title: Ponction lombaire

text: Il existe différentes façons de rendre plus supportable cet examen aux tout-petits : présence des deux ou d'un parent aux côtés du bébé, utilisation impérative d'une crème anesthésique, utilisation d'une sucette de glucose.


title: Ponction lombaire

text: Le geste et son pourquoi sont expliqués au bébé. Il est aussi primordial après de reconnaître l'épreuve qu'il vient de traverser et qu'il puisse exprimer par des pleurs ou agitation sa colère, sa souffrance, sa détresse.


title: Ponction lombaire

text: Le comportement du bébé peut changer de façon plus ou moins transitoire après un examen médical douloureux telle qu'une ponction lombaire : il peut devenir affolé d'un rien, s'accrocher désespérément à sa mère, à son père, être paniqué des moindres séparations (même celles qui ne posaient pas de problème avant), avoir des troubles du sommeil, hurler dès qu'on lui touche le dos ou qu'on l'immobilise pour l'habiller ou lui changer sa couche et cette liste est non exhaustive.


title: Ponction lombaire

text: En France, cet acte est intégralement pris en charge par la Sécurité sociale et les mutuelles.


title: François Delarue

text: François Delarue, né à Manzat (Puy-de-Dôme) le et mort à Paris en 1842, est un médecin français. Considéré de son vivant comme un grand savant, il est l'auteur de nombreux ouvrages sur la médecine ainsi que diverses études historiques et juridiques.


title: Lisette de Brinon

text: Lisette de Brinon, née Jeanne Louise Rachel Franck le dans le et morte le à Montmorency, est une personnalité mondaine française, surtout connue pour son mariage en secondes noces avec Fernand de Brinon, « ambassadeur de France à Paris » pendant la collaboration avec l’occupant nazi.


title: Lisette de Brinon

text: Lisette Franck est née dans une famille de la grande bourgeoisie juive belge originaire d'Alsace installée dans la capitale. Elle est l’arrière petite-fille du grand rabbin de Strasbourg, et la fille de Joseph René Franck, chef de bataillon en retraite, officier de la Légion d'honneur, et dirigeant fondateur d'une compagnie de courtage de sucre. Son frère aîné Henri, mort de la tuberculose, le à 24 ans, normalien, poète patriotique proche de Maurice Barrès, entretint une liaison avec Anna de Noailles, que Lisette admirait. Son cousin Emmanuel Berl rédigea les premiers discours du maréchal Pétain, notamment le célèbre : .


title: Lisette de Brinon

text: Depuis sa jeunesse, elle fréquente les milieux de la politique et de la culture. Elle se marie le avec Claude André Ullmann, attaché de banque, né à Paris d'une famille juive de Francfort. De cette union sont issus deux fils : Bernard, qui sera journaliste à l'Agence France-Presse et à "L'Express", et Pierre Jérôme. Après la Première Guerre mondiale, elle mène une vie mondaine active, entourée d'artistes et de personnalités de gauche, comme Léon Blum, et de droite, comme Drieu la Rochelle, qui s'impliquera dans la collaboration avec l'occupant.


title: Lisette de Brinon

text: Elle rencontre au début des années 1930 le journaliste Fernand de Brinon, qui s'est fait remarquer par son interview exclusive d'Adolf Hitler. Poussée par la passion, elle divorce le . Convertie au catholicisme, elle obtient l’annulation de son mariage. Le , à Neuilly-sur-Seine, elle épouse Marie Fernand de Brinon. En 1938, elle devient femme de l'aîné de la famille de Brinon, statut qui la préservera plus tard des mesures raciales du gouvernement de Vichy. Les invités du nouveau couple sont désormais les hommes politiques, les journalistes et les intellectuels les plus séduits par la doctrine nationale-socialiste. Après la débâcle de 1940, Brinon devient d'ailleurs l'un des agents actifs de la collaboration avec les Allemands, occupant des postes-clés auprès du régime de Vichy et des autorités d'occupation à Paris, mais le couple tend à se désunir en raison à la fois de l'origine juive de Lisette et de la liaison persistante entre son mari et sa secrétaire, Simone Mittre.


title: Lisette de Brinon

text: Lisette Franck vit alors une espèce d'exil intérieur sous l'Occupation. Selon Pierre Assouline, elle aurait été déclarée « aryenne d'honneur ». Il s'agit selon lui d'une sorte de certificat qui permet de bénéficier, pour services exceptionnels, de clauses de sauvegarde incluses dans l'article 8 du statut des Juifs et qui préserve par exemple plusieurs protégées de Philippe Pétain, chef de l'État français, comme la marquise de Sauvan d'Aramon, la marquise de Chasseloup-Laubat et Pierre Girot de Langlade, nées Suzanne, Marie-Louise et Lucie Stern, . Gabriel-Louis Pringué affirme cependant que Girot de Langlade . Si Lisette Franck est ainsi à l'abri des rafles, internements et déportations, elle est en revanche "persona non grata", tant à Vichy qu'à Paris.


title: Lisette de Brinon

text: À la Libération, elle tente en vain de suivre Fernand de Brinon jusqu’à Sigmaringen. Elle est arrêtée, comme son mari, par les Alliés et ramenée en France. Devant la justice, elle est mise hors de cause tandis que Fernand, condamné à mort pour trahison, est fusillé au fort de Montrouge, le .


title: Lisette de Brinon

text: Lisette entretient ensuite une relation amicale intense avec un autre ancien collaborationniste, Jacques Benoist-Méchin, comme le relève son fils Bernard Ullmann dans la biographie qu'il lui a consacrée :  Bernard Ullmann évoque aussi son amitié avec l’écrivain Roger Peyrefitte :  Lisette de Brinon est morte dans une maison de retraite de la région parisienne.


title: Bres

text: Dans l'histoire mythique de l'Irlande, Bres devient le roi par intérim des Tuatha Dé Danann bien qu'il soit du peuple des Fomoires. En effet, le dieu roi Nuada est blessé au cours de la ("Cath Maighe Tuireadh"), il a le bras coupé et cette mutilation entraîne sa déchéance, puisque l'exercice de la souveraineté exige qu'il soit exempt de toute infirmité.


title: Bres

text: Le règne de Bres va être court, car c'est un mauvais roi, non seulement il est ambitieux, mais il est aussi avaricieux et se conduit en despote. L'avarice est une faute grave, puisque dans le domaine celtique, le rôle du roi est justement la redistribution des richesses. Sa forteresse "Dun mBrese" est construite par le Dagda. Au début de son règne, sept guerriers devaient l'aider dans l'exercice de la souveraineté, mais trois rois Fomoires – Indech mac De Domnann, Elatha mac Delbraith et Tethra – imposent le paiement d'un tribut à tous les Irlandais.


title: Bres

text: Le barde Coirpre prononce une satire (la première d'Irlande) qui le contraint à abdiquer, et Nuada, guéri avec une prothèse d'argent confectionnée par Diancecht, peut redevenir roi. Bres, avec l’aide des Fomoires, tente de reconquérir l'île et de reprendre le trône ; il provoque une guerre où ils seront vaincus dans la grâce à l'intervention de Lug.


title: Bres

text: Selon une version, fait prisonnier, il aurait enseigné l'agriculture aux Tuatha Dé Danann en échange de la vie sauve. Lors de la deuxième bataille de Mag Tuireadh ("Cath Maighe Tuireadh"), les dieux s’apprêtent à tuer Bres mais celui-ci leur promet que les vaches d’Irlande donneront toujours du lait s'ils lui laissent la vie. Après délibération, les Tuatha Dé Danann lui répondent que cela n’empêchera pas les vaches de vieillir et de mourir. Bres promet ensuite que les Irlandais pourront faire une récolte par saison. À quoi les Tuatha Dé Danann répondent qu’une récolte par an est suffisante. Enfin, il leur enseigne comment labourer, semer et moissonner. Bres est considéré comme très beau, mais mesquin et avare.


title: Bres

text: Sa mère est Ériu (personnification de l'Irlande) et son père Elatha, un Fomoire (connu pour sa beauté resplendissante). De son union avec Brigit est né un fils, Ruadan.


title: Benny Goodman

text: Benny Goodman (Benjamin David Goodman) ( à Chicago - à New York) est un clarinettiste, compositeur, et chef d'orchestre de Big band jazz américain, surnommé "« The King of Swing »" (le Roi du Swing).


title: Benny Goodman

text: Benny Goodman est né le à Chicago dans l'Illinois. Il est le neuvième des douze enfants de David Gutman et Dora Grisinsky, immigrants juifs modestes de l'Empire russe. C'est à l'âge de 10 ans qu'il prend pour la première fois une clarinette, au cours de musique donné à la Kehelah Jacob Synagogue, dont il intègre l'orchestre à l'âge de 11 ans. Avec toute la détermination qu'il possède, il devient professionnel à l'âge de 14 ans, et son salaire lui permet d'aider sa famille financièrement. Il est âgé de 16 ans lorsqu'on lui demande de se joindre à un groupe de musique basé en Californie dirigé par Ben Pollack, avec qui il fait ses premiers enregistrements. Il demeure dans ce groupe pendant quatre ans.


title: Benny Goodman

text: En 1929, à l'âge de 20 ans, après son séjour en Californie, il s'établit à New York. Il se produit dans de nombreuses formations et dirige plusieurs orchestres. C'est à cet âge également qu'il devient musicien indépendant.


title: Benny Goodman

text: En 1934, il crée un big band qui deviendra un des orchestres les plus populaires de l'ère du swing. Cette même année, lui et son orchestre passent une audition pour participer à une émission radiophonique de la NBC (National Broadcasting Company) intitulée "Let's Dance". Il obtient le contrat et, pendant cette émission, joue en rotation avec deux autres orchestres ayant un style de musique différent. L'émission est diffusée sur les ondes de la NBC de décembre 1934 au . Parmi les musiciens qui participent à son orchestre au cours de ces années, on peut citer les arrangeurs Fletcher Henderson, Edgar Sampson, Benny Carter et Eddie Sauter ; les trompettistes Bunny Berigan, Harry James et Ziggy Elman ; les saxophonistes Vido Musso, Bud Freeman et Georgie Auld ; le guitariste Charlie Christian ; le pianiste Jess Stacy et les batteurs Gene Krupa et Dave Tough.


title: Benny Goodman

text: En naît le « Benny Goodman Trio », grâce à l'arrivée de Teddy Wilson. Rejoint par Lionel Hampton en , il devient le « Benny Goodman Quartet ».


title: Benny Goodman

text: En formant ces petits groupes, Benny est un des premiers musiciens blancs à embaucher, à une époque où sévit une ségrégation raciale, des musiciens noirs. Le premier est le pianiste Teddy Wilson en 1935. Suivent le vibraphoniste Lionel Hampton, le guitariste Charlie Christian et le trompettiste Cootie Williams (ces deux derniers musiciens font également partie du big band).


title: Benny Goodman

text: Après "Let's Dance", l'orchestre de Benny Goodman est prêt à entreprendre une tournée à travers le pays. Mais cette tournée n'est pas un succès, jusqu'à l'arrivée à Los Angeles, au Palomar Ballroom, en . L'auditoire de Los Angeles est différent : les jeunes de la ville se déplacent par milliers et accueillent la musique de Benny Goodman favorablement. La prestation de la formation fait la une des nouvelles nationales et est diffusée à travers le pays. Benny Goodman et son orchestre jouent dans cette même salle pendant plus de deux mois et deviennent célèbres. On dira même que cette époque est celle du début officiel de l'ère du swing. Durant cette même année 1935, Goodman et son orchestre jouent au palais des congrès de Chicago et commencent une importante série de concerts jazz aux États-Unis.


title: Benny Goodman

text: Le est la date la plus importante de sa carrière musicale : le Carnegie Hall de New York lui ouvre ses portes.


title: Benny Goodman

text: Le a lieu "« The Famous 1938 Carnegie Hall Jazz Concert »" (le Concert de Jazz Exceptionnel de 1938 du Carnegie Hall) temple habituellement consacré à la musique classique américaine, de la septième avenue de Manhattan à New York (le plus important concert enregistré de big band jazz de l'Histoire du jazz de l'époque). Le triomphe médiatique sans précédent de ce concert historique (dont il partage l'affiche entre autres avec Count Basie et des membres du big band de Duke Ellington) diffusé, médiatisé, et enregistré en direct par téléphone par CBS-Brunswick Records, et ou il triomphe entre autres avec son standard de jazz "Sing, Sing, Sing" de Louis Prima de 8 minutes et 43 secondes, puis d'une seconde version de 12 minutes et 30 secondes, propulse Benny Goodman et son Big band, dans la légende internationale de l'Histoire du jazz, du Swing, et de la culture des États-Unis, avec des records de vente au Hit-parade de son double album live "The Famous 1938 Carnegie Hall Jazz Concert" de 1950.


