title: DVB-S

text: Des fabricants commercialisent en Europe des télévisions avec DVB intégrés mixtes (DVB-T/DVB-S). Ces appareils permettent aux téléspectateurs de recevoir directement sans récepteur externe les chaînes de TV en clair (ou cryptées avec l'interface commune DVB-CI), par satellite, en MPEG 4 AVC ou MPEG 2, en HD ou SD.


title: DVB-S

text: Une nouvelle version DVB-S2 (Digital Video Broadcasting - Satellite 2) existe depuis maintenant quelques années, elle est beaucoup utilisée pour les transmissions HD.


title: DVB-S

text: Les récepteurs DVB-S2 sont compatibles avec les émissions DVB-S, mais pas l'inverse.


title: DVB-C

text: La norme DVB-C est l'application de la norme DVB aux transmissions par câble.


title: DVB-C

text: Cette norme tient compte des caractéristiques d'une transmission sur câble coaxial :


title: DVB-C

text: Pour obtenir une bonne efficacité spectrale, on utilise une modulation QAM64 associée à un égaliseur linéaire ou DFE () basés sur le critère du afin d'annuler l'interférence inter-symbole.


title: DVB-C

text: La norme DVB-C n'est pas compatible avec la norme DVB-T. Cependant, Philips, Technisat, Loewe, Sony, Metz… commercialisent en Europe des TV avec mixte DVB-T/DVB-C intégré, ce qui évite les récepteurs DVB-C externes pour les chaînes de TV en clair (ou chiffrées, avec interface commune). Au Benelux, JVC commercialise aussi une série de TV LCD mais seulement MPEG-2.


title: DVB-C

text: En France, les téléviseurs fabriqués à partir de 2009 pour pouvoir appliquer le logo TV-HD, doivent nécessairement décoder le MPEG-4 HD et disposer d'un tuner TNT HD (DVB-T), mais les constructeurs anticipent en installant en plus le tuner mixte DVB-T/DVB-C, et depuis 2010 des téléviseurs CI+ avec tuner intégré Tri-norme DVB-T-C-S2.


title: Livre d'Osée

text: Le livre d'Osée est un livre de la Bible hébraïque (l'Ancien Testament des chrétiens). Il fut probablement achevé entre 745 et 740 av J.-C.


title: Livre d'Osée

text: Le thème fondamental du livre est l'amour de Dieu pour son peuple. Le prophète Osée a épousé une prostituée sacrée nommée Gomer. Son amour pour sa femme malgré ses fautes lui fait comprendre que l'amour est inconditionnel et permanent. Il établit alors un parallèle entre sa vie privée et la relation de Dieu avec la nation d'Israël. YHVH n'abandonne pas son peuple pour la même raison qu'Osée n'abandonne pas Gomer. Le livre présente donc une réflexion sur la notion d'alliance. L'alliance entre YHVH et Israël est fondée à la fois sur la justice, c'est-à-dire l'obéissance à la Torah, et sur l'amour. L'amour n'exclut pas la justice, mais il fixera des limites au jugement. Israël devra être exilé, mais son exil s'arrêtera.


title: Livre d'Osée

text: Le prophète Osée reçoit l'ordre d'épouser une femme qui se révèle adultère ; cela illustre l'infidélité d'Israël envers Dieu. Abandonné à l'esclavage, Osée reçoit l'ordre de reprendre sa femme ; il obéit mais il lui impose des limites en lui interdisant la fornication. La femme représente la nation d'Israël qui pratiquait la tromperie, le meurtre, le vol, l'adultère, l'idolâtrie et la corruption morale et la prostitution spirituelle par la recherche insensée d’alliances politiques avec des nations ennemies comme l'Égypte et l'Assyrie auxquelles s'est livré Israël, au lieu de compter sur Dieu pour être en sécurité. Le résultat sera la dévastation du pays dont les survivants seront emmenés en Assyrie.


title: Livre d'Osée

text: Le peuple est exhorté à se repentir pour obtenir le pardon de Dieu et à ne plus rechercher la protection d’une alliance militaire. Tout comme la femme d'Osée a pu revenir, si le peuple se repent il aura la guérison, Dieu l’aimera sans réticence et Israël prospérera grâce à sa bénédiction.


title: Livre d'Osée

text: Le livre consiste avant tout en des sentences du prophète Osée ramassées sans qu'il y ait un récit-cadre. Il ne possède que partiellement une chronologie temporelle ou une organisation thématique. La division en 14 chapitres date seulement du Moyen Âge. On peut distinguer deux parties principales.


title: Livre d'Osée

text: Ce livre mentionne des événements rapportés dans d’autres parties de l'Ancien Testament, comme ceux concernant Jacob, l’exode du peuple, l’idolâtrie avec le culte du dieu Baal de Péor (Belphégor).


title: Livre d'Osée

text: L'apôtre Paul dans l'Épître aux Romains 9:25-26, la première épître aux Corinthiens 15:55, ainsi que la première épître de Pierre 2:10 font allusion à Osée 1:10, 2:23 et 13:14.


title: Les Vacances d'Hercule Poirot

text: Les Vacances d'Hercule Poirot (titre original : "") est un roman policier d'Agatha Christie publié le au Royaume-Uni, mettant en scène Hercule Poirot. Il est publié la même année aux États-Unis, et sept ans plus tard, en 1948, en France.


title: Les Vacances d'Hercule Poirot

text: Hercule Poirot passe ses vacances sur une petite île balnéaire du sud de l'Angleterre, où il partage un hôtel tranquille avec d'autres touristes. Séjournant dans cet hôtel de luxe sur la côte du Devon, Poirot remarque rapidement le drame amoureux qui se joue entre Patrick Redfern, son épouse délaissée Christine, la « croqueuse d'hommes » Arlena Marshall (elle-même mariée et belle-mère d'une adolescente complexée) et son mari Kenneth, apparemment indifférent. Lorsqu'Arlena est assassinée au cours d'un bain de soleil isolé et elle est retrouvée dans une crique isolée, tout le monde semble avoir un bon alibi mais divers indices semblent un moment désigner son mari comme coupable. Hercule Poirot, comme à son habitude, démêlera l'écheveau d'une machination compliquée, écartant une à une les fausses pistes, pour faire apparaître la vérité au grand jour.L'intrigue utilise le ressort classique du trio mari-maîtresse-épouse délaissée, ressemblant fortement à celui de la nouvelle "Trio à Rhodes" (1936). De plus, les deux affaires impliquent Hercule Poirot dans un décor de plage en proie à une machination criminelle non apparente. Mais l'identité de l'assassin est différente dans chacune de ses enquêtes.


title: Les Vacances d'Hercule Poirot

text: Le décor du roman, une île qu'il faut rejoindre en , existe dans la réalité, c'est Burgh Island au large des côtes du Devon. De plus, l'action se passe également dans la ville de St. Loo, lieu ayant déjà été mentionné précédemment dans "La Maison du péril" (1932).


title: Les Vacances d'Hercule Poirot

text: Pour l'anecdote, on assiste, à la fin du roman, à une tentative d'étranglement menée par le/la coupable à l'encontre du détective, accompagnée de l'invective suivante : .


title: Les Vacances d'Hercule Poirot

text: L'un des personnages du livre, Mrs Gardener, affirme être une fan du détective belge. Elle fait également référence à une précédente aventure de Poirot : Mort sur le Nil, et mentionne même l'un des protagonistes de l'histoire.


title: Les Vacances d'Hercule Poirot

text: Le colonel Weston, le chef de la police, fait explicitement référence à une précédente affaire de Poirot dans laquelle il a participé à l'enquête, à savoir La Maison du péril.


title: Maçonnerie

text: La maçonnerie est l'art de bâtir une construction par l'assemblage de matériaux élémentaires, liés ou non par un mortier. C'est l'art du maçon par définition mais aussi le résultat de son travail.


title: Maçonnerie

text: En France, la maçonnerie traditionnelle est appelée limousinage.


title: Maçonnerie

text: Par extension, on associe aussi sous le terme « maçonnerie » les travaux d'habillage des ensembles : pose d'enduits, de carrelages, etc., qui, en plus de leur but esthétique, participent à la tenue de l'ensemble face aux agressions externes (humidité, gel, etc.). Un produit qui reflète de plus en plus cette association est le stuc d'acrylique qui remplace le stuc traditionnel fait à partir de chaux. Existe aussi le tadelakt, un enduit de finition lisse d'intérieur, qui a comme origine l’Afrique du nord et qui est composé de chaux, de silice, de poudre de marbre.


title: Maçonnerie

text: Le terme avec ou sans majuscule peut aussi désigner la Franc-maçonnerie. Le liant est le matériau servant à réaliser un mortier. Il peut être de l'argile, de la chaux (hydraulique naturelle ou de synthèse), du ciment, du plâtre.Le mortier est le mélange d'un liant et d'agrégats avec de l'eau. On distingue :


title: Maçonnerie

text: On appelle béton un matériau de construction composite fabriqué à partir de granulats (sable, gravillons) agglomérés par un liant :


title: Maçonnerie

text: Les travaux de maçonnerie ont été associés aux métiers suivants : carrier, tailleur de pierre, scieur de pierre, poseur, pinceur, coffreur, bardeur, enduiseur, façadier, maçon, plâtrier, corvoyeur, briqueteur, chaufournier, cimentier La maçonnerie associe une grande rigidité à une grande fragilité.


title: Maçonnerie

text: Bien que la construction en maçonnerie ait été pratiquée depuis longtemps, le comportement exact des structures de maçonnerie est étudié seulement depuis quatre décennies et n'est pas encore prêt d'être compris complètement. La maçonnerie étant faite de deux matériaux différents non homogène elle présente un comportement non élastique et anisotrope typique. En conséquence, des formules empiriques ont été utilisées pour la conception de structures de maçonnerie. Il arrive que le mortier utilisé soit plus rigide que les unités de maçonnerie (brique,bloc, etc.), cependant, dans les pays occidentaux, l'unité de maçonnerie utilisée est généralement plus forte que le mortier. Le mortier est en grande partie responsable du comportement non linéaire de la maçonnerie. Par conséquent, la résistance de l'unité de maçonnerie, celle du mortier et son volume ont tous une influence sur la résistance de la maçonnerie.


title: Maçonnerie

text: Le comportement mécanique des différents types de maçonnerie non armée est généralement caractérisé de manière semblable par une très faible résistance à la traction. Cette propriété est si importante qu'elle a déterminé la forme des constructions anciennes jusqu'au . Pendant plus de dix mille ans, les structures de maçonnerie n'ont été utilisées qu'en compression, et c'est encore une pratique courante de nos jours, à moins d'utiliser une maçonnerie renforcée ou précontrainte. La résistance à la compression de la maçonnerie dans la direction perpendiculaire aux lits de joint a été dès lors considérée comme la propriété de matériau de structure seule pertinente, au moins jusqu'à l'introduction récente de méthodes de simulations informatiques, pour les structures en maçonnerie.


title: Maçonnerie

text: La résistance à la compression uni-axiale conventionnelle de la maçonnerie dans la direction normale aux lits de joint est étudiée en testant en laboratoire des prismes, des portions de mur ou des pans entiers de murs. Le standard américain ASTM E447 suggère que la hauteur minimale de l'échantillon doit être de quinze pouces (38,1cm). Le spécimen du Comité européen de normalisation est volumineux et coûteux à exécuter, nécessitant de très grandes charges à la rupture, en particulier par rapport aux essais standard cube/cylindre pour le béton. Un test plus simple fréquemment utilisé pour obtenir la résistance à la compression uni-axiale verticale est une simple maçonnerie empilée ("Stacked bond prism").


title: PE

text: Pe est la dix-septième lettre de l'alphabet phénicien et hébreu (pē dans l'alphabet syriaque) Pe est une lettre complémentaire de l'alphabet arabe, utilisée entre autres en persan


title: PE

text: Pe est un mot qui désigne :


title: PE

text: Abréviation scientifique :


title: PE

text: PE est un sigle, qui signifie :


title: PE

text: PE est un code, qui signifie :


title: PE

text: Abréviation : PE, abréviation de Pierre-Emmanuel, Pierre-Édouard ou de Pierre-Éliote, Pierre-Étienne et surtout de Paul-Émile (comme l'explorateur Paul-Émile Victor)


title: Kussara

text: Kussara ou Kussar est une ville hittite de l'Antiquité, dont les rois ont fondé le premier grand royaume anatolien au Bronze moyen.


