title: Schlacht bei Talavera (1809)

text: Um drei Uhr nachmittags erfolgte ein erneuter französischer Angriff durch die Divisionen Lapisse und Sebastiani auf das britische Zentrum und insbesondere auf die Truppen der 1. britischen Infanterie-Division. Alle vier Brigaden warteten bis zum letzten Moment, bis sie auf kürzeste Distanz das Feuer auf die Franzosen eröffneten und dann sofort mit dem Bajonett angriffen. Allein die Verluste durch die geschlossene Salve waren katastrophal auch der badische Generalmajor Heinrich von Porbeck fiel bei dem Angriff. Gegen vier Uhr nachmittags wurde die Division Leval erneut zum Sturmangriff vorgeschickt. Auch diesmal wurden die deutschen Rheinbundtruppen durch Salvenfeuer im Anmarsch dezimiert, dem ein Bajonettangriff in Verbindung mit einer Kavallerieattacke der Spanier ein Ende setzte. Die Division Leval zog sich ungeordnet zurück. Derweil stoppte die Division Sebastiani den von der 1. britischen Infanterie-Division vorgetragenen Angriff. Gemeinsam mit den Resten der Division Lapisse und Reserven gingen die Franzosen alsbald zum Gegenangriff über. Im Rückzug auf Ihre alte Position wehrten sich die britischen Truppen verzweifelt. Ein Zusammenbrechen der britischen Front konnten nur die Reserven der Brigade MacKenzie verhindern, die in die erste Linie gezogen worden waren und sich der Übermacht der Franzosen für fast 45 Minuten nahezu alleine stellten. Nachdem die französischen Truppen zudem von der britischen Kavallerie angegriffen wurden, brach dieser Angriff zusammen. Zu diesem Zeitpunkt hatten sich die britischen Reserven der Brigaden MacKenzie und Donkin auf der einen Seite und die Franzosen andererseits nahezu ausgelöscht. Den Briten gelang es, ihre aufgelöste Infanterie in der zweiten Linie wieder zu sammeln. Der französische Gegenangriff der Division Lapisse verzögerte sich, während die zum Rückzug gezwungenen britischen Bataillone gesammelt wurden. Auf kürzeste Entfernung trugen beide Seiten einen Nahkampf aus, den die Franzosen schließlich verloren gaben, nachdem die französische Division Sebastiani den Rückzug angetreten hatte. Nach vier Uhr nachmittags versuchten die Franzosen, die Höhenzüge nordwärts zu umgehen. Ein Kavallerieangriff der Briten brach allerdings zusammen. Dennoch traten die Franzosen gegen 20 Uhr den Rückzug an, da sie glaubten, an ihren Flanken umgangen worden zu sein.


title: Schlacht bei Talavera (1809)

text: Nachfolgend sind die Gliederung und die gerundete Stärke angegeben:


title: Schlacht bei Talavera (1809)

text: Unter dem Kommando von König Joseph Bonaparte und Marschall Jourdan standen die nachfolgende Truppen:Unter dem Befehl von Sir Arthur Wellesley standen die folgenden Truppen: Unter dem Befehl von General-Kapitän Gregorio García de la Cuesta standen die folgenden Truppen:Die Franzosen hatten mit 7.390 Toten oder Verwundeten die größten Verluste in dieser hart umkämpften Schlacht. Die Zahl der spanischen Verluste waren ca. 1.200 und die der britischen 5.500 Tote und Verwundete. Dies war ungefähr 25 % der britischen Truppen im Vergleich zu 18 % der französischen. Viele der Verwundeten beider Seiten verbrannten, als das trockene Gras auf dem Schlachtfeld Feuer fing. Am nächsten Tag verstärkten 3.000 Mann der leichten Brigaden die britischen Truppen, nachdem sie ihren berühmten Marsch über 68 km in 26 Stunden absolviert hatten. In der Zwischenzeit rückte Marschall Soult nach Süden vor und drohte so, Wellesleys Verbindungen nach Portugal zu unterbrechen. In der Vermutung, dass die Franzosen nur 15.000 Mann stark wären, marschierte Wellesley östlich, um deren Vormarsch abzublocken. Er ließ 1.500 Verwundete unter der Betreuung der Spanier zurück. Überraschend entdeckte er jedoch, dass Soult 30.000 Mann zur Verfügung hatte, und er schickte die leichte Brigade in einem Eilmarsch zur Brücke über den Tagus in Almaraz, die sie knapp vor Soult am 6. August erreichte. Nachdem er so die Kommunikation mit Lissabon gesichert hatte, überlegte Wellesley, seine Truppen erneut mit Cuestas zu vereinen. Aber er musste erkennen, dass die spanischen Alliierten die britischen Verwundeten den Franzosen ausgeliefert hatten und auch sonst unkooperativ waren. Während der folgenden Monate gefährdeten schlecht ausgeführte Aktionen die Stellung der Briten. Außerdem blieben die versprochenen Lebensmittellieferungen der Spanier aus. Dieser Mangel an Nachschub und die Gefahr französischer Verstärkungen (mit der Möglichkeit eines Eintreffens Napoleons) im Frühling führte zu der britischen Entscheidung, sich nach Portugal zurückzuziehen.


title: Schlacht bei Talavera (1809)

text: Nach dieser Schlacht wurde Wellesley mit dem Titel "Viscount Wellington of Talavera" ausgezeichnet.


title: Schlacht bei Talavera (1809)

text: Die angewendete Taktik, leichte Truppen vor einer leicht zu verteidigenden Stellung zu platzieren, während die Hauptmasse hinter einer Hügelkette in sicherer Deckung war, wurde zu Sir Arthur Wellesleys bevorzugtem Kampfstil.


title: Schlacht bei Talavera (1809)

text: Der die Schlacht bei Talavera bildet den Höhepunkt des 1981 veröffentlichten Romans "Sharpe's Eagle" von Bernard Cornwell. 1993 wurde der Roman als Teil der Fernsehserie Die Scharfschützen verfilmt.


title: Vedran Runje

text: Vedran Runje (* 10. Februar 1976 in Sinj) ist ein ehemaliger kroatischer Fußballtorwart.


title: Vedran Runje

text: Runje begann seine Karriere 1996 bei Hajduk Split, war aber nicht in der Lage sich einen Stammplatz zu holen, da der kroatische Nationalmannschaftstorhüter Tonči Gabrić und der jüngere Stipe Pletikosa ihm vorgezogen wurden. Daher verließ er Hajduk Split und wechselte zum belgischen Verein Standard Lüttich.


title: Vedran Runje

text: Bis zum Jahre 2001 spielte er für Standard Lüttich. Dort wurde er auch zweimal "Torwart des Jahres in der belgischen Jupiler League" und zwar in den Jahren 1999 und 2001. Danach wechselte er nach Frankreich zu Olympique Marseille. Dort wurde er als Stammtorwart eingesetzt und erhielt zuerst einen Zweieinhalbjahresvertrag. Er trug einen großen Teil dazu bei, dass Marseille sich für die Saison 2003/04 für die Champions League qualifiziert hatte. Während der Gruppenphase spielte er in 5 von 6 Spielen. Er war bis Dezember 2003 erste Wahl in Marseille, bis im Januar Fabien Barthez zu Olympique Marseille wechselte. Seitdem machte er weder Spiele in der Liga, noch in einem europäischen Wettbewerb.


title: Vedran Runje

text: Im Sommer 2004 kehrte Runje zurück zu Standard Lüttich. Während seiner zweiten Zeit bei Standard erhielt er 2006 noch einmal den Titel "Torwart des Jahres in der belgischen Jupiler League" zugesprochen. Noch im Sommer 2006 wechselte er zum türkischen Topklub Beşiktaş Istanbul. Bei Beşiktaş war er Stammtorwart, machte dort 32 Spiele in der Süper Lig und noch dazu 6 Spiele im UEFA-Cup.


title: Vedran Runje

text: Im Sommer 2007 verließ er Beşiktaş Istanbul und wechselte wieder nach Frankreich, aber diesmal zum RC Lens. Er machte zwar alle 38 Spiele in der Ligue 1 und 6 Spiele im UEFA-Cup, konnte aber nicht verhindern, dass der RC Lens am Ende der Saison als 18. in die Ligue 2 abstieg.


title: Vedran Runje

text: Trotz der Gerüchte, dass Runje den RC Lens im Falle eines Abstiegs verlassen würde, entschied er sich bei Lens zu bleiben. Schließlich feierte am Ende der Saison den Wiederaufstieg in die Ligue 1 und trug einen wesentlichen Teil dazu bei, dass der RC Lens nur ein Jahr in der Ligue 2 spielte.


title: Vedran Runje

text: Als Slaven Bilić als Nationaltrainer der kroatischen Fußballnationalmannschaft seinen Dienst antrat, wurde Vedran Runje der 2. Nationaltorwart hinter seinem ehemaligen Mannschaftskollegen Stipe Pletikosa. Sein erstes Länderspiel machte er zur Qualifikation zur Europameisterschaft 2008 im November 2006 gegen Israel, welches Kroatien mit 4:3 gewinnen konnte. Bei seinem zweiten Länderspiel in der Qualifikation schlug Kroatien im September 2007 die Nationalmannschaft von Andorra mit 7:0. Er bestritt noch zwei Freundschaftsspiele im selben Jahr und zwar gegen Bosnien-Herzegowina und die Slowakei.


title: Vedran Runje

text: Durch gute Spiele im Tor wurde er auch als zweiter Torwart für die Fußball-Europameisterschaft 2008 in Österreich und in der Schweiz nominiert. Dort spielte er das dritte und letzte Gruppenspiel der Kroaten gegen Polen, das Kroatien mit 1:0 gewann. Doch Runje spielte nur, da Kroatien sich schon vorher qualifiziert hatte, nachdem man die Nationalmannschaften von Österreich und Deutschland bezwungen hatte. Im Laufe des Jahres 2008 hatte er sonst nur einen Länderspiel-Auftritt beim Freundschaftsspiel gegen Slowenien, wo er nach 45 Minuten für Stipe Pletikosa eingewechselt wurde.


title: Vedran Runje

text: Im Juni 2009 wurde er dann Stammtorhüter, nachdem Stipe Pletikosa seinen Stammplatz bei seinem Verein Spartak Moskau verlor. Sein erstes Spiel als Stammtorhüter machte er bei der Qualifikation zur Fußball-Weltmeisterschaft 2010 im Heimspiel gegen die Ukraine, das mit einem 2:2-Unentschieden endete. Am 5. September 2009 beim Qualifikationsspiel gegen Belarus zeigte er mehrere gute Paraden und wurde zum Spieler des Spiels gewählt. Ein paar Tage später gegen England zeigte er ebenfalls ein paar gute Paraden, konnte jedoch den vernichtenden 5:1-Sieg der Engländer nicht verhindern. Am 5. Tor der Engländer war er beteiligt, nachdem er einen Rückpass nicht richtig klärte und dadurch Wayne Rooney frei vor seinem Tor stand.


title: .coop

text: .coop ist eine generische Top-Level-Domain (gTLD). Sie wurde am 15. Dezember 2001 eingeführt und wird von der "DotCooperation" mit Sitz in Washington, D.C. verwaltet. Diese ist eine Tochtergesellschaft der sogenannten National Cooperative Business Association, welche die Domain bei der ICANN beantragt hat. Dies geschah im Rahmen der Liberalisierung der Richtlinien für generische Adressen im Jahr 2000.


title: .coop

text: Die Endung .coop ist eine Abkürzung für "cooperatives", zu Deutsch Genossenschaften. Die Top-Level-Domain ist ausschließlich für derartige Gesellschaften gedacht und im Vergleich zu anderen generischen Adressen eher unbedeutend. So meldete die Vergabestelle ein Jahr nach der Einführung nur 30 aktive Webseiten unter der Domain. Am 20. Juni 2003 waren etwa 7.500 Adressen registriert, neuere Zahlen liegen nicht vor.


title: .coop

text: Aufgrund des ausbleibenden Erfolgs wurden die Vergabekriterien für .coop im Laufe der Jahre stark liberalisiert, zuletzt im Jahr 2008. So ist es bezugsberechtigten Genossenschaften seitdem möglich, zum Aufbau von Kategorien zusätzliche Domains zu registrieren. Rabatte bei der Bestellung mehrerer Domains sind ebenfalls ungewöhnlich und durch die Vergabestelle von .coop ausdrücklich vorgesehen. Seit Dezember 2008 werden auch sehr kurze Adressen vergeben, die nur aus einem oder zwei Zeichen bestehen.


title: Niklas Birr

text: Niklas Birr (* 29. Dezember 1974 in Zossen) ist ein ehemaliger deutscher Rallyefahrer.


title: Niklas Birr

text: Birrs Rallyekarriere startete im Jahr 1996. In den folgenden Jahren 1997 und 1998 gewann er jeweils den DD Junior Cup. 2000 wurde er Berlin-Brandenburger Rallyemeister, außerdem belegte er in den Jahren 2000 und 2001 den dritten Platz im ADAC Rallye Junior Cup.