title: Benny Goodman

text: C'est un peu grâce au Coup de pub de Wynn Nathanson que l'orchestre de Goodman a la chance de jouer dans ce temple mythique de la musique américaine, où de nombreux grands artistes ont lancé leur carrière (la salle est entre autres le siège de l’Orchestre philharmonique de New York), avec une salle d'une capacité de 2760 personnes. En peu de temps, le stock des billets est épuisé, et ce plusieurs semaines avant le concert. Pour assister à la prestation, les gens déboursent US pour un billet d'entrée, prix relativement élevé pour cette époque. Lors de ce concert historique Benny Goodman, joue avec Harry James, Ziggy Elman, Teddy Wilson, Jess Stacy, Lionel Hampton et le batteur Gene Krupa. C'est également dans cette salle que Benny Goodman commence sa carrière de soliste.


title: Benny Goodman

text: Sa carrière est dirigée par son beau-frère John Hammond (producteur). C'est grâce à ce dernier qu'en 1938, Benny Goodman est le premier musicien de jazz à se produire au Carnegie Hall de New York. C'est à partir de ce moment qu'il est baptisé "The King of Swing" ("le Roi du Swing"). Ce surnom lui est donné par Gene Krupa, et on le connait encore aujourd'hui sous ce surnom. Le morceau "Taking a Chance on Love" est numéro 1 aux États-Unis en juin 1943 trois semaines consécutives.


title: Benny Goodman

text: Benny Goodman a la chance de jouer avec des artistes renommés, tels que : Bix Beiderbecke, Louis Armstrong, Billie Holiday, Ella Fitzgerald, Count Basie, Mildred Bailey, Bessie Smith, et bien d'autres.


title: Benny Goodman

text: En 1947, Benny Goodman a trente huit ans, il dissout son big band, et se produira à partir de cette date essentiellement comme leader de petites formations. Même s'il n'occupe plus le devant de la scène du jazz, il reste très actif. Il participe à de nombreux films dont "A Song is Born" (de Howard Hawks, 1948) et "The Benny Goodman story" (de Valentine Davies, 1955).


title: Benny Goodman

text: Pendant les années 1960, Benny Goodman est élevé au titre d'ambassadeur du jazz, faisant des tournées en dehors des États-Unis pour l"'US State Cultural Departement Exchange Program". Il visite l'Asie en 1956, fait une tournée en Amérique du Sud en 1961, en URSS en 1962, ainsi qu'au Japon en 1964. Il est le premier musicien de jazz américain à se produire en URSS - Union des républiques socialistes soviétiques.


title: Benny Goodman

text: Après avoir gagné plusieurs prix de toutes sortes, Benny Goodman est reconnu sur le "Down Beat" Jazz Hall of Fame en 1957. À la suite de cette reconnaissance, Benny continue à jouer de la musique et à enregistrer, avec des petites formations, en duo (notamment avec la chanteuse Peggy Lee), ou en solo. Il poursuit également ses pratiques de pièces classiques à la clarinette. Par exemple, il a collaboré en 1960 avec Alfredo Antonini dans une interprétation du Concerto pour clarinette de Mozart, devant un public de milliers d'invités enchantés à New York. De temps en temps, il reforme un nouvel orchestre afin de jouer dans des festivals jazz ou faire une tournée internationale. Malgré des problèmes de santé, il ne cessera jamais de jouer de la clarinette, et ce, jusqu'à sa mort. Il habite longtemps Pound Ridge, dans l'État de New York. Le , on célèbre le de son premier concert au Carnegie Hall. Pour cette occasion, il met sur pied un orchestre big band, mais il n'essaye pas de recréer le programme original.


title: Benny Goodman

text: Il meurt d'un arrêt cardiaque le à New York à l'âge de 77 ans. Il repose au cimetière Long Ridge à Stamford, dans le Connecticut. Cette même année, il est honoré du Grammy du couronnement d'une carrière (Grammy Lifetime Achievement Award). Les partitions que Benny Goodman a écrites ont été léguées à l'Université Yale après sa mort.


title: Benny Goodman

text: Benny Goodman a comme agent et beau frère John Hammond (producteur). Ce dernier est né le à New York. Il était le fils de James Henry Hammond et d'Emily Vanderbilt Sloane. Les liens d'amitié entre eux connaissent des hauts et des bas à partir des années 1930.


title: Benny Goodman

text: C'est grâce à John H. Hammond, qui était producteur de disques à l'époque chez Columbia Records, que Benny Goodman fait un transfert de RCA Records à Columbia Records en 1939.


title: Benny Goodman

text: Il rencontre la sœur de Hammond, et en , après trois mois de fréquentations, il épouse Alice Hammond. Ils ont deux filles : Rachel et Benjie. Toutes les deux ont étudié en musique, mais ni une ni l'autre n'a fait carrière dans ce domaine. Alice Hammond Goodman est décédée en 1978.


title: Benny Goodman

text: S'appuyant sur des arrangements étudiés pour l'ensemble de l'orchestre, il était le maître des solos d'improvisation basés sur une dextérité technique remarquable et fluide, à l'intonation précise et au vibrato assorti. Son jeu était parsemé de glissandos du grave à l'aigu, et vice-versa. La prise directe d'une note dans le haut de l'octave supérieure, exercice particulièrement délicat, en faisait partie.


title: Benny Goodman

text: Pendant l'été de 1935, Benny Goodman et son trio, ont enregistré quatre pièces classiques du répertoire de Jazz. Dans la pièce "After You've Gone" on entend Benny Goodman comme soliste. Sa façon de jouer cette pièce, son doigté, et sa facilité d'exécution, nous permettent d'entendre presque tout le registre de la clarinette.


title: Benny Goodman

text: Musicien accompli, Benny Goodman a aussi pratiqué la musique classique, enregistrant, entre autres, le concerto pour clarinette de Mozart. Sa notoriété lui a permis de commander des pièces à des compositeurs comme Béla Bartók ("Contrastes" pour clarinette, violon et piano, 1940), Aaron Copland ("Concerto pour clarinette" - 1948, dont il avait passé commande en 1943) ou Leonard Bernstein ("Prélude, fugue et riffs"). En 1947, le compositeur allemand Paul Hindemith lui a dédié son Concerto pour clarinette et orchestre, qu'il a créé en 1950 avec l'Orchestre de Philadelphie dirigé par Eugene Ormandy.  Il a joué également George Gershwin, Darius Milhaud et Brahms, dont, peu de temps avant sa mort, il s'exerçait à jouer une sonate.


title: Benny Goodman

text: Des années 1920 aux années 1940, on vit l'apparition d'un nouveau courant musical appelé l'époque du swing, la période du « jazz du milieu » ou même l'ère des big bands. Cette période donna naissance à plusieurs orchestres tels que celui de Duke Ellington (au Cotton Club) ou celui de Count Basie.


title: Benny Goodman

text: La danse Jitterbug fut également associée à cette musique, et son style évolua avec la musique. Le Jitter Bug naquit dans la communauté noire américaine, et cette danse devint un phénomène dès l'année 1935. Dans cette même année, les big bands blancs devinrent très populaires, notamment celui de Benny Goodman.


title: Benny Goodman

text: Les premiers développements de la musique jazz furent marqués, comme le reste de la société américaine, par la ségrégation raciale. Goodman participa à la lutte contre cette ségrégation au milieu des années 1930, quand il commença à engager des musiciens noirs, tels Teddy Wilson (pianiste), Lionel Hampton (vibraphoniste) et Charlie Christian (guitariste) dans son big band.


title: Benny Goodman

text: Comme on peut le voir dans la filmographie ci-dessous, l'orchestre de Benny Goodman a fait plusieurs apparitions dans des films, pour des pièces musicales. Mais le seul dans lequel il ait joué un véritable rôle fut "Sweet and Low Down" en 1944.


title: Benny Goodman

text: En 1955, sort un film sur la vie de Benny Goodman de Valentine Davies. Il porte le nom de "The Benny Goodman Story" (116 minutes) avec les acteurs Steve Allen et Donna Reed. Le film retrace l'histoire de Benny Goodman, depuis ses disputes avec ses parents sur son choix de carrière, jusqu'aux frustrations musicales qu'il connut. Y apparaissent : Gene Krupa, Lionel Hampton, Teddy Wilson, Harry James, Martha Tilton, Ziggy Elman et Ben Pollack.


title: Benny Goodman

text: Il épouse Alice Hammond en 1942 (sœur de son producteur John Hammond), avec qui il a deux filles, Rachel et Benjie. (¹: Films dans lesquels Goodman joue son propre rôle).


title: Elatha

text: Dans la mythologie celtique irlandaise, Elatha mac Delbaeth est un roi des Fomoires. Son nom s'écrit aussi Elada ou Elathan. Elatha signifie « art » dans le sens de « savoir, science ».


title: Elatha

text: Son père se nomme Delbáeth, théonyme qui s'interprète comme signifiant « feu de belle forme, feu bien fait ».


title: Elatha

text: De son union avec Ériu, une Tuatha Dé Danann, va naître Bres. Ce dernier sera roi des Tuatha Dé Danann pendant peu de temps et se réfugiera chez son père, après son abdication.


title: Îles Éoliennes

text: Les îles Éoliennes ("Isole Eolie" en italien) ou îles Lipari du nom de l'île principale, sont un archipel volcanique au nord de la Sicile dans la mer Tyrrhénienne en Italie.


title: Îles Éoliennes

text: Depuis plus de deux siècles, les îles représentent un site idéal pour l'étude de la volcanologie et la géologie. Elles sont inscrites au patrimoine mondial de l'Humanité par l'Unesco depuis 2000. L'archipel attire plus de chaque année.


title: Îles Éoliennes

text: Cet archipel comporte 25 îles, îlots et affleurements rocheux dont sept sont habitées. Seules trois îles sont accessibles aux automobiles.Toutes les îles ont une origine volcanique mais seules Vulcano et Stromboli ont encore un volcan actif.


title: Îles Éoliennes

text: Les sept îles principales habitées de l'archipel sont :


title: Îles Éoliennes

text: Les dix huit îlots et rochers ou groupes de rochers inhabitées sont : La préhistoire et l'histoire ancienne des îles Éoliennes est bien connue grâce aux recherches archéologiques de Luigi Bernabò Brea et Madeleine Cavalier.


title: Îles Éoliennes

text: Une légende veut qu'Éole ait colonisé l'archipel pendant la guerre de Troie, une autre que ce soit le fait d'Italiens méridionaux. On sait de source sûre que des Grecs de Cnide débarquent en – 580 avec pour chef un dénommé Pentathlon à leur tête.


title: Îles Éoliennes

text: Théophraste explique dans son deuxième Livre "Sur l’histoire" qu’aux environs du détroit dit se produit dans la mer des exhalaisons de feu assez intenses pour réchauffer, et que le bruit qui vient des îles d’Éole s’entend jusqu’à mille stades.


title: Îles Éoliennes

text: La bataille des îles Lipari a lieu entre les flottes romaines et carthaginoise en – 260 ; Rome perd la bataille.


title: Îles Éoliennes

text: Sous Mussolini, un camp de prisonniers politiques est établi de 1925 à 1940 sur ces îles, surnommées alors les « bagnes de feu ».


title: Îles Éoliennes

text: L'inclusion des îles Éoliennes au patrimoine mondial de l'Unesco est menacée par le projet urbanistique d'au moins quatre nouveaux ports au village de Lipari selon la Commission nationale italienne de l’Unesco.