title: Kussara

text: La localisation de Kussar est sujet à débat, puisque le site de la ville n'a pas encore été retrouvé. On s'accorde généralement pour la situer en Anatolie centrale, en plein pays hittite, vers le sud de la rivière Kızılırmak, mais il se pourrait qu'elle ait été située plus à l'est, dans la région de l'actuelle Divriği.


title: Kussara

text: Le premier roi de cette ville qui soit connu est Pithana. À la fin de la période des comptoirs commerciaux assyriens de Cappadoce (vers 1800), il s'empare de la ville de Nesha/Kanesh. Son fils Anitta fait de cette cité sa capitale, comme l'atteste une tête de lance à son nom retrouvé dans le palais de Kanesh. Il agrandit considérablement son royaume, en détruisant notamment Hattusha, la capitale du royaume du Hatti. La suite de l'histoire de ce royaume nous est inconnue. La destruction de Kanesh peu de temps après la mort d'Anitta (ou même sous son règne) paraît montrer un affaiblissement rapide de cet État, peut-être face aux offensives de royaumes comme celui de Zalpa, au nord, ou des Hourrites, au sud-est.


title: Kussara

text: Le fait que Hattushili, fondateur du premier royaume hittite, se dise descendant des rois de Kussar confirme que ce royaume a été un précurseur du grand empire anatolien qui dominera la région durant les siècles qui suivent.


title: Digne

text: Digne est un adjectif ou un nom propre qui peut se référer à :


title: Accord d'emprunt

text: En harmonie tonale, un accord d’emprunt est un accord appartenant à une tonalité autre que la tonalité en cours utilisé par simple juxtaposition, c’est-à-dire sans modulation.


title: Accord d'emprunt

text: Parmi les notes réelles d’un accord d’emprunt, une au moins est donc "étrangère" à la tonalité courante. Cependant, toute note étrangère à un accord ne produit pas nécessairement un accord d’emprunt.


title: Accord d'emprunt

text: Très employés dans les cadences, les accords d’emprunt peuvent être nombreux et variés. Les plus couramment utilisés sont les suivants.L’abaissement du sixième degré d’une tonalité majeure désigne un sixième degré descendant, pouvant être note réelle dans divers types d’accords d’emprunt. Autrement dit, le procédé permet de produire un certain nombre d'accords d'emprunt en abaissant — d'un demi-ton chromatique — le sixième degré d'une tonalité majeure.


title: Accord d'emprunt

text: À l'occasion d'une cadence quelconque, ce degré peut être accidentellement abaissé lorsqu'il fait partie de l'un des deux accords préparatoires suivants : l'accord du IV degré — dont la tierce devient alors mineure (exemples A & B) — ou bien celui du II degré — dont la quinte devient alors diminuée (exemples C & D). L'abaissement du VI degré peut également avoir lieu sur l'accord de cinq notes placé sur la dominante, dont la neuvième devient alors mineure — cette technique est fréquente dans les accords de neuvième de dominante sans fondamentale. L’accord de sixte napolitaine est une variété de premier renversement de l’accord de deuxième degré.


title: Accord d'emprunt

text: Les dominantes passagères sont des accords de septième ou neuvième de dominante placés sur des degrés autres que la dominante de la tonalité courante.


title: Liste de personnes associées à l'histoire de la Corée

text: Ceci est une liste de personnages significatifs de l'histoire de la Corée, des origines à nos jours et par période.


text: Les premiers rois de Silla sont élus par les chefs de tribus appartenant à la fédération.Les premiers rois de Paekche sont élus par les chefs de tribus appartenant à la fédération."Voir aussi : Liste des rois de Koguryŏ(고구려)"


text: La dynastie compte 27 souverains, parmi lesquels :Autres figures notables :


title: Arsène Lupin (film, 2004)

text: Arsène Lupin est un film français, réalisé par Jean-Paul Salomé en 2004.


title: Arsène Lupin (film, 2004)

text: Le film est très librement inspiré de l'œuvre de Maurice Leblanc, en particulier du roman "La Comtesse de Cagliostro" et de la nouvelle "Le collier de la Reine". Y figurent aussi des éléments des romans , "L'Aiguille creuse", et des nouvelles .


title: Arsène Lupin (film, 2004)

text: À 23 ans, Arsène Lupin est un jeune voleur insouciant qui détrousse l'aristocratie parisienne. Le jeune cambrioleur virtuose multiplie les coups d'éclat : attaque d'un train lancé à pleine allure, acrobaties sur les toits du Louvre, vol spectaculaire à la cathédrale de Rouen. Mais ses plans vont être perturbés par sa passion aveugle pour la vénéneuse comtesse de Cagliostro qu'il va sauver de justesse du bûcher pour sorcellerie. En effet, il semble qu'elle vive depuis plusieurs siècles grâce à une potion dont elle seule connait le secret. Arsène s'en laissera deux fois plus séduire quand elle lui parlera de l’inestimable trésor des rois de France. Mais avant de lui révéler son emplacement elle désire bien sûr des preuves. Arsène va donc succomber à plusieurs de ses envies. Tout d'abord un vol de bijoux organisé dans un prestigieux casino, avant de rentrer faire l'amour et de fêter cela. L'arrivée de Beaumagnan va peu à peu le ramener à la réalité, et c'est seul qu'il décidera de poursuivre la quête vers le trésor. Entre-temps, il apprendra également qu'il va devenir père par l'intermédiaire de son premier amour Clarisse de Dreux-Soubise.


title: Livre de Joël

text: Le livre de Joël est un passage de la Tanakh (Ancien Testament pour les chrétiens). La Bible ne contient aucun élément biographique sur son auteur. La majorité des exégètes font remonter sa rédaction à une période comprise entre les bien que certains exégètes aient pu envisager une rédaction préexilique.


title: Livre de Joël

text: Il est centré sur une prophétie faite par Joël lorsque le pays de Juda a été affligé par une grande famine et par les sauterelles (criquets) (Joël 1:4–20). Il assure au peuple que par le repentir il recevra de nouveau les bénédictions de Dieu (Joël 2:12–14).


title: Livre de Joël

text: Une horde d’insectes ravage le pays. Le feu les précède et achève la dévastation. Partout sévit la famine. Le soleil se change en ténèbres et la lune en sang, car le jour de jugement de Dieu est proche. Dieu ordonne de faire passer la faucille et de rassembler les nations pour la destruction. Il conclut en annonçant que certains « s’en tireront sains et saufs ».


title: Livre de Joël

text: L'apôtre Pierre cite la prophétie de Joël concernant le déversement de l'Esprit le jour de la Pentecôte (Joë 3:1–5 ; Ac 2:16–21). L'apôtre Paul cita la même prophétie et l'appliqua tant au peuple juif qu'aux non-Juifs (Joël 2:28-32 ; Actes 2:16-21; Rom. 10:13).


title: Livre de Joël

text: Le chapitre 1 réclame une assemblée solennelle dans la maison de l'Éternel. Le chapitre 2 parle des guerres et des désolations qui précéderont le millénium. Le chapitre 3 parle des derniers jours et affirme que toutes les nations seront en guerre, mais que finalement le Seigneur demeurera en Sion.


title: Modulation d'amplitude en quadrature

text: La modulation d'amplitude en quadrature (en anglais, : QAM) est une forme de modulation d'une porteuse par modification de l'amplitude de la porteuse elle-même et d'une onde en "quadrature" (une onde déphasée de 90° avec la porteuse) selon l'information transportée par deux signaux d'entrée.  Autrement dit, cela peut être considéré (utilisant une notation en nombre complexe) comme une simple modulation d'amplitude d'une onde, exprimée en complexe, par un signal, exprimé en complexe.


title: Modulation d'amplitude en quadrature

text: Cela signifie que l'amplitude et la phase de la porteuse sont simultanément modifiées en fonction de l'information à transmettre.


title: Modulation d'amplitude en quadrature

text: La modulation de phase peut également être considérée comme un cas particulier de la modulation d'amplitude en quadrature, où seule la phase varie. Cette remarque peut également être étendue à la modulation de fréquence car cette dernière peut être vue comme un cas particulier de la modulation de phase.


title: Modulation d'amplitude en quadrature

text: QAM est utilisée dans les systèmes de télévision PAL et NTSC, où les signaux "en phase" (signal "I" pour "in phase") et "à 90°" (signal "Q" pour "quadrature") transportent les composantes des informations de couleur (chroma)...


title: Modulation d'amplitude en quadrature

text: Cette modulation est largement utilisée dans les modems, et dans d'autres formes de communications numériques sur des canaux de transport analogiques notamment la téléphonie mobile 3G HSPA+ et LTE/4G, 5G, WiFi, xDSL, DOCSIS. Dans les applications numériques, le signal modulant est généralement quantifié selon ses composantes "en phase" et "à 90°". L'ensemble des combinaisons d'amplitudes, représentées sur un diagramme en ("x", "y"), est un ensemble de points appelé "diagramme de constellation QAM".


title: Modulation d'amplitude en quadrature

text: Cette constellation, et en conséquence le nombre de bits pouvant être transmis en une fois, peut être augmentée pour un meilleur débit binaire, ou diminuée pour améliorer la fiabilité de la transmission en générant moins d'erreurs binaires. Le nombre de "points" de la constellation est indiqué avant le type de modulation "QAM". C'est une puissance de deux — de 2 (2QAM) à 2 (4096QAM). La modulation 256QAM est fréquemment utilisée pour la télévision numérique par câble et dans le modem câble.


title: Modulation d'amplitude en quadrature

text: Le format de modulation QAM est étudié de plus en plus sérieusement dans le domaine des télécommunications par fibre optique afin de répondre à l'augmentation du débit. Aujourd'hui, les laboratoires utilisent des interféromètres à 3 ondes afin de générer du QAM16 et QAM64. Un élément de réglage de phase est nécessaire afin d'assurer une stabilité parfaite de la constellation. De la même manière, la possibilité de répartir la puissance dans les différents bras de l'interféromètre permet de contrôler la distance entre chacun des points de la constellation.


title: Modulation d'amplitude en quadrature

text: La transmission de deux signaux analogiques à l'aide d'une modulation de type QAM, le signal transmis est de la forme :


title: Modulation d'amplitude en quadrature

text: formula_2 et formula_3 sont les signaux modulants et formula_4 est la fréquence de porteuse.


title: Modulation d'amplitude en quadrature

text: Au niveau du récepteur, les deux signaux modulant peuvent être démodulés en utilisant un démodulateur cohérent. Un tel démodulateur multiplie séparément le signal reçu par un sinus d'une part et par un cosinus d'autre part. Les deux multiplications vont produire respectivement les estimations des voies formula_2 et formula_3. Grâce à la propriété d'orthogonalité des deux porteuses utilisées, il est possible d'extraire les deux signaux modulant de manière indépendante.


title: Modulation d'amplitude en quadrature

text: Dans un cas idéal, la voie formula_2 est démodulée en multipliant le signal reçu par un signal en cosinus :


title: Modulation d'amplitude en quadrature

text: En utilisant les identités trigonométriques, il vient que :


title: Modulation d'amplitude en quadrature

text: On applique un filtre passe-bas sur le signal formula_10, ce qui supprime les composantes de haute fréquence (formula_11), et laisse seulement le terme formula_2. On remarque que ce signal n'est pas affecté par la voie formula_3, ce qui montre bien que la voie formula_2 peut être reçue indépendamment de la voie formula_3.


title: Modulation d'amplitude en quadrature

text: De manière analogue, la réception de la voie formula_3 se fait en multipliant le signal reçu formula_17 par un "sinus".


title: Modulation d'amplitude en quadrature

text: La phase du signal reçu doit être connue de manière précise. Si le signal est légèrement déphasé, cela va produire de la diaphonie.


title: Modulation d'amplitude en quadrature

text: Dans le domaine fréquentiel, la QAM a une forme similaire à la modulation DSB-SC. En utilisant les propriétés de la transformée de Fourier, on trouve que :


title: Modulation d'amplitude en quadrature

text: où "S"("f"), "M"("f") and "M"("f") sont respectivement les transformés de Fourrier de "s"("t"), "I"("t") et "Q"("t").


