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四元数
数学における四元数（しげんすう、）とは、複素数を拡張した数体系であり、虚数単位 を用いて
と表せる数のことである。ここで、 は実数であり、虚数単位 は以下の関係を満たす。
このとき は実数体上線型独立である。
四元数は純粋数学のみならず応用数学、特に3Dグラフィクスやコンピュータビジョンにおいてでも用いられる。これはオイラー角や回転行列あるいはそれらに代わる道具などとともに、必要に応じて利用される。
四元数についての最初の記述は、1843年にアイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンによってなされ、3次元空間の力学に応用された。
四元数の特徴は、積について非可換であることである。ハミルトンは、四元数を三次元空間内の二つの有向直線の商として定義した。これは二つのベクトルの商と言っても同じである。四元数をスカラーと三次元のベクトルとの和として表すこともできる。
なお、虚数単位i,j,kについても非可換であることが知られている。
現代数学の観点からは、四元数全体からなる集合は、実数体上の4次元結合的ノルム多元体であり、またそれゆえに非可換整域となる。歴史的には四元数の体系は、最初に発見された非可換多元体である。四元数全体の成すこの代数は、ハミルトンに因んで H（あるいは黒板太文字で ）と書かれる。またこの代数を、クリフォード代数 として定義することもできる。
この代数 は解析学において特別な位置を占めている。というのも、フロベニウスの定理に従えば は実数全体 ℝ を真の部分環として含む有限次元可除環の2種類しかないうちの一つ（もう一つは複素数全体 ℂ）だからである。
従って、単位四元数は三次元球面 上の群構造を選んだものとして考えることができて、群 を与える。これは 次特殊ユニタリ群 に同型、あるいはまた の普遍被覆に同型である。