Compact hóa
Trong toán học và lý thuyết topo, compact hóa (phiên âm: compắc hóa, tiếng Anh: "compactification") là một quá trình biến một không gian topo thông thường thành một không gian compact. Không gian compact hay tập compact có những tính chất hữu ích như:

Một phương pháp thông dụng để compact hóa một không gian topo là "compact hóa một điểm" (one-point compactification) với định lý Alexandroff và tính chất compact địa phương.

Một compact hóa của formula_1 là một không gian compact formula_2 sao cho formula_1 đồng phôi với một không gian con trù mật của formula_2.

Ví dụ:

Trong một vài trường hợp nhất định, ta có thể compact hóa một không gian không compact bằng việc thêm vào đó một điểm. Khi đó, ta gọi đó là compact hóa một điểm.

Ví dụ:

Cho formula_1 là một không gian mà formula_14. Gọi formula_15, xác định một topo trên formula_15 như sau:

Một tập mở trong formula_15:

Với topo này, formula_15 là compact và chứa formula_1 như một không gian con. Nếu formula_1 không compact thì formula_1 trù mật trong formula_15 và formula_15 được gọi là compact hóa Alexandroff của formula_1.

Ví dụ:


Như đã nói, với topo thông thường, compact hóa Alexandroff của formula_44 là formula_10. Tuy nhiên, với một hàm formula_46 cho bởi formula_47 (Topologist's sine curve) là một hàm bị chặn và liên tục trên formula_44 nhưng hoàn toàn không thể được mở rộng liên tục vào formula_10. Như vậy, với trường hợp này, compact hóa Alexandroff chưa bảo đảm tính liên tục của một hàm trên không gian compact hóa.
Khi đó, phương pháp compact hóa Stone-Čech sau đây sẽ giải quyết được vấn đề nêu trên.
Compact hóa Stone-Čech lần đầu xuất hiện trong một bài báo của Tychonoff (năm 1930) và sau đó được nói đến rõ ràng bởi Marshall Stone (năm 1937) và Eduard Čech (năm 1937).
Cho formula_1 là một không gian topo, ký hiệu formula_51 là tập các hàm liên tục bị chặn từ formula_1 vào formula_53. Xét hàm sau
formula_54
Nếu formula_1 là chính tắc đầy đủ thì formula_56 là một đồng phôi, nghĩa là formula_57 là một phép nhúng. Trong trường hợp này, vì formula_58 compact nên không gian con formula_59 là compact. Khi đó, formula_59 được gọi là compact hóa Stone - Cech của formula_1. Hơn nữa, nó là một không gian Hausdorff.

