本身的结构完成各种cancellation。上面提到的“结构破坏”就是指并不能再利用方程自身完成高阶项的消去。对于双曲方程的研究来说，这是需要尽量避免出现的。 总之，MHD方程看似就像欧拉方程耦合了一个物理方程，但背后隐藏的东西却是非常深刻的。上面提到的“多特征速度”问题（≥2维）至今仍然没有任何结果。11月初在UCSD的一个PDE会议上我也问过一些做相对论PDE的人，都表示目前无计可施。大抵是目前的工具遇到了瓶颈，不足以解决这个问题吧。 PDE因为种种原因总是成为风评被害的方向，也就是有些人嘴里的“民工学科”。当然，这也和国内大部分学校PDE无比落后的教学有关，试问有几个学校本科数学系的PDE课程是用Evans这种真正从头就开始以PDE theory来叙述内容的书当教材的？又有多少学校让本科生学Sobolev空间以及弱解理论这种近代PDE入门语言的？ 撇开这些人为的因素，PDE本身刻画的是物理或者几何上的一些模型。因此真正好的PDE问题，我想应该是条件自然而有物理/几何背景的，包括你加的额外条件也需要是有意义的（比如物理上对应什么什么，几何上对应什么什么）。xjb加一些不知所云也没法演化的神奇条件而“强行”做出来一个所谓的成果，我想也不会得到普遍的认可吧。另一方面，很多人的刻板印象是PDE硬算就完了，但实际上当你遇到如上本质困难的时候，再强的算功也没用。我的理解是，PDE看似只用分析和一些黎曼几何之类的知识，但很多时候它恰恰是产生“新的分析”的源头。古典一些的，调和分析里面奇异积分、震荡积分的研究原型就是拉普拉斯方程、色散方程的解（傅立叶限制性估计）。近年一些的，Christodoulou-Klainerman那套null geometry也可以看成是发源于波方程的研究。 对我自己而言，能捏的软柿子差不多都捏完了，是时候开始啃硬骨头了，希望自己成为一个能做出一点新东西的“民工”吧，，，，，， 