title: Fraction unitaire

text: Une fraction unitaire est un nombre rationnel écrit sous la forme d'une fraction où le numérateur est 1 et le dénominateur est un entier naturel non nul. Une fraction unitaire est par conséquent l'inverse d'un entier positif, 1/"n", comme : 1/1, 1/2, 1/3, 1/42 etc. Multiplier deux fractions unitaires quelconques donne pour résultat une autre fraction unitaire :


title: Fraction unitaire

text: Par contre, additionner, soustraire, ou diviser deux fractions unitaires produit un résultat qui n'est généralement pas une fraction unitaire : Les fractions unitaires jouent un rôle important dans l'arithmétique modulaire, comme elles peuvent être utilisées pour réduire la division modulaire lors du calcul des PGCD. Plus précisément, supposons que nous voulons exécuter des divisions par une valeur "x", modulo "y". Pour effectuer la division par "x", bien défini modulo "y", "x" et "y" doivent être premiers entre eux. Alors, en utilisant l'algorithme d'Euclide étendu pour les PGCD nous pouvons trouver "a" et "b" tels que à partir de quoi, on déduit que ou de manière équivalente


title: Fraction unitaire

text: N'importe quel nombre rationnel positif peut être écrit comme la somme de fractions unitaires distinctes. Par exemple :


title: Fraction unitaire

text: Les mathématiciens de l'Égypte ancienne utilisaient les sommes de fractions unitaires distinctes dans leur notation pour les nombres rationnels plus généraux, ainsi de telles sommes sont souvent appelées des fractions égyptiennes. De nos jours, il existe toujours un intérêt dans l'analyse des méthodes utilisées par les anciens pour choisir parmi les représentations possibles d'un nombre fractionnaire, et pour calculer avec de telles représentations. Le sujet des fractions égyptiennes est aussi à l'étude dans la théorie des nombres moderne ; par exemple, la conjecture d'Erdős-Graham et la conjecture d'Erdős-Straus concernent les sommes de fractions unitaires, de même que la définition des nombres harmoniques de Ore.


title: Fraction unitaire

text: Dans la théorie géométrique des groupes, les sont classés en cas euclidiens, sphériques et hyperboliques selon que leurs sommes associées de fractions unitaires sont égales à un, plus grandes qu'un, ou plus petites qu'un, respectivement.


title: Fraction unitaire

text: Beaucoup de séries infinies bien connues ont des termes qui sont des fractions unitaires. Celles-ci incluent :


title: Fraction unitaire

text: tend vers la constante d'Euler-Mascheroni formula_10 lorsque formula_11 tend vers l'infini.La matrice de Hilbert est la matrice avec les éléments Elle possède la propriété inhabituelle d'avoir tous les éléments dans sa matrice inverse sous forme de nombres entiers. De manière similaire, Richardson a défini une matrice avec les éléments où formula_15 désigne le "i"-ème nombre de Fibonacci. Il appelle cette matrice la matrice Filbert, elle possède la même propriété d'avoir une matrice inverse en nombres entiers.


title: Fraction unitaire

text: Dans une distribution uniforme sur un espace discret, toutes les probabilités sont des fractions unitaires égales. En raison du , les probabilités de cette forme apparaissent fréquemment dans les calculs statistiques. De plus, la loi de Zipf établit que, pour beaucoup de phénomènes observés impliquant la sélection des articles à partir d'une suite ordonnée, la probabilité que le "n"-ième article soit sélectionné est proportionnelle à la fraction unitaire 1/"n".


title: Fraction unitaire

text: Les niveaux d'énergie du modèle de Bohr des orbites d'électrons dans un atome d'hydrogène sont proportionnels au carré de fractions unitaires, et par conséquent les niveaux d'énergie des photons qui peuvent être émis ou absorbés par un atome d'hydrogène selon ce modèle sont de manière similaire proportionnels à la différence de deux de ces fractions. On croyait pendant un certain temps que la constante de structure fine était exactement une fraction unitaire, 1/137, mais cela est faux.


title: Fraction unitaire

text: Article sur les développements en somme de fractions unitaires , ou "égyptiennes".


title: Enchaînement (linguistique)

text: En linguistique, l'enchaînement est un phénomène de sandhi externe qui consiste à resyllaber le son consonantique final d'un mot avec le son vocalique initial du mot qui le suit.


title: Enchaînement (linguistique)

text: Contrairement à la liaison, qui se traduit par l'insertion d'un phonème consonantique supplémentaire au début d'une syllabe, l'enchaînement n'a pas de répercussion au niveau segmental mais se borne à modifier le découpage syllabique. La consonne concernée se prononcerait dans tous les cas même s'il n'y avait pas d'enchaînement :L'énoncé ci-dessus comporte deux enchaînements :


title: Marguerite (prénom)

text: Marguerite est un prénom féminin français.


title: Marguerite (prénom)

text: "Marguerite" est issu du latin "Margarita", lui-même emprunt au grec ancien ("margarítes") qui signifie « perle » et que l'on retrouve notamment dans l'expression tirée de l'évangile selon Mathieu qui se traduit par . La racine persane signifie « fille de la mer », ou « apporté par la mer ».


title: Marguerite (prénom)

text: Les "Marguerite" sont fêtées le 16 novembre, et aussi les 12 janvier, 3 février, 17 juillet, 20 juillet, 16 octobre selon la sainte dont il est fait mention.


title: Marguerite (prénom)

text: On rencontre les variantes ou diminutifs ", , Gretchen, , Magalie, Maguy, Magosha, Margaux, , Margot, Marjorie, , Meggy, " et "".


title: Marguerite (prénom)

text: "Margueritte, Margerie, Margerit, Marguerie, etc."Á partir du Moyen Âge, le prénom est le prénom le plus donné après « Marie » du car il est donné aux filles issues d'une grossesse qui s'est bien déroulée, en l'honneur de sainte Marguerite, patronne des femmes en couche, aussi bien dans les milieux nobles que roturiers.


title: Marguerite (prénom)

text: Voir , page d'homonymie


title: Marguerite (prénom)

text: Marguerite a été le prénom porté par plusieurs princesses et souveraines :  mais aussi : Marguerite est le prénom de l'héroïne :


title: Pierre Bédier

text: Pierre Bédier, né le à Mont-de-Marsan (Landes), est un homme politique français.


title: Pierre Bédier

text: Membre du RPR, de l’UMP puis de LR, il est député des Yvelines entre 1993 et 2009, maire de Mantes-la-Jolie entre 1995 et 2005, secrétaire d'État chargé des Programmes immobiliers de la justice de 2002 à 2004 et président du conseil départemental des Yvelines de 2005 à 2009 et depuis 2014.


title: Pierre Bédier

text: C'est au côté de Jacques Chirac qu'il entre en politique, en 1976. Il se définit comme gaulliste.


title: Pierre Bédier

text: Il commence sa carrière à Poissy, comme conseiller municipal. Élu député dans les Yvelines en 1993, il participe à la campagne présidentielle de Jacques Chirac en 1995 mais refuse d'entrer au gouvernement Juppé pour se consacrer à Mantes-la-Jolie, dont il est élu maire en juin.


title: Pierre Bédier

text: En , il est nommé secrétaire d'État chargé des programmes immobiliers de la justice dans le gouvernement Raffarin. Il est alors chargé de construire de nouvelles prisons, conformément aux engagements du ministre de la Justice, Dominique Perben. Il se prononce pour l'individualisation des peines au nom du christianisme. En , il se réfère à cette expérience ministérielle pour réclamer l'isolement des terroristes djihadistes incarcérés.


title: Pierre Bédier

text: En , après avoir été frappé d’inéligibilité et avoir été condamné pour détournement de fonds publics, Pierre Bédier devient « chargé de mission bénévole » au cabinet du maire de Mantes-la-Jolie. Cette nomination par arrêté municipal est contestée par les élus du Parti socialiste de la ville qui déposent un recours auprès du tribunal administratif et demandent au sous-préfet de se prononcer sur la légalité de cet arrêté. Le , Pierre Bédier annonce qu'il démissionne de ce poste, après avoir dû renoncer à un autre contrat de chargé de mission à l'université de Versailles-Saint-Quentin-en-Yvelines. Il se consacre alors à des activités de conseil en France et à l'international.


title: Pierre Bédier

text: En , il retrouve son éligibilité. Après la démission de Michel Vialay, qui l'avait remplacé au conseil général, Pierre Bédier se présente à une élection partielle dans le canton de Mantes-la-Jolie : le , il est réélu avec 60,23 % des voix (l'abstention atteint 72,50 %).


title: Pierre Bédier

text: Le , à la suite de la démission planifiée d'Alain Schmitz, il est réélu à la présidence du conseil général des Yvelines. L'année suivante, il mène à la victoire la coalition de droite UMP-UDI-DVD, qui réalise le « » lors des élections départementales de 2015 dans les Yvelines. Le , il est réélu président du conseil départemental des Yvelines à l'unanimité des suffrages.


title: Pierre Bédier

text: Pierre Bédier soutient Nicolas Sarkozy à la primaire de la droite de 2016. Il se rallie ensuite à François Fillon. En 2017, il choisit de soutenir Laurent Wauquiez pour l'élection à la présidence de LR.


title: Pierre Bédier

text: En , il annonce sa candidature à la présidence de la Fédération Les Républicains des Yvelines, dont les élections auront lieu en . Avec les députés Olivier Marleix et Bernard Reynès, Pierre Bédier fait partie des "triumvirs" chargés par Laurent Wauquiez de conduire un audit des fédérations départementales de LR. Le , il l'emporte avec 58,8 % face à Alexandra Dublanche, soutenue par Valérie Pécresse.


title: Pierre Bédier

text: Pierre Bédier est à l'origine de la transformation du quartier du Val Fourré, entreprise dès son premier mandat en 1995.


title: Pierre Bédier

text: En , le conseil départemental des Yvelines adopte un « plan d'amorce à la rénovation urbaine », doté de plus de d'euros, visant à aider les communes et les communautés urbaines à mener à bien des opérations de rénovation des quartiers prioritaires de la ville (QPV). Le , il présente le plan yvelinois d'amorce à la rénovation urbaine, en présence de Jean-Louis Borloo, ancien ministre de la Ville, et de Catherine Arenou, vice-présidente du conseil départemental chargé de la politique de la ville.


title: Pierre Bédier

text: En , les assemblées départementales des Yvelines et des Hauts-de-Seine décident la création d'un établissement public interdépartemental et lui confient des compétences jusque-là assumées par les deux départements, notamment l'entretien du réseau des routes départementales. La société d'aménagement des Hauts-de-Seine et des Yvelines, Citallios, dont l'EPI est actionnaire majoritaire, est créée ; Pierre Bédier est son premier président de à .


title: Pierre Bédier

text: Le , les deux assemblées votent en faveur de la fusion des deux départements. Ce regroupement est rendu possible par deux lois sur l'organisation des collectivités territoriales. Pierre Bédier et Patrick Devedjian, président du conseil départemental des Hauts-de-Seine, justifient ce projet par souci d'économies budgétaires, le budget cumulé des deux collectivités avoisinant d'euros. Cette nouvelle entité serait « le moteur du développement économique de la région parisienne ». Le , Pierre Bédier et Patrick Devedjian annoncent le renforcement de ces liens dans plusieurs domaines : services sociaux, PMI, collèges, très haut débit, achat.


title: Pierre Bédier

text: Lors de la campagne pour les élections départementales de 2021, il dit ne plus vouloir promouvoir la fusion des deux départements.


title: Pierre Bédier

text: Pierre Bédier et les autres présidents des départements franciliens contestent les projets prêtés au gouvernement en matière de réforme du Grand Paris. Ils s'opposent notamment à la disparition des départements de la petite couronne au sein d'une métropole qui exclurait la grande couronne. Les élus départementaux y voient une volonté de recentralisation, qu'ils combattent en avançant leur propres propositions, notamment la création d'un fonds d'investissement interdépartemental visant à financer de grands projets d'équipements. Pour eux, la métropole du Grand Paris doit épouser les contours de l'Île-de-France.


title: Pierre Bédier

text: Partisan de la décentralisation, Pierre Bédier souhaite que l'État accorde plus de libertés aux collectivités locales et reproche à Emmanuel Macron une défiance envers les élus locaux.


title: Pierre Bédier

text: En tant que président du conseil général des Yvelines, , Pierre Bédier lance en un plan de relance et de soutien à la filière automobile estimé à 430 millions d'euros. Ce plan est depuis appelé "Vallée de l’Automobile et de la Mobilité Durable".


title: Pierre Bédier

text: Il s'oppose en 2018 à la limitation de vitesse à 80 km/h, qui pénalise selon lui les Français habitant les zones rurales ou périurbaines


title: Pierre Bédier

text: Le , il présente, au nom du conseil général, le projet de circuit de Formule 1 à Flins-sur-Seine, limitrophe des Mureaux, sur des terres agricoles qui étaient cultivées à l'époque et qui sont maintenant en bio jouxtant l'usine Renault. Ce projet (circuit + salle de presse) a un coût initial estimé à 112 millions d'euros. Confronté à des oppositions locales et à des difficultés techniques, le projet ne sera pas mené à terme.


