Định lý Heine–Borel
Trong topo học của không gian metric, định lý Heine-Borel, được đặt theo tên của Eduard Heine và Émile Borel, phát biểu rằng:

Đối với một tập con "A" trong không gian Euclide formula_1, thì 2 mệnh đề sau đây là tương đương nhau:

Trong thực tế, định lý Heine-Borel được phát biểu cho bất kỳ một không gian metric nào, như sau:

Giả sử formula_2 compact. Vì formula_1 là không gian Hausdorff nên formula_2 đóng. Lấy một họ 
các phủ mở của formula_2. Vì formula_2 compact nên có phủ con hữu hạn. Do đó có formula_9 sao cho formula_10. Nên, với hai điểm bất kỳ formula_11 và formula_12 của formula_2, ta có formula_14. Vậy formula_2 bị chặn.

Ngược lại, nếu formula_2 đóng và bị chặn, giả sử formula_17 với mọi formula_18. Cố định một điểm formula_19 của formula_2, đặt formula_21. Khi đó, với mọi formula_22 thì 
Đặt formula_24, thì formula_2 là tập con của formula_26, là tập compact. Vì formula_2 đóng nên formula_2 cũng compact.