title: Modulation d'amplitude en quadrature

text: Pour la TNT le 64QAM a été principalement retenu en France ( par symbole) alors qu'en Suisse c'est le 16QAM qui a été préféré pour diffuser par symbole. Dans ce dernier cas la réception pourra se faire dans des conditions de réception réputées plus difficiles, lorsque le champ est plus faible, par exemple à l'intérieur des habitations, ou lorsqu'on utilise une antenne avec un gain faible, voire par échos (signal réfléchi par une montagne), jusqu'à et même le double.


title: Modulation d'amplitude en quadrature

text: Les téléviseurs permettent d'afficher quelle modulation m-QAM (16QAM, 64QAM, etc.) est utilisée, via des menus d'informations sur le signal.


title: Livre de Malachie

text: Le Livre de Malachie est un livre de l'Ancien Testament.


title: Livre de Malachie

text: Le Livre de Malachie est en réalité anonyme. En effet, malachie est un nom commun signifiant , et il n'y a dans ce livre aucun renseignement sur son auteur. Les hypothèses qui permettent d'identifier cet anonyme à un personnage connu, notamment Esdras, sont fragiles.


title: Livre de Malachie

text: On dispose d’indices permettant de proposer une datation. En effet, le culte fonctionne normalement et la destruction d’Édom paraît bien avancée, ce qui nous amène au début du . La situation du clergé semble très problématique du fait de la décadence et du relâchement, ce qui vise une époque assez éloignée de la ferveur des recommencements du culte en Israël. On se trouve dans le contexte des livres d'Esdras et de Néhémie (injustices sociales, mariages mixtes...), et l'on peut donc dater ce livre de quelques années avant l’intervention de Néhémie en -445, c'est-à-dire vers -460. Mais l’activité du prophète a probablement duré plusieurs années voire décennies, et les derniers oracles sont peut-être plus tardifs.


title: Livre de Malachie

text: Selon la traduction de la Bible utilisée, le découpage effectué du livre de Malachie comportera 3 ou 4 chapitres. Là où le chapitre 3 se termine au verset 18 pour donner suite au chapitre 4 comportant six versets dans certaines traductions, d'autres poursuivent le chapitre 3 jusqu'au verset 24.


title: Livre de Malachie

text: Par exemple dans la traduction de David Martin, le verset 1 de Malachie chapitre 4 sera trouvable à Malachie 3 verset 19 dans la version Segond 21 de la Société Biblique de Genève. Ces différences s'expliquent par le fait que le chapitrage et la versification de la majorité des Écritures Saintes ne sont pas d'origine biblique mais furent entrepris plusieurs siècles après Jésus-Christ.


title: Livre de Malachie

text: Malachie insiste beaucoup sur les dysfonctionnements du culte et invite ses auditeurs à y remédier promptement : payer les dîmes, immoler des bêtes en bonne santé... Il dénonce les fraudes qui sont de vaines tentatives de tromper Dieu.


title: Livre de Malachie

text: Le prophète considère que les Israélites qui épousent une païenne trahissent leurs ancêtres. Il s'inscrit dans la perspective des livres d'Esdras et de Néhémie.


title: Livre de Malachie

text: Il blâme par ailleurs ceux qui répudient leur épouse (Mal 2:13-16) : (Mal 2:16).


title: Livre de Malachie

text: Enfin, il annonce la proche venue du jour du Seigneur, qui sera précédé par le retour du prophète Élie. Cette annonce de Malachie est évoquée dans le Nouveau Testament (par exemple: :11 Et ils lui posaient cette question : 12 Il leur dit : )


title: Livre de Malachie

text: Le livre ou la prophétie de Malachie semble suivre quatre grands thèmes : (1) Les péchés d'Israël : Mal 1:6—2:17 ; 3:8–9 ; (2) Les jugements qui s'abattront sur Israël à cause de sa désobéissance : Mal 1:14 ; 2:2–3, 12 ; 3:5 ; (3) Les promesses en cas d'obéissance : Mal 3:10–12, 16–18 ; 4:2–3 ; et (4) Les prophéties relatives à Israël : Mal 3:1–5, 4:1, 5–6.


title: Livre de Malachie

text: Dans sa prophétie, Malachie parle d'un messager que l'on peut identifier à Jean le Baptiste (Mal 3:1 ; Mt 11:10) et de la seconde venue du Seigneur (Mal 4:5).


title: Livre de Zacharie

text: Le livre de Zacharie est un livre de la Bible hébraïque. Il est traditionnellement attribué à Zacharie, qui est un prophète qui vécut pendant le règne de Darius I, grand roi achéménide, durant le .


title: Livre de Zacharie

text: Les chapitres 1 à 6 contiennent une série de huit visions concernant l'aide que Dieu apporte à son peuple opprimé ; les chapitres 7 et 8 en constituent l'épilogue. Les chapitres 9 à 11 annoncent entre autres le retour de YHWH et la victoire du Messie royal, et les derniers chapitres (12 à 14) annoncent la purification de Jérusalem et la régénérescence finale par la victoire de YHWH.


title: Livre de Zacharie

text: Ce livre est caractérisé par ses prophéties concernant le ministère terrestre d'un Messie.


title: Livre de Zacharie

text: Dans ce livre sont mentionnés les quatre jeûnes d'institution prophétique. Chacun de ces jeûnes est destiné à la commémoration d'un évènement lié à la défaite de Jérusalem en 586 av. J.-C. :


title: Livre de Zacharie

text: Le livre est constitué de plusieurs parties, écrites vraisemblablement à des moments différents et par différents auteurs :


title: Livre de Sophonie

text: Le livre de Sophonie ou de Cephania (en hébreu : צְפַנְיָה [tséfaniyah]) est un livre de la Bible hébraïque. Il date du avant l'ère chrétienne. Sophonie est un prophète qui vécut pendant le règne de Josias, roi de Juda.


title: Livre de Sophonie

text: Il y est annoncé la venue du Jour du jugement de Dieu pour le peuple d'Israël qui a adopté des dieux païens et commis des mauvaises actions. Les nations voisines sont aussi menacées, en particulier les Philistins, le royaume de Moab, les Ammonites, la Nubie et la ville de Ninive, capitale de l'Assyrie. Seuls les humbles et les modestes resteront vivants et seront en sécurité sous la protection de Dieu.


title: Livre de Sophonie

text: Le chapitre 1 parle d'un jour à venir qui sera rempli de courroux et de détresse. Le chapitre 2 exhorte le peuple d'Israël à rechercher la justice et l'humilité. Le chapitre 3 parle de la venue du Messie (seconde venue pour les chrétiens) où toutes les nations se rassembleront pour le combat. Mais le Seigneur régnera parmi eux.


title: Livre de Habacuc

text: Le livre de Habacuc est un livre de l'Ancien Testament.


title: Livre de Habacuc

text: Habacuc est un prophète de Juda qui parla de l'état pécheur du peuple, peut-être au cours du règne de Joaqim, roi de Juda (env. 600 av. J.-C.).


title: Livre de Habacuc

text: Le chapitre 1 est une discussion entre le prophète et Dieu, comme le douzième chapitre du Livre de Jérémie. Habacuc est perturbé de voir les méchants prospérer autour de lui. Dieu lui annonce alors la venue des Chaldéens qu'il décrit comme d'impitoyables conquérants. Effrayé, le prophète demande s'ils seront à leur tour punis.


title: Livre de Habacuc

text: Au chapitre 2, Dieu lui recommande d'être patient : les justes doivent être fidèles à leur foi. Ainsi, les conquérants seront châtiés pour leurs pillages, leur violence et leur idolâtrie.


title: Livre de Habacuc

text: Le chapitre 3 contient une prière d'Habacuc dans laquelle il reconnaît la justice de Dieu.


title: Livre de Nahum

text: Le livre de Nahum (ou Nahoum) est un livre de l'Ancien Testament. Nahum est un prophète juif originaire de Galilée, selon Jérôme de Stridon. . Les exégètes situent Nahum entre 663 et 612 (prise de Ninive par Babylone). Ce texte est une prophétie qui s'adresse principalement à la ville de Ninive, capitale du puissant empire assyrien.


title: Livre de Nahum

text: Le chapitre 1 raconte que la terre sera brûlée à la venue du Messie (seconde venue pour les chrétiens) et parle de la miséricorde et de la puissance du Seigneur. Le chapitre 2 parle de la destruction de Ninive, qui est la préfiguration de ce qui se passera dans les derniers jours. Le chapitre 3 continue à prédire la destruction et la fin misérable de Ninive. Ninive y est comparée à la ville égyptienne de Thèbes, qui a été pillée plusieurs fois par les Assyriens, et définitivement détruite par Assurbanipal, roi d'Assyrie.


title: Livre de Michée

text: Le Livre de Michée est un livre de l'Ancien Testament. Le prophète juif Michée a été chargé par Dieu de rétablir la paix et la justice en Israël.


title: Livre de Michée

text: Il est précisé que le Messie naîtra à Bethléem (Mi 5:1). Dans le livre, le Seigneur consulte son peuple et lui rappelle sa bonté passée à son égard ; il exige de lui la justice, la miséricorde et l'humilité (Mi 6:8).


title: Livre de Michée

text: D'après le titre de son Livre (2.1), Michée a exercé son ministère sous les trois rois de Juda, Jotham, Achaz et Ezéchias (740-687 ). Il est ainsi le contemporain d'Osée et d'Isaïe, mais sans doute un contemporain plus jeune de ces deux prophètes, qui ont entamé leur ministère sous Ozias, le prédécesseur de Jotham (Osée 1.1 ; Isaïe 1.1). D'après le Livre de Jérémie Michée a prophétisé pendant le règne d'Ezéchias.


title: Livre de Michée

text: Il prophétise d'abord la destruction de Samarie, capitale du royaume d'Israël, avant de se consacrer plus particulièrement au royaume de Juda. Dans ses prophéties, Michée accable principalement les dirigeants de Juda, et ceux qui y représentent la justice et la religion. En conséquence, il prédit la destruction de Jérusalem et de son Temple ainsi que l'Exil à Babylone, avant la délivrance et la survenue d'un roi sauveur à Bethléem.


title: Livre de Michée

text: Ce texte "de l'épée à la charrue" (4.3) se rapproche de certains passages du Livre d'Isaïe (2.4), attribué à son éminent contemporain Isaïe.


title: Livre de Jonas

text: Le Livre de Jonas est un récit du Tanakh (Bible hébraïque), appelé "Maftir Yonah," qui décrit un événement de la vie du prophète Jonas (en hébreu : , abrégé en "Jon"). Jonas est le cinquième des douze petits prophètes de la Bible.


title: Livre de Jonas

text: L'idée principale du livre est que le Dieu d'Israël est le Dieu de tous les hommes et que sa miséricorde s'étend à eux, pourvu qu'il y ait repentir de leur part. Le livre décrit alors la colère que Jonas ressent en voyant que Dieu a pitié d'Assyriens qui sont ennemis du royaume d'Israël.


title: Livre de Jonas

text: Dans le canon biblique, le Livre de Jonas est juxtaposé à celui de Michée qui lui fait suite, soit parce qu’il contient le récit du sauvetage de Ninive alors que Michée en a prophétisé la destruction (5:4-5), soit parce que les deux livres révèlent l’efficacité de la "techouva" (repentir).


title: Livre de Jonas

text: Le Livre de Jonas se présente sous la forme d’un récit relatant de façon imagée une aventure dont le thème est tout entier consacré à la valeur du repentir.


title: Livre de Jonas

text: Le nom de « Ninive » apparaît dans la Torah (Gen. 10:11) où l'on apprend que la ville a été construite par Achour, fondateur de l’Assyrie. Bien que ce soit la première fois que le nom d’une cité apparaisse dans le texte sacré, elle n’est pas reliée à l’histoire juive mais à celle d'idolâtres.


title: Livre de Jonas

text: A l’époque de la royauté, Ninive est la capitale de l'Assyrie, une grande puissance étrangère de ce temps, qui représente une menace pour les deux royaumes juifs (de Judée et d'Israël). L'Assyrie détruit ainsi le royaume du Nord, en 135 avant la destruction du premier Temple de Jérusalem, et disperse à travers le monde les tribus d'Israël qui le peuplaient et dont une partie reste appelée les « Dix tribus perdues ».