title: Pierre Bédier

text: Une enquête du magazine "Marianne" publiée en 2020 dépeint l'instrumentalisation du « clientélisme communautaire » à des fins électorales par Pierre Bédier dans les Yvelines. Celui-ci a notamment contribué en 2018 à évincer Abdelaziz El Jaouhari, qui incarne une ligne « apolitique et modérée », de la présidence du Conseil des institutions musulmanes des Yvelines (Cimy), au profit d'une personnalité proche de la mouvance salafiste. Les notables religieux appartenant à ce courant font ouvertement campagne en faveur des candidats du parti Les Républicains en période électorale dans le département.


title: Pierre Bédier

text: Dans son édition du , "Le Canard enchaîné" dénonce en outre des liens entre Pierre Bédier, ses services et des personnes proches de mouvements musulmans rigoristes. Faisant état d'enquêtes en cours, le journal décrit comment certains membres de ces communautés religieuses ont reçu de la part des équipes de Pierre Bédier un salaire pour un travail non déterminé, indique que des locaux leur ont été vendus pour des montants faibles par rapport au prix du marché, et dénonce la présence de personnalités issues de communautés religieuses du Val Fourré à l'entrée de bureaux de vote.


title: Pierre Bédier

text: Lors de l'adoption de la « charte des imams » le 16 janvier 2021, Pierre Bédier célèbre la mémoire de son ami le défunt imam M'Hamed Rabiti, que Bédier qualifie de salafiste. Rabiti qui appelait à voter pour lui devant les bureaux de vote, est proche du Tabligh, un mouvement islamique dont la formation "Foi et Pratique" rejette la charte, en particulier le paragraphe qui s'oppose à l'homophobie. Pierre Bédier critique dans le même temps, sans le nommer, Abdelaziz El Jaouhari, religieux président de la mosquée de Mantes-Sud prônant un islam de tolérance et défendant le droit à la caricature. Ce dernier a dénoncé publiquement un clientélisme Bédier et de ses amis, et l’accuse de donner d'emplois et des subventions contre des voix en sa faveur.


title: Pierre Bédier

text: L'affaire Bédier ou affaire Delfau est une affaire de corruption concernant des élus des Yvelines, instruite par le juge Philippe Courroye.


title: Pierre Bédier

text: Michel Delfau, décédé en 2005, possédait des sociétés spécialisées dans le nettoyage industriel et le gardiennage. Il aurait utilisé les cartes bancaires de ses sociétés à des fins personnelles. Son ex-épouse (depuis ), Aloka Delfau, alerte la justice le : Michel Delfau verserait à trois hommes politiques des Yvelines (Jacques Masdeu-Arus, Pierre Bédier et Gilles Forray) des sommes en liquide en échange de l'attribution de marchés publics réguliers. Delfau a bénéficié de tous les marchés de nettoyage des villes de Poissy et Mantes-la-Jolie à partir de l'élection de Jacques Masdeu-Arus et Pierre Bédier à leur tête, respectivement en 1983 et 1995. Durant la période 1998-2001, les sorties en espèces faites par Michel Delfau sur les comptes de ses sociétés prestataires de service ont été de l'ordre de , sommes remises ensuite aux élus.


title: Pierre Bédier

text: Pierre Bédier est mis en examen le par le juge Courroye « pour recel d'abus de biens sociaux et corruption ». En sortant du palais de justice, il présente aussitôt sa démission à Jean-Pierre Raffarin. Il est jugé à partir du par le tribunal correctionnel de Paris en compagnie de deux autres élus. Le , il est condamné à 18 mois de prison avec sursis, euros d'amende pour corruption passive et recel d'abus de biens sociaux, peine assortie de six ans d'inéligibilité conformément à l'article LO 130 du code électoral. La cour d'appel de Paris confirme cette condamnation en , tout en divisant par deux le montant de l'amende. En , la Cour de cassation rejette le recours de Bédier.


title: Pierre Bédier

text: Pierre Bédier est mis en examen le pour et favoritisme quand il présidait le groupe Opievoy, l'office HLM des Yvelines. Le juge Richard Pallain prononcera ce non-lieu le , estimant que le code des marchés publics avait été respecté. « Ce non-lieu confirme que l'Opievoy est géré en toute transparence », s'est réjoui Pierre Bédier, avant d'ajouter : « Cette affaire démontre que la justice peut rendre la justice, mais aussi que certains l'utilisent à des fins politiques ».


title: Pierre Bédier

text: En , la justice annule l'élection de Pierre Bédier à la présidence du conseil d’administration de l’Opievoy en 2015. La cour d'appel de Versailles estime que compte tenu de la condamnation de l’ancien maire de Mantes-la-Jolie dans l’affaire Delfau, celui-ci ne présentait pas les garanties de « "moralité" » nécessaires pour prétendre à une telle fonction.


title: Pierre Bédier

text: Opievoy est depuis devenu : Les Résidences Yvelines Essonne.


title: Machine de Wimshurst

text: La machine de Wimshurst est une machine électrostatique inventée en 1882 par l'Anglais James Wimshurst. Cette machine fut historiquement utilisée pour illustrer de nombreux phénomènes d'électricité statique ou la production d'ozone (à l'odeur caractéristique) dans un arc électrique. Elle est encore utilisée dans de nombreuses écoles.


title: Machine de Wimshurst

text: La machine de Wimshurst a une apparence caractéristique. Elle est constituée de deux grands disques isolants disposés côte à côte dans un même plan et dont les faces extérieures sont recouvertes de secteurs métalliques. Lorsque la machine est actionnée, ces disques se mettent à tourner en sens opposés. Les secteurs métalliques viennent alors frotter contre des balais métalliques reliés à des bouteilles de charge ou à des condensateurs. Ces bouteilles de charge sont elles-mêmes reliées à un éclateur constitué de deux sphères métalliques proches entre lesquelles un arc électrique se crée lorsque la différence de potentiel entre les deux sphères est suffisante.


title: Machine de Wimshurst

text: La machine de Wimshurst est une machine électrostatique dite à influence (ou à induction électrostatique).


title: Machine de Wimshurst

text: Les secteurs métalliques présentent initialement de très faibles charges résiduelles. Lors de la rotation des plateaux, le déplacement relatif des secteurs d'un disque par rapport à ceux de l'autre disque amplifie ces différences de charges par influence électrostatique. Les charges des secteurs sont collectées par les balais métalliques contre lesquels ils viennent frotter et accumulées dans les condensateurs. Lorsque la tension entre la surface des deux sphères métalliques devient suffisante pour ioniser l'air les séparant, un arc électrique est créé, permettant la décharge des condensateurs.


title: Mourad II

text: Il était le fils de et passa son enfance à Amasya. Il accéda au trône à environ 17 ans en 1421. C’était un bon orateur qui préférait une vie tranquille à la guerre qu’il dut néanmoins mener pendant les trente années de son règne.


title: Mourad II

text: Lors de son avènement, il dut s'imposer face à un autre prétendant, Mustafa Çelebi, surnommé Düzmece Mustafa (turc : düzmece "fourbe"). Ce dernier était apparu en 1415 et se disait être un des fils de , que l'on croyait mort à la bataille d'Ankara (la question de savoir s'il s'agissait ou non d'un imposteur reste ouverte). Battu par , il s'était réfugié auprès des empereurs de Byzance. À la mort de , les Byzantins encouragèrent Mustafa à engager une guerre civile contre Mourad. Il remporta une première victoire et s'imposa en Roumélie, mais fut ensuite battu et fait prisonnier dans la province de Brousse puis exécuté pendant l'hiver 1422.


title: Mourad II

text: Mourad reconstitua une armée ottomane (appelée Azeb) et partit mettre le siège devant Constantinople. Toutefois, l'absence de marine et une nouvelle rébellion (celle de son frère Küçük Mustafa) contraignit Mourad à abandonner le siège. En représailles, s'empara du Péloponnèse et força l’Empereur à lui payer tribut. Il signa ensuite un traité de paix avec .


title: Mourad II

text: Au cours du siège de Constantinople certaines cités grecques se sentirent en danger et demandèrent l’aide de Venise. C’est ainsi que des troupes vénitiennes s’installèrent à Thessalonique.


title: Mourad II

text: La flotte ottomane attaqua Thessalonique en 1430, une grande partie de la population fut massacrée. Au cours de la prise de la ville, des soldats vénitiens furent tués. Jusque-là les Ottomans et Venise s’étaient plutôt bien entendus, mais Venise considéra que ces morts constituaient un "casus belli". Après ce siège, Venise s’engagea dans des coalitions anti-ottomanes.


title: Mourad II

text: À la mort de son fils aîné Alaeddin (1444), prit une décision inattendue et se retira en laissant son trône et la résolution de tous les problèmes à son fils Mehmed. Ce changement fut annoncé officiellement par l’envoi de lettres aux pays orientaux et occidentaux avec lesquels l’État Ottoman était en relation. Le fait qu’un enfant de 13 ans, sans expérience, montât sur le trône constituait une occasion pour les Hongrois, les Serbes et Byzance. Jean Hunyadi (János Hunyadi), prince hongrois, organisa avec le soutien de Venise, du Pape et de la Pologne, une croisade contre les Turcs. Il fut d'abord victorieux. Le jeune sultan écrivit à son père la lettre suivante :


title: Mourad II

text: Il eut pour secrétaire Laonique Chalcondyle


title: Mourad II

text: En 1448, Jean Hunyadi devenu régent de Hongrie, envahit la Serbie avec une armée composée de Hongrois mais aussi de Valaques, de Polonais et d’Allemands. Arrivé à Kosovo, il affronta les armées ottomanes. La bataille dura trois jours, le troisième jour les Ottomans feignirent une retraite, Jean Hunyadi fut pris au piège et dut battre en retraite (). Mis à part les princes albanais dirigés par Skanderbeg, tous les peuples des Balkans se trouvèrent après cette bataille sous l’autorité ottomane.


title: Mourad II

text: eut de nombreuses épouses parmi lesquelles en septembre 1435 la princesse serbe Mara Brankovic, qui ne lui assura cependant pas de postérité. De ces autres unions naquirent deux filles et six fils : Alaeddin (mort en 1444), Mehmed, Ahmed, Orhan, Hasan, Ahmed.


title: Mehmed Ier

text: Il a eu plusieurs filles et plus de cinq fils, dont Mustafa Çelebi, , Ahmed, Yusuf et Mahmud.


title: Mehmed Ier

text: Né à Edirne en 1386 ou 1387, il est le quatrième fils de . Sa mère, Devlet, est une esclave comme l'indique le document établissant sa fondation pieuse, et non la fille du bey de Germiyan comme le suppose une tradition populaire. Il reçut son éducation au palais de Brousse. Il fit son apprentissage d'administrateur dans la province d'Amasya comme gouverneur.


title: Mehmed Ier

text: a eu cinq fils : Süleyman, Isa, Musa, Mehmed et Mustafa. Ce dernier qui est supposé tué avec son père à la bataille d'Ankara en 1402.


title: Mehmed Ier

text: Après la défaite de devant Tamerlan à la bataille d'Ankara en 1402, l'Empire ottoman fut sur le point d'exploser. Ses fils se disputèrent sa succession. Süleyman à Edirne régnait sur la Bulgarie et la Thrace, Isa Çelebi à Brousse, Mehmed Çelebi à Amasya et Musa à Balıkesir se déclarèrent chacun sultan dans son fief. Mehmed et Musa s'allièrent d'abord contre Isa qu'ils tuèrent. Mehmed envoya Musa en expédition contre Süleyman en passant par la mer Noire. Musa parvint à envahir la Bulgarie et à prendre Edirne. Il en profita pour s'y proclamer sultan (1410). Mehmed furieux de cette trahison envoya une petite garnison à Gallipoli, mais elle fut repoussée. La politique brutale de Musa lui procura des ennemis tant à l’extérieur qu’à l’intérieur. Mehmed s’allia alors avec l’empereur byzantin et vainquit Musa (1413). Il se proclama alors sultan à Edirne, dont il fit sa capitale.


title: Mehmed Ier

text: Mustafa Çelebi, surnommé Düzmece Mustafa ("le faux Mustafa"), fit son apparition en 1405 après la mort de Tamerlan comme étant le cinquième frère qui était en captivité à Samarcande (et pas mort comme supposé), beaucoup le traitent d'imposteur, il s'installe en Anatolie avec le projet de détrôner son frère (1405). Pour cela, il s'allia avec le prince de Valachie et de Cüneyd, le bey de l'Émirat d'Aydın, vaincu par les forces de ; il trouve refuge auprès de l'empereur byzantin à Thessalonique en 1419. Mehmed signa un traité avec l'empereur Paléologue pour exiler Mustapha sur l'île de Lemnos.


