Hàm ngược
Trong toán học, hàm ngược của hàm (hay còn gọi là nghịch đảo của ) là hàm hoàn tác lại tính toán của hàm . Nghịch đảo chỉ tồn tại khi và chỉ khi là song ánh, và nếu nó tồn tại thì nghịch đảo đó được ký hiệu là formula_1

Cho hàm formula_2, nghịch đảo formula_3 được mô tả như sau: hàm gửi mỗi phần tử formula_4 sang duy nhất một phần tử formula_5 sao cho .

Lấy ví dụ, xét hàm thực trả về giá trị thực sau: . Ta có thể hiểu là hàm số nhân giá trị đầu vào với 3 rồi trừ đi 4 khỏi kết quả. Để lấy về giá trị gốc từ kết quả, ta làm ngược lại bằng cách thêm 4 vào đầu vào rồi chia kết quả cho 3. Khi đó nghịch đảo của là hàm formula_6 được định nghĩa bởi: formula_7

Gọi là hàm số mà miền của nó là tập , và đối miền của nó là tập . Khi đó, được gọi là "khả nghịch" nếu tồn tại hàm từ sang sao cho formula_8 với mọi formula_5 và formula_10 với mọi formula_4.

Nếu khả nghịch, thì chỉ có duy nhất một hàm thoả mãn tính chất. Hàm được gọi là nghịch đảo (hay hàm ngược) của , và thường được ký hiệu là , ký hiệu này được giới thiệu bởi John Frederick William Herschel trong 1813.

Hàm khả nghịch khi và chỉ khi nó là song ánh, bởi điều kiện formula_8 với mọi formula_5 sẽ suy ra là đơn ánh và điều kiện formula_10 với mọi formula_4 suy ra là toàn ánh.

Hàm ngược của có thể biểu diễn như sau

Nhắc lại rằng nếu là hàm khả nghịch với miền và đối miền , thì

Sử dụng phép hợp hàm, phát biểu trên có thể viết lại thành phương trình của các hàm số:

trong đó là hàm đồng nhất trên tập ; tức là hàm số không thay đổi giá trị đầu vào. Trong lý thuyết phạm trù, phát biểu này có thể dùng làm định nghĩa cho cấu xạ nghịch đảo.

Xét phép hợp hàm giúp ta hiểu ký hiệu . Hàm được lấy bằng cách hợp liên tục hàm với chính nó được gọi là hàm lặp. Nếu được lặp lại lần, bắt đầu từ giá trị , thì ta có thể viết là ; ví dụ, , v.v... Bởi , Hợp của và sẽ ra , "hoàn tác" lại một lần lặp của hàm .

Ký hiệu thực ra có thể hiểu nhầm bởi còn có thể hiểu là nghịch đảo phép nhân của hàm chứ không phải là nghịch đảo của .Do vậy , ký hiệu formula_23 có thể được dùng thay thế cho hàm ngược để không bị nhầm lẫn với ký hiệu nghịch đảo phép nhân.

Thật vậy, để giữ và dùng chung ký hiệu này, một số tác giả người Anh đã viết các biểu thức như để ký hiệu hàm ngược của hàm sin cho (thực ra là nghịch đảo riêng phần; xem dưới).Song, nhiều tác giả khác nhận thấy các biểu thức này dễ nhầm lẫn với nghịch đảo phép nhân của , mặc dù có thể ký hiệu là . Để tránh bất cứ hiểu nhầm nào, hàm lượng giác ngược thường được ký hiệu bằng cách thêm tiền tố "arc" (trong Latin: ). Ví dụ chẳng hạn, nghịch đảo của hàm sin thường sẽ được viết là hàm arcsin hay . Tương tự như vậy, nghịch đảo của các hàm hyperbol được ký hiệu bằng cách thêm tiền tố "ar" (trong Latin: ). Lấy ví dụ, nghịch đảo của hàm sin hyperbol được viết là . Tuy nhiên, ký hiệu vẫn có thể được dùng khi phân biệt giữa nghịch đảo đa giá trị với nghịch đảo riêng phần: formula_24. Các hàm ngược đặc biệt đôi khi được ký hiệu bằng cách thêm tiền tố "inv" ("inverse", hay "nghịch đảo"), nếu ta cần phải phân biệt ký hiệu 

Hàm đưa bởi không phải đơn ánh vì formula_25 với mọi formula_26. Do đó, không khả nghịch.

Nếu miền của hàm số trên giới hạn về các số thực không âm, tức là ta xét hàm formula_27 với cùng "định nghĩa" như trên, thì hàm số này song ánh và do đó khả nghịch. Hàm ngược này được gọi là "căn bậc hai (dương)" và được ký hiệu là formula_28.
<!-- Repetitive. To be held for a short time until refactor is finished. 
Định nghĩa trên thường được dùng trong cả lý thuyết tập hợp và vi tích phân. Trong toán học cao hơn, ký hiệu
có nghĩa là " là hàm ánh xạ các phần tử thuộc tập sang các phần tử thuộc tập ". Tập nguồn , được gọi là miền của , còn tập đích được gọi là đối miên (hay miền giá trị). Đối miền này chứa ảnh của {n!} \lim_{ \theta \to 0} \left(
\right).
</math>

Bởi hàm số là một dạng đặc biệt của quan hệ hai ngôi, nhiều tính chất của hàm ngược có liên hệ với quan hệ ngược.

Nếu tồn tại hàm ngược với hàm , thì hàm đó là duy nhất.

Có đối xứng giữa hàm và nghịch đảo của nó 