title: Livre de Jonas

text: Le prophète Jonas est envoyé par Dieu à Ninive, symbole d'oppression et de violence, pour condamner la ville et l'inviter à se repentir mais il s’enfuit dans la direction opposée, embarquant sur un navire en partance pour Tarsis afin d'échapper à la parole de Dieu, et fuir sa mission dangereuse de prophète en pays païen. Selon le Livre d'Isaïe, Tarsis est le lieu où la parole divine n'arrive pas.


title: Livre de Jonas

text: Jonas monte dans un bateau, puis descend dans la cale et s'endort. Le navire est pris dans une grande tempête. Les marins prient vainement chacun à l'adresse de sa propre divinité puis jettent les sorts afin de découvrir la cause de ce malheur, et les sorts désignent Jonas plongé alors dans un profond sommeil au fond d'une cale. L’équipage interroge leur passager qui affirme son identité comme « Hébreu » (‘"ivri") et « leur propose de lui même qu’on le précipite dans l’eau afin de calmer les flots impétueux ». Il est lancé à la mer, qui se calme aussitôt.


title: Livre de Jonas

text: Avalé par un grand poisson (souvent improprement appelé « baleine ») durant trois jours et trois nuits, Jonas se met à prier en regrettant sa fuite et se voit vomi sur une plage. Une nouvelle fois, Dieu donne l’ordre à Jonas d'aller à Ninive pour réprimander sa population pour sa conduite. Jonas, cette fois, ne se dérobe pas et reprend le chemin pour Ninive. Il y annonce le futur jugement aux habitants de la cité : « Encore quarante jours, et Ninive sera détruite ! ». Les habitants se repentent ; le roi de Ninive ordonne même un jeûne collectif afin d’inciter ses sujets à se détourner de leurs mauvaises actions. Le texte précise : « Et Dieu Se ravisa concernant le mal qu’Il avait dit qu’Il leur ferait, et Il ne le fit pas » : Dieu leur pardonne et ne détruit pas la ville. Jonas s'irrite d'avoir annoncé pour rien la destruction de Ninive, qui n'a pas eu lieu, mais Dieu le réprimande.


title: Livre de Jonas

text: Le Livre de Jonas n'indique pas pourquoi Jonas se détourne la première fois de sa mission mais le Midrach explique qu’il craignait que le repentir de Ninive n’incite Dieu à retourner Sa colère contre Israël.


title: Livre de Jonas

text: Selon le Gaon de Vilna, l’idée générale du livre est que l’âme humaine (Jonas) est envoyée sur terre pour améliorer l’état du monde (Ninive). Cependant, loin de l’améliorer, elle le pervertit davantage. Aussi, doit-elle en passer par un processus de réincarnation ("guilgoul") afin d’accomplir la tâche qui lui est dévolue, mais cette fois dans la douleur.


title: Livre de Jonas

text: Le Nouveau Testament fait mention de Jonas. Jésus enseigna que Jonas avalé par le poisson annonçait sa mort et sa résurrection (Mt 12:39–40 ; 16:4 ; Lc 11:29–30). L'Évangile selon Matthieu fait mention au chapitre 12 d'un "signe de Jonas" qui semble être l'annonce de la mort de Jésus Christ pendant trois jours complets, suivis de sa résurrection. Dans l'Évangile selon Luc au chapitre 11: « (...) parce qu’ils se sont repentis à la prédication de Jonas(...) », le signe est celui de la conversion des païens, alors que les Juifs gardent leur distance vis-à-vis de Jésus.


title: Livre de Jonas

text: Le prophète reproche à son Dieu d'avoir épargné les habitants de Ninive. Il s'agit d'un pastiche des textes de prophètes plus anciens qui refusaient la conversion des étrangers à Juda et leur prédisaient la punition divine, comme Jonas à Ninive. À l'inverse, le Livre de Jonas indique que tout homme peut susciter la pitié du Dieu d'Israël, ce qui explique qu'en d'autres circonstances, certains aient échappé aux châtiments prédits par les prophètes.


title: Livre de Jonas

text: Le Livre de Jonas a été écrit, selon la théologie libérale, à l'époque post-exilique, donc bien après la destruction de Ninive, et il ne fait référence à cette ville qu'en tant que symbole de ville gigantesque, à laquelle il attribue de façon fantaisiste plus de et une taille telle qu'il faut trois jours de marche pour la traverser ou en faire le tour. Le propos du rédacteur est de s'en servir comme modèle de ville qui ne connaît pas Dieu avant la venue du prophète, située dans un pays étranger mentionné dans d'autres textes bibliques : l'Assyrie qui est un ancien oppresseur d'Israël et de Juda.


title: Livre d'Abdias

text: Le livre d'Abdias ou d'Obadia est une prophétie concernant le jugement divin du royaume d'Édom, qui est condamné à la ruine, et la revanche que les fils d'Israël prendront sur ce royaume. Le texte se compose d'un seul chapitre, divisé en 21 versets, ce qui en fait le livre plus court de la Bible hébraïque.


title: Livre d'Abdias

text: Dans le judaïsme et le christianisme, sa paternité est attribuée à un prophète de l'époque assyrienne, Abdias, dont le nom signifie « serviteur ou adorateur de Yahvé ». Dans le christianisme, le livre d'Abdias est classé parmi ceux des petits prophètes de l'Ancien Testament, en raison de sa concision. Dans le judaïsme, Abdias est considéré comme un « dernier prophète » et ce texte massorétique est chronologiquement placé dans le Tanakh sous la section Nevi'im (« Les Prophètes »), dans la dernière catégorie appelée les « Douze Prophètes ».


title: Livre d'Abdias

text: Dans le rite séfarade, ce livre est la haftarah de la parasha Vayishla'h, qui décrit les démêlés des frères jumeaux Jacob et Ésaü. Le livre d'Abdias est en effet interprété comme prophétisant les difficiles relations entre judaïsme et christianisme.


title: Livre d'Abdias

text: Le livre d'Abdias est basé sur une vision prophétique concernant la chute d'Édom [v.1, 4, 18], une nation installée dans les montagnes [v. 8, 9, 19, 21] dont le père fondateur est Ésaü [v.6]. Abdias décrit une rencontre avec Dieu qui dénonce l'arrogance d'Édom et ses actions violentes contre son pays frère, la maison de Jacob [v. 10]. La vision projette également la chute de Jérusalem livrée aux mains des envahisseurs étrangers et la colère de Dieu contre Édom pour avoir tiré profit du malheur des Juifs de Juda, scellant ainsi sa perte. [v. 10-14].


title: Livre d'Abdias

text: Le dernier aspect de la vision porte sur la restauration d'Israël, perçu comme un lieu saint, au détriment de la lignée édomite qui prendra fin. La prophétie d’Abdias rappelle par ailleurs que le jugement de Dieu concerne toutes les nations [ v. 15, 17] « Car le jour de l'Éternel est proche, pour toutes les nations … Mais le salut sera sur la montagne de Sion, elle sera sainte, Et la maison de Jacob reprendra ses possessions. »


title: Livre d'Amos

text: Le livre d'Amos est un livre de la Bible hébraïque.


title: Livre d'Amos

text: Le prophète Amos, dont le nom signifie « porteur », était originaire de , une ville du royaume de Juda, au sud de Jérusalem. Amos était berger et homme de la terre (Amos 1. 1 ; 7. 14). Sa connaissance de la vie agricole transparaît à plusieurs reprises dans sa manière de s’exprimer (Amos 2. 13 ; 3. 12 ; 4. 9 ; 5. 8 ; 6. 12 ; 7. 1, 2). Selon ses propres indications, Amos prophétisa aux jours des rois Ozias de Juda (791-740 av. J.-C.) et Jéroboam II d’Israël (793-753 av. J.-C.). La période pendant laquelle les règnes de ces deux rois coïncident s’étend de 767 à 753 av. J.-C., de sorte que le ministère du prophète Amos doit se situer principalement au cours de ces années.


title: Livre d'Amos

text: Beaucoup de prophéties d'Amos invitent Israël et ses voisins à retourner à la justice.


title: Livre d'Amos

text: Amos condamne Israël pour sa vie luxueuse, car les riches dépouillent les pauvres pour se bâtir des maisons d'ivoire, où ils festoyaient somptueusement.


title: Livre d'Amos

text: Le jugement de Dieu sera exécuté à coup sûr, sur les nations voisines (Syrie, la Philistie, Tyr, Édom, Ammon, Moab et Juda), mais surtout sur Israël pour avoir haï et maltraité leurs frères israélites, pour avoir opprimé les pauvres, pour avoir commis l'immoralité, et pour avoir traité irrespectueusement les prophètes et les naziréens suscités par Dieu. La punition divine est inexorable. Il n'existe aucun refuge où s'enfuir pour échapper, aucun lieu n'est hors de portée de Dieu. Finalement, les rescapés seront rassemblés et possèderont une sécurité durable.


title: Livre d'Amos

text: Ce livre se réfère au reste de la Bible, il contient de nombreuses références à l'histoire biblique et aux lois de Moïse. Pour les chrétiens du , les écrits d'Amos étaient divinement inspirés. Le martyr Étienne et Jacques, le frère de Jésus (Actes 15:14-18) ont attiré l'attention sur certaines de ses prophéties.


title: Livre d'Amos

text: Les chapitres 1–5 appellent Israël et ses voisins au repentir. Le chapitre 3 explique que le Seigneur révèle ses secrets aux prophètes et que, pour cause de transgression, Israël sera détruit par l'ennemi. Les chapitres 6–8 prophétisent la chute d'Israël de nombreuses années avant l'invasion assyrienne. Le chapitre 9 prophétise qu'Israël sera rappelé dans son pays.


title: Fraction continue

text: En mathématiques, une fraction continue ou fraction continue simple ou plus rarement fraction continuée est une expression de la forme : formula_1


title: Fraction continue

text: comportant un nombre fini ou infini d'étages.


title: Fraction continue

text: On montre qu'on peut « représenter » tout nombre réel sous forme d'une fraction continue, finie ou infinie, dans laquelle "a" est un entier relatif et les autres "a" sont des entiers strictement positifs.


title: Fraction continue

text: Comme dans la notation décimale usuelle, où chaque réel est approché par des nombres décimaux de plus en plus précisément au fur et à mesure de la donnée des décimales successives, de même chaque réel est approché par des fractions étagées de la forme ci-dessus de plus en plus précisément au fur et à mesure qu'on rajoute des étages. En outre, s'il faut une infinité de décimales pour décrire exactement un nombre non décimal, il faut un développement infini en fraction continue pour décrire exactement un nombre irrationnel.


title: Fraction continue

text: Les fractions continues sont utiles en approximation diophantienne, notamment parce qu'elles fournissent, en un certain sens, les « meilleures » approximations des réels par des rationnels. Cette propriété est à l'origine d'algorithmes pour l'approximation de racines carrées, mais aussi de démonstrations d'irrationalité voire de transcendance pour certains nombres comme  ou "e". La périodicité des fractions continues des racines carrées d'entiers strictement supérieurs à 1 et sans facteur carré a des conséquences utiles pour l'étude de l'équation de Pell-Fermat.


title: Fraction continue

text: Déjà usitées chez les mathématiciens indiens au Moyen Âge, les fractions continues sont étudiées en Europe dès le . Elles sont maintenant généralisées à d'autres expressions, appliquées aux approximations de séries entières appelées approximant de Padé, ou encore adaptées aux applications linéaires. La notion de fraction continue est vaste et se retrouve dans de nombreuses branches des mathématiques. Les concepts associés peuvent être relativement simples comme l'algorithme d'Euclide, ou beaucoup plus subtils comme celui de fonction méromorphe.


title: Fraction continue

text: Il est possible, dans un premier temps, de voir une fraction continue comme une suite d'entiers qui « représente » un réel. Cette situation est un peu la même que celle du système décimal qui représente par la suite d'entiers 3, 1, 4, 1, 5, 9… Sous forme de fraction continue, la suite est 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1… Un premier champ d'étude consiste à étudier la relation entre la suite 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1… et celle des nombres rationnels que propose la fraction continue, en l'occurrence 3, 22/7, 333/106, etc., il permet de savoir comment passer de la première suite à la deuxième, comment la deuxième converge et répond à d'autres questions de cette nature. Tel est essentiellement l'objet de cet article. Les fractions continues ont une relation particulière avec les racines carrées ou plus généralement les nombres, dits irrationnels quadratiques, de la forme où "a" et "b" sont des nombres rationnels, "b" non nul, et "d" > 1 un entier sans facteur carré. Les fractions continues associées sont périodiques, à partir d'un certain rang, c'est-à-dire que la suite des entiers formant la fraction continue se répète à partir d'un certain rang et jusqu'à l'infini. Cette situation est à l'image des représentations décimales infinies de nombres rationnels. Ces fractions continues permettent de résoudre un célèbre problème d'arithmétique appelé équation de Pell-Fermat. Cette question fait l'objet de l'article « Fraction continue d'un irrationnel quadratique ».


