Định lý mở rộng Tietze
Cho X là một không gian chuẩn tắc, lấy F là một tập đóng trong X.Cho formula_1 liên tục, khi đó có một ánh xạ liên tục formula_2 sao cho formula_3.

Vì vậy trong một không gian định chuẩn, một hàm thực trên một không gian con đóng có thể được mở rộng thành một hàm thực liên tục trên toàn bộ không gian đó.

=Chứng minh=
a) Trường hợp tổng quát có thể suy ra từ trường hợp khi mà formula_4 và formula_5
chúng ta sẽ thu hẹp sự chú ý trong trường hợp này.

b) Theo Định lý Urysohn có một hàm liên tục formula_6 sao cho:

formula_7

Lấy formula_8. Khi đó formula_9, formula_10 và formula_11

c) Chúng ta có hàm số formula_12, chúng ta sẽ thu được một hàm số formula_13 sao cho:
formula_14

Lấy formula_15, Khi đó formula_16 và formula_17, và formula_18

d) Chuỗi formula_19 hội tụ đều về hàm liên tục g.

e) Vì formula_20, chuỗi formula_21 hội tụ đều về f.Do đó formula_22.

f) Chú ý rằng việc xây dựng này thì formula_23 và formula_24
a) Giả sử rằng f hoặc bị chặn dưới, hoặc bị chặn trên, lấy h là một phép đồng phôi từ formula_25 vào formula_26.Khi đó miền xác định của formula_27 là một tập con của formula_28, do đó nó có thể mở rộng như hàm liên tục formula_29 phía trước sao cho formula_30 và formula_31

Nếu miền xác định của formula_32 bao gồm hoặc 0 hoặc 1 khi đó formula_33 là hàm như ta mong đợi.

Nếu có trường hợp xảy ra như sau: miền xác định của formula_29 bao gồm cả 0 và 1. Trong trường hợp này lấy formula_35.Chú ý rằng C giao F bằng trống.Theo bổ đề Urysohn, có một hàm liên tục formula_36 sao cho formula_37,formula_38. Lấy formula_39. Khi đó formula_40 và miền xác định của formula_41 là tập con của formula_26, khi đó formula_43 là hàm như ta mong đợi.

b) Nếu f bị chặn dưới khi đó tương tự như trường hợp trước chúng ta có thể sử dụng phép đồng phôi formula_44, và chúng ta đặt formula_45

Trường hợp f bị chặn trên là tương tự
