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ベルマン方程式
ベルマン方程式（ベルマンほうていしき、）は、動的計画法(dynamic programming)として知られる数学的最適化において、最適性の必要条件を表す方程式であり、発見者のリチャード・ベルマンにちなんで命名された。動的計画方程式 (dynamic programming equation)とも呼ばれる。 ベルマン方程式は、決定問題(decision problem)において、ある時刻の初期選択と、それ以降の決定問題の価値との関係を記述する。これにより、動的な最適化問題を、ベルマンの最適性の原理が示す指針にしたがって、より単純な部分問題(subproblems)に分解するのである。
ベルマン方程式は最初、制御工学や他の応用数学上の問題に適用され、その後、経済理論(economic theory)における重要なツールとなった。しかしながら、動的計画法の基本概念はもともとジョン・フォン・ノイマンとオスカー・モルゲンシュテルンの"ゲーム理論と経済活動" やエイブラハム・ウォールドの 時系列解析（sequential analysis) の研究の中で次第に形作られてきたものである。
最適制御理論で解かれるほとんどの問題は、適切なベルマン方程式を用いて解くことができる。 ただし、一般に「ベルマン方程式」という用語は離散時間の最適化問題を解く際に用いられる動的計画法の方程式を指す。 連続時間の最適化問題を解く場合には、ベルマン方程式の連続時間形式である偏微分方程式を用い、これをハミルトン-ヤコビ-ベルマン方程式と呼ぶ。