Không gian tôpô tích
Trong tô pô và các ngành toán học liên quan, không gian tích là tích Descartes của một họ không gian tô pô được trang bị một tôpô gọi là tô pô tích. Tô pô này khác với các loại khác, điển hình là tô pô hộp. Tô pô hộp của một không gian tích trở thành tô pô tích khi nó xác định trên không gian hữu hạn. Tuy vậy, tô pô tích cho phép không gian tích thực hiện được phép tích đối với các nhân tử của nó.

Không gian "X" thỏa mãn

là tích Descartes của không gian tô pô formula_2, đánh số bởi formula_3, và phép chiếu formula_4": formula_5 → formula_2, tô pô tích trên formula_5 được định nghĩa là tô pô yếu nhất (hay tô pô có ít tập mở nhất) đối với mọi phép chiếu liên tục formula_4. Tô pô tích còn được gọi là tô pô Tychonoff.

Cho formula_16 được định nghĩa bởi formula_17
và cho formula_18 được định nghĩa bởi formula_19.
thì họ formula_20 với formula_21 mở trong formula_5 và formula_23 mở trong formula_10 là một cơ sở con của tô pô formula_11.

formula_26 là một họ được đánh chỉ số các không gian tô pô, formula_27
Định nghĩa tô pô tích trên formula_5 là tô pô sinh bởi formula_29. formula_30 có một cơ sở là
formula_31 
Tô pô tích trên formula_32 có cơ sở là những tập có dạng formula_33 với formula_34 mở trong formula_2 cho mỗi formula_36 và formula_37 trừ ra hữu hạn giá trị formula_36.



Không gian tích formula_5, cùng với phép chiếu chuẩn tắc, đặc trưng bởi tính chất phổ quát sau: 

Nó thể hiện không gian tích là tích phạm trù của các không gian tô pô. Từ tính chất phổ quát trên, ánh xạ formula_68 là liên tục nếu và chỉ nếu formula_69 liên tục cho mọi formula_64. Trong nhiều trường hợp có thể dễ dàng kiểm tra rằng hàm formula_71 là liên tục. Tuy nhiên chứng minh formula_72 liên tục thì khó hơn; và cần đến giả thiết formula_4 liên tục.

Để thỏa mãn tính liên tục, phép chiếu chuẩn tắc formula_74 cần thêm tính chất là những ánh xạ mở. Điều này có nghĩa là bất kỳ tập con mở nào của không gian tích vẫn là mở khi thực hiện chiếu chúng vào formula_75. Điều ngược lại không đúng: nếu formula_76 là không gian con của không gian tích mà phép chiếu vào mọi formula_75 là mở, thì formula_76 không cần thiết là không gian mở trong formula_5.Các phép chiếu chuẩn tắc nói chung không phải là ánh xạ đóng (ví dụ formula_80, mà phép chiếu lên hai trục tọa độ là formula_81).

Tô pô tích còn gọi là "tô pô hội tụ theo từng điểm" bởi vì: một dãy số (hoặc lưới) trong "X" hội tụ nếu và chỉ nếu mọi phép chiếu của nó vào không gian formula_75 hội tụ. Đặc biệt, nếu xét không gian formula_83 của mọi hàm giá trị thực trên formula_5, sự hội tụ trong tô pô tích là giống với sự hội tụ theo điểm của hàm số.

Một định lý quan trọng về tô pô tích là định lý Tychonoff: tích của một họ không gian compact bất kỳ là compact. Định lý này có thể chứng minh dễ dàng cho trường hợp hữu hạn, trong khi trường hợp tổng quát tương đương với tiên đề chọn.

