Toán tử Hamilton
Như ta đã biết thì năng lượng toàn phần của hệ bằng tổng thế năng và động năng của hệ;

trong đó

formula_6

Kết hợp 2 toán tử trên, ta có toán tử Hamilton được sử dụng trong phương trình Schrödinger

"Xem bài viết chính phương trình Schrödinger

Cho hàm sóng formula_9.Ta có phương trình Schrödinger phụ thuộc vào thời gian của hàm sóng đó là

Trong đó formula_11 là toán tử Hamilton.

Giả sử formula_9 có thể viết dưới dạng tích hàm theo thời gian với hàm tọa độ;

formula_9 =formula_14 formula_15 
Đạo hàm theo t.Ta có:

Và đạo hàm bậc 2 theo r.Ta có:

formula_20 formula_21=formula_22

Thay vào phương trình Schrödinger Ta có

formula_23 formula_14 formula_18formula_19=formula_11formula_14 formula_15

Chia 2 vế cho formula_14. Ta được phương trinh vi phân.

formula_23formula_18formula_19=formula_11 formula_15

Giải phương trình vi phân này ta được formula_15 =formula_37
Vậy hàm sóng được viết dưới dạng

formula_9=formula_14 formula_37

Thay vào phương trình Schrödinger ban đầu, ta được phương trình Schrödinger không phụ thuộc vào thời gian

formula_41formula_14=formula_43formula_14

Khi giải phương trình này, ta tìm được hàm riêng và giá trị riêng của toán tử Hamilton.Khi tìm được giá trị riêng, ta có thể xác định các mức năng lượng và xem nó co bị gián đoạn hay không. Khi tìm được hàm riêng, ta có thể tính xác suất những nơi tìm thấy hạt.

phương trình Schrödinger

Cơ học lượng tử
