Hệ hai trạng thái lượng tử
Trong cơ học lượng tử, một hệ hai trạng thái là một hệ có 2 trạng thái lượng tử khả thi, ví dụ spin của một hạt spin-1/2 như electron có thể nhận giá trị +"ħ"/2 hoặc −"ħ"/2, với "ħ" là hằng số Planck rút gọn.Một ví dụ thường được nghiên cứu trong vật lý nguyên tử, là sự thay đổi trạng thái của nguyên tử từ bình thường sang trạng thái kích thích.

Các tính chất vật lý của hệ hai trạng thái trong cơ học lượng tử là tầm thường nếu 2 trạng thái có năng lượng bằng nhau. Tuy nhiên nếu có sự chênh lệch về năng lượng thì động lực học không tầm thường có thể diễn ra.
Nếu đặt formula_1 là Toán tử Hamilton không phụ thuộc thời gian, formula_2 và formula_3 là 2 trạng thái năng lượng riêng của hệ, với các giá trị riêng là formula_4 và formula_5.

Bất kỳ trạng thái formula_6 nào của hệ cũng có thể viết dưới dạng chồng chập lượng tử của các trạng thái riêng của năng lượng; ví dụ tại formula_7 ta có:
với formula_9 và formula_10 là các hệ số phức.

Tại một thời điểm sau đó formula_11, các trạng thái năng lượng riêng formula_2 và formula_13 sẽ biến đổi thành formula_14 và formula_15, do đó

Mỗi hệ hai trạng thái có một tần số góc cho bởi công thức
trong đó "E" > "E".

Các tính chất vật lý của hệ hai trạng thái rất hữu dụng khi áp dụng vào các hệ đa trạng thái chỉ có đủ năng lượng để kích thích 2 trạng thái thấp nhất, kết quả là tạo ra một hệ hai trạng thái. Trong thực tế, rất khó để nhận diện một hệ hai trạng thái thực thụ; thường chỉ đơn thuần là các hệ có chu trình năng lượng cô lập 2 trạng thái cụ thể.

Tập hợp tất cả trạng thái trong hệ hai trạng thái có thể được sơ đồ hóa bằng một quả cầu Bloch. Trong hình thái này, mỗi trạng thái được biểu diễn bằng 1 điểm trên quả cầu đơn vị. Hệ tọa độ cầu được chọn sao cho trạng thái năng lượng riêng formula_2 có độ dư vĩ θ = 0 và trạng thái năng lượng riêng formula_3 có θ = π (nói cách khác, formula_2 nằm ở cực Bắc và formula_3 nằm ở cực Nam). Trạng thái formula_22 có độ dư vĩ θ và góc phương vị φ được tính bởi các hệ số formula_9 và formula_10.

Tương tác giữa một hệ hai trạng thái và một trường ngoài dẫn đến sự tiến động của các vectơ trạng thái. Khả năng điều khiển vị trí của một vectơ trạng thái trên quả cầu Bloch được thực thi bởi qubit. Giả dụ, một hạt có spin-1/2 được đặt trong từ trường formula_25. Toán tử Hamilton trong trường hợp này là:

với formula_27 là độ lớn của mômen lưỡng cực từ của hạt và formula_28 là vectơ Ma trận Pauli. Tương tự với các hệ khác, formula_27 là hằng số, formula_30 là trường ngoài. Giải phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian formula_31 cho ra kết quả

với formula_33 và formula_34. Công thức này tương đương với vectơ Bloch tiến động quanh formula_35 với tần số góc formula_36. Nhìn chung:

Sự biểu diễn trên quả cầu Bloch cho một vectơ trạng thái formula_38 sẽ chỉ là vectơ của các giá trị được mong đợi formula_39. Ví dụ, xét trường hợp formula_40 là chồng chập lượng tử chuẩn hóa của formula_41 và formula_42, hay, một vectơ có thể biểu diễn dưới dạng formula_43:

Các thành phần của formula_45 trên quả cầu Bloch sẽ là formula_46. Đây là vectơ cơ sở có hướng formula_47 và tiến động quanh formula_48 theo chiều kim đồng hồ. Bằng việc quay quanh formula_48, bất kỳ vectơ trạng thái formula_38 nào cũng có thể biểu diễn bằng formula_51 với các hệ số thực formula_52 và formula_53. Các vectơ tương ứng với Bloch vectơ trong mặt phẳng "xz" tạo thành một góc formula_54 với trục "z". Vectơ này sẽ tiếp tục tiến động quanh formula_48. Trên lý thuyết, bằng việc cho hệ tương tác với các trường có hướng và độ lớn xác định trong một khoảng thời gian hợp lý, ta có thể điều hướng Bloch vector theo bất kỳ hướng nào, tương đương với việc tính được bất kỳ chồng chập lượng tử phức nào. Đây là cơ sở cho rất nhiều công nghêj, gồm cả máy tính lượng tử và chụp cộng hưởng từ.