title: Fraction continue

text: À l'image du système décimal, la fraction continue offre des nombres rationnels de plus en plus approchés de leur cible. Ces approximations sont bien meilleures que celles décimales. La deuxième approximation décimale de , égale à 31/10 possède un dénominateur relativement proche de celui de la deuxième approximation de la fraction continue 22/7, en revanche 22/7 est plus de 30 fois plus précis que 31/10. Ce type d'approche d'un nombre réel par un nombre rationnel est appelé approximation diophantienne. Les fractions continues y jouent un grand rôle. Elles ont permis de construire les premiers nombres transcendants connus : les nombres de Liouville ou de montrer que le nombre est irrationnel. À condition de généraliser la définition d'une fraction continue, il devient possible de montrer que est aussi irrationnel — cette approche est traitée dans l'article « Fraction continue et approximation diophantienne ». (En fait, et sont même transcendants, d'après le théorème d'Hermite-Lindemann.)


title: Fraction continue

text: Une fraction continue ne concerne pas uniquement les nombres mais aussi les fonctions. On généralise encore plus les fractions continues en remplaçant les coefficients par des polynômes. Une motivation provient de l'analyse complexe, qui a pour objet l'étude des fonctions de la variable complexe à valeurs complexes, dérivables en tant que telles. L'approche classique consiste à les définir comme séries entières donc comme limites de polynômes. Une spécificité fréquente de ce type de fonction est de posséder des pôles. Si, au lieu d'approcher la fonction par des polynômes, on utilise des quotients, on construit une suite d'approximants de Padé qui ne possède pas nécessairement cette faiblesse.


title: Fraction continue

text: D'autres propriétés ont été étudiées. À la différence du système décimal, un entier apparaissant dans une fraction continue n'est en général pas borné par 9, il peut devenir arbitrairement grand. Alexandre Khintchine s'est intéressé à la moyenne, au sens de limite des moyennes géométriques de tous ces dénominateurs. Pour presque tous les nombres, cette moyenne est la même (le mot « presque » possède ici le sens technique de la théorie de la mesure) ; cette moyenne est appelée constante de Khintchine.


title: Fraction continue

text: Il est aussi possible de construire des développements en fractions en plaçant les barres de fraction sur le numérateur et non en dessous : on obtient un développement en série de Engel : formula_2.


title: Fraction continue

text: L'usage des fractions continues est ancien. Aryabhata (476-550), un mathématicien indien les utilise pour résoudre des équations diophantiennes ainsi que pour approximer précisément des nombres irrationnels. Brahmagupta (598-668) étudie plus en profondeur l'équation maintenant dite de Pell-Fermat, en utilisant une identité remarquable. Il cherche à résoudre l'équation et trouve la plus petite solution : "x "= et "y "= .


title: Fraction continue

text: Au , la méthode est enrichie par Bhāskara II. Un algorithme, la méthode chakravala, analogue à celui des fractions continues, permet de résoudre le cas général. La différence la plus marquante avec la méthode européenne ultérieure est qu'il autorise les nombres négatifs dans la fraction, permettant une convergence plus rapide.


title: Fraction continue

text: L'apparition en Europe est plus tardive et italienne. Raphaël Bombelli (1526-1572) fait usage d'un ancêtre des fractions continues pour le calcul d'approximations de la racine carrée de 13. Pietro Cataldi (1548-1626) comprend que la méthode de Bombelli s'applique pour toutes les racines carrées, il l'utilise pour la valeur 18 et écrit un petit opuscule à ce sujet. Il remarque que les approximations obtenues sont alternativement supérieures et inférieures à la racine carrée cherchée.


title: Fraction continue

text: Un progrès décisif a lieu en Angleterre. Le 3 janvier 1657, Pierre de Fermat défie les mathématiciens européens avec plusieurs questions dont l'équation déjà résolue par Brahmagupta. La réaction des anglais, piqués au vif, est rapide. William Brouncker (1620-1684) trouve la relation entre l'équation et la fraction continue, ainsi qu'une méthode algorithmique équivalente à celle des indiens pour le calcul de la solution. Il produit la première fraction continue généralisée, pour le nombre . Ces résultats sont publiés par John Wallis qui en profite pour démontrer les relations de récurrence utilisées par Brouncker et Bhāskara II. Il donne le nom de fraction continue dans la phrase : . À cette époque, Christian Huygens (1629-1695) utilise les approximations rationnelles données par le développement en fractions continues pour déterminer le nombre de dents des engrenages d'un automate planétaire.


title: Fraction continue

text: Quelques questions théoriques sont résolues au siècle suivant. L'usage montre que l'algorithme des fractions continues permet de résoudre l'équation de Pell-Fermat en utilisant le fait que la fraction est périodique à partir d'un certain rang. Leonhard Euler (1707-1783) montre que si un nombre possède une fraction continue périodique, alors il est solution d'une équation du second degré à coefficients entiers. La réciproque, plus subtile, est l'œuvre de Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). Durant ce siècle, Jean-Henri Lambert (1728-1777) trouve une nouvelle utilité aux fractions continues. Il les utilise pour montrer l'irrationalité de .


title: Fraction continue

text: Cet usage devient fréquent au . Évariste Galois (1811-1832) trouve la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fraction continue soit "immédiatement" périodique. Joseph Liouville utilise le développement en fraction continue pour exhiber des nombres transcendants : les nombres de Liouville. En 1873, Charles Hermite prouve la transcendance de. Un sous-produit de sa preuve est une nouvelle démonstration de l'expression de la fraction continue simple de trouvée par Euler. À la fin du siècle, Henri Padé (1863-1953) développe la théorie des approximants qui portent maintenant son nom et qui sont des fractions continues de polynômes. Cette technique est utilisée par Henri Poincaré (1854-1912) pour démontrer la du système solaire. Georg Cantor (1845-1918) prouve à l'aide des fractions continues que les points d'un segment et ceux situés à l'intérieur d'un carré sont en bijection. Les fonctions de cette nature sont étudiées dans le cadre de la théorie du chaos ; elles sont discontinues sur chaque point rationnel de l'intervalle [0, 1].


title: Fraction continue

text: On commence par rappeler le déroulement de l'algorithme dû à Euclide de recherche du PGCD, en analysant l'exemple des deux nombres entiers et . On procède à une suite de divisions euclidiennes avec reste : formula_3 Une autre manière d'interpréter cet algorithme consiste à approcher par étapes le quotient 15 625 / 6 842. La partie entière de ce quotient est 2, ce qui permet d'écrire : formula_4


title: Fraction continue

text: Que peut-on dire de la fraction 1 941 /6 842, à part qu'elle est plus petite que 1 ? Elle est comprise entre 1/4 et 1/3, son inverse, 6 842 / 1 941, possède comme partie entière : 3 ; et plus précisément, si l'on utilise les résultats de la deuxième division euclidienne : formula_5 Ainsi de proche en proche : formula_6


title: Fraction continue

text: qui est bien une fraction continue. On utilise parfois la notation suivante, plus commode : formula_7


title: Fraction continue

text: On peut comparer 15 625 / 6 842 à ses réduites obtenues en tronquant successivement le nombre d'étages de la fraction continue. Le tableau suivant donne les troncatures en notation fractionnelle puis décimale, et la différence entre la réduite et le nombre 15 625 / 6 842.


title: Fraction continue

text: La suite des erreurs est décroissante en valeur absolue et de signes alternés.


title: Fraction continue

text: Soit "r" = "p"/"q" un nombre rationnel (avec "p" et "q" entiers et "q" > 0). On cherche pour "r" un "développement fini en fraction continue", c'est-à-dire une écriture de "r" sous la forme ["a", … , "a"] avec "n" entier naturel, "a" entier relatif et entiers > 0. On applique pour cela l'algorithme d'Euclide :


title: Fraction continue

text: On pose "p" = "p", "p" = "q", et l'on construit les entiers "a" et "p" par division euclidienne : formula_8


title: Fraction continue

text: Puis, tant que "p "n'est pas nul, on définit les entiers "a" et "p" par : formula_9


title: Fraction continue

text: avec "a" entier au moins égal à 1 (pour "j "> 1) et 0 ≤ "p" < "p". L'algorithme d'Euclide s'arrête. On note "n" le plus grand entier pour lequel "p" n'est pas nul. On sait donc que "p"/"p" est égal à l'entier "a". On a alors : formula_10 En effet : formula_11 ou encore : formula_12


title: Fraction continue

text: L'algorithme d'Euclide permet de calculer une fraction continue dans le cas des nombres rationnels. Cet algorithme admet dans ce cadre une interprétation géométrique. Soit "r" = "p"/"q" un nombre rationnel, on considère un rectangle de longueur "p" et de largeur "q", et on le pave par des carrés de côté "q".


title: Fraction continue

text: Si "r" est un entier, le pavage comporte exactement "r" carrés. Sinon, soit "a" le nombre de carrés insérés dans le rectangle, ou encore, le premier terme de la fraction continue. Il reste une bande non pavée de dimension "q" × "b" avec "b" égal à "p" – "a""q" ; on pave cette bande avec des carrés de dimension maximale, c'est-à-dire de côté "b". Le nombre de carrés est égal au deuxième terme "a" de la fraction continue. En réitérant la méthode, on obtient l'intégralité des coefficients "a".


title: Fraction continue

text: Dans l'image ci-contre, on pave le rectangle 30 × 13 par deux carrés de côtés 13. Il reste une bande de longueur 13 et de largeur 4. En termes de fraction continue, on obtient l'égalité : formula_13. Ensuite, on remarque qu'il est possible de remplir la bande restante de 3 carrés de côté 4 et il reste une bande de longueur 4 et de largeur 1, ce qui permet de terminer le calcul de la fraction continue : formula_14. La même construction permet de trouver le rationnel dont on connait le développement en fraction continue. Dans l'image de gauche on peut retrouver le rationnel dont le développement est [1, 1, 2, 3]. Le dernier coefficient est égal à 3, on trouve donc 3 petits carrés de côté 1, qui donnent la taille du carré suivant (3). L'avant dernier coefficient 2 indique qu'il existe deux carrés moyens de côté 3. Ces deux côtés et le petit carré donnent la taille du carré plus grand (7). Le coefficient associé est égal à 1, il n'en n'existe donc qu'un unique de cette nature. Le carré plus grand (7) et le carré moyen (3) donnent le côté du dernier carré (10). Les deux derniers carrés donnent la longueur totale du rectangle (17). La fraction recherchée est égale à 17/10.


title: Fraction continue

text: Le processus s'arrête car "p" et "q" sont commensurables c'est-à-dire qu'il existe une longueur "l" et deux entiers "a" et "b" tels que "p" = "la" et "q" = "lb".


title: Fraction continue

text: Considérons maintenant un rectangle de longueur "L" et de largeur "l". Si le quotient "L"/"l" n'est pas rationnel, c'est-à-dire si les longueurs "L" et "l" sont incommensurables, le processus ne s'arrête pas.


title: Fraction continue

text: Tel est le cas pour la figure de droite représentant un rectangle d'or, c'est-à-dire un rectangle dont le rapport de la longueur sur la largeur est égal à φ le nombre d'or. On ne peut placer qu'un carré dans chaque bande ce qui amène à la représentation : formula_15.


title: Fraction continue

text: La suite des numérateurs et celle des dénominateurs sont de Fibonacci. On a donc montré que pour tout rationnel "r", l'algorithme d'Euclide fournit un développement fini en fraction continue de "r" (réciproquement, tout nombre qui possède un développement fini en fraction continue est évidemment rationnel). Le développement ["a", … , "a"] obtenu ainsi a la particularité que si "n" est non nul, alors "a" > 1. On en déduit un second développement : "r" = ["a", … , "a" – 1, 1]. Ce sont les deux seuls.