title: Mehmed Ier

text: Durant la période d'interrègne, l'Empire s'était effrité et un certain nombre de territoires de l'Anatolie avait été perdus. se fit un devoir de les récupérer au plus vite. Il annexa İzmir (Smyrne) en 1414. Il organisa une campagne pour attaquer les Karamanides (en turc, Karamanoğulları) qui avaient attaqué Brousse. Une fois vaincus, les Karamanides demandèrent grâce à , ce qu'il fit, les laissant vivre sur leurs terres, mais l'état karamanide était annexé.


title: Mehmed Ier

text: Après cette consolidation en Anatolie partit vers la Roumélie. Il soumit la Valachie et lui imposa de payer tribut. Dans le même temps il renforça sa flotte et les premiers combats navals eurent lieu.


title: Mehmed Ier

text: À sa mort, avait mené militaires et été blessé 40 fois.


title: Mehmed Ier

text: La population avait souffert des conséquences de la guerre civile, les impôts écrasaient le peuple. Le théologien originaire d'Edirne, Cheikh Bedrettin, avait un sens aigu de la justice sociale et de la liberté. . Il défendait toutes les populations opprimées qu'elles soient turques, grecques ou juives. L'Anatolie connut ainsi une grande révolte populaire. Sa devise était « Partagez tout hormis les joues de votre bien-aimée ». Un de ses plus fidèles disciples était Börklüce Mustafa, qui après une série de victoires sur les troupes du sultan dut se replier dans la péninsule de Karaburun avec de ses hommes. Finalement vaincu, Börklüce Mustafa fut crucifié par . Cheikh Bedrettin fut pris dans la ville de Serez, jugé par le cadi local, puis pendu.


title: Bayezid Ier

text: Son caractère emporté et la rapidité de ses décisions lui valurent son surnom de la « Foudre ». Fait prisonnier par Tamerlan en 1402, il mourut en captivité l'année suivante.


title: Bayezid Ier

text: Il passa son enfance à Bursa où il reçut la meilleure éducation possible. Il épousa en 1381 la fille du bey de Germiyan, qui apporta plusieurs villes en dot aux Ottomans, dont Kütahya.


title: Bayezid Ier

text: En 1389, il participa avec son père et son frère à la bataille de Kosovo ; étant mort sur le champ de bataille, Bayezid s'empara du pouvoir et fit exécuter son demi-frère Yakub. Il conclut avec Milica (veuve du prince serbe Lazar Hrebeljanović tué lui aussi) et les dignitaires de l'Église serbe un traité laissant à la Serbie une large autonomie. Il épousa la fille de Lazar, Olivera Despina. Stefan Lazarević, fils de Lazar, devenu son beau-frère et vassal, devait assurer sa victoire contre les armées chrétiennes à la bataille de Nicopolis en 1396.


title: Bayezid Ier

text: Entre 1389 et 1395, Bayezid conquit la Bulgarie et le nord de la Grèce.


title: Bayezid Ier

text: Dès 1389, les princes turcs de l'Anatolie, notamment ceux des deux grands émirats de Germiyan (région centre-ouest de l'Anatolie, autour de Kütahya) et de Karaman, commencèrent à s'opposer à la dynastie ottomane. En 1390, Bayezid parvint, grâce à la dot de son mariage avec la princesse Devlet de Germiyan, à annexer le vaste territoire des princes de Germiyan. Puis, Bayezid arriva en Anatolie avec des troupes serbes et conquit l'émirat de Karaman en 1397.


title: Bayezid Ier

text: En 1391, il entreprit le blocus de Constantinople, la capitale de l'Empire byzantin. Ce siège fut à la fois terrestre et maritime. Les Turcs ne vinrent pas à bout des murailles de la ville. En 1392, une armée hongroise menée par le roi obligea Bayezid à lever le siège. En 1393, Bayezid assiégea la ville de Tirnovo, capitale de l'Empire bulgare. Après cette campagne en Valachie et l'annexion de la province de Salonique en Grèce, le siège de Constantinople fut repris en 1394. Pour ce faire, la forteresse "Anadolu Hisarı" (« forteresse d'Anatolie ») fut construite en 1394 au nord de Constantinople, sur la rive asiatique du Bosphore, afin de bloquer le passage des Détroits aux navires ennemis. Mais l'absence de marine et de canons suffisamment puissants rendit ce siège sans effet. À la demande de l'Empereur byzantin une nouvelle expédition de soutien fut organisée en 1396 avec les Bourguignons. De nouveau commandée par , cette armée de secours fut défaite à la bataille de Nicopolis et les coalisés perdirent le terrain gagné. Cette expédition est appelée parfois "la dernière croisade" ou encore "croisade de Nicopolis". Après cette victoire le calife abbasside du Caire nomma Bayezid Sultan d'Anatolie.


title: Bayezid Ier

text: Le siège de Constantinople fut maintenu jusqu'en 1398. L'irruption de Tamerlan en Anatolie obligea à le lever. Le traité prévoyait que Constantinople paie une très forte rançon et qu'une mosquée soit construite dans la ville. Bayezid engagea une bataille avec les Génois du quartier de Galata sur la rive nord de la Corne d'Or.


title: Bayezid Ier

text: En 1400, Tamerlan, après avoir pillé un certain nombre de villages, réussit à soulever les petites principautés turques que Bajazet avait annexées. Le à Ankara s'engagea la bataille, fatale pour Bajazet qui fut vaincu et fait prisonnier. L'histoire raconte que lorsque Bajazet fut amené enchaîné dans la tente de Tamerlan, il éclata de rire. L'enfermement de Bajazet dans une cage par Tamerlan semble une légende mais il est probable que Tamerlan l'ait gardé auprès de lui. Sa femme et ses filles furent transférées dans le harem de Tamerlan.


title: Bayezid Ier

text: Bajazet est mort en captivité en 1403. Selon certaines sources, il se serait suicidé en utilisant le poison dissimulé dans son anneau tandis que pour d'autres, il se serait fendu le crâne en le heurtant contre les barreaux de sa geôle.


title: Bayezid Ier

text: a eu au moins huit fils : Ertuğrul, Yusuf, Kasım, Suleyman, Isa, Musa, Mehmed et Mustafa (capturé ou tué à la bataille d'Ankara). Les quatre survivants se disputèrent le pouvoir : l'État ottoman entra dans une période de désordre et de querelles de succession appelée « l'interrègne ». Son fils Mehmed lui succéda finalement.


title: Fraction irréductible

text: En mathématiques, une fraction est irréductible s'il n'existe pas de fraction égale ayant des termes plus petits. Autrement dit, une fraction irréductible ne peut pas être simplifiée.


title: Fraction irréductible

text: La fraction formula_1 n'est pas irréductible car 12 et 20 sont des multiples de 4 : formula_2 (simplification par 4). On peut aussi écrire formula_3.


title: Fraction irréductible

text: La fraction formula_4 est irréductible car 1 est le seul entier positif qui divise à la fois 3 et 5.


title: Fraction irréductible

text: On peut simplifier une fraction en divisant ses termes successivement par leurs diviseurs communs apparents (que l'on trouve en appliquant les critères de divisibilité par 2, 3, 5).Pour réduire directement une fraction, il suffit de diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur. D'après le lemme de Gauss, cette forme réduite est unique.


title: Fraction irréductible

text: Soient formula_9 un entier et formula_10 un entier naturel non nul. Alors formula_11 est irréductible si et seulement si formula_9 et formula_10 sont premiers entre eux.


title: Développement décimal périodique

text: En mathématiques, le développement décimal périodique d'un nombre rationnel est une écriture qui explicite la suite des décimales de ce nombre, en indiquant un bloc de chiffres qui se répète à l'infini. Ce bloc, ou période, peut être constitué d'un ou plusieurs chiffres, un même chiffre pouvant apparaître plusieurs fois dans ce même bloc. Pour évaluer le quotient 4/3, une calculatrice affiche usuellement le chiffre 1, un séparateur décimal (point ou virgule) et plusieurs chiffres 3. Or 1,333333333333 n'est qu'une valeur approchée (à 10 près) de ce quotient, comme le montre le calcul de l'opération réciproque : L'algorithme de division appliqué à cet exemple produit à chaque étape le reste 1 qui, multiplié par 10 et divisé par 3, produit le quotient entier 3 et à nouveau un reste 1.


title: Développement décimal périodique

text: Pour écrire exactement le quotient 4/3 en notation décimale, il faudrait donc répéter le chiffre 3 à l'infini. Pour d'autres nombres rationnels, il faut répéter d'autres chiffres, voire un bloc de plusieurs chiffres. Ces blocs peuvent aussi être précédés par un bloc d'une ou plusieurs décimales qui ne se répète pas.


title: Développement décimal périodique

text: Il est possible de noter la répétition de chiffres à l'infini en plaçant des points de suspension après plusieurs occurrences de décimales. Cette écriture peut paraître claire lorsqu'une seule décimale est répétée une dizaine de fois, mais d'autres notations sont plus explicites en décomposant le nombre rationnel en trois parties :


title: Développement décimal périodique

text: Les chiffres de la partie entière sont placés classiquement à gauche de la virgule, qui est suivie par les chiffres de la partie décimale non périodique. Ceux-ci sont suivis des chiffres de la (plus courte) période de la partie décimale périodique, marqués par une barre au-dessus ou en dessous, voire par des crochets les encadrant.


title: Développement décimal périodique

text: Dans l'idée de convertir en forme décimale un nombre rationnel, représenté "a priori" sous forme de fraction de deux entiers, on peut poser une division. Par exemple, considérons le nombre rationnel 5/74 :


title: Développement décimal périodique

text: etc. On observe qu'à chaque étape, il y a un reste ; les restes successifs affichés ci-dessus sont 56, 42 et 50. Lorsqu'on arrive au reste 50 et qu'on « abaisse le 0 », on divise à nouveau 500 par 74. On se retrouve dans la même situation qu'au départ. Par conséquent, les décimales se répètent : 0,0675675… = 0,0. Le résultat est prévisible. Les seuls restes possibles — dans ce cas il y en a 74 — sont : 0, 1, 2, … et 73. Dès que l'on retombe sur un reste déjà obtenu, la séquence entière se répète. On peut remarquer de plus que les décimales obtenues sont les mêmes si l'on change la représentation fractionnaire de départ (par exemple ).


title: Développement décimal périodique

text: Cet exemple laisse prévoir la propriété suivante :


title: Développement décimal périodique

text: Avant d'en démontrer une version plus précise, éliminons des cas :


title: Développement décimal périodique

text: Il reste à étudier le résultat d'une division de par lorsque est strictement supérieur à et premier avec et . Dans ce cas, le quotient se présente sous la forme d'un développement décimal périodique, dont la période est différente de et et commence immédiatement après la virgule. De plus, la longueur de cette période — dont la valeur sera précisée plus loin — est strictement inférieure à .


title: Développement décimal périodique

text: On effectue la division euclidienne de par , puis les divisions successives de par , donnant pour quotient et pour reste . Le reste n'est jamais nul puisque par hypothèse, " n'est pas un nombre décimal. La suite de divisions se poursuit donc indéfiniment, et les différents restes sont les restes de la division euclidienne de par .


title: Développement décimal périodique

text: L'algorithme de division assure que, pour tout : . Le quotient "" a donc bien pour développement décimal .


title: Développement décimal périodique

text: La suite des restes est périodique (dès le début) et la longueur de sa période est strictement inférieure à . Le reste est toujours strictement compris entre et . À chaque étape, il n'y a donc que restes possibles, si bien qu'on ne peut pas opérer étapes sans rencontrer deux restes identiques. Notons et les deux premiers (avec donc ). Pour tous , si et seulement si et ont même reste dans la division par , c'est-à-dire si l'entier est un multiple de , ou encore — puisque est premier avec et — si divise . Par conséquent, et la suite est périodique, avec une période de longueur .


title: Développement décimal périodique

text: Le développement décimal est périodique, sa période commence juste après la virgule, et la longueur de sa période divise . Cela résulte immédiatement de ce qui précède et du fait que est le quotient de la division euclidienne de par .


