Q:

Quando si deve togliere il "che" di "pensare che", "credere che", "ammettere che", ecc?

Frequentemente ho letto frasi che hanno le strutture “pensare che”, “credere che”, “ammettere che”, ecc. senza la congiunzione "che". Ecco alcuni esempi tratti da Internet:

Penso sia necessario un chiarimento tra l’allenatore e la società. 
Chiara Luna è un romanzo ambientato in Inghilterra nel 1880 ed ho voluto misurarmi con una storia ambientata in un contesto storico ben preciso ed è una cosa che credo non farò mai più.
Il tempo invece del tunnel è di circa 20 minuti che devo ammettere passano in fretta e senza problemi di pressione o altro.

Non riesco a capire però quando si debba togliere la congiunzione "che" da tali espressioni. Potreste spiegarmelo?  

A:

Come spiegato dall'Accademia della Crusca:

Nelle proposizioni subordinate oggettive, soprattutto di secondo grado, si
può omettere la congiunzione che, per evitare l’accumulo di
congiunzioni; i modi usati sono il congiuntivo o il condizionale

Infatti, dei tre esempi proposti, solo nel primo il "che" introdurrebbe una proposizione oggettiva, ed è pertanto omissibile, mentre nel secondo e nel terzo no, in quanto marca due proposizioni relative.

A:

Una regola approssimativa: solo con certi verbi della frase principale, se il "che" è congiunzione, e il verbo nella subordinata è al congiuntivo o al condizionale, il "che" si può omettere. In certi casi funziona anche col futuro indicativo, specialmente se il verbo della subordinata è negato.

Penso che sia stato Marco -> Penso sia stato Marco.
Suppongo che sarebbe stato meglio venire in treno -> Suppongo sarebbe stato meglio venire in treno.
Spero che verrai -> Spero verrai.
Non credo che andrò al cinema domani -> Non credo andrò al cinema domani.

Però non sempre funziona col futuro:

Penso che domani studierò -> *Penso domani studierò (o quantomeno, credo che nessuno lo direbbe)

I verbi della frase principale con i quali è possibile l'omissione del "che" congiunzione alle condizioni sopra indicate non sono poi tanti: quelli usati nel 99% dei casi sono "credere", "pensare", "sperare", "supporre" e similari.
I tuoi esempi:

Penso sia necessario un chiarimento tra l’allenatore e la società.

Ok, il "che" dopo "penso" viene omesso.

... è una cosa che credo non farò mai più.

Qui è stato omesso il "che" dopo "credo".

Il tempo ... è di circa 20 minuti che devo ammettere passano in fretta ...

Qui, secondo me, l'unica lettura possibile è:

Il tempo ... è di circa 20 minuti che, devo ammettere, passano in fretta ...

quindi non c'è omissione di nessun "che". Devo comunque ammettere (eh) che non sono del tutto sicuro che "ammettere" non sia un verbo con cui si può omettere il "che".

Ammetto che tu ti sia divertito -> Ammetto tu ti sia divertito (?)

La versione senza il "che" non mi suona benissimo, però neanche totalmente sbagliata. Propendo comunque per il "no".
In tutti i casi, nel tuo esempio il verbo della presunta subordinata sarebbe al presente indicativo ("passano"), quindi questa costruzione:

Il tempo ... è di circa 20 minuti che devo ammettere che passano in fretta ...

non è "semplificabile" togliendo il secondo "che". Se si toglie, la frase cambia e va letta come

Il tempo ... è di circa 20 minuti che, devo ammettere, passano in fretta ...

in cui "devo ammettere" passa al ruolo di inciso, perché se il verbo è al presente indicativo il "che" non si può togliere:

Ammetto che il tempo passa in fretta -> *Ammetto il tempo passa in fretta

Per finire (e dopo averci pensato un po' di più), ci sono effettivamente rari casi in cui il "che" non congiunzione (ossia, pronome) si può omettere, anche se non sono del tutto sicuro di come la cosa sia classificabile dal punto di vista grammaticale. Sono casi in cui il "che", pur non essendo congiunzione, suona pleonastico, e gli unici esempi che mi vengono in mente sono del tipo:

Che bel disegno che ha fatto Marco! -> Che bel disegno ha fatto Marco!
Guarda che bel ragazzo che è diventato! -> Guarda che bel ragazzo è diventato!