Die Föderale Agentur für Atomenergie Russlands (, "Federalnoje agentstwo po atomnoi energii Rossii"), abgekürzt auch Rosatom (), ist eine föderale Behörde Russlands. Sie leitet die zivile und militärische Atomindustrie des Landes und kontrolliert 151 Produktions- und Forschungsstätten des atomaren Bereiches. Nach Schätzungen von Experten des Europaparlamentes kontrolliert die Agentur 98 Prozent des nuklearen Materials in Russland. Sie hat ihren Sitz in der Hauptstadt Moskau. Rosatom untersteht direkt der russischen Regierung.


Das Ministerium für Atomenergie der Russischen Föderation (, abgekürzt Minatom, ) wurde am 29. Januar 1992 als Nachfolger des entsprechenden sowjetischen Ministeriums für Nukleartechnik und Nuklearindustrie gegründet. Es wurde am 9. März 2004 in die Föderale Agentur für Atomenergie Russlands umgewandelt.


title: Föderale Agentur für Atomenergie Russlands

text: Jewgeni Adamow leitete die Behörde von 1998 bis 2001 und wurde wegen Korruptionsverdachts 2001 von Wladimir Putin entlassen. Sein Nachfolger war Alexander Rumjanzew. Von 2005 bis September 2016 leitete Sergei Kirijenko die Behörde. Seit Oktober 2016 ist Alexej Lichatschow Generaldirektor der Behörde.


text: Die Behörde leitet - für westliche Verhältnisse eher ungewöhnlich - sowohl den zivilen als auch den militärischen Bereich der Atomenergie. Ihr unterstehen Forschungszentren, Institute und Unternehmen, die sich mit der Planung, Herstellung und Wartung von Kernwaffen beschäftigen. Sie ist auch für die Entsorgung atomarer Stoffe im militärischen Bereich zuständig und ist verantwortlich für die geschlossenen Städte innerhalb der militärischen Atomwirtschaft.


text: Rosatom leitet unter anderem die Firmen:


text: Die russischen Nuklearexporte belaufen sich auf umgerechnet rund 3,5 Milliarden US-Dollar pro Jahr, so erklärte ein Vertreter der Agentur im September 2005. Ein Großteil werde erzielt durch den Bau von Kernkraftwerken im Iran, in Indien und China, sowie die Lieferung von atomarem Brennstoff nach Osteuropa.


text: In China engagiert sich Rosatom am Kernkraftwerk Tianwan.


text: Im November 2014 haben Rosatom und der Iran beschlossen, vier neue Reaktoren am Persischen Golf im Kernkraftwerk Buschehr zu errichten und vier weitere an einem noch nicht festgelegten Ort.


text: Im Dezember 2014 einigten sich Rosatom und Indien für die kommenden 20 Jahre auf den Bau von mindestens 12 Reaktoren in mindestens zwei Kraftwerken. Weiterhin wurden Kooperationen in Drittländern vereinbart.


text: Am 14. Januar 2014 hat Rosatom mit dem staatlichen ungarischen Energieversorgungsunternehmen MVM einen Vertrag über den Bau von zwei Reaktorblöcken am Kernkraftwerk Paks unterzeichnet. Die beiden Reaktorblöcke sollen eine Leistung von jeweils ca. 1200 Megawatt besitzen. Mit der Fertigstellung wird für das Jahr 2023 gerechnet. Da es sich lediglich um eine Modernisierung und Erweiterung in Ungarn handelt konnte die Genehmigungspflicht aus Brüssel umgangen werden. Die Gesamtkosten von 12 Milliarden Euro werden zu 80 Prozent durch russische Kredite mit einer Kreditlaufzeit bis 2045 finanziert.


text: Sergei Kirijenko sprach sich im Juni 2006 für die Gründung eines landesweiten Atomkonzerns aus. Russland müsse mit transnationalen Konzernen wie Toshiba und Siemens konkurrieren können. Als Vorbild nannte er den russischen Gasmonopolisten Gazprom; der neue Konzern könne den Namen "Atomprom" tragen. Er erteilte der Privatisierung der Atomindustrie eine deutliche Absage. Im zivilen Bereich werde man Aktiengesellschaften gründen, aber mit hundertprozentiger Beteiligung des Staates.


text: Bereits im Februar 2006 hatte die Agentur erklärt, sie wolle bis zum Jahr 2030 insgesamt 40 neue Kernreaktoren bauen. Dies würde Investitionen in Höhe von umgerechnet rund 60 Milliarden US-Dollar erfordern. Damit will man den Anteil des Atomstroms von zurzeit 17 bis 18 Prozent auf rund 25 Prozent im Jahr 2030 anheben. Kirijenko sagte, ab 2007 bis 2015 wolle Russland jährlich zwei neue Reaktoren bauen. Ab 2012 sollen bis 2020 jährlich zwei Reaktoren den Leistungsbetrieb aufnehmen. Bestehende Anlagen sollten modernisiert werden. Russland arbeite an der Entwicklung neuer Reaktoren, die in puncto Sicherheit mit westlichen Reaktoren vergleichbar sein sollen. Die russische Agentur für Atomenergie setzt auch auf die Einführung von schnellen Brutreaktoren. Nach Angaben der Germany Trade and Invest ist die Finanzierung der Investitionen allerdings noch nicht gesichert.


text: Neben der Kernenergie setzt Rosatom inzwischen auch auf den Ausbau der Windenergie. Hierfür wurde 2017 eine Subunternehmen mit dem Namen "SC NovaWind" gegründet. So soll z. B. bis 2021 ein Windpark mit 450 MW Leistung errichtet werden.


title: AAY

text: Die Abkürzung AAY steht für:


title: .arpa

text: Die Domain arpa ist eine Top-Level-Domain im Domain-Name-System (DNS) des Internets. Sie wird exklusiv für technische Infrastrukturzwecke benutzt. Obwohl der Name ursprünglich ein Akronym für die "Advanced Research Projects Agency" (ARPA) war, die Forschungsbehörde in den Vereinigten Staaten, welche den Vorgänger des Internets (ARPANET) entwickelte, steht er nun für Address and Routing Parameter Area (Address- und Routing-Parameter-Bereich).


title: .arpa

text: codice_1 enthält neben anderen auch die Domains codice_2 und codice_3, welche jeweils bei reverse DNS lookups von IPv4- beziehungsweise IPv6-Adressen benutzt werden.


title: .arpa

text: Die codice_1 Top-Level-Domain war die erste Domain, die im Domain Name System (DNS) eingerichtet wurde. Ursprünglich war sie als temporäre Domain vorgesehen, um den Übergang von den ARPANET-Hostnamen-Konventionen auf die Hosttabellen-Distributionsmethoden des DNS zu erleichtern. Das ARPANET war der Vorgänger des Internets, welches durch die Advanced Research Projects Agency (ARPA) des Verteidigungsministeriums der Vereinigten Staaten bereitgestellt wurde. Als das Domain-Name-System 1985 eingeführt wurde, wurden ARPANET-Hostnamen anfänglich in DNS-basierte Namen umgewandelt, indem das codice_1-Domain-Label an das Ende des existierenden Hostnamens angefügt wurde, durch einen Punkt separiert. Diese Form von Domainnamen wurde daraufhin rapide ausgemustert, indem sie durch die neu vorgestellten kategorisierten Top-Level-Domains ersetzt wurden.


title: .arpa

text: Nachdem codice_1 seinem Übergangszweck gedient hat, stellte sich heraus, dass es unpraktikabel ist, die Domain zu löschen, da in-addr.arpa für die Invertierte DNS Suche von IP-Adressen benutzt wurde. Beispielsweise wird die Zuordnung der IP-Adresse 145.97.39.155 zu einem Hostnamen bewerkstelligt, indem eine DNS-Abfrage für einen Pointer des Domainnames 155.39.97.145.in-addr.arpa ausgeführt wird.


title: .arpa

text: Es war vorgesehen, dass neue Infrastrukturdatenbanken in der Top-Level-Domain codice_7 erstellt werden. Jedoch wurde im Mai 2000 diese Vorgabe aufgehoben und es wurde entschieden, dass codice_1 zu diesem Zweck erhalten bleiben soll. codice_7 sollte ausschließlich von internationalen Organisationen genutzt werden. In Übereinstimmung mit dieser neuen Vorgabe steht codice_1 nun für "Address and Routing Parameter Area" (ein Backronym).


title: .arpa

text: Folgende Second-Level-Domains sind derzeit aktiv:


title: Yerington

text: Yerington ist Verwaltungssitz des Lyon County im US-Bundesstaat Nevada. Im Jahr 2017 lebten nach Schätzungen der Stadt Yerington 3176 Einwohner in der Stadt. Die Stadt ist nach Henry Marvin Yerington († 1910) benannt, der zwischen 1868 und 1910 Superintendent der Virginia and Truckee Railroad war.


title: Yerington

text: Yerington besitzt drei Parks, "Mountain View Park", "Soroptomist Park" und den "Veteran Park". Außerdem besitzt Yerington einen eigenen Flughafen.


title: Yerington

text: "Darcy Farrow", ein Folksong von Steve Gillette und Tom Campbell erwähnt Yerington und andere Stellen in der Gegend, etwa Virginia City, das Carson Valley und den Truckee River. Die bekannteste Version des Liedes wurde von John Denver interpretiert.


title: Yerington

text: Yeringtons geographische Koordinaten sind .


title: Yerington

text: Nach den Angaben des United States Census Bureaus hat die Stadt eine Fläche von 4,4 km², die vollständig auf Land entfällt.


title: Yerington

text: Zum Zeitpunkt des United States Census 2000 bewohnten Yerington 2883 Personen. Die Bevölkerungsdichte betrug 654,8 Personen pro km². Es gab 1359 Wohneinheiten, durchschnittlich 308,7 pro km². Die Bevölkerung Yeringtons bestand zu 84,53 % aus Weißen, 0,17 % Schwarzen oder African American, 6,24 % Native American, 0,38 % Asian, 5,79 % gaben an, anderen Rassen anzugehören und 2,88 % nannten zwei oder mehr Rassen. 15,44 % der Bevölkerung erklärten, Hispanos oder Latinos jeglicher Rasse zu sein.


title: Yerington

text: Die Bewohner Yeringtons verteilten sich auf 1203 Haushalte, von denen in 27,7 % Kinder unter 18 Jahren lebten. 46,1 % der Haushalte stellten Verheiratete, 10,2 % hatten einen weiblichen Haushaltsvorstand ohne Ehemann und 39,4 % bildeten keine Familien. 35,0 % der Haushalte bestanden aus Einzelpersonen und in 19,6 % aller Haushalte lebte jemand im Alter von 65 Jahren oder mehr alleine. Die durchschnittliche Haushaltsgröße betrug 2,29 und die durchschnittliche Familiengröße 2,97 Personen.


title: Yerington

text: Die Stadtbevölkerung verteilte sich auf 24,7 % Minderjährige, 8,1 % 18–24-Jährige, 22,2 % 25–44-Jährige, 19,4 % 45–64-Jährige und 15,3 % im Alter von 65 Jahren oder mehr. Das Durchschnittsalter betrug 41 Jahre. Auf jeweils 100 Frauen entfielen 99,1 Männer. Bei den über 18-Jährigen entfielen auf 100 Frauen 92,7 Männer.


title: Yerington

text: Das mittlere Haushaltseinkommen in Yerington betrug 31.151 US-Dollar und das mittlere Familieneinkommen erreichte die Höhe von 39.038 US-Dollar. Das Durchschnittseinkommen der Männer betrug 25.724 US-Dollar, gegenüber 24.550 US-Dollar bei den Frauen. Das Pro-Kopf-Einkommen in Yerington war 18.640 US-Dollar. 17,9 % der Bevölkerung und 12,6 % der Familien hatten ein Einkommen unterhalb der Armutsgrenze, davon waren 26,2 % der Minderjährigen und 12,3 % der Altersgruppe 65 Jahre und mehr betroffen.