title: Développement décimal périodique

text: La période n'est ni ni . Une période donnerait (pour tout ) et une période donnerait de même , ce qui est impossible. Pour le développement périodique d'un nombre plus petit que , lorsque la période commence immédiatement après la virgule, la technique consiste à multiplier le nombre par la bonne puissance de permettant de décaler complètement la période avant la virgule. Une soustraction permet alors de faire disparaître la partie décimale.


title: Développement décimal périodique

text: Si la période ne commence pas juste après la virgule, il faut commencer par multiplier le nombre par la bonne puissance de pour faire démarrer le développement décimal périodique juste après la virgule, puis on utilise la méthode précédente sur la partie décimale.


title: Développement décimal périodique

text: Cet algorithme se généralise et conduit au résultat suivant :


title: Développement décimal périodique

text: Un nombre décimal est le quotient d'un entier par une puissance de . On a montré que ces rationnels sont ceux dont le développement propre a pour période .


title: Développement décimal périodique

text: Or la méthode du § précédent fournit des développements impropres. Par exemple, elle conduit à l'égalité , c'est-à-dire, qui est parfois contestée de façon naïve (voir l'article « Développement décimal de l'unité », qui en donne d'autres preuves et analyse les incrédulités à ce sujet ; le raisonnement mené sur cet exemple peut l'être sur tout autre nombre décimal).


title: Développement décimal périodique

text: En résumé :


title: Développement décimal périodique

text: Le développement impropre d'un nombre décimal n'est pas celui qui vient spontanément à l'esprit, mais cela ne signifie pas qu'on ne soit jamais amené à l'écrire. Par exemple :


title: Développement décimal périodique

text: La connaissance d'une période pour le développement décimal de permet d'en découvrir par multiplication pour tout quotient . Le développement de possède plusieurs périodes (il suffit, pour en créer une nouvelle, de mettre bout à bout deux périodes identiques) ; l'intérêt est de travailler sur la plus courte que l'on appellera "la" période et d'en déterminer certaines propriétés.


title: Développement décimal périodique

text: Les exemples précédents ont mis en évidence le rôle de la répartition des restes dans la division de par . Ces restes correspondent aux restes de la division euclidienne de par . Cette question se traite bien si l'on fait intervenir l'arithmétique modulaire et les notions de congruence sur les entiers et plus précisément l'ordre multiplicatif de modulo :


title: Développement décimal périodique

text: On a déjà démontré que le cas général se ramène au cas où est premier avec et strictement supérieur à , et qu'alors : Il ne reste donc plus qu'à vérifier que divise . Or d'après le § « Écriture fractionnaire d'un développement périodique » ci-dessus, si bien que divise . Puisqu'il est premier avec donc avec , il divise , c'est-à-dire que est un multiple de . En particulier :


title: Développement décimal périodique

text: Lorsque est un nombre premier différent de et , la longueur de la période de peut être égale à (la longueur maximale pour une division par un entier ) ; par exemple : Elle peut aussi être plus petite, comme pour


title: Développement décimal périodique

text: Les périodes de longueur maximale sont donc celles des fractions où est un nombre premier pour lequel l'ordre de est . On dit alors que est une racine primitive modulo. Ces nombres, appelés parfois "nombres premiers longs", forment la suite 2, 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97... référencée dans l'encyclopédie des suites entières, ou si l'on excepte le 2.


title: Développement décimal périodique

text: Emil Artin a émis l'hypothèse que cette suite est infinie et que sa densité parmi les nombres premiers est une constante (la même quand on remplace par certains autres entiers), valant environ (voir l'article sur la Conjecture d'Artin sur les racines primitives).


title: Développement décimal périodique

text: Lorsque n'est pas premier, . La longueur de la période doit diviser et elle n'est jamais maximale. Ainsi, la longueur de la période de doit diviser . Effectivement, la période de est de longueur :


title: Développement décimal périodique

text: En utilisant le fait que formula_7 on obtient la caractérisation :


title: Développement décimal périodique

text: Il est donc utile de connaître la décomposition en produit de facteurs premiers des nombres formula_10 appelés communément "répunits" :


title: Développement décimal périodique

text: formula_11 , formula_12, formula_13, formula_14, formula_15


title: Développement décimal périodique

text: 1/13 n’est donc pas à période maximale car 13 divise formula_16, avec 6 diviseur de 12 ;


title: Développement décimal périodique

text: 1/37 n’est pas à période maximale car 37 divise formula_16, avec 6 diviseur de 36 ;


title: Développement décimal périodique

text: 1/41 n’est pas à période maximale car 41 divise formula_18, avec 5 diviseur de 40


title: Développement décimal périodique

text: Si et sont premiers entre eux, la division posée pour permet de trouver aussi les développements décimaux de pour tous les restes intervenant dans la division. En effet, a pour quotient et pour reste dans la division par . On retrouve alors, pour le développement périodique de , celui de ayant seulement subi une permutation circulaire et commençant à . Ainsi, on a et l'écriture fractionnaire donne En observant les numérateurs, on peut voir que multiplier la période de par équivaut à effectuer une permutation circulaire sur les chiffres de ce nombre.


title: Développement décimal périodique

text: Lorsque la période de est de longueur maximale, les restes parcourent tous les entiers de à . Dans ce cas, en multipliant la période de par tout entier , on conservera toujours les mêmes chiffres à une permutation près. La nouvelle période obtenue sera celle de .


title: Développement décimal périodique

text: Cette propriété rend remarquables les périodes des nombres pour lesquels est d'ordre . C'est le cas par exemple de (période de ) ou (période de ) qui sont des nombres cycliques. On a ainsi, pour , dont les restes sont successivement , , , , , , , , , , , : (7 × 142857 = 999999, période de l'écriture décimale impropre de ).


title: Développement décimal périodique

text: Lorsque la période de est de longueur , seuls entiers sont concernés, chacun associé à une permutation circulaire de la période de . Si l'entier , inférieur à et premier avec , ne fait pas partie de ce premier groupe, on a encore Puisque , le produit est strictement inférieur à . Il s'écrit donc et constitue la période de différente de la précédente. À chaque permutation de cette nouvelle période est associé un quotient de la forme , où est l'un des restes de . On répartit ainsi tous les entiers premiers avec et inférieurs à dans des ensembles disjoints deux à deux contenant restes consécutifs et associés à périodes différentes.


title: Développement décimal périodique

text: Pour par exemple, on a et a pour période . Cette période engendre 5 autres périodes qui sont les seules possibles, à une permutation circulaire près, de tout quotient où et sont premiers entre eux.


title: Développement décimal périodique

text: Si est premier avec , on peut construire la période de en posant la division mais on peut aussi la reconstituer uniquement par multiplication à partir de son dernier terme.


title: Développement décimal périodique

text: L'égalité permet de dire que ou, plus simplement, que ce produit doit se terminer par .


title: Développement décimal périodique

text: Comme est premier avec , un tel nombre existe. Il n'en existe d'autre part qu'un seul compris entre et . On peut le trouver en résolvant l'équation diophantienne . Le nombre étant trouvé, on en déduit la valeur de .


title: Développement décimal périodique

text: D'autre part, si l'on note la période recherchée, on sait, par permutation circulaire, que Ce produit permet de déterminer qui, réinjecté dans la même égalité, permet de trouver et de proche en proche, permet de découvrir tous les chiffres de la période.


title: Développement décimal périodique

text: Par exemple, pour déterminer la période de , on cherche d'abord le chiffre qui multiplié par donne un nombre se terminant par . Puisque , on peut poser puis, comme on sait que


title: Développement décimal périodique

text: Les chiffres successifs de la période se trouvent en remplissant progressivement la multiplication à trous Ce principe peut être utilisé dans la construction de la période de, dont le dernier chiffre est et dont l'avant-dernier reste est .


title: Développement décimal périodique

text: On se place ici dans le cas où "n" est premier, supérieur ou égal à 7 et l'on suppose que la période la plus courte de 1/"n" est de longueur ℓ = "st" où "s" > 1. La période est alors constituée de "s" blocs de "t" chiffres. Si l'on note "A", … "A" ces blocs, ils peuvent être vus comme l'écriture décimale de "s" nombres. La somme de ces "s" nombres est alors toujours un multiple de 10 – 1 = 99…9. De plus, on peut démontrer que si le nombre de blocs n'est que de 2 ou 3, la somme est exactement égale à 10 – 1.


title: Développement décimal périodique

text: Par exemple, la période de 1/7 est 142857, partageable en 6, 3 ou 2 blocs :


title: Développement décimal périodique

text: Cette propriété porte le nom de théorème de Midy.


title: Développement décimal périodique

text: L'écriture décimale des entiers apparaît très tôt dans l'histoire des mathématiques notamment en Orient. L'idée de prolonger les opérations au-delà de l'unité est présente en Chine dès le mais la partie décimale y est présentée sous forme d'une fraction décimale. La présentation d'un nombre décimal avec une partie entière, une virgule et une partie décimale apparaît dans les écrits du mathématicien Ibrahim Uqlidisi au quand il présente le système de numération indien mais le calcul des nombres sous forme de fractions reste prédominant. Le système décimal arrive en Europe tardivement (vers le ) et c'est Simon Stevin qui prône l'écriture décimale des nombres fractionnaires qu'il appelle les rompus. Dans son traité "La Disme", écrit en 1585, il précise les méthodes de calcul sur les écritures décimales et envisage que celles-ci puissent être illimitées et s'appliquer même à des nombres irrationnels (nombres incommensurables).


title: Développement décimal périodique

text: Au cours du , les mathématiciens se préoccupent de la période décimale des fractions. Un des premiers à utiliser une notation spécifique pour la période d'un nombre fractionnaire est John Marsh, qui signale le début et la fin de la période par un point placé au-dessus du chiffre. H. Clarke préfère l'apostrophe tandis que d'autre utilisent des accents avant et après la période. Tout est fait pour faciliter le calcul des fractions sous forme décimale et, tout comme il existe des tables de logarithmes ou des tables de sinus, existent aussi des tables de périodes. Jean le Rond D'Alembert en publie dans son "Encyclopédie méthodique". La révolution française privilégie le système décimal dans les unités de mesure et encourage le calcul sous forme décimale. On trouve ainsi dans "Introduction abrégée sur les nouvelles mesures qui doivent être introduites dans toute la République au an 10, avec des tables de rapports et de réductions", par C.H. Haros, une table donnant les périodes des fractions de dénominateurs inférieurs à 50. Une grande avancée et une formalisation de ces notions sont faites par Gauss dans ses "Disquisitiones arithmeticae" en 1801. Gauss se préoccupe de déterminer facilement le développement périodique de tout rationnel. Cet objectif le conduit à travailler sur les restes dans la division par "n" qu'il appelle les résidus. Il définit l'ordre d'un nombre modulo "n" comme le plus petit entier non nul "k" tel que "a" ait pour reste 1 modulo "n". Il s'intéresse aux racines primitives : celles dont les puissances modulo "n" permettent de donner tous les entiers inférieurs à "n" et premier avec "n". Une racine primitive "a" étant choisie, il définit l'indice d'un nombre "b" comme l'entier "i" tel que "a" a pour reste "b" modulo "n". Cet indice "i" s'appelle de nos jours le logarithme discret. Il remarque que si "n" est premier ou puissance d'un nombre premier, il existe des racines primitives. Dans le chapitre 6 de son traité, il applique ces connaissances aux fractions. Il remarque que toute fraction peut se décomposer en éléments simples, c'est-à-dire en somme de fractions dont le dénominateur est une puissance de nombre premier. Pour chacun de ces dénominateurs "n", il détermine une racine primitive "a" modulo "n". Il détermine ensuite l'indice "i" de 10 dans la base "a". Il sait alors que la période de 1/"n" a pour longueur φ("n")/"i", dont il détermine la valeur. Il prouve ensuite que la fraction "m"/"n" a une période de même longueur et que cette période est à choisir entre "i" périodes différentes, à une permutation près. Il démontre ensuite que l'indice de "m" lui permet de déterminer quelle période il doit choisir ainsi que la permutation à effectuer. Il fournit alors pour chaque entier "n", premier ou puissance de nombre premier, des tables donnant les périodes et les indices des tous les nombres premiers inférieurs à "n".