title: Fraction continue

text: Quand on adjoint, au calcul des "a" de ce développement, le calcul des numérateurs "h" et dénominateurs "k" des différentes réduites : formula_16 cet algorithme d'Euclide devient l'algorithme d'Euclide étendu. Plus précisément, la suite des couples d'entiers ("u", "v"), fournie par l'algorithme étendu appliqué à ("p", "q"), coïncide avec la suite des ("k", "h"), aux signes près et à un décalage près des indices : "k" = (–1)"u" et "h" = (–1)"v". Pour tout "j", les entiers "k" et "h" sont donc premiers entre eux et "p" = (–1)("qh" – "pk"). En particulier : la dernière réduite, "h"/"k", est la fraction "p"/"q" mise sous forme irréductible et l'avant-dernière correspond à la solution particulière de l'identité de Bézout fournie par l'algorithme d'Euclide étendu : PGCD("p", "q") = "p" = (–1)("qh" – "pk").


title: Fraction continue

text: Une remarque permet de généraliser la méthode précédente à un réel quelconque. Pour l'illustrer, appliquons-la sur le nombre . La première étape, dans le cas d'un rationnel, était le calcul du quotient de la division euclidienne du numérateur par le dénominateur, ce qui n'a plus de sens pour un réel, en revanche le résultat était égal à la partie entière du rationnel, or la partie entière d'un réel a un sens. La partie fractionnaire, nécessairement plus petite que 1, était inversée, ce qui est encore possible ici. On obtient : formula_17.


title: Fraction continue

text: Comme est plus petit que 1 (c'est une partie fractionnaire) son inverse est plus grand que 1, et n'est pas entier puisque est irrationnel. On peut donc lui appliquer la même démarche : formula_18


title: Fraction continue

text: La nouvelle valeur, approximativement égale à 15,997, est encore un irrationnel strictement supérieur à 1, d'où la possibilité d'une nouvelle étape, puis d'une nouvelle : formula_19


title: Fraction continue

text: Puisque que est irrationnel, le processus ne s'arrête jamais (en imaginant que le calcul est réalisé avec une infinité de décimales). On obtient comme suite de fractions 3 puis 22/7 ≈ 3,1428 puis 333/106 ≈ 3,14150 puis 355/113 ≈ 3,1415929 et enfin 103 993 / 33 102, proche de avec une précision meilleure que le milliardième. Une fois encore, la suite des erreurs est décroissante en valeur absolue et de signes alternés.Soit ("a") une fraction continue. On lui associe deux suites d'entiers ("h") et ("k"), définies par récurrence par :


Fraction continue


title: Fraction continue

text: Alors, pour tout indice "p" de la fraction continue :


title: Fraction continue

text: La propriété (3) montre, par application du théorème de Bézout, que les entiers "h" et "k" sont premiers entre eux.


title: Fraction continue

text: Ces trois propriétés se démontrent directement mais sont aussi des cas particuliers de celles des fractions continues généralisées, démontrées dans l'article correspondant. On y donne également une interprétation matricielle de la définition des "h" et "k", dont résulte immédiatement, par transposition, une propriété duale de (1) : formula_23


title: Fraction continue

text: Dans l'algorithme d'Euclide développé précédemment, l'entier "a" est le quotient de "p "dans la division euclidienne par "p". C'est donc la partie entière du réel "x "égal à "p"/"p". La partie fractionnaire "x – a" de "x" est "p"/"p", inverse du réel "x".


title: Fraction continue

text: On peut alors définir un développement en fraction continue pour tout réel "x". Le symbole ⌊"s"⌋ désigne la partie entière du nombre "s". On pose : formula_24


title: Fraction continue

text: ainsi que la définition récurrente : tant que "x" n'est pas entier, formula_25


title: Fraction continue

text: Si "x" est rationnel, comme on l'a vu plus haut, il existe un "n" tel que "x" soit entier : on pose "a = x", l'algorithme s'arrête, et les deux suites ("a") et ("x") sont finies. Si "x" est irrationnel, l'algorithme ne s'arrête jamais et les deux suites sont infinies.On peut formaliser de manière plus informatique cet algorithme :Ou encore :


title: Fraction continue

text: Si "x" est irrationnel, deux notations sont fréquemment utilisées dans ce contexte : formula_26


title: Fraction continue

text: Elles seront légitimées plus loin : on verra entre autres que la suite des réduites converge vers "x".


title: Fraction continue

text: Soient "x" un réel, ("a") sa fraction continue, ("h") et ("k") les suites des numérateurs et dénominateurs des réduites associées à cette fraction continue, et ("x") la suite des quotients complets de "x".


title: Fraction continue

text: Pour tout indice "p", on dispose de l'égalité : formula_27 Or la démonstration des propriétés (1) et (2) ci-dessus des réduites d'une fraction continue reste valide si l'entier "a" est remplacé par le réel "x". On obtient donc, respectivement :


title: Fraction continue

text: La propriété (2’) :


title: Fraction continue

text: La différence de deux réduites successives d'une fraction continue infinie s'écrit formula_29 , ce qui constitue le point de départ du théorème ci-dessous.


title: Fraction continue

text: . |style=display:table}}


title: Fraction continue

text: La liste des développements en fraction continue publiés dans l'OEIS se trouve .


title: Fraction continue

text: Les usages des fractions continues sont nombreux. On trouvera par exemple dans Fraction continue et approximation diophantienne les preuves de l'irrationalité de ou de , dans Fraction continue d'un irrationnel quadratique un exemple de résolution d'équation de Pell-Fermat ou dans Approximant de Padé un prolongement analytique de la série entière de la fonction tangente. L'usage donné ici ne nécessite pour sa compréhension que les propriétés décrites dans cet article.


title: Fraction continue

text: Christian Huygens souhaite construire, à l'aide d'un mécanisme de type horlogerie, un automate représentant le mouvement des planètes autour du soleil : La difficulté à laquelle il est confronté est liée au rapport de la durée d'une année terrestre et de celle de Saturne. En un an, la Terre tourne de 359° 45′ 40″ 30‴ et Saturne de 12° 13′ 34″ 18‴. Le rapport est égal à Combien faut-il de dents sur les deux engrenages supportant respectivement la Terre et Saturne ?


title: Fraction continue

text: Huygens sait que les fractions continues offrent le meilleur compromis, ce qu'il exprime ainsi :


title: Fraction continue

text: Un calcul en fraction continue montre que : formula_43.


title: Fraction continue

text: On obtient la suite de fractions : 29/1, 59/2, 147/5, 206/7, 1 177/40 ... Les deux premières solutions ne sont guère précises, dans le premier cas, à la fin d'une rotation de Saturne, la position de la terre est fausse à près d'un demi-tour, dans l'autre cas l'erreur dépasse 4°. La cinquième est techniquement difficile, elle demande la fabrication d'une roue à plus de dents ou plusieurs roues. La quatrième offre une précision proche de 3/1 000. C'est celle que choisit Huygens.


title: Fraction continue

text: Si la terre fait cent tours complets, sur l'automate planétaire Saturne en fait 700/206, soit trois tours et un angle de 143° 18′. Dans la réalité, Saturne a tourné de 143° 26′. Soit une erreur de 8 minutes d'angle, largement inférieure aux imprécisions mécaniques de l'horloge. Un calcul analogue montre que la fraction 147/5 donne, dans le même contexte, une erreur supérieure à un degré, pour une mise en œuvre d'une difficulté technique comparable.


title: Fraction continue

text: Un calcul, dans la partie introductive de l'article, montre comment déterminer la fraction continue de . Néanmoins, chaque étape est plus pénible car elle demande une précision sur la valeur initiale de plus en plus grande. Les séries entières, convergeant vers , offrent bien une solution théorique pour le calcul de chaque coefficient de la fraction continue, mais il est calculatoirement trop inextricable pour être utilisable. Pour cette raison, il est plus simple d'obtenir une expression en fraction continue généralisée, en autorisant des numérateurs non nécessairement égaux à 1. La première fraction de ce type fut produite par Brouncker : formula_44 Une démonstration de cette égalité figure dans l'article « Formule de fraction continue d'Euler », par évaluation au point 1 d'une fraction continue généralisée de la fonction Arctangente. Ainsi, une fraction continue ne s'applique pas uniquement aux nombres, mais aussi à certaines fonctions. De même, Euler a développé la fonction exponentielle en une fraction continue de fonctions d'une forme appropriée :


title: Fraction continue

text: de manière à obtenir la fraction continue de : formula_45


title: René-Antoine Houasse

text: René-Antoine Houasse est un peintre français né vers 1645 et mort à Paris le .


title: René-Antoine Houasse

text: Élève de Le Brun, sous la direction de qui il travaillait à la manufacture des Gobelins, René-Antoine Houasse participa avec lui à la décoration du château de Versailles.


title: René-Antoine Houasse

text: Il est agréé à l'Académie royale de peinture le et est reçu le .


title: René-Antoine Houasse

text: Il fut directeur de l'Académie de France à Rome de 1699 à 1704, et compta notamment Henri de Favanne parmi ses élèves.


title: René-Antoine Houasse

text: Il épouse le Marie Le Bé, une parente de Charles Le Brun. Il est le père de Michel-Ange Houasse (1680-1730), peintre de scènes de genre.


title: Accélérateur de particules

text: Un accélérateur de particules est un instrument qui utilise des champs électriques ou magnétiques pour amener des particules chargées électriquement à des vitesses élevées. En d'autres termes, il communique de l'énergie aux particules. On en distingue deux grandes catégories : les accélérateurs linéaires et les accélérateurs circulaires.


title: Accélérateur de particules

text: En 2004, il y avait plus de dans le monde. Une centaine seulement sont de très grosses installations, nationales ou supranationales. Les machines électrostatiques de type industriel composent plus de 80 % du parc mondial des accélérateurs industriels d'électrons. De très nombreux petits accélérateurs linéaires sont utilisés en médecine (radiothérapie anti-tumorale).


title: Accélérateur de particules

text: En 1919, le physicien Ernest Rutherford (1871-1938) transforma des atomes d'azote en isotopes d'atome d'oxygène en les bombardant avec des particules alpha engendrées par un isotope radioactif naturel. Mais l'étude de l'atome et surtout de son noyau nécessite de très hautes énergies. Les particules provenant des radio-éléments naturels sont trop peu nombreuses et peu énergétiques pour pénétrer la barrière de potentiel du noyau des éléments les plus lourds. Le potentiel à la surface nucléaire croît d'un million de volts pour l'hydrogène ordinaire à 16 millions pour l'uranium. Les "astroparticules" (rayons cosmiques) ont permis des découvertes majeures mais leur énergie est très variable et il faut aller les chercher en altitude où elles sont moins rares et plus énergétiques. Dans les années 1920, il apparaît évident qu'une étude plus approfondie de la structure de la matière allait nécessiter des faisceaux plus énergétiques et plus contrôlés de particules. La source des particules chargées était variée. Les décharges dans les gaz produisent des ions, alors que pour les électrons, il était possible d'utiliser l'émission par un fil chauffé ou d'autres systèmes. L'énergie (E) d'une particule dans un champ électrique correspond au produit de sa charge (q) multiplié par la tension (U) du champ : E = q.U. Ainsi, une première solution possible était essentiellement d'accélérer les particules dans un tube à vide soumis à une très haute tension. La course au million de volts avait commencé. Plusieurs systèmes furent proposés.


title: Accélérateur de particules

text: En Angleterre, John Cockcroft et Ernest Walton, qui, en 1932, accomplirent la première désintégration réussie du noyau par des particules électriquement accélérées, utilisèrent un multiplicateur de tension à l'aide d'un montage compliqué de redresseurs et de condensateurs (montage Greinacher, 1919). L'une des meilleures idées fut développée par Robert Van de Graaff, qui choisit de développer une machine à partir de l'antique électrostatique. Finalement, les autres (tels que Ernest Orlando Lawrence avec son cyclotron) choisirent une voie complètement différente : renonçant à obtenir d'un coup les 10 ou nécessaires pour pénétrer tous les noyaux, Ernest Lawrence pensa atteindre ces énergies par des impulsions électriques alternatives successives. Des impulsions périodiques supposent le maintien d'un certain synchronisme avec la particule accélérée qui décrit naturellement une ligne droite à une très grande vitesse. En employant un puissant électroaimant dans l'entrefer duquel les particules sont confinées par le champ magnétique lui-même, Ernest Lawrence a résolu simultanément les deux problèmes.


