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閉値域の定理
数学のバナッハ空間に関する定理である閉値域の定理（へいちいきのていり、）とは、稠密に定義された閉作用素が閉の値域を持つための必要十分条件を与える定理である。ステファン・バナフの1932年の論文 "Théorie des opérations linéaires" において証明された。
"X" と "Y" をバナッハ空間とし、"T" : "D"("X") → "Y" を、定義域 "D"("T") が "X" において稠密であるような線形閉作用素とし、formula_1 をその転置とする。閉値域の定理は、次の四つの条件が同値であるということについて述べた定理である:
この定理には、いくつかの系（corollary）が存在することがただちに分かる。例えば、上述のような稠密に定義された閉作用素 "T" に対して "R"("T") = "Y" が成り立つことと、転置 formula_1 に連続な逆が存在することは同値である。同様に、formula_8 であることと、"T" に連続な逆が存在することは同値である。