title: Développement décimal périodique

text: On peut illustrer sa démarche sur un exemple : il s'agit de chercher le développement décimal de La première étape consiste à décomposer 351 en produit de facteurs premiers : Il faut ensuite décomposer cette fraction en éléments simples. Il faut trouver deux entiers "x" et "y" tels que La résolution de l'équation diophantienne 13"x" + 27"y" = 251 donne pour décomposition : On prend d'abord "n" = 27. La table numérique fournit comme racine primitive 2, l'indice de 10 est de 6, et l'indice de 11 est 13 = 2×6 + 1. Il existe 6 périodes possibles et celle associée à l'indice 1 est, d'après les tables, 074 donc la période associée à 11 est 074 permutée de deux cases, soit 407 : On prend ensuite "n" = 13. La table donne deux périodes, la racine primitive est 6, et 4 est d'indice 10 = 5×2. La période de 4 est la période d'indice 0 (076923) décalée de 5 cases : La somme de ces deux nombres a une période de longueur multiple commun des deux longueurs, ici, de longueur 6. À partir du et jusqu'au développement des calculatrices, nombreux sont les ouvrages permettant de calculer à la main les périodes des nombres fractionnaires.


title: Mex (Vaud)

text: Mex est une commune suisse du canton de Vaud, située dans le district du Gros-de-Vaud. Citée dès 1154, elle fait partie du district de Cossonay entre 1798 et 2007. La commune est peuplée de habitants en . Son territoire, d'une surface de 288 hectares, se situe dans la région du Gros-de-Vaud.


title: Mex (Vaud)

text: On trouve à Mex des vestiges romains. Le village est connu en 1154 sous les noms de "Mais". Au Moyen Âge, il se trouve sur la route reliant Lausanne à Jougne et forme une seigneurie. La maison forte dépend du seigneur de Cossonay et l'église Sainte-Marie-Madeleine est paroissiale en 1228. Le village fait partie du bailliage d'Orbe-Échallens de 1475 à 1798, puis du district de Cossonay dès la révolution vaudoise, de 1798 à 2007, et du district du Gros-de-Vaud depuis 2008.


title: Mex (Vaud)

text: La surface totale de la commune de Mex représente 288 hectares qui se décomposent en 48 ha de surfaces d'habitat et d'infrastructure, 157 ha de surfaces agricoles, 83 ha de surfaces boisées et enfin moins d'un hectare de surfaces improductives (lacs et cours d'eau par exemple). Dans le détail en 2005, les aires industrielles et artisanales représentent 2,08 % du territoire communal, les maisons et bâtiments 9,03 %, les routes et infrastructures de transport 4,86 %, les zones agricoles 44,10 % et les zones arboricoles et viticoles 3 %.


title: Mex (Vaud)

text: Jusqu'à sa dissolution, la commune faisait partie du district de Cossonay. Depuis le , elle fait partie du nouveau district du Gros-de-Vaud. Elle a des frontières communes avec Sullens, Crissier, Villars-Sainte-Croix et Vufflens-la-Ville.


title: Mex (Vaud)

text: Le territoire communal se trouve sur le plateau suisse, dans la région du Gros-de-Vaud. Il s'étend depuis le plateau de Mex vers l'est jusqu'aux forêts du bois Bahud situées de part et d'autre du ruisseau la Goille, un affluent côté gauche de la Venoge. La frontière orientale, quant à elle, longe la Chamberonne. Le sommet des Vaux est, avec d'altitude, le point culminant de la commune.


title: Mex (Vaud)

text: En plus du village de Mex, la commune compte également le hameau des Esserts, situé à sur une colline située entre les vallées de la Goille et de la Chamberonne, ainsi que plusieurs exploitations agricoles isolées.


title: Mex (Vaud)

text: Selon l'Office fédéral de la statistique, Mex compte habitants en . Sa densité de population atteint hab./km.


title: Mex (Vaud)

text: En 2000, la population de Mex est composée de 279 hommes (50,5 %) et 274 femmes (49,5 %). La langue la plus parlée est le français, avec 488 personnes (88,2 %). La deuxième langue est l'allemand (29 ou 5,2 %). Il y a 466 personnes suisses (84,3 %) et 87 personnes étrangères (15,7 %). Sur le plan religieux, la communauté protestante est la plus importante avec 255 personnes (46,1 %), suivie des catholiques (141 ou 25,5 %). 83 personnes (15 %) n'ont aucune appartenance religieuse.


title: Mex (Vaud)

text: La population de Mex est de 233 habitants en 1850 et elle reste relativement stable jusqu'en 1970. Le nombre d'habitants monte à 271 en 1980. Il augmente fortement depuis là, puisqu'il est multiplié par 2,5 en trente ans pour atteindre 654 en 2010. Le graphique suivant résume l'évolution de la population de Mex entre 1850 et 2010 :


title: Mex (Vaud)

text: Lors des élections fédérales suisses de 2011, la commune a voté à 38,22 % pour l'Union démocratique du centre. Les deux partis suivants furent le Parti socialiste suisse avec 16,39 % des suffrages et les Vert'libéraux avec 14,90 %.


title: Mex (Vaud)

text: Lors des élections cantonales au Grand Conseil de , les habitants de la commune ont voté pour l'Union démocratique du centre à 28,40 %, le Parti libéral-radical à 25,58 %, le Parti socialiste à 18,44 %, les Verts à 15,17 % et l'Alliance du centre à 12,42 %.


title: Mex (Vaud)

text: Sur le plan communal, Mex (Vaud) est dirigé par une municipalité formée de 5 membres et dirigée par un syndic pour l'exécutif et un Conseil général dirigé par un président et secondé par un secrétaire pour le législatif.


title: Mex (Vaud)

text: Jusqu'à la seconde moitié du , l'économie locale était principalement tournée vers l'agriculture et l'arboriculture fruitière qui ne représentent plus de nos jours qu'une part mineure dans les emplois locaux. Si une briqueterie était autrefois présente aux Vaux, c'est bien depuis les années 1970 que la commune s'est développée avec la création d'une zone commerciale où se sont installées plusieurs entreprises, dont le Groupe Bobst. Ces dernières décennies, le village de Mex a vu la création de plusieurs zones résidentielles, principalement occupées par des personnes travaillant dans la région lausannoise. Mex fait partie de la communauté tarifaire vaudoise Mobilis. C'est le terminus de la ligne de bus des Transports publics de la région lausannoise reliant la commune à Crissier. Elle est également desservie par les bus sur appel Publicar, qui sont un service de CarPostal et Taxibus, des Transports publics de la région lausannoise.


title: Mex (Vaud)

text: "Église". Le temple réformé, ancienne église Sainte-Marie-Madeleine, remonte à l'époque médiévale, mais a été partiellement reconstruit en 1580-1582 par les maçons Antoine Vallon et André Petter. Les façades sont ajourées de fenêtres dans le style du gothique tardif. L’édifice a connu une importante rénovation dans le troisième quart du , puis les murs ont été exhaussés, avec sans doute la construction d’un clocheton, vers 1790. Peintures murales en 1908-1909 par Louis Rivier. Vitraux de 1979 par Yoki.


title: Mex (Vaud)

text: "Châteaux". La commune compte sur son territoire deux châteaux; Le château (parfois appelé le château d'En-Haut) du et le château d'En-Bas du . De plus, le village de Mex est inscrit comme site ISOS.


title: Mex (Vaud)

text: La commune de Mex comprend plusieurs associations, parmi lesquelles une fanfare, un club de pétanque et une association sportive.


title: Mex (Vaud)

text: La commune est jumelée à celle de Lugny-lès-Charolles, en France.


title: Varennes-en-Argonne

text: Varennes-en-Argonne est une commune française située dans le département de la Meuse, en région Grand Est.


title: Varennes-en-Argonne

text: Varennes est une commune du Canton de Clermont-en-Argonne dans le Grand-Est, où vivent environ 700 habitants, bordé à l'ouest par la forêt d'Argonne, à la limite des départements des Ardennes et de la Marne.


title: Varennes-en-Argonne

text: Les communes limitrophes sont : Montblainville (au nord-ouest), Charpentry (au nord), Cheppy (à l'est), Boureuilles (au sud) et Vienne-le-Château (au sud-ouest, dans la Marne).


title: Varennes-en-Argonne

text: Comme beaucoup de communes de la région, elle est jumelée avec une commune allemande, Petershausen, (grande banlieue de Munich, en Bavière).


title: Varennes-en-Argonne

text: Avant la réforme territoriale de 2015 la commune était chef lieu de canton et était située dans la région Lorraine.


title: Varennes-en-Argonne

text: La commune est traversée par l'Aire qui prend sa source dans le Sud meusien et qui se jette dans l'Aisne à hauteur de Senuc (Ardennes).


title: Varennes-en-Argonne

text: Varennes-en-Argonne est une commune rurale, car elle fait partie des communes peu ou très peu denses, au sens de la grille communale de densité de l'Insee.  La commune est en outre hors attraction des villes.


title: Varennes-en-Argonne

text: L'occupation des sols de la commune, telle qu'elle ressort de la base de données européenne d’occupation biophysique des sols Corine Land Cover (CLC), est marquée par l'importance des territoires agricoles (48,3 % en 2018), néanmoins en diminution par rapport à 1990 (51,4 %). La répartition détaillée en 2018 est la suivante :  forêts (44,7 %), prairies (30,6 %), terres arables (17,7 %), zones urbanisées (6,9 %).


title: Varennes-en-Argonne

text: L'IGN met par ailleurs à disposition un outil en ligne permettant de comparer l’évolution dans le temps de l’occupation des sols de la commune (ou de territoires à des échelles différentes). Plusieurs époques sont accessibles sous forme de cartes ou photos aériennes : la carte de Cassini (), la carte d'état-major (1820-1866) et la période actuelle (1950 à aujourd'hui).


title: Varennes-en-Argonne

text: Le village est connu pour avoir été le lieu de l'arrestation de Louis XVI et de la famille royale qui tentait soit de rejoindre des troupes restées fidèles à la monarchie basées à Montmédy, soit de passer la frontière pour gagner les Pays-Bas autrichiens (évasion manquée des 20 et 21 juin 1791). Le roi et sa famille furent arrêtés sur dénonciation de Jean-Baptiste Drouet, maître de poste de Sainte-Menehould.


title: Varennes-en-Argonne

text: La municipalité de Sainte-Menehould ayant des doutes sur des passagers signalés au relais de poste demanda à Drouet de rattraper la berline qui s'était arrêtée à son relais une heure auparavant. Il prit, accompagné de son ami Jean-Chrisosthome Guillaume, la route de l'est et rencontra ses postillons qui l'informèrent de l'itinéraire de la berline, qui cheminait en direction de Varennes. Il y arriva avant la berline. Avec l'aide des autorités locales qu'il avait convaincues de faire contrôler scrupuleusement les passeports des occupants, il organisa un barrage.


title: Varennes-en-Argonne

text: La famille royale fut confondue. Une plaque, située près de l'actuel beffroi de la ville, indique l'emplacement de l'« auberge du bras d'Or », devant laquelle la route de la famille royale s'est arrêtée.


title: Varennes-en-Argonne

text: C'est à la suite de cette tentative de fuite de Paris que la destitution du roi et l'idée d'une république prirent corps dans l'esprit de la Nation. À la reine qui croyait pouvoir compter sur son soutien, la réplique de madame Sauce, épouse de l'aubergiste, montre clairement le changement des mentalités qui s'opérait alors chez les Français : « "Madame, vous vous souciez des intérêts de votre mari, souffrez que je me soucie des intérêts du mien" ». Varennes est occupé par les troupes allemandes au début de la Première Guerre mondiale. Le village se trouva sur ou à proximité de la ligne de front pendant la majeure partie du conflit et fut presque complètement détruit par quatre années de bombardements français. Contrairement à certains villages meusiens qui n'ont jamais retrouvé vie, Varennes fut entièrement reconstruit.


title: Consonne palatale

text: Une consonne palatale est, en phonétique articulatoire, une consonne dorsale dont le lieu d'articulation est situé sur la partie supérieure du palais dite palais dur (par opposition au palais mou ou "velum") ; l'organe articulateur est le dos de la langue.


title: Consonne palatale

text: Le français ne compte que deux palatales : la semi-voyelle (à l'initiale de "yourte") et la nasale (à l'initiale de "gnon").


title: Consonne palatale

text: L'alphabet phonétique international recense les palatales suivantes, données avec quelques exemples :


title: Consonne palatale

text: Une consonne possédant un point d'articulation différent peut être "palatalisée", c'est-à-dire qu'au cours de son émission le dos de la langue se courbe pour approcher du palais dur. Dans les langues slaves, et parfois en français, une consonne palatalisée est dite "mouillée".


