Định lý Tychonoff
Trong tô pô, định lý Tychonoff (định lý Tikhonov) được phát biểu là tích của một họ các không gian tôpô compact là một không gian compact. Định lý này được đặt tên sau khi Andrey Nikolayevich Tychonoff chứng minh được nó năm 1930 cho những khoảng đóng đơn vị và năm 1935 chứng minh đầy đủ hơn cho các hợp đặc biệt. Chứng minh được công bố sớm nhất chứa trong kết quả bài báo của Eduard Čech.

Tích của một họ bất kỳ các không gian compact thì compact trong tô pô tích đó.
Cho formula_1 compact formula_2. Chúng ta
sẽ chứng minh:formula_3 compact thông qua đặc trưng
tập đóng trong Định lý về đặc trưng qua tập đóng của tập compact.

Cho formula_4 là một họ bất kỳ các tập con đóng của formula_5 có tính
giao hữu hạn. Ta chứng minh formula_4 có phần giao khác rỗng,
tức là formula_7.
formula_8
Xét họ
formula_9 với formula_10 là tập con đóng của formula_1 có phần giao hữu hạn.
Vì formula_1 compact nên có phần giao khác rỗng. Suy ra có formula_13

Từ đó cho thấy formula_4 có phần giao khác rỗng, nhưng điều đó
là không đúng như hình vẽ sau:
Khi đó ý tưởng của Tikhonov là mở rộng họ formula_4

formula_16, formula_17
là cực đại dưới tính giao hữu hạn. (Bổ đề Zorn)

Sẽ lặp lại lý luận trên với formula_17
thay vì formula_4.

Xét họ
formula_20

là họ các tập con đóng của formula_1 có tính giao hữu hạn.

formula_1 compact nên tồn tại formula_23

Cho formula_23
và formula_25

Chứng minh formula_26

tức là chứng minh formula_27

Lấy một lân cận bất kỳ của formula_28 có dạng formula_29 vớiformula_30mở
trong formula_1

Do formula_32 nên formula_33 là điểm dính của formula_34
suy ra formula_30 chứa điểm của formula_34.

Nên 

Suy ra formula_41 vẫn
có tính giao hữu hạn.

Do formula_42 là cực đại dưới tính giao
hữu hạn nên formula_43.

Suy ra 

Suy ra formula_48

Vậy formula_26 hay formula_50.formula_51
