Tấn Trường gia nhập Hà Nội FC từ tháng 5/2020. Qua bốn mùa giải, anh có 67 lần ra sân, giữ sạch lưới 26 trận. Thủ môn người Đồng Tháp đóng vai trò quan trọng giúp đội bóng Thủ đô vô địch V-League 2022, đoạt hai Cup Quốc gia 2020, 2022 và hai Siêu Cup Việt Nam 2020, 2022.
Mùa 2023-2024, Hà Nội FC thường xuyên sử dụng thủ môn Quan Văn Chuẩn bắt chính, nên cơ hội ra sân của Tấn Trường giảm dần. Vì thế, anh quyết định ra đi để tìm cơ hội ra sân nhiều hơn. Theo nguồn tin của VnExpress, Tấn Trường nhiều khả năng gia nhập đội hạng Nhất Trường Tươi Bình Phước, nơi anh sẽ hội ngộ Nguyễn Anh Đức - đồng đội cũ đang làm HLV trưởng.
Tấn Trường sinh năm 1986 tại Lai Vung, Đồng Tháp. Với chiều cao 1,86 mét, anh được chọn làm thủ môn khi còn chơi ở trường học và trong các đội trẻ Đồng Tháp. Đến V-League 2007, anh được đôn lên đội một cùng lứa Phan Thanh Bình, Nguyễn Quý Sửu, Đoàn Việt Cường...
Năm 2012, anh gia nhập đội Xuân Thành Sài Gòn với lót tay 9 tỷ đồng. Sau khi đội bóng này giải thể năm 2013, Tấn Trường đầu quân cho Bình Dương. Trong màu áo đội bóng đất Thủ, anh hai lần vô địch V-League, đoạt hai Cup Quốc gia, hai Siêu Cup Quốc gia. Thủ môn này chia tay Bình Dương năm 2019, rồi treo găng một thời gian trước khi ra Bắc gia nhập Hà Nội FC năm 2020.
Ở các đội trẻ Việt Nam, Tấn Trường được gọi vào đội U20 khi 18 tuổi. Anh cùng đội U23 Việt Nam dự các kỳ SEA Games 24 tại Thái Lan và SEA Games 25 tại Lào. Năm 2008, anh cùng U22 Việt Nam vô địch Merdeka Cup.
Tấn Trường được HLV Calitsto gọi lên tuyển Việt Nam từ năm 2010. Dự AFF Cup 2010, 2012 và các trận vòng loại Asian Cup 2011, 2015. Năm 2021, anh được HLV Park Hang-seo triệu tập dự vòng loại thứ hai World Cup 2022 khi thủ môn Đặng Văn Lâm chấn thương. Anh bắt chính ba trận trước Indonesia, Malaysia và UAE. Sau đó ở vòng loại thứ ba, anh bắt chính sáu trận trước Trung Quốc (2), Saudi Arabia (2), Nhật Bản, Australia. Thủ thành người Đồng Tháp tham dự AFF Cup 2020 tại Singapore, nhưng dự bị cho Trần Nguyên Mạnh và chỉ ra sân trận thắng Campuchia 4-0 ở vòng bảng.
Trong sự nghiệp thi đấu, Tấn Trường từng ghi một bàn từ một cú đánh đầu vào lướt Đồng Tâm Long An giúp Đồng Tháp có trận hòa 2-2 ở V-League 2007.
Đức Đồng