title: Consonne palatale

text: La palatalisation d'une consonne est notée par le symbole en exposant ; par exemple, "endure" en anglais américain se prononce avec un "d" palatalisé, ce qui donne la suite de sons : .


title: Arcturus

text: Arcturus (α Bootis selon la désignation de Bayer) est l'étoile la plus brillante de la constellation du Bouvier. C'est une étoile de type géante rouge, en fin de vie.


title: Arcturus

text: Le diamètre d'Arcturus est de 25 fois celui du Soleil, sa magnitude est de -0,05 et sa distance au Soleil est de 36,7 années-lumière. En prolongeant la queue de la Grande Ourse, on repère facilement cette étoile brillante et orangée. Elle constitue avec Spica et Régulus le Triangle du printemps.


title: Arcturus

text: Arcturus est une étoile âgée qui a évolué en une géante rouge. À terme, elle terminera sa vie en nébuleuse planétaire. Cette phase durera encore quelques dizaines de milliers d'années et laissera apparaître son cœur mis à nu. L'étoile évoluera alors vers le stade ultime de naine blanche.


title: Arcturus

text: Arcturus est une des étoiles les plus lumineuses de l’hémisphère nord. Elle est très proche du pôle nord galactique. C'est aussi une des étoiles proches les plus lumineuses (la plus proche avec une magnitude absolue négative). Mais bien qu’elle dégage plus d’énergie que le Soleil, elle ne parait que plus lumineuse car une grande partie de la lumière qu’elle émet est formée d’infrarouges que l’œil humain ne discerne pas. Il pourrait s’agir d’une étoile double mais l’autre étoile serait alors moins lumineuse et très difficile à observer.


title: Arcturus

text: Arcturus se déplace sur le fond du ciel plus rapidement que la plupart des étoiles, d'environ un degré en seulement , ce qui en fait l'étoile brillante au mouvement propre le plus élevé.


title: Arcturus

text: Arcturus fait partie d'un groupe d'étoiles (le groupe d'Arcturus) dont la vitesse (100 km/s) et l'abondance d'éléments lourds suggèrent que ces étoiles proviennent d'une petite galaxie qui serait entrée en collision et aurait fusionné avec la Voie lactée il y a 5 à 8 milliards d'années.


title: Arcturus

text: Le nom "Arcturus" vient du grec ancien / "" qui, formé de ἄρκτος ("ours") et de οὖρος ("gardien"), signifie « le gardien des ours » (en raison de sa proximité avec la Grande Ourse et la Petite Ourse. Elle est citée pour la première fois par Hésiode. Son lever héliaque, à la mi-septembre, sert de point de repère aux Grecs. Son appartenance à la constellation du Bouvier illustre le mélange entre la mythologie grecque (les ours et leur gardien) et romaine, où la Grande Ourse représente une charrue tirée par des bœufs, d'où la présence d'un bouvier.


title: Arcturus

text: En astronomie chinoise, cette étoile est appelée "Dajiao". Elle représente à elle seule un astérisme, qui symbolise le roi céleste, l'identification étant manifestement motivée par la grande brillance de l'astre.


title: Arcturus

text: En hawaïen, Arcturus se nomme Hokule'a (étoile du bonheur). Elle est l'étoile zénithale de l'île principale de Hawaii, et permettait aux navigateurs venant de l'hémisphère sud de rejoindre aisément le groupe des îles Sandwich. La pirogue double traditionnelle Hokule'a, la première des temps modernes à réussir une traversée entre Hawaii et Tahiti sans instruments de navigation, en 1976, tire son nom de cette étoile.


title: Aldébaran

text: Aldébaran, également appelée Alpha Tauri (α Tauri/α Tau) selon la désignation de Bayer, est une étoile géante orangée, et l'étoile la plus brillante de la constellation zodiacale du Taureau. Située à environ du Soleil, elle est la la plus brillante du ciel nocturne. Sa magnitude absolue est de −0,65 et sa magnitude apparente moyenne de +0,87.


title: Aldébaran

text: Visuellement, Aldébaran semble le membre le plus brillant d'un groupe d'étoiles assez étalé : les Hyades, amas d'étoiles le plus proche de la Terre. Mais elle se situe, en fait, à mi-chemin entre notre planète et les Hyades. Elle en est donc indépendante.


title: Aldébaran

text: Aldébaran est l'étoile principale de ', une étoile binaire dont la composante secondaire est ' ( / ). D'autre part, Aldébaran possède une planète extrasolaire (exoplanète) confirmée avec laquelle elle forme, donc, un système planétaire.


title: Aldébaran

text: Aldébaran est le nom propre de l'étoile qui a été approuvé par l'Union astronomique internationale le . Il s'agit d'un nom traditionnel qui vient de l'arabe "al dabarān" () qui signifie "le suiveur", en référence à l'étoile qui suit les Pléiades dans leur course à travers le ciel nocturne.


title: Aldébaran

text: Aldébaran est une étoile (classe de luminosité ) orange (classe spectrale K5) de magnitude 0,86, ce qui signifie qu'elle est orangée, grande et qu'elle a quitté la séquence principale après avoir utilisé tout son hydrogène. Maintenant, elle brûle essentiellement de l'hélium et s'est étendue en atteignant un diamètre approximatif de , soit environ celui du Soleil. Elle a une compagne, une naine rouge de type M2, difficile à voir car de faible magnitude (13). Du fait de son grand diamètre, la température de surface de l'étoile est faible (). Elle nous est distante de environ. Le satellite Hipparcos l'a située à une distance de 20,0 pc (65,1 al) et sa luminosité est plus grande que celle du Soleil. Lorsqu'on tient compte de sa magnitude et de sa distance, elle est la treizième étoile la plus brillante dans le ciel. C'est une étoile faiblement variable de type pulsante ; sa magnitude varie d'environ .


title: Aldébaran

text: Aldébaran est une des étoiles les plus faciles à situer dans le ciel, partiellement à cause de sa luminosité et partiellement à cause de sa relative proximité avec l'un des astérismes les mieux connus : l'amas des Pléiades. Aldébaran est la première étoile brillante que l'on trouve en suivant les trois étoiles de la ceinture d'Orion (de gauche à droite dans l'hémisphère nord et de droite à gauche dans l'hémisphère sud).


title: Aldébaran

text: Aldébaran est l'objet primaire d'un système planétaire dont le seul objet secondaire connu à ce jour () est .


title: Aldébaran

text: Son existence et sa nature planétaire ont été confirmées par la NASA le .


title: Aldébaran

text: Avec une masse minimale de , serait une planète géante gazeuse.


title: Aldébaran

text: Aldébaran est l'étoile vers laquelle se dirige la sonde spatiale américaine "".


title: Aldébaran

text: Le nom "Aldébaran" apparaît dans d'autres œuvres que celles indiquées ci-dessous, ainsi que dans divers autres contextes, mais sans rapport direct avec l'étoile : voir .


title: Hyades (astronomie)

text: Les Hyades sont l'amas ouvert le plus proche du Système solaire et l'un des mieux étudiés. L'amas est distant de de nous. Il est constitué de 300 à 400 étoiles partageant des caractéristiques communes telles que l'âge et la composition chimique. Les quatre membres les plus brillants de l'amas sont toutes des géantes rouges qui ont commencé leur vie sur la séquence principale en tant qu'étoiles de classe spectrale A. Elles se nomment selon la désignation de Bayer Gamma, , Epsilon, et Theta Tauri. Elles forment un astérisme en forme de « V » représentant la tête de la constellation du Taureau et couvrant quatre degrés. Aldébaran, l'étoile la plus brillante du Taureau, fait partie de cet astérisme, il représente l'œil du Taureau. Mais curieusement Aldébaran ne fait pas partie de l'amas. Aldébaran est en effet situé deux fois plus près de nous que l'amas. Cet amas est un des rares qu'il est préférable d'observer aux jumelles plutôt qu'au télescope, compte tenu de sa surface.


title: Hyades (astronomie)

text: Les données recueillies par le satellite Hipparcos dans les années 1990 ont permis d'établir un certain nombre de paramètres fondamentaux de l'amas. Le centre de l'amas, qui abrite la plus forte concentration d'étoiles, a un rayon de et le rayon total de l'amas est de . Cependant un tiers des membres confirmés de cet amas se situent dans un halo s'étendant bien au-delà de cette frontière et sont sans doute sur le point d'échapper à la force de gravité de cet amas.


title: Hyades (astronomie)

text: L'amas des Hyades et l'amas plus grand et plus distant de la Crèche, appelé également M44 dans le catalogue de Messier, présentent des caractéristiques communes. Ils ont notamment le même âge, le même mouvement propre et la même métallicité. Par ailleurs il est possible de reconstituer leur trajectoire par le passé. Il s'avère que ces deux amas proviennent de la même région de la galaxie et ont donc une origine commune.


title: Hyades (astronomie)

text: Les étoiles de l'amas des Hyades sont plus riches en éléments lourds que le Soleil et les étoiles ordinaires situées dans son voisinage.


title: Hyades (astronomie)

text: L'amas tire son nom des Hyades de la mythologie grecque, les nymphes de la pluie. Selon le mythe le plus répandu, elles furent les nourrices de Dionysos sur le mont Nysa. Zeus les transporta au Ciel pour les remercier de leur dévouement à protéger son fils de la jalousie de son épouse Héra.


title: Hyades (astronomie)

text: La plupart des amas ouverts ont une durée de vie relativement brève de l'ordre de quelques dizaines de millions d'années car les étoiles qu'ils abritent se sont formées à la suite de la contraction d'un nuage de gaz et de poussières et ces étoiles se dispersent avec le temps sous l'action des forces de marée si bien qu'elles finissent par ne plus être liées les unes aux autres par la gravitation. Pour décrire ce processus de dislocation de l'amas on emploie le terme évaporation en astronomie. Seuls les amas ouverts les plus massifs, situées à de grandes distances du centre galactique, peuvent survivre sur des périodes de temps plus longues. Ainsi au moment de sa formation l'amas des Hyades contenait probablement un plus grand nombre d'étoiles qu'aujourd'hui. Des estimations donnent une masse comprise entre 800 et à sa naissance.


title: Hyades (astronomie)

text: L'amas des Hyades est déficitaire en étoiles très chaudes de type O et B ainsi qu'en étoiles de faible masse et en naines brunes. Avec un âge estimé à d'années les étoiles les plus massives ont quitté la séquence principale et occupent aujourd'hui d'autres stades de l'évolution stellaire. Le cœur de l'amas abrite 8 naines blanches, correspondant à la population originelle d'étoiles de l'amas de type spectral B (avec une masse de l'ordre de 3 M☉ chacune) arrivées à l'étape ultime de leur vie. L'amas abrite également 4 géantes rouges. Il s'agit d'étoiles dont le type spectral était A lorsqu'elles appartenaient à la séquence principale. Elles ont une masse respective de l'ordre de 2,5 M☉. Il abrite une étoile géante blanche de type spectral A7 III, l'étoile Theta2 Tauri, la compagne de l'une des quatre géantes rouges.


title: Hyades (astronomie)

text: Les autres étoiles de l'amas appartiennent toutes à la séquence principale. On dénombre parmi elles au moins 21 étoiles de type spectral A, environ 65 étoiles de type F et environ 50 de type G. Quant aux étoiles naines de faible masse, leur nombre semble faible si on compare leur distribution dans l'amas des Hyades à leur distribution dans le voisinage du Soleil. On ne dénombre en effet à ce jour dans les Hyades que 48 étoiles de type K, une douzaine d'étoiles de type M0-M2, et très peu d'étoiles de type M3-M9. Dans un rayon de 10 parsecs autour du Système solaire on dénombre par contre au moins 239 étoiles naines de type M, constituant environ 76 % du total des étoiles situées dans son voisinage.


title: Hyades (astronomie)

text: Douze naines brunes à ce jour sont également considérées comme des membres de l'amas.


title: Hyades (astronomie)

text: L'observation de la distribution des différents types d'étoiles dans l'amas révèle aussi qu'il a connu un phénomène de ségrégation de masse. Le centre de l'amas ne contient en effet que des systèmes stellaires dont la masse est égale ou supérieure à 1,0 M☉, à l'exception des naines blanches.


title: Hyades (astronomie)

text: Lors de l'éclipse totale de soleil du , l'astronome Arthur Eddington prouva à partir d'un cliché où la position de cet amas était légèrement décalée par rapport à sa position habituelle que la gravité impacte la trajectoire des rayons lumineux et valide ainsi par l'observation la théorie de la relativité générale d'Albert Einstein.