title: Yerington

text: Viele der Einwohner der Stadt haben europäische Wurzeln. Nach den Angaben bei der Volkszählung sind dies zu:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Krummlinige Koordinaten sind Koordinatensysteme auf dem euklidischen Raum formula_1, bei denen die Koordinatenlinien gekrümmt sein können und die diffeomorph zu kartesischen Koordinaten sind. Das heißt, die Transformation zwischen kartesischen Koordinaten und krummlinigen Koordinaten muss lokal invertierbar sein, wobei die Abbildung wie auch die Umkehrabbildung stetig differenzierbar sein müssen.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die am häufigsten verwendeten krummlinigen Koordinatensysteme, die beide zu den orthogonalen Koordinatensystemen zählen, sind:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Je nach Problemstellung sind Berechnungen in krummlinigen Koordinatensystemen einfacher als in kartesischen durchzuführen. Zum Beispiel sind physikalische Systeme mit Radialsymmetrie oft einfacher in Kugelkoordinaten zu behandeln.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Folgende Ausführungen beziehen sich speziell auf den dreidimensionalen euklidischen Raum, vieles davon lässt sich jedoch auf den formula_2-dimensionalen Fall erweitern.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Koordinaten eines Punktes im formula_2-dimensionalen Raum sind ein Tupel aus formula_2 reellen Zahlen, die bezüglich eines speziellen Koordinatensystems bestimmt werden. Im Folgenden werden für einen Punkt die Koordinaten in zwei verschiedenen Koordinatensystemen betrachtet.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die kartesischen Koordinaten formula_5 lassen sich als stetig differenzierbare Funktionen neuer Koordinaten formula_6 schreiben (direkte Transformation):


title: Krummlinige Koordinaten

text: Dies stellt ein Gleichungssystem dar, das invertierbar (also nach den formula_6 auflösbar) ist (inverse Transformation)


title: Krummlinige Koordinaten

text: wenn die inverse Funktionaldeterminante ungleich null oder unendlich ist:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die inverse Transformation muss ebenso wie die direkte Transformation stetig differenzierbar sein.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Für die Punkte, in denen die Transformation umkehrbar eindeutig ist, heißt die Transformation regulär, sonst singulär. Dann gilt: Ist ein Punkt formula_15 mit den kartesischen Koordinaten formula_16 gegeben, so können mit Hilfe der inversen Transformation eindeutig die Koordinaten formula_17, die krummlinigen Koordinaten von formula_15, berechnet werden. Jeder reguläre Punkt des Raums kann eindeutig sowohl durch die formula_19 als auch äquivalent durch die formula_20 beschrieben werden.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Ein Satz von Transformationsgleichungen mit den oben beschriebenen Eigenschaften zusammen mit einem kartesischen Koordinatensystem definiert ein krummliniges Koordinatensystem.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Begriffe Koordinatenflächen, -linien und -achsen werden im Folgenden anhand des dreidimensionalen Raums anschaulich erläutert.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Koordinatenflächen erhält man, indem jeweils eine Koordinate festgehalten (formula_21) und die beiden anderen variiert werden.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Durch jeden nicht-singulären Punkt geht genau eine Fläche jeder Flächenschar formula_21.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Koordinatenlinien erhält man, indem jeweils zwei Koordinaten festgehalten (formula_25 mit formula_26) und die dritte variiert wird, d. h. als Schnittmenge zweier Koordinatenflächen für unterschiedliche Koordinaten.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Obige Bedingung für die Funktionaldeterminante bedeutet, dass in jedem Punkt des 3-dimensionalen Raumes sich nur 3 Koordinatenlinien schneiden dürfen, da sonst dieser Punkt keine eindeutigen Koordinaten besitzt (Funktionaldeterminante gleich null).


title: Krummlinige Koordinaten

text: Als Beispiel für eine Uneindeutigkeit zählt die formula_29-Achse bei Kugelkoordinaten, an der sich alle formula_30 Ebenen (formula_31 ist der Azimutwinkel) schneiden; somit sind die Koordinaten von Punkten auf der formula_29-Achse nicht eindeutig (formula_33, aber formula_34 beliebig). Solche Punkte heißen singuläre Punkte der Transformation.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Schneiden sich die Koordinatenlinien unter rechten Winkeln, so heißt das Koordinatensystem orthogonal.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Koordinatenachsen sind als Tangenten an die Koordinatenlinien definiert. Da die Koordinatenlinien im Allgemeinen gekrümmt sind, sind die Koordinatenachsen nicht räumlich fest, wie es für kartesische Koordinaten gilt. Dies führt auf das Konzept der lokalen Basisvektoren, deren Richtung vom betrachteten Raumpunkt abhängt – im Gegensatz zu globalen Basisvektoren der kartesischen oder affinen Koordinaten.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Um einen Vektor mittels Koordinaten darstellen zu können, ist eine Basis nötig. Im formula_2-dimensionalen Raum besteht diese aus formula_2 linear unabhängigen Vektoren, den Basisvektoren. Jeder beliebige Vektor kann als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden, wobei die Koeffizienten der Linearkombination die Komponenten des Vektors genannt werden.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Für echt krummlinige (also nicht-geradlinige) Koordinaten variieren Basisvektoren und Komponenten von Punkt zu Punkt, weshalb die Basis als "lokale Basis" bezeichnet wird. Die Ortsabhängigkeit eines Vektorfeldes verteilt sich auf die Koordinaten sowie auf die Basisvektoren. Im Gegensatz dazu zeichnen sich globale Basen dadurch aus, dass die Basisvektoren in jedem Punkt identisch sind, was nur für lineare bzw. affine Koordinaten (die Koordinatenlinien sind geradlinig, aber im Allgemeinen schiefwinklig) möglich ist. Die Ortsabhängigkeit eines Vektorfeldes steckt bei geradlinigen Koordinatensystemen allein in den Koordinaten.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Um Basisvektoren mit einem Koordinatensystem zu verknüpfen gibt es zwei gebräuchliche Methoden:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die beiden Klassen von Basisvektoren sind dual bzw. reziprok zueinander. Diese beiden Basen bezeichnet man als holonome Basen. Sie unterscheiden sich in ihrem Transformationsverhalten unter Koordinatenwechsel. Dabei sind die Transformationen invers zueinander.


title: Krummlinige Koordinaten

text: An jedem Punkt der betrachteten Mannigfaltigkeit existieren gleichzeitig beide Basen. Somit kann ein beliebiger Vektor als Linearkombination entweder der kovarianten Basisvektoren oder der kontravarianten Basisvektoren dargestellt werden. Dabei werden stets kontravariante Koordinaten formula_37 mit kovarianten Basisvektoren formula_38 kombiniert und kovariante Koordinaten formula_39 mit kontravarianten Basisvektoren formula_40.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Diese kreuzweise Paarung (kontra-ko bzw. ko-kontra) sorgt dafür, dass der Vektor formula_42 unter Koordinatentransformation invariant ist, da die Transformationen von Koordinaten und Basisvektoren invers zueinander sind und sich gegenseitig aufheben. Diese Eigenschaft ist für den Begriff eines Vektors in der Physik essentiell: In der Physik müssen Gesetzmäßigkeiten unabhängig vom speziellen Koordinatensystem gelten. Aus physikalischer Sicht muss ein Vektor, der z. B. die Geschwindigkeit eines Teilchens beschreibt, unabhängig vom gewählten Koordinatensystem sein.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Man spricht von einem kontravarianten Vektor (besser: kontravarianter Koordinatenvektor), wenn die Koordinaten kontravariant und die Basisvektoren kovariant sind. Analog spricht man von einem kovarianten Vektor, wenn die Koordinaten kovariant und die Basisvektoren kontravariant sind.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die kovarianten Basisvektoren schmiegen sich in jedem Punkt tangential an die Koordinatenlinien an.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Tangenteneinheitsvektoren an die Koordinatenlinien bilden eine Basis, bestehend aus kovarianten Basisvektoren:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Diese Einheitsvektoren haben im Allgemeinen eine vom Ort abhängige Richtung formula_44.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Man definiert die "Maßstabsfaktoren" formula_45 durch


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die unnormierten Vektoren bilden die "natürliche Basis", aus der man durch Normierung die "unitäre Basis" erhält (Einheitsvektoren). Die Vektoren der natürlichen Basis werden hier mit formula_48 bezeichnet, die Vektoren der normierten Basis durch formula_49.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Mit der neuen Basis lassen sich nun alle Vektoren formula_42 durch die Basisvektoren der kovarianten Basis formula_52 (normiert) bzw. formula_38 (unnormiert = natürliche Basisvektoren) ausdrücken:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Dabei ist formula_37 bzw. formula_56 die (kontravariante) Vektorkomponente, die in Richtung der formula_57-Koordinatenlinie zeigt, formula_37 bezüglich der normierten Basis und formula_56 bezüglich der natürlichen Basis. In der Tensoranalysis wird formula_56 mit hochgestelltem Index formula_61 geschrieben.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Länge einer Vektorkomponente formula_62 entspricht im Fall der normierten Basis dem Betrag der Koordinate formula_37, im Fall der natürlichen Basis dem Produkt aus dem Betrag der Koordinate formula_56 und der Länge des Basisvektors formula_38:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Beschreibt ein Vektor eine physikalische Größe, so steckt im unnormierten Fall nicht nur die Länge, sondern auch die physikalische Dimension teils in den Koordinaten und teils in den natürlichen Basisvektoren, was bei konkreten Rechnungen umständlich sein kann. Bei normierter Basis hingegen ist die physikalische Dimension rein auf die Koordinate beschränkt. Die Koordinaten formula_37 heißen deshalb "physikalische Koordinaten" und die normierten Basisvektoren formula_52 heißen auch "physikalische Basisvektoren".


title: Krummlinige Koordinaten

text: Zur Abgrenzung heißen die Koordinaten formula_56 deshalb "holonome Koordinaten" und die natürlichen Basisvektoren formula_38 heißen auch "holonome Basisvektoren" oder einfach "kontravariante Koordinaten" und "kovariante Basisvektoren".


title: Krummlinige Koordinaten

text: Aus der Definition der natürlichen Basisvektoren folgt für die Transformation von den Koordinaten formula_71 nach formula_72 die einfache Transformationsformel:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die natürlichen Basisvektoren zeigen ein sehr einfaches Transformationsverhalten. Für die normierten Basisvektoren enthält die Transformationsformel zusätzliche Faktoren formula_45:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Ein beliebiger Vektor formula_42 muss sowohl in den alten, wie auch den neuen Koordinaten darstellbar sein:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Somit erhält man das Transformationsverhalten der Koordinaten:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Während die Transformation der (kovarianten) Basisvektoren mittels der Jacobi-Matrix formula_79 durchzuführen ist, muss bei der Transformation der (kontravarianten) Koordinaten die inverse Jacobi-Matrix formula_80 angewandt werden.


title: Krummlinige Koordinaten

text: In der Tensoranalysis definiert man einen Vektor über obiges Transformationsverhalten. Insofern ist der Ortsvektor formula_81 selbst kein Vektor, das Ortsvektordifferential formula_82 aber schon.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Jacobi-Matrix der Koordinatentransformation von kartesischen in krummlinige Koordinaten ist identisch mit der Matrix, die von den natürlichen Basisvektoren als Spalten gebildet wird:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Bedingung formula_84 für die inverse Funktionaldeterminante lässt sich anhand folgender Beziehung erklären:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Dies entspricht einer inhomogenen linearen Gleichung formula_86 für den Vektor formula_87. D. h. die Unbekannten formula_88 sind die Basisvektoren der krummlinigen Koordinaten formula_89. Das Gleichungssystem ist nur dann eindeutig lösbar, wenn der Kern der Matrix formula_90 nulldimensional ist bzw. die Zeilen- oder Spaltenvektoren linear unabhängig sind. Dies ist dazu äquivalent, dass die Determinante formula_91 ungleich Null ist. Dann sind die Unbekannten eindeutig bestimmt, d. h. an jedem Punkt existiert genau eine definierte Basis formula_89.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Analog entspricht die duale Basis formula_93 einer Matrix, die genau das Inverse der obigen Matrix ist.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Skalarprodukte zwischen den natürlichen Basisvektoren definieren die Komponenten des metrischen Tensors bzw. Fundamentaltensors formula_94:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Man beachte, dass der metrische Tensor wegen der Kommutativität des Skalarprodukts symmetrisch ist:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Wegen dieser Symmetrie hat der metrische Tensor formula_97 unabhängige Elemente (statt formula_98), im Dreidimensionalen also 6 Koeffizienten.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Der metrische Tensor lässt sich als Produkt der Jacobi-Matrix und ihrer Transponierten schreiben:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Größen formula_100 nennt man Metrik- bzw. Maßkoeffizienten, da diese benötigt werden, um die Länge eines Vektors aus den kontravarianten Koordinaten formula_101 zu berechnen. Hierzu sind die Maßstabsfaktoren nötig.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Maßstabsfaktoren formula_45 sind durch die Diagonalelemente formula_103 gegeben, da formula_104 gilt:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Determinante des metrischen Tensors wird Gramsche Determinante formula_94 genannt:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Aus formula_108 folgt, dass der Betrag der Determinante der Jacobi-Matrix (also der Funktionaldeterminante) gleich der Wurzel der Gramschen Determinante sein muss. Oder anders geschrieben, dass


title: Krummlinige Koordinaten

text: wobei das Vorzeichen von der Orientierung der Basis abhängt. Die Determinante aus den normierten Basisvektoren ergibt (aufgrund der Multilinearität von Determinanten):


title: Krummlinige Koordinaten

text: Für die Inverse formula_111 des metrischen Tensors gilt nach der Cramerschen Regel


title: Krummlinige Koordinaten

text: wobei formula_113 die Adjunkte (die Transponierte der Kofaktormatrix, deren Einträge die vorzeichenbehafteten Unterdeterminanten sind) und formula_94 die Gramsche Determinante bezeichnet. Aus dem Laplace'schen Entwicklungssatz folgt


