Lớp liên hợp
Trong toán học, đặc biệt là lý thuyết nhóm, các phần tử của một nhóm có thể được phân hoạch thành các lớp liên hợp; các phần tử của cùng một lớp liên hợp có nhiều tính chất chung, và việc nghiên cứu các lớp liên hợp của các nhóm không giao hoán cho ta biết nhiều đặc điểm quan trọng về cấu trúc của nhóm. Trong mọi nhóm giao hoán, mọi lớp liên hợp đều là các tập chỉ chứa một phần tử.

Các hàm số nhận cùng một giá trị với các phần tử thuộc cùng một lớp liên hợp được gọi là các hàm lớp.
Giả sử formula_1 là một nhóm. Hai phần tử formula_2 và formula_3 của formula_1 được gọi là liên hợp với nhau nếu tồn tại một phần tử formula_5 sao cho formula_6.

Có thể dễ dàng chứng minh được rằng quan hệ liên hợp là một quan hệ tương đương, và do đó nó phân hoạch formula_1 thành các lớp tương đương. (Điều này có nghĩa là mọi phần tử của một nhóm thuộc vào duy nhất một lớp liên hợp, và hai lớp liên hợp formula_8 và formula_9 trùng nhau khi và chỉ khi formula_10 liên hợp, nếu không, hai lớp liên hợp này rời nhau.) Lớp tương đương chứa phần tử formula_11 là
và nó được gọi là lớp liên hợp của formula_2. Số liên hợp của formula_1 là số các lớp liên hợp phân biệt. Mọi phần tử thuộc cùng một lớp liên hợp thì có cùng cấp.
Nhóm đối xứng formula_15, gồm 6 hoán vị của 3 phần tử, có 3 lớp liên hợp:
Nhóm đối xứng formula_19, chứa 24 hoán vị của 4 phần tử, có 5 lớp liên hợp, được liệt kê sau đây theo cấu trúc xích và cấp:
Tổng quát, số các lớp liên hợp của nhóm đối xứng formula_20 bằng số các phân hoạch nguyên của formula_21. Điều này xảy ra vì mỗi lớp liên hợp tương ứng với đúng một phân hoạch của formula_22 thành các xích rời rạc, chính xác đến một hoán vị của các phần tử của formula_22.
Nếu formula_1 là một nhóm hữu hạn, khi đó với mọi phần tử formula_2, các phần tử nằm trong lớp liên hợp của formula_2 có một tương ứng một-một với các lớp kề của nhóm tâm hóa formula_40. Điều này có thể thấy được từ việc quan sát thấy rằng hai phần tử bất kì formula_55 thuộc cùng một lớp kề (tức là formula_56 với formula_57 thuộc nhóm tâm hóa formula_40) cho chúng ta cùng một phần tử khi tác động liên hợp lên formula_2:
Vì vậy số các phần tử nằm trong lớp liên hợp của formula_2 bằng với chỉ số formula_45 của nhóm con chuẩn hóa formula_40 trong formula_1. Từ đó suy ra kích thước của mỗi lớp liên hợp là một ước của cấp của nhóm.

Hơn nữa, nếu ta chọn một phần tử đại diện formula_65 từ mỗi lớp liên hợp, ta suy ra từ việc các lớp liên hợp phân hoạch nhóm formula_1 rằng
với formula_68 là nhóm tâm hóa của phần tử formula_65. Quan sát thấy rằng mỗi phần tử của formula_38 tạo thành một lớp liên hợp chỉ chứa chính nó, ta suy ra phương trình lớp như sau:
trong đó tổng được lấy theo các phần tử đại diện của các lớp liên hợp có nhiều hơn một phần tử.
Xét một formula_72-nhóm hữu hạn formula_1. Ta sẽ chứng minh rằng: "mọi formula_72-nhóm hữu hạn luôn có tâm không tầm thường".

Vì cấp của mọi lớp liên hợp của formula_1 phải chia hết cấp của formula_1. Ta suy ra rằng mọi lớp liên hợp formula_77 có cấp formula_78, với formula_79. Từ phương trình lớp, ta suy ra
Từ đây ta suy ra formula_72 là ước của formula_82, hay formula_83.
Tổng quát hơn, cho một tập con formula_84 bất kì của formula_1 (formula_84 không nhất thiết phải là một nhóm con), ta định nghĩa một tập con formula_87 của formula_1 liên hợp với formula_84 nếu tồn tại formula_5 sao cho formula_91. Đặt formula_92 là hợp của tất cả các tập con formula_87 của formula_1 sao cho formula_87 liên hợp với formula_84.

Một định lý thường được sử dụng khẳng định rằng, cho trước một tập con formula_84 bất kì của formula_1, chỉ số của formula_99 (nhóm chuẩn hóa của formula_84 trong formula_1) bằng với cấp của formula_92:
Điều này được suy ra từ việc nếu formula_104 thì formula_105 khi và chỉ khi formula_106, nói cách khác, khi và chỉ khi formula_43 và formula_108 cùng nằm trong một lớp kề của formula_99.

Chú ý rằng công thức này tổng quát hóa một công thức ở trên về số phần tử trong một lớp liên hợp.

Các kết quả ở trên đặc biệt có ích khi xét các nhóm con của formula_1. Các nhóm con có thể được chia thành các lớp liên hợp, với hai nhóm con thuộc cùng một lớp khi và chỉ khi chúng liên hợp với nhau. Các nhóm con liên hợp thì đẳng cấu, nhưng điều ngược lại không đúng.
Nếu ta đặt
với hai phần tử formula_112 bất kì của formula_1, ta có một tác động nhóm của formula_1 lên chính nó. Các quỹ đạo của tác động này là các lớp liên hợp, và ổn định hóa của một phần tử là nhóm tâm hóa của phần tử đó.

Tương tự, ta có thể xác định một tác động nhóm từ formula_1 lên tập tất cả các tập con của formula_1 như sau:
Các lớp liên hợp trong nhóm cơ bản của một không gian topo liên thông đường có thể được xem như các lớp tương đương của các vòng tự do dưới đồng luân tự do.
