Bổ đề Urysohn
Trong không gian tô pô, bổ đề Urysohn phát biểu rằng trong một không gian topo chuẩn tắc, hai tập con đóng rời nhau có thể tách nhau bằng một hàm số thực.
Bổ đề Urysohn thường được sử dụng để xây dựng các hàm liên tục với các tính chất khác nhau trên các không gian chuẩn tắc. Nó được áp dụng rộng rãi vì tất cả các không gian metric và không gian Hausdorff compact đều chuẩn tắc. Bổ đề thường được sử dụng trong chứng minh cho định lý mở rộng Tietze. 
Bổ đề được đặt tên theo nhà toán học Pavel Samuilovich Urysohn.

Cho X là một không gian chuẩn tắc, lấy F là một tập đóng trong X.Cho formula_1 liên tục, khi đó có một ánh xạ liên tục formula_2 sao cho formula_3.

Vì vậy trong một không gian định chuẩn, một hàm thực trên một không gian con đóng có thể được mở rộng thành một hàm thực liên tục trên toàn bộ không gian đó.

Nếu X là chuẩn tắc, F là tập đóng, U mở và formula_4, khi đó tồn tại một ánh xạ liên tục formula_5, sao cho: formula_6 trên F và formula_7 trên X\U.

Tương tự lấy A, B là hai tập con đóng rời nhau của X, khi đó có một ánh xạ liên tục f từ X vào [0,1], sao cho formula_6 trên A và formula_7 trên B.

Vì X là chuẩn tắc, nếu F đóng, <chem>U</chem> mở và formula_4 khi đó có một tập mở <chem>V</chem> sao cho formula_11
formula_12

formula_13

formula_14

formula_15

Quy nạp chúng ta có họ các tập mở sau:

formula_16

Lấy formula_17. Chúng ta có họ các tập mở formula_18 có tính chất formula_19

chúng ta chứng minh rằng f liên tục.Chỉ cần chứng minh rằng các tập có dạng formula_20 là tập mở.


Bây giờ chúng ta chứng minh rằng formula_30, từ đó suy ra formula_31 là mở.Thực vậy, nếu formula_26 và formula_27 thì có một formula_34, sao cho formula_35. Khi đó formula_36 nên formula_37

Dễ dàng hơn để chứng minh bổ đề Urysohn trong không gian mê tríc, với hàm sau:

formula_38

Trong một không gian chuẩn tắc thì hai tập con đóng rời nhau có thể được tách bởi một ánh xạ liên tục.

Bổ đề Urysohn dẫn đến việc xây dựng một số tính chất tôpô khác như là tính chất tychonoff và không gian Hausdoff đầy đủ. ví dụ một hệ quả của bổ đề là không gian T1 chuẩn tắc là Hausdoff.