title: Krummlinige Koordinaten

text: folgt für den inversen metrischen Tensor:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Schneiden sich im formula_2-dimensionalen Raum an jedem Raumpunkt die formula_2 Koordinatenlinien paarweise senkrecht, so spricht man von einem "orthogonalen Koordinatensystem". Die Einheitsvektoren formula_52 bilden also eine orthonormale Basis des formula_120:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Für die natürlichen Basisvektoren gilt:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Somit ist für orthogonale Basisvektoren der metrische Tensor diagonal.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Der inverse metrische Tensor ist für orthogonale Koordinaten gleich:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Gramsche Determinante vereinfacht sich für orthogonale Koordinaten zu:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Für die Determinanten aus natürlichen bzw. normierten Basisvektoren gilt hier:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Bilden die orthonormalen Basisvektoren eine rechtshändige Basis (positive Orientierung), gelten folgende Beziehungen:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Ausgeschrieben:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Für allgemeine krummlinige Koordinaten sind die Koordinatenlinien gekrümmt und die Basisvektoren variieren von Punkt zu Punkt. Beim Spezialfall der geradlinigen, aber durchaus schiefwinkligen, Koordinatensystemen sind die Koordinatenlinien gerade und die Basisvektoren somit ortsunabhängig. Die Koordinatenflächen sind Ebenen, eine Schar von Koordinatenflächen bilden parallele Ebenen.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Transformationsgleichungen lassen sich in diesem Fall schreiben als:


title: Krummlinige Koordinaten

text: wobei die formula_135 und formula_136 konstant sind. Die Jacobi-Matrix formula_137 entspricht dabei der Transformationsmatrix formula_138. Somit entsprechen die natürlichen Einheitsvektoren formula_38 der formula_140-ten Spalte der Matrix formula_138.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Als Beispiel eines geradlinigen, schiefwinkligen Koordinatensystems wird ein Minkowski-Diagramm mit zwei Bezugssystemen betrachtet, die sich gleichförmig zueinander mit der Geschwindigkeit formula_142 bewegen. Über formula_143 hängen die Größen relative Geschwindigkeit formula_144, Rapidität formula_145 und Winkel formula_146 mit den Wertebereichen mit formula_147 und formula_148 sowie formula_149 zusammen. Die Lorentz-Transformation transformiert die Bezugssysteme ineinander formula_150:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Da die Koordinatentransformation linear ist, gilt: formula_152. Die natürlichen Basisvektoren in formula_6 Richtung lauten in kartesischen Koordinaten:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Interpretiert man das Minkowski-Diagramm euklidisch (Verwendung des Standardskalarprodukts und nicht des Minkowski-Skalarprodukts) erhält man den metrischen Tensor


title: Krummlinige Koordinaten

text: und die Gramsche Determinante


title: Krummlinige Koordinaten

text: Da für formula_157 Nebendiagonalelemente auftreten, bilden die formula_20 Koordinatenlinien keinen rechten Winkel:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Da für formula_157 die Diagonalelemente ungleich Eins sind, sind die natürlichen Basisvektoren formula_38 keine Einheitsvektoren, d. h. der Maßstab auf den gekippten formula_57 Koordinatenlinien ist gestreckt:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Nebenbemerkung: Mit dem Skalarprodukt der speziellen Relativitätstheorie formula_164, wobei formula_165 die nichteuklidische Minkowski-Metrik ist, erhält man die Invarianz des Skalarprodukts formula_166 unter Lorentz-Boosts.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die kontravarianten Basisvektoren stehen an jedem Punkt senkrecht auf den Koordinatenflächen. Sie sind dual zu den kovarianten Basisvektoren. Die kontravarianten Komponenten eines Vektors lassen sich durch Projektion auf kontravariante Basisvektoren erhalten.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Vektorkomponente formula_37 (kontravariante Komponente) des Vektors formula_168 lässt sich für eine orthonormale Basis (formula_169) einfach durch folgende Projektion bestimmen:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Bei nicht orthogonalen Koordinatensystemen (schiefwinklig) erhält man durch die Projektion formula_171 eines Vektors auf einen kovarianten Basisvektor die kovariante Komponente formula_39 (kovariante Komponente – in der Tensoranalysis mit tiefgestelltem Index geschrieben formula_173) und nicht die kontravariante Komponente formula_37, da hier die Relation formula_169 nicht gilt, bzw. der metrische Tensor nicht diagonal ist. Hierzu benötigt man das Konzept des Dualraums und der dualen Basis.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Der Dualraum formula_176 zum Vektorraum formula_177 der Tangentialvektoren wird gebildet aus den linearen Funktionalen (auch 1-Formen), die Vektoren in den darunterliegenden Körper abbilden: formula_178. Eine Basis des Dualraums formula_176 sind die dualen Basisvektoren zu formula_177. Diese sind so definiert, dass formula_181 gilt.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Weiterhin definiert man folgende Bilinearform, die sog. duale Paarung: formula_182. Damit lässt sich die Wirkung dualer Basisvektoren formula_183 auf Basisvektoren formula_184 schreiben als:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Für endlichdimensionale formula_177 ist formula_176 isomorph zu formula_177, also formula_189. In euklidischen Räumen formula_1 (dem formula_120 mit dem Standardskalarprodukt) lässt sich die duale Paarung mit dem Skalarprodukt


title: Krummlinige Koordinaten

text: identifizieren und somit duale Vektoren ebenfalls als Vektoren darstellen (hier gilt: formula_193 und formula_194 sowie formula_195).


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die duale Basis ist also so definiert, dass für das Skalarprodukt aus Basisvektoren formula_196 (kovariante Basisvektoren) und dualen Basisvektoren formula_197 (kontravariante Basisvektoren) gilt (hier für die normierten Basisvektoren formula_196):


title: Krummlinige Koordinaten

text: Bzw. analog für die natürlichen Basisvektoren formula_200 und deren duale Basisvektoren formula_201:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Für die natürlichen Basisvektoren formula_200 und deren duale Basisvektoren formula_197 gilt in Matrixnotation:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Da die Matrix mit den kovarianten Basisvektoren als Spaltenvektoren der Jacobi-Matrix entspricht formula_206, muss folglich die Matrix mit den kontravarianten Basisvektoren als Zeilenvektoren der inversen Jacobi-Matrix entsprechen:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Um die dualen Basisvektoren zu erhalten, muss somit die Inverse der Jacobi-Matrix bestimmt werden.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Gramsche Determinante der kontravarianten Basisvektoren muss dem Inversen der Determinante der kovarianten Basisvektoren entsprechen:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Mit der neuen Basis lassen sich nun alle Vektoren formula_42 durch die Basisvektoren der kontravarianten Basis formula_210 (normiert) bzw. formula_211 (unnormiert = natürliche Basisvektoren) ausdrücken:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Dabei ist formula_213 bzw. formula_214 die (kovariante) Vektorkomponente, die in Richtung der Normale der formula_57-Koordinatenfläche zeigt. In der Tensoranalysis wird formula_214 mit tiefgestelltem Index geschrieben.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die kontravariante Komponente formula_37 eines Vektors formula_218 erhält man durch Projektion auf den dualen Basisvektor formula_197 (kontravariante Basis – in der Tensoranalysis mit hochgestelltem Index geschrieben formula_220).


title: Krummlinige Koordinaten

text: Bei orthonormalen Basisvektoren stimmen ko- und kontravariante Basisvektoren überein und ebenso ko- und kontravariante Komponenten eines Vektors.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Allgemein lässt sich ein beliebiger Vektor über kontra- oder kovariante Basisvektoren darstellen:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Somit werden kontravariante Komponenten mit kovarianten Basisvektoren oder kovariante Komponenten mit kontravarianten Basisvektoren kombiniert. Diese Eigenschaft führt auf die Invarianz der Vektoren unter einem Wechsel des Koordinatensystems.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Multiplikation auf beiden Seiten mit formula_200 liefert


title: Krummlinige Koordinaten

text: Somit lassen sich mit Hilfe des metrischen Tensors formula_225 und seiner Inversen formula_226 kontravariante Komponenten formula_37 in kovariante formula_228 und umgekehrt überführen (in Tensorsprache: Heben und Senken von Indizes).


title: Krummlinige Koordinaten

text: Bei orthogonalen Koordinaten stimmen in der normierten Form Basisvektoren und duale Basisvektoren überein. Für die natürliche Basis bedeutet dies, dass zwei zueinander duale Basisvektoren kollinear sind, d. h. der eine ist ein Vielfaches (Faktor formula_229) des anderen:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Somit stimmen die Komponenten bzgl. der normierten Basis ebenfalls überein:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die dualen Basisvektoren lassen sich im dreidimensionalen über Kreuzprodukte der Basisvektoren geteilt durch deren Spatprodukt formula_232 bzw. formula_233 ausdrücken:


title: Krummlinige Koordinaten

text: In kompakter Notation für die normierten Basisvektoren


title: Krummlinige Koordinaten

text: bzw. für die natürlichen Basisvektoren:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Während die (kovarianten) Basisvektoren tangential an die Koordinatenlinien sind, stehen die dualen (kontravarianten) Basisvektoren senkrecht auf den Koordinatenflächen. Beispiel: Während die Vektoren formula_237 und formula_238 in der formula_239 Koordinatenfläche liegen, steht formula_240 senkrecht auf dieser.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Umgekehrt lassen sich die kontravarianten Basisvektoren im dreidimensionalen über Kreuzprodukte der kovarianten Basisvektoren geteilt durch deren Spatprodukt formula_241 bzw. formula_242 ausdrücken:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Bilden die kovarianten Basisvektoren ein Rechtssystem (Funktionaldeterminante positiv), dann bilden auch die kontravarianten Basisvektoren ein Rechtssystem (inverse Funktionaldeterminante positiv). Das Produkt aus den beiden Determinanten muss nämlich Eins ergeben.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Als Beispiel eines geradlinigen, schiefwinkligen Koordinatensystems dient, als Fortsetzung des obigen Beispiels, ein Minkowski-Diagramm. Die Lorentz-Transformation war gegeben durch formula_150, somit lautet die inverse Transformation: formula_246:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Da die Koordinatentransformation linear ist, gilt: formula_248. Somit lauten die dualen Einheitsvektoren in kartesischen Koordinaten:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Diese erfüllen die Dualitätsbedingungen: Orthogonalität für formula_250 und formula_251 sowie Normierung für formula_252 und formula_253.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Tensoren formula_2-ter Stufe lassen sich allgemein als formula_2-faches Tensorprodukt von Vektoren darstellen:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Das tensorielle Produkt von Vektoren ist nicht kommutativ, sodass die Reihenfolge der (Basis-)Vektoren nicht vertauscht werden darf.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Dabei sind Skalare (Funktionen der Koordinaten formula_20 in den Grundkörper, also formula_258, die unter Koordinatentransformation ihren Funktionswert an jedem Punkt nicht ändern formula_259) Tensoren nullter Stufe und Vektoren sind Tensoren erster Stufe.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Da sich Vektoren auf zwei verschiedene Arten, nämlich kovariant bzw. kontravariant, darstellen lassen, gibt es für einen Tensor formula_2-ter Stufe formula_261 Darstellungsmöglichkeiten. Durch die Darstellung mittels Vektoren werden die Eigenschaften des Vektors auf Tensoren vererbt. So lassen sich z. B. mit Hilfe des metrischen Tensors Indizes heben und senken, d. h. ko- in kontravariante Komponenten bzw. umgekehrt überführen. Tensoren, die sich durch Heben und Senken (also innere Produkte mit dem metrischen Tensor) ergeben, heißen assoziierte Tensoren. Ebenso wird das Transformationsverhalten von Vektoren für Tensoren übernommen, d. h. kovariante Anteile eines Tensors transformieren sich wie kovariante Vektoren, also mittels der Jacobi-Matrix, und kontravariante Anteile mit der inversen Jacobi-Matrix, wie bei kontravarianten Vektoren.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Ein Tensor zweiter Stufe kann auf vier verschiedenen Arten dargestellt werden:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die vier Fälle sind: (rein) kontravariant, (rein) kovariant, gemischt kontra-kovariant, gemischt ko-kontravariant.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Der Einheitstensor, definiert durch formula_263, ist gegeben durch:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Das Skalarprodukt zweier Vektoren in krummlinigen Koordinaten ist gegeben durch:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Dies entspricht der Kontraktion des Tensors zweiter Stufe formula_266 zu einem Tensor nullter Stufe.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Ein Tensor dritter Stufe kann auf acht verschiedene Arten dargestellt werden:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Im Dreidimensionalen ist der total antisymmetrische Tensor gegeben durch:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Dabei ist die erste Relation die kartesische Schreibweise, die folgenden zwei aus acht Schreibweisen der krummlinigen Version des Tensors.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Ableitungen von Vektoren, die in krummlinigen Koordinaten dargestellt werden, weisen gegenüber den kartesischen folgende Besonderheit auf. Da die Koordinatenlinien im Allgemeinen keine Geraden sind und daher die Basisvektoren eine vom Ort abhängige Richtung haben, müssen die Basisvektoren auch differenziert werden (Anwenden der Produktregel):