title: Accélérateur de particules

text: Les principaux composants nécessaires pour accélérer les particules sont les champs électriques et magnétiques et un vide de bonne qualité ; les champs électriques et magnétiques sont utilisés pour accélérer et diriger les particules et le vide poussé permet que les particules accélérées ne soient pas ralenties à la suite de collisions avec d'autres particules présentes dans le tube cylindrique au sein duquel circule le faisceau.


title: Accélérateur de particules

text: La classification des accélérateurs de particules peut suivre l'historique des techniques employées : par exemple, l'accélérateur électrostatique, les machines « tandem », les accélérateurs linéaires à hyperfréquences, les cyclotrons (dont le cyclotron isochrone et le bétatron), les synchrotrons (dont le synchrocyclotron, les synchrotrons à protons, à électrons), les anneaux des collisions (anneaux électron-positron, anneaux de collision à protons). Chaque machine peut être associée aux découvertes historiques qu'elles ont permises.


title: Accélérateur de particules

text: Les accélérateurs peuvent être classés selon l'énergie :


title: Accélérateur de particules

text: D'autres classifications sont possibles selon les applications de l'accélérateur : industrie, médecine, recherche fondamentale, exploration et compréhension des composants élémentaires de la matière, de l'énergie et de l'espace et du temps.


title: Accélérateur de particules

text: Ces très grandes machines des s peuvent être classées selon la géométrie des trajectoires de l'accélération : linéaire ou circulaire. Le caractère fondamental de nombreux accélérateurs modernes est la présence d'un champ magnétique enroulant les trajectoires sous forme de cercles ou de spirales. On peut les appeler « circulaires ». D'autres accélèrent en ligne droite, on les appelle « rectilignes ou linéaires ».


title: Accélérateur de particules

text: Stanley Livingston, physicien spécialiste des accélérateurs de particules, a établi ce diagramme dans les années 1960. Il montre la croissance exponentielle de l'énergie des faisceaux accélérés.


title: Accélérateur de particules

text: Ce diagramme classique est "modifié" : l'axe horizontal a été étendu aux années 2010. L'axe vertical a été étendu à . Pour comparer les différents accélérateurs, l'énergie des collisionneurs, qui s'exprime dans le centre de masse, a été recalculée comme si l'énergie des particules observées était le résultat d'une collision avec un proton au repos. Le coût par eV d'énergie du faisceau est réduit d'un facteur par période de 7 ans.Dans le passé, on gagnait un facteur 10 tous les 7-8 ans dans l'énergie des collisions réalisées. Si l'évolution s'était maintenue, aurait été atteint dès 2005. Le (LHC) ( + , CERN, 2008) ne suit donc pas l'extrapolation. Il y a donc un net fléchissement des performances qui indique peut-être un premier signe de fatigue de la discipline.


title: Accélérateur de particules

text: Les accélérateurs ont des applications aussi variées que :


title: Accélérateur de particules

text: En physique fondamentale, ils servent à accélérer des faisceaux de particules chargées (électrons, positons, protons, antiprotons, ions…) pour les faire entrer en collision et étudier les particules élémentaires générées au cours de cette collision. L'énergie des particules ainsi accélérées se mesure en électron-volts (eV) mais les unités sont souvent le million (=), le milliard d'électronvolts (=). "La physique des hautes énergies" (ou subnucléaire ou des particules élémentaires) se définit justement à partir du GeV et au-delà.


title: Accélérateur de particules

text: L'étude et la conception des accélérateurs de particules est une discipline extrêmement riche car au confluent de nombreuses physiques et techniques de pointe :


title: Accélérateur de particules

text: En plus de la physique qui lui est propre, l'étonnante variété des applications des accélérateurs permet à ses physiciens de côtoyer de nombreuses communautés de chercheurs (cf. paragraphe précédent)


title: Accélérateur de particules

text: La discipline, de par les projets gigantesques qu'elle engendre, possède une dimension internationale. Elle est représentée et animée en France par une division à la Société française de physique et en Europe par un groupe à l’European Physical Society. Ces entités, en collaboration avec les autres sociétés savantes étrangères (États-Unis, Russie, Japon, Chine, ...), organisent de nombreuses conférences et workshops.


title: Accélérateur de particules

text: En France, la physique et technologie des accélérateurs est enseignée, à partir du niveau master 2, par quelques universités ou organismes européens


title: Accélérateur de particules

text: Tous les accélérateurs de particules sont constitués de plusieurs sous-ensembles successifs, remplissant diverses fonctions, de la source à la cible et dans un vide poussé : Production et émission des particules chargées (par exemple grâce à une cathode) : ions (proton) ou électrons en général, antiparticules comme l'antiproton et le positron, l'injection dans le tube cylindrique vide d'air où les particules seront accélérées.


title: Accélérateur de particules

text: L'accélération proprement dite (éventuellement par plusieurs sections successives), utilisant des procédés techniques divers : champs électriques continus ou alternatifs à haute fréquence, le guidage du faisceau le long de l'accélérateur à l'aide de déflecteurs électrostatiques ou magnétiques, la focalisation du faisceau pour empêcher sa divergence (lentilles électrostatiques ou magnétiques).


title: Accélérateur de particules

text: Enfin la préparation du faisceau de particules à son utilisation :


title: Accélérateur de particules

text: Déflecteurs qui déplacent le faisceau dans la direction voulue, système de collimation (également pour les applications médicales), détecteurs des particules, cible (épaisse ou mince), métallique destinée à produire des rayons X de haute énergie (notamment pour les applications médicales). La cible peut être un autre faisceau et raccordement à un autre accélérateur (recherche en physique des particules).


title: Accélérateur de particules

text: On trouve plusieurs techniques d'accélération, par exemple :


title: Accélérateur de particules

text: les accélérateurs électrostatiques : Une haute tension statique est appliquée entre 2 électrodes produisant ainsi un champ électrique statique :


title: Accélérateur de particules

text: Les multiplicateurs de tension (combinaison en cascade de condensateurs et de redresseurs) de type Greinacher ou Cockcroft et Walton permettent d'obtenir des hautes tensions qui ont les caractéristiques des machines proprement électrostatiques (Singletron, Tandetron de HVEE). L'énergie acquise par les particules est égale, en électron-volts, au produit de leur nombre de charge par la différence de potentiel entre leur lieu de production (source) et leur lieu d'extraction, le microscope électronique est le plus connu des accélérateurs électrostatiques. L'accélération sous quelques centaines de keV fournit des longueurs d'onde adaptées aux dimensions des cellules, des virus, des microcristaux et des plus grosses molécules, Le générateur électrostatique le plus typique est le générateur de Van de Graaff : la différence de potentiel est de quelques MeV (20 MeV pour les accélérateurs-tandem de type Vivitron, Laddertron ou Pelletron).Pour accroître l'énergie à tension constante, on ne peut qu'augmenter la charge électrique. Mais les sources d'ions multichargés sont, en général, complexes, et il est peu commode de les loger dans une électrode haute tension. L'accélérateur électrostatique tandem (1958) apporte une solution à ce problème. Les ions négatifs (charge : -e) produits par la source sont accélérés jusqu'au milieu du tube (potentiel +V). Ils traversent un éplucheur d'électrons (stripper), en passant à travers une faible quantité de matière (petite section de gaz ou feuille de métal ou de carbone très mince). Les ions positifs ainsi formés sont accélérés par la tension V. L'énergie finale vaut alors (n+1)eV si n est le nombre de charge de l'ion positif final. La source d'ions et la cible sont toutes deux à la masse (ou sol). Pour des protons (en démarrant avec une source d'ions H-), l'énergie finale est le double de celle permise par une machine classique (avec une source de protons). Les ions les plus lourds peuvent atteindre des énergies finales de plusieurs centaines de MeV. Le principal inconvénient porte sur la plus forte difficulté à produire des ions négatifs (avec un excès d'électrons) que des ions positifs (avec un défaut d'électrons). Dans ce type de machines, la haute tension est produite comme suit :


title: Accélérateur de particules

text: des charges sont déposées sur une courroie isolante à l'extrémité du tube accélérateur, la courroie est entraînée par un moteur (source d'énergie), les charges sont ensuite récupérées à l'autre extrémité de l'accélérateur, elles reviennent (courant) vers leur source à travers un pont de résistance qui produit la tension, les accélérateurs linéaires à radiofréquences de type Wideroë (1928) ou Alvarez (1947). Couramment appelés LINAC (éléments disposés en ligne droite): la trajectoire des particules est toujours rectiligne, mais le champ électrique est de haute fréquence. Les sources alternatives Haute Fréquence utilisées sont presque toujours des klystrons (tubes amplificateurs hyperfréquences) dont la puissance de crête peut atteindre 60 MW. Les particules sont accélérées par impulsions successives convenablement synchronisées sans avoir à isoler des différences de potentiel équivalentes à l'énergie finale. Le faisceau en passant dans une suite de cavités où règne un champ électrique alternatif va pouvoir atteindre une énergie de quelques centaines de MeV. On distingue encore deux types selon qu'il s'agit d'accélérateurs d'ions (basses énergies) ou d'électrons (haute énergie). Les accélérateurs linéaires sont plus anciens que les accélérateurs circulaires ; ils sont apparus dès 1931 avec l'accélérateur linéaire de Wideroë, repris par Sloan et Lawrence aux États-Unis. En France, au début des années 1960, on a construit à Orsay en Essonne un accélérateur linéaire et son Anneau de Collision (ACO) dont l'énergie était de l'ordre du GeV. Les accélérateur linéaires ne permettaient pas, initialement, de produire des faisceaux d'aussi grande énergie que les accélérateurs circulaires. En revanche ils ont de nombreux avantages. En effet, la géométrie est « ouverte », c'est-à-dire que l'on peut envoyer ou extraire le faisceau facilement et un faisceau de flux élevé pourra être transporté avec les techniques actuelles. Ils sont souvent utilisés comme injecteurs de faisceaux dans les grandes structures (collisionneurs circulaires), et maintenant développés comme éléments de grands collisionneurs linéaires. Actuellement, le plus grand accélérateur linéaire au monde est celui de Stanford aux États-Unis.


title: Accélérateur de particules

text: Ce sont les accélérateurs circulaires qui détiennent le record d'énergie. Il est facile de comprendre pourquoi. L'énergie reçue par mètre de trajectoire, c'est-à-dire l'intensité du champ électrique accélérateur, est limitée par des facteurs physiques et techniques. En « enroulant » la trajectoire, on obtient l'équivalent d'un accélérateur rectiligne ayant, non pas des kilomètres, mais des milliers de kilomètres de longueur.


title: Accélérateur de particules

text: Parmi les « circulaires » on distingue d'abord ceux qui emploient "un champ magnétique fixe", (et un aimant massif) et où, par suite, les trajectoires sont des spirales : ce sont les cyclotrons (E. Lawrence, 1929) et le synchrocyclotron (conçu à Berkeley en 1946). Au contraire, dans les synchrotrons (E. Mc Millan et V. Veksler), "le champ magnétique varie" pendant l'accélération, de telle sorte que celle-ci a lieu sur un cercle invariable et que l'électroaimant (annulaire) est, à énergie égale, considérablement réduit. Les synchrotrons sont donc, pour des raisons économiques, les accélérateurs permettant d'avoir des orbites de très grand rayon.


title: Accélérateur de particules

text: On distingue ainsi deux types d'accélérateurs circulaires : les cyclotrons et les synchrotrons.


title: Accélérateur de particules

text: Les trajectoires des particules sont des spirales, sont constitués d'un seul aimant de courbure dont le diamètre peut atteindre plusieurs mètres. Historiquement, le cyclotron a permis la découverte de plusieurs particules fondamentales. Ils peuvent accélérer des particules chargées, des ions lourds mais pas les électrons. En France, le Grand accélérateur national d'ions lourds (GANIL) situé à Caen est constitué de deux cyclotrons isochrones.


