Q:

Cómo usar jQuery Ajax POST con Google Apps Script para mostrar una página de agradecimiento personalizada

Quiero enviar los datos del formulario a una hoja de Google, a través de un script, la cual me redirige a un json en el que indica que se ha realizado correctamente y me indica en que fila se ha guardado. Lo que yo quiero es que no vaya a esa página si no que vaya a una página de agradecimiento.
Edit: El error está en que no redirige a la página que quiero, sigue redirigiéndome a la página del script de google, como si ignorase el script.
Edit 2: El script de google es la siguiente aplicación web. Web App
Form:
<form method="post" id="formID" action="gscript">
...
</form>

Script:
<script>
   $(document).on('submit', '.formID', function(e) {
     $.ajax({
        url: $(this).attr('action'),
        type: $(this).attr('method'),
        data: $(this).serialize(),
        success: function(html) {
        alert('ok');
        window.location("pagina de agradecimiento");
        }
    });
    e.preventDefault();

});
</script>

A:

Veo un error en el selector del formulario: debería ser '#formID' en lugar de '.formID'.
Prueba utilizando la sintaxis de promesas y mandando la información completa del posible error a la consola:

   $(document).on('submit', '#formID', function(e) {
     $.ajax({
        url: $(this).attr('action'),
        type: $(this).attr('method'),
        data: $(this).serialize()
     }).done(function (html) {
         alert('ok');
         window.location.href = 'http://www.milejemplos.com/frases/frases-de-agradecimiento';
     }).fail(function(jqXhr, msg) {
          var responseText = jqXhr.responseText || '';
          console.log(msg + ':\n' + responseText);
     });
    e.preventDefault();
});
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/2.1.1/jquery.min.js"></script>
<form method="post" id="formID" action="">
 <input type="text" name="campo" />
 <input type="submit">
</form>

A:

Recién se agregó el enlace al código usado para la aplicación web creada usando Google Apps Script. Ese código tiene varios problemas

Usa un método deprecado (obsoleto), específicamente UiApp.
No incluye devolver una respuesta ni en caso de éxito (success) ni en caso de falla (failure).

En lugar de ese ejemplo, mejor usar este otro https://gist.github.com/mhawksey/1276293. Nótese que este incluye el uso de ContentService para crear las respuestas tanto para el caso de éxito como de falla.
  try{
    // ...

    // return json success results
    return ContentService
          .createTextOutput(JSON.stringify({"result":"success", "row": nextRow}))
          .setMimeType(ContentService.MimeType.JSON);
  } catch(e){
    // if error return this
    return ContentService
          .createTextOutput(JSON.stringify({"result":"error", "error": e}))
          .setMimeType(ContentService.MimeType.JSON);
  }

A continuación un ejemplo

$( "#formulario" ).submit(function( event ) {
  event.preventDefault();
  $.ajax({
    type: "POST",
    url: "https://script.google.com/macros/s/AKfycbzhZaMeboekcH7VxNBh2lS-wYyKb07je2hqsKIl_HKFTiASNJUb/exec",
    data: '',
    success: function(){
      alert( "Gracias" );
      $(document.body).html("Se dieron las gracias");
    }
  });
  
});
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/1.9.0/jquery.min.js"></script>
<form id="formulario">
  <input type="submit">
</form>

Código de la aplicación web llamada por el código previo
function doPost(e) {
  try {
    // Hacer algo
    var nextRow = 1;
    // devolver JSON éxito (success)
    return ContentService
     .createTextOutput(JSON.stringify({"result":"success", "row": nextRow}))
     .setMimeType(ContentService.MimeType.JSON);
  } catch(e){
    // en caso de error devolver esto
    return ContentService
     .createTextOutput(JSON.stringify({"result":"error", "error": e}))
     .setMimeType(ContentService.MimeType.JSON);
  } finally {
    // En cualquier caso, terminar realizando lo siguiente
  }
}

La pregunta se puede simplificar a 

¿Cómo hacer que el formulario de la respuesta que yo quiero al usuario?

Para fines de simplicidad, digamos que "lo que yo quiero" es mostrar una alerta y escribir un mensaje en la página.
La forma básica de especificar lo que se debe hacer al enviar un formulario, es a través del atributo onsubmit. En este puedes colocar el código JavaScript

<form id="formulario" onsubmit="window.alert('Gracias'); document.write('Se dieron las gracias')">
  <input type="submit"/>
</form>

Si decides que todo se controle a través de un script, entonces pon onsubmit="miScript"

function miScript() {
  window.alert('Gracias'); document.write('Se dieron las gracias');
}
<form id="formulario" action="" onsubmit="miScript()" >
  <input type="submit"/>
</form>

A continuación lo mismo, pero usando jQuery, en el cual se debe incluir preventDefault para lograr lo que se está buscando.

$( "#formulario" ).submit(function( event ) {
  event.preventDefault();
  alert( "Gracias" );
  $(document.body).html("Se dieron las gracias");
});
<script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/1.9.0/jquery.min.js"></script>
<form id="formulario">
  <input type="submit">
</form>