title: Krummlinige Koordinaten

text: Bzw. bzgl. der natürlichen Basis


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Ableitung der Basisvektoren formula_38 nach einer Koordinate formula_273 lässt sich als Linearkombination aller Basisvektoren formula_274 schreiben.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Koeffizienten formula_276 heißen Christoffel-Symbole zweiter Art.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Größen formula_278 heißen Christoffel-Symbole erster Art. Das vollständige Differential eines natürlichen Basisvektors lautet:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Christoffel-Symbole werden nun für die Ableitung eines Vektors verwendet (beim zweiten Gleichheitszeichen werden die Indizes formula_140 und formula_281 vertauscht, was möglich ist, da über beide summiert wird, und formula_38 ausgeklammert):


title: Krummlinige Koordinaten

text: Darauf basierend definiert man die kovariante Ableitung (ein ausgezeichneter Zusammenhang auf einem Tensorbündel, einem besonderen Vektorbündel) eines Vektors durch:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Der erste Term beschreibt die Änderung der Vektorkomponenten formula_56 des Feldes formula_286 entlang der Koordinatenachse formula_273, der zweite die Änderung des Feldes, die durch die Änderung des Koordinatensystems zustande kommt. In geradlinigen Koordinatensystemen (hier ist der metrische Tensor konstant) verschwinden die Christoffel-Symbole und die kovariante Ableitung ist identisch mit der partiellen Ableitung.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die kovariante Ableitung führt eine zusätzliche geometrische Struktur auf einer Mannigfaltigkeit ein, die es erlaubt Vektoren aus unterschiedlichen Vektorräumen und zwar aus benachbarten Tangentialräumen zu vergleichen. Somit stellt die kovariante Ableitung einen Zusammenhang zwischen verschiedenen Vektorräumen her. Dieser ist z. B. nötig, um für eine Kurve formula_288 die Krümmung berechnen zu können – dazu ist der Differentialquotient aus den Vektoren formula_289 und formula_290 zu bilden, die in unterschiedlichen Vektorräumen leben.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die kovariante Ableitung der Koordinaten eines Tensors formula_2-ter Stufe ergibt die Koordinaten eines Tensors der Stufe formula_292, da ein kovarianter Index hinzukommt. Für Tensoren der Stufe formula_293 gilt: Die partielle Ableitung einer Tensorkoordinate nach krummlinigen Koordinaten ist, im Gegensatz zur kovarianten Ableitung, keine Tensorkoordinate.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die kovariante Ableitung der Koordinaten des metrischen Tensors verschwinden: formula_294.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Mit der kovarianten Ableitung lässt sich die Richtungsableitung verallgemeinern:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Beispiel: Die Geodäte auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit, die kürzeste Verbindungskurve formula_296 zwischen zwei Punkten, lässt sich durch die geodätische Differentialgleichung formula_297 ausdrücken. Diese Gleichung bedeutet, dass das Geschwindigkeitsvektorfeld (bzw. Tangentenvektorfeld) der Kurve formula_298 längs der Kurve formula_299 (also parallel zu formula_298) konstant ist. Dieser Definition liegt die Überlegung zu Grunde, dass die Geodäten des formula_120 gerade Linien sind. Die Krümmung der Kurve muss also verschwinden und somit die Richtungsableitung der Tangentenvektoren entlang der Kurve null sein. In lokalen Koordinaten ausgedrückt lautet die geodätische Differentialgleichung:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Es existieren grundsätzlich zwei Möglichkeiten, die Christoffelsymbole, also die Koeffizienten des affinen Zusammenhangs formula_303, festzulegen: Entweder man gibt die Koeffizienten vor, d. h. man gibt vor, wie sich die Koordinatensysteme von Punkt zu Punkt auf der Mannigfaltigkeit ändern, oder man hat mehr Informationen über den betrachten Raum als nur, dass es sich um eine differenzierbare Mannigfaltigkeit handelt (z. B. einen Abstandsbegriff) und weiß dadurch, was man unter der kovarianten Ableitung zu verstehen hat, wodurch die Christoffelsymbole ebenfalls festgelegt werden. Hier ist letzterer Fall realisiert, da die hier betrachteten Mannigfaltigkeiten riemannsche Mannigfaltigkeiten sind und somit für jeden Tangentialraum der Mannigfaltigkeit ein Skalarprodukt und dadurch induziert eine Metrik, also ein Abstandsbegriff, existiert.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Da die betrachteten Mannigfaltigkeiten (semi-) riemannsche Mannigfaltigkeit sind (hier verschwindet der Torsionstensor), ist der Zusammenhang formula_303 ein sog. Levi-Civita-Zusammenhang, d. h. er ist torsionsfrei bzw. symmetrisch und außerdem ein metrischer Zusammenhang. Da hier der Zusammenhang torsionsfrei ist, entspricht die antisymmetrisierte Richtungsableitung formula_305 genau der Lie-Ableitung formula_306. Während die Richtungsableitung formula_307 linear im Richtungsfeld formula_308 ist (die Richtungsableitung hängt vom Richtungsfeld an nur einem Punkt ab), ist die Lie-Ableitung formula_309 in keinem Argument linear (für die Lie-Ableitung müssen beide Vektorfelder in einer offenen Umgebung bekannt sein).


title: Krummlinige Koordinaten

text: Aus dem Satz von Schwarz (bzw. aus der Torsionsfreiheit des Zusammenhangs formula_303) folgt, dass die Christoffel-Symbole in den unteren beiden Indizes symmetrisch sind:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Daher lassen sich die Christoffel-Symbole durch Ableiten der metrischen Koeffizienten formula_100 bestimmen:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Dies folgt aus folgender Relation


title: Krummlinige Koordinaten

text: und zwei Permutationen von formula_315, nämlich formula_316 und formula_317.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Für die Ableitung der dualen Basisvektoren erhält man folgenden Zusammenhang mit dem negativen Christoffel-Symbol:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Damit folgt die kovariante Ableitung von kovarianten Komponenten:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Es ist wichtig anzumerken, dass die Christoffel-Symbole mit ihren drei Indizes "keinen" Tensor dritter Stufe beschreiben, da sie nicht das geforderte Transformationsverhalten für Tensoren zeigen.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Das Auftreten des zweiten Summanden in der Transformationsformel zeigt, dass es sich nicht um einen Tensor handelt. Deswegen werden die Christoffel-Symbole in der Literatur manchmal mit Symbolen notiert, die nicht mit Tensoren verwechselt werden können:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Aussage zum Transformationsverhalten lässt sich verallgemeinern: Der Index (formula_140) einer partiellen Ableitung eines Tensors transformiert sich wie ein kovarianter Index (formula_323). Dagegen transformieren sich die beiden Indizes (formula_324) einer zweiten partiellen Ableitung formula_325 nicht wie Tensorindizes. Als Ausweg steht die kovariante Ableitung zur Verfügung: Die Indizes einer formula_2-te kovarianten Ableitung einer Tensorkoordinate sind wieder Tensorkoordinaten, sie transformieren sich wie kovariante Indizes. Z.B. sind in formula_327 die Indizes formula_140 und formula_281 kovariante Indizes.


title: Krummlinige Koordinaten

text: In kartesischen Koordinaten lautet das Kreuz- oder Vektorprodukt mit dem Levi-Civita-Symbol formula_330


title: Krummlinige Koordinaten

text: In krummlinigen Koordinaten formula_71 ist dies unter Verwendung des alternierenden Tensors


title: Krummlinige Koordinaten

text: zu ersetzen durch:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Dies lässt sich mit formula_335 ableiten:


title: Krummlinige Koordinaten

text: An folgender Rechnung sieht man, dass formula_338 das korrekte Transformationsverhalten eines Tensors hat (hier die kovariante Version des Tensors):


title: Krummlinige Koordinaten

text: Bezüglich der normierten Basis lautet das Vektorprodukt:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Wir betrachten ohne Beschränkung der Allgemeinheit die Fläche formula_341. Ein (unnormierter) Normalenvektor der Fläche ist kollinear zum kontravarianten Basisvektor formula_342:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Man definiert für eine Fläche im formula_344 konventionsgemäß die folgenden Größen der „inneren Geometrie“, die sich durch Längen- und Winkelmessungen innerhalb der Fläche ermitteln lassen (siehe Erste Fundamentalform):


title: Krummlinige Koordinaten

text: Für orthogonale Koordinaten formula_348 ist formula_349.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Der Metrische Tensor der Fläche und deren Gramsche Determinante ist


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Funktionaldeterminante der Fläche lautet, wobei formula_351 der normierte Normalenvektor der Fläche ist:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Der inverse metrische Tensor der Fläche lautet:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Griechische Indizes laufen im Folgenden über den Bereich 1,2 und kennzeichnen so Koordinaten und Basisvektoren in der Fläche.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die partielle Ableitung des normierten Normalenvektors formula_354 nach der Koordinate formula_355 lässt sich als Linearkombination der Basisvektoren der Fläche formula_356 darstellen. Dies folgt aus der Normierungsbedingung formula_357 durch Ableiten formula_358. Somit ist formula_359 orthogonal zur Flächennormale formula_354 und muss folglich in der Fläche liegen. Man führt eine neue Größe formula_361 ein, der ein Tensor zweiter Stufe ist:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Der Tensor formula_361 wird in der Literatur teilweise Flächentensor zweiter Stufe, Krümmungstensor oder Haupttensor genannt. Die kovarianten Koordinaten formula_364 lassen sich wie folgt berechnen, wobei formula_365 gilt:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Dies lässt sich auch umschreiben zu (siehe zweite Fundamentalform):


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die formula_364 lassen sich mit den Christoffel-Symbolen zweiter Art in Verbindung bringen. Es gelte im Folgenden formula_369:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Daraus folgen die Gauß-Weingarten-Gleichungen:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die zweite Fundamentalform hängt von der Lage der Fläche im umgebenden Raum ab und wird für Krümmungsberechnungen benötigt. Mit Hilfe des gemischt kontravariant-kovarianten Tensors formula_372


title: Krummlinige Koordinaten

text: werden die Hauptkrümmungen (Eigenwerte von formula_372), die mittlere Krümmung formula_375 und die Gaußsche Krümmung formula_376 der Fläche definiert.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Der Riemannsche Krümmungstensor lässt sich durch das Tensorprodukt formula_377 ausdrücken. Weitere Integrabilitätsbedingungen sind die Mainardi-Codazzi-Gleichungen formula_378.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Ein vektorielles Wegelement oder Kurvenelement formula_379 kann als totales Differential des Ortsvektors dargestellt werden.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Differentiale in Richtung der formula_57-Koordinatenlinien können identifiziert werden:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Es ist zu beachten, dass der Index in formula_383 kein kovarianter Index ist.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Mit Hilfe des vektoriellen Wegelements können nun Bogen-, Flächen- und Volumenelement bestimmt werden.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Das skalare Wegelement oder Längenelement bzw. Bogenelement ist definiert über formula_384


title: Krummlinige Koordinaten

text: Mit physikalischen (normierten) Basisvektoren gilt:


title: Krummlinige Koordinaten

text: für orthogonale Koordinaten formula_387 gilt: formula_388


title: Krummlinige Koordinaten

text: Spezialfall: Verläuft die Kurve in der Ebene formula_390, dann gilt die erste Fundamentalform


title: Krummlinige Koordinaten

text: Das vektorielle Flächenelement einer Koordinatenfläche lautet


title: Krummlinige Koordinaten

text: Das Vorzeichen hängt von der Orientierung des Flächenelements ab. Die Größe formula_393 heißt skalares Flächenelement.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Wir betrachten ohne Beschränkung der Allgemeinheit die Fläche formula_390:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Für orthogonale Koordinaten gilt:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Das Volumenelement lautet, wobei sich der Betrag der Funktionaldeterminante formula_401 identifizieren lässt:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Dieser Spezialfall ist aus verschiedenen Gründen besonders wichtig (z. B. für Physiker und Ingenieure), u. a. weil die gebräuchlichsten krummlinigen Koordinatensysteme (etwa sphärische und elliptische Koordinaten) dazugehören und weil erschwerende mathematische Begriffe, etwa "kovariant" und "kontravariant" bzw. der mit dem *-Symbol verbundene Begriff des "Dualen" bzw. die "Γ-Koeffizienten" hier entfallen. Ferner hat man es immer mit orthogonalen Basen (orthonormierte Einheitsvektoren) zu tun. (Die Basisvektoren sind nur orthogonal, aber nicht notwendig normiert. Erst das zugehörige Einheitsvektorsystem ist orthonormiert.)


