Hội tụ (không gian tôpô)
Khái niệm hội tụ trong toán học có thể được sử dụng trong các không gian Euclid (chẳng hạn xem định nghĩa ("ε", "δ") của giới hạn), các không gian metric, ví dụ như formula_1, formula_2, các không gian hàm hay các không gian tô pô. Với các không gian metric, ta có sự tương đương giữa hai phát biểu sau:


Đối với các không gian tô pô tổng quát, ta có 1 suy ra 2, nhưng điều ngược lại không đúng. (trong một số trường hợp, chẳng hạn như với các không gian đếm được bậc nhất, ta có 2 suy ra 1). Do đó, người ta đã xây dựng khái niệm hội tụ của lưới nhằm đạt được một tính chất tương đương với tính liên tục của ánh xạ.

Bài viết sau khảo sát lại các khái niệm về sự hội tụ, tính liên tục và mối quan hệ giữa chúng.

Giả sử formula_3 là hàm số thực, formula_4 là hằng số. Ký hiệu formula_5 có nghĩa là formula_6 tiến gần đến formula_7 khi formula_8 tiến gần về formula_4. Có thể đọc là "Giới hạn của hàm formula_3 khi formula_8 tiến gần đến formula_4 là formula_7 ".

Lưu ý: Hàm formula_6 có thể không cần xác định tại formula_4

Định nghĩa trên được Augustin Louis Cauchy sáng kiến vào năm 1821. Sau đó, Karl Weierstrass đã hình thức hóa bằng cách định nghĩa theo formula_16 như sau:

Hàm số formula_3 hội tụ về formula_7 nếu formula_19, formula_20 sao cho formula_21
Cho formula_22

Thì formula_23 không xác định, khi cho formula_8 tiến gần về 1 thì formula_6 tiến gần về 2:

Do đó, formula_6 có thể tiến gần đến giới hạn của 2 ngay khi formula_8 gần đến 1.

Mặt khác, formula_28

Nó cũng có thể được tính theo phương pháp đại số, khi formula_29 với mọi số thực formula_30.

Vì formula_31 liên tục theo formula_8 tại 1 nên có thể thay formula_33 để được formula_34.

Thêm giới hạn tại những điểm hữu hạn, hàm có thể có những giới hạn vô hạn. Ví dụ, xét 


Khi formula_8 thật sự lớn, giá trị của formula_6 tiến về 2. Trong trường hợp này, giới hạn của formula_6 khi formula_8 tiến đến vô cùng là 2. Ký hiệu trong toán học,

Trong không gian tôpô formula_44, dãy formula_45 hội tụ về formula_8 nếu với mỗi lân cận mở formula_47 của formula_8 thì có một số nguyên dương formula_49 sao cho formula_50. Khi đó formula_8 là điểm giới hạn của dãy formula_45 và viết 
formula_53 

Lưới formula_78 được gọi là hội tụ về formula_79 (formula_80 là một không gian tôpô)nếu với mỗi lân cận formula_81 của formula_8 tồn tại một chỉ số formula_83 (formula_84 là tập có hướng) sao cho formula_85 thì formula_86. Điểm formula_8 được gọi là điểm giới hạn của lưới formula_88 và thường viết formula_89.
Tập có hướng là một tập có thứ tự formula_90 sao cho: Với 2 phần tử formula_91, luôn có phần tử formula_92 lớn hơn hoặc bằng của hai phần tử formula_93. Ký hiệu: formula_94, formula_95 và formula_96

Lưới (còn được gọi là dãy tổng quát) là một ánh xạ đi từ một tập có hướng vào trong một không gian. Nói cách khác, một lưới trên không gian formula_44 (với tập chỉ số là tập có hướng formula_90) là một ánh xạ formula_99. Ta viết formula_100 và ký hiệu lưới formula_101. Ký hiệu formula_88 cũng thường được sử dụng.