title: Accélérateur de particules

text: Contrairement au cyclotron, le champ magnétique n'est pas appliqué sur toute la surface circulaire, mais uniquement sur la circonférence. Dans ce type d'accélérateur, les particules circulent sur la même trajectoire presque circulaire à l'intérieur d'une série d'aimants de courbure. L'accélération est réalisée par un champ électrique résonnant. Le courant alternatif est appliqué seulement sur l'intervalle et non sur tout le parcours des particules. Plus l'énergie augmente, plus la fréquence du signal alternatif appliqué sur l'intervalle doit augmenter, pour maintenir l'accélération constante. Afin de maintenir les particules sur la même trajectoire, le champ magnétique augmente au fur et à mesure que l'énergie des particules augmente. Ces machines ont permis de découvrir de nombreuses particules élémentaires. Un des premiers synchrotrons, le Bévatron (Berkeley, 1954) servit à démontrer l'existence de l'antiproton. Les synchrotrons ont permis d'obtenir des preuves expérimentales d'éléments fondamentaux comme les quarks. Ils sont utilisés dans les collisionneurs actuels. Il y a ceux qui accélèrent les électrons (comme le LEP) et ceux qui accélèrent les protons (comme le SPS). Aujourd'hui un synchrotron (même de troisième génération) est un très grand instrument banalisé, partagé, accessible, formateur et pluridisciplinaire. La "lumière synchrotron" (rayonnement synchrotron) fait l'objet de demande de temps d'accès en forte croissance dans tous les pays du monde, en particulier en France.


title: Accélérateur de particules

text: Lorsqu'un synchrotron fait tourner des faisceaux d'électrons, l'énergie possible est limitée par le rayonnement inhérent au mouvement circulaire des électrons, qui croît très vite et dissipe l'énergie reçue par les particules. Cette radiation électromagnétique est connue sous le nom de « "Bremsstrahlung" » dans le cas d'un tube à rayons X. Dans les accélérateurs d'électrons, des cavités résonantes accélératrices fournissent l'énergie perdue par le rayonnement synchrotron (ou synchrotronique). De rayonnement photonique "parasitaire" (J. Blewett, 1947), la lumière synchrotron est devenue "désirable". Des dispositifs scientifiques (onduleurs, anneaux de stockage d'électrons) ont été construits pour paramétrer et utiliser ce rayonnement, dont l'intensité, le spectre (lumière visible, ultraviolet du vide, rayons X, rayons gamma) permettent une exploitation en physique, en chimie, en microlithographie des circuits intégrés, dans l'étude de la matière vivante.


title: Accélérateur de particules

text: Les synchrotrons produisent des ondes magnétiques de toutes longueurs d'onde, utilisées par un nombre important de méthodes d'analyse de la lumière. Ces machines sont constituées d'une part d'un injecteur et d'un anneau de stockage d'une circonférence de cent à plusieurs centaines de mètres, dans lequel les électrons tournent fois par seconde à une vitesse proche de celle de la lumière, et, d'autre part, de lignes de lumière et de postes expérimentaux périphériques qui utilisent la lumière émise par les électrons lors de passage dans des aimants de courbure ou des "chicanes" magnétiques ( et onduleurs) placées sur leur trajectoire, lumière dénommée rayonnement synchrotron. Le rayonnement des synchrotrons de troisième génération est mille milliards de fois plus brillant que les rayons émis par des équipements de laboratoire comme les tubes à rayons X.


title: Accélérateur de particules

text: Les trois plus grands synchrotrons générateurs de lumière synchrotron sont le SPring-8 () à Hyogo, Japon, l'APS (Advanced Photon Source, ), à Argonne, États-Unis, et l'European Synchrotron Radiation Facility, , à Grenoble, France.


title: Accélérateur de particules

text: Le synchrotron SOLEIL (Source optimisée de Lumière d'énergie intermédiaire du Lure) est le second site d'un synchrotron de troisième génération en France, sur le plateau de Saclay, Essonne. Il est composé de deux accélérateurs (un accélérateur linéaire et un accélérateur circulaire ) et d'un anneau de stockage, polygone de de périmètre.


title: Accélérateur de particules

text: En , l'European Synchrotron Radiation Facility fait une pause de vingt mois afin d'améliorer ses performances. À l'été 2020, il sera le premier synchrotron de quatrième génération avec des rayons X milliards de fois plus brillants que ceux des appareils radiographiques utilisés dans les hôpitaux.


title: Accélérateur de particules

text: Ils servent à mettre en attente et à renforcer les faisceaux de particules qui seront injectées dans l'accélérateur collisionneur. Les anneaux de stockage peuvent faire office de collisionneurs lorsque les faisceaux stockés sur des orbites séparées sont mis en interaction (par court-circuit de la haute tension électrostatique de séparation).Les machines de pointe actuelles sont des collisionneurs.


title: Accélérateur de particules

text: Pour examiner la structure intime des constituants du noyau atomique les accélérateurs doivent accélérer les particules au-delà de . Les lois de la mécanique quantique permettent de décrire les particules à la fois par leur trajectoire physique et par leur fonction d'onde. Si la longueur d'onde de la particule sonde est courte, la matière peut être examinée à une échelle extrêmement petite. La mécanique quantique met en relation cette longueur d'onde avec l'énergie des particules entrant en collision : plus l'énergie est haute, plus courte est la longueur d'onde. Il y a une autre raison à l'utilisation des hautes énergies. La plupart des objets qui intéressent les physiciens des particules élémentaires aujourd'hui n'existent pas à l'état libre dans la nature ; ils doivent être créés artificiellement en laboratoire. La célèbre équation "E=mc" gouverne l'énergie de collision "E" requise pour produire une particule de masse "m". Plusieurs des particules les plus intéressantes sont si lourdes que des énergies de collision de centaines de GeV sont nécessaires pour les créer. En fait pour comprendre et consolider les théories actuelles il faut aller au-delà du TeV (en construisant des accélérateurs permettant la physique "Terascale").


title: Accélérateur de particules

text: Il y a quatre catégories de collisionneurs :


title: Accélérateur de particules

text: Par ailleurs, sont également envisagées des collisions "électrons contre ions".


title: Accélérateur de particules

text: Ces accélérateurs collisionneurs sont semblables aux synchrotrons dans le sens où les particules circulent également le long d'une trajectoire circulaire de rayon invariant. La différence est que les collisionneurs produisent des collisions directement entre deux faisceaux de particules accélérés en sens inverse et non plus sur une cible fixe. L'invention des collisionneurs permet de surmonter la baisse de rendement (liée aux lois de la mécanique relativiste) des accélérateurs quand l'énergie croît. Le choc entre un proton accéléré, par exemple, avec un proton au repos génère, dans "le système du centre de masse", une énergie beaucoup plus faible que l'énergie du projectile. La proportion d'énergie vraiment utilisable décroit avec l'énergie des projectiles. Si on fait entrer en collision deux particules de directions opposées, chacune ayant l'énergie "E", l'énergie dans le centre de masse sera égale à "2 E". Un tel choc permet d'utiliser toute l'énergie produite, et non pas une fraction comme dans les expériences à cible fixe des accélérateurs classiques. Au CERN, à Genève, le Super Proton Synchrotron (SPS) atteint des énergies de . Il a servi d'injecteur au Large Electron Positron (LEP) et sert maintenant pour le Large Hadron Collider (LHC, 2008) qui utilise largement la supraconductivité.


title: Accélérateur de particules

text: "Les collisionneurs linéaires électrons-électrons"."Le collisionneur linéaire électrons - positons" de Stanford : L'ILC (International Linear Collider) est en voie d'étude (). Le lieu de construction ainsi que les techniques employées n'ont pas encore été déterminés (le n'est attendu que pour 2010) . Avec le Large Hadron Collider du CERN, il permettra, entre 2015 et 2025, d'explorer la matière au-delà de nos connaissances actuelles (et des possibilités des accélérateurs actuels). La nature des collisions à l'ILC devrait permettre de compléter les questions soulevées par des découvertes du LHC (matière sombre, existence des supersymétries). Deux LINAC de de long se feront face. Les faisceaux d'électrons et de positrons atteindront chacun 99,9999999998 % de la vitesse de la lumière. Chaque faisceau contiendra 10 milliards d'électrons ou de positrons comprimés dans une section de trois nanomètres. Au rendez-vous des collisions, les cavités accélératrices à supraconductivité opèreront à une température proche du zéro absolu. Les faisceaux entreront en collision fois par seconde.


title: Accélérateur de particules

text: Le système du laboratoire est celui où le dispositif expérimental est au repos.


title: Accélérateur de particules

text: Le système du centre de masse est celui où les deux particules initiales ont des impulsions égales et opposées.


title: Accélérateur de particules

text: Après une collision "élastique", les deux particules incidentes sont conservées, seules leurs impulsions sont modifiées. Dans le centre de masse seules les directions des particules ont changé.


title: Accélérateur de particules

text: Après une collision "inélastique", d'autres particules sont créées, à la place ou en plus des particules incidentes. Une partie de l'énergie a été transformée en masse. La somme vectorielle des impulsions est conservée.


title: Accélérateur de particules

text: La probabilité d'une interaction lors de la collision entre deux particules s'appelle sa "section efficace" (dimension d'une surface L). Son unité est le "barn" (b). 1 b = . Les processus rares ou très rares s'expriment en sous multiples du barn : µb (microbarn), nb (nanobarn), pb (picobarn), fb (femtobarn). La qualité d'un collisionneur à produire des collisions s'appelle sa "luminosité". Elle se mesure en cm.s. La haute luminosité d'un collisionneur est aussi importante que la haute énergie dans la recherche d'événements rares. Par exemple le Large Hadron Collider aura une luminosité de en régime nominal.


title: Accélérateur de particules

text: La production commerciale des accélérateurs à courant continu a débuté à la fin des années 1930 avec les séries de machines Cockcroft-Walton construites par "Philips" à Eindhoven. En France à la fin de la seconde Guerre mondiale, Noël Felici à Grenoble commença à construire des générateurs électrostatiques à cylindre fonctionnant dans l'hydrogène. La "SAMES" construisit et commercialisa des générateurs Felici de et jusqu'à ce qu'ils soient détrônés par les générateurs à courants redressés. En Suisse, "Haefely" développa des générateurs multiplicateurs de tension, pressurisés en air pour alimenter des injecteurs de cyclotron. J. Van de Graaff et ses collègues créèrent en 1946 l’"HVEC" (). Des accélérateurs électrostatiques d'électrons et d’ions, avec des énergies de 0,4 à entrèrent en production. La demande fut telle qu'une filiale européenne commença une production aux Pays-Bas sous le nom de "HVEE" (). La production d'accélérateurs électrostatiques Tandem commença en 1958. En URSS la production d'accélérateurs à courroie commença en 1955 à Léningrad ("Institut de recherche en électrophysique Efremov"). Des accélérateurs électrostatiques simples à et un Tandem vertical de furent conçus en URSS et exportés en Finlande, Chine et ailleurs. En 1958, "Radiation Dynamics Inc." construisit des générateurs multiplicateurs de tension de type Dynamitron imaginés par Cleland, pour alimenter des accélérateurs d'électrons et d'ions. Ray Herb remplaça la courroie des Van de Graaff par un système de charge par chaîne alternant élément en nylon et éléments en acier : le système Pelletron. En 1964, il fonda "NEC" (National Electrostatics Corporation) qui construisit des accélérateurs verticaux et horizontaux pour la recherche et la physique nucléaire. On lui doit le Pelletron de de Oak Ridge (record mondial dans cette classe d'accélérateurs électrostatiques). En 1978 Purser, chez "General Ionex Corporation", commença à fabriquer de petits accélérateurs tandem pour la recherche en utilisant le système inventé par Cleland. Sous le nom de "Tandetron" et "Singletron", ces machines fondées sur des générateurs à courant continu sont maintenant fabriquées par HVEE. En 1984, Letournel à Strasbourg créa "VIVIRAD" (à l'origine de la fabrication du VIVITRON).


title: Accélérateur de particules

text: L'histoire des constructeurs des cyclotrons et des synchrotrons reste à écrire. Les grands équipements ont fait l'objet d'une coopération où l'on trouve les noms de General Electric, Siemens, la Compagnie générale de radiologie, Alsthom, Mitsubishi, Kraftanlagen, Argos.


title: Accélérateur de particules

text: Dans les applications médicales (radiothérapie) les petits accélérateurs linéaires sont construits par "Varian Clinac" (Varian - Linear accelerators), "Siemens", "Elekta", "OSI" (Oncology Services International), "IBA" (Ion Beam Application) à Louvain-la-Neuve, Belgique.