title: Krummlinige Koordinaten

text: Es werden die Differentialoperatoren Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace für "orthogonale" Koordinatensysteme angegeben:Beachte, dass nicht nur formula_407, sondern alle genannten Größen, auch die Basisvektoren und die h-Koeffizienten, von u abhängen können.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Man sollte hier also nicht einfach formula_411 setzen, sondern die Definition formula_412 benutzen. Die oben wiedergegebenen Ergebnisse erhält man in der Tat leichter auf anschaulichem Wege als aus der meist ziemlich umständlichen Rechnung, wenn man von den vorhandenen koordinatenunabhängigen Definitionen der benutzten Größen formula_413 und formula_414 ausgeht.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Nützliche orthogonale krummlinige Koordinaten in zwei Dimensionen werden unter anderem durch konforme Abbildungen erzeugt. Solche krummlinigen Koordinaten sind nicht nur orthogonal, sondern winkeltreu für beliebige Winkel. Das bedeutet u. a., dass die Längenverhältnisse zweier Basisvektoren, z. B. formula_415 unabhängig von "k" den Wert 1 ergeben, sodass nicht etwa aus einer Sphäre ein Ellipsoid entsteht.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Schließlich werden in allgemeinen krummlinigen Koordinatensystem die Differentialoperatoren angegeben.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Im Folgenden wird die "natürliche Basis" benutzt und die korrekte Notation der Tensoranalysis (kontravariant = hochgestellter Index, kovariant = tiefgestellter Index) verwendet. formula_407 sei ein skalares Feld und formula_417 ein Vektorfeld.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Es wird die Schreibweise formula_418 verwendet. Weiterhin werden die Christoffel-Symbole formula_419, die durch formula_420 definiert sind, sowie die kovariante Ableitung formula_421 benutzt. Die kovariante Ableitung eines Skalars ist formula_422 und die kovariante Ableitung eines Vektors ist formula_423 bzw. formula_424.Im Folgenden soll der Gradient in krummlinigen Koordinaten hergeleitet werden. Das totale Differential des Ortsvektors lässt sich darstellen als:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Betrachte nun ein beliebiges Skalarfeld formula_407. Sein totales Differential lautet (wobei obige Darstellung von formula_447 verwendet wird):


title: Krummlinige Koordinaten

text: Der Gradient formula_449 ist definiert über


title: Krummlinige Koordinaten

text: und lässt sich also identifizieren als:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Für orthogonale Koordinaten ist ein kovarianter Basisvektor gleich formula_452 und der dazu duale kontravariante Basisvektor formula_453. Somit der Gradient für orthogonale Koordinaten:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Für formula_455 erhält man als Gradient den kontravarianten Basisvektor formula_456, also den Normalenvektor zur Koordinatenfläche formula_457.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Bei der Berechnung der Divergenz wird das Christoffel-Symbol formula_459 benötigt. Dieses lässt sich durch die Determinante formula_94 des metrischen Tensors ausdrücken:


title: Krummlinige Koordinaten

text: was aus formula_116 und folgender Beziehung folgt:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Somit erhält man für Divergenz und Laplace:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die koordinatenfreie Definition der Divergenz führt diese als „Quellendichte“ ein:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Dabei ist formula_467 ein beliebiges Volumen, wobei der Fluss formula_468 über den Rand formula_469 dieses Volumenelements integriert wird. Im Folgenden sei dieses Volumen ein (infinitesimal) kleines Parallelepiped am Raumpunkt formula_470, das von den Vektoren formula_471 in Richtung der formula_472-Koordinatenlinien aufgespannt wird, d. h. jede Koordinate läuft im Intervall formula_473. Die Kantenlänge ist formula_474, wobei die Kanten formula_475 nicht notwendigerweise orthogonal zueinander sind. Das Volumen berechnet sich im Allgemeinen zu:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Das Parallelepiped ist für jede Koordinate von den Flächen formula_477 und formula_478 begrenzt. Das Flächenelement für eine Koordinatenfläche formula_477 lautet in drei Dimensionen


title: Krummlinige Koordinaten

text: und der lokale Fluss durch dieses Flächenelement für das Vektorfeld formula_481 ist:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Somit ist der Fluss durch die Fläche formula_483 (nach außen zeigendes vektorielles Flächenelement, deswegen formula_484)


title: Krummlinige Koordinaten

text: und der Fluss durch die Fläche formula_486


title: Krummlinige Koordinaten

text: Dabei wurde der Integrand an der Stelle formula_488 in erster Ordnung in formula_489 entwickelt. Als Bilanz aus beiden erhält man


title: Krummlinige Koordinaten

text: Analog für die beiden anderen Koordinaten


title: Krummlinige Koordinaten

text: Somit lautet die Divergenz in natürlichen formula_492 bzw. physikalischen Koordinaten formula_493:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Für orthogonale Koordinaten gilt:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die koordinatenfreie Definition der Rotation ist gegeben durch


title: Krummlinige Koordinaten

text: Dabei ist formula_497 eine beliebige Fläche mit Normaleneinheitsvektor formula_354, wobei das Linienintegral formula_499 über den Rand formula_500 dieser Fläche läuft.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Zunächst wird hier eine Fläche mit formula_501 betrachtet. Die linke Seite wird dann zu:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Im Folgenden sei die Fläche formula_497 ein (infinitesimal) kleines Parallelogramm am Raumpunkt formula_470, das von den Vektoren formula_505 und formula_506 aufgespannt wird. Der Flächeninhalt ist formula_507.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Als (geschlossener) Integrationsweg dienen die Kanten des Parallelogramms:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Mit formula_509 gilt formula_510 für formula_511 sowie für formula_512 und formula_513 für formula_514 sowie für formula_515.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die Integrale über Weg 1 und 3 lassen sich zusammenfassen:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Entwickelt man den Integranden an der Stelle formula_488 in erster Ordnung in formula_518, hängt der genäherte Integrand nur noch von formula_519 ab, ist also unabhängig von formula_520 und man kann das Integral einfach auswerten:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Eine analoge Vorgehensweise für die Integrale über Weg 2 und 4 ergibt:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Insgesamt erhält man die Zirkulation in der Fläche formula_523 um das Parallelogramm formula_497.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Für formula_526 werden aus den Näherungen exakte Relationen. Eingesetzt in obige Definitionsgleichung für die Rotation (alle Größen am Punkt formula_488 ausgewertet)


title: Krummlinige Koordinaten

text: Analog für die beiden anderen Koordinaten unter zyklischer Vertauschung. Somit lautet die Rotation mit formula_529:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die (natürliche) kovariante Koordinate formula_531 berechnet sich aus der (natürlichen) kontravarianten formula_532 mittels formula_533. Des Weiteren gilt für physikalischen Koordinaten formula_534 sowie formula_452.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Sind die Koordinaten orthogonal, gilt wegen formula_536 die Beziehung formula_537 sowie formula_538. Für orthogonale physikalische Koordinaten formula_539 gilt also formula_540 und die Rotation lautet für diesen Spezialfall:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Bei der Rotation treten Terme der Form formula_542, was sich zu partiellen Ableitungen vereinfachen lässt, da die Christoffelsymbole in den unteren Indizes symmetrisch sind:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Diese Größe stellt einen antisymmetrischen Tensor zweiter Stufe dar, den Rotor des Vektors formula_42.Krummlinige Koordinaten lassen sich als Anwendung der Differentialgeometrie ansehen, speziell als Karte auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Im Folgenden werden Zusammenhänge zum Kalkül der Differentialformen hergestellt, da mit diesen Berechnungen koordinatenunabhängig dargestellt werden können.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Sei formula_572 eine formula_2-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine formula_574-Form formula_575 ordnet jedem Punkt formula_576 eine glatte alternierende formula_574-Multilinearform formula_578 auf dem Tangentialraum formula_579 zu. Dieses formula_578 ist ein reellwertiges lineares Funktional, das formula_574-Tupeln von Vektorfeldern reelle Zahlen zuordnet:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Dabei ist formula_578 selbst ein Element der äußeren Potenz des Tangentialraums, also von formula_584 (es gilt dabei formula_585 und formula_586). Die Menge aller formula_574-Formen auf formula_572, also das Bündel beziehungsweise die disjunkte Vereinigung formula_589, bildet den Vektorraum formula_590. Diese Formen haben den großen Vorteil, dass man mit ihrer Hilfe kartenunabhängig auf einer Mannigfaltigkeit integrieren kann.


title: Krummlinige Koordinaten

text: In der Tensoranalysis ist formula_578 ein antisymmetrischer (wg. alternierend) kovarianter Tensor formula_574-ter Stufe (wg. formula_574-Multilinearform).


title: Krummlinige Koordinaten

text: Sei formula_594 ein offener Teil von formula_572 und formula_596 ein lokales Koordinatensystem (Karte) mit den lokalen Koordinaten formula_597. Dann bilden am Ort formula_598


title: Krummlinige Koordinaten

text: die lokale Basis des Tangentialraums formula_579 und


title: Krummlinige Koordinaten

text: die dazu duale Basis (die Dualität drückt sich durch formula_602 aus), also die Basis des Kotangentialraums formula_603, dies sind 1-Formen auf dem Vektorraum formula_579.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Das formula_574-fache äußere Produkt formula_606 dieser 1-Formen formula_607 (dabei ist formula_608 assoziativ, bilinear und antikommutativ) ist eine formula_574-Form, wobei


title: Krummlinige Koordinaten

text: eine Basis der äußeren Algebra formula_611 über dem Kotangentialraum formula_612 ist. Jede Differentialform formula_613 hat auf allen Karten formula_596 eine eindeutige Darstellung:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Eine 2-Form ist z. B.


title: Krummlinige Koordinaten

text: was einem antisymmetrischen kovarianten Tensorfeld zweiter Stufe entspricht. Für formula_617 erhält man also:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Für differenzierbare Skalarfelder gilt die Identität: Glatte Funktionen formula_619 sind identisch mit 0-Formen:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Durch folgende Isomorphie lässt sich einem differenzierbaren Vektorfeld formula_621 eindeutig eine 1-Form zuordnen (dabei bezeichne formula_622 das Skalarprodukt) (es wird die Einsteinsche Summenkonvention verwendet):


title: Krummlinige Koordinaten

text: Mit Hilfe des Hodge-Stern-Operators (siehe unten) lassen sich einem Skalarfeld auch eine formula_2-Form zuordnen und einem Vektorfeld eine formula_625-Form.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Die musikalischen Operatoren (flat formula_626 und sharp formula_627) beschreiben Isomorphien, die durch die Riemannsche Metrik formula_628 induziert werden, und Tangentialvektoren auf Kotangentialvektoren bzw. umgekehrt abbilden:


title: Krummlinige Koordinaten

text: In Tensornotation entspricht dies dem Heben und Senken von Indizes.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Für formula_2-dimensionale Vektorräume, die orientiert und euklidisch sind (somit muss formula_572 einer orientierten Riemannschen Mannigfaltigkeit entsprechen), existiert ein kanonischer Isomorphismus, der alternierende Multilinearformen komplementären Grades (also formula_574 und formula_634) aufeinander abbildet. Dies ist der sog. Hodge-Stern-Operator:


title: Krummlinige Koordinaten

text: Beide Vektorräume haben die Dimension formula_636.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Im dreidimensionalen Raum formula_617 lässt sich somit einer 0-Form eine 3-Form zuordnen


title: Krummlinige Koordinaten

text: und einer 1-Form eine 2-Form


title: Krummlinige Koordinaten

text: Somit lässt sich einem differenzierbaren Vektorfeld formula_42 nicht nur eine 1-Form formula_641 sondern auch eine 2-Form formula_642 zuordnen. Und eine differenzierbare skalare Funktion formula_643 kann sowohl einer 0-Form formula_643 wie auch einer 3-Form formula_645 zugeordnet werden.


title: Krummlinige Koordinaten

text: Durch die äußere Ableitung einer formula_574-Form entsteht eine formula_647-Form. Mit den musikalischen Operatoren und dem Hodge-Stern-Operator wird der De-Rham-Komplex gebildet. Die Verkettung zweier äußerer Ableitungen ist identisch Null. Hieraus lassen sich die Integralsätze der Vektoranalysis (Stokes, Gauß und Green) herleiten.


title: Gol (Norwegen)

text: Gol ist eine Kommune in der Provinz ("Fylke") Viken in Norwegen. Der altnordische Name lautet "Gorð" und ist vermutlich eine alte Bezeichnung für den Unterlauf des Flusses Hemsil.


title: Gol (Norwegen)

text: Verwaltungssitz ist die gleichnamige Stadt. An Gol grenzen die Kommunen Ål, Hemsedal und Nesbyen in der Fylke Viken sowie Nord-Aurdal und Sør-Aurdal in der Fylke Innlandet. Gol ist eines der wichtigsten Wintersportzentren Norwegens.


title: Gol (Norwegen)

text: In Gold drei schwarze pfahlgestellte Schlüssel, die Bärte nach unten links zeigend, mit einem Gemeinen Kreuz-Durchbruch. Die Reiten sind rund mit einfachem Kreuz.


title: Gol (Norwegen)

text: Das Wappen stammt aus dem Jahr 1985 und zeigt den alten Schlüssel zur Stabkirche von Gol.


title: Gol (Norwegen)

text: Neben dem Riksvei (RV) 7, der sich durch Gol zieht, verfügt der Ort auch über einen Bahnhof der Bergenbahn. Die Fahrzeit hiermit beträgt von Oslo etwa 2 Stunden und 45 Minuten, von Bergen etwa 4 Stunden.


title: Schlacht bei La Albuera

text: Die Schlacht bei La Albuera war ein Gefecht der Napoleonische Kriege auf der Iberischen Halbinsel, das am 16. Mai 1811 beim spanischen Ort La Albuera stattfand. Dabei standen sich eine alliierte Armee aus Großbritannien (unterstützt durch hannöversche Exil-Truppen), Portugal sowie dem aufständischen Spanien auf der einen und französische Truppen (unterstützt von Hilfstruppen des Herzogtum Warschau und des napoleonischen Satellitenstaates Spanien) auf der anderen Seite gegenüber. Die vereinten portugiesischen und britisch-hannoverschen Truppen stand unter dem direkten Kommando des englischen Generals Sir William Beresford, der zugleich Marschall der portugiesischen Armee war; die spanischen Insurgenten wurden von General Joaquín Blake y Joyes kommandiert; die französische Armee wurde von Marschall Soult befehligt. Die Schlacht endete mit einem knappen und verlustreichen Sieg der Alliierten.


title: Schlacht bei La Albuera

text: Während des Winters 1810/11 schützte Wellington Lissabon mit Hilfe der starken befestigten Linien von Torres Vedras. Die französischen Kräfte unter Massena überwinterten vor der Linie; sie waren nicht in der Lage, diese anzugreifen oder auch nur sich angemessen zu versorgen, und wurden als Konsequenz daraus stark reduziert. Im März 1811 erkannte Massena die Unhaltbarkeit seiner Situation und zog sich zur spanischen Grenzfestung Ciudad Rodrigo zurück, welche die Straße von Portugal nach Salamanca bewachte. Er ließ eine kleine Truppe in der portugiesischen Festung Almeida zurück. Der eilige Rückzug von Torres Vedras mitten im Winter hatte die Angriffsfähigkeit seiner Armee weitgehend zerstört. Südlich des Tagus standen die portugiesische Festung von Elvas und die spanische Festung Badajoz an der Hauptstraße von Portugal nach Madrid. Die französischen Operationen in diesem Gebiet lagen in der Verantwortung von Soult, der auch anderweitig beschäftigt war, z. B. mit der Belagerung von Cádiz. Im Januar 1811 dünnte Soult die Belagerungstruppen von Cádiz aus, um eine Feldarmee zusammenzustellen, die nach Badajoz ging. Als Reaktion versuchten die britischen und spanischen Truppen, die Belagerung von Cádiz zu durchbrechen, was zur Schlacht von Barrosa am 5. März 1811 führte. Barrosa war eine taktische Niederlage für die Franzosen, die aber nicht ausgenutzt wurde, um die Belagerung zu beenden. Badajoz ergab sich am 10. März 1811 (angeblich durch Bestechung und nicht durch militärisches Vorgehen) den Franzosen, und Soult ging sofort in das Gebiet von Sevilla, um die Belagerung von Cádiz zu unterstützen und eine Wiederholung der Taktik, die zu Barrosa geführt hatte, zu verhindern.


title: Schlacht bei La Albuera

text: Wellington war der Ansicht, dass diese vier Festungen eingenommen werden sollten, um Portugal vor einer erneuten Invasion zu schützen und einen Einmarsch seiner Armee nach Spanien zu ermöglichen. Die Festungen waren besonders wichtig wegen des schlechten Zustandes der Nachschubwege in der Pyrhenäenhalbinsel: Sie waren schwer zu umgehen, aber auch die Logistik für eine Belagerung war problematisch. Er entschloss sich, seine Armee zu teilen und zu versuchen, Almeida und Badajoz gleichzeitig zu nehmen. 20.000 Mann (davon 10.000 britisch/hannoverisch) unter Beresford wurden entsandt, um Badajoz zu belagern, während Wellington mit der doppelten Anzahl nach Almeida marschierte.


title: Schlacht bei La Albuera

text: Während Beresford Badajoz belagerte, hörte er am 12. Mai, dass Soult sich erneut mit 25.000 Mann vom Süden her näherte. Er brach die Belagerung sofort ab und setzte sich nach Südosten in Richtung der kleinen Stadt La Albuera ab, wo er eine defensive Position einnahm, wie im Monat vorher mit Wellington besprochen. Am Nachmittag des 15. kam eine spanische Truppe unter Blake und Castaños an, die sich unter sein Kommando stellte. Beresford hatte nun eine Armee von 36.000 Mann mit 50 Kanonen.


title: Schlacht bei La Albuera

text: Die Gegend um La Albuera ist im Allgemeinen flach und offen, mit kleinen Erhebungen. Der Fluss Albuera fließt östlich durch die Stadt und teilt sich in zwei kleinere Arme auf, die kein Hindernis für Infanterie und Artillerie darstellten. Bäume verhinderten einen klaren Blick auf die Bewegungen der feindlichen Armee.


title: Schlacht bei La Albuera

text: Beresford erwartete einen Angriff aus dem Osten und machte daher La Albuera zum Zentrum seiner Aufstellung, die etwa 1,5 Kilometer nach links und drei Kilometer nach rechts von dem Ort reichte. Ein niedriger Hügel (nicht höher als 50 Meter) verläuft durch La Albuera, und er besetzte ihn, mit allen seinen Truppen in Richtung Osten.


title: Schlacht bei La Albuera

text: Seine linke Flanke war durch Hamiltons portugiesische Division gedeckt, Collins Brigade und die Mehrheit der portugiesischen Kavallerie. Carl von Altens King’s German Legion (1. und 2. leichtes Bataillon) waren im Ort stationiert und hinter ihnen standen die 2. und 4. britische Division mit über 1.000 Mann Kavallerie. Seine rechte Flanke waren Blakes 12.000 Spanier mit einiger Kavallerie, aber diese waren spät angekommen und am 15. noch nicht ordnungsgemäß positioniert.


title: Schlacht bei La Albuera

text: Soult hatte 24.000 Mann inklusive 4.000 Kavalleristen mit 60 Kanonen. Er wusste nicht, dass die Spanier sich mit den Alliierten vereinigt hatten und rechnete daher mit lediglich 23.000 feindlichen Truppen. Er plante nur einen schwachen Angriff auf das Zentrum und befahl drei Viertel seiner Truppen in einem weiten Bogen nach Süden, um die rechte Flanke Beresfords anzugreifen.


title: Schlacht bei La Albuera

text: Der Angriff begann früh am 16. Mai 1811 erfolgreich mit einer Attacke durch Goudinots Brigade auf den Ort La Albuera. Der Ansturm bewog Beresford dazu, sein Zentrum zu verstärken, wie Soult es gehofft hatte. Im Süden sah sich die spanische Division Zayas (4.800 Mann stark), die plötzlich aus dem Gehölz hervorbrach, an ihrer rechten Flanke von 8.400 Infanteristen, unterstützt durch Artillerie und 3.500 Kavalleristen angegriffen. Dies war Girards V Corps in gemischter Ordnung, wie Napoleon sie bevorzugte. Es war der "massivste einzelne Angriff des Spanienfeldzuges" durch eine kompakte Masse von Infanterie. Dies traf die Spanier unvorbereitet aber sie hielten die Stellung, obwohl sie ein Drittel ihrer Truppe verloren.


title: Schlacht bei La Albuera

text: Beresford war von diesem Manöver überrascht und befahl Blake, eine ganze Division nach Süden statt nach Osten auszurichten, aber er überwachte diese Bewegung nicht persönlich, wie Wellington es vermutlich getan hätte. Daher sah er nicht, dass Blake, der immer noch einen Angriff aus dem Osten erwartete, nur vier Bataillone bewegte und nicht die ganze Division. Beresford befahl nun der zweiten Division, die stark unter Druck stehenden Spanier zu unterstützen und eine zweite Linie hinter ihnen zu bilden. Aber ihr Kommandant Stewart warf seine Truppen sofort in das Gefecht. Seine führende Brigade unter Colborne griff die linke Flanke der Franzosen an und hielt sie mit ihren 2.000 Musketen in Schach.


title: Schlacht bei La Albuera

text: Dann kam das Desaster. Ein plötzlicher Regensturm brach über dem Schlachtfeld aus, und keine der Musketen konnte noch feuern. Stewart hatte versäumt, einen Schutz gegen feindliche Kavallerie zu planen, und nun, durch den strömenden Regen, stürmten 3.500 französische Reiter auf sie zu. Colbornes Brigade hatte keine Zeit, ein Karree zu formen und war praktisch verteidigungslos. Innerhalb von fünf Minuten verloren sie 1.300 von 1.600 Mann und fünf Fahnen. Die Ulanen vom 1. Kavallerie-Regiment der polnischen Weichsellegion spießten viele gegnerische Soldaten auf und verschonten niemanden. Es war ein schreckliches Beispiel der Verwundbarkeit von Infanterie, die nicht auf einen Angriff durch Kavallerie vorbereitet ist.


title: Schlacht bei La Albuera

text: Einige der Kavalleristen drangen vorwärts und griffen Beresford und seinen Stab an. Der General, ein großer kräftiger Mann, parierte einen Lanzenstoß und zog, einen Reiter am Kragen fassend, diesen vom Pferd und warf ihn zu Boden.


title: Schlacht bei La Albuera

text: Hoghtons Brigade kam zu Hilfe, zusammen mit Abercrombies, und sie formierten sich zur Linie. "Sieben britische Bataillone, etwa 3.700 Mann in Zweierreihe, standen zwei französischen Divisionen mit etwa 7.800 Mann in einem Nahgefecht gegenüber, das vielleicht nie in der militärischen Geschichte ein Gleiches hatte". Aus einer Entfernung von vielleicht 18 Metern feuerten beide Seiten Salve um Salve und schlossen die Reihen zum Zentrum hin, wenn Lücken in der Linie auftraten. Auf einer Fläche, die kleiner als ein Cricket-Feld (ungefähr 130 × 150 m) war, hielt das grausige Töten an. Keine Seite konnte vorwärts, aber auch keine Seite war bereit nachzugeben. Niemand schien zu wissen, wie diese ausweglose Lage beendet werden konnte. Beresford schien zu keiner entscheidenden Aktion in der Lage, während Soult erkannt hatte, dass der Gegner mit 15.000 Mann stärker war, als er gedacht hatte, und sofort in die Defensive ging. Diese festgefahrene Situation wurde von Sir Lowry Cole gelöst. Major Henry Hardinge hatte erkannt, dass etwas getan werden musste, um die Regimenter zu retten, die vor seinen Augen zerrieben wurden, und hatte Cole auf seine eigene Initiative hin dazu gedrängt, die 4. Division in das Gefecht zu bringen.


title: Schlacht bei La Albuera

text: Während des gesamten Gefechtes hatten die zwei leichten Bataillone der King's German Legion erfolgreich die Brücke über den Fluss Albuera verteidigt und so verhindert, dass die Franzosen unter Godinot hier durchbrachen. Nun wurden sie abgeordert, um die Front zu verstärken. Die Franzosen nutzten den Wechsel zwischen KGL und den sie ersetzenden Spaniern aus und nahmen den Ort ein. Daraufhin wurde der Befehl widerrufen und die KGL musste eine halbe Stunde später mühsam, unter Verlust von 100 Mann, den verlorenen Boden wieder erobern.


title: Schlacht bei La Albuera

text: Cole befahl 4.000 Mann auf einer Front von 1.200 Metern in Linie vorwärts; mit Karrees an beiden Enden, zum Schutz vor Kavallerie. Tatsächlich griffen 1.600 französische Dragoner an; sie wurden jedoch abgewehrt.


title: Schlacht bei La Albuera

text: Dann gingen drei aus je drei Bataillonen bestehende französische Kolonnen, unterstützt durch Artillerie, gegen sie vor. Die britische Infanterie war im Verhältnis 1:3 unterlegen, aber wegen der Situation "Linie gegen Kolonne" standen 2.000 effektive Musketen gegen 360. Langsam aber stetig rückte die von drei Füsilierbataillonen angeführte britische Infanterie vor, und es waren die Franzosen, die zuerst nachgaben. Verspätet warf Soult die Reserve – 6.000 Mann von Werles Brigade – in das Gefecht, aber seine Kolonnen lösten sich auf und es kam zu einem allgemeinen Rückzug. Endlich brachte Beresford Einheiten aus dem Zentrum und der linken Flanke nach vorne, und die Franzosen wurden über den Fluss in die Wälder zurückgetrieben, von wo sie am Morgen gekommen waren. Es gab keine Verfolgung. Beide Armeen blieben in ihren Positionen, erschöpft und deprimiert von den entsetzlichen Verlusten.


title: Schlacht bei La Albuera

text: Die Verluste der Alliierten betrugen 5.916 Mann: 4.159 Briten, 389 Portugiesen und 1.368 Spanier. In seinem Bericht vom 21. Mai 1811 schätzte Soult die britischen Verluste auf 5.000 Mann inklusive 800 – 1000 Gefangene; die spanischen auf 2.000 Mann mit 1.100 Gefangenen und die Portugiesen auf 700 bis 800 Mann. Die französischen Verlust sind schwerer zu schätzen. Soult erklärte in seinem Bericht an Napoleon ursprünglich 2.800 Mann als Verluste, aber die offiziellen Zahlen vom 6. Juli erhöhten die Zahl auf 5.936 Mann. Die britischen Historiker bezweifeln auch dies wegen des Vergleichs der von Soult als Verluste angegebenen 241 Offizieren im Verhältnis zu nur 362 Rückkehrern. Sir Charles Oman extrapolierte diese Zahlen und kam auf die ungefähre Zahl von 7.900 Verlusten.


title: Schlacht bei La Albuera

text: Die Franzosen zogen sich am 18. zurück und Soult beklagte sich bitter über die Briten:


title: Schlacht bei La Albuera

text: Beresford, durch die Verluste entnervt, schrieb einen düsteren Bericht, aber als Wellington diesen las, erklärte er: So geschah es, denn es waren schließlich die Franzosen, die das Schlachtfeld verlassen hatten.


title: Schlacht bei La Albuera

text: La Albuera war ein Sieg zu einem hohen Preis, aber er half, die Moral der Franzosen weiter zu schwächen, indem ihnen klar wurde, wie schwer es war, die britisch-alliierte Armee dazu zu bewegen, eine drohende Niederlage zu akzeptieren.


title: Charles Henri Sanson

text: Chevalier Charles-Henri Sanson de Longval (* 15. Februar 1739 in Paris; † 4. Juli 1806 ebenda) war ein französischer Henker, seit 1778 offizieller Henker von Paris und wurde als der Scharfrichter der Französischen Revolution bekannt.


title: Charles Henri Sanson

text: Charles Henri Sanson wurde als ältester Sohn von Charles-Jean-Baptiste Sanson (1719–1778) sowie dessen erster Ehefrau Madeleine Tronson geboren. Er entstammt einer Henkersfamilie, die, ursprünglich aus Schottland stammend, sich in Abbeville in der Picardie niedergelassen hatte und dort wichtige Ämter bekleidete. Ein Zweig der Familie übte seit 1688 das Scharfrichteramt in Paris und Versailles aus: Charles-Louis Sanson (1635–1707), ein Nachfahre des Kartografen Nicolas Sanson, war 1662 Leutnant im Regiment des Marquis von La Boissière. Er heiratete 1675 Marguerite Jouënne († 1681), die Tochter des Henkers von Rouen, Pierre Jouënne. Er musste seine Militärlaufbahn beenden und ging 1687 als Witwer nach Paris. Am 24. September 1688 trat er das Erbe des Pariser Henkersamtes seines Vorgängers Nicolas Levasseur an und ehelichte 1699 Jeanne-Renée Dubut. Der Sohn aus erster Ehe, Charles Sanson (* 1681, † 25. September 1726), übernahm das Amt von 1707 bis 1726 und heiratete 1707 Anne-Marthe Dubutt. Sein Nachfolger war sein Sohn Charles-Jean-Baptiste Sanson. Wegen dessen Minderjährigkeit (7 Jahre) vertraten ihn seine Mutter und deren zweiter Ehemann, François Prudhomme, als „Regent“ (frz. "régent", offizieller Titel eines Interimshenkers) bis 1739.


title: Charles Henri Sanson

text: Charles-Henri Sanson wurde zunächst in der Klosterschule von Rouen erzogen, bis er 1753 als Vierzehnjähriger durch die Indiskretion des Vaters eines anderen Schülers, der bei einem Besuch von Charles-Henris Vater in diesem den Henker erkannt hatte, die Schule zum Bedauern des Leiters verlassen musste, um ihren guten Ruf nicht zu gefährden. Charles-Henri erhielt fortan Privatunterricht und ging an die Universität Leiden, um Arzt zu werden. Er hegte eine besondere Abneigung gegen das erbliche Gewerbe seiner Familie.


title: Charles Henri Sanson

text: Einer schweren Lähmung seines Vaters und dem Durchsetzungsvermögen Anne-Marthe Sansons, seiner Großmutter väterlicherseits, ist es zuzuschreiben, dass Charles-Henri sein Medizinstudium abbrach und den verhassten Beruf des Henkers zur Existenzsicherung seiner Familie 1754 antrat. Als Henker (bourreau) wurde er als „Monsieur de Paris“ – „Der Herr aus Paris“ (im Sinne von "ein gewisser Herr aus Paris") – bekannt. Am 10. Januar 1765 heiratete Sanson seine zweite Ehefrau, die sechs Jahre ältere Marie-Anne Jugier. Sie hatten zusammen zwei Söhne, Henri (1767–1830), der sein offizieller Nachfolger wurde, und Gabriel (1769–1792), der ebenfalls bei Hinrichtungen tätig war.


title: Charles Henri Sanson

text: 1757 assistierte Charles-Henri Sanson seinem Onkel Nicolas-Charles-Gabriel Sanson (1721–1795, Henker von Reims) bei der extrem grausamen Verstümmelung und Hinrichtung des Königsattentäters Robert François Damiens. Sein Onkel quittierte danach den Dienst als Henker. 1778 bekam Charles-Henri schließlich offiziell den blutroten Mantel, das Zeichen des Henkermeisters, von seinem Vater Charles-Jean-Baptiste und hatte dieses Amt inne, bis sein Sohn Henri den von Krankheit gezeichneten 1795 endgültig ablöste. Die überwiegende Mehrzahl der Hinrichtungen wurde von Sansons bis zu sechs Henkersknechten ausgeführt. Charles-Henri Sanson führte 2918 Enthauptungen durch, darunter die Ludwigs XVI., obgleich er selbst ein Anhänger der Monarchie war. Die Königin Marie Antoinette wurde von seinem Sohn Henri enthauptet, der seinen Vater de facto seit 1793 vertrat, er selbst wohnte der Hinrichtung nur bei. Später folgten auf der Guillotine eine Reihe prominenter Revolutionäre wie Georges Danton, Camille Desmoulins, Maximilien de Robespierre oder Antoine de Saint-Just, deren Verurteilung Charles-Henri Sanson mit Genugtuung zur Kenntnis nahm.


title: Charles Henri Sanson

text: Charles-Henri Sanson war ein eifriger Befürworter des Vorschlags des Arztes Joseph-Ignace Guillotin, der einen simplen Mechanismus zum Köpfen für eine humanere Art der Hinrichtung hielt. Er argumentierte damit, dass der Henker nach mehreren abgeschlagenen Köpfen rasch ermüde, das Richtschwert sich abnütze und Anschaffungs- und Erhaltungskosten enorm seien. Zu Sansons Hobbys zählten die anschließende Sezierung seiner Opfer und die Herstellung von Medikamenten mittels Heilkräutern, die in seinem Garten wuchsen. In seiner freien Zeit spielte er gern Violine sowie Cello und ging offenbar gern in die Oper, da er besonders die Musik von Christoph Willibald Gluck mochte. An Musizierabenden traf er öfter mit dem Cembalobauer und Musikfreund Tobias Schmidt, einem Deutschen, zusammen, der als Handwerker später die Tötungsmaschine bzw. Guillotine nach dem Konzept von Antoine Louis, dem Leibarzt des Königs, und nach Vorschlägen des Königs selbst erstellen sollte. Am 25. April 1792 wurde sie erstmals auf dem Place de Grève (heute der Rathausplatz) bei der Hinrichtung des Banditen Pelletier durch Charles-Henri Sanson eingesetzt.


title: Charles Henri Sanson

text: Eine Anekdote berichtet, Charles-Henri Sanson sei nach seinem Rücktritt Napoléon auf der Straße begegnet. Napoléon habe Sanson gefragt, ob er noch ruhig schlafen könne, nachdem er dreitausend Menschen hingerichtet habe. Sanson habe geantwortet: „Wenn die Kaiser, Könige und Diktatoren ruhig schlafen können, warum soll's nicht auch der Henker können?“


title: Charles Henri Sanson

text: Im April 1793 übergab er sein Amt de facto an seinen Sohn Henri Sanson (1767–1840), der es bis zu seinem Tode 1840 insgesamt 47 Jahre innehatte. Er war Revolutionssoldat (Sergent, dann Kapitän der Nationalgarde von Paris, später der Artillerie und Polizei der Tribunale) und Henker, guillotinierte u. a. Marie Antoinette und den Chefankläger Antoine Quentin Fouquier-Tinville (1795). Sein jüngerer Bruder Gabriel (1769–1792), seit 1790 Assistent seines Vaters Charles-Henri und Bruders Henri, war beim Zeigen eines abgeschlagenen Hauptes durch Sturz vom Gerüst zu Tode gekommen. Charles-Henri Sanson selbst starb am 4. Juli 1806 und liegt auf dem Friedhof im Stadtteil Montmartre begraben. Im Familiengrab liegen auch sein Sohn Henri Sanson, dessen Frau Marie-Louise Damidot, der Enkel Henri-Clément Sanson und dessen Frau Virginie-Emilie Lefébure.


title: Charles Henri Sanson

text: Henri-Clément (Henry-Clément) war der sechste und letzte Henker in der Familie. Er übte das Amt seit 1830 als Assistent und offiziell von 1840 bis 1847 aus. Er vollzog 18 Hinrichtungen (darunter die von Pierre-François Lacenaire und Victor Avril 1836) und musste 1847 wegen seiner krankhaften Spielsucht seine Guillotine verpfänden. Als dies bekannt wurde, kam er in Haft und musste den Behörden alles darlegen. Der französische Justizminister sah sich gezwungen, die Schulden seines Henkers zu bezahlen. Am 18. März 1847 wurde Henri-Clément Sanson seiner Amtspflichten entbunden. Damit endete die 159 Jahre lange Amtszeit der Familie Sanson als Henker von Paris. Eine letzte Hinrichtung auf der ausgelösten Guillotine hatte er noch auszuführen, bis Charles-André Férey als sein Nachfolger im Amt des Henkers bestellt wurde, der nach zwei Jahren von Jean-François Heidenreich abgelöst wurde. Henri-Clément Sanson schrieb in den folgenden Jahren seine Memoiren und die seiner Familie.


title: Charles Henri Sanson

text: 1859 setzte sich Henri-Clément Sanson mit den Jahrbüchern seiner Vorfahren auseinander, die belegen, dass die Sansons seit Ende 1685, als Charles Sanson de Longval von der Normandie nach Paris wechselte, die Todesurteile in der Hauptstadt des Königreichs vollstreckt haben. 1862 wurden Henri-Clément Sansons Arbeiten publiziert, die seit 2004 als vollständige Tagebücher der Henker von Paris vorliegen. Sanson resümierte (S. 11): „Durch heilige Pflichten an den Block und an das Beil geschmiedet, musste ich die traurige Aufgabe vollziehen, welche mir meine Geburt auferlegte. Aber inmitten meiner Laufbahn, dieser Art der einzige Sprössling einer Scharfrichterdynastie, habe ich dennoch mit Freuden dem Purpur des Schafotts und dem Zepter des Todes entsagt.“


title: Oswald Traub

text: Oswald „Ossi“ Traub (* 17. November 1926 in Karlsruhe; † 17. Mai 2020 ebenda) war ein deutscher Fußballspieler.


title: Oswald Traub

text: Traub kam bereits als Achtjähriger im Mai 1935 zum VfB Mühlburg, für den er als schneller, trickreicher und konditionsstarker Stürmer (Rechtsaußen) zwischen 1947, nachdem Mühlburg in die Oberliga Süd aufgestiegen war, und 1952 in 74 Spielen 16 Treffer erzielte. Nach der Fusion mit dem KFC Phönix 1952 spielte er beim neu gegründeten Karlsruher SC noch bis 1959 und bestritt 148 Punktepartien, bei denen er 38 Tore erzielte. Insgesamt kam er in der Oberliga Süd zwischen 1947 und 1959 auf 223 Spiele und 53 Tore. Höhepunkte seiner Karriere waren der Gewinn des DFB-Pokals 1955 und 1956, im Pokalfinale 1955 avancierte er gar zum Matchwinner, als er in der 86. Minute den entscheidenden Treffer zum 3:2 erzielte.


title: Oswald Traub

text: Nach seiner Zeit beim KSC gab er noch ein Gastspiel beim 1. FC Pforzheim, zunächst in der II. Division, zuletzt in der ersten Saison 1963/64 der neu eingeführten Regionalliga Süd. Während dieser Spielzeit, in der er seinen 37. Geburtstag feierte, erzielte er in 17 Partien ein Tor.


title: Oswald Traub

text: Mehrfach stand Traub vor dem Sprung in die Nationalelf, während der Vorbereitung zur WM 1954 stand er sogar im 40er-Kader von Sepp Herberger, kam aber zu keinem Einsatz für die Nationalmannschaft.


title: Oswald Traub

text: In den Nachkriegsjahren arbeitete der von Granatsplittern verletzte gelernte Kfz-Handwerker 30 Jahre lang bei einer Bank in Karlsruhe.


title: AAZ

text: Die Abkürzung AAZ steht für:


title: Joseph Autran

text: Joseph Antoine Autran (* 20. Juni 1813 in Marseille; † 6. März 1877 ebenda) war ein französischer Lyriker und Schriftsteller.


title: Joseph Autran

text: Autran war Sohn eines Kaufmanns und verbrachte seine Kindheit und Jugend in Marseille. Als Autran sein Studium beendet hatte, ließ er sich als freier Schriftsteller nieder. In seinen Gedichten, thematisierte er immer wieder seine Heimatstadt und das Meer samt den Naturgewalten.